6下数学书第4单元比例51

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例。第一课是比例的意义。六年级上册我们已经认识过比，什么叫比？比？各部分的名称又是什么呢？ 对两个数的比表示两个数相除，那么在一个比中，比号前面的数 叫做比的前项，这个符号叫比号，比号后面的数叫做比的后项，它们所得的商叫做比值。那怎么求比值呢？前项除以后项所得的商叫做比值。比如以这道题为例， 三十六比七十二，那就表示三十六除以七十二，结果商等于零点五，那么零点五就叫比值。那么从这里我们看到比值可以是分数， 可以是小数，也可以是整数。比例它和比有关系吗？今天这节课我们就一起来研究 国旗啊！孩子们是我们中华人民共和国的象征，图中的国旗分别是天安门广场的国旗、学校操场的国旗以及教室内的国旗。看到下面不同场景的国旗，你有什么发现？ 很多孩子会发现他们国旗的大小是不同的，但是他们的形状相同吗？你怎么来证明他的形状相同或者不相同呢？我们以天安门广场和校园操场两面国旗为例， 用你想到的方法说明两面国旗的形状是否相同。对，我们可以分别求出两面国旗长与宽的比值。 怎么求比值呢？长比宽就是五，比三分之十，比值二分之三，二点四比一点六等于二分之三。那我们发现这两个比的比值相等 说明什么呢？对两面国旗长都是宽的二分之三倍，两个比的比值相等，那我们就可以把这两个比用等号连接起来。除了求两面国旗长与宽的比， 还可以求出什么呢？对，两面国旗的宽与长的比值相等吗？是的，长与宽的比是三比二，那么宽与长的比就是二比三。通过比值相等，都可以说明他们的形状相同。 那除了这种方法，还有别的方法证明他们的形状相同吗？对，有的同学想到了两面国旗长与长的比，那就是 五比二点四等于十二分之二十五。再求出两面国旗宽与宽的比，那就是三分之十比，一点六，比值是十二分之二十五。比值相等 也可以说明这两面国旗的形状相同，所以这两个比就可以用等号来连接起来。大家继续思考，教室里的国旗与它们的形状相同吗？ 怎么说明呢？根据天安门广场，这面国旗长与宽的比值是二分之三。那我们也可以求出教室内国旗长与宽的比，它的比值也是二分之三。那大家在思考，教室内国旗长和宽的单位是厘米， 他们的单位是米，有关系吗？对，虽然长与宽的单位都是厘米，但他们的比值表示的是长和宽的倍数关系， 他们的倍数关系相同，也可以证明他们的形状相同。根据他们的比值相等，所以这两个比也可以用等号来连接。我们用不同的方法比较了任意两面国旗长与宽的比， 或者比较长与长的比，宽与宽的比，都说明两面国旗的形状相同。继续观察这三面国旗长与宽的比， 它们的比值你有什么发现？通过观察发现比值相等，那也就是国旗长与宽的比都是三比二吗？ 是的，国旗的制作它是有规定的。我国国旗的旗面为红色 长方形七，长与高为三与二之比。旗面左上方准黄色五角星 五颗，长与高为三比二之比，那也就是长与宽的比是三比二。 正因为有了这样的规定，不可随意改变，才显着我们的国旗更加庄重与威严。来观察刚才得到的这些式子，两个比的比值相等， 都可以用等号连接，像这样表示两个比相等的式子叫做比例，那么这两个比相等组成的这个式子 就是一个比例，那这个式子也叫比例。比例，它由几个比组成，对两个比，并且这两个比的比值相等。像这种比例呀，我们还可以把它写成分数的形式， 二点四比一点六等于六十比四十。虽然写成分数的形式，但是我们读的时候仍然读作比。大家思考比和比例相同吗？有什么区别？ 是的，形式不同。比它是由四个数组成，两个比四个数， 另外他们的意义不同。比表示两个数相处，比例呢，表示两个比相等的式子。根据比例的意义，我们可以判断两个比能否组成比例。比如这道题 下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来，这里给出了两个比，六比十和九比十五， 这两个比能组成比例吗？我们可以求出它们的比值，六比十等于零点六，九比十五等于零点六，比值相等，所以这两个比可以组成比例。再看第二小题，二十比五和一比四能组成比例吗？ 分别求出它们的比值，二十比五等于四一比四等于零点二五，它们的比值不等，所以不能组成比例。那王老师，这里还有两道题，孩子们，请你按下暂停键，快来判断一下吧！来，孩子们总结一下， 通过这节课的学习，你有了哪些新的收获呢？对，我们知道了表示两个比相等的式子 叫做比例，也就是比例的意义。我们还知道了，判断两个比能否组成比例，我们要看这两个比的比值是否相等。最后，在生活中其实还有很多比例，相信你一定是一个勤于思考，善于观察的孩子。

六年级今天我们来学比例的基本性质一、填空题第一题，如果 a 比八等于 b 比十一，那么 a 乘几等于 b 乘几。 根据比例的基本性质，两个外向的积会等于两个内向的积，所以 a 乘十一等于 b 乘八。 如果七 a 等于十 b， 那 么 a 比 b 等于几比几， a 是 外向七， a 也是两个外向相乘的积等于七 a， 那 这个外向就是七 b 在 内向十 b， 那 就是两个内向相乘的积等于十 b， 这样七 a 才会等于十 b， 所以 这个内向就是十。 第二题，在比例里，两个外向互为倒数，其中一个内向是零点二五，另一个内向是几， 两个数互为倒数，那么他的积就为一。两个外向互为倒数， 那说明这两个外向的积就为一。在比例当中，两个外向的积等于两个内向的积，所以零点二五乘一个数就要等于两个外向的积，也就等于一。 零点二五乘四等于一，那另一个选项就是四。