高一数学第二册。立体图形模型画法

本期视频来看高一数学立体几何章中涉及平面图形斜二侧画法、面积结论的深度讲解。看这道例题，如果一个水平放置的平面图形的斜二侧直观图是底角为四十五度，上底为一，腰为根号二的等腰梯形，则求圆图形面积。 那么首先我们先画图吧，先画他的斜二侧直观图，告诉了上底是一，底角四十五度，幺是刚好二。那可以根据等腰、直角、三角形的性质，我分别求出底边、下底应该是三个一对吧，高呢？应该也是一，这是它的直观图。 咱们有了斜二侧的直观图，如何去画圆图形呢？正着画怎么画？已知圆图形如果是直角，那么变成斜二侧的话，就变为四十五度斜向上啊，这么画， 那现在反过来呢？直观图中出现了左侧的四十五度角，那我画成圆图的话，应该给他掰直了，给他掰成直角，所以我建立一个坐标系，坐标系中，水平方向长度不变，下底依然是三，只是这个高 高原来是斜向四十五度，现在是垂直的，原来是腰长是根号二，那扩大二倍以后，原图形的高就是二倍，根号二，下底依然是三，那上底呢？水平方向依然是一，最后我再把另外一条腰连出来，就是这样子。 所以在原图形中啊，这是一个直角梯形，那直观图变成了一个等腰梯形吧。好，咱们下面分别算一下原图和直观图的面积。先看原图面积，都是利用梯形的面积公式， 二分之一高乘上底加下底等于四倍，刚好二。好，那这道题答案就出来了。然后咱们再看一下，看这道题背后的一个深层次的结论， 我再算一下左边这个直观图的面积，也是上底加下底乘以高除以二，这个发现算完了，直观图面积是二。咱们得到一个重要结论，任何一个平面图形， 它的直观图的面积，也就是斜二侧的图形面积和它原图的面积比永远都是一比二倍，根号二。 大家如果在做小题的时候遇到这种题，可以直接套用这个面积比例公式，就可以直接得出来答案，而不用再去反化它的原图或者是直观图了，大家理解了吗？

不残破，我也会把曾经的 酒，若不是你突然闯进我生活，我怎会把死守的酒 你都不想难过。我不 残 破，我也会把曾经的， 若不是你突然闯进我生活，我怎会把死守的酒 时刻你的悲伤难过。我不残破，我也会把曾经的。

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！

本期视频来看高一数学立体几何涉及到面面平行作图找动点轨迹的问题，看这道题，如图，正方体能长为二， e 为 b d e 的 中点 f， 这里没有标出来 f 是 在侧面上的一个动点， 并且 b e、 f 是 平行于平面 a e b e 的， 这里 a e b e 是 一个不可见的面，我用虚线连接 就是一个蓝色的平面，现在问 f 在 右侧面上的轨迹的长度，首先咱们突破点从哪开始找呢？就是 bef 平行于这个平面 a 一 b 一 b 一 是一个定点， f 呢是动点，是在右侧面上的一个动点， 怎么找他的运动轨迹呢？直线和平面平行想到这条直线所在的一个平面，如果和这个蓝色的平面平行的话，那么 就能推出这个 b e、 f 在 面内也是和蓝色平面平行的，对吧？那首先我要找到一个过 b e 点，并且平行于平面 a e b e 的 一个平面，怎么找？面面平行， 两条相交直线分别平行于面内两条相交直线，那么就可以推出来面面平行，对吧？所以我首先过 b 一， 先找到第一条和蓝色平面边线平行的直线， 那你很显然这个 a e、 e 能不能找到呢？和它平行的线呢？啊？我在 c c 一 上找中点，比如说 f 一， 我连接这个 b e、 f 一， 很显然它是平行于 a e、 e 的， 对吧？找到了一条，然后再找一条 和这个蓝色平面的一条线平行的相交线。那现在这个 a 一 b 观察一下这条线 过 f 一， 能不能找到 a 一 b 的 平行线呢？ a 一 b， 它是侧面的对角线，对吧？呃，我现在在找一个终点 c 一， 第一的终点 f 二，那我连接 f 一 f 二，它肯定是平行于 c 一 的， 而 c d 又是平行于这个 a、 e、 b 的， 所以 f 一 f 二这条线也是平行于左边对角线这个 a、 e、 b 的 吧，所以找到了第二条相交平行的线啊，那么连接 b e、 f 二， 那么现在这个红色的三角形所在的平面就一定平行于这个蓝色三角形的平面吧。然后呢，他说这个 b、 e、 f 是 平行于蓝色平面的，这个 f 已经确定了啊，这个红色的平面和右侧面是相交于线 f 一 f 二的， 那肯定这个 f 一定是在 f 一 f 二上的一个终点，对吧？那它的轨迹就是 f 一 f 二就能求出来了。好，咱们写下简单的过程啊。首先怎么做的？这个面面平行，首先在这个呃， c、 c、 e 上找一点，找个终点 f 一 啊，因为这个 b e、 f 一 是平行于 a、 e、 b 的， 然后根据两条相交线啊，这个 bef 一 交 f 一 f 二是等于 f 一 相交于 f 一 点，然后同样 a e 和 a e、 b 相交于 a e 点，并且 这个 bef 一 f e、 f 二是在平面 b e、 f 二内，然后这个 a e、 a e、 b e 内啊，这么多条件同时满足推出啊，这个红色的平面 b e、 f、 e、 f 二是平行于蓝色平面 a e、 b e 的 吧。然后呢，又因为平面有个 b e、 f、 e、 f 二和右侧面的交线就是线段 f e、 f 二，并且要求这个 b e、 f 是 平行于 a e、 b e 这个平面的，所以这个 f e、 f 二就是点 f 的 运动轨迹。那怎么求 f e、 f 二比较简单，连接 c d 一， 那很显然，这个 f e、 f 二应该是平行且等于二分之一的 c d 一 啊。 cd 一 呢？就是二倍根号二代入以后，最后结果就是根号二，这道题就做完了，大家理解了吗？

很多同学立体几何学不好，第一反应就是自己的空间感不行，但是郑老师说句实话，高中的立体几何考察你的空间感少之又少，他重点考察的思想并不是空间感，考察的更多的是同学们的推理能力。今天郑老师利用五分钟的时间， 重塑你立体几何的学习思路。关于立体几何的视频，赵老师已经给同学们准备了十七节的一个资料评论六六六，抓紧拿回去下载打印，相信你的立体几何绝对能够学明白。立体几何到底怎么学。第一部分一定是和初中有关系的一些内容，但这个内容只局限于什么呢？认识几何图形 不用考虑太多，我初中不会，怎么办？没关系，不影响，所以第一部分啊，就是认识图形。第二部分我们会写空间一些图形的什么的体积表面积公式，所以我们会学到表面积啊，体积的一些公式， 尤其是像球呀，设棱台啊，像这样没学过的一些内容，他的一些体积表面积公式我们需要单独学一下，其他以前学过的照用就可以了。第三个哈，是什么呢？ 强调同学们的一个画图能力，我们会画一些简单的一些几何图形，像圆柱啊，圆锥啊，棱锥啊，棱锥啊，像这样的图形球啊，我们都要会画，哎，这是非常重要的一点， 那这些的话，整体上就可以认为是什么呢？就是认识一些几何图形与初中有关系，或者说作为一个简单的了解就行。 像这个体积表面积公式里边可能比较难的一点就是什么呢？我们的内切球以及外接球问题，像这个是一个最难的一个点啊，那除了认识几何图形第一部分以外，第二个部分就是我们立体几何高中最重要的一个环节了，就是空间里的点线面的位置关系， 其中包含什么呢？比如说平行关系，然后呢？第三种垂直关系，像这个平行的话，比如说线和线的平行，线和面的平行以及面和面的平行。像这些线线线面面面，他们的一些什么呢？性质定力、判定定力都是我们需要掌握的一些重点， 好，包括垂直，垂直也是包括线线垂直，线面垂直包括面和面的垂直，所以同学们会学一些全新的证明的一些定力，包括性质定力和判定定力，这两点都会学。 那除了这样平行垂直语言进行的下一个内容就是夹角问题，但是这个夹角问题的话，包含的比如说线与线的一个夹角，线与面的一个夹角，两个面的一个夹角这三个问题， 间线先变以及二变这三个问题的话，在高二上学期的时候，我们会学到间线的方法去解决，但是对于高一的学生，反而这一块的话难度比较大，只能用 纯纯的几何法去证明。那历低几何这地方哈，周老师说他考察的并不是空间感，而是同学们的推理能力。为什么这样说？比如说我们看一下这两个证明题， 重点哈就是平行垂直的证明，这是我们高一的学生最需要学会的一些东西。那推理思路讲的是什么？比如说拿线面垂直的证明来说，我们需要用到线面垂直的性质定力，也就是说一个线如果和一个面垂直， 然后呢？ m 呢？恰巧在这个面里，那么我们这个线就会和这个线垂直，那根据定力的话同一位思考一下问题，我们想要解决这个线下垂直，我们就得需要用到线面，那我什么东西能整为线面呢？我们去想我们就需要找线面垂直的判定力理， 而线面垂直的判定定律呢，就是 l 必须要垂直于这个面里的两条相交直线，也就是说你必须要找到 l 垂直 b 就 行，而它俩垂直又变成了线线，再去找它们成立的原因， 也就说推背要体会，慢慢哈。想要证明一个东西，我们需要用到怎么去推理，把它给推出来，而不是看出来。至于例例题和的推理能力怎么去计算，下节课我们结合具体的例子，然后一起来提升一下你的推理水平。关注我，带你看更多更好方法！

