2026北京石景山初三一模数学难吗

各位同学，各位家长，咱们呢大部分区初三英文的考试已经结束了，那今天呢，邵老师给大家说一说目前已经考的一些区的，在试题的这个难度上的对比，通过这些难度呢，咱们看看接下来啊，在中考之前的复习的这样的一个方向。 呃，主要重点呢，就讲这几个这个有难度的亚洲题型。首先呢，通过几个区的这个考试，我们发现啊，本周新考的这几个区呢，哎，像这个石景山，朝阳这个丰台大兴，难度都不是很大，在选择亚洲这块都是比较常规的这种， 这个待己的这种动态的问题还是比较好做的，不像海淀那个，大家如果还记得的话，它实际上是融合了新定义的一些思维方法的一道亚洲题啊，海淀的第第八题还是比较难的。 然后呢，填空压轴这块，哎，这次刚刚考的实景三，刚考的实景三，大家可以看到他好几道题都是站在前面的，所以这套实景三卷子有一点难度啊，他呢，填空压轴是有难度的啊，因为他最后一问，貌似一个又是排时间轴的这个问题，对吧，但是呢，很有可能你找到一种情况， 但是不全，那这个是很可怕的，因为十六题说实话能做出一种答案已经非常不容易了。还有另外一个情况，所以大家呢，可以去去去，去研究一下 啊，丰台的也是比较难的啊，所以这个填空亚洲这块，这周考的啊，应该是更难一些。原综合，这个目前看还是 以去年中考的这道原综合，带着比较复杂的一些相似去处理的问题还是比较难的啊，那提醒各位同学，在原综合这块，对于相似三角函数的这种工具的运用还是要特别关注的，这块呢，很有可能会因为这个英文考的 不是特别难，有些同学呢就放松了警惕，因为正常来讲，一般东西海他考的一些题型难度都要比中考差不多，会略难一些的好，然后几中同样十减三的几中也是有难度的， 甚至比防晒那个啊，角度非常恶心的。这题目呢，还要难是吧，但是呢，这个集中呢太难，主要就是徒手陌生，然后呢不好去转化，但是他的熟悉的这些转化的工具都是非常明确的，所以呢，这个呢，大家可以看一下 概中这一块呢，这这周考的应该说值得一说的就是朝阳了，他的难度不难，是一个换了花样的比高低，但是这道题极易错，大家都知道啊，朝阳这个题目呢啊，教练老师第一次给出答案的时候，答案都给错了，也就是说 命题老师自己他都没有意识到有一个条件啊，就是 x 加 x 等于零，这个是有联动关系的， 那可见咱们很多同学也会忽略他，所以这道题极其易错，他可能绝对难度没那么难，但是易错极易错啊，大家可以去看一下。再一个就最后咱们本周考的新定义这块，丰台石井山都不容易，丰台的这个新定义跟海淀一样，说的非常的复杂， 最后的计算也挺难，还石井山这个新定义最后一问的情况也是非常之多，很多同学不一定能够想的齐全，想的完整，同时呢，也要考验我们的确认的这个能力 啊，你很有可能辛辛苦苦做出来，但是呢，因为一个细节没确认到位，结果呢，答案呢，就差一个等号或者多一个等号啊，类似这种情况常用的题型呢，这次呢，都还是比较中规中矩的，难度呢，不是非常大啊，基本上跟去年中考差不太多。那通过呢，这些区已经考的这个题目来看， 首先在各个难题上都有可能命题老师做一些精心的设计，出现一些难点 啊，冷不丁都有一些，但是整体来讲，整体来讲，各位会发现，比如像中考的试题，你往这里面一摆，你会发现他平均下来中考的难度就介乎于他们的中间，各位能体会到吧，说明什么？说明我们这些试卷整体你合在一起，他整体难度和中考差不多， 而且考的呢，都是咱们的最热点的一些内容和这个方向。目前呢，虽然有一些有一定难度的题目，但是说特别偏的这种题目呢，几乎是没有的，说明咱们各位同学接下来复习呢，应该死死的就抓住咱们最热点的内容去进行复习。 当然啊，如果各位同学你现在在这些压轴题上，你发现自己有些方向呢，还不是特别的啊，能拿下啊，小新一啊， 几中呀，带动啊，圆中啊，选填亚洲啊等等，那这些呢，有没有解决方案呢？这些题型都有解决方案的，如果你想在最后阶段在这些题型上再突破一下的话，留言区打突破两个字。

