基础训练八下数学答案21章

hello， 大家好，我是大哲老师，今天我们看到的是菱形，也就是说在这个战局中他是最为关键的，最重要的。我们前面已经研究了 角满足特殊条件的平行四边形矩形，那我们再来看看边满足特殊条件的平行四边形，我们来看到先是有一个平行四边形， 他说一组邻边相等，他的一组邻边相等时，这时的平行四边形也是特殊的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形，叫做菱形， 所以在这个时候我们看到菱形，它的特征是由一组对边有一组邻边，有一组邻边相等， 那平行四边形从这里出发的时候，我们就能看到菱形，哎，特殊性特殊，在它的边是菱边相等的四边平行四边形就能得到是菱形了。那么菱形也通常会 我们用来日常生活中去做，一些漂亮的窗格，中国结活动的搭架等等，挂架呀等等，都有它的一些身影，包括窗花上的一些呃 图形。那我们能看到对于举行的研究，我们来看到呃，举行的时候我们也研究了它的性质和判定。那么现在我们看到菱形， 看到菱形的时候，我们也是重点放在研究菱形的性质和判定。那么菱形首先我们说了它先是平行四边形，它的一组菱边相等，所以才推出它是 菱形，那这个时候平行四边形，所以它就平行四边形的所有性质，但由于它的一组菱边相等， 他是否具有一般平行四边形不具有的特殊性质呢？比如说平行四边形，有的他也有，有没有平行四边形，没有的菱形有呢？ 那我们按照按照菱形的边角对角线出发，我去研究可以发现， 而且可以去证明哦，菱形还有以下两个性质，第一要说菱形的四条边都相等，第二，菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角，那么也就是说他的两条对角线是互相垂直，而且每一条对角线注意了，是平分一组对角， 那么我们可以通常发现，菱形他是轴对称图形，他的每条对角线所在的直线就是他的对称轴喽。那么我们看到下面的一个图形，在下面的时候，比如说这个图形 容易发现，在这里的时候啊，它的对角线和平形四边形对角线相比，菱形的两条对角线把菱形分成了四个相等的 直角三角形，而平行四边形一般只被分成两对相等的三角形。 所以在这里的时候，我们说，呃，去得到他有关的一些性质定律的时候，抓住他的最大的特征， 对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形呢，他只是一般只被分成两对全等的三角形了。那么我们左右边提出了一个， 你问有菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？那么它对角线的长度告诉我了，那么比如说告诉我的长度，那我这一段知道，这一段知道 面积不也就能求出来吗？先求一个，再乘以四，因为他四个都是全等的，这是说到的应对这个提问，让我们来具体的看到练习的 例题的例题三，在例题三中注意它求两条小路的长度，哎，这是个菱形喽，那就是二十米喽，这也是二十米喽， abc 六十喽，那么修成这两条， 说明六十，它平分那一个就三十咯，三十二十，这就直角咯，这就六十咯，三十度数对的直角边等于斜边的一半咯，所以 a o， 那 就等于十咯。那么要去求 bo， 用什么勾股定律，勾股定律求出来 啊？我们例题中设它相交于 o 点，那么是菱形，那么垂直也能是九十度啊，九十度出来三十度，三十度所对的直角边，斜边的一半， 对完之后，用勾股定律求出 b、 o， 然后花团的两条小路，那就是从 求出一半之后乘以二，求出一半，再乘以二，就是他的这个路程了，那么花他的面积啊，花他面积，我只需要求出一个三角形在 乘以四，那就是他的菱形的面积了。所以在这个时候，我们看他的一些特征，也是能够很直观的带来给我们想，哎，我们要求的内容是什么？我们怎么去应对他？ 同样的，我们来看到练习的，那么练习题的时候，我们先看前面的啊，练习题他说第一问，第一题 练习的部分我都稍微提一下了啊，它是一个菱形，对角线 a、 c、 b， d 相加于 o， 那 么画一个菱形相加于 o， 然后去求出 a、 c， 那 么比如说我们随便画一个啊， 针对第一题，我们随便画一个，比如说这个啊，那么对角线 a， 那 就是 c、 b， d、 o 好， 那么 a b 等于五， a o 等于四，那这里直角三求出来，立马就出来了。 所以在这里的时候，我们取一实去看呢，其实结合它的现有的性质，是很快就能推倒出来的。那么第二个 a、 b、 d 的 周长，那就是这个，这个，这个， 而且角的关系告诉我们了，对吧？立马根据菱形的性质去推出来喽。那么第三题，他说 a 是 等于六十度，注意 a 在 这里，它分别是中点、中点、 中点，那么在这里的时候， e、 f 是 中点，那感觉也没用呢，这是个菱形，那我能不能去连接 a、 c 啊？ 那 e、 f 等于 a、 c 的 一半喏， a 等于六十度，三十度喽，那等于九十度就出来喽。所以我们去求证的时候，一步一步推，按性质去推导，那么对于我们来说， 他的练习就会显得简单了，只是这套用我们的公式了。那么接下来我们去研究菱形的判定。有菱形的定义，我们可以知道有一组菱边相等的平行四边形是菱形， 那除了这个方法，还有没有其他的方法去判定他呢？是一个菱形，跟我一样的，按照 研究前面的一些平四边形、矩形的方法，我们去研究菱形的性质定理的时候去看看，反过来，你说它命运题，看看是否成立喽。 那我们思考这个问题，呃，菱形，它是对角线互相垂直的平行四边形，那反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 我们同样的菱形是四条边相等的四边形，反过来，唉，他是吗？对吧？四条边相等的四边形是菱形，那么我们看到可以通过我们先猜想，猜什么？对角线 互相垂直的平行四边形是菱形，所以一定是互相垂直才能是他的菱形。第二，四条边相等的四边形是菱形， 四条边相等的四边形是菱形，那么四条边相等四边形啊是菱形，所以这两个也显得尤为关键。也许我们要去了解到这个特征是什么，那我们就要关注 哎他的一些性质和判定定律了，那我们来看到立体四， 记住哦，这些讲到的这些判定定律，我们一定要很熟练哦，熟练到自己随时都能把它调出来使用，那么这样我们才能够去说你掌握了这一块的知识，一定是求证 a、 f、 c e a f c e， 它是菱形，它是菱形，我们可以求什么证？我们看到题干分析已知 a、 c 垂直 e、 f， 那 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，那也就是说还需要去证 a、 e、 a、 e、 c、 f 是 平行 c 的 四边形，那证出来之后，那 a、 o 和 c o 相等，那就需要证 e、 o 和 f o。 所以 因为四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以 a、 e 平行 c、 f， 所以 角一等于角二， 角一等于角二，又因为 a、 o、 e， 所以 a、 o、 e 和 c o、 f、 c、 o、 f 是 等于相等的， a、 o 等于 o c， 所以 这两个三角形 a、 o、 e 和三角形 c、 o、 f 是 全等，它们全等 推出什么？推出来的是我们的 e o 和 f o， e o， f o 相等，而且 a c 和 e f 又是垂直的，所以 e o 等于 f o， 而有一个是 a c 垂直 e f， 那 么我们就知道利用的是对角线互相垂直的平行四边形，它是菱形， 所以我们能够快速得到这个结果了。好，我们说这些判定判定完了之后，我们就要去呃，例，例题也看了，那我们就要去看看练习题， 比如说这里带入的四个三个练习题相对来说都比较简单，大家可以去自行正一正对角线 a、 c、 b、 d 相交于 o， 且互相垂直平分，那就很明显了，又垂直又相等，所以 用什么啊，对角线互相垂直平分的啊，那么第二个第三个就不多说了，可以去试一试。我们看到这样就菱形看起来疏散的知识点很少，但实际上我们家长如果再去给 孩子讲的时候，就要注意这一块的性质，定力特别重要，很多人会搞混，那么在这里说可以通过什么，通过画图记忆去 分类，把它整理出来，看看哪一个是相对来说更好记的，记成什么样子的啊，我们就要能够去把它的特征拿捏清楚了，这是说到了他的这个， 那么这个章节小节部分呢，我们通常呢也是会把呃他和综合题放在一起了，那么综合题放在一起的时候，我们就要注意喽，我们去解 这些大题就要用到它的时候就能够做到，哎，看到大题呢，理解到为什么要这样去做，这样做的依据什么？我们菱形有哪一些 明显的特征呢？那下一章节的话，每个小节这个第三个小节是讲的一个正方形的，正方形的话相对简单一点，那么我们也是按照一小节一小节录制的要求啊，给大家讲， 那今天中午也差不多了，就是讲到菱形，菱形最大的几个特征，我们可以一起来回顾一下，叫做菱形的判定定律，对角线互相垂直的平行四边形叫做菱形，还有呢四条边相等的 四边形也是菱形，我们去判定它的时候，按照这个来判定，应该能够很快的得出它是一个菱形，那么菱形 还有什么性质？菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线它是平分一组对角了。 所以中午的时候我们花这个时间呢，跟大家一起去把课本看清楚，读明白了，那我们去理解的时候，就能够把它抓住 本小节的核心，应用在我们的练习以及解答题之上。好了，这是我们说到的这个部分，那这个部分就到这里了，拜拜。

