数学手抄报七年级第七章简单又好看

一条波浪线，两条波浪线，三条波浪线，四条波浪线，一条竖线，两条竖线，一个三角形，再画一条折线，一条，两条，三条，四条条直线。画文字框， 左边画完画右边继续画。画画画，画一个爱心，两个爱心，三个爱心。继续画几个五角星，五角星做装饰。你喜欢的数学小报完成，快去交作业吧！

大家好，今天我要给大家分享的是数学手抄报，生活中的大树，我选择的主题是从青岛 同行开到西安的过程中，生活中的大树。开车从青岛到西安，全程高速约一千一百八十四点七公里，用时十二小时四十九分钟，就等于 七百六十九分钟。我家车长四点八一二米，重一点四五吨，等于 等于一千四百五十千克，油箱可以盛的油是五十至五十一升， 如果开开开，开到半路没油了，我们就要去加油站加油，加油的呢，九二号汽油八点五三元每升，如果呢，如果是九五号汽油，九点一五元每升，我们车是用九五号汽油，这油箱按五十最多五十算， 就是九点一五元乘五十，我算的是这个如果要装满油的价钱，我们要乘 a 三二零飞机去西安，航线距离约一千一百公里，巡航速度八百公里每小时， 航班总时长两小时二十分钟，航线总耗油，也就是耗的油，把油弄没的 五十吨，等于六千二百五十升。然后呢，我们飞到西安，西安的著名建筑物是这个大雁塔， 高六十四点五一七米，始建就是开始建，在公元六百五十二年建的， 然后距离金钱有多少年？一千三百七十四年了。通过这个手抄报，我发现数学不再是数学书上的数字，而是生活中的小帮手。

简单又好看的小学数学手抄报，有榆树的出法，一看就会。

自从给娃买了这套万花尺七件套，再也不用为辅导作业抓头发了。最惊喜的是，完全不用教孩子，自己摸索着就能玩出花样，边画边开发想象力。孩子玩这个的时候，注意力都被牢牢吸引，玩得停不下来， 专注力不知不觉就提高了。一套尺子直接解锁 n 种技能，数学课上的几何图形、圆规、三角板都省了，咔咔几下就画出标准图形，周末做手抄报更绝不用。

九块九，三个绘画尺，四个模板尺，它不仅可以画各种数学图形，还有各种各样的手抄报图案， 还有孩子喜欢的万花筒，就是这套手抄报必备的尺子，画直线画虚线画角度全都能满足，也满足了数学课的要求，还能提升孩子的专注力以及想象力。边缘也是光滑安全的，而且厚实韧性大，不易折断。快给你家宝贝安排一套！

数学手抄报很简单，就用这本数学手抄报对应课本。课时，他把课本每单元知识点绘制成彩色手抄报，孩子边画边学边记忆， 黑白线稿直接凸色。更重要的是，每一单元的重点、难点都总结出来，孩子一目了然。牢记考点，孩子手抄报作业不再愁，预习复习都好用。

好的，我们来看一下旗下最基础的尺规作图之一，作一线段，等于已知线段，已知如图，线段 a b 作线段， a 撇 b 撇，使 a 撇 b 撇等于 a b。 这个时候呢，这个时候呢，我们可以先用直尺作一射线， a 撇 p。 然后再拿出圆规，以 a 为圆心， 截取 ab 的 长度，再以 a 撇为圆心，以 ab 的 长为半径，做一个小圆弧，这个时候与 a 撇 b 交于一点，就是 b 撇， 这个时候，我们就做出了 a 撇 b， 使它等于 ab。 已知如图，角 aob 做角 a 撇， o 撇 b 撇，使角 a 撇 o 撇 b 撇等于角 aob。 首先我们要知道，两个角的相等并不是它们射线的长度，而是角度的大小。那么我们做这道题的时候，可以先做一条射线， a 撇， o 撇、 b 撇。 然后呢，我们再拿出圆规，以 o 为圆心，任意长度为半径，做一条弧， 得到的这个点为 m 点，这个点为 n 点。然后我们再拿出圆规，以相同的 o 撇为圆心， 相同的长度就是 m o n o m 的 长度做一条弧， 做完这条弧之后，再用圆规截取，截取出 m n 的 长度， 在这里以 m 为圆心，嗯， m n 为半径做一条弧，这个点就是 n， 这个点就是 m。 连接 o 撇， 连接 o 撇 m 就 可以得到射线 o a。 那 么我们就做出了 a 撇 o 撇， b 撇等于角 a o b。 做完相等角之后，我们再来做平分线，已知角 aob， 求角 aob 的 平分线 o p。 我 们这个时候呢，拿出圆规， 以 o 为圆心，任意长度为半径画弧。这时相交于 o， a 和 o， b 于 m 和 n。 这个时候呢，再以 m 为圆心，任意长度为半径，做一个小弧， 再以 n 为圆心相等的长度做一个弧。 这个时候呢，我们就可以得到一点 p 连接 o p 就是 这个角 a o b 的 平分线。 我们再来看一下这种题型做已知线段的垂直平分线。首先要懂得垂直平分线的概念，就是一就是过这个线段 的垂直线，二这个垂直线把 ab 分 为两个完全相，长度完全相等的部分。好，我们来看一下这道题目 还要做 ab 的 垂直平分线，那么我们可以先以 b 为圆，以 b 为圆心 任意半径，注意这里的半径千万不能小于小于这个 ab 的 一半，要稍微大一点，在这里差不多。然后下面也来画一条， 再以 a 为圆心与刚相等的半径，则再画一条小圆弧，下面也是，这时就会出现两个点连接两个点， 这个就是 m n， 就 做出了 ab 的 垂直平分线， m n 已知直线 l， 直线 y 一 点 p 做过点 p 做做 l 的 垂线。首先我们以 p 为圆心，任意长度 为半径，做两个圆。