临清市高中有没有奥数比赛？

同学你好，欢迎来到高中小蓝本数论部分的学习，我们今天要学习的是第六部分，同余。首先我们来看一下同余的概念。 同余是数论中的一个重要概念应用，即为管放射。 n 是 给定的一个正整数，若整数 a， b 满足 n， 整数 a 减 b， 则称 a 和 b 摩 n 同于，记作 a 和 b， 摩 n 同于，这里是三个竖线，然后摩 n， m， o， d， n。 那 这里的话，呃，我们也可以通过余数来理解，会更好记些。因为我们知道任意一个数，它都是能通过代入除法 来被 n 表示与 n 的 一个关系，那 a， b 它如果呃被 n 除得的一个代入除法，它们的余数是相同的，那就称它们是某 n 同余的。 若 n 不 整除 a 减 b， 则称 a 和 b 魔 n 不 同于记作 a 和 b 魔 n 不 同于有待于除法。知道 a 和 b 魔 n 同于的一个重要条件是， a 与 b 被 n 除得的余数相同。 对于固定的魔魔， n 的 同于式与通常等式有很多相似的性质。首先第一个反升性， a 和 a 是 模同于的，这个很显然，我们看对称性， a 和 b 模同于，则 b 和 a 模同于。当然， n 整除 a 减 b 的 话，那 n 也整除 b 减 a 传递性。若 a 和 b 模同于， b 和 c 模同于，则 a 和 c 模同于， 那这里我们可以通过余数的想法，那 a 和 b， 嗯，被 n 除的余数相同， b 和 c 被 n 除的余数相同，所以 a 和 c 被 n 除的余数也就相同。同样，我们也可以通过整除的话来证明这一条。 那反式、对称传递这三条呢？那我们就可以去说明那个魔恩同与同于，这个是一个等价关系。 第四条同样是相加。若 a 和 b 摩根同于， c 和 d 摩根同于，则我们的 a 加减 c 和 b 加减 d 是 摩根同于的，同于是相乘。若 a 和 b 摩根同于， c 和 d 摩根同于，则 ab 和 cd 是 摩根同于，那这里我们可以啊，设 a a 摩根被 n 除的余数是 r 一， cd 被 n 除的余数是 r 二， 那我们把它的表达式带进去， a 的 话就是 n q 一 加 r 一， c 的 话是 n q 二加 r 二， b 的 话就是 n q 三加 r 一， d 是 n q 四加 r 二。那然后我们通过把它一个展开，可以看到被 n 整出的一个余数，两边都会是 r 一 r 二。 不难看到反分乘四和五可以对于多余两个的啊模相同的同时建立加减乘法的计算公式，特别的有五可以有。若 a 和 b 模同于 k， c 为整数，那么则有 k 大 于零是必要的，则有 a 的 k 次米 c 和 b 的 k 次米 c 是 模。同于， 那同一式和等式的加减乘，它们是有很多相似的性质。那对于除法呢？对于这个同，但是同式的一个消序一般不成形，即从 a c 和 b c 模同于，未必能推出 a 和 b 模同于。比如说我们的三乘一 和三乘二摩三同余，它们啊的余数都是零，但是一和二摩三并不同余。然而我们是有下面的这样的结果，若 a c 和 b c 摩同余， 则 a 和 b 摩 n 除以 n c 的 最大公因式是同余的。那这里呢？我们可以通过这个 嗯，整除来证明余数，也可以证明，大家可以自己证明一下。那如果 a c 和 b c 模同匀，那就 n 整除 a c 减 b c。 假设设 n c 的 最大公分式是 d， 那 么 n 表示为 d， n 一 c 表示为 d， c 一 啊。 c 一 和 n 一 是互素的，那根据这个，就 d， n 一 整除是 a 倍的 dc 减 b 倍的 dc， 那 两边可以消去 d， 两边消去 d 的 话，就有 n 一 是整除。把 c 一 提出来， a 减 b， 那 这里的 n 一 和 c 一 是，它们是互素的，即 a 和 b 是 模 n 一， 这就是 n 一 模 n 一 是同余的， 由此我们就有。若 c n 互素的话，那么这里就是 e， 即 a 和 b 是 膜同一，即在 c n 互素的时候，我们这个消去率就成立了，即在两边约是 c 而不改变膜。这再一次表现了互素的这样一个重要性， 它也就是有互数的话，我们的小数点就乘以了。现在提及几个设计模的简单但是很有用的性质，好七八九。第一条，若 a 和 b 模同于而递减出 a， 则 a 和 b 模同于 d 等于零，则 d a 和 d b 模同于。 第三条，若 a 和 b 摩 n， i 同于 i 等于一直到 k， 则 a 和 b 摩 n 一 n 二，直到 n k， 它们的最小公倍是同。特别的，如果 n 一 n 二， a k 两两互数，则 a 和 b 摩 n 一 n 二和到 n， k 的 乘积同于， 那这里是因为他们两两互数，所以他们的最小公倍数就是一。那这三条的运用非常多，虽然他很好理解，但是我们要记得非常熟练。 由上述的性质一二三可知，整数集合可以按模 n 来分类，就是有性质一二三。它其实啊，说明了同余，它是一个等价关系。若 a 和 b 模 n 同余，则 a 和 b 属于同一个类，否则不属于同一个类。每一个这样的 类称为模 n 的 也同一类。那这比如说二， 那么任何数除以二，它的余数只有两种情况，零和一。这样我们就可以把呃被 n 二除得的余数是零的分为一类。除得的余数是一的分为一类。有代数法。那么任意整数呢？被恰于零一到 n 减一中的 一个模 n 同余，那而零一着 n 减一着 n 个数呢？彼此模 n 不 同于，由此模 n， 它共有 n 个不同的同余类，即为 m i。 然后其中 m i 呢？每是 x， 每个 x 是 正整数 x 模 n 等于 i， i 是 零一一直到 n 减一。那比如说我们的二，它总共就有两个啊，不同的同一类，一个是 m 零，一个是 m 一。 例如摩尔同一类总共有两个，即通常所说的偶数类与计数类。两个类中的数分别具有形式二， k 与二 k 加一的这样的形式。 在 n 个剩余内中，各任取一个数作为代表，这样的 n 个数称为摩 n 的 一个完全顺序。比如说，我们二，它就可以取零一作为它的代表，我们也可以取三四作为它的一个代表， 简称摩 n 的 一个皖系。换句话说， n 个数 c 一 到 c n 称为摩 n 的 一个皖系，是指它们彼此摩 n 不 同于 n 的 数，彼此模不同意。例如零一这个 n 前一，它是数的一个惡隙，它称为模的一个最小非负惡隙。那么模二的最小非负惡隙就是零和一。 例如看到，若 i 和 n 互数，则同于内 mi 中的所有数都和 n 互数，那 mi 它中的所有数都会有一个 k， n 加 i 这样的一个形式， mi 中的所有数都是 k， n 加 i 这样的形式，由于 i 和 n 互数，所以啊 mi 中的任意数，它都是与 n 互数的，这样的同源内，称为 m 的 缩同域内，缩同域内，比如说零一里面啊二，它的零一里面一就是它的一个缩同域内。 我们将模 n 的 缩同于哪中的个数记作 f n， 那 f 二就等于一，称为欧拉函数， 这是数量中的一个重要函数。欧拉函数显然 f 一 等于一，而对 n 大 于一， f n 为一，二又上 n 减一中与 n 互数的数的个数。 例如 o p 是 素数，那么在一到 p 减一中与 p 互数的，它就有 p 减一个。 那现在大家可以根据这个定义去算一算零到十中，去熟悉一下这个定义。