用A4纸制作勾股定理模型的过程

为啥直角三角形这么特殊？藏着一个千年不变的秘密！今天欧老师带你解锁数学界最美的公式勾股定律！看 以两条直角边 a、 b 画出的小正方形和以斜边 c 画出一个大正方形，它们之间藏着什么关系？ 别急，答案马上揭晓！见证奇迹的时刻，两个小正方形的面积之合，竟然等于大正方形的面积！这就是二加 b c 二勾股定律搞定！ 早在三国时期，中国数学家赵爽就用拼图法证明了它。这不仅是数学，更是老祖宗的智慧！是不是很酷？哇，原来古人这么聪明！ 当梯子靠墙时，它和地面墙正好构成一个直角三角形。折叠手机的展开尺寸也能用勾股定律计算对角线长度。电视尺寸标注的是对角线，正是直角三角形的斜边，施工中确保结构垂直。勾股定律是测量直角关键工具。从生活到工程，勾股定律无处不在。欧小米记住这个黄金公式 a 二加 b c 二关注我，带你玩转数学，越学越简单！

好，八下数学勾股定律这一招呢，最核心的一个模型啊，我们来给大家讲解一下啊，叫做奔驰模型，那什么叫奔驰模型呢？ 当一个三角形的内部出现了一个点到等边三角形三个顶点的距离， p a p b p c 满足一个 p a 方加 p b 方等于 pc 方。哎，满足一个勾股定律的形式的等式的时候，我们可以得到一个什么结论呢？ 得到角 a p b 等于一百五十度，或者由一百五十度去推导出 p a p b， p c 这三边的关系啊，满足一个固定的关系，怎么去正这个结论呢啊？你不管正着推，反着推，条件与结论它来回变换，你最终都是可以推导出来的。你只需要去记辅助线的做法，以及做辅助线的原则。原则是什么呢？原则是在这个等边三角形那一步，你选择一个 三角形啊，比如说选择这个三角形朝一个方向旋转六十度，旋转六十度的目的是什么？目的是不是和这个等边三角形和这个等边三角形的另外一边构成对应边啊？那么如果我选择的是 a b p a b p 这个三角形，你最终 a b 这条边是不是要绕着点 a 旋转六十度完了之后和 a c 变成对应边靠在一起，你才有机会去进行边的转换， 去正全等去进行接下来的推导吧啊，所以你选择的这个三角形一定是朝着三角形内部的方向旋转一定的角度，使得我的这个三角形在等边三角形里面的那条边可以和另外一条对应边靠在一起 啊。所以你旋转完的这个六十度是不是可以帮助你得到另外一组等边三角形啊？好，那他旋转过来， p 点变成了 p 一 撇，这个三角形被证明是一个等边三角形了，所以它有六十度，它有六十度了， p a 是 不是相当于转换成了 p p 一 撇 p b 是 不是相当于转换成了 p 一 撇 c？ 那 么最终给你的条件是，它是不是就转换成了 p 一 撇 p 加上 p 一 撇 c， 哎的平方啊，等于 pc 的 平方。 这样的话，根据勾股定律的逆定律，你就可以得到它是一个直角三角形了啊，它是一个直角三角形了，所以我的角 a p 一 撇 c 应该是等于六十度加九十度等于一百五十度的 好，那么跟它对应的角 a p b 是 不是也等于一百分之多？ 好，那倒过来的话，是不是也是一样的？倒过来的话，你的条件和结论，你逻辑推导的环节换一个顺序，所以一样可以挣出来啊，一样可以挣出来。好，那这里需要注意一点是，你在做辅助线的过程中，你在旋转的过程中， 你可以说把三角形 a b p 旋转六十度，也可以说，也可以说以 a p 为边，向外做一个等边三角形，先创造一个等边三角形，然后再利用两个等边三角形的 错开一定角度的手拉手模型去正，哎，这两个 a b p 和 a c p 撇全等啊，好，至于你是先创造六十度呢？创造等边三角形，还是先旋转做全等再去整等边三角形，都可以，都可以。 好，那这是奔驰模型的原理啊。那接下来我们来看一道题目啊。好，入图， p 点是等边三角形内一点 pa 等于二， pa 等于一点五， pc 等于二点五，让你求角 a p b 的 度数。 好，这就是非常常见的一个奔驰模型的题型了。