八下数学四边形手工怎么做

搞错了再来， 放下故事中举手，一直立久再继续说好的，你。

乌萨奇， go 乌夏奇，你看电脑屏幕上的两幅图片上都有啥？有铁杯，有木头杯， 到底都有啥？都有平行四边形，谁看不出来？那你知道这种四边形里隐藏了什么数学奥秘吗？ 都说是平行四边形啊，肯定是平行呀，居然弄对了！那你知道他身上还藏着什么秘密吗？还有啥？我的聪明脑袋居然不知道，那就和今天的小伙伴们一起去探索吧！ 尝试用定义画一个平行四边形，你能观察出它的边角还藏着什么特殊关系吗？难道是相等？动手量量看吧！ 小爸我把极易的水晶玻璃打碎了，怎么办呢？我看看这个水晶玻璃的形状，是个平行四边形，或许能利用平行四边形的性质还原它。 你猜在平行四边形中画两条线，又会得到什么神奇的关系？你画个看看呗！ 看图，连接四边形中的 a、 c 和 b、 d， 它们交于 o 点点 o， 把每条对角线都分成了两部分。这两部分有啥关系呢？继续探索吧！

今天做一个折纸立方体， 一共折六个，把它们组合起来。

一刀剪出平行四边形纸张，对折两次斜剪，一刀平行四边形完成。

今天我们再来看一道八年级的尺规作图题，那么现在新教材之后，七年级和八年级经常好考尺 规作图，不写做法，但要保留作图痕迹。如图，四边形 a、 b、 c、 d 在 边 a、 d 上求作一点 e 在 边 bc 上求作一点 f 在边 c、 d 上求作一点 g， 使四边形 e、 f、 c、 d 为菱形，让我们做的是菱形。那么这道题的尺规作图的依据就是运用菱形的对角线 三个性质，一、互相垂直。二、互相 平分。三、平分对角。 那么同门想一想，首先 e、 f、 c、 d、 e 点我们是要保留的啊， e 点是要保留的啊， c 点是要保留的， e 点在 a、 d 上， f 在 b、 c 上， 那么 g 点是在 c、 d 上。大概是这样一个图形啊，大概是这样一个 菱形啊，大概这样一个菱形的位置。那么我们首先怎么要考虑是怎么运用 c 点来找到 e 点？ 很显然，我们用的是对角线平分，没读对角。所以这道题的第一步先找到 e 点，那么是作角 c 的 角平分线， 那么脚碎的脚皮中线， 那么我们说脚碎的脚皮中线和 a、 d 的 交点就一定是一点的位置。因为菱形对角线平分，每一组对角有 c 点，我们可以很容易找到一点的位置。 那么我们再怎么去找 f 和 g 的 位置，那么 f 和 g 是 菱形的另外一条对角线，所以我们利用它们对角线垂直平分 这两个性质来做，所以那个 f、 g 肯定是要垂直平分 c、 e。 所以 第二步我们只要做出 c、 e 的 垂直平分线就可以了。 那么 c、 e 平面和 bc 的 交点就是 f 的 位置，和 cd 交点就是 g 的 位置，最后我们再连接 ef 和 eg， 那 么四边形 ef， c， g 就是 让我们做的菱形。 好这道事物做头题运用的就是菱形的对角线，它的三个性质来进行做头的，你学会了没有？好，这道题就讲到这里，同城再见。

大家好，分享一道好题，平行四边形的动点最值题。在矩形 abcd 中， ab 长为五， bc 长为六点， e 为 bc 上的一个定点，并且长为二。 f 在 为边上的一个动点，连接 ef， 以 ef 为边作等边三角形。 ef c e f g 点 g 在 平面内运动连接 c g， 求 c g 的 最值。 这题其实它的本质考的是瓜豆，但是呢，我们可以用八年级的方法来处理，通过构造全等进行转化。 怎么处理呢？首先它是一个等边的一个旋转，所以我们想到构造的是一个等边三角形，以 e c 为边构造等边三角形。 标个字母，假设点是 h， 大家发现 e f g 这个三角形和这个三角形为手拉手模型， 所以这个时候我们发现，如果我们连接 c g 的 时候，应该再连接谁呢？ 连接这个 f h， 这样一来就构成了手拉手全等模型。哪个三位全等呢？ g e c 三角形跟 f h e 全等三角形。 g e c 全等于三角形 f e h， 所以 c g 等于 f h。 所以要想求 c g 的 最小值，只要求 f h 最小值。由于 f 在 线段上跑，那么最小值应该是垂线段，最短是这个值，这是几呢？由于这个边长总共是六，这边是二， 这个边呢，它是这个边长呢？是总共是 bc 是 六。去掉二，这边还剩四，它是等边三角形，所以我们做垂线段的话，就把它平分，这边也是二，所以最小值为四。本题选 c。

啊啊啊。

这道八年级网格做图题，百分之九十的学生不会做，他到底运用了哪些知识点？我们来看一下。 在下列由边长为一的小正方形组成的网格中，仅用无可度的 直尺完成。下列画图， bc 与网格线交于点 d， 点在 i c 上画点 e， 在 i c 上画点 e， 使 d， e 等于 c、 d。 我们这道题非常的有意思，那么首先我们来观察一下这幅图，同学们，通过观察这幅图，你能得到哪些信息？好？首先我们最 最容易发现的就是这道题当中 a、 b 是 等于 bc 的， 你发现了没有？ a、 b 是 等于 bc 的， 那么你有两种方法，一个是看它是四个小正方形对角线，这个 b、 c 也是四个小正方形的对角线，或者用计算的方法，这是一，这是四， 所以 ab 是 等于一的平方，加上四的平方等于根号十七， bc 也是是四则是一啊，是根号十七。所以我们说 ab 是 等于 bc 的， 这是第一步，那么这个 a、 c 你 看是三三。很显然 a、 c 是 和 a、 b、 b、 c 不 相等的。那么第二步，我们再看一看 它，让我们说 d、 e 等于 c、 d， 那 么 d 恰好是 bc 的 终点， d 恰好是 bc 的 中点，同学们发现了没有？为什么我们可以正这两个小圆圈等 我们知道 d 是 bc 的 中点，那就是 b， d 是 等于 c、 d 的， 那通过以下这两点，让我们找 d， e 等于 c， d， d 等于 c、 d， 那 就说 d， e 等于 c、 d， 它要等于二分之一的 bc， 也等于二分之一 ab。 同学们想啊，是不是 d， e 等于 c d， c、 d 是 bc 的 二分之一，而 bc 是 等于 c、 d 的 b、 c 是 等于 a、 b 的， 所以它们都等于二分之一 a b， 那 么 e 是 在 i c 上的， e 是 在 i c 上，所以他们想到了，没想到 e 应该是什么？是的，由此我们可以推断出 e 应该是 i c 的 中点，这样的话， d e 就是 中位线， 那么 d e 就 等于二分之一 ab， 也就等于二分之一 bc， 从而等于 cd。 所以这道题，这道题经过我们分析完之后，那么他找的这个 e 点是 i c 的 中点，也就是这道题网格作图，其实运用的是三角形的中位线。那么下面我们怎么找 i c 的 中点？对，他们看看。 往大的看，这是一个三乘三的正方形，往小的看，这是个小正方形，所以这中点非常容易找， 我们可以连接正方形的对角线， 这焦点就是 e 的 长度 就是二分之一 ab， 因为 d e 是 三角形 abc 的 中位线。那么这道题同学们，你听懂了没有？如果没有听懂的话，请你多听几遍。好，这道题就讲到这里，同学们再见。

八下平行四边形一定是我们本学期要突破的一个重难点，因为这里面不仅图形多，而且涉及到模型和变形也特别多。 光拿正方形来说，他涉及到模型和辅助线就有九大类，那今天我们就把正方形这种特别特殊的四边形再拿出来来看一看与他结合的角平分线模型和截长不断辅助线的做法。 那有关于正方形、平行四边形、菱形、矩形这一张结的特殊图形，老师都已经给大家把常见的这些易错题做了一个总结。 如果啊，咱们孩子做几何综合的大题，还经常没有思路，做不出辅助线，一定要分题型，咱们来进行练习，把它刷透了纠错好，我们再做这种题绝对是没有问题的，下面一起看看。这道题 说四边形是正方形， m 是 bc 上一点， e 是 c， d 边上的中点有中点，必然有这两段相等啊。先标上条件，上图， 接下来 a e 平分，那这是角平分线，让你求证， a m 等于 a， d 加 mc 怎么正啊？哦，在这里看到 a 加 b 等于 c 形式的式子。 上学期我在我的几何模型专项里特意给大家做的这个模型的专项叫做截长不断。凡是看到 a 加 b 等于 c 形式的式子，立马想到这道题的解法就是截长不断，谁是长啊， 这肯定是长啊，它俩是短呢。于是我们想到辅助线的思路就是在长上哎，我截这么一咕噜，让它和其中的一个短的相等，然后再去连接看没看见。这是我做题的第一个思路，在长的上面截一咕噜和短的相等。 接下来我只需要正另外这一咕噜短的和这个 m c 是 相等的就可以了，看没看见，所以在这我再去连接 m e， 那这个时候就可以通过哎，正这两个三角形全等，进而得到最终的答案了。来，这是我的第一个思路，叫做截长补短，具体的正法已经在我上一学期很多课程视频当中都讲过了，这里不赘述了，咱们今天要讲思路的连通性好不好？ 这道题还有第二个思考的方式在哪？在这个角平分线上来涉及到角平分线，咱们上一学期学过什么叫做角平分线的四大名辅，还记得吗？ 有角平分线，有角平分线，一点向角的两边做的一个垂直，那下一步你的思想是干嘛呀？ 对了，由角平分线入手做啥？做双垂直对不对？是不是？哎，叫做双垂直，所以由这个思考我们就可以做出。哎，那我过点 e， 我 这可以做个垂直，我做 e f 垂直于 a c， 那 我们做完垂直以后，你可以发现，哎，是不是这两边三角形有点关系啊？干嘛全等啊？为什么全等啊？你可以发现 a a s 就 可以正 这两个三角形全等，那这一边和这一边的长度是不是就转化过来了？那还是又回到这里了，我要想证 am 等于这一段加 m c， 就 再证他俩相等就行了， 还是给他连上啊，连上之后，我们再通过证这两个三角形全等，是不是就可以得到最终的答案了？所以你看啊，同一道题，同一个解析思路，我们是不是可以从两种路径上去解析呀？ 哎，一种这样从 a 到 b， 哎，一种走这个从 a 到 b， 就 跟我们选上路、中路和下路走一样， 最后殊途同归对不对？所以这两种方式做辅助线的做法和证明的过程略有差异，我把详细的解析过程发在咱们群里了，大家做完了之后可以去找我去对答案，一定要把这种多个方法多个维度思考的能力培养孩子建立起来。

