长沙八下几何压轴题

啊，因为今天是那个初二的班，新开的班是我们正儿八经人到齐，是第一次课吧。上来就跟你们讲，四边形、三角形综合是有点难的，但这种题我们看一下怎么做啊？正方形 a、 b、 c、 d 对 角线 a、 c、 b、 d。 啊，正方形的对角线有什么特征啊？读题的时候它是不是相互垂直且平分呐？对吧？ 与点 d， a、 e 平分，角 c， a、 d 看到这个平分，是不是要想到角平分线定里？当然这个不一定要用得上啊，但我看你们做半天，刚才是不是都没有人去想到找这两个角的关系啊？角 d、 a、 c 现在是多少？谁告诉 我是不是四十五度啊？啊？ a、 c 是 不是四十五嘛？ 正方形的对角线分出来的角，正方形的对角线除了互相垂直且平分之外，他还怎么？他还平分这个矩形的那个角吧，就正方形的那个顶角吧， 所以这个角现在角一角二，那你看那个角平分线是什么意思？你们告诉我角一等于角二等于多少？ 好，你们都没往这个地方想，然后他是过一做 e、 f 垂直于 a 一 吧。 你们刚才有人想到了那个连接 a、 f 很好，你去想它是不是等腰直角，因为你想到了我的一句话，刚才就是我说找直角三角形，找等腰三角形， 找等边三角形，有一个相同的直角，你把它连起来，你说构造等腰直角，这是可以的，对吧？可能是，但是有个问题，就是这条边你不好求吧，那你要怎么正它们两个相等呢？你是不是就得正？这里是四十五度 是吧？你得正这个也是四十五度，那这样呢？又涉及到一个很麻烦的东西，能不能正？能正？刚开始学平行四边形和三角形，我们新学期初二下，我没有跟你们讲这个东西，对吧？那我有没有别的办法把它转化一下，其实也是有的啊， 他说 e、 f 垂直于那个 a、 e 吧，我们先不管它现在角一，角二是二十二点五，对不对？你们告诉我这个角是多少，那个 a、 b、 d 是 多少？ 这里呢？所以角 b、 a、 e 等于多少？ 没人去想这个问题是吧？好，你刚才把它连起来， a、 f 连起来是为了找 a 一 等于 e、 f， 对 不对？这个思路可以找到之后，你看 a 一 在哪个三角形里， a、 d 吧， e、 f 在 哪个三角形里，看图，他们是好像是有可能全等的吧，是不是啊？所以你是不是要去找这个关系啊？我们再来读题，他现在说 a、 e、 f、 b 是 面积是一， 那么现在他要求 c、 d、 c、 d 是 正方形的边，我们只需要找到 a、 b、 c、 d 的 面积吧，而且这个题我们可以推断，应该这个四边形和 a、 b、 c、 d 的 存在某种关系吧。 那我们来观察它一下，它除了切成你讲的 a、 b、 f、 a、 f、 e 之外，它还可以怎么分？现在是不是已经分好了 a、 e、 b 和 e b、 f， 那 个 a、 b、 f、 e 这个四边形的面积我们不会求，但是两个三角形我们是可以考虑求的吧？ 那我们来看啊，这里现在这里四十五，这里二十二点五，六十七点五，这里四十五，你们有没有人去想这个 b、 e、 a 是 多少度啊？ 我管它叫角三的话， b、 a 是 多少度，你们有人想了这个问题吗？六十七点五，一百八减六十七点五减四十五是多少？ 一百八减四十五，是不是刚好是一百三十五啊？一百三十五除以二是六十七点五吧。哦，原来角三也是六十七点五吧， 等幺三角形啊，得到一个结论了，你刚才那个猜测是可能是对的，你看这个 e、 b 等于 ab 等于什么呢？等于 ad 吧，对不对？ 所以我们得到一个结论，为什么说你那个猜测可能对的，但是你刚才那个方向它不好求吧，对不对？ b a 等于 a d 吧。哎，这不就好办了吗？这有什么用呢？我们来看，我们刚才已经有猜测，他们两个全等了啊，我们再来看，你先得到一个边相等吧，他们有没有角相等？我，其他边好不好找？相等？ 对，他有两个角相等吧。首先这里都是四十五吧，对，对不对？ 还有哪个角相等？这里是二十二点五，是吧？哎，这个角我们管它叫点，这个角加叉，这个点加叉是不是九十， 而这个叉加这个点是不是也是九十？因为这个叉加这个点是九十吧，对吧？这里是个直角吧。哎，这里是点，这里也是点，所以，哦，那我们不知道吗？就角一等于角二，等于角 b、 e、 f 了，所以它真有两个角相等啊， 我们管它叫角三，好不好啊？不不不，角三，不好意思，叫角四吧，行吧。 哎，所以我们可以得到角四，它，它加角三。我把过程写详细一点啊，它等于多少？等于九十度吧，角二加角三 也等于九十度吧，已知角二等于角一吧，所以角四是不是等于角一啊？ 好，然后再加上一个那个，这是一，再加上二角 d， b， c 等于角 a， d， e 吧。 所以两个三角形怎么 b， f， e 是 不是全等于三角形？什么 d， e， a 吧？请注意啊，我为什么要按顺序写？你们想过这个问题没有？ 全等的时候不明显，但是到了相似的时候，如果你们不按顺序写，会出现一个很大的问题，就是那两个三角形长得一样，但是它用到了我讲的初中的一个旋转的时候，它形状一样，但是它沿着一个点打开了，往两边展开的时候， 那个时候如果你不把那个对应的点写好，那个边的关系就容易搞乱吧，那你最后得到的相似的比例就错了。但是你们现在还没有学相似啊。调边相等 是不是说是 a， s， a 也没有问题吧？你说 a， s 也可以吧，它是刚好是两个角夹的那条边吧，所以它是 a， s， a 也没问题吧？好，它全等之后，那就好办了吧。那这一块不就等于， 所以，那不就轻松又愉快了吗？所以 s 四边形等于什么？就等于二分之一 s， a， b， c， d 啊， 它等于一啊，所以 s， a， b， c， d， 它等于二啊，那不这个边就是根号二吗？没有那么难吧？

