五下数学方向图怎么做

下课起立，老师你好，同学们好，请坐哪节课？我们来回忆一下正方形展开图一共有几种？有几种呢？我们说它有四种类型，但是一共是几种呢？一共是十一。那我们一起来回忆一下来，第一种是什么？是什么类型的？ 第一种是一四一型的好，一四一也就是上面一个好，中间这四个是怎么样的？中间是四个，然后头尾各一个，所以哪一些是固定的？中间这四个是固定的， 它固定是四个，对不对？那上下各一个。哎，我第一个可以放这里。好，下面这个可以怎么放呢？啊？第一种放这里可不可以？好一种 放这里，两肘、三肘、四肘。好，接下来再继续变来这个继续动，这个继续动的话啊，如果这个如果放这边的话，我们会发现其实跟刚刚的这个是一模一样的，把它转过来，所以我们接，所以我们从这边开始来这边就是第几种了。第五种，第六种 还有没有来？如果是这边的话，又跟刚刚什么是一样的？这边第一个，这边是不是一样的？所以它一共就是这六种。所以关于一四一一共有几种呢？共六种， 也就是这中间四个是固定的，然后上面一个，下面一个是任意的，明白吗？这种情况有六种好。第二种是什么类型的？二三一型的二三一，哪一些是固定的？ 好？二，首先二二这么放，二是这么放，二是这么放，对三怎么放呢？啊？要怎样？要错开一个错位，错开一个来，一二三， 这个是二三，还有个什么一一在最底下来一，我可以放在这里，也可以放在这里，也可以放在这里，所以跟我仅有的 关于二三一，这里面的二跟三是固定的，一在下面可以任何一个水有几种？三种水几种情况够三种好。第三种是什么型的？三三好，可以，三三型 好，三三型。三三型有几种呢？好，一二 三，这个是个三对。那第二个三应该怎么办呢？要怎么样？错位一个好，一二三有点像爬楼梯一样，对不对？三三型的，这里面这两个三他都是固定的， 都是固定的好。最后一种是什么型的？二二二型的，二型的也就是每行几个？两个，每行两个，而且这两个每一行都要怎么样？错位一个， 所以我们会发现这两种他都是有点像什么形式？阶梯形的，对不对？是楼梯形的，而且他们只有一种，他们都是怎么样固定的？ 所以对于他来说几种啊？共一种，对他来说也是共一种。 共一种好，这是展开图四种，能不能背诵起来？可以，那我们之前说我们既然能够展开，我们要给他怎么样还原？怎么还原？来这个怎么还原，这个怎么还原，我们可以先看，先看哪里？我们可以先看这四啊，你要以谁？这四个我可以给他怎么样？哎，看 这两个是不是看黑板是这样立起来。好，这个可以，这个一立起来的话，这个是不是立起来是这样子？对，然后上面盖上，下面的圆盖是不是盖上了呀？是不是正方底？好，那这个能不能还原？怎么还原呢？一般情况下还原我们要拿，拿一个作为作为底座的，后面这个 他拿一些他相邻的正方底最多的。这个有两个，是不是有两个呀？对，都可以任何选一个，他其实还原的方式有很多，第一个立起来，这边怎么样？ 立是立起来。好，这个掰下来，这个盖过去，哎，又变成了一个正方体。好，那这个呢？一样的哎，这个接触最多的是不是？好，我们就给他这样。好，这个给他立起来好，看，空间想象能力了啊， 这个运动的话，这三个啊，这个直接这样掰过来，对吧？好，这个掰过来的时候，这个是不是一起过来的？是不是一起过来的啊？就是再怎么样往下往下，哎，变成了一个正方体。好，这个呢？ 随便找一个都没有。好，对，随便找一个来，那我们就找这个吧，一般找中间这个啊。好，首先把这三个给他，怎么样？立起来，这两个给他，哎，对立起来是一起立的。好，然后这个给他掰下来，这个掰下去，然后再上去他又变成一个立正方体。正方体里面会出现，找对面 绝对是相对的面。对，面，对，相对的面会怎样？相对的面怎么样？因为它会隔一隔。相对的面会出现什么特点？隔一隔，或者是可以理解为不相邻， 他们是不相邻的。你想想，如果，如果这两片相邻，任何两片相邻的会成为对面吗？不会相邻，他们就建在一起了呀。你说他们有没有成为对面的？不可能是不可能呀，所以怎样不相邻？ 相对的面肯定是不相连的。那我们来看这个简单，哪一些？哪一些是相对的面？我们用一二三来标这里面，如果以这个图来说，哪一些是相对？如果这个是一的话， 那哪个也是一跳一格，哎，这个也是什么？一，这两个是相对的面，对不对？我们可以验证一下来，看立起来，这两个是不是相对的面啊？对，好，那剩下的这个就是也是相对的面啊？对，好，那剩下的这个就是相对的面，那是哪一些呢？ 比如说这个，这个是协议的话，还应该哪一个也是一，他也会是一吗？不会，他会是一，我们来感受一下。来，我们来，我们叠起来，把这个弄下去，哎，会发现他们也是相邻的，是吧？应该是这个是这个。好，这也是一，我们来感受一下。为什么呢？你看， 哎，这都掰过来，是吧？弄过来，弄下去，哎，是不是相对的？没错了啊？ 反正两个不是，肯定就是这个，对不对？那剩下这两个是不是，呃，不相邻？很明显这两个是二跟二，那剩下就是这两个三跟三。好，这个呢？这种阶梯型的，这个是一的话，那这个就是多少一，那这个是二的话，这个就是二，那剩下这两个就是三，好，这个呢？这个是一的话，那应该也是一， 中间的，中间，中间的这一个，对吧？因为跟他不可能相邻，跟他不可能相邻就跟他了，对吧？啊？这是一，那这两个是什么啊？那这两个是三好，所以这个是我们找相邻的。那为了让同学们更更清楚的看出那个展开图，老师找了一个网页，我们来感受一下。来，我们来感受一下。来，折叠 好，展开再看一下。好，来第二个来下一个折叠感受一下。好，下一个再往右移一个啊，折 叠展开好，最后一个，这个在第四个了啊？折叠， 对，因为其实一次一起练习都一样，对不对？好，那接下来我们看就几秒了，四三二一体验一下， 体验一下可以再体验。我们可以一起体验。啊。好，现在我们来看这个来折叠展开，有没有用心去感受？ 他看过了，是吧？哪一个是没看其他的吧？啊？现在看二三一的，二三一的他这个折叠方式跟我们那个不一样。对，好 好，现在是这还有一个二三一的。 好，现在看三三型的来，这个怎么折叠？好？最后一个二二型的，二二型的 他这个纸。好，那这是我们上一节课学习的正方题的展开图。

