数学7到8年级冀教版几何模型

大家好，我手里有两本关于几何的教辅，一本是爱麦斯的初中几何模型秘籍，还有一本呢，是实验班的初中数学几何模型。我直接来说结论了，首先，如果你现在处于 九年级，然后急需对几何知识进行恶补的话，我推荐 m s 的 这本。如果你现在属于七年级、八年级，你想要把几何模型扎扎实实的打下好基础，那么我推荐实验班的几何模型。 好，我来具体说一下区别。首先，爱麦斯的模型总共涉及到四十九个模型啊，这他概括的是比较主流的四十九个模型，如果大家掌握了这四十九个模型，对于整个初中数学模型这一块的题目应该基本覆盖到。 但是实验班这本几何模型，它涉及到六十八个模型，它对每一个模型进行了讲解，也就是涉及到六十八个视频。而 m s， 它的好处是它的每一道题目都有讲解，这是比 实验班更为详尽的地方。好，我来具体说一下内容的结构上的差异，它的模型主要多在哪里？第一，三角形的这一部分，它的模型是要比较多的， 对于圆这一部分，他的模型是比较多的，其他的总的来说是比较相当的。另外一个值得说的就是整个实验班的这一本教府，他的讲解的这个逻辑实际上 也更适合从七年级、八年级打好基础这样的一个框架下进行运用。为什么这么说呢？他的每一个模型，他的讲解顺序是，首先说基础模型，比如说我这里拿到了翻到了中线模型，他会首先给大家介绍 经典的基础的这个中线模型长什么样子，然后把中线模型的证明过程讲解给大家听，这里可以大家可以扫码进行名师讲解好，然后从经典模型进一步拓展成为拓展模型。 我们后面每一个题目，它实际上大家刷题的时候实际上不会遇到经典的模型，它会遇到在这个经典模型上进行派生的 拓展模型，然后把拓展模型进行思路的讲解，他大概分为了三类。第一个首先识别模型，告诉学生怎么去识别 这个，看到这个题目就知道这个题目在考中线模型，然后看完这个识别模型之后再用套用结论。最后就是带入解析的这样的一个思路， 好把这一部分的讲解过完了之后他进行的分层的训练，分层训练首先是基础过关，然后再是思维提优，按照这样的过程进行展开。

几何压轴比，你家孩子是不是也会出现这样的情况？辅助线他看答案能看懂，但是自己做的时候就想不起来怎么做。那这个问题主要产生的原因是有两个，第一个是孩子们他对八下的几何模型辅助线根本没有系统的概念，他可能零散的都知道，但是他穿不起来。 那第二个问题就是他不知道什么情况下该用哪个辅助线。那从今天开始，我将用四期视频把八下的几何模型辅助线从头去捋一下，那这四期视频每一期会讲这一块的内容，这四块内容分别是这四大模块， 然后这四大模块里面其中第三个是属于最难的，我这块已经标注出来了，它是属于高分一个选学内容。这高分指的是什么？指的是如果孩子你能数学稳定在幺幺五以上，你想去冲一百二满分的，我指的是一百二满分啊， 你想去冲满分的，那你就需要知道这两个，因为你在初三包括压轴题里面，他会经常出现倒角的问题，那倒角的话这些都是非常常用的。 看完这四期视频，孩子至少能建立一个完整的几何向量的体系，那孩子拿到题至少能知道往哪个方向去想，需要电子版资料，以及想进资料分享群的评论区留言。 因为内容很多，所以我不会像讲新课一样非常详细的去讲，我只是把这几个去梳理一下，把他们重要的程度以及特点去说明一下，那孩子们可以去依照这个去进行深入的去学习啊。 那首先第一个就是购物与解三角形，那这个的话它重要程度肯定非常高，也是最容易忽略的，因为孩子们都觉得购物理解三角形特别简单，他们理解的解三角形就是在直角三角形里求变长。但实际上解三角形是现在中考几何压轴最热门的考点之一， 就可以说最热门啊。