五年级数学下册北师大版数学好玩包装

同学们好，欢迎来到今天的数学课堂，今天这节课我们一起来学习北师大版小学数学五年级下册数学好玩有趣的折叠。 在上课开始之前，请你先准备好以下材料，剪刀和教材的副页三都准备好了吗？开始我们今天的数学学习吧！ 前段时间我们学过了正方体与长方体的展开与折叠，并认识了它们的展开图。请你来看一看，这是哪个立体图形的展开图呢？ 没错，分别是正方体与长方体。 请同学们仔细观察这幅图，它能折成长方体或正方体吗？那这个平面展开图沿虚线折叠后的形状会像什么呢？ 左边和右边的这两个面有尖尖的角，中间的部分应该是可以围起来的吧？尖尖的又可以围起来，是小房子吗？ 真的是小房子吗？请拿出我们准备好的副页三的图一，自己动手折一折吧。 房子吗？还是折一折？看看是什么样子？我先把这些虚线折一折， 先折这个面，再折这两个面， 最后把底面折好。哇，真的是一个小房子哎， 真棒！边折叠边讲解，谢谢你！现在我们把这个图形标上号码， 长方形从上到下依次为一、二、三、四、五，左边的为六号，右边的为七号。请大家仔细观察，与图形六相对的是哪个图形呢？ 图形六相应的是小房子的左边，所以我想与图形六相对的是图形七，也就是小房子的右边。 大家的空间想象力越来越强了，能将平面展开图沿虚线折叠后，就变成有趣好玩的立体图形。 刚才折叠出的小房子是一座仓库的模型，它的实际长度是图中相应长度的一百倍，你知道这座仓库的占地面积是多少吗？ 请你先想一想。什么是占地面积呢？占地面积是指建筑物所占土地的面积，如果这个仓库是建在这的话， 这个面积就是占地面积，也就是这个面的面积。怎么知道这个面的长和宽呢？ 这个面挨着最大的那个面，旁边还有两个尖尖角的面，所以我想它应该是长八厘米，宽三厘米的这个面。 通过刚刚这位小朋友的回答，我们发现了占地面积就是长八厘米，宽三厘米这个长方形的面积，那你会算吗？ 这个我会算。因为仓库的实际长度是图中的一百倍， 所以先求出实际的长八乘一百等于八百厘米，实际的宽三乘一百等于三百厘米，实际的长八百乘，实际的宽三百等于二十四万平方厘米， 换算成二十四平方米。我们认为求出变大后的实际占地面积是先求出长和宽是多少。 我还有一种方法，八乘三是求图上的面积，长和宽各扩大一百倍，面积就扩大一百的一百倍，就是一万倍。 二十四乘一万也能得到二十四万平方厘米，也就是二十四平方米。 你们不仅能根据平面展开图想出立体图形的样子，并能找到关键信息，你们太棒了！这里有一栋小房子，你能想象出它展开之后的样子吗？ 和你想的一样吗？你能在平面展开图上标出窗户、烟囱和小鸟的大致位置吗？ 我们首先根据门的位置确定门左边的窗户的位置，在这个位置，在确定门上方烟囱的位置在这个地方，小鸟的位置在左边窗户的上方， 最后是右面墙上的窗户位置在这个地方。不管是从平面图形想象立体图形，还是根据立体图形在平面图上标出位置，同学们都能通过独立思考，合作交流，顺利解决问题。 现在我们要为仓库存储的商品设计一些包装盒，下面是两个包装盒的平面展开图，这个对应的分别是哪个图形呢？ 我们先看的第一个展开图是个长方形的展开图，下面二三四都是长方形，第二、三长方形的前面都比较大，所以应该和第四个连线。那第二个展开图和正方体连线， 看来长方体和正方体展开图已经难不倒你们了。下面两个展开图折叠后所围成图形，分别是下面哪个立体图形连一连，请独立思考并完成连线。 第一个平面展开图有两个三角形，所以第一个正方体排除掉，第四个四棱锥也排除掉，只要比较二和三就可以了。 而第二个上面是锐角三角形，第三个是钝角三角形，所以和第二个三轮锥连线。第二个平面展开图和最后一个四轮锥相连。 根据我们已有经验，发挥想象可以帮助我们提高空间想象力。接下来请你看一看下列图形中哪个可以折成正方体。先说一说你是怎么想的，再将副页三中的图案剪下来折一折， 我们一起去折一折吧。我发现一三四六刚好能围成一圈，所以一对四，三对六，二对五， 我觉得第二个应该也可以，我来折一折，也能折成一个正方体，祝你前程似锦。刚好是一句话， 第三幅图我想象不出来，我来试一试，看看到底行不行。我把 d 当成底面， c 和 e 这两个面就重复了，所以确实折不成正方体。 通过这节课探究，你一定学到了许多知识吧。其实折叠不仅出现在我们的课本当中，在生活中有许多平面图形折成立体图形的样子，接下来我们一起来欣赏吧。 看来只要我们留心观察，就能发现生活中的数学之美。这节课我们就学到这里，同学们，再见！

同学们大家好，我是西安国际路港第二小学的刘奇悦刘老师，今天我们要一起化身为包装工厂设计师，探寻包装的学问。 请你在课前准备好两个相同大小的长方体盒子和四核磁带，并准备好学习单，我们正式进入今天的课堂吧。 有这么一家包装厂，就如同他的名字一样，拒绝过度包装，只做最节约的包装设计。 你有新的订单，请查收。今日订单已就位，我们和工厂一起来设计最节约的方案吧。 在正式开始设计之前，我们要先解决这个小问题。如果要给这个糖果盒包装一层包装纸的话，至少需要多少包装纸？ 从数学的角度，实际上就是求它的表面积，你准备怎么求呢？ 这是一个长方体糖果盒，我们在第二单元学过，长方体六个面的面积之合叫做它的表面积， 所以我计算出了糖果盒上下两面、前后两面、左右两面的面积之合。算出这个糖果盒至少需要九百五十平方厘米的包装纸。 你的计算方法掌握的非常扎实，订单上是这么要求的，把两盒糖果包在一块可以怎么包？有几种不同的方案呢？请你暂停视频，摆一摆。 好，我们先来看看这几位设计师的方案吧。这是我的包装方案，我将两个包装盒的两个大面重叠了， 我和他不一样，我是这样摆放的，重叠了两个中面。我是将两个小面重叠了，这是我的方案。 那现在不计算各位包装设计师们能确定哪一种包装方案最节省包装纸吗？请说一说理由。 我觉得重叠两个大面的方案最节约。我们工厂的包装纸因为本来是两个包装盒的表面积，而重叠的部分是不用包装的，所以重叠两个大面的方案最节省。 大家都认为是第一种方案最节约包装纸吗？这只是我们主观的判断，数学家们在得到一个正确的结论之前，往往要进行反复的验证。你准备怎么验证 计算三种方案的表面积？那好，请同学们暂停视频，在学习单上算一算吧。 你们计算完了吗？我们来听一听这位同学怎么说。 这是我的数据，我计算得出重叠两个大面的方案最节约。同时对比重叠面积与拼成的新长方体的表面积，我发现重叠面积越大越节约包装纸。 你的发现很有价值，让我们正式完成了第一笔订单， 糖果订单已完成，还剩余一个订单。第二个订单是要将四核相同的磁带包装在一起。你们能想出哪些包装方法？ 屏幕前的同学们也可以暂停视频，画出草图来表示你的想法。 哎，这两位设计师有话说，老师，结合前面所学，我准备将四个磁带垒起来，也就是重叠了六个大面，而且我认为这个方案最节约。 我不认同，我是这样摆的，我的摆法重叠了四个大面和四个中面，我重叠面的数量多，所以我的方案最节约。 其实除了这两位设计师的摆法，还有这些设计，但确实一眼看过去，他们俩的设计好像是比较节约的。 那你们更认可哪一位设计师的方案呢？我们进一步的比较一下吧。 哎，但是这两种方案的重叠面种类与数量各不相同，怎么比呢？ 老师，我知道我们可以把六个大面看成两个大面加四个大面，所以实际上我们只需要比较两个大面的面积和四个中面的面积。 两个大面的面积是二乘一百一十乘七十，四个中面的面积是二乘一百一十乘六，所以看算式也可以发现六个大面重叠的方案。重叠的面积大最节约。 你的思路非常清晰，帮助大家解决了难题。 各位设计师们在你们的帮助下，拒绝过度包装厂完成了今日的这两笔订单。那通过这两笔订单，你有什么体会呢？我发现多个相同长方体叠放时最节约的方案了。 我也发现了重叠面积越大越节约。是的，同学们在需要节约包装纸的前提下，我们直接选择重叠面积最大的方案。但是在日常生活中，我们要灵活的选择包装方法， 比如说这十包纸巾，你会怎么包装呢？把最大的面都重叠到一块， 那你们看，这是商家的包装设计，他并没有把所有最大的面重叠到一块。对此你有什么感想？ 这个商家很傻，肯定数学没学好，这不是浪费成本吗？明知不是最节省的，但是为什么几乎每个商家都故意要这样设计呢？ 我觉得商家是为了把更大的面露在外面，好做广告宣传。是的，同学们 生活中的实际包装不仅要考虑节约成本，还要兼顾美观、方便携带、招揽顾客等因素。这些呀，都是包装中的大学问。 恭喜同学们完成了本节课的学习任务，请你根据自己本节课的学习情况完成。自我评价表，同学们，再见！

