25年初三石景山一模几何综合题

这个题呢，首先它给的这个抛线 y 等于 x 方减二 t， x 第一位让求的是 t 等于，求它的顶点坐标啊，很简单好，它放顶点式是 y 等于 x 方减二 x， 那么就加一再减一透完全平方公式用的就是 x 减一的平方是不是减一，所以顶点坐标是一逗号除以。 好，下面看第二个题。呃，做这个类型题呢，首先要找到确定的量或图形。确定的量是谁啊？确定的量啊，确定的量 啊，确定的量。第一个是 a， 是 大 a 大 于零啊，也就是 a 是 等于 e 是 大于零的，哎，第二个是什么？过圆点， 第三呢，是是什么？对称轴 x 等于 p， 哎，这相对添加了。第四个是什么呢？要满足的是 y 二小于 y 三小于 y 一。 那第五个呢，就是相对的确定量了啊，比如说我们这个 m 的 横坐标是确定的，然后呢，我这个 n 的 坐标 t 点二是在对称轴的，哎，右边 啊，也就是 x 的 等于 t 的 坐标啊，坐标，那么这个 n 呢，是 p 点坐标啊，是相对的，看着像我们大班长，下面咱们看一下啊，回头， 所以我们按第一个啊，开口向上啊。第一种情况，那么是不是开口向上，咱们画一个图啊，画图，那么这是一个凹陷啊，开口向上，我们就是对应轴是 x 等于 t， 那 我们这个 t 点二是不是只能在这呢啊？ t 点二等号，嗯， one， 那要满足 y 二小于 y 三，那么是不是说 y 三呢？这个 n 啊，一个是在对称的左边，在这边。这第一种情况啊，那这是负四，这是负三， 那这个是负的，那么至少我 y 一 是最大的，所以三只能在哪呢？只能在这边呢？这是三到后 y 一 啊，这边是谁呀？十万二，是不是？因此我们可以知道啊，这个 m 点关于这个 x 等于 t 的 d 乘坐标， 对称坐标是多少呢？是二 t 点二， t 点三，逗号，万一 啊，因此呢，都在对称，这个时候呢，是不是说它们三个坐标啊，这是二 t 点三啊，万一它们都在对称轴的，是不是？是不是左边啊？ 那什么 y c x 增大而减小，所以满足不等式关系，就是负三，哎，它是小于等于 t 减二，那 t 呢，就大于等于负一。 第二个呢，就是说 y 一 小于 y 三， y 大 于 y 三，就满足二 t 减三，它的小于等于负四， 所以呢，就知道二 t 是 不是小于等于负一啊？ t 小 于等于负二分之一，所以这个左边负一小于等于 t 小 于等于多少？负二分之一啊，这是第一种情况， 那第二种情况呢？我的对称轴在哪呢？就跑这个负三到和负四啊，负四和负三在对称轴的右，哎，它是这样， 当然我们知道啊，这个 y 二呢，它这个 t 减二，逗号 y 二，它还是在盯着左边，那么这是负四，那这自然是负三啊，再往上走呢，那就是三了，嗯，所以这一段是谁呀？这一段是 y 三， 那上边的这个是 y 一， 也就是三，那这个时候是 y 随 x 把这个 y 二啊，这个 y 二就是 t 减二，都放 y 二 对称到对称轴的右边去啊，做这个盘是 t 加二，逗号外外，那在对称右边是外随 x 增大而增大，所以满足一个不等式关系，就是 t 加二要小于等于负四， 所以 t 是 小于等于多少负六的啊？所以这个题呢，咱们等在这综上所述。 嗯，根上作数 t 的 范围是什么？大于等于负一，小于等于负的二分之一过 t。 怎么样？小于等于负六啊，负六这样呢？就这个题啊，就算变完了。

二零二五北京初三数学一模会编几何综合解答题七、实景三区三角形 a b c 中 a b 等于 a c 等腰三角形角 b a c 等于 r， 顶角等于 r 法 d 是 bc 上的定角，底边上的中点，三线合一高中线角平分线， e 是 线段 b d 上的动点，动点 不与 b d 重合连接 a e f 呢，是 a e 的 终点，两个终点啊， f 是 a e 的 终点， d 是 b c 的 终点。 线段 f e 绕点 f e 时旋转 r f e 绕哪个点呢？ f 点 逆时针选 r， 这叫做 r 法，得到这个 r 法，它就相等。这是一个两个相似的三角形，得到 f h 角 a h e， 这个角多大？连接 dh， 判断 dh 和 a c， 猜嘛，就是垂直。第一问， fa 等于 fe 啊， fa 等于 f e f h f h 呢？也等于 f e， 这就能证明，三角形 f e f 去 i 等于 f h 等于 fa。 角一等于角二，角三等于角四， 这是角一加角二加角三角角四等于一百八十度，所以角二加角四等于九十度，这就是一个等腰， 这是一个直角三角形，就这样一种形状。如果一个三角形这样一种特点，怎么说呢？一个点 d 点等于 dc 等于 d， a 等于 db， 那 它就是一个以角 bc 为直角的直角三角形。第二位，我们看一下啊， 延长 e h 到 m m 点，使得 h m h m 等于 h s e， 这是要做等腰。直角三角形底边上的中线 连接 a m c m 是 得 c n c n 等于谁呢？等于 b e 角 a h e a h e 这个角等于九十度。 a e a e 是 什么？斜边？ a e 又等于 a m a e 等于 a m， 所以 a e 等于 a m d 为 bc 上面的中点，那 d e 呢？等于 d n f 呢？为 a e 的 中点，所以 f h 平行于 a m d h 呢？ 平行于 m n。 那 角 e a m e a m。 角 e a m。 这个角啊，这个角等于角 e f h。 这个角等于阿尔法等于角 b a c 所以， 因为这个角 等于下面这个角，它有一个公共的。公共的是什么角 e a c 相减。角六等于角五 a c a c 等于 ab。 角七，角七在哪？这个角，角七等于角 b 啊，角七， 角七等于角 b。 我 们看一看，三角形 a c m 啊，三角形 a b e 全等，所以 a c 呢？ a c 等于。 因为 a c 等于 ab。 三角形 a c a b e 全等，所以 c m c m 等于 b e c m 还等于 c n。 角八等于角 b 等于角七，所以 a c a c。 为什么垂直于 m n 呢？ a c 垂直于 m n a c 垂直于 m n 这是已知的啊。 d h。 看到没有？ d h 平行于 m n d h 这个点平行于 m n 平行，它俩是平行又垂直，所以 d h 也垂直于 a c。

快，但是我新定义还能提智商！ hello， 大家好，我是雨荷老师，今天我们一起来看一下这道双提危机模的几何综合题。这道题呢，名副其实啊危机， 它呢模拟了咱们在大考考场上面对几宗题可能遇到的危机有什么？ 比如说大家看这个图，一眼望上去特别复杂，这小小的一片地方，居然挤了六七个，不对，八个点，对不对？特别的紧，特别的别扭这个图，哎呀，大家可能一看到这个图就幻想着完了，这题特别复杂了又，但是 大家只要记住一句话，图形再陌生再别扭，它背后的工具一定是咱们熟悉的。 这道题你看等边三角形见过吗？哎，共端等长对称点中点，哪一个不是咱们平时一直在巩固，一直在强调，一直在练习的条件呢？他们背后的工具哪一个不是我们所熟悉的呢？对不对？所以说啊，这道题 作为咱们微机模的几何综合，特别适合大家在自己独立的锻炼一下咱们考场上面对几何的这个心态稳定， 以及咱们几何的做题能力。如果大家，哎以下这四项能力，大家在平时掌握的比较好，这道题特别快的就能做出来，五分钟 就能有思路，马上就知道这题该怎么做了。如果大家啊，对于这些能力里哪个特别薄弱或者说不到位，掌握的还不到位，那么这道题你就很有可能卡住，甚至做不出来。 好，那么我们一起来看一下这道题啊。首先第一问来等边三角形， abc 里边等边三角形咱们对它的条件反射，首先第一点，多组共端等长可能提供旋转全等。第二点， 六十度啊，三边相等特殊角全都给标出来啊。标，标图是做任何几何题的基本功， 标出来，三边相等六十度，六十度，六十度，好。第三点呢，等边三角形，还有一个做任意边的平行线，可以得到新等边，哎，这是他的一个比较独特的性质啊。 好，那么接下来咱们接着往下读， cd 等于 c、 e， 哎，来了， cd 等于 c， e 边等加上六十度，咱们马上就能想到，其实 d、 c、 e 就是 一个标标，准准的等边三角形，新的等边三角形啊，小等边，六十度，六十度，标出来， 三边相等，标出来。好，那么下一个条件，做了个对称点， c 和 c 撇。关于谁对称啊？ b， d， b， d 这条对称轴是对称的，看到对称点，它是对称 全等的信号，那么你连我也连，你有我也有，就是他的操作。 c 撇和 d 连了啊， c 和 d 也连了，所以说马上得到这两条线段是相等的， 你连我也连，你有我也有吗？对不对？好，对称轴上的点 b 和 c 连起来了，那么和 c 撇呢？哎，是不是也应该连起来，并且得到 bc 片就等于 bc， 也就是说等于这个大等边的边长嘛，对不对？好， 那么接下来人家设了个阿尔法，设阿尔法就是让我们疯狂地去标图传染的。来，跟着老师的步子，咱们把这个图 看看能标图传染到哪一步？好，阿尔法，阿尔法，这个毋庸置疑，轴对称，你连我也连，你有我也有，好，紧接着再相邻的这个角，六十度减二，阿尔法没毛病吧？好，再看 b， d， c， b， d， c， 哎，这个角度是不是就等于，哎，用三角形内角和去求啊，一百八十度减去阿尔法，再减去六十度，结果应该是一百二十度减阿尔法，对不对？一百二十度减阿尔法， 那么它得出来之后，大家马上就要意识到啊，你连我也连你有我也有，那么它的关于它轴对称的 b、 d、 c 撇，是不是也得标出来是一百二十度减二十八呀， 对不对？