23年盐城中考数学几何

中考几何压轴题看到球角度证明角相等就是倒角，或者叫转化圆内倒角呢？像同弧等弧所对的圆周角相等，圆形角是圆周角的两倍，前切角等于内接角。还有一个很重要的圆内接四边形对角互补， 如果有平行跟垂直的条件，就去找内错角。同一角相等，同旁内角互补，垂直就找互余。还能应用三角形，外角和定力 外角会等于不相邻的两个内角和，这在倒角里是很好用的捷径，能省去很多的步骤。出题人还非常喜欢给一个隐藏的条件，就是角平分线加平行，这里就隐藏了一个等腰三角形。

好，我们讲解一下庭湖盐都初三的这一次阴谋的解答。最后一题啊啊，他说有这样两个菱形纸片， a、 b、 c、 d 和这个 e、 f、 g、 h 叠放在一起， 那很明显这两个菱形呢，他是相似的啊，是相似的。然后呢，他说这个点 f 与点 b 重合，点 e 经呢，分别在 a、 b 和 b、 c 上，点 h 落在对角线 b、 d 上，已知 ab 是 十， ab 是 十， b、 d 等于十六， ef 等于八。 好，那我们把这个地方啊，他是 b、 d 是 十六啊，我们过 a 点做连接 ac 啊，连接 ac， 那么这个 o、 a、 o 的 长度呢，就是一个啊，看一下啊，这边 b、 d 是 一个十六，然后 e、 f 是 八，那么 b、 d 一 半的话，这边就是八，那很明显 a、 o 长度是六，那我们也可以求出这个小的这个三角形，小的这个菱形啊，连接这个 e、 g， 假如说这个地方是 o 一 撇啊，他的这个中心是 o 一 撇，那么 e、 o 一 撇的话，可以用相似去做啊， e、 o 一 撇可以用相似去做，那就是八，比上十，等于这个 e、 o 一 撇啊，比上这个六啊，可以求出这个 e、 o 一 撇长度是五分之 二十四，那么 b、 o 一 撇长度就是五分之三十二啊，五分之三十二。 好了，至此的话，这两个菱形的这个里面的这个长度呢，都是清楚的啊，大的是这个边长是十，然后这里是六，然后这里是八。小一点的呢，就是边长是八，这里是五分之二十四，这里是五分之三十二。 好，来看题目，第一个呢，将这个要判断，这个，将这个小的菱形啊，沿着 b、 d 方向去平移到 f 跟这个中中心 o 去重合的时候， 然后呢相交于这个 q 点 p 点，问你中间这个阴影部分是一个什么样的特殊四边形，那这很明显对边平行， 那首先它是一个平行四边形，第二个也很容易正出，因为平行，所以说这个角是跟它相等的，而 abd 这个角呢，本身就跟 abd 相等，所以邻边相等的平行四边形是菱形，所以它是一个特殊菱形， 求这个 fpdq 的 面积，那么这里面求它的面积的话，你可以去用它的这个对角线啊，它是个菱形，求出它对角线的长度就可以了。 那么 f 是 这个 b d 的 中点，那么过 f 做平行线的话，那 q 点也必定是 a d 的 中点 啊，所以说 f q 是 中微线，那这边是十，那它是五，它是五。然后 q 是 中点，那么连接 a f， 那么 a f 长度是六，那么这个 q p 和 f d 的 交点，假如说是 h 啊，那么这个 q h 的 长度呢？就是三，那所以这是四，所以说它对角线长度是六和八，所以它的面积是六乘八除以二，答案是二四。 好，我们继续看题目，在一的条件下啊，一的条件下，也就是说这个 f 是 跟 o 重合的，它说把这个中间的这个小的菱形 e， f， g， h 呢，绕着点 o 去旋转啊，逆时针旋转，度数呢是零到三百六十度。直线 f h 和这个 f、 g 啊，分别交 a、 d 呢？于 m 和 n 啊。第一问，他说 e 点落在这个 a d 的 边上的啊，直线，这个直线 a d 的 时候，求 a e 的 长度， 那么因为我这个图形它形状是不会发生变化的，那么这个 e o 长度呢，始终都保持的是一个八，那所以相当于就是 e 点绕着 o 去转，转的时候 e 点要落在 a、 d 的 直线上，那所以答案应该有两种，第一种就是 e 点刚好跟 d 重合的时候， 那么此时这个 a 的 长度呢，就是最大的菱形的边长就是十啊，这是第一种答案。第二个就是图上画的这个状态啊，图上画的状态要求出 a 的 长度的话，那我们要做一下这个垂线啊，垂线做垂线，因为这边有等腰，所以我们做垂直， 假如说这个垂，这个垂度点为 h 点啊，观察这个图形啊，它是非常特殊的啊，这个角呢，它是等于这个角的啊，因为你是转过去啊，这这个角这个角啊，也就是这个 e、 f， e， f、 h 和这个 h、 f、 g 这些角，还有这些 ab 和 b、 d、 c 这些角都是相等的， 那么这是一个等腰三角形，那这边也也能证出他这个等腰三角形啊，很容易能证。那现在要找这个要求出这个 e、 a 的 长度，我们不妨不妨先求 e、 h 的 长度，再求 a、 h 的 长度去相减就可以了。 e、 h 长度的话，用这个 e、 f 这八啊，那么 f 到这个 a、 d 的 这个垂线段距离，可以用这边啊，用这个大的菱形 去做啊，这个大的菱形，他的这个对角线，这边是十，这边是六，这边是八，那么就是斜边上的高就可以了，就是五分之二十四啊，五分之二十四，那可以求出这个 h 点到 d 的 距离是五分之三十二 啊，也就是 e、 h 的 长度是五分之三十二，那么 a、 h 长度呢？ a、 h 长度就是这个 a、 d 减去 h、 d 剩下的部分啊，啊，它这边是五分之 呃，十八，五分之十八，所以相减完之后， a e 的 长度就是五分之十四啊， a e 的 长度五分之四，所以答案是十或者是五分之十四。好，继续 当菱形啊，这个 e f g h 旋转至 e f 垂直 ab 的 时候，请，请直接写出 m a n 的 长， 他说 e f 要垂直 ab， 那 他的这个状态大概是这样子啊，有两种情况，我们先画其中一种啊，垂直，好，那差不多是这样啊，差不多这样， 那这时候可能又去有人去想了，这个地方会不会这个 o h 啊，他恰好是这个经过这个 a 点的 啊，经过 a 点，这是很容易能正啊，很容易正，因为这个地方的话，这个角度呢，他是跟这个角相等的，也就是这个啊，我把这个点标一下，这边是 e 点，这边是 g， 这个 h o e 的 这个角，它是跟 a b o 这个角相等的。第二个这个地方的话还会有一个 啊小角啊，跟它相等，然后这边有个垂直啊，这边有个垂直，所以很容易呢正出这个 h o， 它是经过 o a 点的啊，经过 a 点的， 那么我现在要求这个 m a 的 长度，那 m a 的 长度就是这个 o h 和 og 交 a d 的 这两个点，那么分别就是 a 点跟这个啊，这根垂足的这个地方啊 a， 所以 要求的其实是这个长度啊，那这个长度的话，其实刚刚已经求出来了，这边垂直，那么就是刚才的这个 啊，我们过这个上一问当中的这个答案应该是，呃，这边是一个五分之二十四，五分之二，那么这个长度呢？是五分之三十二，那它就是五分之十八啊，五分之十八，所以它是一个具体长度啊，五分之十八好，还有种答案呢，就是翻到下面， 翻到下面的这个状态，大概是啊，大概是这个样子啊，跟它道理是一样的 啊，垂直那么延长出去啊，延长出去，它实际上这边啊，它实际上这个 m 和 a 呢，其实相当于就是换了一个位置，这样子啊，换了一个位置样子，那这个时候长度它还是不变的，还是五分之十八 好。第三个，第三个，当点 e 呢，落在这个线段 d a 上面的时候啊，也就是这个图上面这个 e 点这个状态，求告诉你这个 e m 呢是 a em 的 长度是 a， 然后 m a 的 长度呢？是 b， 要求这个 a 跟 b 的 一个比值， 那观察这边是一个菱形，这边是菱形，那所以要求这个 a 比 b 的 话，菱形对边平行，那很容易能中利用，这两个三角形相似啊，啊，它对对菱角，然后这边是内错角啊，很容易正出，这样是相似的，所以 a 比 b 的 值呢，就是 e h 比上 o n 啊，也许比上 o n， 那 或者说是这个 f m 比上 m h， 对 吧？那求出这个 f m 就 可以了。那刚才又讲这个，这个地方 这些角啊，这个角啊，这个 e d o 呢，它是跟这个 o e d 是 相等的，而这个 e d o， 它又跟这个 e o h 相等，所以发现 e m o 呢，是一个等腰三角形，所以这个长度它也是 a， 也就是 o m， 它也是 a， 所以 就需要求出这个 o m 的 长度啊，就可以了。那观察这个小三角形和它是一个相似的啊，相似的 啊，也就是这个，我们先把这个 f、 e、 h 这个三角形先画出来 啊，这边是 a 啊，那这个 e、 o 的 长度呢？是一个八啊，是一个八啊，这边八，然后呢，这个 o、 h 的 长度刚才也求出来了，是一个五分之六十四 啊，所以说可以用这个相似笔啊去做啊，那就是一个，呃，八比上这个五分之六十四啊，对应边啊，等于这个 a 比上这个八啊， a 比上八，所以能求出 a 的 长度，实际上就是一个五啊， a 的 长度是五 好， a 的 长度是五，然后呢，这个 m h、 m h 就 用这个五分之六十四去减去五就可以了，也就是五分之二十五，等于对五分之三十。 呃，五分，这边就是减去五分六十四，减去五分之二十五啊，五分之二十五，答案是五分之。 呃，三十九啊，三十九啊，三十九啊，五分三十九。 呃，他要求的是这个，呃， a 比 b， 对 吧？ a 也就是五比上 b， 那 就是这个，呃，五分之三十九比上这个五啊。最后答案是五分之三十九除以五啊，也就是二十五分之三十九啊，所以 a 比 b 的 值就是二十五分之三十九。

中考几何压轴题看到求面积就是割补跟代数结合常规多边形拆成三角形来算。如果放在平面直角坐标系里，放在代几综合里，那就是考你铅垂法， 二分之一的水平宽乘以铅垂高。如果有相似比的平方，给了两个三角形相似，面积比会等于相似比的平方。 出题人经常让你求一个难算的面积，其实是让你求他相似三角形的面积，再按比例缩放。同底等高，等底同高的情况经常用到所谓的拉窗连法，平行线间的三角形面积相等，利用平移顶点进行面积转化。