第二题，在比例 a 比 b 等于 c 比 d 中，如果 a 与 d 不 变， b 乘时，要使比例乘以 c 要怎么变？ 在比例当中，两个外向的积等于两个内向的积，所以 a 乘 d 会等于 b 乘 c， 现在 a 与 d 不 变，那也就是它们的乘积是不变的。 那你看，两个数相乘，一个因数乘十，也就是 b 乘十，要使它的积不变，那另一个因数就要除以十。 这样一个因数乘十，一个因数除以十，那这两个数相乘，它的积就不变， 所以 c 它就要除以十。如果 a 和 c 不 变， b 乘时，要使比例成立， d 要怎么做？两个内向相乘会等于两个外向相乘，现在 a 和 c 不 变， b 乘十。你看两个数相乘，一个因素乘十，另一个因素不变，那他的积就相当于乘十，那同理，这里两个数相乘， 一个因素不变，那要让他的积乘十的话，那另一个因素就要乘十，所以这个时候 d 他 就是要乘十，这样他们的积才会相等，所以 d 要乘十。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例的第二课时比例的基本性质，这节课非常重要。首先我们来回忆一下什么叫比例，上一节课学习了对，表示两个比相等的式子叫做比例。 注意，比例它是两个比组成，并且比值相等，这个式子叫做比例。那根据比例的意义，我们可以判断两个比能否组成比例来看第一题，十二比二十和九比十八能否组成比例呢？ 那我们可以分别求出这两个比的比值。十二比二十等于五分之三，九比十八，比值是二分之一，我们发现比值不等，所以不能组成比例。再看第二个比，二比十和一点二比六， 二比十的比值是零点二，一点二比六的比值也是零点二，比值相等，所以能组成比例。我们知道比，他有各部分的名称，那同样呢，比例也有自己各部分的名称。我们以二点四比一点六等于六十比四十 这个比例为例来看，组成比例的四个数叫做比例的项，那比例有四个数，所以比例它有几个项呢？ 对，它有四个项。另外呀，两端的两项叫做比例的外项来，在这个比例里，二点四和四十这两项在两端，所以它叫比例的外项。 中间的两项叫做比例的内向，那一点六和六十就叫比例的内向。 另外这个比例啊，我们还可以把它写成分数的形式，那把它写成分数的形式就是二点四比一点六等于六十比四十。注意哦，写成分数的形式，它仍然是一个比例， 二点四和四十仍然是比例的外向，一点六和六十，他是比例的内向。 哎，我们发现比例的外向和内向正好形成了交叉的位置关系。那这些比例中存在什么样的奥秘呢？我们继续来研究。例一，计算下面比例中两个外向的积和两个内向的积， 比较一下，你能发现什么？第一个比例，二点四比一点六等于六十比四十，两个外向的鸡，那就是二点四乘四十等于九十六。 那两个内向的鸡呢？一点六乘六十等于九十六。接着再看第二个比例，两个外向的鸡，那就是三乘十五等于四十五，两个内向的鸡五乘九等于四十五。孩子们， 你们认真观察，发现了什么？对两个外向的鸡和两个内向的鸡正好相等。像这样， 在比例里，两个外向的鸡等于两个内向的鸡，这叫做比例的基本性质。 前提条件在比例里边才存在两个外向的积等于两个内向的积，这就叫做比例的基本性质。如果用字母来表示比例的基本性质，又该怎么表示呢？孩子们来 用字母表示比例的基本性质， a 比 b 等于 c 比 d。 根据比例的基本性质， 两外向的积等于两内向的积，那对于分数的形式而言，那就是交叉相乘，所以我们得到 a、 d 等于 b、 c。 注意这里边 a、 b、 c、 d 均不为零。根据比例的基本性质，我们知道两外向的积等于两内向的积，那反过来 四个不为零的数，如果其中两个数的乘积和另外两个数的乘积相等，那么这四个数就可以组成比例，也就是说，反过来根据积相等来判断能否组成比例。那我们来看这道题，孩子们 判断下面哪组中的两个比可以组成比例。那大家回忆一下，到现在为止，判断两个比能否组成比例有几种方法？对，第一种，按照我们以前学的方法，看这两个比的比值是否相等。 那也可以用我们今天所学的比例的基本性质，看两万向的基和两内向的基是否相等，就可以判断两个比能否组成比例。那好，接下来呀，我们根据今天所学的比例的基本性质来判断一下。 那第一题，根据比例的基本性质，我们可以求出两万向的基和两内向的基是否相等。 六乘五等于三十，三乘八等于二十四，鸡不等，所以这两个比不能组成比例来。再看第二题，零点二比二点五和四比五十。我们根据两万向的鸡是否等于两内向的鸡来判断，零点二乘五十等于十， 二点五乘四等于十，两万向的鸡和两内向的鸡相等，所以可以组成比例。 孩子们，这里还有两道题，请你按下暂停键，根据比例的基本性质来判断它们能否组成比例。 我相信呐，这两道题一定难不辱大家。好了，孩子们，接下来我们总结一下，通过这节课的学习，你有了哪些收获呢？对，首先我们知道了比例各部分的名称，还学习了比例的 基本性质，还学会了判断能否组成比例的两种方法。孩子们，这节课你学的怎么样呢？如果把这节课的内容定为十分，你能得几分？评论区交流一下。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元，用正比例解决问题。首先我们来复习两道题，下面相关联的两个量，成比例吗？成什么比例关系？ 第一题，单价一定，总价和数量。首先想总价和数量它是两个相关联的量，单价一定，思考怎么求单价？对，总价除以数量等于单价， 当单价一定的时候，那也就是总价与数量的比值一定，两个相关联的量比值一定，那我们就判断这两个量成正比例关系，所以总价和数量成正比例关系。