还在让孩子这样画函数图，用这套尺子就可以快速画出标准的函数图像，比如常用的双曲线函数、椭圆函数，还有抛物线以及各种圆形，这样就很好的节省了学习时间。尺子是八件套，常见的函数图都能画出来， 尺子上还带有函数公式，帮助孩子加深记忆，用完放进收纳盒里也不容易丢，赶紧给孩子安排上吧！高中的函数是虚线，用普通的直尺根本画不出标准的函数图，孩子考试的时候就很容易丢分，家长们一定要备上这种函数尺，一套八把还赠送收纳盒， 还配备了函数标准图册。初高中的常见函数全都能画，别的孩子画个图的时间，你家孩子已经写完好几道题了，特别是数学基础薄弱的孩子，如果学习工具也没别人好，长此以往，差距只会越来越大，趁着现在假期在家做题的时候就能用的上，一定要赶紧给孩子安排上。 高中的函数是曲线，用普通的直尺根本画不出标准的函数图，孩子考试的时候就很容易丢分，家长们一定要备上这种函数尺，一套八把还赠送收纳盒！初高中的常见函数，立体图形全都能画，别的孩子画个图的时间， 你家孩子已经解完好几道题了，特别是数学基础薄弱的孩子，如果学习工具也没别人好，长此以往，差距只会越来越出。高中的函数是曲线，用普通的直尺根本画不出标准的函数图，孩子考试的时候就很容易丢分， 家长们一定要备上这种函数尺，一套八把还赠送收纳盒出高中的常见函数立体图形全都能画， 别的孩子画个图的时间，你家孩子已经解完好几道题了，特别是数学基础薄弱的孩子，如果学习工具也没别人好，长此以往，差距只会越来越大。趁着现在假期，一定要赶紧给孩子安排上，等到开学的时候再买，可就真的来。

同学们好，请坐好，那同学们，今天我们要讲的是立体图形的直观图， 那前面我们讲的助推排球以及简单的组合体，为了将这些空间几何体挂在纸上， 那我们用平面的图形把它给表达出来，使我们可以根据我们的平面图形想象空间几何体的形状跟结构。那这就需要学习直观图的画吗？ 那么什么叫直观图呢？是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。画立体图形的直观图，实际上是把不完全在一个平面内的点， 这些点我们全部都要画到哪里去？画到一个平面图形里面去啊，所以画出来图形啊，往往跟我们啊，真实的形状不完全相同啊，那 我们在画这个直观图的上，往往是通过平行投影下得到的平面图形。那么首先我们要画立体图，那第一个，第一个就要规划怎么样啊？水平放置图形，他的直观图是什么样子的？ 好，所以今天我们第一个是水平放置的平面图形，他的直观图的画法。来我们看一下，这个大家就比较有生活经验了，咱们的窗户，然后呢，阳光打进来 照到地板平面上，你看到是什么？这才是矩形吗？啊？看到的是一个什么呀？平行的，你看到的这个农田呢？ 你看也是什么呀？平行是平行，那其实这个阳光是什么样子的线？ 平行的线是吧？平行线，只不过，只不过我们这个窗户在哪里？ 在跟我们的投影面是吧？投影的地板平下来是什么关系的？垂直的，而这平行光线呢，又跟我们这个平面有一个夹角，有一个夹角， 所以他水平投影过来是不是，是不是变形了，像平行四边一样呢？比如说农田，咱们的视线是不是出了平行实线过去啊？所以看到的是不是变成什么了？ 变成一个形似变形啊？所以这是跟我们观察的角度是有关系的。一个物体的投影不仅跟这物体的形状有关，而且是跟投影的关系，跟物体跟投影面的位置关系是有关系的。如果矩形 放在垂直于投影面的这样子一个平面上，然后投影线呢？又跟这个不垂直 啊，跟头笔面不垂直，那这矩形就变成一个平行边形了啊，这就是水平图形啊，它的直观度。那怎么画那？我们经常是用斜二侧画法来画斜二侧画法， 一个是斜的是吧？两个是平行的跟垂直的啊。那么我们在画的时候，在已知图形里面取互相垂直的 s 轴跟 y 轴， 两轴的焦点叫做 o， 那 画直角的时候呢？那就变成 s 撇 o 撇 y 这样一个坐标系，只不过 原来是垂直的，那你现在画的几度？四十，那左边同学看过来是四十，右边同学看这两条是不垂直的，那你看到了，是不是 角度是较大一点，那这边可以看过来是变四十五度了啊，所以人一画成四十五度，行画成一百三十度呢， 这是第一步，第二步的话是平行二头的，或者在二头上，它的长度啊，是不变的。 平行 h 轴的，那到 s 撇轴这边是还是平行的？菱形保持不变，平行外轴的还是保持平行的长度啊？平行 a 轴的，不变平行外轴的。这样啊，剪成什么？原来的？原来的一半， 哎，那比如说我这个是正方形，正方形我给它画出它的直角图，那我们应该怎么办？ 第一步咱们要先给他取一个坐标系来，是吧？哪里 a 点可以啊？ 那接下来我们要把它翻过来，是吧？所以这变成 s 点，这边歪一点角度， 然后现在呢？现在我这个正方形，哪个可以先把它搬过来啊？ ab， ab 长度有没有变？ a 变，所以这边是变成 ab 对 不对？那我搬过来一个一撇 b 撇吧。 接下来搬哪一个？墙搬完了，搬是不是在外角上？还在外角上？跟外角平行还是什么？要先把谁搬过来？ a b 好， 注意长度要怎么样？长度要减半，减在上面。那我这边是 b 点，就过来了， 接下来剩下哪个点？ c 点？ c 点怎么帮谁？ c d， 那 就 c d 原来跟 a 轴平行，现在呢？长度有没有改变？或者帮谁 bc 行不行？ 那你原来是平行外轴，那我现在就平行谁？我也觉得那长度，长度就跟 o 啊，跟这个 a d 是 一样长， 然后把这辅助的拆掉，这个就行了。所以第一个是画轴是吧？第二个是找什么呀？长的部分，第三找宽内部分是吧？那这样子拆掉就成堵了。 那这两个的面积有什么关系啊？也就是二比一对吧，因为因为他那个长的宽的部分要剪断呢， 这是正方形哈，那我这段是 a， 这段也是 a， 那 翻过来这是 a， 那这段是等于，那我这个四边形的面积呢？高是二分之 a 吗？不是几度，所以我应该是二分之 a 的 多少， 然后底数等于 a， 所以 我这 s 撇就等于四分之根号二乘以， 所以我的面积应该是原来面积多少？四分之四分之 零。那接下来我们来看一下这个正的六边平方 hmm， 那我们第一步要干嘛？去哪里？不要跑，你的原则是什么呢？ 尽可能多的点赞走上，等一下就少少出平行线了吧。 尽可能多的点在轴上啊，当你这样子水平放置有一条，这个 b c 这条边是水平放置，那我就要画成跟 a 轴怎么样？平行平行，所以我就请谁坐远点吧。 哎，你是正六边形，你找他什么中心是不是？ 那 a b 两点， a b 两点呢？哎， a m 是 在 s 轴上，并且它的长度是边长的两倍吧。那你说六个等边长也放在一起了吧，然后接下来呢？ 哎，接下来 a b 的 中垂线恰好呢？恰好把 e f 怎么样平分呢？乘以 m m 两点是吧？ 啊，那现在我们把 a 轴外轴给搬过来，这个就是 s 撇轴，这边 是数度 y 撇轴，那现在 a d 两点就搬过来了，长度有没有改变？没有变， 现在该谁了？要尽可能多了点再折算。那我们这边辅助的两个点是谁？ m n， 那 长度要减 m 撇 n 撇 接下来一点的位置呢？平行，你先过一点，那平行我划过来，还是保持平行嘛？所以我们把 e f 整条数可以平移过来了。 e f 平移过来，长度有没有改变？没有改变， 那同样呢，我们是把 b c 数可以平移过来了。 b c 我 们平移过来， 线段呢？线段过来也变成曲线了还是怎么样？这一段？所以再连起来，起来 就立底的感觉有了啊，然后把这个辅助的线给它剪掉了，剪掉了， 那这就是叫做学车把这个，那如果要写过程，那第一个在正六边形中取 a、 d 以及他的中垂线为 a 轴， y 轴两条交点为 o， 那 把相应的 s 点， y 点使的角度为四十度。第一步把什么呀？走啊，走第二步。第二步把什么部分？ 长的部分吗？啊，也就是在 a 轴上的平行， a 轴的部分是不是都可以翻过来了？翻过来了那长度是不变，那宽的部分呢？ 那就在在外轴或者平行，外轴的长度是二减半，平行也会保持还是平行的是吧？平行是保持着，但是长度是有改变的， 所以把这个都把它移过来，移完呀。第三步，第三步，那就插入辅助的线，然后呢就成平了，最后擦掉。有这个图， 他这边我强调一下啊，我刚才在黑板上都是独走画对吧？ 啊，但是你们呢，在事业里面的呢？不要徒手画啊，不要点乱啊，谁今天做徒手画，我就今天一定要你再重新做一遍啊， 因为我在黑板上这个尺子靠上去他是触摸的啊，就就会有压不出来了，所以我没办法只能用读作。你是有办法故意不读作啊？不用尺子，所以用铅笔用尺子啊，放好来， 那如果有要求写过程，你简单过程写一下啊，简单的过程写一下，刚才我们画的时候是不是要写 b 线线，坐标线来干嘛？ 