山东专升本数学反函数

学大家好，在上个视频当中给大家讲了我们整个高速的核心就是第一章，第一章是我们高速考察的重中之重， 那这个视频给大家讲一讲我们的第一章他到底考察哪些知识点呢？或者说我们的第一章他有哪些内容呢？ 第一张呢，总共分为三大块，分别是函数、极限和连续。那先说函数，函数的话呢，我们需要掌握的话呢，要掌握六个知识点。 第一个知识点呢，我们要理解函数的概念，也就是函数的定义，函数的表示法，什么是分段函数？第二呢，我们要理解和掌握函数的简单性质，那函数的性质有哪些呢？ 分别是有界性、单调性、基有性、周期性，这些性质呢？对于我们后期理解函数能有一个更好的认知。然后第三个知识点就是要了解反函数， 反函数的定义，反函数的图像啊，或者说如何求一个反函数，都是我们要掌握的知识点。 第四，我们要掌握函数的四则运算与复合运算。第五，要理解和掌握基本出等函数。那我们常考的 哪几类有哪几类基本出等函数呢？分别是啊，密函数，密函数，指数函数，然后对数函数、三角函数，反三角函数。 在这里呢，要给大家着重强调一下，五大类基本冲的函数非常非常重要，我们一定要重点掌握它的图像 啊，它的性质啊，就是刚才给大家说的它的有界性啊，它的单调性，它的基有性，它的周期性， 这是我们要对五大类基本出等函数的一个了解，这个五大类基本出等函数，同学们一定要谈到某一类函数，在心中要想到他的图像是什么的啊，他的这个性质是什么样的 啊？因为这对于我们啊，后期求极限啊，通过函数图像去判断这个极限，他的趋向性有非常非常大的帮助。所以说五大类基本出等函数是我们 重点掌握的一个知识点啊，重点掌握，这点同学们一定要注意啊，一定要注意一下。 呃，第二部分呢，就是极限啊，第二部分就是极限，极限在这个地方呢，是我们山东专升本啊，必考的一个题型哈， 我们山东专升本的必考题型啊，就是求极限啊，必考题型之一，求极限，极限这个地方大家也要掌握，大体是七个知识点啊，第一个呢，就是要了解这个极限的概念，就是什么是极限啊， 极限呢，他一共分为两大类啊，一个是函数的极限，一个是竖列的极限啊。在这里呢，首先我们要先了解的话，是竖列的极限啊，竖列极限的概念啊，就是竖列啊，包括竖列极限的定义，这是我们第一个知识点， 就是函数有一定的性质，我们的这个数列的极限，他有，他也有一定的性质啊，大体有这么几个性质啊，就是唯一性呀，有界性啊，包括我们数列极限的几个定律啊，四则运算的定律啊， 还有单调有界数列极限存在定律啊，包括我们要掌握极限四则运算的法则。 然后第三个呢，就是我们要理解函数极限的概念，函数极限的概念呢，我们要了解函数在某一点处极限的定义，左右极限啊，及其与极限的关系啊，左右极限是什么意思啊？包括这个与这个极限有什么关系？ 然后极限的趋向性就是某一个点的趋向性啊， x 趋于无穷， x 趋正无穷啊， x 趋负无穷啊， x 趋某一个数啊，它这个在这一点的一个函数的极限， 然后第四个，我们要掌握函数极限的定理啊，唯一性定理、加逼定理、四则预算定理。然后第五个啊，也是我们求极限的一个重点，就是无穷小啊，在学无穷小的时候呢，我们要先要理解什么是无穷小量，无穷大量， 然后无穷小量与无穷大量之间的关系啊，以及它们的性质，包括两个无穷小量阶的比较啊，这是我们关于极限的第五个知识点。 第六个呢，就是我们要掌握两个重要极限啊，两个重要极限非常非常重要啊，这两个重要极限他的变换啊， x 区域矿石啊，他的这个拓展，我们要重点掌握。 然后第七个知识点，我们要熟练掌握分段函数求极限的方法， 这是我们在第二大类求极限啊，第一章的第二大类求极限需要大体掌握的七个知识点， 在这七个知识点里边，同学们一定要注意一下。关于极限，刚才跟大家说了，是我们山东专升本高速考试当中必考的题型，在这个地方一共我给大家是整理了六大类六个求极限的方法， 每一个方法他有对应的题型，在以后的视频当中呢，我也会给大家发布出来。 其中关于啊求极限，一个是利用两类重要极限啊，两个重要极限去求极限，另外一个是利用等价无穷小去求极限 啊，还有就是利用我们的这个呃，公式法去求极限，公式法求极限这三大类吧。啊，又是我们这六个大类里边六个长考题型里边的三个啊，必须必须要熟练掌握的。 然后第三个大的知识点呢，是连续，连续在这个地方呢，有三个小的知识点 啊，当然第一个和前两个一样，就是我们要先了解函数连续的概念啊，就先要理解什么是函数的连续啊，要理解这个概念啊， 然后第二个呢，我们要掌握函数在某一点处连续的性质啊，什么性质呢啊？就是啊，连续函数的四个运算呀，符合函数的连续性呀，反函数的连续性。我们要求啊，函数的间断点啊，就是间断点的判断 啊。然后第三个呢，就是 b 区间上连续函数的性质啊，有界定律啊，最大值最小值定律啊啊，界值定律啊啊，会用界值定律去推正一些啊，简单的命题啊，在连续这一块，我们常考题型有三个哈常考题型有三个题型啊， 然后其中这个间断点的判断啊，就是他是有介的啊，他是这个跳跃间断点呀，还是可去间断点还是无穷间断点呀啊，就是间断点的判断啊， 及其类型，这个点非常非常重要啊。连续我们大体就考三个知识点啊，这三个知识点当中呢，这个间断点的判断及确定其类型啊，可以说是一个必考的题型，可以说是必考的题型，也是需要同学们重点掌握的一个题型 啊。然后，嗯，当然还有两个啊，就是我们这个要理解出等函数在其定义区间上的连续，要利用连续性求极限 啊。然后第五个是掌握分代函数连续性判断的一个方法，然后这是我们第一张三个大的啊知识点，以及他每一个知识点对应的小的题型啊，包括我们需要重点掌握的一些概念，重点掌握的一些方法 啊，然后后面呢，就是我针对每一个大类给大家重点去讲解的内容，考试内容啊，呃，首先呢，先给大家讲的是函数啊，函数， 然后函数的定义啊，函数的表示方法啊，什么是显函数呀，什么是隐函数，在后续的视频当中，我会针对我们第一章三个大类去拆分给大家啊，一一去讲解。 以上就是我对第一张啊，嗯，高速啊，高速，第一张三个大的知识点的一个啊讲解，然后希望大家后续关注我的视频，会给大家进行每一个知识点的啊着一讲解啊，谢谢大家。

我靠，选择题怎么这么简单，这不得直接满分啊，大题你是真敢出啊，直接给我干蒙了，哎。

二零二六年山东专升本终于考完了，这两天是不是感觉心脏在坐过山车？特别是考完数学的同学啊，我看好多同学都在说累崩了。今年数学确实杀疯了，数二计算量大到离谱，椭圆这种冷门的考点都出来了， 很多同学心态直接崩了。数一和数三也不轻松，可以说是近八年最难的一次。 但是重点来了，虽然数学很难，但是其他科目却非常温柔。英语难度中等，只要你背了核心词，基本都能拿分。计算机和语文更是偏稳，基础题占大头。所以别因为数学难就觉得自己凉了， 难，大家都难，分数线反而会因为数学而下降。接下来说说竞争，今年的整体形式是 试卷持平，竞争家具。虽然题目不难，但公办院校的头部专业真的是卷出了天际，像临床医学、学前教育这些热门专业，暴露比甚至到了十比一， 公办分数线预计要飙到三百一左右。听到这是不是感觉没有戏了？别急，其实二零二六年也藏着巨大的捡漏机会，尤其是对于数学偏科的同学。为什么这么说？今年如果数学简单，基础好的同学能考到九十分以上甚至一百分， 而基础差的可能只能拿个五六十分。但是今年高数难，这样就存在一个机会，高数偏科的同学落不开分了。 咱们专升本拼到最后，拼的不是总分数，而是位次。落不开分，你的位次也就落不开， 他们少考三十分，你相当于自己就多赚了三十分。这对于高数差的同学来说，这是一次巨大的捡漏机会。 所以同学们听我一句劝，考完试不用再对答案了。数学难不代表你没戏，其他的科目优势完全能够补回来。现在最需要关注的就是志愿填报，一定要弄清楚自己可以报哪些院校，招生计划是什么样的 录取分数，预测一下今年大概是多少，然后自己志愿规划出文保冲，让自己奋斗一年，能上公办不上民办，能上本科，不滑荡。乾坤未定，你我皆是黑马， 静等分数公布，祝大家都能收到那张心仪的录取通知书，咱们本科见！加油！

我们来看昨天引爆全网的山东省专升本数学压轴题，其实这道题放在考研数学里也不失是一道较难的压轴题，你想到做法了吗？我们这里给出三种方法，从一到三越来越本质，但是也计算难度越来越大。 第一种方法，由于我们只有函数，而没有得到任何导函数的信息，所以可以考虑拉格朗日差值的方法。但是这道题不同于常规题型的一点是二阶导需要要求在积分里，所以我们可以考虑带格林函数的积分余项 代入函数在两点的值化减出来前面变成了一，这里的 k 函数是一个和函数，这里也是格林函数。我们可以写出格林函数的分段表达式， 这个格林函数的分段表达式是这样，我们可以通过 x 和 t 都是零到一的数得到。格林函数是横负的， 绝对不能直接用积分的绝对值不等式化简啊。为了得到一个更紧致的结果，我们可以由格林函数系数为负，直接把格林函数放小为自己的绝对值， 这样我们就排除了二阶导这个最不可确定正负性的要素。积分里就是横负了。我们可以通过第一段格林函数 t 小 于 x， 第二段 x 小 于 t， 把 t 全部放成 x， 其实已经可以写出来格林函数了，这里被放成了一个开口向上的二次函数，直接在对称轴处取得最小值， 这样我们就完成了证明，我们不给出这个差值的证明。第二个办法需要用到泰勒展开，但是常规的泰勒肯定不行，这里得到的是积分，所以我们考虑带积分余项的泰勒。 我们不知道零和一处的导数，所以期望抵消掉一节向量，我们就把一和零都在 x 展开，这样我们才能想办法去消掉 x 处的一节导， 把第二个式子乘 x 来减，第一个式子乘 x 减一，我们就可以消掉所有一节导。 我们会发现，这里得到的多项式正好就是第一道题格林函数的展开，所以接下来的步骤和第一题一样， 同样的和第一题一样的绝对值放缩一样的二次函数，我们就可以做出来这个步骤。 你说要是拉格朗日差值和带积分余项的泰勒展开，你都不知道该怎么办呢？那我们就用最本质的做法，为了得到二阶导的积分， 一分钟分布积分，转移导数。但是我们注意到，要是对函数积分，但是最后函数上是没有积分号的， 所以为了得到积分，我们只能考虑把函数变成积分，所以自然地就想到了牛顿来不，以此公式， 我们期望消掉导数，所以我们需要操控分布积分产生的边界条件，也就是分布积分后带入上下界，不希望看到函数在一和零处的导数，我们就要让它前面的系数是零， 我们就把这种手法叫做零边界条件。零边界条件是一种超级本质，超级好用的思想，所以说遇事不决分不积分。 你看这样我们把 t 等于零和一分别带进去都都是零了，只剩下了函数在 x 处的导数。和泰勒展开一样，我们按照泰勒展开的办法来做就行了。 看看前面的过程，我们是不是通过牛顿来不离此公事加临边界条件的手段，就推出了前面泰勒展开写出来的表达式了？按前面的步骤重复一遍即可。 所以这样我们就完成了证明。

疯了同学们，二十六年咱们山东这么考完以后，考生们都疯了，不想给咱们专科生留活路了，昨天咱们二六年山东战士们也算是完美的结束了吧啊！同学们考完以后心态都发生了翻天覆地的变化了，都知道难，但是没想到这么难！ 考完以后有同学跟老师说进厂一个月多少钱，直接就想放弃了，尤其是高数这门功课，普遍反映今年计算量超级大，尤其是对吧同学们本身高数不是特别好的选择，初二和初三同学都说今年高数最多就能考个二十几分，甚至有同学看到题之后就直接放弃了。 然后一个题型，今年用的是考研初二的题型啊，让同学们根本就没有信心，都蒙了。考完之后，其次就是英语，难度的话比二五年稍微难，而且英语作文，没有想到连续三年都考出是书信的作文。 其次就是计算机，更是难上加难啊，操作题型的东西非常非常多，比二四年的计算机还要难，直接杀疯掉了。最后语文的话就是文商是比较难对吧？有的同学看完之后都要放下了， 但是同学们今年从咱们的试卷难以承诺。上面来看的话，今年咱们二六年山东专升本肯定是要降分了， 再加上今年咱们的报考人数减少了，加上专业缩绕等情况来看，今年如果说二六年专升本不降分数属实是天理难容了。但是你像个别专业，他的降幅度不会特别大，你像临床医学、 中医针推、口腔医学、药学、中药学这些公办的本科校，他的降幅度不会特别大。然后这个就是我跟同学们呃的反馈做出的判断， 同学们最终成绩得等到四月下旬专升本的成绩出来之后再做决定，然后同学们只要过了咱们的最低录取分线，咱们就得填报志愿，而且今年的录取率要比二五年要高啊， 而且今年的报考人数是在十四万左右，不会超过十三万二。所以说同学们不到最后一个千万不要放弃能填报志愿的就填报志愿啊。

好，同学们，大家好，今天呢，给同学们分享一下二零二六年专升本考试的热点题型，你会发现好多省份都考察到了有理函数的积分， 那有理函数积分中好评最高的就是分子的次数低于分母的次数，你看一次，二次，当然未来可能会发现啊，分子的次数大于分母的次数，比如分子出现三次等情况，那都有相对的处理方案。那么今天呢，我们主要讲的是低次 比高次的问题，因为是有理函数的积分，所以它的解析方法跟步骤是非常固定的， 我们会发现它的分母啊，一定会具备一个特点，可因式分解。 你会发现，我这边呢，可以提取一个 x 变成 x 加三，这是分母的结构，所以我们可以将上述表达式利用待定系数把写成。 注意哈，老师可以把这一部分的答案呢，背记，函数呢，写成 x 分 之 a， 加上 x 加三分之 b， 你 显然你会发现这两个分母怎么出来的，因为是这两块相乘吗？所以老师把这两个拆开来，写成加法的形式。 好，那写成加法的形式，这两块要相等，那很简单啊，我右边可以通分嘛，对不对？通分之后的结果应该要相同，所以它的分子分母应该干嘛同时乘一个 x 加一 啊？ x 加三，它的分母呢，跟分子呢，同时乘以 x， 所以 你会发现，哎，假设它们通分之后呢，它的分母就是 s 平方加 三 x， 对 不对？那分子合并 a， s 加 b， x， 也就是 a 加 b 倍的 x， 这边呢，三倍的 a 啊，没有常数了， 所以我们会发现这两块是要相等的，我们的目标只是把这种复杂的不及函数写成两个比较独立的。那怎么办？哎， s 前的系数是不是要跟 s 前系数相等？所以这个 a 加 b 啊，应该会等于五， 同理，这个六呢，应该会等于三 a 啊，所以可以解出 a 是 等于二，你将二一等于二带入到这边， b 就 等于三。 好，我们在这边使用通分的一个过程啊，只是为了把 a 跟 b 确定出来嘛，所以我们 a b 已经确定完了。 原来我们要算的 a 是 二， b 呢，是三。好，所以我们最终把这个复杂的变成这么简单的倍数。所以原式 可以写成什么？ x 分 之二，加上 x 分 之三 dx， 相信写到这边都比较简单了哈，因为你会发现我单独积分嘛，因为加减法可以单独积分。二往前提， x 分 之一 d 浪， dx 不 就二倍的浪，也是绝对值吗？ 那这边呢，三也可以往前提，相当于我给你拆开来写一下吧，相当于还剩 s 分 之 s 加三分之一 d x 嘛。老师把这个三往前提了，所以这一块的积分呢，也很简单的，浪也 s 加三的绝对值， 因为不定积分，所以得加个 c。 那 么这就是本道题的答案。最后给大家总结一下，就以后遇到这种简单的有理函数的积分，也就是分子次数比分母替数次数要低的。那我们通用的方法是使用分母， 用因式分解，把它写成 a x 乘以 x 加三。那你把它拆成两部分分母呢？用 a b 两个系数来代定，叫代定系数法。 那 ab 我 们再利用什么横等变形去把 ab 求出来。什么叫横等变形？我这个式子只要写成右边这个表达式，那结果肯定不一样啊，肯定不变，答案肯定一样。那怎么办？我可以先让右边通个分， 两边结构一样，之后系数跟系数相同，常数跟常数相同，进而把 ab 给它确定下来。那 ab 确定下来，那我原来的负四大式子就可以写成这个简单的， 然后进行记分就好了。你会发现次数不是变得非常简单吗？而分母确定下来的分子两个常数对不对？好，那么今天的每日一题的分享就到此结束了，希望同学们在今年的专升本考试当中取得一个优秀的成绩。同学们下一期再见！

同学们，考完专升本是不是很无聊？来跟我学一下如何填志愿吧！第一步，打开官网，点击右下角志愿填报按钮，选择山东专升本志愿填报系统。第二步，输入报名时的账号密码和短信验证码，验证码是固定的。下一步，如果你是校建生，对好自己的个人信息， 如果有误，抓紧联系自己学校，赶紧修改，填报时间只有两天，点这个按钮就行。如果你是见到立卡考生，你可以填两次志愿。 第一个是建档立卡志愿，你可以参考去年的建档立卡分数填一个是校建生志愿，先录取建档立卡志愿，然后再录取校建生志愿，他俩可报的志愿都是一样的。然后是填报环节，三类考生都可以选择是否服从调剂。比如说你能报青岛电影学院，但是你觉得有点贵，没填该志愿，生怕录取。 不过只要打开了调剂按钮，那你就有可能录取到该学校，它是优先你填的志愿，如果都没录取，再按照剩余计划随机分配高分考生，谨慎选择该功能。但是两百分左右的同学，我建议打开，先拿到录取通知书，再考虑去不去，这样最保险，然后就依次添加就行。和高考一样，按照冲刺百分之十， 存百分之六十，保底百分之三十，按照顺序填报即可。记得写完了点击保存，也是和高考一样，需要输入密码才能保存，最多七十个志愿，超过七十个无法保存。保存是有修改次数限制的，不超过十次。最后检查一下志愿信息， 然后点击右上角导出即可。截图也行，因为系统只开放两天，建议保存，最后点击完成志愿填报，退出系统即可，你学会了吗？