还有这里注意，这里的半径一定要稍微大一点，确保他能在与 l 有 两个相交点，这样我们才能做出来接下来的这过 p 的 l 的 垂线。 我们设这两个与 l 相交的点为 m 和 n 的 点为圆心， 随机的半长度为半径，做做两个圆弧。注意这两个圆弧的半径要是相等的。然后呢，又可以得到一点 q， 设它为 q， 这时连接 p q， 就 做出了过点 p l 的 垂线。 我们再来看下这道题啊，这道题目跟刚不同的地方在于，这个点 p 位于直线 l 内，我们这个时候就可以直接拿出圆规，以 p 为圆心，任意 任意本长度为半径，做两个小圆弧交于 l， 这时就可以出出出现两个点 m n， 再以这两个点 m 和 n 为圆心，任任意长度为半径，做两个小圆弧交于一点，设这个点为 q， 连接 p q， 我 们就可以得到过 p l 的 垂线， 记得关注再走哦！

一套尺子教你画有趣的七巧板，超简单！尺子踏印圆圈画出标题框。尺子踏印七巧板拼出的房子 图形。尺子踏印七巧板拼出的小鸟。 尺子踏印七巧板拼出的大树。 尺子踏印大小圆圈画出太阳， 它印出三朵小花和花、金花叶。马克笔上色完成！

有趣的七巧板立体手抄报教程来了，下单后会提供这些图片，亲们可以根据自己情况选择打印。视频中展示的是彩图打印效果，一共需要打印三张图， 建议亲们选择打印黑白线稿图色后再剪贴，这样效果会更加真实，像自己手绘的。开始做之前咱们需要准备的工具，剪刀、泡沫胶。下面开始制作。第一步，把每个小图案剪出来。 二步，把小图案背面贴上泡沫双面胶，视频中用的泡沫胶是零点五厘米厚的，大家可以做个参考。 第三步，粘贴组装。可以先大致摆一下图案位置，然后再撕开泡沫胶粘贴就可以。 亲们也可以自己发挥一下创意，把七巧板图片像视频中的样子剪开，再把每个小图片背后贴上泡沫胶，然后先大致摆一下图案形状，再找一张纸贴到纸片上，使其成为一个完整的创意图案，再剪掉多余的纸片背景， 这样就可以贴到作品展示框里面。期待小朋友们可以摆出属于自己的创意作品。注意，这几个七巧板图片比较大，可以选择性粘贴几个，不需要完全使用完。 最后一起来看看成品效果吧！

解直角三角形的应用方位角问题 在之前的课程中，咱们已经学过锐角三角函数和特殊角的三角函数值了，接下来咱们说说与三角函数的应用有关的东西，它可是函数应用界的巨星啊！好了，废话不多说，来点实际的。 话说在数字盛行之下的今天，航海技术已经异常的发达了，不过高超的数字技术可是离不开锐角三角函数的。 什么？不信啊，我给你出个问题试试。如果你是一艘渔船的船长，外出深海捕鱼，现在正在深夜返航，回家的途中，通过卫星定位系统发现自身正处于 a 处， 恰好发现有一灯塔 c 在 北偏东六十度的方向上，你正在向东方向航行，行驶了九海里到达 b 处，此时看到灯塔 c 在 正北方向上，那么此时你与灯塔 c 的 距离是多少呢？ 好吧，运用咱们高大上的三角函数的知识来解决。 look u 提一，得角 b、 a、 c 等于三十度。在直角三角形 a、 b、 c 中，已知 ab 的 长度及角 b、 a、 c 的 度数，根据三角函数的知识就可以求得 bc 的 长。 我们知道三十度的正切值等于 b c 比 a b 可得 b c 等于 a b 乘以贪婪的三十度等于九，乘以三分之根号三，等于三倍根号三。 嗯，怎么样？很 easy 吧？什么？该休息了，嘿嘿，等会等会还没说完呢，咱们继续。 话说你已经开到了 b 点，突然发现在北偏东六十度的方向就是传说中的百慕大漩涡中心，咱们暂且用屁表示它。好了，该选我凶猛异常，方圆八海里之内的任何物体都会被吸入无底的深渊。 如果继续航行十二海里，到达途中地点时，会发现旋涡中心 p 在 北偏东三十度方向上。假如你依旧不改变航向，继续向东航行，会不会有生命危险呢？ 要想知道有没有生命危险，只需要看点 p 到直线 b、 d 的 距离若小于八海里，肯定是有危险的。大于或等于八海里，则没有危险。 咱们不妨来动手试试过点 p 做 pe， 垂直于 b d， 垂足为点 e。 如何求 pe 的 长呢？观察图形，我们可以将 pe 作为某个三角形的边来考虑， 不妨设 p e 为 x， 如果能表示出 d e、 b e 的 长，再结合 b d 等于十二海里，是不是就可以确定 x 的 值了？ look， 有 已知条件可得，图中的角 p b e 等于三十度，角 p d e 等于六十度。 这时候你会发现三角形 pde 和三角形 peb 都为三十度、六十度、九十度的直角三角形。下面分别在这两个三角形中，用三角函数就可以表示 d e 和 b e 的 长了。 number one， 在 直角三角形 p e、 d 中摊解的六十度等于 p e 比 d e， 即根号三等于 x 比 d e， 这样就可以表示出 d e、 d e 等于三分之根号三 x。 number two， 在 直角三角形 p e、 b 中，它的三十度等于 p e 比 b e， 即三分之根号三等于 x 比 b e， 求得 b e 等于根号三 x， 看来可以得到等式了。根号三 x 减三分之根号三 x 等于十二，计算得 x 等于六倍根号三，也就是 p e 的 长为六倍的根号三海里 六倍的根号三。这是多远呢？会有生命危险吗？