给你一道新定义，希望你能熬过这个中考，挑战三十分钟，做一道中考压轴题，今天抽到江苏盐城， 有点实力兄弟们，最近偷懒了，好一阵没更新了。这题选自盐城二零二五年中考倒数第二道，有点北京新定义的味道啊兄弟们。第一问，解决 第二个问。先通过新定义把两个坐标的变换点求出来。 目测两条线段相等，直接旋转 p q 可得 p 一 撇 q 一 撇。为了保险，你也可以算一算长度，看相不相等。 这里差点做错了，应该做 q q 一 撇的中垂线。 最后一个问了， 四路秒出。这条曲线是反比例函数 y 等于 x 分 之二的 theta 变换曲线。这是菱形，让我们求这四块阴影部分的面积。 已知这三个坐标，那么很容易求得 b c 的 解析式。只需求出这条曲线的解析式，再和直线 b c 连立起来， 就能求出 m n 的 坐标。用 bc 的 长减掉 m n 的 长度，就能得到这两小段之合。菱形的高很容易求得，这四小块组在一起就得到两个面积相等的三角形，底乘以高不就完事了吗？ 这是 bc 的 解析式。接下来我要求曲线的解析式了。 出来了，兄弟们，我那个，我肚子突然有点痛，大家按照我前面的思路去解就行了。先告辞了，各位，答案在评论区啊！

今天我们来看一道中考模拟卷的几何压轴题。我们先来看第一本 a、 b 等于 a、 c。 角 b， a、 c 等于六十度。角 a、 e、 b 等于角 a、 f、 c 等于一百二十度。我们要证明这两个三角形全等。 而现在我们已知一组边等一组角等，我们发现这两个角相加是六十度，而这两个角相加也等于这个外角也等于六十度。所以我们能得出角一 a、 c 等于角一 b a， 我 们可以通过两角一边来证明这两个三角形全等。我们再看第二问， a、 b 等于 a、 c， 角 b a、 c 等于一百二十度。 角 a、 b 和角 f 都等于六十度， c、 f 等于二， a、 f 等于五。我们要求线段 b 的 长。题目中给了我们一些角度，所以我们可以先设参考角， 我们设角 c、 a、 f 等于 r 法，所以角 b、 a、 f 等于一百二十。减 r 法，角，呃，这个角等于三十加。 r 法， 所以角 e、 a、 b 就 等于六十加。而法，因为角 f 等于六十度，我们发现这个三角形的外角角 a、 c、 h 也等于六十加。而法，我们现在发现了一边一角，我们可以构造全等三角形， 延长 f、 c 至点 h， 使 c、 h 等于 a、 e， 然后连接 a、 h， 我 们就能证明三角形 a、 c、 h 和三角形 a、 b、 e 是 全等的，这样 b、 e 就 转化到了 a、 h 上面。 角 b、 e、 a 就 等于角 h 等于六十度。而在这个三角形中，角 f 也等于六十度，所以三个角都是六十度。这个三角形是一个等边三角形 af 就 等于 ah 等于五，所以 b、 e 就 等于五。 我们再看第三问， ab 等于二分之一的 ac。 角 b， a、 c 等于一百二十度， 角 a、 e、 b 等于六十度。角 afc 是 七十五度， b、 e 是 一， a， e 是 四圈 e， 我 们要求 af 的 长，我们同样可以设参考角， 我们设角 b、 a、 e 为 r 法，所以角 e、 a、 c 就是 一百二十假，而角 afc 是 七十五度，所以我们能得出角 f、 c 是 四十五度假而法。 这时我们发现角 e、 b、 a 和角 e、 a、 c 都是一百二十角， 而 a、 b 和 a、 c 的 比值也已知是一比二。我们可以构造一边一角的相似，所以我做角 c、 q、 a 为六十度， 这样三角形 b、 a 就 和三角形 a、 c、 q 相似，相似比是一比二， b 是 一， a、 q 就是 二， a、 e 是 四， c、 q 就是 八。 而 r 法角也转化到角 a、 c、 q 上，我们发现角 f、 c、 q 就是 四十五度。 我们要求 a、 f 的 场，就是要解三角形 f、 q、 c， 我 们可以过 f 点作垂，这样三角，呃，这个三角形就是一个等腰值，这个角是四十五度，这个角就是三十度。三边关系是一比，根号三比二。 我们设这条边的长度为 x， 所以 这条边的长度就是根号三。 x 转化到这条边上， 而 c、 q 等于八，所以 x 加根号三， x 等于八，求出 x 等于四倍，根号三减四， f、 q 是 根号三倍的 x， 呃， f、 q 是 二倍的 x， 呃，也就是八倍，根号三减八， 而求 af 就 要减去 a、 q， 所以 af 的 af 的 长度为八倍，根号三减十。我们再看圈二，要求线段 f、 g 的 长， 而求 f、 g 的 长。我们前任已经求出了 af 的 长以及 a、 q 的 长，现在只要知道 g、 q 的 长就可以了。 而我们前一吻做的是这个角是六十度，现在我们可以再补一个等边三角形，所以我们做角 c、 k、 q 为六十度，这个三角形就是等边三角形， c、 k 就 等于八，也就等于 k q， 而我们还知道 a e 是 四，所以 e q 就是 二，这条大变 e k 就 等于十。 我们现在想要求出 j q， 也就是 e、 j 的 长度，我们就要知道 e j 与 j、 k 的 比值， 而我们已经构造出来了相似。我们可以证明三角形 b、 e、 j 和三角形 k， c、 j 是 相似，因为这两个角都是六十度， 所以 b e 比上 c、 k 的 比值就等于 e， j 比上 j， k 的 比值为一比八， 而 e、 k 等于十，所以我们能求出 e， j 是 九分之十，所以 a， j 就 等于四，减九分之十，等于九分之二十六。 f， j 就 等于 fa， 加上 a j 就 等于八倍，根号三减九分之六十四。

今天我给大家做一个初中平面解析几何的系统课，那么我们初中平面解析几何，首先需要面对的就是解析过程中我们需要用到的公式，所以我们接下来将对这些公式进行一一的讲解， 希望大家能把它记下来，把它理解下来，记下来。那么第一个公式就是两点之间的距离公式，在一个平面内有两个点，这两个点是点 a 跟点 b， 那 么它们之间的距离我们怎么求得呢？ 很显然的一个思路就是我们可以用勾股定律去求得它，那么我们把这个直角三角形给他做出来，做出来之后呢， 这个点 c 的 坐标是有规律的，它的横坐标很显然就是 a 的 横坐标，而它的纵坐标呢，很显然就是 b 的 纵坐标，因为这是一个直角的顶点，对吧？ 那么接下来我们就可以表示出来 a c 跟 bc 的 距离， 从而再去使用勾股定律求得 ab 两点之间的距离，也就是 ab 的 距离，它是等于两个点的差的平方和再开一次根号。 好的，那这就是我们的两点距离公式，总结下来就是这样子，设平面内两点 a b， 那 么两点 a b 之间的距离，我们就可以用这样一个公式去进行代数的计算，把它计算出来。 从此以后，我们如果在平面内要求距离的话，我们就可以找到他的端点，然后求出他的端点坐标，这样子就可以求出他的距离。那么关于两点的距离公式，我们还有两个很重要的推导，很重要的知识。我们要知道， 第一个就是因为 x 二减 x 一 的绝对值等于 x 一 减 x 二的绝对值，也就是相反数的绝对值，相等嘛，对吧？从这个我们可以推断出，那他们的绝对值相等，他们的平方也是相等的， 但又由于一个数的平方一定会是正数，所以我们就不需要这个绝对值符号了。也就是说， x 二减 x 一 等于 x 一 减 x 二，它们的平方是相等的， 也就是相反数的平方是相等的嘛。所以这个公式 中的被减数跟减数的位置是可以随便互换的。就是说你写成 x 一 减 x 二也没有关系，你写成 y 一 减 y 也没有关系，你写成 y 二减 y 一 写成 x 二减 x 一， 它都是一样的，都是能计算出来的。原因就是因为相反数的平方是相等的， 这是他的底层原理。那么我们在还有第二个推广啊，不多，第二个推广，圆的标准方程，平面内有一个圆， 好看到啊，这个圆的圆心是点 c， 点 c 的 坐标，我们就把它当成 ab， 我 就不给他一个具体的数了，但他就他的坐标就是 ab， 半径我也不给他一个具体的数，半径就是 r 嘛，反正是多少没关系，我们用一个字母表示它，那么有这么一个圆， 一个圆上有无数个点，这点大家认同吧？那么就有个疑问了， 点 m， x， y 是 平面内的一个点，我们不知道它在哪里，我们只知道它的坐标是 x y， 我 们也不知道是 x， y 是 什么，对吧？那我到底该怎么判断这个点 m 是 否在这个圆上呢？ 有个什么方法我们可以判断呢？那么我们一直圆上的一点到圆心的距离永远都等于半径，也就是说圆上有无数个点，但是这无数个点，每一个点到圆心的距离都等于半径， 都等于半径，那我们可不可以通过这一个点来判断这个 任意点到底是否在圆上呢？对吧？既然圆上面的无数个点，他都有一个共同的特质，这个共同的特质就是他们的距离，他们到圆心的距离都是一个定值都不变。 那么通过这个圆上所有的点的共同的特性，我们可以得出一个方法去判断这个点是否属于圆上的点。 如果一个在圆上的点 m x y 在 圆上时，那么 x 减 a 的 平方加 y 减 b 的 平方就等于 r 的 平方，这个式子是怎么得来的呢？这就是我们刚才那句话在结合两点间的距离公式得来的， 没有问题吧。大家可以带入一下，如果点 m 在 圆上的话，那它到圆心 ab 的 距离肯定会等于二，对不对？所以那么就有这么一个公式了，就是因为它们的距离相等，我们直接列出它们的两点距离公式。 所以呢，如果一个点 x y 满足这个距离公式的话，那么这个点就一定在圆上， 并且这个圆的圆心是 ab， 半径是 r， 这是我们设定的，那么我们通常将这个由两点距离公式代入得到的式子叫做圆的标准方程。 好的，相信大家已经记住了，那么我们再来复习一下我们第一个学的公式就是我们的两点距离公式， 那么这两个具体公式有两个推广的点，一个点是被减数，跟减数你随便换都没有关系，你哪个写在前，哪个写在后都没有关系，你想 x 一 在前就在前，想 x 一 在后就在后， y 也是一样的，都随便。 所以这个公式是很简洁很便捷的啊。第二个推广呢，就是我们的圆的标准方程， 当然呢，这两个推广的作用，一个是告诉我们公式是可以互换的， 一个是告诉我们如何判断这个点是否在圆上。这两个推广都是有极大作用的，所以希望大家理解，并且稍微建议一下，到后面我们再用解析去加深对这个两点距离公式的印象。

