高考数学三角函数模拟题书

这是二零零五年江苏高考题。三角形 a、 b、 c 中 a 等于三分之派， b、 c 等于三，则三角形 a、 b、 c 的 周长为下面四个选项中的哪一个 三角形 a、 b、 c 中 a 的 角度知道 a 的 对边是三，那么这个三角形的周长可以表示为角 b 的 一个三角函数式，那么这个 k， 这个斐是多少？ 因为要用角 b 来表示，那么我们就画一个角吧。 a 是 三分之 pi 是 a， b、 c， 这是三分之派，我们要用这个角来表示这个周长，那么这是 a， 这是 b， 这是 c， 那么 a 比三以 a 等于 b 比三以 b 等于 c 比三以 c， 三以 c 可以 写成三。 a 加 b， 那 么把 a 带进去就是三分之派。三分之派就是 二分之根号三，那么可以写成 a， 二分之根号三可以写成二根号三 a 二根号三， a 三分之 二杠三， a 好 等于 b 比三 a， b 等于 c 比三， a 加 b， a 知道可以写成三 a， b 加三分之 pi 好， 那么 b 就 出来了。 b 可以 写成 a 是 三， a 是 三，三个三约掉，也就是二根号三等于 a 比三于 b 等于 c 比上个 a， b 加上三分之 pi， 这样的话，我们可以把 b 表示出来， b 就 等于二根号三，三以 b， c 也可以表示出来。 c 等于二根号三，三以 b 加三分之 pi 来看一下怎么表示。那么 a 加 b 加 c 就 等于 a 是 三，就是三加上个二根号三，三， a 加上个二根号三，这个可以展开来就是三。 a 被 cosine 三分之 pi 加上 cosine b， cosine 三分之 pi 等于这样的那个式子把它乘进去吧，就是等于三加二根号三， 三以 b 加上二根号三，这个地方呢？ q 三以三分之差，二分之一，二分之一，三以 b 加上个二分之根号三。 q 三以 b 两约掉就等于三加二，根号三，三以 b 加上根号三，三以 b， 再加上这个乘进去 就是二根二约的就是三。 q 三以 b， 这两个可以合并， 合并以后就是三加上个三根号三三倍，加上个三 q 三倍，那看等于多少， 可以提出个，提出个六来就等于三加上个六六提出来的是二个 cos 二分之二三一， b 加上个二分之一 cos 一 b， 这样的话，这两个可以用个辅助角 就等于三加六，这个三 e b cosine 六分之 pi 加上个 cosine b 三六分之派就等于三加上个六，乘以这两个合并起来就是三 e 加上个六分之派。 最后写成这样的形式就是六三， e 加六，分之派加三，然后选项就出来了， 选项就是 d， 这是题目中的 d。 那 么这道题 我们要化成三以 b 加上一个角度，前面有个长竖，再加三，我们可以利用对称定律把 abc 都用 b 来表示， 然后再来化简。像这样的化简过程应该是比较简单的一个过程，就是 凑成一个辅助角，化成一个角的三角函数，这是基本概念，希望大家都能掌握。

遇到三角函数题，考场上焦头烂额，想尽思路，最终永远无法解除脚与边的关系，找不到任何思路的你是否也曾苦恼三角函数题有没有什么邪修的办法呢？哎，这周晚自习，我也遇到了同样的困惑，我呢，遇到了当年 臭名昭著的啊，二零二二年的新一卷的三角函数题啊，当时苦的我焦头烂额的，我也很无奈啊，但是最终呢，我发现一个非常巧妙的邪修办法，虽然说步骤有点不严谨，但是最后好在的话，答案是能算出来的。那么接下来就跟我一起来看看这个方法到底怎么搞吧。 哎，当拿到这个题的时候，其实我没有什么思路啊，因为按理来说三角函数题给我一个关系式， 我应该啊，他至少怎么知道也是个其次的吧，对吧。但是一会是考三的一 a， 一 会又是三的二 b， 这搞得我就很无解，很无奈呀。但是的话呢，我发现，哎， 这是个分式，分式的等式的话呢，哎，怎么解决呢？那唯一有的办法啊，交叉相乘，我们试试看。没那么交叉相乘之后我就会发现，考算的 a 加上考算 a 的 考算二 b 等于一个 sign 二 b 加上 sign 二 b 的 sign sign。 哎，哎，其实当时注处理到这一步啊，我也是卡了很久，但是的话呢，我在想，哎， 既然我想尽办法都没有人找到一个正确的啊，能够完美的解出来的关系式，那么我要不要尝试尝试用邪修的办法呢？我就仔细瞪这个式子啊，我瞪，我瞪他，哎，我就发现我瞪出来一些不起一些奇妙的东西， 算引二 b 考算 a 考算 a， 考算二 b 算引二 b 算引 a。 既然这个式子能等一下，那么我就想一想，有没有什么离奇让它等，让它成立的方法呢？哎，我比如说，哎，我假如说我令算引二 b 等于考算引 a， 然后我再令考算 a， 考算二 b 等于算二 b 算 a。 哎，我这么一想想，那么我就会发现个什么东西了， 我令算二 b 等于考算 a， 呃，我再令考算 a， 考算二 b 等于算二 b 算 a。 最后的话呢，我发现啊，这个 a， 这个 a 和 b 啊，我发现可以得到这么一个关系式，什么关系式呢啊？考赛 a 嘛，那假如把它半把它化成上引，那就是上引被的 pi 分， 那就是 sine 倍的 pi 分 之二减 a， 对 吧？利用诱导公式，我们可以将考 sine 换成 sine， 然后我再令 sine 二 b 等于 sine 二分之 pi 减 a， 那 么由这个式子，我就可以推出一个东西， 我要么就是二 b 等于二二分之派减 a， 要么的话呢，轴对称性质啊，二 b 加上二分之派减 a， 除以二等于一个三角函数对称轴二分之派加上二 k 派。 然后我再看这个式子，考三 a 考三 a 已经等于考已经等于三二 b 了， 那么我就 cosine 二 b 让它，那么我就可以得到这个式子中 cosine 二 b 等于 sine a， sine a 又等于什么呢？ cosine 的 二分之派减 a， 那么我通过这个式子，我好像只可以导出一个关系式，那是什么？二分之派减 a 等于二 b， 因为如果说在这里我要再进行求对称的话呢，我就跟这个式子好像是不是有点冲突呀，那么我最后就得到了这么一个关系式哦，我发现很神奇，很神奇，很神奇啊， 二分之派减 a 等于二 b， 那 么我再给他画一步呢，那就是二分之派等于一个二 b 加上 a， 算到这里的时候，其实我感觉这个事情就已经开始出现了一些不对劲的，不对劲的时候了呀，啊，非常的不对劲，非常的不对劲啊！ 既然啊，我这个二分之 pi 等于二 b 加 a 啊，那么我同样的话呢，因为 a 加 b 等于 pi 减 c 啊，那么我就发现一个派减 c 加 b 是 不是也等于二分之派？那我再这么一试试呢？我再这么一试试，我就会发现一个更神奇的事情， c 等于二分之派加 b， 哦，这么一看的话呢，我好像似乎哎， c 等于二分之派加 b， a 加 b 等于派减 c， 我 似乎 abc 似乎好像都能够表达出来呀， 对吧，我这有两个，两个等式，对吧，那么我这三个位置量似乎就可以把它换成一元的，那么我再看这个奇干啊，他让我求这个 c 方啊，比上一个 a 方加 b 方最小值， 那么我三个圆，我是不是可以用正弦定力将它化成一元，最后转化成一个函数，求最值的问题呢？想到这里啊，我的我已经迫不及待了啊，我直接开始动笔了，我当时 这里的话呢，我将所有的 abc， 所有的边，我换成角，那么的话，就变成了一个上引方 a 加上一个上引方 b， 除以一个上引方的 c， 我令它等于 f x， 它就等于什么呢？因为 a 等于 b 加 c， 所以 说上一方 a 就 等于上一方的 b 加 c， 再加上一个上一方的 b， 又因为 c， 这里我发现是二分之派加 b， 那 么我就可以得到三平方倍的二分之派加上 b， 又因为我可以通过诱导公式以及 b 和 c 之间的关系，我又可以再给这么一导出一个 sin b 加 c， 我 把 c 给它换掉，它就是二分之 pi 加上 b， 再加上一个 sin 平方倍的 b， 再比上一个 sin 平方倍的 二分之 pi 加上 b， 最后的话呢，我发现这个式子就可以，就可以再继续继续进一步的转化 散引平方二分之派，利用诱导公式散加二分之派负考散引，那么负的话呢，在这里平方一下符号就消没了，那就是散引方的二 b 加上一个散引平方 b， 这里话同样的诱导公式 sin 二分之派加 b 变成负考算方，考算 b 符号的话呢，平方消没，哎，这里有话同样的话呢，也是一个考算平方的 b 啊，很神奇，非常神奇，非常神奇啊，我发现 我这里是不是好像全是那一个角 b 了呀？哎，那我再继续转化转化，我发现我利用二倍角公式啊，考算以考二考，那什么考算以二 b 等于一个 二 cosine 平方 b 减一的方啊， cosine b 味道统一变量，我把它变成一减 cosine 平方 b， 下面的话，同样的 cosine 平方 b， 哦，很神奇，很神奇啊，我如果说令 t 等于一个 cosine 平方 b， 哎，那么我这个函数是不是就只剩一元呢？对吧？这是一个 t， 对吧？这是一个 t， 这是一个 t， 那 么我这里平方一下，上面是个二次式，下面是个一次式，那么我不管是用基本不等式的方法，还是利用判别式的方法，这个函数 f x 我 一定能够解出它的最值问题， 那么最重要的一点是同学们在这一步啊，不要忘记，不要忘记，千万不要忘记啊！ c， 那 什么二分之派等于二 b 加 a， 意思就是说我这个 b 是 有范围限制的，我怎么说我这个 b 我也不能让它取得超过二分之派，那么这样一看的话，那么算那么的话，再通过 b 的 范围导出一个考算法 b 的 范围，最后转化为 t 的 范围，得到 t 的 定义域，求解 f x 函数的值域。那么这样的话呢，这个题的话呢，就被我这样一套斜修方法给打败了， 那么同学们再去尝尝用这个邪教方法解决另一道三角函数题吧。那么这个的话呢，同样的话也是一道高考题，这个的话呢，我要没记错的话，应该是二零二四年刚出的一道三角函数的压轴的选填题。好的，那么今天就跟大家分享到这里了。

