拉马努金裂项公式

别再傻傻的背塞纳斯一五九二六了，你只需要记住这个公式，就能够算出来派后面的无数位。这就是数学全靠自学，公式全靠直觉的天才数学家拉玛努金在一九一四年写的神奇求派公式。先来说一说他的第一个神奇地方啊， 以前的求派公式，比如经典的莱布尼茨公式，算出来的数虽然越来越逼近派啊，可如果想精确到塞纳斯一五九二分母逮到八百万分之一啊！但是你再来看看拉玛努金， 让 k 等于零，直接算出来派约等于三点一四一五九二七三。如果让 k 等于四，能精确到小数点后三十九位啊！ 要知道，三十九位的派就足够计算误差小于一个氢原子大小的，可观测宇宙圆周了呀！那玛鲁金是直接秒杀以前的所有求派公式。但是第二个神奇地方来了，这些个九八零幺幺幺零三的整数，整个式子是怎么来的呢？ 拉马努金说他是女神托梦告诉他的，结果现在的数学家才发现，二百的杠二是椭圆积分期磨下 n 等于五十八的值，九八零幺是对应内部变量算出来的九十九的平方四 k 的 阶乘和 k 阶乘的四次方式，超几何级数幺幺零三加二六三九零是爱因斯坦级数在坐标点上的截距和斜率。三九六的四 k 四方式疏于基本单位。在模型室里的投影，说白了这个式子就是从别人想都没想过的椭圆积分和模型室里的投 影。说白了，这个式子就是从别人想都没想过的椭圆积分和模型室里的投影，说白了，这个式子就是从别人想都没想过的一个球派计算器。但是 第三个神奇地方来了，一九七四年，霍金提出了黑洞商公式，他算出了总数值，却不知道对应的微观来源是什么。这就好比你测出了一杯水的温度，却不知道水分子长什么样。 直到二零一二年前后，科学家在计算黑洞量子态核心函数的时候，发现居然和拉玛鲁金求派公式用的是同一套模型式和模拟 c 塔函数。而最神奇的是，我们现在计算机天天刷新派的求派公式， 他一百多年前留下的遗产，依然是我们这个时代的天花板呐。因为像他这样的没有退堂且无法解释的公式，拉玛鲁金写了三千多个。那么你觉得如果当年他没有那么年轻就去世的话，现在的世界会变成什么样呢？

别再死磕所谓的列项求和公式了，我今天来讲一句没有老师敢讲的话，那就是所谓的这些列项求和总结的公式啊，表格啊，全部都是没有用的，都是废纸。真正把竖列求和放松列项学明白的学生是不需要这些公式的。今天呢，我教你从底层逻辑，从这个列项的本质来讲清楚这件事情。首先我们在学习一个方法技能前，要知道它的最终目的是什么。 列项这两个字大家都听说过了，那列项到底是用来干什么的？不是让你看到一个东西就给他列项呀？列项有两大作用，首先第一大最简单直接的作用就是，如果我告诉你个 a n 的 表达式，让你求他的前前项和 s n， 那 么呢，你会发现像这种式子，这种式子哎，他不是等差，也不是等比，不能直接套公式。所以说我们怎么样对他进行求和呢？我们就发明了列项相消这种办法，把每一项 a n 列成两项， b n 和 b n 加一，然后呢，你会发现这个 a 一 列成两项， a 二列成两项，然后呢， a 一 裂开来，其中的某一部分和 a 二裂开来，其中的某一部分是可以相消的。那么最后呢，这一大长串的东西全部都消掉，全部都消掉，就剩下第一项和最后一项，那我们的前 s n 项和是不是就算完了？那列项还有第二大作用，就是在证明题中，那就是它在放缩中的妙用了。 有的时候呢，我们要证明，一大串的东西相加起来小于某一个长数或者大于某一个长数的时候，你会发现这一大长串东西本身无法求和，那怎么办？我们就把每一项进行一个放大或者缩小，把它转化为一种可以求和的数量，然后呢，最终进求和再进行比较，相当于这个是一个中介，是一个媒界。 这个思想呢，我在这个等比放缩中也讲过，那有一些竖列呢，它适合放缩为等差，或者等比，那还有些竖列不太听话，它就适合放缩到可以列向的竖列，那放缩至了可以列向竖列，我们是不是又回到了上一步？我们只要对这个可列向的竖列进行列向求和，就可以完成此类证明了。我把高中阶段列向所有的考点分为三大类型，第一种类型就是最简单基础的等差型的列项。 第二种类型呢，是我们的根式型列项。第三种类型呢，就是最难最烦的指数型列项。那么呢，当然还会存在一些别的，比如说三角类的呀，对数类的呀，那这些我把它统统归类为杂项，因为呢，他们一出现频率低，二 即使出现了，如果你不是竞赛生，或者说对数学特别有兴趣，进行了很多课外拓展的话，那么这些题目对你来说就是初见。