六年级下册基础训练数学17页圆锥

同学们好，我是武乡县城关小学校的姚老师，很高兴和大家一起上一节数学课。 今天我们学习的内容是人教版六年级下册第三单元圆柱与圆锥中圆锥的认识。 为了大家能够更好的掌握知识，请大家课前准备三个圆锥模型，一个空心，两个实心，一把安全剪刀，一个小刀。在此提醒屏幕前的同学们，操作中一定要小心。 好了，同学们在学习新知识之前呢，老师先和大家玩一个游戏， 猜猜我是谁？现在大家所看到的长方形只是我们从某个角度观察到的立体图形的样子，你知道这个立体图形是什么吗？ 可能是长方体，因为长方体从正面、上面、侧面看都是长方形，大家还有不同的想法吗？ 也有可能是圆柱，圆柱从侧面看就是长方形。这两位同学都说得很有道理，那这到底是什么立体图形呢？我们一起来看一下吧！看，原来是一个圆柱呀！ 关于圆柱的知识大家都知道哪些呢？我知道圆柱的侧面展开图是长方形或正方形，看来你对于圆柱的印象特别深刻，同学们还有其他要补充的吗？ 我知道圆柱的表面及计算方法为侧面积加底面积，侧面积计算方法为底面周长乘高底面积，计算方法为二 pi r 的 平方。大家关于圆柱的知识知道的可真不少呀， 那我们继续来猜这个圆，同样是我们从某一角度观察到的立体图形的样子，这又是什么立体图形呢？ 可能是圆柱，圆柱从底面看就是圆，思路可真清晰呀！除了圆柱，还有可能是什么立体图形呢？也可能是圆锥，那就让我们一起来揭开谜底吧， 看是一个圆锥，什么样的图形就是圆锥呢？我们一起来看几幅图片。斗笠、漏斗的上半部分、吊灯 像上图中这些物体的形状就是圆锥体，简称圆锥。 我们生活中有很多物体的形状都是圆锥，比如说铅笔、笔 尖、冰激凌、脆筒、陀螺、羽毛球、火箭头、路障等。圆锥在我们生活中处处可见，那圆锥有什么样的特征呢？ 我们这一节课就通过看一看，剪一剪、切一切、滚一滚四个环节来研究圆锥。 屏幕前的同学们，让我们一起结合以下几个问题，认真看课本与圆锥模型，稍后和大家说一说你的见解， 我们现在来互相分享一下吧。 圆锥由侧面和底面两个面组成，侧面是一个曲面，底面是一个圆，圆锥有一个顶点，一条高， 从圆锥的顶点到底面，圆心的距离是圆锥的高。同学们的回答可真是无可挑剔呢，这足以表明大家刚才看的非常仔细。 在刚刚的回答中，有同学提到了圆锥的高，圆锥的高看不见也摸不着，那我们应该如何测量呢？ 请大家拿出自己的圆锥模，行动手测量一下它的高吧！ 同学们有顺利测量出圆锥的高吗？是怎么样测量的呢？ 我先找了一块平板和两块三角尺，把圆锥的底面放水平，像这样只要上面三角尺的直角边与平板平行，就可以测量出圆锥的高了。 这个方法可真完美呀！但是大家要注意，在测量的时候要确保圆锥水平放在木板上， 圆锥上方的三角尺也要水平放置，并且要注意将另一个三角尺的零刻度线与木板对齐，这样才能准确测量出圆锥的高， 大家可以回忆一下。在学习圆柱的时候，我们也认识了圆柱的高，并进行了测量。那对比圆柱的高与圆锥的高，你有什么发现呢？ 对比圆柱的高与圆锥的高后，我发现圆柱有无数条高，而圆锥只有一条高。屏幕前的同学们，你们发现了吗？ 接下来我们继续通过剪一剪来进一步认识圆锥。屏幕前的同学们，请拿出自己提前准备好的空心圆锥模型，一起动手探索圆锥侧面展开图的形状。 我沿着圆锥顶点与底面圆周上一点的连线，将圆锥剪开，发现圆锥的侧面展开图是一个扇形，汇报的非常好。圆锥的侧面展开图的确是一个扇形。 通过看一看、剪一剪两个环节，我们认识了圆锥各部分的名称，测量了圆锥的高，并知道了圆锥的侧面展开图。圆锥还有哪些特征呢？我们需继续进行探索。 现在我们以小组合作的形式，将我们的实心圆锥模型切一切，结合问题说出你的发现。 我选择的切割方法是纵切，切割，后切面是等腰三角形切开以后，我又找到高，发现左右两面都是直角三角形，所以我猜想圆锥可能是直角三角形，沿直角边旋转而成。 你的猜想可真有价值呀！那这个猜想是否正确呢？我们需要通过一个小视频来验证一下。 通过视频，我们发现圆锥的确可以沿着直角三角形的直角边旋转而成， 而且沿着旋转的直角边刚好是圆锥的高，而另一条直角边则是圆锥的底面半径。同学们可以再进一步思考一下，如果沿着直角三角形的斜边转动，会是一个什么形状呢？ 如图所示，将直角三角形沿斜边旋转一周，会得到一个底面大小相同且叠在一起的图形。选择纵切的同学们发表了自己的独到见解，那选择横切的同学们呢？ 我选择的切割方法是横切，切割后切面是圆形，并且我发现不同的地方切开圆的大小是不一样的，越靠近底面的圆越大，越靠近顶点的圆越小。那这样来说， 圆锥我们其实也可以看作是无数个大小不同的同心圆的累加，从底面到顶点，圆越来越小，最后缩成一个点。通过切一切这个环节，老师发现同学们都极具创新思维， 在大家的带领下，我们很好的认识了圆锥，我们的所学能否应用于生活呢？ 最后，请同学们将自己手中的圆锥模型滚一滚，说一说你的发现，并试着解释一下马路上的路障为什么要做成圆锥体的。 我将圆锥滚了滚，发现它不会沿直线前行，所以将路障做成圆锥形后，尽管将其碰倒，它也只会在原地滚动，不会跑远。 原来路障做成圆锥体是这么个道理呀！听了同学们的述说，老师也是受益匪浅，不知道同学们通过这节课的学习都收获了些什么呢？ 通过这节课的学习，我知道了圆锥有一个底面，一个侧面，一个顶点一条高。我知道了圆锥纵切后切面为等腰三角形，圆锥横切后切面为圆形。 我知道了直角三角形沿直角边旋转可形成圆锥。很开心能听到同学们如此多的收获，希望大家能运用本节课的所学，完成老师布置的作业。