因为前面视频山东省的呼声比较高，所以我们上一期视频已经把山东省数学一的所有押题全部完成，我们这一期视频挑战完成山东省数学二考前押题押中八十分以上，所以大家给一个点赞，关注一键三连，可以把你们的省份留在评论区，比较多的省份 我们会提前出卷子，我们争取把这种题型知识点和答案模板化，你们在回答这一类题。 ok， 我 们就直接来到山东省数学二的具体内容。首先山东省数学二的极限部分是考两个选择，一个填空，两个计算，选择和填空题都是三分，一个计算题是六分一个。好，现在看直接进入到支点。第一个就是判定间断点的类型，这出现在选择题当中， 而判定间断点类型又分为两种函数，这是一个知识点啊，考这个知识点，然后我们再细化一点，考，具体什么样类型的函数呢？就是这两种。第一种类型的函数就是分式函数，比如说第一， 你看他就是这样子的一个分式函数，说在一点处的间断点是什么类型，你就把一点处的间断类型，间断点的类型判定一下就行，判定了之后去选择下面对应的类型。 嗯，但第一个连续点，如果说啊，他是这种类型的题目，一般来说不会是连续点，所以说假如说你不会，你蒙题把连续点去掉，同理这个点 是第二类间断点，概率也非常低。所以说如果你实在不会，这道题怎么样？你蒙，你从这两个当中蒙，如果你能判定一个不是，那一定是另一个，所以说如果蒙题的话，你蒙也是百分之五十的概率，所以这是第一类。再看第二一类，就是分段函数。 嗯，第二类分段函数就是函数，类型不一样，问法完全一样，问在一点处它是什么样的类型？同样我就 a、 b、 c、 d， 我 就直接写这里啦， 就是这里的上面的选项我就写上面，我就不去再重新写一下，因为都完全一样嘛。好，这是第二类，分段函数。再看第二一个知识点，就是无穷大量和无穷小量。同样是在选择题部分， 怎么考呢？他会给你 x 趋近于一时，下列为无穷小量的为，或者是为无穷大量，这两个当中考一个，然后你就去选择无穷小量，你就选无穷的大量，你就选无穷的大量。好，这就是 选择题的无穷大量和无穷小量。这个知识点非常简单，你们在哪里学到？比如你在线上报班或者线下报班，去对应的教材或习题车上去做几道题，就没问题了。好，再看第三个知识点， 函数的性质。同样是选择题，分为两类啊。第一类是奇偶性，他就直接问你下列函数为奇函数或者为偶函数的式。如果问奇函数你就求奇函数，问偶函数你就找偶函数，就可以。同样在奇偶性这里 统一的给我用这个类型，或者是等于负的 f x， 你 就直接带进去看 f 负 x 是 等于 f x 还是等于负的负的 f x， f x 为偶，负的 f x 为 g。 固定啊，只要求既有性，全部用这个方法，用定义法判定啊，绝对没问题啊！我说的是绝对啊，绝对没问题啊。好，这是例一，我们再看例二，也就是第二种类型，就是周期性，他会直接问你下列函数为周期函数的事，那么你就直接 去判定下面四个函数，哪一个是周期函数，这一个就纯靠记忆啊，哪些是周期函数，大家自己去记一下。好，到了第四个知识点，就是定义域， 选择题或者是填空题啊，他就会值，非常简单，就是直接考你们具体函数的定义域，比如这道题， 直接给你个函数，问他的定义域是多少，你通过他把定义域求出来就可以。如果是选择题，你直接选，填空题直接写，其实都是要求的，填空选择没什么区别。好，第五个就是函数的函数值，但大家把这些题做好笔记啊，我就是提前写好，节约你们的时间，视频的时间也会短一些， 会以填空题为主。比如说第一个选择题啊，第一啊，不是选择题啊，以填空题为主。第一他就是这种直接给你个这种类型的函数， 在函数里面套函数，比如他这里写的 x， 他 也可以写多少，也可以写零，让你去求一样的啊，这是第一种这种普通的函数。第二种就是分段函数，还是一样的求法， 这种题的方法完全一样，你先求里面的 f 零，你先把零带进去，然后这里是零啊，零带进去求到它的值是多少，再把这一部分再带进去，再求一次，就是带两次数值就可以了，这种类型的题都是这么做的。好，我们再看 第六个知识点，已知极限，求另一个极限，就题目当中告诉你一个极限，然后再让你求他相关的另一个极限的值，比如说例题，他告诉你这么一个 两个抽象函数的极限，然后让你去求这一个极限。嗯，这种类型的题是山东省数学二和数学三特有的题目。嗯，数学三，因为你们是这里是数学二的押题，数学二也很喜欢考这种题啊，所以大家注意一下这种题，这种类似的题就是用 极限的定义，你还是一样知识点在哪里学的，你们回去问一下你们的老师就 ok， ok， 这就是山东省数学二的第一个黑板，然后第七个题，大家不用管啊，第七个题是数学三考的，我就 刚才一不小心写在这里了啊，大家只需要关注到第六个点，然后我把这个黑板擦掉，我把山东省数学二的极限部分再写一个黑板，就结束 极限部分，然后再讲后面的导数。好，这里先到这里，我马上插去黑板。 ok， 我 们继续来到极限的第二个黑板的预测。好，我们首先来看到极限的计算。第一个就是 直接应用等价，在直接应用等价当中，他就是直接给你这样的题目。呃，里面你看这一个是直接用等价就行了，他等价有碳金的 x， 直接应用就行了，就是直接考等价的公式，这是第一种考法。 好，考点二就是先落必达再等价。比如这一个式子，你不能直接等价吧，因为这个没有等价公式呗，所以只有先落必达，然后再一次使用 等价公式。当然你分母要先等价，然后洛必达，然后分子再等价啊，所以这里是先洛必达再等价，这是第二种类型的考点。嗯，相对而言，第一种很简单，第二种稍微要难一点点，也不是很难。嗯，第三一种就是有理化，而有理化，我们又写了两个例题，两个例题有啥区别呢？首先看第一个例题， 这一个是不是根号减去方框，所以它其实本质上来讲是 根号减去三角形，而这里就是根号减去根号。你看，这里是根号减去一个值，根号减去一个值，而这里是根号减去根号，是不是根号减去根号。所以这两个题就是两种类型，第一种是根号减去一个数字，或者是一个 啊 x 减去一个值，这种直接使用有理化，这里当这里有理化。分母是谁？分母是一啊，分子分母同时乘以这两个相加，这里一样，这里就是两个根号了，分子分母同时乘以这两个式子相加。好，这一部分就是前三个点。我们再看第四个点。第四个点就是 分式通分，只要你们在考试当中极限的题目当中遇到了两个分式，直接通分啊通分，再进行回到之前的进行计算，所以这个题你直接通分就可以。我就不去多讲了，只要遇到了两个分式啊，直接通分。第五个好点， 变现积分求极限，而变现积分求极限，只要你们在极限当中给我看到了有积分符号。在这道题百分之一百 是使用什么落笔打法则？只要是变现求积分求极限，他百分之一百使用落笔打法则。所以只要遇到了， 把这里等价一下，马上落笔打。只要这种题型啊，他的核心方法就是落笔打，没有第二种方法，我说的百分之百啊。好，再看第六种题型，就是这种固定的题型，这种固定的题型我们直接给了模板，这种模板就是这种， 如果说是方框的三角形，它就等于一的三角形，乘以洛以方框，全部使用这个方法啊。比如说这个例题，你看这里是不是 方框，这里是不是三角形，它等于什么？是不是直接套用这个公式，那么如果这里面不是一个整块，是一减去多少呢？大家观察一下，这个题是不是就是这个题变来的，其实是一样的啊？然后当然一样的话，我看一下，嗯，三二， 嗯，两个啊，我就不看了，反正是方框，这里是方框，这里是三角形，这里是三角形，只要是这种类型全部通用这个方法就可以，这里面不管是多少，不管是两个式子，还是一个式子啊，全部都是这么做，我就不去多说了。再看最后一个点，就是考点七， 已知极限反求参数，这种类型，就是他通过前面的形式，先把极限反求参数，这种类型，就是它里面还有一个参数， 然后让你求里面这个参数，所以这就是这种类型，你就正常的把它求出来，它等于多少 k， 然后再令它等于，它就可以求出 k 等于多少， 所以这就是考点期。 ok， 这就是山东省数学二的极限部分的所有，我们马上把它擦掉，擦掉之后就开始我们的导数部分。 ok， 我 们这一个黑板就来到山东数学二的导数的 压题，我们这个黑板把它全部压完啊，现在看到导数导数，它是两个，一个选择，两个填空，一个计算，一个证明。我们先来看 选择题部分，选择和填空题。选择和填空题首先看第一个考点，就是极值和极值点，而极值点就这个点是喜欢出现在选择题当中。比如说例一，他给你个函数， 一个普通函数，就问你直接问他求极值点，这个就正常的用，你们学知识点在哪里学的就去哪里看这种方法怎么求？这是有固定套路的啊，把极值点求出来，如果是求极值，就像立二， 就是用这种用填空题的方式来考啊，去极值更多的是在填空题当中。好的第一个，第二一个就是第二个知识点啊，渐近线，渐近线 很正常，就很常规的给你个函数，问他的水平或者是垂直，渐进线问水平就打水平，问垂直就打垂直啊，没什么特殊的好。再看第三一个，第三一个就是 导数的求法，有很多类导数的求法我们这里给大家规划起来，其实很多时候他的不同问法其实是问的同一个东西。比如说啊，我们来看 第一个，第一类，他问微分、导数、斜率这三个东西就是求的一个东西啊。比如我们来看一个例题啊，他说已知这一个函数求它的 d y， d y 是 什么？是不是微分？微分是什么？是不是就是 y 一 撇乘 d x 是 不是就导数啊？ 这个微分是不是就是导数，本质上就是求导。第二一个他问他是不是把他求导之后，把他 x 等于一带进去就可以了，没什么特别的，就是一样求出来，带进去。好，这第二个问， 我问在这一点处的斜率是不是，这个斜率是不是就等于他？因为导数和斜率就是以这一点处的斜率就等于这一导，这一点处的导数值不就这么回事吗？所以这第一类 再看第二类就是参数方程求导。嗯，参数方程求导，他就是给一个参数方程，问你在他某一点处的这里怎么写成切线呢啊？嗯，问他某一点处的导数， ok， 好， 回来来我们这里啊，他就是 给你一个点，然后他问你在，哎，在这里啊，给你个那个参数方程，就是断了一下啊，参数方程，然后问在这一点处他的导数是等于多少？同样，这是就考的这类函数啊。同理。第三类就是引函数，他给你个引函数， 然后问你在这一点处的，然后问你这是二啊，问你在这这一点处的导数是等于多少？参数方程和引函数求导是有固定的方法和流程啊，同学们， 回到你们的知识点，线下线上报班都可以啊，在哪里学到？一定是教过的，你把这个点给他巩固一下就可以。好，这是第三一点。我们再看第四一点就是切线。切线分为三类啊，其实和求导有点像啊。第一类就是正常函数直接求切线，他给你函数，问你在某一点做切线， 直接求求了这这一点带进去就是他的切线。而第一类，第二一类就是参数方程求导，参数方程求切线，这个你看这个 方程都一样啊，我就不去练了，他就这个方成为你在这一点做的切线。本质上来说，你还是要先把这一点做导数求出来，然后再把 t 带进去，求出 x 和 y， 再求出它的切线。同理，引函数求切线也一样的，先要把它导数求出来，然后 再把这一点带进去，就能求出它的切线啊，这是第三类。好，这是求切线的这几类，这一个再看到第五一个，这个是在应用题啊，求极值。 嗯，在山东求数学的时候，他有有些题是非常难的，比如说证明题，他考的非常难，他有的时候会考你双中指问题，这考研才会考的啊，就非常难，但是他考的方向也不定，所以我们其实 证明题是不是很好预测的，我们只给了两个方向。而在求极致，这个他考的相对就比较简单，他就直接给你个普通函数，然后直接问他的极致， 就非常直接了，当你就直接用对应的方法去把它一步一步求出来，计算不失误就可以了。反而来到第六点证明题这里， 预测是很难预测的，而且他考的比较难，那么方向就比较杂，所以我们很难预测，我们就给了两个方向，第一类方向就是鲁尔定律，就是他说 f x 他 为奇，函数在这个上是可导的，让你证明 这个式子，这种就典型的用罗尔。第二种就是不等式，就证明这种不等式，这种不等式是用什么？是用单调性， ok 啊，是用单调性证明这种不等式啊。 好，我们这一个黑板就把山东的数学二的导数部分讲完，马上把黑板擦掉，我们再来讲积分部分， ok， 我 们这一个黑板就把山东数学二二六年的积分的押题全部讲完。我们先来看到考什么吧，第一个是 填空一个选择一个，两个计算，一个应用，我们直接来看到具体的知识点，首先第一个就是定积分比大小，定积分比大小，他会直接给你三个定积分，比如说啊，这里 一二三就这三个定积分给你，然后问他下面的关系式是什么，无非你就去比较一二三哪一二三哪个更大呗。这里给大家说一个技巧啊，一旦你发现这三个积分上下线 一样的，你比较的是什么？其实比较的就是他们中间的这个函数，这三个函数在比如说这个题，在零到一上， 这三个函数谁大，他所对应的积分谁就大，所以你要去通过对比这三个函数去对比 i 一 i 二 i 三谁更大，你再在选项当中去选择。当然我这里只写了 a 和 b 啊， 正常来说有 a、 b、 c、 d 四个选项，但没意义嘛，你也要自己求出来再去匹配嘛，所以我这里就象征性的写了一下选项。 好，再来看变现积分求导，这是第二个知识点，变现积分求导他怎么考呢？就直接给你个变现积分，你看这是是不是直接给你个变现积分，然后让你求他的导数，或者是求他某一点的导数值，反正你总之是要求他的导数，你直接把这种变现积分怎么求导？回顾一下这个知识点， 呃，具体的方法其实也很简单，就是把它带进去就行了啊，这个就不说，当然这里还有个 x， 要注意好，这是这一个，然后再看原函数 相关的计算，原函数计算它是怎么求的呢？就是相当于这个例题，它会说已知 f x 的 一个原函数是它，它会告诉你它的一个原函数是它， 然后你要通过这个式子求来判定出这个是怎么计算的。其实只要告诉你的语言函数啊，你要能得出两个东西，第一个 你要知道 f x 等于多少，第二一个就是通过 f x， d x 等于多少，只要是他说他是他的一个语言函数，你要能判定出这两个式子，再来求出它啊。这是 这一类题，全部都是这两个点，得出下面的结论啊，这个也要回到这里啊，然后你再通过 abc 去匹配匹配，我这里就没有写 abc。 好， 再看第四个 就是已知积分，求另一个积分，这是我们山东省特有的一类考题，山东的老头喜欢出这类题，不知道为什么他钟爱于他啊，所以大家把这一类题掌握好。首先来看， 别看第一种类型，他就是给你一个这个已知条件，这是不是一个抽象函数，告诉你抽象一个积分，告诉你，然后让你求这一个积分，其实就是把它放到后面去进行凑微分，然后再得出来嘛，反正他会给你个 积分，让你求另一个积分，这是第一种类型。第二种类型什么？同样给你两个积分，这两个积分也是已知的，然后去让你求这一个积分，所以这一类题大家好好掌握。这，这是我们押题卷里面我挑了两道题出来，大家好好掌握啊。这一类题。 好，再看。第五个就是拆分积分的计算，怎么拆分呢？有两种拆分方式，第一种 拆括号，怎么拆？他就这么拆括号三角形外面，你这里把它乘进去，乘进去，拆分为两个分，变为两个积分进行计算就可以了。好，这是第一个， 然后大家他所对应的例题，我们写了一个啊，大家仔细看一下，然后做一下这个题，可以做一下。好。第二种拆分是什么拆分呢？就是分式拆分， 分式拆分它是一个分式分子啊，它有两项，当然也有可能是减，减啊，有可能是减，然后你把分子拆分拆分为两项来进行计算就可以了。同样，我们也给了一道例题啊，这是两类拆分拆分， 老头也还是比较喜欢中意啊。嗯，没有上面那个这么中意，但是他还是比较喜欢的。 好，我们来看积分的计算吧，这里积分的计算就比较重要了，他在选择计算，填空都会选择填空，计算都会喜欢考啊。首先来看计算第一步， 第一个要点就是分布积分法，而分布积分法当中，我们进一步详细，进一步细化啊，尽可能给大家讲详细，就是两类函数。 第一类就是两类函数相乘，比如这个它就是两类函数相乘，然后使用定积分分布积分法，比如这一个，它就是两类函数嘛，三角形和方框是两类函数，把它化为分布积分法。第二一个是 无法积分的函数，比如说反三角函数，比如说我们的呃，对数函数，他没有办法积分，你就直接使用分布积分法，这是这两类啊，分布积分法的两类。 然后再来看换圆法，也有两类，一类是根式换圆，根式换圆最核心的点是什么？看到根号直接给我换圆，比如这里根号是谁？就这里嘛，直接看到根号就换圆啊。我这里字写的比较小，大家把屏幕可以放大，你可以把屏幕划，把这里放大一点， 然后看到它就可以直接换圆，然后令它等于 t 就 行了，这是根式换圆。再一个就是三角换圆， 三角画圆，核心是什么？核心是看到这个东西，一旦看到了 a 平方减去 x 平方，甚至于 a 平方加减 x 平方，它就等于更要像一减 x 平方，二减 x 平方，四减 x 平方。这三类是考试最喜欢考的这三类啊，它重点是什么？不是根号啊， 重点不是根号，重点是里面的 a 平方减去 x 平方，重点是这几个啊，好，这是三角画圆。然后再来看第三一种计算考法就是有理函数积分，这也是 山东省数学老头喜欢考的一类题目啊，有理函数积分，同样，他是不是只是这一个？不是啊，他有的时候会写，比如写个常数 a， 甚至有的时候是 x 平方加 b 加二， x 加一，他这是什么？有的时候是一次项，有的时是二次项，有的时候没有项，所以说下面都是二元函数，上面是要根据一元、二元和常数都有可能去把这三类题都做一下。这三类题是有固定套路的，我们内部应该是 内部学员讲的非常透彻啊，你拿到这个题就是模板答案，往往模板上写就行了，我们就不讲了，这里把题型告诉大家，大家去把答案找到，然后怎么做，把它弄懂。第七个， 偶备机灵。偶备机灵经常性的，他是给你两个函数加在一起加或减，你会发现 只要是在对称区间上，第一反应是什么，就是偶备机灵，你看到偶备机灵之后， 然后这里你看一下它是奇函数还是偶函数，有的同学说这个整体不是奇函数，也不是偶函数，如果整体不是奇偶性，那么你把拆分为两个计算，单独看它们是奇函数还是偶函数啊？好，这是第七个。然后再看应用题， 应用题简简单单就是体积和面积，而在体积和面积当中， 他就直接给你这种函数围成图形的面积，然后问你这个围成图形的面积是为多少，或者是问你绕 x、 y 轴的体积， 反正就是给你个函数，你去把它画出来，问他的面积是等于多少，问他旋转题的体积是等于多少。这一类是非常简单的题吗？一点都不难啊。这个 你去把固定的流程，尤其是体积啊，今年大概率是考体积，不是考面积。 ok， 我 们这个黑板就把数学二的积分全部给它讲完。 ok， 我 们这一个黑板就把数学二的多元函数和微分方程全部给大家梳理完。好，直接来看吧。多元函数是 选择加填空，考一到两个题不太稳定啊，反正一到两个呗。然后计算题是考两个，我们就直接来看具体的知识点。首先第一个就是二阶偏导考选择题，二阶偏导考选择题，他会 比如给个例子啊，他就直接给你个二阶偏导，给你个二阶函数。什么直接给你二阶偏导，给你个二阶函数，然后让你求，这里是对 x 求两次偏导，而这一个是先对 x 求偏导，再对 y 求偏导，反正都一样求两次偏导。这是第一种就是考选择题， 第二一个知识点就是权威分，权威分选择填空题都有可能考。嗯，考计算题的概率比较小，主要是以选择和填空题为主。 然后他说求这个，还说这是一个二元函数，求它的全微分，其实就是对 x 求偏导，再加上对 y 求偏导，本质来说还是在求偏导。 好，这是第二个知识点。第三一个交换积分次序，这就是二冲积分呐，二冲积分他会直接立体按，直接给你个二冲积分，然后让你交换他的积分次序。嗯，两步，第一步画图像，第二一步，我们这里是先对 x 积分，再对 y 积分嘛，所以第一步 先画图，第二步再先对 y， 再对 x 积分，写出它的表达式就可以了啊，这是有标准流程的啊，学知识点学过。好，第四一个知识点。二，从积分到计算，这个是考计算题啊， 百分之百会考啊，肯定会考，而且大概率考什么呢？级坐标。因为二中积分的计算是有两种，一种是级坐标，一种是直角坐标系，所以大概率是考级坐标，而级坐标非常简单，也就是最正常的啊，给你个 函数，然后他的地区告诉你，让你计算这个函数，画图像，写表达式，求出值就可以了啊。好，这第一类，第二一类就是 x， y 轴的坐标 还是一样，给你个表达式，把 d 的 区域函数告诉你，这是为 d 区域函数啊，然后让你求它就可以了，这是就是第二一类，整只就是二重积分，求积分的计算。好，这是第四个知识点， 然后第五一个知识点，就是引函数求偏导，引函数求偏导，它会给你这种函数，这 它的引函数，然后求它的偏导。其实就是，当然有两种方法，一种是逆函数公式法，另一种就是两边同时对， 比如对 x 求偏导，那么两边同时对 x 求导，对 y 求偏导，两边同时对 y 求偏导，是还是一样标准流程啊？在学知识点的时候就学过，然后再来看微分方程，微分方程是一个选择和一个计算题，是六分一个嘛？然后第一种，当然这个是考选择题啊， 判定微分方程的结数判定微分方程的结数就是给你个微分方程，然后让你选它的结数 a、 b、 c、 d， 你 比如是一阶你就选一，是二就选二，但我选项就没写，正常来说你也是做出来再去匹配嘛。好，第二，一个 一阶微分方程求解求通解，这是考计算题啊，然后考计算题，它就会给你个微分方程，让你去求通解，这个就用其次的 其次解的方程啊，其次解的方程会专门有个公式，直接套进去就可以把它化成其次的模板啊，这个还是一样，这些都是套路性的题目，所以你直接用对应的题目去解就可以了啊。好，第三，一个 二阶梯次求通解，同样给你个二阶的通，给你个二阶微分方程，让你求它的通解。这个其实比这啊都差不多，反正都是标准流程，当然他也是考计算题啊。 好，微分方程我们就给三个点啊，所以是给的非常少的。那我们这个视频就把山东省高速二的所有内容全部给它梳理出来，大家去把它整理好就可以。 ok， 我 们这个视频就先到这里。

山东专升本哪些专业能捡漏？哪些专业千万别报专升本，考完试最该干啥？全是干货，看到最后有福利！ 首先是捡漏专业，低分也能充！公办捡漏专业，传播电子电气工程，而且是非常好的公办。山东交通学院 能源与动力工程、材料化学、纺织工程、家政学、民办可以捡漏的专业，新能源科学与工程、社会工作应用、日语、特殊教育、数字媒体技术 这些都是新增专业，竞争比较小，小重可以稳录的专业，音乐、体育、美术教育、药品检验、康复治疗、物流管理、人力资源管理这些专业招生多，报的少， 分数线贴近省控线，闭眼就可以冲。说完了，简单的咱们现在说一下暴露比高的专业，建议直接避开。第一个就是计算机科学与技术，暴露比超过二十比一，而且今年缩招二百三十人。 第二个，学前教育公办录取率低，分数线在三百二十分左右。第三个，临床医学、口腔医学缩招百分之四十七，专业限制特别严。 第四个，会计学、财务管理，平均分数要达到二百八十五分，这是实打实的万人坑。第五个法学， 山东政法学院去年第一年招生分数就达到了三百三十七分，卷到离谱闭坑口诀，热门公办谨慎冲说招专业直接别碰！考完最该做的三件事，这是重中之重。 第一个查成绩，四月二十一号十点查成绩，省教育考试院官网查分有意义，两天以内可以申请复合同，现在开始就要准备志愿，最多可以填七十个平行志愿，提前列好初文保的院校和专业， 出成绩以后立马筛选，额外提醒，手机要保持畅通，不要更换手机号，保存好你的准考证，别错过任何通知。想知道你这个分数能捡漏哪些院校？关注波哥， 我整理了二零二六年专升本简陋专业加院校名单以及历年分数线，需要志愿规划，直接跟准博哥的步伐，专升本不迷路，咱们本科见！加油！