要算一下 f 三 f 四是多少。 在魔的 find 的 缩头于内中各任取一个数作为代表，这样的 find 的 数称为魔 n 的 一个缩胜于细， 也就是，嗯，把它所有的这样的一个缩头于内它中取一个，代表组成一个缩胜于细。比如说四 四，它的一个同音内就有 m 零、 m 一、 m 二、 m 三。其中我们知道 m 一 和 m 三是它的一个缩同音内，那我们取一三，就可以构成它的一个缩声。一系， 简称魔 n 的 一个缩写，于是 far n 的 数 r 一 r 二到 r 反 n， 称为魔 n 的 一个缩写，是指它们。首先魔 n 互不同于，且均与 n 互素 不超过 n， 且与 n 互数的正整数成为魔 n 的 一个最小正数系。就跟我们前面所设计的一个最小非负完系一样。那么缩细里面也有最小正缩系， 比如说我们啊魔四的一个最小正缩系，那就是一和三。 下面的结果有母 n 的 一个丸系，我可以产生另外的一个丸系与它一个缩细，我们也可以产生另外的一个缩细。好，首先，如果 a n 等于一 b 是 任意整数， 若 c 一 c 二遇到 c n 是 模的一个完系，则 a c 加 b， a c 二加 b 遇到 a c n 加 b 也是模的一个完系。好，我们首先看它，这肯定是 n 个共相同的整数，那第一点满足。其次，我们看它两两模 n 的 话， 如果两两模同于，我们就有 a c i。 假设 a c i 加 b 和 ac 接加 b， 模同于， 那我们两边可以约去 b， 也就是有 n 整除 a c i 减 ac 接， 那我们由于 n 和 a 互斥的话，那也就有 n 整除 c i 减 c j， 那 这与我们的 c 一 c 二到 c n 是 模 n 的 一个完系矛盾。因为如果啊 c i n 整除 c i 减 c j， 那 么 c i 和 c j 就 模 n 同于， 那这就不可能是它的一个完系。所以说它们是两两模不同于的，它是模的一个完系。 若 r 一 r 二到 r 发音是模的一个缩写，则 a r e a r a 发音也是模的一个缩写。那么首先这 n 个数肯定是互不相同的，然后它们两两呢？比如说 a r i 和 a r j。 哦，由于 r i 和 r j 是 模文不同于的，那我们可以推出 a r i 和 a r j 肯定是模文不同于的，所以这个也是它的一个缩写。

欢迎来到高中小蓝本数论部分的学习，我们今天学习的内容是竞赛问题选讲一，我们来看第一个例题。 设 m 大 于等于 n 大 于一，要证明这个数是一个整数，那首先后面这个组合数一定是个整数。这里的 m n 的 最大公约数可以通过 mx 加 n y 表示出来， 那这里的 mx 去除以 m 的 话， x 乘以 c m n 肯定是一个整数，那 m 除以 n y 的 话， y 提出来外表的 m 分 之 n 的 c m n m， 我 们知道它可以写成 n 分 之 m， 对的 c m 减一， n 减一，所以我们可以看到这里它也是一个约分，之后也是一个整数。所以我们通过一个倍数等式把 m y 的 最大公约数书写出来， 看一下解答过程。一 m 分 之 x， m n 在 x 等于 m 时是一个整数， 在 x 等于 n 时，它也是一个整数，所以由培数等式存在 u v， 使得 m n 的 最大公约数为 m u 加 c v， 所以 这是一个整数。 我们来看，注意有逆一推出，若 m n 为负数的正整数，则 m 整除 c m n， 那 m n 负数的时候，这里 m n 的 最大公元数是一，所以 m 整除 c m n。 这结论也可直接证明， 因 c m n 等于 n 分 之 m 倍的 c m 减 n 减一啊，故 n 倍的 c m n 等于 m 倍的 c m 减 n 减一。然后又由于这个为整数， 所以 m 乘除 n 倍的 c m n， 但 m 互数，从而 m 乘除 c m n。 特别的设 p 是 一个素数，由于对于每个 k 等于一，一直到 p 减一均匀 p 互数，故我们有 p 乘除 c p k。 这里是对 k 等于一一直到 p 减一都成立的这节呢用的会很多， 那么如果 m、 n 是 互数的正整数，分别以 m 加上以代换，得出了第三单元中的逆五，同学可以在第三单元的逆五翻过去对照去看一下。 来看一下，念设 a、 b 是 两个不同的正整数，不同的正整数，然后 a、 b 乘以 a 加 b， 是 这个 a 方加 a， b 加 b 方的一个倍数，证明 a 减 b 的 绝对值大于 a、 b 的 刚好三 啊。这里涉及到了根号，涉及到根号，那我们可以左右先去掉一个根号先 a 减 b 的 绝对值的三次方大于 a b 啊，那这里的话，它又涉及到次数不等这三次，这是两次，变成一个是减，一个是加，那我们可以给他提一个他们的最大共因数出来， 那就是 d 倍的 a 一 减 b 是 a 等于 d， a 一 b 等于 d， b 一 老规矩，那就有大于 a 一 b， 现在的话，两个大概比现在这种的次数会降低一些。然后再去看 d 跟 a、 b 之间的关系，那么这里 你给的 ab 乘 a 加 b， 是 a 方加 ab 加 b 方的倍数。这一条呢，让我们可以想到常用的呢，就遇到这种啊，就可以配个方出来，配个方往往就比你给的这种条件会强很多。 让我们来看一下证明。由于 a b 的 a 加 b 被 a 方加 a， b 加 b 方整除，所以的话呢，我们首先用 a 方加 a， b 加 b 方去除以 a b 乘以 a 加 b， 这样的话，这里可以配个 a， 那 就是多一个 a 的 三次方，其中面可以配个 b， 那 这样的话就是 a 方 b， 然后 a、 b 方会多一个 b 的 三次方， 那由于我们的 a 方加 a， b 加 b 方，整个是整除它一整体的，所以就有 a 方加 a， b 加 b 方，是整出 a 的 三次方。 a 方加 a， b 加 b 方，整出 b 的 三次方， 同样我们可以得到它整出 b 的 三次方，所以它是 a 的 三次方与 b 的 三次方一个公约数， 即那整除 a 的 三四方， b 的 三四方的一个最大啊，最大公约数，那这里 a b 的 最大公约数的三倍，那这里的证明我们等会来分开来讨论， 从而 a 方加 ab 加 b 方，是整出 ab 的 最大公约数的三倍的。那有这一个命题，我们假设设 d 等于 ab 的 最大公约数，即则一，我们可以化解成 a 一 方 加 a 一， b 加 b 一 方整数 d。 好， 那这里出来了 d 跟 a 一 跟 b 的 关系，并且啊，从而我们 d 是 整数它，而 d 大 于等于前面的， 更有 d 是 大于等于 a 一 b 就 有了 d 跟 a 一 b 的 关系了， a 不 等于 b， 故整数 a 一 不等于 b， a 一 a 一 减 b 一 是大于等于一的。既然我们可以得出 a 一 减 b 的 三次方，就等于 d 的 三次方，乘 a e 减 b 的 三次方是大于等于 d 的 三次方，那就大于 d 方倍的 a b， 因为 d 是 大于 ab 的， 从而它是等于 ab 加上就有我们的 a 减 b 的 绝对值大于 ab 的 杠三倍。 