欢迎大家来到郑老师的数学课堂，今天我们一起来研究包装的学问。 我校同学在新华好味道家政课上分小组制作了很多盒糖果，我们要包装这些糖果盒寄给幼儿园小朋友。你想到哪些数学问题？ 需要准备多少包装纸呀？怎样包装最节约包装纸呢？ 嗯，你的节约意识特别强，这些问题都提得非常好。接下来我们来研究怎样包装最节约包装纸，大家可以讨论一下。 我先选二盒看一看，再研究三盒。是的，我们可以先研究少的，再研究多的，我们可以从特例开始研究。接下来我们先研究两盒糖果怎么包装最节约。 你准备怎么进行研究呢？小组讨论一下。我会心想，有几种包装方法，再去比较哪种包装更节约。 你的思路很清晰，值得我们学习。下面请大家拿出学习单，可以采用刚才这位同学的研究思路，开启两盒糖果的包装 好。谁来说一说有几种包装方法？嗯，是的，有这三种包装方法。 为了方便表述，我们把较大的面叫做大面，较小的叫做小面，中间这个呢叫中面。 哪种包装方法最节约呢？让我们一起来听一听这些小组长们的比较方法吧。 我认为第一种最省材料，我是这样算的，上下重叠后，长宽都不变高，是圆的两倍。用表面积公式计算得出，至少需要包装至一千三百平方厘米。 如果前后重叠，长高不变宽是圆的两倍，是三十厘米，可以用同样的方式得出，至少需要一千七百平方厘米。如果左右重叠，宽高不变，长是四十厘米，得出至少需要一千七百五十平方厘米。 比较后发现第一种包装方法最节约包装纸。我赞成他的观点，但是我的算式和他不一样。 我先算出包装一盒糖果所需面积，那么两盒糖果分开包装，原来需要一千九百平方厘米。 当两盒糖果重叠在一起时，重叠面是不需要包装纸的。所以我将两盒糖果的总面积减重叠面积也能算出包装纸的表面积。包法一等于一千三百平方厘米。 包法二等于一千七百平方厘米。包法三等于一千七百五十平方厘米。比较后也是发现第一种包装方法最节约包装纸。 两盒糖果的总面积相同，减去的重叠面越大，需要的包装面积越少，减去的重叠面积越小，包装面积越多。 我赞同他们的观点，但是我认为我的计算方法比他们都简单。我可以直接比较重叠面。 包法一，重叠面积是六百平方厘米，包法二是二百平方厘米。包法三是一百五十平方厘米。重叠面大，需要包装的面积就小。重叠面小，需要包装的面积就更大， 所以我直接计算比较重叠面。对比前面两位组长的方法，你有什么发现？ 我认为这两种方法本质上是一样的，都是在比较重叠面的大小，因为独立包装时表面积是一样的，重叠的面越大，说明需要的包装纸越少。重叠的面越小，需要的包装纸越多。 第一位同学用求表面积的方法比较，后面同学比较的是重叠面的大小。这两种方法你更喜欢哪一种？为什么 我更喜欢第二种？因为第二种计算的快，老师，我算都不用算重叠的，面大，需要的就少， 也就是说，我们只需要比较重叠面的大小就可以了。这种方法真简单。 刚才研究两盒糖果的包装时，我们先思考有几种包装方法，再比较哪种包装方法最节约。 在比较最节约时，我们可以通过观察长宽高变化，用公式计算表面积，或者直接比较重叠面。同学们，如果增加到三盒，你又会怎样研究呢？ 还是先看有几种包装方法，然后比较哪种方法最节约。哦，那有几种包装方法呢？是的，有这样三种。那你觉得还需要每种都算出来吗？ 是的，不用算。同学们马上就发现重叠大面是最节约的，如果增加到四盒呢？ 是呀，四盒糖果到底有几种包装方式，又是哪种最节约呢？请同学们拿出学习单，按下暂停键，用小组合作的方式进一步研究。 同学们都研究出结果了，老师看到这个组想出了六种包装方法，请组长来汇报一下。 我们小组总共摆出了六种不同的包装方法，重叠六个大面，六个中面，六个小面，这些都是摆成一排的，还可以摆成两排，四大四中、四大四小和四中四小。 用表面积公式计算，包法一，至少需要包装值两千平方厘米。 包法二是三千两百平方厘米。包法三是三千三百五十平方厘米。包法四，表面积两千两百平方厘米，包法五是两千三百平方厘米，最后一种包法三千一百平方厘米。 比较后发现重合六个大面最节约包装纸老师，我不需要算六种，我只算了两种包法的重叠面。我是这样想的，先根据重叠面多少将它们分成两类， 第一类是重叠六个面，第二类是重叠八个面的同一类情况。我们可以根据前面学习的内容知道，重叠面大需要的包装纸就少。 那么第一类中需要包装纸最少的是重叠六个大面，第二类就是重叠四个大面，四个中面。这种情况需要材料最少。 我通过计算得出重叠的六个面的面积是一千八百平方厘米，重叠四大四中的面积是一千六百平方厘米，也能得出重叠六个大面更节约包装纸。 我是用比较重叠面的方法进行推理的，六大可以分为四大和二大， 它和四大、四中进行比较， 它们都有四大，所以可以同时抵消它们，还可以除以二，二大变成一大，四中除以二变成二中， 这样就只要比较一大和二中哪个面积大就行了。我听明白了。包法一，重叠六个大面包法四，重叠了四大和四中， 六大和四大四中里面都有相同的四大，因此只需要比较二大和四中的大小， 而二大和四中又可以分成两组，每组里面是一大和二中， 因此直接比较一大和二中的大小就可以啦。我们发现一个大面的面积大于两个中面的面积，因此重合六个大面更节约。 我发现比较一个大面的面积和两个中面的面积，只需要比较宽就可以了，因为它们的长是一样的， 你们真了不起！通过小组合作，共同研究了四盒糖果的包装方法，知道了重叠六个大面的包装方法最节约。包装纸大家都有非常大的贡献，给所有同学点个大大的赞。 是不是所有的包装都是重叠大面最节约呢？我们来试一试，请你拿出作业练习完成。基础题。 需要六种都计算吗？是的，我们只要比较六大和四大四中面就可以了。或者直接比较一个大面两个中面， 一个大面的面积是六十平方厘米，两个中面的面积是九十六平方厘米，所以重叠四个大面和两个中面最节约。 思考一下，什么情况下四大四中的面积大呢？ 老师，我发现只要大面和中面越接近，肯定是四大四中面积更大。 没错，同样包装四盒，有时是重叠六个大面最节约，有时是重叠四个大面和四个中面最节约。 到底哪种最节约，最终还是受大中面的大小影响，也就是说，我们要看具体数据。 刚才我们从节约的角度进行了研究，关于包装的学问还有很多呢，让我们一起来看看。 看来生活中的包装除了考虑节约，还要考虑美观、宣传等情况。 今天这节课，我们通过两盒包装、三盒包装、四盒包装，学会了最节约的包装方法， 我们不仅要学会研究，更要落实到生活中。下面请同学们拿出作业练习，完成课后综合实践。同学们再见！

嗯，我的是最小面重叠，最小的两个面重叠，你的呢？我的是最终面重叠，他是最终面中面，中等面，是不是？我的是中等面重叠，你呢？我是最大面重啊，最大两个面重叠，那其他的是不是这样摆的？是，是的， 那我们看两盒酸奶包装在一起，他就有这样三种不同的包装方法，大面重叠，中面重叠还可以，小面重叠。好了，那把掌声送给这三位同学，也送给自己， 现在你们三个可以骄傲的走回去了，骄傲的走回去啊。是的，同学们，两盒酸奶包装在一起，有这样三种不同的包装方法，那我们看 看这种包装方法，你想一想，在这三种包装方法里边，哪一种最节约包装纸？ 第一种，第一种就是大面重叠的，这种是不是？是为什么？因为重叠面的面积越大就最节省包装纸。是这样吗？是， 你说你觉得哪一种最大面重？咱们评判成第几种？第一种，为什么？ 嗯，因为。嗯，最大最大面重叠，减少包装重叠的面越大啊，包装纸就节省，节省，越节省越节省。是吗？是，都同意。 同样，也就是大家发现，根据我们的观察，说重叠面越大，那么需要的包装纸他就越少越少。 那这个结论是，我们通过观察骨力腿是不是，那能不能这个结论就一定正确呢？不能，那接下来还得怎么样？需要的包装纸多大来？三百四十厘米。 第二种，三百六十平方厘米，第三种，四百平方厘米。好了，老师把其中的一种方法给大家展示到，这，是不是？好了，这两种方法都能算他需要包装纸的面积，让我们仔细观察，红颜色代表 这个二百二十乘二，表示的单独的需要包装的面积吧。减掉黑体是什么？重叠，那我发现重叠的这个数字越来越 小，那么后面这个数字呢？越来越大，越来越大，那说明就是他的从前面越小，从前面越大方子越小。那我们通过计算发现我们的这个刚才我们的猜想是正确的，对了， 这会就可以把这个问号给擦掉，所以通过我们的估计和我们的计算验证，发现包装中最重要的一个学问就是红点点越大，包装纸越少，需要的包装纸越少。