八下数学啊，有两大压轴难点，一个是依次函数，另外一个就是这里平行四边形了，平行四边形他往下考，还有菱形、矩形、正方形，每一个图形他都有那个九十条的性质和判定， 综合在一起，同学们就不知道该怎么做了。而且这种题还有一个难点就在于他不仅是只考我们四边形啊，他四边形的题必然会结合着八、上学期三角形全等三角形轴对称去出题， 所以一旦你上一学期的知识有漏洞到这，你不可能把这道题做完善，做完整，所以在这就要把整个几何的网状思维给建立起来了。 这个学期是我们升入九年级最后一个能有大块的时间查漏补缺的下假期，所以同学们发现漏洞，抓紧时间去补，尤其几何模型辅助线这一块啊， 那老师啊，也给大家把有关于平行四边形这里常见的二十三大类模型辅助线都做了一个总结，如果咱们孩子现在还经常遇到大题做不出辅助线，没有思路的，抓紧时间带着孩子逐个题型去突破。下面啊，咱们就来一起看看这道题。 这道题啊，他证明的是正方形当中一个典型的模型十字架模型。正方形这个家族由于他太特殊了，他自己设计到的模型和辅助线就有八九种，所以这个视频咱们单拿出来这个十字架一起来正一正。 什么是十字架呀？就是说啊，在这里哎，有两条线十字交叉形成这个形状，他研究的是哦，这两条线给了你垂直的关系，我想推他们的数量关系是不是相等，那该怎么正啊？ 同学们来看一看这里这个图形咱看着是不是有点眼熟啊？是不是和我上一学期几何模型专项里讲到的互与倒角模型是一模一样的呀？什么意思？来看正方形是不是有九十度啊？ 九十度的话，那另外两个角是不互余啊？小叉加上小圈是不是等于九十度啊？来继续看，这是不是九十度啊？那这个是个小直角三角形，这两个角互余，这是小叉，这是不是就是小圈呢？ 同理，看整个大的，这又是一个直角三角形，这是小圈，这不就是小叉吗？合着这个图上我所有标记相同符号的角，它都是相等的， 所以你会发现正方形它本身就有一边是对应相等的，又有两角，甚至三角咱们都能推出来相等。所以现在这两个三角形什么关系？ 三角形 a、 b、 e 和三角形 d、 a、 h 是 什么关系？全等的两个三角形全等对应边相不相等 一定相等，所以咱们就推出来了。所以十字架模型简而言之去说，他的结论，给你两条线在正方形当中垂直，那么一定可以推他俩相等。反过来给你他俩相等，一定可以推垂直。

数学旋转平移对称手工左右平移，上下平移旋转摩天轮旋转太阳轴对称城堡和会动的蝴蝶 打印两张线稿，涂上颜色，打印两张彩图，沿黑线裁剪。摩天轮中间白色用刻刀镂空，两条机关纸沿黑线对折， 变成青蛙腿用刻刀镂空细长条 旋转必须用到两个两角钉子，城堡放右边，太阳鼻子穿个洞，用两角钉子穿过去，摩天轮穿个洞，用两角钉子穿过去，再穿过底纸固定，摆上可爱的小动物。拿出青蛙腿折一折，穿过孔， 青蛙腿打开，贴上双面胶就可以贴上车子啦！同样做法，再看一遍，不会就多看几遍， 蝴蝶折一折变立体，我的作品就完成啦！

这是一道仅用五刻度的直尺进行作图的一道八年级作图题，很多同学不会做，那么现在作图题是近几年考试的热点。好，我们来看一下这道题。 在图一中的菱形 a、 b、 c、 d 的 边找一点 f 作线段， b、 f 等于底一， 那么说是在菱形的边上，他并没有说是在哪条边上，而且我们必须是用的是无刻度的智齿， 那么既然是用无刻度的支持，所以我们只能通过连线来找出相应的点，那么这里面用的知识点就比较多。首先我们先用一个全等法来找 b， f 等于 d、 e， 首先我们连接 i、 c， 这时候菱形 abc 的 对角线 i、 c 和 d、 e 有 一个交点，然后我连接 b 和这个点交点， 和 a、 d 相交于一点，这一点就是 f， 那 么这个 b， f 就是 等于 d、 e 的。 那么朋友们，为什么我们可以通过证明三角形 a、 d、 e 全等于三角形 a、 b、 f 来说明 d、 e 和 b、 f 相同的，那证明的过程我就不再追溯了 啊。这是一个方法，另外一个方法就是我们可以构建平行四边形，就是在 cd 边上找一点 f， 在 cd 的 边上找一点 f， 这时候 beef 是 平行四边形，这时候 bf 就 等于 d、 e 了，这也是很多同学想采用的方法。 那么我们怎么找到 b、 f 和 d、 e 平行？好，我们的方法是，首先连接 i、 c， 再连接 b、 d， 那 这时候 i、 c 和 b、 d 有 一个交点 这点，那么我再连接 e 和这个交点 并延长，这时候它就会和 c、 d 有 一个交点 f， 这时候我们再连接 b、 f， 那 么 b、 f 就 等于 d。 一， 此时的 b、 f 也是等于 d 的， 我们同学们想一想，你可不可以证明这个 b f 是 等于 d 的 呢？ 那么我们可以证明 d b b e， d f 是 平行四边形， 怎么来证明它是平行四边形？特别客户想一想。这里面我就不讲了啊，就不讲了。好，第二问，在图二中的菱形 a b c d 的 边找点 f g， 使 b f 等于 b g， b f 等于 b g 等于 d e， 并作出等腰三角形 b f g。 那 么第二位恰好就是运用了我们刚刚讲的这两种方法，那么这个是 b f， 那 么我这种找的话就是 b g 了，所以我在连接这个点， 那么这个位置就是 g 的 位置。根据我们刚才讲的电路方法，我们知道 b g 是 等于 d e 的， b f 也等于 d e 的， 所以 b g 等于 b f， 那 么三角形 b f g 一定是一个等腰三角形。 那么这是八年级的一道特殊四边形当中用无刻度知识来进行作图的一个一道题比较好。好，这道题就分享到这里，朋友们再见！

