等边三角形判定方法

大家好，本节课我们学习一下第二节的第三课时等边三角形的判定，这是第一个知识点，第二个知识点画比较长，是含有三十度的直角三角形的性质，本节课两个知识点，第一个比较简单，第二个稍微难理解一点，但是大家记结论即可。 下面开始本节课的学习。首先我们上节课学习的证明等腰三角形方法两种，第一种定义，两边相等的三角形叫等腰三角形。第二， 等角对等边，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。那本节课我们学习一下等边三角形该如何判定呢？ 首先我们知道等边三角形的定义，三条边都相等的三角形是等腰三角形，所以在一个三角形中，如果我能证明有三条边都是相等的，那他就一定是等边三角形。 好，那除了这样的判定，还有没有其他方法呢？这时候我们结合上节课学习的一个知识点，叫做等角对等边，请大家思考一下如何使用等角对等边与三边都相等的这个定义，综合使用来判定三角形是等边三角形。 那这时候我们也不带大家进行探讨了，直接说结论。首先第一个结论，如果一个三角形中三个角都相等，那这个三角形一定是等边三角形。 大家肯定觉得这句话是理所应当的，因为我们之前学过等边三角形的性质是三个内角都相等， 但这是性质，我们本节课学习的是一种判定，已知三个内角相等，让你证明他是等边三角形，那这里直接把过程给大家展示一下。首先我们能知道三角形内角和是一百八十度，如果三个角都相等，那这三个角肯定都是六十度。 我们分开写一下，如果角 a 等于角 b 的 话，那么它们的对边，根据等角对等边肯定相等，就有 a c 等于 b c。 同理，如果我们看角 b 等于角 c 的 话，它就有 a， c 是 等于 ab 的。 在这请注意， a、 c 和 bc 相等， a、 c 又和 ab 相等，那根据等量代换，我就能把这三个式子串到一起，得到 a、 c 等于 ab 等于 bc， 那 得到了这个知识点，这不就是我们等边三角形的定义吗？所以此时就证明了三角形 abc 是 一个等边三角形。好，刚才我们证明的是一个普通的三角形 要满足什么条件是等边三角形呀？答案是，第一，三边都相等，第二，三个内角都相等。那此时我们在等普通三角形的基础上，给它稍微扩充一点，或者说变成一个特殊的等腰三角形。 问，你现在告诉你一个三角形是等腰三角形，它满足什么条件的时候会变成等边三角形呢？ 这里我们直接给大家说一下，我们重点是想推其中一个角，所以直接把问题给大家进行了详细区分。在这 如果有一个角是六十度的等腰三角形，那他是否是等边三角形呢？这地方的证明过程直接给大家说一下，不让大家自己证明了。但是你在做这种题目的时候，一定要有一个想象的点是只告诉你一个角是六十度，但是没告诉你这个六十度是 底角还是顶角。所以本道题的重点是要对这个六十度的角进行分类讨论， 这是核心要点，那咱们现在就看一下，请注意看。第一，如果这个 ab 等于 ac， 我 们会发现 abac 是 腰角 a 是 这两条腰的夹角，说明它的顶角是六十度。 好，那我们看一下，把这几个条件放到一起该如何使用呢？ 既然角 a 是 六十度，我就能知道角 b 和角 c 相加是一百二十度。然后刚才又分析完了， ab 等于 ac， 根据等边对等角，自然就有角 b 等于角 c， 角 b 加角 c 是 一百二角 b 与角 c 又相等，所以角 b 和角 c 都是六十度。 那请看 a、 b、 c 三个内角都是六十度。根据我们刚才学习的定律，那就一定可以知道了， a、 b 等于 a， c 等于 b c， 这就是我们学习的等角对等边。那最终就能得到结论，三角形 a、 b、 c 是 一个等边三角形。所以请记住，如果这个角是顶角的话， 那这个等腰三角形肯定就是等边三角形，没问题。那第二种情况还是 ab 等于 ac， 只不过这地方的角 b 是 六十度，角 b 对 应的是底角。好，那现在我们看一下，因为 ab 等于 ac， 根据等边对等角，自然就能得到角 c 也是六十度。 那三角形的角和一百八十度两个六十度在这了，剩余的角 a 肯定做减法之后也是六十度。 所以我们就得到了结论，三个角都是六十度相等，那么这个三角形一定是等边三角形。所以当这个六十度是底角的时候，等腰三角形也是一个等边三角形。那把底角 与顶角综合到一起，我们就能知道，不管这个角六十度的角是什么角，只要他满足一个内角是六十度，这个三角形就是等边三角形， 所以此时我们就能得到等边三角形的判定。第一个是我们刚才说完的三个内角都相等几何语言在这。 第二个就是和等腰三角形有关的，有一个内角是九十度的等腰三角形，它就是等边三角形几何语言在这首先明确在哪个三角形中，这个因为就说明他是一个等腰三角形。 第二个英文的部分就说明他有一个内角是六十度，满足这两个条件就能直接的结论，三角形 a、 b、 c 是 等腰三角形，是等边三角形。 好，那现在我们就能想到一个证明等边三角形的思路了，他有两种不同的思路，如果题目中给了你一个三角形，他是一个特别普通的三角形， 那么我们的思路就是证明三边相等，或者三个内角都相等 好。但如果这个三角形是一个等腰三角形的，那我们只需要再证明他只要有一个六十度的内角即可。 当然我们也可以简单的跳一点，如果我并不想直接从普通三角形跳到等边三角形，我就可以把等腰三角形看做一个中间桥梁，我多走一步路， 先用普通三角形证明他是等腰三角形，再结合等腰三角形有一个角是六十度，就能证明他是等边三角形，这就是我们常用的证明等边三角形的思路。 那下面就请大家根据我们刚才学习的内容做一下这道题目，这道题目答案不唯一，而且特别简单。 好，现在公布下答案。首先 c、 e 平行 a、 d， 并且角 a 等于角 b， 请注意 c、 e 平行 a、 d。 我 就知道产生的同位角角 a 和这个角 e 是 相等的，那角 a 等于角 b， 角 a 又等于角一，我自然就能知道这个角一和我们的角 b 是 相等的。 那这时候其实这道题就已经结束了，我们已经知道了它是一个。根据等角对等边，我就知道了三角形 b、 c、 e 是 一个等腰三角形，那只要再来一个角是六十度就行了。所以这三个角，甚至你说角 a 谁是六十度，咱们的答案都是能证明它是一个等边三角形，所以答案不唯一，我们这里只有直接跳过就行了。 那本节课第二个知识点，是我们相对来说比较难理解的知识点。首先给了大家两个完全相同的，含有三十度的三十度、 六十度、九十度的三角板，当然九十度是一个直角，大家 p 一下看能 p 成什么样的三角形呢？ p 完之后有这两种可能，因为我们重点是要学习和等边三角形有关的，所以我们就把这幅图排除掉。这幅图可以，但是我们不讨论。 好，现在我知道这个三角形 a、 b、 c 一定是一个等边三角形。为什么是？其实很简单，这是三十度，这是三十度，这是六十度，那三个内角都相等，所以它肯定是等边三角形。 那此时请注意看，我们就可以得到一个这么结论。首先两个三角板全等，我就能知道三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 d， 当然了，它不是重点，重点是我可以得到 b、 d 是 等于 c、 d 的， 那如果 b、 d 等于 c、 d， 又说明点 d 是 bc 的 中点。换句话说，我就能得到一个结论是 bc， 发现是 bc 是 等于二分之一的 bc 的， 然后刚证明了 abc 是 等于二分之一的 bc 的， 然后刚证明了 abc 是 等于二分之一的 bc 的， 然后刚证明了 bc 是等于 ab。 当然了，你也可以写它等于 ac 是 谁都可以，那我就用 ab 吧，因为我这里用的是 bd。 那 请注意看， bd 是 等于二分之一的 bc， 而 bc 和 ab 又是相等的，所以我就能得到 bc 是 等于二分之一的 ab 的。 我发现这地方 bc 怎么老是写错呢？这地方的 bc 是 等于二分之一的 ab 的。 b、 d 是 谁呀？如果在一个三角板中，我们就能知道 b、 d 是 三十度所对的角，而 ab 是 我们直角三角形的一条斜边。所以此时我们就可以大概的猜测一个结论， 三十度所对的角，三十度所对的边是斜边的一半。请注意，这个条件必须是在直角三角形中。当然啦，人家既然出现了斜边，它就肯定是直角三角形。 那现在我们就来证明一下该如何证明 abc 是 一个直角三角形，让我们证明三十度所对的直角边 bc 是 斜边 ab 的 一半。 那其实这个证明过程就和我们刚才拼出来的图是一样的，要将图形进行扩充，或者说做辅助线， 其实就是将 bc 延长至点 d， 使得 cd 等于 bc。 好，那这时候我就直接给大家写了一个异正三角形， a、 b、 c 全等。那其实异正也很简单， b、 c 等于 cd， 这是我们做出来的，既然是垂直，这两个角都是九十度相等，而 a、 c 是 一组公共边，所以 s a s 正全等， 那此时我就能得到 a b 等于 a d。 然后我们知道了这个角是三十度，这个角是六十度，这个角是九十度，这是我们能从能从题目中得到的信息。 那只要这个角是六十度，并且结合 a、 b 等于 a、 d， 它是一个等腰三角形。 所以我们最终其实这地方简单的跳了一点步骤，跳的步骤就是我刚才给大家写的，首先 bc 是 等于二分之一的 b、 d 的， 其次 b、 d 和 ab 是 相等的，那等量再换一下就能得到它是等于二分之一的 ab 的。 这地方的步骤简单的跳了一点，大家看一下即可。 那此时我们就得到了一个含有三十度角的直角三角形的性质。前提条件必须是在一个直角三角形中，如果有一个角是三十度，他所对的直角边就是斜边的一半， 这个结论大家记住即可。几何语言，在直角三角形 a、 b、 c 中，其实这个角 c 等于九十度，我们就可以不用写了。重点要突出的是角 a 等于三十度，那 bc 就是 它的对边等于斜边 ab 的 一半，这是几何语言。 好，那现在就请大家根据我们刚才学习的知识点，做一下这道题目。只不过这道题目是没有图的，所以大家先自己动手画一下图，你看你能不能根据你画的图写出已知和求证， 那现在公布下答案。首先图形大概是这个样子， abc 这个三角形是一个等腰三角形，底角都是十五度， 然后人家说了腰上的高，那其实就是我们的 ab 或者 ac 的 高，此时我们做的是 ab 的 高， 但是我们能判断出三角形 ab 的是 d， 是 一个等腰或者说钝角的等腰三角形，所以 ab 边上的高应该是在它的延长线上做的垂线，所以这个 cd 才是 ab 所在的直线上的高。这是我们的图，那已知求证就在这了。 ab 等于 ac 角， b 是 十五度， cd 是 高，让我们求 cd 等于二分之一点 ab 图形已知求证都给大家写出来了，请大家自己思考一下，你能不能做出或者说证明出我们的已知和求证？ 那现在公布下答案。这时候涉及到了我们之前学习的一个外角定律。 首先， ab 等于 ac 角 b 等于十五度，根据等边对等角，我能知道这两个角都是十五度。其次，如果你能看到这个角 d、 a、 c， 它是三角形 abc 一个外角的话， 那我就很容易知道角 d、 a、 c 是 等于三十度。如果你把外角忘了的话也可以做，那这是十五，这是十五，这个角就只能是一百五十度角 d、 a、 c 和我们这个一百五十度的角是一组邻补角，所以它也能算出是三十度。 那其实做到这这题就已经结束了，为什么呢？题目中已经告诉了我们是高，那既然是高的话，肯定就有九十度的直角，并且证明了这个角是三十度，所以就可以直接用结论。当然了，用结论之前，你要先说明是在哪个三角形中， 在直角三角形 a、 c、 d 中，这地方我没写直角三角形 a、 d、 c 的 原因是因为这里已经给你说了九十度，九十度就已经默认为是一个直角三角形了， 所以直角三角形，并且还有一个角是三十度，所以这个三十度的角所对的边 c、 d 就 一定是写边 a、 c 的 一半。证明完，证明完毕。 当然了，最终人的题目让我们证的是 c、 d 等于二分之一的 ab， 因为 ac 和 ab 相等嘛，所以它是 ac 的 一半，自然就是 ab 的 一半。好，这道题目也请大家思考一下， 那现在公布下答案。这题其实还是很简单的， ab 等于 ac 等边对等角，我们就能知道角 c 和角 b 都是相等，都是三十度。 题目中又告诉我们 a、 b 垂直 a、 d， 那 只要垂直就说明这是一个直角三角形，所以三十度所对的直角边 a、 d 就是 斜边 b、 d 的 一半， 那我们就能知道它是八，但是现在还不够呢。 好，现在我们知道 a、 d 是 四， b、 d 是 八，但是人家是让我们求 bc， 所以 现在我只需要知道 c、 d 即可。那 c、 d 该怎么求呢？其实也很简单， 注意这是三十度，那这个角就一定是六十度，那这个角就一定是一百二十度，然后题目中告诉我们这是三十度。根据三角形的内角和定力，我就能知道上面这个角 d、 a、 c 它也是三十度， 两个角都相等，根据等角对等边，我就能判定出三角形 a、 c、 d 是 一个等腰三角形，那自然就有结论 a、 d 是 等于 c、 d 的， 所以 a、 d 如果是四， c、 d 对 应也是四，那最终结论 bc 的 长度就是十二厘米。 大家看一下过程，即刻，这是我们的思路，每一步由谁能得到谁都是给我们已经列出出来了，大家看一下，即刻 好，那本节课内容就到此为止。我们本节课主要学习的，第一，等边三角形的判定方式有两种，第一， 三个角都相等的三角形是等边三角形。第二，有一个角是六十度的等腰三角形是等边三角形。当然了，还一个定义，如果三角边都相等，它是等边三角形。这个太简单咱们就不说了。 第二，重点是在一个直角三角形中，如果它含有三十度的角，那么结论大家一定要记清，三十度所对的直角边是斜边的一半。那本节课内容就到此为止。同学们再见！