嘿嘿，这个可难不倒我的注意哦，根号三约等于一点七三二，那么六倍的根号三约等于六，乘以一点七三二等于十点三九二， 十点三九二大于八。 ok， 没有危险，成功的解决了问题。 如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 a 处测得灯塔 m 在 北偏西三十度的方向上， 货轮以每小时二十海里的速度航行，一小时后到达 b 处测得灯塔 m 在 北偏西四十五度方向上。问，该货轮继续向北航行时与灯塔 m 之间的最短距离是多少？精确到零点一海里。根号三约等于一点七三二， 看来需要求的是点 m 到直线 a、 b 的 距离，我们可以过点 m 做 m、 d 垂直于 a、 b， 垂足为 d， 即要求 m、 d 的 长度。结合已知条件，发现很容易得到 a、 b 的 长度。用速度乘时间等于路程得到 a、 b 等于二十海里。 那么怎么求 m、 d 的 长呢？观察发现， m、 d 是 三角形 m、 d、 b 和三角形 m d、 a 的 公共边，而且这两个三角形都是直角三角形。 如果我们能用 m、 d 分 别表示出 b、 d 和 a、 d 的 长度，再根据 ab 的 长就可以求出 m、 d。 先看直角三角形 m、 d、 b 角 m b、 d 等于四十五度， m、 d 为四十五度角的对边。如何表示四十五度角的邻边呢？看来用四十 五度等于 m d 比 b、 d， 也就是一等于 m d 比 b d 得到 b、 d 等于 m d。 当然我们也可以根据三角形 m、 d、 b 为等腰直角三角形，两条直角边相等，也可以得到 b、 d 和 m、 d 相等。 好了，再看直角三角形 m d、 a 角 m ad 等于三十度，可以用三十度的正切来表示。 ad 得到 tan 值。三十度等于 md 比 a d， 即根号三比三等于 md， 比 a d， 得到 a d 等于根号三倍的 md。 这样问题就容易解决了。 a d 减 b d 等于 ab， 即根号三 md 减 md 等于二十，求得 md 等于十倍，根号三加十， 其中根号三约等于一点七三二代入求值。注意，最后精确到零点一海里可得约为二十七点三海里。 问题解决了，可得货轮继续向北航行时，与灯塔 m 之间的最短距离约为二十七点三海里。 如图，小鸟在港口 p 的 北偏西六十度方向，距港口五十六海里的 a 处，货船从港口 p 出发，沿北偏东四十五度方向匀速驶离港口 p。 四小时后，货船在小鸟的正东方向，则货船的航行速度是每小时多少海里呢？ a。 七倍根号二还里每小时 b。 七倍根号三还里每小时 c。 七倍根号六还里每小时 d。 二十八倍根号二还里每小时。 我们知道速度等于路程，除以时间，只要求出货船航行的路程就可以。 结合提议，四小时后，货船在小鸟的正东方向可以做点 a， 做东西方向的线，与北偏东四十五度的方向相交于点 b， 与正北方向相交于点 q。 也就是需要确定 p、 b 的 长度。 怎么确定呢？由于东西方向与南北方向互相垂直，即图中的 ab 与 p q。 垂直。 观察发现途中出现了两个直角三角形，三角形 a q p 与三角形 b q p。 并且这两个直角三角形中还有特殊锐角，六十度四十五度。 另外这两个三角形有一条公共直角边 p q。 思考一下，借助于 p q， 能不能将已知的 p a 与未知的 p b 联系起来呢？ 发现可以在直角三角形 a q p 中利用三角函数求出 p q 的 长度，再将 p q 的 长度放在直角三角形 b q p 中，就可以确定 p b 的 长了。 欧了，看题，在直角三角形 a q p 中抛散六十度等于 p q 比 a p 六十度的余弦值为二分之一，可得二分之一等于 p q 比五十六，求得 p q 等于二十八海里。 在直角三角形 b q p 中，借助于四十五度角的余弦值 cos， 四十五度等于 p q 比 pb， 四十五度角的余弦值为二分之根号二，可得二分之根号二等于二十八比 pb， 求得 pb 等于二十八倍根号二还里。 注意，这道题让我们求的是货船的航行速度，根据速度等于路程除以时间，可得速度为二十八倍根号二除以四等于七倍根号二还里每小时。所以正确答案应该为 a。 借直角三角形的应用测高现代社会，无数高楼拔地而起，纷纷开始争夺天下第一高楼的宝座，颇有欲与天公势比高的架势。但当有一座高楼屹立在你的面前时， 除了被他高耸挺拔、华丽外表吸引之外，是不是可以想想其他更深层次的问题呢？比如他有多高？今天教给大家一种测量高度的方法，那就是利用借直角三角形测高。首先引进一个新的仪器，测角仪 在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角。从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角，侧角移就能帮助咱们得到仰角和俯角的度数。观察高楼的顶端 阳角是六十度，并且侧角移高一点五米。距离高楼五十米，这座楼的高度该怎么计算呢？咱们先将它抽象成几何图形，标上字母后，形成一个直角梯形 a、 b、 c、 d。 但是根据这几个已知条件，还是无法计算楼高 c、 d 怎么办呢？