好，接着我们刚才说的要求 app 的 度数啊，其实你已经知道他一定是一百五十度了，对吧？好，我可以过 pa 向外侧做一个等边三角形，这样的话，和原来的等边三角形 通过角的和差错开一定的角度，能得到一组对应角，相等两个六十度，同时剪掉中间的公共角，对吧？好，你做了等边三角形之后，有一个 pa 等于 p 一 撇 a ab 也等于 c， 所以 可以去证 三角形 a p b 和 a p 一 撇 c 全等啊。全等完了之后呢， p b 转换成了 p 一 撇 c， 前面的等边三角形里面 pa 转换成了 pp 一 撇。那么此时因为条件，你给的数据怎么样？ pa 的 平方加上 pb 的 平方等于 pc 的 平方， 又因为 pa 等于 pp 一 撇， p b 等于 p 一 撇 c， 前面有些过程我省略了啊。好，所以 p p 一 撇的平方加上 p 一 撇 c 的 平方，所以角 p p 一 撇 c 等于九十度， 所以角 a p b 等于角 a p p 一 撇 c 等于一百五十度。 好，总结一下啊，当 p 点在等边三角形的内部的时候啊，内部的时候，后面还有一个在外部的一种奔驰模型的变形，到时候我们再说 那屁点在内部的时候呢，你要选择一个三角形，他的那个最长边一定是等边三角形的，一边要和另外一个等边三角形的长边靠在一起去挣全等这两个等边三角形，对吧？构造一个手拉手，构造一个手拉手， 你就有机会把相关的边场转换掉，转换掉之后去凑一个做物理的形式，然后来取我这个一百五十度啊，或者通过一百五十度去正他是做物理，正着推倒着推都可以。 核心点在于做辅助线的方式，要不然你说旋转，要不然你说向外做一个等边三角形啊，以某一边为边长做一个等边三角形都可以啊。好的，接下来我们来看一下 p 点在三角形外部的奔驰模型的变形。

hello， hello， 大家好，我又回来了，今天我给大家带来一期视频，是什么呢？是勾股定律里面共编双勾股模型中的最后一种，叫做母豹子模型，叫母豹子。 什么叫母豹子呢？记住它，核心四核心的题型是什么？是共编？看三角形 a、 b、 c 和三角形 b、 c、 d 是不是有共边 bc 呀？大的就叫母，你看三角形 abc 是 不是就叫母？抱着个什么？抱着个小孩子是 bcd 吗？叫母豹子模型。 但是核心思路还是什么呢？我们上期视频讲的一模一样，叫什么？叫共边双勾股，两个直角三角形，就写两个勾股定律，通过什么构建等式呢？通过共边构建等式。 所以拿上这道题以后大家就可以做了。怎么做呢？看还是什么呢？考你求边长就利用什么勾股定你求。题里边说求 ad 对 不对？那 ad 怎么求呢？ ad 这个边 看看是否有所在的三角形是直角三角形呢？ a、 d 指在哪？指在三角形 a、 b、 d 中有对不对，对吧？那看 a、 b、 d 是 直角三角形吗？ ok， 题里面条件告诉我他不是对不对？ 然后呢？然后他说啊，老师，我不直接求 a、 d 也可以呀，我让我求出来 c、 d 到行了吗？我知道 a、 c 的 前提下求出来 c、 d， 用 a、 c 减去 c、 d 不 就完事了吗？ 大家这个思路很好，为什么呢？因为你们看到了 c、 d， 它有所在的三角形，是直角三角形 b、 c、 d。 那 你求 c、 d 是 不是得知道 b、 c 和 b、 d 的 长度呢？题里面告了 b、 d 等于二倍根号三，那告你 b、 c 了吗？哇哦，没告，那你怎么求？ 求不了了吧？那怎么办呢？所以这是我们姑姑定律常见的步骤。一、干嘛一看所在边是否有直角三角形？如果没有，在第二步进行转换，求另一个边 c、 d 与它，然后 a、 c， a， c 减去 c、 d， 又求出 a、 d 了，这叫间接求法。 如果这个也没有呢？第三步该该干嘛了？叫构建直角三角形，所以明显刚才前两步都不符合，对不对？我们就该干嘛了？构建直角三角形 过点 d 做 a、 b 的 垂线，叫 d、 e， 对 不对？你看这此时一出来，垂直以后， 这不有直角三角形 a、 d、 e 吗？