初中的同学们抓紧看过来了，今天给大家分享一个考试当中常常出现的且非常优美的图形，叫做等边三角形啊，我们会讲解它相关的定义、判定以及我们的题型，你听好了啊，定义太简单了，三条边都相等的三角形，叫做等边三角形，也称正三角形， 非常的美啊，很正哈，那我们的这个性质呢，就是等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都是六十度啊，这个很简单，你小学常识也是知道的来，关键就是我们判定啊，你怎么给我判定一些等边三角形？ 从定义上面判断，如果三条边都相等了，一定是个等腰三角形，如果我们角三个角都相等啊，那也是等边三角形，那如果只有一个角呢？只有一个角是六十度，哎，他同时还是等腰三角形的时候，那就是等边三角形了。这个有人可能不太理解，我给大家画一个啊，来看一下我们的圈三， 比如说哈，我们假设现在这里有个六十度，而且这是个等腰三角形，这是两条腰，这是一个底。 哎，那你看哈，等我们知道等边对等角，这个六十度呢，就会跑到这个六十度来，哎，根据内角和一百八十度，那么这也会是六十度，所以一定是等边三角形，对吧？好，那如果已知的这个角呢？他不是底角，是顶角怎么办？也是一样的，还是这是那个等腰三角形，顶角是个六十度， 怎么能正他是等边三角形呢啊？比如说，我们这里标个角一等于角二，现在两条腰对应的两个底角一跟角二相等，那等于谁呀？根据内角和 顶角是这个六十，内角和是一百八减六十，然后再除以二，多少，是不是也是六十度，对吧？无论这个六十度是底角还是顶角啊。那只要是这样的等腰三角形，必须是等边三角形。好，最后一个一腰上的中线也是这条腰上的高， 这样的等腰三角形也一定是等边三角形。这个怎么正的？我们来看，还是来画一个等腰三角形，这是两条腰，说这条腰上啊，我取一个中点，这中点，呃，连过来，中线有了，对不对？我说这个中线啊，也是这个腰上的高， 那你发现了啥？我画的这条线，这不就叫中垂线吗？既然是中点还是高，那不就中垂线吗？中垂线的性质，中垂线上的点到线段，两个端点距离相等， 所以这个长度和这个长度是相等的呀，那不就是三条边都相等吗？哎，就是我们的等边三角形好吧。啊，当然考试还有很多一些常考的啊，会涉及到跟轴对称相关的，因为我说一个三角形是轴对称图形的话，那也是个等腰三角形 啊，也是个等腰三角形，再给我一个六十度的条件，就能变成等边三角形了。好吧，把这些判定大家啊积累起来， 接下来咱们开始来练题型啊，我们来看，这是一个赶紧画上星号必考模型啊，等边三角形里的一个必考模型，而且有结论。我们来看，已知等边三角形 a b c 当中 b d 等于 c e， 一 旦等边三角形当中啊，告诉了我这样的一个条件，哎，立刻就出现模型了，为什么？因为它可是等边三角形啊，它可是长得非常正，非常美啊！ 为啥呢？ ab 边长和我这个啊， bc 边长是不是相等，对不对？然后，哎，这个短边和这个短边也相等，再加上假角六十度。假角六十度，所以你发现了什么？ s a、 s 全等， 对不对？哎呀，我说立刻这里就全等了啊，三角形 a、 b、 d 全等于我的三角形 b、 c、 e。 理由， s、 s 全等能带来啥呢？ 带来边角关系，这是老师一直跟大家讲的，是我们几何题做题的工具啊，你必须得有它啊！带来边角关系，这个题不是问你倒角吗？我来倒一倒，因为全等了。我说这个角一，哎，跟这边这个小角二是全等三角形对应角，我说人家俩相等， 如果老师在这标个角三嘞，我们来看啊，因为角二加角三是等边三角形一个内角六十度吧。 哎，来倒角，把角二换成角一，所以角一加角三也是个六十度。那么角一加角三是个啥 角一角三是在三角形 a、 b、 p 当中的两个内角，如果这两内角的和是六十度，那你立刻知不知道这个外角了，哎，这个角 a、 p、 e 是 三角形 a、 b p 的 外，所以这个角 a p e 就 会等于角一加角三等于六十度。 a p、 e 是 什么呢？ 你要求的角，哎，直接六十度搞定了。好吧，后面大家一定要记住这个模型啊，这是我们一个必考模型啊，在等边三角形的一个斜十字架模型，在这个模型当中的结论就是，这 b、 e 和 a d， 你 就可以看成交叉的那个十字架， 十字架的夹角，哎，就等于我们等边三角形的内角六十度。好吧，这个必考模型，抓紧记到小本本上。好， 再来再来挑战一题哦！点 o 是 等边三角形那一点，哎，既然等边三角形，三条边相等，三个角六十度不标了啊。然后这里又出来一个等边三角形 o、 c、 d， 哦，两个等边三角形有公共的点。什么模型出来了？老师在前面视频给大家讲过的 手拉手模型，太棒了，你看看你把这些模型我前面讲的视频，大家是不是都学会了啊，手拉手模型有了，我说这个三角形 boc 就 立刻全等于三角形啊，这个 a、 d、 c 了，理由， s a s。 为什么呢？ bc 和 ac 是 两只大手，等边三角形边相等， occd 是 等边三角形边相等，再加上哈，这里有六十度，这里有六十度，所以这个点角跟这个点角必须相等， 所以大家一定要有模型的意识啊，模型就全等了。好，全等之后，他，哎给了我一些条件，用一用啊，说， a、 o、 b 是 一百一十度， a、 o、 b 是 它一百一十度啊。 b o、 c b、 o、 c 是 这个角，哎，因为全等，那就等于这个角是多少一百五来写一下， 所以角 b、 o、 c 等于这个角， a、 d、 c 等于一百五十。好吧，这是一百五啊，一百五啊，如果知道这是一百一，这是一百五，太手痒痒了，我想把这个求出来，他们仨不是组成个周角三百六吗，对吧？