今天这个视频给大家讲解的是二零二六年山东省数学一专本数学真题卷。那么看一下第一部分，大家想要选择题，第一道题让你判别是无穷量还是无穷大量， 题目会告诉你 x 某点啊，让你判断 f x 是 无穷量还是无穷大量，那本上就是求极限，求哪个极限？求题目会告诉 x 某点极限，哪个极限？函数 f x 极限，如果减，结果等于零 乘 x x 零时， f x 就是 我们的无穷小量，对吧？如果见结果等于无穷大，非常大乘 x x 零时， f x 是 我们的无穷大量，那这道题本上就求极限，对吧？咱们计算极限，是不是能代入就能代入啊？ 什么时候能代入？遇到分式分母被零，或者没有分式就可以代入啊？那怎么看 a 选项是无穷量还是无穷量？那本上就求题目会告诉 x 某点极限，哪个极限？是不是函数 f x 极限啊， 对吧？计算这个极限是不是能带入就带入啊？因为它没有分式，所以可以将 x 零带入，那就是零的平方就等于几就是零啊，零小不小？小，当然是无穷向量，所以答案选择是 a 呀。 那总看 b 选项是无穷量还是无穷大量，那不然就求极限。求哪个极限？是不是求？题目会告诉 x 某点极限，那个极限是不是函数 f x 极限，对吧？计算这个极限是不是能带入就带入啊？因为它没有分式，所以可以将 x 零带入， 对吧？ q 等于零，几等于一等于零吗？不等零是无穷量吗？不是啊，那怎么看 c 选项是无穷量还是无穷量？那本身就是求极限啊，对吧？计算这个极限， 对吧？计算这个极限是不是能代入就代入啊？因为它没有分时，所以可以将 x 等于代入，那就是根号下一减零就根号一，根号一就几，一等于零吗？不等零是无穷量吗？不是啊， 那咱们看一下我们的 d 选项计算这个极限吧。对啊，计算这个极限当然能代入啊，因为它没有分式，所以可以将 x 零代入，那就是 e 的 零次方， e 的 零次方等于几？等于一不等零是无向量吗？不是，所以第一道题选择我们的 a 选项， 那我们看看第二道题， x 零时是函数 f x 的 什么焦点？ f x 是 一个分的函数，我们当然要求下左右极限啊， 对吧？那咱们看一下零的左极限，那零的左极限，顾名思义，是不是从零的左侧 b 线 x 上呢？一定要小零啊，所以 f x 取我们的 x 平方，是不是加上 x 再加上二啊？ 计算这个极限是不是能带入就带入，因为它没有分式，所以可以将 x 点零带入，那就是零平方再加零，再加二就几就是二呀，左极限是二，那总看一下零的右极限，对吧？零的右极限，顾名思义，是不是从零的右侧逼近 x？ 干啥一定要大零啊，所以 f x 取谁啊？是不是取我们的二加上 c x 啊， 对吧？计算这个极限是不是能带入就二加上 c x 啊，对吧？计算这个极限是不是能带入就是二，加上 c 零啊， 对吧？ c 零等于几是不是等于零啊？零加二是几就二呀，左极限等于右极限，对吧？那怎么看等不等于该点的函数值？那看下零的函数值等于几啊？ 零的函数值等于几，是不是等于三呀？左极限等于右减，但是不等该点，函数值当然是我们的，可去减点。所以第二道题是不是选择我们的 b 选项啊？那怎么看一下第三道题？ 以下是二阶回方程，这道题是考察微方程阶的概念，是叫几撇是几阶？ a 选项是一撇是几阶一阶啊， b 选项是几撇一撇是几阶一阶啊。 c 选项是几撇三撇是几阶三阶啊，所以答案选择谁啊？ d 选项 d 选项不是二撇吗？二撇是二阶啊，对不对？ 那咱们看看第四道题，已知函数 y 等于 x， 是 由方程 e x 乘 y 减一加上 x x y 等于零所确定的让求零的导数值。 那这道题是引函数求导，对吧？引函数求导有两种方法，方法一，是不是叫直接求导法？直接求导法一定要记住 y， 可是关于 x 函数，一定把 y 当做 x 的 什么数函数，对吧？如果遇到负函数，一定不要去对内函数求导，可能会多了个 y 撇啊。 方法二，是不是可以使用一下偏导法，对吧？偏导法，一元引函数需要构造二元函数，对吧？好了， 那我们呢？引函数求导的 y 边上点 x， 用偏导法就是负的，是不是？对外求偏导，分之对 x 求偏导，对吧？对，谁求得到？把另外一个当做什么数当做常数，一个常数，一个函数，对吧？ 要是我们引函数求具体某一点的，我们优先使用啥？方法一，这个方法算的是非常快啊，对吧？这是计算戳值的， 对吧？哪一点的导数值是 x 零的导数值，这是戳值的话怎么办？先将这个戳值带进去，求出我们戳值的 y 啊。所以将 x 带进去，那不就 e 的 零次方乘以 y 再减一加上是不是 r？ 参议的是不是零乘 y 是 不等于零啊？ 先将这个戳值 x 零点求得戳值 y 啊，对吧？零乘任何数都得零，对吧？零乘外就是零。二乘零等于几，是不是等于零啊， 对吧？好，一的零次密等于几等于一啊？一乘任何数是不是都等于它本身？所以 y 减一等于零，所以求得戳值 y 等于几？ y 等于一啊， 对吧？好了，具体某一点的话，我们优先使用啥方法？一，这样算的比较快啊，对吧？那我们等式两边同时对 x 求导吧，对吧？因为 y 可是关于 x 函数，对吧？这边有 x， 左边有 x， 所以 叫乘积求导。前导，对吧？ e x 求导，就像对你爱，是不是保持不变呀，前导后面不导呀， 对吧？再加上后面倒外求到是啥？是不是外一撇呀？减一小等于零，后倒再乘，再乘，前面不倒呀，再加上二可求倒是不等一加 x 方分之一啊。此时 x 是 不是就是 x 乘 y 这个整体啊，对吧？求完吗？没有，它是个符合的，一定不要去干啥。对，你的内藏求到呀， 对吧？好，外，可是关于 x 函数，对吧？所以叫啥叫乘积求倒前倒是一，后面不倒， 对吧？再加上后面倒，前面不倒呀，好了，那怎么办？等式右边求倒零求根几是不是就是零啊？好了，怎么说了，这是出值的，对吧？先将这个出值带进去啊。那带进去，你发现只含 y 撇，那答案很快就算出来，对吧？所以将 x 等于一， y 等于一带进去啊，那就一得零是不是乘以一减一，是不是再加上 y 撇 e 的 零次方，再加上一比上一加上 零。乘以一的平方是不是一加上 y 撇是不是乘以零啊？是不是等于零啊，对吧？好了，零乘六数是不是都得零啊？好，零加一等于几一啊？好，零乘六都得零。零的平方等于几零，一加零等于几一，一分之一是几一，一乘一是几一啊。 一的零方等于几等于一啊，好，一减一是几零，零乘以都等于零啊，好，你发现了谁啊？ y 撇加一等于零，所以 y 撇等于几？ y 撇是不是等于负一？所以这一题算的非常快，就是几就是 c 啊，对吧？你要记住，引函数求导让你算具体某一点的， 对吧？我们先将戳值带进去，求得戳值外，我们优先使用啥方法一直接求导，对吧？直接求导对吧？你先不要着急整理，先求完导，求完导先将这个戳值带进去，你发现只含外撇，当然这个外撇很好的就显现出来。答案选择谁？ c 选项对不对？ 那看一下第五道题，以下结束收敛的是 a 选项， n 的 平方开立方难道不就是 n 的 三分之二？ 所以 a 选项是一个 p 数， p 等几， p 等三分二小一当然是发散的，对吧？这个 b 选项的通向比较棘手， 我要把它转成 p 数就好比较大小了，对吧？好了，那 a 的 b 方遇到一个密函数，是不可以取 e 的 棱呀，对吧？根据度数性质， b 是 一个小屋子，是不可以趴在前面就等于必备的棱 a 呀。 同样道理，你二的论 n 是 不可以通过密值转化，是不可以写成 e 的？ 论 n 是 不是乘以论二呀， 对吧？好， e 的 论 n， 乘以论二是不可以写成 e 的， 论 n 的 是不是论二次面啊，对吧？因为 e 和论是一个反数，是不是可以直接消掉？可以变成 n 的 是不是论二次面啊， 对吧？好，所以 b 选项这个通向可以变成 n， 从一累到无穷，对吧？分成一，对吧？二的楞 n 是 不可以写成 n 的？ 楞二呀，所以变成一个 p 数， 此时 p 是 几？ p 是 不是楞二呀，对吧？ p 数和谁比较大小？是不是和一比较大小？如果大一是收敛的小，等一是发散的，对吧？那一是谁？一不就是楞一啊， 一是二点七几，二当然小于二点七几啊，所以楞二小于楞一，楞一是几一啊，所以这是一个 p 住 p 小 一当然是发散的，所以 b 选项是发散的，对吧？好，那咱们看一下我们的 c 选项， 这个 c 选项可以使用啥放松啊？因为无穷极数是不是累加到无穷啊，对吧？ n 累到无穷，是不是？指数函数增长速度是不是远远大于你的面数？是不是远远大于你的对数？那反过来就是对数增长速度是不是远远小于你的面数？是不是远远小于你啥？远远小于你的指数函数啊， 对吧？我将分母给它放缩，分母是一个啥？对上数，我给它放缩成一个面数，对吧？我在干啥？同时取个倒数，对吧？取个倒数，一定啊，一定不让记编号呀，不等，方向一定要改变，因为三大于二呀，你取个倒数三分之一，这二分之一取个倒数，要变符号，对不对？好了， 所以干啥找到一个极数与它作比，对吧？找到哪个极数？是不是 n？ 从一累到无穷，是不是 n 呢？对吧？这个极数。那这个极数是典型的一个啥发散的，而且是一个啥调和极数，它这个调节是发散啊，对吧？你小的都发散，你大的干啥？必然发散啊。 所以 c 是 不是也是发散的，对不对？没有用吧？那收敛的就选啥，就选 d 啊？ d 选项是不是可以通过我们的比值盘法？因为啥含阶层，我们往往选择啥比值盘法，对吧？ 你算这个 ro 等于几？是不是五分之一，是不是小一，当然是收敛的，对不对？那 d 选项咱就不要计算了，对吧？所以这题是不是选择我们的 d 选项？ 那我们看看第二部分填空题。已知函数 f x 等于 x 加六，比如 x 加一，让求反数三等值，那这道题有两种方法，方法一可以把这个反数求出来，将三给它带进去啊。 你方法二可以利用我们反数和原数之间的关系，让求反数三等值，难道不让求原数等于三的一个自变量， 对吧？等两边是不是可以同时乘 x 加一，那就变成 x 加六，是不等于三倍的 x 加一啊？然后有括号，把这个括号打开，那就变成 x 加六，是不等于三次再加三呀？ 你要减 x， 把 x 放在等式左边，不？ x 放在等式右边，对吧？把移到等式的左边，把移到等式右边，以及相乘不变编号。 x 减三， x 是 不是等于我们的三减六啊？ x 减三， x 是 不是负， x 是 不是等于几？是不是等于负三？那 x 等于几是不是我们的二 m 三呀？所以反说三等值难道不就是二 m 三呀， 对不对？看下第四道题，已知两项量， a 向量是负一 k 一 b 向量是一二 k， 已知 a 向量点击 b 向量等于五，对吧？两个向量点击对吧？点击的公式啥是不叫横乘以横 加上纵乘以纵加上数乘以数呀？所以 a 向量点击 b 向量，难道不就是负一乘一加上 k 乘以负二呀？是不是再加上一乘以 k 呀，对吧？负一乘以一是几？负一 对啊， k 乘以负二就是负二 k 啊，一乘以 k 就 几就是 k 啊，它俩顶乘等于几是不是等于五呀？好了，负二 k 加 k 是 几？负 k 是 不是变成负一减 k 是 不是等于我们的五呀？ 要减 k， 把 k 放在等式左边，不含 k 放在等式右边，一向收不一样编号，所以变成五加一啊。五加一等于几是不是等于负六啊？所以第七题 k 等于几是不是负六啊？ 那我们看看第八道题，已知函数 z 等于 x 加 y 方让求全分 d z 全分 d z 不 就是偏 z 偏 x d x 加上偏 z 偏 y d y 吗？ 所以这道题求出偏内偏 x 偏内偏外就可以了，对谁求不了？把另外一个当做常数乘以常数提加上，不用看了，对吧？你可知道三 x 等于几是不等于三呀，对吧？ x 减三求等于几是不是等于我们的呀？对， x 到三就常数，是不是乘以常数提加上，不用看了， 对不对？对，谁求倒把另外当做常数乘以常数提加上，不用看。好，那咱们看一下我们的偏 z 撇 x 撇 z 撇 x 对 x 倒 tan 求等差是不是等于我们 second 方呀？求完吗？没有，不要去对你的内次函数求倒，它是符合的。 内次函数对谁求倒是不对 x 倒对 x 倒，把 y 当做常数乘以常数提加减的，不用看了，对吧？那二求倒 是不是一，是不是二呀？这我们的偏内偏 x， 那 我们看一下我们的偏内偏外偏内偏外呀，好了，探求等一下 second 的 方呀，求完吗？没有，不要忘记对你的内藏着求的哦，对吧？不要忘记对你的内藏着求 对式求导，对外求导，把 x 当作常数，这是啥？这是加一常数，不用看了，这是啥？这是外方，外方对外求导啥？是不是二外啊？所以你的偏内偏 x 偏内偏外求出来了，是不是将它带进去啊？是不是将它带进去啊？所以第八道题这个答案就有了，对不对？ 那咱们看下第九道题，已知密级数 n 从零累到无穷 n x 加四的 n 次方在 x 等于负七处收敛，在 x 等于负一处发散。让你问极数 n 从零累到无穷 n 二 x 减一的 n 次方的收敛域。 像这样题是已知一个抽象的，让求另外一个抽象的。咱们说了转换成啥，是转着我们抽象的还是获得定律的求法呀，对吧？这题相当于告诉你啥 f x 加四的定律是谁？是不是就是负七到负一啊？ 一定是左 b 右开呀，因为他在负七处收敛收敛，是不是 b 区间发三是不是开区间？好，他告诉你呢，是不是 f x 加四的定域 是负七到负一，让求谁的定域？是不是让你求二 x 减一的一个定域啊，对吧？抽象的定域，想必大家都会求啊，抽象的定域，只要记住两句话，对吧？定域是指谁的范围？定域是指 s 范围，只要被 f 的 作用范围是不是都是一样的？好， f x 加四，定域是谁？负七到负一定域是指谁范围？ x 范围，所以 x 是 不是介于负七到负一之间呀？你要解谁？你要解被 f 作用范围，这个被 f 作用范围是谁啊？ x 加四啊，所以不能说两边是不是同时加四呀？负七加四是几，是不是负三呀？ 负一加四是几？三呀，只要被 f 作用范围是一样的，这个被 f 作用范围是 x 加四，那这个被 f 作用范围是啥？二 x 减一，只要被 f 作用范围是一样的，都是几？是不是都是负三到三呀？ 所以说二 x 减一，它范围是不是也是负三到三呀？因为你的啥 x 加四和你的二 x 减一，是不是都被这 f 作用了？是不是都是这样负三到三呀？你要解它定义，定义是指谁范围？ x 范围，你要把 x 解出来， 所以不等式两边看。啥可以同时加一啊？三加一是四对吧？负三加一是几？负二你要减 x 对 吧？定域是指 x， 你 把 x 写出来，所以不等式两边要同时除以二呀。负二除以负二是几？负一对吧？四除以二是几是二呀， 所以它的收敛域就是它，定域就是就是负一到二呀，是不是左臂右开？所以第九道题就是负一到二，左臂右开。 那咱们看一下我们的第十道题，已知 f x 等于一到 x 这个变形分，变形函数是令 t 加一，比上 t d t 任意计算一到三，二减三乘以 f x d x 这个定分。这题我可以使用啥分布减法？我先将这个面函数去凑， 可以凑成 x 平方，是不是再减三 x 变成啥 u d v 的 形式，是不是等于它俩先相乘， 是不是再减它俩交换位置的一个积分呀？那就一到三是不是 x 平方，是不是再减三 x 四，是不是它俩交换位置？是不是 d f x 啊？ 对吧？是不是它俩先相乘，再减它俩交换位置积分呀？不定积分都是以谁结尾？以 d f x 结尾。这啥？ d f x 丑不丑？丑照丑的话是不是用微分？ d y 是 不是等于 one 撇是不是乘以 d x 啊？所以 d f x 就 等于我们的 f x 是 不是乘以 d x 啊？ 没用吧。好，那怎么看上代入？上代入是不是三平方再减三乘以三 f 几 f 三呀？ 减下代入就是一的平方，减三乘几，三乘一， f 几是不是 f 一 啊？那怎么看上代入三个平方等于几九？三乘三等于几九九减九等于几零？零乘入时候是不是都得零？所以前面一代入等于几零啊？ 那怎么看现在入三乘一等于几三？一减三是几负二前面有个负，那就谁？那就二倍的 f 一， 对吧。好，那怎么看 f 一 怎么去求？ f 一 是不是加 x 等于一给他带进去啊？那就是一到一这个定分啊。 一到一定分等于几，是不是等于零啊？所以 f 一 等于几等于零啊？那二百 f 一 等于几是不就是零啊？所以前面整一代入就几就是零零减去一到三是不是 x 平方，是不是再减三 x 是 不是乘以 f 撇 x 啊？那咱们把 f 撇给他求出来， 是不是对 f x 进求导？ f x 是 一个，并且是个变上限，变上限，变上限怎么求导？所以先将变部分是不是给他带进去啊， 对吧？一定不要去对变部分求到 x 等于一乘一，相当不成。所以 m 撇 x 是 不是就是我们的愣？是不是 x 加一比上 x 啊，对不对？没有赢吗？ 是不是都有谁？ x 是 不是给它消掉？是不是消掉？消掉所以就变成了负的？是不是一到三？是不是 x 再减三？是不是愣是 x 加一点 x 变成这个定义分，那这个定义分就很好计算了，对吧？这个被加数是不是出现了两种函数？如果被加出现两种函数，是不是根据反对密 三指或者是反对密指三，是不是将 call 去凑，变成 u d、 v 的 形式，是不是它俩先相乘，是不是再减它俩交换位置的一个积分呀， 对吧？出现了啥面数，对吧？出现了啥面上去凑，所以将 x 减三去凑？ 对啊， x 减三可以凑谁？是不是可以凑我们的 x 的 平方，但要多谁，是不是多了二分之一，所以就二分之一 x 平方是不是再减三个啊？没用吧，好，变成变成 u d， v 的 形式是不是等于它俩先相乘，对吧？它俩先相乘，这不记出来了吗？ 对不对？所以叫你上线一到三个带进去啊。他俩先相乘是不是再减他俩交换位置积分前面有一个减，对吧？减，减变成啥？变成加呀，是不是再加上他俩交换位置积分等于二分之一，是 x 平方，是不是再减三？ x 交换位置是不是 d 楞 x 加一啊， 对吧？不定积分都是以谁结尾，都是以 d x 结尾，对吧？这时 d 楞 x 加一，丑不丑？丑，只要丑的话是不是用微分？ 是不是微分底 y 是 不等于 y 一 撇是不是乘以 d x 啊？那 l 求的是不等于它分的呀？所以 d l x 加一难道不就是 x 加一分之一 d x 吗？对吧？前面你自己带就是一个笑脸行不行？再加上，对吧？遇到现象怎么办？能拆就拆。有括怎么办？给他打开啊。我把这个括给它盛开，给它打开，然后再从这个减法处裂开， 对吧？那就变成了二分之一 x 平方，一比上 x 加一点 x 是 不是再减去一到三，是不是三？ x 是 不是乘以一加上 x 分 之一点 x 没有用吗？有常数怎么办？有常数是不是给他踢出去，所以将这个二分之一给他踢出去，对吧？有三就常数给他踢出去，对吧？一个分式乘整数，我们一般的情况下，把这个整数给它给踢出去，对吧？一个分式就变成 x 平方， 对吧？一个分式乘整式，我把这个整式放到啥？放到分子位置啊？所以分子变成 x 啊，好，变成这两个积分当然很好。积分啊，老师在最后一次讲的时候都讲了吧，说分子是二次，分母是一次，优先考虑啥平方差，所以前面是不是可以减一，是不是再加一啊？ 后面分子分母长的，要是拿分子凑你分母，你分母加一了，那我也要加一，对吧？横变形是不是再减一啊？好，从这个加法处裂开，是不是从这个减法处裂开？好，前面一段是个笑脸啊，是不是再加上二分之一？是不是就是一到三 x 平方减一比上 x 加一， d x 是 不是再加上一到三？一比上 x 加一， d x 是 不是再减去三倍的？是一到三， x 加一比上一加 x d x 是 不是再减去一到三？一比上一加 x d x， 对吧？应该都很好记分了。 x 平方减一是不是可以写成 x 加一，是不是乘以一个 x 加减一啊？对， x 平方减一是不是可以写成 x 加一，是不是乘以 x 减一啊？好， x 加一， x 加一是不是直接消掉，所以就变成了 x 减一的不定积分， 对吧？那 x 的 原数上是不是二分之一？ x 平方那一的原数不就是 x， 所以 记出来就是二分之一 x 平方是不是再减 x， 这不记出来了吗？所以将式长线是不是一到三给它带进去啊？ 那 x 加一分之一，这个不定积分怎么办？是不是可以使用一个错位分加几加一啊？令 x 加一等于 t 变成 t 分 之一抵 t， 所以 记出来就是令 t 的 绝对值。好， t 是 啥？ t 不 就是 x 加一吗？所以记出来就是令是不是 x 加一的一个绝对值，所以将你上线一到三个带进去啊？ 好，后面 x 加一变成一加 x 就是 几，就是一对一的元素，不就是 x 啊，这不积出来嘛。所以将你上限一到三给它带进去啊。后面是不是可以省上凑分凑个几凑个加一啊？令 x 加一等于 t 变成 t， 分 利抵 t， 所以 积出来就是令 t 的 绝对值。 t 是 啥？ t 不 就是你的？ x 加一，所以后面积出来就是令 x 加一的一个绝对值，这不积出来，所以将你上限一到三给它带进去啊。 好，这都记出来。最后一带入，结果是一个三角，所以这个答案就是我们这个三角啊，对吧？你自己带不打了吧？这个计算量是稍微有点大的，你知道吗？但是方法很好想，只是比较浪费一点点时间，对不对？没有赢吧。 以上就是我们选题的讲解，那我们大题，这个计算题和这英语题和证明题，我们下个视频给大家更新，感谢大家的聆听，希望大家能够有所收获，再见！