这道题你需要几分钟？如图，角 c 等于角 a、 d、 e 等于九十度角 c、 f、 e 等于角 c、 e、 f。 那 么三角形 c、 e、 f 就是 等腰直角三角形 a、 d 等于 d。 一 点 b 是 a、 f 的 中点。问 f、 d、 b、 d、 e 之间的关系， d 是 主动点， a 是 从动点，这不就是典型的刮动模型吗？所以我们可以把 a 的 轨迹求出来。有手快的同学应该会发现这个需要相似来证明， 但是这是八年级的题，所以我们需要换种思路记忆。好的同学可能发现我们中点， b 还没有用。中点可以分为三个思路，被长中线、 中位线、斜边中线。这道题我们可以尝试用中位线来做，这样做辅助线。那么我们现在就需要证明 f、 d 等于 d， g 过点， d 向两边作垂，问题就变为证明这两个三角形全等。因为 dl 平行 f、 e， 所以 两个内错角都为阿尔法倒角，倒到最后就是这样。因此用 a、 a、 s 就 能证明这两个三角形全等。于是这俩等腰值也全等， 也就证明了 f、 d 等于 d、 g。 因此 b、 d 就 为三角形 a、 f、 g 的 中位线。根据中位线定律可得 n、 d、 b 三点共线。那么现在图形就很简洁明了了，我们把线段用字母表示出来， f、 d 等于 a， b、 d 等于 b， d、 e 等于 c。 我 们代入图中，尽可能地把所有线段用 e、 b、 c 表示出来。注意到这里有个直角三角形，那么用勾股定律就可以求出来关系式了。最终结果就是这样，你学会了吗？

我是懂数学，懂学生，懂家长，懂高效提分。八年级结束了漫长的四边形的各种压轴，终于来到了一次函数那头。两个压轴还是比较简单，给大家挑选的是四十五度的存在性的问题。 流程走好了没？那就一起跟着董老师来啊。好！第一小问给了条件， a 和 b， 给了点。给大家干嘛 给点？肯定是求减斜式的对吧？用董老师的点斜式也可以用这个直接代入也可以给线，干嘛是求点的。所以第一小问送分到位，那董老师就不写过程了。 y 等于负 x 加五， 但是我们的点一定要体现在图中，对不对？好，第二小问，他说直线 y 等于二， x 和 y 轴交于点一，所以我先要把第一点求出来，一点是什么？ 一点是与 y 轴的交点是不是 x 的 零，那就是零，负一好一点是零，负一好。 ab 上面存在一点 p， 使得 a 一 的， a 一 的。哦， a 一 的的面积，那不要把谁求出来，得点得点怎么求？焦点就是连逆两个解集是连逆谁？第一个 a b y 等于负， x 加五，还有谁？还有我的 得点是不是得一， y 等于二， x 减一可以得到。我的得点是 连接起来的点是二到三，那的点知道了，二到三，那我的面积其实是知道，但这道题根本不需要面积啊。 他说 a b 上面是存在点 p， 使得 a 得一，等于两倍的 a e p， 那 我们观察一下 a e 的 和 a e p， 它的底边是不是都是 a e 底？一样是两倍， 谁来平分面积？是不是平分面积？因为 s a e p 的 面积是不等于二分之一的 s a 得一，这个面积是不是一半？所以我知道我这个 p 点是把点到这个位置， 如果不知道的同学，终点不知道同学也可以设点对不对？他的 p 点在这里，但是不用想，肯定有两种情况， p 点还可以跑到哪里？底在这边，是不是跑到我的左手边？这是 p 二，所以这两个三角形。那我们用常规的方法吧。 那这两个面积先把 a 一 p 的 面积算出来，对吧？ a a 得一的面积底是知道的，高是不是也是知道？那关键是 a 一 p p 的 面积底是知道，关键是 p 不知道。所以因为 p 在 a b 上，那我就进行设点， 设 p 点是 t 到五减 t 五减 t 来的，负 t 减加五吧，有同学可能反应快一点，对不对？来再来泰公式啊，但是长度一定要加绝对值，所以 a 一 p 二分之一， a 一 a 一 就是六，乘以它的高高是几？是二就等于 二分之哦。 a 一 p 的 面积等于二分之一， a 得一，那 a 得一等于 两倍的就是二，乘以二分之一， a 一 还是六，但是高高是什么？ p 的 x 值是不是 x 值？ 那我就可以得到二乘以六两倍的它的面积吗？可以得到 x p 的 绝对值。 x p 的 绝对值是不是等于一的？我看一下。二分之一的底乘以高，对的，等于两倍的二分之一的底乘高啊。所以等于一可以得到 x p 是 不等于一或负一两种情况吗？ 二次一次函数上的点怎么来？设点怎么设？ x 自己输入 y 值带解析式，那就可以得到，再带回去。是不是 p 点就等于负一？逗六或 一到四啊，一到四啊，两种情况，好，这个是我们的 p 一 好，第二小问还比较简单。来到第三小问， 第三小问是一个四十五度的存在性问题。上了预科班的同学就知道，龚老师不光是寒假，还有我们同步的时候也给大家去讲了这个小专题的。 他说 q 是 第二项线上的点使得的 e q 等于四十五度， q 是 第二项线 ab 的 点的 e q 顶点是一 的 e q 固定位置了，对吧？那就是大概是这个样子，是四十五度第二项线，拿个三角板 d e q 这里是四十五度，那就是四十五度的存在性问题。那四十五度我们怎么处理？四十五度是不是一定要想的是等腰值， 为什么想等腰直？因为等腰直可以做一线三垂直，所以董老师说的辅助线怎么做的？在定点处补垂直，定点处补垂直 角的两边，哪两边呢？就是得一和一 q， 所以 哪个是定点？得点我们之前已经求出来了，得点是我的第二小问，是不是得点已经求出来，得点是二斗三， 那得点是固定的，这里是二斗三。再看怎么样补垂直？补垂直就是我得点这个地方是直角补垂直， 再来做一线三垂直，所以做 a、 b、 c 的 一对吧的 f 垂直于一的交 e q 于点， f 这个地方是 f 好 完了之后怎么办呢？有的人说跟 q q 点没关系， q 点怎么产生的？ q 点是不是 eq 与 ab 的 交点？交点怎么求？求解析式。 ab 的 解析式有了，关键是把 eq 的 解析式搞出来。 e q 的 解析式一点的坐标有了，我还差 q 点吗？肯定不是，我差的是 f 点，所以再做 e 的 f 的 一线三垂直怎么办？把 y 轴移过来， 做内 k 也可以啊，董老师就不推荐大家做内 k 了，对吧？把 y 轴移过来啊，用黄色的笔啊。 移线三垂直，把 y 轴移过来，然后再过一点，还有 f 点啊，这是 f 点。做垂直 是不是可以得到这两个三角形是全等的啊？做辅助线自己描述啊。所以三角形的 f m 是 全等于三角形 o 的 n 的 啊， o 的 n 好， 全等了之后就可以干什么？对应边，对应角相等对不对？好，那我可以得到。所以一 n 是 不是就等于的 m 等于二？填上去，大家直观一点，这里是二。然后 f m 呢？ 得 n 是 不是等于 f， m 得 n 等于多长？得 n 是 不是整个是等于四的？ 得 n 等于 f， m 等于四，这一段长是四。好，所以我 f 点的坐标就有了。 f 点的横坐标就是这一段吗？ 这里是不是等于二对伸上去，所以 f 点的横坐标是负二，因为第二项线吗？ y 值呢？ y 值是不是这一段加这一段就是五？ f 点是负二到五，那还有一点是零到负一是不可以把解析式搞出来？解析式 l e f 的 解析式，把两个用代数系数法，用点斜式也是可以。解析式的话，董老师这里跳跳跳一下。是不是 y 等于负三， x 减一，然后怎么求 q 点连逆吧。 年龄 y 等于负三， x 减一和 y 等于负 x 加五，得到我们的 q 点就是负三度八 好，这个处理逻辑是什么呢？第一个遇到四十五度是想到了我们的等腰直角三角形一定要在定点处补垂直啊，不要去做垂直是补，那第二个处理逻辑是我要求焦点 本质是搞定解析式，那我解析式上的这个点搞不定，我就换一个点来搞定嘛，对不对？好，那这是我们浅浅的一次函数的小压轴，那我们下一个见。