所以通过这个已知条件啊，我能求一下，这个角 a、 o、 c 应该等于三百六， 减去这个一百五，减去这个一百一，这是二百六啊，所以剩下个一百度，好吧，这个也知道了，是一百度， ok， 好， 这个既然知道是一百度，我们知道 o、 c、 d 是 个等边三角形，这是不是有个六十度， 对吧？这是六十度。所以来屏幕前的你能不能告诉老师 a、 o、 d 是 多少度？ a， o， d 就是 a、 o、 c 减去 c、 o， d， 那 就是一百减六十，哎，四十度啊，这个四十度就有了非常简单的倒角啊。现在人家问我角 o、 a、 d 的 度数， o， a、 d 在 哪里啊？ o， a、 d， 哦，问的是它。来看一下啊，这个怎么求呢？ 放在哪里？ o， a、 d， 你 想放在哪？我是不是可以放在三角形，就是 o、 a、 d 当中，用内角和就可以了。 我们来看一下啊，你如果要求这个问号角这儿有一个四十，哎，这个角能求一求吗？能不能跟它相关的是谁？是 a、 d、 c 啊？因为我说 a、 d、 c 是 一百五，而 o、 d， c 呢？这是六十，对吧？因为等边三有型号，所以这个角 a、 d、 o 啊， 就是 a、 d、 c 减去 o、 d、 c， 也就是一百五减六十，九十度有了，还是个特殊直角三角形，蛮好的啊，所以这就是个九十度。那么在三角形 o、 a、 d 当中，直接应用内角和这里的角 o， a、 d 就是 一百八十度，减去这个 a、 o、 d 四十度，再减去这个 a、 d、 o 九十度，答案就是五十度啊。选我们的 b 选项，这是我们等边三角形这里常考的一些性质判定以及模型，你学会了吗？

一个角为六十度的等腰三角形，为等边三角形。第二个，哎，两个角为六十度的三角形。只要两个角为六十度就行，那个角就一定六十度，因为三角形内角可等一百八十度。 第三个，三个角咋说来着？三个角都相等的三角形。第四个，四个边是咋说来着？哎，好，三条边都相等的三角形，哪个能用哪个不能用，到时候看教材发下来是什么样的行吗？嗯，把它先记下来。

咱们这一次期中考试，我们班全班同学把这道题都做错了，没有一个人做出来的啊，今天我只讲一遍，认真听，我期末还考原题，我看到时候谁还做错读题啊。他说 a、 b 等于 a， d 等于 bc， a b 等于 a， d 等于 bc， 告诉我们这个是角， a 是 三十度啊，求角 c 等于几？ 你们蒙应该也能蒙对这个答案吧，你看这个角 c 的 大小比这个三十度要怎么着啊？小一点吧，如果你让你蒙一个答案，你蒙几啊？有人蒙二十度的啊，来 十五是吧？答案是十五啊，我们来讲讲为什么啊？但是今天不能再蒙了啊。首先我们看到这种题，那不就是画辅助线吗？那常规的画辅助线方法是什么呢？你看这是个直角，对吧？这两个相等。那要不我先连一下这条线，构造一个什么东西出来？什么三角形？ 等腰直角三角形，对吧？那你看，等腰直角三角形，角度是四十五度，这里是三十，那说明这个角你知道是多少度吗？不知道，对吧？那这个角也算不出来了，那这个角也算出来，所以这条辅助线每 用那再来，那你看到这两个是相等的，那这是三十度，我们连一下能构造出一个什么三角形出来？等腰三角形，对吧？那这是三十，那另外两个角的和是多少？总共一百八，一百八减三十一百五，对吧？一百五除以二七十五度嘛，对不对？当然这个七十五度你算完之后，你看啊，那这是多少度？ 十五十十五度，对吧？那这个角度你会算吗？好像也算不了，对吧？那这个角还是求不了，那画了两条辅助线都做不出来了，所以咱们班很多同学就放弃了啊。实际上我们给大家说一下啊，就当你看到一堆边相等的时候， 又看到有这个三十度的时候，咱们接下来要想什么呢？你要想办法去构造一个等边三角形，注意了啊，要有这种思路，就你不要说看到三十度，还看到一堆这个等边，你想不到等边三角形，那是不行的，因为三十度和六十度之间非常接近，在一个直角里面很容易构造的。 看，这有个三十，那你告诉我那个六十度在哪？是不是只要把这个给他补充完整就行了，对吧？你，你搞个直角嘛，因为你看这也是个直角，而且这是相等的，能想到一个什么图形补充完整正方形，对吧？来，我们现在试一下啊，也就是这道题的辅助线呢， 我们要用一个比较大的一个思维去看啊，用个大的红光框架，我们把它正方形给它画出来，画完之后你看啊，那这个就是六十度了，而且你看这些边都是相等的，说明这个边和这个和这些都是相等的，对不对？ 边也相等，角度也六十，那是不是这个一连就连出一个什么图形出来了？等边三角形了，对吧？你想这两条边相等，这又是六十度，对吧？那这不就是个等边三角形吗？哎，你说这条边和这些都是相等的，好，这是六十度，记住了啊，好，那这是多少度？ 三十度。而且我们刚说了，既然这些边都是相等的，那包括这个边呢？因为这是个正方形，正方形的四条边是不是也都相等？哎，有没有发现这个图形还挺对称的？左右还挺对称的，对吧？那这个角度多少度？十五 怎么算的啊？其实刚刚我们算过这个十五了，对吧？你现在也可以从这边算，你看这个是三十，这两条边也是相等的。那等幺三角形啊，这个顶角是三十，两个底角多少度？七十五嘛，一百八减三十除以二，也就是七十五度。 好，七十五度之后，那这个是个直角，对吧？因为补充的是一个正方形嘛，所以减掉七十五，这就多少十五十五度了啊。好，那这道题我今天讲这最后一遍啊，期末考试我考原题，我到时候看谁做错谁做错，超一百遍啊。好，整理一下过程。

等边三角形的判定在八年级数学下册的第十八页纸，这个呢中考经常考的。前面我们说了等腰三角形的性质为判定啊，这里我们说了等边三角形， 如果判了一个三角形是等边三角形的话，我们通常呢第一个我们根据定义，定义呢，我们说如果有三边相等的三角形， 那么这个三角形呢，就是等边三角形，那么第一个我们要通过是定义啊，要记住判断一个三角形，也就是他的结论是三角形通过别的条件，那得到这个三角形是等边三角形，那么第一个三边相等的三角形是等边三角形。 好，然后呢就是第二个就是我们这里的定理，有一个角等于六十度的等幺三角形是等边三角形。但是我们这个 新版本的他先写这句，三个角都相等的三角形是等边三角形啊。不管哪个顺序我们就无所谓了， 我们说如果一个三角形的三角都相等，根据等角对等边三个角，呃，他对着三台边就相等，那又回到第一场来了，所以三个角相等的三角形呢，能够得到三边相等，所以这样的三角形是等边三角形。 如果有一个角等于六十度的等幺三角形是等边三角形。