啥？这是没办法，这是信息差，但是呢，我们普通学生能把握住的就是在信息差之内的这三种，如果这三种你还搞不定的话，那么你就落后于你的竞争对手。那么第一种就是最简单的等差型的逆向强项。这个其实小学奥数学的好的同学他都知道的， 比如说一乘以二分之一，加上二乘以三分之一，加上三乘四分之一，一直加加加，这个数列呢？我们怎么样求它的前 n 相和？根据我们高中的语言，我们是不是把它通向给写出来，它的 a n 呢？应该是等于 n 乘 n 加一分之一。这个东西傻子都知道，它可以列开来，列成两项，列成 a n 等于 n 分 之一，再减掉 n 加一分之一。那至于为什么呢？我们只要左右两边相等，看看相不相等，右边通分一算，哎，发现刚好就是左边。 那再往下一步，如果我不是间隔一的间隔二跳下来呢？一乘以三分之一，加上三乘以五分之一，加上五乘以七分之一，好，把它通向一起，它的每一项应该是二 n 减一乘以二， n 加一分之一，这是它的分母。那我们在列项的时候怎么列呢？这个地方呢， 有些同学就开始背公式了，他说这个地方相差二，所以外面是二分之一。其实我教你，根本就不用去背这个公式，你列项最终目的是什么？是要把它列成两个项。 这边呢，我们已经很清楚的可以看到了，这种东西啊，裂开来，它一定是这个二 n 减一分之一，减掉二 n 加一分之一，只不过就外面这个系数不确定嘛，那我们就用待定系数法 k 设一个 k， 然后呢，你带着这个 k 把右边一通分，最后就可以算出来这个 k 是 二分之一，这样是不是就不用去记了？其实也是有一定规律的，它这个 n 前面系数是几，外面应该就要提个几分之一， 而且呢，它这两个括号之差，必须得是这个 n 前面的系数，不然就裂不开了。当然这些是更深层次规律，等你裂多了就会发现了。现在呢，我相信像这种简单的分母是两个类似于一次函数相乘分子是一个常数的题型，大家通过代定系数法都能解决了。那现在我再来提一嘴，有两个奇形种在等差列项里面。首先第一种，如果我的分子改成是 一个不是常数的东西，比如像这道题，改成 n 的 平方除以二， n 减一，乘以二， n 加一，那怎么办？我们已经会解决之前那种问题了，所以我们只要把它转化为之前那种最简单的，那不就可以了吗？这道题目呢，我们分母先把它乘起来，出现了四的 n 平方，再减掉一，我们把分子呢，也凑成分母的这种形式。 这一步棋叫做提取常数法，把这一个常数应该是多少，是不是四分之一给他提出来？提出来之后呢，你会发现他最终又变成了我们已经会的那一种形式了，只不过要多加上好多好多的四分之一，对不对？ 好，那第二个棋形种呢？就是三连乘三，兄弟刚才是双胞胎，现在三胞胎，比如说给你来一个一乘二乘三分之一，再加上二乘三乘四分之一，加加加，这个东西怎么列向？其实聪明的孩子也知道，这种东西我们也要把它转化为我们已解决的问题，那怎么转化呢？把这个 二哥给他提出来，就这个 n 加二分之一提出来。那么呢，这个 n 和我们的 n 加二分之一，是不是就可以进行列项了呀？ 这个东西呢，熟悉结论的同学都知道，应该是二分之一的 n 分 之一，再减掉 n 加二分之一，然后再把这个中间的 n 加一分之一给乘回去，乘回去之后你会发现我们最终啊列成了这一坨东西，他从第二项开始就可以依次的想想，那么这些问题都解决了。所以核心就是不管你遇到 怎样的东西，只要他还在我们等差列项的范围内，你就尽量的把它转化为这种分母，都是类似于次函数的，几 n 加几，几 n 加几，然后分子呢，是常数啊，然后就可以直接列开来了，然后系数不确定，你代定一下就可以了。第二种呢，就所谓的根式性，虽然看着恐怖狰狞，但他其实老简单了，套路非常的固定，就是三个字，有理化。你把这个分母有理化就完事 了啊。这个比如说一加根号二分之一，这东西怎么进行列项？直接把分母这边乘一个一减根号二 啊，然后再乘个根号，二减二三，用这个平方差公式吗？对吧？根式一平方不就没了吗？然后你就会发现很神奇啊，分母全部都变成了这个负一，然后呢分子呢，就一个一连串的下去，全部都消掉了， 哎，就分母有理化就行，那么下次遇到这种根式的列项啊，如果分子是很复杂，你把它这个分子有理化就行，反正遇到根式就有理化嘛，就这么简单。