同学们，今天我们来梳理五下数学第五单元的知识点，苏松老师将这一单元的知 识点梳理以及对应的专项练习放在了视频的评论区，欢迎大家一起学习图形的运动。这一章节知识点相对来说比较简单，但是如果你家孩子考试要上九十五分，这一章节要认真对待。首先我们来认识什么叫做旋转。 物体绕某个点或某条轴向某一方向转动一定的角度，这种运动现象称为旋转。那么在日常生活中常见的旋转现象有，风扇的扇叶围绕着风扇中心进行旋转，一扇门围绕着一条轴进行旋转， 接下来是旋转的三要素。那么什么是旋转中心呢？物体围绕一个点或者一条轴进行旋转，那么这个点或者这条轴就称为旋转中心。第二点，如何判断物体的旋转方向？ 比如说物体的旋转方向和钟表上时针的旋转方向是一致的，那么这就是顺时针方向。如果旋转的方向是相反的，这就是逆时针方向。第三点，旋转角度，物体围绕旋转中心旋转的度数，我们称之为旋转角度。 比如说在这个表盘上，时针由十二点旋转到三点钟方向，那么它旋转的角度就是这里的夹角是九十度。接下来是物体旋转的特征，物体在旋转的过程中，旋转中心的位置是保持不变的， 过旋转中心的所有边旋转的方向相同，旋转的角度也都相同。还有一点，旋转后图形的形状大小保持不变，只是位置发生了改变，比如说 风扇的扇叶在旋转的过程中，它的大小和形状是不会发生改变的，只是它的位置发生了改变。那么同学们 这张结在考试中最常考的一类题型就是在方格纸上画出简单图形，旋转九十度后的图形，同学们，这种类型的题目我们一定要掌握。我们来看第二个知识点， 图形的变换可以通过平移、旋转以及对称进行拼图以及图案设计，比如说图中的四边形围绕 o 点，第一次 顺时针旋转九十度，第二次同样的顺时针旋转九十度，第三次还是顺时针旋转九十度，那么这样我们就会得到一朵小红花。同学们要掌握图形的运动，这一章节不在于你刷了多少题， 背了多少概念，重点在于理解，跟着松松老师考试轻松一百分，记得点赞关注哦！

你能描述一下你从家去学校的路线吗？怎样组织语言呢？这里面是从指挥部到蓝军宿营地，怎样走 一认识图中的方向标，这里面呢有个箭头朝上，这里面写个北，我们就知道上面是北，下面是南，左边是西，右边是东。 然后呢我们要知道这一种叫做识字方向标，是简易方向标，是在新观测点建立的方向标，这就是为了我们去描述它的方向的时候用到的。下面我们看一看。 二呢要确定分段形成的路线。分段，我们这里面呢，从指挥部到蓝军宿营地分几段呢？指挥部在这到蓝军阵地，这是一段，然后从蓝军阵地又到蓝军宿营地，这是又一段，我们经过了这样的两段。 那现在我们首先描述一下从指挥部到兰军阵地这样的一个描述的方法。怎样描述呢？首先呢我们要去确定他的方向， 这里面方向呢，用量角器量一量，我们发现呢，这里面有个角度是五十度角，这个五十度角就是以正北方向为起始，边 向东偏转五十度，所以叫做北偏东五十度方向，我们已经找到了，还有一个条件，就是距离同学们观察，在这里面有一个这样的图标，表示的是在图上一厘米， 实际就是十千米，那从指挥部到蓝军阵地，我们发现这里面有二厘米，那也就二厘米，就表示十乘二，一共是二十千米。所以现在我们就能描述了，从指挥部 先向北偏东五十度方向走二十千米，到达蓝军阵地，这样我们把从指挥部到蓝军阵地这样一段行程就已经描述完了，嗯，还有下一段，就是从蓝军阵地到 蓝军宿营地，也就是从这里你看我们已经建立了一个简易的十字方向标，然后呢我们观察他是向右走的，上北下南，左西右东，所以右边是东向正东方向 走了多远呢？我们看看这里面正好是一段，也就是一厘米，实际的距离就是十千米，所以现在呢我们就可以描述了，然后从蓝军阵地向东走十千米，就可以到达蓝军宿营地了。 第三步综合描述形成路线，就是把这两段呢合并到一起，我们一起来描述，那就是首先我们应该从这段要描述，然后呢到这段可以从指挥部先向北偏东五十度方向走二十千米，到达蓝军阵地， 然后向东走十千米就可以到达蓝军宿营地了，这样我们把这个行走的路线就描述完成了。 接下来我们看一看描述行走路线的一般方法是什么呢？就分这么三步，第一步，定起点，第二步，定分段。第三部分段描述。下面我们看一看第一小题，说一说张平从学校到双建宫的行走路线，我们看一看这是学校， 然后呢这个方向标在这呢，就是呢上北还是下面就是南，左边是西，右边是东，首先呢向东走三百米， 接下来呢他又向这样的一个方向走了，同学们观察这里面有一个五十度的角，怎样描述呢？ 这是以正北方向为起始边，然后向东偏转五十度，所以叫做北偏东五十度，然后方向 这里面确定了，接下来距离，是呢三百二十米，所以说这个距离写上，然后呢就到达了位置叫电场，接下来从电场我们再往下看，又向东走六百米，然后到公园。 接下来呢他又走了一个这样的五十度角，这个五十度角记住是以正南为起始边，然后呢向东偏转五十度，所以叫做南偏东五十度 方向，找到距离四百五十米到达了少年宫，所以说我们把这些用文字把它写到下面就可以了。行走路线，张平从学校出发，向东走三百米方向走三百二十米到达电厂， 再向东走六百米到达公园，最后再向南偏东五十度方向走四百五十米到达少年宫。所以这样呢，我们就把张平同学的行走路线描述完成了。 