那这里面的话，那解三角形指的是在三角形中求边长角度或者面积都算解三角形，这个三角形指的不是直角三角形，你任意的三角形都可以，那它的基本原则是三角形里面是有六个条件的， 那三边三角，那三边三角的话，已知任意三个条件我们都可以解除。其余的条件，比如说已知两角一边，那 a、 s 或 a s、 h 都属于两角一边啊。可是你不用去分顺序，你只要知道两角一边都可以，或者是两边一角也可以， 或者是一边一角加上另外两边的数量关系，这个是比较特殊的。那另两边数量关系指的是你这两个边能知道他们的加减数量关系。比如说举个例子啊， 你像这种呢， a、 b、 c， 比如说这是三，然后这个是三十度，你另外两边知道一个是 x， 一个是 x 加八，那像这种另外两边是能用同一个位数表示的，那他们俩放到一起就可以算一个条件， 所以加到一起三三十度和另两边关系，它也算三个条件。那接下来每种情况咱们分别去说一下。第一种，两边一角，两边一角指的是已知两边长和一个角，这个角是任意的角啊，那我们在求边长的时候，永远是做这个特殊角所对的高，你直接过 a 做这特殊角所对的高就可以了。然后尽量不要把已知的条件去拆开，你像这里给的是 ab 是 二， bc 是 四，如果你做的是过点 b 做垂的话，你把这特殊角就拆开了就不行了。那这里面咱们既然说做特殊角所对的高，所以你过 c 去做垂也是可以的。 然后第二个情况是两角一边，两角一边指的是已知任意两个角和一个对角，那像这里面角 b 是 六十角， c 是 四十五，然后你要求 a、 c 的 值的话，那咱们涉及到角肯定是一定做特殊角所对的高，所以这里面就是做这个角所对的高，直接这样做垂就可以。那这里面是有一个比较特殊的，就是如果这个角它是钝角怎么办？那咱们钝角这个角 不管两角一边还是两边一角里，这个角指的是这三角形的内角或者外角都可以，那你要找的特殊角就是三十、六十、四十五，那包括他们的一百二、一百、一百、三十五，这都属于特殊角。 你像这种呢，比如说他这个角 c 是 一百二，那你没法做一百二左右的高啊。那你就如果是钝角的话，你就做他的临补角，这时候你就把这个四十五和六十当成特殊角了，那你做他们俩的高就是过 a 座，而不是要过 c 座。有好多同学是过 c 座，你过 c 的 话，你把这特殊角一百二拆下去就没有用了， 所以一定是找到你最终要求的那三个特殊角，三十、四十五和六十。咱们出种只有这三个特殊角啊，其他的全通过他们去推出来的，所以你在求上弦的时候都是用他们三个所对的高。然后我们再看下一种情况，下一种情况一边一角及另外两边的数量关系， 一边角及另外两边乘法关系。我刚才简单提了一下，比如说这里面它角 b 给你一百五，然后 bc 是 三 ab 加 bc 是 十二，那咱是不是就可以设 ac 是 x， ab 是 x， ac 是 十二减 x， 你 设谁都可以啊，那这里面咱们是不是就要找一百五所对的特殊角，它的特殊角是不是三十？所以你要做它所对的高，那此时这个 a、 e 是 不是就二分之一 x， b e 就是 二分之三 x， 然后你在大的三角形 a、 c、 e 里面是不是就可以勾股定的方程去解 x 了？ x 求完 a、 b 就 知道。那第三种情况是已知三边关系， 已知三边关系的时候，我们可以求三边的高以及三角形的面积，那这时候咱们用的就是双勾股的一个方程，比如说你现在已知这个三边长分别是三、六、五，那你就可以做任意一个变成高，比如说我做的是 b、 c 变成高，说这是 e， 那此时咱们就以这个公共的高 a、 e 为等量关系列方程。