高考啊，斜修专题篇一，主要是三角函数和我们单位员的一个啊搭配使用的一个斜修专题，这个绝对是啊，秒杀一切目前官方的啊出的这些试卷的参考解析啊。好，我们在上一期的数学斜修当中呢，我们初步介绍了这个三角函数 表，以及呢，重点介绍了我们这个三角函数的一个正修起源就是三角函数，就是单位员和三角函数，正弦与弦可以在单位员当中体现出来，就上一期的内容，如果不清楚的兄弟们自己去翻上一期的一个视频，自己去看一下， 那么上期是讲的理论，对吧？我一般是先讲理论，后讲实践，这个呢就不多说，这个纸肯定是时常会用到，包括物理，高考物理也会用到，但是这个呢，只讲了他怎么来的，但是他怎么来用呢？没讲这期呢，我们专门来讲讲这个实战篇。高考斜修专题篇一，主要是三角函数和我们单位员的一个搭配使用的一个斜修专题，这个绝对是啊，秒杀一切目前官方的啊出的这些试卷的参考解析啊。 来，比如说我们看一下第一题，自己读题啊，我就不说了。好，他问的是啊， p 所在的这个圆弧是 这个主要是比较的是什么呢？比较是这三个边的啊，就比较这三个值谁大，我们直接他给的，其实就是考的就是我们说那个单元，只有在这种情况下，我们来看一下，我画了辅助线，我们知道这个是正弦，这个是余弦，这个是正切，但是注意啊，这个正切呢，虽然这坐标系，这是 x， 这是 y， 但是它是一个比值，正切呢，它是这个是 y x 对 应的这个坐标的一个比值了， 所以它是小于零的，小于零的，所以我们来看一下，这个是正切的长度，这个是鱼弦的长度，这个是正弦的长度，但是呢，正切和鱼弦都是小于零的，只有正切呢，是大于零的，所以这个直接就秒杀。就选的是什么呢？选的是 e f 啊，这个一个见面，见面的这个题呢，就这样子来看下第二题，第二题呢， 读题啊，在直角坐标系 x y 当中，就在这个直角坐标系当中，角阿尔法和角贝塔呢，它是以 o x 边为矢边，就是以 o x 这个设限为矢边，它的中边关于圆点对称，中边关于圆点对称。若阿尔法的取值呢，是三十度到六十度 b 区间，则可算以贝塔的最大值。好，这个就我们单位元啊，就很好的秒杀我好了， 这个 r 法的曲值呢，就是在这个三十度到六十度之间，我就画了这么两条射线，然后它的反向延长线就在这。好来，我们直接用我们说的这个啊，这个定义啊，鱼弦，鱼弦就是对应的是这个这个线段啊，在坐标系当中，这一这个线段的一个常注意，它有方向啊。好，我们来看一下这个地方，鱼弦也就是对应的是它关于圆点对称嘛，关于圆点对称的话，那就把这个线反向延长，反向延长之后，你看一下 在这条反延长线的余弦呢，就这一这一节线段的一个长度，但是要加负值啊，因为它的这个坐标是负二分之一零，然后呢，这个延长过来的长度是负二分之二，三零它都是负的，那最大的呢，就是负二分之一，这个是不是直接秒杀，结合图形啊，我们呢缩小一下，再来再来看下一题，下一题呢，这个更加是秒杀，我们来看一下弱点， a， 关于外轴对称点，是这个 b 点 写出它 set 的 一个曲值，我们来看一下，直接画个单位圆，因为它是关于 y 轴对称，这里只要坐标细。好，这是画的单元，我再放大一下啊，好点， a 呢，就是这个点，这个点呢，刚好它的坐标就是这个 cosine theta， 坐标就是三 e theta 在 这个地方。好，来看一下点 b， 点 b， 就是 对于点 a 的 这个 theta 角，再往啊，再往这里加了个啊， 三十度，然后呢点 b， 就 关于 y 轴对称，我们来看一下三十度，我读题的时候直接看三十度，它就等于十五度乘以二，为什么要把它分成十五度乘以二呢？因为他说了 a 点和 b 点 关于 y 轴对称，对吧？那么关于外对称，我们来看一下，假设 a 点在这 b 点呢，就是这个角度，再加个三十度，三十度就分成两个，这是一个十五度，这里呢是另外一个十五度，这两个十五度呢，就被 y 轴平分，所以这个 a a 点 所对应的啊，这个角度就是七十五度，因为七十五度加十五度就是九十度，所以答案直接就是七十五度，就这个你看这个多简单。好，我们再来看最后一个啊，这个可以斜修的。第四题，像这种题啊，一定要学会去熟练的去练它，我把它上面一点。第四题，这三样法加三样，贝塔的平方等于一，这个我们天天都要想到啊，想到直角三角形 当中这是一，然后这个是三样法，这是三样。贝塔，来，我们看一下，我把这个再放大一下，画了个单元，然后单元当中呢，我强行的另这条边的长度就是三样。贝塔，强行另的， 然后呢，这个是直角三角形，这两条边的平方加起来就等于一满足条件，对吧？满足条件之后呢，我们来看一下能不能推出 sine alpha 加 cosine beta 等于零呢？那我们来看一下 sine alpha 对 应的是啊这个长度，那么 sine beta 呢？对应是这个好， sine beta 对 应的是另外一个弦角 对应的值。那么 sine beta 对 应的 cosine beta 是 有两种情况，要么就是 cosine beta 呢，就是这条边的长度，要么呢 cosine beta 是 这条边的长度。也就意味着什么呢？要么 cosine alpha 加 cosine alpha 等于零，要么呢 cosine r 法等于 cosine beta。 放到这里应该是 beta， 所以 前面推后面是推不出来的，但是后面推前面呢，是一定可以推出来的。当 cosine beta 加 cosine beta 等于零的时候，是属于这种情况， 就是上面是 cosine beta， 下面呢是 cosine beta， 因为上面对应的是这一节的长度啊，下面呢对应呢是这一节的长度，这两个大号互为相反数，也就是说这种情况下成立的时候可以推出前面，但是前面呢要推出两种情况，一种情况是后面加起来等于零，一种呢是这两个相等，这就是呃，用这个实战邪修，如果后面还有 后面还有关于这类题的这个专项练习练习题呢，我会把它加入进去啊，还是那句话，如果觉得学长的这个学修技巧对你有用的，请记得先关注点。

四川宜宾高三二卷的这套数学卷命题表现非常亮眼，全卷的压轴题设计尤为出彩，整体难度把控高度。贴核心高考二卷的真题水准。这套卷的基础题占比科学合理，同时压轴题也精准拉开了分数区分度。单选择题的第七题和第八题均为中档定位，第七题核心考察对称性的灵活应用， 第八题则侧重对逻辑条件转化能力的考察，两道题的计算量都非常小。多选题第十题是这套卷里最贴合高考真题命题水准的题目，抽象函数与数列综合的考法设计的最为精妙。第十一题考法则相对常规，只是对运算能力提出了要求。填空题第十四题是一道命题角度新颖的解析几何创新题， 解析的核心突破口在于合理建立平面直角坐标系，完成几何条件到代数关系的转化。解答题板块是卷后三道大题，均具备极高的刷链价值。第十七题是一道命题质量很高的概率中档题。第十八题考法相对传统，有一定的运向量，建议考完后针对第三问作一题多解的拓展训练，拓展解析思路。 第十九题是这套卷创新度最高的压轴题，融合了三角、函数、导数与数列三大核心模块，命题设计新颖，具备很好的分数区分度。

hello 宝宝们，今天给大家讲一下关于三角函数的一道题目。已知函数 f x 乘 cos x 减根号三乘 cos x 方 x cos x 平方加二分之根号三。第一位，让你化简 f x 的 解式，我们就一步一步的化简 c x 乘 cos x， 是 不是可以用到二倍小公式给它化写成二分之一 cos x， cos x 的 平方可以化写成二分之一加 cosine 二 x。 然后呢，我们就把这些代入进去， f x 就 变成二分之一 c 二 x 再减上去根号三 乘二分之一加 cosine 二 x， 再加二分之根号三二分之一 c 二 x 再减上去二分之根号三， 再减二分之根号三倍的 cosin 二 x 再加二分之根号三二分之根号三。减和加是不能约掉？是不是就变成二分之一 cosin 二 x 再减去二分之根号三 cosin 二 x。 然后呢，这个式子呢，我们再用辅助角公式，辅助角公式就是 a 位的 c r 法加上 b 位的 cosine r 法可以变成根号线 a 方加 b 方位的 c， 括号 r 法加 f。 其中然后还有呢？这个还有这个 tanne 反逆反是等于 a 分 之 b 的， 然后这道题的 a 是 二分之一， b 是 负根号三， a 等于二分之一， b 是 不是等于负二分之根号三？然后我们就代入进去，我们先算前面的根号线，那就是根号线 二分之一的平方再加上负二分之三，二分之根号三的平方刚好加起来，这边是四分之三加四分之一刚好等于一，然后 tanne 等于 a 分 之 b 是 不是等于负根号三？ 然后那 tanne 等于负根号三， tanne 是 不是就等于负三分之 pi 那解析式是不是就能求出来了？ f x 就 等于 sin 括号二 x 减三分之派，这已经化简完了。然后第二问，让你求 f x 的 最小正周期 和单调周期间。我们先看呃，最小正周期对于函数，这也是可以用到公式， y 等于 sin omega x 再加上 five， 它的最小正周期对应的 t 就 等于欧米加的绝对值分正两派，这个 omega， 然后这道题的 omega 是 不是对应的二 x 的 这个二，那就是 omega 是 等于二的，那 t 最终 t 最小正周期是不是就等于二分之二派就等于派？然后我们再看周期间，周期间也很简单， 它的周期间是不是这 same 啊？那就是让它在二派二 k 派减二分之派， 然后让它大大于等于二 x 减三分之派，然后再让它小于等于二 k 派加二分之派。 然后我们把这个化简一下，这里每位手就直接写结果了，算出来结果就是在 k 派减十二分之派到 k 派 加上十二分之五派，这就是它的单调增区间，然后再写个 k 属于零。好了，拜拜了，有什么问题可以留言哈。

对于含有三角函数的函数，我们一般都会分类讨论，分而治之，所以我们在草稿纸上就准备一个草图，我们把 这个函数分成四段，负一到零，零到二分之派，二分之派到派到正，无穷，下一步就竖形结合。我们求导 f 撇、 f 两撇， f 三撇求导是我们正常的手段，看 f 三撇，它横小于零， x 在 负一到二分之派这个区间上，那么在这个区间呢？ f 两撇就是单调递减的， 那我们要找他两个特殊的位置。第一个 f 两撇，零带进去，他等于一，那他是正的。把二分之派带进去，发现 f 两撇 是小圆形的，所以他的图像大概呢就长成这样，那他就恰有一个零点，给他起名叫 x 一。 我说思路啊，我不写那么细啊，这样第一问就证明，证明完了，我们接着往下走， f 两撇这个图像已经有了，那么我们就要研究 f 一 撇，零带进去，发现他等于零，那好， 那 f 一 撇呢，它就会单正穿圆点，再往上整，整到它的极大值，这个位置，它就会下降，它是一个怎么样下降的状态呢？在二分之派这个位置，是正的还是负的还是零呢？我们要把它带进去，二分之派带进去，发现它为零，它小零的话， 那在 x 一 和二分之派之间就会存在一个唯一的一个零点，给它起名叫 x 二。那这个 x 二呢，就是 f x 的 图像了， f x 呢，我们把 f 零带进去，看它等于多少过圆点， 所以 f x 它单调递减过原点，它就开始正正正正，正到它的极大的点， x 二这个位置，那肯定是正的，又开始往下降，到哪里？我们要考虑 二分之 pi 这条线上，它落到哪个点，所以要把二分之 pi 给它带下去，发现它是正的，带下去，所以就轻轻地落到了 x 轴的上面，那它下一步的走势怎么样？也就说在二分之 pi 的 pi 这个区间上，它怎么样？ 当 x 属于二分之 pi 到 pi 这个区间的时候，我们发现 f 撇 x， 它是横小零的，所以 f 这个函数呢，它是单调递减的，单调递减呢，我们就想了，它跟 pi 这个位置，它跟 s 等于 pi 这条线的交点，在哪个位置上，是正的还是负的还是零， 所以很自然呢，就会把 f 带进去。卡位置带进去之后呢，发现它是负的，它负的，我们就可以让它下来。所以在二分之 pi 和 pi 之间，一定会存在一个零点，可起名叫 s 三。那这个 s 三呢，是 f s 的 另一个零点，它就有两零点，零和它，所以就会存在一个 s 三。在二分之派到派这个区间上， f s 三有一个零点。让你总结呢，在负一到零没有零点，在零到二分之派这个开区间上也没有零点，二分之派到有一个零点。好，那派到正无穷呢？放缩一下， f x， 它会小于一，减去 law 一 加上派，很明显这个是小于零，所以它就没有零点，这样的话，它就恰有两个零点就挣完了。我们总结一下，这个题之所以能拿百分，有四个要件，第一分类讨论非尔治之。第二个 柱形结合以图是指第三个卡点。卡位计算的本质是找位置，我们卡了哪些点和哪些位，有四个零点，零 x 一 x 二 x 三，有五个特殊位置， f 两撇零这个位置 f 两撇二十派 f 一 撇二十派 f 二十派 f 派。 所以四个零点加上五个特殊位置，能拿到这个题的很重要的特征量。最后一点，第四点，我们采用了放缩技术。这个题的题源很简单，就是用两个基本的函数对数函数平移一次和正弦函数做差，实际上就是看他俩的焦点。好，我们再留一个练习。欢迎点赞评论，下期见。