我们看第二题，一路公共汽车从起点站向西偏北四十度方向行驶三千米后， 向西行驶四千米，最后向南偏西三十度行驶三千米到达终点站。小一，根据上面的描述， 把公共汽车行驶的路线图画完整，嗯，这个呢，还是同样的一类题型。那首先呢，我们要知道 以谁为观测点，就以谁为中心，画出这种十字方向标，然后画出下一段的方向和距离。 现在呢，我们这个起点在这，他第一段已经给你画好了，这不四十度方向吗？那接下来呢就是方向行驶三千米，然后呢向西行驶四千米，那接下来我们从向西那也就在这个为观测点了，我们在这建了一个小方向标，然后向西左边为西。 朋友们看一看，这里面的一千米是这样的一段，那我们要画四段来，这就是四段，然后呢就到达了这样的一个位置， 说最后又向南偏西三十度，首先呢这个偏转角就要以这一点为观测点，所以在这里就要建一个十字方向标， 然后呢南偏西三十度，怎么画呢？这个角度是以正南方向为起始边的，在这呢正南方向，然后呢向西偏转，就向这方向偏转三十度，那我们画一下这个角就三十度，然后就到达了 终点站，这个距离这是三千米，我们要画三段，这就是终点站了，现在呢我们把这个图形就画完整了，下面我们看一看。第二题， 根据路线图说一说公共汽车沿原路返回时所行驶的方向和路程，那这个同学们一定要清楚，返回的时候所行驶的方向与去的时候的方向正好相反。然后呢角度和路程是不变的，这里面有两个不变，就是呢角度不变，路程不变， 什么变了？就是我们的方向变了，这个方向呢是和原来来的时候呢是相反方向，那现在我们去说一说吧。首先呢，我们看一下从终点站到这个位置，然后呢再走到这，走到这里就是他的行驶路线，那怎样描述呢？ 首先我们看看从终点站这里面往回走的时候，朋友们看看是哪啊？这呢最后吗向南偏西三十度，你来的时候是南偏西， 然后返回的时候呢，和他相反，南的相反方向就是北西的方，相反方向呢就是东，所以叫做北偏东三十度。这样描述，那也就是第一步，从终点站向北偏东三十度方向行驶三千米，这个距离是不变的。 然后呢我们再往下看，接下来呢，从这个位置就会向右走了，那向右走就向东走了四千米，你看来的时候是向西走，是不是？所以说返回去就是向东行驶四千米， 接下来呢，到这一段了，那这一段呢，就是我们这里面有一个四十度角，那现在呢，这个四十度角来的时候呢，是向西偏北四十度，那返回去的时候呢？西，他的相反方向呢就是东北，他的相反方向就是南，所以叫东偏南四十度， 向东偏南四十度方向行驶三千米，到达了起点站。这样呢，我们把这个路线图就描述完成了， 同学们，这节课你有什么收获呢？描述行走路线的方法，一定起点，确定好出发的位置，即从哪里出发的。二定分段， 确定好分段点，即整个路线分为几段，确定好观测点。 三、分段描述，从方向和距离两个方面描述每段的行走路线，这样我们就能够把简单的路线图描述清楚了，这就是本节课所学习的主要内容，同学们，你学会了吗？

同学们大家好，这节课我们来学习人教版五年级下的图形的旋转。在开始之前，请同学们先准备好两张如右图这样的方格纸，一张是空白的，一张上面画有一个三角形， 可以是打印的，也可以是手绘的。还要准备一把直尺和一支铅笔，以及数学课本。要准备的东西比较多，请同学们按下暂停键。 准备好了吗？我们就开始吧！说到旋转，同学们并不陌生，以前我们看见了许多旋转现象， 这节课我们就一起在方格纸上画一画旋转后的图形。首先请同学们看，任务一， 请你画一画线段 a、 b 旋转后的图形，再写一写你是怎样旋转的，请你按下暂停键。 都画好了吗？那我们就来看一下同学们是怎么画的吧。 有的同学这样画的，这样画的，还有的是这样的。老师这里展示了六位同学的画法，想一想他们画的对不对呢？ 第六幅图旋转了一百八十度，旋转角度是不符合要求的， 看来旋转角度会影响旋转后的图形。或许有的同学有这样的疑问， 其他无幅图，它们的旋转角度都是九十度，都符合老师的要求，为什么旋转后的图形还是不一样呢？ 老师，我知道了，第一幅图是绕着 a 点旋转的，第四幅图是绕着 b 点旋转的，所以它们旋转后的图形是不一样的。 嗯，是呀，围绕哪个点旋转会影响旋转后的图形？我们把这个点称为旋转中心。 剩下的几幅图，你有什么想说的吗？老师，那第三幅图是以谁为旋转中心呢？我知道它的旋转中心是线段的终点，他们的描述你们还有什么意见吗？ 看来旋转中心可以是线段的端点，也可以是线段上的任意一点。剩下三幅图分别以谁为旋转中心的呢？请看大屏幕， 你都答对了吗？老师，我还发现了图四是顺时针旋转的，而图五是逆时针旋转的。是啊，旋转的时候还要说清楚旋转方向， 旋转的方向有顺时针，也有逆时针。就像你们刚才说的那样，准确地描述旋转现象，就要把旋转中心、旋转方向及旋转角度说清楚， 否则就会影响旋转后的图形。那我们把刚才的任务一中，你是怎样旋转的描述清楚吧！请同学们按下暂停键 来，我们看看它们都怎么补充的。有的缺少了旋转中心，有的缺少了旋转方向。 如果让你当当小老师，你想怎样填，我们就能画出相同的图形呢？ 我是这样写的，画出线段 a、 b 绕着 a 点顺时针旋转九十度后的图形。我是这样写的，画出线段 a、 b 绕着 b 点逆时针旋转九十度后的图形。 请你闭上眼睛，跟着他的描述，想象一下出现的是哪幅图片呢？ 睁开眼睛来看一看，其实旋转后就是第一幅图和第五幅图。看来只要旋转中心方向角度统一了，这个图形就确定了。 现在老师又要把任务升级了，你会画旋转后的图形吗？旋转中心是 a 点，旋转方向是顺时针。