盐城中考必看三线八角变形题，百分之九十五学生栽坑的坑怎么躲？盐城娃注意了！初一几何第一道坎就是三线八角！课本讲的浅变形题一考就懵。 比如五条直线两两相交，求同位角个数，其实关键就两，分清截线和被截线，再用小学奥数的数数技巧，不重不漏，秒出答案。 几何是初中数学大楼的地基，这步踩稳了，后续三角形、四边形学习才不慌！沿成中考几何占了百分之四十的分值。这个必考点，赶紧码助练，记得点赞关注哦！

家长，沿着市区本次一模数学所有考点我已经全部深度拆解完毕，整张试卷核心拉分点、压轴点非常清晰。选择压轴题考察塑形，结合思想绘画图，答案很快能得到 填空压轴考察引元和刮豆原理，不要死记模型，一定要吃透。底层逻辑解答题最后三道大题难点也很明确。 倒数第三题二次函数考察伟大定律方程思想。倒数第二题几何大题容易卡在拇指相似正直角。还有最后一问，画图角平分线加平行线的隐藏结构很难发现。最后一题重在考察图形的观察， 边角关系的发现以及分类讨论。思想一模成绩已经尘埃落定，接下来 家长一定要提醒孩子，狠抓这次考试暴露的所有问题，务必高度重视数学思想方法，捍实底层思维，才能以不变应万变，从容应对后续中考的冲刺。

真的服了，几何遇到终点就不会，原来中卫线有五种做法，而且你还用一条视频总结，完了，我竟然现在才知道什么中卫线的辅助线有五种，你却只知道一种，那这你不得跟我学一学？那说到中卫线呢，我们一定要知道一件事，叫做终点终点中卫线， 那有的题呢，比较简单，它会出现两个终点，那这种出现两个终点的题啊，咱直接终点，终点一连，中位线就出来了。终点中点中位线， 当然也有的时候呢，两个终点出现，哎，你得把它们俩连起来，对吧？然后同时呢，它所在的这个三角形的底边还没有，那我们得把它的底边给他封起来。 哎，我们把这个中位线整出来之后啊，就能用到什么信息呢？那我们就能用到中位线的定理了，这条边平行且等于底边的一半，我们就可以把这个边进行转移，而且呢，不仅是数量关系上的转移，还是位置上的转移。 不过呢，有的题啊，没有这么善良啊，两个终点的是简单的，那我们来看一下一个终点的这种不善良的中位线，隐藏的中位线了， 那我们说叫做终点终点中卫线，对吧？他如果只给了你一个终点，那我们要做的事情是什么呢？哎，我们要做的事情就是再去构造另一个终点，我们去把 另一个终点给他构造出来的话呢，说白了就构造出来了中卫线了，那么在这个图当中，这有一个终点出现了， ok， 那 么这个三角形当中，请问你能构造 几种中位线出来呢？哎，那如果呢，我在这个边上找到中点，这么一连，我就能整出来这条边上的中位线，哎，那这时候呢，就要看，如果这里给到了条件，比如它长度是六，对吧？那这个呢就是三， 当然也有的时候呢，条件可能给在这条边上，那条件给在这条边上的话呢，我可以在这里找到一个中点， 把他俩这么一连，中点，中点，中位线，对吧？那他的长度呢？就挪到了他这，然后位置关系呢也就挪过去了。还有一种啊，就是他天然还没有一个三角形的框架出现的，这是最难的，就是这个图了，那这个图呢，五一老师给他起了个名字啊，叫做竖叉模型， 这个非常的重要，为什么叫它树杈呢？就是因为啊，它长得跟树杈一毛一样的，对吧？你家树杈是不是也长这样呀？一个枝丫嘛，丫丫 好。但凡有一个树杈，然后呢出现了中点，那么此时我们就要使得另外这个点 被构造成中点，那怎么去构造呢？有几种方法呢？两种。第一种呢，我可以跟这个点去连，然后呢再背长这条线。 ok， 那 么此时呢把这个底一封，它就是这个边上的中位线了。那还有一种的话呢，就是把它和这个点一连， 然后呢再去背长它，完了之后呢把这里一连，那么它就是这条边上的中位线， ok， 遇到了竖叉之后，我们也是根据条件 去判断，去选择好的。那么以上呢，就是比较常见的四种中位线的辅助线，两个终点的有两个， 一个终点的呢有两种，那一个终点的这种情况就是纯终点出现在题目里面，那我们就要去思考一下，哎，他有没有出现这种情况，或者出现了树杈的情况， 出现的话呢，大抵你用中位线就能给他解决掉。还有另一种中位线当中的第五类辅助线，叫做对对模型。 那说到对对模型啊，那就要说到在一个四边形当中，然后呢，对边上出现了终点，第一个对就是对边，对边上出现了终点，然后连了线，这什么玩意？四边形的中位线， 四边形的中卫线，只有梯形的那个两个腰上的中点连线，这个有点用啊，像这样的一个奇奇怪怪，普普通通的四边形，来了一个对边中点，还连了个线，这个中卫线可以说是一点用都没有，所以这个时候呢，我们就要去看一看他的条件在哪了 哦，条件在另一组对边上，条件在另一组对边上，我们怎么把它给它用起来呢？哎，这就是对对模型的另一个对的关键了，叫做对角线。 所以这个时候对角线来帮忙，我们随意的连接一条对角线就够了啊，随便连它或者连它，然后呢 取对角线的终点，在这里找到一个终点之后，和他这么轻轻一连， 此时这个六啊，就跑到了这来了吧，他就是个三，然后这个终点和他这么一连的话呢，哦，看出来了吧，这个六跑到这来了，他就是一个 三。 ok， 那 这个题呢，可能还会再加一些其他的条件，从而呢，你就可以求出这条线的长度或者是其他的。 anyway， 这个题一定就突破了。好的，那么再来看另外一种情况啊，另外一种情况呢，它是说 这个对角线的长度给到我们了，对角线他也给你都连好了，这道题，他的大框架呢，依然也是一个四边形，出现了对边的中点，而且还连线了，那么这个时候呢，我们就要抓住另一组对边， 然后找到中点去构造中位线，构造三角形的中位线，注意了，四边形的中位线，大地都是废物，没用的。好，那三角形的中位线看好了，别眨眼睛，这么一连，然后呢，这么一连，看到中位线的同学给我站起来，哎， 他是这条边上的中位线的同学给我站起来，哎，他是这条对角线是十的话，那么他就是五， 那他呢，就是这条边上的中尾线吧，假设这条边的长度呢是八的话，那么他的长度呢就是四，哎，这个题目里呢，可能还会告诉你，这个假角是九十度，对吧？那所以这个假角呢，就是九十度，那这个假角是九十度的话，那么这条长度 是不就可以解出来了？好的，下面一个视频呢，会教你对对模型的例题该怎么解。 hello， 宝子们，欢迎来到对对模型的例题，那这道题有说到啊，在一个 r t 三角形 a， b， c 当中，角 b 呢是九十度，然后 m， n 呢，分别是 d， e 和 c， a 边上的中点， 以及呢，这个长度 a， d 是 六，这个长度 e， c 呢是四。哎，已经标在图中了，现在问我们 m n 的 长度，这个 m n 拿到手看出来是对对模型的同学请举手。哎，没有的话呢，回头去看上一个视频。好的，那么这里这个 d， e， c， a 呢，是一个四边形对吧？然后呢，这个 a， c 跟 d， e 呢是一组对边， m， n 分 别是对边上的中点，这就是一个四边形，普普通通，平平常常的四边形的对角线。那么 遇到这种对角线，我们要怎么样去做呀？特别简单，我们就要去看条件在哪，条件呢？在另一组对边上， 所以呢，对对对，对吧，第一个对是对边，第二个对就是对角线了，哎，我们要把这个对角线随便连一条，对吧？可以连 a e， 也可以连 d c， 哎，这个 a e 看起来有点猎奇啊，有点长，对吧？有点丑， 那我们来连连 a e， 随便连一个都行，你可以试一试。然后呢，我们要找到 a e 的 终点，小朋友们，找到 a e 的 这个终点，然后 你在和这两个中点分别连线来试一下。这个中点呢，我们叫它屁啊，屁，跟 n 一 连中点，中点中位线，它就是 e c 边上的中位线，然后呢，这个四就 biu 上去，变成了二，然后接着呢， 这个中点还要跟 m 一 连。好的中点，中点中位线又熔生成了三角形的中位线，三角形的中位线才是有用的中位线，那么此时中点中点中位线，它是 a d 边上的中位线，它是六的话呢，它就是三。 好的，接下来这个六和四是垂直的，它俩是不也是垂直的？ 哎，他跟他都是水平方向，他跟他都是铅垂方向，他俩垂直，他俩也一定是垂直的吧。所以这个 m n 好 不好求的啦。这个 m n 好 不好求的啦，等于多少啊？还要我求吗？自己写在弹幕区 哎，有很多同学学了中卫线的辅助线，但是呢，会跟五一老师说，五一老师，我怎么看不到树杈模型在哪里啊？哎，跟你说，有终点的地方呢，到处都有树杈模型。那我们一起来看一下这道题。 正方形 a， b， c， d 的 边长呢？是三倍的根号二，它为什么要给你三倍的根号二呢？就是因为它连了对角线，然后正方形对角线一连， this one， this one， this one and this one， 都是等腰直角三角形吧。 所以呢，这是三，这是三，这是三，这是三。现在说到 o e 的 长度是五，这不就是想告诉你它是二吗？然后接着呢， f 是 d， e 的 中点，朋友们， f 是 中点，现在要求 a f， 看到数差的同学请举手， 这里一个中点处丢叉出来一根线，对吧？那这是不就一个竖叉了？这个竖叉呢，就是 e f， d， 然后 f 处呢，叉出了一个 a， ok， 这是一个 e f， d 叉 a 的 竖叉模型，但凡看见竖叉模型，我们就让叉出来的这个 a 点 变成中点来。小朋友们， a 怎么变成中点啊？ a 都已经跟 e 点连了呀，对吧？它也跟 d 点连了，哎，但 d 呢？太长了，对吧？我可以把它往那倍长也行，但有点长啊。而且呢，这个 a 啊跟 e 连啊，你倍长一下 e a， 那是一件非常容易的事情，因为它的延长线都已经做好了，对吧？你在这找到一个点，让它的长度跟 e a 相等，都等于二，好不好找啊？哎，那太要找了，我直接找到了，对吧？那这个点我们教它什么呢？哎，叫它屁点好了。 所以呢， p d 这么一连，这谁的中位线？谁谁的中位线？哎，看清楚了吧， a f 就 等于二分之一的 p d 来给我掌声结束了吧， 这个是三，这是二，这就一，这个一，这个三，这个是垂直的，这就根号十，所以它是根号十的话， a、 f 等于多少？还要我说吧？来为这个竖叉全体起立。