十减三的异模型的异综合性还是比较强的，有解析法去解决他这道题的，也总体来讲的话，还是有一定的这种复杂性的，特别是最后一问啊，很多同学可能第一次做到 类似于这么复杂的情况比较多的这种分析，他还不同于简单的全面、细致、有序动，更多的是用到有序分析，你需要看清楚这里一共有多少种情况，每种情况怎么样。 那我们接下来会给大家从定义上咱们看透的定义是怎么回事。二呢，咱们的核心围绕着这道题呢，用解析法去和洞中找电，简短式念去找这个定义中的 切入点，然后就去解决它。先看一下定义，这个定义呢，应该对很多同学大家还比较新鲜啊，他说有一条线段 p q 和一个直线啊，注意这里面 进度定义的时候有前提，确认一个是 p q 都不在这个直线上，这个呢，我们最终如果说这个找一些轨迹啊或找范围啊，去确认一下会不会出现这种情况，且直线 p q 和直线 l 不 平行，那么这两个呢，我们作为前提先摆在这，最终得到。 哎，再拿这个前提去确认一下，现在说给出如下定义，过线段 p q 的 两个端点，分别做直线 l 的 平行线，交 y 轴于 p 一 q 一， 又来两个点， 对吧？称线段 p e q 一 的长啊，为 p q， 关于 l 的 纵引长，那这个定义呢，咱们呢，可以发现它也没什么大不了的，就听着它的说的说法，照着画图去找，主要就是看这个 p e p q 一 会落在什么样。 所以呢，显然在这个定义当中啊，动手操作是我们必须要用的，然后呢，这里面涉及到这个线的平行线的平行呢？咱们呢，由于新定义一般都是在坐标系这个背景下的啊，了解一下他这个里面呢，会有开的箱的。那基于这几个理解，我们来再拿第一问的例子来确认一下啊， 已知点 p 点 q 是 两个定点，那这两个定点呢？就在这个，就在这，就是这条连出来这条蓝色的线段。问线段 p q， 关于直线， y 等于 x 减五， y 等于 x 减五，它已经画好了， 那就按照定义的说法，分别过 p 和 q 做 y 等于 x 减五的平行线。哎，那咱们看啊，过 q 做平行，就是 y 等于 x 加三，过 p 做它的这个平行线啊， y 等于 x 啊，这个因为 p q 都给定了，直线给定了，所以你不用担心那两个前提哈，他自个给的题肯定不会相矛盾，是吧？那这样一来，咱们找到交点 啊，跟 y 交点，其中呢，你会发现，如果 q 点在外轴上，那跟外轴交点就它自己，所以 q 也是 q 也是 q 一， 然后呢，过 p 的 这条线交在外轴就是点 o， 它就是 p e， 那么从 p 一 到 q 一 的这个长度啊，一眼就能看出来，它应该是三，那这个定义说实话真不难， 就是画两条平行线，然后呢截外走两个点，然后求两点两个点之间的线段长度。那为了方便大家这个表述，后面呢，我们把 p 一 q 一 给它取个名字叫纵引点啊，对应的纵引点是吧， 把这个纵引点之间的距离，那现在咱们来看看第二位啊，一支点 m n 又是一个俩确定的点，那这条线段又确定的说线段 m n， 关于 y 等于 k x 加二。各位看啊，这个就来了个问题了，这个关于 y 等于 k x 加二。这个 这个里面这条线呢，它是什么样的呢？它是一个啊，洞中找地是吧？又来洞洞的，它是过零逗号二， 然后呢，可以绕咱们这个零逗号这个点去旋转的这么一根线，我们一般呢也称他为一个金箍棒型的这种直线，对吧？来我们来看一下啊，他大概的情况， 他可以绕着零逗号二这个点去转，当然在转的过程中呢，咱们还要注意有两个特殊的位置要确认一下。一个呢就是 k 不 等于零，说明他不能是 平的线，一个呢，他不能是数值的这个线，这个这种情况 k 是 不存在，各种其他斜的情况都有可能，那这个线是个动线啊，太复杂了。现在呢，咱们来看看， 他说这个线段 m n， 关于这个直线，关于这个直线的纵隐藏为四，那就是说线段 m n 啊，过他做出的跟这个直线平行的 两根线截的 y 轴的这条线段长度为四，那这个怎么去做它呀？所以在这里面的话，我们就会发现这个这个好像还有点困难，那在这里面就特别能体现我们做新定义的一个重要的意识了啊， 咱们做新定义，记住了，如果你没没有太明显的思路，那怎么办？就先按 one 画一种情况，先画一种情况，管它对不对，如果不对，咱们呢再去调它，所以即使不对也能知道往哪个方向调整。 所以比如说我现在随便画一条线啊，比如现在这条蓝线，我分别过 m n 做它的平行线，那么看这个 m 跟它平行， 换个颜色，这个直线对吧？然后 n 跟它平行，那这样我们在外轴上得到了捷德的两个点，就他们的纵引点分别是 m 一 和 n 一， 那如果 m 一 n 一 的长是四会怎么样？哎，这个就是我们 需要去研究的，所以在这个问题当中啊，我们要的就是，哎呀，在什么情况下这个长度会是四呢？就介于两个平行线之间，现在 我们已经看明白问题是什么呢？就这么回事，就是这个过 m 和 n， 对 吧？截的这个，这个这个做两条平行线，当然这两条平行线可以去转，是吧？方向可以改变， 然后跟这个 y 轴捷德的这个线长度为四，那这个时候我们再仔细看看，我们如果要去求它，或或者要找它能找出什么关系，那会发现这种情况就不好求，但是我们坚信 任何问题考的一定是我们学过的知识。那现在想，那我知道的是 m n 和这个 m e n e， 我 能不能把它们搁到一块去呢？ 那我们说了，平行线之间你保持平行，那就做平移，是不是它的这个长度不会改变？所以我过点 n 做一个 m 一 n 一， 或者过 m 做 m 一 n 一 的一个平行的这样一条线 跟这两条紫色的平行线，是不是又可以结出一条线段？这个点叫 k， 那 我们看这个 k m n， 其中 k n 的 长度就是四，而 m n 的 长度呢？大家会发现它是二倍根号，对吧？这个很容易算，再找一找，哎，这个确定的这个角是四十五度，对不对？ 所以我们来看看在这种情况下，他会有什么样的关系呢？关系就是我要找这个子线的方向，是吧？要找子线的方向，那找子线的方向其实就是找子线和坐标轴的夹角， 所以这道题通过这个研究我们找到了方向啊，要确定直线的 k， 其实就是确定直线和坐标轴的夹角，甭管是 x、 o、 y 轴，你只能找到一个夹角， 那后面就好说了。所以这样一来，咱们可以看到你只要求出这个角是多少，比如说这个角怎么求啊？那你看看这个 m、 n、 k 是 不是已经给了两边一角，边角边肯定是确定的，那么我们很简单做个辅助线算一下，对吧？然后过 m 往这做一个垂线， 那会发现这样一来的话，这个小的是个等腰值，这个是二，这个是二。哎，那下面这段就应该是二，所以这一块下面又应该是个等腰值，那这个角也是四十五度，所以这个子线和外轴的夹角是四十五度， 那四十五度的话， k 在 这里面就应该是负一，所以 k 等于负一。好嘞，那到这的话是不是我们就做完呢？别着急啊，那我们现在去确认确认是不是这道题只有这一种情况， 是不是只有这一种情况，那因为很有可能在这个里面我们还有别的这个这个情况。 那就说白了，咱们去体会体会，只要这个竖线，这个竖线平移过来和 m、 n 构成一个这样的四，有没有其他的其他的有可能的这个这个这个情况啊？那我们如果想要确认是不是只有这种情况呢？ 可以看到，在这个里面，我们不管你线怎么转，咱们拿出确定的信息来去分析它，确定信息确定的就是 m n 的 长度是二倍，根号 m n 和这个 m 一 n 一 的夹角 是固定是四十五度，并且 m 一 n 一 的长度是四，所以在这种情况下，只要我们平移，因为这种题目中，我们可以把这个线平移到过 m。 都一样啊，你会发现 我们呢得到的这个第三条边就是 m n k 的 第三条边的这个方向都是 同样的和 n k 啊，夹角是四十五度的，这是必须唯一确定的，这主要是由于三角形边角边的这种确定性，所以这道题呢，咱们就不用担心还有其他情况，就这一种情况，这个 k 呢，就是负一。好嘞，那咱们接下来啊，再来看看他的最后一位啊， 这一问呢，咱们说有一个点 a 是 一零好确定的点，点 a 的 圆 a 的 半径是啥？这是一个动圆不确定的，它的半径大小不定，圆 a 上存在点 t， 那 点 t 也不知道在哪里，只是圆 a 上某个点 线段 o t， 关于这个直线啊， y 等于二 x 减十，哎，这是一条线啊，这个就是 y 等于二 x 减十啊，因为它这个非常靠下啊，这条红线和线段 o t 关于 y 等于负 x 减十，也是很靠下这个点啊，这根线的纵隐藏的和为六 切除 r 的 区域范围。哎呀，这个好像挺复杂，咱们可以看看啊。首先呢，原 a 啊，它的大小不定，它只是原心定，它大小是不定的，那这个 t 呢，大家可以看到，就就就从 a 的 开始出发，哎，就可以散步到整个这个这个区域里面啊，这个 t 太多了， t 实在太多了，然后呢，这个要找 ot， 关于这两根线，两个纵引，两个纵引呢？说实话， o 点我们不担心，因为刚刚研究过了，只要点 o 在 外轴上，它的纵引点就是 o 点，对吧？但是 t 关于这两根线的重影点有 t 一 t 二，这 t 一 t 二个子长什么样都不知道对不对？所以呢，确实这个挺讨厌的，那这个怎么办呢？哎，刚刚说了啊，这时候一定要洞中找定加减软式念。首先呢，这个题目我们先不管这个原 a 了 啊，这个原 a 你 爱咋地咋地，先搁一边去，我找到 t 就 能找到 a， 因为所谓的原 a 上存在 t， 就是 我找到符合 t 的 t， 然后呢，原 a 能经过他就行。 所以我们重心就研究这个 t 的 到底可以在哪里，这个 t 到底可以在哪里， t 又怎么看呢？在这里面，由于他是研究这个纵隐藏的问题，所以 t 不知道在哪里的话，主要是看 t 的 不同位置对 t 一 t 二带来的影响，从而呢，哎，我们就可以去研究这里面的确定的信息，确定的信息， 我们来体会体会这个里面有哪些确定的信息，啥也不知道，随便点一个点，假如，假设他是 t 点，那我们来看看这个 t 点的要求是什么样的啊？他一个是要过过他做红线的平行线跟 y 轴相交就得到 t 一， 对吧？一个呢，他要做蓝线的平行线跟 y 轴相交，就得到一个 t 二，然后呢， o 点的头这个纵引点就是 o 自个，所以在这里面我们就会发现这个两个纵隐藏之合，这个合到底怎么个合法？ 好像有点眉目了，来各位体会一下啊，他怎么个合法呢？那就是随着我这个 t 的 动， o t 一， o t 二也在动，是不是？那就是如果现在长这样， o 在 这个三角形的里面，那不就是 o t 一 加 o t 二吗？包括这样，你看，只不过这个 t 一 和 t 二换一下，一下换了个位置了，是不是都是 o t 一 加 o t 二， 然后呢？如果是这样，哎，这个时候就不太一样了， t 一 t 二在同侧， o t 一 加 o t 二，这种情况下， o t 一 加 o t 二，大家看啊，就是三角形 t t 一 t 二，它的这个第三条边的这个长度， 这个就简单，因为什么洞中找定，我们会发现这个三角形它的斜角都是定定死的， 哎，都是都是确定的，所以呢，形状确定，那只要是 t 一 t 二的长度都定下来，那么整个这个三角形的形状就定死了。所以在这种情况下，我们发现啊，只要是 o 在 线段 t 一 t 二上，也就是 t 一 t 二在 o 的 这个这个这个两侧，当然包含 o 在 端点上，那么我们会发现，这个时候的事情呢，是非常简单的啊，是非常简单的，那如果不在的话，那我们再来看看他还有什么情况，这是都在的时候，对吧？啊？来，各位看啊，如果说这个 o 不 在这个线段上， 我复制一个在在在在这啊，大家先体会一下啊，在哪段线，比如在这，那么这个时候呢，他的这个 两个纵隐藏一个呢？ o t 一 是这段，一个 o t 二是这段，那这就不是这个三角形的那个钝角所对的边了，好像这个又复杂一点了，不管复杂不复杂，那我们已经知道了，就这两个大方向是不是？ 所以我们可以确定这道题的分类就两大类，第一类就是点 o 在 线段， t 一 t 二 上面在线段。当然这个时候呢，咱们待会再确认能不能是端点，我们先看只要他在他上面，他应该满足什么要求。那此时我们可以看到， 根据这个 t 一 t 二是六，而这个角又是固定的，我只要过点 t 往这个 y 轴做一条垂线， 各位可以看到这条垂线的这个长假设叫 h 吧，上面是个等腰值，所以这段也是 h。 下面这个呢，注意，这个红色的这个线和坐标轴截得的这个直角三角形直角边是五和十，对吧？ y 等于负，这个这个二 x 加减十，这个所以跟它平行的话，跟坐标轴截得的横竖的直角三角形直角边也是一比二，所以这就是二 h， 那 这样 h 加上二 h 等于六，说明这个 h 就 只能等于二，这说明什么？说明点 t 到 y 轴的距离一定是固定的，更加具体的说就是此时 p 点的横坐标 啊，也就是说此时 p 点横坐标为正负二。各位别忘了啊，左右各有，因为你在左边。再来一个啊，各位体会一下啊，如果介介于他俩之间，他也一定是这样的，因为这个三角形的形状是没有改变的，咱们可以看到是不是 这个也一定是这个时候 t 的 横坐标就是负二。好，那有了这个以后，那还没完啊，我们把这个左边这个先放一边啊，先放这 是不是 t 点的轨迹就在 x 等于二和 x 等于负二上呢？别着急，因为我们说了这个时候有个要求， 要求是什么？要求是点 o 要在线端上，那大家可以想想，那这个点 o 是 不是在 x t 点的横坐标是二十一定在那你看，比如我跑到这就不行了， 对不对？ o 就 在这个它的两侧了。所以如果说大家可以看到，当点 t 在 外轴右侧的时候，他的横坐标最靠最靠下，应该是到这个地方啊，二负二这个位置到负二。 同时又因为咱们刚才说了一个前提是什么呢？就是这个线啊，线段 p q 跟这个 l 都不平行，所以呢，他不能经过这个 o 点 啊，这个时候不能取到等号，然后呢，说明他的纵坐标啊，应该大于负二。那同样往上走，走走走，走到红线经过点 o 的 时候，咱们可以发现，这个时候点 t 的 纵坐标应该是啊，同样取不到等号，所以在 t 的 横坐标是二的时候，他的纵坐标在负二和正四之间，那同理，在负二的时候，大家可以看到纵坐标在正二 到负四之间。好嘞，哎，那到这咱们这种情况的这个 t 点的轨迹就出来了啊，就出来了，来，我们把它画出来，在这里面，左边啊，是从负二啊，正二到负四这一条线段，注意 不带端点，是空心的，这个做好有序分析。然后呢，如果他在 t 点的横坐标大于零，他就在负二到正四之间，就是这样的两条平行的不含端点的线段， 是不是很容易？那这样 t 点的其中一部分符合 t e 的 t 点的轨迹，咱就找到了，只要点 o 在 线段 t e t r 上，那 t 点是不是就只能是这两条子线？ 那这个我们成功一半了，那接下来我们再来看，如果这个这个直线啊，当 t 一 t 二在点 o 同侧时候会怎么样？ ok， 这个时候我们稍微感受一下 t 在 这个同侧，那大约是这样，这时候你能想象这个 t 点肯定更靠近 y 轴了吗？啊，否则他加起来他他肯定要超过六了，对不对？ 他不可能是在刚才啊，这个这个的位置更靠外的位置，这样，这个，呃，这就更长了，是吧？啊，只有更靠里才行。那这个时候怎么来呢？此时我们得到的关系是这个 o t 一 和 o t 二的和是六， 那这个时候呢？哎，我们要去找这个直角三角形就挺有点难了，怎么办呢？ 哎，这个时候告诉大家用解析法找点 t 轨迹，我们把点 t 呢？哎，它的坐标，比如说我们把它称为 m n 啊，或者叫 x y 吧，便于我们直接找它的这个这个所在的直线的解析式。 然后呢，并且我们有序分析，我们分成 t 在 第一象限，因为它四个象限都可能，当 t 在 第一象限的时候，咱们看看会怎么样？来一个一个的来啊，这个第一种情况啊，第一象限， 那么此时呢，大家看啊， x y 都大于零， x y 都大于零，对不对？那我们要找这个 o t 一 o t 二的长度，就是要找 t 一 t 二它的坐标啊，它的坐标，这个坐标咋去找啊？那我们看看啊， o t 一 o t 二，这个时候呢，我们呢， 当然也可以用刚刚说的那个四十五度和这个呃，这个一比二比刚好五的这个关系， 这两方法都行啊，我们一个呢是先试一下解析法啊，待会呢我再跟大家说，我们用这个三角形的关系去处理它啊，因为这里面洞中找定始终关系都很定的。好嘞，那这个为了表示用解析法的话，咱们就设 t 点是 m n 吧，因为我发现要表示这个直线方程 好，这条红线角角 l 一 啊，这个蓝线呢？角角 l， 所以 这个时候呢， l 一， 它是 k 等于二的线，那就是 y 等于二 x 再加上一个 b 一， 我们把 m n 带进去，那就是 n 等于二 m 加 b 一， 所以 b 一 等于 n 减二 m， 所以 它就是 y 等于二 x 减二 m 再加 n， 那 这样一来，这个 t 一 点的坐标就是零逗号负二 m 再加 n， ok， 来，各位，这能看懂看懂吗？啊？ 然后 t 二这个同样它所在的这条蓝线，它的 k 是 负一，那叫它 y 等于负 x 加 b 二，把 m n 带进了 n 等于负 m 加 b 二，那 b 等于 m 加 n， 那 直线就是 y 等于负 x 加 m 加 n， 那 么 t 二就是零逗号，这个 m 加 n 啊，并且在第一项项这种情况下， t 一 t 二都正的，所以咱们要求的这个两个重隐藏的和六， 它就等于 o t 一 的长度啊， o t 一 长度是多少呢？ t 一 刚写了就是负二 m 再加 n， 然后呢再加上这个 o t 二的长度， o t 二的长度就是加 m 再加 n， ok， 这个呢就等于负 m 加二 n， 其中的 m 是 横坐标， n 是 纵坐标，我们把它写成 n 等于二分之一， m 加三，变形一下是这个，这个其实就是一条直线， y 等于二分之一， x 加三， ok， 同时在这里面我们要求呢， t 一 这个点 要在原点的上方，这个负二 m 加 n 要大于零，那我们来看看它的要求，负二 m 加 n 要大于零，而 n 呢等于二分之一， m 加三，对吧？那就代进来，那就是负的二分之三 m 加三大于零 啊，你会发现 m 应该是要小于二的，就是他的这个横坐标要在小于二，在第一象限还要大于零，所以他是 y 等于二分之一， x 加三，在 x 大 于零小于二的部分。 来，我们来看看他就是哪段呢？就是从零逗号三开始一直走到这，并且不含端点，对，在第一象限写在第一象限啊，是这样的， 来大家体会一下啊。第一项线这样的啊，那如果 t 点在外轴上，我们单独再确认一下啊， t 点在外轴上，这个也是可以的， t 点在外轴上，那刚好他的这个纵引点就是他自己，是吧？那么说明这个零这个地方我们可以带等号， 因为我们刚刚是在第一项线做的，那最终呢，我们发现零这个地方是可以带等号的啊，但是呢，这个二极上不能带等号， 所以这样一来，他在第一象限啊，找到这个点我们就出来了，如果各位啊，没有忘记的话，我们就会发现这个点跟刚才那条子线是无缝对接的，那个子线呢，横坐标是二，纵坐标呢，是在负二到正四之间，这个绿线刚刚好，在 x 等于二的时候， 他的纵坐标是四，这就巧了，巧了的话就合理了。那这个清楚了以后，那各位可以看到啊，我们好像就已经找到了他的这个 方向了啊，我们已经找到它方向了，那也就意味着在其他的位置还有三个象限的，是不是我们都可以这么去算了啊？那接下来呢，我们就这个再算一个一个地方啊，然后剩下两个我就不算了啊啊，那我们就就把 t 在 第四象限的啊，给大家再算一下，看一下啊， t 如果在第四象限，咱们看会发生什么事， 那就是把这个这个这个红红蓝线啊，红蓝线咱们呢给他拉到下面了，大约处于这这样的位置，对不对？此时呢，这个是 t 一 啊，这个是 t 二 啊，然后呢，如果 t 在 第四象限，那么这个时候仍然设它的坐标，按照刚刚说，这个 t 是 m， 逗号 n， 这个时候得到这两条直线的这个方程，这个解析式跟刚才是一样的，这个红线仍然是 y 等于二， x 减二， m 加 n， 所以你会发现 t 一 这个点的坐标仍然是零，逗号负二， m 加 n， 然后呢，这个蓝线呢，依然是 y 等于负， x 加 m 加 n， t 一 这个点依然是零逗号 m 加 n。 只不过写长度的时候就要留意了，这个长度呢，它是六，应该等于 o t 二加 o t 一， 因为 t 一 的纵坐标是个负值，所以呢，应该长度是绝对值，那就应该是二 m 减 n， 这个 o t 二，同样这个也是个 m 加 n， 也是负的，所以应该加上它的相反数，那就应该是减 m， 再减 n， 那这个就等于 m 减二。 n 整理一下，那就是 n 等于二分之一， m 减三，对应的方程对应的函数就是 y 等于二分之一， x 减三。 ok， 同样这种情况要 t 二在 o 的 下方，也就是负二 m 加 n 要小于零，我们把 n 再代进来，负二 m 加二分之一 m 负二分之三 m 再减三小于零，那这个 m 就 应该是这个我看一下，负二分之三减三小于零，负二分之三 m 小 于三 m 应该怎么算出一个大于负二？这个地方也算的稍微有点问题，我确认一下，负二 m 加 n 是 t， t 二写反了， t 二是这个看 写差了，应该带进这个式子重新来一下计算，还是要特别留意的，特别容易错。 t 二是这个 m 加 n， 应该是 m 加 n 要小于零， 把 n 等于二分之一 m 带进来，二分之一 m 减三带进来，那就是 m 加上二分之一 m 减三小于零， 二分之三 m 小 于三， m 还是小于二，当然还得大于零，包括等于零。确认一下，如果它等于零，也就是点 t 在 y 轴上，这个时候 m 等于零， n 刚刚好，就应该等于这个负三，这个也没问题，因为它两个 共引点都是零，都好负三，所以这也可以。那这样一来，它就是 y 等于二分之一， x 减三， 在 x 大 于等于零小于二的这个情况，那么他的这个线就是从负三这里开始，零的话，负三这里开始，到这同样这个这个是空心点， 这个也是空心点。好，各位同学到这，咱们这道题基本上就差不多快做完了，剩下的在第二项线，第二第三项线，那就是同理，对吧？同理我们都可以找到这个 t 点的轨迹， 那这个我就不给大家算了，你们有兴趣自己算一下，验证一下。基于这个老师出题的精心设计，大家可以想象得到那个情况应该是什么样的，在那两个情况下，应该是 都跟刚刚好跟这个子线接上，所以实际上在第二项线他应该是这根线，第四项线应该是这根线。同时我们再根据刚刚分析的这个前提，确认两个角的 两子线的两个端点都是空心点，因为 t 在 这四个位置的时候，他跟我们一开始的直线是怎么样的？是平行的，大家能看出来这两个点刚刚好是和 y 等于二 x 减十平行， 是吧？所以 t 在 这两个位置不行，这两个端点刚刚好和 y 等于负二 x 负 x 减十平行，所以这四个角上的点是不行的。那所以到这道题最后是什么？别忘了这个 t 是 在哪里？在圆 a 上， 咱们只要找到这个圆 a， 画一个圆，让它圆心在一零，全面细致有驱动，让它和我们的这两根子线两个绿线有交点，因为是存在，只要有交点就行。那大家可以看到刚刚好大到刚刚好，这个半径是一的时候， 你符合题，并且取等确认可以取等号，可以取等号，我们继续再走，让这个圆继续变大，我们可以发现这边跟右边一直相交， 碰到右下角这个点，小心一下，这个时候吗？可以的，因为上面还有一个点是吧？右下这个不行，但上面还有一个点，所以继续走，继续走，只要跟 绿线或者子线除了这四个点之外的地方行，所以只要有交点就行，即使过这也不用担心左下方还有那一直到经过左下方的这个点，那就不行了。 左下方这个点横坐标是负二，纵坐标是负四，他跟一零这个点之间的距离刚刚好是一个三四五的直角三角形，很容易算出来应该是等于五， 但是注意我们刚刚画的空心，这个五是取不到等号的，那到这基本上这道题就做完了。但是如果作为一个极其严谨的人，最后还要注意一个小的细节。什么小的细节？我们刚刚说了，这个线段两个端点，除了不跟这两根线平行之外，这两个端点也不能在线上。 所以这道题命题老师还是比较善良的，他给的这两条线，一个是 y 等于二 x 减十，那大家会体会一下，这个 y 等于二 x 减十，这条线是在这的 这个时候，那些 t t 在 这个平行四边形上，这个 t 跟这条线是没交点的，同样这个 y 等于负 x， 这个减十他应该肯靠这边也跟这个平行四边形没有交点，所以不用担心 t 点落到这个线上，那这样我们就可以确定 两个前提都是满足的，那最终这个 r 的 范围就是大于等于一小于五。 ok， 所以 各位同学，这道题最后一问，说实话，你别看算的结果挺简单，但在考场上需要我们同学们花的时间不短。 ok， 首先是在多动态的情况下，你能不能通过洞中找定的这样一个意识去看明白这道题我们研究的是什么？ 其实研究的就是 t 一 t 二这两个点和这个 o 点的关系，是吧？能不能看出有两大类情况，就是 t 一 t 二在点 o 的 异侧，就点 o 在 线段 t 一 t 二上和 t 一 t 二在点 o 的 同侧， 这个同测的时候能不能用这个解析法，通过这个计算找到他的轨迹，特别是四个向下，你考场上还是要确认一下的。最后都找完以后再对这个圆是吧？圆 a 他 做一个放缩圆的，全面性的有系统。 最后他还有一个前提，确认这个 r 等于五，这个地方不能取等号是吧？还得把它排掉，所有的这一些如果大家都抓住了这道题才能完全出来。