如果你知道 d、 e 的 长度和 a、 e 的 长度，不就求出来 a、 d 了吗？那 d、 e 怎么求？你看你得知道 d、 e 吧？那 d、 e 所在直角三角形有谁呢？三角形 b、 d、 e 吧。 那三角形 b、 d、 e 是 不是 r、 t 三角形啊？可不可以利用勾股定律同时看条件角 a、 b、 d 等于多少度？ 三十度。所以记住，大家以后告你三十度的时候一定要记住他会和三角形。什么三角形呢？直角三角形有关，因为你们初二上学期学了个什么？在直角三角形中，三十度数对的直角边是斜边的一半， 所以角 a、 b、 d 等于三十度。它对的直角边是谁？是 d e、 d， e 是 谁的一边呢？一半呢？是 b、 d 的 一半， b、 d 等于二倍根号三，那 d、 e 呢？不就等于根号三了吗？你看 d、 e 求出来了对不对？那 a、 e 怎么求？ a、 e 所在直角三角形是 a、 d、 e 吧， 对不对？但是你要用 a、 d、 e 这个直角三角形求 a、 d、 e， 那 你还能用它求 a、 e 吗？不能了吧，只能把 a、 e 放在另一个三角形里边求了， 这是我们常用的思路。好吧，那 a、 e 现在一看没有了吧，可感冒了，该第二步，想间接求法。那我知道 b、 e 不 就完事了吗？因为 a、 b 告我了，我用 a、 b 减去 b、 e 不 就完了吗？那就求 b、 e 吧， b、 e 看看有没有所在直线三角形呢？是不是三角形 b、 d、 e 呀，对不对？ 对吧？其实后面我要讲个专题，特殊三角形的边之间的比例关系，如果学会了以后，这 b、 e 就 直接求出来，如果没学会呢？可以用勾股定律 b、 d 的 平方 等于 d 一 方加 b 一 方， b、 d 等于多少？二倍？根号三平方是十二对不对？ d、 e 呢？刚才算了，根号三，根号三的平方是三，加上 b 一 方 b 等于几？明显等于三啊，那 b、 e 等于三，用 ab 减去 b， e， a、 e 呢？不就二吗？ a、 e 不是 二， a、 e 知道了， d， e 知道了。那么求 a、 d 呀？是 a， d 方等于 d， e 方是根号三的平方，加二的平方等于多少？三加四是不是七呀？七该开根号根号七吗？会了吧？ 那会求 a、 d 了，那 c、 d 怎么求？ c、 d 怎么求？老铁， c、 d， 那 c、 d 怎么求？你刚才不是 ac 知道吗？把 ac 求出来以后， 减去 a、 d， 不 就是 c、 c、 d 吗？或者怎么求？把 c、 d 放在直角三角形 b、 c、 d 里边，但是 b、 c 你 不知道是不是没法求呀，对不对？你看都没法求的时候，第三步 你要构建吗？它已经有 c、 d 有 直角三角形，需要构建吗？就不需要了，此时的第三步你叫什么？你叫第四步叫什么？ 利用共边双勾股，要观察模型是否有共边双勾股，一看有 bc 吧。那我射谁？射 cd 为 x 行不行？那 cd 为 x 怎么写？ bc 的 平方就等于什么？ bd 方减去 cd 方， 这是第一个三角形，第二个呢？ bc 方等于什么？ ab 方减去 ac 方，这不是共边双勾股，那 bd 等于几？ bd 刚才已经知道了 多少？二倍根号三平方是十二，对吧？ c、 d 我 设为 x 呢，所以 x 方，所以看共边双勾股是什么？ 是为了你设位之数构建了个等式，让你找等式怎么了？找等量关系，省劲了，明白了没？就是这种模型。 a b 呢？等于多少？五八平方是二十五。 a c 呢？ a c 怎么表示？刚才 a、 d 等于几？根号七吧。 那 a、 c 呢？是根号七加 x， 你 看都用 x 表示，都等于 bc 方，两式相不相等是完全相等呀。所以十二减 x 方等于二十五减根号七加 x 的 平方。 然后你解方程不就完事了。怎么解呢？那看完全平方公式吗？ 大家？我知道，大家有什么顾虑呢？老师，他有平方，我没学过解未知数的平方没事，他最后能够消掉就大胆一些啊。十二减 x 方等于二十五减括号七首平方尾平方，首尾的二倍在中央嘛， 对不对？