本期视频将以第一视角带你沉浸式速刷近二十年三角函数基础真题同学你的试卷！这是一期高考数学六十分质检视频，如果屏幕前的你跟不上， 请务必停下来认真复习该模块基础知识。话不多说，咱们直接进入练习 一四年大干卷第二题选项放一边，直接读题干。题目说角阿尔法的中边经过负四三图像画出来，找到点 p， 我们会发现它恰好在第二象限。再看题目所求， cosine r 法根据三角函数定义，等于零，边比上斜边 回到图上， x 等于负四。那么所求是不是就变成了负四比上 r 呢？ r 等于多少？我们再一次回到图上，这里恰好围成了一个直角三角形，而他的两个直角边分别为负四和三，斜边恰好就是我们所需要求的 r， 我 们将其提取出来， 根据勾股定律， r 就 等于根号下三的平方加负四的平方也就等于五，那么所求的 cosine r 法就等于负四比上五。 答案选择 c 项。我们接着第二题。一六年上海卷第十三题选项放一边，题目给出， c 也小于零，贪婪 r 法也小于零。 a c 减法小于零，说明什么呢？是不是就说明他的正弦函数为负的？根据象限符号知识，正弦在第三和第四象限为负的。贪减法小于零 是不是就说明正切函数也为负，正切函数在第二和第四象限为负的？回到题干连接词 且字说明学习交集，交集为第四象限，所以答案选择 d 选项进入第三题。 二零年新课标二卷第二题依旧选项放一边，直接读题干，阿尔法为第四象限角， 根据下一些符号基础知识，不难得到它的正弦函数为负的，余弦函数为正的，正弦函数为负的。把视角转到选项里，从简单的 c 引二 r 法入手， 根据二倍角公式，不难得到它等于二倍的 c 引 r 法， cos 引 r 法， 而 c 尔法为负的或 c 尔法为正的，那么也就是说 c 尔法小于零。选择 d 选项。好，我们进入下一题，依旧选项放一边， 一串很碍眼的等式映入眼帘，直接利用诱导公式把它化解掉，既变偶不变。尔法前面是二分之五派， 二分之五派是不是相当于五乘以二分之派呢？再看后半句，基偶看半派，五倍的半派，五为基数，倍变为沃森引尔法， 那符号呢？符号自然是看象限的二分之五派加而法这个角的中边在第二象限，原函数为正弦，正弦函数在第二象限，符号为正的。将符号往上一带， 那么题干这一大坨就恰好等于正的或乘以 r 法。再看题目所求，刚好让我们求的就是或乘以 r 法。答案，选择 c 选项。 接下来一题难度略有上升，但他的题目看起来非常的简洁，让我们求摊紧。二百五十五度，二百五十五度大于九十度，我们直接诱导 既变偶不变。二百五十五度是不是相当于两倍的九十度，再加上七十五度二倍的半派，那二他是偶数，自然不需要发生改变，所以他就等于贪婪。七十五度， 那符号呢？符号自然是要看象限二百五十五度角，它的中边位于第三象限， 原函数贪婪在第三项线符号为正的，那么贪婪二百五十五度就等于正的贪婪七十五度。再将七十五度拆解为三十度加四十五度，通过两角和公式进行分解， 再带入相应值。答案选择 d 选项。好，我们接着往下走。一三年大纲卷第二题 题干已知阿尔法为第二象限角， a 阿尔法为第二象限角。题目所求 cosine 阿尔法在第二象限 cosine 阿尔法是不是恰好为负的？ 此时此刻，我们是不是就能把 c 和 d 选项两个排除掉？好，此时我们的正确率飙升至百分之五十。 我们接着看。已知条件 c 隐尔法等于十三分之五，我们联想到基础公式得到所求的或隐尔法是不是就等于根号下一减掉 c 隐尔法的平方， 我们老老实实的将值带入进去，求得或隐尔法就等于十三分之十二。哎，这里别忘了符号为负的，所以选择 a 选项，好，我们接着来。 看到题目，感觉有一点点难。题目已知生隐尔法等于五分之根号五，让我们求生隐四次方，减掉括生隐四次方，生隐四次方自然将生隐尔法带入进去就能求出。但括生隐四次方是不是我们得求括生隐尔法呢？ 思路有了，直接开算，通过 c e r 法联想到基础公式，得到过 c， e r 法等于根号下一减掉 c， e， r 法的平方， 再将相应的值老老实实的带入进去，得到或森以 r 法就等于五分之二倍根号五。此时此刻，万事俱备，只欠东风，我们将相应的值带入进去，答案也就求出来了。

哈喽，同学们，随着上节课我们讲完正弦函数的图像，那么今天我们利用这个图像来解一道我们广东省的一道高考模拟题，大家一起来跟着老师看题。 f x 等于一减二倍的散 y， x 等于 a， 在 这个范围上有两个实根求 a 的 范围， 那么很明很明显这道题考的是函数与方程，对吧？我们需要画图像，然后找两个根，找找这个纵坐标的取值范围，那么大家可以点个暂停，尝试一下这个图像能不能画对，答案能不能做对。 ok， 老师给大家做详细的讲解，大家做好收藏，大家来看。 首先我们正常来说应该画他的头像，但是我们可以挪一挪呀，对不对？一减二倍三 x 的 a， 他 头像毕竟不好画呀，对吧？我们可以把一给他挪过来。二倍的三 x 等于一减 a， 对 吧？我们还可以把二挪过来呀，三 x 等于二分之一减 a， 也就是说我们只要画正弦图像就行了，然后求他的范围，他的范围倒 a 的 范围，对不对？ ok， 那 么我们画正弦图像在哪上画呢？在这个范围上画。那么画之前老师还是强调一下，应该先有单位圆，大家来看啊，我们新手应该先画 单位圆，随便画一个圆，然后在这起图，哎，这个图老师稍微往右边起一点啊，因为他毕竟有负的这个成分， 往右边起一点啊，这是 y， 这是 x， 我 们正常是以这个点为圆点进行画图，但是单位元辅助我们。那么大家找到负三分之二派的相位在哪点位，单位元当中的点位，我们称之为相位，大家来注意，负三分之二派零， 负九十度，负一百二十度，大家注意，应该在这个位置，大家看能明白吧？负三分之二派，负六分之五派，在这个位置，他们俩是兄弟俩，他的正弦二，负二分之刚好三，余弦负二分之一，他的正弦负二分之一，余弦负二分之刚好三，一定要找到， ok 吧？他们是两个兄弟， 负三分之二派，那么正的呢？六分之五派，大家注意，六分之五派在哪？六分之一，六分之二，六分之三，六分之四，六分之五派应该在这个位置，他跟这个六分之七派，也就是负六分之五派是对应的，六分之五派在这个位置，他的正弦二分之一，余弦负二分之二三，对吧？ 好，那么大家跟着，这是起点，这是终点， ok， 我 们从这个起点，也就是我们的负三分之二，负六分之三，负六分之四，负六分之四对应的是 负二分之根号三，然后大家跟上老师的手下降，负一上升，负二分之二再上升，负二分之一再上升到零，所以说这个东西老师画的可能有点不好看，但是道理是这个道理啊，大家来看，也就是他下降上升，哎，这个点是最低，这是负二分之根号三， 这还有一个负二分之一，这些点都是特殊点，大家回忆老师上节课讲的图像都很重要啊。这些特殊点 大家看， ok， 正的也是一样，六分之一，六分之二，六分之三，六分之四，六分之一到二分之一，六分之二到二分之二，三六分之三到最高到最高嘛。六分之四下降到二分之二，三六分之五下降到二分之一，六分之五，二分之一，这个是二分之根号三， 这个是一，这都是特殊点。六分之五派， ok， 到这为止。整个图像画完了，从负六分之四到六分之五派， ok， 到这为止。整个图像呢？大家注意，都是 b 区间啊，那么它 等于一个纵坐标，有两个实数根，那么这个纵坐标在哪呢？在这，没有，在这一个，在这两个，对不对？所以这个纵坐标应该是属于 最小也得比二分之一大，最大不能比一大，但是可以得二分之一，得二分之一时候是两，但是得一的时候就一个了，对吧？就是二分之一到一，来看能明白吧？我们还得给他并上谁呢？并上并上，老师就在下面写了啊，还有这个吧，对不对？这是一个，这是一个，这是不是两个呀？所以说应该是，这是负一 到负二分之根号三之间。负一到负二分之根号三，负二分之根号三是可以取等的，大家看，这两个是实心负一，是单独的，所以不可以取等。最终的答案应该是这样的一个范围，但是我们还得给他调啊，人家求的是 a 的 范围，对不对？大家跟上老师的节奏，我们一起来范围推导这个范围 给他乘以二，对不对？乘以二，是不是一减 a 的 范围呀？应该属于乘以二，大家跟上。负二到负根号三，左开右闭并上一到二，左闭右开。好，这步应该怎么样？同时减一，那就是负 a 的 范围，同时减一，减一，负三到负一，减根号三。 哎，这个过程还真就有同学会马虎啊，同时减一，零到一，左开右闭，对吧？最后一步，同时乘负一，同时乘负一，大家跟上最小的数变，最大的数变成三，这个数呢？变成一加根号三， 对吧？那么这个零自然往这边开了，这个一变成负一，大家看最大的数变成最小的数，最终的答案是这样的一个答案，也就是负一到零，左 b 右开，并上一加二，三到三左开，哎，等会啊，这个开 b， 老师看，这是 b 的， 这个也得是 b 的， 哎，左 b 右开， 呃，这个没有写错吧？一在最左边是 b 的， 呃，老师检查一下啊，这个二分之二，三，这是 b 的 二分之一一，这块是 b 的， 那么减一，这不应该是 b 吗？这，这个地方，老师这马虎了啊，大家来看，咱们还好检查出来了，没讲错，这个地方应该是 b 的， 减一嘛，对不对？所以零，这是 b 的， 那么给他加一个符号，这应该是 b 的， 大家看这里边应该是 b 的， 而这个一加个符号应该是开的 啊，这个开 b 有 点小瑕疵啊，大家自己做题一定要注意最终答案，负一到零，左开，右开，大家看这道题学会了吗？下课。