每天一个学校不教但考试必考的知识点，同学们，你们是不是还是碰到几何题里面一堆重点就换到无从下手，别在死磕乱连辅助线了，今天这个多重点构造中位线的技巧，学到之后直接秒杀几何难题，考试遇到直接拉分。好，我们来看题目， 他说啊，四边形 a、 b、 c、 d 中啊，这个 a、 b、 c、 d 这条边呢？等于这条边还有呢？ e、 f 分 别为 a、 d 和 b、 c 终点来，同学们看一下，是不是这个地方就出现了什么 多钟点，两个钟点的呀？那么如果当你看到多个钟点的话，这个时候就要想到什么构造中位线啊，多钟点构造中位线好， 那么这个时候它是什么？与 c 的 的 c 的 延长线相交于点 m 啊？ b， a 和 c 的 延长线相交于点 m， b 的 和这个 e、 f 的 延长线交于点 n， 它里求证的是这两个角相等。 b、 n、 f 哪个角呀？ b、 n、 f 这个角，它要求证这个角和什么？ c， m、 f 和这个角相等啊， 我用另一种颜色表示吧，他要求证的是这两个角相等。好， ok， 那 同学们你看，那我怎么来求证这两个角相等呢？我们说要求证两个角相等的话，我们就两个思路对不对？我们就看这两个角在不在同一个三角形， 如果这两个角不在同一个三角形，那我就想到什么把这两个角放到两个看上去全等的三角形里面去，通过这面两个三角形全等从我们的正面呢对应角相等， 如果这两个角再同一个三角形呢？比如说我要正的这两个角再同一个三角形，那这个时候我就转化到他的什么两条边线的，哎，证明他这两条边线的那么两个角相等了吧，对不对？这个叫什么等边 对等角。那同学们，你看一下此时的这两个角在不在同一个三角形啊？他不在，那不在，按道理说我们应该找全等，对吧？那你现在看到这两个角有没有所在三角形全等啊？哎，好像也没有，对吧？那我们就肯定要把这两个角去 转化一下，对吧？怎么转化呢？哎，这个地方不说了吗？多重点我们就要构造中微线，我们指的多重点是指两个或两个以上的重点。那同学们来看一下，那我们怎么来构造中微线呢？ 哎，这个题目我们可以这样子来构造，因为这个 e f 他 不是在一个现成的三角形里面的两个终点吗？对不对？那我们肯定要做辅助线，怎么来构造呢？哎，这个题目我们可以连接什么连接 b 的 啊？我们在取这个 b 的 的终点，假如说这个即为什么 o 点，好不好？然后我们连接这个什么连接 o 一， 连接这个什么连接 o f 啊？连接 o 一， 连接 f， 好， ok， 同学们，你们看一下，那此时的话我们会有什么样的一些条件了呢？那你看在这个 a、 b、 d 当中，同学们看一下， 那 a、 b、 d 这里是不是就出现了两条边上的中点啊？对不对？那么所以立马就会有什么东西呢？是不是有这个 o e， 它就等于二分之一的什么啊？应该是平行且等于啊，平行且等于二分之一的什么 ab， 同理，这个 o f 呢？同学们把目光放到 b c 的 里面，你看 f 点是 b c 的 中点， o 是 b 的 边的中点，是不是有这个 o f， 它平行也等于二分之一的什么 c 的 呀？而题目里面说了 ab 和 c 的 怎么样相等吧，那么所以就会有什么 o e， 它等于什么 o f， 对 吧？就会有 o e 等于 o f， 那 么 o e 的 f 呢？就会有这两个，那么所以说 o e f 它应该是一个等幺三角形吧，那等幺三角形那两个底角就会相等吧，所以这两个角我都用小点点给它表示好不好？那同学们，你们再看一下，那是不是有 o e 和 ab 平行啊？那 o e ab 是 不是和 n b 是 一样的呀？那么所以这个 o e 和 n b 是 不是也平行？那么所以这个角和这个角也会相等，为什么两直线平行，同位角相等对不对啊？好， ok， 再来看图们，这个 o e 和这个 c 的 平行啊？不， o f 和 c 的 平行，那么 o f 是 不是和 m c 也平行啊？那么所以这个时候这个蓝色的小点点角和这个角是不是也相等啊？为什么两直线平行，这两个角什么角？内错角相等吗？那你再看一下我们要求的这两个绿色的角是不是都等于这个蓝色小点点啊？所以，哎，我们就把它怎么样整完了啊！ 好了，关于中，关于这个中位线的核心规律和解题技巧我就给大家讲完了，是不是瞬间觉得这类题目特别的简单啊， 赶紧把多重点构造中微线这句话打在评论区，加深印象，觉得这些内容有用的同学一定要点赞和收藏，不然刷着刷着就找不到了，下期咱们继续攻克初中高频难点题型，关注我初中数学轻松拿高分，记得点赞关注哦！