哈喽，大家好，我是数学张老师，欢迎大家来到我的满分数学课堂。欢迎来到满分数学八年级下册第五周题型，四边形综合模型了。 我们带着三个问题进入课堂，第一，如何应用对角互补模型？第二，如何去应用正方形风车模型？第三，如何应用实价模型？好，我们在讲之前，先看一下例题一， 这道题中，它告诉我们，在正方形中啊，对角线 a、 c、 b、 d 交于 o 点，我们还做 o、 f 垂直于 o、 e 啊， 且 ab 是 等于二，求四边形 b、 e、 o、 f 的 面积是多少？ 那这道题中要求这个四面形面积，它很明显是不规则的，我们没法直接去求，但这下我们需要去转化，我们可以看下图中啊， bo、 f 这三角形和这个 a、 o、 e 这三角形有什么关系？同学们可以思考一下。 bo、 e 这三角形呢，跟右边这个 o、 f、 c 三角形有什么关系？你也可以去思考一下。好，大家可以按一下暂停键作答，请暂停。 好，同学们，我们来看例题。这道题我们求的是 b、 o、 f 的 面积，那我们既然面积没法直接求我们先进行转化，那 我们先观察一下 a、 o、 b， 由于正方形的对角线是互相垂直的，这 a、 o、 b 也是垂直，发现这里出现了两个九十度角了。好，那我们把这两个垂直先擦掉， 出现了两个垂的时候，你就要去考虑了，我们要标上角一加角二会等于九十度，角三加角二也等于九十度，我们就会追出来角一等于角三了。啊，我都知道角一跟角三的关系了， 而且呢，正方形的对角线还有很多特点，它这些对角线的与角角啊，都是四十度啊，所以角边相等了，以及它的对角线互相平分，且每一段都相等， o a 就 会等于 o b 了。 a、 s a， 我 们就能证明三角形 a、 e、 o 全等于三角形啊， b、 f、 o 了啊，通过 a、 s、 a 证明 其这两块连穿权的。同理啊，同理，其实我们也可以直接证出来，三角形 o、 e、 b 也会全等于三角形 o、 f、 c 啊，这两个是一样的，都能证明权的，我们证明权的目的在哪里呢？ 人们要求的是四边形 e、 b、 o、 f、 o 的 面积，那么四边形 e、 b、 f、 o， 它的面积就会等于什么呢？是就等于 e、 b、 o 加上 o、 b、 f 啊，它等于两个三角形之合， e、 b、 o 加上三角形 o、 b、 f， 其中我们刚证明全的呢，你可以转换一个，比如我们可以把三角形 o、 b、 f 转换成 a、 e、 o 啊，换成 a、 e、 o， 这么一换成 a、 e、 o 之后，我们观察它是不是两个三角形组合成了一个大的三角形 a、 o、 b 嘞？首先呢，我们只要求出三角形 a、 o、 b 的 面积就可以了啊，那 a、 o、 b 的 面积怎么求的啊？方法比较多，我们可以利用它是等腰直角三角形，求出它的直角边 a、 o 啊，是勾号啊，去求面积，这是一种方法， 当然我们也可以走慢啊，我们也可以选择利用正方形的面积的四分之一去求啊，也是可以的啊，方法比较多，我们也可以选择用四分之一的大正方形的面积， a、 b、 c、 d。 大 正方形面积边长至到了十二，那就面积是二乘二，得到了是一，所以答案出来了，它的面积为一， 在测距板我们注意了，下次遇到这种对角线中，再给两条垂线的话，或得到交点做垂线的话啊，那它就会得正两组全等。我们前面通过立体一啊证明出了一些结论， 对于一个正八形，如果我们呢，把对角线做出来的焦点是 o， 那 过 o 点做两条垂线啊， o m 和 o n 垂直关系的话，那就会得到以下的结论啊，第一， o m a 全等于太阳形 o b f 啊， o m e 全对，它叫 o b f， 这是我们通过立体我们得证的，以及 o b， e 会全对太阳形 o c， f 啊，它证明过程我们在复习一下， 由于正方形的对角线的特点啊，这是四十五度角啊，对角线，这都四十五度角啊，所以我们可以轻易得到一直角相等， 以及这半年的特点，他的 o a， o b， o c 这三条边都会互相相等，那又会得到一条边相等。还有呢，利用他两个九十度角，我们可以指出 角一跟角三是相等的，以及角二跟角四相等，利用我们的角度关系去证明，所以通过 a s a 就 能证明两个全等了。好，这是我们第一个结论。 第二个，由于全等，我们还能推导出来， o e、 f 会是等腰直角三角形，这怎么证明呢？ 题目告诉我们它是九十度，那所以它至少是个直角，我们只要证明出任意一组全等之后，由于全等就可以推出来， o e 会等于 o f 啊，全等对应边相等，那么等腰加直角，它就是等腰直角三角形，所以第二个也得这么 啊。第三个就是我们前面例题一提到的三角形 a、 o b 和三角形 b、 o、 c， 它的都会等于正方形面积的乘以之一，它就会等于中间这个 b、 e、 o、 f 这个四边形的面积。 b f、 o 这个四边形面积啊， 原因是我们可以把其中一个这上去的面积转移到这里来，那你转移过来是不是就变成了 o、 b、 c 了啊？或者你也可以选择把 obf 这个面积转移上来，那挪下来之后呢，就变成 a、 o、 b 了，所以这么去转换，实际上要求这四边形面积，它就会是正方形的什么之一啊，这也是非常好用的知识点。 第四个， b e 加 b f 会等于 a e 加 c f 啊，这里我们来看一下 b e 加 b f 会等于 a e 加 c f 啊，这里就利用到我们也是说前面的全等了，由于全等我们还可以得到啊，由于学的我们可以得到 a e 会等于 b f 以及 b e 会等于 c f 啊，利用前面的两个弦的对应面相等，所以自然这两条边就可以转移出去了啊，那转移出去有什么好处呢 啊？我们全面选择一组来做来看啊，如果我们选择是 b e 加 b f 啊，我们转移其中一组是不是就变成了 b f c 加 b f， 它是什么？它是不是好是 bc？ 你 说我们这两条线呢？之合刚好是一条正方形的边长，正方形边长和这个 o a o b o c 有 什么关系？它这个等腰直角角形，它要符合一比一比根号二的关系， 所以这条边长会是对角线一半啊，一半的对角线的根号二倍，所以它都会等于根号二倍的。 o a 也会等于 o b 也会等于 o c 啊， 这么来的第四个啊，第五个，我们再来看一下 a e 的 平方加 c f 的 平方这种半，它也是利用我们前面提到这个转换啊，也是提到这种变换过程， a e 会等于 b f， c f 会等于 b e， 最后把两边的转引进来了， 然后再利用中间就这样的是一个直角三角形勾股定律，所以就得到了直角的边的平方和会等于斜边平方 e f 的 平方 啊。然后我们前面的第二点也提到了 o e f 会是一个等腰直角三角形，那既然是等腰直角三角形，它要满足的吗？满足一比一比较好啊，它的边长关系一比一比较好， 但 e f 的 平方平方之比是不是二比一比一啊？所以 e f 的 平方就会是 o e 这条直角边的点倍，也会是 o f 平方的点倍 啊。所以我们下次遇到这种正方形中间带有一个直角的话，这种属于叫正方形风车模型，像风车一样转动的情况。好，我们就可以去首先抓住第一个正全，等有全等之后，你就可以逐步推出以下这些结论 啊。学会这个分寸模型，我们来做一个例题巩固一下。我们前面学会了分寸模型的几个结论，我们来看例题三，可以来应用上入出 正码点对角线 a c 和 b d 会交于点 o， 以 o 引出的两条垂线 o n 不 o n 分 别交 e f 点啊，因此 o e 和 o f 是 垂直关系的。 求证 o e 等于 o f。 第一题，第二题，如果正方形的边长为四，求 e f 的 最小值。好，同学们先来思考一下这道题该怎么去解决 o e 等于 o f， 其实其题目中要求 o e 和 o f， 我 们只要是干嘛是只要去证其中一组全等就好了，这里很明显有两组全等供我们选择。第二题要去求 e f 的 最小值，思考一下 e f 的 最小值该如何去转换呢？ 好，节后我们前面所学的结论你可以去思考，大家花点时间按下暂停键作答。请暂停， 我们一起来看例题三，如图正方形啊，它告诉我们的一些信息，以及 o e 垂直于 o f， 让我们去求证 o e 和 o f 相等，那这个时候我们先找出全等，比如我们可以先去证 o e， a 和 obf 这两组相交成的题目中各以及有什么信息呢？由于正方形可以在四十五度角啊，两个四十五度角，它相等了，和 o a 和 o b 相等， 所以我们大家再找一组就够了，我们就利用中间这个两个九十度去做文章啊，我们给它标一角一，角二和角三。好，我们一起来写一下这好，第一题在正方形 a、 b、 c、 d 中啊，这方 c 中有非常多信息，有角 o a、 b 会等于角， o b、 c 等于四十五度，四十五角。还有呢， o a 会跟 o b 相等啊， 这些吸引都可以用上，以及还要怎么还有角 a、 o b 会等于九十度，这些都可以用上，所以我们可以知道了，角一加角二就会等于九十度。题目又告诉我们， 又因为题目告诉我们角二加角三也等于九十度，所以等量再换一下啊，角一跟角三同角，它们的与角会相等，角一跟角三就相等了，那我们就可以直接证明出全等，所以三角形 a、 e、 o。 好 在三角形 a、 e、 o 和三角形 b、 f、 o 中，我们去证明全等 第一组啊，两个角相等，角 o a， b 等于角 o b c。 第二个边相等 a 等于 o b， 第三个角相等，角一等于角三，我们就证明出来了，三角形 a、 e、 o 全等于三角形 b f、 o 用的判定力 a s a 全对完之后就可以得到啊，由于全对，所以 o e 等于 o f 对 应边相等啊。这是第一小问，我们就得到 o e 和 o f 相等了。我们再来看第二小问，第二小问要求的是边长 为四 e f 的 最小值，它告诉我们正方形面长呢？求 e f， 我 们要先去想一下它 e、 f 可以 怎么转换？ 那那 e、 f 的 转化方式非常多啊，我们也可以去选择去找中间这个 o e、 f。 这个三角形 o， e、 f 的 三角形是什么？是不等腰直角三角形啊，因为 o e 和 o f 相等，又有直角， 所以此时等于幺直角三角形有什么特点？边长是一比一，比根号二，也说此时的 e f 会等于根号二倍的 o e。 但我发现了要求 e f 的 最小值。实际求。什么是实际求？是 o e 的 最小值啊， 就转换，我们把 e、 f 都转换出去了， o e。 记好字，怎么求？那很简单，一个点 o 是 定点， e 呢？ e 是 一个动点，我们并不知道 e 的 具体位置，所以当 e 怎么样 是垂线断的时候，最短，对点到直线，垂线到最短。当我们的 e 点刚好 让我们的 o e 垂直于 a b， 也就是它这角是 a b 的 中点的时候啊，这个位置的时候啊，一撇点的时候它会学到，所以 o e 的 这角我们也可以求了，边长为四，那这里也是个等腰直角，所以一半就是二啊。 当啊一撇 e 在 a b 中点的时候，是 o e 取最小值， 那我们来算一下这个 o e 的 最小值啊啊，只是因为 e 是 中点，所以 a e 也会等于啊， 二分之一的 ab 等于二，且 o e 会等于 a e 等下直角也等于二，那我们知道了 e f 的 最小值，也就能求了 e f 的 最小值，那么小值等于根号二倍的 o e 的 最小值， 再进来根号二乘上二也得是二根号啊，我们就得到了 e f 的 最小值符号二。 所以同学们好，我们遇到了分寸模型，所熟知的就是它可以证明两组全等，这是我们一个基础逻辑，证明出两组全等之后，我们证明一组，再根据证明的全等得到的信利息，你再继续往下推倒就可 啊。如果遇到这种 e f 求一个线段的最小值，我们不好求的话，我们不妨去转换，对了，你转换成别的线段去求对值，比如你可以转换 o e， 你 去求对值也是没问题的啊。 以上呢，就是例题三的讲解过程，大家核对完毕后，我们继续来学习。好，我们前面讲了分车模型的一个应用，现在我们来看一下对角互补模型。 对角互补模型指的是有一组对角啊，在市面京东有九对角，它加起来是一百八。那么第一种参考的是两个九十度角的对角互补模型啊，已知两个九十度角以及一条边， a， d 和 d c 相等。 首先要这样模型我们可以去做辅助线去构造出啊，一些特殊的图形，我们可以第一种方法，我们可以过点 d 做 d， e 吹去 b， c 啊， d， f 垂直于 a、 b 做两条垂线啊，这是我们的做辅助方法，做垂线，做完垂线，你会发现这里的直角，直角，直角跟我们的三个直角已经就可以证明了四边形 d， e， b， f 是 一个矩形嘛啊， 其次，我们还能证明第四个角也是直角啊，还有呢，我们做完全验之后呢，可以去证明两个三角形全等。哪两个？我们的 a， d， f 和 c， d， e 这两三角形会全等啊，这张全等怎么去等呢？我们快速推导一下 一条边啊， a、 d 边和 d、 c 边，题目给了一条边相等啊，以及我们做的垂直之后，得到了一九角九十度相等。还有呢，观察上面这个区域啊，我们把这三亚上面的区域给它标下角一角二和角三， 这里角一加角二等于九十度，角二加角三也等于九十度，所以我们可以快速推导出来角一等于角三啊，是呢，就得到新的一角相等了，那就可以用 a、 a、 s 去证明全等啊， 通过这样的方法，我们证明出全等之后呢，可以得到一些 b a 相等的关系啊，比如我们可以得到 啊， d、 f 会等于 d、 e， 它会得到 f， a 等于 e、 c， 得到一些边的关系，得到边的关系，我们就可以尽可能去证明全四边形是正方形，因为我们提到了它有三个角是直角， 它就能说明它是矩形了。其实呢，矩形要证明正方形，我再加上一组零边相等， 所以就证明出正方形了， 这个时候让我们发现它，通过证明出啊，三个直角得到矩形，再利用我们刚才正比全的得到了一组菱边相的推出，这正是个正方形。 推出这方系以后，我们还可以得到一些结论，进而找到一些结论。比如第一个 b、 d 会平分角 abc 啊，因为正方形它的对角线 b、 d 就 会平分这个对角，且它平分后两个的四十五度。第二， ab 加 bc 会等于根号二倍的 b d， a b 加 b c， 我 们来看这种慢呢，怎么追倒呢？ a b 加上 b c， 学到 b c 是 不是看过 e c 加上 b e 两段啊？啊，对不对？而 e、 c 跟谁相等啊？ e c 跟 fa 是 相等关系，我们前面 从全等证明出来的，所以实际上都可以变成 b f 加上 b e 啊，也就是可以得到正方弦两条边长 和我们的对角线的关系。我们知道正方形的边长这条线什么关系啊？我们对角线会是边长的根号二倍啊，但是我是两个啊，两边边长，所以它就会等于根号二倍的对角线啊， 两边边照等于根号二倍的对角线，二次根号的根号倍吧，嗯，所以第二个头正了。 第三个，我们还有能知道原始的这四面形 a、 b、 c、 d， 它的面积可以怎么去有？它会刚好是 b、 d 的 平方的一半啊， b、 d 平方一半，这怎么得到呢？其还简单啊，我们通过面积去转换，实际上这个面积就会等于正方形 啊，它的面积就会跟我们正方形 e d 啊， e d， f b 这个面积是相等的啊，正方形面积可以怎么求啊？ 对角线平方的一半啊，这是一种方法，你也可以选择用边长的平方去求啊，也可以用对角线平方的一半去求这个面积，所以我们就得正了啊， 所以对于九十度、九十度这两种对角互补薄型，我们记住你可以去做垂线去变形啊，去证明权的，去证明正方形，还可以得到一些特定的结论 啊。我们前面讲到了，如果是两个九十度对角互补这种情况啊，我们可以去做垂线，我们再来看一下，还有个参考的就是一个角是一百二十度，另外一个角是六十度的 对角互补啊，这两个角是对角互补的题目。可以告诉我们边相等的信息，也可能会告诉我们平分的信息啊，如果告诉我们平分的信息的话，我们也可以是这么做，去辅助线， 它告诉我们 b d 会平分角， abc 也做，此时这左右两边角是相等的关系，那平分了 好，遇到这样的题型呢，我们该怎么去择这一些条件呢？一样的，做辅助线，过地点做垂线啊，做两边做垂线啊， 可以垂直于 d e， 也可以垂直于 d f 啊， d f 和 d e 都分别垂直于这两条边啊。做垂线的目的其实也是为了进一步去构造全等， 我们首先可以先去证明 b d f 和 b d e 啊，这两个场应全等，我们先证这两个啊。 如果是角平分线告诉我们这平分线的话，我们优先证这两个。为什么？因为它给了一组角平分线啊，一组角箱的，还有一组公物边，以及一个九十度，我们自己勾到垂直九十度是直接就可以证明它全的啊， a s 直接证明全等，证明全等的目的是为了推出一些信息，比如我们可以推出 df 等于 d e， 推出一边的信息 啊为还有呢，我们的 b f 等于 b e 推出边的信息，帮助我们去证第二个全等。第二个全等哪呢？就是我们这 e 的 这两个全等啊， a d f 和 c d e， 那 这两个线段怎么证明呢？我们来看一下，第二组线段中，其实一个直角有了起步杆，得到了 d f 和 d e 相等呢？一条边有了一角，一边再找一个， 找什么呢？再找角，为什么题目中告诉我们对角互补，我们要利用好这个信息再去占一个角相等，我们来看呢？前面呢是告诉我们 a、 d、 c 是 六十度，接下来我们看由于全等之后啊，我们再来观察我们新构造出来的这个四边形 啊， d e b f 这是一百二十度角，有两个九十度角，九十度角，所以它射角角是多少呢？是四边形的内角，分是三百六十度，我们发现它的对角也是六十度，那我们就知道了，角 d f e 啊， f d e， 角 f d e， 它会等于角 a， d c 都等于六十度。我们就在这里找到了一组啊相等的角，再利用我们非常常见的转换条件啊，我们标一下， 这是角一，这个大的是角二，边在角三，我们在利用非常常见的条件，角一加角二等于六十度啊，对了，角三加角二等于六十度，所以什么？所以角一等于角三， 非常常用的一个套路证明啊，证明出角一和角叉相等了，就可以得证了啊，一样，这里用到的是 a s a 啊，去证明判定， 所以我们依次可以把两个三角形全等都给它证明完了，证明出这些全等之后，就可以尽可能去得到一些结论呢。比如第一个，由于全等 a、 d 或 c、 d 相等，这是我们通过全等就可以直接得到 a、 d 等于 c、 d 的。 第二个， ab 加 bc 会等于 b、 d 啊，原来的这两条边将加会等于中间这一条，这怎么来的呢？我们来观察啊， ab 加 bc， 此时我们观察 bc 是 不是跟我们的 fa 相等啊， 所以我们把这样挪过来， ab 加 bc， 它本身就会等于什么？是不是等于 b、 f 加上 b、 e 啊？那我们再来看 b、 f 和 b、 e 有 什么关系？我们找到这个这右边这一个来看，因为它是全等式，我们只要找一个来看的号 角平分键，这是九十度，这是三十度，所以我们就知道了它的个比值关系是一比根套三比二呀。 b、 e 是 一份， b、 d 是 两份。好，所以其中 b、 e 是 等于二分之一的 b、 d， 而 b、 f 也等于二分之一的 b、 d， 但两个二分之加起来是刚好是等于 b、 d 就 得证啊。我们可以先细写列啊，它都等于二分之一的 b、 d， 所以 两个二分之一 b、 d， 它就等于 b、 d 啊，就证明出来了。好，我们再来看第三小题，面积 要在原来的四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，它会发现它会等于四分之根号三倍的 b、 d 的 平方啊， 但这位置的平方就比较多了。首先我们来观察一下这个四边形面积可以转换成什么，是由于挪过来，我们把这右边的 d、 e、 c 这个黑色的挪到左边这个灰色的部分过来，挪过来之后呢，这个面积就变成了啊，四边形。 新的四面形 d、 f、 b 是 不跟我们前面一种九十度流的很相像嘛？对了，那此时要证它的面积，其实就可以看作两个三角形 d、 e、 b 的 面积，所以越大的四面形就可以看作两个小的 d、 e、 b 的 面积。我们只要知道 d、 e、 m 面积就好了， 那面积怎么求？是不是等于二分之一底层高呀？ b、 e 乘上底底层高，其中我们如果要都转化为 b、 d 来看的话，来注意前面两个二乘二分之一正好抵消掉了。 b、 e 可以 看作什么？ b、 e 可以 看作二分之一的 b、 d， 而 d、 e 呢，是可以看作二分之根号三的 b、 d 共什么比之关系，所以一层就是四分之根号三 b、 d 的 平方，我们就得证这个结论嘛。 啊，所以发现这个四面形，只要这角互补，它们跟这个 b、 d 线段就非常有关系了啊，线段有关，面积也有关系。 以上呢，就是两种对角互补的情况，两个九十度或一个六十度，一个一百二的情况。他题目通常会附加一个条件，比如告诉我们边相等，或是告诉我们一个角是平分的关系，我们都可以得到这些证明过程啊，学会了这个对角互补，我们来做一下例题， 我们来看例题二，怎么去做。 在四边形 a、 b、 c 之中， d、 a 等于 d、 c 给我们一组边相等了好，还告诉我们角 d、 a、 b 会跟这个角 c 合起来是一百八十度，以及 d、 e 垂直于 b、 c 和几个边的关系。让我们求 a、 b 的 长度，所以我们要思考一下 a、 b 的 长度，这样式的斜的线段，它跟我们已知的这两个线段没有太大关系，所以你没法直接求我们得想办法去转换。 出现了对角互补，又出现接边相等，那这个时候就要考虑去做辅助键勾到全档了啊，既然他已经给我们做出来了一条 d、 e 垂直于 b、 c， 我 们可以过地点向 ab 再做一条垂线啊，我们可以做一条 df 去垂直 ab， 好，这样我们就可以去证明了这两个占线全的，然后你再看看如何去推导出 ab 的 长度。好，同学们请按下暂停键思考作答，请暂停。 好，我们来看例题哦，我们先交代一下这个辅助线的做法啊啊， 这第一个啊，复原做法，过点 d 做 d， f 垂直于 a、 b， 然后交 b a 的 延长线与点 f。 我 们先交代一下辅助线是怎么做的，做完辅助线，我们去可以思考一下如何去证明这两三角形的啊，逻辑的明， 首先垂直是一条了啊，题目给的边也是一个，还差一个，还差一个条件，题目给了我们互补的关系，要用上这个是提供我们角度关系了，角 d a、 b 跟角 c 互补有什么用呢？ 我们观察到它俩夹台是一百八十度，角 d、 a、 b 跟他旁边这个角什么关系？我们标一下它的角一，别人的角 a。 对 了，所以我们就可以去证明了 啊，因为角一加角二是等于一百八十度，零，不要互补啊，而且呢，角二加角 c， 题目给的也是一百八十度，那么我们可以知道同角的补角相等，角一等于角 c。 接下来可以直列证明结论了，在三角形 d、 f、 a 和三角形 d、 e、 c 中，我们罗列信息好，角一等于角 c 一个条件 啊，我们先罗列直角吧，那角 f 等于角 d e、 c。 角一等于角 c， 再来调边 d a 等于 d c， 所以 直接是正方形 d、 f a， 它就证明出全等了。 e、 c 用到了判定定理啊， a s 证明学的目的在哪里？目的为了边角转换，此时我们就可以得到了 d、 f 会等于 d， e 是一角边相等了，以及这个 fa 和 ec 也相等了。 fa 会等于 ec 好， ec 怎么去求啊？请不告诉我们。 b 是 三， bc 是 五，那 ec 是 二了。对了，它可以用 bc 减去 be 得到二，所以 ec 是 二的同时 fa 也是二了，我们就成功把一些边的信息转移到左边来了。那题目还要我们去求 b a， 但我现在只知道 fa 怎么求 b a 啊？ 是我希望把 b、 f 也求出来，因为如果我知道 b、 f 的 长度扣掉 fa 就是 ab 的 长度，那至少去思考该怎么办。 我们可以先去观察 b、 f 会跟谁是有关系的， b、 f 是 不是会跟这个 b、 e 有 关系啊？哦， 所以此时我们可以去连接 b、 d 去证券的去得到这个 b、 f 的 信息。我连接 b、 d， 约连接完 b、 d 这个三角形 b、 d、 f 和 b、 d、 e 是 就全等了，我们可以去证明了啊，可以直接证了。 注意了，这里用到判定定点。注意了，斜边公共边相等，直角边前面得正了，全的还有个直角，它用到什么？用到了 h l， 所以 注意在用 h、 l 的 时候，我们要怎么去写判定定理？在 r t 三角形。注意了， r、 t 要带上在直角三角形 b、 d、 f 和另外一个直角三角形 b e， d、 e 中。好，阿力加减。我们只需要罗列两个信息，因为直角是已经固定，有这我们直角列直角边对应相等的，以及斜边对应相等的就好， 就能够证明出两个直角三角形是全等的关系。 用了 h l 好， 旋到完之后我们就知道了， b f 会等于 b e 等于三，那么 ab 的 长度也就做出来了， ab 就是 等于 b f 减去 fa 等于 e。 好， 以上呢，就是立体二的一个证明过程啊，大家可以核对完毕后，我们继续来学习。 我们前面学了对角互补模型啊，现在呢，我们来看一下正方形的十字架模型。在正方形中，如果有两条线段是相互垂直的关系，我们可以证明这两条线段它会相等啊，可知它们相等， 怎么去证明呢？要这段线段相等，可以先去这三角形全等，我们找两个三角形，且 b、 f、 a、 e 都是它的一组对应边，那就是三角形 a d， e 和 b a、 f 这两组， 我们利用正方形的列性质，直角啊，一个角相等了，还有呢边长关系 a b 和 a d 相等，那再结合我们前面题目中给的一个垂直之我，再找一个角就能证明了。 好，由于这里出现三个直角，那必然会出现两两相加，会是九十度的关系。我们比如说找这一组角一，角二，还有角三，我们可以找这一组角一加小二是等于九十度啊，角一加角针呢，也等于九十度， 所以角二等于角三，我们就推导出一直角相等啊，当我们题目中出现多个直角时候，我们就可以去寻找这样的关系，得正两角相等，那我们证明全等之后呢，也就可以得到 a e 等于 b f 了。 那我们再看一下，如果这里还有直线，它不过这个顶点更加一般的情况在中间，我们能不能得到相同的结论， 等于 g h 呢啊，也是可以的，我们还是要通过三角形全等去证。但由于我们现在观察到它并没有三角形出现，所以我们可以去做一个弧度线啊，我们过 f 点做垂直，过 h 点做垂直，我们这样子做两条垂直线之后呢 圈的苍蝇找到了，哎，对了， e、 n， f 和 g m h 等一圈的，我们可以去正它们两圈的。怎么证明呢？思路跟我们前面是一样的，首先有一个九十度直角，其次呢，由于正方形的边长是一样的啊，所以 n f 会等于 h m 啊，蒸发器边长一样，这个 n f 会等于 b c 啊， h m 等于 dc， 所以 它们也会相等。再我也掌握一个角度关系了，这里出现了一个直角，两个直角，三个直角。出现多个直角的时候，我们还是会去利用 两两相加等于九十多种方法去折正啊。比如我们标记一下，这里是角一啊，那这里是角二，这角三， 我先来观察角一加，角二怎么九十度，对了，那角一加的也等于九十度，所以我们都推导出来了，角二跟角三什么关系啊？是等于相等的关系，好 角二角三的油耗，角三是三角形的一个内角，而角二还不是。我们发现底下这个角跟角有什么关系啊？是平行同位角相等啊，所以我们角二还可以转化为角四比角三嘛，就没有得正一组角相等了，也就可以证明它是全能了。 所以发现证明的只要出现多个直角的时候，我们一定去寻找这种两两相加九十度的关系，去寻找一些角度相等啊，证明线了之后，也就能得这两条直线，两条线段是相等关系。 学会了十字架模型啊，我们来看看例题 三二一，我们前面学过了十字加模型之后，我们来看一下例题四，这道题在正反并中啊，它告诉我们 b 一 边会等于 d， f 啊， b 等于 d， f 以及 a n 会垂直于这个啊， e f 写 b， e 是 五，那这里的图虽然不是很像，那我们知道这两段的数好， c， n 等于八，这一段是八要依据的弹住， 所以要着重依据。我们发现很多的图上很多的边弹细线我们还是不知道的，所以我们要先去推导一下。 对了，其实题目中 g e 很 有特别啊，我们要求 g e， 其实如果能把 a n 求出来也是可以的，因为实质第二模型，我们知道 g e 和 a n 是 相等的关系，所以求 a n， 那 我只要看哪一条边能求出来。好， 这里的话，我们还是需要去做一些辅助线才能解决这道题的。姐，我们做辅助线怎么去思路构造呢？我们观得到这个 b， e 和 f d 是 相等的，题目给了我们一些相等的边， 加上这个 a d 跟我们的 ab 数也是相等的，还有直角，所以我们只需要把 a， e 和 a b 数也是相等的，还有直角，所以我们只需要把 a， e 和 a f 一 连，就已经直接能够出现全等三角形了 啊，所以我们可以把 a e 跟 a f 连起来，直接出全等啊，出完全等就会得到别的信息，可以继续再推导啊。来，同学们可以暂停思考一下这道题啊，请作答，请暂停！ 好，我们一起来看例题四，前面我们分析到了题目点的信息， b e 和 f d 相等，我们只要连接 a f， a e 跟 a f， 我 们可以轻松证明出来，三角形 a b e 会乘等于三角形 a d f。 好， 我们可以利用 s s 来判定，证明全等完之后就可以得到 a e 等于 a f， 我 们可以得到这两条边是相等的关系，那么这正方形就是一个等腰三角形了。好， 题目来告诉我们，中间有个垂直等腰三角形，三角合一，它既然是垂直，那它也会是中线，也会是角平分线，所以此时 am 五就会是 ef 的 中垂线啊。 am 五是 e f 的 中垂线，中垂线有什么用嘛？中垂线，它的点到线到两端点的距离相等，那我们也转过来看一下，是 n 点，刚好也是在这条中垂线上，那它的两段是什么呢？一端是 f n 这一段，一端是 f n， 还有一段呢，我们要去连跟什么，还需要把 e n 连起来，我们把 e n 也让它连起来。 好，所以这两道它都会相等了啊， f n 跟 e n 这两道会相等，那么相等之后呢，我们的观察这里出现了我们之前见过的啊，成雷劈模型，看到没有？雷劈模型长这样子好，雷劈模型， 遇到雷劈模型，我们可以设未知数，利用勾股定律去求出它的边长啊。这个时候呢，我们就可以设未知数了，比如我们可以设 d n 为 x 啊，因为此时 d n 是 不知道的，所以 d n 可以 用 x 来表示。那接下来由于 f n 是 等于 e n 的 好，所以 e n 可以 表示什么？那 x 加五，那因为这里面是五加 x， 所以 e n 就是 x 加五了，我们表示出来了。 既然我们还要去表示 e、 c， e、 c 怎么办？我们先把正方形的边长表示出来，正方形边长 d， c 可以 用八加 x 来表示 啊，那它还会等于我们的 b、 c， 所以 剩下的 e、 c 怎么办呢？就是八加 x 等段式八加 x 减去的五，得到三加 x， 所以我们就知道了， e、 c 可用三加 x 来表示，也做 x 加三来表示。那么利用三角形 e、 c， n 是 个直角三角形勾股定律，我们就能求出 x 具体的值了啊。我们列个式子，勾股定律，两直角边的平方和会等于斜边的平方， 记住可以得到 x 等于十二。你说我们求出来了， d， n 的 长度是十二，边长也能求了，边长 d， c 就是 八加十二就是二十啊，我们这样求出来了， d， n 是 十二， d， n 是 十二，我们用换一个颜色笔来标是，标注一下 d， n 是 十二就出来了，而且边长是二十， a， d 是 不是也是这样边长啊，所以 a、 d 也是二十。那么观察这里，在新的一个特写区 a、 n、 d 中， 我的两个直角边都求出来了，斜边是不就能求了？用勾股定律求出 a、 n 是 就可以求出 e， 所以 我们接下来要把我们的斜边求出来。 a、 n 会等于根号下黑地的平方，加上 d， n 的 平方代进来也是根号下十二的平方加二十的平方开根号得到四根号三十四， 因为 e g 会等于 a n， 所以 它也等于四根号三十四，我们就求 啊，就同学们这道题的最大不等式相对会复杂一些，其主要抓住的就是十字架模型要求 e g， 我 们可以六十字架结论去求 a n 就 够了。 其次，遇到了一些线段相的，我们要学会构造辅助线，去构造一些全的以及用到我们之前所学的知识，比如钟垂线的性质啊，别勾股定力去设位之处求出它的一个边长 啊，这都是我们要结合之前所学的知识去解决问题。同学们，我们这节课皮筋线的综合模型呢，三种模型啊，第一，对角互补模型，正方形风车模型以及十字架模型 啊。对于对角互补围形来说，我们就要注意了，我们可以去过顶点做两条垂线去构造权的啊，我们可以构造第一组小权的 啊，二组，其实这个大的权的也是能证明的大权的啊，证明这两个权的之后，就有更多的信息去得到别的解闷了。同样的，如果他告诉我们呢，是 长着一百二十度和六十度直角啊，六十度对角互补一样的，我们过这个地点做垂线，也是能证明第一组小的权的 以及第二组大权的啊，一小一大，记住，对角互补模型做完垂线之后呢，一小一大权的，我们可以抓住它去证明啊，以及后面会衍生出其他结构。 第二个，对于正方形风车模型来说，我们也是抓住这个权的啊，两个权的可以证明啊，一组权的啊，一个还有第二的权的 啊，这两组权权的完之后，剩下就可以推导出隐其他的条件嘛啊， 第三十字架模型也是抓住全等啊，抓住全等 a b f 和 a d 这组全等去推导啊，如果是第二种奇幻呢？我们记住啊，可以做辅助线啊，你可以这样做辅助线啊，做两条垂线就可以了啊，就会产生两个全等太阳系，也许这 证明线段之后呢，就可以得到这两组线段会相等的关系以及其他的隐身条件。所以实际上我们在记用模型的时候，你还要学会他的推导过程，知道我们模型最重要的第一步该去找什么，这样的话，我们可以以此为基础去推导出其他的结论。 以下呢就是本节课的全部内容，大家课后呢回去记得及时复习巩固啊，拜拜。