离初中的决赛还剩五十来天，我建议后进生们把时间精力放在容易突破、分值较高的地方。比如几何大题的前两问，他们难度不算大，并且有固定套路。 最常出现的其实就两个圆和四边形。拿圆来说，第一问常出现的是切线，证明就只有两个动作，不是连圆心就是做垂线。第二问会有五个常考的类型， 前面两个的对应方法是找半径和圆心，后面三个的对应解题方法则需要结合三角形， 这是一道关于切线和弧长的题。第一问要正切线固定方法，连圆心连接 o、 d， 只要证明 o、 d 垂直于 b、 d 即可。我们来看证明过程。在三角形 a、 b、 d 中，角 a 等于角， b 是 三十度， 那角 a、 d、 b 就 等于一百二十度。再看三角形 a、 d、 o、 o、 a、 o、 d 都是半径，所以角 a、 d、 o 等于角 a 等于三十度， 那角 o、 d、 b 就 等于九十度，这样就正到了 o、 d 垂直于 b、 d。 第一问四分拿下了。第二问，求弧长。弧长公式还记得吧， 前面已经知道了，三角形 o、 b、 d 是 三十度的三角板，那弧长 c、 d 所对的圆心角就是六十度。 因此我们只需要找半径就好了。还是在这个三角形当中， o、 d 等于二分之一 o、 b， 那 我们来表示一下相关的线段长，这是 r r 二， 列出方程就可以得到半径 r 等于二分之 r 加二，再用弧长公式一算，六分就拿下了。 好，我们从这道题跳出来，是不是他两个问的入手点都是前面总结的那张图，所以家长们需要注意，题目千变万化，但解决方法不会变， 不要让孩子盲目刷题，而是去总结一类题的方法，再用专题训练去强化记忆，形成习惯，哪怕是后进生，也能做到让数学不再拖后腿。

我说实话啊，我想说这个题别说你，就是我自己做，我也读了很长时间才把题目理解透，我觉得可以堪称是天才的坟墓。这道题目他表面上看没有二次函数，没有圆，没有相似有关的东西，但是很恶心的一件事情，就 给了很多角度的关系，边长的关系，还给了一个读题都得读十分钟才能理解的一个土，跟蜘蛛网似的。前面第一问，第二问都还好，但是到了第三问，一共连出来了多少条辅助线呢？不多，一共才七条，出一条，他们到底想干什么？ 太难了。你只要能够在这七条辅助线的使用过程中，轻松的驾驭像一二三四五这样的模型，绝配角，特殊位置的角，找他的二倍找他等三角函数值，如果这些你全部都能搞定，那这个题对你来说可能就 没有那么难了。如果能够把这道题我们在考场里面规定时间内一分不扣，那绝对是天才中的天才。如果你想拿到一百分或一百一十分，第一问，第二问搞定，第三问，你看一看，发现五分钟看不懂完事了。但是如果老师我就是想进入重点高中，我就想去冲刺满分，我未来就是想冲一个好的大学，那么这个第三问你一定要把它搞懂。来，咱们来看一下这道题吧，因为我们都知道，每一年 全国各地的卷子里面，尤其像北方，就是哈尔滨，哈尔滨的模拟题也好，中考题也好，他的最后一题难度都是极具特色且极具挑战性，那同学们想挑战难题的同学直接上。好吧，来，咱们来看一下这道题，这道题的前两问跟最后一问完全就不是一个维度的， 第一问我都不想说了，第一问我们直接写结果吧，好吧，看到 ab 两点坐标，我们可以直接可以写出来， y 等于好，对应的我们的 k 值四比三，对不对啊？在这块你可以直接确定是正的，直接三分之四倍的 x 加上八。第一问不说了，直接过第二问， 第二问给出我们 c 是 线段 ab 上的一个点，过点 c 做 ab 的 垂线，现在我做出一个垂直于 ab 的 线，然后呢告诉我们交正半轴于点 d， 设 a， c 的 长为 t， 好， a， c 这段的长是 t， 好， 然后呢告诉我们点 d 的 横坐标为 d， 告诉我们了这段的长度为 d， 横坐标嘛，正的正半轴嘛，对不对？好，那接下来他说求 d 关于 t 的 函数关系式，我们要求他关于他的函数关系式。这种题目，题目说不用写出自变量的范围，那我们就正常做就行了，怎么求呢？ 已经给出了我们 a 点坐标， b 点坐标，说白了，在这块你又做了一个垂线，你会发现三角形 a、 b、 o 和三角形在这块出现了一个三角形，这个 d， a、 c 这俩三角形，它是有个共用角的，对不对？他们共用了这个角，那我就借这个角说事吧，这个角的三角函数中我们是都知道，对吧？这一个长度为八，这一个长度为六，所以我们就来看一下题目，现在给我们目标是 a、 c 啊，注意看一下。哎，怎么画出两条线呢？来给出我们这里面的 a、 c， 它是 t， 我 们要找 t 和 d 它们之间的一个函数关系式，说白了你用 t， 用含有 t 的 式子把 d 表示出来就完事了。那此时 三角形 a、 c、 d 是 直角三角形，我知道了 a、 c 这个直角边的长度， a、 d 这个斜边的长度，我是不是也知道？这是六吗？对不对？油坐标我可以知道，所以在这块咱们直接用含三角函数关系就可以了。这个角的 cosine 值，它是应该等于 a c 比上我们的 ad 的， 那么同样这个角的 cosine 值还可以用我们原始三角形 a、 o、 b 里面，这儿是六，这儿是八，这儿是十，对吧？所以六比十就是三比五，用它可以来表示 ac 比 a、 d， 其实就是 t 比上 d 加六，所以在这块我可以把这个式子直接啊 t 比上 d 加六， 我们直接把它写出来，最后我们那重开去计算，三 d 加上十八等于五。 t 我 们要用 d 关，用求 d 关于 t 的 函数，关于式，所以我们可以得到 d， 就 应该是等于 三分之五， t 减去六，搞定了，直接得到这样一个式子。好，第二问也很容易。所以这种题目你看到第三问跟个蜘蛛网似的，你至少要知道一件事情，我前面能做的分，我要拿到手，对吧？这个题十分，我高低拿两分拿到手去，而且到了第三问，到了第三问，你也不是说并非完全不能做，但几乎你不能做。 好吧，咱只能这么说，几乎你什么都干不出来。为啥呢？因为你读题没有个五分钟，十分钟，你甚至都没有读懂这个题到底在说什么，到底想考什么，你想通过我们常规的什么几何模型去分析，你可能只能做出一件事情，这个我觉得至少你要敢于去做啊，因为这个图既然长成这个样子了，不怕它再乱一点了。 我们在讲解过程中，我会把这个图分为三层，一步一步拨开它。好吧，首先咱们第一步啊，先来看一下题目给了 f 点，在第三象限隔这有一个点，然后呢，连接 f b， 连接 f b。 好， 连上了 f d， f d 我 也连上了啊， b 点地点，那地点位置也不知道，对吧？我们在第二问，只知道了地点，它对应的什么呀？对应的到我们 o 的 这个距离，也就是对应的这个 b 的 值啊，它是表示的是 地点的横坐标。然后呢，题目又给我们说了， f b 等于 f d。 你 如果说有习惯，平时做题有一个好习惯，老师，我习我习惯在题上把一些条件标上去，那这个题你这个习惯放上去以后，你会很乱，不信我们试一下 f b 等于 f d。 好， 这两个边相等，我们描一下啊，这两个边相等，我甚至还可以用不同的颜色帮你描一下，防止你后面理解起来太混乱。没关系，换个颜色继续。他说过，点 b 做 b， e 垂直于 f d， 过点 b 做 b e b e 在 哪呢？这呢？ b e 垂直于 f d。 好 家伙，搁这垂了一个， 做了个垂线。然后呢，他说， g 是 线段 b 上的一个点 g 点在这儿延长 f g 到点 h， 使得 f g 等于 g h， 也就是现在我们要出的，换个颜色，把这个线稍微加点曲线，让你分清楚一点，这两个线它们长度是相等的，好吧。嗯。然后呢，他又说， g h 交 c d 与点 a， 延长 c d 至点 m 时的 i d 等于 dm， 好 家伙，什么鬼？ i d 等于 dm， 咱们再换个色啊你，你考试时候首先你换不了这么多色啊，但是我现在就帮你把它颜色换上了。来，这个线和这段线，这两个线段又是相等的， 首先你一般做题都是看到等线段，我们一般会想到可能会让我们挣全等，对不对啊？这个题确实也让你挣全等了，但是至少， 但是，至少你在做题的时候你是看不出来在哪挣全等的，对吧？这红的红的在这呢？蓝的蓝的在这，绿的绿的在这呢？是咋挣的？不知道，继续往后读吧。连接 连接 d j， 连接 h m， 出现了一个这个关系，同学们，如果我们对于绝配角这个知识点有 知识有了解过的话，你会对他比较敏感，但是如果之前从来没有了解过的话，没关系，后面我会专门出一期这样的讲解，咱们也去了解一下。这种题目我们一般怎么考，或者我们一般怎么去用啊，这主要涉及到的就是一个对倒角或者对角度位置的一个关系的分析。所以在这我们会发现角 e b f e b f， 这他说了啊，来看一下，他给我们说，这个角我先不往上画了，画的很乱，这个角加上二倍的角 g d e g d e 在 哪？