我们说如果有一个角等于六十度的等幺三角形，那么这个等幺三角形啊，我们来看一下，如果说有一个等幺三角形， 比如说 a、 b， c 这个等腰三就行， a， b 等于 c， 如果角 a 等于六十度的话，那么根据 a， b 等于 c， 角 b 等于角 c 一 百八十度减六十度除以二也还是六十度， a 回到三个角都是六十度，也就是三个角都相等， 如果说角 b 等于六十度的话，那么 a， b 等于 c， 那 么等边的角角 c 也就等于六十度。角 a 一 百八十度，减两个六十度，那还是六十度，所以也就说这个有一个角是六十度啊， 然后加上等腰三角，这个角随便是顶角还是底角都都是无所谓的，那么这样所得到的三角呢？是等边三角形。当然，嗯，如果说我们说有一个三角呢，你有两个角是六十度， 那么我们也能得到他是等边三点，但像这个他没有写的黑底字啊。如果说两个角等于六十度，那我们仍然是可以得到第三个角也是六十度，也就是回到三个角都相等，那么这样的三角形呢？我们说他是等边三角形。 好，要得到一个三角形，等边三角形，我们主要是记住三句话啊，再重复一遍，一，三边相等的三角形，等边三角形，二，三角相等的三角形，等边三角形。三，有一个角是六十度的等腰三角形，等边三角形。好，我们看到下面的这个思考， 有两个完全相同的含三十度角的三角尺，你能拼出一个怎样的三角形呢？ 能不能平等边三角形呢？好，那我们看到这里的这个图形，你看到这是个三角尺，就像我这里的三角尺一样的，对吧？就这样的一个三角尺，对吧？哎，这里是三十度角，这里是直角，那么横线这个就是六十度， 对吧？那么这一个三角尺，如果另外一个三角尺完全相同的，完全相同的是全等的意思， 对吧？重合着牵等的，那么把它拼在一起，你看这个也就是三十度，这也就六十度，那你看呢？六十度，六十度，六十度，三个角都相等，那么他就能够得到等边三角形，所以这里问我们得了一个什么结论呢？ 我们不仅得到这个三角形呢，所拼出来的三角形是等边三角形，我们还得了一个重要的定律，那我们来看呢，就是说这个短直角边呢，都是斜边的一半 啊，您看到我手上的这个三十度角的三角板，对吧？这三十度，这个直角，这个是六十度，那么这条短直角边，这是长直角边，短直角边都是斜边的一半啊。这里有一个重要的这么一个我们发现的，我们来看到这里的证明， 已知三角形 a、 b、 c 是 直角三角形，有一个角是三十度，那么我们求证刚才所说的短直角边的斜边一半， 怎么去求呢？我们像刚才这里有这里的拼图，对吧？我们可以把这个三角形呢，我们再做出一个直角，跟它全等的三角出来。你看我们延长 b、 c 到一点， d 是 c、 d 等于 bc。 由于角 a、 c、 d 九十度，所以角 a、 c、 d 也是九十度。那么当然这个 a、 c、 d 是 公共边，根据边角边 s、 a、 s， 三角形 a、 c、 d 与三角形 a、 c、 d 是 全等的，那么这样我们就可以得到 a、 d 等于 ab， a、 d 等于 b。 由于已知的这个角 b、 a、 c 等于三十度，所以这个角 b、 a、 c 也等于三十度。由于这里的直角三十度，我们得到角 b 和角 d 啊，都是六十度， 也就是角 b 等于角 d 等于角 b、 a、 c 都是六十度，那么我们就可得到三角形， a、 b 等于 a、 d 等于 b、 d。 而刚才我们也做辅的线的时候，我们 c、 d 是 等于 b、 c 的， 也就是说 c、 d 等于 b、 c 等于 b、 d 的 一半。嗯，那么刚才 b、 d 跟 a、 d 二是等边，三角的三边相等，所以 c、 d 就 等于 a、 d 的 一半。 好，那么这样呢，我们就要把它记住，在直角三角形中有一条直角，有一个角等于三十度，那么他所对的直角边呢？斜比一半好，这里所得的这个结论呢，要把它背下来，记得点赞关注哦！

来巩固一下基础，已知 a、 b、 c 为三角形， a、 b、 c 的 三边长，且 a 方加 b 方加 c 方小于等于 a， b 加 a， c 加 b、 c， 让我们判断这个三角形的形状。这个有平方，有乘积算，就想到先凑完全平方试一下，那完全平方的乘积是二倍，那就两侧同时乘以二，然后减到左侧去，那就是 二。 a 方加二， b 方加二， c 方减去二， ab 减二倍 bc 减二倍 bc， 它小于等于零。左侧显然是三个完全平方之合，那就是 a 减 b 的 平方加 b 减 c 的 平方加 c 减 e 的 平方。小于等于零，显然是取不到小于零的，它只能是等于零，也就是三边长相等，所以它是一个等边三角形。

你要记住，等腰三角形经常考，中考百分之百考，把你的数学下册小册第五页纸上的第五题在等边三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 等边三角形， 等边三角形三个角都是六十度，三条边都相等，看题目问什么？ b、 e 垂直于 a、 c 直角 延长 bc 到一点 d 使 c、 d 等于 c， e、 c、 d 等于 c、 e、 a、 b 等于十厘米。 那么要求这个 b、 d 的 长 b、 d 呢？我们看到这 b、 c 等于十厘米，对吧？这个 c、 d 等于多少呢？ c、 d 等于五厘米，所以这个 b、 d 那 就应该等于一十五厘米 啊，有时间我就简单的说一遍，因为三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，所以 a、 b 等于 b、 c 等于 c， a 都等于十厘米。又因为 b、 e 垂直于 a、 c 根据三角合一，所以 c、 e 等于这个 二分之一 a、 c 等于五厘米，二分之 a、 c 等于五厘米。 呃，那么刚才等边三角时，我们可以把这个角 b、 c、 e 等于六十度同时说出来，又因为 c、 d 等于 c、 e 所以 角 c、 e、 d 等于角 d 等于二分之一角 b、 c、 e 等于三十度， 因为这角六十度，六十度等于和它不相邻的两个内角的和，而这个 c、 e 等于 c、 d， 所以 角 c、 e、 d 等于角 d 都等于三十度， 对吧？那么这样呢，我们就哦题目说了 c、 d 等于 c， 那 看来刚才我说的就不必要了，对吧，把 c 等于五厘米求出来呢？ c、 d 等于五厘米。好，这个就很简单的了，我们看到第六题已知点 d、 e 在 ab 上， a、 c 等于什么？等于 bc， a、 e 等于 b， d 是 说明 c、 d 是 等幺三就行。 