来看第二题，如图，在四边形 a， b， c， d 中， a d 平行于 b， c， a d 等于十二 b， c 等于十五 p 点沿 a 点向 d 点，以一米一米每秒的速度运动，这个是 t， d 点到 d 点停止， q 点从 b 点向，由 c 向 b 运动，速度是二 t 到 b 点停止， p q 同时出发，运动时间为 t。 那 么第一个， a p 应该等于 t， d p 应该是十二减 t， b q 应该是十五减二 t， c q 是 二 t 啊，这个好，好好表述啊！第二个， 当 t 为和值时， a p q， b 为平行四边形啊，要使得它是平行四边形，因为 ap 啊，因为 ap 啊，它怎么样啊？平行于 b q， 所以 当 ap 等于 b q 时， a p 等于 b q 的 时候，这个 a p q b 是 平行四边形 啊，也就是 a p 是 多少？ a p 是 t， b q 是 十五减二 t， 所以 t 等于五啊，结束了 啊啊！第三问，嗯，他说 p d c q p d c q 要是一个平行四边形啊，我们还是一样。因为 a p d 平行于 c q， 所以 当 p d 等于 c q 的 时候啊，是平行四边形，那 p d 就是 多少呢？我们看一下这边到 b 点停止，它是到 他走了十二十二秒，他十二秒往 b， 我 们看下，到 b， 停止啊，都停止，都停到了，到终点就停止了啊，到终点就停止了。所以这里直接写啊，直接写这个 p， d 是 十二减 t 要等于 c， q 是 二 t 啊， t 等于四秒就结束了好吧啊，这就是第二题啊。