第二题， 速度一定，路程和时间路程和时间是两个相关联的量，速度一定，那怎么求速度呢？ 对，路程除以时间等于速度，当速度一定的时候，那也就是路程和时间的比值一定， 两个相关联的量比值一定，那么这样的两个量就成正比例关系，所以路程和时间成正比例关系。判断两个量是不是成正比例关系，我们只需要看这两个相关联的量的比值是否一定。 看来呀，正比例关系在我们生活中应用非常的广泛。孩子们，那今天呢，我们就学习用正比例来解决生活中的实际问题来看。例五，张阿姨家上个月用了八吨水，水费四十元， 李奶奶家上个月用了十吨水，李奶奶家上个月的水费是多少？首先我们把这些信息用表格来整理，特别的清晰来看，张阿姨家用的水量是八吨，水费四十元。 李奶奶家呢，用了水量十吨水费。不知道那孩子们，这道题该怎么解决呢？ 用我们以前的方法能不能解答？请你按下暂停键，在练习本上试一试吧！一起来分析。张阿姨家用了八吨水，水费四十元，那么四十元除以八吨，能不能求出一吨水的水费，也就是水的单价， 那李奶奶家水的单价是不变的。李奶奶家用的十吨水，单价乘十，是不是李奶奶家的水费，所以四十除以八等于五元，这求的是水的单价。 李奶奶家用的十吨，一吨五元，那十吨呢？对，就是十个五元，这就是李奶奶家用的水费 五十元。在这个题里边，水的单价不变，所以我们先求出水的单价，再根据水的单价求出李奶奶家用的水费。那除了这种方法，还有别的方法吗？孩子们思考一下，能不能用比例来解答呢？大家思考这样的几个问题， 题目中哪两种量是相关联的量，哪种量是不变的量？第二，他们成什么比例关系？ 根据比例关系列出比例。四、试着结比例好了，孩子们用比例来试一试吧！来一起分析一下，题目中哪两种量是相关联的量呢？ 对，一个是水量，一个是水费，两种相关联的量，哪种量是不变的量？水费除以水量，求的是水的单价，那也就是 单价是不变的量。我们知道水费除以水量等于水的单价，那么水的单价是一定的，所以水费和水量成什么关系？对，正比例关系。 那么我们能不能以单价为等量列出比例呢？根据信息，我们知道，张阿姨家的水分除以张阿姨家的水量，就是张阿姨家水的单价。李奶奶家的水分除以李奶奶家的水量，是不是也等于单价？ 那好，以单价为等量，可以列出比例。可是李奶奶家的水费不知道怎么办呢？对，我们可以解 设，李奶奶家上个月的水费是 x 元，所以我们就可以列出比例，四十比八等于 x 比十。接下来我们解比例。 怎么样结比例呢？对，根据比例的基本性质，两内向的积等于两外向的积，所以八 x 等于十乘四十， 两边同时除以八， x 等于十乘四十除以八。为什么我要写成这种分数的形式，孩子们这样便于约分，所以通过约分 x 等于五十，以单价为等量，列出了比例。 除了这种方法，还有别的方法吗？水的单价不变，那李奶奶家用的水量是张阿姨家的几倍，李奶奶家的水费就是张阿姨家的几倍， 所以我们还可以列出这样的比例，十比八等于 x 比四十， 水量的比就等于水费的比。因为单价不变，仍然根据比例的基本性质进行结比例，那八 x 就 等于十乘四十， x 等于十乘四十除以八， 约分 x 等于五十。看来呀，在四个量中，只要告诉其中的三个量，我们就可以用解比例的方法求出另一个量。我们的解答是否正确呢？接下来要进行检验。先看张阿姨家 水分除以水量是不是水的单价，水的单价就是五元。那再看李奶奶家水分五十除以水量十，水的单价也是五元。 单价相等，证明列比例解答是正确的。最后写出答案。答，李奶奶家上个月的水费是五十元。好了，孩子们，我们用以前所学的算术法和现在比例方法都解决了这个问题， 那这两种方法他们有什么不同或者相同点呢？那我们先看第一种方法，算术法，算术法是必须求出这个不变量的具体值是多少才能解决， 再看我们的比例解决方法，以单价为等量，根据数量关系式表示出不变的量 都可以。看来呀，用比例解答，虽然写个解设有点麻烦，但是只要找到左右相对应的量，那么这样的比例 都是正确的。掌握了用比例解决问题的方法来看一道便是练习，王大爷家上个月的水费是六十元，他家上个月用了多少吨水？我们仍然整理信息，王大爷家的水费六十元，他家用的水的吨数。 不知道你能用比例的方法来解决这个问题吗？快在练习本上试一试。我相信呐，这道题一定难不住大家。我们解社，王大爷家上个月用了 x 吨水，根据单价不变，四十除以八表示张阿姨家水的单价， 六十除以 x 表示王大爷家的水的单价，单价为等量，列出比例，然后解比例，求出 x 等于十二。答，王大爷家上个月用了十二吨水。 好了，孩子们，我们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？我们学习了用正比例的知识解决问题步骤是怎么样的？来一起总结。第一步，首先根据不变量判断题中哪两种相关联的量成正比例关系， 接着找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例。第三解，比例。最后别忘了检验，写出答案。孩子们，今天这节课你学的怎么样呢？