这一个视频是二六年专升本数学考前系列的，不知道多少期了，我们这一期视频把二六年山东省数学三的考前系列全部讲完，前两期我们已经把数学一和数学二已经全部讲完了，与此同时已经有很多省份已经考完了， 同样他们已经看到了我们的押题系列，大量的题目已经出现在了他们的题目已经出现在了评论区，我会尽快的 更新留言比较多的小伙伴好，我们这一期视频来到山东数学三的内容，我们先来看到这一个黑板的内容，就是极限的部分，极限 一共山东省数学三会考四个选择两个填空，三个计算题，我们选择填空三分一个，计算是六分一个，所以极限的内容占比非常高，因为山东数学，山东的数学三只考三张吗？极限导数积分就三张。 然后直接来看知识点，首先第一个定义域，定义域是考选择题啊，而且百分之百会考，他是喜就喜欢考最普通的我们的具体类型函数，这个类型函数就相当于这种， 直接给你个函数，问他的定义域是等于多少，当然定义域你要自己求出来啊，我有选项就没有写，因为写了你也要把它求出来再去匹配选项嘛，所以我就没有写选项。大家把这种类型的题目多算几个，主要就是考察你能不能记住这种常见类型函数的定义和 计算不失误，就这两点。好，这是第一个。再看第二个，无穷小量或者是无穷大量考选择题，百分之百会考，因为这个就出题，老头太喜欢出了啊，所以大家一定要注意，今年肯定会考啊， 当 x 趋近于一的时候，下列为无穷小量或者无穷大量啊，他只会考一个，是无穷大量就考无穷大量，是无穷小量就考无穷小量。然后你从 a、 b、 c 当中，如果问无穷大就选无穷大，问无穷小就选无穷小，就这么简单。把这个知识点回顾一下 也也不难啊，也非常简单。好，这是第二个知识点，我们再来看第三一个，第三一个就是函数的性质。函数的性质我也认为 是百分之百要考，虽然不一定百分之百要考，但是我呀，今年二六年山东学数，山东的数学三会百分之百考啊，拭目以待呗。我们等考完了之后，看他是否百分之百考。第一类是考什么？是考基友信，基友信他就只会直接会问你 向量函数为基函数或者是为偶函数的，让你选，让你选基函数你就选基函数，让选偶函数就选偶函数呗，反正就有四个选项。当然大家去做类似的题目不一定局限于这道题啊，是这种类似的模板性的题目啊。 再看第二一个就是周期性，他会让你直接选择周期性，周期性需要你们去把周期函数常见的周期函数给记下来啊，这个必须要得提前记下来，你到时候直接去匹配就行了。 好，这个选就选 c 啊。啊，不说啊，不说答案，我们不讲具体的知识点，因为你们在线上报的班或线下报的班，直接去看你们之前报班的那个匹配的题型就可以了。好，第四，一个 间断点的类型判定也是考选择题，分为两类，第一类是分式函数，就是他考是考这一类题型，比如说考间断点类型的这个题型，而是考什么类型的函数，我都告诉你，第一类考分式，第二类 第一类考分式，然后第二一类我写漏了，我一会把这个黑板写完之后，我再给大家写吧。再补充一下，这是第一类啊。第二类我一会再写一下。好，第一类就是分式，然后他就是这种函数 在这一点处的箭头点类型，所以直接去判定这一点处他是什么类型就可以了。这里顺便说一下啊，他一旦触电，让你这种题型啊连续点基本上可以忽略了。第二类箭头点忽略的概率一半一半， 这个点基本不选，所以如果你不会的话，你去蒙，你从这两个选项当中去给我蒙啊。好，这是第一类，一会我把这一边讲完，我把这一边擦掉，再把第二类补上。我们来看第五一个就是渐近线， 嗯，渐近线是他会有这考那个水平和垂直渐近线啊，他直接给你个函数，问你他是水平渐近线，或者是问你垂直渐近线，那么你就通过 a、 b、 c 选项，他问你水平，你就去匹配水平，问你垂直就匹配垂直。 嗯，求渐近线是有固定的模板，所以大家去把模板的求的方法掌握好就没问题啊。 然后再看第六一类就是求函数值。第一个题，比如这种他给你有两种类型的题目，第一种类型就是给你两个函数，问你这两个函数组合之后，这个函数值等于多少，那你就先把它带入他，然后再带入他就可以了，这是第一种。第二种是给你一个分段函数， 然后让你求 f 中中带 f， 那 么你先定 f 等于零，等于零，比如说这里小于它，比如等于零在这里，然后带进去，得到纸带这里，然后再带过来就行了啊。所以这一类题大家做几道题啊？做几道考试，考到了你肯定能做出来啊，我都着急，好在看第七类题。 呃，这一个是数学三和数学二，特别就他们数学二和数学，尤其是数学三啊，我觉得他就是百分之百会考啊， 这是他的特性，他就喜欢考这一类题，所以他这数学三的特类题百分之百会考啊，他是什么？已知一个抽象极限，求另一个抽象极限啊，他是怎么考的？还比如说给你已知 它是等于它的，它是等于它的，然后让 a 和 b 相关的抽象级数极限嘛，然后让你求另一个，就是这一个重新组合过后的极限，反正是它会已知告诉你，然后再让你求新的。就这种抽象极限 在整体里面也出现过很多次，所以大家做一下就没问题，把它原理梳理好啊。好，我们这一个黑板就把极限讲到一半，我先把这一部分擦去，然后把这一个类型的讲了，然后再擦掉整个黑板再来讲。 ok， 我 们把第二类题目给大家补充上了啊。其实第一类就是 间断点，嗯，判定它的类型，第一类是分段函数，就这种类型的函数。第二类就是分段函数，就是这种 分段函数的类型。同样他会问你这一点处他的间断点的类型，那么他问你这一点处间断的类型，他的答案还是这四个啊，所以我就没有写 a、 b、 c、 d， 你 们去 做这种就行，还是一样，这两个几乎不太可能啊，就是 b 和 c 当中去选啊，可去见证点和跳跃见证点。 ok， 我 把这个黑板马上杀去，然后再写一黑板，就能够把数学的极限的部分讲完，然后我们再讲后面的导数和积分。 ok， 我 们继续来到极限的第二个黑板的预测。 好，我们首先来看到极限的计算。第一个就是直接应用等价，在直接应用等价当中，他就是直接给你这样的题目。 呃，里面你看这一个是直接用等价就行，他等价有碳金的 x， 直接应用就行了。就是直接考等价的公式，这是第一种考法好考点二就是先落必达再等价。比如这一个式子，你不能直接等价吧，因为这个没有等价公式呗，所以只有先落必达，然后再一次使用 等价公式。当然你分母要先等价，然后洛必达，然后分子再等价啊，所以这里是先洛必达再等价。这是第二种类型的考点。嗯，相对而言，第一种很简单，第二种稍微要难一点点，也不是很难。嗯，第三一种就是有理化而有理化。我们又写了两个例题，两个例题有啥区别呢？首先看第一个例题， 这一个是不是根号减去方框，所以它其实本质上来讲是 根号减去三角形，而这里就是根号减去根号。你看这里是根号减去一个值，根号减去一个值，而这里是根号减去根号，是不是根号减去根号？所以这两个题就是两种类型，第一种是根号减去一个数字，或者是一个 啊 x 减去一个值，这种直接使用有理化，这里当这里有理化。分母是谁？分母是一啊，分子分母同时乘以这两个相加，这里一样，这里就是两个根号了，分子分母同时乘以这两个式子相加。好，这一部分就是前三个点，我们再看第四个点，第四个点就是 分式通分，只要你们在考试当中极限的题目当中遇到了两个分式，直接通分啊通分，再进行回到之前的进行计算，所以这个题你直接通分就可以，我就不去多想了，只要遇到了两个分式啊，直接通分。 第五个好点，变现积分求极限，而变现积分求极限，只要你们在极限当中给我看到了有积分符号。在这道题百分之一百 是使用什么落笔打法则？只要是变现求积分求极限，他百分之一百使用落笔打法则。所以只要遇到了， 把这里等价一下，马上落笔打。只要这种题型啊，他的核心方法就是落笔打，没有第二种方法，我说的百分之百啊。好，再看第六种题型，就是这种固定的题型，这种固定的题型我们直接给了模板，这种模板就是这种， 如果说是方框的三角形，它就等于一的三角形，乘以洛以方框，全部使用这个方法啊，比如说这个例题，你看这里是不是 方框，这里是不是三角形，它等于什么？是不是直接套用这个公式？那么如果这里面不是一个整块，是一减去多少呢？大家观察一下，这个题是不是就是这个题变来的，其实是一样的啊，然后当然一样的话我看一下，嗯，三二， 嗯，两个，哎，我就不看了，反正是方框，这里是方框，这里是三角形，这里是三角形，只要是这种类型全部通用这个方法就可以，这里面不管是多少，不管是两个式子还是一个式子啊，全部都是这么做，我就不去多说了，再看最后一个点，就是考点七， 已知极限反求参数，这种类型就是他通过前面的形式，先把极限反求参数，这种类型，就是他里面还有一个参数， 然后让你求里面这个参数，所以这就是这种类型，你就正常的把它求出来，它等于多少 k， 然后再令它等于，它就可以求出 k 等于多少， 所以这就是考点期。 ok， 这就是山东省数学二的极限部分的所有，我们马上把它擦掉，擦掉之后就开始我们的导数部分， ok， ok， 我 们接着来看到第九个点，就是山东数学三在极限部分计算题就非常喜欢考的啊，我这里写了 计算题，而且我写的是百分之百会考啊，所以一定要会这道题就是已知连续反求参数来，比如说这例题，它就说 f， x 是 等于它的， 然后说在 x 等于一处，它是连续的，让你求里面的参数，这里的一个参数，这里一个参数，你就通过这一个分段函数的性质，嗯，主要是 他说是连续的吗？连续函数，抓住三个点，左极限，右极限函数值，让这三个点三个值相等，你就能求出 ab 的 数值。 ok， 这就是山东数学三的 极限所有部分，麻烦我把它插去，就开始我们的导数部分， ok， ok， 我 们这一个黑板就把山东数学二二六年的积分的押题全部讲完。我们先来看到考什么吧。第一个是 填空一个选择一个，两个计算一个应用，我们直接来看到具体的知识点，首先第一个就是定积分比大小，定积分比大小，他会直接给你三个定积分，比如说啊，这里 一二三就这三个定积分给你，然后问他下面的关系式是什么，无非你就去比较一二三哪一二三哪个更大呗。这里给大家说一个技巧啊，一旦你发现这三个积分上下线 一样的，你比较的是什么？其实比较的就是他们中间的这个函数，这三个函数在，比如说这个题，在零到一上， 这三个函数谁大，他所对应的积分谁就大，所以你要去通过对比这三个函数去对比 i 一 i 二 i 三谁更大，你再在选项当中去选择。当然我这里只写了 a 和 b 啊， 正常来说有 a、 b、 c、 d 四个选项，但没意义嘛，你也要自己求出来再去匹配嘛，所以我这里就象征性的写了一下选项。 好，再来看变现积分求导，这是第二个知识点，变现积分求导，他怎么考呢？就直接给你个变现积分，你看这是是不是直接给你个变现积分，然后让你求他的导数，或者是求他某一点的导数值，反正你总之是要求他的导数，你直接把这种变现积分怎么求导？回顾一下这个知识点， 呃，具体的方法其实也很简单，就是把它带进去就行了啊，这个就不说，当然这里还有个 x 要注意好，这是这一个，然后再看原函数 相关的计算。原函数计算它是怎么求的呢？就是相当于这个例题，它会说已知 f x 的 一个原函数是它，它会告诉你它的一个原函数是它， 然后你要通过这个式子求来判定出这个是怎么计算的。其实只要告诉你的语言函数啊，你要能得出两个东西，第一个 你要知道 f x 等于多少。第二一个就是通过 f x， d x 等于多少，只要是他说他是他的一个语言函数，你要能判定出这两个式子，再来求出它啊，这是 这一类题，全部都是这两个点，得出下面的结论啊，这个也要回到这里啊，然后你再通过 abc 去匹匹配，我这里就没有写 abc 好。 再看第四个， 就是已知积分，求另一个积分，这是我们山东省特有的一类考题，山东的老头喜欢出这类题，不知道为什么他钟爱于他啊，所以大家把这一类题掌握好。首先来看， 比如看第一种类型，他就是给你一个这个已知条件，这是不是一个抽象函数，告诉你抽象一个积分，告诉你，然后让你求这一个积分，其实就是把它放到后面去进行凑微分，然后再得出来嘛，反正他会给你个 积分，让你求另一个积分，这是第一种类型。第二种类型什么？同样给你两个积分，这两个积分也是已知的，然后去让你求这一个积分，所以这一类题大家好好掌握。这，这是我们押题卷里面我挑了两道题出来，大家好好掌握啊，这一类题。 好，再看第五个就是拆分积分的计算，怎么拆分呢？有两种拆分方式，第一种 拆括号怎么拆？他就这么拆括号三角形外面，你这里把它乘进去，乘进去，拆分为两个分，变为两个积分进行计算就可以了。好，这第一个， 然后当然他所对应的例题我们写了一个啊，大家仔细看一下，然后做一下这个题，可以做一下。好。第二种拆分是什么拆分呢？就是分式拆分， 分式拆分它是一个分式分子啊，它有两项，当然也有可能是减，减啊，有可能是减，然后你把分子拆分拆分为两项来进行计算就可以了。同样我们也给了一道例题啊，这是两类拆分拆分。 老头也还是比较喜欢中医啊。嗯，没有上面那个这么中医，但是他还是比较喜欢的。我们来看积分的计算吧，这里积分的计算就比较重要了，他在选择计算，填空都会选择填空，计算都会喜欢考啊。首先来看计算第一步， 第一个要点就是分布积分法，而分布积分法当中，我们进一步详细，进一步细划啊，尽可能给大家讲详细，就是两类函数。 第一类就是两类函数相乘，比如这个它就是两类函数相乘，然后使用定积分分布积分法，比如这一个，它就是两类函数嘛，三角形和方框是两类函数，把它化为分布积分法。第二一个是 无法积分的函数，比如说反三角函数，比如说我们的呃，对数函数，它没有办法积分，你就直接使用分布积分法，这是这两类啊，分布积分法的两类。 然后再来看换元法，也有两类，一类是根式换元，根式换元最核心的点是什么？看到根号直接给我换元，比如这里根号是谁？就这里嘛，直接看到根号就换元。我这里字写的比较小，大家把屏幕可以放大，你可以把屏幕划，把这里放大一点， 然后看到他就可以直接换元，然后令他等于 t 就 行了，这是根式换元。再一个就是三角换元， 三角画圆，核心是什么？核心是看到这个东西，一旦看到了 a 平方减去 x 平方，甚至于 a 平方加减 x 平方，他就等于更要像一减 x 平方，二减 x 平方，四减 x 平方。这三类是考试最喜欢考的这三类啊，它重点是什么？不是根号啊， 重点不是根号，重点是里面的 a 平方减去 x 平方，重点是这几个啊，好，这是三角画圆。 再来看第三一种计算考法，就是有理函数积分，这也是山东省数学老头喜欢考的一类题目啊，有理函数积分，同样，他是不是只是这一个？不是啊，他有的时候会写，比如写个常数 a， 甚至有的时候是 x 平方加 b 加二， x 加一，它这是什么？有的时候是一次项，有的时是二次项，有的时候没有项，所以说下面都是二元函数，上面是要根据一元、二元和常数都有可能去把这三类题都做一下。这三类题是有固定套路的，我们内部应该是 内部学员讲的非常透彻啊，你拿到这道题就是模板，答案往往模板上写就行了，我们就不讲了，这里把题型告诉大家，大家请把答案找到，然后怎么做把它弄懂啊。第七个，偶备机灵。偶备机灵经常性的，它是给你两个函数加在一起，加或减，你会发现 只要是在对称区间上，第一反应是什么，就是偶备机灵，你看到偶备机灵之后， 然后这里你看一下它是奇函数还是偶函数，有的同学说这个整体不是奇函数，也不是偶函数，如果整体不是奇偶性，那么你把拆分为两个计算，单独看它们是奇函数还是偶函数啊？好，这第七个，然后再看应用题， 应用题简简单单就是体积和面积，而在体积和面积当中， 他就直接给你这种函数围成图形的面积，然后问你这个围成图形的面积是为多少，或者是问你绕 x、 y 轴的体积， 反正就是给你个函数，你去把它画出来，问他的面积是等于多少，问他旋转题的体积是等于多少。这一类是非常简单的题目，一点都不难啊。这个 你去把固定的流程，尤其是体积啊，今年大概率是考体积，不是考面积。 ok， 我 们这个黑板就把数学二的积分全部给它讲完， 我擦掉黑板，我们继续下面的内容。 ok， 我 们来看到山东数学三的导数的所有，我们这一个黑板全部把导数全部写完，大家也看到笔记写的比较密啊，所以你们看视频的时候可以把 放大一点，你把那个屏幕划一下，就把字看大一点，更清楚一点。好，我们现在看到数学三 首先考三个选择，一个填空，一个计算，两个证明，考的分数还是占比非常高啊，因为就考三张，所以说这一张的内容非常多。首先看第一类， 就是不同类型的导数求导，我们现在一类一类的来梳理啊。第一类其实就是最简单的就是求导微分和斜率，大家想一想，求导微分斜率是不是本子上就一个东西，就是求导啊？我们来看一个例题就知道，比如说 告诉你一个函数，而让你求 d y 是 什么微分，这是什么微分的具体值，这是什么斜率， 本质上都在干嘛？求导，然后把这一个点带进去，这就是本质嘛。好，这是第一种类型，第二种类型就是参数方程求导。 嗯，参数方程他就这种类型，给你个参数方程，让你求他的导数，或者是求在某一点处的导数，反正是参数方程求导。所以说 这一类和下一类我一起讲的啊，和引函数。引函数就是给你一个这种函数，让你求他在 他的导数，或者是他在某一点处导数啊，有的时候直接让你求导数，有的时候让你求某一点处的导数，所以这两类参数方程和引函数求导，这两类是有固定的非常详细的解析步骤，你们去看你们知识点在哪里学的，跟着那个知识点走就可以啊。好，这是第 类型三。再看类型四，就是这种秘制型函数，就是他这里有，这里也有这种类型的函数，而这种类型的函数对他求到统一，其实是有两种方法，两边同时取对数，还有一种方法就是秘制函数，所以两种方法我这里写一下吧。 啊，写成积分法了，第一个是同时取对，两边取对数函数，第二个就是逆值函数，其实也就是用这个公式，嗯，写在哪里？写在我，写在这里吧， 就是用这两种方法来解啊，我这里思路的给大家捋一下，大家自己一定要去写几道这种题啊。这道题你可以做一下，做一下，你也能两道方法做一下，考试遇到了你一定会做啊，这是一个固定的方法。 好，再看抽象函数求导，抽象函数求导就不说了啊，这个直接对它求导，然后再乘里面的就是符合函数求导，相当于只不过外乘函数我们不知道。好，这是类型五，再看切线，第二个，切线，切线， 嗯，第一类就是正常函数求切线，而正常函数求切线，就直接告诉你，然后问照你求这一点做切线，这个就和求导差不多啊，就斜率一样，你就正常对他求导，带进去，求出 k， 然后再把这一点带进去求出切线。 第二类就是参数方程求切线，嗯，参数方程求切线，同样给你个参数方程问你在这一点处的 切线，然后对它求导，这一点带进去求出 k， 然后这一点再带进去，求出 x， y， 就 能求出切线。好，这是参数化的。同理，我们的演示求切线没什么好说的，比如说这个题 对他求在这一点做切线，你先把这一点出的导数求出来，导数求出来之后，再到一零这个点带进去，就能求出这一点切线啊，导数为了求斜率啊，这个是知道点来求切线啊，这是这一个，我们再看第三个，就是单调 性，根据选择和填空题不同的类型来求不同的单调性啊，这里是，呃，两个选择题啊， 首先看第一类吧，是求单调区间，单调区间，他就是先给你个具体函数，问他的单调区间是多少，你要通过这对他求导，把单调区间求出来，再去匹配他的选项，所以选项我就没写，反正你自己都要去求，所以我就没有写。 第二个就是单调性，他就问下列函数单调递增的事，而你在这些函数当中去选择哪个是单调递增，选哪一个就行了。这个要对函数要比较熟悉啊，这函数不会难，但是你要对常见的基本初态函数要熟悉 好，再看。第四一个就是求拐点或者是极值点，这种题呢，他就直接选择题，好多比较多啊， 直接给你个函数，问他的极值点或者是拐点，问拐点就选拐点，问极值点就选极值点，当然你同时要把求出来再去匹配，你才能知道。这类题大家要一定要做啊，做几个你就知道了，考试很爱考啊。 好，再来就是已知拐点反求参数，比如说这里函数它 拐点我知道了，这个函数拐点我直接告诉你，他是等于他，但是他里面还有一个参数，让你求这个参数等于多少。这种类型的题，你要当成正常的函数去求参数，比如这个题 不是这个 m 正常去求，求出来之后拐点里面还有 m， 你 让他跟他相等，就能把 m 求出来啊。 ok， 这个就是第五个题，已知拐点反求参数。好，再看第六个， 去 f 法。去 f 法本质上来说是我们导数的定义法，导数的定义当中的知识点，只不过我们用了我们的技巧，把它抽象成了去 f 法啊。去 f 法， 首先它比如说 f 一 撇，等于它让你求这个极限，就直接把 f 去掉啊，然后得出系数，然后再匹配它去 f 发。大家去看一下我的视频，我们当中是有讲的，我这里就不去详细的再讲了啊。这里大家 把这种题型做会，它选择填空题都有可能考，选择题考的概率更大， 选择题的概率更大啊。好，这是第六一个点。好，再看第七个点，就是极值，极值求计算，比如说他说我知道这个函数，让你去求他的极值，这就是， 而且是计算题哦，六分哦，他就是普普通通，给你个函数，就是一个正常的函数，让你去求集值，只需要知道他的正常的求解步骤就可以了，没有太难的东西，计算不失误，正常的步骤知道就 ok。 好， 第八一个就是证明题了，证明题 很难预测，我直接说很难预测，他考的难度是比较高的，他有的时候甚至还考，他甚至于还要考双中指问题。所以我们这里给了大家两个方向，我们直接看了啊，给了大家两个方向。第一个 就是鲁尔利尼，如果遇到这种，他说他为奇，函数在这个区间上证明他存在这里，这种类型就直接使用鲁尔利尼。呃，鲁尔利尼的省就不说啊，鲁尔利尼相对而言其实是在山东当中偏简单的啊，这种题一旦考到，你一定要把分数拿住啊。 好，再一个就是不等式而不等式，这里例题我们没写完，因为刚才位置不够，我把它擦掉重新补一下，比如说这里的例题直接就用这个颜色啊，它就直接让你证明 loi 一 加 e x 减 x 大 于 ok， 不 懂事，就这样子让你直接证明不懂事。通过什么？通过导数， 通过求导啊，通过求导来证明这种不懂事。 ok， 这就是整个我们山东 数学三的导数部分。马上我把黑板擦掉，我们就把积分再给大家讲完，上周就结束了。 ok， ok， 我 们这一个黑板把数学三的积分全部讲完，也就把数学三的所有内容讲完了。因为数学三只有 积分导数，呃，极限导数，积分嘛，只有这三张，所以我们直接来看到内容吧。首先数学三在积分方向有三到四个选择题，两个填空题、三个应用题和一，三个计算题和一个应用题，题量是非常大的，它占比基本上是 整个卷子就只有三张吗？所以定积积分这一部分是最大的。好，我们直接来看内容吧。首先第一个，第一个知识点就是比较大小，在比较定积分大小的时候，考试考最多的就是这种上下线一样， 但是他的背记函数，比如这三个背记函数不一样，那么你怎么去判定他的大小呢？其实就是在判定在这个范围以内， 这个范围以内被积函数大小，比如说零到一范围， e 的 x 是 小于 e 的 二 x， 所以 这时候 i 二就大于 i 一。 与此同理，以后只要遇到了上下线一样，只需要去判定它的被积函数就可以。所以他说下列成立的是， 就是当然去选啊，我只写了两个选项，你要自己判定出来再去匹配选项，当然我这里字写的比较小，但要把那个屏幕放大一点啊。好，再看。第二，一个 圆函数要计算已知，嗯，例题啊，已知 f x 的 一个圆函数视为它。好，已知圆函数为它，然后让你求它。本质上来讲，这一句话当中你要得出两个答案，第一个 f x 等于多少？ 第二，一个 f x 积分等于多少。通过这两个点再去判定这里的等式，让我们去做什么，你再去做对应的就可以了。 呃，同样，呃，这里我就没有写选项，因为你反正都要求出来，再去写下面的内容啊。这是这一个，然后再来说，电线积分求导，嗯，电线积分求导很简单，就是这种例题，已知 一个变现积分，然后问你他的导数等于多少，就是这种题啊，这种求导等于什么？但你这里是分为两部分求导，这里一个求导其实就带进去，如果这里是符合函数，还要乘以它的导数啊，这个是知识点的问题呢，我就不去讲了，因为它是涉及到你们学知识点的时候，具体 老师怎么讲的，你去回顾一下就可以。所有老师都讲过，这种题是最基本的。好，再按第四，一个隐私积分求另一个积分。 比如说这种有几个例题，我们选三个例题，第一种就是一只一个定积分，然后问你另外一个定积分，这种，哦，不定积分啊，这种不定积分就是通过，比如这里啊，就是凑微分，然后再通过整体思想带出来的。这种题稍微要简单一点。 嗯，顺便说一下，已知积分求利益。积分是数，山东数学特有的一个考法，他就特别喜欢考，尤其是数学三，百分之百会考啊，这个点， 山东数学三，尤其是喜欢考这个点啊。好，这是例一，而再看例二，例二又变为了定积分。定积分，他给你个定积分，然后再给你个定积分，最后让你去求他。这两个定积分和他结合起来，你就会发现他的上下线，其实你看三到一，这里是 负一到一，这里是三到负一，其实他的线是有关联的，你通过他的上下线去判定。这三道题 都是我们模拟卷里面的一个题我拿过来的，所以大家认认真真做一下这三道题啊，你只要这三道题会了，你整体当中遇到了，你一定是会的啊，这因为就覆盖到了呃，这 这种类型能考的专升本、数学三当中的基本所有情况啊。所以你把这里看一下，然后再看第三，他说还是一样，已知一个定积分是等于他，这是已知一个定积分的等式，然后让你去求另一个定积分，他的方法和前面的 呃，又有点不一样，所以这是这三种出题的形式，这三种题真的认认真真用草稿纸去做一下，我这你就不去提了，你们老师应该是讲过这些题是怎么做的。好在第五个 定积分是个常数，它什么意思呢？它就是给你个等式， f x 等于它，但是里面是含有一个定积分，然后让你去求 f x， 或者是让你去求负一到一， f x， d x 或者是求啊，就求这两个当中的一个，其实本质上来说都是要令他等于 a 的， 或者是等于多少，然后在两边同时取他的定啊。我们就不讲知识点了，自己去做一下这种题啊，你要求他，你要先求到他才能求他， 先求到他才能求到他。好，这是第五一个点，我们在第六个点就是积分的计算，积分计算 是填空、选择计算，都有可能考的都是会涉及到这些基本方法，而且他的积分计算的方法有非常多，我这里把它抽象为几种常见考的最多的方法，比如说第一个 就是分布积分法，分布积分法当中又分为两个小类，第一个小类就是呃两类函数相乘，比如三角形和方框两类函数相乘，求定积分。而这种定积分当中 例题，比如说这个啊，这是一个呃密函数，这是一个三角函数，这两类你就分用分布积分法。第二类就是无法积分的函数，比如说直接给了两个，第一个就是反三角形函数，你没有什么公式去能够解除它，这里只能用什么，这里只能去用分布积分法。同样 密对数函数也是没有什么积分去求解的，所以也就只能用对数函数好，这是分布积分法。再来看换元法， 呃，第二大类就是换元法。换元法也分为两个小类，第一类是根式换元，根式换元是考的非常多的一类，而他其实本质上来说就是看到根号令他等于 t 就 可以了，比如说这里面这一部分是等于， 就直接根号直接令他等于 t， 有 的时候他整个分母全是根号，你直接令整个分母全部等于 t 就 可以了。不要觉得这个分， 这个根是有点大，你就不敢令，只要遇到了直接令。而有一种根号不用令是什么呢？就是第二类，三角函数换元。三角函数换元 有什么区别？你看三角函数这个例子啊，就直接令这个整体当中的 x 等于三引 t， 而它整个带进去就可以通过三角函数换元。虽然这里也有个根号，但是这个根号和这个根号还不一样。 遇到了，主要啊，三角函数是不是看根号？不是啊，主要是看这一部分， a 平方减去 x 平方这一类的三角函数还原是考的最多的，但他如果相加也是可以的啊，这里相加 也是可以的，但是考的最多的是什么？就是相减。好，这是这一个。然后他考的最多的三种类型就是一减去 x 平方，二减去 x 平方，四减去 x 平方，这是考的最多的三类啊，所以这三类掌握好啊， 好，这是换元。我们再来到有理函数积分，有理函数积分是山东省数学考的比较多的一类，也是出题老头很喜欢的一类啊，比较钟爱的一类。他一类就是这里分母都是二次， 而分子它可以是一次，这里就是一次，它也有可能是 x 平方，多少多少，也就是二次，也有可能是常数，比如说二一，都有可能分子它分为常数，一一， 嗯，一次二次都有可能。好，这是有理函数积分的那个考法，而且有理函数积分是有非常系统的解析的套路的，所以我们内部学员应该是非常简单，遇到什么类型用什么套路模板去做就可以了啊。好，再看 积分的拆分和呃，积分的拆分，这是一个重点啊，数学三非常喜欢考啊，积分的拆分。拆分我们也给大家分为了两类，第一类就是括号的拆分，比如这里大家把那个屏幕放大一点， 括号，这里他就是一个括号，比如说三角，他和他相乘，再加上他和他相乘，把它拆分为两个积分来进行计算。给了一个例题，就是他。好，这是考点一，考点二 就是分式的拆分。分式比如他分子和分母，分母就是一个分子，是分为两项，他可能相加，可能相减，然后你把分母给我拆分为两个式子 就可以了，分别计算这两个式子，就相对而言比较简单一点，所以你只需要拆分这两项。好，这是考点二，然后再来看，呃，这是积分的拆分，积分的开分，真的是非常喜欢考他，而且考他是考什么？他是考计算题啊，考大题啊， 咳咳，吃了一口粉，鼻灰，好，这是积分的拆分。再来看第三个，第八，一个应用题，应用题他就非常直接考体积或者是面积，而且他不会玩什么花里胡哨的，他就会直接给你 两个函数，它所围成的面积，直接求它们的面积，或者是求绕 x、 y 轴旋转的体积，全部有固定的套路，没有什么花里胡哨的，把固定套路模式给它弄好就可以了。 呃，这里你们在哪里学的知识点就在哪里，去看做两道这种题就没问题了啊。好，这里一个黑板，我们就把山东数学三所有的押题全部讲完了，我们这个视频就到这里，大家把笔记做好，到时候考试就会遇到很多类似的知识点。好。