同学们好，今天我们来看一道八年级下平行四边形中的最值问题。先来看题目，如图，菱形 a、 b、 c、 d 中 ab 等于二角， a 等于一百二十度， 点 p、 q、 k 分 别是线段 b、 c、 c、 d、 b、 d 上的任意一点，则 p、 k 加 q， k 的 最小值是多少？ 那么根据我们之前学过的最短路径问题，我们可以在图中找到对称线，在这里对称线就是菱形的对角线 b、 d， 所以 我们可以做点 p。 关于 b、 d 的 对称点 p 一 撇， 这个 p 一 撇肯定是落在 ab 上面，连接 p 一 撇， q 和 b、 d 的 交点则为点 k， 那么我们要求 p k 加 q， k 的 最小值就转换成了求 p 撇 k 加 k， q 的 最小值在图上就是 p 撇 q 的 长度，那么再看一下 p 撇和 q 所在的位置，它是在两条平行线上面，那我们知道平行线上的距离是最短值，因此 当 p 撇 q 垂直于 ab 的 时候，我们就可以求出它的最小值， 那么平行线之间的距离处处相等，我们现在画的这个位置还不够求出 p 撇 q 的 长度，所以我们可以把 q 平移到和 c 点重合， 构造一个直角三角形是垂直的，这个是 p 撇，那 q 和点 c 重合，那么在这个直角三角形里面，由菱形角 a 等于一百二十度，我们可以得到角 abc 等于六十度。 那么再根据菱形四边相等， bc 长度为二，那这里我们就构造出了一个三六九直角三角形三边比是一比二，比根号三，因此 p、 k 加 k， q 的 最小值就是根号三。 所以这道题目的方法我们总结为以下几个点，一、找对称轴图中的对称线在这道题目里是菱形的对角线。二，做对称点，将其中一个洞点关于对称轴做对称点，把折线距离转换成直线距离。 第三步，确定最短位置。一般是两点之间线段最短，垂线段最短，那这里就是平行线之间的距离最短。 第四步，算长度。可以利用几何的性质，比如说勾股定里面积公式，那这里比较特殊，我们用了三六九直角三角形的性质，那当然也是勾股定律的一个应用。

好，各位同学，今天我们继续来讲解初中数学必考题型，几何综合题目。那么这道题目呢，考察了一个识字模型以及线段之间数量关系的问题。好，对这一类问题有疑问的孩子可以认真听一听一下老师的讲解。 好，我们直接来看具体的题目，如图，在正方形 a， b， c， d 中点 e 是 b， c 边上一点连结 a， e 过点 d 又作 d， f 垂直 a e 好。第一问，证明 a f 等于 b e 好。 很显然，这是一个十字模型， 通过证明全等，可以得到 a f 等于 b e 好 条件， a， d 等于 a b 好， 又有呃，直角，直角好。再来看这个小角，小角加这个角 九十度，好，这个小角加这个角又是九十，好，所以这两个点角相等啊。好，那么用 a s a 整出来全等啊！第二问，若点 e 是 b、 c 的 中点，那么 b e 等于 ec 好，连接 b g， 让我们就线段 f、 g， b g、 e、 g 之间的数量关系好，由刚刚得到的 e 是 它的终点。那我们呃，第一问正出来了， a f 等于 b 一 好，好， 那么直接得到这四条线段都相等。好，探求这三条线段之间的数量关系。我们的常规思路啊，就是两条短线段之合等于长线段，这是我们首先去想到的，那么我们要先看咱们的猜测，那对不对 啊？是否是两条短线段之合等于长线段？那么 b g 和 g、 e 的 长度不分上下啊。所以我们判断和 呃常规的两条线段之合等于第三条线段，这种结论就排除了啊，那不是这样的，那就是含根号二 或根号三的啊，根号二模型和根号三模型啊，那么到底是根号二还是根号三，它们都存在于直角三角形中啊，所以我们一定要把它们往直角三角形上去转化。 那么目前这三条线段没有存在于一个直角三角形中啊，我们可以去构造好或点 b， 我 们做个垂直，老是用实线啦，好做 b h 垂直 b 记，好在延长 c e 角 b h 与点 h， 那么此时啊，三角形 g b e 把啊 b g 和 g e 就 放到了同一个直角三角形中。那接下来我们观察一下这个 f g 如果能过来，是不是它们之间的关系， 这个有了一个大致的方向，那么 f g 和 e a 是 啊，我们是否可以证出来全等呢？嗯，来看这个条件啊，好，首先啊，有个这个小角，一定是相等的一个角了。再来， 还有刚刚我们挣出来的这四条线段相等啊， b f 等于 b 一 好一个角一个 b n 了，还还差一个条件，又因为 d f 垂直， a e 凹角 f g h 是 直角，而这个角 a b c 也是直角，那么我们可以得到对角互补啊。角 b f g 加上角 g e b 等于一百八十度。好，再来看这个角，而角 b e h 加角 g e b 也等于一百吧，所以这两个角就相等了啊， a s a 好正出全等，那么可以得到 b e g 就 等于 b h 就 三角形 g b h 是 个等腰直角三角形，等腰直角三角形，而且 f g 又等于 e h， 那 么关系就出来了，好 好，直接往里面转化就可以，等等再换啊。好在 r t 三角形 g b h 中， g h 就 等于根号二倍的 b 几 好，那 g h 等于 g 一 加上 e h， 对 吧？而 e h 又等于 f g 好 就正出来了啊， g 一 加上 f 级就等于根号二的 b。 好， 各位同学听明白了吗？可以给老师点关注，我们下期再见。