你设 b， e 是 x， c， e 是 不是六减 x？ 那 么在 a、 b、 e 这个直角三角形里，是不是就有 a e 方是等于三方减 x 方，同时在 a、 c、 e 里面 a、 e 方是不是也等于五方减去六减 x 平方，咱是不是就可以去求出 x 了？ x 值求完之后你是不是就能求出 a、 e 的 值？那这时候三角形 a、 b、 c 面积是不是可以求了？ 那刚才咱们说的是常规的减三角形，那接下来说的是你需要用勾股定底的地方。用勾股定底，咱们常用的就是勾股方程，尤其是在像什么翻折呀或那正方形计算里，经常需要勾股方程。那勾股方程咱们分成以下几个。第一个是单勾股方程，这个比较简单， 单勾股方程指的是你就找一个直角三角形，然后你去列一个勾股定的方程就行了。那这种单勾股方程的特点就是这个三角形里一定是有一边长是你已知的，并且另外两边你是知道它们是等关系。比如说这里面 a、 c 的 值是五，你能知道那 ab 加 bc 是 十，那你就可以设 abc 是 x， a c， ab 就是 十减 x， 然后在这里列个勾股方程，咱们通常是出现在三折的问题里。 那第二种的话就是双股五方程，双股五方程也是比较隐晦，好多孩子在压轴图里看不出来的。双股五方程它的特点就是只要两个直角三角形有公共边， 你就可以以这个公共边为等正关系确定方程。那比如说像下面我出的这个情况，那这时候它既然有 a、 b 加 c， d 是 等于十的，那 b、 c 是 等于八，我们是不是就可以设 c， d 是 x， 那 ab 就是 十减 x。 你设个未知数之后，把其余的边表示出来，是不是就能以 a、 c 为等量关系去列和各五以内方程？ a、 c 方，你在 a、 c、 d 里面 a、 c 方是不是八方减 x 方，然后在 a、 b、 c 里面 a、 c 方，是不是就等于十减 x 的 平方，减六的平方。 那双股五方程的情况很多啊，只要俩三角形是有公共边，你都可以考虑是不是能用双股五。那我刚才列的这个是直角边，是公共的，它是不也有可能是斜边，是有公共边这种的？那你这时候是不是就以这个斜边为等量关系，去列个双股五方程？ 或者是这种情况是不也行？也是两个直角三角形 a、 b、 c 格，你可以以 a、 b、 c 为等量关系，是不是列个方程在 abd 里是不是就是 abd 方减去 b、 d 方，这都可以 勾股里的。第二个结论是这个勾股与旋转，那勾股与旋转的话，咱们主要是分成两大类啊，一是绊脚模型，第二个手拉手。那至于其他的，其实你都可以近似的给它看成是构造手拉手。那这里面有个选学的内容是飞马点，咱们放在最后说。 首先第一个半角模型，半角模型的话也是在正方形里经常会出现的半角模型，我后面的正方形里就不会再重新去详细的去讲这个了。然后我们看啊，那在半角模型里面它常见的情况，第一个就是二倍角与 这个半角是有公共顶点的，那二倍角与半角有公共顶点的话，那此时你看这个情况，这时候就是这个二倍角是在这个半角的外面，或者是说这个半角完全在二倍角的里面。 那第二个情况是这个半角在二倍角的外面一部分，那不管是哪种情况，咱们半角模型旋转的原则都一样，大家就记住一点啊，半角模型是需要挣两个全等的，第一个是你最开始做的辅助线，这个旋转全等，因为咱们旋转是不能做说你把那个三角旋转到哪的， 所以你需要通过什么延长啊，做角啊，先去把这个全等方程做出来，做完之后先正这个旋转的全等。第二个是以半角的一边为角平分线，去证明那个翻折的全等，那这个是什么意思呢？