在这哦，他加上二倍的这个角是和等于九十度， 放着吧，一会再说。然后呢，给了我们 n 是 线段上一点 gi 等于根号二倍的 n d， gi 在 这， n d 在 这。不管怎么样，我们至少在我们已有的数学经验里面遇到一个线段是另一个线段的根号二倍。你一定会想，哎，这个线段是这个线段的啊， 这段的根号二倍，那你会想到我做垂线对吧？出现四十五度，让这个边和这个边对应相等，肯定会想到一个四十五度，对吧？这是我们在做题的时候可能会用到的一个经验啊。好，那接下来咱们继续来看，所以这里面暗含一个四十五度，我们先标在这， 然后连接 m n， 连接一下 m 点和 n 点，把这连上了，又给了一个当我们的角， c d g。 好 家伙， c d g 是 哪？ c d g 是 这个小角加上二倍的角 g d o， 这个角加上二倍的它等于角 h m n 的 时候， 我们要求 b g 等于 f e 时， b g 是 哪？这和 f e 它和它相等的时候，对应 t 的 值， 求 t 怎么求？如果你还记得我们上一问干了啥的话，你就懂这个题最终让你求的是什么了。上一问，我们是不是知道了 d 和 t 的 关系了，对不对？所以想求 t， 你 只需要知道 对应的我们的 d 的 值是多少？ d 是 谁啊？ d 是 我们对应 d 点的横坐标啊，在我们正半轴上的 d 点，它的横坐标的值。说白了，最后我们目标你的转化就是想求 t， 求 o d 啊，想求 t， 你 得把 o d 求出来。哎呀，首先我们先来说一下考场上遇到这种情况怎么办？你做到这个题已经没有什么时间，或者说我勉强把题目读懂了，我也分析出来了，要想求 t 就 要求 o d， 那 你至少可以先去蒙一下， 猜一下。就这种题，你把答案答出来，高低有一分两分的，你先拿到手里，你比如说这里面 o b， o d， 你 看 o d 等于多少，你盲猜 o d 等于多少？如果你发现老师我感觉 o d 和 o d 长度接近，我盲猜它是一个等于八， 或者我敢于把 b d 连上，以后我盲猜这个角是四十五度。好，恭喜你，这两份就抢到手里了啊。别人哼哧哼哧写了那么多的东西，无非就比你多拿四五分嘛， 能差多少呢，对不对？所以这时候你在最后一题的时候，真没招的时候，我大概目测一下，或者中考卷一般也比较标准，掏出你的尺子量一下，总也有招解决好吧。嗯，像这道题目，你如果想完整的做对它，就不再局限于某一章的知识了， 他至少你对所有的像这样的几何倒角问题，几何图形问题，你要很熟悉，并且你要能够有这个能力，在我们这样的一个平面直角坐标系里面，对角度，对三角函数值，对我们的线段关系能够非常快的去识别和求解，这里面融合了非常多的。呃，辅助线的补行思路，来，咱们步伐来看一下。 首先咱们来看在这问的环节里面，你至少我们在第一问的辅助线，咱先把这些已知信息擦掉了，这个信息放在这，你也不知道该干什么，咱们不妨一步一步分析上来。题目给了 f b 等于 f d 来看一下，这是 f b 描出来啊， 我这里面用的笔就相对细一点了啊，一旦写错了这个一二写不了几个字。另外，我在写的过程中，最终呈现的步骤就是一个大概的解析思路的步骤，具体的证明我会给你讲清楚，但是需要你自己来完成，好吧？ 然后证明过一步以后，为了防止这一步会影响到你后面的判断，多余的辅助线我就会把它擦掉，好吧，嗯，好，那接下来在这个环节里，你们会发现 b f 和 f d 这两个边长度相等，所以如果我在这块想到等腰三角形的话，你一定会选择。老师，我在这想去把 b d 连上，没毛病，你把它连上，思路是非常清晰的， 连上它以后，此时你肯定还要再连上一条线，连上谁呢？因为你连接 b d， 它并不会产生什么实质性的东西。在这个题目中，至少你现在前半部信息你用到了一个相等，还用到了什么呀？用到了这里面有一个垂直，所以相当于出现了一个等腰三角形， 然后呢，没有给你做出底边，做了一个腰往另一边的垂线，在图中相当于就这个关系， b e 就是 这个腰，这个这个底角的顶点向另一个腰这样的一个垂线， 对吧？坐着往腰上的一个垂线出来，所以我们的思路要把底边补出来，并且把什么呀，三线合一的这条线给它补出来，这是你的辅助线的一个步行思路，所以我在这块第二步连上 b d 以后，第二步我取 b d 中点连接 f 到这个中点对应的 连线，假设这个点我们就是一个 p 点啊。这个题还有一个细节，就是你在里面连辅助线去找点的环节，你得看清楚，因为已有的点太多了，你别 往这整个 n 点做着做着发现毁了，人家原来题目里有一个 n 点，你后面一下全乱了，对不对？好，那接下来咱们要进行分析了，在这个图中，题目给出来了一个什么样的信息，我们能用上的是一个什么样的信息？ 按照这个大概的逻辑，咱们把图形补出来了，接下来咱们就需要思考了，看一下啊，右边这个图我先暂暂时在这放着，一会我们可以帮着咱们自己去分析一下，咱们先来去看一下咱们图内其他的信息，我们该如何去使用。哎呦，重新再来一下， 那么我们看一下，在题目中，我们把这个图一旦补出来了， p 点是中点，如果我能够想到把 p e 连上的话，那自然是更好的，因为你会发现 p 点是 b d 的 中点， b e 是 垂直于 e d 的， 就相当于是我们往这做的这条垂线呢，这个点是斜边的中点，这有一个直角三角形，所以连上它以后，你会发现他他他这三个边的长度会出现一个相等的关系，对吧？这是我们在做题的时候，咱们可以自行给它去做上补充的。好，那我们来看， 不妨我现在就把这个辅助线咱也给他补出来啊，辅助线我也连细一点吧，省的一会看乱了来，那接下来接下来咱们来看在我们这个图中，哎，连细一点看着好像会清晰一点，我们把这些线都稍微给它描细一点啊，大概知道这里有一条线就可以了，好吧。嗯， 好，那么接下来咱们需要干什么事情？我们找到这个屁点之后，我们要根据角度信息往下去推导题目中给出了什么， 这里面给出了一个后面有着什么 f g 啊，等于 g e 这两个边相等，在我们目前的这个图中用不到。所以说你还有一个很重要的信息，就是哪个东西能在这个题目能用到哪个东西现在在这个环节用不到，我们就得放一放，咱们现在用上的，我们可以先给他标上，对吧？这里用到了，这里用到了，这个没用，然后再往后读，读 到使 id 啊， id 等于 dm， 你 在这个环节很明显它也出了你这个三角形外面了，所以也用不上。那最关键的一个信息出现了，这个 角 e b f 等于二倍的角 g d e。 看一下，角 e b f， 这个角是我们的角 e b f， 它是不是本来就出现在某一个直角三角形中了？ 没错吧？是的，这个角就在这个直角三角形里面，它加上一个二倍的角 g d e 等于九十度。那你能不能找到某一个角就应该等于二倍的角 g d e。 谁呀？你是不是发现这个角加上角 bfe 刚好是九十度，所以我们在推导的环节就分析出来，角 gde 应该是等于角 bfe 的， 那 g 啊角二倍的角 gde 是 等于角 bfe 的， gde 在 哪？这是 gde。 来，咱们把现在假设它是阿尔法角，这个角，我们假设它是一个阿尔法的角， 此时这个角是而法，所以你会发现整个这个大角就是而法，所以我们角 d f p。 注意啊，红色的，也就是我补出来这个辅助线，这个角的大小和左边也就上面这个角，这两个角对应的都是而法，这是我们可以分析出来的， 对吧？那么对应的这是而法，这是而法。好，那么我们的角 f b e 这个角就应该是九十度减去二倍的而法， 对吧？这个角就是九十度减去二倍的 r 法。好，另外我们还可以发现的是，在这个题目中， 刚刚我们是不是补了辅助线，这是九十度减去二倍 r 法，这是一个 r 法，那么这个角呢？对应的是不应该也是 r 法角了 啊？我们在这个推导的过程中，因为这有一个垂直，在这个垂直里面， r 法加上九减 r 法，再加上 r 法，它们之合应该等于九十，对不对？又因为刚刚我们连接了 p e， 所以 此时这是 r 法角，这个角也是 r 法角 等腰三角形，而对应的此时我们角 p、 e、 d， 剩下的这个角，它就应该对应的是一个九十度减去 r 法了 啊。此处这个角是九十度减去 r 法。那么咱们再来看整个角 b、 d、 e， 整个这个角 b、 d、 e 是 多少？哎，它是不是应该对应的就是一个九十度减去 r 的 角？那因为我们下面这已经有一个 r 法了，所以上边剩下的这部分角，它是不是应该是一个九十度 减去二倍的耳法？此处这个角应该是一个九十度减去二倍耳法的角。哎呀，分析了一大圈，分析的都晕了， 哎！有的人说，老师，那分析这些角我们能得到什么呢？目前我们看到能去找到的，能去分析出来角，咱们都给他去标出来，包括你会发现这个角是一个九十度减去耳法，你看整个这个角和整个这个角，这俩角应该都是九十减耳法，对不对？这个角对应的九十减二法。当然你说老师我不写出来，我就想，我就知道他 左边两左右两个角，这两个角的总和都是九十度减而法也可以啊，但是我至少要知道这个小角它应该对应九十度减去而法。然后我们再去看， 在这个题目中，我们这个角度推导的这一块，大概已经能推导的推导到了。当然你也可以去发现一些其他的信息，比如说这儿是九十减而法，这儿是九十减而法，那么此处这里剩下的角应该就是一个二倍而法角，对吧？所以你会发现这个角和它它们两个来我标双线， 这两个角应该都对应的是我们刚写出来的九十度减去二倍的二法，对吧？整个是直角减去二倍二法，它是九十减二法，它呢也对应了九十度减去二法。 其实在这个的推导环节里面，你可以完全像我刚刚一样，把它放在外面的一个等腰三角形中，在这个图形里面对它完成推导。好，那我推导到这以后，这个图已经看起来很吓人了，对吧？但是我们还并只是找到一些角度关系，并没有得到什么实质性的进展。我们可以继续往下看看哪些条件能用得上。 