那其实你建在中心该有孔雀提议，我是建在 a 点，这样 a 点行吗？可以，是不是可以，那起什么作用啊？ 定位所用的是不是？刚才有没有讲定位所用的，那就是 a、 b、 c、 d 相对于我这个坐标系的位置在哪里， 对吧？只是拿来定位所用的吧，所以你得换换哪里没关系，但是我们一个原则，尽可能多了点在头上，这样比较方便一些 啊。那你看，比如说我要定 f 点的位置呢？那其实我在圆图里面输过 f 点做 a 折 y 折的 离横坐标多少，离纵坐标多少，是不是可以把这位置给定出来？那么我在十二册里面呢，是不是也可以用这办法， 因为这个 f 点在的位置是谁？如果 f 撇 f 撇所在位置是跟我 s 轴外轴跟 a 撇外撇轴还是平行的， 然后长度 o 撇 q 撇的长度有没有改变？没有改变，所以你就看一下这边到 s 轴的距离是多少，然后我们这相应的是把 o q 撇跟 o m 撇是算出来， 然后做平行线，从这里就会定出来了。所以我们也可以用这办法来定位啊，相对总的距离是多少啊？也可以把这定出来，那我每个点都定出来的这些线数都好了啊。所以你可以这样做 啊，那技巧上面画直观的技巧就是选几十个灯， 坐标系指的近多边形，尽可能多的点在我们的轴上面。第二个 啊，那我们先要去找跟坐标轴平行的线段啊。平行线段，那他还是保持平行的，只不过长度平行，外点外轴的要变成什么？半减半，平行轴的长度是不变。 那么画直观图的时候要从多边形哦，经常会画圆，那圆的话，水平看起来像什么啊？椭圆，所以我们用椭圆来代替圆的直观图啊。 哎，那对呢，那如果我们自己自己画怎么画啊？间距是哪里啊？圆形？圆形。 然后我们再来做 s 撇跟 y 撇，看这边 ab 是 直径， cd 是 不是也是直径，所以我们先画谁，长度有没有改变？没有 下来直进 c 力， c 撇是不是减半？减半过来 c 撇这边 d， 当然现在不是直线了，来直线好，这 边转一点是吧？ 那你摇一下对不对？这就有直观的感觉了，那这个是一个什么啊？你看这是个椭圆，所以圆，这个直观读，我们就画的椭圆形。好，那第一个 你可以画这个，是不是还原呢？比如说一个平面图形采取斜二的画法，得到直观图是这样子的，这直观图是一个 边长为二的菱形。那请问请问原来这个平面图形的面积是多少呢？ 来衡量一下它长什么样？长有没有改变？没有，所以 a b 长度是几二二 来 a d 呢？ a d， a d 现在还是在半球上是吧？只不过长度为几？ c 点呢？ 平行，平行有没有改变？没有啊，所以还原回来试一个这个矩形面积为啊，所以第一种办法我们给它还原一下。 第二种方法我们也可以用关系来算。什么关系？直观读的面积等于谁？四分之根号二倍的。那我现在呢？直观读出来了，直观的面积是几？ 这张高等于几？菱形两条等于二。差什么？ 穿哪个东西？脚，你们脚几度？所以高为几？同高是根号啊啊，他是平行四边形，所以面积等于几？ 底层高，底层高对吧？把高一定要把丝伸过去疏零八。所以我们第二种办法也可以用关系来解决啊。用关系来， 好，我们继续来看一下，用斜侧画出一个水平放置平面图的直观图，然后这个 c 撇 b 跟它是垂直的，长度为根号二， a 撇 b 的 长度为五，请问沿图的面积是几呢？ 一组是还原，一组是关系。那我像 s 撇等一节啊， 二分之一五乘根号二，那他跟原图什么关系？四分之根号二，四分之根号二。 你把四分之根号二除过去啊，搞定了对不对？这样就快来，大哥们，那我要画原图，原图长什么样？ 先把 ab 数翻过来，有没有改变？没有改变， a o b， b 数都不变呢，翻过来这段长度为， 那下一个谁啊？ c、 d 是 垂直的一撇。来啊， c 撇 d 撇， c 撇 d 撇跟外侧，那还原回去呢？长度是吧？ 长度是几呢？为什么？这个东西是几啊？ c 撇 d 撇是几？为什么？因为这角度几度啊？是数，这量等于二，还原回去，而这 c、 d 刚好还原回去，是太乱， 所以 c 点的定位，平行 a 轴，平行 y 轴，那我在直观读里面应该找平行 h 撇轴，平行 y 撇轴来定这里的位置。 那如果我直观图是一个矩形呢？原来是啥啊？圆形识别啊，这段为二，这段为四，那怎么画啊？ 那先把 b、 c 给翻过来，是不是对， b， c 翻过来，那 b 点的位置呢？ 哎， o b 多长？哎，二， o b 也是二，对吧？因为这条路几路？然后你这边是矩形，是垂直的，所以这段是二。 这个呢，不是垂直 a 撇外撇，而是平行 a 撇外撇啊，或者在这个轴上呢？那就把谁给定出来？ a， a 本来是多少？二十二，十二，十二十二，那还是回去 四倍，根号二连起来地点怎么定位啊？平行没有改变，是不是还是平行？我们做两个平行数 b 点就出来了啊？那这段长度为四，这段 四根号二六六六，所以最长的边长六，对吧？这两边为六， 所以辞关图原图长长什么呀？我们要不要还原？不但要画，而且要还原。好了，那现在接下来我们要画空间几何体的辞关图。 那么比如说，比如说我这个粉笔盒，粉笔盒放在讲台桌上，那朋友们，那首先哪个东西很重要？笔叫做是不叫做水平放置的一个矩形， 所以底的话在直观图里面变成什么平行四边形的模样吗？再来，那我这个立体图形还有个什么高的部分？你们的视线跟我这平面什么关系？垂直的有没有发生形变？ 所以你看到什么样是不是就是什么样子的？所以追求的部分长度有没有改变？没有。那不搞定呢啊？因为你的视线是跟我这个数值的方向是垂直的， 所以你看到的就是他本来的模样吗？对吧？就是他的模样，所以，所以他的做法就是这一轴啊，这一轴的线段平行性跟长度都不变。 那比如说我要画长宽高分别为三二、一点五的 来，那我们先画啥？我们先画哪个东西？先要定轴，是不是那长一直轴我定哪里啊？顶点处就行了吧？然后先画底的。什么轴定完要先画底， 那底的话我们应该取一点 o 点，然后呢？ s 轴，那外轴要画成这个几度？四十五度， 然后这个 ab 的 长度呢？有没有改变？没有，所以我在 ab 还是几个单位？宽是二，如果 ab 要画成几， 举一个 d， 这个是一对吧，然后呢？ c 点保持平行是不是啊？ c 点做出来了 这样轴，我们还要把把竖的这条轴是不是画起来这样呢？高是一点五，那 a a 撇呢？ 还是一点五，所以我们取一个一点五，这里是 a 撇。 那干脆一些，我把所有的测量都把它放出来了。 d 撇什么地位啊？ d 撇说还是跟追求数平行呢，所以有没有改变？ 还有 c 一 点五， d 一 点后发少来。 接下来橡皮擦法来是吧，该辅助的都擦掉。 对，擦掉了，然后这边也都擦掉了啊，不要擦太疼啊。这个这个下面怎么这么大， 哈哈哈，还有你要有逆你的感觉，被遮挡的部分我们就要换成什么线遮挡的部分啊，石的部分还是要什么啊？保一生对不对？ 画的还行吧啊，还行，所以，所以画立体图形了，你把平面镜画了来，立体镜加一个退球就行了。 你看，我们先要画轴哈，朋友们几个步骤来。第一步画轴， 这水平放置的平面图形，那就是 x o y 变成四十五度的，然后竖轴也画出来。第二个，画笔 你画好以后呢，我们就回去画什么呀？车轮，因为车轮都保持着跟箭头式。那如果我不画车轮，那你们那可怎么办？上里面是什么图形？也是 也是水平画质的长方形嘛，所以我就把 a 一 点当做什么 点点，然后我再画一个 s 撇跟 s 轴是平行的， y 撇跟 y 轴是平行的，就把底下的动作给他。怎么样？再再做一次是不是也可以？ 也可以啊，因为上底也是水平放置的矩形，然后连起来就好了， 所以画完底以后，你就可以画车轮或者画上底啊，画车轮或者上底啊，最后成图，成图了以后，对遮挡的部分画成虚线啊，能看得见的都是实线， 包括我们的初中天的辅助线是都要画的虚线。那么在立体图这里面，你天的辅助线看得见的都是实线，看不见呢？被遮挡的都画成什么样？这样具有立体的感觉， 所以四步画轴画底，画车轮画成图，当然画车轮也可以画什么呀？啊？直观图，平面图形的直观图，画上底啊，画车轮或者是按上底，这都可以。 好，那么画几何体的直观图的时候，如果不做严格的要求，图形的尺寸可以啊，可以适当的选，选取都行， 但角度的话也可以制定，但是要求要具有一定的立体感。所以一般来讲，我们都画成四边形，一般来讲我们的长度都是这 长度是一般，画成二比一是比较好看一些啊，再画成二比一的圆，就画成椭圆，再来那三角形呢？ 三角形这个算术，我们一般来讲这个算术都是水平放置的。算术是什么呀？有一条边数跟跟这个旁边是不是平行的，所以正的放置，正的放置，那你看我们间距怎么建？ 哎，颜值高，这样子不对称一些，是三个点，是都在肉头上了，所以你画过来的时候怎么样啊？这一段是减半怎么样，你看是不是这样子的？ 所以正三角形直观图这样段会比较有有立体的感觉啊， 兄弟们。