大家这些题可以自己去正啊，然后如果有不明白的可以评论区留言。 我们看这里面，比如说以他第一个举例子，我们半角模型刚才说了核心是什么核心？你要确定你旋转的是谁，对吧？他有两个重要的地方，第一个你需要确定什么东西是半角模型那半角模型的特点，第一个就是只要有一个二倍角和一个半角，他俩是有共同顶点的，这就属于半角模型。那 分情况你就可以分成这个半角在二倍角里面，也可以在这二倍角外面，但不管哪个，接下来就是第二个原则，你旋转的时候你识别出来半角模型，你接下来你要旋转，那你旋转的是谁？ 记着旋转的时候你先把这个半角和二倍角找到，你找到之后，你把这个半角它是不是有两条边，一个边，咱们给它看成左侧的边，看左边右侧边，那二倍角是不是也有两个边，一个是左侧边，一个是右侧边， 那所以咱们旋转的时候，旋转的就是半角有二倍二倍角，这个两个左所围的三角形，或者是两个右所围的三角形。也就是说你旋转的是可以是这两个左侧边所围的三角形， 或者是这两个右侧边所围的三角形，那在第二个图里面，你看左是不是这个，那 这个半角的左是这个，然后二倍角和半角的右是这个，那你旋转的左是不就是他俩所围的三角形，或者是旋转的右所围的三角形？是不？这个，那对于我给的这两个例子里面，那也是咱们经常需要证明的东西。那像这里旋转，那咱们比如说举个例子，你找一下啊，这是左， 这个是右，然后 a、 d 是 左， a、 e 是 右，所以你旋转的是 a、 b、 d 这个三角形，或者是 a、 c、 e 这个三角形，那对于下面这个图，左侧是 ab， 右侧是 a、 c， 左侧是 a、 d， 右侧是 a、 e， 那 这时候你旋转的是不就是两个左 a、 b、 d 所围的三角形，或者是两个右 a、 c、 e 所围的三角形？那不管哪种情况，旋转的原则，所有的旋转啊，包括手拉手啥的都是一样原则，就是绕着相等边重合，那比如说第一个， 那相等边指的是不是 a、 b 和 a、 c， 你 绕到相等边重合，重合顶点 a 旋转，使相等边重合，所以比如说你转的是 a、 b、 d， 那 是不是就把 a、 b 转到 a、 c 上了？是不是相当于旋转九十度，所以 a、 d 就 转到这了。 那第二个图，比如说你旋转的右侧这个这个三角形啊，那咱们使相等边重合，然后绕重合顶点旋转，把相等边转到重合的位置，把 a、 c 转到 ab 上来。所以那这时候是不就是相当于你逆时针、顺时针转了九十度，顺时针转九十度，那这个 a、 e 是 不是也是转九十度往下，对吧？是这样的， 所以半角模型它的两个重点，一，你要识别半角模型，第二个你要知道旋转的问题，你旋转的是谁， 然后下面这一点是属于半角模型里的特殊结论，他这里没有半角，但是也是给他归属到半角模型这旋转里的啊，那方法是一样的，就是对于等腰直角三角形 abc 来说，你在底边 bc 上 任意取点 d， 那 这两两个是不都是这个点 d， 一个是在 bc 的 线段上，一个是在 bc 的 延长线上，那你不管这个点 d 在 哪，只要在 bc 上你取完之后你就能发现这里这三个线段 d a d b， d c， 下面也是 d a d b， d c， 它们三是有数量关系的，是能组成直角三角形的，不是说是能正常组成直角三角形啊，是一个边能组成直角三角形，然后另外一个边是当另一个 直角三角形的斜边，就是他们三是存在这种数量关系的，我们要知道，那这里面的特点是指的是等腰直角三角形，你在底边上任意取一个点，可以在延长线上，也可以在这边上，然后你取的这个点到这个等边三角形，到这个等腰直角三角形三个顶点 到他三个顶点，这三条边是有数量关系的，我们知道这个就行。