今天这个视频给大家更新的是二零二一至二零二五历年山东专本数学一二三积分大的汇总，希望能够帮助到大家二零二六年专考试积分常用的思路和方法，我们会在题中给大家提悟。那咱们先讲一下我们常用的错分， 那常用凑分有哪些？咱们今天给大家复盘一下，是不是有 x 可以 凑谁？是不是可以凑我们的 x 的 平方，但要多谁多了二分呀？你发现了一次是不是可以凑我们的二次啊？同样道理，你的二次可以凑谁？是不是可以凑我们的三次，但要多谁？是不是要多了一个三分呀？ 同样道理，你的三次可以凑谁？是不可以凑我们的四次，对吧？但是要多谁？多了一个四分之一，其余的是不是叫以此类推啊，对吧？你发现了一次可以凑二次，二次可以凑三次，三次可以凑四次，对吧？你发现啥？是不是第一次可以凑你的高次啊， 对吧？好了，那我们常用凑分还有啥？是不是还有我们 x 分 之一可以凑谁？是不是可以凑我们的浪 x 啊，对吧？还有啥？还有 x 方分之一可以凑谁？是不是可以凑我们的 x 分 一，但要多谁？多了个符号呀， 对不对？还有啥？还有根号分一可以凑谁？是不是可以凑我们的根号 x， 对 吧？但要多谁？是不是多了一个二倍啊？对吧？ 还有谁？还有我们的 ex 可以 凑谁？是不是可以凑我们的 ex 啊，对吧？还有谁？还有我们的 sin x 可以 凑谁？是不可以凑我们的 cos x， 但要多谁？多了一个方呀？ cos 可以 凑谁？是不可以凑我们的 sin， 对吧？还有谁啊？还有我们非常不常见的，对吧？还有啥？还有一加 x 方分之一可以凑合，谁是不可以凑我们的 r 泰克斯，对吧？还有啥？还有我们的 second 方可以凑合，谁是不可以凑我们的泰克斯，对吧？这五这两个非常不常见啊，对吧？ 为什么让你背熟这些长期的错位分？你背熟这些长错位分，你的积分公式也会了。你比如你的 cosine 可以 凑谁？你的 cosine 可以 凑你的 c 呀，顾名思义你 cosine 元素就是啥，就是 c x 再加 c 呀， 对吧？你比如根号零可以凑谁？是不是可以凑我们的根号 x， 但要读了二，所以根号零一积分就是二的根号 x 再加 c 啊，对吧？起一个，以此类推啊，对吧？这是我们非常常用的错位分，一定要记住，你记住这些常用的错位，那你的积分公式也就会背了，对不对？ 那咱们看看二一年这五年数学一的所有的不定积分呀，看一下二年的第十三道题，对吧？遇到除法的不定积分不会怎么办？改成乘法就变成了，是不是一加 x 平方是不是乘以 x 方分之一叠 x 啊，对吧？好了，此变羊出现几种，是不是出现两种函数？ 如果背函数出现了两种函数，是不是根据反对密三指或者是反对密指三都可以，是不是将 call 们的去凑变成啥？变成 u、 d， v 的 形式，就等于它俩先相乘，是不是再减它俩交换位置的一个积分呀， 对吧？好了，被上出现啥？是不是出现 l l 不是 我们的对上说出现啥，是不是出现了 x 方分之一就是我们的啥面上说，所以将 call 我 们的啥面还要去凑，所以将谁啊？将 x 方分之一去凑，对吧？ x 方分之一可以凑谁？是不是可以凑我们的 x 方一，但要多谁？多了一个符号呀？所以将它去凑可以凑啥？可以凑我们的 x 分 之一，但要多谁？是不是多了一个符号呀，对吧？为啥让你记住？整数分肯定有用啊，好了，变成啥？变成我们的 u、 d、 v 的 形式，对吧？就等它俩先相乘， 是不是再减它俩交换位置的积分呀，对吧？减，但是前面有个减，减变成啥？变成加呀，对吧？让它俩交换位置的一个积分呀， 对吧？好了，咱们的不定积分都是以谁结尾？咱不定积分是不是都是以 d x 结尾啊？对吧？这啥？这是 d 楞，是不是一加 x 平方？丑不丑？丑，只要丑的话怎么办？就使用的微分，只要遇到丑的，使用的微分。微分是不是 d y 是 不是等于我们的 y 撇？是不是乘以 d x 啊？对吧？ 他求到等于啥？楞求到等于零， x 方求到是啥？是二 x 啊？ 你要记住一个分式乘以整式都要我们把这个整式放到下，把它放到分子的位置啊。好了，所以我们抵勒。一加 x 平方就等于一加 x 方分之二， x 抵 x 啊， 对吧？所以将它替换成谁啊？替换成一加上 x 平方分之二 x， 是 不是抵 x 啊？对吧？好了， x x 是 不是直接消掉啊？对吧？有常数怎么办？有常数就给他提出去，对吧？遇到降性能列则列，遇到常数干啥给他提出去啊， 对吧？好了，我们知道一加 x 方分之一可以凑谁，是不是可以凑我们的 r 乘以 x， 对 吧？所以咱们说了，是不是就是一加 x 方分之一，它的一个原函数就是我们的 r 乘以 x 再加 c 啊， 对吧？你背入这些长错分，你的积分公式就会了，所以它记住，就啥，就是我们的 r 乘以 x 啊， 所以是不是再加 c 啊？所以这个积分的结果就是负的 x 零乘于 l， 一 加 x 平方，再加二倍的 x 函数再加 c 啊，对吧？好了，那咱们看下我们的二二年的第十三道题，计算这部分积分，对吧？遇到这样的情况怎么办？能列则列啊。 好了，那就变成二 x 是 不是勒？ x 是 不是 d， x 是 不是再加上是不是 c x d x 啊？我们知道 c 可以 凑谁，是不是 c 可以 凑你的口径，但要多谁啊，多了符号，所以你的 c 的 积分就是我们的负口径 x 再加 c 呀， 对吧？所以后面接出来了，就是啊，就是负口 x 再加 c 啊，对吧？好了，有常数怎么办？有常数该给他提出去啊，对吧？有常数干啥给他踢出去，对吧？遇到这样像怎么办？能列则列啊， 对不对？好了，这被验出现几种函数？两种函数，对吧？再写一遍，如果被验数出现了两种函数，是不是根据我们的反对面三指，是不是将 come 去凑，变成变成 u、 d、 v 的 形式，是不是它俩先相乘，再减它俩交换位置的一个积分呀， 对吧？出现啥？是不是出现 x 叫啥？叫面函数？出现啥？出现 l l 叫啥？是不是叫我们的对函数，所以将 cos 啥面函数去凑，对吧？所以将 x 去凑 x 可以 凑谁？是不是可以凑我们的 x 平方，但是多谁？多了二分之一啊？ x 可以 凑成 x， 是 不是可以凑我们的 x 平方，但要多谁？多了二分之一。前面有个二是直接抵消，对吧？好了，变成啥？是变成我们 u d v 的 形式，就等他俩先相乘，是不是再减他俩交换位置的一个积分呀？ 没有英文吧？好了，不定积分都是以谁结尾？以 d x 结尾，这是啥？ d l x 丑不丑？丑呀，只要丑，使用微分。 d y 是 不是等于 y 一 撇是不是乘以 d x 啊？ l 求到等于啥就等于啥？它分一呀， 对吧？ l 求到是不是等于它分一呀？那 l x 求到是啥？就是 x 分 一呀，对吧？是不是 x 分 一乘以啥 d x 啊， 对吧？好了，那这个 x 和这个 x 是 不是直接消掉，还剩一个 x 啊？那 x 可以 凑出来，是不是可以凑我们的 x 方，但又多谁？多了二分之一，所以我们啥？所以我们的 x 还有一个语法数。就是啊，就是二分之一。说 x 平方是不是再加 c 啊， 对吧？所以 x 不 定积分？就是啊，就是二分之一 x 平方呀，对吧？没有赢吧。所以二二年的第十道题是不是也是非常简单呀，对不对？ 那咱们看看二三年的第十道题，计算这不定分，那这个不定分是我们的有理真分式。那咱们给他回顾一下我们的有理真分式有哪些思路啊？ 那第一个思路，看分母是不是能因式分解吗？对啊，如果分母能因分解，我们干啥？我们叫列项啊， 对吧？什么叫列项？一次项。列啥是一次项？列我们的常数项，二次项列啥？是列我们的一次项，对吧？怎么样快速代定 a 和 b 啊？叫求党代，求谁党，谁带谁。快速列项。等会以一个题告诉大家， 如果分母不能一分解，那咱们看一下分子，看能不能凑成分母的倒数啊。 如果实在还不行，我们对分母进行配方呀。好，对分母进行配方，那对分母配方一定考上。这个积分就是一比上 a 方，再加上 x 方点 x 这个不定积分。 那这个不定分记出来，记出来就是 a 分 呢？ a 分 之 x 加 c 啊，这都是老传统，老套路，老打法呀。那咱们给大家举一个有理分式啊。举一个这个吧，一比上 x 方，再加 x 再减十二， 这个有理解分式，对吧？有理解分式看分母能不能逆分解啊。好了，分母是 x 平方，再加 x 再减十二，看能逆分解吗？ x 平方分解成 x， x 啊，十二可以分解成三和四啊。因为整体是正的，所以把这个符号是不是丢给小的？所以分母可以因式分解成 x 减三，是不是乘以三，是不是乘以 x 再加四啊？ 好，能一分解干啥？叫我们的列项啊，对吧？好了，一次性列啥？列我们的常数项一次性列啥？列我们的常数项。怎么样快速代替你的 a 和 b 啊？叫求党代快速列项，对吧？好了， a 是 谁的，记住啊， 对吧？求 a， a 是 谁的系数？ a 是 x 减三系数，我把 x 减三干啥给它挡住啊，叫求谁挡谁，对吧？求 a， a 是 x 减三系数，我把 x 减三干啥给它挡住啊，对吧？叫求谁挡谁。然后是不带谁带分母等于零点啊， 对吧？ x 减三等于零， x 等于几？是不是 x 等于三啊？所以将 x 减三带到分子带到分母啊， 对吧？分子一代是几一分母一代是不是三加四等于几七啊？所以 a 很 快带你出来，就是，就是七分之一啊，对吧？好了，那咱们看一下 b， b 是 谁的系数， b 是 不是 x 加四的系数？把 x 加四干啥？给它挡住啊，叫求谁挡谁，是不是带谁带分母等零点啊？ x 加四等于 x 等于几，是不是 x 等于负四啊？ 所以将 x 等于负四，是不是带到分子带到分母，分子已代入是几一？分母已代入，是不是负四再减三呀？是几？是不是我们的负七啊，对吧？好了，所以 b 很 快带你出来，就是啊，就是负七分之一啊，对吧？好了， 有一样的提不提？提啊，只要记住有一样的就提啊，对吧？好了，将我们的啥，将我们的七分之一给他提出来，那就变成啥？那就变成 x 减三分之一，是吧？一正一负就是负呀，是不是减 x 加四分之一 x 啊， 对吧？咱们讲了有常数，干啥给他提出去，对吧？遇到这样像怎么办？能裂则裂啊，好了，我要从这个减法处干啥？裂开呀，好了， 列成这两个积分呀，好了，这像谁的积分，是不是像我们分时的积分呀？你分的积分想谁？是不是想这个积分公式啊？他记住啥？是不是 x 绝对值，是不是再加 c 啊， 对吧？好了， x x x， 根据积分位置一致性 x x， 它的积分就是 x 啊，这 x 减三，它要积它一定是 x 减三呀，对吧？所以它积出来就是啥？是不是就是我们 l 是 不是 x 减三那个绝对值啊，对吧？根据积分位置的一致性 x 减三， x 减三，所以积出来就是 x 减三呀， 对吧？ x x x 啊，对吧？加减乘兀不改为分呀。这。对啊，同样道理，你后面干啥？是不是也要加几？是不是要加四啊？就加四，所以我也要加四啊，根据积分位置的一致性啊， 对吧？好了，你看 x x x 啊， x 加四， x 加四，所以记出来就是 l， 是 不是 x 加四一个绝对值啊，这不记出来吗？要加 c 啊， 对不对？好了，根据对数的性质，对吧？对数性质有哪些？是不是叫对数相加？是不是等于我们的真数相乘啊？对数相减等于我们的真数相除呀， 那不就是我们的楞，是不是 x 减三除以 x 加四呀，这不积出来吗？对不对？叫我们的求等代快速列相对吧。 那好，那咱们看看二零二三年的第十道题，这是有理成分式，看分母能不能一分解， x 型方再加十 x 再加二六，对吧？ x 型方分解成 x， x 十六可以分解成二十六，可以分解成谁啊？是不是一和二六或者谁啊？或者二和十三呀？你咋样都凑凑不出谁啊， 能一分解吗？不能，对吧？你不能一分解，也就不能逆向。那怎么看分子能不能凑出分母倒数啊？分母倒数是几啊？那怎么看分母是 x 方，是不是再加上十 x 再加二六，对吧？咱们对分母进求导，是几？是不是二 x 再加几，是不是再加十呀？ 好了，看分子能不能凑出分母倒数，对吧？分子是几一，对吧？分母倒数是不是得有一个一次面啊？他没有一次面，怎么可能凑出分母倒数？不能啊，那只能干啥？只能对分母进行配方呀， 对吧？那咱们对答进行配方好了。配方怎么配方叫一细折半再平方呀？是不是叫一次性系数要折半？一次性系数是几？是不是十十折半是几？是五？一细折半再平方五的平方是几？是二十五，对吧？好了，二十六可以选择下二十五加几加一啊，对不对？好了， 那前面是谁的完全平方，是不是就是 x 加五的一个五完全平方呀，对吧？一，是不是看错一的平方呀？一定干啥？配方一定是这个积分公式啊， 对吧？一定是某一处的平方再加 x 的 平方，一，是不是看错一的平方？好啦，根据其积分位置的一致性 x x， 所以 他记出来就是 x 啊，这啥是 x 加五，他要记他一定是 x 加五呀， 对吧？好了，咱们说加减乘，说不改变微分啊，此时 a 是 几？ a 不 就是一啊，那就是一分的一，是不是 ark 参与的啥？一分的 x， x 就是 x 加五啊，是不是再加 c 啊， 对不对？积分位置的一致性啊， x x x 啊，对吧？ x 加五， x 加五，所以大家记着就是 x 加五啊。 a 是 谁？ a 不 就是一啊， 对吧？所以把这个一可以给它省略掉。分母式一是不是可以省略掉，所以答案就是啥？就是阿克猜，你呢， x 加五是不是再加 c 呀？这不记出来了吗？这是我们的有理真分式啊，对不对？也就是二零二三年第十三道题考察的知识点，对不对？ 那咱们看二四年的第十道题，对吧，计算这个不定分，对吧？遇到这样想怎么办？能列则列啊，对吧，分子多不可怕，能列则列。 好了，从这个加法处裂开，那就变成 x 方比上 x 方再加四点 x， 是 不是再加上五 x 比上 x 方再加四点 x 是 不是再加上？是不是二比上 x 方再加四点 x， 对 吧？ 好了，遇到这样想怎么办？能裂则裂啊，有常数怎么办？是不是能提则提啊？所以将这个五和这个二是不是给它提出来呀， 对吧？不就这些老思路吗？好了，遇到分子分母长的样怎么办？是不是叫拿分子去凑你的分母啊？你观察第一个是不是分子分母是不是都有 x 平方？分子分母长的样吗？ 拿分子去凑你的分母啊，你的分母加几加四啊，所以我们的分子也要加四啊，为了和平行干啥再减四啊？是从这个减法处裂开啊，那你变成 x 平方再加四比上 x 平方再加四 d x 啊，是不是再减 四比上 x 平方再加四叠 x 啊？再加上五倍的，是不是 x 比上 x 平方再加四叠 x 啊，是不是再加上二倍的？一比上 x 平方是不是再加四叠 x 啊？好了，有长度怎么办？能提则提啊，把这个四干啥给他提出去啊， 对吧？好了，你观察一下。先观察啊，中间一项和最后一项，对吧？减四倍的是不是加二倍的，对吧？相当于几？是不是相当于减二倍的，对吧？他俩能合并，对吧？是不是相当于减二倍的，对吧？减二倍的。 好了，那再看前面啊，好了， x 平方加四比上 x 平方加四就是几，就是一啊，对吧？好了，那你告诉我一的元素是啥？一的元素不就是 x 啊。好了， 那咱们看一下我们的最后一项，那最后一项怎么去记啊？最后一项遇到除法不会怎么办？遇到除法不会怎么办？是不是就是改成乘法呀？是不是可以改成乘法呀， 对吧？遇到除法不会是不是可以改成乘法？改成长目的就改。就是凑为分呀，对吧？ x 可以 凑谁？ x 可以 凑我们的啥 x 平方呀，但又多谁多了二分呀，对吧？ x 可以 凑谁？是不可以凑我们的 x 平方，但又多谁多了二分呀， 对吧？好了，怎么说凑一分叫一不做二不休，直接凑完呀，你的平方加几？加四啊？所有平方也要加四呀。好了，有样是不是令这个东西等于 t 啊？是不是叫 t 分 之一底？ t 是 基本上就是楞 t 的 绝对值啊，此时 t 就是 啥？就是 x 平方加四呀， 对吧？如果你不想使用列他等于 t， 是 不是使用我们的积分位置的一致性啊？我们知道 x 分 之一记出来是啥，是不是 l x 的 绝对值，是不是再加 c 啊，对吧？根据积分位置的一致性啊，对吧？ x x， 所以 记出来就是 x 啊。 这 x 平方加四，这 x 平方加四，所以记出来就是啥？就是 l x 平方再加四的一个绝对值呀， 对吧？好了，还用加角的值吗？不用加角的值了。为啥呀？因为你的平方横正，再加四肯定是又是横正呀，所以不用加角的值啊。好了，那怎么看像我们前面这个积分呀？那这个积分像谁呀？ 看一下分母，对吧？分母只要遇到特殊数字，一定要改成某位数的平方啊。一改成一的平方，对吧？四可以改成二的平方，遇到九改成啥？改成三的平方，对吧？遇到常见的数是不是改成平方的形式啊，对吧？好了，四是谁？四不就是二的平方吗？ 对吧？是不是两个的平方和分之一？两个数的平方和分之一想谁？是不是想这个积分，对吧？此时 a 是 啥？此时 a 不 就是二吗？所以它积出来就谁啊，积出来就是我们的二分之一，是不是 ar 参进的二分之 x 是 不是再加 c 啊？ 这不积出来吗？好了，二和二分之一是不是直接消掉？ 所以它记出来就是 x 减 r 乘以的二分之 x 再加二分之五 l， x 平方加四加 c 呀， 对不对？好了，遇到分子多不可怕，能拆则拆呀，对吧？遇到常见的数字，对吧？要敏感起来，对吧？四就是二的平方，九是三的平方，十六改成四平方。遇到这些常见的数的平方要改写呀， 对吧？好了，遇到分时不会怎么办？改成乘法，改成乘法，目的就是就是凑为分呀，对吧？这是二四年的思路，对吧？没有赢吧。 那咱们看看二四年的第十五道题，有同学拿到这一题，直接先无力转换。可以啊，但是比较麻烦，但你去观察一下，这 x 一 次密，一次密，这 x 一 次密，二次密啊，是不是一次二次不就 d 次和高次吗？是不是 d 次干啥？可以凑你的啥 x 平方呀， 对吧？是不是咱先将这个 x 可以 凑微分呀，对吧？ x 可以 凑谁？是不是可以凑我们的 x 平方，但要多谁是不是多了二分呀？咱们说凑分叫一不做二不休，直接去凑完呀。你的平方干啥？填负号了？那我的平方也要填负号，为了横变形，是不是在前面要填负号呀？ 你的平方填负号加几加一。那我也要加一啊，加长处不改变你的微分啊。那这时候可以使用啥？你的无力代换令根往下一减 x 平方等于啥？等于 t 啊， 对吧？好了，那咱们看换元干啥？是不是 b 换新啊？你令它等于 t 啊，换元了是不是换元 b 换新啊？那怎么看 x 从谁到谁变化？ x 是 不是从零到一变化呀？ 那咱们看一下我们的 t 啊，当 x 零的时候，对吧？当 x 的 时候， t 呢？ t 是 不是等于杠上一减零的平方？那就是一。 一开杠等于几？是不是一啊？那咱们看一下，当我们 x 等于一的时候， t 的 时候，杠下一减一的平方，一减一的平方等于几零？零开杠等于几零啊，换元币换现啊。第二步，干啥得把 x 分 解出来啊， 对吧？你有没有必要把 x 翻译出来吗？没有，对吧？咱们说反减 x 目的是啥？是表示底 x 和底 t 智能关系啊，至少是底一减 x 平方，对吧？你干啥一定要把一减 x 平方分解出来就可以了，对吧？一减 x 平方是被根号困住了怎么办？是不是两边同时平方呀？所以一减 x 平方就等于啥？就等于 t t 的 平方呀， 对吧？第三步是表示底是不一减 x 平方和底 t 的 平方呀，对吧？一减 x 平方等于啥？一减 x 平方不就是 t 方呀， 对吧？没有吧，怎么表示的？一减 x 平方和底 t 之间关系是不是使用我们的微分？微分是不是底 y 是 不是等于 y？ 一 撇是不是乘以 x 啊？关于 t 的 积分微元当然是底 t 啊， t 的 平方求到等于啥？是二 t 啊，所以底一减 x 平方就是二 t d t 啊。所以将我们做的变量代换是统统代入原来的表达式啊，就是负二分 由零到一的定分转化成我们一到零的定分啊，对吧？这个大括号等于啥？这个大括号不就是 t 啊， 对吧？底一减 x 平方，底一减 x 平方就是啥，是不是二 t 抵 t 啊？是不是二 t 抵 t 啊？二 t 抵 t， 对 吧？二 t 抵 t， 二是常数，干啥给它提出去啊？有常数给它提出去，前面有二分零，对吧？那就是一啊。好了，那这个负是不可以干啥？交换你的上下线啊？ 没有赢吧？好了，此时你的倍率函数变成啥？ e t t d t 啊，好了，你的倍率干啥？是不是出现了两种函数，对吧？如果你的倍率函数出现了两种函数，再讲一遍，是不是根据我们的反对密 三指或者是反对密指三，是不是将 copy 去凑？变成 u、 d、 v 的 形式，就等于它俩先相乘，是不是再减它俩交换位置的一个积分啊？好了， 老师，写不下了，把它拆 a 再摘下来，那就零到一 e t t t 啊，对吧？你的背函数是不是出现两种函数？出现？是不是出现了 e t？ 是 不是我们的值函数出现了？ t 是 啥？我们的面是不是将 call 我 们的值函数去凑， 所以将谁啊？所以将 e t 去凑啊，对吧？ e t 可以 凑谁？是不是 e t 只能凑 e t 啊，对吧？ e x 只能凑 e x 啊，所以 e t 是 不是只能凑谁啊？只能凑我们的 e t 啊， 对吧？凑完了吗？凑完了变成啥？变成我们的 u、 d、 v 的 形式，是不是等于他俩先相乘？这不记上了吗？这个上线零到一带进去啊， 他俩先相乘，是不是再减他俩交换位置的一个积分呀？好了，那 e t 记出来不就是我们的 e t， 这不记出来了吗？将你上线是不是零到一带进去啊？好了，那这一带应该就是一啊，所以这一题答案就是啥？就是我们的一啊， 对吧？有同学先别着急的去凑微分啊，先别着急的无理代换，对吧？这题是不是一次和二次在一起优先考虑啥？优先考虑凑微分？你凑完分 再画圆就可以了，对吧？你画圆目的是表示 d x 和 d t 之间的关系，对吧？好了，那这谁啊？这不是 d x， 这是 d 一 减乘方。我看啊，得把一减 x 平方表出来， 对吧？还要表示啥？表示 d 一 减四平方和 d t 这种关系，对吧？没有赢吧。好了，如果遇到被函数是两种函数，优先考虑啥？优先考虑我们的分布减法的将 call 去凑，变成 u d v 的 形式，就点他的新方程，再点他的交换位置的一个积分，对吧，应该也不怎么难了吧。 那咱们看看二五年的第十道题，这个板数有点满，老师把这擦掉了啊，看一下这个不定积分怎么去做呀？好了，遇到这样想怎么办？是叫能列则列啊，所以从这个加法处裂开，那就不变成了 x 平方分之一点 x， 是 不是再加上是不是 x 乘以口塞 x 点 x 啊， 对吧？我们知道啥， x 平方乘以一可以凑谁，是不是可以凑我们的 x 乘以一，但要多谁多了个方啊？所以平方乘以一它的积分就是就是负 x 乘以一再加 c 啊，所以前面干啥就积出来了，积出来就是谁啊？就是我们的负 x 乘以一啊，对吧？那咱们看后面 x 乘以口 x， 对吧？这个被加号是两种函数，对吧？再讲一遍，如果被加号出现了两种函数，是不是根据反对面三指，或者或者是反对面指三，是不是将 call 们去凑？变成啥？变成 u、 d、 v 的 形式，就等于它俩先相乘，是不是再减它俩交换位置的一个积分呀， 对吧？出现了啥？出现了 x 加 m 函数啊，对吧？出现了 cos， 是 啊，是不是我们的三角函数，所以将 cos 三角函数去凑，所以将谁凑？将 cos 去凑啊。 cos 可以 凑谁可以凑我们的 c 啊，对吧？ cos 可以 凑谁啊？是不是凑我们的 c 啊？ 好了，凑成 c 了，变成啥？是不是变成我们的 u、 d、 v 的 形式啊，是不是等于它了呀？心相成 是不是再减他俩交换位置的一个积分呀，对吧？我们知道 c 可以 凑谁，是不是 c 可以 去凑 q 省，但是多谁啊？多符号，所以 c 的 元函数不就是负 q 省，是不是再加 c 呀， 对吧？所以 c 的 元素就是负口省，前面是负负变成啥？负变成正呀，所以就是加口省 x 是 不是再加 c 呀？所以这题不就积出来了吗？对不对？那咱们可以看二五年的第十四道题，计算这个题型分呀，对吧？出现的根号是用啥？使用无力代换，所以说令 根号 x 等于啥？根号 x 是 不是等于 t 啊？换元必换线啊？那怎么看 x 是 不是从零到四变化呀？对啊，那怎么看 t？ 当 x 等于零的时候， t 等于几根号？零就是零啊。当 x 等于四， t 等于几根号？四就是二呀。 第一步叫换元必换线，第二步干啥？得把 x 翻译出来。 x 开根号了，被根号困住了，两边同平方。 x 等于啥？ t 的 平方呀？ 对啊，第三步干啥？表示 dx 和 dt 正的关系啊。 x 等于啥？是 t 的 平方，怎么表示 dx 和 dt 正关系？是不是用微分？是不是 d y 是 不是等于 y？ 撇是乘以 d x 四，但是关于 t 积分 v y 当然是 d t 啊。 t 的 平角求到啥是二 t 啊？好，将我们做的这三步变代换数，通通代入原来的表示由零到四的定义分转成零到二上的一个定义分啊，对吧？ l 二加根号根号根号这一大头等于啥？ t 啊？ d s 等于啥？ d s 不 等于二 t d t 对 吧？二是二是常数，干啥给它踢出去，对吧？ 没有音吧？被羊肉是不是又出现了两种函数？被羊肉出现了啥？愣是不是教我们对函数还有啥？ t 是 教我们的面数对吧？被羊肉是不是出现了两种函数？干啥？是不是要分布筋法？是不是将后面去凑呀， 对吧？将空的扇面上去凑，所以将 t 去凑。 t 凑谁？是不是可以凑我们的 t 的 平方，但要多谁？是不是多了二分之一，对吧？前面有个啥？二二和二分之一直接抵消了对吧？凑完了吧？变啥？变成我们的 u d v 的 形式啊，是不是得他俩心相成， 对吧？这不计算了吗？将上线是不是零到二带进去啊？是不是再减？是不是他俩交换位置的一个积分呀， 对吧？咱们不定积分就是以列 x 结尾或者底 t 结尾啊。丑不丑？底楞丑不丑？丑怎么办？就两个字，使用啥微分，对吧？微分是啥？是不是 d y 是 不是等于 y？ 撇是不是乘以 d x？ 关于 t 几分 v 当然是 d t 啊。 楞小等于啥？等于它分的呀，对吧？求完吗？没有，不要去对你的内藏处求到，内藏处求到就是一啊，对吧？所以底楞二加 t 就 等于 t 加二 分之一得 t 啊，对不对？好了，一个分式乘以整式，我们把这个啥整式放到啥？放到分子位置啊。好了，这出现了一个啥非常重要的知识，对吧？如果分子是二次，分母 是一次，对吧？我们优先考虑啥？优先考虑平方差呀，对吧？好了，如果啥？如果这个分子是一次，分母 是二次，怎么办？是叫分子凑你的分母啊，对吧？好了，你观察一下。谁啊？你观察了 这个题，对吧？咱们刚讲过吧，这个分母是几次分母？二次分子是几次一次啊？这题是凑为分呀，对吧？如果分子是一次，分母是二次，我们拿谁啊？拿分子去凑你的啥分母呀？ 对啊，这是非常重要的口令，对吧？好了，那这题是啥？分子是几次，分子是二次，分母是几次？一次优先考虑啥？平方差啊？所以干啥减个四再加个四呀， 对吧？从这个加法处裂开呀？前面自己带咱就不带了，带出来是三角八，是不是再减，对吧？遇到现象是不是怎么办？是不是能裂则裂？是不是从这个加法处裂开好了，那就变成啥？是不是 t 的 平方是不是从这个加法处裂开好了，那就变成啥？是不是 t 加二是不是底 t 是 不是再加上？ 是不是零到二？是不是四比上啥 t 加二是不是 d t 啊，对吧？四是啥？四是常数，干啥给它踢出去啊？有常数干啥给它踢出去啊？ t 的 平方再减四，是不是给写上 t 加二再乘啥？是不是再乘个 t 减二呀， 对吧？好了， t 加二 t 二是不是直接消掉啊，对不对？好了，里面变成啥？是不是变成 t 减二了，对吧？ 好了，后面向谁？积分是不是向分子？积分是不是向 x 乘以一点 x， 所以 它记出来就讲是不是 l x 的 绝对值，是不是再加 c 啊？根据积分位置已知型 x x， 所以 它记出来就是 x 啊。这 t 加二要记它一定是 t 加二， 它记出来是啥，是不是 l t 加二的绝对值啊？加一场说我干啥不改变微分，所以它记出来就是 l t 加二呀， 这记上了吗？将一上线是不是零到二带进去啊？好了，那咱们看， t 就是 啥 t 接出来不就是我们的谁啊？ 二分之一是不是 t 的 平方呀？将一上线零到二带进去，对吧？二接出来是不是二 t， 对 吧？将一上线是不是零到二带进去？后面你自己带是个啥？是一个笑脸吧。那这个答案不就有了吗？ 对吧？本道题是想考察的这个知识点，分子是二次，分母是一次，优先考的是平方差。那换了，如果分母是一次，分词是三次呢？是不是使用我们的啥立方差， 对不对？没有赢吧。好了，这是我们二年至二五年山东树伟一所有的积分，对吧？看写的非常满满当当，对吧？你或多或少总应该有点收获，有一点思路吧。 那咱们看看二一年这五年数学二的积分汇总，我先把数一的笔记给大家擦一擦，省的大家看不见。那咱们看看二一年的第十四道题，对吧？计算这不定积分啊，那你观察一下，这有森，对吧？这也有森啊， 就这一个口森，对吧？叫少数服从多数，我要把这口森给它变成森啊，对吧？口森怎么能变成森啊？是不是使用我们的谁啊凑一分啊？所以将口森凑成谁啊凑成森啊， 对吧？所以先将这个口径凑进去，变成啥？变成 c 就 变成了啥啊，就变成 c x 的 平方比上一加上四倍，是不是 c x 的 平方是不是抵 c x 啊？ 有一样的，是不是另这个东西等于 t 啊？所以是不是另是不是 c x 等于啥？是不是等于 t 啊，所以变成了 t 方比上一加四 t 方抵 t 啊， 对吧？计算这个积分，你观察一下，是不是分子分母长的样，对吧？分子分母长的样，拿分子凑你分母啊，对吧？你的分母替方多了几倍，多了四倍，所以分子是不是也要多了个四倍啊？好了，为了横的面形，我干啥要补一个四分呀， 对吧？好了，你的分母替方多了四倍，还要加几？还要加一，那我也要加一啊，对吧？为了横的面形干啥？是不是再减一啊？是不是从这个减法处裂开呀，对吧？那就变成了四分之一， 是不是就是四 t 方加一比上一加四 t 方抵 t， 是 不是再减是不是一比上一加上四 t 方抵 t 啊， 对不对？好了，四地方加一比上一加四，地方就是几就是一啊，对吧？那一的余函数是谁啊？一的余函数不就是 t 啊， 对不对？好了，那咱们看下后面，对吧？遇到一些特别数字，咱们说了，是不是要改写成平方的形式，是不是在二零二三年，对吧？第三个配方法给大家讲过了吧，对吧？一就是一的平方， 对吧？好了，四是不是改写成二平方？九改写成谁啊？三平方啊，对吧？所以将这个四改写成二的平方，对吧？那四 t 方就变成了二方 t 方，那不就是二 t 是 不是整体的平方呀，对吧？所以就变成了二 t 整体平方呀。 那你去观察分母是两个平方和那两个平方和，一定想着一定想到这个积分公式啊，老师再把它写下来，那就是一比上 a 方再加上 x 方，是不是 d x 它记住就是啥？就是 a 分 之一，是不是 ar 参与的 a 分 之 x 是 不是再加 c 啊， 对吧？根据积分位置的一致性啊， x x x 啊，这是二 t， 他 要积他一定是二 t 啊，对吧？所以积的就是啥？是不是二？可参进的谁啊？是不是二 t 是 不是再加 c 啊，对吧？你多二干啥？要补一个二零啊， 对不对？没有音吧，因为此时 a 就是 a， 就是 一， a 是 一，相当于不写，对吧？ a 是 一，相当于不写呀，对吧？要积分位置的一致性啊，对吧？ x x x 啊，对吧？二 t 二 t， 所以 积出来就是二 t 啊， 对吧？所以这积出来就是啥？四分之一，是不是 t 把这括打开，是不是再减四分之一，是不是乘以二分之一？ r 可乘以二 t 再加 c 啊，对吧？二分之一乘四分之一又几就是八分之一啊，对吧？此时 t 干啥？ t 就是 三 x， 对 吧？不要忘记回答呀，就是四分之一 c x 是 不是再减八分之一？是不是 r 乘以的二倍的 x 是 不是再加 c 啊，对吧？只要遇到分子分母长的样，拿分子凑你的分母，对不对？这是一个非常常用的思想，对吧？ 那咱们看看二年的第十五道题计算这个题用啥啊？出现了根号，当然使用啥无力代换呀。所以是不是令根号 二 x 再减一等于啥等于 t 啊？换圆括号线啊， x 从谁到谁变化， x 是 不是从一到五变化呀，对吧？那咱们看一下我们的心圆 t 的 范围。当 x 等于一的时候， t 等于杠下二乘一再减一，二乘一再减一就一，一开杠就几就是一啊， 对吧？那当 x 等于五时候，对吧？ t 就 等于根号下二乘五再减一，二乘五等于十，十减一等于九，九开根号等于几等于三呀？这第一步叫换元变换性啊。第二步干啥得把 x 写出来啊，对吧？二 x 减一开根号了，被根号困住了，所以两边同时平方，所以二 x 减一就等于啥？ t 的 平方呀？ 你要减 x 先减二 x 啊。二 x 是 不是等于 t 的 平方，是不是再加一啊？一项的时候一定要注意，不要忘记编号呀。你要减 x， 那 x 不 就是二分之一，是不是 t 的 平方是不是再加一啊？ 好了，第三步是表示 d x 和 d t 质量关系啊。 x 等于啥？是不是二分之一 t 的 平方是不是再加一啊？怎么表示 d x 和 d t 质量关系？是不是为分 d y 是 不是 y 撇是不是 x 啊？关于 t 积分是不是 y 元当然是 d t 啊， 对吧？二分之一常数提出去，对吧？ t 的 平方加一求等于几是不对？二 t 啊，二和二分之一直接消掉就是。啥？就是 t t t 啊？ 所以将我们做的变量代换是通通代入原来的表示啊，对吧？由谁啊？是不是由一到五的递分转成？啥时候转成一到三上的递分啊？ e 根号这一大坨不就是 t 啊？好了， d x 等于啥？ d x 是 不等于 t d t 呀？ t d t 呀？好了，那你观察一下这个被限数是不是又出现了两种函数，对吧？如果这个被限数出现了两种函数，是不是使用啥分布减法，对吧？根据啥？是不是根据我们的反对密 三指或者是反对密指三，是不是将 com 的 去凑并啥？变成 u d v 的 形式，就等于它俩先相乘，是不是再减它俩交换位置的个积分呀？ 对吧？出现谁啊？是不是出现了我们的 e t？ 是 不是我们的指数数？还有出现了 t 是 不是我们的面数，所以将后面的指数化去凑，所以将 e t 去凑啊，对吧？ e t 只能凑谁？是不是只能凑 e t 啊，对吧？你看咱们讲凑一分肯定有用，对不对？所以将 e t 凑进去啊， 好了，凑进去变成啥？是不是变成我们 u d v 的 形式，是不是再减他俩交换位置的一个积分呀， 对吧？ e t 记出来就是啥，就是 e t 啊，好了，这不记出来了吗？将你上线是不是一到三顿进去啊？所以这个答案不就有了吗？对不对？ 那咱们看看二二年的第十四道题计算这不等于几分啊？对啊，遇到加减相怎么办？是叫能列则列啊，所以变成这两项就 x 是 不是乘以口 x 点 x 是 不是再加上是不是 second 方点 x 啊，我们知道了，知道啥？是不是刚刚讲过，是不是 second 方可以凑谁？是不是可以凑我们的 ten x 啊，对吧？所以你 second 方的积分？就是啊，就是我们的 ten x 啊，是不是再加 c 啊， 对吧？所以后面就接出来了，就啥？就是我们的它 x 是 不是再加 c 啊，对吧？好了，那咱们看看我们啥前面的，对吧？前面的 被函数是不是又出现了两个整数，对吧？根据啥？根据你的反对密三指将 call 面去凑，变成 u、 d、 v 的 形式，就等它俩相乘，是不是再减它俩交换位置积分啊？出现啥？出现 x 是 不是交我们的面数出现了口 c， 是 不是我们的三角函数，所以将 call 我 们的啥三角函数去凑啊， 对吧？所以将谁凑？将 cos 去凑， cos 凑谁，是不是凑森呀，对吧？ cos 可以 凑谁 cos 是 不是可以凑森呀？好了， cos 可以 凑谁，凑森呀， 没有用吧？好了，变成啥？是不是变成 u、 d、 v 的 形式啊，是不是他俩心相成，是不是再减他俩交换位置的一个积分呀？ 没有音吧，好了，我们都说了谁啊？是不是？都说了，你的腺可以去凑你的口腺，但要多复号，对吧？所以腺的积分就是负口腺 x 加腺呀，对吧？所以腺的积分就是负口腺，但是前面有个负负变成啥？负变成正呀，所以就是加上口腺 x 啊， 对吧？所以这个答案就记出来就是 x 乘以 c， x 加口乘 x 再加 tan x 再加 c 啊，这不很简单吗？对不对？那怎么看？二年的第十五道题，计算这个进一分啊，对不对？好，又出现了根号，当然使用啥无力代换，所以说令 根号下 x 再加一等于啥？等于 t 啊？换圆半径线啊， x 是 不是从你的零到三变化呀，对吧？那怎么看 t 啊？当 x 等于零的时候， t 等于啥？根号下零加一就几就是一啊，对吧？当 x 等于三的时候， t 等于根号下三加一，三加一等于几？四四开杠等于几？二呀， 对吧？这是第一步，换圆必换线啊。第二步，干啥得把 x 写出来啊，对吧？ x 加一被根号困住了怎么办？两边同平方，所以 x 加一等于啥？等 t 的 平方呀，你要把 x 写出来对吧？那 x 是 不是等于 t 的 平方？是不是再减一？一向干啥不要去编号呀？ 第三步是不表示这个 d x 和 d t 的 关系啊？ x 等于啥？是不是等于 t 的 平方？是不是再减一啊，对吧？怎么表示 d x 和 d t 的 关系？是不是我们的微分？微分是不是 d y 是 不是等于 y？ 撇是不是乘以 d x 啊？关于 t 的 积分微圆当然是 d t 啊， 对吧？好了， t 的 平方再减一求到等于啥？是不求到就是二 t 啊，对不对？减一求到等于零，对吧？ 所以点 x 是 不是等于二 t d d？ 所以 将我们的做的变量代换，是不是通通代入原来的表示啊？由零到三的积分转啥？是转成一到二上的积分啊，对吧？ x 是 啥？ x 是 不是等于 t 的 平方，是不是再减一啊？根号这一大坨等于啥？根号这一大坨是不是就是 t 啊， 对吧？ d x 等于啥？ d x 是 不得二 t d t 啊，二 t d t 啊，对吧？咱们说了二是啥？常数，干啥给它踢出去，对吧？只要你长度的向尾，你不没有一些思想吗？对不对？只要有常数给它踢出，遇到加减相怎么办？能列则列啊，对吧？好了， 分子分母是不是都有 t， 干啥给它消掉啊？好了，变成它呀，变成 t 方再减一的积分，对吧？遇到加减相怎么办？是不叫能列则列啊？那就变成二倍， 是不是一到二是不是 t 的 平方 d t 是 不是再减，是不是一到二一 d t 啊， 对吧？好了， t 的 平方积出来就是啥？是不是三分之一，是不是 t 的 立方呀？这不积出来将你上线一到二带进去啊，再减一的元素啥？是不是 t， 这不积出来吗？将你上线一到二带进去啊，对吧？所以这个答案一带，这就有了吧，你看是不是非常的简单呀，对不对？ 那咱们看看二三年的十四道题，计算这不定积分啊，你计算这个不定积分，那你就想到啥，是不是想到二四年数一的第十道题啊，对吧？分子多干啥不可怕，是叫能拆则拆，是不是拆成这几个积分呀？ 对吧？你看分子多不可怕，是叫能拆则拆。从这个减法处拆开是不是从这个加法处拆开啊？那就变成啥？是不是二 x 立方比上 x 平方是不是点 x， 是 不是再减？说 x 比上 x 平方是不是点 x， 是 不是再加上是不是三比上 x 平方是不是点 x 啊， 对吧？分子多不可怕，是叫能拆则拆啊，对吧？有常数怎么给他提出去啊？所以将这个二给他提出去，对吧？将这个三是不是给他提出去啊， 对吧？好了，咱们说了，是不是 x 方分之一，是不是 x 方分之一可以凑谁，是不是可以凑我们的 x 方一，但要多谁多了个括号呀？所以 x 方分之一它的不定积分就是负 x 分 之一再加 c 啊，所以后面就能积出来啊，就是就啥？就是负 x 分 之一再加 c 啊， 对吧？一正一负就是负呀，对吧？就是三倍的，是不是 x 乘以一再加 c 呀，对吧？好了， x 和这个 x 方是不是可以消掉一个，对吧？变成啥？变成 x 乘以一的积分，对吧？那 x 乘以一记出来啥，是不是就是零 x 的 啥一个绝对值呀， 对吧？所以这也记出来了，好了，看前面的，那这个 x 和这个 x 是 不是将它消掉啊？是不是都 x 方是直接消掉，那就变成二 x 点 x 啊，对吧？ x 记出来是啥？ x 记出来就是二分之一 x 平方呀，但是前面有个二二和二分之一直接消掉就是 x 平方呀，所以这题不就记出来了吗？对吧？遇到分子多不可怕，叫能拆则拆呀，拆成这三个的积分， 对吧？ x 方和这 x 方是不是消掉还剩一个 x， 对 吧？那二是常数，给他提出去 x 就是 二分之 x 平方，二和二分之一直接消掉去 x 平方，对吧？那后面的分子分母是不是都 x 消消掉？这是啥？是不是只剩 x 分 之一的积分？那 x 分 之一提出来就是，是不是我们的 l x 绝对值， 对吧？三是常数，给他提出去变成 x 方分之一的积分， x 方分之一的积分是不是负的 x 分 量？所以这题很容易就能记出来，对不对？ 那咱们看看二三年的第十五道题，计算这个地方是不是出现了啥 sin 二 x， 当然使用啥二倍角进行展开呀。那咱们给它回顾一下所谓二倍角有哪些，对吧？ sin 二 x 是 不是等于二倍的 sin x 乘以 cos 啊？当然，你 cos 二 x 是 不是等于二倍的 cos 方减几减一也等于一减二倍的 cos 方呀？也等于啥？也等于 cos 方减谁减我们的 cos 方呀？ 好了，先使用啥二倍角将这个 c 二 x 给它展开，那就变成零到二 pi e c x 是 吧？ c 二 x 是 不是等于二倍的 c x 乘以啥口 x 啊，对吧？二是啥？二是常数，对吧？常数干啥给它踢出去啊，对吧？好了，你观察一下，是不是这有 c 音，这有 c 音就一个口 x， 你 能不能想到刚刚讲的 二一年的第十道题，对吧？两个 c， 一个口 c， 是 不是叫少数复增多数？将这个口 c 去凑啊，所以将这个口 c 去凑啊。口 c 只能凑谁？是不是只能凑 c 呀？ 对吧？好了，有样东西是不是令这个东西是不是等于啥？等于 t 啊？所以是令这个 c x 等于啥？等于 t 啊，对吧？换元干啥？被换 x， x 从谁到谁变化， x 是 不是从零到二门派变化呀， 对吧？那咱们看一下我们的 t， 当 x 等于的时候， t 等于啥？乘零乘零就是啥就零啊。当 x 等于二派， t 等于啥？乘二派三派等于几？等于一啊。所以将我们的作变量代换，是不是代入原来的表示啊？ 好了，那就变成二倍，由零到二派的积分转化成零到一上的积分呀，对吧？ e x 等于啥？等于 t 啊？ d x 是 不是等于 d t 啊？ 对吧？好了，变成这个积分，那这个积分一定想啥？是不是一定想到我们的分布积分啊？因为你的背行数又出现了两种函数啊， 对吧？你的背行数是不是出现了两种函数？再写倍，对吧？如果你的背行数出现了两种函数，对吧？要使用啥？分布积分？是不是根据反对密 三指或者反对密指三，是不是将 copy 去凑？变啥？变成 u d v 的 形式就等于他俩心相成，是不是再减他俩交换位置的一个积分呀， 对吧？出现啥？出现 e t， 是 不是我们的指数函数出现了？我们 t 是 不是叫我们的面函数，所以将 copy 的 指数函数去凑，对吧？所以将 e t 去凑， e t 只能凑谁？是不是再回到一遍， e t 只能凑啥？只能凑 e t 啊， 对吧？所以将 e t 凑进去，对吧？ e t 只能凑谁？是不是只能凑我们的 e t 啊？好了，变成啥？变成我们 u、 d、 v 的 形式是不是等于他俩先相乘，这不记出来了吗？ 好了，再见。他俩交换位置的积分呀，那就是啥？那就零到一，是不是 e t d t 啊，对吧？ e t 他 积分是啥？还不是 e t 吗？ 这不记出来了吗？所以教你的上限是不是零到一带进去啊？那这个答案不有了吗？所以二三年的第十五道题是不是也能解出这个答案了？是不是非常的简单呀，对吧？你看这个思想，是不是二三年这个思想就是啥？就是二年这个思想的啥？是不是一个改编题啊，对不对？ 那咱们看一看二四年的第十四道题，对吧？计算这笔逆分，对吧？遇到这样想怎么说叫能列则列啊？所以从这个加法处列开就变成 x e 三 x 减 x， 是 不是再加上口损 x 点 x 啊，对吧？我们知道口损可以凑谁，是不是可以凑 c 啊？所以口损积分就是 c x 加 c 啊，所以后面接出来了， 就是啊，是不是就是我们的 x 再加 c 啊，对吧？现在为什么让你背这一错位分？你背入这层定义的错位分，那你积分公式也不会了吗？对吧？那咱们看前面是不背函数又出现两种函数，对吧？再讲一遍，如果背函数出现两种函数，是不是根据反 对密三指或者是反对密指三，是不是将 call 名去凑，变成啥？变成 u d v 的 形式就等于他俩交换位置的一个积分呀， 对吧？好了，出现啥？是不是出现了 x， 是 不是叫我们的面数？出现了 e 三 x， 是 不是叫我们的指数函数，所以将我们啥靠后的指数函数去凑，所以将 e 三去凑啊？对啊，指数函数只能凑谁，是不是只能凑我们的指数函数啊？所以将 e 三去凑，只能凑谁，是不只能凑我们的 e 三 x， 对吧？因为他是啥复合的多了，谁，是不是多了个三？要补啥补个三分呀，对吧？变啥？变成我们 u、 d、 v 的 形式啊，对吧？就等于他俩先相乘， 对吧？再减他俩交换位置的一个积分呀，对不对？好了，后面要想 g 可以， 对吧？一定干啥一定要补一个三呀，对不对？因为后面是不是像 e x 积分呀， 对吧？ e x 积分就是 e x， 是 不是再加 c 啊？根据积分位置的一致性 x x， 它再记出来就是 x 啊，这是三 x， 它要记它一定是三 x 啊，所以它记出来就是 e 的 三 x 啊，是不是积分位置的一致性啊，对吧？ x x x 啊， thanks， thanks， thanks 啊，对不对？你多了三，干啥要补一个三分呀， 对不对？好了，三乘三分之一，乘三分之一又几，是不是就是我们的九分之一啊，对吧？所以记出来就是三分之一 x， e x 是 不是再减九分之一？ e x 是 不是再加上 c x 是 不是再加 c 啊， 对不对？这不记出来了吗？对不对？那咱们看看二四年的第十五道题，计算这题分啊，对吧？咱们说了，分子多不可怕，是不是叫能拆则拆呀？从这个减法处拆开，是不是从这个减法处拆开啊， 那就变成了负一到一，绝对是 x 比上 x 平方是不是再加一点 x？ 是 不是再减？是不是？负一到一是不是 x 平方是不是再加一点 x 啊，对吧？再减是不是负一到一二比上 x 平方是不是再加一点 x 啊， 对吧？你去观察这什么区间，这是一个对乘区间，对吧？对乘区间上的定积分一定要想查，是不是一定想到我们背极函数的记性啊？ 如果被减函数是积的， f x 是 积的，对吧？叫对称区间上的偶倍积零啊，就几就零啊。如果被减函数 f x 是 偶的，那这个定积分就等啥？就等二倍一半区间上的定分呀！ 好了，那咱们一定要探讨被减数的奇偶性，那常见奇偶数老师给大家在选填汇总中是不是给大家讲过了，对吧？好了，那咱们看一下他们的被减数奇偶性好了，去观察一下 s 型方式啊， o 的 任意常数 k 是 不是都是 o 的？ o 加 o 是 不是 o 的， 对吧？绝对值是不是也是 o 的？ 而且绝对值是不是在这个尖点处一定是连续不可导的， o 处一定是 o 的？ 对啊， o 的是啥？ o 的 是不是二倍一半区间上的定积分呀？好了，那怎么看中间的？ 对啊，平方是 o 的， 任意常数 k 是 不是都是 o 的？ o 加 o 不 就是 o 的 吗？那怎么看？分子 x 的 一次幺是不是积函数，对吧？积除等于几积啊？对啊，积除不就是积函数吗？对称区间上的 o 被积零啊，所以中间一项就几就零啊， 对吧？好了，那咱们看下我们的后面，对吧？二啥？二是常数干啥数给大家踢出去啊，对吧？有常数干啥给他踢出去啊， 对不对？好了，平方是 o 的， 任意常数 k 都是 o 的， 对吧？ o 加 o 等于加 o 加 o 不 就 o 吗？对吧？分子是一一任意常数都是 o 的， 对吧？ o 除 o 等于啥？ o 的 短 o 的 是不是等于二倍一半区间上的定积分啊？二倍是不是一半区间上的定积分啊，对不对？一半区间上定积分啊，把这个积分符号给它擦掉了，不好意思啊，对吧？一半区间上定积分 没赢吧？好了，那咱们看前面，对吧，前面是有绝对值，干啥把这个绝对值该去掉了，咱们看这个 x， 这 x 是 不要介于啥上下之间啊，是不是介于零到一之间呀？对吧？是正的吧，正的自然而然。你的绝对值是不是就可以打开啊？ 对吧？好了，咱们先看后面 x 方，再加一它的绝对值是不是就可以打开啊？对吧？好了，咱们先看后面 x 方，再加一它的绝对值是不是就可以打开啊，对吧？所以教你上限是不是零到一带进去啊？ 好了，咱们看前面这下是不是分子是几次？分子是不是我们的一次啊，对吧？分母是几次，是不是分母是不是我们的二次啊，对吧？想到谁是不是想到这， 对吧？好像擦掉了，之前擦掉了，是不是在这写了，对吧？是不是分子是一次？分母是二次，是不是优先考察啥？拿分子去凑你的分母啊，对吧？只要你听，你肯定有所收获， 对吧？就变成零到一加上 x 去凑呀，对吧？ x 可以 凑谁？是不是可以凑我们的 x 平方，对吧？ x 可以 凑谁？是不是可以凑 x 平方要补个谁？是不是要补一个二分一啊？是不是要补一个二分一啊？ 二和二分一是不是直接消掉啊？没有吗？怎么说凑分叫一，不做二不就直接去凑完呀？你的平方加一，那我也要加一啊，对吧？有样的是不是另一抵 t 绝是不是楞 t 的 绝对值呀？ 其实 t 就是 啥说 x 平方是不是再加一啊？还用加绝对值吗？不用加了，咱们都说了，对吧，因为平方横正，再加一肯定横正，这不记出来吗？这个上限零到一带进去啊，后面是不是再减四倍的？什么 ark 参与的 x 是 不是零到一变化呀？你自己带这个答案不就有了吗， 对不对？看嘛，就是老传统老套路，老打法呀，对吧？怎么还给他总结。分子一次，对吧？分母是二次，对吧？分子是二次，分母是一次啊，对吧？分子是三次，分母是一次啊，对不对？你照从头到尾你怎么不可能有点收获呀，对不对？ 那咱们看看二五年的第十三道题计算，这不一样，对吧？除法不会怎么改成乘法呀， 对吧？所以可以改写成是不是三加二倍的棱 x 的 平方乘以 x 分 之一点 x 啊，对吧？改成乘法目的就是就凑一分呀，不讲过了吗？所以将 x 分 一去凑呀。 x 分 一可以凑谁，是不是可以凑我们的棱 x 啊？是不是可以凑我们的棱 x 啊， 对吧？好了，怎么说凑分叫一不做二不休，谁去凑完呀？你的棱 x 几倍？二倍，我也要来个二倍啊，你来个二要干啥？要补个二分之一啊， 对吧？你的锐 x 来二百还要加几？加三呀，那我也要加三呀，加减乘以，我不改变微分呀，对吧？有一样的东西是不是另这个东西等于 t 啊？那就变成二分之一，是不是 t 的 平方，是不是底 t 啊，它记出来就是，就是我们的三分之一，是不是 t 的 立方，是不是再加 c 啊， 对吧？二分之一乘三分之一就是六分之一，是不是 t 的 立方，是不是再加 c 呀，对吧？ t 是 啥？ t 不 就是这一大坨吗？不就是二让 x 是 不是再加三的立方呀？这不记出来了吗？你看这思路是不是都讲过，对不对？怎么可能不会呀，是不是？ 那咱们看看二五年的第十四道题计算这个定分，对吧？又出现了根号，当然使用啥无力代换呀。所以说令 根号 x 等于啥等于 t 啊，这第一步令它等 t， 这啥？这是定分换元干啥？变换线啊？那 x 从谁到谁变化， x 是 不是从零到一变化呀？那咱们看 t 对 吧？当 x 等于时候， t 等于几根号？零就是零啊，对吧？当 x 等于一时， t 等于根号一就是一啊。第一步叫换元变换线，这不干啥，得把 x 解出来啊。当你 x 开根号了， 怎么解救？ x 是 不是两边同平方，所以 x 不 就是 t 的 平方吗？第三步是表示 d x 和 d t 这样的关系啊， 对吧？那 x 等于啥？是不等于 t 的 平方呀，对吧？怎么表示 d x 和 d t 这样的关系？是不是使用我们的微分？ d y 是 不等于 y？ 撇是不是乘以点 x 啊？但是关于谁的积分？关于 t 的 积分微圆当然是 d t 啊， 对吧？ t 方求导数啊，是不是二 t 啊？好，将我们这三不带换，是不是统统带入原来的导数啊，对吧？由零到一的定分转啥？是转成零到一的定分啊，对吧？ x 等于啥？ x 不 就是 t 的 平方吗？对吧？那就是 ark 参与的，对吧？根号 x， 根号 x 就 等于啥？就等于 t 啊， 对吧？好了， d x 等于啥？ d x 是 不是等于二 t d t 是 不是二 t d t 啊？好了，二是啥？二是常数，干啥给它踢出去啊，对吧？好了， t 方乘以 t 是 t 的 几次方，是不是 t 的 三次方呀，对吧？ t 的 三次方。 好了，你观察一下这被函数是不是又出现了两种函数，对吧？被函数出现了两种函数，当然使用啥？使用我们的分布减法呀， 对吧？背后出现两种，是不是根据分母记法，根据反对密三指枪 call 们去凑。出现啥？出现了面数，出现了啥？反射函数， 对吧？出现了谁啊？出现了面数，还有啥反射函数？所以将 call 我 们的啥面数去凑，所以将谁将这个三次去凑，对吧？咱们说三次可以凑几次？三次可以凑四次，但是多谁多了一个四分呀，对吧？但要多谁是不是多了一个四分呀？ 好了，二乘以四分之一就几就是二分之一啊，错位分变成啥？变成 u d v 的 形式啊，是不是它俩先相乘， 这不积出来了吗？所以将你上弦是不是零到一对进去啊？是不是再减？是不是它俩交换位置的一个积分呀？那就是零到一是 t 的 四次方，是不是 d r 相近的 t 啊， 对吧？咱们不定积分都是以点 x 或者底 t 结尾啊，这丑不丑？丑。这要丑的话是不是就两个字，是不是使用我们的微分啊？好，微分是啥？是不是底 y 是 不是等于 y 一 撇乘以点 x 啊？但是关于 t 的 积分，微元当然是底 t 啊，对吧？ r 求到等于啥？就是一加 t 方分之一啊， 对吧？所以第二乘 t 就是 我们的一加上 t 的 平方分一 d t 啊，对吧？一个分式乘一个整式，对吧？所以把这个整式放到啥？放到分子位置啊，对不对？好了， 你观察一下这个 t 的 四次方是不是 t 平方的平方呀，对吧？好了，你观察一下分母是几次？分母是二次，但是可以把它看做一次行不行？分母是不是 t 平方的一次啊，对吧？咱们看分子， 分子是 t 平方的几次二次啊，对吧？分子是二次，分母是一次，讲过了吧？是用啥？是使用我们的平方差呀，是不是在这讲的，而且还擦掉了，对不对？是不是在这讲的？对啊，讲了啥？分子是一次？ 对啊，分母是二次，还有啥分子是二次？分母是一次啊，是不是都讲了都要叫你来，你怎么可能没有收获呀， 对吧？分子是二次，分母是一次，优先考虑啥平方差呀，所以干啥？所以再减个一，再加个一啊，我从这个啥从这个加法处裂开呀， 前面一带是个三角，咱就不带了，是不是再减二分之一，从这个加法处裂开，那就是零到一 t 的 平方的平方是不是再减一比上谁啊？一加上 t 的 平方是不是 d？ t 是 不是再加上 零到一，一比上一加 t 的 平方抵 t 啊，对吧？后面一积是啥？是不是我们的 r 看见的 t 啊，对吧？这不积出来吗？所以教你上下线是不是零到一带进去啊？好，前面使用啥平方差呀，对吧？ t 的 平方的平方再减一，是不可以写着 t 平方加一， 对吧？好，再乘啥？再乘个 t 的 平方是不是再减一啊？分子，分母是不是都有 t 的 平方加一，是不是将它消掉啊？好了，然后呢？将谁啊？是不是再从这个减法处裂开，遇到这样一下是不是能拆则拆呀？ t 的 平方积出来啥？是不是三分之一，是不是 t 的 立方呀？这不积出来将上限零到一带进去啊， 减一的量是啥？是 t 将你上线是不是连到一带进去啊？是不是再加上后面一带就是一个笑脸吧，那这个结果不就有了吗？对吧？你看咱们主要是考这个考点，分子是一次，分母是二次，还有啥， 对吧？还有分子是二次，分母是一次，对吧？还有啥？分子是不是分子是三次啊？分母是一次啊，是不是都讲过？还有啥？还有分子是一次，还有啥分母是二次呢，对吧？咱们是不是都讲了，对吧？只要你有来，只要你从刚开始 跳到结尾，你怎么可能没有收获呀，对吧？老师非常记清楚，就在这地方，刚擦掉，你可以再翻到这页，是不是这个， 是不是这个思路啊？都讲了，对吧？以上就是我们二年至二五年山东数学二的讲解，那时间也快一个小时了， 那剩下的数三我们会单独开一次讲解视频行不行？在这里如果你听到尾，你的积分可能是不是或多或少有一点思路啊，也不至于考试一点都写不出来吧，对不对？