大家好，我们今天来讲解二零二二年的新高考第十八题，三角函数。好，题目已知给条件 科三 a 除以一加三， a 等于三压 b 加一加科三压 b。 第一个求点 c 等于三分之五求角角 b 好 解，第一个问号 好，三元除以一加三元。我们解角度第一次啊，题目中给了二倍角好，正弦二倍角，三二倍 二倍角。公式 缓解 一下 好，合并三 a 加 b 等于 三 b， a 加 b， 三 c 等于 pi 好， 可以代入三 b 等于三叉二减 c 可三三分之八 等于八分之一 c。 顿角 b 等于锐角角 b 等于六分之八。 好看，第二问，第二问，他说求 a 方加 b 方加 c 方的最小值。这题解不等式，题目中给了三个变量 abc， 我 们最终思想呢，需要把 abc 转化成一个变量 abc 好， 先看第一问，可以得到 三 a， b 等于负的三 a、 c， 那 它肯定是大于的 c 呢？ c 是 钝角，是钝角。 好，我们可以化解一下。三 e， b 等于三 e， c 减二分之差 角 b 等于 c 减二分叉好，再代入 a 加 b 加 c 等于 pi。 我 们可以解的角， a 和 c 的 关系。 二分之三 pi 加 c 等于二分之三， pi 减 二个角， c 好， 我们现在 b 和 c 的 关系是吧？ a 和 c 的 关系是，我们现在可以换一样 a， b， c， 它给的边想转化角，根据正确的 a 除以三 a， a， b， a， b， a， c 除以 c， 我 们可以把 a 方加地方除以 c 方， a 等于 三 a 方加三， b 方除以三 c 方。 三 a 方等于三二一，二分之三减二 c， b 方加三 b， 三平方，四减二 除以三方 c 好， 继续在化减，化减到这边等于三十 c 方，那就等于它的余弦 k 三幺 c， k 三幺 c 的 平方加 k 三幺平方 c 除以三平方 c。 好，我们继续画这里的二倍角，我们统一做到咱们三一 c 中二倍角是一减二倍的三平方 平方克三 a， c 等于一减三平方 c 除以三平方 c。 好， 我们可以把这个式子给化简一下，这张化简是 二加四倍的三 c 四八减五倍的三幺 c 除以三 c 八等于呢？继续再换二倍的三八 c 加 四倍，四倍三十八除以二除以三一方 c 减五。好，最终画了。 这个不能吃，这是什么函数？是一个，我们可以画一下四三一方。 c 等于 t， 它等于四， t 加二除以 t 减根号五，它是一个对勾函数，它是一个对勾函数。 解这个不等式就可以了。 好，我们继续刚才的问题讲。我们要解关于 t 的 一个函数，我们先解除了 t 的 一个定义范围。 b 等于 c 减二分之 pi 大 于 a 等于二分之三。 pi 大 于减 r， c 大 于， 可以解出二分之 pi 小， 小于 c， 小 于四分之 pi。 我 们刚才换一 t 的 三 a， c 方可以解的。 t 的 取值范围在二分之一到一之间。好，这是关于 t 的 函数，它是一个对勾函数，这是个极小值点， 记大点。好，基本不等式。二倍正好，四 t 除以二， t 减五等于 四倍分和二减五，这基本不能是一正复合。二 d 定值，三取相等，三相等。 好，我们验证一下等号论乘以啊。四 t 等于二除以 t 解了 t 等于二分之根号二，二分之根号二。 大牙离小乙最满足，所以 a 方加 b 方除以 c 方的最 小值会使得更好。