然后正法的话还是旋转还是一样的，有不明白的可以评论区连。然后我们看下一个就手拉手 那共舞里面的第二个旋转，就手拉手，那对于手拉手的旋转的话，我们看手拉手的旋转，就是分为对角互补，还有 对角互余这种的，还有同方等角，他的核心都是要构造手拉手，我这个指的不是已知手拉手的情况下，你去正是。你什么时候需要去构造手拉手？因为你已知手拉手去正了，大家都知道这八上学的，那你什么情况需要构造手拉手？那常见的就是这三个情况。 第一个那是对角互补，那比如说像我这里面，咱们上学期也学过对角互补四边形，对吧？那对角互补四边形其实是不是勾到个手拉手等等， 那这里面你看有一个 a、 b 等于 a、 c， 然后 a 和 b 这两个角是互补的，当出现邻边相等， a、 b 等于 a、 c， 并且对角互补的四边形的时候，我们一定用的是旋转，那旋转原则是一样的，矢量的面成盒，所以你可以把这个 a、 c、 d 往这边转， 也可以把这个 a、 b、 d 往上面转，都可以的。那第二个是对角互余，对角互余是大家比较容易忽略的，那这时候对角互余的话，咱们是通过构造手拉手，把，你要把这里面互余的两个角转化到同一个直角上去， 这里面你看 a、 b、 c 等腰值，所以这个角 b 是 不是四十五，那 a、 d、 c 也是四十五，你发现这个四边形是不对角互余呢？对角互余，那咱们思路就是我可以通过旋转，比如说我可以在以 a、 d 为边，在上面构造一个等腰值，那构造等腰值之后，是不是两个等腰值？手拉手全等 就有 a、 b、 d 和 a、 c、 e 是 全等的，全等之后咱是不是就能得到这里？哎，你发现这个角是不是四十五了？所以此时 c、 d、 e 是 不是就九十了？这个咱就是通过勾到手拉手，把多余的两个角转化到同一个直角，那后面这个结就可以正了。 第三个是同方等角，也是正方形里非常容易出现的。那正方形也因为大家都学到正方形啊。咱们简单说一下，你像这种的哎，然后我再取一个直角，这个是不是就是这种情况下？那你怎么去看？大家可能都看不出来啊？你看如果我把这里面连上， 你就看这个三角形，这个等腰值看到了吧？这个等腰值他是不是一个等腰值？同时这块是不是有一个直角？ 你发现这个图，我现在拿红色笔画这个，它是不是就是我这种画的同旁同角？同旁同角什么意思？指的是两个直角， 他们或者说两个相等的角，他们对着一条公共的边，你像这里面 a， 这是不是直角？ b， a， c， 然后 b， d， c 是 不是也是直角？它俩所对的一条公共的边， bc 斜边，对吧？ 这个就属于同旁等角，指的是在这公共边同一侧的两相等角。那还有跟他类似的是不是等边？上学的手拉手大家是比较熟悉的，这有一个等边，然后我这块再有一个六十，哎，他是不是就同旁等角？那此时我一把它一连，是不是可以勾到手拉手了？那同旁等角的时候还有一个名叫角分角等幺，这个也是上学期学的。 然后第四个情况的话，就是常见的勾动力旋转的一个题型，已知一个点与三个顶点相连，然后 他这里是有一个点到三个顶点的距离，以及这三条边中其中两个边夹角，指的是点到三个顶点的距离以及夹角的问题。那这时候咱们也是通过旋转，他也会在正方形里面出，他是一样的啊， 就是不只是在那个三角形里，他可以这样，比如说这是一二，然后这是根号五，他让你求这个角的度数。像这种类似的题，那这里面咱的方法还是旋转 那像我以这个图举例子，那既然是有等腰值，所以咱是不是旋转的方式一样的绕相等边重合顶点，那这里相等边是不 a b 和 a c 重合顶点是不 a， 绕这个重合顶点旋转，那是不就是把相当于把 ab 六转到这块了，对吧？