今天张老师来跟大家上一节有趣的数学课，请看视频。假设每个塑料袋面积零点零六平米，只需三天，全国扔掉的塑料袋就可以覆盖整个西湖。一只装口罩、一次性餐盒，穿上美丽外衣的月饼、茶叶、化妆品，还有打包快递的纸盒、 胶带泡沫。我国每年包装废弃物总量达一点五亿吨，其中无处安放的塑料包装垃圾高达一百八十万吨。这些触目惊心的数字背后离不开四个字，过度包装。 看完视频，你有什么想说的？好迫不及待了，你说如何才能制止过度包 装？嗯？思成如何接受过度包装？嗯， 姗姗步入包装，对环境有什么影响？看来呀，要想把包装做到既美观又节约，还是有一定的学问的。今天这节课呢，我们就一起来研究包装的学问， 通过预习，相信在座的每一个人都有一定的收获了，请大家拿出预习导航，在小组里面交流一下吧，谢谢！ 通过预习课本第八十页，八十一页，我们知道了，求至少需要多大的包装纸，就是求盒子的表面积。二、要节约包装纸，就要使包装后的表面积最小。 三、包装纸要用的少，就要把面积最大的面拼在一起。包装纸要用的多，就把面积最少的面拼在一起。你们听明白了吗？听明白了，非常感谢你！第二个问题， 刚刚老师请了两个组分别来写他们的分享，请一个代表上来说一说你们组的想法吧，是你们组写的是吗？来， 大家请听我说，我听你说，我代表我们小组来分享。我们发现包装一盒糖果求至少需要多大的包装纸？就是求糖果盒的表面积， 列式是十乘四加十乘六加六乘四的盒，乘二等于二百四十八平方厘米，大家同意吗？同意。那老师把它的数据记录下来， 长是十，宽是六，高是四厘米，它的表面积就是二百四十八平方厘米。好的，请继续。我们小组还发现把两盒糖果包成一包，一共有三种包装方案。第一种 哦，要掰啊，上下两个面重合 算式就是十乘八加十乘六加六乘八的和乘二等于三百七十六平方厘米，大家同意吗？同意。第二种方法，前后两个面重和 算式就是十乘十二加十乘四加上十二乘四的和乘二等于四百一十六平方厘米，同意吗？同意。第三种方案，左右两个面重叠 列式就是二十乘四加上二十乘六，再加上六乘四的和乘二等于四百四十八平方厘米。大家听懂了吗？听懂了，我的演讲完毕，谢谢 大家，谢谢你们组，你看这组的算式啊，跟上面都不一样，我们来听听他们组的分享，你是组长是吧？你来， 大家请听我说，我听你说。我们小组呢，先算了两个原来的长方体的表面积之合，也就是二百四十八乘二， 它重叠在了一起时，消失了两个面，也就是这两个面，所以我们要减掉这两个面，也就是十乘六乘二，答案等于三百七十六平方厘米。 第二种方案，也是斜算出两个长方形的表面肌之合，也就是二百四十八乘二， 再减掉它重合在的这个面，答案等于四百一十六平方厘米。第三种方案，我们算出两个长方形的表面肌之合，再减掉左右两个重叠的面， 答案等于四百四十八平方厘米，大家同意吗？同意。 嗯，呃，饶博文，嗯，我觉得你们的第二个算式写错了，哪里错了呢？呃，因为我们你们重叠的两个面是前面和后面，所以呢，我们应该要用十乘四乘二，而不是六乘四。 嗯，我明白了，我们就按照你的方法来修改一下， 大家还有什么补充或者疑惑吗？好呀， 我发现这三条算式里面都有二百四十八乘二，但是它减去它减去的数不一样， 所以就造成了他的得数不一样。我第一个方案，第一个方案，他是两个最大的面叠在一起，他减去的多，所以剩下的也少，所以方案一是最节省的。 嗯，大家听明白了吗？听明白了，这样吧，你把，呃，你刚刚说的减去的不同的地方，把它圈出来，让大家看的更清楚好吗？ 那这些地方分别在图的哪里？你也指一指给大家看吧。方案一的重叠面在这两个地方，方案二的重叠面在这两个地方，方案三的重叠面在这两个地方。 哇，看来大家都听明白了，是不是？谢谢你，那么为了让大家看的更加的清楚啊，老师把这些图啊变变身， 刚刚黄耀同学指出来的这些重叠面，是不是就是现在这些有颜色的重叠面呢？是不是？看来正因为这些重叠面的大小不一样，我们在列算式的时候 减去的部分也不一样。既然这样，想一想，我们能不能 只观察重叠面，快速判断哪种方案最节约？能 怎么来？谁来说说？姗姗，我发现重叠的面积越大越节约。还有谁想说？李浩然， 谁只保留那些重叠面的面积，把前面算两个长方形面积的算术划掉，只剩下重叠面的面积。 因为其他长方体的面表面积都是一样的，所以我们只有表，我们只有比较他重叠的两个面的面积，就可以得出他哪一个， 哪一个长方体的面积最大，表面积最大，哪个长方体的表面积最小？是的，正如刚刚李浩然说的，我们可以直接去观察重叠面的 面积，我们就能知道哪一种方案最节约。显然方案一重叠的面积就怎么样啊！最节约， 孩子们，你们真的太厉害了，其实你们刚刚已经自己把包装的奥秘啊研究出来了，我们大声的读一次吧！ 重叠的面积越大越节约，通过大家的研究，我们发现，其实我们可以直接计算重叠面的大小，快速判断哪种方案最节约。掌声送给自己， 通过预习，大家有了这么多的收获，你们有疑问吗？谁有？你来？ 我的疑问是，怎么一眼就能看出看出哪种方法用的包装纸最少？嗯，你今天很棒，很很有勇气站起来，主动的举手了，张老师给你点赞！你说 如果有更多的盒子要包装，会有无数种方法吗？你来说有没有快速知道几个盒子拥有几种摆放的方法呢？李思成， 为什么方案一最节约？嗯？谁来解决他的问题？为什么方案一最节约？你说，因为方案一重叠的面积最大，表面积越少，所以他要包装的面积就越少，你听明白了吗？还有谁有疑问？ 你来说多个盒子怎样包装才能最节约？看来大家最感兴趣的话题就是多个盒子的时候怎么包装最节约，是不是？是，那我们今天这节课就重点来研究这个问题，你们觉得怎么样？好，那老师把它记录下来哈。 是啊，我们刚刚啊指言只是通过预习知道了两个盒子如何包装最节约呢？谁知道？ 来，苏佳宇，你上来。 我认为是这样子，最大的面和最大的面重合，这样子包装最节约。 都同意，看来难不倒你们，是不是？来，再来一个？四个盒子怎样包装最节约？谁来？ 你来， 和三个盒子的包装方式是一样的，这样最节约，你们还有什么补充吗？曹圣依，我刚才在书上预习的时候发现四个盒子还可以这样包装，我认为这样会更省包装纸，你们觉得呢？ 我也认同曹圣依的观点，因为这样包装只重叠了六个面，而 而这样包装则重叠了，而这样包装则重叠了八个面。我觉得八个面比六个面重叠的要多。 我不同意，虽然你重叠了八个面，但我重叠的六个面是最大的，而你重叠的八个面不是最大的。 谢谢你们，看来是有不同的声音了，是不是？不过张老师真的要表扬刚刚的几位孩子，你们爱思考，敢质疑 自己，在课堂上提出问题，并且想办法去解决，这就是会学习的一个表现。掌声先送给自己。 那既然呐，现在已经有两种不同的声音了，到底是这种方案最节约，还是这种方案更节约呢？你觉得我们现在需不需要去研究一下？需要，这样我们是不是还要像之前一样 去计算从店面的大小呢？能不能有一种更加巧妙的方法，比出哪一种方案更节约？我们待会来研究一下好不好？好，那么我们先来看活动要求。 首先呢，我们利用小组里的学具摆一摆，看看有多少种不同的方案，再想一想那么多种方案当中哪一种最节约？听明白要求了吗？听明白了，开始。