敖丙，快看，是可爱的大熊猫。 敖丙，我在喷泉广场的东北方向，你快来找我，我在喷泉广场的北偏东二十度的方向上。不对不对，我刚刚说错了，我是在喷泉广场的冬天北七十度的方向， 我在喷泉广场的北偏东二十度的方向上，距离喷泉广场九百米。敖丙，你终于找到我了，师傅给我打电话了。哪吒，你们在哪呀？我们在斑马场，你在哪呢？我在猴山，你们快过来找我， 你们总算来了，妖术趁人偷走了山猴设计图，并藏在宝箱中，宝箱需要三把钥匙才能打。 不愧是我的好徒儿，为了防止三国设计图再被抢走，帮我把他送到玉虚宫封存去了。陈塘，关，在玉虚宫的什么方向上 说一说，从龙宫到洞。

确定物体的位置。 这是某次军演作战区域的沙盘图，在沙盘中有三个位置非常重要，谁能说出是哪三个位置？我知道红方阵地、蓝方阵地和总指挥部。 是的。那你们知道在军眼中的红方和蓝方分别代表什么吗？红方代表我军，蓝方代表敌军。 嗯，作为一名优秀的指挥员，在战场上应时刻知道两件事，我军的准确位置和敌军的准确位置。如果你在总指挥部中让你确定红方指挥阵地的位置，你会怎么办？ 量一量红方阵地和指挥部之间的角度，测一测红方阵地离指挥部有多远？很好， 也就是说，我们要想准确的确定位置，方向和距离，这两个要素非常重要，一个都不能少。 现在如果红方指挥阵地在总指挥部的西偏北三十度方向，距总指挥部三十千米，那我们应该怎样找到这个位置呢？ 我知道，我们先确定西偏北三十度这个方向，应该先找到中心点总指挥部，然后应首先找到西，再来看一看他往哪个方向偏，转了， 偏转了多少度，然后用量角器量出来三十度。最后我们标注距离。图上用一厘米的线段表示实际距离十千米。因为红方阵地距离指挥部三十千米，所以画三厘米长的线段 非常好。那红方阵地所处方向除了可以表示为西偏北三十度，还可以怎样表示？ 我知道北偏西六十度，你怎么知道这个方向是北偏西六十度的呢？这个角有两条边， 我们在辨别方向时，首先应找到正的方向，然后再看他往哪个方向偏转了？偏转了多少度？现在我们可以以北为正方向，这次向西偏了， 因为正西和正北之间的夹角是九十度，西偏北是三十度，那么北偏西就是六十度。 嗯，思路非常清晰，现在如果让你用工具确定蓝方阵地的准确位置，你有办法了吗？有，我量了这个角是四十度， 因此南方阵地在指挥部的北偏东四十度方向，这个点距离指挥部四厘米，因为一厘米代表十千米，所以南方阵地距离指挥部四十千米。 还可以说南方阵地在指挥部的东偏北五十度方向，距离指挥部四十千米。 是的，现在我们总结一下，我们是如何确定阵地的位置的呢？根据方向和距离，那在确定位置的过程中，指挥部起到了什么作用？观测点， 如果把确定位置的过程分为三步曲的话，你们认为应该是怎样的过程？先确定观测点，然后明确方向，最后确定距离。 真厉害，那还有没有其他的确定位置的方法呢？我们大家一起开动大脑想一想吧。

五、下数学最难的平移旋转轴对称一定要吃头，考试轻松！九十八、加第五单元平移旋转和轴对称知识点较难。平移一、不改变形状、大小和方向。 二、关键要素，平移方向，上下左右平移距离移动几何。三、作图步骤，找关键点，顶点交点，按方向和距离平移每个关键点。 按圆图形形状顺次连接平移后的点旋转一、图形绕一个固定点转动，不改变形状和大小。二、三要素必备，旋转中心，旋转方向，旋转角度。三、作图步骤，确定旋转中心，找出关键线段，按方向角度画出旋转后线段连接各点，形成新图形。 三、轴对称补全图形步骤，找出图形的关键点，画出每个关键点。关于对称轴的对称点，按圆图形形状顺次连接对称点。以上均有。

多多来，今天我们看一道三年级下必会的位置与方向题， 这是一个小区平面图，我们拿到这个图啊，第一眼我们先看它的右上角，这里有一个图标， 只是上面是北，下边是南，左边是西，右边是东。一般的平面图通常都是这样，表示，上北下南，左西右东。 好了，我们看题，一号楼在广场的什么方向？这道题的重点呢，就是我们要找中心点， 这里一个技巧，在谁的什么方向，谁就是中心点，以它为中心做这道题，一号楼在广场的什么方向？那么广场就为中心点，我们以广场画一个图，上面是北，下边是南， 左边是西，右边是东。好了，我们找一号楼在他的什么方向啊？哎，我们看这是一号楼，那么他在他的正西方向。 好了，再看第二个，二号楼在一号楼的什么方向，那么这道题谁是中心点呐？哎，对，一号楼是中心点。好了，我们以一号楼画一个十字方向，上北下南， 左西右东。那么二号楼在它的什么方向？是不是在这个方向？那这个方向是什么方向啊？东北方向。 好了，再看三号楼在四号楼的什么方向。这道题的中心点是哪个是，是谁呀？哎，是四号楼，对不好？ 我们以四号楼做十字，上北下南，左西右东。好了，那么三号楼在四号楼的什么方向？ 在这个方向，对不对？那这个方向是什么方向啊？哎，对，是西北方向。

他旋转过后会跑到哪里？ 上面比下面一个来，你上来指一下， 那这个点旋转过后会跑到哪里呢？那看来我们线段的旋转其实就是 线段上每一个点的旋转，同意不同意？你看刚才那个孩子还教了我们一个方法，其实我们在学习这个知识的时候，他可以用到我们前面所学的平移的方法， 所以我们旋转的画法，它其实和我们平移的画法是一样的，只要我们能够找到关键点，平移过旋转过后的对应点，我们就能画出这个图。刚才讲的呀，这个线段 a 和 b 都是它的关键点， 同不同意？而旋转过后，这个 b 点它是不变的，只有谁会往那边移动呀？ a 点，不止 a， 除了 b 点，其他线段上的其他点都会往这边旋转，那这么多点当中，只有那个 a 点是最关键的，只要把 a 点的对应点找到了，这个线段就画出来了，听明白了吗？听 明白了，很好，那我们再一起来回顾一下， 刚才我们是先找的 a 点的对应点在哪个位置呀？ b 的 上面，然后它顺时针旋转九十度，是不是就走到这里了？最后我们只需要把 a 漂和 b 连起来，就可以画出旋转过后的图形， 不要忘了再标上方向和角度。