转到这了，然后再一连就可以了。 那对于最后一个费马点的旋转，这个是选学的内容啊。对于高分段的内容，你高分段的孩子，比如说一百一以上的，你为了拓展你的题型，你为了拓展你的积累度，你可以去看看这个。那咱们辽宁呢，很少是考这种费马点的，尤其是大连费马点考的非常非常非常少。 然后我们看啊，这费马点什么意思？他和刚才的这个题型是非常像的，这里面是一个点到三个顶点的距离，然后求度数， 那费马点是求一个点到三个顶点距离和的最小值，它的特点就是求一个点到三个顶点距离和最小值，一定这种的才是属于费马点。那费马点的原则，咱们是旋转，你是绕着这个相等边重复顶点旋转，对吧？那只不过这时候费马点它是没有相等边了，要任意的三角形都是可以的。 不管什么图的非马点，比如说最初时有个三角形 a、 b、 c， 你 这里要找点 d 在 哪的时候，求这个 d， a 加 d， b 加 d、 c 最小方法都是一样的，非马点方法都是一样的啊，就是绕这个三角形的顶点， 你绕这个顶点向外侧旋转六十度，它不是向内，不是向同侧，向外侧指的是你要旋转这个 a、 b、 d， 你就要往这边旋转，你如果旋转的是 b、 d、 c 这三个旋，就要往下旋转，如果旋转的是 a、 b、 c， 就 要往左面旋转，一定是这样的。旋转的话，不管是给的是什么图，给的是三十度、六十度或正方形等，腰直什么都是一样的，永远是旋转六十度啊，一定是旋转六十度的，你看为什么要旋转六十度？比如说咱们这里面， 比如说我后面右面画的这个图啊，那假如说现在咱们旋转的就是 a、 b、 d 这个三角形，那你把它向外侧旋转六十度，你是不是就能构造出一个等边三角形 a、 d、 e 啊？那 a、 d、 e 是 等边，那所以这里的 a、 d 是不是就转化成 d、 e？ 同时咱们最开始要求的这个 b、 d 是 不是现在变成了 e、 f， 对 吧？那我们要求的这三边现在是不就转化成了 e、 f 加 e、 d 加 d、 c， 它们三值和最小值，那其中咱们因为旋转是六十度的，所以 f 是 不定值固定的点， c 也是固定的点，那什么时候值和最小啊？是不是两点之间旋转最短，直接连就可以了？那有同学就想，老师，那我那是不是只要说点 p 在 这个直线上都可以啊？ 理论上是只要在这个直线都可以，对吧？我旋转 a、 b、 d 的 时候，你发现点 p 只要在这个直线上都可以，这块就属于一个拓展啊，基本上不会问你这点 p 具体在哪，它最多让求最小值。那咱们拓展一下，你看咱们研究一下这个点 p 具体在哪 啊？是这个点 d 啊，具体在哪？如果我旋转 a、 b、 d 的 话，就会发现这个点 d 需要在 f、 c 这个线上是不是才能有最小的？如果旋转的是黄色这个 b、 d、 c， 你是不就发现这个点 d 需要在这个 a、 h 这个线上它才能最小的？那如果咱们旋转的是蓝色的这个 a、 d、 c 的 话，你发现这里的点 d 是不就要在这里 b、 j 这条线上它才是最短的，所以点 b 你 想既点 d 啊，既在这上，也在这上，也在这上，那所以点 d 是 不就是他们三的交点？这里面他们三一定是交于同一点，所以最后点 d 一定是在这个点的位置上的时候，它才是最小的，而不是在整个线上运动都可以。 第三个部分，勾股与翻折，勾股与翻折不是说一个简单的一个翻折的问题，那这里面咱们会把涉及到翻折的问题都会总结一下。