哎，你动手来看一下，圆柱里面半径是一，母线长是三， 当然课堂练习的时候允许你独守怪，但是做作业不能啊， 怪兽准确警观。 uhh。 那，那是不是先画水平放置圆呢？ 所以我们画一个 s 轴， y 轴加角四十五，然后取一个单位，一个单位，这是 a b， 然后呢？ o c 取多少？ 一半零点五 o b， 那 这样子的话，我们就把这个左圆给画出来了， 那后面就画成虚线会比较好一些。再来，哎，咱们先画啥东西？这个这球呢？ 五线长度为三，所以我们也可以先画高是不是？高 o 撇是三个单位，或者画什么 画四条五线来是不是？所以 a a 撇几个单位， 三个 b b 撇三个单位，这是五线，那我们也可以画谁？ 咦，哎呦，接下来把这怎么样啊？擦掉啊，擦掉哇，擦了，不擦了， 然后后面遮挡的部位就画成什么啊？这个还可以，是吧？这是严重。 那么如果要你写画这个图，那一般来讲我画的步骤要讲，第一步画什么？走第一步画，走第二步 底底，你可以先画下下底，再画什么上底。那上底我们也可以去画什么啊， 侧棱，在侧棱在这里就叫什么线，母线，这里的元素里面是母线，所以我们去画母线，最后把这图连起来就好了啊。哎，在 再画一个，画一个组合底，下半部分是圆柱，上半部分是圆锥，圆锥的底面与圆锥的上底刚好是重合的，画住这个组合底 来动手啊，我们加一个。 第一步干嘛？第一步先画住是不是住干嘛？你看 搞定了没？ 哎，你刚才，刚才我们工程是不是进一个这里了？再进一步，注意头看这里哦，关键是顶点，他顶点在哪里啊？ 在这球上面，然后我们取啊， o 撇往上就取一个点，把这个 s 画好以后呢？接下来怎么体现锥的立体感觉？把谁连起来？ s a 撇跟谁？ s b 撇是连起来的，也就是要画锥，我们要先画底，再画谁零点最后 母线是不是 s a 撇和 s b 撇是母线，然后再掐一下就成图了，这就是组合底了，所以先画柱，再来一块。所以啊，组合底。 同学们，那如果我要画球的话，谁是水瓶换式呢？ 平面图形大圆啊，中间一个大圆，所以我们先画什么大圆？先画大圆，那就球心，然后去找 h 轴跟 y 轴， 然后我们刚才怎么画圆？是不是也讲过了，接下来换哪一个东西啊？所以把这一球说出来。 那现在呢？来这个两个点，这个 ab a、 b 就是 他的人啊，那外面就画一个大圆，为什么这边画可以画一个大圆啊？这一种，因为这个 x、 o、 z 这个这个平面 跟你的视线什么关系？你就站在前面来看，都垂直的，所以你看到的是不是整个大圆，如果没有改变是吧？那这样子拆掉就是你的这个直观。主管 就是主管，主管有的时候我们要，哎，我们要更立体一点，你看这个 y、 o、 z 这个平面呢？ 啊，是不是再画一个？这也是什么大圆？紫光图里面也是一个 椭圆吗？是不是也是一个椭圆？是竖着画的椭圆哎，长得这样子的好看吗？画一下就好。可见 过两点可以做多少个大圆啊？请问我过 ab 两点画了几个大圆啊？凡是地球的经线的部位是不是都是你的大圆啊？ 原因就是 ab 两点跟 o 点三点怎么样？共线而过，一条线可以做多少个圆？ a b 的 磁性元素有无数多个，但是一旦 a 点 b 点在这两个地方呢， 只能找到一个人，后边是不过线的三点确定一个平面，这个平面去切球， 注意我们这里的切只是指的是什么，要把它一分为二。我们现在讲的平面是什么？无限延展的？是无限延展的，那这个 a o b 这边切过去呢？ 这个球就变成了什么两部分呢？所以这个是是不是一个大圆？什么大圆， 得三点能做几个平面？一个，所以过 ab 的 大约几个，只有这一个是吧？啊？ 这是球来，那再来挂一下这个，这个正三楞柱里面的边长为二，侧楞长为三的正楞柱， 先要干嘛啊？走是不是第二步放什么？ 第二步画什么？第三步画什么车轮或者上里面啊？最后成品 啊。你看，那咱们底是水平换字的，什么正三角形，那我们前面讲的正三角形，我们让一边跟跟水平线是平行的啊，所以，所以我们怎么见 高？是不是比一条边更高，对吧？所以我们在画的时候呢，先画 h 轴，再画外球这个角度， 然后呢把谁搬过来？ a b 几个单位？ 两个单位啊，添加两个元素，一三，那 c 点呢？ c 点呢？那我的 o c 要多长啊？ 本来是根号三下下一下变成二分之根号三，一点七除二，八点零点八五左右，稍微短一点点，这是 c 点就出来了，那这样的话连起来，这是底就画好了， 接下来呢？接下来画什么？画车轮对不对？来车轮 a a 撇， a a 撇，跟这有什么关系？平行长度也不变， 所以车轮长三个单位，那 b 点这里是不是也是三个单位？ c 点三个单位，然后连起来 啊，这样就拆掉就搞定了，那这就是正三楞柱啊。正三楞柱，那拆的时候那个 c、 e、 c， c， e， c， 还有呢？ a， c， c， b 这三条数在背后是不是遮挡呢？那就要画成 这三条，我们画成曲线 啊，画成曲线以后，这个这三个直观图就出来了，可见最关键就是水平换次灯里面，我们经常抵制水平换次灯， 那在初中还做过一个什么？用三个不同的位置来看这个图，从而把这个 啊立体图形给它还原出来，是不是可以去赶出这立体图形的？对，那么三四图，你的视线跟这个物体是什么关系的？物体所在平面是什么关系的？第一个是什么图？ 正视图，你是站在正面，所以你看到的黑板平面还是什么形？矩形对不对？第二步， 左视图，你站到左边去看，那你跟左边的平面什么关系？垂直的是吧？垂直的，所以你看到左边的形状就是左视图的形状了。 九十度，还有什么时候？那你就站在上面，从上往下看，你的视线跟水平平面是什么关系的？垂直的，所以俯视图看到的是啊，从上往下的这个轮廓是不是轮 廓啊？轮廓不是你看到的这几个，你比如说这锥底， 比如说一个圆锥，那你的俯视图是什么样子的啊？这是一个点啊，不是说最上方，你是看到最上没有整个轮廓要出来吧？这个圆里面是一个，所以我们这边提一下吧， 这是用五个大小相同的小立方块搭成的几何体，他的俯视图长啥样呢？俯视图，你是站在哪里啊？ 站在前面，从上往下看对不对？所以 后面那一排呢？看到的是什么？三个什么？三个正方形？那前排有凸出来的是谁？正方形，所以你看到的应该是哪个选项？ a， 大朋友们，再来左视图呢？哪一个是你看到左边看到的轮廓是长这样子啊，这是左视图， 还有一个什么图正视图呢？没有没有。那你画一个人画啊，在 b 这边要怎么样？两个什么？ 所以这也是我们啊，还原他这个逆流成的一种办法啊。所以我们用这三十度来解决问题，来这个时间 高三七对不对？高三居然这么简单，对不对？三角形 ab 四中， ab 跟 ac 相等，什么原理？ a， b 跟 a、 c 相等，再来 c、 d 的 a， b， a 来中点， c， d 的 a， b， a 三角形 a， b、 c 的 面积为二，求 b、 d 的 最小， 这是终点，它是等腰的，所以我设这道为 t， 这道呢？ t 这道一面积已知二，我要求比例，比例放哪里求啊？ 啊？ abd 是 不是？那我们还要设一个什么？所以 b 立方等于谁？ b 立方减四， b 立方和上 面积怎么面积为二？什么意思啊？二 t t 在 一直做球做的最实惠吗？二 d 乘二 d 啊，整个面积 对吧？你要自然想到这东西，我要从这辆车换一个塞里面啊，我把它伸出来，然后怎么把它们沟通起来呢？多远怎么办？消沉 定方，所以它比例就变成角， a 的 一个函数就可以搞定了。这是第二个球体啊，三个半。

dk 无解数学立体图形， 哇，好美呀，这个玻璃花房好漂亮。是呀是呀，我还是第一次见到玻璃花房呢。是啊，用玻璃做出来的房子看起来立体感更强了。 啊，立体感是什么呀？不知道呀，塔罗矮，你快给我们讲讲吧！ 立体图形也叫三维图形，就是指有长宽高的图形。注意哦，立体图形可以是实心的，像岩石块一样，也可以是空心的， 比如足球。咱们之前学习平面图形时已经知道了平面图形有边角、圆心、半径等等概念，同样的，一体图形也有属于自己的一些概念。 我们看这个花房，它是由平面、连接线和焦点组成的。在几何学中，他们分别被称作面棱和顶点。 立体图形的表面由叫面的平面图形组成，面可以是平的，也可以是曲的。大家数一下，这个花房总共有几个面？一二三四五六七，总共有七个面。 没错，就是七个面。我们再来看棱，立体图形的棱是由两个平面相交所组成的，大家再数数这个花房有多少条棱， 一二三四五六七八九十十一十二十三十四十五，总共有十五条棱 数。对了，我们再来看顶点，立体图形的顶点是两条或两条以上能相交的地方。一二三四五六七八九十，总共有十个顶点。 太棒了，看来你们已经很好的掌握了面、棱和顶点的概念了。总结一下，组成立体图形的平面叫做面，两个面相交的地方叫做棱，两条或多条棱相交的地方叫做顶点。 哦，我明白了，可是你看这盆植物的面棱和顶点我都找不到，那它是立体图形吗？ 其实我们生活中的很多立体图形都是比较复杂的，它们往往由多个简单的立体图形组成。以这盆植物为例，虽然我们不太好找出它的面棱和顶点，但它却是既有长和宽又有高的， 所以他是一个立体图形。事实上，自然界中再小的东西也都有高度，比如一张纸，虽然他的厚度小于一毫米，但也是有高度的，所以纸也是立体图形哦。 朋友们，记住这个顺口溜，三维空间立体型、面棱、顶点在其中。现在尝试完成这个小练习吧！你能在这个立体图形上找出所有的面棱和顶点吗？ 数学无处不在，我是你们的思维训练员卡罗尔，我们回头见！嗨！