那么这里我们前面所说的一个，嗯， a 的 case 方， b 的 case 方等于 a 的 case 方，这里的证明呢，我们可以先从这里来 a 的 case 方， b 的 case 方， 然后它们的最大公约数等于 ab 的 最大公约数的 k 子方。那这个命题呢？首先到 ab 互数的时候，肯定是成立的，那 ab 不 互数的时候呢？我们可以通过除以它们的最大公约数来构造互数，进而产生证明。 对任意整数 k 大 于等于一有 a 的 cos 方， b 的 cos 方等于 ab 的 cos 方。这个定义我们进行证明， ab 互数的时候，它当然是乘以的，然后如果它们的最大公分数是 d， 我 们给它除一个最大的公分数是互数的，进而有 这样一个啊关系式，所以 d 的 k 次幂就等于 d 的 k 次幂乘以 d 分 之 a 的 k 次幂和 d 分 之 b 的 k 次幂，它们的最大公约数，然后带进去就有我们要正的这个等式，从而就能得正。 这一结论是让一般情形的问题化为特殊情形来解决的。一个简单例子就是把我们这个问题化为他们互素的情形来证明。 第二的证明，先由整数的整除等性质导出整除关系，也就是我们这里这一条件，它是它的倍数， 然后导出一些整除关系式，由此过渡到不等式证明。这是处理整除关系中，即估计法常用的一种方法， 也就是通过整除关系式，然后或者他会一般会再给一些条件是正整数或者是什么或不给正整数的话，那就是 a 整除 b， b 的 角值大于等于 a 的 角值都是正整数的话，那就 b 大 于 a 大于 a。 那 我们看。第三，在两个相邻的完全平方数 n 方与 n 加一的平方之间，任取若干个不同整数，证明他们两两成绩互不相同，那两两成绩至少会有四个数，对吧？ 那如果其他的若干个呢？呃，如果我们证明了四个数不成，所以我们只需要证明四个不成，我们首先取四个数， 设整数 a， b， c， d 满足它是 n 方和 n 加一的平方之间的四个数，然后就大小关系， 那这里如果两两乘积相同的话，首先 ab 一定小于 cd， ac 也一定小于 b、 d， 所以 只有 a， d 等于 bc 这一种情况，所以我们只需要证明 a、 d 不 等于 bc， 才有反证法。 假设有上述的情形，满足 a， d 等于 bc， 那 么根据啊例三的证明 e 可知会有正数 p q 使得 a 等于 p u b， b 等于 q u， c 等于 p v， d 等于 q v。 啊，那这里其实是通过这个 a， d 等于 bc， 我 们把它移过来就是啊， a 除以 b 等于 c 除以 d， 然后这里的使用的 a， c 是 p， p 除以 q， 那 么 a 等于 p u， b 等于 q u， c 等于 p v， d 等于 q v， 那满足这个条件，但是我们的呃 p、 q、 u、 v 之间一定会有它们的大小关系，因为我们的 a、 c 是 一定小于 b、 d 的， 所以 q 是 小于 p 的， 那么整数里面的小于呢？它之间间隔就至少是一，所以那就有 q 加一是小于等于 p 的。 同理 q v 也有。 由 b 大 于 a 以及 c 大 于 a 得出 q 大 于 p， 即 v 大 于 u， 我 们看都是整数股。 q 大 于等于 p 加一， v 大 于等于 u 加一， 由此我们得出，那其实这里就主要是运用它在这个范围之内来推出矛盾，是在 n 方和 n 加一的平方之间推出矛盾，那么 d 等于 q v， 它是大于等于 p 加一乘 q 加一的，那这里我们就有了一个 p u， 然后 p 加 u 加一，即大于等于 n 方加二， n 加一 等于 n 加一 cos 平方就有我们的 d 是 要大于 n， 加一 cos 平方，但是我们的 d 是 小于 n 加一的平方，矛盾所以是不成立的，那么这里就证明了它们两两成绩是互不相同的。

我们来看历史，历史证明有无穷多个正整数， n 满足 n， 整除二的 n 次幂加一， 那这里啊就是证明有无穷多个数，满足一个数整除另一个数，那有无穷多个数呢？我们可以通过构造出它的表达式来说明无穷多个，我们也可以通过建立递推公式来说明它有无穷多个。 那么首先我们可以找一个比较小的十以内的数字来试一试观察规律， 考察最初的几个 n 的 值，小于十的数只有 n 等于三的零次方，三的一次方，三的平方符合要求，那么我们可以猜想可能是 n 等于三的 k 字谜是 n 的 满足这一个符合要求的一种表达式， 那这个我们就可以通过一个递推法来证明这是这件事，是一个简单的归类练习。 那首先电机呢？我们通过小于十的这个数满足要求，那所以就成立了。那假设对 k 代数由三的 k 次幂是整除二的三的 k 次幂加一的， 那假设这个时候乘以，那我们这个时候就有二的三的 k 次幂，次幂是等于负一加三的 k 次幂乘以 u 的， 又为整数，那接下来我们要讨论这个 k 等于 k 加一的时候，所以我们两边 它三次幂就是二的三的 k 加一次幂，次幂就是等于负一加三的 k 次幂乘以 u 整个括号的三次幂，然后把它展开的话，这个式子这个三次幂把它展开就是负一加上三的 k 加一次幂乘以 v， 那故三的 k 加一次幂，就整除二的三的 k 加一次幂，次幂加一，那这样我们就证明了这个递推，通过这个递推， 所以那我们就说明了这个 n 等于三的 k 次幂，这种表达式呢，是都符合要求的，从而完成了上述断言的一个归纳证明。 好，第二种证明方法呢，就是我们可以啊，通过归类，它也满足一个递推关系式，来证明它 有无穷的正整数满足，那这个 r n 加一次幂，我们可以看到，如果 g n 它是一个真基数的话，那是它可以分解成一个二 k 次幂加一的一个形式的， 那根据这个念头，可以沿着这个念头去猜想，证明这是一个不同的构造法。关键是注意到，若 n 整除二的 n 次幂加一，则对 m 对 二的 n 次幂加一，由 m 整除二的 m 次幂加一。 那么事实上，由于二的 n 次幂加一是基数，那也就是我们这里的 m 是 基数，若二的 n 次幂加一等于 n k， 因为我们这里的 n 是 整除二的 n 次幂加一的，所以我们可以设二的 n 次幂加一等于 n k， 那 k 必定是奇数。所以二的 m 次幂加一的话，我们可以把它分解为 啊二的 n 次幂加一乘一个数。那这里我们就证明了，二的 n 次幂加一，整除二的 m 次幂加一，即 m 整除二的 m 次幂加一，那根据 m 整除二的 m 次幂加一呢，我们就可以递推出其他的很多数， 所以那证明了这个递推关系式呢，便递推出有无穷多个符合要求的数， 所以证明呢，有无穷多个正整数满足这个整除关系式。那两种方法得出的解不全相同，但它们其实呢，嗯，都是说三的倍数， 这一点并非偶然。事实上呢，我们根据第八单元的逆一可值，符合要求的 n 呢，都被三整除。