学会了吗？那你能用刚才这样的方法完成第二题吗？来动作， 哎，很多孩子很快就已经画出来了。 好，我们一起来看看这一次到哪个点旋转的？ a 点？ a 点，那请问谁就是另一个关键点？ b 点， 那它旋转过后，到了 a 点的上方，对， a 点上方的这个位置是吧？最后我们把它连起来就 ok 了。来，做对的举手。 好，把掌声送给我们自己。那这个时候请你仔细观察我们刚才画的两幅图，都是旋转九十度，为什么画出来图形不一样呢？ 您说因为他们的旋转角度不一样。哦，不对，因为他们的旋转方向不一样，一个是顺时针，另外一个是逆时针。虽然都是旋转九十度，但他们的呃，旋转中心和旋转方向都不一样，所以画出来的图形也不一样。 那看来我们在画旋转的时候，既要关注它的旋转角度，还要关注它的旋转中心和旋转方向，这三者缺一不可。 那我们继续来看我们刚才画的第二个图，请你仔细观察线段在旋转前和旋转后什么变了？什么没变， 你说， 呃，它旋转之后，它的位置变了，它的方向变了，但是它的长度以及它的形状大小没有变，同意不同意 哎，他的位置发生了变化，从一个位置旋转到了另一个位置，但是他的长度是没有变的，同意吗？这就是旋转的特征。 那今天这节课，我们通过我们对前面旋转的再一次认识，我们会准确的描述旋转后的图形的。 敢不敢继续接受挑战？敢！那接下来朱老师和大家一起来玩个游戏， 宽为一厘米的方格纸上有一个奖品，还有一条线段，我们一起来看游戏规则， 我们一起来读一下吧。不改变企业，不改变线段的长度，不移动奖品的位置， 线段 m n 旋转一次端点 m 或 n 碰到小圆点就能获取相应的奖品。你能读懂游戏规则吗？能，来，谁来解释一下来，你说 他的意思就是你不能改变他的大小，就是和旋转同理，你要旋转这条线段，让他的 m 点或者 n 点碰到这个奖品的那个小红点只能旋转一次，一次 m 点或者 n 点碰到了都可以拿到。 那如果是 m n 这条线段里面的点碰到的，能不能拿到？规则如此，是吧？那这个棒棒糖能拿到吗？能。怎么拿到的？来，您说。 线段 m 围绕，呃，围绕 m 点，呃，逆时针旋转九十度就可以碰到这个棒棒糖，所以就拿到了棒棒糖。同意吧，简单不简单？简单。如果把这个奖品放在这个位置， 能拿到吗？有人能，有人不能，那怎么来判断呢？ 你说因为，因为他的那个， 因为他的这个点并没有在这个格子图上，所以这个 m 点或 n 点完全伸直之后，呃，只能在他的旁边，而并不能碰到他。呃，这是你的想法，那我们到底要判断他能不能拿到，可用什么方法？你说。 我觉得可以先量出 m n 的 长度，然后呢？再量出那个小红点到 m 或者 n 的 长度，然后再找到一个中心点，然后试一下这个长度可不可以 听懂它的意思了吗？那只有这个长度， m 到这个小红点的长度要和 m n 怎么样才能拿到？其实它用到了我们今天所学的旋转过后长短不变， 如果它们的长短相等是不是就可以拿到了？那你量一量看看能不能拿到。 哎，有的孩子举手了， 能拿到吗？能来，你来说。 因为我先量出了 m 点到这个小红点的距离是四厘米，然后我再量了一下， m 点到 n 点之间的距离也是四厘米，两条线段之间的距离都是四厘米， 他们距离又相等，所以旋转故事可以碰到小红点，也可以拿到这个奖品。好的理由你听懂了吗？ 其实那个 m、 n 是 不需要量的，图上是不是给了一个格子是一厘米的？对了，那你看，那如果我把这个奖品放在这个位置呢？ 如果要能拿到，他必须要满足什么条件？ 你说同意吗？那放在这个点要想拿到，那这样的点多吗？ 这样的点汇聚起来会形成一个什么圆？你们是不是这段时间才学了的？ 以谁为圆心，谁为半径？是的，只要这些点在以 m 为圆心，四厘米为半径的这个圆上，这些奖品都能拿到。 那这个奖品放在这里能拿到吗？真的能拿到。哎，你看，会思考的孩子已经在动手凉了。 哎，这么快就举手了？你说 他认为是不能拿到的，有没有不同意见啊？ 都认为没法拿到，那你想一想，我一定要以 m 和 n 为旋转中心吗？ 你看这个孩子有想法了，你说我们可以以 m 和 n 这个线段之间任意一个点为圆为为这个中心来旋转，那你觉得以哪个地方为旋转中心能拿到这个飞机呢？ 呃，我觉得是在这个 m 点和 n 点之间这个中心为。哎，不要点它啊，不要点它， 不要点它啊，以那个地方为中心旋转能拿到吗？那谁又不抽来，你去说。 是的，话筒递下来，直接上去吧，飞上去，直接上去。 所以以这个为中心的点，这里，这里，这样旋转过来是可以拿到奖品的。他不仅找到了，还说出了理由，他刚才说的什么来着？ 这里是，所以这里如果把这个点放在这里，想一想能不能拿到那个飞机，怎么旋转？ 我们依然把这个点叫做 o。 说吧，女生， 呃，以 o 点为中心，呃呃。顺时针旋转九十度就能拿到这个飞机，同意不同意？来掌声送给这个女孩子。 那看来我们有时候可以换一种思路，不能改变长度，我们就可以改变旋转中心，它不仅可以。