好，这一课我们继续学习新的内容，我们学习立体几何，初步的第一节是棱柱、棱锥、棱台的结构特征， 那么这一课呢，是我们后边研究几何立体几何的一节非常基础的课啊，就是我们认识这些图形，然后认识这些图形中的一些元素， 然后我们后边呢去研究这些元素的关系。那么首先 空间的几何体，如果我们只考虑这个物体的形状和大小，而不考虑其他元素的话，那么由这些物体抽象出来的空间几何图形就叫做空间几何体 啊，这个概念我们简单了解一些，那么我们后边呢，主要研究的是多面体和旋转体。 那首先什么是多面体呢？顾名思义，那就是肯定由多个面构成的 啊，那这个面呢，就是我们现在所所知道的平面，所以一般的由若干个平面多边形为成的几何体叫做多面体 啊，比如说像以前我们大家熟悉的正方体、长方体啊，由四个面围成，那它就是多面体。好，我们再看还有一类呢，叫旋转体，旋转体呢是由 一条平面曲线绕着他所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面，叫做旋转旋转面，那么这个旋转面围成的几何体就叫做旋转体。 那这个具体的例子呢？比如说像球，这个我们比较熟悉啊，到后面我们学习的时候再具体研究。那这一课呢，我们主要学习关于多面体啊， 那比如说这里给我们举了一些例子，我们先了解一下多面体里边一些相关的概念，比如说这个有多个面，这是由八个面围成的，叫八面体， 那围成多面体的各个多边形就叫做面啊，叫做多面体的面， 然后呢两个面的公共边，我们叫棱啊，以后这个叫棱，那棱与棱的焦点，或者说公共点就叫顶点啊，这是这个多面体的顶点 旋转体呢，比如说这个啊，那我们把绕着这条直线定直线旋转啊，这个叫轴。 好，那我们看一下我们这里主要研究的这个多面体啊，就是棱柱，棱锥和棱台下面，我们看一下什么是棱柱， 那么这概念呢，我们不用去死记硬背，只要在脑子里记住他们的代表图形，然后呢弄清楚里边的一些关键元素的一些关系就行了，对于我们研究立体几何 就足够了啊，我们看一般的有两个面相互平行啊，我们看这两个面，以它为例，这两面相互平行，其余各面都是 叫四边形，并且相邻的两个四边形的公共边都互相平行 啊，也就说其余的个面你看都相交啊，都四边形，那么它们都有公共边，公共边呢，都是平行的，那这些面围成的多面体，我们就叫棱柱 啊，那这个棱柱呢，我们并不陌生啊，可能在小学初中都已经学过 那里边的相关概念，我们看刚才这两个平行的这个平面，我们叫棱的棱柱的底面，那两个底面肯定是相互平行的 啊，那所以呢，以后我们在解决一些几何问题，几何位置关系的证明判断的时候啊，要注意这两个底面是平行的，是一个隐含条件啊，底面互相平行， 那然后再看侧面，其余各个面都叫侧面，那么侧面有两两相交，那么 相邻的侧面的共边就是侧棱，那么这个地方，哎，侧棱有一些性质，后边我们再说，那再看呢， 它顶点，顶点就是指啊这些棱的焦点，那么看像这个图它有下面六个顶点，上面呢也是有六个，一共是十二个顶点， 那么这时候我们呃写这个棱柱的时候呢，就可以用它的六个顶点啊，十二个顶点去写出来啊，就是 a、 b、 c、 d、 f 杠， a 撇， b 撇， c 撇， d 撇， e 撇、 f 撇啊， 好了，那这就是我们大体上先认识一下这个棱柱啊是什么样子，里边有什么要素，我们来看分类，你像这个 这个呢，我们按多边形的边数分啊边数，那你比如说下面我们数一数，这是一二、三、四、五、六六条面，那六条面， 那他一定有六条棱，侧棱侧棱啊，所以呢我们把这个棱柱就叫做六棱 柱，大家注意六棱柱啊，其实就是他侧棱的条数，所以呢根据这个呢，我们啊还有三棱柱、四棱柱、五棱柱啊，注意这个概念。 然后呢刚才提到啊，还有点没说完，就是 它这个棱柱里面的一些特征，结构特征，除了底面相互平行之外，那么还有一个是侧棱啊， 平行，那侧棱平行的话，那也就是说以后我们可以根据这些侧棱平行啊去解决平行问题。 那实际上呢，这个侧棱平行，上下底面的这两条棱也是平行的，所以呢它的侧面肯定都是一些平行向量，这些性质我们要知。 好，那继续看几个特殊的棱柱，这个是在解决问题的时候经常用的，如果啊一般的这个侧棱与底面垂直的时候，这样的棱柱我们叫做叫直棱柱。 那这个大家一听这个概念，在脑子里应该就有印象啊，就是侧棱和底底面垂直，那肯定给我们有一个直立的这种印象，所以呢，我们把它叫直棱路， 那么不垂直的呢，我们就叫斜楞柱。好，其中直楞柱中，如果它的底面是一个正多边形的，我们就叫正楞柱 啊，那它的定义呢？就是底面是正多边形的，直楞柱叫正楞柱，也就是说正楞柱是直楞柱的一种特殊情况， 那因此支棱柱往往里边隐藏的条件就是侧棱啊，侧棱与底面垂直对的，那正棱柱呢，再加上底面为多边形， 所以正楞柱包含了两个特殊条件啊，好，这是正楞柱。那比如说底面向这个，这个假说底面是正五面形，那我们就说它是正五楞柱啊， 那如果底面是个正三也行，并且侧楞垂直于底面，那就是正三楞柱。 所以大家要注意，以后题题目里面出现这些概念的时候，它本身就是一些隐含的条件 好。再一个呢，就是平行六面体啊，那平行六面体一共六个面，所以我们看它的底面应该是平行四边形的字母叫做平行六面体 啊，比如说像四这个图，底面是个平行四边形，那它可以是斜的啊，也可以是直的，但是呢啊，它一共有六个面，这时候我们把它叫做平行六面体。 好，这是一些特殊的棱柱。 好了，那把刚才的内容稍微一总结呢，就是棱柱我们一般分为直棱柱和斜棱柱啊，这两个是对立的。呃，然后呢，直棱柱里边又包括了正棱柱， 那正楞柱呢，因为底面就是正多边形，所以这个我们要注意。再一个呢，就是这个几种四楞柱之间的关系啊，首先如果一个四楞柱底面是平行四边形，那根据定义它就是平行六边形， 然后平行六面体侧棱于垂直的底面，它就是直的平行六面体。好了，那如果再特殊一点，这个直的平行六面体，它的底面啊，底面 不光是平行的边形啊，底面再是长方形或者叫矩形， 那么这时候它就成了长方体啊，长方体，大家想一想，是不是啊？这个关系我们要注意，那长方体在特殊一点啊， 那么如果它的个面都是一样的，或者棱长度相等，那它又包括了啊，正方体在这里有这么一个关系啊， 那当然我们看这个路线呢，就是侧棱垂直于底面的叫直侧棱柱，然后再把底面弄成平行四边形，就是直平行四边形啊， 那对，还有一种呢，就是长方体的底面是一个正方形，那这样的呢，它也还是一个长方体啊，它外有棱，长相等才是正方体啊。 好，然后再看棱锥的结构，它能那有了前面我们这个呢就比较好说啊，一般的什么是棱锥呢？这个我们应该有这种印象啊，底面是一个面，然后呢上面一个尖， 所以呢，我们给他一个定义，就是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形 啊，所以你想一想，那我们随便画一个底面三角形也好啊，四边形也好，画完以后是吧，那么他们都从同一点出发，往它的顶点去连， 那不就形成了一些平面，那么这就构成了一个棱锥啊，所以它的侧面一定是三角形，而底面呢，是一个多边形。 好，那相关的概念呢，就是底面都是多边形，侧棱必须是三角形，并且有公共的顶点，那侧棱相邻侧面的公共边 叫侧棱啊，这个呢，注意，呃，和这个棱柱里边概念差不多啊，因为棱柱里边呢，也是有侧棱，底下这些边呢，也叫棱，所有的棱 啊，那顶点呢，也是各侧面的 侧棱的焦点，或者说啊，这个侧面的焦点公共。 那同样的，我们看对于棱锥，棱锥它的名称啊，首先记住 把底面的写在一块字母啊，然后顶点的单独写在一块，中间有横杠啊，这是三棱棱锥的表示，那么所以它的分类呢，也是和棱柱差不多，就是根据底面多边形的边数 啊，我们可以把它分为几楞锥，那因为刚才我们说了边数是多少，那么他的侧楞就有多少，所以那底面是三角形的，有三条侧楞，我们就会叫三楞锥啊，那同样的，底面是四面形的，就有四楞锥，以此类推， 那底面是正多边形，并且顶点与地面中心的连线，垂直于地面的棱锥叫正棱锥。好，这是一种特殊的棱锥，这个我们要注意啊，比如说我们底面画一个正三角形，然后呢， 底面与中心的连线 啊，因为它底面是正正三角形，所以有中心这个连线，如果和底面垂直的话，我们就把它叫正棱锥啊，那当然再特殊一点呢，就是如果六条边 啊，或者叫六个棱都相等， 那这样的三棱锥，我们就是叫正四面体，对，大家记住啊，正四面体，所以一提到什么是正四面体，那就是各个面都是正态，正态形啊， 六棱相等，也就是各面为正三角形，也就是正面三角形啊。 