大家好啊，那一起来看一下二零二六年石景山的初三下一模的第二十七题，几何综合的题目啊。嗯，这里面给了一个三角形 a、 b、 c， 然后这个 a、 c、 b 是 九十度角， a， b、 c 是 一个二十八角， 然后大于零，小于四十五度， d 是 b、 c 延长线上的一个点 d、 c 连接 ad， 将线段 ad 绕点 a 逆时针旋转一百八十减去二二八的度数，那么就是 a、 d 等于 a、 e， 而且角 d、 a、 e 应该等于一百八十减去二二八， 得到线段 a、 e 过点 e 再做 b、 c 的 垂线， a、 c 应该平行于 e、 f。 那 么第一问是用等式表示角 d、 a、 e 和角 c、 a、 b 的 数量关系，并证明。 那么 d、 a、 e 是 一个一百八十减去二二八，而 c、 a、 b 的 话，你也可以很容易发现它是九十减二八，那么这两个角放在一块，很容易会发现 d、 a、 e 是 角 c、 a、 b 的 二倍。 接着重点看一下它的第二位，做线段 e、 f 的 垂直平分线，垂足为 g， 交 a、 b 于点 p， 交 a、 c 于点 q。 一 提补充形，用等式表示线段 p、 q 与 d、 f 的 数量关系， 那么这个关系我们用尺子量一下之后，会很容易发现， d、 f 大 概就是 p、 q 的 二倍，但是据证明呢？怎么证明呢？呃，那么首先这里面提到了一个 g 是 一个中点， 然后 p、 q 又是 d、 f 的 二倍，很容易会想到会不会是误差线，但是这里面 g 是 终点，然后 p、 g 也是平行于底边的，但是呢，这个 p 和 q 它都不是 a、 c 和 ab 的 中点。然后呢？呃，我们如果要是找 b、 d 的 一个中位线呢，应该是找 a、 d 和 ab 的 一个中点 a、 b、 c 里面呢，也不太行， p q 他 也没有办法把它延长到一个 p q 的 二倍。最关键呢是我们前面的这个条件呢，是把 a、 d 绕点 a 逆时针旋转一百八十度减去二二八的度数， 那么这个逆时针旋转一百八十度减去二二八，加上角 b、 a、 c 等于这个 d、 a、 e 的 一半的话呢，它有可能是半角模型。然后还有一个可能性的话呢，是手拉手型， 那么首先可以把这个 a、 b、 c 然后呃对着 a、 c 做一个镜像， 就把它轴对称过去，然后我们就能够得到一个一百八十度减去二二发的两个等腰三角形，可以得到一个手拉手。那么做完手拉手之后，应该是 a、 k、 d 这个三角形和 a、 b、 e 这个三角形全等，所以把 b、 e 给它连上，然后做完这个手拉手之后，会得到一个非常关键的条件，就是这个角 a、 k、 d 应该和角 a、 b、 e 一 样都是呃二八角，那么这个 ab 它就是一个角平分线，那么我们就有可能会用到一个角平分线的模型， 那么角平分线的模型呢，应该是过点 p， 然后 b、 e 和 b c 上可以做垂，或者过点 a 往 b c 和 b e 上做垂，那么如果是点 a 往 b、 e 上做垂的，我们就应该会得到一个 呃角模型，然后呃，比如说这个是 h 的， 应该是 abc 和 abh， 这两个三角形应该要全等， 那么这个这个时候我们再去看 p、 q 和 d、 f， 就 会发现我们应该没有特别好的办法，能够使得这一个 b、 f 的 一半，让它等于 p q 的 一半，让让它等于 p q 的 一个二倍， 所以我们很有可能需要把 p q 或者是 df 再给它额外拆分一下，那么这个 p q 呢？应该是很难看到应该怎么拆了，但是 df 呢？会发现这个 cd 这个长度，它就应该等于这个 e h 这个长度， e h 这个长度就等于 bc 这个长度后，如果我们想要把 p q 做一个拆分的，呃，就比较适合把 p q 往下做一个垂，比如说是偏， 那这个 c n， 它应该是等于 p q 了，因为我们这里面 p q 它和 b c 是 平行的，所以这个 p q c n， 它很容易证明这是一个矩形，那么这个 c n， 然后我们想要让它 呃，也就是说我们先要证明的这个内容应该是 c d， 再加上这个 f n 应该要等于这个 c n， 然后这个 c d 呢？我看左边这个地方，他应该是等于 k c 减 k d k c， 他 等于 b h， 呃，这个 b e， 他 又等于一个 d e， 然后这边有一个 b c 也是这样，所以我们可以考虑一下，让这边再做一条线段，让它等于 b e， 然后这边有一个 bc 也是这样，所以我们可以考虑一下，让它证明它等于 n f， 那么直接做完之后呢，会发现并没有什么特别好合适的用处。做完之后会发现如果把这个 e 和 p 还有这个点都做出来之后，会发现看起来好像是三点一线的，而且呢这一 p b 看起来非常像一个直角， 那我们如果要是这个角度可以看到了，我们就可以尝试从这个角度去解决一下问题。那么就因为我们现在 ab 是 平分这个角 hbm 的， 我们又想让 b e 等于 bm， 那 也就是说其实这个 p 它只要是这个 em 的 中点就可以了。那么这个时候就会发现，我们最开始就特别奇怪的，这个 em 的 中点用的 因为 g 是 呃 e f 的 一个中点，所以如果我们过点 g 做一条平行线，和这个 e e m 交交交点的话，它一定是这个 e m 的 中点，但是呢，这个中点我们不能确定它是不是在 ab 上， 然后呢另外一个角度呢？就说，呃，如果我们这是一个角平分线的一个情况下， 然后我们过点 g 做的这个平行线，他一定也得是和 ab 的 交点的时候，他才能这个 b m p 和这个 b e p 才能够全等。在其他的位置的这两个三角形他应该都是不全等的，也就是说这个 p 他 就应该是 b p a b 还有 e m 这三点应该就交在这个 p 上面， 我们不能用这个方式去说明他，我们就可以把 e p 延长连上，然后延长交在这个点 m 上，然后去证明这是一个终点，那现在 g 是 一个终点，然后 e p 又平行于底边， 那么这个时候 p g 它一定是 m f 的 一半，然后呢？呃 p 点也一定是 em 的 终点，但是我们现在不能够确定的是这个呃 b e 是 否等于 b m a b 是 否垂直于 b m， 我 们能够确定如果我们把 e p 延长并且交在这个点 m 的 时候， p 这个点 p 一定是 em 的 一个终点， 然后再叠加这个角平分线的一个情况呢？呃，我们会发现呃 b 既然是 e m 的 中点，然呃这个 a b 又平分角，呃 c b d 这一个角，所以呢？三线合一，所以这是一个垂直的，这样的一个情况下， b m， 它就等于 b e， 那我们现在 c m 就 可以等于 dm。 把刚才比较关键的部分说一下，到目前为止，我们证明了一个最关键的部分，就是这个 cd， 它应该等于 cm， 那 我们想要证明它最后的部分，应该还要证明一下 m n 等于 n f， 那 这个就可以很容易发现， p g n f， 它应该也是一个矩形，然后 n f 就 等于 n f， 那么这样的一个情况下， p q， 它就等于 c n 等于 c m 加 m n， 然后 b f 的 话就是 c n 的 二倍，那么最后就可以证明，呃， b f 等于二倍的 p q。 记得点赞关注哦！