我们可以证明 c、 e、 c、 d 等于 c、 e， 我 们也可以证明角 c、 d， e 等于角 c、 d、 e 都可以，这里的方法是多种多样的。呃，我呢觉得这样证明是不是觉得更好一些啊？大姐，您看到这里啊，呃，因为 啊， c、 a 等于 c、 b， 所以 角 a 就 等于角 b。 好， 我们看到角 a 就 等于角 b， 对 吧？ a、 c 等于 b 是 一致的，然后您看到这 a、 e 等于 b、 d， 所以呢，我们可以这样说，在三角形 c、 a、 e， 而三角形 c、 b、 d 中 看， c、 a 等于 c b， 角 a 等于角 b， a、 e 等于 b、 d。 啊，所以三角形 c、 a、 e 全等于三角形 c、 b、 d。 理由 s a、 s， 所以 c、 e 就 等于 c、 d， 对吧？前等三角都对应一边下的 c， e 等于 c、 d， 那 就说，所以三角形 c、 d、 e 是 等幺三角形。你看这样做的是不是很简单的？ 当然包括我们老师的参考答案上都不是这么写的。哎，我们老师的那个参考答案上呢，他把这个 a、 e 的 b、 d， 然后呢，他通过证明 a、 b 减 a， e 的 b， a 减这个 b、 d 得到 a、 d 的 b、 e， 当然了，我们得到 a、 d 的 b、 e 之后，我们得到三角形 a、 c、 d 与三角 b、 c、 e 两个三圈呢，当然是可以的啊，是可以的，不过我觉得就是说咱们均可呢，还是找更简单的，步骤又少啊，又正确 这样的，所以大家要多锻炼。我觉得这一题呢，这种做法我觉得是比较我认可比较好一点的方法。我们看到第七题 第六位置啊，哎，还是三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，那么现在这里有这个 b， e 等于这个 a、 d， 然后求角值什么呢？ e、 o、 b 的 度数，求这个角的度数。呃，要求这个角的度数，我们从哪要求呢？那当然我们得写解字。 首先我们来查，因为三角形 a、 b、 c 是 等边三角形啊，可以写正三角形，所以这个 a、 b 等于 b， c， 嗯，还有这个角 a， b、 c 等于六十度，嗯， ab， 那 么我们看到 ab 等于 b， c， ab 等于六十度。啊，角 a 等于角 a， b， c 等于六十度， 嗯，啊，角 a 等于角 abc 的 弧度。那我们看到在三角形 a、 b、 d 如三角形，你看呢？ a、 b、 d 如三角形 b、 c、 e 中看，这个怎么写好呢？ 我们来已知这两个相等，我们来证明， d， a、 b 边角 b， b， n。 角 b， 所以 我们看到 a、 d 等于 b e。 角 a 等于角 e， b， d， a、 b 等于 b、 c， 所以三角形 d， a、 b 全等于三角形 e、 b、 c。 啊，理由， s a、 s 你 看这样写是不是更好？那么这两个三角形的之后，我们就可以得到，角一等于角二， 所以角一等于角二，所以角 e、 o， b， e、 o， b 等于什么呢？等于角二加角三 等于角二加角三，那就等于角一加角三等于六十度。走完了，你看到这里我写的是不是？呃，这方法就比较简单多了，最好啊，模仿我的格式，认真的去写好，把每一步理记得点赞关注哦。

你记住啊，中考必考等腰，跟我一起做练习八年级数学下册小册子第八页纸。我们看到第一题，若等腰三天，一边长十六， 等腰三角形，一边长六，那么它下面有一个关键，就有一个角是六十度，有一个角是六十度的等腰三角形呢，我们说是等边三角形，那么一边周长三了一十八啊，这个就说明他是等边三角形呢，就是这个意思啊。我们看到第二个，如图， 如图，我们来看到这里说，在三角形 a、 b、 c 中， a b 等于六角， b c 等于三十度，角 b c 等于三十度。那我们来看到这里角平分线 啊，还有什么？还有 m n 呢？是动点 b m 加 m 的 最小值， b m 加 m， 那 么这个角平分线是什么意思呢？ 就是说这个 m n 它关于 a、 d 的 对称线段， a 是 相等的，你看这个角一等于角二，对吧？这个 a m 等于 a m 啊，如果对称的，那么这个 a， 这个 a 一 撇等于这个 a n 啊，就是对称的两个图形牵等形， 现在 b m 加 m n， 那 就等于 b m 加这边的 m， 当这三点共线的时候，并且什么垂线呢？最短 什么意思？那就是 m 在 这 m 一 撇在这， m 大 概就在这 啊，就这样的啊，那么这个是三十个角所在的直角， b n 等于斜边的一半，那么这个 a b 等于六，这个 b n 一 撇就应该等于三 变，所以这个 b m 加 m n 等于 b， m 加 m n 一 撇啊，根据垂线的这段，那么它就等于三 啊，这个难度并不大，以后还有更难的。我们看到第三题，如图，以这港口 a 的 南边东八十度的方向有一座海岛 b 啊，这个海岛 b， 这里是八十度的角啊，哎，从这个南往这里八十度的， 有一艘轮船从港口 a 沿南偏东四十度，四十度，这不就说这个是也是四十度吗？刚才说它是八十度吗？行驶八十海里， 到达了 c 这个地方，此时观察这个岛小岛 b 在 c 的 北偏东六十度的方向。 好，这个时候求这个 b 与 c 啊，这个轮船与小打 b 之间的距离，哎呀，这距离怎么求呢？坐车直的还是干嘛呢？大家发现一个问题啊，北南北南这方向是平行的，所以这个四十度意味着这里就是四十度， 也就是说角 a、 c、 b 等于四十加六十等于一百度。角 c、 a、 b 等于四十度，所以这个角 b 也就等于四十度。根据等角再等 b a， 所以 这个时候我们要得到的是 c、 b 等于 c， a 等于八十，哈利， 对吧？这个题目上这样写，那我们也可以这样写。好。第二个在小打 b 的 周围的，这个周围的三十六海里的地方啊，是暗礁区， 这个是货轮，如果说他自西向东一直就这么航行下去，有没有触礁的危险？有没有？那我们再看到这一点，到这个航线， 这个暗交，他是从这个暗交里面穿过去呢？还是绕过去？所以我们来看到这样的一个长度 最垂直，刚才说这个等四十，这个等六十，这就三十三度角所对的直角边呢，斜边的半。刚才这个是八十啊，这个四十度，这个三十度，这六十度，这个长的等这里的八十哈里，所以这就是四十哈里，那就说这个暗交大概就在这个范围内， 嗯，还没到这个来啊，这个四十呢，是大于三十六的，所以无触交的危险啊，所以这里没有触交的危险啊。