三十天带叉车逆袭，我们来到计算打卡的第二十三天，看一下八下的五道计算题。你问下列一定是二次根式的，它属于二次根式呢？我们根号下面这一坨，它必须得满足大于等于零吗？非负吗？观察一下 这个里面能谁能保证大于等于零？只有 a 的 平方是大于等于零的，然后方加一呢？ b 能保证大于等于一，从而保证大于等于零嘛？他能保证是非负的，其他都保证不了，一定要有平方作为支撑，然后数，哎，我这是正负吗？也不能确定，这你还平方是有，但是它是减去一个数，所以这里能够满足条件的应该选 c 选项 这条。哎，他呢，他肯定是大于等于一的，从而大于零，肯定满足条件，代数是有意义的，我们注意两个点，一个在分母，我们的分母不能为零。第二个在根号下面，根号下面这个要大于等于零，只要满足关注这两个点就 ok 了。我们观察下这个式子， 根号下 x 加三分之一，这个是不是关注两个点， x 加三在根号下面是不是得大于等于零？另外呢，根号下 x 加三呢，是不得不能为零啊，做分母。所以呢，你可以推出 x 加三呢，是大于零的，从而推出 x 大 于负三，所以这一坨推出 x 大 于负三。 再看下右边只有根号，那我们根号下面这个四减三 x 四减三， x 是 不是应该大于等于零？所以我们的负三 x 大 于等于负四，从而解的 x 小 于等于三分之四，他推出 x 小 于等于三分之四。 好问满足这个条件的整数有多少个？我们大致划去读，划个数轴。三分之四是介于一到二之间的，然后负三等于负三不能取到。小于等于三分之四，那中间的整数有负二呢？负一呢？零啊，有一二三四个。答案，选 b 最减二次根式是同的二次根。什么叫同的二次根式？比如说根号二，二倍根号，三倍根号，这些倍根号它能加起来，能合并的叫同类二次根式，也就是我们根号下面肯定是同一个数，也叫同类二次根式。嗯，我们可以说三 a 加 b 呢，必须等于 a 减 b， 那 么想，所以二 a 呢？二 b 的 解的 a 必须等于 b。 嗯，公式二减四呢？它不等于二吗？因为它的三，所以 a 等于 b 呢？它这一带进去嘛，乘以三减三，六减去三等于等于三的。好了，一个同类根式的一个概念。第四题，根式有意义。那只要满足我们根号下面大于等于零就可以了，这个比较简单，所以解的 x 大 于等于一，可以范围直接填 x 大 于等于一就 ok 了。 第五题是让我们的分母有一法啊。第一个分母有一法比较简单，因为五可以写成根号五的平方， 所以呢，约掉一个根号五，是不是分母它就不含一个物理数了。所以这题答案是根号五，这个分母有一加根号三是二，怎样才能消掉呢？我们分子分母同时乘以一减根号三，改变整个分式的大小，所以呢，它成了一减去三 等于二减去二倍根号三，分母变成了负二负二，二减二倍根号三，二可以约掉。同样是负一，一减根号三， 所以应该是根号三减一，他化简完应该是根号三减一。好，我们去掉分母的含。这种多项式啊，是用平方差公式来解决的。掌握好第三万我还是有力数。我们可以 根号 x 减一同时乘以根号 x 减一，还这样， x 方减一乘以一个根号 x 减一，所以他应该是等于 x 减一分之 x 方减， 它写成一式分解的形式来乘以括号 x 减一。不是可以约分呐，这中间可以约掉，所以答案应该是 x 加一乘以括号 x 减一来。答案是这个。这就是今天的五道计算打卡，我们明天同时也继续打卡，同学们坚持住。

小李，紧急事，西边三号楼一层窗户必须马上验收，耽误工期，后果严重。 收到主管我立刻过去，脚手架没拆窗框，另一组对边挡死了，只能测一组对边，你挑战一下，找个高效方法，务必快速准确，不能出错， 空间窄，只能测一组对边，可这到底能不能快速判定平行四边形对边一百五十厘米完全相等，弹了末线也平行，可仅测这一组对边，真的能判定吗？万一有偏差就麻烦了，这个挑战能成功吗？ 同学们，我们先来一起梳理一下已经学过的平行四边形判定方法。 根据平行四边形的性质，我们知道平行四边形的一组对边平行且相等，那我们来猜想，只有一组对边平行且相等的四边形是不是平行四边形？今天我们就来学习一个更简易的平行四边形判定定理。

施工现场新进场了一批用于外墙的平行四边形玻璃，专业人员正带领小验收员们验收这些玻璃是不是平行四边形。同学们大家好，欢迎大家来到外墙玻璃验收现场， 大家请看，这批玻璃看着都是平行四边形的模样，但他们到底是不是标准的平行四边形，能不能安全安装到高楼上，就需要我们用专业方法来验收。今天同学们跟着我一起学会判断这些玻璃是否合格。 首先我们要测量一下它的两组对边是不是分别平行。然后我们可以用量角器测量玻璃的两组对角， 如果两组对角分别相等才是平行四边形。我们还可以测量玻璃的两条对角线，如果这两条对角线互相平分，那么也能证明这是平行四边形。 还有一种方法，我们测量一下玻璃的两组对边是不是分别相等，两组对边分别相等，那么他也是合格的平行四边形。我刚才讲的这几种方法都可以用来验收玻璃形状是否符合设计标准，大家明白了吗？ 明白了，我们学会判断这些玻璃是不是标准平行四边形了。同学们，平行四边形有着极强的实用价值， 在我们身边随处可见，建筑领域的外墙装饰、桥梁支架，日常生活中的门窗框架，还有工业生产中的各类构建，都能看到它的身影。它凭借广泛的应用场景和实用的性能，成为我们生活中不可或缺的图形。 今天就让我们一起深入学习掌握平行四边形的判定方法，解锁它的实用奥秘。同学们，大家看这个平行四边形它有哪些关键特征？谁能试着说一说？ 回答准确，大家把平行四边形的核心性质记得很牢。那什么是平行四边形？咱们判断一个四边形是平行四边形最基础的方法是什么？ 没错，定义是我们判定平行四边形的基础。大家想想，咱们已经知道了平行四边形的性质，对边相等、对角相等、对角线互相平分。 那反过来思考，如果一个四边形满足对边相等，它一定是平行四边形吗？满足对角相等，对角线互相平分呢？今天我们就来研究，除了两组对边平行，还有哪些条件也能判定一个四边形是平行四边形。