大家好，那今天来看一下二六年的初三的石景山英文的单数综合题目啊。呃，那么这道题 需要构造一个新的二次函数来进行分析，然后先看一下它的题目啊。呃，首先是这个抛物线经过一斗零，然后用含 c 的 式子表示 b， 里面又提到了 c 大 于零，所以我们用 c 表示 b 会比用 b 表示 c 要更好一点，因为我们有 c 的 一个取值范围，把一到零带去之后，应该是一加 b 加 c 等于零，那么 b 就是 等于负一减 c， 那 么求完之后，这个抛物线应该是 y 等于 x 方减去一加 c 倍的 x， 再加 c， 然后可以发现它应该过两个固定的点， 这是一斗零和 c 斗零就是和 x 轴的交点啊。那么第二问是，如果抛物线与 x 轴的两个交点分别记为 a 和 b， 那 么就一个是一斗零，一个是 c 斗零， 那么提到是 c 大 于零，但是并没有提到 c 是 不大于一，所以 a 和 b 在 c 大 于零和 c 小 于零的时候，要进行下分类讨论。与 y 轴交于点 c， 那 么 c 呢？就是零斗 c 过点 p， t 豆零做 x 轴的垂线交抛物线于点 m， 那 这个 m 的 坐标我们是能够写出来的，就是 t 豆 t 方减去呃，一加 c 倍的 t， 再加上 c 交直线 bc 于点 n， 那 么 bc 因为 b 点的位置它是被和大于一和小于一它是有关系的。所以呢，大于一和小于一的时候， bc 这条直线是不同的。 第一问是，当 c 等于二， t 等于一的时候，直接写出 m n 的 长，那我们把 m 点和 n 点的坐标都求出来就可以。而且 m 和 n 我 们会发现有一个特殊的点，就是他们的横坐标都是 t， 那 么也就是他的纵坐标，我们就可以用 m 的 纵坐标减去 n 点的纵坐标，然后写的是线段长，所以我们要取一下绝对值，那绝对值就又会出现一个分类讨论的情况。 那么我们先做一下第一问，我们大概求一下，会发现这个时候 m 是 一斗零和 a 是 重合的， n 的 话是 一斗一，这时候 m n 的 长就等于一，然后来看一下它的第二问， 已知点 p 从点 a 运动到点 b 的 过程中， m n 的 长随着 t 的 增大而减小，求 c 的 取值范围， 那么我们刚才去分析的时候就会发现 c 大 于一和小于一会有 a 和 b 的 一个分类讨论， a 和 b 的 分类讨论又会导致 b， c 会出现一个分类讨论，那么 m n 的 长它是个带绝对值的，那么还是会出现一个分类讨论。 所以这么多的分类讨论情况下，我们是一定要对 c 进行一下分类的。那么首先去掉 c 等于一的情况，这个时候 a 和 b 是 重合的啊，不存在增大而减小或者是增大而增大的一个情况。 那么首先先求一下当 c 大 于一的一个情况，这个时候我们去求这个 m n 会发现它最后应该是 t 方减去 c t 的 一个绝对值， 那么它的一个增减性呢？应该是像这样的一个图像，就是把呃零到 c 的 部分要给它翻上来，所以我们要想要 它从一到 c 呢？我是一个减，就是增，随 t 增大而减小的时候，这个一应该得在二分之， c 就是 它的对称轴的一个右侧，对一应该是大于等于二，应该是小于等于二， 所以在 t 大 于一的时候，我们的取值范围就是 c 大 于一，小于等于二。那接着我们要讨论一下它在零到一的范围啊。 那接着我们来看一下 c 大 于零小于一的一个情况，这个时候我们把 a， b， c， m， n 都求出来，然后 m n 的 绝对值它就变成了一个 t 方减 t 的 一个绝对值，那么这个它就不包含 c 了，它的对称轴是二分之一， 但他的曲值范围，我们 t 的 曲值范围应该是 c 到一，也就是说我们这个呃 m n 应该是在 c 到一上面，是一个随着 t 增大而减小的一个范围， 那么一就是在这个端点上，那就只能是在二分之一到一的一个范围内，那么呃这个 t 等于 c 就 应该是在二分之一的右侧，这样我们才能保证从 c 到一都是一个 t， 呃就是 m n 随 t 增大而减小的一个范范围啊。那么最后的呃， c 的 取值范围就是 c 大 于等于二分之一小于一，或者是 c 大 于一，小于等于二，就点赞关注哦！

这两天呢，我们北京正在进行一模，主要说的是我们初三的孩子啊，那么初三的一模考试里面呢，昨天海淀已经开考了，今天是西城，那么陆续向东南朝阳啊都开始推进，其他城区也开始按照这节奏往前走。那么从我们目前看到的一模体型来讲，有几个点 我觉得家长要重视啊，无论是初三的还是初一、初二以及小学，家长们仔细听一下，因为这代表了我们未来的高中的选拔标准。 其中第一个核心呢，就是我们的整个的官方命题，由我们的求稳到了我们官方命题，希望能够有更明显的区分度。这里面的核心原因是因为我们知道现在的很多头部孩子其实已经通过我们直升走了，那么剩下的孩子呢，也是希望从考试中选出一些有能力的， 选出一些有我们学科潜力的孩子，在高中里面给我们优质高中做一些学员的补充。那么从我们现在的大减法来看，我们中考的 呃分数减到五百一十分，每一分的含量都在提升，所以说我们把区分度拉大，我认为是很必要的，在这个背景下，坚持我们的已决定好，坚持我们的思维性训练，让孩子分数更具有代表性。第二个点呢，我认为是因为咱们在二零二五年的时候，属于我们北京中考的 个远点嘛，二五年的体型相对来说还是偏稳的，那么二六年呢，从我们的一模考试可以看出来，一模考试的难度比较高，整个的考试更加偏向于选拔性， 确保的是我们生源的一个分层和一个比较更清晰的一个区分，这里面呢，我认为还有两个核心的因素啊，一个呢是在于我们的这届中考人数比上届增加了一万七，到达了十三万多。 然后呢第二呢，就是我们现在的校额到校在不断的增加名额，那么校额到校比例的扩大，今年的话校额到校很有可能突破百分之三十的中考比例， 那么这样的话，通过我们中考分数再拉一下我们孩子的区分度也是有必要的。第三个原因点呢，我认为一模本质上无论是高三一模还是我们初三一模，它都是非常重要的一次模，到时我们一模考试的核心是考漏洞， 并不是考我们的完美性。因此一模考试的过程中，我们校验我们现在的学习方向，然后呢去考察我们孩子现在的漏洞问题。 那么在一模考试中暴露我们孩子核心问题，校准我们的复习方向，设置一些细节和规范性的坑，让我们孩子能够倒逼自己的学习流程和我们的学习细节问题，这样比较能够让孩子正视这次我们的中考，并且提升孩子对于考试的敏感度。 而且我们的一模考试采用的是统一命卷压分判卷，可以让我们的整个考试分数更加真实，便于我们的学生和我们家长进行精准的定位，从而提前去锁定我们的目标高中校，去了解高中校的教学情况和高中校的培养逻辑，方便家庭做选择。 第四个点我认为也是很关键一个点，从我们的一模中可以看出来我们的学科命题方向，其实我们从一模可以看出来，我们的语文和英语比较偏重于我们的基础背诵，如果说我们基础背诵的分数我们得不到，那么整个的语文英语的丢分会比较惨烈。那么第二呢，我们的数学学科比较偏重于我们 情景化，比较看重我们的步骤，我们的语文和英语其实对于走的自形自意以及我们的标点符号要求也比较高。那么最后呢，就是我们的物理， 物理对于我们实验的要求还是很高的，实际的实验的操作以及孩子们对于我们实验的核心内容的把握程度，决定了我们最终的得分率。最后呢，我建议家长们把这次一模考试当成一次很重要的一次摩羯实验，通过一模考试找出孩子现在的漏洞点和一些问题来， 那么实际上来说，真正的中考成绩会比一门考试要高，那么给孩子鼓鼓信心，但是在鼓鼓信心的同时，找出我们未来的复习重点，希望每一位孩子最终都能够取得好成绩，去到自己意向的高中。

大家好，下面我给大家讲解一下北京二零二六年石景山区圆中题型。我们看下题，如图， a、 b 是 圆 o 的 直径，那么直到见直径，就要想到直径所对的圆角角是直角， 点 c 在 圆弧上切弧 a、 c 等于弧 bc， 见弧相等，我们就会想到弧弦、圆心角和圆周角的关系，弧相等所对的圆周角相等所对的弦相等所对的圆心角相等。 点 d 在 弧 bc 上连接 ad 过点 c 做 ab 的 平行线，我们标记一下 a、 b 会与 ec 是 平行的，那交 a、 d 延长线于点 e， 那 第一个想正下 c， e 是 圆弧的切线，那么正切线时，我们知道连切点正垂直就可以。因为点 c 在 圆上，所以我们需要做的辅助线是连接 ac， 我 们只需证明 oc 垂直 c、 e 即可。那么回到途中，我们看一下 弧 a、 c 等于弧 bc， 所以 说我们看见第一位，因为啊， 弧 a、 c 等于弧 bc， 当我讲到弧相等所得的圆心角相等，那么所以就会得到角 b、 o、 c 等于角 a、 o、 c。 然后呢，又因为 角 b、 o、 c 加角 a o、 c 等于一百八十度，那么所以角 b、 o、 c 等于九十度， 那角 b、 o、 c 等于九十，我们可以标记一下九十。那么又因为题中还有是 ab 平行 e、 c， 所以 说又因为 ab 平行 e、 c， 所以 角 o、 c、 e 也等于九十度，那么所以 c、 e 为圆 o 的 切线，那么第一问我们就解决掉了 啊。第一问还是比较轻松的，我们只要只需正角 o、 c、 e 等于九十度就可以了，所以我们见平行线就会想到平行线的性质，两直线平行同旁，内角互补。 第二题我们看一下，那告诉我们角，呃，告诉已知条件是 tangent 角 b a d b a d 啊，这个角是等于三分之一啊，这个角是已知的，那么 o a 等于三，告诉半径等于三了，那么求下 d， e 的 长，求下我们的目标线段是这条 啊，这个线段，那么我们知道在原宗啊，或者是己宗或平四时，我们求线段时啊，我们都会考虑三种方法，一个呢就是勾股定力，另外一个就是 三相似三角形，还有就是锐角三角函数，那么一般是都会选择其中两种或者是三种，那么我们看一下想求 d 的 长，我们想，如果用勾定的话，要把 e d 放在某一个直角三角形中，那么 e d 呢？要放在直角三中，需要做辅助线， 所以呢，用勾股定律直接来求第一的方法可能是不行的，那么我们可以采用其他的办法，比如说相似啊，对啊，做一个平行间的八字相似啊，如果做八字相似的话，那第一呢，也不会放在某一个赛形中， 那么此路也是不通的，所以我们可以选择用锐角三函数来算一下。可以了，那么我们初步分析，想求 e d， 我 们可以采用什么？用 a e 的 长去减去 a d 的 长即可，这是我们的 主体思想，那么想求 d e， 就 得要算出 a e 的 长和 a d 的 长， 那么 a， d 的 长还是比较好算的。 a、 d 长看一下，因为角 b， a、 d 的 正切等于三分之一啊，三分之一就知道我们的半径等于三，那么直径就等于六，所以我们就会要需要连接一下 b d， 那 么因为啊， a b 是 圆 o 的 直径，所以会得到角 b， d， a 等于九十度。那么所以我们可以设谁设 b， d 等于 x， 则 a、 d 就 等于三 x。 所以呢，在 r t 三角形 a、 d、 b 中就会有 x 的 平方，加上三 x 的 平方等于六的平方，然后解得 x 等于五分之三倍的根号十，那么所以 a、 d 等于三 x， 所以 等于五分之九倍的根号十。 好了，那么 a、 d 算完了之后，我们只需求出 a、 e 就 可以了。那么 a、 e 怎样求呢？也是根据 ab 平行 ec， 所以 角 b、 a、 d 的 正切值与角 e 的 正切值是一样的。那怎么办呢？我们需要把 a、 e 放在某一个直角三角形中吧，那我们就把 e、 c 往这边 延长，然后呢，过点 a 做 e， c 的 垂线，交 e， c 的 延长线与点 m， 那么做完这个垂线之后呢？我们知道角 a、 o、 c 等于九十，然后切线呢，角 o c， m 也等于九十，那么我们又做了一个垂线，说明四边形 o a， m， c 是 一个矩形， 又因为 o a 等于 o c， 那 么所以四边形 o， a， m， c 是 一个正方形。 过点 a 做 a m 垂直 ec， 将 ec 延长线 上点 m， 嗯，接下来我们再想一下，因为 角 a， o， c 等于角 o， c， m 等于角 a， m， c 都等于九十度，所以四边形儿 o c， m a 为矩形，又因为 o a 等于 o c， 所以 四边形 o c， m a 为正方形， 那么所以 a m 等于三。 因为 ab 平行 e c， 所以 角 b， a， d 等于角 e， 那 么所以 em 就 应该等于 am， 去除以摊进它， e 就 等于三，除以三分之一等于九。 那么在 r t 三角形 a e， m 中， a e， m 中，那么我们的 a e 就 应该等于根号下 am 的 平方就是三的平方，再加上九的平方就等于三倍的根十，所以 第一就等于五分之六倍的根式。大家听懂了没有？请点赞加关注，谢谢！