现在我们终于来到了压箱底的 boss 像这里这里这里。哇，那很多同学看到直接哭了呀，瞬间，这怎么搞啊，太难了吧，这东西我八辈子都想不出什么列项。 那么今天我们的核心旋律是什么？就是不死记硬背公式，我们使用待定系数法对他进行一个灵活的配凑， 这种东西呢，叫做指数型的列项，说白了其实跟刚才那种等差型没有本质的区别，只不过他的这个代数式更加的复杂了一点。我们就以这道题为例子，我教你怎么样用待定系数法，再也不死。记硬背公式，我们在列项的时候，最重要的抓手是什么？就是分母。这道题呢，我们可以看到分母一个是四的 n 次方减一， 一个是四的 n 加一，次方减一，所以我们最终把它裂开来的形式一定是四的 n 次方减一分之某个东西，再减掉四的 n 加一次方，减一分之某个东西，那这个某个东西到底是什么？我们来观察一下它这个原本的式子，它原本式子的分子是一个四的 n 次方，然后我们再想象一下，这两个东西通风了之后会是个什么情况， 就这两个分母这个通分，这会是个啥情况？他是不是都是四的 n 次方，什么四的加一次方，所以他们乘到分子上减来减去，肯定会出现一个什么四的 n 次方的，就这个系数不知道，所以说呢，我们这边直接先假设裂开来是两个分子都是一就可以了，我们所要求出来的就是大块外面整个系数是多少， 然后呢，你设完这样子之后，对它进行一个通分，最后发现呢，它的分子啊，应该是我们的四的 n 次方乘以三，再乘以 k， 那么跟我们原题目是不是差不多啊，只不过这个三 k 是 多出来的，所以这个 k 应该就是三分之一啊，那么然后呢，你把 k 当成三分之一，然后再算一遍，发现，哎，这个东西跟我们原体刚好就一模一样的。那有些人说这个题目太简单了，那好，我给你们来一道难一点的，这道题目是那个一数的那个团队那边的一个创新的模拟题啊，来看这个题目， 这个题目呢，我们一观察，分母啊，确实裂开了，稍微有点那个啥了，因为我们不太确定他这个两个分母到底要裂成啥，刚才就一眼就看出来有两个，现在又是这种三兄弟的问题，那怎么办？我们一眼先看到了有一个 n 和一个 n 加一，那么所以两边分母一定是左边是一个 n 乘以某个东西，然后右边的分母一定是 n 加一乘以某个东西，那这某个东西到底是什么？这边呢？还剩下一个二的 n 次方， 这个东西呢，就得平均的分配给他们兄弟俩啊，因为他是一个人，你必须两边都得均等，所以我们左边呢，给他乘一个二的 n 次方，右边呢给他乘一个二的 n 加一次方，这样子是不是还有那种同构的意思呀？啊？就是跟你的这个一次向进行一个匹配嘛，然后我们分子呢，全部都设成是一，外面呢再设一个系数 k， 然后呢给他进行一个通分， 通过比较器，我们发现这个 k 是 多少，发现这个 k 就是 二啊，那所以说原式就是两倍的 n 乘以二的 n 次方分之一，再减掉 n 加一乘以二的 n 加一次方分之一，那不就列完了吗？那所以说，现在不管是多么复杂的东西， 你只要精准的找到两个分母，而这两个分母应该是有点类似同构的形式，然后呢，能拆的东西你就直接把它拆出来，如果呢是不均匀的东西，就把它劈成两半，左边也给他一个，右边给他一个，形式上呢，要同构，然后呢，分子全部设成一，外面再设个系数 k， 最后把它一通风，把这个 k 一 算出来，那不就列完了吗？以上内容如果你能全部融汇贯通了，那么相信呢，你在梳理这条道路上基本上就没什么阻碍了 啊。但是其实还有一个难点，就是我们现在基本上把所有的这种列向怎么列都会列了，但是呢，这个放缩本身还是有点难的，就比如说像这种竖列，你怎么知道要放缩成哪一个列向竖列啊？我又没直接告诉你要放缩成谁，那这一步呢，又有很深很深的水，敬请期待下次分解。