我们来看逆四，求出这个不定方程，它的全部正整数解，那这个不定方程，这边是阶乘，这边是一个数的 k 次方， 那阶乘那就是 e 一 直乘到 n 减一，那么一个数的 k 次方 n 能能乘以 n， 所以 我们的 k 肯定不能太大。同理，我们的 n 也不能太大，因为这边如果 k 固定的话，这个 一一直乘到 n 减一，它太大也不相等，所以我们，呃，说不定可以，嗯，它有一个范围 n， k 有 一个范围，它不能过大。 呃，然后这里它首先我们有一个前提知识定律。先证明这一个命题， m 大 于四，且 m 非素数的时候， m 不是 素数， 这个时候我们有 m 是 整除 m 减一的结成的。 那这个定理我们首先可以看到，呃，在任意一个数，呃， m 减一的结成是一二三四五一直乘到 m 减一，所以在小于 m 的 这个正整数里面，它肯定是整除 m 减一的结成的 啊。如果 m 它是非素数，第一种情况，它如果 m 可以 分解成 p q 的 形式， p q 不 相等，那这个 p 肯定小于 m， q 是 小于 m， 所以 由 m 值整除。呃，这个时候的 m 是 整除 m 减一的阶乘的。第二种情况，如果 m 它只能分解成一个数的平方，比如说 m 等于 p 方，那 这个时候 p 方它要整除 m 减一的结成。如果 p 在 里面，二 p 也在里面，那就有 p 方是整出 m 减一的结成的。那这个时候，也就是我们的 m 是 要大于二 p 的， 也就是我们的 p 方大于二 p， 那 我们的 p 就 要大于二。 m 大 于四，那 m 大 于四的时候是成立的，所以这个命题是成立的， 那到这里，如果 n 大 于四，且 n 它非素数的话，那就 n 减一的结成，嗯，是被 n 整处的，那这样的话，一是被 n 整处， n 就 整是一，产生矛盾，所以在 n 它大于四的时候，一定是呃一个素数。 如果有这个解的话，那再进行 计算。首先我们可以把它小的计算出来， n 等于二的时候带进去可以得到。这个的意思是， n 等于二， k 等于一，可得这个结。同理， n 大 于二的时候，我们可以经过，可以通过一个 带进去，把先前那么几个计算出来。 n 等于大的时候，一的左边这肯定是偶数，因为它有 二这个因子，后面二乘三，一直乘左边肯定是偶数，过去右边也是偶数，从而 n 它是一个基数，因为这里是一个偶数的话，那么 n 的 k 字名就一定是个基数，从而 n 是 基数。然后当 n 等于三五的时候，可以解出一个解， n 等于三十五，是可以解出这个解啊。以下是 n 大 于五，且 n 为基数，此时二分之一减一为解数，且二分之 n 减于小于 n 减三，那么在它比较大的时候呢？ 故二倍的乘以二，乘以二倍的 n 减一，是整除 n 减二结成。因为我们这里有 呃二分之 n 减一，它是小于 n 减三的，所以二分之 n 减一，它是在小于 n 减三，是在这个一乘以减二里面的某个数，同时二也是里面的一个数， 所以这两个是整除它的，即 n 减一是整除 n 减二的这样一个结成。 因此 n 减一的平方是整除 n 减一的结成的。 这就是两边乘了一个 n 减一啊，即 n 减一的平方整除 a 的 k 次幂减一。那这里为什么呃去导出 n 减一的列成呢？就是为了导出我们的 n 的 k 次幂减一，就是这里。 另一方面，由二项式定义我们的 n 减一的 k 次方减一。我们这里导出来了 n 减一的 平方，跟 a 减一， n 的 k 次幂减一的一个关系。接下来就进一步导出 n 减一跟它的关系。 n 可以 分解为 n 减一加一，所以 n 的 k 次方减一就等于 n 减一加一的 k 次方减一。那么通过二三式定力把它展开的话， 那 n 减一它前面都是大于平方的项，那除了一次一次，它的前面的次数也是 k， 然后加一的话，和后面的减一抵消掉了。 由二三推出 n 减一的平方整除 k 的 n 减一，即 n 减一整除 k， 故 k 大 于等于 n 加二，乘以 n 的 k 乘以减一，大于 n 减一的阶乘。 那这里根据我们的整除，等到 k 大 于等于 n 减一，然后得到这个代数，这表明大于二是方程没有整数解，因为这肯定是大于他的，所以他们不可能相等， 所以他全部正整数就是我们前面导出来的一系列。上面解法的关键是，在 n 大 于五的时候，你用整除给出 k 的 不等式 k 大 于等于 n 减一，进而利用不等式证明 e 无解。论证的第一步是对基数证明 n 减一的平方指数 n 减一，接着这个事实是下面结果一个特别清晰，就是这个定义，大家可以再自己证明一下。 论证第二步是利用 n 减一除 n 的 k 次方减一 n 减一的平方。这其实不必应用二项式定义，只需注意，那这个也就是 x 加一括号的 k 次幂减一的展开式，它是一个关于 x 的 整系数的式，用整数项为零，而一次项系数为 k。 若应用下一项同余，则可以更为接地气的证明， n 减一整除 k 直接等， 因为 n 的 k 次幂减一等于 n 减一乘以一系列，从而 n 的 i 次幂 y。 那 这后面的一系列呢？是我们在介绍同余之后，大家可以自己来进行学习 啊，这也其实也就是同余的一个利用，跟我们利用这个不等式展开可以达到一样的效果。我们来看一下。第五， 求出不定方程，这整个的全部整数解，那我们来观察这个不定方程 啊，右边的最高次数是二，左边的最高次数是三，那这个它们要相等的话，我们知道 x 和 y 肯定不能够太大，所以它们之间 x y 肯定有个限制。 然后这里是 x 的 三次方加 s y， 也就是 s 和 平方乘 s 加 y， 这里是 s y 平方加 y 的 三十万就是，呃， y 平方乘 s y， 那 有个 s 平方， y 平方，这也有个 s y 平方， 嗯，可以把 s 平方和 y 平方挪到一起，因为我们知道，呃，当 s y 是 整数的时候，整数的时候 s 方加 y 方是大于等于二倍 y 的， 那这右边剩一个 x y 的 话，那我们可以用估计法来解决。 嗯，首先 y 方程左端是关于 y 的 三次端式，右边是二次多项式，嗯，绝对值一般应大于二次的，所以有希望用估计法解决 哦。我们把 s 平方和 y 平方挪到一边，有这样的十字，那我们知道 s 平方加 y 平方，它是大于等于，我们知道 s 平方 y 平方是大于等于二倍 x y 的， 所以这里是八倍 x y 加一， 那这里我我们猜一下它可能的绝对值是在四以内，或者是在五以内的话，那就可以去讨论它在大于五的时候是不是不成立，和小于五的时候是不成立。 好，若 x y 减八大于等于六，在这里大于五，也可以先尝试去讨论一下。则 x y 大 于等于十四， 从而 s 方加外方，也就是二分之二倍的 s 方加外方，让 s 方加外方大于等于二 x y， 所以 它就是大于等于二分之 s 方加外方加二 x y， 也就是大于等于二分之 s 加 y 的 平方是大于四的，那这里，呃，为什么是取大于四？是主要是为了后面要凑八， 嗯，这是一的左端大于等于六倍的 s 方加 y 方等于四倍的 s 方加外方加二倍 s 方加外方， 那这里四倍的就凑出来八 y， 那 后面我们取这个四又凑出来个八，所以这个左端它是大于我们的右，呃，这里的右端的，所以在这个时候是不成立的。那接下来我们看它绝对值小于嗯，五的时候 啊。若 x 减 y 小 于等于负四，那这里也可以去讨论它和负五的时候。嗯，则 s 加 y 小 于等于四，这个时候一的左端它就小于等于负四的 s 方加外方小于负四，乘以二倍的 s 角值， y 的 角值小于等于八倍 s y 小 于八倍， s y 加一，所以这个时候也是不成立的。这样的话，我们就把它这个范围宽选在了负四到五之间， 所以那我们可以单一起解决。另外一方面可以进一步的观察，因为意识的左端这边应该是一个偶数，这对字 x 和 y 的 奇偶型必须相同， 因为它是一个偶数，所以 x y 奇偶性必须相同，从而可知 x y 减八是个偶数，所以它只能是这四个可能性。