从顶点沿着高将圆锥切成两半，增加的就是两个一模一样的等幺三角形结面。拿出一个三角形来研究，他的底就是圆锥的底面直径，他的高就是圆锥的高。条件说表面积增加了三十六平方厘米， 一共增加了两个等幺三角形结面，所以一个等幺三角形结面的面积就是三十六，除以二等于十八平方厘米。条件说圆锥的底面直径是四厘米， 也就是这个等幺三角形的底是四厘米。根据三角形面积公式，用一个三角形的面积除以底四，再乘以二，就可以算出三角形的高，也就是圆锥的高是九厘米。

前面我们已经学习了有关于圆柱部分的长考题型和易错题型，今天呢，我们一起来看有关于圆锥的体积。一个圆锥形的帐篷，它的底面半径是三米，高是二点六米， 问帐篷内的空间是多少立方？那么这个题呢，很显然，我们圆锥形的帐篷求空间，那其实要求的就是这个圆锥形的体积，对于圆锥的体积来说，体积呢就应该等于 三分之一的 s h， 那 么根据这个公式呢，依据体重的已知条件，我们就可以求出圆锥的底面积应该为三的平方乘三点一四， 底面积乘高，高为二点六，再乘三分之一。这三分之一呢，很多同学特别容易忘记，我们在求圆锥的时候，一定不要忘记乘这个三分之一，而最终求得的结果应该为二十四点四九二平方米。 那接下来我们来看第二个题目，把一个底面直径是两厘米，高是十五厘米的圆柱形木料做成了一个最大的圆锥，问应该削去木料多少立方？那同学们遇到这个题呢？我们没有图形，可以自己在旁边尝试画一个图， 一个圆柱，我们可以先来画一个圆柱，如果想要在这个圆柱里面呢，削一个最大的圆锥，我们要想一想什么样的圆锥才是这个里面最大的？ 那很明显，我们想要削一个最大的圆锥，这圆锥的底面积肯定要和我们圆柱的底面积是相同的，而他的高呢，也等于我们圆柱的高。因此呢，想要削成一个最大的圆锥，那就是我们中间的这一部分图形， 那么削成的这个圆锥和圆柱相比是和他等底等高的，因此呢，我们圆锥的体积就应该是圆柱体积的三分之一，那么削去的部分就应该是圆柱的三分之二， 因此呢，我们要先求出这个圆柱的体积。圆柱的体积公式呢， v 等于 s h， 利用底面积二的平方乘三点一四乘十五。 这一步呢，我们求解出来圆柱的体积之后呢，消去的部分相当于就是圆柱的三分之二，因此我们再乘三分之二就应该等于一百二十五点六立方厘米。

六年级的同学们，这道题你会做吗？一个底面周长为三十七点六八厘米的圆锥，从顶点沿着高将它切成两部分，如图所示，表面积增加了六十平方厘米。这个圆锥的高是多少厘米？我们从已知条件入手， 从顶点沿着高将一整个圆锥可以分成两个半圆锥，增加的面是两个等腰三角形 增加的两个三角形的横截面。从正面看应该是这样的，等腰三角形的底就是圆锥的底面直径，等腰三角形的高就是圆锥的高， 所以这两个等腰三角形的面积是通过底 乘以高除以二，是一个等腰三角形的面积，那我们是增加两个面再乘以二来计算得出等于六十。 题目要求圆锥的高，那我们要计算出圆锥的底面直径就能计算出来。题目已知圆锥的底面周长是三十七点六八，那我们能求出圆锥的底面直径 d 会等于 c 除以派等于三十七点六八，除以三点一四等于十二厘米。圆锥的底面直径是十二厘米，那么高就会等于。 先用六十除以二，先求出一个三角形的面积，再乘以二，就能算出三角形的底和高的乘积。然后再用除以底面直径十二，答案等于五厘米。