好，那么咱们刚刚得到的啊，这个等边三角形，哎，这是六十度，那么它相邻的这个角呢？ 是不是一百二十度减阿尔法，再减去六十度，所以是六十度减阿尔法，也就是 b、 d、 e 这个角嘛，是不是？好，那么咱们来看我们要求的 b、 f、 e 的 度数 角， b f 这个是 f 啊，被盖住了啊！ b f、 e 黄色的这个角， 现在我们看看它缺什么？黄色的这个角作为 a 三角形 b、 f、 e， 它的一个外角应该等于不相邻两内角和啊， 所以说不相邻两内角，知道了一个紫色的 b、 d、 e 是 六十度减阿尔法，也就是说我们只需要知道这个点角是多少， 把它俩一加，黄色的弧角是不是就出来了？好，那么点角怎么求呢？哎，相信看到这，如果大家标图像老师一样啊，既标边又标又标角， 轴对称的信号全都掌握，信号操作全掌握的话，那么大家会发现三角形 c 撇 d、 e， 它是一个标准的等腰三角形，并且顶角是谁？顶角就是这个一百二十度减阿尔法，加上这个紫色的 六十度减 alpha， 等于一百八十度减去二 alpha， 一个顶角为一百八十度减二 alpha 的 等腰三角形底角是多少呢？ a 不用说，两个点角被我们算出来就是阿尔法，阿尔法对不对？好，那么既然求出这个点角是阿尔法，那么这个黄色的角呢？还用说吗？六十度减阿尔法加上阿尔法，结果就是六十度， 对不对？所以这道题的第一问，就有很多同学可能会卡在这，你卡住的原因，你现在想一想，是不是要么，哎，你对于 c、 d 等于 c、 e 出新等边是不是没有这个概念？或者说，哎，你知道这有个新等边，你就是不连它， 你就是不连，要么你对于轴对称，你连我也连，这一操作掌握的不到位，这个条件开发的还不够透彻。你有没有看到 b、 c 相连，就连 b、 c 撇的意识呢？看到 c、 d 和 c 撇 d 就 知道它俩相等，这个意识呢？ 对不对？所以说同学们第一问就特别考验咱们对于标图能力以及条件的开发能力。 如果大家对于这块啊，第一问卡壳了，或者做的不顺畅，或者没做出来，自己看一看是不是哪项能力还有待提高？ 好，咱们来看第二问啊，大家都知道上一问呢，是对下一问温暖而善意的提醒，这句话大家应该不陌生，所以第一问得到的结果啊，在第二问的图 没有大变化的情况下，一百二十度减阿尔法和六十度依旧要标出来啊，万一他就是对咱们第二问有什么大的提示呢？来，六十度标出来，一百二十度减阿尔法标出来， 其余的大体干中的其他条件也依然得标啊。等边，三角形边等标出来， 六十度，阿尔法六十度，六十度，还有呢？还有 c， d 等于 c， e 等于 c， 撇 d 啊，这些都是大体干中告诉我们的啊。好，那么我们来看第二问，新增的条件有哪些？ 首先， g、 m、 n 分 别是线段 a 三个线段的中点，大家都知道，看到中点要想八字全等中位线三线合一啊，斜边中线三线合一这四大工具， 那么在多个中点同时出现的情况下，优先关注谁啊？中位线，你看 n 是 谁呢？ a c 的 中点 b， c 和 a、 c 的 中点 连起来 m n， 这不就是中位线吗？是不是现成的中位线连辅助线都不需要做？所以在读完之后，马上你就要写出来， m n 等于且平行于啊，二分之一的 a、 b， 也就是和图中啊这个大等边的边长的一半都相等， 对不对？也就是说 n m c， 它又是一个全新的等边三角形，又是一个新的小等边。好，那么大家再看这个终点，条件到这还没完啊！再看点 g 和 n， 它俩 在同一条线上，都在 a、 c 上，并且都是终点，大家在看到一条线上出现多个终点的时候要干嘛？射餐标边找关系， 跟着老师的步子来啊！首先 n， n 是 谁呢？ a， c 的 终点来标 a， n 是 a， n c， 长度也是 a， 没毛病好，那么再看 g 是 a、 d 的 中点，那么 a， g 的 长， b， g、 d 的 长也就是小 b。 好， 那射参标边要干嘛呢？传染呀，是不是好来， c、 d 的 长应该是多少呢？ c、 d 的 长，大家看一看啊，很明显是哎，两个小 a 减去两个小 b 对不对？好，那么 g、 n 的 长呢？ g、 n 的 长呢？一个大一个小 a 减去一个小 b， 哎，大家会发现，在同一条线上出现两个中点的时候，你设参标边能够找到两个边的二倍关系，写在这里， g n 就 等于二分之一的 c d， 一个是 a 减 b， 一个是二 a 减二 b， 是 不是二倍的关系不至于出对不对？好，那么这个终点条件你看， 除了终点常用四大工具之外，多终点的情况下，优先关注中位线，中位线毕竟是至少两个终点才能构成的，那么同一条线上出现多终点的时候又该怎么办？这些，在这道题里对大家考察条件的开发力， 大家条件开发力掌握的不到位的话，是不是这块能够就会忽略很多的信息？ ok， 那 么接着咱们往下看啊，过点 g 做了个平行线啊，做了一个平行 g h 平行 f e。 好， 首先平行肯定可以用来倒角， 那么能够导谁呢？来上一问的，六十度挨着平行线呢啊，挨着这个平行线呢，能够通过平行导过去吗？当然可以啊，他通过平行能够得到内错角相等，这个角是六十度， 那么其他角呢？咱们也没标啊，但是呢，也不妨碍咱知道它可以倒角，也就先放在这啊，毕竟六十度是上一问得到的结果，所以它能倒优先肯定倒它 对不对？好，那么平行还有什么条件反射呀？平行的话，八字全能有平行，中位线也有平行，所以说有时候也会提示咱们用这两个工具。 好，那么接着往下看啊，探求 g h 和 b d 的 数量关系来两条边的数量关系，黄色 g h 和 b d 啊， b d 用一个绿色边吧，黄色边和绿色边的数量关系大家都知道，两条边数量关系，要么相等二倍，根号二，根号三，那么怎么去判断呢？ 量呗，是不是把 g h， 大家有尺子的直接拿尺子量啊，老师直接把这个边哎复制下来，哎，再复制一遍看一看是不是哎，特别标准的二倍关系，特别标准的二倍关系， 对不对？所以说啊，大家在判断两条边数量关系，你就量，你就量呗， 二倍关系又怎么正呢？二倍关系，要么你就去找长边的一半，也就是 b d 边的一半，要么呢，你就去找短边的，哎，也就是黄色边的二倍，然后去正边等，说白了就是正边等三个字，正边等。 好，那么咱们接着看啊，怎么去证明边等？首先方向有了，找长边一半或者短边二倍，那么试试长边的一半好不好找呗，是不是绿色边， b d 的 一半 怎么去找短边的啊？长边的一半结合工具这道题第二问特意给的三个中点工具，中点工具能找边的二分之一吗？和边的二分之一有关系吗？有啊，你看 中位线，它不就是含有边的二分之一的关系吗？所以大家在找 b d 的 二分之一的时候，用上工具，把条件和结论啊，把结论和条件结合在一起，用上工具去找 b d 的 一半的话，大家就会发现， 我只需要造出啊 b d 所在三角形的中位线就可以了，对不对？那怎么造呢？首先点 g， 人家是中点，人家点 g 是 中点耶，那么我只需要过点 g 去做 b d 的 平行线， 或者说你辅助线虚入方式，你就写，哎，去 a b 的 中点 p， 那 么 p g 一定平行啊，且等于二分之一的 b d 写在旁边 p g 平行且相等于二分之一的 b d 来，是不是找到了 b d 的 一半？把条件和结论结合在一起，结合的死死的用终点工具去找到了 b d 的 一半。那么也就是说，现在我们只需要证明 p g 等于 g h， 就 可以得到最终的结论了。 正边等，大家要知道，正边等首选全等。注意，正边等，首选全等。 那么证明 p g 和 g h 相等，正全等肯定得有三角形呀，全等是指三角形的全等， g h 这条边所在的三角形只有谁？只有 g n h， 只有这个。 那么怎么去在 p g 上造一个跟它一模一样的全等出来呢？哎，照猫画猫，照猫画猫造全等，怎么去造全等？分析有什么 要什么？分析有什么？要什么？在这个三角形 g n h 中，它的三个角来挨个分析一下啊。首先最上边这个角，这个角它应该等于多少呢？ 他应该等于多少呢？大家看看，这个是六十度，这个是多少？哎，这个在第一问，一百二十度减阿尔法，是不是又提示了他的临补角是六十度加阿尔法， 六十度，六十度加阿尔法，三角形内角和。所以他的其中一个内角是六十度减阿尔法，这个角是六十度减阿尔法。好，来再来研究这个角，他的另外一个内角应该是多少？这个角是多少啊？ 一百二，为什么？因为它的邻补角是六十度，所以说它的另外一个内角是一百二十度。 那就好说了，那它的另另外一个内角呢？一百八，减去它，减去它。哦，剩个阿尔法，所以另外一个内角是阿尔法。好，三个角分析完了，分析它的三条边，其中一条边是我们 a 标出来的 a 减 b， 还有一条边是带正的 g h 啊，还有一条边呢，是 n h 来。 n h 这条边好分析不好啊， h 这个点它是怎么来的？它是焦点，它是焦点，不是很好判断啊。 n h 这条边，所以有确定信息的，也就 a 减 b， 对不对？好，那么我们分析完这个三角形有什么之后，来看 p g 这个三角形有什么？首先， p g 这条边人家对应的肯定得是 g h， 这是我们要正的呀，对不对？ p g 好， p g 旁边的角有什么来？ p g 这个角等于多少？平行平行六十度减阿尔法，六十度减阿尔法，旁边是六十度减阿尔法。来，跟谁对上了？跟这个对上了， 是不是跟这个六十度减阿尔法对上了？那么我们也就是需要在六十度减阿尔法的旁边是 a 减 b， a 减 b 的 旁边是一百二十度，所以知道怎么造全等了吗？同学们 在这约摸着取一个啊，和 a 减 b 差不多的啊。然后大家会发现，如果这个角是一百二十度的话，上面必须得是六十度。 说白了，这个题它照猫画猫辅助线应该是什么呢？