好，同学们好，我们来看一下今天晚上初二的数学加练，是我们师院附中前年的月考真证，那么一起把一些大家易错的重点题型一起过一下。首先来看到我们第七题，第七题 函数随 y 的 增大而减小， d 减函数，我们是过 k 角 k 角吗？ k 角小于零对不对？所以这道题就是我们的 k 减三要小于零，因此我们的 k 就 要小于三，选择我们的 d 选项， 那往下来看到我们的第九题，第九题分式方程解为非负数，那研究分式方程解，首先拿到第一步要干嘛？一定要反过来，你的分母不能为零，对不对？这是做所有的题的前提，所以我们知道二 x 减一是不能等于零的，因此等一下，你的 x 是 不能等于二分之一的。 然后接着往下，你要研究减，你就要干嘛去分母，对吧？合并同类项，我们把 x 给它写出来，那所以两边同乘，二， a 减一，我们得到 m 加三会等于我们的二 x 减一，一项，我们得到二， x 会等于 m 加四， 所以我们的 x 就 会等于二分之。 m 加四，那这个东西为非负数，也就证明你的你的分母已经是二了，所以你的分子一定要是正的，对不对？所以 m 加四要大于 等于零。很多同学这里漏掉一个等于零啊，非负是大于等于零的，然后并且呢， x 是 不能等于二分之一的，对吧？也就说你的 m 加四是不能等于一的，那综合这两个，我们应该选择我们的 b 选项大于等于负四，且不等于负三。 那往下来看第十题，第十题满足 x 等于 y， 那 么叫做我们的不动点，那像说了，这个直线上有不动点，不动点数就代表 x 会等于 y， 对 不对？那所以你整个直线是不可以改写成我们的 x 会等于三， x 加 b 没问题吧？那所以我们可以得到我们的二， x 是 等于负 b 的， 因此我们的 x 实际上是等于负二分之 b 的。 那有了之后，你的负一是要小于等于负二分之 b 小 于等于三的， 然后两边同乘二，再去倒一下，所以我们得到负六会小于等于 b 小 于等于我们的负二，那因此这道题选择我们的 d 选项就完成了。 哎，小于等于二写错了，所以选择我们 d 选项。那往下来看到我们的第十二题，第十二题分式值为零，一定要记住，分母是不能为零的对不对？并且分子为零，所以 x 平方减四等于零，我们是可以得到 x 会等于负二，然后并且 x 是 不能等于负二的，所以这题选择填我们的二， 然后一次函数也是一样的，一次函数要干嘛？最高次数为一，所以我们的 m 平方减三要等于一，并且呢， m 减二是不能等于零的，所以综合出来，我们的 m 应该是等于负二的。 那往下十四题， k 小 于零，负三是一个递减函数，对不对？递减函数我们说会随 x 的 增大而减小，所以这题 x 越大越小，那因此干嘛选择填我们的大于号？那往下第十五题，分式无解，问题 第一步，去分母，对吧？两边同乘，我们的 x 乘 x 减三，我们可以得到 x 乘上二， m 加 x 减去， x 乘上 x 减三，要等于我们的两倍的 x 减三，然后去过后，我们得到二 m， x 加上 m 加上 x 平方，减 x 平方加上三 x 要等于我们的二 x 减六一项， 二 m x 加上三 x 减二 x 要等于我们的六。随便合并同类项，我们得到 我们这里应该是二 m 加一倍的 x 要等于我们的六，对不对？好，他就不可以了。那么这无解分为两类，第一类什么？第一类是分式方程增根的情况，增根情况也就是什么？也就是你的分母为零吧，对不对？所以第一种情况就是 x 等于零的时候，那 x 等于零，这个有解吗？这个是无解的。 然后第二个呢？第二个分母为零，还可能是 x 减三等于零，对不对？即我们的 x 会等于三，这时候带进去，我们得到二 m 加一会等于我们的二，所以 m 应该会等于我们的二分之一， 这是第二个情况。然后无解和增根的区别在于什么？第四，还有第三种情况，就是什么令你的系数为零，对不对？所以还有第三种，二 m 加一等于零，解出来，我们的 m 应该会等于我们的负二分之一。哦，这里写的是二分之三，写错了， 所以这里应该会等于我们的负二分之一。因此综合出来，这带进来三六，这里是负六，不晓得你写错了，所以这应该是负的二分之三。改一下， 二 m 加一会等于，这里是二， m 加一会等于我们的负二，所以这第二个应该是负二分之三，所以这题答案应该是负二分之一，以及我们的负二分之三。 那往下来看到我们第十六题，第十六题一定要看懂这张图的每个阶段，代表是他做了什么动作。那现在说两辆车，快递车和货车一起出发，并且匀速，然后现在快递车先到，对吧？到了已递之后卸完，然后又要 又花了四十五分钟，所以你可以发现 o a 这一段一定是两辆车一起走的，对不对？那 a b 这段呢？为什么它们距离拉近了，说明什么？说明你呢已经到达以地了，所以 a 点就是你的这个快递车到达以地的，所以 a b 这两个点之间 代表什么？就代表你卸货装货的四十五分钟，对吧？这些状态一定要理解。然后现在说匀速返回再相遇，所以到点 c 就是 我们的相遇，那货车速度给了货车是六十千米每小时，然后现在 给了几个结论，第一个或快递车从甲到乙地的速度为一百千米，这对不对？来，首先看一下一百，首先第一段 o a o a 三小时一百二十千米代表什么？代表他们之间的差距对不对？所以你速度一百二十除以三，并且呢要加上什么？加上？你看这一段 货车速度为六十千米，所以应该是差值，加上你加上货车本身的速度，是不是就会等于我们快递车的速度，对不对？一百二除以三十，他们之间速度的差值也就四十四 十，加上货车本身速度是六十，所以你快递车速度应该是我们的一百千米每小时，所以第一个是对的。然后第二个呢？甲乙两地之间距离为一千二 一百二十千米，那我们已经知道你速度是不是有了，对不对？你走几小时？三小时，你的快递车到达了，所以你第二个的距离应该是我们的一百乘三，所以应该会等于我们的三百千米，因此这第二个是错的。 那往下来看到我们第三个 b 点坐标，那 b 点你的横坐标是不是有了，对吧？横坐标是没问题的，横坐标应该你又花了四十五分钟，然后记得单位换算，四十五分钟应该会等于我们的四分之三，这是没问题的。然后 y 值呢？ y 值就是一百二，减去什么？减去你这四分之三里面货车走的速度吧，对不对？所以也就是一百二十千米， 减去四分之三小时，然后货车速度是六十乘上六十，那算出来确实会等于我们七十五，所以这第三个点也是对的。然后第四个快递车从乙地返回，速度为九十千米每小时，那返回就是 bc 这段，对不对？ bc 这段差值，那我们可以知道，已经知道了 点。 b， 这里横坐标是四分之十五，那所以这里应该间隔了一个几，这应该是我们的四分之七，所以间隔间隔了二分之一小时。二分之一小时它可以直接干嘛？ 二分之一小时之内，它，它们，它们直接相遇了，所以你的速度也是可以求的吧，对不对？路程你已经有了，路程除以时间加上基底，所以这第四个也是对的，只要能明白，只要能明白这个函数每段 每一段时间他递增递减是为什么，代表什么运动变化，你就可以解的解出来。 那往下我们看第二十二题，二十二题，一个函数问题呢？求解析式，解析式，记住啊，横坐标，纵坐标，不要搞混了，昨天晚上发现有些同学横坐标搞混了，导致解析是错，这很不应该啊。然后现在给了我们的横坐标是三，面积是三，那证明什么？你高不就是我们的二分之三吗？ 然后所以算出来，我们的高应该就是二，对不对？所以整个面积才会是三，那因此 a 点呢？坐标是有的， a 点应该是三等负二，所以带入进来，你是不是已经给你设完了 y 等于 k x， 你 带进去你的 k 数有了，对不对？所以这道题应该是 y 会等于带进去，应该是等于我们的 负三分之二的 x， 这才是对的。很多同学写了个负二分之三，这错了，然后往下第二问，他现在找到一个点 p， 使得我们 a o p 面积为五，那么高度是不是已经固定了？高度是不是二，对不对？所以面积为五，证明什么？证明是你的整个底边要是几，底边要是十， 问题吧？也就是说绝对值的 o p 是 要等于十的，那绝对值 o p 等于十，有几种可能？一定在左边或者一定在右边吗？是不一定的，对不对？所以一旦你这个东西是在我们的左边的话，那你看看整个高是二， 你底边要是十，所以这里的点 p 应该等于几？ 这写错了，不是绝对值 o p， 而绝对值的 h p， 对 不对？那我们重新来看一下，这个高是二，所以我们说底边上十，那因为是 a o p， 所以 第一个点 p 一定在这里吧，对不对？这时候这是第一个 p， 那 这时候 s 三角形 a o p e 竟然会等于我们的五，那就是会等于二分之一的高度，就是我们的绝对值 a h 乘上我们的绝对值的 o p， 那 所以我们可以得到我们的 o p， 二分之五乘上我们的 o p 会等于五，所以 o p 实际上应该是等于我们的几的等于我们的二的吧，对不对？ 哦，不是，这写错了，不小心就会等于我们的绝对值的 o p， 因为这里是二，所以绝对值 o p 等于五。那因为是负半轴，所以我们点 p 坐标数有啊，点 p 的 横坐标应该就是我们的 负五吧，对不对？所以第一个点就是我们负五到零，然后第二点一样的，你既然可以在左边也可以干嘛？是不是也可以在右边，对吧？那么假设第二个点在这，这是我们的 p 二，那这时候整个三角形就长这样了， 那这时候 s 三角形 a o p 二还是会等于五，那就会等于二分之一的还是我们的绝对值 a h 乘上我们的什么 o p 二，对不对？那所以还是会等于绝对值的 o p 二，因此这时候是正半轴，所以第二个点 p 应该就是五斗零，实际上是一，是一个成对称的，也就是令我们的绝对值 o p 等于十，年龄基数一定等于五就可以了。 那我们下来看二十三题，二十三题利润问题，进价好列吧，列一个方程组就行了。那我们可以假设，因为他问进价，那么假设甲的进价为 x， 乙的进价为 y， 是 不是？那可以列出第一个 三百六十元购进甲种的商品，件数和一百八购进的是相同的，也就三百六十除以 x， 要等于我们的一百八除以 y， 第二个呢？进价对不对？还给你设了 甲的进价是 x 加六十。哦，这题已经给你设完了，所以我们就不用再列一个二元了，对不对？直接根据它的去列就行了。进价已经是 x 加六十了，所以我们得到三百六 除以我们的 x 加六十要等于我们的一百八除以我们的 x， 然后去解出来就好了解出来我们的 x 应该会等于六十，那因此甲这里是一百二，乙这里是我们的六十就好了。这第一问， 然后第二问更简单，第二问是我们的利润问题，利润只要记住它怎么列就行了，利润会等于我们的单个数，单个利润乘上你的数量，对不对？那我们进价已经有了，售价也有了，甲的单利是多少，单利是不八十，对不对？所以甲总的应该是八十乘上数量也就八十， a 加上乙的单利是我们一百减六十，也就四十乘上你的数量，总共五十件，有 a 件是 a， 所以 乙应该是五十减 a， 然后这个东西给它算出来，等于我们四十， a 加上我们的两千，那先要求最小值，最小值， 因为 a 是 大于等于三十，对不对？所以当 a 等于三十的时候，一定会取到最小值， w 的 最小值应该会等于我们的三千二百元。这题就完成了，那往下来看第二十四题，二十四题一个关联分式， 那关联分式，什么叫关联分式？相加会等于一个定值，我们就叫关联分式。那像第一问，第一问让我们求出 k， 你 是 a 加 b 就 好了，对不对？ a 加 b 很好加，加起来等于二，你直接相加就好了，因为是同分母的分式，那往上我们第二问的第一个， 那像说这两个互为关联分式，而且关联值已经给你 k 等于二，那不就代表 c 加 d 要等于二吗？对不对？所以整个去进行计算就好了。那两个相加我们还是要先通分，我们得到 x 加三，乘上 x 减三， 上面是我们的二 x 减一，要乘上我们的 x 加三，这里是加上一个 m， 然后整个去给它拆分开来，等于二就好了。比如说两边同乘，我们得到两倍的 x 加三，乘上 x 减三，要等于我们的这里是我们的二， x 平方加上五， x 减去三，加上 m， 那 右边我们可以给它跳一下，右边实际上就是我们的二 x 平方减去十八，所以该约约，我们就可以得到 m 整个移过去，我们得到 m 应该等于我们的移过来，应该是负 x 减去十五就完成了。 然后第二问一样的 d 的 值为正整数，你 m 是 不是有了，你带进去就就就好了，对不对？所以第二问的第二个，我们的 d 会等于我们的 x 减九，那就是 x 加三乘上 x 减三 分之 m， m 是 负五， x 减十五，你提个负五就会变成我们的 x 加三，所以整个题应该会变，变成我们的 x 减三分之负五，对吧？那这个东西为正整数，说明什么？说明 x 减三一定要小于零，对吧？一定一定要同号怎么读到 x 是 小于三的？那因为是整数啊，不是， 是一个整数，所以你你要符合什么？符合 x 减五一定要是负五的因素，所以这题我们的 x 减三只能是负一或者呢？负五，对吧？所以算出来我们的 x 要么等于二，要么等于我们的 负二。那这题都可以吗？一定要记住啊，你分设题要干嘛？分母不能为零对不对？分母不能为零，证明什么？ 证明这个东西 x 是 不能等于正负三的，那所以你整个去大一下，负一负二，而且值 x 的 值要为正整数， d 也要为正整数，因此 是不是只能等于二，对吧？这题就完成了，只能等于二。那往下再来看我们第三问，第三问，现在这两个是关联分式，而且关联值给你了，那你还是怎么做？是不是相加，对吧？把他们加在一起，那我们通分一下，我们得到 x 减四分之， x 减五，乘上 x 减 b， 然后这里提了个符号，所以变成减的减去我们的 x 减 c， 乘上我们的 x 减五。这个东西是要等于五的，那还是一样的，去括号 x 平方减去 a 加 b 倍的 x 加上我们的 a 乘 b， 减去 x 平方加上五 x 加上我们的 c x， 然后减去我们的五 c 是 要等于五 x 减二十的。该约约平方向没掉了，五 x 也没掉了， 所以左边应该剩下我们的负 a， x 减 b， x 加上我们的 a 乘 b， 然后这里是加上 c x 减去五 c 要等于我们的负二十，因为 c 是 不给你了， c 会等于 a 加 b， 所以 你会发现这些，这这三项全部干嘛消掉了？所以就只剩我们的 a 加 b， 减去五倍的 五 c， 那 就五倍的 a 加 b 要等于我们的负二十，那就是 ab 减去五， a 减去五 b 要等于负二十。现在 你要让它为什么数为整数，对不对？那这种取整问题不就用一个字母把另一个字母表示出来吗？比如说我们要把 a 表示出来，那我们就把 a 合并同一项，对不对？合并出来，我们得到 b 减五倍的 a 要等于我们的五， b 减二十，所以 a 会等于 b 减五分之五， b 减二十， 那它取整就我们什么法？分离常数法吧，对不对？这种成倍数关系了，我们就凑出五倍的分母，那本来减二十，你像有减二十五，所以要加上我们的五，那还是 b 减五，所以整个会等于五，加上 b 减五分之五。 那现在这个东西要取整是不是简单了，对不对？只要另这个为整数就行了。并且那你就可以算出我们的 b 减五，要么等于正负一，要么等于我们的正负五，那这个会的 b 数可以算，对不对？ b 会算你的 a 数，可以往回带出来，对不对？ a 带出来，你 c 数就有了，所以这道题就完成了。好，今天佳丽到此结束。