六下必考圆柱圆锥一个密闭的容器，由圆柱和圆锥组成，圆柱和圆锥的高分别是十二厘米、九厘米，容器内的水面高八厘米。如果将这个容器倒过来放置，那么从圆锥的顶点到水面的距离是多少厘米？ 这道题的突破口就是底面积不变。首先先来判断一下倒置后水能不能装满圆锥。倒置前装满水的部分是一个圆柱， 这个圆柱的底面积和容器上方圆锥的底面积相同。假设底面积是 x 平方厘米，圆柱的体积等于底面积乘以高，所以水的体积就是装满水。圆柱的体积等于底面积乘以高八厘米，等于八十立方厘米。 假设倒置后恰好装满圆锥，圆锥的体积等于三分之一，底面积乘以高就等于三分之一乘以 s 乘以高九等于三 s 立方厘米。显然，水的体积八 s 大 于圆锥的体积三 s， 所以 说明倒置后水位一定超过了圆锥的高度。假设倒置后是这样， 超过圆锥部分的水的体积就是八四减三， s 等于五 s 立方厘米。图中绿色部分，圆柱就是超过圆锥的水的部分，它的底面积还是 s， 它的体积就是五 s， 所以 它的高就是体积五 s 除以底面积 s 等于五厘米， 也就是这部分是五厘米。最后问圆锥的顶点到水面的距离是多少厘米，那就用圆锥的顶点到水面的距离是多少厘米，那就用圆锥的高九厘米加上超过圆锥的五厘米，答案就是十四厘米。

今天我们来讲一下六下圆锥的竖切问题。圆锥的竖切是指将圆锥沿着高并垂直于底面切， 那我们可以看到切出来这个切面的形状是什么呢？是不是一个三角形，而且是等腰三角形，因为它们母线长是相等的，那我们切一次是不是就有两个切面，所以也就是两个等腰三角形？ 那这三角形的底是我们什么圆锥底面这个圆的什么直径高呢？就是我们圆锥的高， 直径和高。那我们接下来看一下具体题目。将一个圆锥形高点沿着高切成两块，所以也就是什么它是竖切的，而且是沿着高来切 表面积比原来增加了四十二平方厘米，测得圆锥形高点的高是七厘米，原来这个圆锥形高点的体积是多少立方厘米？我们还要知道什么圆锥的体积公式是什么呢？ v 等于什么？三分之一， pi 尔的平方还有 h， 那 我们看一下这个公式里我们需要知道什么呢？是不是需要知道半径和高？那这时候高是不是已经告诉我们了， 所以相当于我们只需要求什么半径？那这半径圆锥底面这个半径是不是我们需要知道什么直径？ 直径怎么求呢？是不是从我们表面积增加的这部分入手？表面积增加的部分就是两个切面的面积，也就是两个等腰三角形。那我们先除以二，除以二就得到什么一个三角形，也就是一个三角形的面积，那我们再利用三角形的面积， 三角形的面积是什么？底乘高除以二，也就是二分之一 a h， 那 么反过来知道面积也知道高，那我们求底是不是很好求是什么？利用三角形的面积。 s， 先乘二，再除以高，就知道什么底了。所以我们利用三角形的面积来求出什么直径，直径知道，那半径就自然然知道，再求最后的体积。那我们来算一算，先算底面直径， 底面直径我们是什么表面积增加的部分？四十二，先除以二，算出什么？一个切面，也就是一个等腰三角形，再利用三角形的面积，我们要干嘛？乘二除以高， 这样算出来是什么？也就是底面直径二十一，四十二，除以二是二十一，二十一，乘二，再除以七，所以是四十二，除以七是等于六，单位呢是厘米， 底面直径。知道了，那我们底面半径呢？底面半径是不是就是什么六除以二 是等于三厘米的，那这样的话，我们说这个圆锥的体积是不是就很好求了？ 是按照公式来是什么？三分之一， pi 乘什么半径的平方是三的平方，再乘一下高是七三七，二十一，所以是二十一， pi 单位呢？立方厘米。 所以对于圆锥的竖切问题，我们要知道切面首先是肯定什么等腰三角形的，那切一次是有两个等腰三角形的，这个三角形的底是什么？ 底面圆的直径高呢？就是什么圆锥的高，以及三角形的面积和什么。我们圆锥体积公式不能漏掉，一定要记清楚。那今天的知识你学会了吗？关注栗子老师，让孩子轻松学习！