再来看看这个阳角， 那条线就是水平线，它是与地面平行的，因为楼与地面互相垂直，那水平线与高楼也互相垂直，这时就能构成一个直角三角形和一个矩形。但是做辅助线要正规哦， 所以就要过点 a 做 a、 e 垂直 c、 d 与点 e， 此时楼高 c、 d 等于 c， e 加 d e。 由于矩形对边相等， c、 e 等于 ab， 等于侧角移的高一点五米， 那么只要求出 d、 e 的 长，就可以求出楼高了。观察图形 d、 e 是 直角三角形 a、 d、 e 的 直角边，而 a、 e 等于五十米角 d， a、 e 等于六十度，根据锐角三角函数弹进它角 d， a、 e 等于 d， e 比 a、 e 积碳积的六十度等于 d， e 比五十，等于根号三，所以 d、 e 等于五十倍的根号三米， c、 d 等于五十倍的根号三加一点五，因为根号三约等于一点七三二， 所以 c、 d 约等于八十八点一米，这座楼的高度就是八十八点一米喽。 可见，在利用直角三角形侧高时，仰角和俯角发挥着重要的作用，借助它们构造直角三角形，咱们除了可以利用解直角三角形来求出楼高，还可以求出另一种高度。 想象一个场景，假如我现在乘坐热气球，正在遨游世界，途经一处造型奇异的建筑迪拜塔，据说它有八百二十八米高，那我现在飞了多高呢？ 数学思维瞬间开启，仍然把热气球的高和迪拜塔看成两条线段，分别为 m n 和 p q。 在 热气球上，用侧角仪观察迪拜塔顶端 p 点俯角为三十度，观察底部 q 点俯角为四十五度。 如果要利用解直角三角形求得，就要先构造直角三角形了。为了充分利用这两个辅角，咱们过点 m 做 m h 垂直于 q p 交 q p 的 延长线于点 h， 那 直角三角形 m h p 和等腰直角三角形 m h q 就 出现了， 并且四边形 m n， q h 又是正方形。在图中， m h 等于 m n 等于 h， q 等于 hp 加 p q， 所以 求出 hp 的 长度就可以求出 m n 了。 不妨设 hp 等于 x， 那 m h 等于 m n 等于 h， q 等于 x 加八百二十八， 在直角三角形 m h p 中探进它角 h m p 等于 h， p 比 m h， 即探进的三十度等于 x， 比 m h 等于三分之根号三，所以 m h 又等于根号三。 x 由 m h 的 长度列出方程 x 加八百二十八等于根号三倍 x 解方程得 x 等于四百一十四倍的括号，根号三加一。所以热气球飞行的高度 m n 等于八百二十八加四百一十四倍的根号三加四百一十四，等于一千二百四十二加四百一十四倍的根号三米 保留的个位约等于一千九百五十九米。不管是求楼高、旗杆高，还是飞机飞行高度，咱们都可以利用解直角三角形的方法 在实际问题中构造直角三角形，利用锐角三角函数确定各边之间的关系，从而求得高度，这就是解直角三角形的应用。 测高要想知识掌握好，课后练习不能少。小黄同学用仪器测量一棵大树 a、 b 的 高度，在 c 处测得角， a、 d、 g 等于三十度，在 e 处测得角 a、 f、 g 等于六十度， c、 e 等于八米。 仪器高度 cd 等于一点五米，则这棵树 ab 的 高度是多少呢？注意，结果，保留两位有效数字，根号三约等于一点七，三二， a 六点九， b 六点九三 c 八点四， d 八点四。三 解，根据题意得四边形 d、 c、 e、 f、 d、 c、 b、 g 是 矩形，所以 g、 b 等于 e， f 等于 c， d 等于一点五米， d、 f 等于 c， e 等于八米。设 a， g 等于 x 米， g、 f 等于 y 米， 在直角三角形 a、 f、 g 中， tangent 角 a、 f、 g 等于 tangent 六十度等于 a， g 比 f， g 等于 x， 比 y 等于根号三。 在直角三角形 a、 d、 g 中， tangent 角 a、 d、 g 等于 tangent 三十度等于 a， g 比 d， g 等于 x， 比 y 加八等于三分之根号三连立。这两个等式 可得一个关于 x、 y 的 方程组，由此就能求出 x、 y 的 具体值。解得， x 等于四倍，根号三， y 等于四，所以 a、 g 等于四倍，根号三米， f、 g 等于四米，所以 ab 等于 ab 加 g， b 等于四倍，根号三加一点五， 将根号三的值代入。注意，结果，保留两个有效数字，约为八点四米，故选 c。 如图，要在宽为二十二米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯 b、 c、 d 长两米，且与灯柱 b、 c 成一百二十度角。 路灯采用圆锥形灯照，灯照的轴线 d、 o 与灯 b、 c、 d 垂直，当灯照的轴线 d、 o 通过公路路面的中心线时，照明效果最佳。此时路灯的灯柱 b、 c 高度应该设计为多少米呢？ a。 十一减二倍，根号二米 b。 十一倍，根号三减二倍，根号二米 c。 十一减二倍，根号三米 d。 十一倍，根号三减四米。 从图上看，这里出现直角的四边形，可以延长 o、 d、 b、 c 交于点 p， 构造出相应的直角三角形。 题目说了， o、 d 垂直于 c、 d。 角 b、 c、 d 等于一百二十度，那么角 p 等于角 b、 c、 d 减角 p d、 c 等于一百二十度，减九十度，等于三十度。 