随着咱们北京中考啊，期末考试越来越临近，咱们各位同学，各位家长也是越来越着急，越来越焦虑，时间这么紧， 我到底该复习什么，怎么样去备考能让我最后的这几天能够更加有效？大家都知道，在考前你要准备的东西无非就是那些最难的题目，它的通用的方法，它的 考的热点到底是什么样的，自己现在掌握成什么样了，以及这些试卷上有哪些易错点，这些易错点我应该如何去进行规避啊？包括碰到一个题目特别难，突然卡住了，如何在考场上对自己进行一个及时的调整？ 如果你已经在考前提前把考场上可能见到的所有情况都让你一一预演，提前做好准备，那么在考场上是不是就会发挥的非常好？所以我们总是在每年的这些大考之前，给大家准备这样的一个点睛， 在考前帮同学们再给点拨一下最有可能考的热点，最通用的答题方法，以及考场上最聪明的考试策略呀，帮助我们提升考试发挥的稳定性，考出自己的最佳的实力出来。如果你想了解，打出点击两个字，我给你一个更具体的方向。

海淀、房山、西城一模陆续出分了。但我告诉您一个扎心的事实，百分之九十的家长死死盯着那个总分，其实是一个没有用的数字。真正决定咱家孩子能不能进重点高中的，是区排名和小题的得分率。 我在北京做了八年升学规划，告诉您，一模并不定生死，但他是咱家孩子中考前最后一次全科体检。体检怎么看呢？两件事。第一，做诊断， 不是看总分高低，而是看小题的得分率。基础题丢分是知识漏洞，压轴题空白是解析能力不够，病灶不一样，药方也就不一样。 第二，看定位。二零二六年北京中考满分五百一十分，校额到校门槛四百三十分，全区统考，统一阅卷，咱家孩子的区排名才是他在中考起跑线上的真实坐标。 那么，一模后具体应该怎么做呢？接下来的四个动作，请直接照抄。第一，别再盲目刷卷子， 把一模错题逐到去复盘，必须弄清楚，到底是知识点没掌握，还是审题习惯有问题呢？搞清楚了，咱们再往下走。 第二，数学抓高频区分点。今年海淀教研会明确说了，代数综合里的最值问题，存在性、任意性辨析，复习优先级拉到最高。 第三，语文基础分一分都不能丢，字音、字形并句、标点、古诗文默写，每天花十五分钟过一遍，这些背了就一定能拿分， 不拿直接被甩出九号大街。第四，用不同区的真题做横向对标。海淀偏灵活，西城重基础，至少刷个两到三个区的往年真题，掐死时间模拟考场。 总之，一模不是终点，而是您和孩子在最后两个月快速提升的精准地图！ 想拿各区往年一模真题和考点拆解的评论区打出三、加油！私我发您，关注我，北京升学不迷路！

今年我觉得最有可能会发生的一个大的变化，也是今年咱们北京的数学的核心到点，那应该就是起动，北京中考稳中有变，今天我们一起来看一下北京中考在这几年考试当中出现了一些变化，可以简单的预测一下二零二零年北京中考可能会在哪些体状出现变化，也给孩子一个复习的方向，对 学家长大家好，我们来看一下近几年北京中考出现了哪些变化。第一个是二零二二年最初咱们中考历史舞台的一些题，第一个是三次图，第二个小函数的探究，第三个是多元一次方程与不懂事的一个方案问题，第四个解答这个作图问题，第五个二次函数的探究问题，第六个是集中的重点问题。在这里边各位家长和同学一定要注意，北京 中考考试内容是很稳的，考试知识点也是很少会发生特别大的变化的，但是在每年都会有五至六道题会出现一些变化，那么这五到六道题对于孩子的一个能力的要求就会非常的高，也是每年我们选拔的一个核心好， 从二零二二年开始，我们的变化特点也几乎是比较稳定的，二零二三年是相对来说比较难的一年，那么这一年发生了哪些变化呢？我们刚说了五到六个，我们现在一起来看一下。 第一个变化让学生感受最明显的就是选择题的第八题，考了一个小几宗的内容，但是第一年变化难度不是很大。第二个变化就是公，就是我们所说的填空题的十六题，从我们之前的方案的一个罗列美举的问题，变成了一个时间的一个优化问题，这个难度相对来说还是比较大的。至此，咱们的填空题的十六题，一直在和各位同学说 是第二问，直接放掉，争取拿一分好。第三个变化是应用题，东上了历史舞台，这一年考察的是图像类的应用题，一个我们家中经常会用的一个话，在这里面去进行考察。第四个变化是小函数，从两者的比较求 b 的 变成了三者 比较求避了，虽然说有变化，但是难度不大，对于孩子来说，他的变化微乎其微，但是也确实是卷子的一个调整方向。接下来就是变化比较大的两个点了，也是二三年比二二年难的问题。第一个就是二五题的函数探究问题，这道题从我们所谓的二次函数探究转化成了双火类的函数探究，它的变化非常的大， 导致很多学生呢坐起琴来可能没有那么明确的数值，主要是估值胆子不大，导致自己可能会吹九分九啊。接下来就是一个非常重要的东西，就是几宗，几宗在二零二三年发生了变化，将手拉手问题和终点问题结合在一块，也是网上很多老师说的进入了双模 型或者多模型时代，那么几宗的难度比二零二年高了很多，比二零二一年高了很多，所以这个变化对于我们来说是影响最大的一个变化，这是二零二三年，二零二四年北京中考 依旧稳中有变，在这里边作图，问题再次回归，然后成为了选择题。第七题，这是我们所说的第一个变化，难度不大，大家几乎都能做出来。第二个是从我们所说的第十四题从边长问题变转化成了角度问题，我觉得这个变化非常合理，各位家长可以看一下，前面的十四和十五题，求的都是边长。其实有一个知识点的一个 雷同的一个情况，从我们二四年开始，一个是角度问题，一个是编打问题，这个对于学生的考察就会更加的全面了。好，二四年的十六题也发生了一个变化，其实还是优化问题，但是它的场景设置的不一样，那么我们的考察的思维是完全不一样的。所以十六题让孩子在平时的时候去 练一些题没问题，但是大量去练一些题，我觉得收获不大，口才比较低，各位家长和同学一定要注意这样的一个变化。好，接下来是第二十一题。应用题从我们二三年的图形类应用题转化成了文字类应用题，这也是一个小的变化，很多孩子在读文字的时候会比较懵，这里边一定要提升一下自己的阅读理解能力，咱们 北京考试现在的阅读理解能力要求还蛮高的。接下来就是小函数从求 k 的 内容转化到了求 b 的内容，这个变化大不大呢？非常的大，因为在我们求 b 的 过程当中，我们是可以直接使用代入法求出最后答案的，但是求 k 的 话不行，因为你直接代入会漏掉答案。这个变化在当年也丢出现了，不少学生丢分，拉掉了北京很多的卷卷分。 接下来就是一个二四年中考刚结束，最火爆的话题就是我们所说的原宗，二四年的原宗难度相比 前几年的南中，难度增加的非常的多，很多学生做的都不适应，当年考试出来，很多学生都哭了，说圆中变得巨难，这也是我们所说的二四年发生的变化，一共也是六个左右，还是稳中求变，同时二五年我们的变化也是这个样子的。第一个也是大家能明显的感知到的一个东西，就是选择题的第八题，从咱们的小几中连续考了两年， 然后转化成了繁体函数与几何综合上的问题，这个变化我觉得非常的好，契合北京现在的中考，接下来的填空题当中的一道小题，考察了命题，因为知识点简单，所以说学生对于这个东西的关注度很低，但是我们一定要注意的是 填选会产生小变化，这一点大家一定要注意好。接下来十六题变成了一个生产效率优化问题，虽然都是优化问题，但是三个考试的方向完全不一样。 好，接下来的题目应用题再次的转化成了图形类的问题，所以我们大胆的预测，今年的应用题，如果不出意外应该是文字类的应用题，它可以是既保证稳，又在稳中有变，这一点各位一定要注意。接下来就是袁宗持续了二十四年的一个难度，但是在问法上出现了一些变化， 二四年的边长笔，二五年的是三角函数，那这些东西都是语言里边的非常综合性的内容，也是大家在之后做园农当中需要注意的，也是我们后续语言的考察方向，也就是说从二四年开始，园中作为综合题正式登陆了历史舞台。接下来就是去年热度最高的一个话题， 北京中考在每年考试的时候都可以引出一个非常火爆的数学点，那么在去年的火爆的数学点，那毫无疑问就是代数综合，从我们所谓的连续三年四年的大小问题，转化成了代数的新函数构造与最值问题，这个对于学生的影响非常的大，尤其是中 等同步偏上的学生影响特别大。这是二五年的北京中考变化，我们会发现他们依旧是六个左右的变化，那如果按照这样的规律，我们会发现北京中考的命题方向就是这样子的，稳中 求变，那么在二零二六年的话，我们的变化应该也是五到六个左右。所以学生在做今年的模考与去年中考的题目的时候，一定要注意有哪些东西可能是我们需要稍微拓展一点点的。第一 个是什么优化问题，这咱不说了，连续几年都在考，考试的内容也都不一样，那么二六年如果持续性的考优化问题，那么这道题他的考法和前面三道题的考法肯定不一样，这个大家一定要注意。 第二个是应用题，这个咱们刚刚也讲到了应用题如果不出意外的话，应该可以考文字类应用题，这是第二个，各位家长和同学一定要注意。前面三年咱们考察的内容是什么？是给一次应用一元一次方程和二元一次方程，那么也有可能会转化成考分式方程和一 二元一元二次方程，这个大家一定要稍微注意一下。第三个，我真的觉得小函数这道题可能会在求法或问法上去进行调整，它依旧会考察 k 和 b 对 于一次函数的一个影响，但是如何的去设置题可能会发生一些变化，导致很多题在这道题当中丢分，尤其是中等程度和中等处 天下的学生需要稍微注意一下。这道题很关键，这接下来原宗的难度可能依旧会保持二四年和二五年的难度持续增加，或者说保持不变。这个原宗他既然已经成为了咱们三大综合，所以家长和同学也能感受到今年的模考，以及我们所说的三月月考临模， 这些难度都非常的大，这一点各位一定要注意。接下来也是，尤其是在二五年，手拉手加终点问题的考试内容已经非常简单了，当时我的学生说六分钟解决问题，我也相信他是六分钟解决掉的，说明这个几宗的手拉手的构造学生已经学的非常的熟练了，那么我们接下来就要去调整方向，所以他也有可能会引爆今年北京 中考的热点。除此之外，这里面已经有五道小题了，按照我们刚刚说法，在前面的填空选择当中也会出现一个小题的变化，因为难度不大，所以大家关注度不高，这一点各位也一定要注意。 新定义在前两年一直有人说新北京要放掉新定义，考察一些新的问题，我觉得新定义在近几年是不会出现太大的调整的，当然这是我自己的判断，原因是在于新定义，是我们北京非常 好的一个考试题，也是全国包括高考都在往这个方向趋近的一个考试题，也是我们北京最具特色的一个问题。他把我们的数和我们的形结合的 非常的巧妙，做出的图形也非常的优美，我觉得这道题北京应该会继续延续考察，这个就是我们对于北京中考近几年的分析，也希望这个分析呢能给大家带来一点点提示和帮助。各位同学在做题的时候，尤其是这几道题，要给大家带来一点点提示和帮助。各位同学在做题的时候以防出现了变化。