开课喽！沙漏是我国古代的一种计量时间的遗迹，下图展示了一个沙漏记录时间的情况，此时沙漏下部沙子的体积是二十八点二六立方厘米，这部分的体积是 二十八点二六立方厘米。我们观察一下这个图形，这个沙漏是由两个圆锥组成的，并且这两个圆锥的高都是八厘米。 上面这个沙漏里面的沙子的底面直径是两厘米，高是三厘米。下面沙漏的沙子目前只知道沙子的体积是二十八点二六立方厘米。 一、现在沙漏上部的沙子的体积是多少立方厘米？上部的沙子是一个圆锥，也就是需要我们求出这个圆锥体的体积。根据 v 锥， 圆锥的体积会等于三分之一，底面积乘以高会等于三分之一， 泰 r 的 平方 h， 我 们代入算式就会等于三分之一乘以三点一四乘以 r， 用直径除以二，求出 r 再乘以高，这里的高是三厘米。 做的答案等于三点一四立方厘米。二、如果再过一分钟，沙漏上部的沙子可以全部漏到下部，那么现在下部的沙子已经计量了多少分钟？ 也就是说每漏三点一四立方厘米的沙子就需要一分钟的时间。现在请问那这里下面的二十八点二六立方厘米需要几分钟？ 每三点一四立方厘米的沙子就需要一分钟。我们可以求出二十八点二六立方厘米里面有几个三点一四就需要几个一分钟。我们用除法计算，二十八点二六 除以三点一四乘以一有几个，三点一四就有几个一分钟，最后答案等于九分钟。

我们来看一下六年级练册第十六页和第十七页圆锥体积一这一课时的作业。首先在讲这一讲作业之前，我们需要了解的是圆锥的体积公式， 那么圆锥的体积公式我们可以记作是三分之一 pi r 的 平方乘 h， 也就是说它和等底等高的圆柱相比，圆柱的体积是这样圆锥体积的三倍，那反过来圆锥的体积就是和它等底等高圆柱体积的三分之一。 好，知道这样的一个结论以后呢，接下来填空题就比较好做一些了。 然后接下来第二大题呢，就是求圆柱的体积，无论他告诉你的是什么条件啊，你都要把它转换成什么呀？半径和高，这样分别更好的计算。比如说你看第二个给的图是直径，那你先把半径算出来，再去求体积。 那这个地方除了三分之一 pi r 平方乘 h 还可以怎么写呢？还可以记作是三分之一 s h 就是 底面积乘高乘三分之一就可以了，所以给了你底面积和高也是可以直接算它的体积的。 这些题就是自己把答案对一下，但是这还是要注意啊，单位一定要统一，有的题目呢，它有陷阱，它都是前面是厘米，后面是分米，你一定要把单位统一以后，它就算它的体积。 然后这个第三题需要注意，它说沿着这个顶点向下垂直的切开，它的纵面面积是十二平方厘米， 重切面是十二平方厘米，这个地方重切面就是指这样的一个三角形，是指一个这样的三角形，它的面积是十二平方厘米。如果说这样切开以后，它的面积增加了多少多少，增加的话是切一刀多两个面，增加的是两个面，而光说重切面的话，是是这一个面的面积啊。 然后接下来继续这一讲呢，其实比较简单一些，因为是刚开始学这个圆锥体积，所以基本上都是用公式就可以解决它的问题啊。 看一下这个第五小题，第五小题呢，说这个圆锥的底面半径是六，高是九。第一题问你体积 按公式算没问题。第二题说将这个圆锥装满水，再将水全部倒入一个等底的圆柱形容器中，就是这个圆柱和这个圆锥的底相等。问你水面高度是多少厘米？ 那底相等的话，那么圆柱的高应该是圆锥高的三倍，或者说圆锥的高是这个等底圆柱高的三分之一，所以这个地方把水倒进来以后，他的高度应该是从这个高里面取三分之一就可以了，所以直接用九除以三就可以了。 最后来看这个突然应用，说一个直角三角形的两条直角边分别是八厘米和十二厘米，他以八厘米长的直角边所在直线为轴，意思就是以这条边为轴，这样旋转一圈， 那就说明旋转出来呢，肯定是一个圆锥，这个圆锥的高就是这个轴八厘米，而它的底面半径就是这另一条边的长度十二厘米了，所以就半径是十二，高是八，按照这个条件去把它体积算出来就可以了。 就最后一步，一定要注意把这个派呢游到最后一步去算，一次性把这个派三点一四乘一个多位数给它算出来。注意计算的问题啊，这是第十六页、十七页两页的题目了。