名字叫什么？大面重叠。你们真聪明，就叫大面重叠，接着看第二种，中面重叠，中面重叠，看第三种，小。哎， 这个怎么起名字啊？大中，大中。你说大中面重叠是不是这样的？是大中面重叠啊，来看下一个 小面重叠。包了吗？包了再看这种包了吗？小，大大小，大小面，大小面重叠，大小面重叠。 最后一种中小面重叠是不？六种啊？是包的时候要注意啊，要，要按规律去包好不好？那好了，这么六种方案，要问你哪一种方案最节约包装纸？一下重叠，有同学说大面重叠，这个同学认为， 你认为什么？我认为是大中面重叠，有分歧了。好，请坐。那咱们能不能对这六种方案进行一个筛选，哪些方案肯定不节约包装纸，你会找吗？会，咱们一个一个去找好不好？好， 会，先排出哪一个小面重叠？咱们从第一行开始中面重叠，先排出了小面重叠，大大小面重叠。现在 大屏幕上剩了两种啊。那到底是大面重叠节约包装纸还是大中面重叠节约包装纸呢？看的大大面重叠呢？它重叠的面是一二三四五六，一共有六个大面重叠，你们找到这六个面了没？找到了，好， 共重叠了六个大面。继续，然后大中面重叠，是共重共重叠了一二三四四个大面。嗯，四个大面， 听明白了吗？听明白了，还有吗？然后大中面重叠，还重叠了四个中面，看到 四个中面了吗？看到了，好，那也就是说他共重叠了八四个大面。那咱们要比较这两种包装方式哪一个更节约包装值？现在要比较什么？表面？ 表面现在要比较什么？要比较六个大面和四个大面，四个中面，哪一个的面积更大一些，是不是？那你给大家比较一下。呃，六个大面的算是应该是 十二乘八乘六，然后四个大面四个中面的计算方法应该是十二乘八乘四加十二乘五乘四，他想用列算式的方法给咱们验证可以不可以？好了，这是一种方法。 还有没有其他方法更简易一些的？来，首先咱把掌声送给他好不好？好，谁还有更简变的方法能验证出来他们的法式。 你说那用比较法，他说是现在要比较的是六个大面和四个大面，两个四个中面的大小，然后先把四的左右边的四个大面挪到左边，就说是比较两个大面和四个中面的大小，哦，也就是比较两个大面和四 个中面的大小，听明白了吗？听明白了。然后，然后呢？然后再把这个画画出来，这相当于比较一个大面和两个中面的大小哦，比较一个大面和两个中面的大小， 你们觉得这样怎么样？简单简单，好看。这个问题转换成了比较一个大面和两个桌面的大小。那好，老师请你来，你给咱们快速的比较一下好不好？拿个盒子给大家比较一下，看是不是像你说的，来拿老师这个盒子， 一个大面就是这个长这块。好，给大家展示一下是不是这个面？对，好，马上。然后一个桌面就是这个面， 那两个桌面呢？两个桌面，两个桌面，这这这两个面给大家看一下面向大家是不是这个面是能不能比较一下它们大小？可以，然后用这个大面放在这上面，发现桌面两个桌面要比一个大面要大， 哎，是不是这样的？是。所以说出你的结论来。所以说用大桌面重叠包装纸更省一些，是不是这样的？是。比如说一个大面小于两个桌面了，是不是？是。所以 大中面重叠比大面重叠更节约的装饰。你们听明白了没？听明白了。好。那掌声送给他吧。好。

生日派对超开心，小雨收到了两盒超甜的糖果礼物，这两盒糖果要包在一起送给好朋友，怎么包才又好看又省包装纸啊？糖果盒是长方体的，包的时候肯定有讲究，我得好好想想。要解决包装问题，可离不开我们学过的长方体知识哦！ 小雨遇到难题了，其实包装里藏着超多数学学问，我们一起找找答案。长方体有六个面，相对的面面积相等，这是我们的老朋友了。 计算包装纸的大小，就要用到长方体表面积的计算方法。把两盒长方体糖果拼在一起，其实就是让它们的面相互重叠，重叠的面不一样，结果也会不同哦！第一种方法，把最大的面重叠在一起，会发生什么呢？ 除了大面，中面重叠也是一种方法，和大面重叠有什么区别？最后还有小面重叠三种重叠方式，哪种最省纸？ 原来有三种包装方法，重叠的面不一样，用的包装纸肯定也不一样。没错，重叠的面越大， 减少的表面积就越多，包装纸自然就省了。这其中的数学奥秘就藏在今天的数学课里。同学们，让我们一起走进课堂，探索包装里的数学学问吧！

四厘米就能求出它的表面积。第二种方法是算出两个磁带的表面积，减去中间重叠的两个大面的面积，就是剩下的表面积。大家听清他写算式的道理了吗？听清了好，别说， 我算的是第二种剥成方式，重叠的两个中面。第一种方法是长长没变，高没变，宽成了原来的两倍，所以就让六乘二算出的是现在的宽， 然后就让十二乘十，加上十二乘二，加上十乘二，扩度乘二，等于现在的表面积。第二种计算方法是一格子的表面积乘上乘二，是两格子的表面积之合，减去中间的两个重叠的中面，就是现在的表面积。大家同意他的做法吗？同意好了，第三种 我算的是第三种包装方式，两个小面重叠在一起，它的宽没有变高，没有变 长，扩大到原来的两倍，让十乘二等于二十厘米，让二十乘九加二十乘二加六乘二，过渡乘二就等于现在的表面积。第二种方法是一颗磁带是一百八十四厘米，乘二就是两个磁带的表面积，减去两个小面重叠在一起的面积就等于现在的表面积。 大家同意不？同意？同意。好，下期非常认真的一个小组，谢谢你们。 大家来观察这三个数据。第一种包装方式的表面积是多少？二百二百块钱啦，二十厘米。第二种包装方式的 奖励是多少？三百二十二平方厘米。那第三种呢？三百四十四平方厘米。经过比较哪一种包装方式最节约包装纸？第一种，第一种经过计算验证了我们刚才的结果是正确的， 下面我们大家来认真的观察这几个算式，为什么第一种包装方式是 最节约包装纸的，因为第一种它重叠的面积最大，所以剩下的表面积就最少，所以就最节约包装纸。说的有道理没有？有坐下谁想再说 啊？闭紧念说减去的包装的面积最大，它剩下的表面积就越小，越就越结越包装足。同意他的观点吗？同意，剩下谁还想再说？赵李丹，重叠的面积越大，剩下的表面积就越少，就越。

亲爱的同学们大家好，我是衢州市柯城区大城小学的张老师。 今天我们继续来学习数学，好玩，让我们一起走进有趣的折叠。 课前，请同学们先做好以下准备，草稿本、笔、数学书，并将书本后面副页三中的图一、图二剪下来。 你准备好了吗？接下来就开始我们的数学之旅吧！ 同学们，生活中的美无处不在，今天老师给大家带来了一些折纸作品，请大家欣赏。 这些美丽的艺术品都是由什么制作而成的呢？没错，就是一张张普通的纸张，通过剪裁与折叠变化而成的。 请看，这是一张平面展开图，将下图按虚线折叠成一个封闭的立体图形，想一想它的形状像什么？ 我发现这幅展开图有七个面，所以肯定不是长方体和正方体。你观察的真细心，为了描述的方便，我们现在就分别给各个面标上号码。 我觉得这幅图沿虚线折叠后像是一座小房子，因为如果把这幅展开图的六号和七号两个面都向中间折叠的话，就像是房子的左右两个侧面。 这位同学能抓住展开图中有特征的面进行分析，结合面与面之间的位置关系进行思考，很有想象力。 再来思考一下，在折叠后的图形中，有哪两个面可能是相对的呢？ 我觉得图形六与图形七是相对的，它们是大小相同的两个五边形。图形一和图形四这两个面是一样大的，所以它们也是相对的面。 我猜图形二和图形三也是相对的面，因为它们也一样大。 刚才的几位同学都是根据面的形状和大小进行猜测的，可这种猜测和想象是否正确呢？请大家拿出副页三中的图，一动手折一折，来验证我们的猜想吧。 我先把左右两边的六号和七号图形向中间折，接着再把下面的五号向上折，最后把上面的一、二、三三个图形沿虚线向下折， 这时就围成了一个封闭的立体图形，像是一个仓库。 果然，折叠后的立体图形是一座小仓库，和你的猜想一致吗？那究竟有哪两个面是相对的呢？我们现在把平面展开图和仓库模型结合起来看， 图形六和图形七分别是仓库的左面和右面是相对的面。图形一是仓库的前面，图形四是仓库的后面，所以它们也是相对的面。 从图中可知，图形二、图形三不是相对的面，而是相邻的面。 同学们，在刚才的探求活动中，我们先通过观察想象，把平面展开图，在脑海中逐渐搭建起仓库的模样， 再通过动手操作折叠出仓库模型，验证了开始的猜测。 这个仓库各边的实际长度是图中相应长度的一百倍，你知道这座仓库的占地面积是多少吗？暂停一下，试着做一做吧！ 同学们，完成了吗？你是怎么思考的呢？ 我认为首先要弄清仓库的占地面是哪个面，再来计算。在刚才的折叠活动中，我发现展开图的五号就是仓库的底面， 五号图形的长和宽分别是八厘米和三厘米，所以仓库的占地面积就是八乘三，再乘一百等于两千四百平方厘米。 不对，不对，按你的算法，两千四百平方厘米是零点二四平方米，仓库占地还不到一平方米，这是不可能的。 题中说各边的实际长度是图中相应长度的一百倍，这儿的一百倍是长要乘一百，宽也要乘一百。 八乘一百等于八百厘米，也就是八米。三乘一百等于三百厘米就是三米。最后八米乘三米等于二十四平方米。 同学们不但善于想象，而且善于动脑，为你们点赞！ 下面是一座漂亮的小房子，你能想象出它的展开图是什么样子的呢？请看！和你想象的一样吗？ 大家有没有发现老师的展开图上少了一些东西？请你在平面展开图上将窗户、烟囱和小鸟的大致位置标出来。 画好了吗？我们一起来看。我们可以通过门来确定其他物体的位置。 看立体图，门的这面墙上左边有一扇窗户，大致应该在这，而另外一扇窗户在靠近门右面的墙上，所以也很容易确定下来。 烟囱在门上面一侧的屋顶上，小鸟在烟囱的左面，而且是落在屋顶的正上方。在这条线上，聪明的你，画对了吗？ 接下来我们就利用所学的知识去解决生活当中的问题。 下面是两个包装盒的平面展开图，这两个包装盒的形状分别是哪个图形呢？暂停一下，连一连 连好了吗？说一说你是怎么想的？ 第二个平面图简单，是由六个正方形组成的，它不可能围成长方形，只能选第一个正方。 接着再看第一个平面展开图，它是由两个正方形和四个长方形组成的，那下面的第二个长方也排除了，再根据图形边的长短、面的大小，就能确定连第四个长方体。 这位同学在分析的时候，抓住了展开图中各个面的特征进行想象，这是一种很好的方法，接下来继续发挥我们的想象进行判断吧。 请看下面两个展开图折叠后所围成的图形，分别是下面哪个立体图？试着连一连，有结果了吗？我们一起来看。 一号展开图和二号展开图都有五个面，下面的四个图形中，长方体有六个面肯定不符合。图二是由四个三角形和一个正方形组成的，能折成的只有图形 d。 图一是由三个长方形和两个三角形组成的，图形 b 和图形 c 都可以，但图形 c 大 小不符合，所以只能连图形 b。 这样把展开图和立体图形结合起来判断就容易多了。根据我们已有的经验，再发挥想象可以帮助我们提升空间想象力。 下面我们再来看看这几个图形哪个能折成正方体呢？先说一说你是怎么想的，再动手折一折。副业三中的图二， 通过想象，我觉得第一个展开图是可以折成正方体的，我把相对的面涂成相同的颜色，一对四，三对六，二对五， 我又在动手折一折，果然第一个展开图可以折成正方体。 第二个展开图，这个好有创意，把祝福的话都放到展开图里了，它相对的面分别是钱对井，你对四、柱对成，折叠后也是正方体，祝你前程似锦。 最后，这个不能折成正方体。 同学们，回顾一下，在这节课中你有什么收获呢？还有什么困惑？ 我最大的收获就是发展了我的想象力，能够想象出平面图形折叠后的形状，也可以想象出立体图形展开后的平面图。 我发现在图形与几何的学习中，需要我们细心观察，大胆想象，动手操作。 看来同学们都收获满满，数学知识是无穷的，数学世界是广阔的。希望你们能够在今后的学习中充分发挥自己的想象力，不断地探索新的数学奥秘。 今天的课我们就上到这，同学们再见！