今年的海淀区啊，西城区的初三英国数学都考完了，海淀西城就基本代表了咱们北京的中考的风向了。首先先说说难度，总体来讲呢，今年海淀的英国的数学试卷难度和 咱们去年中考和往年的英国考试的难度都差不太多。西城区的这条卷子考完以后，咱们同学普遍反映确实有一些难度。如果说这两条卷子做起来你感觉有一些难，那肯定是对新的一些方向些趋势需要了解一下。这两条卷子中 除了大家都知道的通用的结构，稳定的方向之外，有啥各自特点。我们主要就说这几个压轴题啊，像第八题 肯定是有新意的，他考的是一个带着新定义的一些属性的一个题目，所以这道题很多同学做起来就感觉像新定义了，这说明第八题的考察并不是固定的，像去年中考那样方便来做。那么考这两个区的填空压轴就十六题， 都是这种时间分配的问题，这种也是非常常规的一种考法。那再一个就是带中还是围绕着咱们步骤函数这种热点的方向展开，基本上也还是比较稳定的。而在几中上呢，这两个区的几中都考了一个重要的热点问题， 直角三角形、独等腰。如果你掌握了这个技术的话，这两个题目还是比较好做的，相对来讲七层的体重更灵活了一些，他对同学们要求比较高，但是用主角三角形啊，围绕在咱们的几大工具开发也是可以搞定的。最后就新定义的话，这种题目每年在阴历的时候，其 各个区还是比较放飞自我的，相对来讲海淀的稍微难一点，西省就相对简单一点啊，但是他还是有一些易错点的，对于范围啊都是要有影响。最后就是新定义中的计算，现在明显的体现出有一定的要求，同学们呢，还需要做一些重点的训练。 通过这两个区的视角大家看到，首先大家一定要坚持训练咱们最热点的考点，不要追求那些偏怪难的东西。这两个区 即使有难度的题目，考的也是最传统最常规的。那么这两区的这些压轴题呢，咱们也进行了充分的研究，我们还出了原创题，如果对这个原创题感兴趣的话，扣原创两个字，我们给你提供。

应该是去年吧，一个海淀妈妈，孩子一模七排前五百，按理说能够稳签六小强实验班了对吧？但就是因为少问了这么一句话，中考之后啊，直接就被丢进了普 通班，这个妈妈也是在校门口当场就哭了。那像这种惨剧啊，其实每年都在上演。一模签约的本质是什么？其实就是信息差，今天这个一模签约五要素，学会不踩坑， 看完直接拿着去跟学校谈。首先呢，咱一定要搞懂一模签约保的是什么？其实一模签约呀，无非就是北京的一些重点学校，根据咱家孩子在一模的区排名， 提前为咱们锁定实验班的名额。只要咱签了这所学校志愿，填了这所学校中考成绩啊，能够过这所学校的最低录取分数线，那就可以免除分班考， 直接保进实验班。那学校呢，其实无非也就是为了提前锁定优秀生源，咱做家长的，为的就是要防止孩子 中考失误啊，所以这个签约其实也特别适合平时考试发挥不是很稳定的孩子。但百分之九十的家长不知道的是，签了约，学校就一定会要咱们吗？那我告诉你，时间窗口，一旦错过，真就白签了。所以第二点， 一定要掐死签约时机。签约时间呢，一般是在一模出分后的三到五天，越顶尖的学校签的越早啊，学校开放日当天呢，咱必 亲自到场，带齐学校需要的所有资料，当面签约啊，晚一天名额可能就没了。那到了现场，学校到底看什么？很多资质不错的孩子，就是这一点没摸清，直接被刷了啊。所以第三要素， 钉死核心规则，那一模签约的核心规则其实就是一模的去排名，其次名模排名，然后校内排名。有的家长总来问啊，竞赛成绩， 竞赛成绩明确的告诉您啊，初中的竞赛在这个时候还真没有这么重要，一模一牌、零模一牌以及校内排名才是硬通货。另外呀，像东城、西城、海淀，绝对是不能跨区签的啊，石顶山、朝阳，嗯， 昌平的少数学校是可以跨区签的。那有的家长听到这里，心里就开始盘算了啊，那我是不是可以多签几所学校，这样更保险一些呀？ 特错啊，这么做，一个巨坑直接给我踩进去，三年努力全白费了啊！所以一定要记住第四要素，不要掉进多签陷阱啊！您签约确实可以多签几所学校，但咱们的第一志愿是不是只能填一所？比如说，您签了 a 校，又签了 b 校来保底， 结果呢，没考过 a 校，分数线直接就被 b 校录走了。这个时候，咱家孩子呀，就只能进 b 校的普通班，重点班想都别想啊，分班考也没有资格。那有的家长就问了，万一这次没考好，是不是就彻底完蛋了啊？很多家长呢，就直接放弃了。 其实呢，还是有一线生机的啊，因为理论上来说呢，二模和中考之后啊，有些学校啊，还是会有极少的补签，名额会释放出来，但说句实话，大多数是留给那些有门道的啊。所以这里再强调一点，签约和校额到校是完全不冲突的，强烈建议校额到校和第一志愿填同 一所啊！最后这五句话送给准备签约的家长啊，给我当面丢给目标学校，否则前面全白干啊！第一句，我家孩子需要区排多少才能报咱学校啊？第二句， 必须得是一专业一志愿吗？第三句，签约后保底是本校还是分校？第四句，进了实验班三年稳不稳？ 有没有什么淘汰机制？第五句，是口头协定还是书面协议？能不能留下凭证，带着这五句话去谈呢？保证你签约不踩坑。您家孩子一模一样排多少不知道能 签每所学校的家长，我来帮您把把关啊！下一期我来给大家讲签约现场话术，怎么谈才能够多，要保底好散会！

中考后才明白一模、二模、三模的意义。距离中考只剩不到六十天了，假如你从五一假期才开始冲刺二零二六年中考，就算基础差，考到五百五十到六百五十这个区间还是完全可以的，而且用不了一个月。期中周末是可休的，请相信我，按照计划去做。一个月，如果你真的不甘心于现在的成绩，那就抓紧时间再努力一下吧。 今天掏心窝分享中考后才悟透的模考心得，再附上全科精准学习规划。正在备考的初三升，一定要把模考用到极致，少走半年半路。一、中考后顿悟三次模考各有使命。 一、一模摸清底数，证实差距。一模是中考第一次全面实战检测，覆盖面广，贴近中考难度。这次考试让我看清了自己真实的学习， 暴露了基础不牢、知识点有漏洞、做题速度慢等问题。我不再自我感觉良好，及时认清和优秀同学的差距，针对性弱科基础，为后续补习定下目 标。二、二模，查漏补缺，优化方法。二模难度更贴合中考，重在检验一轮复习效果。通过二模，我发现很多十分不是不会做，而是粗心答题不规范，答题时间分配不合理。 我开始整理错题本，规范常考题型和易错点，调整做题顺序和复习方法，戒掉无效刷题，把精力放在薄弱题型和高频考点上。三、三模，稳住心态，整装冲刺。 三模更偏向适应性演练，重在练心态、练状态、练节奏。题目难，易贴合中考整体风格，不再纠结偏题怪题。我学会了放平心态，不被分数左右，情绪 保持稳定作息和做题手感，巩固已有优势，稳住基础分，调整好身心状态，以从容自信的心态全力迎接中考。二、 对应模考阶段，全科学习规划语文古诗词，默写文言文诗词，每天早读雷打不动十五分钟，不用理解背就完了。 阅读理解别再抄原文了。答题公式反复看对应题型直接秒拿重点专项训练就这二十个专题，直接拿去数学，每天只练计算题和统计概率三表函数这类固定套的题，直到你看到题手自己 就会动。二、十六个必备公式，做题的前提必须记牢十七个定律，熟练掌握应用题不用慌，每日一道压轴题，持续突破，稳拿压轴分。英语核心一千六百次，不求拼写，只看认识八大时态，把握好关键词，做题十万 烦心，填空别瞎选，满分技巧背会直接拿高分。英语作文别再多背了，浪费时间还抓不住重点，把这八大话题吃透，考场上不用限扣军拉分全靠不理。背公式就像背单词遇到计算题不会做，把这道题相关的公式先写上去， 写对公式就给一到两分。中考物理就这几页记记牢，考试别丢分，别再送分题便丢分底了，记住这几页步骤，受了一分几题直接不考科。 化学主要抓三大秘门，核心方程是每天背四十，每天搞定五个实验装置及操作，最后看一百三十一个题眼吃透，考试稳上九十加历史，扔掉厚书画一张时间尺，吃透稳拿分。大题别瞎编模板，直接套百分百题分神器， 政治道法实证押题热点，考前必须死科！万能答题模板拆析所有答题考试不用慌！常考假答题就这二十道，考前多读几遍，熟练掌握这七大必考题型，完整过一遍答题不用慌！以上内容均有电子版，六六六直接发给你！

大家好，下面我给大家讲解下北京石英山二零二六年一摸几宗题型来，我们看下题，如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度。角 a、 c、 b、 c 等于阿尔法， d 是 边 bc 延长线的一点，且 d、 c 小 于 bc 连接 a、 d， 将线段 a、 d 绕点 a 逆时针旋转一百八十度，减去 r、 r 法。我们在题中看到旋转的话，我们一般都会考虑手拉手模型，得到线段 a、 e 过点 e 做 b、 c 的 垂线，垂足为点 f。 那 么看一下第一题，用等式来表示 角 d、 e 与角 c、 a、 b 的 数量关系。那么这种题啊，我们一般都会选择用含 alpha 的 式子表示出角 d、 e 的 度数与角 c、 a、 b 的 度数。 我们看题，角 d、 e 是 由线段 a、 d 旋转而形成的角，那么我们很显然知道角 d、 a、 e 等于一百八十度，减去二 f， 那 么我们再看角 c、 a、 e 等于一百八十度，减去二 f， 那 么在这里， 嗯，因为角 a、 c、 b 等于九十。角 a、 b、 c 等于阿尔法，那么在 r、 t 三角形 a、 c、 b 中啊，角 b 等于阿尔法，那么角 a、 c、 b 等于九十，那很显然，角 c、 a、 b 与角 b 互余，也就是九十度减去阿尔法，那么我们就能得到两个角的数量关系，就是角 d、 a、 e 等于两倍的角 c、 a、 b。 那 么第一题就解决掉了， 我们看下第二题，嗯，做线段 e、 f 的 垂直平分线，那么这里出现垂直平分线了，那么我们就会想到垂直平分线的性质就是垂直平分线上点到线段，两个端点的距离相等， 那垂足为 g。 我 们先做一下这个辅助线， 垂足为 g， 交 ab 与点 p， 将 a、 c 与点 q 一 提一补，全图形用等式来表示 p q 与 d、 f 的 数量关系，并证明。 那么这个题呢，需要做图，那么这个题啊，做垂直平分线，我们尽量选择用尺规做图啊，过点 e、 f 分 别去大于二分之一， e， f 长为半径做弧，做出一个垂直平分线来。 好了，我们补完图之后啊，嗯，我们要用直尺去量，取一下 p、 q 的 长以及 d， f 的 长，初步来判断一下两条线段的数量关系。那么知道两条数量是两条线段数量关系是，要么是二倍关系，要么是相等，要么是根号二倍关系，很显然是 二倍关系。那二倍关系的话，我们方法呢，就是把长线段变短或者短线段变长来证明这个最终的结论。那我们看一下题中有一百八十度减二 r 法，我们其实第一步想考虑的就是 手拉手模型，但是呢，这个题中还告诉我们，第一问是角 d， e 等于二倍的角 c， e， b。 也说一个半角出现在一个大角的中间时，我们其实最应该考虑的是半角模型啊，半角模型， 那么我对于半角模型我们就不陌生了，我们怎么办呢？在 c f 上截取一点 m， 使得 d， c， d 等于 c m， c， d 等于 c m， 这是做的辅助线，然后再连接一下 am， 那 么做完这个辅助线之后，根据 c， d 等于 c m， 角 acd 等于角 acm。 还有呢， a， c 等于 a， c 边边能够得到我们这个两个三角形 a， c， d 全等于三角形 a， c， m， 然后呢，进而会得到 a， d 等于 am， 还有呢，角一等于角二吧，咱们标一下角一等于角二 好， d a e 等于两倍的角 c a b， 所以 会得到角三等于角四啊，这个我们不再推到了啊，就是等于角三等于角四， 嗯，然后呢，我们还有一个最重要的一个已知点没有用，就是一个 e f 的 垂直平分线是 q g， 我 们这个也没有用，所以呢，我们知道只要见到垂直平分线，一定会想到垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等，那么需要连接一下 e p， 再连一下 p f， 就是 有 p e 等于 p f。 然后呢，我们根据角三等角四啊，还有 am 等于 a e， 我 们还得会连接一下 pm， 那 我们再看一下这个三角形 会和这个三角形上，全在三角形 a p m 和三角形 a p e 中，就会有 a m 等于 a e， 角三等于角四，还有 a p 等于 a p， 就 会能得到三角形 a p m 全等于三角形 a p e， 所以会得到 p e 等于 pm。 然后呢，又因为 q g 是 e f 的 垂直平分线，那么我们还会得到 p e 等于 p f， 那 么也说我们这三条线段 都相等啊，都相等，都相等的话，我们知道这点， 这样的话，我们就知道点 m f 和 e 是 共圆的，就说，所以就是 p m 等于 p f 等于 p e， 所以 点 p f e 怎样共圆？ 又因为角 m f e 等于九十度，所以是 em 的 直径， 那么 e m 为直径的话，说明是 e p m 共线，所以点 m p e 这个三点上共线的， 当然我图啊，画的不是共线，那做完共线之后呢，也就是，呃，因为这样是 e f 的 中点，所以 p 是 e m 的 中点，那么就会得到什么 p g 等于 m f 的 一半，根据中线定例，那么接下来我们需要再做一个辅助线，是过点 p， 做一个垂直，垂直于点 n， 那 么我们根据垂直啊，那么很简单，知道 q c 四边形 q c n p 是 一个矩形，那么我们的 q p 就应该等于 c m 加上一个 m n， 那 我们的 d f 呢？ d f 就 应该等于 d m 加上 m f 也是等于两倍的 c m 再加上两倍的 m n， 所以就会得到 d f 等于两倍的 q p。 那 么这个题呢，我们归纳一下啊，只要在题中见到旋转啊，一百八十减二 f， 其实我们多半考虑的是手拉手模型，但是在这里呢，我没有讲手拉手模型去解它，而是用了什么一个半角，因为第一问告诉我们，角 d e 等于角 c a b 的 二倍， 然后呢，切角小角在大角的中间，那么就会考虑用什么用半角，模型构造全等。然后呢，又用了应用了一个引元啊，就是三点共圆，引元证明 m e 是 共线的。 所以这个题呢，打破我们常规的一个解析的手拉手模型啊，一选选择用一个半角模型来解决这道几重， 大家听懂了没有？请大家点赞加关注，多谢！