同时咱们又知道，角 b 等于九十度， o、 b 等于十一米， c、 d 等于两米。那在直角三角形 c、 p、 d 中， d、 p 等于 d、 c 除以三角的三十度，等于二倍，根号三米， p、 c 等于 c、 d 除以三三十度，等于四米。又因为角 p 等于角 p， 角 p d、 c 等于角 b 等于九十度，所以三角形 p、 d、 c 相似于三角形 p、 b、 o 对 应边九乘比例，即 p、 d 比 p b 等于 c， d 比 ob， 所以 p、 b 等于 p d 乘以 o， b 除以 c、 d 等于二倍，根号三乘以十一，除以二，等于十一倍，根号三米。所以 b、 c 等于 p b 减 pc 等于十一倍，根号三减四米，故选 d。 投影 说到投影，人们可能会想起教室、会议室里面的投影仪，没错，这的确利用的是投影原理。其实除此之外，还有很多能看到投影原理的地方，比如看电影，就是胶片的影像，投到荧幕上 乘凉，就是待在树的影子下面，甚至在遥远的古代，走在汉朝，中国人就发明了利用投影原理的娱乐形式，皮影戏就是驴皮、兽皮的小影，人的影子投在幕布上，加上声乐、器乐的配合，就形成了最早的动画。 是不是有点意想不到呢？说了这么多，我们来看看历史悠久的投影究竟是怎么回事呢？先有光才有影，白天太阳下我们看到的影子是这样的， 根据物理中的光路可逆，我们反着把光线画出来，会惊喜的发现，光线居然是平行的，哈哈，就叫平行投影吧。 数学家就这样简单粗暴的定义了自然界一个伟大的现象，渐渐的，人们发现晚上和早晨自己的影子比较长，中午比较短。这也太神奇了， 聪明的人们利用这个制造了当时世界上沿用数千年的精确计时工具日鬼。早在三千年前的中国，甚至更早的六千年前的古巴比伦就已经开始使用这个家伙了，它就是利用中间的时针，在日鬼刻度盘上留下的影子确定时间的。 然而到了晚上，路灯下是这样的，不同的物体产生了不同的影子。 根据光路可逆原理，我们反着把光线画出来，会发现它们相较于路灯的灯泡，很显然，光线都是从路灯灯泡发出的，起源于一个点， 这样的投影被称之为中心投影。我们还会发现，即便是同一物体，在路灯下的不同的位置，影子也是不一样的，有什么变化呢？距离路灯越远，影子越长，这个你画个图就能很轻松的明白其中的原理。 好了，我们来梳理一下两种投影的区别与联系。平行投影光线是平行投射的，比如太阳光、探照灯以及一些激光光源，都能近似看成是平行光源。 平行光源所形成的投影称之为平行投影。如果平行光线与投影面垂直，那就是最为特殊的正投影，其他的平行投影都是斜投影。平行投影有一点非常特殊，就是当物体与投影面平行时，物体与投影全等 中心投影光线是由同一个点发出，比如路灯、手电筒、台灯、吊灯等都可以看成是点光源，这样有点光源形成的投影叫做中心投影。 中心投影中，当物体与投影面平行时，物体与投影是类似的。无论是平行投影还是中心投影，它们都是投影的一种，并且都能根据无敌的光路可逆原理找到光源方向，甚至是光源确切位置，这就是投影 中心。平行看光源物体投影，想在前方路可逆找根源方向位置不再烦。下面四幅图形中表示两颗圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是哪一个？ a、 b、 d 我 们知道太阳光线可以看成平行光线，所以在同一时刻，两棵树在阳光下的影子是平行或在同一直线上，且方向也相同。观察图可以排除 b、 c 两项。 还有一点我们要注意的就是在同一时刻，物体高度与它隐藏的比值相同，很容易确定正确答案为 a。 如图，王华晚上由路灯 a 下的 b 处走到 c 处时，测得影子 c、 d 的 长为一米，继续往前走三米，到达 e 处时，测得影子 e、 f 的 长为两米，已知王华的身高是一点五米，那么路灯 a 的 高度 ab 为多少米？ a 七、 b 八 c 六、 d 十、如图，当王华在 c、 g 处时，因为 c、 g 平行于 ab， 所以 直角三角形 d、 c、 g 相似于直角三角形 b、 b、 a。 可得 c、 d 比 b、 d 等于 c、 g 比 ab， 其中 b、 d 与 a、 b 的 值未知。当王华在 e、 h 处时，因为 e、 h 平行于 a、 b， 所以 直角三角形 f、 e、 h 相似于直角三角形 f、 b、 a 可得 e、 f 比 b， f 等于 e、 h 比 a、 b， 其中 b、 f 与 a、 b 的 值未知。结合题意， c、 g 等于 e、 h 等于一点五米， c、 d 等于一米， c、 e 等于三米， e、 f 等于两米。 发现，如果我们设 a、 b 的 高度为 x 米， b、 c 的 长度为 y 米由一可知一比一加 y 等于一点五比 x， 由二得二比五加 y 等于一点五比 x， 我 们很容易得到一。 一比一加 y 等于二比五加 y。 解这个分式方程，得 y 等于三，咱们最终要求得 a、 b 的 高度，也就是 x 的 值，可以将 y 的 值代入一比一加 y 等于一点五比 x， 得到一比 一加三等于一点五比 x， 求得 x 等于六，即 a、 b 等于六米，所以路灯 a 的 高度为六米。答案为 c。 