马上期中考试了，想考高分的娃建议跟着夏老师一起来看一道几何压轴题。矩形 a、 b、 c、 d 中 ab 等于五， bc 等于八， a 一 等于 c， g 等于四，则 b 一 等于 d， g 等于一， a、 h 等于 c， f 等于二，则 b， f 等于 d， h 等于六。这些我们都可以计算出来。点 p 为矩形，内部一动点四边形 a、 e、 p、 h 和四边形 c、 g， p、 f 的 面积即为 s 一 和 s 二， 我们要求 s 一 加 s 二，那 p 为矩形内部一动点 s 一 加 s 二，却是一个定值。 那这里我们就有一个比较聪明的方法，就是让点 p 的 位置特殊化。我们可以让点 p 在 矩形的边上或者是顶点处，这样可以方便我们计算。如果点 p 和点 b 重合，那么这个四边形 a、 h、 p、 e 就 变成了 a、 h、 b、 e、 a 这个三角形四边形 c、 g、 p、 f 就 变成了 c、 g、 b、 d、 f、 c 这个直角三角形。那么根据直角三角形的面积公式，我们就可以计算出三角形 a、 b、 h 的 面积是五，三角形 c、 g、 b 的 面积是十六，因此 s 一 加 s 二就是二十一。 那么这个方法就是让动点的位置特殊化，我们可以用来描写填空题或者选择题，当然 我们在做大题的时候还是要去证明的。那再仔细观察这张图，在图中呢，有很多线段相等，那线段相等，结合矩形，我们会想到连接 h 和 g、 f， 那 么这个三角形 a、 e、 h 和三角形 c、 f、 g 就是 全等的，用的是边角边 全等以后我们就可以推出 e、 h 等于 f、 g， 那 么同样的，这里面有一六一六两条相等线段，那我们选择连接 h、 g 和 e f， 由角边角同样可以得到三角形 h， d， g 和三角形 f， b， e 全等 s， a， s 推出 h， g 等于 e、 f， 那 么由两组对边分别相等，我们是不是可以得到这里有一个平行四边形 e， f， g， h 啊？ 那么再来看一下我们要求的面积， s 一 和 s 二，在这里它就被分成了两个三角形， 我们记三角形 e、 p， h 的 面积为 s 三，三角形 g， p， f 的 面积为 s 四一加 s 二的面积，我们就把它分为了 s。 三角形 a， e， h 加上 s， 三角形 f， c， g 再加上 s 三，再加上 s 四。 由图上可知，这两个三角形的面积都是四，那接下来我们只要去计算 s 三和 s 四这两个三角形的面积， 那么 s 三和 s 四。在这个平行四边形里面，我们知道它们两个的面积和是等于平行四边形的一半。因此我们只要去计算出平行四边形的面积，我们可以选择用外面矩形的面积五乘八 去减去周围四个直角，三角形的面积减去八减去六等于二十六，所以这个三角形的面积就是二分之一的二十六，加起来就等于二十一。那么这两种思路都可以帮助我们解决这道问题。

初二这个学期的难点就是平行四边形结合勾股定律的几何问题，还有就是函数，一次函数，二次函数在这个学期长沙都要学，特别是一次函数是我们第一次学习函数， 也是后面学习二次函数的铺垫，所以一次函数里面的很多基本功，而且还有很多压轴模型全部要给他掌握，然后这两块压轴题的题型是非常多的，那么怎么样高效的去复习呢？一定要用长沙名校专题，就是我整理好的这些， 因为这些的话对标的是考试，去年的考试跟今年的考试基本上是差不多的，所以你只要去刷一刷，很多考试的题型你都会掌握，那么考试自然就没有问题了。 那么如果你没有这样的资料，欢迎在评论区留言告诉我，让我们一起规划好孩子的学习。我是长沙指导数学的石老师，加油！

各位八年级的家长和同学们一定要注意了，马上要期中考试了，数学想拉开差距，关键就要紧盯正方形模型。我实话告诉大家，八年级考试的压轴大题，几乎都是以正方形为模型改变出题的 技术题大家都会啊，真正能甩开分数的啊，能够拉开排名的全场的正方形的综合几何模型里面啊，今天我们把考试备考的七大核心模型呢，一生讲清楚，一定要记牢收藏！第一个什么折叠啊，第二个，十字架模型，教大家对角互补同旁张等角 夹板角模型，一线三对角，手拉手构造正方形啊！那么普通人只会算边长算角度，但尖子层呢，早就把这模型烂熟于心， 看到图形呢，就能秒判考点啊，思路呢，直接一步到位，很多孩子压的题，做题卡壳啊，不是不够聪明，是模型没规范，是套路没吃透啊！正方形的所有难题呢，翻来覆去都是这七种变化， 轻松冲刺，不用盲目刷题啊，把这七个模型的逐个攻破，看懂结构，记辅助线的画法，记经典结论，考场压轴，不用慌不用蒙，直接套模型就能快速解题。 八年级的分寸里呢，就要集合，正方形就在分寸里面的重中之重，想要期中冲刺高分，压得不丢分，一定要把这些个模型的练透吃透！