以下图中直角三角形的最长边所在，直线为轴，旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少立方厘米？他说以最长边为轴，也就是这条斜边， 那这个三角形我们可以给它拆分成两个小的三角形。我们先看上面这个三角形，如果我以这一段为轴，也是以它为高，那么就是以这一条为半径去旋转出来的圆锥给它画出来。 假设是这个样子，那同样我以下面这个三角形当中的这一段为高，这一段为半径去旋转出来得到的另外一个圆锥。 由这个图我们可以看出来，上面这个红色圆锥与下面这个蓝色圆锥，他们呢都是共用同一个底面，所以他们的底面积也是相等的，那半径呢？也是他们所共用的。 那现在我们要求的是这个立体图形的体积，那么给它拆分成两个圆锥，那圆锥的体积公式是等于三分之一 pi r 的 平方乘 h。 那这个时候我们就重点在把 r 和半径求出来。好，那我们首先来求这个半径，这个半径就是这条，那它实际在这个直角三角形当中，它是一段高， 是以这个为底，它所对应的高。那这一条怎么求呢？我们知道在这个直角三角形当中，如果以它为底的话，那它就是底乘高。 然后注意啊，我们写成乘二分之一，这是三角形的面积，那同样如果我以它为底的话，那就是 底为五，乘高，我们写作半径 r， 再乘上二分之一，那这个同样算的是这个三角形的面积，所以它们是相等的。那么解答，假设这个是一个未知数，那这边呢？是二点五， r 等于六， r 是 等于六，除以二点五，求的半径是等于二点四厘米，半径求出来是等于二点四厘米，那么这个立体图形的体积我们分两块来计算，上面这个圆锥我们用 三分之一乘 pi 乘半径是二点四的平方，再乘这段高，我们给他令为 h 一 吧，那就是 h 一。 那再加上下面这一个蓝色的圆锥，是三分之一乘 pi 乘二点四的平方，再乘下面这段，我们令为 h 二。 那这里我们其实可以提取前面这一部分，它们是共有的，那就是三分之一乘 pi 乘二点四的平方，再乘括号里面把 h 一 和 h 二加起来。 为什么要这样算呢？你看 h 一 加 h 二，我们可以看得出来，它的长度实际就是这条斜边的长度五厘米，那我们就带进去三分之一乘三点一四乘二点四的平方，再乘五，最后求的是等于三十点一四四立方厘米。

这节课我们来一起学习一道关于圆锥体体积的必考题型。一个直角三角形如下图，若以三厘米的直角边为轴，旋转一周，旋转后形成的立体图形的体积是多少立方厘米？ 根据提议我们来看是一个直角三角形，它的高是三厘米，底是四厘米。现在以三厘米的直角边为轴旋转一周，同学们想可以得到一个什么样的图形呢？ 我们一起来看老师的示意图。我们以直角三角形三厘米的直角边为轴，旋转一周 可以得到一个圆锥体，圆锥体的高是我们直角三角形的高，圆锥体的半径是我们直角三角形的底，所以我们得到圆锥体的高是三厘米，半径是四厘米。 这个时候我们来去求旋转后形成的立体图形，也就是圆锥体的体积。根据条件已知的是圆锥体的半径和高，所以所用到用到的公式是 v 圆锥 等于三分之一 pi r 的 平方 h。 我 们来代一下， 三分之一乘三点一，四乘 r， r 的 平方 r 是 不就是我们直角三角形的底呢？四厘米，所以乘四的平方乘 高等于三分之一乘三点一，四乘四，四十六乘三分之一， 最后三和三分之一可以约三点一四乘十六，算下来是五十点二四立方厘米，就可以求出我们旋转后圆锥体的体积是五十点二四立方厘米。 紧接着我们来继续看这道题。现在老师以直角三角形四厘米的直角边为轴，旋转一周， 是不是也可以得到一个圆锥体呢？那得到圆锥体的高就是四厘米，他的半径是三厘米， 从而可以得到以哪条边旋转，哪条边就是他的高，另一条边是他的半径。我们来看，以三厘米的直角边旋转，那三厘米的直角边是不就是圆锥的高， 另一条边是它的半径呢？所以老师再重复一遍，咦，哪条边旋转，哪条边就是它的高，另一条边是它的半径。 现在我们一起来算一下，以四厘米的直角边旋转的话，的旋转后的体积是多少立方厘米？以四厘米旋转，以哪条边旋转，哪条边就是高，另一条边是它的半径，最高是四厘米，半径是三厘米。 函数已知的是半径，所用到的公式是 v 圆锥等于三分之一 pi r 的 平方 h。 我 们来带一下， 三分之一乘三点一，四乘，现在能是四的平方吗？不是了啊，半径是三厘米了，所以是三的平方。乘四等于 三分之一乘三的三点一，四乘三，三得九乘四。最后在这里老师算下来是三十七点六八立方厘米，同学们学会了吗？

六年级今天我们来学圆锥的认识一填空题第一题如图，是一个圆锥，它的高是几厘米？底面半径是几厘米，底面周长是几厘米？底面积是多少平方厘米？ 圆锥的高我们知道是从圆锥的顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高。从图中我们发现这一段长度是十三厘米，所以它的高就是十三厘米， 底面半径是几厘米。圆锥，它的底面是一个圆，圆锥的底面直径是六厘米，那底面半径我们就可以用直径除以二求出来，是三厘米，底面半径就是三厘米， 底面周长是几厘米。圆锥的底面周长也就是圆的周长。 圆锥的底面是一个圆，那么它的周长我们就用三点四从直径求出来，等于十八点八四，那底面周长就是十八点八四。 底面积我们用三点四从半径的平方，那就三个平方求出来，等于二十八点二六， 那底面积就是二十八点二六。第二题，在直角三角形 abc 中， ab 等于四厘米， bc 等于三厘米。如果以一条直角边所在直线为轴，旋转一周可以得到一个什么形， 那我们知道绕一个直角三角形的一条直角边旋转，那么就可以得到一个圆锥，那所以可以得到一个圆锥， 它的底面周长可能是几厘米，也可能是几厘米。 这里呢，我们要注意，例如说我们以 a、 b 这条直角边所在直线为轴，那么 a、 b 这条直角边就是圆锥的高，而另一条直角边 就是圆锥的底面半径，所以圆锥的底面半径可能是三厘米，那这里他的底面周长，我们就用二拍二来求，那就是二乘三点一四乘半径三，求出来是十八点八四， 所以它的底面周长可能是十八点八四厘米，那也可能是几厘米呢？当我们以 b、 c 这条直角边为轴旋转的时候，那么 b、 c 这条直角边就是圆锥的高，而另一条直角边 ab 就是 圆锥的底面半径也可能是四厘米。当底面半径是四厘米的时候， 他的底面周长我们就用二乘三点一、四乘四进行计算，求出来是二十五点一二，所以也可能是二十五点一二厘米。