就是过点 g 去做一个 g q 平行于 bc， 那 么就能得到上面是六十度，这个是一百二，这个是六十度减二法。两个角有了，缺一个边等就能正平行了。缺哪个边呢？唯一有确定性信息的边就是这个 a 减 b。 那怎么去证明 p q 等于 a 减 b 呢？射参标边呀，还要记得咱们这个是怎么射的吗？还记得咱们这个 ab 是 怎么射的吗？ a 是 谁呀？ a 是 整个大等边三角形的一半， 所以说，所以说 ap， 注意 ap p 是 谁？ p 是 ab 的 中点啊，不要忘了我们造的辅助线是什么，所以它也是小 a， 那么又因为这个东西，它是个等边三角形，因为我们做的是平行呀，平行出新等边呀。所以说啊， a g 是 小 b 的 情况下， a q 肯定也是小 b， 所以 说 p q 的 长不就是 a 减 b 吗？ a 减 b 是不是正出来了？来，一百二十度 a 减 b， 六十度减二法一百二十度 a 减 b， 六十度减二法。角边角两个三角形全等全等出边等，所以 p g 等于 g h， 所以 干嘛呢？ p g 等于 g h， p g 等于二分之一的 b d， 所以 g h 就 等于二分之一的 b d 得正。 大家会发现啊，这个方法呢，这个方法它最重要的， 首先结论的一半儿，找到长边的一半儿之后，正边等要干嘛？ 哎，照猫画猫，正边等，首选全等，首选全等。那怎么去造这个全等呢？一定要分析透彻，这个原有的三角形人家有什么，你造的这个三角形有什么缺什么 我们就怎么造，一定要看清楚，有什么要什么，缺什么再去造。 那造完之后，哎，缺的这个条件怎么去找边等啊？我已经告诉你们了，唯一确定的边只有 a 减 b 这个边，它是我们哎，设参标过的边，所以 a 减 b， a 减 b 两个边等，哎，是不是就用上了？ 所以啊，这是咱们这道题的方法之一。那么第二个方法，第二个方法， 我给大家就是引入一下啊，如何去找短边的二倍 来？刚刚老师讲的是找长边的一半啊，那么短边的二倍怎么去找？我把这个图给大家复制一下，要想证明 g h 等于二分之一的 b d， 我 们说了，现在可以尝试着去找短边的二倍， 大家都知道短边的二倍通过哪个工具跟工具结合来结论和条件结合力，是时候发挥作用了。 中点工具哪些能得到二倍边呢？八字全等可以，中位线也可以， 是不是？好，那相信看到这儿怎么去找 g h 的 二倍？有同学说，老师我往下坐，哎，坐倍长， g h 这不是有，这是不是可以去造一个八字全等呀？ h 是 终点吗？不是啊，是不是人家既是这样的终点， n 是 这样的终点，得到了两个粉色边是二倍边的关系，大家有没有什么考量呢？ 哎，相信如果大家真的把条件和结论结合的结合力这个能力练得很透彻的话，应该往哪背长呢？ g h 是 不是应该往上背长？为什么往上背长？ 为什么往上背长？往上背长之后能得到什么？首先背长完之后，二倍的 g h 就 得到了，就是 h p 好， 有的说。连八字吗？老师， h 这个点和 d 连起来， a 和 p 连起来，这不是八字全等吗？好，那么你要做八字还是中位线呢？ 八字还是中位线呢？ a 减 b 和二 a 减二 b， 这是二倍边的关系。同学们， g n 是 不是？如果说我们造的是 g n 的， 哎，如果我们是往这儿倍长，两个线段都倍长的话，你说老师得到的 p q 是 不是就是二 a 减二 b 啊？ 是不是明显这么做能得到的信息更多一点，如果你连 h d 的 话啊， h d 造八字的话， h d 是 什么？ h 这个点我说了是个焦点，它信息不多，并且呢还有点复杂。这块啊，这块有点 不确定，不确定的因素很多，所以我们造八字还是中位线，还是说其他工具？我们在选择造哪个工具的时候，一定是往信息越来越多的方向造越好， 往信息更多的方向去造更好，这个相信大家都理解，所以为什么，哎，为什么背长 h g 到点 p 之后，我们选择的是造中位线，而不是八字，因为 g n 这条边它是有信息的边， 所以，哎，这个我用，我用这个绿色的吧， 所以倍长 h g 到点 p， 倍长 h n 到点 q， 那 么我们就能得到三角形 p q h 的 中位线 g n 等于二分之一的 p q 且两个平行 且平行啊，中位线出平行平行变忘了。好，那么现在得到了二倍的啊，二倍的 g h 等于谁呢？ hp， 也就是说我们现在要正什么呢？说白了就是正边等呗，要证明 h p 等于 b d， 只要把这个正出来了，结果是不是就好出来了？好，这还是那句话啊，正边等，首选全等，正边等，首选全等， 正边等，首选全等。 b d。 要想和 h p 是 全等的话，我先把两条边描出来啊，我们还是看三角形，有什么要什么缺什么啊。 首先 p h 所在的三角形很明显只有一个是三角形，谁呀？三角形 p h q 是 我们自己造的，这个三角形有什么呢？有什么呢？有 p h 这条目标边， 然后它的三个角角 p 是 多少角？ p 根据平行这个角是多少呢？这个角我们上一步啊，在第一种做法里边已经给大家算了一下，是六十度减阿尔法，所以说平行过去六十度减阿尔法有什么？哎，那么这个角呢？ 这个角呢？ p q n 呢？也是平行啊，也是平行，那么就等于 g n m g n m 这两个角肯定是相等的，那咱们咱们这第一种做法也把这个角算过一遍了啊，人家是六十度的补角，所以是一百二十度。 好，那么这个角呢，咱们在上一问也算过了啊，也算过了，人家是一百八减去这两个内角和吗？这两个内角最后结果是阿尔法，哎，所以说这个三角形有什么？有六十度减阿尔法，有一百二十度有阿尔法， 哎，是不是跟上一个三角形是相似的呀？跟第一种做法好像三个内角都是这样的，对不对？好，那么我们来看 b d 的 旁边有什么？有阿尔法 好，也有谁六十度减阿尔法好，那到底是六十度减阿尔法还是阿尔法呢？人家两个都有啊， 都有啊，好，如果来 p h 和 b d 作为对应边，阿尔法阿尔法都在它的下面，都在这条这两个对应边的下面，也就是说， 也就是说我只需要哎找一个 b， 什么东西和 h q 是 相等的，或者说 q 这个地方度数是一百二，或者说，哎， p 这个地方对应的角是六十度减 f 就 可以了，所以这个地方该怎么造呢？ 哎，如果大家对于三角形的结构掌握的特别好的话，就会发现，咱们第一问连接的 d e 形成的等腰的等边三角形， 它的外角不就是一百二十度吗？阿尔法一百二十度，阿尔法一百二十度， 看见了吗？注意啊，等边三角形 d、 c、 e。 外角一百二。好，这里也是一百二，这个地方是设的。阿尔法好，人家这个地方我们也标出来是阿尔法， 一对角，两对角，缺个什么？缺个边，缺哪个边呢？哎，我们都说了，这个玩意是一个特别重要的信息特别确定的边， 我们找边等，肯定是找信息确定的边呀，是不是？哎，那么这个时候二 a 减 b 在 题中是出现过，在我们标图的时候是出现过的， 二 a 减 b， 所以 这个小等边，三角形 c、 d、 e 的 每一个边长都是二 a 减二 b， 二 a 减二 b， 所以 三角形 b、 d、 e。 三角形 b、 d、 e 和三角形 h、 p、 q 是 全等的，用的是 a、 a、 s。 阿尔法阿尔法一百二，一百二，二 a 减二 b， 二 a 减二 b， 对应角对应边全等全等得边等 b、 d 就 等于 h p， 所以 说 b、 d 就 等于二分之一的 g、 h 得证了。 所以啊，这道题呢，第二问，咱们来总结一下第二问啊，第二问，不管是找长边的一半，还是说找短边的二倍，咱们的最终目的其实都是正边等，正边等，首选全等。注意， 正边等，首选全等。全等的三角形怎么去造，怎么去照猫画猫分析有什么要什么， 分析有什么要什么，原本的三角形人家画的完整，我们要找的全等三角形的这个模板啊，这个猫照猫画猫的第一个猫人家长什么样，猫模特长什么样， 有什么，有三个内角都给他分析出来，三条边也分析出来啊，不管是第一种方法还是第二种方法，咱们都是按照这个步骤按部就班的去找的，找有什么，然后再再要正的 b d 这条边附近去分析，他有什么要什么， 他有阿尔法，有 b d， 要什么，要一百二十度啊，或者要二一减二 b， 或者要 h q 等于 b e 啊，不管要哪个，肯定是找最容易造的那个方式啊，肯定去找最容易造这个方式 我们都知道，六十度一百二十度，这个一百二十度是是一个确定的度数，它是比较容易找出来，比较容易造出来的，对不对？所以说啊，咱们在照猫画猫的时候，其实这个题 给大家强调了两遍，照猫画猫，怎么去找，怎么去造，有什么分析，有什么要什么。 ok， 那 么这个就是这道题啊，老师拿这个题跟大家示范了，一个找长边的一半和另一个找短边的二倍，如果大家有其他方法也可以啊，也可以按照老师的这个分析的 步骤，正确的做题姿势去自己尝试一尝，尝试尝试啊，当然这道题的方法也不止两种，欢迎大家积极的尝试，积极的跟大家跟老师讨论。