好，我们接下来来讲一下正方形的手拉手，其实我们前面有学过等腰三角形和等腰直角三角形的手拉手，问题包括等边三角形的手拉手。因为咱们这章节学的是正方形啊，就是四边形，所以正方形肯定手拉手也是在那个基础上的延伸。咱们上学期其实也有讲过， 看一下啊，我们首先正常的就是以 a 为这个旋转点啊，就不动的情况，那么旋转嘛，以 a 为旋转点，它既可以向内旋转，看到没有，也可以向外旋转，向内旋转，你要是想寻找到你们的这个交叉点，那你这个时候你可以正这个我们刚刚说的两个结论， 这个相等且垂直啊，你自己可以正，因为正方形它是可以正出来的，同样的，向外旋转的时候，我们就会发现他们这个叫交叉 交叉，他是要加上公共角的，看到没有？好，我们选得出来的结论是什么呢？得出来的结论都是用边角边正确的，看到没有？这是固定型题型啊，你一看到过一个旋转点，正方形这样旋转，边和边相等，边和边相等， 相同的九十度角加公共角，就等于这个那个中间角，那，那这个时候我们就是典型的手拉手，如果小题目你根本就不需要去争了，如果你还不知道证明的结论是什么，想具体去争的话，那你可以给我留言，或者是我回头的时候专门去讲。那我们其实今天主要是借助于这个手拉手的模型去解决问题的，而且这个问题还是一个压题啊，我们来看一下啊。图，正方形 这个 a b， c， d 和这个 a f e f g， a e f g， 嗯，这个是关于 a 点旋转，边长一个为一，一个是根号二， 然后这个时候旋转的时候向外旋转的阿尔法是在三十度到一百八十度之间，这个是明显的，能看出来这是一个正方形的旋转，只是因为我们没有旋转点之间对应，就手拉手之间的旋转，只是因为我们没有旋转点之间对应，连接好了之后，我们就会找到我们经典的全等三角形的模型，看到没有？ 嗯，好，这全呢？啊，那这个时候我们根据手拉手，因为是小题目，我们就得出来关于手拉手的结论就是 d g 其实是等于这个，这是 b e 的， 没有 b e 好， 然后同时 d g 是 垂直于 b e 的 啊，啊，让你正的是谁？四边形 b d e g 是 最大值啊，好，我们发现 d g 和 b e 其实就是它的什么线， 其实这个四边形的什么线？对，你们看它的对角线是对角线吧。嗯，好，那既然对角线，我们在这里面不仅会用到手拉手的模型，我们还会用到如果一个四边形对角线是垂直关系，那么我们得出来的这个四边形的面积是多少？二分之一倍的 b e 乘以 解，也就是说对角线相乘除以二，因为什么呢？只要四边形的对角线是垂直关系，我们可以直接用。关于这两个结论，如果你不知道来，可以给你推啊，这个不用，可以看出来，那这个时候 a 是 四边形，是不是就等于二分之一的 b e 的 平方， 那么因为它俩相等呀，这是手拉手模型呀。好，那这个时候既然是 b e 的 平方， b e 怎么才能是最大值啊？那也就是 a b e 共线的时候，它是最大的，你看是不是拉到最大了 再去旋转的过程呢？那所以你怎么样才能是最大值啊？那也就是一加根号二就是最大值冲线了，能力吗？啊？那所以它的面积就加一分钟都冲不了能力了吗？这道题，所以他会用到两个咱们的二级知识点。 如果你对这两个二级知识点特别熟，你说这道题目即使是哑题，你不几分钟搞定了，还有几分钟？两分钟都能搞定，是不是升的更快？能明白吗？会了吧？好，接着讲啊。