六年级今天我们来学解比例，不管是解比例还是解方程，都得先写上一个解字， 解决这类分数形式的比例。根据比例的基本性质，我们用交叉相乘的方式可以得到一个方程，三乘 x 等于三 x， 一 点五乘二 可以得到这个方程，再根据解方程求出未知数的值即可。通常为了方便我们带有未知项的呢？放在方程的左边， 三 x， 那 就会等于一点五乘二等于三， x 就 会等于三。除以三 x 最终等于一。第二题，根据比例的基本性质， 两个内向相乘会等于两个外向相乘 x 在 外向，那 x 乘三分之一， 就等于三分之一 x 放在方程的左边，会等于十分之一乘九分之七，那三分之一 x 就 会等于九十分之七， x 会等于九十分之七。除以三分之一，那就乘它的倒数三 x 最终会等于三十分之七。 第三题，这里有比的形式，有分数的形式，我们可以把分数的形式给它写成比的形式，那就转化成 x 比零点四。接着，根据比例的基本性质， 内向相乘八， x 会等于外向相乘二十。五乘零点四，八， x 就 会等于十， x 就 等于十。除以八， x 最终等于四分之五。 第四题，外向相乘的积等于内向相乘的积。 x 乘一点八，那就等于一点八， x 会等于六乘零点一五。 一点八 x 就 等于六乘零点一五等于零点九， x 就 等于零点九。除以一点八， x 最终会等于零点五。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例第二章节正比例和反比例的第一课时。正比例来看例，文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系，如下表，数量一米，总价三点五元， 两米七元，三米十点五元，四米十四元等等。根据给出的这个表格，我们回答下面的问题。 第一问题，表中有哪两种量？一种是数量，一种是总价，所以有数量和总价两种相关联的量。这两种量有什么样的关联呢？我们仔细观察，随着数量的增加，总价呢 也在增加，那随着数量的减少，总价也在减少。是的，数量增加，总价增加，数量减少，总价也减少。第三个问题，相应的总价与数量的比分别是多少？ 比值是多少？总价与数量的比，那就是三点五比一，七比二，十点五比三，十四比四，它们的比值分别又是多少呢？三点五比一等于三点五， 七比二，比值三点五，十点五比三，比值三点五。那么其他的呢？孩子们，你来算一算，他们的比值分别是多少？是的，这些总价与对应的数量的比值都等于三点五。 那么比值三点五，它表示什么意思呢？总价与数量的比值，它就实际上就是彩带的 单价。如果用式子来表示总价、数量，单价，他们之间的关系就是总价比，数量等于单价，并且单价一定。像这样两种相关联的量， 一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量， 他们的关系叫做正比例关系。那根据上面的表格，总价和数量，它就是乘正比例的量。 总价和数量，它们两个的之间的关系，那就成正比例关系。如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，并且比值一定，那么正比例关系可以用下面的式子来表示，那就是 y 比 x 等于 k， k 一定，也就是比值一定。大家继续思考，成正比例的两种量必须具备哪些条件呢？ 第一就是两种量必须相关联，一种量变化，另一种量也随着它的变化而变化。第二，两个量的比值一定。这时候我们就说这两个量成正比例关系， 那上表中的数据啊，我们还可以用图像来表示，数量是一米，它的总价三点五元。数量二米，总价七元。数量三米，总价十点五元。数量四米，总价十四元。接下来我们把五米、六米、 七米、八米他们所对应的总价秒点，然后把这些点连线，根据这个图像你发现了什么？我们发现正比例关系的图像是一条从原点零零出发的无限延伸的射 减。根据图像我们来看第二题，把数对十三、十五和十二、四十二所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？十和三十五对应的是这个点， 十二、四十二对应的是这个点，然后我们把它们连起来，发现了什么？ 对，这两个点也在这条射线上，因为任何一个点，它所对应的总价和数量的比值都是单价，单价一定，所以它们都在一条射线上。接着看第三题， 不计算。根据图像判断，如果买九米彩带总价是多少？四十九元能买多少米彩带？ 注意，不计算买九米彩带的总价，那我们找到九米，他所对应的总价就是和这条射线的交点，那这个点就是九米，三十一点五元。 那如果买四十九元，他和这条射线的交叉点对应的是十四米， 所以是十四米，对应的是四十九元，所以买九笔彩带总价是三十一点五元，四十九元能买十四米彩带。有了图像 不计算，我们就可以直接找到它们对应的量。第四题，小明买的彩带的米数是小丽的二倍，他花的钱是小丽的二倍，他花的总价也是小丽的二倍。 也可以根据总价比数量等于单价，可以知道，数量扩大了两倍，所以他们的总价也扩大到原来的两倍。因为单价不变，所以他花的钱也是小利的二倍。 那除了刚才我们的总价和数量，两个量成正比例关系。孩子们，你能举出生活中正比例关系的例子吗？小明举出了正方形的周长与边长成正比例关系，你同意吗？ 正方形的周长等于边长乘四，所以周长与边长的比值就是四，四一定，那么周长与边长就成正比例关系。小红说，如果汽车行驶的速度一定，那么路程与时间成正比例关系。 路程比时间等于速度，当速度一定的时候，那么这两个量就成正比例关系。王老师也给大家带来了几道题，判断下面每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。孩子们，请你按下暂停键，快速试一试吧！ 王老师相信这三道题啊，一定难不住大家。好了，孩子们，我们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？我们理解了正比例的意义和正比例关系， 并且会判断两种量是否成正比例关系。了解了正比例关系的图像，不用计算就会直观的判断两种量的变化情况，并且根据规律我们会解决生活中的实际问题。孩子们，你学的怎么样呢？