同学你好，我们来看一下一千题第九章的不定积分计算。现在看第一个，第一个它是 cosine x 的 三次方的不定积分，那对于这种不定积分，如果它是出现高次幂的话，就想办法把它降到低次， 所以呢，我们可以拆分成 cos x 的 平方，再乘以 cos x， 那 cos x 平方 x 是 不是可以转化为一减三 x 的 平方？为什么要把它变成三 x 的 平方呢？ 是因为后面的这个 cos 它刚好是三 x 的 导函数，所以我们可以放在 d 的 后面。那这样的话，是不是就出现了有关自变量为三 x 的 不定积分，那就是直接代入计算， 把它拆分成两部分。然后如果我们在这里不太容易知道结果的话，那就多写一不零 t 等于三 x， 那就是一的不定积分，减去第 t 平方的不定积分，最后再回带三 x 等于 t。 第二个呢，同样的方法，把它拆分成平方跟依次的乘积， 然后按照第一步的，按照第一题的做法，把它拆成两部分，分别计算它的不定积分。 前两道是属于同一种类型的题型。再来看三四，三四呢，它是关于正格函数的不定积分，首先是它的一次，它的一次，如果要求它的不定积分的话，我们想办法 就是同分子分母同乘以它，为什么要乘以它呢？我们可以发现，如果分子分母同乘以括号内的这一部分的话，分子啊，它就是 sum， 就是 sum x， 再加上 tangent x， 它的导函数， 其中呢，它分别求导是什么也写出来了，那是不是如果令它是 t 的 话，就是 t 分 之一 d t， 它的不定积分是不是蓝 t 加 c 啊？ 注意这里不要忘掉加绝对值，因为有关蓝的函数 x 要大于零的，所以要加上绝对值。正根函数跟 tangent x， 它是有正有负的，所以一定要牢记加上绝对值。再看第四题，第四题呢，它是三次方，三次方呢，我们仍然是按照第一题跟第二题一样把它降次，降次之后把它拆分， 拆分之后会发现它会出现两边都出现三次方的不定积分，那这样是不是就可以把它放在一侧， 再去计算右侧的这部分不定积分？前面的这个我们用分布积分法已经把它给解出来了，那后面这部分是不是就是我们三题的结论对不对？所以直接代入赵超 五六题呢？它也是属于同一种题型，它是有理有理函数， 对于函数的话，它一定要是因式分解，然后把它拆分的，把原来的乘积拆分成和的形式或者差的形式。 再看第五题，第五题，它是正好，是不是就是一个平方差公式啊？所以把它拆分成两两项的乘积，两项的乘积的话， 我们是不是就可以根据公式把它拆分成拆分成 a 加 x 分 之 a， 加上 a 减 x 分 之 b， 那 ab 怎么算呢？这是 ab 计算步骤，最终比较它的系数，有关 x 的 是不是没有啊？后边是常数，所以呢， b 减 a 是 一定为零的，那 a 加 b 乘以 a 是 不是等于一啊？那这样的话，大 a 跟大 b 是 不是就能够用二 a 分 之一表示出来 之后就是 a 加 x 分 之一，它的不定积分跟 n a 减 x 分 之一，它的不定积分呢？是不是就是有关 land 函数？所以呢，这里要加上绝对值，最终结果是它。第六题呢，跟第五题是一样的类型，只不过刚好反过来，反过来的话，那是不是就是只有正符号 不同，其余的做法都是相同的？第七第八题，还有第九第十题，这几题都是比较简单的，所以放在一起了。第七题的话， a 平方加上 x 平方分之一的不定积分呢？ a 平方是一个常数，对于一个常数的平方加上 x 平方分之一这样的形式的话，一定要联想 arc tangent 它的不定积分，所以呢，它用到的核心公式就是这个。 那我们提取出来一个 a 分 之一，是不是就是知道它是 a 分 之一？阿克泰尼特 a 分 之 x 加 c 啊？这个如果牢记的话，是可以直接使用的。再来看第八题，第八题呢，它是跟第七题没有什么分别，只是后面 x 自变量，一个是 x， 另外一个是 x 加 b， 所以呢，是不是就有关 x 的 那一部分就 不同了，对不对？变成了 x 加 b， 其余都是一样的？再看第九题，第九题呢，它变成了中间变成了负号，而不是我们第七第八题中的加号。那对于负号怎么计算呢？ a 平方减去 x 平方，这个在我们第五题的时候已经计算出来了。那第九题有什么不同呢？是不是就是 x 这部分不同啊？所以如果你掌握第五题的解题方法的话，我们把有关 x 的 部分换成 x 加 b 跟 x 减 b 是 不是就可以了？ 这里应该是 a 减去 x 加 b 跟 a 加上 x 加 b， 这里的符号是因为括号打开了。再看第十题，第十题跟第九题呢，也是同样的，是不是就是前面的这部分换掉了，后面还是一样的 十一题？十一题它比较复杂的可能就是当我们设 x 等于 a 乘以三个 t 的 时候，我们涉及到回代的时候，它拧的 t， 有 的同学没有办法去正确的表示出来， 那这里就画一个图形，在现在看这个题，为什么要设成它呢？如果是出现根号下 x 平方减 a 平方这种的形式的话，一定要联想到三角函数，那么联想到三角函数的时候，我们把它设为谁呢？ x 平方减去 a 平方， x 要设成一个有关三角函数的形式，那么我们不去考虑 a 平方的话，那肯定这里是一个方框减去一对不对，方框减方框的平方减去一， 那三角函数中出现什么什么的平方减去一的话，那是什么呢？是不是联想到它平方 x 是 等于正根函数的平方减去一了，对不对？所以我们令 a x 等于 a 乘以三个 t， 这里的计算呢，其实都是比较套路式的，最终计算出来是它，但是我们要带回 x 等于， 也就是说最终以代入的形式不能出现 t 啊，出现 x， 那 么这个 x 怎么表示呢？首先知道正根函数它是什么呢？它是不是 cosine t 分 之一，对不对？ cosine t 分 之一的话， cosine t 分 之一等于 a 分 之 x， 那 cosine t 是 不等于 x 分 之 a， cosine x 四等于 x 分 之 a 呢？是不是就是以这个角度为例的话，这里是 x， 这里是 a， 那 这里是不是 x 平方减 a 对 不对？所以呢，那它逆它 t 是 等于什么呢？是不是对边比上零，边根号 x 平方减 a 平方比上 a， 这样的话，我们是不是就把它的 t 给表示出来，然后代入就可以了？注意这里这里的同学，这里有同学可能会出错，我们代入之后发现是 a 分 之 x 跟 a 分 之它，我们知道 let a 是 什么，是一个常数，对不对？所以最后我们把结果合并到这个 c 一 里面， 是不就是一个完整的 c 了？十一题跟第十啊？十一题，还有一种情况是这是这是第一种做法， 直接在后面加绝对值，就是不去考虑他的主持主值区间，直接在结论结果当中画一个绝对值。但是答案中呢，他是这样子的，他去考虑，他会去考虑有关正歌函数的他的主值区间，因为 我们要确保他在主值区间内才能存在反函数， 并且呢，在区间内我们设的是什么？设的是 psych t， psych t 它是等于 cos 和 t 分 之一，对不对？但 cos 和 t 我 们知道它是不是有正负的呀？所以呢， 如果我们要去考虑它的正负号的话，那是不是就是 要分成两部分啊？一种情况是小于零，一种情况是大于零，大于零在下移，在小于零的时候，我们再出现塞克平方减一的时候，是不是它的平方啊？ x 对 不对？那这样你开根号出来的时候，它是不是就它的？因为已经是负的，那它它开出来是不是就是负的？它的题那会就是会出现一个符号，所以是 x 减去 x 根号下 x 平方减 a 平方， 但如果它是大于零的情况的话，我们会发现它这里的符号变成了 x， 加上 x 根号 x 平方减 a 平方，所以 分成大于零跟小于零这两种情况，跟不分他的区别是什么呢？是不是没有区别？只是如果你分成两小于零跟大于零去考虑的话，你中间的符号是不是要编号？但是呢，如果加上绝对值，是不是就是 能够确保这里面它始终是正的，那就不用分符号了？所以两种做法呢，都是都是， 都是正确的。像这个，如果你把它分区间的话，可能步骤更细，更容易理解一点，但如果是你按照这种做法的话，直接在结论上，在结果上加上绝对值，就一定不会出错。 再看十二题，十二题呢，它是一个比较简单的，用的核心公式是根号下一减 x 平方分之一，它里它这个跟前面有什么不同的？前面是不是 a 平方减去 x 平方分之一啊？所以多了一个根号对不对？所以它用的核心公式是直接就是 x 三 x 反正弦函数的不定积分公式，这个是要牢记，直接背的，也就是直接使用的。再看第十三题 知识点，这里就说了，这里我是分，分了一个区间，就是保证它的反函数是它的，反函数是它的，它的区间上是存在反函数的，这个是反正切函数。 这个呢，靠近二分之拍，负二分之拍，它是不是只有在负二分之拍跟二分之拍的时候，中间是连续的呀？如果是，你在下一个区间的时候，它是不是这里就是 无限靠近正无穷的，这里无限靠近负正无负无穷的，对不对？所以呢，两边是不是在二分之拍的时候，它是不连续的？那只有在连续上面 确，所以分这个区间就是确保它是连续可导的，那对应的反函数也是连续可导的，这样的话我们去求零零积分，也就是求原函数的时候，是不是能够确保它这个原函数是可导的，对不对？这样才能够等于它， 而且呢，我们画这个区间也能够保证 psych t 它是正的，所以我就有一个区间约束，那 psych t 分 之一这个的话，我们在前面是不是就已经有 有计算的步骤了？那也是直接等于它的，应该是在第一题，哎，不对，应该是在 三四五题吧，直接就是计算的这个函数的不定积分。再看第十四题，第十四题，还有第十五题跟后面的话，他都是会出现高次高次方的这种形式，高次方的话我们会想办法把它降次，降次的话是不是就把它拆分了？拆分了之后 我们这里是不是很熟悉？是不是有一个提示， sum 三次， sum 正根函数的三次方是不是也会出现？两边都是出现三次方的？那一亿测是不是就计算出来了？ 这个是没什么难度的，跟前面的计算是一样的。再来看第十五题跟十六题，十五题呢， 它宁它平方 x， 它是等于三个平方 x 减去一了，这个是要一定要记住的，多用几次就记住了，然后把它拆分成两项的叉，那这样是不是就可以直接用零积分公式？大家看第十六题，十六题呢？它稍微复杂一点， 它分成两个之后，两部分的差，它会出现这种形式跟这种形式，它这里是可有两种写法的，一种呢是出现正根函数等于二分之一三个平方 x 点就来它。但是呢，如果我们 把它写成 tangent x， d tangent x 的 话，为什么会出现两种呢？一个我们看，一个是把 psych 平方 x 放在 d 的 后面，那是不就是 d tangent x？ 还有一种情况就是 psych x 放在前面，后面放 d psych x， tangent x， 那它是什么呢？ option 应该是把它放在后面，把它变成 sex， 所以 是不是就出现了这两部分？ y 北极函数就是它了， 那你出现这两种的话，它结果是否一致呢？我们来看一下 find 平方 x 是 等于什么呢？它是等于 tangent 平方 x 加一对不对，然后把它括号打开的话，就会发现它这里出现了长序项。我们说了有关长序数项的话，是不是都可以合并到 c 里面，所以呢，最终结果是一样的，长序项可以合并，所以结果是等价的。 然后这里可能正格函数，出现正格函数的，它的定积分，它的不定积分。我们前面已经算过很多了，可能稍微有一个难度的就是 tan 的 x， tan 的 x， 它的不定积分没有固定的公式，但是我们可以拆分成三 x， 比上扣三 x 是 不是就是它的不定积分啊？那是不是就是这个间声有关 line 的 一个函数对不对？ 再来看第十七题，十七题呢，首先也是拆分成两项，拆分成两项之后，利用正歌函数 跟 tangent x 之间的关系，是不是出现这两项？那 tangent 平方 x 呢？我们有十五题，是不是就能够直接用到它的结论？因为前面我们都已经计算过了十八题， 十八题其实计算方法是跟十七题一样的，我们就不展开说了。十九题跟二十题呢？ 十九题它的步骤很简单，也非常清晰。二十题呢，它稍微有一点难度， a 平方三平方 x 加上 b 平方 q 平方 x， 像这种的话，它有一个固定的处理方式，那就是分母同除以 q 平方 x， 这样的话， 它就会出现这个是什么呢？这个是不是就是三个平方 x 对 不对？那分母会出现什么呢？分母是不是就出现了 tangent 的 平方 x？ 依旧是利用 tangent x 跟整个函数之间的关系计算出来的。 那在这一步呢，过程其实都非常详细的，有如果有跳过的，如果有讲解跳过的部分的话，可以自己看这个过程 哦。这里这里，如果熟练的话，是可以直接计算答案的，但这里我多写了一步，也就是把它用一个 t 变量代换，这样是不是就比较清晰了？那 t 平方加一它是什么呢？它是不是一个固定固定公式 back 你 的 t 对 不对？所以最终还要再回单。 再来看二十一题，二十一题，如果是出现三二 x， 扣三二 x， 它也有固定的处理方式，等会它是怎么样处理呢？我会在后面去总结。那现在看这道题应该怎么做？如果出现二 x 的 话，我们想办法把它化成 x， 那是不是就要用到固定公式啊？那这就是在高中时期的时候学到的公式，一个是等于二倍的三 x 扣三 x， 还有一个是扣三平方减三平方 x， 然后处理的呢？都是跟前面十九二十题一样，是同时除以 扣三分之分母，除以除以扣三 x 的 平方的，然后这里是一个 有理式分式，把它乘积变化，乘积化成和的分方式，这样的话是不是就出现蓝颜的函数了，对不对？所以这里要加上绝对值。再再看一下 我们前面计算的那些题，然后如果总结的话，它是怎样的固定模板，一个就是三 x n 次方， cos x m 次方，这样是两项相乘，另外一个是单次出现，还有一个就是它的一次方跟二次方同时出现 在分母的时候。这几种情况，首先先来看第一种情况，当 m n 至少有一个是奇数的话，那我们例如是这种式子的话，我们是不是就可以把中间呢？有一个 q 三平方 x， 把它变成一减三平方 x， 对 不对？这样的话，再把它变成两项的 两相的差，是不是又整体变成了有关三 x 的 多项式？那直接用 t 等于三 x 的 话，是不是就能够解数解出来了？再看第二种，第二种如果是出现一个三 x n 次方这种的话， 它其实跟啊少讲了一一个。第二种就是 m n 如果它都是偶数的话，那就要用三角乘法把它降密化成勾三二 x 的 多项式，那么怎么化呢？就是这样子，这个是需要牢记的。再来看第三个，如果是出现三 x n 次方正形式呢？ 仍然是考虑它是奇数还是偶数，与一二是完全一致了。再来看第四题，第四题是不是就是我们刚刚 有过的，出现过的，是不是三 x 乘以 cos x 分 之一，它的不定积分的话，分子为一分母，之后三 x cos x 一 次或者二次以及长式的话，那么处理方式是不是就是同除以 cos x 的 平方？ 还有就是看到一加 cos x 的 时候要化为二倍的 cos x 的 平方，看到一加 x 的 时候化成它 二十三题跟二十四，二十三题跟二十四题的话，它这个计算过程会比较复杂一点，因为它要用到 万能公式，万能公式的话是没办法用其他方法都解决不了的时候才会考虑它， 它一个是回代表麻烦，另外一个就是算表麻烦。那我们来看一下它这道题应该怎么算呢？首先呢，我们令 t 等于 tan 的 二分之 x， 然后 cosine x 是 不是就要想办法把它用 tan 的 二分之 x 就是 有关二分之 x 的 一个 t 表示出来，那怎么表示呢？我在这里做了一个总结， 它这样万能公式使用于什么呢？是不是三 x 扣三 x， 然后还加上一个常数，也就是说背经函数中含常数的一三 x 扣三 x， 是 不是就是 二十三题这种像这种形式有常数，有三角函数，然后我们考虑用万能公式，万能公式它的复杂，一个是计算，一个就是表示方法， 还有就是变量代换，我们令 tangent 二分之 x 等于它，这个是固定形式，那这样的话 x 是 不是就出现了？ x 出现的话，那三 x cos 三 x 以 d x 怎么表示呢？ d x 是 比较简单的，直接对 ax tangent 有求到就可以了。那三 x 跟 cos x 这里就写了详细的过程。首先呢，三二三 x 我 们要把它当做二 x 的 形式，然后用二 x 把它表示出来，对，也就是这样的，那 可以看这个步骤是很详细的，所以它就是二分之它二倍的 tangent， 二分之 x 乘以 cosine 二分之 x 的 平方，那是不是还是利用 tangent 跟 sec 中间的关系？ 步骤可以详细？嗯，可以下去慢慢看，也就是二 u 加比上一加 u 平方，同样的道理呢， cos x 也是这样表示出来的。那再来看这道题应该怎么解决呢？ cos x， 所以 我们这个 cos x 跟 cos x 它的表示方法 是一定要可以直接使用，所以就要牢记。但如果你实在记不住的话，它的推导过程，也就是这个过程的话，一定要在考试的过程中，如果记不住，也要自己学会推导，那 d s， 这都能表示出来，是不是就直接代入？代入？但它这里出现了一个非常 上脑级的东西，就是它要分 a 大 于 b 跟 a 小 于 b 这两种情况， 因为如果你 a 大 于 b 的 话，它这里是一个常数加上多少的平方，对不对？ 也就是说 a 平方加 x 平方分之一这种形式。你这种形式的话，它直接用 octaneet， octaneet 到 octaneet 的 不定积分就可。呃，导函数就可以了，因为你求出来它的不定积分呢，是有关 octaneet 的， 但是呢，你如果是变成减号的话，就是 a 平方减 x 平分之一， x 平方分之一，它是不是就是不是 octaneet 了 不定积分呢？对不对？所以呢，它就要用这个核心公式，所以是分 a 大 于 b 跟 a 小 于 b 的 情况。那 a 大 于 b 的 时候，我们知道它是要用 arc tangent 这个公式的，那是不是就是这样子？这样子 有一个麻烦点，是不是就是它在 d 后面的背景函数，这里是不是要用到换元法，对不对？ 所以这里的话有可能是会出错的。那你在计算的时候要注意一下， a 小 于 b 的 话，这种情况是比较简单的，因为你 a 确定了，你看这个公式的 a， 而不是这个里面的 a， a 是 确定的，就是这个常数对不对，那 x 也是确定的，对不对？就是后面的这个平方， 那直接套到这个里面公式里面就可以了，所以 a 平方减去 x 平方分之一在前面。我们有应该是十几题的时候有计算这个不定积分，那这个不定积分如果你知道是怎么推导的话，也不用死记硬背这个公式了， 所以就是二十四题呢，二十四题跟二十三题它的区别是什么呢？一个是 q 三 x， 一个是三 x， 是 是不是？所以呢，它其实考察的就是你三 x 跟 q 三 x 用 t 表示的时候是怎么去表示的， 然后这里呢，他要分两种情况，也就是 a 大 于 b 跟 a 小 于 b， 这样的话，你中间要么变成 a 平方减 x 平方，要么变成 a 平方加上 x 平方，然后难点呢，可能就是还是在这里跟这里以及中间这一部分 会出错，所以呢，在这里的话，整个过程都写的非常详细，只要自己去看就行了，因为这里都是设计的纯计算，考察的是计算能力，而对于一些逻辑上的关，逻辑上的，嗯， 逻辑上的思考的话，设计的非常少，都是纯公式，纯记忆，然后纯推导， 那这期视频就讲解的照理后边的话，它可能会涉及到 e 的 x 次方以及其他形式的不定积分。那前面前二十四道题呢？它涉及的都是三角函数。