一个视频教你学会八年级数学四边形的所有性质和判定。我们看这个图，图一呢，很明显是一个四边形，我们知道它的定义是由 不在同一条直线上的四条线段首尾相接形成的封闭图形，这是它的定义，它是一个普通的四边形，有四条边，四个角。然后呢，我们又学习了平行四边形，我们知道平行四边形的定义是两组对边分别平行的四边形，就是平行四边形。 那么我们首先要思考的第一个问题，由普通的四边形如何来变成平行四边形？ 那这就需要用到平行四边形的判定定律，第一条就可以用它的定义来判定，如果你证明了这个普通的四边形，两组对边分别平行，那是可以证明它是平行四边形的。 第二个判定定理呢，我们可以根据两组对边分别相等，那这是课本上的判定定理，两组对边分别相等，第三个呢，那就是一组对边平行且相等。 第四个呢，那就是用到对角线了，对角线互相平分的四边形是平行四边形。所以说我们的判定定律啊， y f 从边角对角线来进行判定。那我们还有一个补充的一个判定定律，那就是 两组对角分别相等的四边形，它也是平行四边形。当然我们可以先证明两组对边分别平行，然后得到它的平行四边形， 然后朋友们继续思考，那由这个平行四边形如何变成矩形，这个呢，我们记住要有两条路线，第一条呢，要从对角线来思考， 首先需要思考的边角矩形，我们知道它有四个角，都是直角，它也是平行四边形，所以说它的特点就是四个角都是直角，那在平行四边的基础上，是不是加上有一个角为直角就可以了？ 那么如果从对角线来思考，如何来判定呢？我们知道它俩都是平行四边形， 对角线都是互相平分的，而矩形的对角线我们还有一个重要的性质，对角线相等，所以说如果用对角线相等的平行形，就可以证明他是矩形， 能听懂吗？朋友们，两条路边角对角线，因为啊矩形的边没有什么特点，所以说我们就用角就可以了，有一个角为九十度平行形，或者对角线相等的 平行，我们用同样的方法来思考，从距平行 c 形如何变成菱形， 方法一样的朋友们，第一条路从边角来思考，那很明显菱形它有边的特点，它四条边都相等，但是呢，这个平行平行 c 形已经实现了两组对边分别相等，所以说我们只需要用邻边相等 的平行四边形就可以变成菱形了，那角没有什么特点，我们继续用对角线。 那第二条路对角线有什么样的特点呢？我们知道菱形的非常重要的性质，对角线互相垂直，所以说只需要加上对角线互相垂直的平行形，就可以判定它是菱形了，所以说都是两条路，一个边角，一个对角线， 那么我们继续进行思考，从军形如何变成正方形呢？方法一样的两条路，第一条边角军形到正方形，很明显角都是一样的，边呢，我们只需要在军形的基础上加上邻边相等 就可以了。第二条路，对角线，从矩形，它的对角线是互相平分且相等，而正方形对角线呢，互相平分，相等且互相垂直，所以说再加上对角线互相垂直就可以了。 最后一个，从菱形变成正方形，如何来变呢？我们方法仍然是一样的。第一条路，边角，它的边已经一样了，都是四条边相等，它的角呢，只需要加上有一个角为九十度的菱形，就可以变成正方形了。 同样从对角线来思考，那还需要添加什么条件呢？我们知道菱形和正方形共有的，都是互相垂直且互相平分，那么再加上对角线相等，就可以变成正方形了，对不对？所以说他都是两条路线。 那么朋友们，问题来了，你们思考一下如何从普通的四边形直接变成矩形？又如何从普通的四边形如何变成菱形？ 好，我们沿着刚才的思路啊，继续思考。首先呢，我们从边角来思考，边既然没有特点，我们就从这个角来思考。第一条路就是需要有四个角为直角的 四边形，它就是矩形了。但是呢，我们知道四边形的角和三百六，所以说只需要有三个角为直角，就可以证明一个四边形为矩形了。第二条路，从对角线，对角线满足什么样的特点呢？它既互相平分， 又得相等，对不对？两条路我们已经实现了 同样道理，从四边形直接一步到位变成菱形。怎么变呢？第一条路，边角很明显，它的边有特点，那就有四条边都相等的四边形，它就是菱形。第二条路，对角线， 首先对角线需要互相平分，还要对角线互相垂直，平分且垂直的四边形就是菱形。 那么朋友们，最后一个问题你们应该已经猜到了，如何从这个普通的四边形一步到位变成正方形，仍然是两条路线，我们一块来思考。第一条路线，边角首先要满足 啊，有三个角为直角且邻边相等，是不是可以变成正方形？ 或者有四条边都相等且有一个位置角是不是也可以？所以边角有两条路线，我们在思考对角线，对角线需要满足，互相平分，互相垂直且相等，他就可以一步到位变成正方形了。 朋友们，那么通过这个视频啊，你们是不是就打通了这个四边形的人读二脉？并且呢，我们都发现了有两条路，要么从边角这条路，要么从对角线这条路来找到它的判定定律。 所以说，以后我们碰到这种四边形的题目有多种方法，你可以直接变，也可以分布变，总之呢，我们需要把握它的底层逻辑 来串联起来他的性质和判定，做到从容容，游刃有余。朋友们有任何的疑问或者需要我证明，你们随时提问， ok。