八下数学备考必刷三十道勾股定律与几何辅助线压轴题吃透稳上班级前三！ 完整版零三七打包下载打印！

对角垂直，右平分，正方形稳拿分来看这道题，如图，正方形 a， b， c， d， 然后 ab 呢？边长呢？都是二，然后有两个垂直， p 是 动点，然后 p e 垂直于 a c， p f 垂直于底 b， 然后呢？现在让求什么？ p e 加 p f 等于几？这种是线段加的题，一般就是要么等量代换啊，一个线，然后就用凑来看一下这种题怎么做哈。现在是 p e 加 p v， p f， p e 加 p f， 现在有两个垂直，可以判定这个三角，这个四边形，这个垂直啊，是什么形？哎，是个梯形哎，因为 p e 垂直于 a c， 让 p f 垂直于比 d， 然后四边形 a， b， c， d 为正方形啊，为正边方，所以四边形 p e， o， f 为正方形，也为长方形， 是不是？它是为长方形？那长方形，所以 pe 就 等于 o f， 对 不对？所以这个边呢？就等于这个边， 是不是？然后因为它是正方形，所以这个角等于四十五度啊？那四个是五度，这个垂直呢？这个是不是也是四十五度？那他俩四十五度是不是 a e 等于 e p？ 是不是？我把它能把它带动，等它带坏吗？还有它是不是三个相等？哎，我这里标为角一，这里标为角二，然后因为它不是四边形吗？我还。所以一个角一等于角二就等于等于四十五度， 是不是？它等于四十五度，那四十五度，所以 a e 就 等于 p e， 然后就等于 o f， 是不是这三条线相等的，是不是？那我现在可以求，所以 p e 加 p f， 我 能换出来等于 p e， 我 让它就等于 a e， 对 不对？ 加上 p f 等不等于 o e 啊？是不是？最后是不是等于 a o？ 是不是？所以这个也能可以换到？这个是不是都可以？最后是不是等于 a o？ 那 a o 等于多少？所以 a o 就 等于多少？ a o 是 不是等于二分之一？ ac， 那 ac 又等于多少？ ac 是 不是等于二分之一？乘以二分之二就等于根号二，是不是所以这个 a o 就 等于根号二选几？记得点赞关注哦！

八下数学最难的十六个几何模型全部吃透，稳进班级前三。八年级数学十六大几何模型汇总，一、中点模型背长中线背长一边构造、中位线构造三线合一构造，斜边中线二角平分线模型三、对称半角模型四、旋转半角模型五、自旋转模型六、手拉手模型 七、将军仪马集合对直模型八、基本相似模型九、一线三等角模型十、手拉手相似十一对角互补模型十二、角度相关模型十四角平分模型完整和分享。

这个题竟然是代数题型的几何伪装数！在八下考试，甚至中考考场里无数学生啊，对着这个式子猛算代数，却不知题目就是把几何密码藏在了式子里，只要一旦识破数形结合加勾股定律的思维，就能直接秒杀这道题。 别着急啊老师，今天一条视频带你彻底学透数形结合的代数应用，学会后不管期中、期末还是中考，都能轻松秒杀！一起来看题 说，已知 x 加 y 加 z 和等于六，让我们求根号下 x 方加一，加根号下 y 方加九，加根号下 z 方加十六，和的最小值是多少？已知条件非常简单， x、 y、 z 三个字母和是等于六的。 接着要求的这个式子呀，它的特点就非常明确了，大家来看，根号下 x 方加一，那一呢，我可以看成是一的平方， 第二个根号下外方加九，那个九显然是完全平方数三的平方。第三个这方加十六，那十六呢？自然我们想到是四的平方，换句话说呀，根号里边通通都是什么呀？平方和的形式对不对？那么在我们初中阶段， 出现根号下 a 方加 b 方的形式往往都在哪儿啊？勾股定律对吧？哎，在直角三角形中，如果两只角边小 a 小 b， 那 么斜边小 c 就 可以用 根号下 a 方加 b 方进行计算，这是我们大名鼎鼎的勾股定力。并且呢，出现这样的式子，往往都是竖形结合去构造这样的直角三角形，勾股定力帮助我们解析。好，我们一起来学习一下本题如何快速利用勾股定力完成竖形结合的 构造来解决这道代数题啊，那么第一个呢，我们要配凑的两直角边，一个长度是 x， 一个的长度是一，那我就画一个直角三角形， 这条直角边长度为一，另一条直角边 x， 那 么斜边长根号下 x 方加一。 好，接下来我们再来看第二个两直角边，一个长度是 y， 另外的一个长度是这个三， 那么我要如何去画图呢？所以关键是啊，很多同学他能够看出来，这道题目确实要用数形结合，确实要用勾股了，但是他不会去画图。那么老师来教大家，已知条件给的是啥？你看啊， x， y， z 三者之合，所以在图形上，我们如何把这三个边长，把它相加求和呢？所以 图形上要想把它三加起来，我们往往是把它画在一条直线上，对吧？如果它歪七扭八的，它就没办法知道哪条边是六了，能理解吧？ 所以说啊，我在画第二个直角三角形的时候，延长这条直角边，这个长度就是我的 y， 就是 我的 y。 好， 那接下来我再画这样一个直角三角形往下画。老师，你为啥往下画，不往上画呢？大家来讲啊，最后我们要求的是什么？ 斜边加斜边加斜边，大家都讲过这个将军印马是吧？做轴对称，如果往上画，是不是还得对称下来？我得让 斜边想方的好像连到一起，对吧？在一条直线啊，或者是折线上。好了，那么我们往下画直角三角形，这条直角边长度是三，斜边就是外方加九。 好，那关键问题来了，老师，第三个直角三角形 z， 另一条直角边是这个四，这时候我该怎么画？同样的， 老师说了，这个 z 啊，我要延长跟 x y 在 同一条直线上，这条边长度为 z， 那 这时候我比如说我再往下画，往上肯定是连不上了那个斜边，但是往下画呢？你看我这画直角边三角形， 哎，我怎样画直角三角形啊，都没有办法跟前面两条斜边连到一起。所以这里有一个小小的技巧啊，连不上的时候，我们可以先去做一个矩形， 你看我先构造这样一个矩形，利用矩形对边长度相等，把这个 z 转移到这样一个位置，此时大家再去构造这直角三角形，是不是就容易连多了？你看是不是我这时候再把它画下来， 你看这条直角边长度是四，这条直角边长度是 z， 所以 这个斜边就是 z 方，加上十六再开方 没有问题啊，所以这里边有一个构造矩形的小小技巧，这时候大家再来跟我观察已知条件， x y z 之盒转化成了三边之盒，并且连成了一条直线上，那么这条红色线段的长就是这个六。让我们求的是这三个斜边啊，斜边、 斜边和斜边和的最小值是多少？经典的化折为值问题， 当这些点通通共线的时候，也就是说我这三条斜边长成绿色线段的样子，此时取到和的最小值好了，那么最后一步我们只需要完成计算即可。同样去构造上方的 矩形，这个六就是这个六，这个一就是这个一，对不对？在大大的直角三角形中，勾股定律求斜边，所以这个斜边是根号下六方加上这一三四，也就是八六方加八方勾股 number， 直接口算六八十， 斜边长度为十，也就是这三条斜边和的最小值。所以这道小题回过头来看，发现这样经典的根号下平方和的样式，想到勾股定律， 大直角三角形，利用竖形结合，把这些代数的式子转化成一些线段长，通过求三条线段长度和的最小值来完成这样一个代数式的最小值计算，你学会了吗？