好，这是正棱锥，那同样的，这是正三棱锥，那同样的，如果底面是一个正方形，那就是正四棱锥啊，以此类推。 好，那棱台我们来看一下，注意这个棱台的概念很重要，那它是什么呢？注意是用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥， 把底面和截面之间的那部分叫棱台。那简单的说呢，就是像这样的一个 啊，这样的一个棱锥，我们用这个 a 撇， b 撇， c 撇， d 撇这个平行于底面的面去截，那把上面截了一个小的棱锥拿走，剩下的下面呢就叫棱台。 好，所以这个棱台呢，和前面不一样，它区别于前面的概念啊，这个是用棱锥截出来的，所以呢，它就有一个要求啊，比如说我们平时看起来啊，像一些台的啊，但不一定是台， 那什么要求呢？就是棱台的各个侧棱延长以后必须交一点啊， 那所以这里面相关概念呢，我们来看一下，首先这样一节呢，有两个底面，上下底面，那它的关系呢，也是平行的， 那然后侧面都是梯形，相邻侧面的公共边 叫侧棱。然后呢，同样的侧面与上下里面的公共的顶点啊，公共的顶点叫顶点啊，这个棱台的顶点，所以就不说了，那记法呢，就是也是把上下里面的几个字母都写下来就行。 同样呢棱台的分类呢，根据用几棱锥截的，那它的侧棱也是有几条，所以三棱锥截出来就叫三棱台，五棱锥截出来就叫五棱台啊， 好，这就是关于这几种多面体的结构特征，大家可以看到，虽然我们对这些 呃图形的直观印象应该是呃很深，也非常简单，但是呢，我们毕竟要研究的是这些几何体内部的像线面之间的一些关系， 所以呢，这些几何体里面隐含了哪些位置关系我们要弄清楚，这是我们学习的重点，也是以后应用的时候必须的。

一口气讲完逆题集合洁面问题一共三大题型，从做洁面的两种方式，到求洁面面积和周长，带你完胜逆题集合压轴小题。 其实很多高一高三的同学都在问我，唐老师如何做洁面，他要是出的话就会出单选或者多选的压轴题， 那我们来看哈，他总共是有两种方式的，第一个呢是相交法去做洁面，第二个呢是平行线法，我一般都是两个结合着来用哈。 首先呢，我们来看相交法，为什么叫做相交法来，就是因为我们现在这个界面呢，很单零的，孤零零的在这个内部，对不对？ 那么此时我们就要使得它的延长线和其他平面的展开面，延长面我们要形成焦点，那 这时候的话，我们连接这个焦点和这里的顶点，我们就会得到节点了哈，你看，我们现在已知了 e、 f 这条边，对不对？我们就延长出来，延长出来，延长出来之后你会发现啊，好，我交右边这个面，你看右边这个面我也会延长，对不对？我就延伸右边这个面， 我就交右边这一个面于这一个点了，这一个点呢，就是咱们交的一个点嘛，所以此时我们再来连接咱们的 c、 e 和咱们这一个交点，就会得到跟右边这个平面的节点，就是在这的哈，这是节点了。 ok， 此时我们连接这个节点和这个顶点，我们就会得到这两条接线了，对不对？好，我们继续来做左边我们延伸延伸。哎，你会发现我跟上面这个平面的延伸面，我是不是交于这一个点呢？ 这个点就是咱们的焦点，那么我们继续去连接咱们的焦点和这一个顶点哈，我们就会得到这有一个节点，所以说我们就去连接这个节点和咱们这一个焦点哈，连起来，哎，你会发现我们又得到了这一条结线， 所以总共我们最后得到的结面是一个什么？是一个五边形的，然后我们再来看到平行线法做结面哈，这是我的 e、 f， 是 不是已知的，对不对？所以说我们现在就去寻找另外一条平行线，它是过其他的顶点的哈，那它肯定就是一个平面的， 那么此时呢，你看我肯定是只能去过咱们的 c、 e 做 e、 f 的 平行线，所以呢咱们就做出来哈，做出来，做出来是这个样子的， 然后你就会发现咱们交下面这个平面，你看我交下面这个平面的延伸出来这个平面交于这个交点，对不对？这个交点嘞，咱们再连接下面这个 f 点，是不是我就得到了跟下底面的节点，对不对？就得到这个节点， 所以说咱们就可以连接这一条线，它就是两条截线就在这了。然后同理我们上面是不是会得到跟左边平面的一个交点， 那么跟左边平面这个焦点得到了之后呢，咱们再连接一和这个焦点，此时呢我们就会得到他跟咱们的上面这个平面的节点，在这对不对？在这，然后此时呢我们就可以去连接咱们的这个点和这一点，所以最后呢我们得到的仍然是一个结面的五边形， 所以我们现在来看到我们的三个题型，第一个题型来比较简单，就是不全结面，如图，在一个棱长为二的正方体当中， m n 嘞是两个中点， 然后在图中呢画出过底面 abcd 的 点， o 这个中心点，而且与这个 amn 平行的平面，在正方体中的结面。那你想哈， 我现在要去画跟这一个平面平行的平面，那么我只需要使得两组相交的直线平行，我们两个平面就平行了，对不对？ 那你来看我们的 n m， 它肯定是平行于 b、 d 的， 为嘛嘞？因为咱们只要去连接 b、 e， d， e， 那 么我两个中点中位线，则 m n， 它是平行于 b、 d， 所以 就会有咱们的 m n， 它是平行于 b、 d 的， 所以现在我们只需要去找到另外一个平行线就可以了。找谁嘞？其实你只需要去看哈， 咱们的 a n， 它可以平行于谁？是不是可以平行于 b， 然后我在这我再去取一个中点，再取一个中点，比方说咱们的一个 g 点吧，所以我去连接了一个 b g 之后，你就会发现，哎呀我去， 我们这一条边，它是不是平行于这条边的，对不对？然后呢，我这一条边它也是平行于这一条边的，对不对？所以我们就得到了两组对边，它都是相互平行的，所以说咱们包含的这一个平面它肯定是平行的。 那么我们再接着来说，我们要过咱们这三个点的一个结面到底是什么样的嘞？你来看哈，我们就用平行线法去做哈，我们 b d 在 这， 我现在来要去找平行于 b、 d 的 线，而且呢，它是过咱们另外一个顶点的，那你直接去取另外一边的中点不就可以了吗？对吧？我再去取个 h 点，我连接起来，那么此时咱们的 h g 它是不是就平行于咱们 b d 啊？对不对？所以此时我们就得到了另外一个节点了， 所以我们再去研究 d h 的 时候，你就会发现，哎，确实我每一条截线它都是直接截这个平面的，所以你看我们最后就得到了这一个截面，它是一个四边形， 后来他就问这个结面多边形的周长我们就不用去算了，我们直接在第二道题里面带大家去算一下，那么我们来看到第二道题型哈，求结面的周长。在一个正方题当中呢，咱们的 ab 是 等于四的，咱们的 e 呢，是为一个中点，也是二二的，而咱们的 f 呢，是一个四等分点靠近第一的哈，所以这里为一，这里为三的。那 那么此时我要过 aef 去做一个结面，你们观察一下啊， aef 中咱们的 ae 和 af 它已经是结线了，结线就是说跟这个正方体表面所结的线段哈，那我们来看其他的几个结线到底在哪里嘞？哈， 我们先来用一下平行线法哈，我们先看我们要去找 a e 的 平行线，怎么找嘞？其实就是去看，呃，在咱们的上平面怎么找到这个平行线哈，你会观察发现 这里是不是一个四比二的一个关系，对不对？那么我们如果说在这找到一个点哈，假设是咱们的 m 点，那么呢它也是满足一个四比二的关系，四比二就是二比一嘛，所以这如果 m 点我们取的是中点，那么他们俩绝对就是平行的， 但是这个平行咱们要怎么去证明呢？同学们其实也非常的好证明，你们知道为什么吗？因为我不妨哈，我在上面，这，我在左边这我再去取一个中点，假设说哈，我们取的是一个什么点呢？取的是一个 h 点， 那么我们去连接一个 c、 e、 h 的 哈，我们连接了 c、 e、 h 之后呢，你会发现咱们的这一个 f 和 m 肯定是咱们的 d e h 和 d e c e， 它的终点，对不对？所以说咱们的 f、 m， 它肯定是咱们这个三角形的中位线的，所以呢，它肯定是平行于它的。而咱们这一条为什么平行于这一条嘞？因为你看我连接起来，我连接起来之后，你就会发现我这一条边是等于这条边的， 而我这一条边是等于这条边的，它绝对是平行于这条，所以同理，这里肯定是平行于这里的， 就我们就会得到了第一个平行线哈，我们得到了平行线，然后呢，我们继续来看一下，我们接下来还可以怎么去找哈，因为右边还是没找出来的， 我们继续来找平行线，哎，这里有一个多少是不是三比四的？那我们来看，我们在这一个右侧可不可以找到一个三比四的比例哈，这里为二，那么我要找到三比四的话，假设这个高度为 x， 三比四，也就是说二 以上 x， 它应该要比等于三比四，所以算出来了 x 它是等于三分之八的哈，所以呢，在这的高度应该是为三分之八。我们再去取一个点，比方说 n 点的，那我我们再连接一下 e、 n， 它， 它就是平行于咱们的 a、 f 这一条线的哈，那么它是怎么证明的呢？