三式图的应用 对于几何体，我们知道，通常用三式图来表示其外貌形状，也就是从正面看的主式图，从左面看的左式图，从上面看的俯式图。 三式图这个知识点跟三很有缘，不仅是因为其名字中包含有三，其对应的题型也分为三类。 第一类，有几何体。判断三式图，这类题型要求我们必须掌握基本几何体的三式图，例如圆柱体、主式图和左式图都为长方形， 俯视图为圆形， 而正方体三式图为大小相等的正方形。 其他基本几何体我们就不一一赘述了。那要是把基本几何体组合在一起，其三式图怎么观察呢？比如一个圆柱和一个圆锥并排放在一起，两者底面相同，圆锥高度为圆柱的一半。 嘿嘿，主视图自然就是他们各自主视图的组合，一个长方形和一个等腰三角形，很明显，这两个图形的高度是二倍的关系，不过底边的长度相同，都为圆底面圆的直径长。 再来看左视图，显然会发生遮挡的情况，圆锥在圆柱的后面，此时圆锥的左视图线条要用虚线来表示，虚线表示不能直接看到的边。 至于俯视图，显然又是两个几何体各自俯视图的组合，注意两个圆的大小是相同的。 简单来说，组合体就是把各自几何体的三式图按比例关系组合到一起，这里要特别注意遮挡的情况。 如果说上面第一类是分辨三式图，那么下面第二类要比上面更进一步，那就是作三式图。基本几何体的作图我们就不说了，来看这样一道题， 如图是用过正方体上面的对角线和下面一顶点的平面， 将正方体截去一个三棱之后得到的几何体，请在图中补全他的三式图。本题对于空间想象能力是个考验，多了一个三角形的截面之后，其三式图是否需要在正方形的轮廓上画三角形呢？ 我们先从主视图入手，从正面看，虽然三角形的三边都可以被看到，但是要注意此时三角形上面的边和后面的正方体的棱，从正面看，它们是重合的，所以不需要再次画出。同理，三角形右方的边也是如此，不需要画出。 而三角形最前面的边是斜侧方向的，那么从正面看，就是正方形轮廓的对角线，从左上到右下，主视图完毕， 接着考虑左视图。跟刚才同样的分析，显然三角形这两条边是不需要再次画出的，因为它们和其左侧的棱重合了， 而三角形右方的这条边，从左面看是斜侧的，由左上到右下，所以需要画出。注意，这条边从左面是不能直接被看到的，所以它是要用虚线的。 至于俯视图吗？跟之前分析的方法差不多，只需要画出三角形上面的这条边来，从左下到右上，我们就不详说了。 最后第三类，由三式图判断几何体。比如这是一个几何体的三式图，那这个几何体是啥呢？很明显就是一个长方体啊， 从三式图判断几何体， so easy 有 没有？作为九年级的老大哥，咱得追求有深度、有内涵的复杂组合题问题，比如小正方体堆叠问题。 我们来看这道题，若图是由几个相同的小正方体搭乘的几何体的主式图和俯视图，则搭乘这个几何体的小正方体的个数最少是几个呢？ 本题中只给了主式图和俯视图，需要由这两个图形条件判断几何体的大概形状。对于这种类型的题，我们往往由俯视图入手， 因为俯视图是四个小正方形组成的填字型，那么可先判断出堆叠的几何体的最下面一层是四个小正方体，如图这样组成。 而有主视图可以看出此堆叠几何体有上下两层，刚才已经确定了下面一层，那么上面一层为什么样子呢？由于主视图上面一层有两个正方形，那么意味着在几何体上层，从正面看，左右两边至少各有一个小正方体， 当然也可以跟下层一样存在四个小正方体。但本提问这个几何体最少有几个小正方体，那么最少的情况就是上层有两个正方体，当然情况不唯一，此时整体有六个小正方体是最少的情况。 好了，扯了这么多，对于三式图方面的题，重点还是要有强大的空间想象能力，切记不可以死记硬背图形。 从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形 a、 b、 c、 d 为矩形， e、 f 分 别是 a、 b、 d、 c 的 中点。若 ad 等于八， ad 等于六，则这个正六棱柱的侧面积为多少？ a 四十八倍，根号三 b 九十六 c 一 百四十四 d 九十六倍，根号三。 我们知道正六棱柱的底面为正六边形，侧面为六个全等的矩形的高宽为底面正六边形的边长 结合。提议 a、 d 等于八，可知侧面矩形的长为八。要确定侧面几，需要求出底面正六边形的边长就可以了。怎么求呢？注意这里的 a、 e 的 长度是底面正六边形的边长吗？ 显然不是，这是从某个方向看到的平面图形。要确定正六边形的边长，可以结合正六棱柱的俯视图来考虑， 如图结合题， e 点 e 为 ab 的 中点，且正六边形为轴对称图形，可得图中的一撇。 e 垂直平分 a、 b， a、 b 垂直于正六边形的两条对边 a、 m、 b、 g。 我 们知道正六边形每个内角为一百二十度，可得角 e， a 一 撇等于角 e、 b 一 撇， 这样可以在直角三角形 a、 e 一 撇中有锐角三角函数的知识得。 cos 三十度等于 a， e 比 a 一 撇，我们知道 cos 三十度等于二分之根号三，即二分之根号三等于三比 a 一 撇， a 一 撇等于二倍，根号三。所以侧面每个句型的面积为二倍，根号三乘以八等于十六倍，根号三。正六棱柱的侧面积为十六倍，根号三乘以六等于九十六倍，根号三，故选 d。 如图是一个几何体的三式图，则这个几何体的全面积是多少？ a。 十四派 b。 二十四派 c。 二十六派 d。 三十六派首先需要结合三式图确定几何体的名称， 观察主式图与左式图，发现是全等的等腰三角形。