这是二零二五年北京海淀出三一模的第二十七题，是考察三角形的几何综合题，也是典型的应用截长补短辅助线的题目。如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 角 a、 b、 c 等于阿尔法。阿尔法大于零，小于四十五度 a、 d 垂直 b、 c 于点 d。 将射线 b、 a 绕点 b 顺时针旋转四十五度，得到射线 b、 m 过点 c 做 b、 m 的 垂线 b、 a 与点 f 连接 e、 d。 第一问 e、 t、 e 补全图形，并求角 e、 d、 c 的 大小，用含 alt 表示。根据 t、 e 补全图形后，可以知道三角形 b、 e、 f 是 等腰直角三角形。角 a、 b、 e 等于四十五度 三角形 a、 b、 c 是 等腰三角形。根据三角合一定理，点 d 是 bc 的 中点。见到中点，首先想到被长中线、中位线、斜边中线的辅助线。方法，只要题中 e、 d 是 直角三角形， bc 的 斜边中线，这样就可以得到三角形 b、 e、 d 是 等腰三角形， 这样就可以导出角 a、 b、 c 等于阿尔法，所以角 d、 b、 e 等于四十五度减阿尔法。 因为 c、 e 垂直 b、 m， 所以 角 bc 等于九十度。因为 ab 等于 ac， ad 垂直 bc。 根据三线合一定律， d 是 bc 中点 d、 b 等于 cd， 所以 d、 e 等于 d、 b 等于二分之 bc。 直角三角形斜边中线等于斜边之半三角形 b、 d、 e 等于角 d、 b、 e 等于四十五度减二法。等边对等角， 所以外角角 e、 d、 c 等于角 d、 b、 e 加角 d、 e、 b 等于九十度减二而反三角形外角等于不相邻的两个内角和 第二问，在 d、 c 上取点 g， 使 d、 g 等于 a、 d 连接 e、 g 用等式表示线段 e、 g、 a、 f 与 c、 f 的 数量关系，并证明 这一问利用了截长补短的辅助线方法提看提示 d， g 等于 a， d。 首先看看如何利用这两条线段构造全等三角形。 上一问求出角 e， d、 c 等于九十度减二二法 e、 d 等于二分之一 bc。 如果我们构造直角三角形，也可以构造等于二分之一 bc。 线段 过 c 做 c h。 垂直 af 交 af 于点 h 连接 d h， 这样 d、 h 也是直角三角形的斜边中线。等于二分之 b c。 所以 d h 等于 d e。 再通过倒角就可以证出三角形 a， d、 h 与三角形 g， d、 e。 全等得到 a、 h 等于 e g。 做垂直的好处，还可以勾到一个等腰直角三角形 f h， c， h， f 是 直角边， c、 f 是 斜边， 可以得到 h， f 等于二分之根号儿倍的 c、 f。 所以 a、 f 等于 a h 加 h， f 就 等于 e g 加二分之根号儿倍的 c、 f。 下面写下证明过程。根据 c h 垂直 e、 f 可以 得到角 c， h， f 等于角 c、 h， b 等于九十度， 因为角 f 等于九十度减角 a， b， e 等于四十五度，所以 h f 等于 c， f 乘以 cosine 四十五度等于二分之根号二倍的 c、 f。 这里建议用三角函数计算，这比勾股定律步骤简洁，节省时间。 因为 d h 等于 db 等于二分之一 bc。 三角形 b， d、 h 也是等腰三角形，所以 d h 等于 d e。 角 a， h， d 等于角 abc 等于阿尔法。下面再正角等， 所以零角角 b， d、 h 等于一百八十度减 r r 法，所以角 adh 等于角 b， d、 h 减九十度，等于九十度减 r r 法。上文已经证出角 e， d， c 等于九十度减 r r 法，所以角 adh 等于角 e d c。 因为 d g 等于 ad， 所以 三角形 adh 全等于三角形 g d e。 理由是边角边， 所以 a h 等于 e g， 因为 a f 等于 a h 加 h f， 所以 a f 等于 e g 加二分之根号为的 c f。 这道几宗题，综合考察了等腰三角形、直角三角形、全等三角形的知识点，解法非常巧妙，如果对重点的辅助线方法和截长补短的辅助线方法比较熟悉，是不难想到的，这需要在日常的练习中不断强化巩固。

北京初三数学一模会编几何综合体，是一北京二中直角三角用 a， b， c。 等角 b， a， c。 等于九十度 a， b。 等于 a， c。 等腰直角三角 b a， c， a， d。 垂直于 b c。 斜边上高有斜边上的中线点 d， s。 顶角平分线 m， n 分 别 m， n 分 别是两只角边 a， b， a。 边上的动点满足 am 等于 am 也是 am 也是等。腰直角三角形连接 b， n 过点 m 作 f f 垂直于 b， n。 要 b c 以点 f 垂直于 h。 第一， a， e， a， e 等于 a n 时，证明 a， e 不 等 a， n 时，怎么证明？ 我们看看第一问啊。角 b， a， c。 等于九十度 ab 等于 a c， a， d 乘以 b c。 所以 角 a c b a， b c d。 这个小角 c， a， d 都等于四十五度 b， d。 斜边的一半 c， d 的 斜边 a， d 的 斜边上的中线 a， e 等于 a n。 那角 a， e， n， a， e， n 等等于角 a， n， e。 因为是等于二三角形角 a， e， n。 等于多少呢？这顶角四十五度，所以这两角六十七点五度。角 b， e， d， b， e， d。 等于角 a， e， n。 对 顶角 对零角等于六十七点五度 b， n。 垂直于 m f， a， d。 垂直于 b c， e， h， f e。 这个角等于 e d， f。 等于角， 等于一百一十二点五度 b f， m 等于 b m f。 这个角等于六十七点五度 b m 六十七点 b， f， m 也六十七点五度，所以 b m 等于 b f。 因为 a m， a， m 等于 a n。 角 m a， e。 这角 n a e。 四十五度 a， e 等于 a e a， b 等于 a c。 所以 三角形 a， e， m 和三角形 a， e， n。 全等 b， m 等于 c n。 因为什么呀？同时减去这一段啊。 em em 等于 em 对 顶相对应的边角 a， m， e。 等于角 a， n， e， a， d。 垂直于 bc 斜边上的高中线 b， d。 等于 c d， e， b。 等于 e c。 所以 b， m， e 和三角形 c， b， m， e 和三角形 c， n， e。 这两个是全等，类似于一个眼镜这样的。 b， e， m。 等于角 b， e， m， b， e， m。 等于角 c， e， n。 三点共线连接 e m 到 k 是 c， e。 等于 e k， b， d。 等于 c d， b， d。 等于 c d， a， d 乘以 b， c。 所以 e， d。 平行于 b k， b， k。 等于二倍的 d， e， b， k。 垂直于 bc。 角 abc 等于四十五度， 所以角 m， b， k。 也等于四十五度 m， f。 乘角变成九十度。 角 m， h， n。 等于九十度 m， a， n。 这两个角等于八十度。所以 b， m， h， b， m， h。 是 哪个角？这个角等于角 a， n， e。 等于这个角。 也因为这双角相等，所以 b， m， k。 这个角等于 b， m， f。 所以三角形 bkm 和三角 b， m， f。 全等。那 bk 呢？等于 b， f， b， f。 我 们刚算的等于什么呀？等于二倍 b， m， b， f。 等于二倍的 d， e， d， e。

好，今天我们一起来学习二零二五年北京市石顶山区中考数学一模试卷， 我会给大家讲解一些重点点，包括选择最后一道题，然后填空做一道题，圆综带综，几综。然后呢，因为新定义只有咱们北京在考，而且呢，其解法也是比较复杂，所以我会之后给咱们大家专门出一个专题来讲解新定义。 首先呢，先看选择择一道题，如果去矩形 a、 b、 c、 d 当中二分之一 b， c 小 于 a， b 小 于 b c， 这个相当于给咱们规定了一下这个矩形的各条边的数量关系。 点 e 在 bc 边上，以 a、 e 为边作正方形 a、 e、 f g， 点 f 恰好落在边 c、 d 上， f、 g 与 a、 d 交于点 h， 设 b 等于 ac 等于 b， a、 e 等于 c。 给出了下面这三个结论圈。一二三，上述结论中所有正确结论的序号是 正常考试时，如果大家不太会的话可以蒙，但是因为咱们这是讲解嘛，所以的话，咱们就分呃分学号来给大家一个个看一下，反正这道题也比较简单。 首先呢， cd 等于 b， 这个很简单啊，因为 c cd 等于 ab。 然后呢，去找和 a、 b 和相关的一些线段，那为什么不找和 c、 d 相关的线段呢？因为这个 c、 d 是 被 f 给劈成两半，那很难找到一个类似的一个线段嘛。所以就好，我们把 ab 和这个 b 上面靠，他会发现什么等于 b 呢？相当是 c、 e 等于 b 的 吧。 那再看如何把 c、 e 导到 a、 b 上，那很容很简单就能看出来，三角形 f、 c、 e 和三角形 a、 b、 e 是 相等的，根据一三三，这是导角，导角可以导出来，那么 a、 b 就 等于 c， e 等于 b， 那 么 c、 d 等于 b， c、 d 等于 b， 这个圈一它就没有问题。 我们再来看圈二， a 加 b 小 于根号二 c， 嗯，在几何当中呢？这个根号二都一般都是从哪出来的呀？一般都是从这个四十五度的等腰直角三角形中出来的，那就会发现这是个矩形，而且没有 四十五度的一个角，那你要硬凑，咱们也能凑出来，只不过肯定是需要一些脑子嘛。那咱们就无脑做呗，咱们用代数方法，别用几何方法。 a 加 b 小 于 a 小 于 c， 那 么咱们要证明呢，咱们就把这个这有三个字母，咱们就再换一下呗。 比如说把 c 代换成 a， a 和 b， 因为这个 c、 f 等于 c， c 等于 b， c、 f 等于 a， 那 么 a 方加 b 方等于就等于 c 方，那么根号二 c 也就等于根号二。根号二倍的根号下， a 方加 b 方，那么 原式要证明， a 加 b 小 于根号二倍的 a 方加 b 方。 