很多孩子在做位置与方向题，一遇到你看我，我看你的题就蒙了，总把方向写反。今天这道题，我们不仅要算出答案， 还要把反方向的规律彻底办明白。看题目，奇思看妙想在北偏东五十度的方向上。那么妙想看奇思在什么方向上？解决这一类问题时，我们要清楚，谁是观测点，谁就是上北下南、左西右东的中心。 奇思看妙想在北偏东五十度的方向上。先找观测点，是谁在看，奇思在看，那么奇思就是观测点。所以奇思就是那个上北下南、左西右东的中心，以奇思为中心划方向标， 北偏东五十度，就是从正北方向 向东偏五十度，这条线的终点就是妙想的位置。现在反过来，妙想看奇思，观测点变了，变成了妙想。 很多孩子在这里会犯一个错，还是以奇思为中心看方向，结果越看越乱。我们一定要记住，观测点变了，坐标必须跟着换。现在我们站在妙想的位置 画方向标，你看齐思在妙想的什么位置上呢？是从妙想的正北线 往南看，再往西转，对不对？从西转多少度呢？把齐思和妙想中间的连线看成一根绳子，这根绳子与正北方向 之间的夹角是不会发生变化的，这里的夹角是五十度，那么这里的夹角也是五十度。 奇思在妙想的什么位置上呢？就是南偏西五十度的方向上，奇思看妙想是北偏东五十度，妙想看奇思是南偏西五十度。 你发现了吗？南和北相反，东和西相反，五十度的大小是没有发生变化的，这就是反方向的核心规律， 两个物体的相对位置方向是相反的，但是它们的夹角是永远不变的，从妙想的位置去看其思。那么还有另外一种表示方式，从正西往南偏 往南偏多少度呢？东西方向与南北方向形成一个夹角，是九十度， 那么这是一个直角三角形，这个角是五十度，那这个角就是四十度也。那么另外一种表示方式就是 西偏南九十度减五十度，也就是西偏南四十度。这两种说法都对。通常情况下，我们建议大家写第一种方式，方向相反，度数不变， 我们一定要把这种方法刻进我们的 dna 里面。这一种方法记熟了以后，我们再去写另外一种表示方式。

同学们大家好，这节课我们来学习人教版五年级下的图形的旋转。在开始之前，请同学们先准备好两张如右图这样的方格纸，一张是空白的，一张上面画有一个三角形， 可以是打印的，也可以是手绘的。还要准备一把直尺和一支铅笔，以及数学课本。要准备的东西比较多，请同学们按下暂停键。 准备好了吗？我们就开始吧！说到旋转，同学们并不陌生，以前我们看见了许多旋转现象， 这节课我们就一起在方格纸上画一画旋转后的图形。首先请同学们看，任务一， 请你画一画线段 a、 b 旋转后的图形，再写一写你是怎样旋转的，请你按下暂停键。 都画好了吗？那我们就来看一下同学们是怎么画的吧。 有的同学这样画的，这样画的，还有的是这样的。老师这里展示了六位同学的画法，想一想他们画的对不对呢？ 第六幅图旋转了一百八十度，旋转角度是不符合要求的，看来旋转角度会影响旋转后的图形。 或许有的同学有这样的疑问，其他无幅图，它们的旋转角度都是九十度，都符合老师的要求，为什么旋转后的图形还是不一样呢？ 老师，我知道了，第一幅图是绕着 a 点旋转的，第四幅图是绕着 b 点旋转的，所以它们旋转后的图形是不一样的。 嗯，是呀，围绕哪个点旋转会影响旋转后的图形？我们把这个点称为旋转中心。 剩下的几幅图，你有什么想说的吗？老师，那第三幅图是以谁为旋转中心呢？我知道它的旋转中心是线段的终点，他们的描述你们还有什么意见吗？ 看来旋转中心可以是线段的端点，也可以是线段上的任意一点。剩下三幅图分别以谁为旋转中心的呢？请看大屏幕， 你都答对了吗？老师，我还发现了图四是顺时针旋转的。 是啊，旋转的时候还要说清楚旋转方向，旋转的方向有顺时针，也有逆时针。 就像你们刚才说的那样，准确地描述旋转现象，就要把旋转中心、旋转方向及旋转角度说清楚，否则就会影响旋转后的图形。 那我们把刚才的任务一中，你是怎样旋转的描述清楚吧！请同学们按下暂停键 来，我们看看它们都怎么补充的，有的缺少了旋转中心，有的缺少了旋转方向。 如果让你当当小老师，你想怎样填，我们就能画出相同的图形呢？ 我是这样写的，画出线段 a、 b 绕着 a 点顺时针旋转九十度后的图形。我是这样写的，画出线段 a、 b 绕着 b 点逆时针旋转九十度后的图形。 请你闭上眼睛，跟着他的描述，想象一下出现的是哪幅图片呢？ 睁开眼睛来看一看，其实旋转后就是第一幅图和第五幅图。看来只要旋转中心方向角度统一了，这个图形就确定了。 现在老师又要把任务升级了，你会画旋转后的图形吗？旋转中心是 a 点，旋转方向是顺时针，旋转角度是九十度。那我该从哪里入手呢？ 请同学们拿出课前准备好的方格纸，按下暂停键画一画吧！ 你能说说你是怎样画的呢？我刚拿到的时候，我也不知道怎么办才好，我想到了线段的旋转方法，我发现三角形的一条边 a、 b 就是 一条线段 三角形绕点 a， 顺时针旋转九十度，线段 a、 b 也是跟着一起旋转的，所以我先将线段 a、 b 绕点 a， 顺时针旋转九十度。为什么是 a、 b 呢？我看到三角形还有其他的边啊。 老师，我想说，线段 a、 b 的 一个端点恰好是旋转中心呀，这样旋转起来就方便了。 其实现段 a、 c 也有一个端点与旋转中心相连，也按照刚才的方法画，最后把它们连起来就可以了。 果然是个好办法，先画与旋转中心相连的线段比较方便。 这里还有一个三角形 a、 b、 c。 请你闭上眼睛，静静地，静静地想象一下绕点 b， 逆时针旋转九十度。旋转后的图形是什么样子的， 想好了吗？动手画一画吧！ 你能再简单地说一下你是怎么画的呢？先找一条与旋转中心相连的线段 b、 a 进行旋转， 旋转后在对应位置画一条长度相同的线段 b、 c 边，我借助了三角尺，最后再把它们连起来。嗯，答对了，你的思路真清晰，相信大家都听懂了。 仔细观察，对比旋转后的图形，你有什么发现？ 旋转后的图形位置和方向变了，但形状和大小不变。 对，要画好旋转后的图形很不容易的，画之前对照旋转要求，想象一下旋转后的样子，再画一画，看看对不对。 最后我们来回顾一下这节课的内容。这节课我们学习了线段和图形的旋转， 要想准确的描述线段是怎样旋转的，就要说清楚旋转中心、旋转方向和旋转角度，而图形的旋转其实就是线段的旋转， 所以找到与旋转中心相连的线段，再准确的画出图形，这样会更容易一些。 其实啊，图形的运动在我们的生活中运用非常的广泛，接下来我们来欣赏一些美丽的图案吧！ 是不是很美？我们的同学也要在生活中运用好图形的运动，让我们的生活越来越美好了。这节课我们就上到这里，同学们再见！