其实八上咱们也说过，那翻折的问题的常见思路的话，是需要找到直角三角形去列勾股定律方程，就前面我说那个单勾股方程或双勾股方程， 那翻折的思想，就你涉及到翻折思想的辅助线都有哪些？有以下这几个。第一个，角平行线，这是大家最熟悉的，只要涉及到角平行线都是属于翻折的。 你看不管角平分线里的双垂还是这里的单垂，还是截相等线段，对吧？他都是相当于以角平分线为对称轴构造的两个三角形全等，这三个是不都是相当于角平分线为对称轴构造的翻折全等？ 所以角平分线你学好了之后，你就会明白，他其实就是翻折，你就不用记那个单垂、双垂和截相等了，根据不同的题就完事了。那第二个翻折是等腰对称，从这块开始， 基本上百分之九十的孩子就没接触过了，这个就属于很难的，在亚洲如果他作为亚洲题出现的话，基本大部分孩子就是做不出来的。那这里面等于二对称，指的是只要有两个相等的边，你就可以去考虑构造反折，因为他的应用性太广了，所以孩子们你根本想不起来用。 那什么意思。比如说啊，我以下面这两个图举例的，以这两个图吧，先咱们先看后面这俩图啊， 你看这里面都有 a、 b 等于 a、 c， 那 是不说明 a、 b、 c 的。 等腰出现等腰三角形的时候，咱们就可以以这个等腰三角形的角平分线，就是以以这个等腰三角形的对称轴，以它的对称轴为新的对称轴， 把这个图形进行左右翻折对称对称之后构造成一个新的轴对称图形。那比如说现在这里的原图是不有一个 a、 b、 c， 然后左面还有一个 a、 d， 那 我以这个对称轴 af 为对称轴，我把它翻折左右进行翻折对称，是不就能把左面这个绿色三角形对称到右面来？ 那对称之后是不是也变成一个新的轴对称图形了？那也可以像右面这种情况吧，如果原图是 e、 a、 c 是 在外右面的，那你以这个原来的对称轴 af 为对称轴，把那个右面的三角形 e、 a、 c 是 不是也能对称到左面去？这个就是翻折对称的一个思路， 那有一个比较特殊的，你像这种的就是它没有三角形，它可以只要给你 a、 b 等于 a、 c 有 俩相同的边就可以了，那你就可以以它的对称轴为对称轴进行反折对称。那这里面如果圆图这种的，这是 a、 b、 c、 e 是 这样，那你翻折之后是不是左右进行翻折对线，是不就相当于这样了，对吧？那他常见的，你比如说像这种图，以前大连的期末考试考过好多回这种类似的，比如说这有个 a、 b、 c， 然后这个 d 已知这里呢是 b、 d 等于 bc， 那 这时候是不是相当于出现的等腰三角形 b、 d、 c， 那 你就可以以它的对称轴，以这个角 b 的 角平行线为对称轴进行翻折。那翻完之后我是不是就能把这个图，哎，我用黑色笔画啊，就能把这里的 b、 a 是 不是翻折到右面来， 对吧？那就变成这样。所以这时候是不是就相当于把这个三角形 b、 c、 a 把它进行左右翻折对折，翻折成了这个 b、 d、 e 上了，对不对？第三种翻折就是属于这个背半角的翻折构造的问题，那因为出现二倍角的时候， 咱们的思路有一种也是需要去翻折，比如说出现二倍角，你可以做这个二倍角的角平分线就能勾到出单倍的小角了。那如果出现题里出现了二倍角和单倍角，比如说我举个例子啊，像这种的， 这儿这个是 a、 b、 c， 这是阿尔法，这是阿尔，那出现二倍角了，我是不是就可以去构造这个二倍角的角平分线？那二倍角角平分线出现角平分线是不是相当于翻折的辅助线，对吧？那第二种，我是不是也可以把这个单倍小角把它往上翻， 把它往上翻过来，这时候就也出现一个 r 反，也出现了二倍角，所以出现二倍角的时候也有一个辅助线翻折。