因为两边因为是个几何图形嘛，所以的话 a 加 b 一定是正数，另外一边也一定是正数，那么为了消掉这个根号下，我们就把两边求同同时平方， a 加 b 的 平方小于右边的平方，也就是 a 方加二 a， b 加 b 方小于二， a 方加二 b 方， 那么把所有式子都移到右边去， a 方减二， ab 加 b 方大于零，所以只要这个式子成立，那么差也就对了。那该怎么证明这个式子呢？ a 减 b 的 平方大于零，因为 a 减 b 的 平方呢？肯定是大于等于零了，对吧？当 a 等于 b 的 时候，它去等， 那因为题目里咱们看一下咱们规定 ab 的 这个二分之一 bc 小 于 ab 小 于 bc， 那 就相当于给咱们规定一下 ab 等于 b， 对 吧？ 要不相对于就是说 bc 就 等于二倍的 ab 了。明确规定的二分之一比四小于 b 小 于 bc 嘛。那么 a 不 等于 b， 那 么 a 方减二， ab 加 b 方就一定要大于零，那么圈二也是成立的。再看圈三， h f 等于 b 分 之 c 倍的 b 减 a， 那 简单一看啊，这个确实没啥关系，跟 h、 f 这三个字母，那咱们来看一下吧。 b 分 之 c 看不出来 b 减 a 呢？能看出来 d， c 是 b， c f 是 a， 那 么 d f 就是 一个 b 减 a， 那 想求 a h、 f 相当于就是说 看 h、 f 和 d、 f 之间的关系呗。如果是对的，它来的关系就是 b， b 分 之 c 边的关系肯定不变的，那就是全等三角形和相似三角形了。那咱们去找和 d、 f、 h 这个相似的三角形，还和 b 和 c 都有关系的呗。那就会发现这个角三角形 ab 是 和 b、 c、 b 和 c 都有关系，而且和 d、 f、 h 都是相似的，因为这个 ab 它就等于 b， 所以 的话 a、 e 就 等于 b 分 之 c 的 ab， 那 么从此而言， h f 等于 b 分 之 c 的 b 分 之 c 倍的 d、 f， 那 么叉三也是对的，所以这道题应该选 d。 接下来呢？ 呃，填空作业题的讲解，大家可以点点击进入我的主页来进行下一个视频的观看。

北京初三的同学，大家好，离我们的一模还有一个月的时间，接下来我会推出几个重要的总结性视频，帮助大家盘点北京近三年中考模考题中的一些关键题型，他的考点难度，尽可能的帮助同学们精准备考，高校提升。今天我们要讲的是几个综合。 我们先来看近三年北京中考原题，他的考点啊，围绕着手拉手模型加终点模型展开，基本上这两个考点都会在同一道题中出现，如果这两者的结合你掌握的还不太好，你可以重点从以下的这些模考题中去选出，纯粹考这两个考点呢，比如说像去年的海淀西城的模考题，丰台石景山的模考题， 都是单纯的围绕这两个考点去展开。当然我们也看到二零二三年甚至是二零二五年北京中考的原题呢，还涉及到了半角模型， 其实他的本质和手拉手的考察的底层是一致的，就是旋转，旋转全能，只是不同的同学同不同的条件去切入，有的是从手拉手的模型切入，有的是从半角模型切入，因此半角模型也是一个比较重要的。那有一些题啊，像这些他就涉及到了 比较明确的半角模型，值得大家注意。除了以上这三个，在我们近三年中考没考，但是在模考中反复出现，很有可能在 新的中考中出现的是什么呢？就是对称、全等这个关键的考点。那我们刚刚讲了，手拉手啊，半角模型啊，它的核心是什么？是旋转终点里面它的核心多数是对称。那还有一个什么 涉及到的对称多呢？就是角分线，角分线占据了对称全等模型中最多的分子。如果你看到一个几宗题，他描述了角分线，你却无从下手去做辅助线，往往说明这种题型你掌握的不太好， 因此我们这标注对身全等的。哎，这些题型是你重点可以去做一下的。那以上这些是特别特别重要的，是你必须要掌握的。如果除了以上这些，你掌握的已经很好了，依然学有余力，那我建议你可以做一做。哎，他并不是那么常见， 但是可以值得我们关注一下的，类似于之二勾一出全等三锤模型这些在模考中出现频率较高的一些题。以上就是从考点维度给到他的建议， 那我们再从难度的角度来看啊，几中啊，在魔考中的跨度还是比较大的，在中考中相对稳定，都是在四星到五星难度，但在魔考中有不少区的几中他出的是比较简单的，如果你的几中一 整体的得分率比较低，二，你的目标值也没有特别高，你可以优先做我这列出的三星题。哎，如果你的几中掌握的还不错了，想冲击满分，冲击高分，那你就优先去做四星和五星题， 这样一来你就不需要大量的盲目的去刷题。我想你把有限的时间用在你最精准的，需要去提升的地方，才是最好的策略。

几何快带竖纹新定义，还能提智商？ hello， 大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，来讲一下二零二五二中初三一模的几何压轴题，那这道几何压轴题呢，我们主要是用两种方法来讲一下。第二问， 在讲的过程中呢，主要给同学们来推荐条件，提供工具，结论引导方向。这两句话主要呢帮同学们来解决一个困境，就是我们猜出来答案了，但是不知道怎么正，该怎么办？ 来，我们做任何一道几何题啊，都是用这两句话，条件提供工具，结论引导方向。 条件呢，第一个条件是等腰值，只要看到等腰值，那我们就是标哎，边相等，角相等，对吧？同时想到这里面呢，是这个结构共端等长，他应该是提醒我们，哎，旋转全等的， 然后那面条师紧跟着就给了一个 a、 d 垂直 bc， 那 在等腰三角形里，你做一个垂直，那我们就知道这是三线合一， 哎，那这就有垂直，那这个角呢，就被平分成两个四十五度哦，在等腰直里边的三线合一，他就构造了一个，哎，构造另外这两个也是小等腰值。 而且呢，那你等腰直的三线合一和斜边中线它是一回事，是不是啊？我们可以很明显的可以得到 a、 d， 它接着就是斜边 b、 c 的 中点，哎，中点，中点，背后四个工具再挖出来， 哎，咱们这里呢，就是人家明显给的终点，你要去关注，人家隐藏着给你的终点你也要关注，只要看到终点，别管怎么给的。我必须想到终点背后四个工具，八中斜三八字全等，中位线、斜边中线，三线合一，先摆在这一会呢，可结合结论看看要用哪 一个好。接着呢，继续读，看看还给我们提供什么工具了啊？点 m， n， 分 别是 a， b 和 a c 上的动，点 啊， m 在 这个 ab 上动， n 在 ac 上动，然后满足 am 等于 an， 哎，给边等，那我们知道给边等，就提醒全等，哎，那这里面没有三角形，那我们呢？哎，就可能会在第二位啊，最后一位用到，所以要关注它， 同时要学会等量代换啊。本来是 ab 等于 ac， 现在人家告诉我这俩黄的相等，所以我们得到什么呀？ 哎，我们得到 b m 等于 c n， 哎，又一个边等，是不是？ ok， 接着呢，下一个，他说过点 m 做一个 m f 垂直 b n， m f 垂直 b n， 哎，垂足是 h， 那 有垂直，只要看到垂直，我们就标点叉，哎，勾股倒边，那在这里我们可以标，这个是点，那这个角就是叉， 那在直角三角形 b a n 中，这是点，这是直角，这个呢，我也可以标个叉哎，点加叉九十度。 好，那现在我们发现，哎，谁和谁相等还挺清楚的，是不是接着来围绕结论啊，我们的结论是啥呢？他说让我们用等式来表示线段 d e 和 b f 的 数量关系，来给他找到 d e 和 b f， 而且是用等式表示并证明，所以我们先表示出来，给一分嘛来，那怎么弄呢？求两边的数量关系，我们就先猜后正，哎，非常好猜，因为常考的就四种相等，二倍，根二倍和根三倍。那我们呢，通过测量或者观察，很容易发现这几倍啊， 哎，二倍对不对？就二倍的 d e 等于 b f。 好， 那猜出来了，然后赶紧证明。证明，怎么证呢？那你得先把要求的表示出来呀。现在这个题目中有 b f， 有 d e， 哎，那二倍的 d e 有 没有啊？ 哎，没有，所以我们的思路，那就得先把二倍的 d 给它表示出来，哎，正好 d 这个地方是终点。那同学们想想，当一个当有终点的时候，你怎么表示二倍的 e d 啊？ 哎，有同学想到了，是吧？中位线可以表示啊，八字圈等倍长也可以啊，是吧？哎，所以我们可以先优先用这两个呀。 好，那假如说我们用中位线的方法，对吧？哎，中位线的话呢，可以出二倍的 e d， 那 我们，哎，看看怎么做哈。首先， d 是 终点，我们要做二倍的 e d， 我 就需要让 e 也是个终点，从而才能用中位线，那怎么能让 e 是 个终点呢？ 哎，对啊，就倍长 b a b e， 对 不对？倍长 b e 到 q， 哎，使我们的 e q 等于 b e， 那 e 就是 b q 的 终点。好，此时我们连接谁就可以出中微线了。 哎，连接 c q 就 可以知道 c q 和 d e 它们俩就是平行的，而且呢， d e 是 等于 c q 的 一半，这个就是二倍的 d e， 对 不对？ 好，那我们来，别，别着急啊，先把这个造的工具传染了啊，你造了平行，赶紧要倒角，这个垂直，那这个呢？也是垂直，那这个角，哎，是四十五度，那这个也是四十五度。 好，然后呢，这边这个对，顶角这个叉也赶紧过来，对吧？好，接着围绕目的，我们的目的是要证明二 d e 等于 b f， 现在呢，二倍的 d e 就是 c q， 所以 我们就证 c q 和 b f 相等， 哎，要证 c q 等于 b f， 同学们要证边等，首选全等 b f 所在三角形和 c q 所在三角形，看看能不能全等呀。哎，我们发现这道题有点简单了，是吧，这已经现成的三角形已经来了，而且全等的条件够不够啊？ 