学辅助线一定要学明白本质原理。比如说前面视频中，毕老师就给大家讲过二倍角本质原理是什么？说，我们见着一个角的两倍的时候，对吗？那我们就两种方案，嗨，那就是两倍跟一倍之间的关系，对吗？第一个方案，哎，大家咱就找角平分线， 哎，我大的是二倍，那每一个都是一倍，哦，二倍跟一倍的关系在这里面就有。第二个，咱就是造等腰三角形，你看， 如果你这是二法，我这是二法，咱还是等腰，哎，那么外角等于不相邻的两个内角，那不就是两倍二法吗？所以已知二倍角的时候就这么干，这是二倍角构造的本质原理， 哎，各位，但是这些都是让二倍取一半，主动去跟一倍相等，哎，那我倒过来呢，一倍，我怎么样变成两倍呢？这个太简单了，一倍角甭管它长什么样，你主动把它翻译一下，大家二倍 不就有了吗？毕老师，说清楚了没？好，那这道全校都不会的压轴题，咱又能轻松秒了，一起来看吧！ 说，已知条件，告诉我们， e 点是中点，然后这个角等于九十度，并且它等于这个家伙得两倍，哦，我是一倍， 这是两倍，毕老师，说清楚了吧？好，紧接着又告诉我们， c d 这边长等于十， a d 这边长等于十四。最后问， de 等于多长？大家是这个道理吧？ 哦，那我们来看一看。第一个，如果我已知二倍角造等腰呢？哎，各位，二倍角在这呢吧？啊，我把它延长一个十，然后这边装一个等腰。各位， 这两个一倍角，他跟他相等有什么好处吗？有全等吗？没有。有平行吗？没有。什么都没有，对吗？没好处。 毕老师说清楚了吧。那接下来我这道题，到底是二倍角造等腰，还是一倍角轴对称呢？各位，我们关键点就在于，你看哪个角在特殊的三角形中，因为根据特殊化原则，越特殊条件越多越好用。 大家，我这个一倍角是不是在这个直角三角形中？显然谁特殊？直角三角形特殊，那我怎么对称？哎， 我就把它延长一倍。延长了一倍以后，不就是把 b、 a、 c 给它 翻过来了吗？那翻过来以后，翻之前你是一倍而发，翻之后还是一倍而发，哎，这个时候你是两倍而发，剩这边还是一倍而发。哈，二倍角我就用好了。 不仅如此，你看你把它反过来，那边长延长了一倍呀。延长了一倍，也就是 a 点是 b m 的 中点，那 e 点呢？又是 b、 d 的 中点哦，中点，中点，中位线吧，也就是这条边哎，平行得它 一半啊。哦，你可是平行都有一半啊，那我现在倒角呢？平行很好用啊，因为平行再加角分线就会有等腰。三角哪来的？ 你是阿尔法，两直线平行内错角相等，我这就是阿尔法吧。那你是阿尔法，我是阿尔法，两个阿尔法相等，咱是不是就等幺三角形哦？等幺三角形，这边得十，这边就得十吧。不仅如此，咱俩平行哦，我这可是九十度的。那你这也是多少 九十度的哦，所以这个边长十四，这个边是不是就能算出来了？ 四倍根号六，勾股定律人人都会。那紧接着 a 点是中点，这一段是四倍根号六，这一段呢，也是四倍根号六吧，所以整个这个长的就是 八倍。根号六啊，那这段短的就是十。你想求 d e 我 不知道，但是 d e 的 两倍就是这个三角形的斜边，对吗？啊，所以斜边的平方就是两个直角边的 平方，和毕老师说清楚了吧？ ok？ 哎，这个东西算出来不多不少，刚好 四百八十四，所以一旦把它开方变成边长边长就是二十二，两倍的长得二十二，我这是终点，一倍长就等于十一，毕老师说清楚了吗？