然后这四个可能性的话，结合一，通过检验我们就可以得出它的所有的一个 整数解， 呃，那解法二，它是为 u 等于 x y， v 等于 x y， 主要是因为我们这里的呃一个方程它还是 属属于，是一个轮换对称式，就是我们把 x 换成 y， y 换成 x， 它是嗯，不，不变的。所以我们设 u 等于 x， y v 等于 x y 的 话， 呃，这样的话，它是一定能够分解成这种形式的啊。同时根据我们刚刚的一个分解，也可以很好的看出它是设为 u 的 x y 和 v 的 x y， 呃，是可以简化这个方程， 进而 u 的 三次方减二，幺 v 等于八倍的 u 方减八， v 加八，由此可见， u 是 偶数。设 u 等于二 w， 那这里进一步把 u 设为二 w 呢？嗯，也就是为了后面的，嗯，更进一步，把这个多余的给它二，给它约掉，写二 w 三次方就啊 v w 等于八 w 平方减二， v 加二， 那这样可以解出 v。 其实这也就是我们常用的，比如说 s 加 y 等于这个不定方程，我们把 x 移到一边，用 s 等于一减 y 来，那变成两个的式子的话，我们就把想办法把呃 v 跟 呃 w 来表出来。如果我们不定 o u 等于二 w 的 话，那这里后面会出现呃很多的分式，会不太方便。嗯，因此 w 减二是十八的约束。即使这些可能， 那这也框定了它的一个可能范围。现在还是比较少的啊。那结合它的四，可以确定 v， 进而我们可以确定它的所有的整数。减， 注意，求得一组，嗯， w 和 v 的 值则相等的。 x y 为整数，等价于 w 减 v 为完全平方数。那么这里这个条件主要是为了个好判断，但是你如果一时想不到，也可以不用这条件。那么这里呢？ 你如果证证明的话，可以把我们的，嗯，嗯， w 等于二分之啊， x y y v 等于 x y 带进去。首先，如果它是一个， 呃，首先把我们的 w 等于二分之 x y， v 等于 x y 带进去的话，可以把它拆开，发现它。当 x y 是 正整数的话，是一个完全平方数。 那反过来，呃，把它带进去，如它后面是一个完全平方数，呃，它是一个完全平方数。如果我们的 s y 不是 个正整数的话，那可以说明它这个 不应该是个完全平方数。比如说二分之三块的平方，它不会是一个完全平方数。所以也可以说明我们 x y 为整数。 圆方程的左右两边均是关于 x y 的 一个二元对称多项式。即把 s 和 y 进行调换的话，是不改变这个方程的样子的，呃，因此必然表示为 u 等于 x y， v 等于 x y 的 多项式。 嗯，对本题而言，这一表示的优点在于导出的方程是关于 v 是 一次方程，从而可解除 v， 用 w 表示，即一个降次的作用。

在这里整除问题中，有时直接证明 b 整除 a 不 易入手，我们可以尝试选择适当的一个中间量，那这个中间量的选择呢？首先就要观察这个式子我们需要的是什么样的表达式，然后结合自己 积累的一些分解式，比如说 a 方减 b 方，等于 a 加 b 乘 a 减 b 这样的来，嗯，证明 b 整除 c 及 c 整除 a， 以此由整除性质的一个传递性来进行证明。 再来看一下例三，对正整数 n 记 s， n 为 n 的 实性质表示中数码之合，证明九整数 n 的 充分必要条件是九整数 n， 那 么这一题呢？它涉及到一个 s， n 和 n。 首先我们想办法把 s， n 和 n 表示出来，比如说我们实记之中就是我们平常常用的二十三，像这种表达式就是实记制，我们要把它的 s， n 和 n 同时表达出来， n 比较好表示，那这里的 s 要表示出来，我们就可以设它的每位数码上的数字，比如说三为 a 零，那就是 a 零加上 a 一， 而我们的 n 如果设出来它们每个数咋上的数码，那它也可以表示出来，就是 a 一 乘以十加上 a 零， 这里就是我们的二乘以十加上三，这就是二乘以三。通过我们设每位数码上面的数字字母，那我们可以同时表示出 s， n 和 n， 那 当我们设出来， 比如说像这里，因为我们不知道 n 跟 s， n 到底是多少位，所以可能后面就是加到 k 位，那就是 ak 加上十的 k 次幂，那像这里是两位的话，它要和九建立联系，那我们可以看到 a 一 乘以十 和 a 一， 如果用上式减下式的话，它会说出来一个九，那如果是十的 case 米减去下式的话，那十的 case 米减一。通过我们的分解式也可以分解出来一个九。 所以我们可以想到先把 n 跟 s n 射出来，射 n 等于 a， k 乘以十的 k， 次幂一直加，这里加到 a 一 乘以十的 a 一 乘以十加上 a 零，每个 a i 是 大于等于零小于九的， 那且 a 不 a， k 不 等于零，就是为了保证我们这个射的是它的最大数，最高位的一个数字， 则 s n 可以 表示出来，那这个时候 n 减 s， n 是 现在这样一个表达式。我们知道九是整除十的 i， 次幂减一的， 这个 i 大 于等于一，所以我们有九是整除左边整个式子的，那么九是整除 n 减 s n。 这个时候如果九整除 n 的 话， 九就一定整出 sn， 如果九不整出 n， 但是九整出 n 加 sn， 那 么九就一定不整出 sn。 这就证明了我们的九整出 n 的 充分必要条件是九整出 sn。 整除性质二提供了证明 b 整出 a 一 加 a， 二加上 a n 的 一种基本的想法， 就是我们可以尝试证明 b 整除 a 一， b 整除 a 二，一直到 b 整除 a n， 这样就加起来证明 b 了。 b 整除 a 一 加 a 二加 a n， 即证明 b 整除每个 a n。 但是这情况不一定随时成立，比如说三是整除一加二加三的， 但是我们知道三它是不整除一的。所以其实在不成形的情况下，我们常有一种作效的变变通，就是把 a 一 加 a 二一直加 a k a n 进行一个组合， c 一 加 c 二 c k。 比如说像这里，我们把一加二进行一个组合，一加二等于三，三是整除三的，而 b 整除 ci。 这样子我们就可以证明了 b 是 整除 a， 一 加二加 a n 的。 有时为了证明 b 整除 a， 我 们常针对具体问题，将 a 分 解为适当数之合，也应用上述的想法进行论证， 也就是把 a 进行一个适当的分解，这个分解不一定是把每一个拿出来，也可以进行一个组合。 第三个证明实际上给出了更强的结论。对于这种是 n 竖 n 与 s n 之差总是九的倍数，我们证明了九整除， n 减 s n， 由此预知 n 与 s n 被九除得的余数相同。 嗯，假设我们设 n 等于呃九， q 一 加 r 一， s n 等于九 q 二加 r 二。 两式相减 n 减 s n 就是 等于九倍的 q 一 减 q 二加上 r 一 减 r 二。因为九是整周 n 减 s n 的， 所以我们的 r 一 减二等于零，即 r 一 等于 r 二 即 n 与 s n 被九除得的余数相同，这可表示为 n 与 s n 某九同余。这个我们在同余的时候会学到。 有些情形，我们能够用正整数实记制表示中数码的性质，推断这些数字能否被一个数整除，常称为整除的数字特征。 比如说二五十被二整除的话，它的尾数是零、二、四、六、八， 嗯，还有五根十的就更明显了啊。逆三则给出了被九整除了十的数字特征， 因为我们知道，呃被九整除的充分必要条件是呃它 s n 被九整除及 n， 它的数码之合是被九整除，那我们就可以证明 n 被九整除。 