判断两个变量是成正比例关系还是成反比例关系，我们要从以下三步进行，第一，我们先看这两个变量是不是相关联的量， 如果这两个变量是相关联的量，我们要写出这两个变量之间的关系式，那就是写出他们的关系式， 然后我们根据关系式进行判定，如果他们的关系式是比值一定， 我们就判定他们成的是正比例关系。如果他们的关系式是基一定，我们就判定他们成的是反比例关系。 那么我们看下面的题，第一题，圆的周长与它的直径成的什么比例？我们知道圆的周长是随入直径的增加而增加，减小而减小，所以它们复合第一个条件，它们是相关联的量， 那么第二个它们的关系是圆的周长 c 比上它的直径 d， 我 们知道就等于圆周率派，圆周率派是一个固定的值，所以它们是比值一定，所以这个题乘的是正比例关系。 这是第一小题。那么第二小题，圆柱的侧面积一定，圆柱的底面周长和高成了什么比例？我们知道，当侧面积一定的时候，底面周长 越大，那么高反而越小。底面周长越小，那么高反而越大，所以它们是复合。第一个，它们是相关联的量， 那么它们之间的关系表达是圆柱的底面周长 c 乘以它的高 h 就 等于圆柱的侧面积。 题上告诉我们，侧面积一定，所以是 g 一定，那么它们乘的就是反比例关系。 那么第三小题， y 等于五分之一乘以 x， 那 么 x 和 y 成了什么？什么比例？那么我们看我们有这个尺子，我们知道 x 越大， y 越大， x 越小， y 越小。很显然 y 和 x 是 相关联的量， 那么根据 y 等于五分之一 x， 我 们能得出 y 除以 x， 它就等于五分之一，那就是比值以定。哎，它就是比值以定， 比值它是一个定制，定值是五分之一，所以这个题乘的是正比例。 那么第第四小题二比 x 等于 y， 那 我观察，当 x 增大的时候， y 反而减小，当 x 减小的时候， y 反而增大，所以 y 和 x 是 相关联的量， 那么我们有二比 x 等于 y， 我 们能得出 x 乘以 y， 它就等于二，那么二是一个定值。所以这个题 x 和 y 是 乘积一定， 那么乘积一定，我们就判断它乘它是反比例。把这个题啊收藏起来，让孩子们听一听，再做一。

今天我们分享一组思维拓展题，正用和逆用比例的基本性质，判断两个量成正比例还是反比例？我们知道比例的基本性质是，如果 a、 b、 b 等于 c、 b、 d， 那 么根据比例的基本性质，我们知道两外向的乘积等于两内向的乘积。我们能得出 a 乘以 d 就 等于 b 乘以 c， 我 们就是把这个比例式转化成一个等积式，那么反过来，如果 给我们一个等积式，那么这时候我们能把这个等积式化成一个比例式，这就是比例基本性质的逆用。那就是四个不为零的数相乘，如果两个数的乘积，那么这四个数就一定能够成比例。 那么上面是比例基本性质的正用，那么下面是比例基本性质的尼用。 这是第一个知识点，那么第二个知识点，我们知道相关点的量 y 和 x， 如果它们的比值一定， y 比 x 等于 k， k 一定，那么 y 和 x 乘的是正比例。 如果两个相关联的量 y 和 x， 它们的乘积已定，它们的乘积等于 k， k 已定， 那么 y 与 x 乘的是反比例。 那么我们看第一题，如果 x 比七等于三比 y， 那 么 x 和 y 乘的什么比例？ 那么它给我们是一个比例式。那么根据比例的基本性质，我们就可以得到两外向的乘积， x 乘以 y， 它就等于三乘以七，就等于二十一。这时候这两个变量 x 与 y 的 乘积一定， 那么 x 与 y 乘的就是反比例，所以 x 与 y 乘的是反比例。 这是第一小题。把比例式化成乘积式，从而得到 x， y 的 乘积一定，那么 x， y 乘的是反比例。那么第二小题，如果二分之一 a 等于三分之二 b， 那 么 a 和 b 成的什么比例？这是一个 等式式，那么我们根据比例基本性质的，你用我们把这个等式式化成一个比例式，那么 a、 b、 b 等于。 我们看 a 在 外向，那么和 a 相乘的二分之一摆在外向的位置，那么 b 在 内向和 b 相乘的三分之二摆在内向的位置。我们进而化简就得到 a、 b， b 就 等于四比三，我们进而写出 a 比上 b， 它就等于三分之四，这时候 a 和 b， 它们是成的正比例。 这是第二小题，那么我们看第三小题， a 比上九九，等于 b 比上十三，那么 a 和 b 成了什么比例？那我们看这个题，它是一个比例式，那么我们第一步还是把这个比例式化成乘积式， 那就是两外项的乘积十三， a 等于两内项的乘积九 b， 那 么这时候这个题的形式就转化成我们第二题的形式。我们进而再把这个乘积式转化成一个比例式。我们就得出 a、 b、 b 就 等于九比十三，我们进而写出 a、 b、 b 就 等于 十三分之九，也就是 a 和 b 的 比值已定，所以 a 和 b 乘的还是正比例。 我们这个题是先把这个比例式转化成乘积式，转化成乘积式没有结果，我们进而把这个乘积式再转化成比例式，从而得出 a 和 b 的 比值已定，所以 a 和 b 乘的是正比例。把这几个少有难度的题收藏起来，让孩子们听一听，做一做。