哎，做完了，够了，是不是？你有四十五，你也有四十五，你有叉角，你也有叉角，这边中间加个 c n， 这个中间加个 b m， 而且 b m 和 c n 还相等。 哎，所以我们很容易可以得到这个三角形啊，它是和这个三角形是全等的， 那全等式工具，工具立马就导交到边，我们就可以得到 b f 就 等于 c q， c q 就是 二倍的 e d 就 完了，对不对 啊？所以呢，如果在考场上我们看到二倍的谁是谁，那我先把二倍的谁表示出来，对吧？表示出来之后，我们呢再去正边等，正边等呢，就首选全等，当你一开始读题的时候，就读一句，标一句，那么全等条件你会发现的非常快， 所以同学们做几何压轴题啊，一定要先按照最正确的姿势，就是读一句，标一句，读一句，挖一句，然后呢，再从结论引导方向，这样的话呢，你就能快速搞定了。 好，那我们呢，再给大家示范一个方法啊，就是八字全等加找猫画猫的，因为呢，我们已经猜出来了，是二倍的 d e 等于 b f， 那 么我们就知道，要么把二倍的 d e 表示出来， 要么呢，我给它变成 d e 等于二分之一 b f， 把 b f 的 一半给它表示出来。哎，你就看哪一个好表示，因为我们这个题目中是 d 这边有个终点，那显然被长它最简单，是不是啊？被长它简单，或者做它中位线简单，所以我们就用这个角度 啊，那 b f 的 话呢？他在这，哎，我们做一个他的一半的话，现在不知道用啥工具，是吧？所以呢，我就不选择做 b f 的 一半这个方法了啊，他有个中点，我就先选择倍长这个方法，或者是做中微线这个方法啊，一定要用上这个中点。 好，那我们，哎，基于这个中点，我想到我只要倍长 e d， 哎，就不仅可以出二倍的 e d， 而且可以出个八全等，所以呢，我们就来做一做， 来倍长 e d 到 h， 使 d h 等于 e d， 然后我们连接一个 c h， 那 么这个时候我们就可以直接用边角边得到这个三角形和这个三角形八字全等，是不是？ 好，那八字全等呢，就可以倒角倒边，哎，我们来盖进去倒一倒啊，比如说这个角它就嘚儿一下，就等于这个， 哎，内错角相等，两直线平行，哎，八字全等除平行倒角必用平行线啊，赶紧来倒一倒。因为平行线，所以我们这个叉脚，哎嘚，这个叉脚，对吧？哎，这还变成大叉了呢。好，然后呢，我们看看还有没有别的呢？ 哎，目前来看，这个角呢，我们平行线，哎，一直的角是倒，明白了。好， 接下来呢，我们再基于目的，我们的目的呢，是要证明二倍的 d e， 也就是 e h 和 b f 相等，要正边等，它离这么大老远，那肯定是得上全等啊，你上不着等腰是吧？你得上全等， 那上全等的话呢，我们现在发现这个边他不在一个三角形里边，是不是？但这个边呢，在一个三角形里边啊，所以呢，我们就可以很知道，很容易清楚的可以知道，我把这个三角形当成主角三角形，哎，在这块构造一个和他全等三角形就行了， 对不对啊？当然，有同学可能会说，老师，我为什么不做他的全等呢？哎，因为他的条件少啊， 哎，上题干给我们的提醒是 b m 等于 c n， 你 看，但是这个三角形啥信息都没有，是吧，所以我们选择 b f 所在三角形，选择条件多的啊，选择这个 好，那接下来我们就要模仿着他去造全等，那这个方法就叫照猫画猫，照猫画猫的方法就是一一找猫，先找主角三角形就是他主角三角形就是含结论边的和工具边的三角形啊，工具边就是相等的边，哎，结论边就是要要求的边， 你看这四十五度，这是叉。这个主角三角形的条件也不少，好选择他之后呢，接着看他长啥样，有一个绿的，有个四十五度，有个叉， 哎，自己长这样，是吧？那长看研究出来之后呢，我们呀，就重点看，哎，我在哪画他的全等， 因为我要正的是这个黄边，等于这个黄边，所以呢，哎，我知道，我要在这一块造一个他的全等，怎么造呢？哎，缺啥画啥， 你看这边呢，哎，有一个什么，有一个四十五度，我这边没四十五度，这边有个叉角，我这边也没叉角，所以我最好呢是要画一个四十五度，画个叉角，并且画个绿边。那同学们，你看我在这怎么画个绿边呀， 对吧，我在这怎么画个绿边呢？哎，对，当你卡了之后啊，你马上去看，哎，你还有啥条件，啥工具没用上呀， 对吧？只要卡了，你就这么干啊？尤其是先看你自己造的，你自己造了个八全，等八全等出平行，哎，平行可以用啊，对吧？我们可以用来干嘛呢？我们可以用它来造一个平行四边形，我们过点 e 做一个 e q 平行 n c， 因为他俩已经平行了，所以我们又做一个平行的话呢，那 e q c n 就是 一个平行四边形，那只要有平行四边形，我们就可以知道。哎，那 eq 和 n c 他 俩就相等了，哎，他就等于 b m 了， 好一个边等了，同时因为是平行，可以倒角，那这个叉就嘚一下就过来了，哎，然后这个四十五度嘟，哎也过来了， 所以我们很容易可以发现。哎，三角形 n e q， 它现在呢？哎，这个 h e q， 哈，三角形 h e q， 这个三角形 h e q 和我们的这个三角形 f b m f b m， 它们俩就是全等的，是不是啊？因为都有四十五度，都有差角，并且中间加了个，哎， eq 和 b m 相等。 好，那他们全等了，那我们就可以得到。哎，咱们的 b f 等于 e h e h 呢？就是二倍的 e d 就 结束了。 好，那复盘一下啊，我们怎么着能快速做出来几何压轴啊？就一开始一定要读一句，标一句，把信息一目了然。标图上啊，你看，当我们标图上之后呢，我们就很容易找到。哎，找到主页三行之后，我们很容易找到谁和谁相等， 他就算不相等，我们也很容易看到。我要想在这做四十五度做个叉，那四十五度和叉都在这，你看你就得上平行嘛，对吧？只有上平行才能把四十五度叉都往这边怼吧，哎，这样的话呢，我们的工具就比较容易了。 好，那咱们呢照猫画猫这个方法啊，他呢是信号比较粗，比较粗矿的，就只要是有边等和角等的信号，你都可以照猫画猫。所以呢，在考试的过程中，哎，如果我们看到很明显的终点呀，共端等长呀，我们就可以上旋转， 但是如果说你看其他的工具都不好用，你就可以用这个啊，因为这里一个它的信号就是给边等，给角等就可以用，它是比较它的应用场景是比较广泛的，大家只要是找到主键差行，不知道怎么做全等都可以用，这个方法就是纯粹是模仿着这个主键差行去造全等就行了。 好，那同学们呢，如果说现在看到几何压轴啊，做着做着呢容易卡，或者呢不知道该怎么着去造全等， 或者不知道该怎么去找主页上行等等的，哎，都可以跟彩虹老师来继续学习，彩虹老师呢也是给大家开了几何专题课，我们如果有想学习的话，可以联系我们的老师进行报名。

还有二十天一模考试几宗却没思路，今天教会你如何通过条件快速构造全等手拉手构造的常见的三个方法，大家一定要弄清楚。 换句话来说，我们从头开始去思考的话，手拉手模型的核心，它是由两个等腰三角形绕着其顶角或者说顶角点旋转产生的一个特殊的全等状态。 所以我们再去构造手拉手的时候呢，本质上是在构造第二个等腰三角形，或者说构造等腰三角形，因为当你有两个等腰三角形，此时你才能出手拉手， 这里边大家一定要注意，那我们在平时做题的时候，你就需要去想一想，哪些条件可以给你带来等腰，这个呢就是我们所谓的手拉手构造的核心方法了。 有第一个方法呢，是我们在一开始讲解的内容叫做特殊角度构造特殊图形，各位如果给你六度， 给你四十五度，这个时候呢，你一定能想到六度构造出等边，四十五度构造出等腰值，那么你构造出等边和构造出等腰值该怎么用，对吧？第一个用法就是利用等边和等腰值这个特殊图形的性质，辅助你倒边倒角解决问题。 好，此时我是没有放在手拉手当中的，对吧？那你利用了等边和等腰值这两个特殊的性质，辅助你去倒边倒角，你没有解决问题的话，你接下来你就要去想一想，或者说你脑子里要有第二个思路，就是他有没有和题中的其他的等边和等腰值联系到一块。 我现在自己构造了一个等腰直，题目中还有一个等腰直，这个时候咱们手想的一定是手拉手模型，这是第一个构造方法，第二个构造方法呢是三线合一，我一般称之为其为垂直倍长， 什么意思呢？就是有一个直角三角形啊，有一个直角三角形，那么我们会发现他这个时候呢，俩直角边，你随便倍长一个直角边，对不对？他就能形成一个等腰三角形， 对不对？这个呢是二零二三年北京中考的考法，所以我们这两年遇到了很多在利用直角三角形的呃，一条边进行备长，构造出等腰，然后出啥时候解决问题的原因也在找， 这个方法你也必须要掌握。第三个其实对于我们来说呢，都比较熟悉，不是，我现在呢有一个点，然后呢，这里面有一条线，假设这是 o， 这是 a， 我 o a 绕着这个点 o 旋转到 b 这个位置，各位，他只要旋转了，这个时候等腰就已经出来了， 对吧？ o a b， 它就是一个隐藏的等腰三角形，所以呢，你可以在这个顶点 o 处找一找它有没有其他的边，然后你让其他的边呢也旋转同样的角度，这个时候呢，你的手拉手就就就出来了， 所以啊，所以我们我们再去解决这个手拉手的问题啊。你首先你要先清楚哪些可以构造出等腰，这是我们常见的，也是限阶段常考的一些内容， 题目中说使 d j 等于 a d。 好， 各位，我们看到一个边相等，你能想到什么？看到边等，我们能想到两个内容，第一个，他是否会出特殊图形， 特殊图形根据边等，咱们可以去导边导角，这样的话呢，可以在几何当中去解决很多问题。第二个边等能否出全等， 对不对？因为边等，如果说这两个边构造一个和你一样的三角形，咱俩就全等了， 这个是一个很重要的一个内容，大家一定要注意。好，那我们来瞅一下啊，题目中的 d j 等于 a d 做完了之后呢，我不知道你自己有没有这样的一个感受，你在这个地方你是其实是需要注意的，它里面有一个隐藏的三角形，是谁呢？