这一结果应用相当广泛且灵活多样。另外，我们在 ct 一 的第三题也给出了嗯，数被十一整除的数的数字特征，大家可以自己刻下去完成一下。 第四，设 k 大 于的一是一个基数，即 k 是 一个正基数，证明对任意正整数 n 数一的 k 次幂加二的 k 次幂一直加了 n 的 k 次幂，不能被 n 加二整除， 不能被 n 加二整除，那么这里它也是一个一的 case 谜，二的 case 谜，一个数的 case 谜？多少次谜，然后被 n 加二整除，那大家可能也第一下可以想到运用我们的分解式，那运用我们的分解式呢？这里 二的 case 米加 n 的 case 米， case 的 正基数，它是可以分解成一个 n 加二的，但是中间因为我们完全不知道它到底是什么样的呃情形，有多少个，所以直接去呃一个一个配对还比较麻烦。那我们可以在外面 给他多加一个 n 的 case 米， n 的 case 米给他加个二的 case 米，中间类似 配出来一个 n 加二，然后我们看到这个就是我们整个数字减一，所以我们最后给它加个一的 case 尾就好， 也就是我们有二倍的这个整个数呢，我们可以通过嗯分解式去证明他和 n 加二之间的一个关系。那这样我们找到他的二倍和 n 加二之间关系，就可以找到他和 n 加二之间的一个关系。 n 等于一时减的显然成立。也就是啊，一不能被二整除。设 n 大 于等于二，既所说的和为 a， 这个数为 a， 那 么二 a 就 等于 一加一，这里是一的 case 加一的 case 倍是一个二。然后后面根据这样的一个，也就是啊 i 减去啊 n 加二减 i 的一个表达式，然后这样子我们可以得到 n 加二，它是整除后面的每一个数字的。所以如果要 n 加二是整除二 a 的 话，那么 n 加二要整除二，但是我们知道 n 加二不整除二，所以 n 加二是不整除二 a 的， 故二 a 被 n 加二除得的余数是二，从而我们知道 a 不 可能被 n 加二整除。 接下来再看第五啊这里的分解运用了一个配对法。配对法这个 方法也是我们在证明时常用的一个方法，也就是在我们先观察这个数字，需要用到一个呃比较明显的配对，可以得出来好的结果的时候，我们可以尝试给他通过加成的方式 进行配对。接下来看例五，设 a， m， n 均是正整数， a 大 于等于二，让我们证明 a 的 m 次幂减一。整数 a 的 n 次幂减一的充分必要条件是 m 整数 n 重要条件。 那么这里我们由 m 减除 n 来证明 a 的 m 次幺减一，减除 a 的 n 次幺减一是非常好证明的，因为我们由刚刚所学的一个分解式 m 整除 n， 它存在一个整数 u， 使得 n 的 u m， 所以 后面是可以分解出来 a 的 m 减一这样一个音式的。那么如何从 a 的 m 次幂减一，整除 a 的 n 次幂减一来推出 m 整除 n 呢？ 那这里要探讨的是 m 跟 n 之间的关系。我们就可以用代入除法，首先设 n 等于 m， q 加 r， 然后代入这个呃已知的这个整除关系式中， 那我们就可以去探讨 r 跟 m 的 一个关系，因为我们知道 n 等于 m， q 加 r 的 话，这个 r 它是要大于等于零小 m 的。 那就我们可以利用这一点去呃导出矛盾来证明这个 r 是 等于零。 若 m 整除 n， 则 n 等于 m k， 那 根据分解式，我们有这个整除关系。 反过来，如果已知 a 的 m 次幂减一，整除 a 的 n 次幂减一，作代一除化反射， n 等于 mk 加 r， r 是 大于等于小于 m 的， 因为 a 的 m 次幂减一，它是整除 a 的 n 次幂减一。所以我们把 a 的 n 次幂减一分解一下，分解出来一个 a 的 m 次幂减一的倍数的 把这个 a 的 m k 次幂拿出来，也就是它乘以 a 的 r 次幂，然后多了一个 a 的 r 次幂减一。现在我们 a 的 m 次幂整除 a 的 n 次幂减一， 那么就由 a 的 n 次幂减一，它是整除 a 的 r 次幂减一的。但是我们的 r 是 大于等于零小于 m， 我们根据整除的那个绝对值的性质，一个绝对值的性质，所以 a 的 r 次幺减一的绝对值，如果它不等零的话，它要大于等于 a 的 m 次幺减一绝对值。根据 r 大 于等于零小于 m， 它不等于零是不可能的。所以只有 a 的 r 次幂减一等于零，即 a 的 r 次幂等于零， a 的 r 次幂等于零， r 等于零 大于。除法提供了间接证明 b 整除 a 的 一个平台，与前面的例子呢，完全不同，我们先做出 a 等于 b， q 加 r， 然后去讨论这个 r 的 范围， 也就是 r 大 于等于零小于 b 这个条件，用这个条件来证明我们想要的。

你孩子还在拆题，张张学生早已看透本质，你一定要成为张张学生！凌晨两点，您的孩子还在书桌前煎熬，素材本翻烂了，放人背了无数篇， 可面对新题目依然无从下笔。这不是孩子的错，是整个作文教学方向错了。第一， 高中作文的残酷真相，高考作文六十分，上海、江苏等地高达七十分，这几分之差可能直接决定的是九八五还是普通一本。更残酷的是，数学、英语差距再缩小。 理中文中分数高度密集作文成了最后的价值洼地，但绝大多数学生仍在用错误的方式努力盲目背范文、机械套模板拆题押宝， 结果永远被困在四十二至四十八分的中等分数陷阱。第二， 三十六年的动物我是张张，教阅读写作已三十六年，指导学生全国新概念作文大赛奖项，该奖项每年每省仅三至四人，学生语文中考一百四十三分。 还有学生语文高中三年持续保持在一百三十八至一百四十加的高分，也帮助无数普通孩子赢得高分。这些年，张张最大的发现，真正的高分作文不是写出来的，是设计出来的。 就像建筑师不需要背下每一栋楼的设计图，只需要掌握历学原理和美学法则。张张一篇文体系就是帮学生掌握写作的第一性原理。 第三，破局之道。一篇文的战略价值。第一，挖掘认知内核。张张常用苏格拉底式的追问， 帮学生找到思想的支点。当你说要坚守传统时，你坚守的具体是什么？在人工智能时代，你的哪些能力不可替代？ 这些问题没有标准答案，却能激发真正的思考。第二，构建思维框架。好作文不是词藻的堆砌，而是思想的精准呈现。 张张教学生如何让论点的梁柱坚挺，如何让论句的专识觅食，如何在思想的断层处搭桥，这不是写作技巧，这是思维训练。第三， 实战迁移训练。我们不做题海战术，而是进行精准的认知迁移。用一个思想内核应对不同主题，用一个论据框架适配各类题目，用同一种表达方式展现个性思考。 第四，为什么这个方法能创造奇迹？去年指导一学生最有说服力，他用围棋哲学这个思想内核写创新时谈本手妙，手熟手得辨正关系，写成长时论大事与实地 的平衡智慧，写文化史，述其道中的东方哲学。最终作文的高分考入理想大学，这不是个例，而是可复制的系统。第五， 时间的战略价。高三最宝贵的是时间。张张方法最大的优势是用一篇文的深度思考，替代百篇的无效练习。当别人在题海中挣扎，张张学生已经在构将自己的思想体系。真正的教育 不是灌输，是启发。高分应该来自深度，而非体谅。思维能力和应试技巧都重要。那么，张张邀请你体验经过三十六年验证的方法， 高考作文冲刺指导费用三万元，这不是一笔开销，而是对孩子思维能力的终身投资。教育的本质是让每个孩子找到属于自己的思想航道，当他们学会独立思考时， 高分只是顺便的结果。我们不聊虚的，就从高考这一篇文开始聊起，用最少的投入实现最大的突破。你需要怎么写出高分文的做法？发送给你评论区回复高分！