其实跟刚才的证明方式是一样的哈，我在这取一个点时的这一条边为三，那么我在连接这一条边哈，那么此时呢，我这一条边和这一条边是平行的，而我这一个四边形，它又是一个平行四边形， 所以此时嘞，我们就会得到这条边平行于这一条边哈，然后你又会得到这条边又是平行于这条边的，所以你就会得到这条边平行于这条边的哈，所以它是同样的证明的方式， 那我们再去连接一下， ok， 我 们现在就会得到这个结面的五边形，我们来算一下周长哈，我们先来算一下咱们的 a e 是 等于多少？是不是根号下四方加二方的？而咱们的 a f 嘞，是等于根号下，这里是四三方加四方的。而咱们的 一 n 呢，它是等于根号下二方加上三分之八的平方。而咱们 m n 呢，它是等于根号下这里，是啊，四减三分之八，也就是三分之四的 三分之四的平方，再加上一个，这里是二的二的平方的。我们再来看最后一个，咱们的 h m 呢，它是等于根号下一方加二方的，所以最后把它们加总在一块， 所以答案就出来了哈。我们再来看到第三个题型，就是求结面的面积，哎，已知一个正四棱柱，他指的是说我的上下底面都是正四边形，而且是一个直角柱，我并不是说我正四棱柱，我的高和我的长宽是相等的哈，你要理解。 然后呢，咱们的 b e 等于二， b e 等于二哈，所以这是二的，而 b b 一 是等于四分之一乘过去等于八的哈， b b 一 是等于八的，也就是说这段为六，这一整段就是为八的。 然后此时呢，四倍 a b 等于三倍 a a 一， a a 一， a a 一 在这，它是为八的，那么三倍 a a 一 就是二十四的，那么 ab 就是 等于六的哈， ab 等于六， ok， 这是六的，那么底面是一个正方形，就是六六六的。 这时候我们继续来看，则该四棱柱过，咱们的 a 一 a 一 在哪？在这，然后呢？ c 在 哪？在这，然后呢，过一这三个点，它的平面所截的了截面的面积。 那你来观察一下喽，我现在只要去做两组平行线就可以了，你看这组平行线是不是平行于后面这一个，我在这也相应的去取， 这是二，这是六，对不对？我就去取。所以说这一条和这一条它也是平行的，哎，这一条和这一条它也是平行的，所以我们直接就把这个结面给它取出来了，我们不妨拿出来看一下哈， 它不一定是一个长方形，它可能是一个平行四边形哈，所以呢，我们先画出来看一下，则此时咱们的 e、 c 是 等于多少啊？它是不是等于根号下二方加六方就等于二倍根号十的， ok， 然后呢，咱们的 a、 e、 f， 它也是一样的，二倍根号十。然后我们再来看 a、 e， 它是等于多少？六六，也就是六倍根号二的六倍根号二的。 那么此时我们要怎么去算这个平面所截得的截面面角？那么我们肯定是说，呃，把它看成是两个一模一样的三角形去计算的，但关键是咱们的 a、 e、 c 怎么去计算嘞？ a、 e、 c， 你 会发现至这个长方体的体对角线， 那么体对角形怎么算呢？根号下长宽高的平方加在一块哈，也就是为这么多。然后呢，计算出来之后，它是等于二倍根号三十四的。 ok 了，那么接下来我是不是要先在一个三角形里面，我去用一下余弦定理啊，对不对？我就可以把这个角给它算出来。 所以说，由于弦定里咱们的 cos 也角 e， 它是等于六倍根号二的平方，加上二倍根号十的平方，再减去二倍根号三十四的平方，除上二乘六倍根号二，乘上二倍根号十的解得嘞，它是等于负十分之根号五的。 现在咱们的三也 e 也已经出来了，等于根号下一减这一坨的平方的有等于十分之根号九十五的。 最后呢，咱们的这个面积是不等于二倍这个小三角形 a、 e、 e、 c 的 面积，你入二倍二分之一乘上六倍根号二，乘上二倍根号十，再乘上撒盐角一，也是十分之根号九十五的。 算出来结果非常简单，十二倍根号十九。所以只要你听完我这节课，掌握了做结面的两种方式，你就会发现，这些题你全部会做 视频的。最后我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的密思北大借题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。 最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这里去撩，就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！

各位同学大家好，呃，今天咱们再看一下这个在立体几何中关于平行的证明。我们这里主要讲线面平行， 在课堂上我们学过，如果说一条平面外一条直线和平面内一条直线平行的话，那么平面外的这条直线就平行于这个平面。基于这一点呢，我们应该清楚，就是说在证明线面平行的时候，最主要就是面内找线，在这个平面内找一条线和 平面外的这条线平行就可以了。我们首先看第一题，说在四棱锥中，底面是一个矩形， pa 垂直于底面， a p 还等于 ab， 然后这个 b p 等于 b c 等于二， e f 是 中点。那么对于这道题而言啊，因为我们第一问只用到这个，只需要证明平行，有些条件我们是用不上的，我们重点看这个条件， e f 是 中点。然后第一步让我们证明 e f 平行于平面 p a d。 那么这个时候我们如何在平面 p a d 里找一条线和 e f 是 平行的呢？我们来看这样一个问题，呃，能不能观察出来就是 e f 和平面 p a d 中的哪一条线是平行的？在做立体几何体的时候，你需要大胆的猜测，小心的求证。 其实你观察一下，基本上能够看得出来， e f 应该是和 a d 平行的，为什么呢？由于 e f 都是中点，所以啊，很明显 e f 是 平行于 b c 的， 而底面是一个矩形，然后在矩形中 b c 是 平行于 a d 的， 于是根据平行的传递性， e f 就 应该平行于 a d。 好了，那么这样的话，第一题我们的思路就非常的明确了，那么在这里的话，我简单的去写一下啊， e f 平行于 b c， 我 写成推出的符号，这样的话思维更清晰，而 b c 又平行于 ad， 于是 通过平行公里我们可以得到 e f 应该是平行于 ad 的， 这是一个主条件加上两个辅助的条件，因为 e f 在 平面 p a d 的 外面，而 a d 在 平面 p a d 的 里边，所以啊，那么我们通过这三个条件，我们就可以得出 e f 平行于平面 p a d。 好 结束。那么这道题就这么简单，我们看第二题，第二的第一小题说，在四棱锥 p a， b， c d 中，底面是平行四边形， p c 垂直于底面， m 是 中点。然后现在我们来证明 p b 平行于平面 a c， m， p b 在 这个地方 我们要平行的，我们要证明它垂平行于这个平面 a， c m 这样一个平面，来先大致的观察一下 p b 现在能够和平面 a c m 路的三条线， a， m， m c 和 a c 平行吗？很明显是不平行的。这个时候呢，利用上课我们所教的方法，我们把 p b 逐渐的往这个平面路去移，哎，移了之后发现好像应该是和这个线平行中间这个线， 那么这个时候先进行一个大胆的猜测，然后呢，再小心的求证 o 呢是 a c 的 中点，那么这个是我们想证明 p b 平行于 m o， 我 们应该如何去做呢？根据上课我们所讲的，这里要做一个辅助线，我们连接连接 b d， 连接 b d 与 ac 相交于点 o o， 当然既是 ac 的 中点，又是 b d 的 中点，因为底面是一个平行四边形，再次的连接 m o。 大家想一下，这个时候我们如何去证明 p b 平行于 o m 呀？ 因为在这里的时候， m 是 p d 的 终点， o 呢？是 b d 的 终点，于是乎那么 o m 就是 三角形 o m 就是 三角形 b p d 的 一个中位线，于是 p b 就 平行于 o m 了。所以啊，那么这个是我前面这个做辅助线的过程，我们自己去虚述一下啊。我这里的话只写核心的过程，那么核心过程就应该是 p b 平行于 om， 而 om 在 平面 a c m 内，而 p b 在 平面 a c m y 那 么这三个条件我们就可以得出 p b 是 平行于平面 a c m 的。 这是这道题我们去做了辅助线，哦，原来也是利用这个中微线去证明啊。我们看下一道题 说在直三棱柱 a b c a d c e d 中，那么这个时候 d 为 ab 的 中点，那么这个时候我们说你去证明 a c e 这条线平行于平面 c d b e 呃， a c e 然后这个地方应该是印刷的错误啊，不应该是 a c e 然后这个平面的话，你看我们把这个平面标出来，我们会发现这个平面是 c d b e 其实这个题的印刷应该能观察出来。 那么这个时候大家想一下，那 a c 一 怎么能够和这个平面去平行呢？肯定是不平行的， a c 一 在这个地方对不对？应该是什么？