今天我们分享几道解比例的易错题型。先看第一种分数类的，我们知道比例有两种形式，一种是比的形式，一种是分数的形式。那么在分数这种比例的形式中，一定要先让孩子们认准比例的外向和比例的内向， 那么这时候我们怎么办？三点六和 x 是 比例的内向，二点四和二是比例的内向，所以让孩子们交叉相乘。 这时候我们知道结比例是利用比例的基本性质，两外向的乘积等于两内向的乘积，所以我们运用交叉相乘的方法，认准两外向和两内向的乘积。所以我们先写一个结， 然后根据比例的基本性质，两外向的乘积，三点六乘以 x， 就 等于两内向的乘积，二点四乘以二， 然后在等式的左右两边同时除以三点六，它就等于三点六分之二点四乘以二， 最后化成最简的比值，最后就等于三分之四。这是第一小题，那么看第二小题，第二小题是混合类， 我们看这个比例的左边是一个分数形式，那么右边是一个比的形式。遇见这类题怎么办？我们一定要把它统一成一种形式，要么把这个分数形式化成比的形式，要么把这个比的形式化成分数的形式。所以我们先写一个减， 我们就把这个分数的形式零点二比三 x 写成比的形式，它就等于四比七点五。 我们解比例的时候，和解方程一样，一定要等号对齐，然后根据两内向的乘积，十二 x， 它就等于两外向的乘积，七点五乘以零点二， 然后就得到 x， 就 等于等式的左两边同时除以十二，它就等于十二分之零点一，五十二分之一点五。最后 x 等于 八分之一，这是第二小题，然后我们看第三小题，是最复杂的混合类，那么这类怎样做？和原来的一样，我们先写一个减， 然后两内项的乘积还是等于两外项乘积还是根据比例的基本性质，所以它就等于三乘以括号 x 减零点三， 它就等于两内向的乘积。二乘以括号二减二 x。 然后进一步按乘法的分配率分进去，就等于三 x 减去零点九，就等于四减四 x。 到这一步，我们进行移项，把四 x 移到等号的左边，哎，他就等于七 x， 把零点九移到等号的右边，他就等于四加零点九，四点九。然后等式的两边同时除以七 x， 就 等于 零点七。把这几道题收藏起来，让孩子们做一做，关注我，每天分享小升初考试的重难点！

判断两个相关联的量乘正比例还是乘反比例还是孩子们不能突破的难点？今天我们分享几道常考常错的题。 我们知道判断两个量乘正比例还是乘反比例。我们看这两个变化的量 y 和 x， 如果 y 比上 x， 它们的比值 k 一定，那么 y 和 x 这两个相关联的量乘的就是正比例。 如果两个相关联的量 y 和 x， 它们的乘积已定， y 乘以 x 等于 k， k 已定，那么这时候 y 和 x 乘的是反比例。 那么我们看第一小题，圆的面积和半径的平方乘什么比例？我们首先知道圆的面积公式， s 等于 pi， r 的 平方， 那么这时候圆的面积和半径的平方，我们由 s 等于 pi， r 的 平方推出。圆的面积 s 比上半径的平方，它就等于 pi。 我 们知道 pi 是 一个定值，也就是 s 与 r 的 平方的比值已定，所以圆的面积和半径的平方乘的是正比例。 这是第一小题，那么我们看第二小题，圆的面积和半径成什么比例？它和上一题少有区别。上一题是个半径的平方，那么这个题是个半径，这是孩子们最容易出现错误的地方。那么我们还是 s 等于派 r 的 平方， 这时候圆的面积和半径成什么比例？我们知道半径不是个定值，它是个变量，那么半径是一个变量，那么面积与半径的比值，它等于派 r， 这个比值也不是一个定值，它不是一个定值。那么圆的面积和半径的乘积，那就是派 r 的 三次方，它也，它也不是一个定值， 所以它既不是笔直一定，也不是乘积一定，所以圆的面积和半径不成比例，这是一个重点题。第三小题，长方形的面积一定，长和宽成什么比例？我们知道长方形的面积就等于长， a 乘以宽， b 长乘以宽等于长方形的面积。那现在面积已定，也就是说 a 和 b， 它们的乘积已定，所以长和宽乘的是反比例， 这是第三小题。那么我们看第四小题，长方形的周长已定，长和宽成什么比例？这也是一个重点的易错题型。我们知道长方形的周长公式，时长 a 加上宽 b 阔住乘以二，等于长方形的周长。现在长方形的周长一定，也就是也就是长和宽的和一定， 长和宽的和一定，它既不是比值一定，也不是乘积一定，所以长和宽不成比例。 这是一个重点的易错题。那么第五小题，正方形的面积和边长。我们知道正方形的面积 s 正，它就等于边长乘以边长。那现在问正方形的面积和边长，因为这个边长不是一个定值， 那么正方形的面积与边长的比值，它等于 a， 也不是一个定值，它不定， 那么面积与边长的乘积，它也不是一个定值，它也是一个不定的量， 所以正方形的面积和边长比值不是个定值，乘积也不是一个定值，所以正方形的面积和边长既不成正比，也不成反比，所以是不成比例。 第六小题，正方形的周长 c 就 等于边长乘以四就等于四 a， 那么周长与边长的比值，我们竟然能透推出周长比上边长，它就等于四，这个四是个定值，也就是周长与边长的比值已定，所以正方形的周长和边长成的是正比例。把这几个题收藏起来，让孩子们试一试，听一听！

哈喽，同学们快看，小明要上学了，可他出门晚了，正着急看时间呢，小明走出家门了，从家到学校的路线就在眼前，这段路有多远呢？答案来了， 小明家到学校的距离是一千二百米，这段路程可是固定不变的哦。如果小明以六十米每分的速度慢慢走，走到学校需要多久呢？ 算一算，六十米每分的速度走到学校需要二十分钟。可小明着急了，想走快一点，那小明加快速度，八十米每分往前走，时间会不会变短呢？哇， 速度变快，时间真的变短了，只要十五分钟就到学校了。那如果速度再快一点，一百米每分又需要多长时间呢？ 太惊喜了，一百米每分的速度只要十二分钟就到了，速度越快，时间越短。同学们把小明的速度和时间整理成表格，仔细观察，你发现了什么？看 表格里有速度和时间两种量，一个变快，一个变慢，他们的变化方向相反哦。动手算一算，速度乘时间，结果是多少 哇，三组算式的乘积都是一千二百，这个不变的。一千二百就是小明家到学校的路程，他是一个固定的定值，乘积一直不变， 速度和时间乘积一定变化方向相反。这就是我们今天要探索的新知识，今天就让我们一起走进数学课堂，揭开反比例的神秘面纱吧！