那如果让你来包装，你想选择哪一种？第三种，三种你们都选第三种对什么呀？省省纸。哦，你们觉得这第三种更加节约包装纸， 就是那个把那个长长增加了，就是等于什么？你增加了，如果那个那一场，还有那个月那个节约纸，那第三种是把那个宽增加的，那个两个就是两个宽更那个节约一点。 哦，他觉得这个选用多少包装纸，与这个包装之后的 长和宽，也就跟长还有关系，是吗？嗯，好，谁还有想说的来？就是第一个他的高是有两个高，嗯，两条高，第二个是有两条长，第三个是两条宽， 宽的比较是比较窄，他用的是比较是比较少，第一个和第二个的太长了，用的值比较多， 想一想，请坐高。欣然有什么想说的？就是第三种，把这个香皂粉当做一个长方体的话，把这个长方体的最大的面重叠在一块了，所以减去的面积也就最少，所以第三种最省值。 也就是说第三种方案他重叠的面可能大了些， 然后表面积就减少，减少了些。好，现在我们为了方便描述，咱们具体来看一看。这是香皂盒，我们把这最大的面叫做 大面，最小的面给它起名叫小面，剩下的这个面咱就起名叫中面。 一个一个来看， 我们看第一种情况，它重叠的是一个什么样的面？两个中面我简写就写成两中，这个呢？两个小， 这个呢？两当 是不是这个重叠的面积更大一些，所以我们说它会更节约包装纸。嗯，好嘞，再想一下，如果要三盒这样的香皂包装在一起， 怎样包装最省纸？杨永林，你选哪种啊？也就像。

面积重叠全靠猜，如果能透视看到重叠面又会如何呢？学生任意拖动拼组长方体，重合面自动显示，还能多种方法同屏对比， 也支持重合面积实时显示，长方体的大小也能随意调整，课堂真正交还给学生。探索，原来复杂的表面积问题也能玩的这么解压。

同学你好，今天我们来学习包装的学问，同学们，在生活当中，我们对于包装还是随处可见，同学们看一看，这是礼品的包装盒，这涉及到包装问题。 包糖果，儿童节快到了，淘气要给台湾的小朋友寄糖果， 两盒糖果包成一包，怎样包才能节省包装纸呢？接口处不计单位是厘米，我们看一看这一个 糖果盒，他的长二十厘米，宽十五厘米，高五厘米，这两个是一模一样的。那么对于这两个糖果盒来说，怎样包装才能更节省包装纸呢？说一说你是怎么想的？ 要节约包装纸，就要使包装后的表面积最小，实际上这个包装纸是包在我们这个组合体的外面，实际上就是表面积的问题，表面积最小， 我要想办法把所有的包装方法都找到，计算一下，这个也可以，下面我们一起来探讨一下。二、将两盒糖果包成一包可以怎样包？有几种不同的方案呢？ 我们在包装过程当中，要把面积相同的面重叠在一起，一共有三种不同的包装方法，比如说我们可以这样包装， 这是方案一就是将长二十厘米，宽十五厘米的面重叠起来，还可以这样包装。接下来我们看一看方案二，方案二，他的 长，我们就可以呢把它看成两个十五相加，那就是三十厘米，宽二十厘米，高五厘米，这样按照长方形表面积计算公式，就能够计算出表面积一千七百平方厘米。接下来我们看看方案三， 方案三他的长就变成了二十加二十，就是四十厘米，宽十五厘米，高五厘米，计算表面积一千七百五十平方厘米，那我们现在呢，把三种情况的表面积都算出来之后，我们通过比较，还是方案一更节省包装纸， 所以我们下结论，方案一最节省包装纸，那这是我们的方法一，可以用计算的方法，还有没有其他方法呢？当然还有其他的方法，比如说方法二 结合重叠面的面积来进行判断。那么这类题呢，实际上我们包装的一个组合体的表面积，它应该等于什么呢？ 他就等于两个糖果盒的表面积，再减去重叠面的面积，那只要重叠的面积越大，那他肯定越节省包装纸，对不对？也就你被减数，这个呢是固定不变的了，所以你这个减数越大， 我们这个叉，也就是包装纸的总面积才能越小。所以我们结合着这个去观察一下。 第一种情况，方案一他重叠的面就是两个长二十厘米，宽十五厘米的长方形，那在这个糖果盒里面，这个面就已经是最大的面了， 你面积最大，所以呢，我们就重叠的面的面积大，就把它剪掉了，这样呢，所剩余的叉就是包装纸的表面积才能更小，这是方案一。那方案二 接触面的面积就是两个长二十厘米，宽五厘米的长方形，这也是重叠的那个面，那这个面呢，不如我们方案一的那个面更大了，所以呢，他的剩余的表面积他不是最少的。 下面我们看看方案三。方案三接触这个面的面积就是两个长十五厘米，宽五厘米的长方形，那我们这个重叠面呢，它也不是最大的面，所以方案三，它的包装纸的总面积它不是最小的， 所以我们下结论。方案一是最节省包装纸，所以用这种方法呢也能够判断出来。那么在解决这类问题的时候，我们要掌握一个大致的原则，同学们一定要清楚，那就是把 最大的面重叠在一起，这是第一个原则，第二个原则，我们包装完之后，这个组合体他的长宽高尽量的接近，这样才能更节省包装纸。 下面我们看一下这样的一个题目，包磁带，将四核磁带包成一包，那么这个磁带是这样的一个长框体，这里面有四个形状一模一样的，那我们在包装过程当中可能呢会有很多的包装方法，那下面我们进行小组进行讨论一下。 一，你能想出几种包装方法，可以先画出草图来表示你的想法，在在小组内进行交流。 这位小朋友说，我们小组是这样包装的，同学们看一看，他把这个四个磁带上下落起来，然后呢这个呢是两个，两个落一起，然后呢又把它合到一起，他这是两种不同的包装方法。另外的一位小朋友说，我们小组是这样包装的， 嗯，还有的小朋友说，我们的小组是这样包装的，所以我们这里面一共有六种不同的包装方案，那下面呢，我们可以列个表计算一下， 算一算，填一填，一盒磁带长宽高如右图所示，分别算出各种方法所需包装纸的大小。接口处不计，单位是毫米，那这个磁带的长是一百一十毫米，宽七十毫米，高十六毫米。 那现在呢，我们把这六种情况分别计算出来。第一种方案草图，那这是四个上下摞起来了，然后他的长宽就没有改变，高变了，那也就是长还是一百一十， 宽七十，高度呢是十六乘四，那就是六十四毫米。表面积，我们用表面积计算公式，通过计算最后的结果是三万八千四百四十平方毫米，这是方案一， 那接下来呢，我们看看第二种包装方法，是这样的，那这个长宽高，我们去看一下，长是两个一百一十的，那就是二百二十，宽呢没有改变还是七十，高度是两个十六，那就是三十二。 通过表面积公式进行计算，它的表面积是四万九千三百六十平方毫米。 看看第三种方案，我们去这样包装，这样包装他的长那就是二百二十毫米，宽是两个七十一百四十毫米，高就是十六毫米，计算表面积七万三千 一百二十平方毫米。看看方案四，方案四是这样的，长就是一百一十毫米，宽 一百四十毫米，高三十二毫米，表面积四万六千八百平方毫米。方案五，这样放的，然后呢长就是一百一十毫米，宽二百八十毫米，高十六毫米，表面积 七万四千零八十平方毫米。第六种方案这样放，长四百四十毫米，宽七十毫米，高十六毫米，表面积 七万七千九百二十平方毫米。那我们刚才已经把六种方案表面积都算完之后，一比掉，还是方案一最节省包装纸，所以我们方案一是最优的一个节省包装纸的一种方案了。 对于这样的题，我们要把握一个原则，就是第一要把最大的面重叠在一起，第二，包装后的组合体，他的长宽高要尽量的接近，这样才能够更节省包装纸。 我们一起来总结一下这节课你有什么收获。在包装问题中，所包装的长方体的重叠面的面积越大，得到的大长方体的表面积就越小， 就越省包装纸。所以同学们要把这样的一个知识点学会，这样我们才能解决生活中这样的一个实际问题，同学们，你学会了吗？