哈喽呀，宝子们，我们接着昨天的题往下看哈，昨天我们已经解决了第一问和第二问，昨天老师说给大家一些时间思考一下。第三问我们今天解答一下， 他说第三问哈，是在二的条件下，直接写出 c、 e 的 长，我们回头看，他说的是正方形 a、 b c d， a、 b 等于五 e 使 b、 c 边上一点连接 d、 e， 将它翻折 得到一个三角形，然后第三个是在二的条件下让我们求 c 的 长。那所谓在二的条件下是什么呀？是三角形 abf 为直角三角形，并且 af 是 二倍根号五。哈，那我们知道了 af 是 二倍根号五的话，那 bf 是 多少？ bf 是 根号五是吧？ 所以也就是说直角三角形 a、 b、 f 三条边我们都是知道的。回头我们看，他让我们求的是蜥蜴的长， 蜥蜴在哪？蜥蜴在这，蜥蜴他在直角三角形 c、 e、 d 当中。那我们知道求线段长，我们最常用的方法是什么？是勾股定律， 但是在这里蜥蜴他只在三角形直角三角形 c 的 e 当中，我们只知道边长是五，不知道斜边，是吧？所以就不好求。那我们再转换一下思想题当中说了，他说三角形 c、 d、 e 沿 d、 e 翻折 好，它沿它折过去，那么我们就知道了，翻折的话就怎么样就有全等是吧？所以自然就知道了蜥蜴与 ef 是 相等的，那也就是说我想求蜥蜴的话，我是不求 ef 也可以呀。 所以我们现在就把问题转化为了如何去求 e、 f， 我 们看那 e、 f 它是在直角三角形 d、 e、 f 当中，我们这个三角形还是利用不上的，那这个时候该怎么办呢？ 我们就想我们刚才怎么样？我们刚才不是已经说直角三角形 a b f 这几条边我们都已经知道了吗？所以我们的想法就是围绕着这个三角形，我们还有没有别的思路哈？我们看在这里 a b b f af 都知道。 好，我现在想把 e f 放到直角三角形当中，对吧？那最简单的做辅助线的办法是怎么样？ 做垂直是吧？那我如果说做 f g 哈， f g 垂直于 b c 的 话，那么我们现在怎么样？想求 e f， 我 是不是求两条直角边就可以？好，我们再看那 f g 可不可求？ 如果老师再做一条边的话，那么这是一个什么三角形？这是一个什么四边形？是不是矩形？那么这个矩形的话自然就有了，这边都是相等的，那么这条边可不可求呢？也就说 f h 可不可求呢？ f h 不 仅与 b g 相等，它还是直角三角形， a b f 的 高，是吧？两条直角边斜边，能不能求这个高，那么我们就知道了， f h 就 等于什么？就等于 a f 乘以 b f 除以 ab， 是 吧？ a f 已经知道了，是二倍根号五，那它就等于二倍根号五乘根号五除以几，除以五就等于二， 所以我们就知道了 h f 这就是二，那么 b g 也是二，是吧？为什么要想到求这个呢？因为这条线上他翻折过去的话，我们是有相等的，那你看，如果我射 他是 x 啊，得射 y 哈，这别跟那个火了，如果这个是 y 的 话，那么 e f 是 不是也是 y？ 所以 在这个三角形当中，我们看还缺什么 这一条边是吧？那我们知道了，这个是二，这是根号五，所以 b h 就 等于 f， g 就 等于几，就等于一，是吧？所以这个高就是一。所以在这个三角形当中，我们看现在 一 y 是 不是就差一个了？如果我们能用记忆将含有 y 的 式子表示出来，是不是用勾股定律就可以解决完了？那这个愿望可不可以实现呢？整体是五，这是二，所以 c g 是 多少？ c g 是 不是就是三？那你说 e g 就 怎么表示？它是不是就是三减 y， 所以 在直角三角形 g e f 中，勾股定律是不是就可解了？所以我们利用勾股定理解出来这个未知数，那么解出来的 y 是 多少，是不就是 e f 是 多少？ e f 是 多少？ e c 是 不是就是多少？ 是吧？所以整个这道题啊，它是取取自二零二五到二零二六的一个期末卷上的一道题，而且肯定不是单纯的基础题啊，它是稍微提高一点的题。 正好怎么样？趁着小长假哈，大家就好好复习一下这个知识。好，今天就到这，拜拜。