俯视图为圆形，且含有圆心， 根据这些特点断定几何体为圆锥。然后考虑求圆锥的全面积，也就是表面积。可以将圆锥的全面积分成两部分考虑，一个为底面圆的面积，一个为侧面展开后扇形的面积。 底面圆的面积如何求呢？结合图中给出的数据，等幺三角形底边的长即为圆锥底面圆的直径，所以半径就为二。 根据圆的面积公式，可得 pi 乘以二的平方等于四 pi。 那 么侧面展开后，扇形的面积怎么求？ s 等于 n， pi r 的 平方除以三百六十，其中 n 是 扇形一度圆心角的倍数， r 是 扇形的半径，也就是圆锥的母线长。结合提意，发现 n 不 容易求得。看来我们需要转换一下思路了。 扇形的面积与弧长有一定的关系， s 等于二分之一 l r， 其中 l 是 扇形的弧长，也就是圆锥底面圆的周长为四派。 另外， r 也是已知的为五，可以求得扇形面积 s 等于二分之一乘以二派，乘以二乘以五等于十派。 这样我们就求得了圆锥的全面几四派加十派等于十四派。好了，问题解决了，故选 a。 长岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。这首被誉为经典，可是这里我不得不告诉你一个秘密，这其实是对苏轼， 一个数学学渣的真实写照。即使苏轼真的不在此山中了，他仍然是不识庐山真面目，除非他能坚持到现在，坐个飞机看看庐山就一目了然了。 不过，怎样看清庐山真面目呢？我们每次看到物体的时候，只能从一个角度，所以难免被蒙蔽，况且眼睛看到的也不一定是真实的写照。 看，这是什么？环形手镯还是盘子？这又是什么呢？梯形？这又是什么？还是梯形？如果我告诉你上面三个图片是同一个物体不同角度的写照，那你应该猜到了吧？对了，就是杯子。 我们从单一角度看物体的时候，很难想象到物体的全貌，所以人们开始研究最少得几个角度才能基本认清一个物体的全貌呢？对于一个简单规则的几何体而言，只需从三个面去看就够了，例如这个长方体， 前后一样取从前面看的就够了，是长方形。左右一样从左边看就够了，是正方形，上下一样从上面看就够了，是长方形。于是数学家又来了精神，使出惯用大招，规定 数学家用三个互相垂直的平面，例如墙角处的三面墙壁作为投影面，其中正对着我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面。 一个物体，比如就是一个正方体吧，在三个投影面内同时进行正投影，用正投影的方式汇聚的物体在投影面上的图形，称之为物体的仕图，其实就是人们从正前方、正左侧、正上方看到的图形。 从前面看，在正面内得到的由前向后观察物体的仕图，被称之为主仕图，这个自然是人们最习惯的仕图角度了，所以才叫主仕图。 从上面俯看，在水平面内得到的由上向下观察物体的仕图，这个叫做俯视图，这个不难理解，俯看自然是俯视图，从左面看，在侧面内得到由左向右观察物体的仕图，就是左仕图了，这个就更好接受了。 正方体在三个方向的是图，都是正方形，太简单了，换一个几何体。我们来看看下面这个物体。主视图就是从前面看到的，只能看到三个方块的前面 三个小正方形组成的反 l 形状。那左视图呢？从左面只能看到每一层最左边的小方块的左侧面就是两个小正方形上下组合成的长方形。 俯视图和左视图类似，也只能看到每一竖列最上面方块的顶面也是两个小正方形组成的长方形，这就是三式图的直观认识。但是规范的三式图应该是这样画出来。一般情况下，主视图在左上的位置， 左视图在主视图的右侧，俯视图在主视图正下方。这里有着数学家独有的严谨要求。 记住三大口诀，在仕途领域就能横扫江湖。主仕图与俯视图的长必须完全相等，在这个图里面，都等于两个小正方形的边长， 这是江湖上广为传送的长对正。做图时，只要主仕图与俯视图左右对正，这个很容易实现。主仕图与左仕图的高必须完全一致，在这里都等于两个小正方形的边长， 只要主视图与左视图上下对齐，就很好实现了。这就是江湖上流传的高平齐。 左视图与俯视图的宽必须相等，这个如何实现呢？圆规刻度尺，根据小平同志的伟大刚领，黑猫白猫抓住耗子的就是好猫。只要能把左视图与俯视图的宽画成相等的，就万事大吉了。不管你用什么工具， 这个解决方案就留给聪明的你了，这就是大名鼎鼎的宽相等。自此，试图三大口诀全面浮出水面。长对正、高平齐、宽相等。根据口诀，赶紧闭关修炼吧！图是用五个能长为一厘米的小立方块搭成的几何体， 请画出从正面、左面上面看得到的图形。认真观察这个几何体，从正面看，发现有三列两行小正方形构成，每列小正方形的个数从左往右依次为二一、一。 每行小正方形的个数从下往上依次为三一。所以，从正面看得到的图形为， 从左面看，由两列两行小正方形组成，每列小正方形的个数从左往右依次为二、一，每行小正方形的个数从下往上依次为二、一。如图， 从上面看，有三列两行小正方形组成，每列小正方形的个数为一、二、一，每行小正方形的个数分别为一、三。所以，从上面看得到的平面图形为 我们用小正方来搭建一个几何体，使它从正面看和从左面看得到的形状如图所示。 一、加这样的一个几何体需要多少个小正方体？二、试着画出几种从上面看到的形状，并在相应的形状图中标出各个小正方形所在位置的小正方体个数。 