大的面拼在一起的，嗯，我们简称为重合的是大面，简称为上面大面重合第二种。 第二种是把那两个第二大的面成什么？简称为中间面，非常聪明。第三种，小面重合的面不一样，围成的长方体就不一样。哪一种小面呢？ 小数据，包装纸最小，我们觉得是算算第一种，是吧？哎，我们做出了自己的猜想，有办法验证吗？有，有，怎么验证？ 数学是需要讲道理的，对不对？嗯，可以计算，然后再得出，得出它的表面，以后看谁是最小的。好的，那我们就分配一下任务。好， 有同学请你选择。第一种还是算简约的，因为它就是重合两个大面，也就是减去了两个大面。哦，重合了两个大面，当大面重合的时候，表面接如果剪里面只会少了两个大面，外面所需的包装纸漏出来的就少了两个大面，这时候包装纸是最 节约的。最节约的是不是最不节约的还是你说啊？最次节约的是第三种，因为他是把两个小面成盒，那他就没有第一种减去的多，也就是减他减的是最少的，那路在外面就是最多的，最多的。好，这次我们好像得到一个规律， 什么时候表白就行，大大面膜，什么时候表白就大小面膜。如果让你做快递小哥，你会采用哪一种包装方式？你一定要因为它的包装面积小，所需包装纸就最最有节约意识，有商业头脑。它这是两个 三盒同样的面纸包装，这种面纸是中等中等的，因为它这个是侧面成盒，也就是桌面成盒，然后 他这种，他这种最大面的程度，我们也是觉得最节约的这一种，这一种作品感，是吧？ 第二种这样，第三种是这样，一次是两个面，所以重叠了四个面，哎，都是重叠了四个面。第一种拼法是重叠的，是大面，四个大面， 第三，第二种是冲点冲面，第三种是冲点小面是冲点四个面我们下次就能找到，不计算你能找着哪一种话来 一起放。第一种，第一种哎呦，他来啊，两个拼，三个拼，给了我们一些规律和启发，是不是规律和启发 还想说，你说主要是大面重合的，他的包装纸，他用他所用的包装纸都是最节约的， 然后主要是封面结合的，他他的他他他的所用的包装纸就是中等的，然后主要是小面结合，因为他他是把两把几个最小小面给拼起来，最大的东西在外面，所以他的用的包装纸是最多的，听明白吧？他一直想说 来，你说大面同和，大面同和，所以他是最结是最少的，因为他就是把把大面， 呃，就是减，就是减少了四个大面，然后中面同和，那么就是他减少了两个中面。看来我们来看中面包装纸需要多少包装纸？怎么样节约？我们需要看重合的面，重合的面的大小，重合的面越大， 所需的包装纸就越小，重复的就越小，重复的越大。是这样的，重复的面积越大，漏出的表面就越 小，越节约包装纸。那孩子们接下来四个的区别，我们来个比一比哪一种最节约包装纸快。

包装的学问， 小鹿小鹿，你快看我新买的风筝，哎，小鹿，你这是 马上快儿童节了，我想给台湾的小朋友邮寄点糖果啊，邮寄糖果，嘿嘿，来来来，我来帮忙 哦。哎呀，不是一盒一盒的包，是两盒包一起，而且你不能太浪费纸张呦。啊，两盒一起，小虎，我考考你这个会用到数学中的哪个知识呢？嗯，让我想想， 两盒一起还要节约包装纸。呃，哎，我知道了，长方体的表面积就是要使得包装后的表面积最小。 是的，看来这个问题没有难倒你啊，你知道一共有几种方法吗？将两盒糖果包成一包，可以有三种不同的方法， 那到底哪种最节约包装纸呢？我们计算出每种方法的表面积，再比较一下就可以了。我们先来测量一个糖盒的长宽高长是二十厘米，宽十五厘米，高五厘米。 长方形的表面积等于前后两面合加，左右两面合加，上下两面合。 方法一，我们先看前后两面，一个盒子的宽是五厘米，两个盒子放一起， 宽为十厘米，长不变二十厘米。前后两面面积相等，所以前后两面的面积和为二十乘十乘二，等于四百平方厘米。 接着我们看左右两个面，一个盒子的宽是五厘米，两个盒子放一起，宽为十厘米，长不变十五厘米。左右两面面积相等， 所以左右两面的面积和为十五乘十乘二，等于三百平方厘米。 最后我们看上下两个面，长不变二十厘米，宽不变十五厘米。上下两面面积相等，所以上下两面的面积和为二十乘十五乘二，等于六百平方厘米， 所以长方体的表面积为四百加三百加六百等于一千三百平方厘米。我来接着说方法二。 方法三， 把三种方法的表面积比较一下，一千三百小于一千七百小于一千七百五十，还是方法一的最节约纸张。 嗯，不错，你们是通过计算得出结果，但是我一看就知道哪种方法最节约包装纸啊，我们想想 啊，我知道了，我们可以观察两个重叠在一起的面，也就是消失的面。消失的面越大就说明剩余的表面积越小。是的，生活中处处皆学问。 小虎，咱们赶紧打包吧，嘿嘿。嗯，这个礼物也算我一份，哈哈哈。嗯，算你一份，哈哈哈。