hello， 大家好，我是大志老师，今天我们一起和家长来看到的课本是叫做四边形 八年级下册，那么二十一张四边形我们在小学的时候就已经接触很多了，是吧？我们现实生活中都有四边形的形象哦，那比如我们说常见的一个什么 啊？四边形呢？我们说的一个什么啊，门框呢等等，建筑啊等等，然后伸缩门呢？除窗户啊，那我们在小学学的时候，我们知道什么是四边形，而学了长方形，正方形，平行四边形，还有梯形等等， 这些图形都是有关四边形的知识，那么本章呢，我们就会进一步深入的去探讨学习一下四边形， 那么特别是在哪里呢？在他的一些呃概念之上，掌握他们之间关系，利用已有的几何知识去探索，并且去证明他们的。我们说到什么，第一个是他们的性子 还有什么性质啊？然后还有他们的一个呃性质过了之后我们要去证明，或者说我们叫做判定，证明他是什么 不行，所以性质有证明从哪里来？去找我们这里就要看清楚了啊。好，这是说到了这个，那往后看的时候，哎，平行四边形 在我们这边会涉及到哪些知识？尤其是正题到一些特殊的四边形会是什么样的图形呢？ 那么我们一起来看到第一个章节，四边形，即多边形，那么四边形和多边形，那和三角形 一样的四边形，它也是些什么？我们说它也是一种基本的几何图形， 那我们去类比三角形，去学习它的概念，并且把它推广到多边形。那么多边形首先会看到第一个四边形的顶点，四边形的边是什么？ 四边形对吧？在平面内注意我们的一个圈定的范围，现在确定在平面内有不在同一直线上的四条线段，首尾相接，依次 相接组成的图形叫做四边形。那四边形，呃，组成四边形的各条线段叫做四边形的边， 那么每相邻两条线段的公共端点叫做四边形的零点了。那么同样的，我们去看到右图 这个图写了一个四边形 a、 b、 c、 d， 我 们记住四边形 a、 b、 c、 d。 那 么往后看，下面图形该怎么去表示呢？比如说图二一点一、杠二 这些整个的图形中，我们会发现它的没有特殊说明的时候，我们所讨论的四边形都是凸，四边形有些是凹的，是吧？ 那么看到这里的时候，一它是凸的，呃，就不是，因为画出来不是凸，是边形的，画出的边 c、 d 或 bc 所在直线都不在这条直线的同一侧，都在里面去了。 那么连接四边形不相邻的两个顶点的线段交它的对角线，比如说这个 a、 c 是 它的对角线，这里 b、 d 也是它的对角线，所以它们的关系就是说对角连在一起，这个线我们知道它概念叫做对角线，那同样的和三角形类似喽，我们四边形相邻 两组，两边组成的角叫做四边形的内角内角，那么剪成四边形的角的一边，以另一边的延长线组成角，叫做四边形的外角。 外角。请注意，我们来看到下面这个图，我如果这里画出来 四边形的外角出来了，那么圆长 a、 d 四边形的外角出来了，所以在这里的时候，我们就要去想一想，去找出外角，第一时间能不能快速看出来。第二个我们思考的时候，三角形 内角和是一百八十度，长方形的内角和是三百六十度，那么任意的一个四边形内角和是多少度呢？ 首先长方形它也是个四边形，对不对？那我们是能猜一猜，哎，那么猜一猜的话，它的内角和是不是三百六十度呢？看到下面的一个小小的证明题， 由这两个三角形组成， a、 c、 abc 和 abc， 那 在这里面之中看到四边形被它分为两个三角形，那么一、 三、 b、 二、四、 d 分 别相加等于一百八十度， 那么这两个这些角， b 角、一角、二 b、 b、 d 角、一角、二角、三角四相加，就等于它的内角和四边形，那四边形内角和刚好等于两个一百八十度相加，那四边形的 内角和就等于三百六十度。在这里了。好，那么我们来看到例题一的部分， 其实这部分都是一个了解的部分呢，所以他的概念给出的也快，他的推导过程中呢，也是会相对来说简单一点的。比如说第一个四边形的外角和等于多少度呀？ 外小盒，那就把它外角都标出来，你看角 d、 a、 b 与角一，这两个角对吧？是零补角，角二和它， 角三和他，角四和他，一、二、三、四相加等于一二，里面四个红点相加，那就等于三百六十度。所以四边形得出来了，他的外角和是三百六十度了，三百六十度了。 那么在三角形这一章中，我们通过发现他的一个特征来看到三角形的一个特征是三角形具有稳定性，我在学习三角形的时候也明白了道理，那么四边形是不是也具有稳定性呢？研究一下，看到下面的 在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后去扭动它，会发现它的这个图形啊，很容易去变形，因为四边 形的四条边确定后，四个角并不确定，就说明了四边形不具有稳定性啊，再加一个木条变成两个三角形了，那他就很顽固了，所以在很多时候要注意 它的简单特性，尤其在应用中，生活中，实际中总去用啊，因为它的不稳定性可以用了做升降车，门窗，还有我们做推拉门。 那么第一章的练习就是让大家去熟悉第一个知识点，内角和是等于内角和等于三百六十度，所以这里你只管用它去求 减九十度，减啊，等于他，这两个角就是相等的，对吧？然后这里七十十二个是等于三百六，这里呢，一二三和他，他又等于什么？算出他 就可以了，三百六减一二三算出来了，所以这里的话会简单一点，我就不多说了。那么第二个，第二个小直角，那多边形及其内角和 那么多边形的生活中也很常见，窗户上蜂巢，然后我们说的这个观景台， 对吧？多条线段。那什么样的组成的图形叫多边形呢？在平面内由 n， n 是 大于三条的时候，等于三的时候，是能得出组成的首尾相接的 图形，六边形，对吧？那你看我们这图像中通过类比去找出它的特质，那么 与四边形相类似的是在多边形的，呃，图形中有的是凸的，有的不是凸多边形，那么今后我们没有特别说明，都是讨论的凸 多边形，那我们知道什么正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样正方形，这样各个角都相等的话，边相等的啊，叫做正多边形啊，正多边形 好，正多边形，这里有正三角形，正方形，正五边形，正六边形， 那么我们去看看，通过我们发现，哎，那么他有没有什么公式可以求他多边形的内角和呢？从五边形一二三四五开始，一个顶点出发可以做几条， 我们一个顶点出发几条，这条，这条线一二没了吧，两条，所以他们将五边形内角和就等于三个 三个三角形相乘，噢，那么六边形可以做三条，那么三条一二三四四个 等于四乘，它依上这个规律的时候，哎，我们就会发现，一般的从 n 边形的一个顶点出发，可以做 n 减三 条对角线，那么 n 减的分为 n 减二个三角形， n 边形的内角和会等于 n 减二的差乘以一百八十度。所以这样我们就顺理成章的去推出了多边形的内角和公式，那是什么等于 n 减二的差乘以一百八十度， 那么这个角的关系让我们去明确了，哎，可以通过对角线分三角形去推到它的特征，那么以四边形类似多边形 的每一个内角与它相邻的外角都是零角，因此 n 边形的内角和与外角的和总等于 n 乘一百八十度，外角和就会 化简出来，等于三百六十度。所以这里只需要你记住结论，多边形 的外角和等于三百六十度，这个算完之后，哎，推完之后我们就能很快的去能够拿出来应用了， 比如说立体啊这种纯考公式的，那要注意了，一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那外角和我们刚刚知道了，我们要把它记清楚了，是三百六十度，它两倍乘以 r 喽， 然后还有前面多边形内角和是 n 减 r 的 差乘一百八十度， 他们两相等，那个等啊，然后再去公分，再去月份啊，画完之后求出 n， 最后告诉我们 n 是 一个六边形， 下面练习题一样的，根据公式去套去带，千万不要带错了 啊，那我如果他有体验的就多去思考一下。这些题目基本上属于给大家温习新刚刚学过了四边形的一些基础的概念啊， 那我们这一张结就会到此结束了。了解了它的公式， n 减二的差乘一百八十度，还有它的外角和公式，外角和是三百六十度了，还有什么呀？多边形的，呃，从一个顶点 可以做它多少条对角线，可以把这多边形分成几个三角形相加的和就是 它的面积了啊，就它角的度数啊，多少个一个？一个是一百八，三个就是一百八乘以三。所以说这个时候这些基础知识需要大家去牢固一点，去想到为什么会这样画，那么学会这个 对于我们后面学是二十一点号就会很大的帮助了，所以我们今天先到这里吧，拜拜。