今天我们通过全国卷卷题来梳理正方形常见考点，同学们好，我是蔡老师，最近有同学说湖 北卷是武汉命题，问有没有好的方向，能够预测一下会考哪些知识点？那今天老师通过两道正方形的题来预测一下，如果我们题目考的是正方形，他会有哪些出题策略。我们先来看知识点分析，我们今天重点讲的是第一点和第三点结合， 以及第五点和第六点结合。现在先来看这道题， p 是 正方形 a， b， c， d 里面的一个动点，我们过 p 点去做一个平行线， e， f 平行于 a， d， g， h 平行于 ab。 先矩形 p， h， c， f 和这个矩形 p， g， a， e， 它们之间的面积关系是二比一。 好，现在我们需要探索这个角 f， a， h 的 度数随着 p 的 运动变化情况。好，那第一问啊，小玲玲用这个正方形网格画了一个特殊的图形，用无刻度直尺去连接一条线段，由此去求这个角 f， a， h。 那我们可以根据题目的兴趣来描述一下啊，就是这样一个角，需要我们去求解。好，有同学啊，就想到了这个，先猜想再证明。我们可以猜想它是一个四十五度角，那这个四十五度角呢？在正方形的这个背景里面，我们可以想到啊，一线三垂直，所以可以 把这条线啊去连一下，到一个一线三垂直，创造出一个等腰直角三角形的一个背景啊。 所以呢，我们就可以利用勾股定律加上这个基础的信息，把这个推演出来告诉了。 p， e 和 p f 都是六。好，这两个长度都是六，给它标注上去，然后 t g 是 等于四啊，给它标注一下 p h 是 八， 好，看到这个六和八，有同学会很快想到勾股定律里面的六八十，所以我们可以啊，去把这个辅助线连一下，连一下这个 f h。 好， f h 是 十，加上这个 p g 是 四，可以顺延过来 d f 就是 四，然后 b h 就是 六，所以我们这个地方是不是快速转换出 b h 加上 d f 是 等于十，也就是等于这个 h f， 所以 我们就会有一个啊，这样的一个绊脚模型的结论存在在里面，我们现在是带着这个结果推演它的过程，所以啊，我们就是需要去证明这个信息，也就证明它是个绊脚，就是反过来用啊， 好，那像这样的题啊，就是我们比较喜欢常考的一些探索类型，比方说你知道他的结论呢，你需要用我们的几何知识点去把他的这个啊，他的这个题干信息去给它推演出来。那怎么去推演呢？就用到刚刚讲的第一条啊，这个 正方形里面的旋转的一个属性，所以我们就可以啊，把这个小三角形 a、 d、 f 去顺时针旋转九十度，旋转到这个位置来，这里取个 f 一 撇。好，那这个把三角形 a、 d、 f 旋转到三角形 a、 b、 f 一 撇的位置，从而可以得到什么呢？就是 进一步去证三角形 a、 h、 f 一 撇是全等于三角形 a、 h f。 好， 这样的话我们就可以得到啊，这两个角相等，加上旋转出来，它本身来说倒角啊，这是个直角， 那我们就可以证明角 h a f 是 一个四十五度。好，这就是一些探索题，它怎么样是先预知结论，再通过结论反推，好，那再来就是由特殊到一般啊，我们刚刚是一个特殊的信息，现在是一般的探索， 在图一中探索上述的问题，这个角 f、 a、 h 啊，他是否还是这个四十五度，那我们是不是一样的策略，我们现在把这个地方啊，他的这个三角形去转出来，在这里应该就是会用到刚刚题干给的这个面积的两倍关系， 因为我们在这个地方是没有用到面积的关系，只用了线段这个等量关系。好，那我们啊，先把这个辅助线去勾掉出来，我们来看一下 这边啊，这个面积如何去转换，我们会发现，如果我设这个长度是 a 啊，刚是用面积线段直接去等量关系依次的关系，那现在我们来看这个面积关系，设这个 p， g 是 a 啊， 然后这个 d， f 就是 a 一 p 啊，设一个 b， 好， 那我们得到 a 乘以 b， 就 等于啊，这个面积 p、 h、 c， f 的 面积差两倍，所以我们再设一个啊，这里设一个 c， 这里设一个 d， 好， 我们可以得到由特殊到一般，我们把特殊里面的这四条线段啊，我们在这个题干里面重新去翻译一下， b 加上 c， 是 等于这个 a 加上 d。 第二个信息，好，再来哦，我们刚刚在题目里面是想要目标是不是去正出这边，这边 a 转过来，同理啊，还是要把 a 转到这个 a、 b、 f 一 撇 好，同理，把三角形 a、 d、 f 转到这个 a、 b、 f 一 撇，那 a 划到这个 a 里来，那我们需要去正的就是 b 给它落下来啊，也就是 a 加上 b 是 等于这个 根号下 c 方加地方。好，这里是带根号，我们不好处理，所以可以干嘛呢？把两边同时去做一个平方啊，我们得到 c 方加上地方，就等于 a 方加二 ab 加上 b 方，我们企图就是得到这样一个表达式，那就可以把这个信息转换出来，如果转换出来，我们再去运用到啊，这个 s、 s 型的全等就是由特殊到一般。好，那这个代数式我们该如何去转换？哎， 这里的二 a、 b， 这里是不是有了等于这个 c、 d， 这是我们的目标，而这是我们题干里面有的已知信息通过几何的关系去限定出来的，那现在也就是这个公式和这个上面的已知怎么去变形到一起。 我们来看这个 a 方加 b 方可以怎么操作一下，是不是可以把这个地方啊去移向一下，那就是 a 减去 b， 是 等于 c 减 d。 好， 那我们啊把这个两边同时平方试一下，你就得到 a 方减去两倍的 a、 b， 加上 b 方， 是等于 c 方减去两倍的 c、 d 加上地方，我们这边是不是缺了一个二 a、 b 啊？这边需要加个二 a、 b， 那 两倍的 c、 d， 这个地方是不是就可以把这个式子去转换出来？ 