节快到了，我给女儿准备了两盒糖果作为礼物，为了给她一个惊喜，我要把礼物包起来。大家帮我想想包装中我该注意哪些问题？ 你说要包的美观好看，你说包好后要便于携带，怎么写的？你说应该先找出包装的所有方法，然后通过计算就能知道哪种方法最省纸。嗯，你说 我们在摆筷子的时候，通常都是把大的面放在一起，这样摆看着舒服，还节省地方。所以我觉得就是把二十乘五这两个最大的面放在一起最节省纸。嗯，好，你说 我觉得他说的对。通过观察糖果盒的面，我发现二十乘十五的面最大，我猜测把两个这样的面合在一起一定最省纸。 大家说的是否正确呢？请你们拿出学具，同桌研究研究。为了方便交流，我们把藏方体中最大的面叫大面， 最小的面叫小面，不大不小的面叫中面。开始吧， 我学句中的面对比发现最大的面重合起来，剩下的表面积就少。嗯，大家的想法都很有道理，是否正确呢？应该怎么办？计算？对，计算前先想想球用了多少包装纸。就是求什么？ 你说就是求新的长方体的表面积，同意吗？同意，这些就是新的长方体。 这是两个大面重合后的，这是两个中面重合后的。这是两个小面重合后的。 应该怎样列式？你说可以先求出一个长方体的面积，有两个长方体就乘以二，有两个桌面重合，就就用两个大长方体的面积的表面积减去两个桌面的面积就是新长方体的表面积。嗯，很好，想出这种方法的举手。 嗯，还有其他方法吗？你说。我把他们俩重合后看成一个整体，算出他现在的长方高，然后套用扁面积公式，就可以很快的求出新的长方体的表面积了。想出这种方法的举手！ 嗯，孩子们，你们太棒了！把重合后的看作一个整体，找出他的长宽高，最后靠用公式解决。还有其他方法吗？ 你说。我把不同的面都数了一遍，嗯，算完其中的一个面，再乘以它的个数，最后把结果相加，我想这样算也是正确的，但是这种方法不好，浪费时间。嗯，你说的很对，这种方法比较麻烦， 如果让你们选择的话，三种列式方式，你会选哪一种？第二种？第二种。说说理由吧！你说我会选择第二种方法，因为第二种方法最简单，先找出新长方体的长宽高，再套用公式，就可以得出这个长方体的表面积了， 对不对？对，好，列式计算，谁想到黑板上来，好。 两个大面重合，两个中面重合，两个大面重合。方案二是两个中面重合方案三是两个小面重合， 两个大面重合表面积是一清二楚。 两个中面一千七百，两个小面一千七百五十。 观察这个表格，你发现了什么？你说。我发现重合部分面积越大，所需的包装纸就越少。 重合部分的面积越小，所需的包装纸就越多，大家同意吗？同意，我们可以把它简单的概括成，重合的面积越大，表面积越小。 好奇读一下，重合的面积越大，表面积越小。孩子们，刚才我们研究两个糖果，经历了怎样的探索过程？ 你说，我们先思考题目，提出来两个要求，一是有几种包装方案，二是找出最节约纸的方案，然后我们动手摆一摆，最后一起交流，很清晰，有补充吗？ 你说。我补充，我觉得我们先进行了大胆的猜测，然后通过计算，验证了两个大面积重合最节约包装纸。最后我们得出结论，重合的面积越大，表面积越小，就越省纸。 大家总结的真好，边学习边总结，是学好数学的一个好方法。敢不敢挑战新的问题，敢！ 一起读题，将四核磁带包成一包，有几种不同的包装方案，画出草图，在小组内交流。 谁来审题？说这道题就是先想一想一共有几种方案，再把想到的方案画出草图，在小组内进行交流。 听清楚了吗？听清楚了，现在就请你们拿出学具，在小组中说一说，摆一摆，画一画，开始吧！ 同意吗？同意，你真是个细心的孩子，现在我们可以在每一类中进行比较了，谁来说说结果你说。通过比较，我发现一种面重合中六大重合最节约包装纸，两种 两种面重合中四大适中最节约包装纸，同意吗？同意，是不是就比较 这两种方案了？是到底哪一种最节约包装纸呢？猜它的举手！ 猜相同的面再计算，这也是一个好方法。其实无论我们怎么比较，思考的角度都是一样的，要节约纸，就是要使它的表面积最小，也就是重合的面积最大。 这是不是重合的面积最大呀？是，所以它的表面积最小。因此这节课我们得出这样一个结论， 重合的面积越大，表面积越小，越整洁越直。 再读一下，重合的面积越大，表面积越小，越节约纸。好，请同学完成任务反馈卡 一包，怎么包最节约纸呢？ 两盒糖果，我们是大面重合，四盒磁带还是大面重合？那么是不是包装相同的长方体只要把大面重合就是最节省纸的呢？不一定。 为了得出一个准确的结论，牛奶每四盒打一个包装，怎么包才能最节约纸？请大家参照刚才学习四盒磁带的方法独立解决。开始吧！ 五百六十二平方厘米，四大四中重合的表面积是五百三十六平方厘米， 比较的同意吗？同意，比较的结果是四大四中重合最节约纸，大家同意吗？同意。通过计算，我们得出四个大面，四个中面重合最节约包装纸。 通过观察数据，我们发现是不是只重合大面就行了？不是。 当长方体的长宽高中有两个量，怎么样？很接近，结果可能就不同了，具体问题我们要具体分期。 你还能用其他方法来比较这两种包装方案吗？你说可以，嗯，很好， 还有吗？你说。在学习中我们可以把方案进行分类，有一种面重合的，还有两种面重合的，当然他们的计算方式也不一样，有减面的，有加面的，还有直接求新长方体表面积的这几种方式，他用公式来求新长方体的表面积作为检验。 真好，你是从数学思想上和计算方法上谈的收获，并且又画出了最简易的方法，老师真为你高兴，希望大家能把这节课的收。

同学你好，今天我们来学习有趣的折叠，一起看一下这道题目。 仓库模型，将下图按虚线折叠成一个封闭的立体图形，想一想它的形状像什么呢？单位厘米，这里面有一个展开的平面图， 把他沿着虚线折叠之后，他就会变成一个立体图形了。那么这个呢，我们就要需要动手去操作一下， 一做一做，把教材副页三中的图一剪下来，并沿虚线折叠成一个封闭的立体图形，下面我们一起操作一下，剪一剪。 这位小朋友说沿着外侧的边线剪成一个完整的图形，首先呢把整个图形剪下来，剪下来之后我们就要折一折， 沿虚线折成封闭的立体图形，就是沿着这些线进行折叠，这些线进行折叠，折完之后他就是一个这样的一个形状，看一看 就是这个形状，那这个是一个什么样的形状呢？非常棒，这就是一个小房子，所以我们折完之后呢它的形状，这个立体图形就是小房子的一个形状。 二、刚才折叠出来的小房子模型，它各边的实际长度是图中相应长度的一百倍， 你知道这座小房子的占地面积是多少吗？那首先你要知道占地面积在哪里呢？我们在图上标一标，就是这个面的面积， 那这个面是一个长方形，长方形的面积等于长乘宽，那我们就要去在原图当中去找一找，这个小长方形的长和宽分别是几厘米呢？ 我们把这个图拿出来，那在这个平面图里面，你要找到这个面，在平面图当中究竟是哪一个面呢？非常棒，就是这样的一个面， 那这个面同学们观察它的长是八厘米，宽是三厘米，这里面已经说了，实际的长度是图中的相应的长度的一百倍，所以我们根据这个能把实际的长度求出来，那我们计算一下吧， 八乘一百等于八百厘米，把它转换成米，那就是八米，然后宽度是三厘米，那就是三乘一百等于三百厘米， 折合成米，那就是三米。这就是实际这个小房子它的地面这个长方形的长和宽分别是八米和三米。我们想求面积用长乘宽八乘三等于二十四平方米 做一个解答，这座小房子的占地面积是二十四平方米，这样我们把这个题目就完成了。 三、请在平面展开图上将窗户、烟囱和小鸟的大致位置标出来。那同学们看一看，我们这样的一个立体图形在这呢，这个呢是一个平面的展开图形， 那这里面就需要同学们有一个空间想象的能力。首先我们看一看窗户都在哪里呢？这里有一扇窗户，他在这个门的左侧，那我们这个门在平面展开图里，在这，所以他的左侧大约这个位置应该有一个窗户， 那么这里面还有一个窗户，这是在他的右面，那也就是展开之后就应该是这个面，所以我们这里有个窗户，下面我们看看烟囱， 烟囱在立体图形里面，在右侧的这个位置，那么对于我们这个平面图来说，就应该大致是这样的一个位置，烟囱在这里， 还有小鸟在这呢，那小鸟在这个屋脊之上，并且呢是靠左对应着这个窗户大致的位置，所以对应着窗户的位置，我们去找应该是小鸟的位置，大约在这个位置，这样我们把它们就标好了， 想一想，做一做一。下面是两个包装盒的平面展开图，这两个包装盒的形状分别是哪个图形连一连？ 那么对于这道题来说，是我们之前所学过的长方体或者是正方体的平面展开图的一些相关知识。 同学们首先观察一下第一幅平面图形，那么这里面一共有六个面，这两个相对的面是面积大小的正方形，而 这里面有四个面积相同的长方形，所以这个图形如果把它折起来之后，它就是一个长方体，并且有相对的两个面都是正方形的，它的大小我们在下面观察一下， 那应该是这个，你看左和右这两个就是正方形，然后呢，上下还有前后都是面积相等的长方形，所以这个呢是符合要求的，我们把它连线 第二幅图，我们观察一下，这就是非常典型的正方体的平面展开图，正方体平面展开图，它符合那一种叫做幺四幺型的。 什么叫幺四幺型呢？就是上边有一个小正方形，中间有四个小正方形，下边有一个，这就叫做幺四幺型。那么这样的平面展开图是可以围成正方体的，所以我们要和这个正方体连线就可以了。 下面看第二题，下面两个展开图折叠后所围成的图形分别是下面哪个立体图形连一连，那这些就需要同学们有一个嗯空间想象的能力，有一种立体感。同学们看一看第一幅图， 第一幅图当中呢，这里面有一二三三个长方形，然后呢上和下分别是两个三角形，并且大小相同。那所以说我们这三角形折过来之后，就是这个立体图形的上底和下底， 那么中间这这三个面我们围起来之后呢，他就形成了一个这样的一个三棱柱，所以我们三棱柱在下面找一找， 那这里面有两个三楞柱，这个是三楞柱，这个也是，但是呢它的大小我们观察这一个更符合实际情况，所以我们和这个连线。 下面我们再看第二幅图，这第二幅图里面一共呢是有五个面，正中间有一个正方形， 然后外围有这样的四个面积相同的三角形，那如果把这四个三角形沿着虚线把它折起来之后，那他就是一个哎这样的图形，那这个图形他叫做四棱锥，所以呢我们把它连线就可以了。 第三题，下面图形中哪个能够折叠成正方体？先说一说你是怎样想的？再将副页三中的图二剪下来折一折，那这个需要同学们实际的动手操作一下。那现在我们首先看一看这样的一个第一幅图， 这个图形它能不能够折成正方体呢？那这个我们刚刚讲过一道题，叫做幺四幺型，这个是不是呢？有同学说这不是啊， 其实他把幺四幺的这个形把它立起来的，你看我可以把它看成这个一，然后中间这不有四个正方形吗？然后下面又有一个一，所以我们就可以把它看成幺四幺形。凡是这样的形都是能够围成正方体的，所以我们这个可以折成，打个对勾， 下面看这幅图呢，可不可以围成正方体，那你首先要看一看，这里面呢，它属于 正方体平面展开图当中的二三幺型的，二在这呢立起来放着了，三在这呢，然后呢腰在这，这叫二三幺，所以这个呢也是可以围成一个正方体的，可以折打对勾。 第三幅图，同学们看看，这里面虽然也是有六个相同的面，但是这个折不上，为什么呢？在正方体平面展开图当中，没有这样的一种情况，就是凡是在展开图当中，不能有田字格这样的形状， 也不能有凹字形，我们这道题属于田字格，你看有一个田字格在这里面，这就折不折不了，如果我们把这个 d、 e、 f 向后串一位就可以了，但是呢它这种形状呢，是不能折成正方体的，打个叉 下面我们看一看，把能够折叠成正方体，然后找到相对的面标出来，那同学们应该知道， 正方体相对的面，他都是隔着一个小正方形的。那同学们看一看，对于我们这个幺四幺型里面，这里面有四个小正方形，那隔一个就是呢，一和四就是相对的面，三和六相对的面，那剩下的二和五肯定相对了， 我们看一下这个呢，那对于这个题型来说，相对的，我们能够找到前和这个紧这两个字是相对的面， 那其他的有同学找不到相对的，这里面同学们要掌握一个原则，叫做 z 字，看两端，什么叫 z 呢？ 就是那个字母 z， 比如说给同学们画一下，你看这就是一个 z， 然后呢看两端，那两端就是四和这个你他们就是相对的面，把它涂上相同的颜色， 然后剩余的这个住和乘，那肯定是相对的面了，那他是不是 z 字的两端呢？我们可以画一个，同学们看一看，这不就是 z 字的两端吗？ 同学们要掌握这类的题型的解例方法，就是同行或同列的，然后呢，相对的面是隔一个，如果不在同一行或不在同一列，你就要把它画成这种 z 字形，看两端，这样就能够解决这类问题。 下面我们一起来总结一下这节课你有什么收获。这节课我们主要学习的就是立体图形展开，把它变成平面图形了，然后平面图形反过来折叠，就变成立体图形。 那对于这类题型，就需要同学们有一个空间感，有一个立体感，有空间想象能力，然后呢，自己实际动手操作一下，就能够解决相关问题，同学们你学会了吗？