哈喽，大家好，我们来看一下十五题。第一问求角 b 的 度数。题目猜中给了 a 乘以三引二， b 等于两倍的三引 a， 然后 b 这条边等于一个二，那我们可以先用一下正弦定理，那我们知道 a 比上一个三引 a， 它是不是就等于 b 比上一个三引 b？ 好， 那我再把这个展示整理一下，那就是 a 比上一个三引二，比上一个三引 a。 哦， a 比上一个三引 a， 它是不是就等于二比上一个三引二 b， 对 不对？所以说我们就可以得到 二除以一个三引二 b 是 不是就等于 b 比上一个三引 b？ 因为这条 b 这条边它刚好等于二，所以我们就可以推出来三引 b 是 不是就等于三引二 b？ 三引二 b 是 什么？是不是两倍的三引 b， 再乘以一个 cosine b， 好，那我们这里可以把三硬币给他约掉，但是你不能直接约，因为你不清楚这个三硬币有没有可能等于零。那我们先给他讨论一下，因为这个币他是属于一个零到派的，所以说三硬币 他是不可能等于零的，所以说我们可以把三硬币约掉，那就是括三硬币他是等于一个二分之一，因为这个币他是只能等于一个三分之派的。好，第一位就结束了，我们再来看第二位， 若 m 为 a c 上的一点角， a， b m 等于六分之派， b， m 等于根号三，那我们证明 b m 垂直于 a c， 那 我们先把 a b c 这个三角形画一下， a b c 好 点， m 在 a c 上， b m 等于一个 根号三。好， a b m 等于六分之派。那我们知道第二第一位已经求出来，角 b 等于三分之派，所以说角 c、 b、 m， 它是不是也是一个六分之派？好， 那告诉我们一个边一个角，那我们是不是可以用一下面积公式啊？因为我们想到了面积公式对不对？那三角形 a、 b、 m 的 面积， a、 b、 m 的 面积，它是不是就等于二分之一？ ab， 再乘以 b m， b、 m 是 根号三，对不对？好？再乘以一个三角 a、 b、 m， 那 就是 二分之一，对不对？那三角形 c、 b、 m 的 面积，它是不是就等于二分之一？再乘以个 b， c， 再乘一个 b， m， b、 m 还是根号三，对不对？好？再乘角 c、 b、 m， 三角 c， b、 m 是 不是二分之一，对不对？好，那这两个面积相加，它是不是就等于三角形 abc 的 面积？那三角形 abc 的 面积怎么求？它是不是就等于二分之一？ ab， 再乘以一个 bc， 再乘以三一角 abc 就是 角 b， 对 吧？角 b 是 三一，三分之派是二分之根号三，那这就是四分之根号三。所以我们就可以得到 a、 b 再加上一个 bc， 它是不是刚好等于 ab， 再乘以一个 bc， 对 不对？那 ab 这条边是什么？是不是 c？ 那 bc 这条边是不是就是 a？ 所以 我们就可以知道 a 加 c， 它是不是就等于 a 乘以 c， 对 不对？好，那我们这个时候再用一下正那个余弦定里，那 cos cosine b， 它是不是就等于 a 方加 c 方减 b 方再除以个二 a、 c， 它是等于个二分之一的？好，那给它整理一下，那就是 a 方加 c 方，减去一个四，是不是就等于 a、 c， 所以 我们就可以得到 a 加 c 的 平方， 再减去三倍的 a、 c， 它是等于一个四的好， 因为 a 乘以 c 正好是 a 加 c， 所以 a 加 c 方减三，乘以 a 加 c 正好再减去一个四，正好等于一个零。 你把 a 加 c 看成一个整体的话，你 a 加 c， 要么算出来是等于一个四，或者是 a 加 c 算出来是等于一个负数，所以负一是要舍掉的，所以 a 加 c 等于四 好，所以我们就可以得到 a 加 c 是 不是又等于 ac 等于一个四。所以我们可以解得 a 等于二， c 等于二。加了 a 等于二， c 等于二的话，那这条边是二，这条边是二，那三角，然后这个角 abc 是 不是又是一个三分之派？所以三角形 a 三角形 abc， 它是不是一个等边三角形？ 既然是等边三角形的话， b m 又平分角 abc， 所以 m 为 a， c 中点， 那也就意味着 b m 是 不是一定要垂直于 a、 c 三线合一嘛？对不对？好。

这是什么题？这是非特殊角的三角横等变形问题。这题怎么做？你只需要先做一个全分叉，把所有角度挪一边，化简到最简形式之后往特殊角上面凑来，重新构造骨架即可证明。这是什么题？ 这是基于正切倒数列向的参数求值问题。这题怎么做？你只需要先利用这个正切对角公式列向求和，在这之后比对系数即可。 这是什么题？这是套了一层铜构的函数具有性问题。注意，不再是纯粹的函数题了哦！这题怎么做？你只需要先凑出原函数，利用原函数单调递增且是奇函数的性质，拆掉外层函数的包装，就可以一命速通了。所以，你学会了吗？

新高考一卷的高三生注意，别看这套随州二调数学卷推荐指数只有三颗星，他的创新度直接超过了近期一大波名校卷。想冲高分练新题型的同学，这套卷考前必刷，一定要抽时间完整刷一遍，查漏补缺。单选部分，前七道都是基础题， 得分很稳。第八题是需要空间想象力的难题，做题时要结合空间结构去分析。三道多选择题的质量都非常高，有一定的难度，都是值得尝试的优质题。第九题核心考察新知识的迁移能力。解析，先知透题干新定义，再转化成学过的基础知识点即可。 第十一题的第选项是易错点，考察三角形内心相关内容。解析，关键是用角平分线性质，把线段比例转化成边长比处理。填空题也有不少优质好题。 第十三题是向量结合圆的最值问题，解析，核心是找准最值对应的几何位置。第十四题是新定义题型解析，关键是把题干的新定义转化成我们熟悉的隔板法模型解决。解答题部分，第十五题是基础送分题，大家一定要稳拿分。 第十八题的第三问给出的几何条件比较复杂，核心解析思路是把复杂的几何条件转化成可计算的代数关系。最后第十九题是数列结合三角函数、导数的综合压轴题，核心难点有两个，一是递推关系的化简，二是证明时要构造对应的三角函数，不等式完成推导。