孩子们好啊，今天我们来学习六年级下册第四单元比例的，用反比例解决问题。先来看两道复习题，判断下面各题中的两个量成什么比例关系。第一小题，路程一定，速度和时间成什么比例关系？ 对，成反比例关系。为什么呢？路程一定，大家思考一下，怎样求路程呢？ 对，速度乘时间等于路程，当路程一定的时候，那也就是速度和时间的乘积一定。前面我们学过了，速度和时间是两个相关联的量，并且这两个量的乘积一定，那我们就说速度和时间乘反比例关系。 接着看第二小题，总价一定，价价和数量成什么比例关系？对，仍然成反比例关系。为什么呢？总价一定，马上思考怎样求总价？ 对，单价乘数量等于总价，当总价一定的时候，那就是单价和数量的乘积一定， 两个相关联的量成机一定。那我们就说这两个量成反比例关系，所以单价和数量成反比例关系。 看来呀，反比例关系在生活中应用也是非常的广泛。比如例六，某办公楼原来平均每天照明用电一百千瓦时， 改用节能灯以后，平均每天只用电二十五千瓦时。原来五天的用电量 现在可以用多少天？我们仍然用表格整理，信息非常的清晰，其中告诉了原来每天照明用电多少呢？一百千瓦时 改用节能灯以后也就是现在，现在每天用电多少呢？二十五千瓦是原来五天的用电量，也就是原来我们用五天， 现在可以用多少天。那孩子们思考一下，用我们以前的方法，你能解决这个问题吗？请你按下暂停键，快在练习本上试一试吧！一起来分析一下，原来每天用一百千瓦是 五天能用多少电呢？那也就是五天就用了五百个千瓦氏，这时候我们能不能求出总的用电量？所以用一百乘五等于五百千瓦氏，这表示什么？对总的用电量， 这些用电量是不变的。改用节能灯以后，现在每天用二十五千瓦氏，现在能用几天？ 总的用电量不变，其实也就是求五百千瓦时里边有几个二十五千瓦时，现在是不是就可以用几天？所以五百除以二十五等于二十天，那这个二十天就表示现在的用电天数。 根据已知信息求出总的用电量，再根据总的用电量不变求出现在的天数。 孩子们，既然我们学习了比例，那这道题能不能用我们比例的知识来解决呢？ 那这道题里面有两个相关联的量，平均每天照明的用电量以及照明的天数。相关联的这两个量是比值一定呢？还是乘积一定呢？我们来分析一下。 那大家思考，在这道题里边，哪个量是一定的？根据每天的用电量和用电的天数，我们是不是可以求出总的用电量？总的用电量一定，那也就是每天的用电量和天数的什么一定呢？对乘积一定， 两个相关联的量成机一定，所以每天的用电量和用电的天数就成反比例关系。那我们就可以以总的用电量为等量建立比例，原来每天的用电量乘用电的天数，这就等于总的用电量， 现在每天的用电量乘现在的天数等于总的用电量，以总的用电量相等，能不能列出比例？可是现在用的天数不知道怎么办？ 对，我们可以解设，原来五天的用电量现在可以用 x 天，所以用现在每天的用电量乘现在的天数，表示用电的总量。 原来每天用电的数量乘原来的天数，这表示总的用电量，总的用电量相等，列出比例，然后我们来解比例两边同时除以二十五， x 等于一百乘五除以二十五。写成这种分数的形式啊，孩子们就是为了便于约分 分子分母同时除以二十五，这得四，所以 x 等于二十。答，原来五天的用电量现在可以用二十天。那这道题到底做的对不对呢？我们接下来要检验 把 x 等于二十带入比例的左边二十五乘二十等于五百，右边一百乘五也等于五百，说明我们的解答是正确的。那如果我把这道题变个条件来看，现在三十天的用电量 原来只够用几天，我们仍然找出这道题的不变量，也就是总的用电量不变。那根据现在每天的用电量乘现在的天数，是不是等于总的用电量，原来每天的用电量乘原来的天数是不是也等于总的用电量？ 总的用电量相等，列出比例，所以仍然用反比例解决问题。解设，现在三十天的用电量原来只够用 x 天，所以得到比例一百， x 等于二十五乘三十。 结，比例两边同时除以一百，所以 x 等于七点五。答，现在三十天的用电量原来只够用七点五天。那来孩子们总结一下，今天我们学习的是用反比例的知识解决问题， 那么用反比例解决问题的步骤是什么呢？对，第一，根据不变量判断题中哪两种相关联的量成反比例关系。第二，找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例。第三， 解比例。第四，检验并解答。我相信呢，孩子们一定掌握的非常好，那就利用今天所学的知识完成教材六十页的做一做吧。

什么是比例的基本性质呢？在比例中，两万向的积等于两内向的积，那么根据这一性质，我们可以写出按要求完成的比例。请看第一道题目， 有两个比，它们的比值都是八分之五，第一个比的前项与第二个比的后项都是四十， 你能写出这个比例吗？好，要写比例，咱们要先知道，比例中有四个项，两端的两个是 外项，里面的两个是内向。我们写比例之前啊，要先画线定位 好，定出他的四个项，然后按照位置去送数回家来。第一个，第一个笔的前项在这， 第二个笔的后项在这，都是四十，哎，把两个四十送到他们的位置上面， 然后他们的比值都是八分之五，那么八分之五就是五比八。来，现在把他们的符号添上，添上以后， 把五比八，哎，对应在这两个下面来。开始根据笔的基本性质，五变四十乘八，八八六十四，然后这也是五比八来， 八变四十乘五，五五二十五。