大家好，我是长治市屯留区第二中学校的郭晓宇老师，今天来跟大家一起学习的是圆锥的体积，你准备好了吗？ 星期天，琪琪和妙妙去蛋糕店买蛋糕，结果他们的意见产生了分歧，我们来看看他们怎么说吧。 这两个蛋糕价钱一样，口味一样，买哪个划算呢？我认为左边的划算它的底面积大，可是我觉得右边的划算它比较高，这可怎么办呀？到底买哪个呢？ 要知道买哪个更划算。我们应该比较它们的什么？应该比较它们的体积，它们都是圆锥，也就是要比较两个圆锥的体积。 你们说的都对，今天我们就一起来学习圆锥的体积。 你们觉得圆锥的体积可能与什么有关呢？圆柱的体积是底，面积呈高，圆锥也有底有高，我猜测可能与它的底面积和高有关。 回答的很好。之前我们探讨圆柱体积的时候，把圆柱沿底面半径切开，拼成了近似的长方形。那么圆锥能不能转化成我们学过的图形呢？你认为它可能转化成什么图形呢？ 我觉得可以转化成圆柱，它们有共同点，圆柱的一个底面缩小成一个点就成了圆锥。图中的圆柱和圆锥底面积相等，高也相等，你能估计出这个圆锥的体积是圆柱的几分之几吗？ 可以用什么办法来检验你的估计。 我们可以把圆锥形容器中装满水或者沙子，倒入圆柱形容器中看看，几次正好倒满。 还可以把圆柱形容器中装满水或沙子，倒入圆锥形容器中看看，几次正好倒完。 你们的想法都非常好，接下来就按照大家的方案动手操作实验验证一下吧。屏幕前的同学们可以准备好材料，跟着我一起操作。 实验器材有，水等底等高的圆柱形容器。 在圆锥形容器中装满水， 倒入和它等底等高的圆柱形容器中，一次， 两次， 三次正好倒满。再把圆柱形容器中装满水，倒入和它等底等高的圆锥形容器中， 一次， 两次， 三次正好倒完。 那是不是所有的圆柱和圆锥都满足这样的关系呢？我们再来做一组实验试试看吧。这一组圆柱和圆锥形容器底面积相等 高，液相等。我们将圆锥形容器中装满水， 倒入圆柱形容器中一次。这时候通过测量我们可以发现， 现在圆柱形容器中水面的高度正好是圆柱形容器高度的三分之一， 两次 三次正好倒满。那如果不满足等底等高的条件呢？这一组圆柱和圆锥形容器底面积不相等， 高也不相等，我们看看现在会发生什么样的情况。 将圆锥形容器中装满水， 倒入圆柱形容器中， 一次没有倒满， 两次还有剩余，也就是倒了一次多，所以只有等底等高的圆柱和圆锥形容器 将圆锥形容器中倒满水三次，才正好可以倒满圆柱。 根据刚才的实验结果，我们发现，把圆锥形容器中装满水，倒入等底等高的圆柱形容器中，三次正好装满。 把圆柱形容器中装满水，倒入等底等高的圆锥形容器中，三次正好倒完。 所以我们可以得出以下结论，圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的三分之一，同样的圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的三倍，你的估计对吗？ 通过刚才的实验，我们发现等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，那是不是所有的圆柱和圆锥都有这样的关系呢？要满足什么条件？对等底等高。 现在你会推导圆锥的体积公式了吗？ 我们来试一试吧！别忘了，我们的前提是，在等底等高的条件下，圆锥的体积等于圆柱的体积乘三分之一。 因为圆柱的体积等于底面积乘高，所以圆锥的体积等于底面积乘高乘三分之一。 用字母 v 表示圆锥的体积 s 表示底面积， h 表示高，我们就可以写成 v 等于三分之一 s h。 大家再思考一下，除了可以用 v 等于三分之一 s h 来表示，还可以怎样表示呢？ 对，因为 s 等于 pi r 的 平方，所以我们在知道半径的情况下，也可以用公式 v 等于三分之一 pi r 的 平方 h。 让我们来回顾一下圆锥体积公式的探索过程，你有什么体会呢？我们可以从已经学过的圆柱体积公式想起 比较等底等高的圆柱和圆锥，先观察、猜想，再验证，别忘了，实验也是解决问题的重要方法。 现在你会计算圆锥的体积了吗？来试一试吧！第一关，一个圆柱的体积是九点四二平方米，与它等底等高的圆锥的体积是多少呢？ 等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一，所以圆锥的体积为九点四二乘三分之一等于三点一四平方米。 一个圆锥的体积是九点四二毫米，那么与它等底等高的圆柱体积是多少呢？因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的三倍， 所以圆柱的体积为九点四二乘三，等于二十八点二六毫米。 第二关，一个圆锥形零件底面积是十九平方厘米，高是十二厘米，这个零件的体积是多少立方厘米呢？ 根据圆锥的体积公式，底面积乘高乘三分之一，可以计算出十九乘十二乘三分之一等于七十六立方厘米。第三关， 根据圆锥的体积公式计算圆锥的体积。 图中已知半径，我们要先求底面积，再求体积，它的体积为二十五点一二立方厘米，你算对了吗？同学们真棒！接下来让我们利用圆锥的体积公式来解决生活中的问题吧！ 工地上有一堆沙子，其形状近似于一个圆锥，这堆沙子的体积大约是多少呢？如果每平方米沙子大约重一点五吨，那么这堆沙子大约重多少吨呢？ 要求杀死的体积应该先求什么？对，要先求出底面积，先根据直径计算出半径，再用三点一四乘半径的平方， 然后利用圆锥的体积公式计算出圆锥的体积为六点二八立方，千万别忘了乘三分之一。 如果每平方米沙子大约重一点五吨，这堆沙子一共有六点二八个一点五吨，它的质量就是 六点二八乘一点五，等于九点四二吨。现在让我们来和奇奇妙妙一起解决课前遇到的问题吧！ 先测量出每个蛋糕的底面直径和高，再计算它们的体积。通过计算，你发现了什么？ 哦，原来两个蛋糕的体积是一样的，奇奇妙妙，你们知道了吗？原来两个蛋糕的体积一样啊！是啊，买哪的都可以啊。 同学们，本节课我们通过实验操作，把圆锥的体积转化成了圆柱的体积，知道了圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的三分之一， 并由此推导出圆锥的体积公式， v 等于三分之一 s h。 在知道半径的情况下，也可以用 v 等于三分之一 pi r 的 平方 h 来计算。你学会了吗？同学们，今天的课就讲到这里，期待下一次的相遇，再见！