同学们大家晚上好，今天我们继续分享初中数学知识点，即易错题。今天晚上分享的是八年级下册第一次月考的试卷当中的一道易错题， 接下来跟苏老师一起来学习。在三角形 a、 b、 c 中，边 a、 b 角 a、 c 与点 d 边 bc 边上的垂直平分线 l 二交 a、 c 于点 e、 l 一 l 二又相交于点 f 过点 f 做了一个 f m 垂直 a、 c 连接 b、 f。 第一问，角 abc 等于一百一十三度时，求角 d、 b、 e 的 度数。 好，这道题考察的知识点是线段，中垂线的性质，那么中垂线上的点到线段两岸距离相等， a、 d 就 等于 b、 d， 我 们就能得到角 a 就 等于这个角一。同理，角 c 也等于角二， 那么又因为角 a、 b、 c 等于一个一百一十三度，所以根据三角形内角和角 a 加角 c 就 等于六十七度， 即角一加角二也等于六十七度，所以 d、 b、 e 就 等于一百一十三减六十七就等于四十六度。第一问就做出来了，那么解题格式应该是这个样子的。 解圈圈一，因为 l 一、 l 二 分别是 a、 b、 bc 的 垂直平分线，我们简称为中垂线， 所以我们就能得到 a、 d 等于 b、 d 还能得到 e、 c 等于 b、 e。 中垂线上的点到线段两端距离相等。又因为角 a、 b、 c 等于一百一十三度，所以我们可以得到角 a 加上角 c 就 等于六十七度。根据三角形内角和定义，所以我们就能得到角一加上角二也等于六十七度， 所以角 d、 b、 e 就 等于一百一十三度。减去一个六十七度就等于四十六度。 第一问就完了。第二问，若三角形 b、 d、 e 的 周长等于二十四， b f b f 又等于十五，让我们求 f m 的 长，求这段的长， 那么这个三角形 b、 d、 e 的 周长等于二十四，我们就能得到 a、 c 的 长，就是二十四。 那么我们连接这道题，要连接 a、 f， 再连接一个 c f， 因为 a、 f 等于 b f 中垂线上的点到线段两端距离相等， 那么 c f 又等于 b f， 所以呢，我们能得到三角形 a、 f， c 就是 一个等腰三角形， 做垂直以后呢，就能得到 m 也是 a c 的 中点，那么 a c 等于二十四， a m 就 等于十二，我们再根据勾股定律就可以了。分析清楚了以后，我们来看一下公式。 因为三角形 b、 d、 e 的 周长等于二十四，所以我们可以得到 a、 c 的 长，就等于二十四。又因为 a f 等于 b f 等于 f c， 所以 a f 就 等于 f c。 这个地方我们要加一个啊，要加一个连接 连接 a、 f、 c f 好， 那么 a f 又等于 f c 了，所以我们可以得到 am， 就 等于 mc， 就 等于二十四的一半呢，是十二 好，所以 f m 就 等于根号下，我们在这个直角三角形里面，根据勾股定律，就等于十五的平方， 减去十二的平方，最后就等于九。同学们，你们听明白了吗？