好了，咱先看第一问，由从正面看到的形状图可以看出，几何体从左到右共三列，第一列最多两层，第二列最多三层， 第三列最多一层。再由从左面看到的形状图可以看出，几何体从左到右共两排，第一排最多三层， 第二排最多两层。看来这样的几何体不为一。那最多需要多少个小正方体，最少又需要多少个呢？ 能确定这两个数值，才能得到需要小正方体的所有可能个数。先来考虑最多需要多少个，咱可以将从上面看到的形状图做出来分析， 发现，当这六个位置上都有小正方体，并且每个位置上考虑最多能放的数量时，得到的即为最多需要小正方体的个数可以得到为十一个。 那最少需要多少个呢？在保证从正面看和从左面看得到的形状图成立的前提下， 可以将这幅图中的左上角和右上角及下中间位置的正方体去掉，得到如图所示的形状图，看来最少要六个正方体， 这样第一问就解决了。要搭这样的一个几何体，需要六个、七个、八个、九个、十个、十一个小正方体均可。 要解决第二问，咱可以根据第一问的分析画出所有可能情况，如下图，注意对应位置放置正方题的个数，用数字标出。

这是一道期末月考真题，百分之九十的孩子都无从下手，我们一起来看看他究竟难在哪里？一起来看已知正数 a、 b、 c、 d 满足 a 的 四次方，加上 b 的 四次方，加上 c 的 四次方，等于四倍的 a、 b、 c、 d。 让我们去证明 a 等于 b 等于 c 等于 d， 也就是去证明这四个数的数量关系是相等的。 那么在判断数量关系的方法中，有一种非常重要的方法叫做作差比较法，我们一起来回顾一下。 魏魏老师已经把整式乘法常用公式、拓展公式、知二退二配方法以及组元法等进阶方法整理成了整式乘法专项训练，孩子练完考试直接拿满分，需要的家长我发零一分，也就是当 a 和 b 做差做差后的结果同零比较。 当 a 减 b 大 于零的时候，我们就说 a 大 于 b。 当 a 减 b 等于零的时候，我们就说 a 等于 b。 当 a 减 b 小 于零的时候，我们就说 a 小 于 b。 那 这道题是要我们去证明它们的数量关系是相等的，所以呢，我们只需要去证明 a、 b、 c、 d 两两组合作差的结果都等于零。 回到题目中给出来的条件，等式等式的左边呢，是四个字母的四次方哎，我们可以把它理解为高次型的平方向， 等式的右边呢，是四个字母的乘积，我们可以把它理解为中间项。所以这道题的核心考点呢，就是需要我们去通过配方法去构造两数差的完全平方式，因此呢，我们来对它们进行配方。 等式的左边是四个平方向，那我们需要对它们进行分组，每两个为一组，然后再给它们配上中间项。那这个时候，我可以把 a 的 四次方和 b 的 四次方分为一组， c 的 四次方和 d 的 四次方分为一组。 先来对第一组进行配方， a 的 四次方和 b 的 四次方，我们给它配上中间项，那就是负二倍 a 平方， b 平方，这三个在一起凑成了一个完全平方式。接下来 配第二组 c 的 四次方和 d 的 四次方，我们同样给它配上中间项，那就是负二倍 c 平方 d 平方，这样 中间这两项是我们配进去的。因此呢，我们还要在后边给它加上二倍 a 平方， b 平方，加上二倍 c 平方 d 平方。 等式右边这一个呢，给它移到等式的左边，减去四倍 a、 b、 c、 d 等于零。来这三项，我们可以利用完全平方公式，把它表示为 a 平方，减去 b 平方这个整体的平方。 来这三项，我们可以利用完全平方公式，把它表示为 c 平方，减去 d 平方这个整体的完全平方。然后呢，给它提取公因式二，就变成了 a 平方， b 平方减二倍 a、 b、 c、 d， 再加上 c 平方 d 平方。这样 这三项呢，又构成了一个新的完全平方，是首平方尾平方乘积的二倍在中央。因此我们就可以得到 a 方减 立方，这个整体的平方加上 c 方减地方，这一个整体的平方再加上二倍 a、 b 减去 c、 d， 这一个整体的平方等于零。那到现在我们就完成了配方，出现了我们熟悉的零零结构。 哎，这三个非负数的和为零，那只有让他们三个同时为零，因此我们就可以得到 a 平方减 b 平方等于零的同时， c 平方减 d 平方也等于零， ab 减 cd 同样等于零。接下来看 a 平方减 b 平方。利用平方差公式，我们可以把它表示为 a 加 b 的 和乘以 a 减 b 的 差等于零。 因为 a、 b、 c、 d 它们都是正数，所以 a 加 b 呢，也是一个正数， a 加 b 不 可能为零，那就只有 a 减 b 为零，因此呢， a 等于 b。 同样的道理， c 方减地方，我们可以用平方差公式把它表示为 c 加 d 乘以 c 减 d 等于零，而 c 加 d 呢，它是不可能为零的，所以只有 c 减 d 等于零，同样可以得到 c 等于 d， 这样 a 等于 b， c 等于 d， 我 们就可以把它带入到最后一个等式当中，可以得到 a 方减 c 方等于零。同样用平方差公式得到 a 加 c 乘以 a 减 c 等于零， a 加 c， 它是一个正数，不可能为零。只有 a 减 c 等于零，我们就可以得到 a 等于 c， 这样 a 等于 b， c 等于 d， a 又等于 c， 所以 a、 b、 c、 d 都是相等的，这样我们就证明到了结论， ok， 同学们，你们学会了吗？关注微微老师，学习如此简单！