同学们，这个视频我们来讲解一下西城一模的这道代数综合题，很多考完的同学们反映这道题的难度会比较大一点， 他至少会比海淀的期末呃，海淀的一模难度要大一点。但是李老师想说的是什么？就是他包括我们的西城一模，包括我们的海淀一模，他都是从我们的中考的题去改编来的，就二五年中考题去改编来的，那么我们不管他这道题再怎么变，他的核心是不变的， 所以我们接下来来跟着李老师来去走，看他的核心到底是什么？我们怎么样可以很顺的去把这道题去做出来。我们来看题啊， 在平面直角坐标 x、 o、 y 中已知二次函数，那么这个时候有 ab 两个位置的字母，那么看到这个解数，我们立马写到它是横过的，是零，逗号零对不对？ 那么括号一，当 x 小 于等于二十， y 随 x 增大而减小。当 x 大 于等于二十， y 随 x 增大而增大，用等式表示 ab 的 关系，那么你看 x 等于二这条线是它们增大而减小和增大而增大的一个分界线，对不对？所以说 x 等于二，那么就和它对称轴， 所以第一问直接是由由提一可知，由提一可知。那么在这个地方 pull 物线的对称轴， pull 物线的对称轴， 对称轴为的是什么？ x 是 不等于二，那所以说负二 a 分 之 b 对不对？ x 的 系数是不是就会等于二？所以说这个地方 b 就 等于 c， 所以 说在这个位置我们出现第一个易错点啊，看看同学们，你们谁在这错了，一定要去注意负二 a 分 之 b， 不要直接写成负二 a 分 之 b， 然后等于二，这个是一定是错的， 我们的 b 一定要注意一下，它指的是 x 的 系数，所以这个系数是负 b， 所以 这是第一个同学们易错的点，所以说这个地方得需要去知道一下啊。这第一个，然后我们看第二本， 当 a 等于一， b 等于二时，将二次函数 y 等于 a， x 平方减 b x， 图像记作 c 一， 那么我们来看 a 等于一和 b 等于二，这个二次函数的解数我们是不是确定的？ 是不是确定的，对不对？所以说那么这个解是已知一次函数，一次函数，这个 k 不知道，但是它的 k 是 大于零的，图像记为 c 二，所以这个图案是 c 一， 这个图案是 c 二， 过 p 括号 t， 逗号零去做 x 轴的垂线，分别去交 c 一， c 二于点 m n， c 二于点 m n， 那 么我们可此时它最后是不是问的是 m n 的 距离，它最大值是不还是问的 m 和 n 的 距离？那么 m 和 n 的 横坐标它它是不是为 t， 所以 它们仍然是为横坐标相的两个点？所以这个时候还是要去建立新函数，建立一个什么 m n 关于 t 的 一个函数 对不对？然后就问，当你 t 大 于负一小于三时，它这个地方存在了最大值，对吧？存在最大值，那么在这个地方，我们一般情况下，我给了一个自半的垂直范围，我要去看我的 y 的 最大值和最小值，我们一定是不是找到它们对应的图角。 但这道题有一个易错点是什么？这个地方存在的是最大值，我们只要给你一个范围，那么他的最大值要么是他们端点所对的那个点是一个最高点或最低点，要么就是顶点的纵坐标是个最高点或最低点，对不对？但是你看，如果你的端点他是个空圈的话，他们两个不可以作为最高点和最低点 或最低点，明白吗？所以这是个 e 错点，那么到底是什么意思呢？那我们接下来来去看题啊。那么我们这个地方就是因为我 a 等于一， b 是 不是等于二？所以说在这个地方我 y 就 会等于什么？ x 平方在这个地方是不是减去 的，是不是就等于 t 的 平方是不是减去二 t， t 的 平方是不是减去二 t， 然后 n 的 纵坐标是不等于 k t， 那 所以说，那这样 m 的 坐标是不是 t t 的 平方减去二 t， 那 么 n 的 坐标是不就是 t？ 逗号是不是 k t， 所以 m 和 n 的 坐标是不是就已知了？那所以说在这个地方我们 m n 是 不就可以等于是什么？注意啊，我 m n 和 n 谁在上谁在下，我是不确定的，所以这个时候我要去就是要去加个绝对值， 对不对？ t 的 平方减去二 t 减去 k t， 你 说老师你为什么现在还不画图呢？因为你想啊，它这个就是我们可以大致的去画一下，它这个图案是长成这个样子的，这是个二，然后这是它是一个这个样子的，对不对？ 有没有发现？是不是？所以说你 m n m n 过 p t t 是 大于负一的，负一小于三的，对不对？ 所以你看啊，它们的，它们的这个这个 m n 的 距离，对吧？它们的距离是不是从大变小，然后再变大，再变小，然后再变大，对吧？所以说我们用绝对值的话，我就不用去分一这个图像了，是不是？所以说这样的话等于 t 的 平方减去二，加上 k t 是 不是？所以说这个地方我可以去将 m n 是 不看作 看错谁的一个函数，看错 t 的 一个函数，那么到底是看错 t 的 函数还是看错 k 的 函数呢？一定要去注意一下后面它谁是在变化的 对不对？它的 t 是 在变化的，所以 t 它作为的是一个自变量是不是？那么我们接下来需要看的是这个 m n 关于 t 的 一个图像，那么关于 t 的 一个图，它这个是属于的一个绝对值的一个就绝对值函数的一个图像。那么我们在去做之前啊，我们先来回顾一下啊，很多孩子们不会去画， 就是举个例子啊，你要是这么去画一下，假如说我要去画 y 等于绝对值 x 平方减二 x 检测，因为这个函数解释我们很熟悉，我们很熟悉，那么我要去画它的这个图像，说白了我们只需要干什么？ 我只需要你看啊，原本它是一个这样的图像的，那我我们要再去画图像之前哈，你一定要先要干什么？把它们与 x 轴的交点坐标给去求出来，这是加上一对不对？还有一个是什么？ x 减一的平方，是不是减去四 对不对？所以说他在这个地方我们可以教育的是什么？一个是三逗号零， 一个是三逗号零，一个是负一逗号零，他过的是一逗号负四，是不是？负一负三负四是不？他本身他是一个这样的一个图像， 对不对？本身它是一个这样的一个图像，对不对？那么我加的绝对值的意思是什么？就当它的函数值为负数的时候，加一个绝对值是不是取到它们的相反数？所以说那么当我们的这些这这一部分的图像的函数值是不是都为的是负数， 对不对？所以说这个负数我加了绝对值之后，是不是变成的相反数？那相反数的话，这个顶点是一负四，那么它的这个 绝对值是不是就成了四？所以就好比是它关于的是一个 x 轴给它去对称，明白吗？所以说，所以说它最后的这个图像，它就是这个， 就把 x 轴下部的部分给它翻折上，那我们来去画一下 m n 关于 t 的 一个函数，所以在这个地方的话，我们需要去干什么？那么我在这个时候，我是不是得知道这个 m n 和那个 x 轴的焦点的这个顶点，所以说最后它还得 去求出它的顶点的坐标，是不是？所以说我们这样子可以去令 m n 是 不是等于的是零，对吧？令 m n 等于零，即这个地方是不 t 的 平方，减去二加 k 括号， t 是 不等于零，是不是就是 t 乘以 t 减去 括号，二加 k 中括号是不等于零，所以说这个地方 t 一 是不等于零，那么这样的话 t 二是不等于二加上 k， 所以 说 m n 与 x 轴 m n 的 图像， 所以说 m n 的 图像在这个地方与 x 轴 我们是不是交于的是零？逗号零和 k 加二是不是逗号零，对不对？一个是这个，那么还有一个我们是要去求下对称轴，对吧？对称轴是什么？ x 等于的是对称轴，为 我们直接画下顶点的顶点，是吧？ m n 等于的是 t， 去减去的是二分之二加 k 的 平方，这个地方是不是减去四分之？什么？减去四分之，这个二加 k 的 平方， 对吧？绝对值，对不对？所以说它的图像的对称轴，所以说 m n 图像， 呃，我们先稍微等一下，就是所以说 m n 的 对称轴，所以说 m n 图像的对称轴， 对称轴是不是就为的是 x 等于二分之 k 加二，对吧？好，然后接着我们就可以去画下它的图啊，那么这个图像你可以画 y 轴，也可以不用去画 y 轴，所以说它是一个这样子的，那么一个是零零， 一个是 k 加二，所以这个地方是不是 k 加二，对吧？所以说那么在这个时候，因为你的这个地方 k 大 于零，所以说你 k 加二，它一定是在 h 的 右侧，所以说在这个地方它实际上是一个过圆点的，然后过它这边的，所以说它要把下方给它翻折上来， 它是一个这样的一个图像，对吗？然后这个地方 它的对称轴，对称轴为的是什么？ x 等于对称轴，为的是 x， 等于的是二分之 k 加上二， 对吧？所以说这个是它的一个对称轴。然后接着我们再来去看一下，我们是不是前半部分我们都已经解决了，这是 m n 的 图像，那么你看负一到三之间，负一它肯定是在这边儿， 对不对？你负一肯定是在这边，那么三，他可能在这一段，也可能在这一段，也可能在这一段，所以很多同学因为他这道题考的他不再是我们像二五年中考试题似的，你随着谁的增大而增大，所以说那么他可能就在这三个区域， 对不对？那么我们先一定要去看这种最值问题，一定要去看他啊，因为你看此时他翻折过来，这是顶顶的纵坐标，对吧？这是顶顶的一个，这个顶顶的纵坐标翻折上去，所以他的他的值等于四分之二加 k 的 平方，那么如果是说 我的负一的函数值我超过了这个顶点，有没有发现你不论你的这个三在他的哪一个位置，这个这个点是不是做的是最高点，对不对？但是你请注意这个点它是空圈，这个值取不到，所以此时我们说的是什么？最大值是不存在的， 那么这道题他是有最大值，就说明这个点的纵坐标干什么？他一定会小于顶点的纵坐标，对不对？没有问题吧？ 所以说在这个地方我就先要去写第一句话，因为 t 大 于负一小于三十 m n 是 不是存在最大值？ 我们一定要先要干什么？我们所以说你 x 等于负一的函数值，是不是一定要去小于？等于它，你等于它没有问没有关系，因为这个地方是空圈，它即使等于它的顶点坐标的话，这个是不还是一个最高的点， 对不对？存在最大值，所以说你要去把这个负一带进去，负一带进去对不对？负一带到这个里边，他要去小于这个顶点中的标，所以说负一的平方减去二加 k 去乘以负一， 对不对？是不是？因为词是正的，我就可以不用加去对值，它的值是不是小于等于我们后边这个四分之二加上 k 的 平方， 对吧？我们先得保证这个东西是不是，所以这样的话他就属于的是什么？一去加上二，加上 k 是 不是小于等于的是四分之？因为我们这个地方垫不够了啊，包括你们考试的时候，在这个位置的话，你可以过程直接写个得就没有问题。四分之一乘以的是什么？ k 的 平方加上四， k 加上四，所以这是三，加 k 就 十二加上四， k 是 不是小于等于是 k 的 平方加上四， k 是 不是加上二？所以四 k 和四 k 没了，就是 k 的 平方是不大于等于的是 大于等于的是大于等于的是一啊，不，我看一下啊，这个是三次十二，这个地方大，这是四对不对？大于等于的是八，所以这样的话是不是 k 大 于等于的是负二倍根号二， 对吧？这个是一元二次不等式。所以说如果同学们反应过，你可以第一个你去想， k 的 平方等于八，那么 k 等于正负二倍根号二，它的平方大于等于八，所以一个是 k 大 于等于二倍根号一，是 k 小 于等于负二倍根号二，这个不用结合图像，那么除了因为这种比较简单，除此之外，剩那些不等式我们一定要去结合到函数图像去做， 是不是？那么你 k 是 大于零的，所以说这个地方显然你的 k 小 于等于负二，呃， k 小 于等于负二倍根号二是不要去舍掉，所以说这个地方你可以得到什么？ k 大 于等于的是二倍根号二，对不对？然后或者是 k 小 于等于的是负二倍根号二，那么再去写，因为 在这个地方，因为我们的是不是 k 是 大于零的，所以说这个地方 k 大 于等于根号二，所以说在这个位置的话，它是我们第一个的有限的范围，对不对？那么我们接着再稍微去继续一下啊，所以说这个最大值也就意味着它不作为最大值，那么意味着我的顶点它一定是最大值， 对不对？所以说 k 大 于等于根二，那么此时我们的二分之 k 加二和这个四分之二加 k 的 平方是为的是什么？最高点， 对吧？也就是说我四分之二加 k 的 平方，它成为它的顶点坐标，是一个最大值，对不对？是一个最大值没有问题吧？那么这个时候呢， 我们你看你写不写这句话都可以，或者是我可以这么去写，因为此时你的三是不是在右侧，所以我们一个一个分析一下，三是三是在外侧，所以第一部分你三是在这边，那么你肯定是不满足题的，所以你可以第一个写句三，写一下三大于零小于 二分之 k 加二十，对吧？你直接可以写结合图像 可知是不是不满足题，一般 对不对？然后我们就可以这样子逐点逐点的给他去分析，然后下一个，那么我接着我的三是不是在这边，然后在这个地方，你就当我们的三去大于等于二分之 k 加二，你小于等于 k 加二时， 即我可以去求出一个 k 的 值，是不是 k 小 于等于十四吧？前面是小于等于四，右边的话是 k 大 于等于一，对不对？那么在这个区域的时候，此时存在最大值 为多少？是不是就为这个点的的纵坐标是四分之二加 k 的 平方，对吧？然后我们当 当什么，在这个地方，当我们的三去大于 k 加二，即 k 小 于一时，我们去观察一下它到底满不满足题，那么在这个地方略儿再换个颜色去说这个地方会稍微有点难度，因为如果你三在这的时候 对不对？那么很多同学说，老师你这么分在讨论干什么？你老师你直接去做一条 y 等于就过这个顶点做一条 l 的 平行线，你让这个三小于这个的横坐标不就行了吗？可以，同学们可以 就是直接让你的三三大于等于这个二分之 k 加二小于等于这个点的横坐标，没有问题。这个方法是可以的，但是你们可以试一下这个的计算会稍微的复杂一点，这个计算会就有点复杂，但是说他是可以的， 对吧？也能够去算出我们的最终的答案，这个你们可以去试一试，就直接令令 y 等于的是四分之二加 k 二加 k 括号的平方，然后一个是得到得到这个 x， 一 是得到这个 x， 我 们这个 x 是 有用的，然后最后让你的三大于等于二分之 k 加二小于等于这个的横坐标，没有问题， 对吧？这个计算量很大，但是他是对的这个方法。那么接下来李老师要跟大家去说的一个比较简单的方法， 我们主要是判断这个点是不是小于，他是不就行了？小于这个顶的纵坐标是不就可以了，对吧？翻折下来这个顶点纵坐标是不就可以了？那么我们可以采取一个什么样的方法去做呢？有两种方式。 第一种方式，我们根据对称性，你可以和他去比较，如果这个点，如果你三所对应的这个纵坐标对不对？哎？我都比这个负一所对应的纵坐标要小， 那么我前面这个点是不是表代表了负一的这个所对应这个点的坐标是不是小于等于他，那么他这个点又小于等于他，所以他是不一定小于他。这第一种方式是不是？是不是？我只要和他这个去比较，他和他比较有两种方法，第一种方法，根据对称性去看看这和这的距离 对不对？那么你这个距离是二分之 k 加二，再加个一，对吧？去比较他们的距离 对不对？这个用二分之，你看这个是二分之 k 加二去加上一，这个结果是为一，呃，二加上二分之 k， 这个结果的距离是大于二的，对不对？然后后边这个呢？这是三用三减去二分之 k 加二，这等于三减去二分之 k， 然后这是二减去二分之 k， 因为 k 大 于零，所以这个是小于二的。由这个图像你可以知道，倒顿值的距离越远，它的函数值是越大的，所以说很明显这个函数大于它， 所以说在这种情况下它都是满足题的。这第一种看距离啊，然后第二种你可以怎么着呢？我就直接，我就直接用它的纵坐标去比嘛，对不对？那么像这个来说，你 s 等于负一的时候，它所对的这个是不是在这个地方， 这它的纵坐标，所以你直接去解一下，这个地方就是负一的平方，所以你刚开始你可以把 s 等于负一的值给它算出来，因为后面也有用，所以就是负一的平方，就相当于加上这个地方，就好比是什么 一去加上二去加上 k， 对 不对？是这这个的结果，对吧？那么我让他们去做叉，做叉，我可以先算一下 x 等于三的函数值吧？你 x 等于三十，我们的 y， 我 把它带到这个减去式里边，是呃，不 t 等于三， t 等于三的时候， 是不是？那么我的 m n 它就会等于什么？是不等于的是九减去三去乘以九减去六，是不是？减去的是三 k， 所以 这个等于的是三减去三 k， 对 吧？这个要去加上绝对值， 对不对？那么在这个地方，因为你的 k 是 小于一的，所以说它是个正数，所以这个结果是不是三减去三 k 没有问题吧？好，那么所以说我在这个用它去减一去加上二去加上 k， 减去括号，三减去三 k， 那 么这个结果等于什么？ 减三，所以说这个结果是不等于四 k， 所以 说这个结果是不等于的是四 k， 又因为你的 k 是 大于零的，所以说四 k 大 于零，是不是？所以说这个前边这个地方就是三加上三 k， 是 不是大于的是三减去三 k， 三加 k， 这属于的是三加 k 大于后边儿这个地方，是不是？就是，就是呃大于后边儿这个三减去三 k， 所以 这个你的坐标是不大于它，那么所以说这样的话，你的 k 小 于一，是不是横成立的， 对不对？所以说，那么在这个地方，那么你看 k 大 于等于根号二成立，然后 k 大 于等于一，小于等于四成立， k 小 于等于小于一，在这个地方是不是也成立，那么这个地方所以说因为 k 还是大于零的，所以 k 大 于零小于一是横成立的，那么这三段是不是取公共的部分？ 所以说最后那么我这个地方综上所述，大大取较大， k 大 于零， k 大 于等于一， k 大 于等于根号二，所以就 k 大 于等于根号二，在这个地方是小于等于十四，所以这是所以说在这个地方它是一个小于四的一个值， 那么你看这个地方会有一个点是什么啊？我为什么这样说小于四呢？你来翻回去再看，因为取等这个地方我要去单独的去考虑，那么像这个来说，这个这个二分之 k 加上二，在这个地方我如果是要去小于等于三的话， 二分之 k 加二，那么三我和这因为，因为，因为你的这个是 t 是 小于三的，明白吗？如果三和顶点重合，这是个空圈，明白吗？所以说在这个位置的时候他不能去取等，明白吗？所以说在这个地方他就取不了等， 所以这个地方最终这个取等的位置同学们一定要去单独去考虑一下，明白吗？所以说最后他就是一个这个答案， 那这道题就告诉我们一个什么呢？你一定要去把它可能在的位置一定一点一点的去看，对不对？所以就是在最后在这个地方的话，我们就用了一个小技巧，就是给他做差，对吧？就是我避开了求这个横坐标，这个这么大的计算量， 明白吗？这么的计算量的的的这个过程是不是还有一个是什么？那么他如果这个地方没有等号的时候，所以说你 s 等于负一的值和 s 等于三的值，他不能作为最大值去出现， 明白了吗？同学们不能作为他最大值或最小值，因为这是个空缺啊。所以整体来说这道题是一道非常好的题，同学们可以自己好好的去做一下啊。