然后去括号。十二减 x 方等于二十五减七减二倍根号七 x 减 x 方。所有里面都有负 x 方，消掉没？看到了没？ 然后呢？负二倍根号七 s 等于多少？二倍根号七 s 移到右边对不对？把数都移到。呃，移，把未知数移到左边，数都移到右边。二十五减七减十二等于几？ 它是十九对吧？二十五减十九等于几？等于六吗？是不是？ 是吧，那所以把二倍根号七系数化为一除过去等于多少二？倍根号七分之六在分母幺里化多少？六和二约一下多少？七分之三，倍根号七，这不就是 c d 吗？ 所以当你求勾股定面时候，记住中选好四股。哪四步法呢？一看所求边是否有使得三角形没有？ 有所在三角形是否是直角三角形，如果没有该干嘛了？没有进行第二步进行转换，求另一个边，看看另一个边是否在 直角三角形中，如果也没有呢？第三步，构建，如果构建也构建不出来呢？该干嘛了？共边双勾，看看是否有模型。好吧，今天就到这里了，谢谢大家。

好，今天我给大家录制一期视频。是什么？勾股定律里边的常用模型叫什么？共边双勾股。先明确一下这个意思，共边说明咋了？它有公共边，就比如这两个三角形 a、 b、 d 和 a c、 d， 它俩的公共边是谁？ 是不是 a、 d， 对 吧？ a、 d 是 公共边对不对？那两个直角三角形，所以能写什么？两个勾股定律叫双勾股？那共边双勾股为什么要列两个勾股定律呢？因为共边可以列等式。 先看问题，求必定。我说过，在你们初中阶段，求长度就两种算法，第一种，勾股定律对吧？第二种利用相似比，这是初三的知识，对吧？现在我们利用勾股定律去解，为什么呢？因为他告诉我垂直的垂直出直角吗？出直角了， 你看啊，我教你们一种方法，什么时候用共边双勾股？你看啊，既然我求 b、 d 对 不对？我就要把 b、 d 放在哪？求，放在 b、 d 所在的直角三角形里边。求 b、 d 在 哪个三角形里边呢？是在三角形 abd 啊，对不对？那我是不是得知道 ab 和 ab 的 长度， 那我 a、 b 怎么求？ a、 b 告你没，是十，对不对？但 a、 d 告你没，没告你吧，你是不是得需要求出来 a、 d？ 那 a、 d 又在哪个直角三角形里边呢？是不是在三角形 a、 c、 d 里边？你是不是得知道 a、 c 和 c、 d 的 长度，就能求出来 a、 d 了？是这个思路吧？那 a、 c 告你没告了，那 b、 d、 c 告你没 没告吧？ dc 没告，是不是又得求 dc， 那 dc 怎么求？哎呦，好像求不出来了，对吧？当你求不出来的时候，就可以利用什么共边双勾股了， 共边双勾股是你的最后的杀手锏，明白了没？什么叫共边双勾股呢？三角形 abd 和 acd 公共边是谁？ ad 吧，对不对？对不对？ 那你看，我先写股股定律，在三角形 a、 b、 d 中可以怎么写股股定律呢？ a、 b 方等于什么？ b、 d 方加 a， d 方对不对？三角形 a、 c、 d 中呢？怎么写？ a、 c 方等于 a， d 方加谁加 c， d 方， 对不对？那你看两个式子里边都有谁？ a、 d 方对不对？那你看两个式子并变成 a、 d 方等于 a， b 方减 b 地方，第二次怎么变？变形变成 a 地方等于 a， c 方减 c 地方，可不可以？完全可以吧，那你看 a、 d 是 不是它的公共边呀？共边 双勾股列出来双勾股没？双勾股以后咋了都？等于 a 地方相不相等，相等 a， b 方减 b 地方等于 a， c 方减 c， d 方构建出来了等式，所以这叫共编双勾股。为什么要构建等式呢？会了吧， 会了吧，那你看求什么射什么？求 b、 d 射 b、 d 为几为 x 不 就完事了？那 b、 d 为 x， ab 告你了吧，是几？ ab 是 几？是不是十带进去一百减去 b、 d 是 x 方等于 ac？ 告你们，是不是二倍根号十的平方等于多少？四十减 cd 呢？ bc 和 ab 相不相等十吧，十减 x 的 平方，这不就出来了。这是关于列 x 的 方程吗？ 