大家好，我是小鸭江学校六零二班的杜晨浩，我很高兴为大家讲解数学说题，大家请看这道题。一个底面直径是十 cm， 高是八 cm 的 圆柱形容器中装着一些水， 把一个石块完全进入水中，水面上升了二 c m， 求石块的体积。我们先通过画图来理解这道题目的意思，先画一个圆 柱 标上底面直径和高。 圆柱形容器中有一些水，因此要画上些水， 把一个石块完全进入水中， 水面上升了二 c m， 求十块的体积。十块是一个不规则物体，要求这个不规则物体的体积。我们要研究十块的体积和圆柱形容器内水上升部分的体积。 通过信息分析发现十块的体积等于圆柱形容器内水上升部分的体积，因此求十块的体积其实就是求高为二 c m 的 圆柱形圆柱体体积。通过信通过信息分析发现高是八 cm， 这是一个多余条件， 不必考虑。要求圆柱的体积，先求圆柱的底面半径， r 等于十除以二等于五，括号 c m 括号 r。 圆柱的体积公式是， v， 圆柱等于 pi r 平方， h 等于三点一四乘五平方乘二等于一百五十七，括号 cm 立方。 计算正确吗？我们来验证一下吧。把体积是一百五十七立方厘米的石块完全进入到底面直径是十 cm 的 圆柱形中，水面是不是真的上升二 cm？ 因为十块的体积等于圆柱形容器内水上升部分的体积，因此我们可以用体积除以圆柱的底面积等于圆柱的高来验证。利用公式， h 等于 v 除以 s 等于三点一四乘五平方分之 一百五十七等于二括号 cm 括号。 通过计算发现体积是一百五十七立方厘米的石块完全进入到底面，直径是十 cm 的 圆柱形容器中水面正好上升二 cm， 因此题目中解答是正确的。最后写上答， 达十块的体积是 一百五十七 cm 立方。 题目做完了，那么以后遇到这类题的时候要注意什么呢？一、可以先通过画图来理解题目意思，不规则物体完全进入水中的时候，不规则物体的体积等于水上升部分的体积。 二、这样就把不规则物体的体积转化成为了规则的圆柱体体积。如果水是放在圆柱体，圆柱形容器里的不规则物体体积就转化成为了求圆柱体体积。 如果水是放在正方体或长方体容器里的不规则物体，体积就转化成为了求长方体积。 三、验证的时候，可以根据题目的意思，把问题变成信息，把其中一个信息变成要求的问题。我的说题讲完了，谢谢大家。

当然同学们都觉得我很厉害啊，赞美之词听的也比较多，但是我真的觉得还是努力大于天赋。就比如说我刚搞完 c m o 回来的那段时间，也是会犯各种各样的低级失误啊，不去静下心来 持续的努力去巩固，你也不可能取得一个非常高的分数。所以我觉得不管是高中学习还是竞赛学习，我的理解都是努力会大于天赋， 最重要的方法就是努力然后自律。因为数学这个东西其实真的没有太多的巧可以讲，你想学会，你想会做题，你就需要一个持之以恒的训练和一个刻苦的学习，当然除非你是那种天赋怪，我觉得我并不算 数学竞赛上的天赋怪，所以我会选择通过自律和努力来达到一个比较好的成绩。我会拿一些笔记本去记录我平时见到的比较新奇的这种解析手法，或者我没见过的一些定力，然后去拓展自己的这种知识面。 我把学校给我的学习竞赛的时间全部拿来学竞赛了，然后中午和晚上的自习时间，我会在就是选择性的做完综合作业之后就去学习竞赛的东西。 我们班学习氛围还挺好的，我觉得这也是二中的一个可能比较大的优点吧，就是同学们包括老师们都没有太过于强调这个竞争，我们在班上都是互帮互助的，可能你有一道题不会，我会帮你解答，然后我有一道题不会，我也可以去问你， 就是大家会在这样的共同的学习中一起取得进步。个人会把自己的姿态放的比较低吧，因为我觉得 太过骄傲了也并不是什么好事，所以我会继续秉持一个谦虚的心态，我始终是相信人外有人天外有天的，然后竞赛的学习让我更加深刻的认识到了这一点。

今天来讲一下关于数学竞赛的真相，其实根据我多年的研究发现，其实小学奥数就是什么？就是把初中的知识点下放到小学，然后用小学的方法去解初中的知识， 那初中竞赛就是拿什么？拿高中的内容下放到初中，然后再用 初中的方法去解，那高中竞赛就是拿大学的知识来高中，然后再用高中的方法去解大学的知识，其实就那么简单，压根没什么玄乎的。

想要搞好高中数学竞赛，平时数学一百二十分以上的同学可以看一下这本书。数学奥林匹克小丛书系列高中数学竞赛中的答题方法与策略也叫小蓝本，它集齐了中国所有的数学大咖，我们来看一下这本书的编委， 他们的履历简直让人惊叹，所以这本书的含金量也是可想而知的，并且这已经是发行的第三版了。它是以竞赛的问题为题体， 通过二十个专题介绍重要的数学思想、方法、答题策略和技巧，探讨数学答题的基本原理。 全套的话一共是十八本，比高考的难度略高一点。如果想要搞好数学竞赛，数学冲击高分的同学，那他应该是非常合适的参考书。他是由华东师范大学出版社荣誉出品的， 包装精美，封面采用这种防水的环保的印刷，纸张结实耐用。如果你也觉得不错，那可以点击左下角的小黄车准备起来。

有一次因为我这个数学成绩一直都不是很好，是一直到了高三上学期，我还是只能考个大概七八十分，我爸就有点着急了，他说，耶，这个数学成绩不会影响我女儿成才吧，他就给我找了一个补课老师，据说当时还是教过那种 奥数班，竞赛班的这种很厉害的数学老师。我当时就跟我爸说，你说需要找这么厉害的老师吗？就我这种水平，你找个普通老师教我岂不是绰绰有余？我爸说，你不懂，正是因为要教你才得找最好的老师，普通老师根本教不了你。我说为什么？ 因为我资质惊人，他都没有，因为你特别笨。我说，耶，你不要搞人身攻击，我数学不好也有可能是遗传的原因。他说，你狗屁的你爸我数学很好，一加一等于二，二加二等于五，你爸数学能不好？我网当遗传病就去补课了。我印象很深刻，特别贵，一个小时 四百块，上一个下午的课要八百块，当时的物价来讲是天价了，我每次去上课，我也总觉得我得学点回本我才觉得值。结果我发现这个老师很不一样，我每次到他家里，他姥就会在那卤鸡腿，卤那种特别大的一个鸡腿，拿在手上有半张脸那么大，一次卤五六个，全部放在一个大棚子里， 在我们上课的时候就拿出来放到我们中间，我一开始还不好意思，后面直到那个老师拿起第一只鸡腿，一边吃一边教的时候，我也放下心来了，他就这样子拿着鸡腿啊， 你看韩束这个东西，其实韩我说，嘿嘿，韩宁撒宁撒宁撒。基本上四个小时以后，我们就会把这些鸡腿全部消灭光。其实这个课上了什么我是一点想不起来了，我只记得我后面每一天都在期待的周末的到来，期待去这个老师家里补课， 因为鸡腿又香又好吃，有时候还有糖果，有薯片，有薯条。这个老师教了我几节课以后，他就跟我讲，我发现你其实还挺有天赋的，在数学方面。我一听，我说，啊， 真的吗？有天赋吗？他说，对，我发现你很聪明啊，你可能是个数学小天才。我说，哎，真的吗？老师他说，真的，你之前就是没开窍， 你一开窍啊，我觉得奥数比赛你也不在话下。我说，真的吗？老师，好好。这个老师就教了我一招，他让我把我所有的错题写在一个笔记本上，就用手写， 写完重做，再做，再错再写。我每一次上课，我那个错题本就一直变多，慢慢的我发现我的错题又变少了，直到最后我就发现好像数学题都不难了。差不多上了一个月左右的课，我的成绩确实已经在这一个月内突飞猛进了， 从七十多分可以考到一百三，一百四，甚至有的时候差几分就能考满分。我爸爸就说，你不会是数学魔童吧， 怎么突然这么厉害？我说，我也不知道，真的是金钱的力量。后面我还是意犹未尽，我还想去上课，但我爸告诉我说，基本上这个金钱的力量已经不行了，因为金钱已经没有了，我就没有再上课了。我就把这个补课老师的话听进去了，我就越来越觉得我这个数学很厉害，天才，天赋异禀， 我的数学成绩一路直线上升。我爸当时觉得有了，这下真的有了。那基本上是重点大学已经尽在掌握了。结果高考的时候数学成绩一百四十七分。文综啊，平时擅长的语文也只考到了及格线。我爸看着成绩的时候说其实还不如不去补课。