他们可以分成两类哦，很好，前面六个面，后面八个面，所以说我们可以分成两类。 好，现在请大家先观察方案一、二、三，哪一种是最节约的，哪些可能不是最节约的？ 谁想打我？ 好，你来。我觉得方案一是最节约的，方案二、三不可能是最节约的。理由是什么？因为方案一重叠的是六个大面，而方案二、方案三重叠的分别是六个中面和六个小面。方案一重叠的是最多的，所以它的所用的表面积是最少的， 大家听懂了吗？听懂了，很好，别动。那我们就可以把方案二和方案三先去掉， 再来观察方案四、五六，你觉得哪一种方案是最节约的？ 好，你来。我认为方案四是最节约的。因方案，因为方案四和方案五对比都有四个大面，所以就是四个中面和四个小面对比， 方案四更大。然后方案五和方案六对比都有四个小面，所以就是四个大面和四个中面对比，方案五更大，所以最后就是方案四最节约。哎，他回答的真精彩。好，请走， 说的非常详细哈，好像我们可以把方案对和方案六对调，现在只剩下几种？两种，只剩下两种方案。第一种方案 六个大面， 方式呢？此刻大变了，四个中面。 好，下面请大家来比较一下，六个大面和四个大面，四个中面 又该如何比较？我们可以通过什么来得到计算？下面请大家拿着学习记录卡。二， 谁愿意来说一说你是怎么比的？ 好，你来，我比较的是它们重叠的面积。答案一，比较的是六个大面，列式是十乘以六乘六等于三百六十平方厘米， 第二个方案比较的是四个大面和四个中面，列式是十乘六乘四乘四等于四， 你比较的是六个大面和四个大面，四个中面的比较，对吧？好，这样我们把你的列式展示在屏幕上， 大家同意吗？同意。好，还有没有其他的方法呢？好，你来。 我比较的是两个大面和四个中面， 因为他们分别都有四个大面，互相比较后就只需要比较两个大面和四个中面，两个大面的面积是十乘六乘二等于一百二十平方厘米， 四个中面的面积是十乘四乘四等于一百六十平方厘米。所以第四种方案是最简约的。嗯，很好，很完整。除了这两种比较方法还有没有，还有没有不同的方式？ 我觉得还可以更少一些。比较两个大面和四个中面，其实也就是比较一个大面和两个中面，一个大面的是十乘六等于六十平方厘米。 不好意思，能暂停一下。你能不能再把刚才的一个大面和两个中面的过程再描述一遍的？因为他们之前都有四个大面相互四个大面和 四个大面都有，他们两个都有，所以都相互抵消，就剩两个大面和四个桌面，两个大面和四个桌面，然后再抵消一次，就是一个大面和两个桌面，就是一个大面和两个桌面。谢谢。好，请接着 一个大面的计算是十乘六等于六十平方厘米，两个中面的计算是十乘四乘二等于八十平方厘米。第二种方案重叠的面积最多，所以是第二种方案更节约。很好，谢谢， 刚才同学呢，用了多种的方法进行的比较，从比较重叠的面积得到了 最节约的方案，对吧？好像老师还有一个，我们前面学包装三盒牛奶，四盒牛奶的时候，采用的方法都是 大面重叠，那么这时候为什么既要大面重叠，又要重叠做面呢？ 哪里瘦？因为我们可以把像这样两个圆脸合看成一整个整体，然后他们的两个桌面就会拼成一整个大面， 然后和原来的大面相比，现在两个桌面拼成新的大面会比原来的大面更大，于是原来的大面就会变成现在的桌面，是这意思吗？是，好，还没需要补充呢。 凯凯说的很好，两个桌面形成了一个新的大明，下面咱们来玩一个小游戏。 老师，这里有一些书想要包装，如果要包装两本故事书，该如何包装？大大咧咧， 三本呢？大面重叠，四本呢？大面重叠，五本呢？大面重叠，六本呢？大面重叠， 这一大堆该如何包装？就拿个大面重叠，谁愿意上来试一下？ 好，你来， 大家同意吗？同意，好，掌声送给他！ 生活中的包装除了节约之外，还要考虑哪些因素呢？咱们来看一看，看 完之后你有什么想说的？ 好，你说怎样包装更方便？怎样包装更方便？好，请注意，还有吗？好，你说怎样包装更有创意？怎样包装更有创意？还有没有？ 好，你说怎样包装更实用啊？怎样包装更实用？很好， 该，同学们说了很多，那我们的生活，生活中的包装如果合理而又互有美感，那么就能给我们的生活带便利和视觉上的满足，但是我们的生活中也存在这类包装，请看一则公益广告。 看了这个广告，你有什么想说的 方式？拒绝过度包装，杜绝铺张浪费。那好，还有没有得到什么信息想要表达的？我就知道里面有个数据，每天我们人 因为过度包装扔掉了垃圾，居然价值四千斤。每年。好，每年扔浪费的，因为过度包装造成浪费，价值四千斤，这是一个天文数字。好，请坐。 所以说我们要做到拒绝过度包装，杜绝铺张浪费。很好，学了这节课，你有什么收获？ 好，你说包装的时候尽量涂里面更大的面，还有吗？好，你说充电的面积越大，它需要需要包装的面积就会越小。好，还有吗？ 不仅要注意承接大面，还要注意中面和大面之间的变化。嗯，很好。 今天咱们主要从面的角度去探究了一下包装中的学问。其实包装中的学问还有很多很多， 课后老师希望同学们能用智慧的眼光去探讨一下，从人或者体的角度探讨一下包装中所蕴涵的更多的奥秘。 向右起立，老师，您辛苦了，老师再见！同学们再见！

一枚小小的邮票，曾经是人们传递思念的现实。这枚不忘初心，不忘精致幸福的他，承载着邮政初期的记忆，像一位沉默的历史老人。这枚翻团邮票记录着水上的交通与往来，翻阅田野，仿 佛能听见海浪的声音。再看这枚建国邮票，描述着传统的楼阁与屋檐，他静静诉说着城墙的暮光与岁月的痕迹。这只活泼的红猴子，是生肖邮票的经典之作，许多集邮爱好者就是从他开始爱上了收集邮票。而现在的邮票，画着高速列 和航天飞船方向之间，展现着中国速度与科技飞跃。早期邮票面值只有八分钱，如今一张普通邮票是一点二元，面值变大了。但邮票的设计越来越精美，每一枚都值得细细品味。 谢谢你们！我方秋秋，今旦我的挚友能伴着他出生在他的天堂，他能立正，他能立正，对猴子还认不认？他什么也没说。对猴子的忠诚，对猴子的忠诚，对猴子的忠诚，对社会的忠诚，永远青春美好！