然后如果让你去命题的话，你要把 a c 一 改一下，改成什么？改成是 a b 一 啊？改成是 a b a b 一， a b 一 和平面 a c b 一 平行，那么这个你会证明吗？ 观察一下，如果说我们在这里去大致的先猜测 a c a、 b 一 能够和平面 a、 c、 b 一 平行吗？ 很显然是不平行的，对不对？我们把这个线不断的往这个平面中去画，我们会感觉到，哎，他应该是 a、 b 一， 这条线应该是和谁这个线平行，对不对？先大胆的猜测，再小心的求证好了。那么这个是我们先假设这个 c、 c 一 和 b、 b 一 的交点是 o 的 话，我们连接 o、 d， 那 么这个处我们看一下，因为这是一个三棱柱，它的侧面是一个平行四边形，因此那么这 o 是 b、 b、 e 的 中点，而 d 呢，又是 ab 的 中点 啊，于是在三角形 a、 b、 b 一 中， o、 d 就 应该是中位线了。那么前面把这个这个弧线的过程说完之后，那我们基本上可以断定这个地方应该是用这样一个方法，就是 a、 b 一 平行于 o、 d， 而 a、 b 一 呢，在平面， 然后 c、 d、 d、 c、 d、 c、 e 的 呃 y， 然后这个 o、 d 在这个平面内，现在面内的话，我们可以用数学语言这样来书写啊 o、 d， 然后包含于平面 c、 d、 c 一 好了，那这个时候我就可以得出 a、 b 一 是平行于平面 c、 d、 c 一 的 好。这是这道题，往下我们看第三说这个，他这里给了很多条件，因为这里是第一问，有些条件是用不上的啊，我们要去筛选一下，说这个平面 a、 b、 e、 f 是 垂直于平面 a、 b、 c、 d 的 平面 a、 b、 e、 f 和 a、 b、 c、 d 都是直角梯形，那谁是直角呢？然后这里告诉我们说， b、 a、 d 这个角是直角呢？ f、 a、 d 是 直角，那么 a、 b、 a 平行就相当于二分之一倍的 a、 d、 b、 i、 b、 e 平行于二分之一倍的 a、 f、 e、 f 分 别是 g、 h 分 别是中点。 那么现在的时候，我们把这道题稍微的改了一下，证明 h c 是 平行于平面 a b、 e、 f 的， 平行于这个平面。好，我们来看一下这道题应该如何去证明啊？ h c 在 这个地方，然后平面 a、 b、 e、 f 是 在这个题这个地方， 这个其实相对来说，因为它把线已经做出来了，是不是相对来说要明显一些呀？观察一下你会发现，哎， h c， 我 要在面内找一条线和 h c 平行，我找谁呢？很显然我们要找的是 b h 吧， 为什么呢？我们要证明 h c 和 b g 是 平行的，那这个时候我们想去证明 h c 平行于，然后 g b， 那 么这个时候再加上一个什么 h c 在 平面外，在平面 a、 b e、 f、 y， 然后呢，这个 b g 在 平面 a、 d、 e、 f 内。好了，那么通过这三个条件我们就可以得出，然后 h c 是 平行于平面 a、 d、 e、 f 的 啊， 先大胆的猜测，然后呢，这个时候你先要有一种感觉，一开始先不要去追究这些细致末解，比如说 h c 平行，为什么平行于 g d？ 就 算是在考场上，你证明出来他，你根据感觉，你要先把这个线给他找出来再说啊，这个时候这个证要先建立，然后在高中的时候立体几何的思维。 那么这个数，这个 h c 如何平行于 b g 呢？其实根据 g h 是 终点，那么这个时候我们可以知道 g h 应该是什么三角形到 f a d 的 中位线，所以啊， g h 平行就相当于二分之一倍的 a d， 而 b c 又平行且相当于二分之一倍的 a d， 因此 b c g h b c h g 就是 一个什么平行四边形，于是得到 h c 平行于 g b。 你 把这个给它加上去就可以了啊。先大胆的猜测，再小心的求证。那么这个地方我们主要是因为 b c h g 它是一个平行四边形。平行四边形啊，为什么？这是因为 g h 平行且相等于 b c 去得到的。为什么呢？因为首先 g h 这个平。

同学们好，当平面图形变成立体图形后，这样的几何应用题你还会解吗？我们今天就来看这样一道题。首先来看已知条件，圆长方形纸，长为四十八厘米， 宽为三十二厘米，那么从四角各减去一个边长为六厘米的正方形，将四边折起，形成一个无盖的长方体纸盒。 因为是从四角减起嘛，所以默认是五盖的。那第一步我们首先来确定折成的长方体的长宽高，那减去四个角之后， 折起的高度其实就是减去的正方形的边长又是等于高等于六厘米，那折起后，底面的长和宽会减少两个六厘米，因为左边和右边各减去了一个，那么底面 长就等于四十八。减去两个六厘米，就是二乘六就等于四十八。减十二等于三十六厘米， 那底面的宽就等于三十二。减去两个六厘米，就等于二十厘米，高我们知道是六厘米， 所以折成的长方体只合的尺寸就是长三十六厘米，宽二十厘米，高六厘米。那第二步我们来计算体积， v 等于长乘宽乘高， 那我们把数据代入进去，长为三十六，乘宽二十，再乘高六， 最后就等于四千三百二十地方厘米，注意单位一定是立方厘米啊，因为是体积嘛。 那第三步我们来计算表面积，一定要注意，这个纸盒我们前面说过了，它是无钙的，所以它的表面积就包括一个底面啊，底面长为三十六，宽为二十， 那侧面其实就是包括两个长侧面和两个短侧面。其实我们用剩余的纸的面积去计算会更加的简单，原本纸的面积为四十八乘三十二等于一千五百三十六平方厘米， 那再减去四个正方形，四个正方形面积为四乘，括号里六乘六就等于一百四十四平方。啊，还注意啊，平方厘米， 那所以说减去后剩余的面积就等于一千五百三十六，减一百四十四就等于一千三百九十二平方厘米，所以这个剩余面积就是折成的无核磁带的表面积，你学会了吗？

我儿子上初中，我才知道，数学学的好的都在用这种函数套尺画图了。初中数学都是曲线图，像普通的直尺根本帮不上忙，徒手画画半天还不标准，别的同学都解完题了，咱还没画完呢。 像初中常见的立体图形、曲线函数、椭圆函数他都能画，这一套里边有八把都是加厚的环保材质，只要不丢，上高中都能用，就这个套尺，马上上初中的孩子一定要人手一套！ 我儿子上初中，我才知道，数学学的好的都在用这种函数套尺画图了。初中数学都是曲线图，像普通的直尺根本帮不上忙，徒手画画半天还不标准，别的同学都解完题了，咋还没画完呢？ 像初中常见的立体图形、曲线函数、椭圆函数他都能画，这一套里边有八把，都是加厚的环保材质，只要不丢，上高中都能用，就这个套尺，马上上初中的孩子一定要人手一套！ 我儿子上初中我才知道，数学学的好的都在用这种函数套尺画图了。初中数学都是曲线图，像普通的直尺根本帮不上忙，徒手画画半天还不标准，别的同学都解完题了，咱还没画完呢！ 像初中常见的立体图形、曲线函数、椭圆函数他都能画，这一套里边有八把，都是加厚的环保材质，只要不丢，上高中都能用，就这个套尺，马上上初中的孩子一定要人手一套！ 我儿子上初中我才知道，数学学的好的都在用这种函数套尺画图了。初中数学都是曲线图，像普通的直尺根本帮不上忙，徒手画画半天还不标准，别的同学都解完题了，咋还没画完呢？ 像初中常见的立体图形、曲线函数、椭圆函数他都能画，这一套里边有八把都是加厚的环保材质，只要不丢，上高中都能用，就这个套尺，马上上初中的孩子一定要人手一套！ 我儿子上初中我才知道，数学学的好的都在用这种函数套尺画图了。初中数学都是曲线图，像普通的直尺根本帮不上忙，徒手画画半天还不标准，别的同学都解完题了，咋还没画完呢？ 像初中常见的立体图形、曲线函数、椭圆函数他都能画，这一套里边有八把都是加厚的环保材质，只要不丢，上高中都能用，就这个套尺，马上上初中的孩子一定要人手一套！ 我儿子上初中我才知道，数学学的好的都在用这种函数套尺画图了。初中数学都是曲线图，像普通的直尺根本帮不上忙，徒手画画半天还不标准，别的同学都解完题了，咱还没画完呢！ 像初中常见的立体图形、曲线函数、椭圆函数他都能画，这一套里边有八把，都是加厚的环保材质，只要不丢，上高中都能用，就这个套尺，马上上初中的孩子一定要人手一套！ 我儿子上初中，我才知道，数学学的好的都在用这种函数套尺画图了。初中数学都是曲线图，像普通的直尺根本帮不上忙， 徒手画画半天还不标准，别的同学都解完题了，咋还没画完呢？像初中常见的立体图形、曲线函数、椭圆函数他都能画，这一套里边有八把，都是加厚的环保材质，只要不丢，上高中都能用，就这。

小孩画个立体图形全靠手抖，线都连不上，合理三免规三九乱又沉。做数学几何题，直接换这套多功能的模板尺，它里面自带各种立体几何的镂空模板，笔尖顺着内圈边缘走三秒钟，直接画出极其标准的正方体。跑物线和函数图也能直接描描材质是高韧性，搞定从小学到高中的图段。一套八把尺，塑料的装进拉链袋塞书包里，一点不占地方。