今天我们来讲印度数学界一个大 bug， 拉玛努金，他几乎没怎么正经上过学，但是无师自通，留下了将近三千九百个公式，没有人能够理解他是怎么发现这些成果的。拉玛努金自己对外啊说的是神奇，在他睡觉的时候就会梦见他们的家族女神， 因为他是婆罗门，这个女神就在他眼前展开一个卷轴，上面写的全都是现成的数学公式，他醒了之后就开始记，但是这个说法在数学界是不可能接受有神论的，所以一些人呢，就认为拉玛努金是胡说八道，但是他不管这些， 回去接着做梦，接着写新的公式，别人可能要研究几年才能憋出一个新的公式，而他几乎每天都会写一个新的公式，像个喷泉似的在那喷发公式，最主要是他的很多东西都是非常超前跨时代的。在一九二零年拉玛努金去世以后，人们看到他留下来的公式啊，根本不知道是干嘛用的，直到后来突然有人发现他的有些公式能够用来表示黑洞，商理论， 弦理论、量子引力等等等等，而这些领域是在一九七零年以后人们才开始研究，直到现在都还有很多他的公式不知道干嘛用。拉玛努金是出生的印度一个婆罗门家庭，虽然是婆罗门，但是家里很穷，一开始家里边也把他送到学校里边去了，但是这个家伙特别的偏科，导致其他的考试科目经常不及格，所以后来就没办法上学，加上家里边也窘迫， 被迫找了个班上。但是拉玛努金呢，还是很希望能够有人发现他的才华。于是一九一三年，拉玛努金冒昧的给英国很多的著名数学家写信，里边有很多他写的数学公式，但是由于他的数学都是自己研究， 他也不知道外边的数学是什么情况，所以他写的很多东西早就已经有人研究出来了。结果那些数学家一看这都在哪抄的呀，就没有人把他当回事。不过收到他这个信的其中有一个是剑桥的数学家哈代，他发现里边有一个公式啊，正是他现在正在研究的，他就蒙了，怎么回事，应该就我知道啊。哈代就给他回信说，你这个才华你必须得来，剑桥 在印度就废了。拉玛努金就去了剑桥，得到了一个称号，印度骗子。因为他提交的公式完全没有推导步骤，没有过程，哈泰就跟他说，你得写过程，你得让别人知道你这个东西是怎么来的。于是拉玛努金就说出了我们前面说的这个公式啊，都是神直接展示给他的，他就是知道这个结果， 越是有人质疑他，他就写的越多。只是非常可惜的是啊，神很快就发现了这个 bug， 在 一九二零年，拉玛努金三十二岁的时候 把它给修复了。关于拉玛努金呢，有一个很大的谜团，三十二岁留下三千九百个公式，这太不正常。在十九世纪中后期啊，西方神秘学提出了一个叫做阿卡西记录的概念，这个词是来自于梵语的音译，也可以叫做阿卡夏，意思是以太天空或者大气层。而阿卡西记录这个概念就是说可能在我们看不到的这个以太空间呢， 存在一种无形的戒制，记录着宇宙的一切，可以理解成是一个硬盘的感觉，这里边存储着包括地球的历史，过去上古的文明，人类的思想或者行动等等，而且不只是过去，也还有未来。如果有人能够访问这个阿卡西记录，就能够感受到宇宙的一切，但是想要跟它产生连接的话，就必须要有一定的通灵体制 和灵力。就比如我们之前在奥斯佩那个视频里面提到过，得先执行严格的素食主义，而这个拉玛努金正是素食主义，他是印度教的，所以他的灵力呢也会相对较高，所以很有可能他已经访问了阿卡西记录，只是被他理解成了神奇。

数字四有五种加法分拆组合，哪一百呢？答案，超过一点九亿种。如何用数学描述这种指数级增长？第一步，建立分拆数生成函数，将复杂的组合问题转化为代数方程。接着引入负平面参数，借助经典的戴德金伊塔函数， 通过闭合路径的科西积分来精确提取目标系数。面对大数计算核心思路是利用魔变换性质，我们提取极点附近的近似主部，再进行安点积分估算，最终得到这行优美的见解公式。 它不仅是数论的瑰宝，更在选理论中为计算黑洞商提供了数学基础，展现了纯粹数学与真实宇宙的奇妙共鸣。

热人解析之，拉玛努金光看眼神就让人觉得他强的可怕，事实也确实如此，拉玛努金，二十世纪印度最顶级数学家，没有之一，印度人直接把他印在了邮票和货币上。 拉玛努金留下了巨额的数学公式，其中最著名的就是他的圆周率计算公式，我们都知道圆周率派约等于三点幺四幺五九六二九，那这个圆周率是怎么算出来的？不同数学家有不同的算法， 反正拉玛努金是创造了无数人公认的最丑公式，虽然繁杂丑陋，但极其精准。 而且没有一个数学家看得懂这个一一零三是怎么来的，就连拉玛努金自己也解释不清，说是梦中有女神教他数学，哈哈哈哈。而近期拉玛努金能火起来，则是因为各类数学题的教学视频， 其中拉玛努金的解法太过牛皮而被网友爆火，上面高斯才做一半，下面拉玛努金已经出答案了， 是二零二四等于零，这是人类能想出来的方法吗？我忍你很久了！拉玛瑙金网友瑞平，拉玛瑙金让人觉得巨额知识来路不明！

系统提示玩家拉马鲁金数据异常。