一倍的 c、 d 是 等于二 a、 b 去两倍的 c、 d， 是 不是给他移向过来？因为这边 c、 c 方加地方是存在的， c 方加地方存在的，所以我们直接把这个式子移向过来啊，那就变成了 a 方加 b 方减两倍的 a、 d， 再加上两倍的 c d， 两倍的 c、 d， 就是 四倍的 a、 b， 把这个式子去进行一个简单的变形，是不是可以变过来？所以我们来看啊，你这道题的解题就是什么呢？就是目标导向啊，我们带有这个 从特殊到一般的一个属性，然后再去推演他的一些解析策略啊，那就是数形结合的一个思维，我们的代数问题去解决几何问题，这是第一个点啊， 里面用到的几何特征就是一个半角模型，以及这个正方形里面的啊，以及旋转的一个构造。好，我们再通过一个简单的题来感受一下刚刚讲的对角线啊，现在呢，这个 e 和 f 是 正方形对角线上的两个点 b， d， 它的长是十 d， e 等于 b f， d， e 等于 b f 有 一组等量。好，正方形里面加一组等量，所以我们可以想到什么呢？就是正方形啊，它的对角线是互相垂直平分的，以及这个地方，还有就是对角线由于对称形，所以 a f 也等于 c f 啊， 好，以及这个 a、 e 是 等于这个 c、 e， 这些都是我们可以常规去识别出来的内容，我们看题目要占什么啊？第一位，要占三角形 a、 d、 e 和三角形 c、 b、 f 全等。 三角形 a， d， e 和这个三角形 c、 b、 f 啊，它们俩是有一组边等，正方形四条边都相等， 还有一组这个啊， d， e 和这个 b、 f 相等。再来，因为正方形它的对角线是四十五度，所以这两个角的角啊，或者直接用内错角相等也行，就可以直接判定全等。 第二位，它的周长是四倍的，根号三十四，所以可以预判到这个图形应该是个菱形，我们可以得到它的边长啊，就是根号三十四，那菱形怎么正呢？我们可以基于啊，已经由于全等判定出对边是相等了，一组对边相等之后啊，也就是 f c 是 等于这个 a e， 再来由于正方形的对称性，所以这个 f c 它也等于 af 好， a e 它也等于 c e 啊，这四条边都相等，所以我们就可以得到它是一个菱形，判定出它是菱形之后，再来用这个正方形对角线互相垂直，我们要求 ef 的 长，因为题干告诉了 b d 长度是十， 所以我们啊连接一下这个对角线， b 的是十，这里取一个 o 点啊，那他的一半就是五。好，然后呢，我们的这个斜边随便取一个斜边， a f 是 根号三十四，那而 t 三角形 o a f 中啊，我们把这个地方的 o f 去求出来，也就是 o f 等于根号下三十四，减去二十五啊，那就等于根号下九，也就是三，所以题目里面的 e f 就是 两倍的 o f 等于六啊， 这道题考的就是他跟菱形结合以及正方形他非常特殊的一些属性，比方说对角线，嗯，去隔出了四十五度，或者是啊，对角线的一个对称性啊，都是我们啊在正方形里面常考的考点。这就是今天给大家分享的内容，你学会了吗？

各位数学老师看过来，大角几何的直尺工具真的把线玩明白了！这里包含了基础线条类型，一键就能画出标准图形，端点方向一目了然，线段还能直接输入长度，精准控制尺寸，不用再手动测量。 想做延长线，折线也超方便！选两个端点直接拉出延长线，按顺序选择多个顶点就能生成折线。画好的线条支持编辑调整，拖动端点就能调整位置和长度，操作简单又灵活。直尺工具的用法，你学会了吗？

同学你好，今天我们来学习图形的运动，认识图形的旋转方向。 来看图，风扇在旋转，风车在旋转，摩天轮也在旋转，这些都是旋转现象。喷水龙头的旋转一会向左转，一会向右转， 始终绕着水管转动，水管的位置不变。喷水龙头在转动的过程中，大小和形状都没有发生变化，但是喷头的方向发生了变化。 仔细观察这两幅图，说一说哪幅图上水龙头的转动与中面上表针转动的方向一致？ 图一中，喷水龙头的旋转方向和表针的转动方向一致，叫做顺时针旋转。图二中喷水龙头的旋转方向与表针转动方向相反，叫做逆时针旋转。 物体旋转时所绕的点或轴就是旋转点，旋转中心中面上的这个位置就是旋转点。 从十二点往三点方向旋转就是顺时针旋转。从十二点方向往九点方向旋转，就是逆时针旋转。 时针从 a 点旋转到 c， 旋转了九十度。时针从 a 旋转到 b 旋转了九十度。 物体的旋转呢？三要素是旋转点、旋转方向、旋转角度 来看例题，下图中上面哪些图形旋转九十度后和下面相同的图形方向一致，是按什么方向旋转的？ 想一想，上面的图形怎样旋转就能和下面相同的图形重合？ 怎样判断一个图形是否旋转了九十度？判断的方法，看一个图形是否旋转了九十度，只要看这个图形上的一条直的线是否旋转了九十度即可。我们在图中分别找出一条直的线， 机器人中间的这条直线旋转了九十度。小鱼尾巴上这条直线旋转了一百八十度， 月亮型上面这条直线旋转了九十度，爱心中间这条线旋转了九十度， 它们到底是怎样旋转的？我们具体来看一看。机器人图形，逆时针旋转九十度以后，跟图形八相同，小于图。 逆时针旋转九十度，鱼头朝下，顺时针旋转九十度，鱼头朝上。两幅图均与七号图不相同。月牙图逆时针旋转九十度以后，与六号图形相同。 爱心图顺时针旋转九十度以后，与五号图形相同。 也就是图一按逆时针旋转九十度得到图八。图三按逆时针旋转九十度得到图六。图四按顺时针旋转九十度得到图五。 回顾一下本节课的学习内容，一、旋转方向有两种，一、顺时针旋转二、逆时针旋转。 二、在叙说物体旋转时，一定要说出物体是绕哪个点，按什么方向，旋转了多少度。 三、根据图形上的某一条线的旋转角度来判断整个图形的旋转角度。