所以求姑姑对你还是核心思路，干嘛列方程？列方程就是构建等式吧，而共编双勾股就给你把等式列出来了，只需要你设完以后带你就好。 好吧，那解一解多少？一百减 x 方等于四十减去括号，一百减二十 x 加 x 方，对不对？等于四十减一百加二十 x 减 x 方，一百减 x 方，对不对？所以里面都有负 x 方，消掉了对不对？那把数字移到右边， 未知数一到左边是不是负二十 x 等于四十减一百，再减一百对不对？等于多少？负一百六对不对？ x 等于几？这是八，这不算，算八了。 那么好，我现在给大家做一下方法总结。这是共边双勾股，对不对？什么模型呢？背靠背，你看两个三角形像不像？背靠背？共边双勾股，这是一种题型。 好吧，接下来我还会给大家录制两两个视频，都是和共编双股股有关的。好吧，谢谢大家。

好，我们今天再来讲一种共边双勾股的变式题，它怎么了？前两种题型它是不是有很好，大家都可以看到公共边 对不对？那公共边是不是因为边重合变相等了才能够建到等式？那我稍微给这种题型变一变呢？不是公共边，但告你数量关系相等呢？那你能不能列出来勾股定律 最后相等的式子呢？是，当然可以了，这不就共边的变式吗？等线段是不是也是共边呀？为什么呢？因为数量相等会了吗？所以看这种题， 如图，在比值的铁路上， a、 b 两点相距二十千米， cd 微量中桩。 d a 告你了， cd 告你了， d a 垂直 ab 也告你了， c b 垂直 ab 也告你了，有两个三角形，直角三角形对不对？ 现在要在 a、 b 上建一个中转站， e 使得 c、 d 到两村，使得 c、 d 两村到 e 站的距离相等。哇哦，那 d e 和 c e 相不相等？看等线段，看看待会儿怎么弄啊？则 a e 看先求线段长先干嘛？先看 a e 这条边在直角三角形里边对不对？第一步满足。那看你是不知道 a、 d 和 d e 就 行了。 a d 告你了，是八对不对？ d e 告你了没？没有吧，是不？接下来求 d e， 那 d e 有 没有数在直角三角形没有，对吧？ 没有吧，那你怎么求呀？求不出来了吧？是不，求不出来了，那你接下来怎么办？ 转换啊，转换。那 d e 和 c e 相同，我去求 c e 不 就完事了吗？如果求 c e 的 话，知道谁知道 b e 吧？ b e 告你没 哇，也没告你。 b c 告你没，告你了，但你不知道 b e 吧，你又求不出来了，转换也不行，对不对？构建呢？连接 dc， 因为你看为什么要连接 dc 就 好了。看好啊，因为这是九十度，九十度对不对？ 对吧。哦，这不能连接，为什么呢？他没告你，他没告你这两个三角形是否是全等的？如果是全等的话，那就证明他是指教，就连接就行了，但现在没告你，对不对？那怎么办呢？ 那过点 d 做垂线吗？做谁的垂线？你能出来直接三角形吗？也出不来，对不对？过点 e 呢？同样也出不来，对吧？最后一步干嘛了？共边双勾股呀，就看模型能不能利用共边双勾股呢？可以，因为 d、 e 和 c、 e 相不相等，相等吧。那 d、 e 的 平方可以怎么表示？ d 的 平方等于 a 地方加 a 一 方， c 一 方呢？你怎么表示？是不是 b 一 方加 b c 方？因为 d、 e 和 c、 e 相不相等，它的平方是不是也相等？这不就勾出来等式了吗？勾出来等式以后，你只需要设未知数就好了吗？ 对不对？求什么射什么？求 a e， 我 射 a， e 为 x， 是 带进去 x 方， a、 d 呢？多少是八？它的平方是六十四，等于 b， e 呢？ b、 e 是 多少？怎么表示？怎么用 x 表示呢？ 因为记住这种式子都要用同一个未知数表示啊。因为 a、 b 等于多少？二十你还没用上呢。所以 b、 e 等于多少？二十减 x 的 平方啊，加 b c， b、 c 是 十四的平方，这不关于 x 的 方程又列出来了吗？对不对？那列出来以后，那我再解方程不就完事了？就这种死套路， 总共四步法吗？