等腰值 a d g 等腰直角三角形 a d g， 它通过这样的一个说法描绘出了这样的一个三角形， 对吧？那我要是想解决这样的一个问题，我就可以通过这样的一个角度去思考，换句话来说， d j 旋转九十度到了 d a 这个位置，对吧？然后呢，接下来他又说了 d j， c f 和 af 之间的一个数量关系，那我们这里还知道什么？这个 f 角应该是四十五度，因为这个角是四十五度，这个地方是垂直的，对吧？ f b e 是 一个等值，那我怎么去解决这样的一个问题， 是不是？所以在这里边我们去思考的时候呢？就会想到，你会发现啊，你会发现三角形 a d j， 它已经给我们一个非常 大的提示了，有一个旋转九十度，有一个边等，对不对？它这边有一个等号值，所以我在读到这个题目当中，我一开始如果说是比较迷茫的话，那我首先想的是在 d 处看一看是否会存在第二个等号值 啊？在 d 处是否会存在第二个多少值？好了，各位，你会发现，此时呢，你再借助第一问的一个条件，你会发现这道题好像也就呼之欲出了 啊，为什么这么说呢，这个角是 r 发度，这边这个角呢是九十度减去二倍的 r 发度，所以我在这边构造一个等腰的话呢，这个等腰一旦构造出来，那这个地方一定是垂直，然后你一连接，你会发现这道题呢就做出来了。 呃，所以我们这道题的总体上的思路来说，并没有那么难啊，需要大家对于鸡爪模型，也就是手拉手构造其中的一个方法足够的熟悉。好，那我们来看一下，我在这里边呢，直接构造一个等腰，我假设这边是 n， 那 这样的话呢，这个角就是阿尔法，这个角如果是阿尔法的话，那这个角就是二倍的阿尔法。各位，此时你会发现，等腰直角三角形我们就已经构造出来了， 对吧？而且呢，在这个地方呢，你会发现你连接 n c 啊，你也能得到一个垂直，也能得到一个垂直，对吧？呃，这个是我们所说的这样的一个图形的一个特殊性啊，当然了，我们这个呢，也是有点马后炮，所以大家在考试的时候呢，分析的时候一定要注意这些内容。 好，那这样的话呢，我们会发现这道题就很简单了，这个三角形和这个三角形全，等一旦中出来之后，我们会发现这个 e g， 他 应该假设这边是 a 的 话，那这边呢，应该就是二分之根二倍的 b， 所以呢，这个 a f， e j 和 c f 之间的关系咱们就出来了啊，那这道题呢，咱们也就中 b 了，这个呢是二零二五年海淀一模的结合综合，有学习问题私信咨询。

会编几何综合解答题一、吸尘区在三角形 a， b， c 中角 b， a， c 等于九十度 a， b 等于 a， c 等腰直角三角形 p 为 p， c 边上一点 p， 点 b 与点 e 关系， a， p 对 称， p， e 对 称，那 p e 过点 b 做 b c 的 锥线， 垂线交线段 c 的 延长线于点 d 连接 d， e 交 ap 于点 h 连接 b， e， c， e 角 b a p b a， p 等于 r 法。第一，当 r 法大于零，小于四十五度的时候，角求角 a， c， e， a， c， e 的 角角 a， c， e 这角四十五度，猜一猜有没有全等相似 r 法的次值表示，请用等式表现段 e， h。 一定要看这三个线段啊。 d， e， c， e d e d， a， c， e 之间的关系，并证明 尔法大于四十五度，小于九十度的时候，这三个直接写去，这个是什么意思呢？无需证明，无需证明，就是有时候你时间不需要证明，他会说是啥意思呢？可以猜 这个是啥意思，直接写书可以猜，然后有时有依据的啊。 第一问连结， a， e 角 b a， p 这个角是 r 法。 点 p 与点 e 关于直线 a， p 对 称， a， p 对 称 a， e 等于 ab 角 e a， p 这个角也等于 r 法，等于 p a， b。 在 三角形 a， b， c 中， a， b， c 中角 b a， c 是 九十度， ab 等于 a， c 等腰直角三角形啊 c a， e c， a， e 等于什么呢？我们看看 c， a， e 这个角等于多少了？九十度减去二 r， 九十加二 r 法，那这个角多少度呢？我们看角 a， c， e 我们看一看， a， b 等于 a， e a 这是对称 a， b 又等于 a， c， 这是啥意思呢？ a， b 的 a， c 是 已知的，所以 a， e 的 a， c， 所以 这是等腰三角形 a， e， c。 是 什么呢？等腰三角形，知道顶角九十度减二阿尔法，那底角是四十五度，加上阿尔法，我们看第二个啊， 看怎么证明过点 b 作 b， m 垂直于 b， e。 垂直于一点交 d， e 点 m 连接 b， h， b， h。 我 们看一看 b， m。 因为角 m b， e。 等于九十度 b， d。 垂直于 bc。 这有点像手拉手模型啊。大手牵小手大小 角 d， b、 c。 等于九十度，所以角 d， b， m。 因为它们同时减去公共部分角 d， b， m。 等于角 c， b， e。 在 三角形 a， b、 c。 中，角 b， a， c。 等于九十度 ab 等于 ac， 所以角 a， c， b。 等于角 a， b， c。 等于四十五度。我们看 a d， b a， d， b， a， d， b。 这个角等于是 a b， d， a， b， c。 等于四十五度 b， d。 等于 b c， a， d。 等于 a b， a， e， a， c。 所以 点 d， b， e， c。 都是在点二为点 a 为圆心的 圆心的半径圆心 a， d。 长 a， d。 长为半径的圆，上四点共圆角 b， e， d， b， e， d。 是 哪根角角 b， b， e， d。 等于角 b， c， d。 角 b， e， d。 是 不是这个 b， e， d。 为什么等于角 b， c， d 呢？因为它们对的公共一条弦 b， d。 弦 b m， b， m。 等于 b e， b， m。 等于 b， e。 为什么呢？等腰直角三角形，所以三角形 b， m， d 和三角形 b， e， c。 全等 b m， d， m 等于谁呢？ d， m 等于 c e。 点 b 点 e。 关于直线 a p 对 称 b h。 等于 e h。 角 h b， e 等于多少呢？ h b， e 等于四十五度，所以角 b h e。 这是个垂直的 b， h 垂直于 m e 三线合一 e h。 所以 e， h。 等于 m h d， e。 等于 dm dm 加上 dm 加上 me， dm 等于 c e， m e 呢？等于二倍的 e h。 为什么呢？ m e 等腰直角三角形 m e 是 什么？斜边 e h 呢？是斜边的一半。第二问是可以证明的， d e 等于二 e h 减 c e。

每日一道好题推荐，今天我们讲三番中学的几宗，今天我们给大家分享的好题是二零二四年三番中学九上期末模拟，也是二零二五年三番中学九上的十二月月考的几何综合。 呃，三番中学连续两次考到了这道题，说明这道题呢是比较好的，我们一起来看一下这道题。嗯，题目当中呢，给了我们一些比较关键的信息，我们已经把它给圈出来了。第一个告诉我们这里边有一个等腰三角形，这个信息呢，其实还是蛮重要的 啊，尤其是这个角度，他给我们一个参数，第二个告诉我们一个终点，然后呢又旋转了一个阿尔法，最后告诉我们一个平行的关系。在我们读到这个题目过程当中呢，大家其实就能要想到你通过这个终点和这个平行，你观察这样的一个位置关系，我们能想到什么？ 你应该要想到的是八字全等，这一点对大家来说是非常重要的。第一份呢，咱们在这里边就不做过多的赘述了，大家呢可以快速的解决掉。我们来看一下第二题说若 m 为 f h 的 终点，问我们 dm 和 f j 之间的一个关系， dm 在 这， f j 在 这，那此时如果让我们去猜，那我们一定是猜二倍的关系， 对吧？这个呢，大家是一定要把这个关系给他给明确一下，他也是我们的思考方向，所以从我们的角度上来看，双中点二倍关系，那我们首想的又是中位线， 这样的话呢，我们这道题对于终点的一个考察，它就比较重要了，所以接下来我们就要去想到底该怎么把这些东西给它联系起来，好，我们一起来看一下， 我现在想去证明 dm 等于它的一半，那我现在，呃要想用中位线的思路，那 dm 应该是一个中位线，我怎么去得到呢？ 因为你这条边和这条边是平行的点， d 是 这条边的一个中点，我们把这个联系起来之后，你就知道它的思路了，它的思路在哪呢？要么你在 a c 上找到一个点，把这一个点呢？关于点 d 连接起来并延长，那此时我们就得到了一个 n， 此时你会发现你就能得到了一个八字全等，这样的话呢，我们的第一个小中点也就构造出来了 d 为 c m 的 中点，那这样我们再去连接的话， 或者说想去构造 dm 的 中域线的话，大家能直接快速的想到 e m 或 e n， 它应该等于 dm， 这样我们就得到这一道题的一个思路了。 好，那我这样的思路完成了之后，接下来我要去打磨这里边的一些细节，包括我们在里面说了一个几何的直觉，也告诉我们 f g 应该等于 e h 了，对吧？为什么因为 m 是 f h 的 终点， m 呢？我们自己又猜测又是 g e 的 中点，所以 f g 应该又等于这个 e h， 那 我们现在又知道的是什么呢？ f g 它应该又等于 n e， 所以 我们的第二个全等也就出来了。第二个全等是什么呢？就是由第一个八字全等给我们带来的 c g 等于 b n， 以及我们前面的这个手拉手的前提。这两个边和我们的第一问的四个小贝塔角，对吧？