这道题太难了，八下几何填空的最后一个压轴题，咱们很多同学都做不出答案，那像这种题目，他其实考察的就是我们菱形特殊图形的性质， 为什么你做不出来，一定是在其中有哪一步断层了，而在我们菱形证明的过程当中，全等三角形是一定 逃不开干系的。所以如果这种题目你卡壳了，一定是我们之前的全等轴对称有漏洞，抓紧时间去补啊！ 那有关于我们这一学期的四边形，结合着上一学期的全等出的这些综合题目，老师已经把常见的这十三大类题型都总结好了。 家长们，如果咱们的孩子经常做这种题，都没有思路，找不到入手的关键点，大题做不出辅助线，一定要打印出来，逐个题型，带孩子查漏补缺。尤其是上一学期，这我那个几何模型还有问题的， 一定要回去啊，系统的来进行学习，否则你往后学到圆，学到相似，学到初三，你的几何题没法做， 下面咱们就来一起看看这道题。菱形 a、 b、 c、 d 当中告诉你角 a 等于六十度， e 和 f 分 别在边上，而且告诉你 a、 e 这条边等于二，那 b、 f 这条边也等于二。 现在告诉你 d、 e、 f 的 周长为三倍，根号六，让你求 a、 d 的 长。由于这道题啊，有什么菱形 菱形四条边都相等，两条对角线互相平分，那我们知道啊，菱形的对角线咱们连上和这六十度肯定有关系，因为这是六十度菱形，对应四边都相等，所以这里形成的是一个什么， 是不是一个等边三角形啊，对不对？我往这一连，你会发现这是个等边三角形，这三条绿色的边都是相等的，对不对？ 而这一条小黄和一条小黄还是相等的，所以咱们就可以得到这里有一组全等三角形，这个三角形和这里的这个三角形，它俩是全等的。为什么呀？来绿的等于绿的，黄的等于黄的，而且这个角又都是六十度啊，对不对？ 两个三角形全等，就可以得到对应边相等，那我们这就有 d e， 这条边是不是和这里的 d f 这条边相等啊？合着这个是一个等腰三角形。 再继续看，由我们第一步，两个黄色的三角形全等，咱们是不是有两个黄色的三角形对应角相等，小点等于小点。 而由于我们菱形有一个角是六十度，必然这是一个等边，所以这里小点和小叉是六十度。 等量代换一下，这里小点和小叉就是六十度，所以这还不是一个普通的等腰，它是一个什么？等腰当中的黄金贵族等边三角形， 所以由它的周长是三倍，根号六，咱们就知道它的每一条边不都是多少啊，根号六吗？对不对？好了，现在想要求啥？ a d 的 长，不就是求菱形的边长吗？那怎么求 a d 啊？ 你看这有一个特殊角，可以用六十度，看见了没？那有六十度的角，咱们不妨就利用上这个六十度的角。我在这啊，做一个垂线 e h 垂直于 a d， 那这不就是一个三六九三角形吗？由三十度角所对的直角边是斜边的一半，这是二，那这不就是一吗？ 所以下面咱只需要求出 h d 的 长度，就可以求出 a d 的 长度， h d 的 长度怎么求啊？看这又是一个直角三角形，这条边是根号六， 这条边的长度是根号三，因为三六九三角形三边比是一比，根号三比二嘛，对不对？所以这是根号六，这是根号三，这条边的长度也能求出来。勾股定律，根号下根号六的平方减根号三的平方也就是根号三了， 所以最终求出来 a d 的 长度不就是一加根号三吗？所以这道题比较综合啊，凡是我们的几何模型，之前全等这还会有卡壳，会出现问题的，抓紧时间家长们可以带着孩子去学一下我之前的几何模型辅助线的专项，对孩子整个思维会有一个质的提升。

八下平行四边形一定是我们本学期要突破的一个重难点，因为这里面不仅图形多，而且涉及到模型和变形也特别多。 光拿正方形来说，他涉及到模型和辅助线就有九大类，那今天我们就把正方形这种特别特殊的四边形再拿出来来看一看与他结合的角平分线模型和截长不断辅助线的做法。 那有关于正方形、平行四边形、菱形、矩形这一张结的特殊图形，老师都已经给大家把常见的这些易错题做了一个总结。 如果啊，咱们孩子做几何综合的大题，还经常没有思路，做不出辅助线，一定要分题型，咱们来进行练习，把它刷透了纠错好，我们再做这种题绝对是没有问题的，下面一起看看。这道题 说四边形是正方形， m 是 bc 上一点， e 是 c， d 边上的中点有中点，必然有这两段相等啊。先标上条件，上图， 接下来 a e 平分，那这是角平分线，让你求证， a m 等于 a， d 加 mc 怎么正啊？哦，在这里看到 a 加 b 等于 c 形式的式子。 上学期我在我的几何模型专项里特意给大家做的这个模型的专项叫做截长不断。凡是看到 a 加 b 等于 c 形式的式子，立马想到这道题的解法就是截长不断，谁是长啊， 这肯定是长啊，它俩是短呢。于是我们想到辅助线的思路就是在长上哎，我截这么一咕噜，让它和其中的一个短的相等，然后再去连接看没看见。这是我做题的第一个思路，在长的上面截一咕噜和短的相等。 接下来我只需要正另外这一咕噜短的和这个 m c 是 相等的就可以了，看没看见，所以在这我再去连接 m e， 那这个时候就可以通过哎，正这两个三角形全等，进而得到最终的答案了。来，这是我的第一个思路，叫做截长补短，具体的正法已经在我上一学期很多课程视频当中都讲过了，这里不赘述了，咱们今天要讲思路的连通性好不好？ 这道题还有第二个思考的方式在哪？在这个角平分线上来涉及到角平分线，咱们上一学期学过什么叫做角平分线的四大名辅，还记得吗？ 有角平分线，有角平分线，一点向角的两边做的一个垂直，那下一步你的思想是干嘛呀？ 对了，由角平分线入手做啥？做双垂直对不对？是不是？哎，叫做双垂直，所以由这个思考我们就可以做出。哎，那我过点 e， 我 这可以做个垂直，我做 e f 垂直于 a c， 那 我们做完垂直以后，你可以发现，哎，是不是这两边三角形有点关系啊？干嘛全等啊？为什么全等啊？你可以发现 a a s 就 可以正 这两个三角形全等，那这一边和这一边的长度是不是就转化过来了？那还是又回到这里了，我要想证 am 等于这一段加 m c， 就 再证他俩相等就行了， 还是给他连上啊，连上之后，我们再通过证这两个三角形全等，是不是就可以得到最终的答案了？所以你看啊，同一道题，同一个解析思路，我们是不是可以从两种路径上去解析呀？ 哎，一种这样从 a 到 b， 哎，一种走这个从 a 到 b， 就 跟我们选上路、中路和下路走一样， 最后殊途同归对不对？所以这两种方式做辅助线的做法和证明的过程略有差异，我把详细的解析过程发在咱们群里了，大家做完了之后可以去找我去对答案，一定要把这种多个方法多个维度思考的能力培养孩子建立起来。