圆中第一问就会卡住，我们这个视频告诉大家圆中第一问到底该怎么做，第二问也会详细的和大家去说怎么去借助我们圆里边的知识快速的解决第二个问题。 读到圆的信息，我们可以通过圆里边的条件或者结论找到一些相对应的角度信息，并且我们把找到的角度信息进行设参，得到对应的量即可。那么在这里面我们导角一定要注意，你在圆当中我们主要是等腰或 r t 三角形 要多，所以我的目光可以聚焦在等腰三角形和 r t 三角形上，如果说这两个图形并不能辅助我们解决问题，那我们接下来就可以使用四点共圆以及圆周角和圆心角的内容来辅助我们解决问题。 我们来看一下这道题，它告诉我们 c b g 等于 c e f， 那 也就是说这个角和这个角我就可以直接进行设残了，那我怎么转化到 b g 是 圆的这个切线上，我们可以看一下它附近有没有直角三角形或等腰三角形，这个时候你会发现这个角就很关键，它应该就是九十度减去一个阿尔法，我们利用等腰传递到此处，那这样一问就可以直接秒掉了。 大家一定要注意，可以从条件出发，也可以从结论出发。我们来看一下这道题的第二个告诉我们半径是十，那就是 d， o 等于 o， c 都等于十， d 是 po 的 终点，各位一定要注意好这一个内容， d 是 po 的 终点，我们在做原宗或者说在做己宗的时候，我们不仅仅要感受到 p 是 线段的终点，还要弄清楚 t 这个 p 是 哪个图形的终点，那么在这道题当中，这个图形应该是 r t 三角形 p b o 这一点大家一定要注意 中点，它可以在等腰当中，它可以在我们的直角三角形当中，也可以在普通的三角形当中，这样你就知道它的使用的第一个方向是什么。所以此时我们就能想到一个东西叫做斜边中线等于斜边的一半，至此就等于这一篇。那现在大家就会发现，在这样的一个图形当中，它竟然存在了这样的一个等边三角形，这也是这道题的一个隐藏条件，如果大家没有发现，那这个东西 就用的不太好了。好，我们来解读。第二个条件是 e f 比上 a c 等于五分之三，这两个条件到底该怎么去用？ e f 在 这，然后 a c 在 这 我们会发现这样的一个问题，这两个边的比是知道的，然后我们现在要干嘛？我们去感受一下它是否能构造 a 字相似或八字相似，因为发现这个不太行，那我们要去感受一下 a c 或 e f 分 别在哪个三角形当中，哪个知识点可以配合我们现在所学的知识点更好地去构造。此时大家会发现 e f 和 b c 是 垂直的，那么在这里边正好有一个直角三角形 e e f， 那 这样的话，他会发现这个 a c 这个点 c 正好在直径上，点 a 在 圆上，所以你们能快速的想到连接 a d， 这样才是最合理的。这样我们会发现，我们不仅仅可以把这个 e f 等于三比五的比例用上去，而且可以把半径等于十这样的一个内容给它给使用上去，你会发现这条边它是等于 二十的，所以又是五比三的关系，那我们就能得到 e， e 是 等于十二的， b e 等于十二，那我们得到了 b e 等于十二之后，我们怎么去求 d e 的 长呢？那这个对于我们来说就非常好好做了，这个角是六十度， 这里面有一个等边三角形，所以可以通过点 b 向这边做一个垂直，那这个时候大家会发现，假设这个点是 h， 那 d h 应该是等于五 h e 这个边咱们该怎么求？非常的简单，因为我们会发现这个直角三角形当中，这一条边是等于十二，这条边大家应该都知道是五倍 尾根号三，所以我们直接根据勾股定律就可以求出 h e 的 长答案，等于根号六十九。至此这道题 d e 它应该就等于五，加上根号六十九，这次北师大附属实验的一个综合统计的综合，它的难度并没有那么大，希望这个视频可以帮助到大家。