各位同学，今天我们继续来看一道二零二三年的高考正题，这道题虽然说是导数的大题，但是它也结合了我们三角函数的一个考点， f x 等于 a， x 减去三 x 除以 cos x 的 三次方， x 属于零到二分之派的。第一题，若 a 等于八，讨论 f x 的 单调性， 他讨论单调性的话，当然我们是要进行求导了，是吧？那我们进行求导之前，首先回顾一下三角函数的一个导数，三 x 的 导数，它是等于 cos x 的 导数，它是等于负的三 x。 好， 在这个基本的知识前提下，我们第一问进行求导， f x 的 一个导数是吧？它就等于 a 减去前面都好，主要是后面，后面的话，这是一个商的导数。那首先是分母的一个平方对不对？然后乘分之前导，乘上后不倒， 减去前不倒，乘上一个后倒后倒 cos x 的 三次方，它是一个什么？它是一个复合函数对不对？首先我们先对它进行一个求导，然后再对里面的前移导是负的三 x 对 不对？这是一个复合函数的求导， 大家要注意，那它就变成了三，乘上 cosine x 平方，乘上 sine x 对 不对？那我们这里可不可以约掉一个 cosine x 的 平方呀？约掉一个平方对吧？好，再整理一下，是不是变成了 a 减去 cosine x 的 四次方，分之 cosine x 的 平方，减去加上吧 三倍 sine x 的 一个平方，是吧？好，我们面对一个函数，我们当然希望它只有一个位置变量，这里有一个 sine x 的 平方，有一个 cosine x 平方，我们当然是把它变成， 是不是可以用 sine x 的 一个平方加上 cos x 的 平方等于一。这个式子把这个 cos x 的 平方转化成 cos x 平方。好，我们进行一次转化，变成了 cos x 的 四次方， cos x 的 平方是吧？加上三乘上一，减去 cos x 的 平方是吧？整理一下， 变成了 a 减去 cos x 的 四次方，变成了一个三减去二倍 cos x 的 一个平方，是吧？ 好，这时候我们再整理一下，因为我们要讨论它的符号，所以说我们一般要进行一个通分的处理，是吧？变成了 cos x 的 四次方，分之 a 乘上 cos x 的 四次方， 加上二乘上 cos x 的 平方减去三。好， cos 来说，我们一般不太喜欢它。我们这个地方是不是可以用换圆的思想都有一个 cos x 的 平方是吧？换圆是不是？ 换圆之前我们一定要讨论好新的圆的一个范围。 x 属于零到二分之派，对不对？ 那我们如果令 t 等于 cos x 的 平方是吧？那是不是 cos x 就 属于是零到一，对不对？那 cos x 的 平方是不是也是属于零到一，是吧？那也就说 t 是 属于零到一是吧？那这个导数是不是就变成了 t 平方分之 a， t 平方加上二， t 减去三，是吧？ t 属于零到一，对不对？好，这个第一问，第一问的话它 a 等于八， 第一问的话 a 等于八，我们再把 a 带进去，那 f x 的 导数实际上就变成了 t 平方分之八， t 平方加二， t 减去三， 这个时候我们要讨论他的符号。一般情况下，这上面都是可以进行一个因子分解的，是不是？我们进行一个因子分解的话， 进行因子分解用到的肯定是我们的十字相乘法，是吧？我们试一下第一项，我们可以把它变成二 t 乘上一个四 t， 对 不对？后面这一项我们可可只能变成 一个负一乘上三，是不是？那这里的话二是两相相加相乘，是不是六 t 减四 t 刚好等于二 t， 也就说它可以因此分切成什么二 t 减一 乘上一个四 t 加三，对不对？别忘了我们这里说的 t 的 一个曲子范围是零到一，这时候来确定它的符号，下面这一项肯定是大于零的。四 t 加三肯定是大于零的，那这个式子的符号是不是主要取决于这个？也就是说，当 二 t 减一大于等于零时，也就说 t 要大于等于二分之一的时候，是不是？ t 大 于等于二分之一的时候，这个 f x 的 一个导数是不是大于零的？这个时候 f x 是 一个单调递增的，对不对？那当 t 二 t 减一小于零时，也就是 t 小 于二分之一的时候，那得到 f x， 它是小导数是小于零的， f x 是 一个单调递减的，但是这个时候我们一定要注意你 t 的 范围。知道了，但是我们写单调增区间的时候，一定要还原成 x 的 范围，是不是？那 t 大 于等于 t 等于 cos x x 的 一个平方，是吧？它是大于等于二分之一，也就是说 cos x 应该是要大于等于二分之根号二的，对不对？那 cos x 的 一个函数图像，我们画一下， 在零到二分之派的时候，他是不是这样的一个这个地方是二分之根号二，这个地方应该是四分之派，对不对？那他要大于等于二分之根号二，那 x 应该要属于什么？属于零到四分之派，对不对？ 那同理，那我们这个地方，也就说 x 要属于零到四分之派，那这个地方相反的话，那 x 就 要属于四分之派， 就要属于四分之派到二分之派，对不对？好，这个时候我们就明确了。第一问，当 x 属于零到四分之派的时候，这个导函数是大于零的， f x 是 单点递增的，当 x 属于四分之派到二分之派的时候， 这个 f x 的 导数是小于零的， f x 是 一个单调递减的函数。好，这是我们的第一问，接下来我们继续看我们的第二问。第二问是什么？它是说 f x 小 于 sin x， sin 二 x 横乘以是吧？横乘以 让我们求这个曲值范围，那实际上就是什么？实际上就是 a x 减去 sine x， cosine x 的 立方小于 sine 二 x 横乘六，是吧？我们之前讲过了，遇到这种问题有两种方式是吧？一种方式是什么？一种方式是不是直接就是分离参数？ 第二种方法是不是就是一项变成 f x 减去 sine 二 x 小 于零，然后我们整体讨论这个是吧？ 好，我们来看这个题，如果你分离参数的话，是不是发现还好，粉还挺好分离的，分离之后就变成了什么？ a 小 于一个 x 分 之三，二 x 加上三 x， 除上 x 乘上括号 x。 但是你发现之后，这个函数我们如果要去讨论它的单调性，对它情形求导的话，求导应该是非常复杂的。所以说我们这个地方应该是 不太可能考虑使用分离参数的方法，因为这样计算量特别的大，而且特别的复杂，不太好讨论，那我们当然就想到我们的第二种方法，是不是整体讨论？你整体讨论的话，那实际上就是一个什么？实际上就是一个 令，它等于 g x， 好 吧？ g x 等于 f x 减去 sine 二 x， 是 吧？好，好， 我们这里求导是吧？要继续进一步的进它，对它进行一个求导，求导的话，它实际上就等于 f x 的 导数，是吧？减去这个地方，注意也是一个复合函数，它是等于二乘上 cosine 二 x， 对 不对？ 这个求导是不是变成这样了？好，别忘记我们刚才是不是已经对它进行了一个求导，求导之后它是不是都变成了一个扩散 x 的 一个式子？那针对这个地方我们是不是也同样的对它进行一个变形，它实际上就变成了一个 减去二乘上，对吧？我们的二倍角公式，它实际上等于二倍扩散 x 的 一个平方，减去一，是不是？ 好，这个时候你会发现什么？发现这个地方我们 f x 的 导数是不是这一坨，对吧？好，你后面还是有一个 cosine x 的 一个平方，那我们是不是同样的可以进行一个换元，我们令 t 等于 cos x 的 一个平方，到这个时候你 g x 的 一个导数是不是变成了一个 gt 的 一个导数？前面这一坨我们是不是刚才已经讨论了，是不是变成了？变成了这个变成了 a 加上 t 分 之二减去 t 平方分之三，是不是减去这里是不是四？ t 加二对不对？那我们整理一下，它是就变成了 a 加二 减加上 t 分 之二减去 t 平方分之三减四， t， 是 不是这时候 t 是 属于零到一的？ 好，我们现在已经求出它的导数了，是不是要讨论它的一个符号？但是我们说了这个这个符号我们是不是讨论不出来？ 讨论不出来的话，我们是不是不能轻易的解出来，是不是直接又还是进一步用我们导数的思想？那我们可不可以令 h t 就等于 a 加二，加上 t 分 之二，减去 t 的 平方，分之三减四， t， t 是 属于零到一的，对不对？那我们讨论他的一个符号，那是进一步的求导吧，是不是求导这前面是常数就没有了，这里的话是不是变成了负的 t 平方分之二， 这地方是不是变成了 t 的 三次方？分之六是吧？减去四，那我们要讨论它的符号通一下分是吧？变成 t 的 三次方， 减 t 的 三次方是吧？然后减去二， t 加上六，这个时候你发现了什么？ 设上面下面一个是很简单的，主要是讨论上面的一个符号。我们一般说了，如果可以因式分解，就一定要进行一个因式分解，虽然说这是一个 t 的 三字方，但是他实际上是可以进行因式分解的。 如果我们比较敏感的话，你可以看出 t 等于一是它的一个是，是不是它的一个解？当 t 等于的时候，是不是它的一个解，那就说明它肯定有一项是什么 t 减一对不对？好，这个时候我们再用一下， 用除法的方思维来进行一下他的一个音式分解。之前我在那上一个视频，之前有一个视频也讲过这个方法，大家可以学习一下，面对这种三次形的进行一个音式分解是很好的。好，你想一下，这个是除， 用这个来除以 t 减一，我们先商，首先你要出现一个负四的负四的 t 的 三次方，我们是不是可以给它商一个负四 t 平方啊？是不是你商了之后，它这里就变成了一个两两项相乘，它们两个相乘， 这两个相乘，它就变成了一个负四的一个 t 的 立方减去加上一个四 t 的 平方，是吧？好，我们两相相减，上面减，下面就变成了一个负四的 t 平方，减二 t 是 吧？加六 减二 t 加六是吧？这个时候我们再来看有一个负四的平方，我们是不是再给他上一上一个负四，是吧？负四 t， 那你商完了之后是不是变成了负四 t 平方，加上一个什么？加上一个四 t， 我 们两相相减变成了负六 t 减六 加六，是吧？加六负六 t 加六，负六 t 加六的话，我们是不是直接商一个负六就行了？那这里变成了一个负六 t 加六刚好就等于零，那说明另一项是不是就是这一个？好，我们继续整理一下，是不是变成了 t 的 三次方？好，这里有一个符号，我们就给他提到前面去，是吧？提到前面去变成了一减 t 乘上一个四 t 平方，加上四 t 加六， 这个时候我们来讨论它的符号是不是就方便了？因为你 t 是 属于什么零到一的，那你下面这一项是大于零的，这一项肯定也是大于零的，是不是零到一一减 t 也是大于零的，是吧？哎，也就是说 h t 在零到一上是一个单调递增的，对不对？好，它的单调性我们确定了，那我们是不是进一步要确定它的一个端点值的一个范围？ 当 t 确定，当 t 趋近于零的时候，我们发现这一项是个长竖项，是吧？ 然后 t 这是等于零的，但是这两项是不是都趋近于富无穷的，是吧？当 t t t 趋于零的时候，那 h t 实际上就是一个趋近于富无穷的一个数，对不对？趋近一个富无穷的数， 不对，这里这样分析太草率了，应该是 t 减二减去 t 平方分之三，主要是它，那我们可不可以进行一个提一下，然后进行一下因子分解，它这里就变成了，是吧？然后这里变成了 减去三 t 分 之二，好吧？然后这里我们想一下啊，这里配一个九分之一，是吧？ 这里配一个九分之一，然后这里减去一个，就是减了一个九分之一，然后这里再加上一个三分之一，对吧？好，它里面就变成了一个 t 分 之一，减去三分之一的平方加上三分之一，好吧？这里 t 小 于， 这里 t 小 于零的时候，这里是不是就趋近于九分之一？哦，不是，不对，这里 t 趋于无穷，是吧？ 无穷的话，然后这平方还是无穷，但是他前面有个负号，所以是趋近于负无穷，对吧？那这里 h t 就是 趋近于负无穷，趋近于负无穷，就是这个意思，是吧？这样的，然后 h 零 h 一 时候，那 h 一 h 一 这地方带进来刚好就是一个 a 加上 a 减三，是吧？ a 减三，如果 a a 减三，这时候它的符号是不是就取决于 a 减三的一个符号？如果，那我们是不是应该分类进行一个讨论？ 分类进行一个讨论，第一种情况就是 这里 a 减三，如果是小于等于零的时候，也就是它这个图像是这样的， h t 的 一个图像是这样的，是吧？ h t 的 一个图像是这样的， a 小 于 a 减三小于等于零的时候，那就说明 h t 是 很小于等于零的，对不对？ h t 是 什么？ h t 实实际上是不是就是 g x 的 一个导数？ 那就是 g x 的 一个导数是小于等于零的，那说明什么？说明 g x 在 这个，在这个定义域里是一个单调递减的，是不是？好，也就说 g x 在 t 属于什么？等一下，缩小一下， 在 t 属于零到一的时候，它是一个单调递减的函数，它是单调递减的函数。 那我问你， g x 它是不是应该小于等于 g 零小于小于 g 零，因为它取不到零嘛？是吧？那 g 零等于多少？ g 零是不是就等于 f 零减去 sine 二乘上零就是 sine 零嘛？ sine 零是等于多少的？我们把 f x 的 函数解析是写到这儿， 它是等于 a x 减去 sine x 除上 cosine x 的 立方，对吧？好，这时候 f 零是等于，是吧？刚好就等于零，零减去 cosine 也是零减零是不是等于零？也就说 g x 它是单调递减的，它就小于 g 零小于零等于零，是吧？那这个时候是不是满足我们的条件？满足，提议 满足，那就说 a 小 于等于三是满足的。那第二种情况， 第二种情况， a 减三大于零的时候， a 减三大于零的时候，那这个函数也是变成了零到一，是吧？然后，呃，它是 a 减三大于零，假如是在这儿，那它这个函数应该是这样一种情况，那是不是必然存在一个 t 零？ 必然存在一个 t 零，是吧？存在 t 零属于零到一，在零到一之间，是吧？使得 这是什么？这个是 h t 是 吧？使得 h t 零等于零，是吧？那也就是说当 t 属于零到 t 零时， h t 小于零，是吧？那当 t 属于 t 零到一时， h t 是 大于零的，是吧？ 好，那也就是说当 h t 小 于零的时候，那实际上就是什么？实际上就是 g t g x 的 导数，是吧？ g x 导数小于零，那 g x 是 单调递减的，那这里是 g x 导数是大于零的，是不是得到 g x 是 单调递增的， 但是这个时候你 t 属于 t 零到一，那你 cosine x 的 平方属于 t 零到一，是吧？ 那你，那你是不是可以推出 必然是存在 x， 这个时候对应的导数的区间肯定是存在一个 x 属于零到 x 零的时候，是吧？那也就是说 x 属于零到 x 零的时候， g x 是 单调递增的，是吧？那你是不是就有 g x 要大于 g 零等于零呢？ 是不是这个时候必然存在一个 x 零这一个区间，使得 g x 是 单调递增的，那你单调递增的话，那你必然存在一个 g x 大 于 g 零大于零的，那你 g x 大 于零的，是不是就不满足提议了？ 不满足恒成立，是吧？那就不满足恒成立了，那说明当 a 大 于三的时候，是不是就不满足？那最后我们的结果是不是应该只满足 a 小 于等于三的时候 就可以了，是吧？好，我们这个地方我们再给同学们捋一下哈，你 t 属于 t 零到一，那你是不是括号 t 零到一，对不对？ 好，我们结合这个图像，它如果是根号，这应该就是根号，根号 t 零，是吧？你如果是属于根号 t 零的话，那你对应的 x 应该是属于零到 x 零，对，会零到 x 零这个地方，是吧？ 零到 x 零，这个时候它是一个单调递增的，那 x 属于 x 零到一的时候，这个函数是一个单调递减了，对不对？这是这样一个问题。 好，如，如果我们整体的来回顾一下这道题的话，它应该说是一个考点，就是什么三角函数的一个求导，然后这里比较复杂。然后另外的话，一个重要的思想是什么？就是换元，换元的思想， 换元，三角函数结合换元，同时我们换元的时候一定要注意，就是你的旧元和新元的一个对应区间，大家一定要把它做好。如果你你 之前你如果觉得不太好弄，你就画一个表格的形式，是吧？做一个表格的形式来把它搞清楚。 另外的话就是解决这种 f x 小 于等于一个函数 g x 的 一个横乘的问题，有两种方法，一个是分离参数，一个是整体讨论。我们这道题如果你分离参数的话，这个函数会变得特别的复杂，求导也特别的不好求，所以说我们采用一个一项整体讨论的方法， 整体讨论的话，我们是呃，求导之后，哦，你会发现这个符号不好判断，那我们当然是进行再一次求它， 这个是再一次求导的话，他有一个考点，什么就是三次函数的一个因子分解，利用我们这里大教大家的这种方法，教大家的这种方法来进行一个因子分解，好吧？用一个除法的一个思想来进行一个因子分解， 依次分解之后，然后还进行了一个一一个一个分类讨论，分类讨论的时候大家一定要结合塑形结合，然后把这道题搞清楚。好，这道题其实还是蛮复杂的，然后涉及的考点也非常的多，然后大家可以下来好好的消化一下。