接下来我们一起看一下反函数和引函数。我们先来看一下反函数， 前面这一句说的意思就是 y 等于 f x 这个函数它存在，也就是它成立的基本条件嘛，就是要有一个单值函数，就是一个 x， 它属于 d 的 话，它的 y 值是取为一值。如果这个函数存在， 我们就可以定义一个新的函数，把它写成 x 等于 f y， 嗯，记住这个 x， 我 们把它再换个形式写， x 等于 f， 一个小负一 y， 呃，再把 x 和 y 对 调过来， 记住 y 等于 f 小 负一 x， 那 么 y 等于 f， x 和 y 等于负一 x， 它是关于 y 等于 x 对 称。但是这里有一个问题，就是反函数存在且有意义的前提条件， 并不是所有的函数把 x 和 y 对 调过来，就是把它写成 x 等于 y 的 一个函数，然然后再把 x 和 y 对 对调过来，它就叫它的反函数，叫原函数的反函数。不是这样的，它有前提条件，就是原函数它在定义于 d 内 具有单调性，要么单调递增，要么单调递减。接下来我们用这一个 doesmos 这个软件给大家演示一下。看一下反函数 这条曲线也是 y 等于零 x 对 数函数，那它的反函数就是这条蓝色的线， y 等于一的 x， 四方， 它俩是关于 y 的 x 对 称。我们再来看一下，并不是所有的函数 把 x y 对 掉以后都能有反函数，比如说像这个我们常见的这条青色的线，那 y 的 x 的 平方， 它如果对调之后 x， y 和对调之后，那它的函数，你看它图像是这条黄色的线，它任取定义域内的一个值，比如说取四这个值的话，它对应的就有两个外值，这是不满足我们 所研究的这个函数的单值性，它的外值不是唯一的。所以说 这个反函数存在的前提条件一定是原函数具有单调性，在定义域内具有单调性。比如说我们在这里取它的定义域，给它设置在 x 大 于等于零，那它在定义域内零到正无穷，它是单调递增的， 对应的 x 等于 y， 方也是这条黄黄色的这条函数线。 原函数定义域就是反函数的值域嘛，那就是 y 应该取大于等于零， 你看它俩就是关于 y 等于 x 对 称的， 所以说反函数存在的前提条件一定是原函数具有单调性，不然的话 可能是不存在反函数的。接下来我们再看一下引函数， 他是一个潜伏者，就是涉及到的概念比较多。第一个就是这个单值函数，也就是我们整个考研过程中所研究的这种函数类型。 对每一个 x， 它属于 d， 取任何 x 属于 d 的 任何一个值，它对应的外值总是唯一的这个值。单值函数也是我们整个考研过程中所研究的函数类型。第二类叫多值函数， 虽然不是我们考研所要研究的这种函数类型，大家了解一下，是对每一个 x， 它属于 d， 它有确定的外值与值相对应，但是这个外值它不是唯一的，可能有两个，也可能有无数多个，无数多个。 再就是这个显函数，显函数就是在定域的条件下，咱们把它写成形，如 y 等于 f， x， 这种就称为显函数。比如说 y 等 x， y 等 x 平方， y 等于三 x， y 等于扩散 x， 这都叫显函数。嗯，最后一个就是我们所今天所要讲到的这个隐函数， 这个隐函数可能稍微复杂一点，嗯，它的定义就是比如存在 y 有 x， 它满足方程 f x， y 等于零，它在一定的条件之下， 在 x 取区间内的任意一个值时，总存在唯一的外值，使得 f x， y 等于零成立，也就是这个方程让它成立唯一的外值， 那么 f x， y 等于零，在该区间的确定了一个引函数。所以那么什么叫一定的条件之下？这个就是我们下节要讲到的这个一定的条件之下 到底是什么样的条件。隐含，也就是隐函数存在的定力有两个，我们留在下一节讲， 我们下一节将介绍隐函数的存在定力，就隐函数存在的定力一和定力二。虽然说这是小的知识点， 但是我觉得也是比较重要的，我们下期再见。