通过图形来分析，我们看到第四题 d、 c、 d。 我 们看到在三角形 a、 d、 b 中， a、 d、 b 的 呢？角 a、 d、 b 等于六十度， d、 c。 平分，角 a、 d、 b。 角 a、 d、 b 等于六十度平分，所以这每个角都等于三十度， 对吧？加 ab 于点 c， 然后那个 d、 c 垂直 ab， 这垂直耶，这个垂直的话，那这三十度，这个不就是六十度了吗？ 那这个角也是六十度了，对吧？那么这样三角形 a、 d、 b 不 就三个角都是六十度了吗？所以，那么三角形 a、 d、 b 就是 等边三角形，我们就整完了，有时间呢，我就没有写过程啊。 好，我们记下来。看到第二个要证明 a、 e 垂直 db， a、 e 在 哪呢？ a、 e、 a、 e 的 已知条件在哪有呢？这里有 c、 e 平行于 d， a、 ce 平行 d， a， 那 这角不就是角 c、 e、 b 等于角 a、 d、 b， 这也是六十度，当这个 e、 c、 b 就 等于角 d、 a、 b 也是六十度，所以也就是说这我们就得到正三角形 b、 c、 e 正三角形 bce。 那 我们现在还能得到别的什么东西？哎，刚才这个 bdc 是 垂直于这个 ab 的， 所以这角三十度，这角六十度，对吧？ 那我们得到这个 ec 跟 bc 跟这个 b 呢，是相等的， 那么这个 b、 c 呢，是等于多少呢？刚才的等边三角形等于 b、 d 的 d、 b 的 一半，当然也等于 a、 c 的 d、 b 的 一半，所以也就是这个 b、 e 呀，等于 b、 c 等于这个 b、 d 的 一半，那就说我们得了 e， 为什么 b、 d 的 中点， 所以最后 a e a e 乘以 d b 根据什么东西呢？有时间没写完啊，等腰三角形底边的中线，也是底边的高线啊，这里重点就是三线合一 啊，因为时间的关系，过程没有都写出来。我们得到这个 b 啊，等于 b c 等于这个 c e 啊， b c 是 等于这个 a b 的 一半的，或者说等于 b、 d 的 一半啊。每个人的步骤可能有所不一样，只要正确就可以，记得点赞关注哦！

这节课我们来看等边三角形的判定，以及含有三十度角的直角。三角形的性质。 我们来看这个图，在一个池塘两旁有一条笔直的小路和一棵小树，那么也就是啊， bc 是 小路 测得的相关数据为，角 abc 等于六十度，角 a、 c、 b 等于六十度， bc 等于四十八米。问 a、 c 的 长度， 那么我们可以根据三角形的内角和求出角 a 也等于六十度，那么这两个角相等。用到上节课的知识，等角对等边也可以求出 a、 c 等于四十八。 那我们来想，一个三角形满足什么条件时是等边三角形，一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形。 那么来分析，从三角形的边来看，三边相等的三角形是等边三角形，这是等边三角形的定义。从角来看，那么三个角相等，那么其中是包含两个角相等，这是等腰三角形的判定。 那么当一个等腰三角形有一个角是六十度，它就是等边三角形。 于是我们就得到一条定律，三个角都相等的三角形是等边三角形。我们来看三角形 a、 b、 c 当中角 a 等于角 b 等于角 c， 求证三角形 a、 b、 c 是 等边三角形。 那么证明过程就可以写，因为角 a 等于角 b， 所以 ac 等于 bc， 因为角 b 等于角 c， 所以 ab 等于 ac， 所以 ab 等于 ac 等于 bc， 所以 三角形 abc 是 等边三角形。 那么我们又推出一条定律，有一个角是六十度的，等腰三角形是等边三角形。 我们来看，在三角形 a、 b、 c 中，若 a、 b 等于 a、 c， 角 a 等于六十度，求证三角形 a、 b、 c 是 等边三角形， 那么来证明，因为 a、 b 等于 a、 c。 角 a 等于六十度，所以角 b 等于角 c 等于二分之一一百八减。角 a 等于六十度， 所以角 a 等于角 b 等于角 c， 所以 ab 等于 ac 等于 bc， 所以 三角形 abc 是 等边三角形。那么这里是顶，角是六十度。还有一种情况，底角是六十度， 那么如图，在三角形 abc 中， ab 等于 ac， 角 b 等于六十度。求证三角形 abc 是 等边三角形， 那么因为 ab 等于 ac， 角 b 等于六十度，所以角 c 等于角 b 等于六十度。这运用了等边对等角，所以角 a 也等于六十度， 这是运用三角形内角和定力，所以角 a 等于角 b 等于角 c 等于六十度，所以三角形 abc 是 等边三角形。 来看，第一，如图，在等边三角形 a、 b、 c、 中， d、 e 平行于 b、 c。 求证三角形 a、 d、 e 是 等边三角形，那么因为三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，所以角 a 等于角 b 等于角 c。 因为 d、 e 平行于 bc， 所以 角 a、 d、 e 等于角 b。 角 a、 e、 d 等于角 c， 所以 角 a 等于角 a、 d、 e 等于角 a、 e、 d。 所以 三角形 a、 d、 e 是 等边三角形。 那么把刚才的题目当中的 d、 e 平行于 bc 改成 a、 d 等于 a、 e。 我 们再来证明， 因为三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，所以角 a 等于角 b 等于角 c 等于六十度。因为 a、 d 等于 a、 e， 所以 三角形 a、 d、 e 是 等腰三角形。 又因为角 a 等于六十度，所以三角形 a、 d、 e 是 等边三角形。 我们来看，用两个含有三十度角的三角板，我们把它拼成一个三角形有两种拼法， 那我们来想在直角三角形当中，三十度角所对的直角边和斜边有怎样的大小关系？那我们可以猜想，三十度角所对的直角边等于斜边的一半，我们来进行验证。 如图，三角形 a、 b、 c 是 直角三角形角 c 等于九十度，角 a 等于三十度，那么求证 bc 等于二分之一 ab， 那 么我们要证明线段的被分问题，就要把它转化为线段相等的问题，大家看证明延长 bc 到点 d 是 cd 等于 bc 连接 ad。 因为角 a、 c、 b 等于九十度，所以角 a、 c、 d 也等于九十度。 又因为 a、 c 等于 a、 c， 这是公共边，所以三角形 abc 全等于三角形 a、 d、 c， 所以 ab 等于 ab。 