记住训练第一题，圆锥底面圆的半径是三，母线长是五，圆锥的表面积表面积应该是侧面积，再加上底面积，侧面积等于 pi 乘以 r， 再乘以 l。 母线长再加上底面积 pi r 的 平方，所以应该是 pi 乘以 r 是 三，再乘以母线长是五， 加上 pi 乘以三的平方等于十五 pi 加上九 pi， 所以 最终算出来表面积应该是二十四 pi。 答案，选择 c 选项 第二题，圆锥的母线长为八厘米，底面圆的直径是六厘米，那么半径而是三厘米。圆锥的侧面积是 pi， r 乘以某线段 l， 所以 应该是 pi 乘以三，再乘以八，算出来是二十四 pi。 答案，选择 d 选项 第三题，如图，在直角三角形 abc 当中，角 abc 是 九十度， ac 是 八， bc 是 六， ab 是 十，若以 ac 呢？所在的直线为轴，把三角形 abc 旋转一周，得到一个圆锥，那么它的侧面积 测面积 pi 乘以 r 乘以 l， 所以 应该是 pi 乘以 r， 这个时候是 bc 是 六， 再乘以母线长是 ab 是 十，所以最终应该是六十 pi。 答案，选择 b 选项第四题，如图，在长方形 abcd 当中， ab 是 十六，以点 a 为圆心，在长方形当中裁出一个扇形 bae， 将该扇形围成一个圆锥的侧面， ab 与 ae 重合，那说明 ab 和 ae 是 它的母线。现在的母线长 l 应该等于十六，则此圆锥底面圆的半径是多少？ 里面圆的半径，这个扇形，我可以把它的弧长算出来，弧长应该是一百八十分之 a， a 对 应的圆心角是这里的九十度，再乘以 pi 乘以 r r， 这个时候扇形对应的半径是十六， 那应该是等于弧长，等于这个圆锥的底面周长。二 pi r， 所以 带进去 r 算出来应该是等于四。答案选择 a 选项。

六下数学最难的圆柱与圆锥，就这十六大题型吃透稳进班级前三，可打印六下数学圆柱和圆锥常见题型总结共十六个题型。题型一，圆柱、圆锥各部分名称及特征。题型二，圆柱的侧面积。题型三，圆柱的表面积。题型四，特殊的圆柱表面积问题。题型五，圆柱 切割带来的表面积变化。题型七，圆柱切割问题。题型八，圆柱切割问题。题型九，铁皮问题。题型十，半径、直径表面积关系计算不规则容器的容积。 题型十一、排水法。题型十二、立体中切割最大圆柱圆锥问题。题型十三、圆柱和圆锥的关系。题型十四、熔柱问题。题型十五、立体图形的体积和表面积以上应用练习法。