三十天的叉车练习，我们来到八下计算打卡第二十二天，看一下今天五道关于分式方程无解的情况讨论。先解这个分式方程，分母左右两边同乘， x 减二，这样 此时无解的情况有两种，一种我们的 a x 等于 b 的 形，这种情形当我们的 a 呢，如果等于零， b 却不等于零，此时是无解的，也就是类似于这种 a x 等于 b 的 形式。第二种情况，也就是使分母等于零， x 减的等于二， 那就是两倍的 a 减一等于二的时候，此时方程不减，我们可以解的 a 呢，是等于二的。就答案有两个，一或者二。第一题，看第二题， 他说方程的解是非负数，我们解一下左两边同乘， x 减一，解的 x 应该是等于二分之五减 m， 乘的解是非负数， 五减 m 是 要大于等于零的，但是要记住，我们的 x 肯定不能等于几，不能等于一。就这个东西，它不能等于一，等于一，为什么不行？因为此时等于一的话，方程有增根，方程无解，它就不是贪于我们的讨论了。所以满足这两个条件，我们算一下，第一种，我们解的 m 应该是小于等于五的。 第二种，五减 m 不 等于二， m 呢，应该不等于三，不等于三小于等于五，小于等于三小于等于五的一些整数就有一二三不行四五。所以答案应该只有四个易错题啊。第三题，乘有正整数减，我们减一下，区分母 x 等于六减 k， 他说此时有这种数，也就是六减 k 是 不是大于零的，解的 k 应该小于六的。注意，我们的六减 k 不 能等于几，不能等于三，所以呢，根呢？零不等于三，小于六，求等于三。方法应该是实际错题啊，你忽视我们五减的情况，分母等于零的情况，增根。 第四题，方程五减去分母左边，两边同乘 x 加 x 减二，括号移到左边，方程五点。那么有两种情况，第一种情况，我们的 m 减一等于一加二，情况是怎样的呢？当 x 等于二或者负二时， 那分情况讨论又要 x， x 等于二的时候，就带进去两倍的 m 减一等于负十。我们解一下啊， m 减一呢，应该等于负五减的 m 等于负四，这个 m 等于负四，当 x 等于负二的时候呢？负二倍的 m 减一等于负十， 也就是 m 减一呢？我觉得应该是等于五的 m 应该等于六。所以在根的情况下，有两个值啊，一共应该是有 m 等于一可以， m 等于负四也可以， m 等于六也可以有三种。答案，一，四或六。这么填， a， 方程五解仍然解方程这两边同乘， x 减三降乘乘五解。第一种情况，当我们的一减二， a 如果等于零的时候，解的 a 等于二分之一。 第二种情况，减二， a 不 等于零，但是 x 呢？会使我们的分母等于 x 等于三，那就带进去三倍的一减二， a 等于负三， a 三减六， a 等于负三， a 是 三， a 等于三，接着 a 呢？ e， 这有两种情况， a 等于二分之一或者 e。 好， 这就是今天我们扒下的五道计算。打卡，明天同时间我们继续。

你们看，这个伸缩门的每一个格子都是标准的平行四边形，难怪它能灵活伸缩，不会变形。散架 对两组对边分别平行，完全符合我们即将学习的平行四边形定义。而且它能变形，就应该是平行四边形的特性之一吧。 没错，平行四边形易变形的特性让伸缩门能自由伸缩，这就是他在生活中最常见的应用，既便捷又稳固。 原来竹篱笆也用到了平行四边形，这些格子都是两组对边分别平行，既 通风透光，又能稳固的围住花园。而且这种平行四边形结构比单纯的长方形更节省材料，还能承受一定的外力，不容易被压变形。 平行四边形不仅易变形，也具备一定的稳定性，竹篱笆正是利用了这一点，兼顾实用性和美观性。 平行四边形在建筑界的应用非常广泛，高楼玻璃幕墙用它兼顾美观与采光，桥梁支架用它分散压力，增强稳固性，体育馆屋顶用它实现大跨度设计，这些都离不开平行四边形的特殊性质。 原来平行四边形的性质能解决建筑中的这么多问题，太实用了，看来我们今天要学到平行四边形性质， 能解决数学题，还能解释生活和建筑中的很多现象。平行四边形在我们的生活和建九中无处不在， 它的易变形、稳定性、节省材料等特点让它成为隐形帮手。今天我们就一起深入探讨平行四边形的边角对角线的核心性质。 根据定义画一个平行四边形，并进行度量，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？ 我们通过度量可以发现对边和对角是相等的，那么怎么证明它们呢？ 现在来证明你的猜想吧， 请你自己证明角 b a d 等于角 d c b。