家人们挖到宝了，这套河南五式异模数学直接打四颗星！题型不老旧，重思维轻套路，二轮复习刷它超合适！单选第六题，直接取古代数学加僧一行的鬼影算法，把三角函数的实际应用藏在传统文化背景里。 第七题看似是常规的等差数列结合，基本不等式求最值，上手门槛低，实则计算环节埋了不少坑。填空第十三题的概率统计题，稍微不留神就会掉进次品率的陷阱。审题一定要慢准、稳，别被外壳晃了眼。 第十七题例题几何题直接反套路出牌，没给方便。无脑间隙的规整条件，核心考察线面垂直的证明与二面矫正，斜直角解。不少同学习惯了拿到题就间隙死算，结果算到崩溃还拿不到分。平时练习时一定要回归几何本质，不能过度依赖间隙。 第十九题的折叠类压轴题，堪称全卷的点睛之笔，把圆周上的点折到圆外，定点轨迹直接就是一个双曲线。第二问直接把重心、内心面积范围结合到一起，综合性拉满。 这类基于定义的动态轨迹题型，绝对是二零二六年高考的热门考点，一定要彻底吃透，别等到考场才第一次见！

哈喽，大家好，我们来看一道三角函数的大体。第一问证明 a 方加 b 方等于二 c 方，然后他给了我们一个条件是扩散以二 a 加上扩散以二 b 等于两倍的扩散以二 c， 那 这里我们肯定是要用到二倍角公式，对吧？那扩散以二 a， 它是不是就等于 一减去两倍的 sine a 方，那 cosine 二 b 是 不是就是一减去两倍的 sine b 方，对不对？好，那 cosine 二 c 是 不是就等于二乘以一减去两倍的 sine c 方， 那我们给它整理一下，这里有个一，一，这里有个二乘一，那就有个二。所以说我们整理一下之后，就可以得到 两倍的 sine a 方，再加上两倍的 sine b 方，是不是就等于四倍的 sine c 方？ 那这里我们同时约掉个二，再用一下正弦定例，那我们是不是就可以得到 a 方加 b 方等于二 c 方。好，那第一位就证明出来了。再来看第二位，若 b 比上 c 等于 sine a 比上一个根号三，那我们求角 a 的 值， 那我们这里先想一下，我们是不是可以用下正弦定零，那 cosine 啊，不是用下余弦定零，那 cosine a， 它是不是就等于 b 方加 c 方，再减去一个 a 方，再除以个二 b c。 好， 我们第一问已经证明出了 a 方加 b 方等于二 c 方，我们第一问的条件可以放在第二位来用，对不对？因为这个结论我们已经证出来了，所以说我们就可以得到 a 方，是不是就等于两倍的 c 方减去一个 b 方，所以我们就有 cosine a， 它是不是就等于 把里面的 a 方替换掉，那就是两倍的 b 方，再减去 c 方除以个二 b c， 好， 那给他整理一下，二 b 方除以二 b c， 那 就是 c 分 之 b， 再减去 c 方，除以二 b c， 那 就是二分之一，再乘以 b 分 之 c。 好， 那 b 分 之 c 是 什么？是三 a 除以个根号三，那 b 分 之 c 是 c 分 之 b 是 三 a 除以根号三，那 b 分 之 c， 是 不是根号三除以个三 a， 那 我们给他替换掉它，是不是就等于 sign a 除以个根号三，再减去二分之一？根号三，除以个 sign a。 好， 那么给它合一起给它整理一下，那它是不是就等于 两倍？根号三 sign a， 然后分子上是 两倍的 sine a 方，再减去一个三，对不对？好，它是不是就等于一个 cosine a？ 那 我们把这个乘到左边去， 那就是两倍根号三乘以 sine a， 再乘以 cosine a， 是 不是就等于两倍的 sine a 方，再减去一个三， 那二三 a， 三 a 是 不是就等于一个三 a， 所以 左边就是根号三倍的三 a， 那 两倍的三 a 方是不是就等于 一减去 cosine 二 a， 对 不对？所以说那右边就是 负二，再减去一个 cosine 二 a， 那 么把 cosine 二 a 移到左边去，那就是再用一下辅助角公式，那就是二乘以 sine 二 a， 再加上一个 六分之派，他是不是就等于一个负二？所以三引二 a 加上六分之派，他是等于一个负一的？好，我们现在来看一下 a 的 范围，因为在一个三角形中，他 a 是 不是属于零到派？那二 a 加六分之派，他是不是就属于六分之派？ 到二派加六分之派，那就是六分之十三派，对不对？那要让三以二 a 加六分之派等于一个负一，所以二 a 加六分之派，它是不是就只能等于一个二分之三派？ 那也就意味着二 a 它是不是只能等于一个三分之四派？所以说我们可以得到 a， 它就等于一个三分之二派。好，那这道题就结束了。

这本高考数学真题一题多解，包括数列、三角、函数、立体几何、概率原理、曲线导数六大压轴专题，包含了高中数学的核心知识点和重要解析方法。 全书以高考真题为核心，深入剖析每一道式题的多种解法，精心筛选。高考真题具有代表性和针对性， 包含了高考数学的各个题型和知识点，每一道试卷都代表了一种典型的问题类型。通过一题多解，引导学生从不同的角度去思考问题， 打破思维定式，培养创新思维和灵活运用知识的能力，让学生不仅知道如何解题，更要明白为什么这样解题。通过对比不同的解法，发现各种方法的优缺点和适用场景。 每一种解法涉及不同的数学概念、定律和方法，能够更加深入理解数学知识之间的内在联系，构建更加完善的知识体系。强烈推荐这本书！

嗨，同学们，如果你想找一道题，能把三角函数的大部分公式和主流解法都能练到，那就是这道题目了。 那这道三角函数题目呢，设计的非常巧妙，从基础的代换到复杂的分类讨论，难度层层递进，完美的覆盖了从易到难的非常多的题型， 无论是从高一到备战高考，反复的做到了题目，都能够极大的提高你的思维能力，那我们一起来学习下吧。同学们可以先看一下题目，独立做一下，看你能做到哪一步。首先我们先看到这个式子看起来非常复杂，但其实我们第一步先干嘛先给他化简， 那遇到平方我就给他降个密，好，我们就得到一个这样的式子，降密公式。而 看到这个式子呢，它就是个平方差公式吧，它就等于扩散平方，减去三点平方。好，这样子我们就给它解出来了，再进一步给它进行化减。遇到 of 派，我们就给它用诱导公式吧，所以这里面特别注意，这里是加号，我们再进一步大胆的给它拆开， 把它再进一步化减，就会得到这样一个式子。那么我们还需要对这个地方熟练的给它拆开，把它再进一步化减，就会得到这样一个式子。那么我们还需要对这个地方熟练的掌握这个扩散二倍角公式。那这个式子它等于什么呢？它是不是就等于负的扩散 二 x 啊？好，所以这么一化解，它就等于二倍的三 x， 同学们，你们化解出来了吗？那我们再看第二问，已知文本杆是大零的， 并且呢，函数 y 等于 f， 文本杆 x 呢？它在这个区间，它是个单调递增函数，让我们求文本杆范围，这是典型求文本杆范围，提问吧，我们的方法都是一个重要的方法，什么呢？整体方法，我们先把这里面这个式子先带进去，看这个整体是在哪个范围，我们来写一下， 我们把这个 x 给它带进去之后呢，我们求出文本 x 范围在哪里呢？是在这个负二分派文本到三分之二派文本之间， 那么因为这里是一正一负，那是说明他必然是跨在我们标准图像当中的一正，我们先把这个整体的范围给他求出来，整体范围是在这个区间， 那么一旦你把这个函数里面看成个整体，它就是个区间，那么一旦你把这个函数里面看成个整体，它这样子画吧。 好，那么我们因为这里面他是有一正一负的，那是不说明这个图他的区间一定是跨在这我们标准图像当中的一正一负之间， 他不会到别的地方去再看一下，因为这个的绝对值是要比这个绝对值要大的，所以这个距离肯定是到圆点距离更远，那么只要因为他是要递增嘛，只要更远的距离，他要比 off 派要小，那么是不是他就是递增了， 那么就可以求出我们的范围了。那么还有一种方法，我们可以不用考虑他这个绝对值离原点的距离，我只要考虑什么呢？只要考虑这个负二分之派 omega 它这个大于负二分之派，而这个三分之二派呢？ omega 它就要小于等于二分之派，这样子也能解出来。我们再一起来看下第三问， 这个第三问这个柿子看起来非常复杂，是吧？先不要怕，先把它带进去再说。我们把这个柿子带进去发现，哎，其实它的形式是这样，形式看起来也并不那么复杂吧，那么我们第一步先带进去之后呢，先给他化了碱再说。化了之后得到这么一个柿子，有先加的形式，也有现成的形式啊， 那遇到这样的形式呢，我们就可以很快的，可想到什么呢？这个他们之间的三兄弟的关系，当如果说我设这为 t 的 话，那么我就可以把这个三 x 乘 cos x 也表达出来吧。所以我先第一步先给它换个圆，令这个整体等于 t， 那 么我们就会得到这个式子。 得到这个式子之后呢，我们再接着给他用一个负角公式，就等于根号二倍的散引 x 减去四派，那么再结合他的定域是在嗯，负四分到二分派之间，所以这个整体范围呢，就是在负二分派到四分派之间，再顺应结合一下，我们就可以求出这个 t 的 范围了，因为我们化完之后都一定要求化完之后定域吧。 那么求出这个 t 的 范围之后呢，我们接下来我们就要把这个 x 乘以扩散 x 用 t 的 表示，怎么表示呢？我把这个 t 给它平方一下， 再给它减个一，再除个前面加个符号，就得到我们这个三 x 扩大 x 了，同学们可以尝试推导一下。 那么所以这原函数呢，它也得到 g x 等于这个式子，那么所以转换成为正 g x， 这个函数在这个负根二到一之间的最大值是等于二，那么怎么办？ 那么接下来就要分类讨论了吧，那我们一起来分类讨论一下，那我自己给他写了一下，我们这里就给它转换成为了求 g t 在 这个负根二到一之间的最大值了， 那么这显然就是一个什么问题啊？这显然就是一个区间定轴动的一个问题，因为它开口是向下的，那么我们就要开始分论讨论了，当对正轴它等于二分之一，对正轴干嘛呢？对正轴它小于负根二的时候，那么它的最大值是不是就等于负根二把它带进去啊？ 把负根二带进去算去，带进去等于二，他算出来 a 是 等于这一个字，而 a 他 没有在我们这个范围之内，所以呢我们给他舍掉。那第二种情况呢？他是不是也就是当这个对准轴是在负根二到一之间， 那么最大值就是取到这个 g 的 二分之 a 八，同样的也把它带进去，就算出来这个 a 呢是等于四的，那这个四是要给它舍掉。还有一个另外答案， a 等于 four， 它是在我们这个范围之间，所以它留下来了。那么还有的情况呢？那它是不是就是当对等轴是大于一的时候，那么它最大值是不是就取到一啊？ 好，这样子，把它带进去，算出来 a 是 等于六的，那这样子呢？我们再综合的判断一下，就可以求出这个 a 是 等于六，所以我们最终再把这个答案给它中数一下，这样去求出这个它的范围了。 总结一下呢，这里面首先这第三问先，第一不要怕，先把这个式给它带进去化解，化解完之后呢，因为见到了这样一个式子， 这样一个三兄弟，对吧？那么我们就知一求二，我令这个式子为 t， 并且把这个 t 的 范围求出来之后呢，再把这个三 x x 也用 t 表达出来，那么转化成为求这个函数的最大值， 那么他就一个是一个区间定主动问题了，那么我就考虑他对准之后，在这个区间的三个区间分类也讨论一下，这个题就做出来了，同学们，这个题可以反复的去做一下，同学们，你们掌握了吗？那我们下次再见。