g i 等于根号二倍的 n d， g i 和 n d 在 这个图中我目前我是用不上的，对吧？包括我们这组角度关系，它的位置也非常偏，并没有在我们这个等腰三角形内产生联系，我也用不上，但是题目给出了一个关键信息，他说 b g 和 f e 是 相等， 嗯，看一下咱们现在用另外的颜色去标注一下 b g 和 fe 相等，你会得到什么？来看 b g 是 在这里的，我们把它的颜色更换啊。 b g 是 在这里的， fe 呢是在这里的， 所以我们会发现在这出现了关系了。 b g f e 相等，这个角是 r 反，这个角也是 r 反，这个角是九十度减 r 反，这个角也是九十度减 r 反，所以在这出现了第一组的全等关系。这个全等关系长什么样？我大概给你草图描一下，这有一个三角形， 然后呢？这也有一个三角形，这两个三角形他们是全等的关系。好，我撤销了啊，不然留着太乱了。好，所以在这块我可以得到一个三角形 b g、 d 是 全等于三角形 f e p 的 这个的判定依据。我们用到的是 a a s 一个角，两个角，还有一个边角角边。 那么由这两个三角形我们得到的第一次全等关系，我们终于顺利的找到了一些边长的等量关系。除了途中两个蓝色线段对应相等之外，我们还应该可以得到的是谁啊？咱们会发现此时 e p 和 g d 相等，这两个线段你相等你也用不上，但是我可以用的是 f， 对 不对？你会发现这个三角形和这个三角形全等，所以 f p 与我们的 b、 d 是 什么关系？ 所以 b d 和 f p 是 一定是相等的，也就是我这补充的这一条辅助线和这一条辅助线，这两条线的长度是永远满足相等关系的。好，那由这个相等关系我们可以去进行哪一步的推导呢？ 哎，这里面咱们可以得到他们这块有什么样的关系？他和他是相等的，那是不是就说明了，因为屁点刚好是 b 的 中点，所以这块刚好是我们 f p 长度的一半，对不对？这条线和这条线相等，所以这和他的关系就是一个一半关系。由此你会发现，我们的贪听的耳法 就应该等于 p d 比上 f p， 这是它的一半，这是它的一个整个。所以一啊，这个二分之一比上一刚好，你会发现贪心的阿尔法等于二分之一，我们在这得到了一个贪心的阿尔法的大小。 好，那老师我得到它又有什么用呢？那因为这个图中有非常多的阿尔法角，所以这比上这是一比二，同样我们也会发现，因为这是阿尔法，所以 e d 比上整个 b e 也是有一比二的关系出现， 对吧？那么此时我可以去找到谁，包括你在这这还有 g e 比上 e d， 他 这也是一个一比二，因为我们原始设的反反就是这个角嘛，对不对？在这个三角形中也会出现一比二、一比二、一比二 啊，还有我们刚刚的一比二，对不对？它的反反都会出现啊。那接下来我这个题要往下怎么去做好？那么我们会想到 这里出现这样的关系以后，因为我们还刚刚在全等的时候，是不是用上了 b g 和 f e 这俩的长度是永远什么关系啊？是永远会相等的关系，对吧？那我们现在不妨咱们假设好现在这个图，我就要把它一部分擦掉了，不然会有一点乱。没关系，我现在稍微给你去演示一下啊，咱们假设 g e 的 长度， 我先把内部的一些线擦去吧，这个线留着会有点乱啊。咱们现在把内部的一些线擦去重新写一下，因为角度的信息，我们推导推导这些角度是为了我们去政权等吗？对吧？现在咱们把这个图没有用的一些点，我们现在就不看它了，好吧，咱们直接把这个图去给它补成一个 能帮助我们去进一步分析的图。这也就是你在做辅助线的时候，这个题我们的辅助线可能需要画几次啊？因为你画一次以后有点乱了以后，这个图就要去停止重新修改，这个确实还是挺复杂的一个图啊。好，现在我们先去还是连上我们刚刚这条线，刚刚我们知道的角，来看一下咱们是不是连上了 f 点到这个线的中点，连出了这里，对不对？好，我现在把它也去，大概能看清位置就可以了。接下来你会知道的是这个角 以及我们的这个红色的这个标和它标出来这个角啊，这是 p 点，以及我们刚刚最开始设的这个角，他是阿尔法，他是阿尔法，他也是阿尔法， 对吧？嗯，好，包括你说这个角也是阿尔法，对吧？这些这些角我们都有这样的信息，所以你会发现，如果我假设这一这段的长度，我们假设它是 a 的 话，你会发现这是 a， 那 么这对应的就是二倍的小 a， 这里是二倍小 a， 因为一比二的这个判定值的一个关系，所以这是二 a， 这整个就应该是四倍的 a， 所以 上边的这一段 b g 的 这段就应该是三倍的 a， b g 这段是三倍的 a， 因为我们的 b g 和 f e 是 相等的，所以 f e， 这就会出现一个三倍的小 a， 没错吧？在原题中我们这个线是怎么来的？是垂直出来的，所以你会发现 a 比上三倍的小 a， 也就是我在 r 下面这块有一个，我换个颜色啊， 红色配一个蓝色吧，有一个蓝色的小角在这里，也就是我们的角 g f e， 这个 g f e 这个小角，你看到我们刚刚标的这个 r f e 角是角 p f e 对 不对？那你的 g f e 这个小角是不是刚好在我现在描出的这个直角三角形中，对吧？它的对边比上邻边是多少？ 一比三对不对？所以在这你会发现，哎，老师， g f e 这个角出现了一个一比三的判定值，角 g f e 等于一比三，你想到了什么？ 你想到了什么？在这出现二分之一，出现三分之一，你想到了什么？在这你可以稍稍作推倒，这个推倒过程我们就不在这个大题里写了，是不是一二三四五？所以我们会知道这个 r 角加上这个小兰，它俩之合一定是等于四十五度的。 而这个四十五度，你只要能想出来，那你就知道和我们的目标至少是更进一步了，因为你的目标就是要冲着根号，根号会出现四十五度的关系，你是在向着你的目标进发， 对不对？这是我们在做题里面你意识到的一件事情，而当你意识到这以后，其实我们就可以导出有一个角的度数，哪个角呢？角 d g h 这个角的度数你就已经得到了， 哎，他的度数我是怎么得到的呢？为啥我说我就可以直接得到这个角度数呢？因为你会发现，在这个图里面，角 g d h 他 是不是应该等于来看我写一下啊？角 g d h， 他 是不是应该等于我们的这个小兰，也就是刚刚我们标出这个角加上，而法对不对？小兰加上而法 刚，我们师傅说了碳点值三分之一，碳点值二分之一，这两个角质合应该是四十五度，所以由此我可以推出这个角角 g d h 等于四十五度。搞定了，这出现了一个四十五度的角， 那这个题我们的第一个环节就非常清楚的得到了目标四十五度出现，当我们这出现一个四十五度的时候，我现在可以怎么解决问题呢？你遇到四十五度，我们肯定想去构造垂线，对不对？所以如果此时我可以过地点向我们的 d h 做出这个垂线， 假设垂足到这，我们把垂线给它做出来，这个垂线我们只要一做，注意此时这是一个直角，我把颜色换回来，这是一个直角，那么你会发现，假设咱们这个点， 怎么假设是 q 点吧？啊？好，咱们假设它是 q 点的话，此时这一我们到这到这个线已经做出是第四条辅助线了，一条两条，以及刚我们分析的时候还连过 pe， 对 不对？好，现在把地点向我们的 f g 做出这个垂线段 到 q 点，那么你会发现这种情况下我们的 g q 和永远会和 q d 长度是相等的，对不对？因为这是二 a， 这是 a， 所以 这就应该是根号五倍的 a， 所以 g d 是 根号五，所以这里面呢应该都是二分之根号五除以根号应该是二分之根号十倍的 a， 所以 这里也是二分之根号十倍的 a， 那 么这两个都是二分之根号十倍的 a， 我 们这一条线段的长度我能不能知道 f、 g 的 长度能不能知道 a？ 三 a， 这应该是根号十倍的 a， 对 不对？那我们知道这些有什么用呢？这是根号十倍的 a， 这是二分之根号十倍的 a， 我 能想到什么？ 我会想到这个题目我们现在至今为止用到了一个、两个、三个信息，对吧？还有什么没用？有的好多呢，一个边，两个边，这还有一个根号二，这还有一个角的关系呢，对不对？你会发现题目是不是给了 f g 和 g h 这两段长度是相等的关系， 意味着这是根号十 a 的 话，这里一定是根号十 a， 又因为我们的 g q 是 二分之根号十 a， 所以 q h 一定也是二分之根号十倍的 a， 所以 这两段的长度对应的就是相等的关系。那么由此你就可以得到 我们 d q 垂直于 j h， 而且 q 点是 j、 h 的 终点。我们经过刚刚这些导角的计算，你最终的目标是推导出来什么？最终我们的目标是推导出来，此时我们只需要连接 h d， 这里就可以出现什么呀？就可以出现四十五度角。 好，那我们这个环节咱们推导到这一步，我们已经可以把题目里面其他信息咱们再去清理一遍了，不然这个图咱们又没法看了，好吧，我们把题目里面的这些写出来的这些信息，我们可以去擦一下，一会再具体做到哪一位的时候，我们再来去看。所以当你做到这一步以后，我们需要知道的是， 首先我们刚刚在做的辅助线的过程里面来，我重新把辅助线补一遍，啊，这样以防我们看的不太清晰。 这是我们的第一条辅助线，这是我们的又一条辅助线。 然后我们刚刚在做的过程中，我们通过在倒角的这个环节里面，咱们发现了这个角是一个四十五度的角，我们还做了一条垂线段，由我们的地点向 gh 做出了一条垂线段， 这是我们的 q 点，这个点呢，对应的是我们的 p 点。好，我们把刚刚做的点都还原回来，这儿是四十五度，我们推导出它和它相等，还和它相等，所以只要我们连接上 h、 d， 第五条辅助线出现了啊，只要我们连接上 h、 d， 那 么这时候会出现，这里是四十五度，这儿有一个垂直， 这也有一个四十五度。四十五度，我现在标注的这个角也是四十五度，这有一个垂直关系，包括我们的角 g、 d、 q 和 q、 d、 h 也全部都是有四十五度的关系。 哇，题目做到这块，感觉这个题目的信息好多啊，四十五度，四十五度。