同学们大家晚上好，今天我们继续分享初中数学知识点，即易错题。今天晚上分享的是八年级下册第一次月考试卷当中出错率较高的一道题，第八小题， 接下来跟苏老师一起来看第八题图啊！图在这，把一张三角形纸片 abc 的 三个顶角向内折叠，三个顶点不重合，则角一、加角二、加角三、 加角四、加角五加角六的度数为多少？首先我们来看这道题，由折叠可知，角 a 就 等于角 a 撇， 角 c 等于角 c 撇角 b 就 等于这个角 b 撇，那折叠以后，这两个对应的小角，它角 a、 e、 d 也等于 a 撇 e d a d e 等于 a 撇 d e， 那 同理，它们都是相等， 对应的都是相等。所以呢，我们就能得到，角一加角二，其实就等于角 a 加角 a 撇， 角一加角二，就等于角 a 加上角 a 片，那么也就是说等于二倍的角 a， 那 同理，角一加角二、加角三、加角四 加角五，再加角六，那它就等于二倍的括号，角 a 加角 b 加角 c， 所以 就等于三百六十度。这道题选 c， 同学们你们听明白了吗？

三十天在叉车逆袭，我们来到阿夏计算打卡的第二十天，我们看一下四月四号的舞蹈计算题，关于分式的化简。我们开始第一题， 他说这个化简的结果是，我们看有没有可以约分的，我们能写成完，写成那个分解形式的，先把它写成一式，分解明显这个 m 方减一，我们可以把它写成 m 加一，乘以 m 减一， 然后除以 m， 再乘以 m 加一分之一。所以呢， m 加一可以通过约分，分母还剩 m， 分 子还剩 m 减一，所以就是 m 分 之 m 减一，所以这题答案应该选 c。 好。 第二题，这个的最简公分母。把两个分母拎出来， 一个是四 a 方 b， 一个是六 a， b 的 三次方。我们先看一下四和六的最小公倍数是几，是一十二吧，所以数字部分是十二。我们再看一下字母，首先看一下这是 a 方，这里是 a， 那 看我们找到相同字母，取最高的那个，所以字母应该是 a 方。记住这一块， 这里是 b， 这是 b 的 三次方，取高次的 b 的 三次方，这就是我们的对减公分了十二倍 a 方 b 的 三次方。看第三题，仍然是找对减公分母， 我们把分母全部拎出来，三、 a、 b 方四 b 的 三次方， c 二、 a、 c 的 平方。先看一下数字部分，三、四、二，这三个的最小公倍数应该是一十二。 好，再观察，有分别，有字母 a、 b， c， 这里是 a， 这里没有 a， 这里有 a。 那 我们就取最多的应该是 a。 再看一下 b， 这里是 b 的 平方，这里是 b 的 三次方，这里没有 b， 可以 看成 b 的 零次方了。那取最高的 b 的 三次方。好，再看下 c， 第一个没有 c， c 的 零次方，第二个有 c， 第三个 c 的 平方，取最高的 c 的 平方，所以最公分五就是十二倍 a b 的 三次方， c 的 平方十四的第四。 这个数的这个整体的平方，我们可以把它写成相当于考 a b 分 之 a 的 平方，它是不是可以写成 a 方除以 b 方，我们先把它改写成这样，所以这里应该可以写成 y 的 三次方，除以负二 x 的 平方，可以写成 y 的 三次方的平方 分 y 的 三次方在平方，它应该是等于 y 的 三乘二次方，也就是 y 的 六次方。好，我们看下分子分母负二 x 的 平方，我们是可以写成负二的平方在 x 的 平方，所以应该是等于四 x 的 平方。对，是这样的， 所以化简的结果就是这个，我们直接填这个答案就 ok 了。好，我们看一下最后一题，同样的这个 y 的 平方， x 的 负二次方，我们怎么我们可以先对它负一次方，然后再平方，所以它就可以写成它的倒数 y 的 平方和 x 的 平方。进一步，它可以拆成 x 的 平方，除以 y 平方的平方，那也就是 x 的 平方 y 的 四次方，所以第一项可以化简成这样， 我们写在这里， x 方除以 y 的 四次方，去除以这个数，那就是乘以这个数的倒数。我们观察一下，看可不可以约分， x 可以 约掉一个，这里 y 的 四次方，约掉，这里还剩 y 的 一次方，所以自始至终应该分母，他就没了分了。还有一个 x y， 所以 答案就是 x y。 好， 这是今天八下的五道计算题，明天同心，我们继续打卡！

第十二题，若 a 方加上四 a 加一等于零，并且这个式子是等于三，要求 m 的 值。 其实当我看到这个式子的时候，我看它有四次方，有三次方，哎，这个看着就很烦，我不喜欢，我只喜欢二次方，一次方长数项，如果出现这个，那就太好了， 那这时候我就想到几个字，降次。这两个字很重要，在这个题目中，我们需要降次，那你要降次的时候，那你首先，哎，这个分值怎么样？分母怎么样？ 这个 a 的 四次方是不是可以写成 a 的 平方的平方？只要你看到 a 的 平方，就可以。用什么来代替角，是不是负四 a 减一代替角？根据题目所给的这个式子，我们知道 a 方是不是恰好等于负四 a 减一啊？ 只要你看到一个 a 的 平方，就可以用负四 a 减一换掉哦， a 的 四方正好是 a 的 平方的平方，所以就是负四 a 减一的平方，这个呢， 是不是可以写成二 a 乘以 a 的 平方，只要看到 a 的 平方，就可以用负四 a 减一的平衡减一来换掉，对吧？好，那这时候我们接下来来处理它，那么这个要写分数啊，看着比较麻烦，我干脆对这个式子进行去下分母，把它移向，把它化简一下，然后再去解决。来看清楚 两边同时乘以这个分母之后，就变成 a 的 四次方，加上三 m a 的 平方，加上六 a， 那因为我们 m 是 要求的，那我把 m 通通移到一边，不含 m 的 移到一边，这个挪过来就变成二 a 的 平，二 m a 的 平方，好，那就是二 m a 的 平方， 二 m a 的 平方等于什么呢？那把这些通通移过去，这是 a 的 四次方，减去六 a 的 三次方，再减去六 a 再加一就可以了。所以这边是 a 的 四次方，减去六 a 的 三次方，再减去六 a 再加一。 好了，那下面我们就开始干嘛呢？这是个平方啊，下面我们就开始降次哦。降次怎么降？第一个 a 的 四方是不是可以写成四 a 减一括号的平方再减去第二个是什么？第二个是六 a 乘以括号是什么？四负四 a 减一，第三个是不是负的六 a 再加一。 好，紧接着下面我们继续看一下，这个等于什么呢？是不是等于负哦，这个平方之后就变成十六 a 的 平方哦。首平方是不是十六 a 平方，尾平方是一二倍乘积放中央，是不是加上八 a 再加一，这个地方减去 哦，是，应该是加负，负得正吗？二十四 a 的 平方再加上六 a 再减去六 a 再加一，合并一下，同了一项，这两个是不是咔咔削掉了？这两个一看正好是多少？嗯？四十 a 的 平方吗？所以立刻这就是一个四十 a 的 平方，加上八 a 再加上二，是这样的一个结果吧。那么对于这个式子，我们看一下再去，难道还再去降吗？不用降了。为什么？因为前面有个 a 方，所以我好希望后面变成 a 方啊。那么根据后面这个式子，我们乍一看就知道什么， 这个东西是不是正好是四十 a 的 平方？来看清楚四十 a 的 平方，再加上把二提取出来，里面比如四 a 加一吗？好，根据题目这样的一个式子，我得到四 a 加一等于什么？ 四 a 加一是不是恰好就等于负 a 的 平方啊？好了，那这个东西不就是负 a 的 平方吗？因为左边有 a 方，所以我希望后面右边也能算出 a 方来，所以立刻就能得到四十 a 方，再减去哦，加上二乘以什么二乘以负的 a 方， 所以化简一下，后面是不是四十个 a 方，减去两个 a 方，总共是三十八个 a 方。 好，同学们感受一下。这边是 m 个 a 方，二 m 个 a 方等于三十八个 a 方，那就是二 m a 方等于三十八个 a 方。哎呀， 两边同时除以二 a 方形不行呢。哦，你要看 a 是 不是为零呢？因为在等号两边必须要除以一个不为零的数， 如果除了为零的数肯定不行，那么我们看他到底为不为零。通过题目我们发现这个式子是不是在分母下面，这个分母肯定不为零，如果 a 一 旦为零的情况下，这个分母是不为零的，分母为零他就没有意义了，所以隐含条件有， 因为 a 是 不等于零的，所以很快就有两边同时除以二 a 的 平方能够得到 m 等于十九。 今后在考试的过程当中呢，其实你看到这种高次的时候，不要害怕，只要你看到高次，你的内心就有这样的一个思想，叫降次思想，只要你有这个降次的思想，你就能够很快的去解决这个问题。 当然这个题目的方法肯定是不止一种的，还有别的方法的，比如说还有同学看到这个东西，老师我可不可以分子分母同时除以 a 方呢？也是可以的，这时候就可以想到我们的支二推二的公式去做，也是完全 ok 的 啊。