希望通过今天的这两道题型的讲解，让我们在今年专升本的考试当中，不会因为引函数求导的问题而丢分。我们只需要掌握一个能力，就是引函数求导的公式， 公式法去求导引函数，我们公式法它会有个使用的前提，我们只需要把使用的前提记住，剩下的所有的啊，基本我们都会。 公式使用的前提条件呢， 非常简单，我们只需要把这个方程写成等于零的形式。 虽然很多题目啊，直接给你等于零的形式，但我还是希望通过比较难的题目来引入， 因为我们知道引函数的标志啊，就是方程二字。什么叫引函数？我基本上很难脱离出 y 等于多少多少 x 的 形式，就 y 根 x 啊，它是一个方程给你的，它靠一个方程去建立 y 根 s 的 联系。 普通的显函数是 y 等于多少多少 x， 你 能脱离出来，那你可以用传统的方法，我们只另寻他法好， 为什么老师要把方程圈出来呢？因为有的题目啊，他不会告诉你引函数三个字的，他只会告诉你这个函数由方程所确定，老让你求 dy 比 d x， 你 看到方程，你就得明白，这就是引函数的标志，哪怕他不给你这三个字，你也得知道考的是引函数的求导。 那使用的前提条件呢？我们可以看一下方程，一般啊，你看他没有告诉你什么，什么等于零，那怎么办？你要让这个方程等于零出现 等人的方式有两种，我可以把右边往左边移，让方程的右端等零。也可以把左边往右边移，让方程的左端等零。显然哪个简单做哪一种嘛，我只需要把 cosine y 往右边移啊，那右边照抄呗，非常之简单。 右边啊，我们抄下来， 而 cosine y 呢，移到右边会变成负的 cosine y， 然后方程等于零，这就是我们需要的公式的前提条件， 我们只要做完这一步，之后呢，我们剩下所有的问题都留给公式，公式也非常的好记。 dy 比 dx 等于什么？ 这个方程啊，对 s 求偏导，除以这个方程，对外求偏导，前面添个符号，你看 s 跑上去了， y 跑下来了啊，符号造超，我们来实践一下。对 s 求偏导，要把 y 看做常数， 所以这个 y 单独出现，那长长数求到当然等于零了。这个三 pi 呢，也是长数，长数求到等于零。 cosine y 呢，它求到也是零，因为我们现在是分子，是对 s 求偏导， y 统统看作长数，长数求到等于零， 那剩下两个都含有 x 项，显然第一个还是 x 的 负二函数，我们通过剥洋葱的方法，第一圈 e 的 某个函数求导会等于它的本身。 第二圈呢，二 s 加 y 求导，显然 y 求导是零，不用看。二 s 求导呢，是二倍，所以乘以二倍。好，第一个位置已经结束，看第二个位置， s 立方求导呢，是三倍 x 的 平方啊。相信我们到这个时间节点，这些 简简单的求导我们还是没有问题的。然后我们还看到了分母，分母是对外求偏导，那 s 单独出现三派，他们都是常数了，常数小于零就不用看了，剩下的几个部分都多多少少含有 y 啊。第一个位置啊，一圈两圈复合的情况啊， y， y 把它单独圈起来不容易漏吗？符号也圈起来，这样子一目了然对不对？好，第一圈 e 的 某个东西求到，还是把 e 的 本身 抄写一遍，括号里面对外求导，那不就是外前的系数一吗？啊，一可以省略不写，然后负外方求导减去。二，外负的 cos 以外求导。我们知道 cos 以外呀，求导是负的上以外，那前面有个符号，负负得正， 你们多写一步啊，这一部分求导是负的三 y 啊，负负得正加上三 y， 这就是我们本道题最后的答案了， 所以非常简单，我们只需要掌握我们使用这个公式的前提，一定要把它写成等式等于零的形式。那你通过的方法就是移项吗？ 一项让方程等于零，非常之简单。方程等于零之后呢？你对这个方程的分子是对方程 s 求偏导，分母式对这个方程 y 求偏导，然后前面记得填一个符号。好，本道题结束。 这种题型一呢，老是把它归纳成什么引函数，求 f 一 撇 s 的 问题对不对？也就是我们之前普通函数求 f 一 撇 s 的 问题， 你会发现有的题目是求 f 一 撇 s， 有 的题目可能是求 f 一 撇多少零啊？我们知道这叫导函数值，导数值，它的结果导向是一个数。同学， 这个是一个极其容易丢分的点。比如我们来看一看，为什么说如果这个数不强调容易丢分呢？我们看到题型二，你看他告诉你 s 等于零了，说明他是求某一点的导数值， 那结果是一个数，能明白吗？这是求的是某一点的导数值。注意老师的表述， 同样因为看到方程，因为看到引函数，我们想到公式法，那使用公式的前提条件要让方程等于零，那也就是 s 乘以 y 减绕引 y 把一移到左边来，减一等于零。好，方程等于零，一旦显现，剩下的都交给公式法 来。 dy 比 d x， 老师给你单独写一遍，负的 f s 跑上去， f y 跑下来。 好分子是对 s 求偏导，那 y 单独出现，求导等于零，常数求导等于零，不用看了，那它求导是多少？它对 s 求偏导， y 看成常数，常数乘以 s 求导，那就是这个常数啊， 没有问题。好，那么分子求导就结束了。我们来看看分母求导，那分母是对外求导，是不是这两块减一？不用看了， s 乘外求导，那 s 看到常数，那不就这个常数吗？ 负的幂 y， 我 们说负号也好，常数也好啊，干嘛都要往前抄，因为它你可以看作负一乘以幂 y 嘛。常数求导，常数前后是不变的，你往前提就好了，你只要单独看这个幂 y， 幂 y 求导是 y 分 之一啊。 然后这道题求的是什么？求的是 s 等于零处的导数。我看过不少同学写了一个答案，告诉我老师， y s 等于零， 这个 s 不 用看了。 y 除以外分之一不就是外乘外吗？答案是外的平方啊，为啥？因为正负负负得正了吗？对不对？外除以外分之一等于外乘外等于外平方。他把外平方写这边，他一定是错的， 因为注意老师说过，他是求的是导数值的问题，这是一定强调了他求的是某一点的导数值，结果怎么能是一个函数呢？ 如果老师他没有告诉 y 等于多少啊，这就是我要给你们总结的是题型求导数值的问题。他的套路非常简单，他只给你 s 等于零，但是如果给你 s 等于零，你要对求完公式之后呢，你得把这个 y 的 结果求出来。 y 的 结果怎么求？ 利用方程嘛？哪个方程？这个方程 老师问你，如果这个方程告诉你 s 等于零，你是不是立马能推出 y 等于多少？因为这个方程就是 s 跟 y 的 一个关系式，引函数就是建立 s 跟 y 的 一个关系式， 所以我告诉你 x 相当于告诉你 y， 你 只需要带入方程，比如这道题，如果 s 等于零，你会发现这一块零嘛，零乘 y 等于零，也就是负的让 y 等于多少 一啊，那不就是浪以外移过去变成负一吗？好，我们说指数的运算法则非常之简单，你要听过老师之前的啊作品，你会发现浪引移过去变成什么，变成 e 为底吗？所以 y 等于 e 的 负一次方，也就是 y 等于多少 亿分之一，有没有问题？所以你会发现，哎，负负得正了，原来这个外方啊，其实多少亿分之一的平方，亿的平方分之一嘛。所以以后我希望你啊， 通过题目给你 s 等于零，你干嘛利用方程的方法把 y 等于多少求出来 y 等于多少？ y 等于一分之一，那你做这边， s 等于零，代入负负得正一分之一除以 一分之一的倒数，你看，除以一个数等于乘以它的倒数，相当于它的倒数，其实它的分母吧， 还是 e 的 平方分之一。或者刚老师也强调过上一种方法，你只需要干嘛？哎，把 y 先算出来，等于 y 平方，然后再把 y 等于 e 分 之一往里面带入是一样的意思。 为什么林老师先带？因为林带入进去比较简单嘛。但无论如何，你都不应该把 y 平方写在这边，而是把一个数字写在这边。所以以后 如果碰到求导数的问题，你直接一向变成零的形式。使用公式法，如果让你求某一点的导数，你要注意，如果是引函数，你还得利用方程把 y 求出来，因为引函数的结果肯定是含有 s 跟 y 的 共同表达。是因为你无法脱离吗？ 对不对？无法脱离，那你结果肯定就 s 有 y， 就 s 有 y， 那 你就需要利用方程把 s y 都解决出来，然后再带入。好，那么今天引函数求导的问题就到此结束了，希望同学们在今年的专升本考试当中，不会因为引函数求导的问题要丢分。好，同学们，下一期再见！