股股定律，四股四步法，六十四加 x 方等于完全平方。公式，收平方尾平方首尾的二倍在中央，对不对？加十四的平方多少？幺九六？然后六十四加 x 方等于四百，减四十 x 加 x 方，对不对？加幺九六。左两边都有 x 方，消掉对不对？把未知数移到左边变成四十 x 等于多少？四百加幺九六，减六十四等于多少？ 四十 x 等于它是五百九十六。五百九十六减六十四等于多少？五百三十二呢？除以，除以四十呢等于多少？五三二，除以四十一。月份等于多少？一三三吧！五一三五三二。除以四十一，三三吧。五一 三五三二，除以四十一，三三百五，一三二。除以四十 一。一百三十二。然后再上三一百二十二十三点三吗？这不是出来了， 对，等于十三点三。就这么简单。四步法。再说一遍，什么四步法呢？第一步求边长，就看边长所在三角形是否为直角三角形，如果是，再看看那些边， 告诉你了呗，怎么求对吧？如果不是该干嘛了，哎，进行间接的转换，求另一条边，那第一条边再求不出来呢？构建直角三角形，如果构建不出来呢？那你就拱边双勾股就得了。好吧，谢谢大家。

八下数学最难的勾股定律，五大模型全部吃透，逆袭班级前三！八下数学勾股定律压轴必考！五大必会模型，模型一，风吹竖折 模型二，蚂蚁爬行模型三，三七八和五七八模型模型四，出水芙蓉模型五，垂美四边形完成版分享！

八下数学最难的勾股定律五大模型全部练会，逆袭班级前三！八下数学勾股定律压轴必考五大必会模型模型一，风吹竖折第一题如图所示第二题第三题 模型二，蚂蚁爬行模型三，三七八和五七八模型模型四，出水芙蓉 模型五，纯美四边形完整版分享！

hello hello， 我 又来喽，小飞公来喽，我是你们的小飞公， 看好啊，今天我再来给大家带来一期视频，是攻边双勾股的等线段模型。那上一期视频讲的不够什么？不够痛快，我要干嘛？这，这道题我要酣畅淋漓的给大家讲一下。好吧，怎么讲呢？看看 也是利用等线段创造共边双勾股。看，先看问题，求 a、 e。 求线段长度，就干嘛？就勾股定力就行了。那 a、 e 有 没有直角三角形呢？ 没有对吧？第二步没有，干嘛进行转换？那我求 b、 e 不 就完事了吗？对不对？ b、 e 的 前提我得是不是得知道 ab 啊？ ab 告你没？哎呦，好像也没告， 那怎么办？那 b、 e 告你 b、 e 怎么求？ d， e 告诉三， d， e 垂直于 b， c 也高了，有直角对不对？ b、 d 等于几？等于四，那三四五，那 b、 e 等于几？我知道了，对不对？那就差 a b 了，那 a、 b 是 怎么求 a、 b 呢？ a、 b 看 a、 b 所在直角三角形是否存在对不对？ 是不是有啊？因为角 a 等于九十度。那 bc 告你没？哎呦，也没告你，对不对？也没告你 ac， 告你没，也没告你。聪明的人，大家已经发现了什么？ 已经发现了，老师，好像是 bc， 我 知道是等于多少，因为题里边说的 d e 垂直于 bc， d 是 终点，这叫什么线？垂直平分线，垂直平分线对不对？ d、 e 是 几？是四？那 b、 c， d、 c 呢？是四，那 b、 c 是 不是八呀？那 a、 c 怎么求？就知道 a、 c 就 好了。 a、 c 在 哪？这三角形里边是不是在三角形 a、 b、 c 里边？ 那你看 a、 b 也在三角形 a、 b c， a、 c 也在三角形 a、 b、 c， 你 求 a、 c， 你 能求吗？两 a b 你 也不知道，就知道个 b， b c， 你 能求 a、 c 吗？不能是不能了，你看这个方法也行不通对不对？在第三步了，可干嘛了？构建直角三角形 对吧？那 a、 b 已经有直角三角形，你构建干嘛呀？是不构建不出来，没法了，所以间接的不行了，对不对？ 间接也不行吧，该干嘛了？第三步，看 a、 e， 看看给 a、 e 能不能构建直角三角形呢？连接 c、 e 不 就完事了吗？因为角 a 等于九十度。那我知道 c、 e 的 长，知道 ac 的 长，不就知道 a、 e 长，那 c、 e 等于多长呢？ 