我们得到的是这样的一个角度和这样的一个角度相等，所以这一条边他就等于这一条边了。那接下来由我们去做这样一道题，你会发现你只要在证明这个 n e h 为等幺就好了，对不对？我们想证明 f g 等于 n h， 那 我可能，我们可能不能直接证明 f g 等于 n h， 我 们要证明 f g 等于 n e， 然后呢 n h 等于 n e， 得到 f g 等于 n h， 这就是我们几何当中 等幺三角形，它经常会出现的一个核心的关键的考法等量桥，所以这道题对大来说呢就会比较的明确。那接下来我们证明它是等幺，我们就可以通过倒角去进行证明， 那倒角大家一定要注意啊，一定不要忘记八字模型的倒角逻辑，对吧？那因为我想证明俩底角相等， 此时我就干嘛呢？我就直接找一个角啊，明确一个角设它是 c 塔，那你这个时候就可以利用八字得到这个角是 c 塔，然后呢它隔壁的这个角就是我们刚刚讲的那个全等三角形，所以它就是一百八十度减， c 塔就等于这一边，进而我们就可以得到这个角也是 c 塔角，所以 e n h 这个等幺咱们就中出来了。 最后我们再简单的去捋一下，因为是二倍的关系，所以呢我们呢再配合双中点的内容，能想到的是中位线，那中位线我要去构造中点，怎么构造呢？我可以通过平行线上的一个点连接中点，直接得到 这个八字，它和我们平时想的不太一样，我们平时要么是背长，要么是做平行，这次我们是直接连接延长，我们就能得到八字，这个是需要大家掌握的第一个小内容，第二个小内容就是我证明 m 是 它的终点， 所以你就会发现 f g 应该就等于 e h， 那 我这个时候呢还要证明什么呢？就是 f g 又要等于 ne， 为什么？因为他和他也是二位的关系，进而你这道题的思路就会明确了。 所以我们做几何题不是单一的从条件入手，也不是单一的从结论入手，也不是单一的从前往后去思考，也不是单一的从后往前去反推，而是把这些东西放在一块，这就体现出它的一个综合性。 好，那第二个方法呢？也是这样子的，我们再次在这里呢简单的和大家说一下，因为你这两条边是平行的嘛，所以我们刚刚也讲到了，你可以在 a c 上选择一条边，那这个时候我们选择的是点 g， 那 同时我们还可以选择什么呢？还可以在这个边上选一个 h， 然后你把它给加倍延长， 得到了这样的一个状态，此时我们呢再连连接它，大家会发现这个 f n 它应该就是 e m 的 一个中位线，所以看着呢会更加的明确一点，所以这道题的方法和上一个八字全等， 对吧？八字全等中完了之后，那接下来我们知道 m 是 不是就是 f h 的 中点，我们这个 d 是 不是也就是它的一个中点，所以这个 d m 就 等于它，对不对？所以我接下来要弄清楚的是什么？就是我要让这个 n f 等于 f g， 那 如果 n f 要等于 f g 的 话，我们就要去导边导角，所以我们后面的两个去后面这个全等呢，是为了导角去做铺垫的。 那我在这里面呢，依旧去设这个角是等腰三角形，所以我就设它是阿尔法， 那它的对零角也是阿尔法，所以这个角是阿尔法，那我知道了，这个角是阿尔法，我要想得到这个角是阿尔法，是不是要通过它得到它，对不对？你看这又配合着我们的一个反向的思路，所以你第二个全等才是这样出来的。我要证明这一个三角形和这一个三角形全等， 不然的话大家会觉得第二个全等很突兀，原因就在这，这就是我们今天给大家分享的一道好题，有学习问题私信咨询。

经初三数学二模汇编元解答题七是紧三的四边形 a， b， c， d。 内接于圆 o， a， c。 弧 a， c。 弧啊 a， c 等于 b， d。 弧它那有个公共的谁啊？ 它那有个公共的 a、 b。 弧分别减去，第一证明 a、 b 平行于 d， c， d。 第二做 a， e， c， d 连点 f 连接 b， e 交 c， g 以点 g 弱求 d， f 场第一步啊。这边形 a， b， c， d 于点 o， a， c 弧 等于 b， d。 弧角 d 等于角 c。 角 a， c。 弧啊，我们看 a、 c 弧 等于 b， d。 弧 b， d。 弧，所以角 d 加上角 c。 角 d 加 等于角 c。 角 c 加角 a。 为什么圆内接四边形？对角互补，对角互补，互补啊， 这两个角就是对应的这两段的圆周角。那角 d 加角 a 等于多少度？一百八十度，所以 a、 b。 平行于是 d， c。 第二个啊，做一系列的，我们看一看啊。 连接 o， c， c， e 做 a， h。 垂直于 c， d。 点 h。 垂足 a， c。 弧等于 b， d。 弧 a， c。 弧等于 b， d。 弧 b， c。 弧 b， c。 这段等于 a， d。 弧 b， c 等于 a， d 等于二 a， e 是 圆 o 的 直径 角 a， b， e 等于九十度 ab 平行于 c d， a， f 呢？ a， f 等于二倍的 o， f。 角 e， g， c， e， g， c 等于角 c， g， b。 等于角 ab 等于九十度 b， g， b， g 比上 g， e 等于 a， f 比上 e， f 这是相似三角形一比二 b， e 等于多少呢？三倍的根号三，那 b， g 呢？根号三 g， e 呢？二倍根号三。 在直角三角形 c， g， b 这个小的三角形里面扣三也等于二分之根号三，所以角 c， b， e 这个 c， b， e 这个角等于多少啊？三十度 c， g 等于一 c， e 等于 多少 c， g 等于一 g， e 等于二倍根号是三勾股定律十二加一，所以根号十三， o， e， o， e 等于 o c。 为什么是一个等腰三角形？等腰三角形 因为是圆的半径，又有个角，等于六十度角。 c， o， e 有 一个六十度角的三角形，是等边三角形。 o， a 等于 o， e 等于 o c。 根号十三， a f 呢，等于三分之二倍。根号十三，在直角三角形 a， f， h 中， a h 等于 b， g 等于根号三， d， h 等于一，所以算得 d， f 等于三分之八。

一、模会编几何综合解答题九、任意区 在三角形 a、 b、 c。 中， a、 c。 等于 b， c， a， c。 等于等于幺三角形过点 b 作 b， d。 点 b， b、 d。 垂直于 a， b。 直角 角 b， a、 d。 等于二分之一角 c， a， d。 等于阿尔法 阿尔法二、阿尔法三阿尔法 e 是 a， b 上一点连接 d， e 交 b， c。 于点 g 角 b， d， e。 角 b， d， e。 这个角等于角 c， a， d。 等于多少呢？二、阿尔法 角 a， d， e 的 度数将射线 e， d， e， d。 让点 e。 顺时针旋转，顺时针旋转是 r 法，分别交 a、 c、 a、 d 与点 f、 h。 那现在表示 a、 f， a， d 和 b、 g 之间关系，并证明 b、 d 垂直于 ab 角 a， b、 d。 就 等于九十度，这个角呢，等于 r 法角 a， d， b 呢，等于九十度减 r 法角 b， d， e。 角 b， d， e。 等于角 c， a， d， c， a， d， c， a， d。 等于角 b， d， e。 等于二阿尔法 a， d， e。 呢？角 a， d， e。 等于角 a， d， b。 减去角 b， d， e。 等于九十度减三、阿尔法 延长 f， e， f， e 交 d， b 的 延长线于点 p 起 p， h 的 中点阶 结 b， g， b， g。 过点 b 作 b， q 垂直于 b， q 垂直于 d， e 于点 q 作 b， n。 垂直于 p e 点 n 角 f， e， d， f， e， d。 等于四、阿尔法角 b， d， e。 等于二阿尔法 角。屁呢，怎么得的呢？三角形外角等于不相邻的两内角之和就是三角形外角等于不相邻，内角之和相减等于二阿尔法。所以 d， e。 等于 p， e。 等腰三角形 b， d。 垂直于 ab 等腰三角形底边上的中线高顶角平行线，三线合一 b， d。 等于 b， e， b， p， e， b， g。 呢，是三角形 b， d， h 的 中位线 b， g， b， j 是 中位线，为什么 j 是 这段儿对 h 等于等于 j p d， b 等于 b p。 中位线， 所以 b e。 又因为 b e 平分角 d e， p， b j 等于二分之一 d h， b g 平行于 d h， 所以 角 b g， p b g， p 这个角 等于角 d h， e。 这个角 角 b g， p 等于角 d h， e， b e 平分角 d e， p。 这两个角相等 b q。 垂直于 d e， b， n 垂直于 p e p q。 角平分线到角两边的距离相等角 p l， g 等于角 b n g b n g。 在 三角形 d， e， h 中 d e， h。 中角 a d h， e 等于多少呢？九十多阿尔瓦 角 h f 也等于九十多阿尔瓦在 a h， f 中 等于九十度。角 r 法等于 a h f。 所以 a， f 等于 a h。 因为 a c， a c。 我 们看看 a， c 等于 bc， 叫 abc， 这个角等于三 r 法，叫 dbc。 角 d， b， c 等于九十度减十二法，我们看一看这三个角相加九十度减二法。三角形 b q g b q 三角形 b q g b q 这小直角三角形和三角形 g， b， n j。 中角相等角相等边角角边，所以三角形全等 b j 对 应谁呢？ 等于 b j 是 斜边，所以 h d 等于 a， h 加上 d， h 等于 a， f 加上二 b g 二 b g， b g 等于谁呢？等于二 b g。