好，这样的比例式就完成了。接着看第二道小题， 两个外向的积加上两个内向的积，结果是一百六。看这句话， 两外向的积，两内向的积，在一个比例当中，它是不是相等呀？ 因此外向的积就等于内向的积呀，他们加起来的和是一百六，那我就可以求出，外向的积就是一百六十，除以二就等于八十，那么内向的积那也是八十呀。 好，看，后面的一个外向是四，另一个内向是五，请你写出这个比例。写比例，先要画线顶位来，他的四个象，我们来画他的四个位置 来开始送数，一个外项是四，好，我们填到这另一个内向，另一个内向是五，写到这来，把他们之间的符号填完整 好。接着根据咱们刚才的外向的积是八十，内向的积也是八十，来勾出它们的位置两端的两相 叫做外向，外向的积是八十，那么这个外向是多少呢？对，八十除以四等于二十。 接着量内向来勾出来它们的积也是八十。看这儿八十除以五等于十六。好，这就完成了这个比例， 喜欢的点个赞吧！

我们分享一道学霸思维题，会运用第一种方法解决的是学霸思维，会运用第二种方法解决的是学神思维。我们看题，题中第一句话告诉在一副比例尺是一一比六百万的地图上， 量的 a、 d 到比 d 的 图上距离是四厘米，那么有这个信息我们能解决什么问题？我们知道比例尺等于图上距离除以实际距离，那么现在已知了比例尺，已知了图上距离，我们能解决 a、 d 到比 d 的 实际距离， 这是第一种方法。我们找着 a、 d 到比 d 的 实际距离，那就是拿住图上的距离四厘米除以 比例尺，一比六百万，我们能得到二十四万厘米， 然后把这个小单位厘米化成大单位，我们去掉五个零，得到千米，二百四十千米。 这是由第一个信息求出 a、 d 和 b、 d 的 实际距离。一辆小轿车行完全程需要三小时，一辆货车行完全程需要四小时，那么我们根据其中的这个信息，我们能求出小轿车和货车的速度分别是多少。所以小轿车的速度， 那就是拿着路程二百四十除以它的时间，三小时就等于它的速度八十千米每时，这是小轿车的速度。货车 行完全程需要四小时，还是路程除以时间就等于货车的速度六十千米每时， 那么 a、 b 两地的实际路程二百四十千米，小轿车的速度八十千米每时，货车的速度六十千米每时。那么问小轿车和货车同时从 a、 b 两地相对开出几小时后可以相遇，它求的是相遇的时间， 我们知道在相遇问题中，相遇的时间他就等于路程除以他们的速度之和，所以拿着二百四十除以八十加六十，他就等于七分之十二小时。 这时我们运用比例尺来解决这个问题，那么这个问题除了这种方法，还有第二种方法。第二种方法我们可以把把这个问题看作工程问题，我们用工程问题的思想来思考这个问题。 如何用工程问题来思考这个问题？我们可以把 a、 b 两地的实际距离看作单位一，哎，把这个实际距离看作单位一。 那么小轿车行完全程需要三小时，那么我们能求出小轿车的速度 或者说它的工作效率，那就是拿住路程除以它的时间，就得到小轿车的速度三分之一。 三小时走完，那么一小时就走了全程的三分之一。同样道理，货车四小时行完全程，还是拿着路程除以他的时间，就得到货车的速度或者货车的工作效率四分之一。 然后问相遇的时间，我们拿着总的路程单位一， 除以它们的速度之和，三分之一加四分之一，它就等于一，除以十二分之七，就等于七分之十二小时。 这种方法是我们利用工程的思想，把 a、 b 两地的实际距离看作了单位一， 那么小轿车的速度就是三分之一，货车的速度就是四分之一。然后拿住总的路程除以他们的速度之和，还是等于相遇的时间。我们这种方法跟他的实际距离二百四十千米没有关系。 把这个重点的题型收藏起来，让孩子们做一做，听一听。关注我，每天分享小升初考试的重难点！

今天我们分享一道常考孩子们常错的用比例解决问题的题型看题，给客厅的地面铺砖，用面积为九平方分米的方砖铺地，正好需要二百块，如果改用边长为五分米的方砖铺地需要多少块？用比例解答，那么 这时候我们读第一个信息，给客厅的地面铺砖，那么这句话蕴涵了什么意义？那就是说客厅的面积是一定的，那么客厅的面积怎样来给客厅的面积就等于每块方砖的面积 乘以所需的快数就等于客厅的面积。 我们知道客厅的面积是一定的，那么我们看第一个信息，用面积为九平方分米的方砖铺地，注意这个是面积为九平方分米这个关键词于面积，那么正好需要二百块， 那么一块的面积是九平方分米，正好需要二百块，那么我们就由这一个信息求出客厅的面积，那就是二百乘以九， 这时我们用二百乘以九表示出客厅的面积。那么第二个信息，如果改用边长为五分米的方砖铺地需要多少块？那么这时候我们要把这个问题舍出来解释啊，需要 x 块九平方分米，需要二百块，那么我们用二百乘以九表示出这个客厅的面积， 那现在如果用边长五分米一个关键词于边长，刚才是面积，现在变成边长方砖就是正方形，那么需要的是 x 块， 那么边长为五分米的正方形，它的面积就是边长乘以边长，也就是五的平方，那么一块的面积是五的平方，现在需要的 x 块，那么我乘以 x 得到的还是这个客厅的面积， 左边表示客厅的面积，右边表示客厅的面积，这个面积是相等的，我们就用等号连起来， 那这时候我们可以算出，哎，这是一个二十五， x 就 等于一千八百，我们进而求出 x 就 等于七十二。 那么这个题他就是客厅的面积，一定每块方砖的面积和所需的块数乘的是反比例，左边是客厅的面积，右边还是客厅的面积，所以他们乘的是反比例。然后我们答 需要七十二块。这是一个常考常错的题型，其中有了两个易错点，第一个这个地方是面积九平方分米，第二个变成了边长是五分米。把这个题收藏起来，让孩子们试一试。