刚才我说了 d、 e 是 垂直平分线，垂直平分线上点到线段两端距离咋了？稍等。那 b、 e 刚才是五算出来，那 c、 e 呢？是不是也是五？那 c、 e 是 五对不对？那 ac 等于几？ ac 等于几呢？ ac 算不出来了吧？是不是算不出来了又因为 ac 又不知道对不对？你看构建了以后也不行，该干嘛了？最后一招，共边双勾股。那共边双勾股等现在吧，你至至少得有什么？至少得有三角形嘛，所以还得连接起来什么？ c、 e 连接起来 c、 e， 我 射 a、 e 为几？求什么？射什么 x？ 你 看看这次出来母豹子没？母豹子。共边双勾股， 三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 e、 c 是 不是五报纸模型看到了没？利用什么等线段进行了转换，构造出这个五报纸模型。好吧，这次理解了没？那共边是谁？是不是 a、 c 呀？和 a、 c 方都写对不对？三角形 a、 c、 e 中怎么写？ a、 c 方等于 c 一 方减 a 一 方，对不对？三角形 a、 b、 c 中呢？ a、 c 方等于 b， c 方减 ab 方，这不就完事了吗？那两式不就相等了吗？那 c， e 等于多少？ c， e， c， e 不是 五吗？二十五减去 a， e 是 x 方，对不对？ b， c 呢？ b， c 是 八，六十四减去 a， b， a， b 是 多少？ a， b 是 b 是 五，五加 x 嘛？五加 x 的 平方，这不就完事了？ so e， z， z 吧。那两式相等多少？二十五减 x 方等于六十四减去括号，五加 x 方， 然后解看，二十五减 x 方去括号，六十四减去五是二十五，加上十 x 是 完全平方，公式对不对？上去去学的。 然后去括号，二十五减 x 方等于六十四减二十五减十 x 减 x 方。你看我如果遇到 x 方，不要害怕，万一能消掉呢？看是不是消掉了。所以既然你们能做，就肯定能让你消掉，不会超范围去给你们出这种题。好吧， 那把位置移到左边，是不是十 x， 然后数字都移到右边，减二十五，再减二十五，多少？十 x 等于十四，那 x 等于多少？等于一点四，这不就是答案 就是四步法对不对？很简单吧。好了，今天就到这里了，谢谢大家。

好，八下数学构建的这张呢，最核心的模型叫奔驰模型，前面我们已经讲他最常规的一个梯形了，那我们再来回顾一下啊，当一个等边三角形内部一点到等边三角形三个顶点的距离，这三条边长满足一个勾股定律的等式的时候， 你可以把它其中一个角度求出来，是一百五十度至在内部的时候，或者由一百五十度。哎，你可以推出这个等边三角形内部长得很像奔驰标的这三边，他满足一个勾股定律的等式 啊，这正着推，反着推都可以。所以为什么叫奔驰模型呢？啊，就这个原因啊，那在这个模型的结论当中，你千万不要去刻意去背他的结论，因为他会有变形，只要是模型发生了变形的时候，他的结论可能会变啊，那奔驰模型的变形，那我们来画一下啊， 奔驰模型一开始说这个三角形等边三角形内部一点到三个顶点的距离，那如果这一点运动到外部的时候， 运动到外部的时候，它仍然也是一个顶点到等边三角形三个顶点的距离，满足勾股定律，满足勾股定律。但是呢，它现在长出来的这个角的度数变了，不是一百五十度了，而是三十度了啊。所以 你的结论应该是， p a 方加 p b 方等于 p c 方，可以推出角 a p b 等于三十度，或者由角 a p b 等于三十度推出 p a p b p c 满足勾股定律的等式。怎么证呢？结论不一样了，我们之前说模型的结论不一样，你不要刻意去背，但是你可以去刻意去记什么呢？ 记模型的辅助线的原则。之前我们说你在内部的时候，你做辅助线可以是选择其中一个三角形，对吧？他的那个最长边一定是要跟等边三角形的 另外一边靠在一起作为对应边，所以你可以选择旋转六十度，旋转其中一个三角形，绕着某一个顶点旋转六十度，或者是以 p a、 p b、 p c 的 任意一边向外做一个等边三角形，你最终的目的是不都是创造那个手拉手 全等的形态，对吧？