哎，那我是不是就知道了一个事，此时他四十五，他四十五，那不就说明了 d、 h 和 d、 j 是 垂直的吗？ 哎，我往下写吧， 也就是这步，我们坐到这，发现这出现了一个直角啊，它是这样一个垂直的关系，那当我们这个题做到这，我们会想什么？ 哇，这个题做到这一步已经黑已经非常困难了，对不对？五条辅助线都补完了，那我们要想到题目还有什么信息没有？ 截止到刚刚，我们连这个信息也用上了，还差哪个信息没用？根号二倍，目前为止这个根号二我依然看不出什么使用的办法。 i g 是 我们根号二倍的 n d， 目前是没有什么好的办法能把它凑到一块的，对不对？但是如果你想到了 d 点，它是 i m 的 终点的话，也就是你看到这个信息的话，我们应该能想出下一条辅助线的思路。在这我们用到了一条新的辅助线，这个逻辑叫做什么呀？背长中线，只不过在这它并不是一个真正的中线，它是一个类中线。你会发现，因为 id 和 d m 相等，我不妨我延长 g d 下一条辅助线延长 g d， 比如说到我目测一下，怎么准啊？大概是这个样子，大概是这么长吧。延长 g d 到点 s， 假设这个点是 s 点，使得 g d 和 d s 它们的长度是相等的，那我们只需要再去连出我们的 m s 哈，又一条辅助线，对吧？连完以后，我们把 m s 也去做连接 好，此时你会构造出来了一个全等关系，对不对？只要我们现在倍长啊，这块我主要是写思路了啊。咱们如果完成的是倍长 g d 到 s 的 话，那么我们可以得到的信息是什么？这两段的长度是一个永远相等的关系，那么我们构造出来的是一个三角形的全等，对吧？背长中线得到的一个全等关系， g i d 和我们的呃， s， m d 这两个三角形全等， 也就是 g i 就 等于 ms， 当我说出 g i 等于 ms 的 时候，你就应该立马意识到一件事情。好，这个题目有一个小小的细节出现了， 它我直接这有一个四十五度，直接做出来不好做，你在把它做过来的过程中，首先因为全等，对吧？我们是被长中线构成构造的全等，所以这块的一个全等一句，我把它写出来吧。在这个环节里面，由此你得到的是三角形 g i d 全等于三角形 s m d， 那 么 m s 和 gi 永远相等的情况下，而且这个角一定也和它一样是四十五度，对不对？所以此时我们只需要过 m 向咱们的 g s 把垂线做出来， 又一条垂线，又一条辅助线，这条辅助线做出来的目的是什么呢？目的是把我们的根号二倍利用上， 这我们就可以得到。因为四十五度，我这个垂线一做，此时不管垂足，假设垂足是还有没有，哪个点没有用，假设垂足是 t 点，你会此时发现 st 这个线段长度永远是等于 nd 的， 对不对？这个垂线一做 st 立马就等于 nd， 我 们顺利的把 nd 和 st 的 关系得到了一个转移，所以在这一步我们能得到什么呢？你会发现 nd 等于 st 的 话，所以 又因为我们整个 g d 和 d s 长度是相等的，所以我们的 nt 的 长度，它是等于 g d 的， 也是等于 d s 的， 对不对？这段 nt 这段的长度是等于 g d 也是等于 s t， 所以 由它我们可以推出这样的关系， g d 等于 s d， 这是本来的全等我得到的关系，并且还等于 nt， 在这我找到 n t 和他们相等，我想干什么呢？我想通过在这块得到一个什么关系呢？没错，咱们还想再去得到一个新的全等，去 又在这个环节，我的目标最终目标会落到，我还想再拿到一个全等的关系去了。因为你看，给出 g、 d， s， d， n、 t 其实还有一条线的长度跟他们的长度也是一样，谁呢？你会发现 g、 d 的 长度 和我们 d s 的 长度和我们 n、 t 的 长度，以及刚刚这儿是不是有个四十五度，这儿四十五度，这儿四十五度。所以我们的 h、 d 的 长度是不是也是知道的，它是和它们一样的啊，也就是 h d 的 长度跟它们也是相等的。那么在这儿你可以看到 h d 就 应该和我们的 n t 啊， h d 这个边和 n t 这个边是相等的关系。而且呢，我们 n、 d 这个边和 t 谁啊？ pm 这个边也是相等的，所以只需要我们再连出一条辅助线，连出 h n， 好， 咱们把它连上，稍微细一点啊，连上以后，你会发现，此时三角形 h， n、 d 一定是全等于三角形 n、 m、 t 这里面全等关系就是 s、 a， s， 对 吧？在这里面，直角我们是知道的，这个边、这个边分别是相等的关系，所以由此我们可以推得的什么？由这个三角形全等的关系，你可以得到我连出的 h n 和 n m， 所以 可以得到 h n 和 n m 这两个线段，它们一定是相等的。来关注一下，这个边和这个边相等，你能得到什么？ 我还应该可以得到的是，因为三角形有全等关系，这儿是一个直角，这儿也有直角出现，所以你可以推得此处出现的 h， n、 d 这个角，加上 m、 n、 d 这个角，也就是我现在在途中我给你描出来的。来，我给你描出来的这个角，它一定是可以全等的。呃，可以等于九十度的，对不对？你由全等关系， 他加他是九十度，他加他一定也是九十度。所以这是直角，两个边相等，出现了什么哦？ n h 和 n m 是 相等的，这还出现了直角，所以在这你可以得到，这出现了一个四十五度， 我们就画下面就行了啊，因为你上面画出来也很乱，再一个对你最终推导出来结果没有什么帮助。你只需要知道我们 h n m h m n 它的大小是一个四十五度啊，这出现了一个四十五度的角， 那知道这个角四十五度就怎么样呢？我们纵观整个题目的所有条件，你发现还有唯一一个条件没有用上谁呢？在这里 角 c d g 加上二倍的角， g d o 等于 h m n， 也就是它的值是等于四十五度的。这个题我们最后把信息转移到了前面，是等于四十五度的，那么在这这个图又有一点点其他的线会干扰到你了，那我们现在把它去那擦掉，好吧，我们现在把它去擦掉。 在这个图中你会发现这个线连上没有问题。你最终想求的角，我们可以瞄一下咱们 c d j 是 哪个角，这个角 这个角加上谁？加上二倍的他是等于四十五度的角，你一定不希望加上二倍的他，那你希望的是什么呢？你看我们最终还是说白了，归根结底，你要是确定地点，他所在的位置，就我目标想确定这个位置的。如果我们把 b d 连出来的这条线， 连出的这个线和我们 x 轴的加角，也就是 b d o 这个角，咱们要能把他搞出来是一个四十五度，大功告成。那我们来看现在卡点是哪块， 看我们现在这个这个环节，咱们的卡点在哪？我们现在知道的是这一个角加上下面这个角的二倍，两个这个角加起来等于四十五度。如果我能想办法去证明出来角 p、 d、 c 这个角 p d， c， 它是等于角 g、 d、 o 的， 也就等于这个 如果我能证明出来它这个题我们就直接顺利搞定了。但是现在因为这样的话，我们这个二倍的它就可以转移成这两个角了吗？此时我们就变成小角，加上中间角，再加下面角，这三个角之合刚好是等于我们目标角四十五度。 但是现在不够，这个题目的信息并没有给你，这些我们需要自己想办法，想尽办法去证明出来。我现在标注出来的目标这两个角，它们两个得是相等的关系，能正吗？你直接去正上面的和下面这两个小角，其实不好正，没关系，我教你一招，你可以带上别的一起去正，带上谁呢？我把它带上， 想正它俩相等。说白了是不是我只需要证明角谁呢？ p d， g 让它能够想办法挣出来，是等于我们下面的这个角，你看 p、 d， g 这个角和我们下面的整个 c、 d、 o 这个角， 只要能证明它们两个相等，这个题你就可以说明我们刚刚上面目标的角 p d， c 和我们的角 g、 d、 o 相等。那么这块相等通了以后，我们可以得到前面两个角之合，就是 p d， c 加 g， d， o， 再加上中间的 i、 d， g 三个角之合就是我们的目标角 b、 d、 o 四十五度了， 对吧？所以那现在这一步我们怎么能够证明这两个角是相等的呢？这又涉及到了我们最开始最原始的导角过程了。首先我们知道 角 c、 d、 o 这个角它我们是可以知道它的信息的，为啥呢？来看 c、 d、 o 就是 角 c、 d、 a。 在 我们上一问的时候，我们就已经研究过，你看角 c、 d、 a， 它的大小应该永远会和角 a、 b、 o 大 小是一样的， 对不对？你看 a、 b、 o 这是垂直关系吗？所以 c、 d、 a 这个大小永远会和角我们的 a、 b、 o 是 永远保持相等的关系，这可以通过八字模型去正，都 ok， 很 很好正。那么我们角 a、 b、 o， 它的摊定的值是不是固定的？ 对边比上邻边这块的这块 a 点的坐标，我们在上一问之前是知道的，这是六，这是八，所以这块对应的就是四比三，也就是角 c、 d、 o 它的摊定的值 判定的角 c、 d、 o 是 等于四分之三的，如果我能说明这个角它对应的判定值也是 三分之四啊，也也是四分之三，就是三比四，我们就可以搞定这个题，整个这个题的逻辑就通了。那么这个角的判定的值我能不能求呢？那你就要看一看我们现在所有的目标，将全部转移回我们现在描出的图中这个角来。我们现在在这里边说的这个角 p 啊，也就我们现在在这说的这个角 p d g p d g 这个角，我们刚刚在哪说过呢？在最开始证明我们三角形里面，在全等这个信息证明的过程中，我们在倒角里有研究过它 最开始我们设的阿尔法角是不是就是角谁啊？角 g、 d、 e， 我 们开始设的它是阿尔法，对不对？所以我现在拿过来它是阿尔法， 那我没有记错的话，刚刚我们是不是连接了 pe 来着？所以我们在证明的过程中，咱们是知道这个角是 r 反，这个角也是 r 反啊，整个角 p、 f、 d 也是 r 反，这个角也是 r 反，然后对应着我们连接 pe 以后，你会得到这个小角也是 r 反，对不对？