并且因为在三角形 abc 中，三角的内角和等于一百八十度，角 b、 a、 c 等于三十度， 角 a、 c、 b 等于九十度，所以角 b 就 等于六十度，所以三角形 a、 b、 d 是 等边三角形，所以 bc 就 等于二分之一 b、 d。 那 么 b、 d 就 等于 ab， 所以 bc 等于二分之一 ab。 那么我们就总结出一条定律，在直角三角形中，如果有一个锐角等于三十度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 用几何语言来表示，在三角形 abc 中，角 a、 c、 b 等于九十度，角 a 等于三十度，所以 bc 等于二分之一 ab。 那么根据勾股定律，我们假设 bc 是 一 ab 啊就是二，那么 ac 就是 根号三，所以啊，三条边的比例 bc 比 ac 比 ab 就是 一，比根号三比二 来看。第二求证，如果等腰三角形的底角是十五度，那么腰上的高是腰长的一半， 也就是这个图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c。 角 b 等于十五度， cd 是 腰 ab 上的高，求证 cd 等于二分之一 ab， 那么因为是等腰三角形 a、 b、 c， 所以 cd 和 ab 的 关系可以转化为 cd 和 ac 的 关系，那么就是证明三角形 a、 c、 d。 直角边是斜边的一半。 我们来看，因为 ab 等于 ac， 角 b 等于十五度，所以角 acb 等于角 b 等于十五度， 那么角 c、 a、 d 是 一个外角，就等于角 b 加角 a、 c、 b 等于三十度。那么看到有一个三十度的直角三角形， 我们就可以得出 c、 d 等于二分之一 a、 c， 那 么也就等于二分之一 ab。 第二题，如图，在三角形 a、 b、 c 中， 角 a、 c、 b 等于九十度， c、 d 是 高角， a 是 三十度， ab 是 四。问 b、 d 的 长， 那么因为 c、 d 是 高，所以三角形 b、 c、 d 也是一个直角三角形。因为角 a 是 三十度，所以角 b、 c、 d 也是三十度。 那么我们可以设 b、 d 是 x， 在 三角形 b、 c、 d 当中， b、 c 就 等于二 x， 那 么在三角形 abc 当中， ab 就 等于两倍的 bc 就 等于四 x， 那 么我们解得 x 等于一，所以 b、 d 的 长就是一。 我们来总结一下这节课学了等边三角形的判定两个判定方法，三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是六十度的等腰三角形是等边三角形。 还学了含三十度角的直角三角形的性质。我们在直角三角形中，如果有一个锐角等于三十度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 来看练习题。第一，在三角形 abc 中，角 a 等于角 b 等于角 c， 那 么这是一个等边三角形， ab 等于六，则 ac 也是等于六。 第二题，在直角三角形 abc 中，角 c 等于九十度，角 a 等于三十度， bc 等于二。问， ab 的 长角 a 等于三十度，所以 ab 你 应该等于两倍， bc 就 等于四。 第三，如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 等于十二角 b、 a、 c 等于一百二十度。问底边上的中线 a、 d 的 长度， 那么因为 a、 b 等于 a、 c， 所以 三角形 a、 b、 c 是 一个等腰三角形，那么因为 a、 d 是 中线。根据三线合一的性质，我们可以求出角 abd 等于六十度， 并且角 a、 d、 b 是 九十度，所以我们就得到角 b 等于三十度，所以 a、 d 就 等于二分之一， ab 就 等于六。 第四，下列三角形，其中是等边三角形的是第一个，有两个内角是六十度的三角形，那么第三个角应该也是六十度，所以啊，它是等边三角形。 第二，有两边相等且是轴对称的三角形，那么这不一定是等边三角形，有可能是等腰三角形。第三，有一个角是六十度，且是轴对称的三角形，那么也就是有一个角是六十度的等腰三角形，那么他也是等边三角形。 第四，一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，说明这条线也符合三线合一性质，也就是这条线既可以当腰，也可以当 d， 那 么也就是说，这个三角形的每条边都相等，也是等边三角形。 第五题，如图，在直角三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度，角 a 等于三十度， b、 d 平分角 a、 b、 c。 若 ad 等于六，求 cd 的 长度， 那我们来看，在直角三角形 a、 b、 c。 中，角 c 等于九十度。角 a、 b、 c 等于三十度。那么又因为 b、 d 是 角 a、 b、 c 的 平分线，所以角 a、 b、 d 等于角 d、 b、 c 等于三十度， 所以角 a、 b、 d 等于 b， d 等于六。 又因为角 d、 b、 c 等于三十度，所以 c、 d 等于二分之一， b、 d 等于三。 第六，如图三角形 abc 是 等边三角形 d 为 a、 c 上任意一点角 a、 b、 d 等于角 a、 c、 e、 b、 d 等于 c、 e。 求证三角形 a、 d、 e 是 等边三角形。那么也就是证明这三条边相等。 我们来看，因为三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，所以 ab 等于 ac。 角 b、 a、 c 等于六十度，所以在三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 e 当中， ab 等于 a、 c。 角 a、 b、 d 等于角 a、 c、 e、 b、 d 等于 c、 e。 所以 三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e 所以得到 a、 d 等于 a、 e。 角 b， a、 d 等于角 c、 a、 e 等于六十度， 所以三角形 a、 d、 e 是 等边三角形。