不管一开始是有全等三角形让你去正等边，还是一开始创造一个等边，创造两个等边，错开一定的角度，通过手拉手去正全等，是不是正着推反着推都可以，只是你的逻辑推导的环节顺序换一下 啊。那么这个原则同样适用于 p 点在等边三角形外部的这种情况。那仍然是我们可以以，比如说以这个 p b c 吧， 以这个 p b c 的 三角形，它是不是只有 b c 是 等边三角形的其中一边？那么我要旋转是不是一定是绕着 p， 绕着 b 点去旋转？旋转六十度的话，是不是 b c 一定会靠在 b a 上？哎，这个时候你的 b p 是 不是绕着 b 点旋转了六十度旋到这了， 对吧？旋转了六十度，你发现 p 一 撇 b 等于 pb 了，那么这又有一个等边三角形了，又有一个等边三角形了，这个角变成六十度了啊。当然我这图画的不是很准确啊，加上这个三十度的话，你的 第一撇 pa 应该是等于九十度的啊。好，创造出两个等边三角形以及一组全等的话，我们是不是可以把 pa 转换成啊？ pa 可以 不用动， 我们是不是可以把 p b 转换成 pp 一 撇把 pc 呢？ pc 通过全等转换成了 p 一 撇 a， 最终构建你的等式转换成了 pa 的 平方，加上 pa 一 撇的平方等于 pa 的 平方，那么这个角就是九十度了啊。这个图画的不是很准确， 他是不是可以推导出角 p 一 撇 p a 等于九十度？ 好，所以把六十度一减，我的角 a p b 是 不是就等于三十度了啊？这个三十度就这么得来的，他做辅助线原则，做辅助线的过程规律是一样的啊。好，我们来看一道奔驰模型变形式的一个题目啊， 等边三角形 y 一 点， p a 等于七， p b 等于九 a， p b 等于三十度。求 p c 的 长。好，一开始给了你 a， p b 等于三十度，那你看到这个形状的图，一定是想着，一定是想着我可以选择 这个三角形 p a c， 那 么 a c 是 不是等边三角形？其中一边，它如果绕着 a 点旋转六十度，是不是要和 ab 对 上？那它旋转六十度，你对应的三角形 p a c 的 pa 也要旋转六十度 变到这个位置。或者在这个过程中，你可以写以 pa 为边，向外做一个等边三角形， pa 劈一撇 来创造一个手拉手，对吧？等边三角形，绕着一点，错开一定的角度，你就可以得到全等了。手拉手的全等了。好，那这里的话，它是六十度了。做完等边之后，加上中间的这个公共角，你是不是两个 p a c， p 撇 ab 就 可以全等了？边角边的全等完了，我的 p 一 撇 b 是 等于 pc 的 两个等边三角形，又可以把相关的边长 p a 转换成 p p 一 撇结合等边三角形的六十度。结合题干里给你的三十度， 我可以找到几个关键结论， b p p 一 撇等于九十度，从而列出勾股定律等式。 pp 一 撇的平方加上 p b 的 平方等于 p 一 撇 b 的 平方最终就变成了什么？ 变成了 p a 的 平方加 p b 的 平方等于 pc 的 平方吧。那么 pc 的 长应该是等于根号下 七的平方加上九的平方应该是等于根号下一百三十了啊。 好，那么这就是奔驰模型点在三角形外部的。哎，这样一个题目，那我们再总结一下啊，你不管奔驰模型这一点，他到三个点的距离的三边，他到底是在内部还是外部，你做辅助线的方式都是 去构造一个等边三角形，或者呢，把其中一个三角形旋转六十度，使得他等边三角形的一边靠在另外一一条边上来 构造一个手拉手全等的形态，对吧？通过边角边，通过全等去转换边，通过等边三角形去转换边，从而得出对应的角度到底是一百五十度还是三十度，或者通过一百五十度和三十度来倒推 勾股定律的直角三角形的那个等式啊，来求边长。所以这就是股股定律里面的一个核心模型啊，奔驰模型啊。

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