这是一道八下数学平行四边形的求面积问题，很多孩子硬算半天算不出来，但其实这道题有一个妙招可以秒了它。 学完这招之后呢，再把林老师给你准备的平行四边形八大题型拿去练习巩固，期中考多拿二十分。好，我们来看题，这里有一个平行四边形，被切成了四个小平行四边形，然后呢，这个面积是三，这个面积是五，这个面积是六，问这个问号，这里的面积是多少？ 这道题用常规的方法肯定是不能做的，因为底和高你都不能求这道题啊，得用一个非常好用的二级结论。是什么结论呢？来，我证明给你看。首先我们画两条高，这里呢做一条高下来，这里呢也做一条高下来。咱们把上面这条高叫做 h e， 下面这条高叫做 h 二，然后呢，再把这条底叫做 a， 这条底自然也是 a， 旁边的这两条底呢，分别就是 b， 然后这里也是 b， 然后呢，我们把这个区域的面积叫做 s 一， 我们就有 s 一， 等于什么呀？ 是不是底 a 乘以高 h 一 啊，然后再把这个五呢叫做 s 二。好，那 s 二会等于什么呢？ s 二会等于 b 去乘以 h 一 啊，底和高，然后再把这个六这个部分呢叫做 s 三， s 三会等于什么呢？会等于 a 乘以 h 二， 最后再把这个问号这里叫做 s 四，我们就可以得到 s 四等于什么呢？等于 v 去乘以 h 二。好，观察一下这四个式子，你会发现 s 一 和这个 s 四相乘会得到什么呀？刚好会等于 a v h 一、 h 二，对不对？ 好，同样的，你再观察一下 s 二和 s 三相乘会得到什么？也会变成 a b h 一 h 二， 我们得到什么神奇的结论了？那就是对角的这个平行四边形面积，它乘积是相等的，也就是说三去乘以 s 四就等于五去乘以六，所以最后答案直接出来，等于十搞定。

同学们好，欢迎来到初中数学课堂数学模型专题。今天我们来学习第二十五个模型，四边形之半角模型。这个模型呢，是从正方形的一个顶点引出假角为四十五度角的两条射线，并连接它们与该顶点， 把两对边的交点构成的平面的几何模型。也就是在正方形 a、 b、 c、 d 中，角 e、 a、 f 等于四十五度， e 点在 b、 c 上， f 点在 c、 d 上，这就是一个半角模型。半角模型涉及到的结论比较多，我们先来看最常用的这五个结论。 其实呢，等后面学了圆之后，还有四点共圆或者五点共圆的情况，那先来看这几个结论。 第一个就是 e、 f 和 b、 e、 d、 f 的 关系。这个题证明呢，可以用旋转，也可以用延长。如果我旋转 a、 d、 f， 让它顺时针旋转九十度的话，就会到达三角形 a、 b、 g 的 位置，那也就是说三角形 a、 d、 f 和三角形 a、 b、 g 这两三角形是相等的。 当然我也可以延长延长 c、 b 到 g， 使得 b、 g 等于 d、 f， 因为它两个相等，又因为 a、 d 等于 ab， 加上角 a、 b、 j 和角 a、 d、 c 是 九十度，那这两个三角形也全等。不管是旋转还是延长，目的是让这两个三角形全等。两个三角形全等了之后，对应边相等，那就是 a、 f 等于 a、 j， 并且对应角还相等。我标这个是角一，标这个是角二，那么角一就等于角二，那标这个角是角三，那角一加角三的话，就等于九十度，减去这个半角四十五度，也就是四十五度， 那角一等于角二，也就意味着角二加上角三等于四十五度。那我们来看一下三角形 a e f 和三角形 a e j。 首先有 af 等于 aj， 还有一条公共边 a e 等于 a e。 刚才我们又推出来了角 e a j 等于四十五度，又因为角 e a f 也是四十五度，所以说角 e a f 等于角 e a j。 根据这三个条件，也就是 s a s。 能判断出三角形 a e f 全等于三角形 a e j。 用的是 s a s。 如果两个三角形全等的话，对应边相等，也就是 e f 等于 e j e j 呢？又等于 b e 加上 b j。 又因为 b j 等于 df， 所以 说就推出来了第一个结论， e f 等于 b e 加上 d f。 那 接下来看第二个结论， a e 平分角 b e f a f 平分角 d f e。 因为这两个三角形全等，所以说角 a e j 就 等于角 a e f。 所以 说 a e 就 平分了角 d f e。 有两个三角形全等，我们可以得到角 a f e 就 等于这个角 j。 又因为刚才的时候我们正了三角形 a， d f 全等于三角形 ab j。 不 管是旋转还是延长都正了这两个三角形全等，所以说角 a f d 也等于角 j。 那 等量代换一下就能够推出来角 a f e 等于角 a f d。 因为这两个角相等，所以说 a f 平分角 d f e。 好， 这是第二个结论。再来看第三个，那先来看三角形 c e f 的 周长，它等于什么？它应该等于 ec 加上 c f 再加上 ef， 而 ef 由圈 e 我 们已经知道了，等于 b e 加上 d f。 我 直接替换一下，也就是加 b e 加上 d f， 那 在这里边再合并一下， ec 和 b e 的 和是 bc， 而 c、 f 和 df 的 和是 c、 d， 所以 三角形 c、 e、 f 的 周长就等于二倍的正方形的边长。再来看第四个三角形 a、 b、 e 的 面积，加上三角形 a、 d、 f 的 面积等于三角形 a、 e、 f 的 面积。第四个是比较简单的，因为三角形 a、 d、 f 已经全等于三角形 a、 b、 g 了，所以说前面这两个三角形面积相加，就等于三角形 a、 e、 g 的 面积。 而三角形 a、 e、 g 和三角形 a、 e、 f 又全等啊，全等的两个图形，它们的面积是相等的，所以说就等于三角形 a、 e、 f 的 面积。 圈五这个地方改一下，改成 q， a、 b 等于 a， q 等于 a d。 这个 q 呢，是过点 a 做了 a， q 垂直于 e、 f， 垂足为点 q， 那 它们为什么相等呢？其实有两种证明方法。第一个可以用等面积法， 因为三角形 a、 e、 g 和三角形 a、 e、 f 面积是相等的。面积相等的话，三角形 a、 e、 g 的 面积等于二分之一，乘以 c e 乘以 a q。 因为 e、 f 等于 e、 j， 所以 说 a、 b 就 等于 a、 q， 这是第一个。第二个，我们可以用角平分线的性质，由圈二已经知道了， a、 e 平分角 b、 e、 f。 角平分线上的点到角两边的距离相等。因为 a、 q 垂直于 e f， a、 b 垂直于 b e， 所以 说 a、 b 等于 a、 q， 那 同样的 a、 q 等于 a d。 好， 这是半角模型我们最常用到的结论。下面来看一题。第一题，如图，正方形纸片 abc 的 边长为六点， e、 f 分 别在 b、 c、 c、 d 上 已知 b、 e 等于二角， e、 f 等于四十五度。那出来了半角模型，我们直接用结论，结论就是 e、 f 等于 b， e 加上 e、 f。 那题干中让求 e、 f 的 长，那我就设 e、 f 的 长是 x 带进来，也就是 x 等于二，加上 d、 f， 所以 说 d、 f 的 长，那就是 x 减二。又因为正方形的边长是六， b、 e 等于二的话， e、 c 等于四， 那 f、 c 呢？它就等于六，减去括号里的 x 减二，把它进行一个化简，那也就是八减 x， 那这个时候再用勾股定律去解题，也就是 e、 c 的 平方加上 cf 的 平方等于 e、 f 的 平方，那就是四的平方加上八减 x， 可结的平方等于 x 方。 用完全平方公式拆开，就是十六加上六，十四减十六， x 加上 x 方等于 x 方。把 x 方都约掉了，能解出来十六， x 等于八十，所以 x 等于五。本题答案就选 a。 第二题， 如图，在正方形 a、 b、 c、 d 中， e、 f 分 别是边 b、 c、 c、 d 上的点角， e、 f 等于四十五度，正方形四十五度出来了半角，所以说我们直接用半角模型的结论， e、 f 就 等于 b， e 加上点 f， 这个结论用的是最多的。 b、 e 等于二， d、 f 等于三，则 ab 的 长是多少？那我们来看一下， ab 的 长也就是正方形的边长， 那 d、 f 等于三， b、 e 等于二的话， e、 f 就 等于它两个相加，也就等于三，加二是五，所以 e、 f 的 长是五。 我设正方形的边长是 x， 那 么 e、 c 的 长也就是 x 减二， c、 f 的 长也就是 x 减三。用勾股定律可以得出来， x 减二可得的平方加上 x 减三可得的平方等于五的平方。 那拆开了之后，也就是 x 帮减去四， x 加四，加上 x 帮减去六， x 加九等于二十五， 把它进行一个合并，也就是二 x 方减十， x 减十，二等于零，再给他进行一个约分，也就是 x 方减五， x 减六等于零。用十字相乘法把 x 方拆成 x 乘以 x， 负六的话，因为这个地方是负五，所以说我 拆成负六和一这样交叉相乘的话，负六 x 加 x 正好是负 x， 也就是 x 减六乘以 x 加一等于零，解出 x 一 等于六， x 二等于负。一边长不可能为负数，所以说要舍去， 那么 ab 的 长就是六。如果这个模型出现在了选择或者是填空题中，这个结论我们是可以直接用的，只有出现在大题中才需要证明。本节课模型分享就到这里，谢谢同学们的观看，下个模型再见！