离谱！高中数学联赛一试居然考了一道小学奥数题，看着难到爆炸！其实小学生都能看懂，题目是用一到九步重复排成三个，三位数相加等于两千零二十五，问有多少种排列？ 答案是一九四四。解析核心就两步，先拆分再分析，把三位数拆成百位十位个位， 单独研究每一位，再看进位关系，瞬间就简单了。难点根本不是知识点， 而是严谨和细节。一步错，答案直接跑偏。很多人会漏算多算，要么把九看成八，要么把六算成五。正确做法是分类有序，每举别乱数，再用乘法原理乘起来，还能用连线法， 数线条就搞定。完全用不到高数就考数位分解加排列组合。联赛题考成这样真的太反套路了！

大家好，今天呢，我们来看一下相等向量与共向量这两个向量的定义有什么关系？在课本上呢，他画了两条，一个红色的向量 a， 一个绿色的向量 b， 那 么这两个向量的方向呢？我们看出来他们是相反的，方向相反，那我们在这有一个定义，就是方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 那结合我们初中数学讲过的平行的问题，他们实际呢是类似的啊，这个平行向量在这方向可以相同，也可以相反， 那么在这种情况下，我们都把它叫做平行向量。那么这个平行向量怎么表示呢？就是向量 a 和向量 b 平行，我们就可以表示为向量 a 平行 b。 那 当我们写的时候是要这样写的，向量 a 平行向量 b。 好，那么我们规定零向量与任意的向量是平行的。上节课我们说了，零向量它的大小也就它的长度是零，但是它的方向是任意的，既然方向是任意的，所以零向量与任意向量都是平行的。 记住，于任意向量 a 都有零向量，零平行于向量 a， 那么长度相等且方向相同的向量叫做相等的向量。这一个和平向量的一个区别啊，就是它的长度相同，而且方向也相同。满足这两点的向量，我们把它叫做相等向量。 相等向量，方向相反不叫相等向量，大小不同也不叫相等的向量。方向必须相同，而且大小也相同，才叫做相等的向量。我们在这呢直接可以表示为向量 a 等于向量 b， 这是相等向量的一个表示。 任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段来表示，并且呢，与有向线段的起点无关。 一定注意这一种啊，和起点是无关的。同时两条方向相同且长度相等的有限线段，表示的就是同一个向量， 因为向量完全由它的膜和它的方向是来确定。比如说课本上给了我们这么一个例子，如图六根七 abc 是 一组平行的向量，任做一条与 a 所在直线平行的直线 l， 那 么在 l 上任取一点 o， 则可在 l 上分别做出 o a 等于向量 a 就是 做的这条红色的线段啊， o a 就是 向量 a， 它和向量 a 是 相同的， 那么 o b 就 可以等于等于向量 b 啊，也就 o b 和 o a 呢，它们可以是重合的。因为刚才我们说过啊， 就是这个项链，他不是固定的，不是说，哎，项链 a 在 这，项链 b 就 必须在这个位置上，不，他们是可以 可以在这个空间里边可以随处移动。比如说这一支笔，我放在这个位置上，他是一支笔，但是我稍微向下拉一点呢，他还是这支笔，他的方向不变，大小长度不变，也就是说这个项链和这个项链是完全相同的两个项链，但是你方向不能变 啊，如果一开始给的这支笔方向是在这，但是呢，我稍微倾斜了一下，那这就是两个不同的项链。但是如果方向不变，大小不变，我可以给他放在空间当中的任意位置，他们都是同一个项链。你可以这样来理解 啊，都是同一个项链，他是，也就说他的位置呢，可以是随时随地移动的，只要大小不变，方向不变，表示的就是同一个项链。 好，那么这个问题解决掉，我们在这还有一个名词叫做什么叫做贡献项链。贡献项链是什么呢？就是说 方向相同和相反的项链呢，都可以平行到同一条直线上，让它们贡献，那么这个项链，这几个项链就叫做贡献项链的定义呢？是一样的，所以呢，在这有句话叫平行项链，也叫做贡献项链， 所以这三个名词呢，一个是平行向量，一个共向量，一个是相等的向量，这三个名词不要把它搞混啊，你可以平行向量和共向量，实际它们是一回事 啊，那么相等的向量就要严格一些，就是大小要相同，方向要相同的向量才是相等的向量啊。接下来我们来看这一道例题， 他说 o 呢，是正六边形 a， b， c， d， e， f 的 中心，写出图中的共向量， 那么我们就想想，共向量就是它们可以平行的平行，大小不一定相同，只要平行就叫做共向量。好，我们再来看这个 o a， 可哪个是共向量 向量 o a 呢？我们来找一下，因为它们是正六平行，所以 o a 和和，哪个和 c b， 它是平行的，所以它们是共向量。那我们来仔细观察还有没有，还有这是 d o， 这也叫做共向量，还有 e f 啊，这都是共向量或者 f e 啊，共向量。把这个图放大一下，我们可能看的更清楚一些 啊，供应向量，因为这个图上它是有箭头的好吧，好了，所以于这个 o a 啊，于 o a， 于这个 o a 共线的向量呢，就是一个 o a， 它这是箭头 o a， 然后向量 c， b， 还有向量 f e， 朝向 e 的 f e 以及向量 d o， 这都是共线的向量，那么其他的也类似，也是一样的，以此类推。 那么第二本分别写出图中与 o a、 o b、 o c 相等的向量。注意啊， 我们要写相等的向量，一定是大小相同，而且方向相同，你说方向怎么相同？只要它平行，只要它平行，方向相同，都是由某一个地方指向另一个地方， 它就是相等的向量。比如说 o a， 向量 o a， 那 谁和向量 o a 是 相等的向量呢？那就是向量 c b 来，你看 o a 和 c b， 它就是平行的，而且它们的方向也是相同的，这就叫做相等的向量。 那还有没有？还有 d o， 这 d o 和 o a 也是相等的向量，我们可以写成 d o a 等于 c， b 等于 d o。 好， 那再来一个，就说还有没有，我们再来找 o b， 那 有没有和 o b 相同呢？ o b 好， 由 a 指，由 o 指向 b， 那 和 o b 相同的向量呢？就是向量 d c， 这是一个啊，向量 d c， 然后还有向量 d o， 啊，这是和 o b 相同的向量，还有没有？嗯，如果在这课本上啊，课本上这个图里边是没有吧。当然我们可以可以理解为向量 fa 啊，和它们都是相等向量，依次类推， 这就是这几个定义的一个区别啊，相等向量，平行向量，它们之间到底有什么区别？通过这节课呢，我们对它加深一个了解。