八点二一圆锥及其侧面展开图首先我们来看一个圆锥，它是一个锥形的，下底是一个圆面， 那这样的图形，我们把它叫做是圆锥，这个圆形它下面的底面，我们把它叫做圆锥的底面， 顶点叫做圆锥的顶点，那顶点到底面这个圆圆心的距离，我们把它叫做圆锥的高，而这个时候它的母线跟高就不是同一个长度了，那母线它是圆锥的这个侧面， 顶点到这个侧边 o 一 这段，我们把它叫做圆锥的母线，那高和母线这时候长度不一样的。那圆锥的展开图，它是一个扇形， 是一个这样的扇形。圆心角的度数，根据题目所给圆心角的度数，那它的侧面积现在变成了是 s 测，等于二分之一个底面的周长乘以母线的长。我们之前圆柱它的侧面是底面，周长乘以高，或者是母线长长度是 一样的，那现在变成了二分之一，底面的周长乘以母线的长，那圆锥它的表面积就变成是 s。 底面底面这个圆的面积，再加上侧面的面积体积，它就等于三分之一 s 底面积 再乘以它的高是 h。 圆柱我们直接是底面积乘以高。圆锥这里多了一个三分之一。 第一题，已知圆锥底面圆的半径是三厘米，母线长为五厘米，那么这个圆锥的侧面积， 根据侧面积公式，它是二分之一个底面的周长乘以 l 是 母线的长，那等于二分之一乘以二 pi 再乘以 r 是 三， 再乘以某线长是五，所以最后算出来应该是十五 pi。 答案，选择 c 选项。第二题已知一个圆锥的侧面展开图是半径为八厘米的半圆，我们看 展开图是一个半圆，它的半径是八厘米，也就这里是八厘米。那么这个圆锥的侧面积 展开图当中的半径正好是这个圆锥的母线长等于八厘米。那现在算圆锥的侧面积，它是二分之一个，底面的 周长乘以 l， 底面的周长正好是这个半圆长的弧长，所以应该是等于二分之一乘以 二分之一乘以二。 pi r r 是 八，再乘以母线长是八，所以最后算出来是三十二 pi。 答案，选择 b 选项。

今天讲削圆锥，将一个圆柱削成最大的圆锥，削去的体积是六十立方厘米，求这个圆柱的体积。第一个词最大， 这个最大怎样？面积最大的圆锥应该是怎样？应该是底相等高相等，也就是等底等高， 这个等底等高的圆锥和圆柱有怎样的关系呢？圆柱的体积是圆锥体积的三倍，那么我们从分数上来说，这个就是三份， 这个就是一份，那从他到他消去了几份？ 削两份，三份减一份，削两份，这两份的体积多少？六十立方厘米，两份是六十，是不是就可以求一份？求出一份是不是就可以求三份？所以 首先六十除以对应的分数，三份减一份得两份，六十除以二等于三十，再求援助的三份，结果等于九十一方零，这是第一种做法。 圆柱是圆锥的三倍，那圆锥是不是就相当于圆柱的三分之一？对，把圆柱的体看作单位，那么圆锥就相当于单位一圆柱的三分之一， 那么我们从单位一变到三分之一，少了多少？少了三分之二，说明消了三分之二，那么我们的六十就相当于单位一圆柱的三分之二。所以减二 六十对应的数量早对应了分率一，减三分之一 相当于单内一的三分之二，对应数量除以对应分率就得单内一的量。单内一是谁是圆柱，所以求出单体，求出圆柱，圆柱的体积就是六十立方 厘米。 a 这道题削圆锥，削最大的圆锥是等底等高的圆锥，所以两种解法分数分数都可以。

大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来看一道圆锥练习题，请看题。斗笠碗是我国传统陶瓷器型之一，因其倒置似斗笠而得名。 一款斗笠碗的造型可近似看作是一个大圆锥截去其中一个小圆锥后剩下的几何体。这款斗笠碗的容积是多少？ 我们先来看图，图上这个图形的体积我们没学过，但是观察一下它可以变成我们学过的什么图形呢？ 是的，它是一个大圆锥减去一个小圆锥。我们先来看大圆锥的信息，大圆锥的底面直径是二十厘米，高是十二厘米。求圆锥的容积，要知道底面半径和高 底面半径是直径的一半，也就是二十除以二等于十厘米。接着套圆锥的体积公式，也就是 v 等于三分之一 pi r 平方 h 也就是三分之一乘三点一四乘十的平方乘十二等于一千二百五十六立方厘米。 再来看小圆锥，小圆锥的底面半径是五厘米，高是六厘米，那体积就是三分之一乘三点一四乘五的平方乘六等于一百五十七立方厘米。 斗笠碗的容积就是大圆锥的体积，减去小圆锥的体积，也就是一千二百五十六减一百五十七等于一千零九十九立方厘米。 然后换成容积单位就等于一千零九十九毫升，所以这款斗笠碗的容积是一千零九十九毫升。好啦，今天的题我们就讲到这里，小朋友们你们听懂了吗？