同学们大家晚上好，今天我们继续分享初中数学知识点及易错题。今天晚上分享的是八年级下册月考试卷的第二十题， 这道题有百分之七十的同学是没有拿到分数的，接下来跟英子老师一起来学习。 在三角形 a、 b、 c 中， a、 c 等于 b、 c 等于四角 b 等于十五度，求三角形 a、 b、 c 的 面积。 这道题如果你过 c 向 a、 b 做垂线的话，我们是没有办法得到三角形 a、 b、 c 面积的。那这个时候呢，我们一定要想办法构建一个直角三角形， 因为题里面告诉我们， a、 c 等于 b、 c 等于四，我们就能得到三角形 a、 b、 c 是 一个等腰三角形，等边对等角， 我们就能得到角 a 也等于十五度，那么角 b 也是一个十五度，我们可以延长 bc， 我们延长 b、 c 以后就能得到这个角，就是三角形 a、 b、 c 的 外角，那这个角就等于三十度了。我们过点 a 向 b、 c 边做垂线， 做一个 a、 h 垂直于 b、 c， 那 么我们在这个三角形里面，根据三十度的角所对的边等于斜边的一半的话，我们就可以得到 b、 c 边上的高呢，就等于二， 那么 b、 c 又等于四，所以底乘以高除以二，面积就做出来了。分析清楚以后，我们的解题格式应该是这个样子解， 延长 b、 c 做 a、 h 垂直 b、 c。 因为 a、 c 等于 b、 c 等于四，所以三角形 a、 b、 c 为等腰三角形。 然后呢，又因为角 b 等于十五度，所以角 a 也等于十五度，即角 a、 c、 h 就 等于三十度。 然后在 r、 t 三角形 a、 h、 c 中，我们可以得到 a、 h 就 等于二分之一的 a、 c 就 等于二分之一，乘以四就等于二。 所以 s 三角形 a、 b、 c 的 面积就等于四乘二，再除以二就等于四。同学们，你们听明白了吗？

三十天带叉乘逆袭，我们来到计算打卡的第二十一天，我们看下八下的五道计算题。 x 乘以 y 等于 x 减 y， 让我们求 x 分 之一减 y 分 之，我们可以通一下分就变成 x， y 分 之 y 减 x， x y 是 等于 x 乘以 y 等于 x 减 y 的 分子是 y 减 x， 这两是一对相反数。一约分应该是等于负一的， 所以答案应该选 c。 可以 先算括号通分，那就是 a 分 之， a 方分之， a 方减 a 分 之一， a 分 之一加一乘以 a 减一，这是括号内的部分 a， 这个数 a 方 a 减一，我们约分可约掉一个 a， a 减一可约掉， 最终呢？剩下一个 a 乘以 a 加一，所以大家就选这个好。第三题，用科学计数法来表示这个数是多少米？科学计数法，我们应该小数点数到这九点四， 这个 a 乘以十的 n 次方的形式，这 a 呢，是要求的大于等于一小于十，所以要写成九点四。我看小数点移移，移动以后，往后一二三四五六七，这是一个很小的数，移动了七位乘以十的负七次毫米。这里 可以先把括号内通一下分，这个通分的结果我们在草稿上也算一下啊。这边作为草稿， x 加一分之两倍的 x 加一减去，就等于 x 加一分之二， x 加二减 x 加一。 分子整理是 x 加三除以， x 加一。边是等于 x 加三除以， x 减加一除以。我们把分子整可以写成 x 加三的平方， 分母写成 x 加一乘以 x 减一除以，这个数等于乘以这个数的倒数。进一步约分消，这里也消，最终分母还剩 x 加三，分子还剩 x 减一， 这是化简后的结果，这就是我们继续往下走， d， d 化简求值，先化简再求值，等于括号里面的，这里可以进行元素分解，这里是 a 通分括号的位置。先算一下啊，这就是 a 加上二， a 方减五， a 加二，再加上 a 加二， 那他应该就是 a 方减四， a 加四，除以 a 加二，所以这个数 a a 方减四，可以先 a 加二，乘以 a 减二， 然后呢？ a 加上二的平方。好，这里可以写成 a 减二的平方除以 a 加二，除以这个数等于乘以这个数的倒数。那你们可以消一个消两个 a 加二的平方，再消一个 a 减二，所以化简后的结果应该就等于 a 减二，然后代入等于二加上根号三， 这原式应该等于二加根号三，再减二，那应该是等于根号三的，这家是根号三啊，这是今天八下的五道计算题，明天同时间，我们继续第二十二天的计算打卡！

第十一题，这道题呢，他考察的是什么？就是英式分解和我们密的运算那一章的一个综合运用吧。那我们看下这样的题目怎么去解决呢？首先对于这个题目啊，我们可以看到这个三的二零 哦，二零二七次方，是不是可以看成你看他的是二零二七至二零二六，观察一下这二零二五，最小的是二零二五，所有的我们以这个最小的为标准，都化成这个指数是二零二五的这个标准。那么原式等于什么呢？来，我化解一下这个是不是三的二零二七次方，是不是三的平方乘以三的二零二五次方？ 好，下面第二个是不是二乘以三乘以三的二零二五次方啊？啊，对不对？他有二零二六次方，就是二零二六个三相乘，我把其中一个三拿到前面来，这边二零二七个三，我把前面两个三放到前面去，看得懂吗？再加上我们是八乘以三的二零二五次方， 下面我们可以提取公式，三的二零二五次方，可以提取出来里面是什么？里面乘以括号里面是九，三的平方是九，减去二乘三是六，再加上八， 所以很快通过计算，我发现这个题目就等于十一乘以三的二零二五之方，他说这个数能够被三十三整除，那我是不是可以写成三十三乘以三的二零二四之方，那他肯定是可以被三，可以被三十三整除的呀，对不对？哦，所以什么呀？ 哦，所以原式可以被三十三整除。