根据大家的留言，我们这一期视频来到了二六年山东省数学专升本考前压题系列，因为专升本数学在山东省分为数学一二三，我们这一期视频就压山东省数学一的所有内容，我们挑战一百分，这一期视频能压中 八十分以上，我们会根据过往专升本的正题，再加上老头出题的习惯，来预测二六年可能专升本数学一考哪些题目。同样大家给个点赞，关注一剑三连，把你们的省份留在评论区， 留的比较多的同学，我们会尽量尽快的出，我们最近会日更，甚至于一日双更。所以我们这一期视频就来到我们山东省数学一的押题，我们押题的时候尽可能把题目，知识点还有例题 你全部给明确的写出来，形成模板化，你们以后遇到这种题就用对应的方法和对应的模板答案去解析就行了，所以你们只需要把这个模板题目做会考试，一旦遇到了基本就没有问题。 我们就接着来看到山东省数学一的具体压题部分。首先来看到极限的部分，极限山东省数学一是考两个选择一个填空两个计算，而小题目也就是选择填空题考三分一个，计算题是六分一个。 然后先来看第一个知识点，就是函数的性质，而函数的性质我们这里主要列出了两个，一个是奇偶性，一个是周期性，不知道为什么这个粉比这里要浅一点，下面就要深一点啊。好，我们先来看第一吧，先看第一就是为奇偶性的时候第一个考点， 奇偶性他怎么考呢？就非常简单，直接直接考定义啊，他就直接说下列为奇函数或者为偶函数的式。如果是考奇函数，你就通过，只要是考， 只要是考奇偶性，全部使用这一个定义。然后你把对应的函数里面的 x 化为负 x， 然后带进去，看 f x 和负的 f x 等于多少，等于它就为 偶函数，等于它就为奇函数。所以直接带进去就可以，不管是奇还是偶啊，他问奇你就选择奇函数，问偶就选择偶函数啊。这是第一个例题，我们再看考点二，就是周期性，而周期性也非常简单，他对于记忆的要求更高一点。比如说他会直接问 向量函数为周期函数的式，你就从 a、 b、 c、 d 当中直接选一个周期函数就可以了，这个就主要靠你记啊，哪些是周期函数好，再看第二个知识点，就是间断点的类型判定。间断点的类型判定，比如看间断利益， 利益是哪种类型呢？就是分式的函数为分式的这种间断点类型，比如说这个 它就是分式。问 x 在 一点处，它的间断点的类型是什么，你就从 a、 b、 c、 d 当中去选就可以。这里提一点啊，如果说它给了这种题，然后它里面又出现了连续的间断点，往往是不选的啊，就是考它的概率非常小。 嗯，他只是我觉得只是假如没有这个点，他就少一个选项，只是用于充当选项的好，这第一个，第二，一个第二类间断点的概率也相对而言要小一点点。怎么写呢？半勾吧。 如果说你这种题实在不会做，你就给我蒙蒙，就蒙这两个当中的一个，就 a 和 b 当中去蒙一个啊。好，这是 考分式，第二就是考第二种情况，就是分段函数，你看我们 压一个知识点，他考什么样类型的函数，我们都给大家写出来了，所以你只需要去做对应类型的模板题目，就能够把它做出来啊。你们知识点在哪里学就在哪里去做，在线上报班就在线上学，线下报班就在线下的教材里面 和课后习题去学。如果是我们的内部学员，直接看我们的课程，我们讲的非常详细啊。好，这里 他就直接问这个分段函数在分段点处，这一嘛，他有问在一处他是什么间断点？ a、 b、 c、 d， 他 和这里是一样的，就同上和这里的选项是一样的，我就不去写了啊，这里是第二类，然后再看第三类，就是无穷 的比肩。无穷比肩是怎么出题呢？就这种例题， x 趋近于一的时候，它是它的什么？无穷小？比如说高阶无穷小还是低阶无穷小？等价无穷小还是同阶无穷小，自己选一个。你这里有什么就用 无穷小比肩的无穷小啊。无穷小比肩的定义，比如说这里 x 趋近于零，你直接把 x 平方减一， 然后三引 x 减一带进去就可以了，看根据它的结果来判定它的什么类型。好，再看第四一点，就是已知连续反求参数，它会直接给你个函数， 然后说在分段点做，也就在这一点处是连续的。问你 a 等于多少？这种题你就狠狠地给我抓住，左极限等于右极限等于函数值，把这三个点抓住，计算出左右极限的数值，然后等于函数值就能求出里面的 a 啊，本质上来说还是在求极限啊，没什么难的 好。第五个点，渐进线，渐进线有两种考试方式，第一种，他直接给你个渐进，给你个函数，然后他问你他的水平渐进线或者是铅垂渐进线，问了之后你直接写对应的， 问你水平就写水平，问你千锤，你就写千锤就可以了，这是第一种考试方式。第二种，他就问你有几条渐进线，但是你还是得要把渐进线求出来，你不需要写出它具体是什么渐进线，但是你要把它求出来，你才知道具体有几条渐进线，所以这种就需要把它 千锤和水平和千锤的都得求出来，然后把它的条数写上好，这是渐进线的两种考试方式。 再看函数值，函数值的方式就是这种，它给你个函数，它函数里面套函数，比如当这里写个 f 零，你就把零带进去，在这里 得到 f 零等于一，然后这里又是一，再把一给带进去，又得到多少，又才写到这里来啊。这个就完全是一个套法， 没什么难的，你只要把它带两次，它的数值就没问题了。 ok， 这是我们的第一个黑板，马上我把它擦掉，写第二个黑板， ok， 我 们这一黑板就把山东数学一的极限部分全部讲完啊。先来看第一个黑板，这个黑板就是讲极限的计算， 而在极限的计算当中，第一个考点最最最简单的，最最最基本的就是直接等价， 而在直接等价当中，你直接套用公式这两个就可以等价啊，这个我就不说了。而第二一个考点就是在等价之前先用落笔打法则，因为这个公式其实是用米格公式，可以直接等价的，但是呢， 这个公式你不能够直接用普通的等价公式，你要先求导再等价，就相当于先落笔打再等价。好，第三一个就是有理化了，有理化，我们给大家写了两个例子，有理化，比如第一种是根号减去这种数值的形式，它本质上来说 就是这种类型，根号减去一个数字的形式，这是第一种。第二种类型就是这种根号减去根号， 就这种根号减去根号分子分母同时乘以两个根号相加的形式，所以本质上来说就分为两种，第一种根号减去一个数，第二种分为根号减根号，这两种情况就用油理化来进行处理。好，这是第三个例题。再看第四个例题，就是 分式的通分，而分式的通分当中，只要你看到了两个分式相减，你就要想到通分。同样，这里的题目我这里 漏写了，主要是在填空题和计算题当中来出现啊，主要是填空题和计算题，尤其是计算题啊。好，这里就是主要两个分式啊，你就想着通分，就不要想别的方法了。第五一个 变现积分，求极限。如果你在今年的求极限当中遇到了变现积分，求极限，一旦看到了积分啊，在极限当中百分之一百 洛必达，直接洛必达求打，当然洛必达之前要等价啊，你就是分母，你要等价。好，然后直接洛必达遇遇到这个东西就是变现积分，百分之百是用洛必达法则啊。好，再看第六个题，第六个题就是这种类型， u v 型啊，就就方框三角形类型，这种类型有，我们直接给了模板，这个模板就是遇到它之后，全部用对数和指数的法则把它给抬起来，计算这一部分的极限啊。这一部分极限就简单了，其实比如说 最通常的就两种，其实就一个例题啊，这里是一个题目，我们写成了两种形式，一种是它 是不是这里就一个一一部分，然后乘以 x， 是 不是这种类型直接套用这个公式，你看这一个和这一个其实是一个题，对吧？只不过把这个分式拆分为两部分 还是一样，还是套用这个公式来进行计算啊，直接我们这里模板都写好了，直接套用这个模板啊，这个这种类型的题目就套用这个模板就可以了。然后再看第七个考点，就是已知极限反求参数。这种类型就是先告诉你 极限是等于他的，但是这里面还有一个参数 k， 然后把答案告诉你，反过来求这里的 k， k 等于多少，这就是 第七种考点。所以这一个黑白，我们就把山东数学一所有的极限部分全部完成，马上我擦掉，我们就来完成 导数部分和后面的内容。 ok， 我 们这一个黑板就把数学一的导数和积分全部讲完，所以我们直接来看到导数和积分的知识点啊。首先第一个山东数学一的二六年导数导数他选择和填空题加起来啊， 小题目嘛，选择和填空加起来考一个，计算题考一个，证明题考一个，但是呢，选择和填空题他考的太杂了，嗯， 不太好去摸出题老头的习性，所以说这一个我，你们这个点太杂了啊，所以我就没有去预测。选择加减后，我们直接到计算题，这个点，大家去把基本概念熟悉一下，确实他考的不太好做。我看了一下过往的真题，是专门研究了的啊。嗯， 计算题呢，相对而言，他喜欢考极值，而且是比较简单的，直接就让你求极值，所以说这个考试的概率非常大啊， 这个考的概率非常大，所以说大家把这个点好好看一下，那具体怎么考呢？比如这个例题，他给你个函数，就是普通的 正常的函数，然后说求他的极致是多少，你按照求极致的方法求出来就可以，这是第一个点，第二一个点出大题的就是切线，而切线他考正常，他如果是这种函数求切线，他就不会出在大题里面了。他出在大题里面就喜欢考 不一样的函数，比如说引函数和参数方程，比如说这里的就是求切线。然后比如说这个例题切线，它这个就是曲线，它求在这一点处的切线。好，这个什么是什么曲线？ 就是引函数啊，这个就是引函数，所以它其实就是在求引函数在这一点处的切线。同样， 他第二个考点就是还是切线啊，他第二种方式其实去换了一个方程啊，就是参数方程，求切线，他直接给你个参数方程，说在这一点处的切线是为多少， 所以说这两个其实都是在求切线，只不过是不同类型的函数。本质上来说，计算题他就考两个，第一个是极值，第二个是切线，极值的概率远远大于切线啊，重点看极值。好，我们再看证明题，证明题他说 啊，这名题还是一样考的非常杂，而且他杂也就算了，他每道题的难度还非常高，所以我们这里就给大家两个方向， 所以也不算去太强的预测啊，就不像这种太强的预测，给两个方向大家去掌握。第一个就是 罗尔定律，比如说直接看例题，他说 f x 它为奇函数啊，在这一点处上可导，然后你证明这个东西，这种典型的就是你只要看到这种类型啊， 典型的适用鲁尔定律。当然他有的时候会考双中指问题，双中指问题的复杂程度比单中指问题， 不是说双中指就是单中指的两倍，他会上涨很多啊，所以说双中指问题得要有一个专项，专门来讲花很长时间啊，所以我们这里就没有提双中指问题，然后这直接看不懂事，第二方向就考不懂事，考不懂事也相对简单一点，他直接就会 给你相关的不等式，让你去证明这个不等式他是怎么成立的。好，这就是不等式，这就是前面内容，就是导数部分，我们再来看积分啊，积分他是考一个填空题，两个选择题，一个应用题 啊，两个计算题，一个应用题。首先看填空题，填空题考的比较多的是这一个，这是山东省专升本 数学里面特有的他喜欢考的一类题型啊，这山东特喜欢考的一类题型就是已知一个积分让你求另一个积分，比如说 他已知他和他让你去求他前面这两个积分是题干告诉你的已知的，然后让你去求这一个，这就是已知这两个积分，求这一个。再看一个例题， 呃，他又有点不一样，他还是一样已知这一个积分，让你去求他。其实这是这题型，都是一种已知，一个积分求另一个积分，但是在题目上他是有一定变化的，所以大家把我这两道题做一下啊。 这两道我是把它放在我们的押题卷里面的，所以大家做一下。这两道题会和考试的，他一旦考到了，就和考试的题型基本是一样的，但是你不可能是原题题型方法是一样的。好，再看第二一个变现积分 求导，嗯，第二个点就变现积分求导也是在积分里面变现积分求导很简单，就是有个变上限积分嘛，然后直接对他求导就行了，这个就中规中矩，没什么难的，正常的题目啊。好，第三一个就是积分的计算呢，积分的计算，他的 填空题、计算题都有可能考啊。填空和计算题我就不写了，填空和计算题都有可能考，我们这里就列出了几种计算方法。 首先第一个就是分布积分法，嗯，分布积分法它考两类，第一类是考最多的，比如说我们直接给模型了啊，第一类就给模型，它直接是。这是什么？这是两类函数， 这是两类函数啊。遇到两类函数，比如这种，这是一类，这是一类。两类函数，不要想着直接使用分布积分法啊，这是第一类。第二一个第二类考法就是无法直接积分的函数，比如说这一个反函数， 反三角和我们的对数， 反三角函数和对数函数是这类函数考中考的最多的，比如说直接对它求积分，你没有办法求，只能用分布积分法，这个也一样，没有办法求，只能用分布积分法，所以这两类题大家掌握一下啊。好，我们再看第三类题， 就是换元法。换元法又分为两类换元，一个是根式换元，一类是三角换元，比如说 根式换元，非常简单，就直接令根号等于 t 就 可以了，你把里面的根号给我找出来， 大方大大方方的令根号等于 t， 令这个根号等于 t 就 行了，如果说他也有可能是这样子，令整个根号根号，不管根号有多大，只要出现根号，直接令根号给我等于 t， 然后把它换元过来，其实积分就简单了。好，再看三角函数换元， 三角函数花园，它就是这种模型， a 平方减 x 平方，这一个是最多的啊，这里头写的字有点小，大家放大一点， 这个是考的最多的，当然它考的最多的实际例子就是一减 x 平方，二减 x 平方，四减平方，其实它这里加减都是可以用的啊， 都是可以用的，但是考的最多的是什么？就是减法啊，考的最多就是减法。好，第四，一个有理函数积分。有理函数积分也是山东省非常喜欢搞的，其他省份也有考，但是山东分，但山东省比较钟爱啊， 比较钟爱有理函数积分啊，打了个嗝，有比较钟爱，就是这种类型的题目，大家去做一下。但有的时候它分母是一个数字，比如说是一，但有的时候它分母又是 x 平方加二， x 加一，就是这种二次项，有的时候是一次项，有的时候是没有项。好，这是 这一个例子。呃，尤利函数积分。最后再看应用题，应用题山东省他就喜欢考面积和体积，他不会考太难，他就是常规的面积和体积，比如说 就是面积体价，直接给你两个函数，说它围成图形，求它围成图形的面积，或者是它让 x 轴或者是 y 轴旋转的体积，就这么回事， 把我们的公式，特别是体积旋转的公式牢牢掌握，基本上计算不失误，是能够得好分数的。把这一个模板类型的题目把它掌握好，流程掌握好， 这里我们就把数学一的导数和积分一起讲了，我把黑板擦掉，我们再继续。 ok， 我 们这一个黑板就把数学一的所有内容全部给大家梳理完。我们先来看，首先第一个就是微分方程，嗯，山东数学一的微分方程会考选择加填空一共一个，然后加起来一个啊， 再加上一个计算题的一个，我们直接来看知识点。首先第一个知识点就是二阶梯次为求通解，考选择题和计算题要多一点，更多的是考选择题，计算题稍微要少一点，还是要注意以选择题为核心。然后他就这种直接给你个二阶积分问， 哎，给你个呃，微分方程什么二乘积分，然后问他的通解是多少，直接求出来就行，这种就是标准的求解步骤啊。第二个就是判定他的结束，同样这个也是考选择和填空题啊。 呃，判定微分方程的结数就类似于这种，给你个微分方程直接问他的结数是多少，这是基本的概念，所以还是要回到知识点内啊，你们知识点在哪里学的？回去看一下知识点，把这种类型的题目给梳理出来。第三一个就是 已知解反求方程，比如说这个例子，他给你个解说这个解是为这一个方程的解，然后让你求出这个方程。本质上来说就是求方程里面的两个参数呗，所以你把两个参数求出来，然后再去匹配我们的选项就可以。 好，这种题还是要注意一下，这个还是考考曾经就考过啊。好，再看第四一个，一阶微分方程求解，这就是在计算题里面的，这就是 考大题。一阶微分方程的求解，本质上来说就是用一阶。其次，微分方程的通解有一个标准解的结构，把那个公式记下来，直接套用就可以啊，你把它化成一阶。其次，微分方程的标准形式，再套用 那个求解的公式就没问题了啊，这是第四一个点，然后这就是微分方程。微分方程计算题，一个嘛，我们就给了一个和两，一个两个啊，然后填空题也就给了两个点，所以不多啊。 然后再看无穷极数，无穷极数选择题，一个填空加计算一个，要么考填空，要么考计算，就二选一，然后第一个知识点判定极数的收敛或发生，这是常考的啊，今年我觉得百分之九十都会考啊，在选择题当中当然是选啊， 百分之九十都会考啊，他就直接说下列级数是收敛或者是发散，只问一个啊，他会收敛，你就其中当中去选收敛，问发散就去选发散啊，这是第一个，第二个就是计算的 收敛半径，然后他利益这种，他会给你一个密级数，直接问他的收敛半径是多少，这是有标准的解析流程， 第一步做什么，第二步做什么，第三步做什么，直接求出来就可以啊，这种就是考填空题，这以填空题的形式给了大家嘛。好，这是第二个点，第三个点就展开式了，展开式相对考的比较少，如果考的话，他也是在填空题里面考，他就直接给你个 计数，然后将它展开。呃，给你个函数，让你把它展开为以 x 为密集数，展开为 x 的 密集数，这里是需要你们去记忆常见的密集数的展开式。嗯，还不太好记啊，内容比较多，所以你需要花更多的时间去把这个记住，尤其是你可以 考前记一记，喝前摇一摇，把它记住了，考试时候看有没有，有的话马上写草稿，纸上，没有的话马上忘掉，所以说这个可以，就是 考前集中，把它攻克一下。好。第四一个点就是收敛欲嘛，主要是考计算题啊，考的概率也不是那么高，相对而言偶尔可能会考啊，这概率还是比较小的啊，比较小他是怎么出题呢？他还是一样给你个秘籍数，问他的收敛欲，按照什么标准流程 去解就可以了啊，没有什么难的。第五一个求核函数也是考计算题，这一个高概率就非常的高了， 而难度也会比较高，他直接会给你一个密集数，问他的和函数是多少，然后和求他的收敛域，他有的时候和函数和收敛域会同时问，所以有的时候他这一个问为什么考的少呢？因为就放到下面来考了，和函数和展开式 这两个点，都要把常见函数的展开式和和函数记住，而且是要记住他们做题的流程，这里是有一定难度的啊。 所以这两个题，这两类题啊，这个其实也是有可能考大题的，所以这两个题大家下去做个三五道题，应该问题不大了啊。好，这里我们把山东数学一的所有内容 就给大家全部梳理完了，大家把这些压到点知识点应该算比较少的，整个卷子上来说去回顾一下就没问题。好，我们这一期视频就到这里。