那由此我们可以推得什么？ 这个角我们在刚刚教他的叫做九十度减去二倍的耳法，而他是九十度减耳法，对应着我们这个角，你看在三角形 f、 b、 p 中，这是直角耳法，耳法他是不是一个多少呢？他是不是对应的也是九十度， 九十度减去二倍的耳法？所以你会发现这个角永远和我们的角 f、 b、 e 是 相等的，他是永远等于角 f、 b、 e 的。 那么你会发现角 f、 b、 e， 它的探令值我是可求的，怎么可以求呢？刚刚在找线段关系的时候，我们是不是说 咱们求出来了 f 角的探令值，对吧？我们刚怎么求的呢？假设这是 r 法啊，假设这是 a， 所以 这应该对应的是二 a， 所以 我们知道整个 b、 e 的 长度是多少，是四倍的 a， 对 吧？然后我们还推导出 f、 e， 因为和 b、 j 相等， b、 j 是 三 a， 所以 这也是三 a， 所以 这的长度是三倍的 a， 这里是对应的是三倍的 a， 而我们在这里 ab 的 这个，这个 f、 b 的 长度应该和它的长度应该是对应什么关系啊？你这是四 a， 这是三 a， 这是四 a， 这是五 a， 对 不对啊？这是三 a， 这是四 a， 这是五 a， 对 不对？所以此时我们想求这个角的 它那个值，这儿是四 a， 这儿是三 a， 这儿是垂直，你是不是同样可以得到角 f、 b， 它的摊定的值同样也是等于四分之三？所以在这个环节里面，我们通过摊定的值证明了摊定的角 f、 b、 e 等于摊定的角 t、 d、 j， 且等于它的角 c、 d、 o， 也就是你会得到这两个角是相等的关系。所以你发现，哇，这个图画的真是上头了，对不对？最后你会发现，这个角和我们在这描的这个角，这两个角它们大小是相等的关系。我把其他辅助线擦掉了啊，最终我们在图的最后一步分析出来的是 你通过我们的 b 点连接 d 点，咱们连出的这一条辅助线。哎，扬眉吐气一下，因为这个题我们做出来了，咱们直接把图画粗一点啊。好，我们把这条线连出来，你会发现咱们正出来的是 角 b、 d、 g 和角 c、 d、 a， 这两个角永远相等，那你说由这两个大角永远相等，是不是可以扣掉中间部分？我得到上下两个角相等，也就是 p、 d、 c 和 g、 d、 o 是 相等的，所以在这里面你就可以证明，它加它应该等于四十五度， 也就是角 b、 d、 o。 由它等于四十五度，你得到的是角 b、 d、 o 等于四十五度，那么这个角 b、 d、 o 是 四十五度，那是不是说明 b、 o 和 d、 o 是 相等的？ d、 o 我 们可以得到，在这最终得到啊 d、 o 的 值，最终可以得到 d、 o 的 值是等于八的啊，它应该是等于我们 ob 的 长度 d o 等于八。我们还记不记得在上一问，咱们推导出来那个关系式啊？咱们可以看一下，在上一问，我们得到的关系式， 不是这个上一本，在上一本，我们在这一步得到的关系，是不是得到一个关于 d， 关于 t 的 一个函数关系，对吧？在上一页我们是有求出来的，所以在这块我们把它直接代入，你会求得最终 t 的 值是等于五分之四十二，直接搞定了。这就是这样一道题目， 整个这个题目前前后后，我们如果想把它完整做出来，你至少得有三或四个原图，去在每一个计算环节里面，把辅助线对应的画上，把对应的关系逐逐步求解出来。你比如说我们其实可以把它分成这么几层，第一步，我们是三角形的全等证明。 另外在第二步，我们这涉及到了一个一二三四五这样的一个角的证明。当然这个结论我们需要简单的一个证明正出来，我们这个角 g， 呃，这个 d g h， 它是一个四十五度，我们需要一个证明的环节证明出来，它是一个四十五度，二分之一，三分之一。由此可以借助外角去证明啊，这个角和这个角，这是阿尔法，这是我们另一个角直接证明出来。好，然后我们还需要借助什么呀？由 d h 垂直于 d j， 我 们通过倍长，在倍长的这个环节，我们又得到了一个结论， 在被常这里面我们说，说白了，这是两个全等的证明，第一份全等在这里去挣出来，下一个的全等在这个环节挣出来，那么然后我们到了最后还需要涉及到的，你最终把所有的目标转移到了这些角的关系上，我是不是要想办法把这个角的信息，通过题目中 目标角的转移以及三角函数值，你发现他们的摊定的值是一致的，所以我可以求出对应角大小是相等关系， 这是整个这个题目具体的步骤，同学我可以展示出来啊，咱们其实各个渠道搜也能搜到，但是这个题的思路确实是非常重要的一个思路，他给到我们的是你在每道题目一层一层从外往内抽丝剥茧的过程，同样这个过程也非常难， 如果在这道题目我确实没有能力做出来，建议我们可以选择选择性的去蒙他一手。 就像我刚刚在讲这个题说的，你这道题从前往后，前前后后做出的辅助线，七八条辅助线，每条辅助线都是要根据题目的信息，尤其我们围绕着等腰三角形，我们就做了三四条，对吧？涉及到了倒角和全等证明，后面我又围绕着四十五度，我又反复做辅助线 去通过全等导边的关系，也是导角的关系，而且由我们在这出现了一个中点，我想到的是你看 i d 等于 dm， 这是 d 点，是一个中点，所以我直接延长 g d 到点 s 出现了一个倍长中线这样的一个倍长内中线的辅助线思路。通过这样我们把咱们刚刚不好处理的 g i 转移到了 sm 这里面， 同时再去做垂线构造新的全等，实现对你目标角这个 h m n 的 求解，求出它以后，最后一步去分析 g， d， o 这个角和我们刚刚上面这里面的 p， d， c 这个角，或者说是 b， d， c 这个角的一个关系，最终得到你最终就是四十五度的角 啊，所以就是这道题一个非常复杂的一个推导过程，我们可以去感受一下这道题。我也非常建议如果你没有读懂这个题，先不要听我现在的讲解，一定要至少把这个题反复读懂，听懂理解这个题目他要考什么以后，你自己做到我无计可施的时候，你再来去听老师讲的这个内容，在很多细节你会茅塞顿开， 而这个题目中，它对我们这里面角 e， b， f 加上二倍的角 g， d， e 等于九十度这样类似绝配角的考察，也是我们需要在平时做题过程中把它作为单独模型去反复锤炼的一个细节。好，那我们本视频咱们到这结束跟我学，考前带你疯狂逆袭。

又是一道逆等线加动点坠直问题，这个题型的重要程度周老师在前几期视频反复强调，在这里就不赘述了。动点坠直加上逆等线这个重要题型，他们两个结合又能碰撞出什么样的火花呢？ 来看今天这道题，我们说逆等线。首先来讲什么是逆等线模型。逆等线模型最主要的特征就是有两条相等的线段，并且这两条线段不在同一条直线上。那逆等线题型我们怎么去解决它呢？一共有两种方法， 第一种我们最常用的就是平移，第二种方法就以相等的两条线段为基础，构造全等三角形。无论是平移也好，还是构造全等三角形也好，最终目的都是让我们将目标线段的 一个端点重合在一起，从而使两条线段呈现出共线的趋势，然后用两条线段相加最小和的本质问题去解决它，也就是两点之间线段最短，点到直线的距离，垂线段最短。好，我们看今天这道题， 正方形 a、 b、 c 的 边长为二， m 是 b， m 等于 cm， ef 分 别是 a、 b、 c、 d 边上的动点，且 ef 垂直于 am， 求 em 加 af 的 最小值。那我们说 逆等线得有两条相等的线段，并且这两条线段不在同一条直线上。那这道题相等的线段除了正方形的四条边之外，还有什么呢？这道题的第一个知识点就涉及到了一个什么模型， 十字架模型。来，我们看什么是十字架模型？说在正方形 abc 这种有两条线段，而且这两条线段的端点一定是在正方形边上啊，两条线段相互垂直，那么这两条线段一定相等，怎么正 来，我们说我过 f 点做 f h 垂直于 ab， 那 么 f h 一定等于 ab， 这个没问题吧？来我们再看 垂直的话，角一加角二等于九十度，角二等于角三，角三加角四等于九十度，那么角一是不是等于角四 没问题吧？角 b h f 等于九十度，角 a b c 等于九十度，那么你是不是非常容易能证出了三角形 a b m 和三角形 f h e 全等，全等了之后，那么 e f 等于 am， 那 么第一个问题我们就解决了，通过十字架模型，我们找到了两条相等的线段，那接下来我们怎么做呢？那我们是用平移呢？还是用全等呢？我们看 让我们求 em 加 af 的 最小值，我们先用平移看看能不能使我们的目标线段的一个端点重合来，那我平移 em 到这可不可以我们平移 em 这 f g， 那 此时我一连接 f g， 那四边形 e m g f 是 不就是平行四边形？因为 f g 平行且等于 em， 那 么四边形 e m g f 就是 平行四边形，平行四边形中 e f 就 平行且等于 m g， 然后你再看两条直线平行，这个位置有个垂直 am 垂直于 mg， 然后你再看两条直线平行，这个位置一定垂直于 mg， 同时 am 等于 ef， 那 这里 am 是 不是就等于 mg？ 由于 mg 是 我从 em 平移过来的， m 还是 b c 的 终点，那么 m 就是 定点，定点之后我给它平移到这，那 g 点一定是定点， g 点是定点， a 点是定点。让我们求 af 加 e m 的 最小值，那现在是不是就转换成 a f 加 f g 的 最小值，而且两个定点两点之间线段最短，此时我只要连接， 那么 ag 就是 我们要求的 em 加 af 的 最小值。来，我们往下继续。 ab 等于二， bc 等于二， m 是 终点，那么 bm 等于一， bm 等于一， am 就 等于根号， mg 就 等于根号五，那 ag 就 等于根号，二倍的 mg 就 等于根号十。周老师这道题讲明白没有？ 好，这道题就讲到这，如果你有动点坠职问题或者几何压轴题的问题，可以评论区留言或者私信周老师，我们大家一起探讨解决。这节课就上到这，更多精彩内容，我们下个视频见。