那第四个翻折的思想就是这个直角三角形的翻折，比如说出现 abc 这种直角三角形， 那咱就可以以 a、 c 为边，把 abc 翻到左边来，或者以 bc 为边，把 abc 翻到下面，这都是可以的。那咱们看一个立体啊， 这里面你看这个题，它首先它给的这个角 c 是 九十度的，然后这里有一个条件是 a、 d 等于 b、 d， 咱们画一下， 那 a、 d 等于 b， d 是 个等腰三角形，对吧？然后再看它，这里面说角 b、 e、 d 是 四十五度的， b、 d 这个角四十五度，然后其中 c、 d 是 等于五， a、 e 是 等于六，要求这里的 a、 c， 那 我们等 冷静一瞅，啥速度没有啊？有四十五度，肯定好多孩子想着勾到勾到等，那勾到等号值，这你发现没有用吧？你过 d 做也不行，你这样做垂也不行，那你这里你就看啊，这里是不是有一个等腰三角形 d， a 等于 d、 b， 所以 咱是不是可以以它的角平分线为对称进行左右翻转对称，我可以把这个左面三角形 a、 c、 d， 我 是不是翻到右面？ 所以这里的辅助线咱们可以说延长 a、 d 至点 f， 使 b、 f 等于 dc， 那 现在咱是不就能推出三角形 a、 d、 c 全等于三角形 b、 d、 f， 那 b、 d、 f 的 边 d、 f 是 不是五？ 那我们还能得到啥？那因为咱现在全等之后，原来角 c 九十度，所以这个角 f 是 不是也是等于九十度的？那说明这里再加上这四十五度，说明这个 b、 f 是 不是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形的话，那我们能得到什么呢？ 这里面你看那等效值是不是就有这里的 b f 等于 e f， 那 b f 等于 e f 之后呢？我们是不是就可以设个未知数？你设这里的 d e 是 x， 那 你发现这个 a、 d 是 不就等于六加 x， 所以 这个 b、 d 是 不是也是六加？ 那此时你发现这里的 b、 f 是 不是就是五加 f？ 因为 b f 等于 e f 嘛？所以接下来是不是就是用的前面咱们说的勾股方程，你在 b、 d、 f 里面沟通里去解出这个 x 值 x 求完，那 a、 c 的 值是不就等于 b、 f 就 等于这个五加 x 就 完事了？

初中数学最难的必会的几何模型全部背熟，稳进班级前三。初二数学上学期必会的几何模型一常见倒角模型 手拉手模型双垂直倒角模型完整版。

初中数学最难的必会的几何模型全部背熟，稳进班级前三。初二数学必会几何模型，常见倒角模型内外分模型、手拉手模型 双垂直倒角模型完整版。

飞马点问题，将三角形旋转的四点共线处最直。定角定弦画引圆弧不规问题，垂线段最短。 刮豆原理，主动点运动轨迹是圆，从动点运动轨迹是圆，主从联动。像这样的几何模型，这本书里还有六十六个，把它看完就几乎搞定初中几何了。 本书编排极其实用，先真题视力，再模型解读，最后详细证明，从实战到原理逻辑环环相扣，让孩子吃透一类模型，解题快人一步。一本可以用三年，有需要的可以准备一本。

好同学们，今天我们一起来学习一个特别经典的几何模型，半角模型。好同学们，看这道题。这是一个正方形 a， b， c， d 四条边完全相等，四个角都是直角，在下边 b， c 上取一点 m， 右边 c， d 上取一点 n， 再把 am 和 an 都连起来。 已知角 m， a， n 等于四十五度，正好是正方形直角的一半，所以叫做半角模型。诀窍来了，过 n， 延长 n， d 到点 e， 让 d， e 等于 b m， 再连上 a， e， 口诀叫做渐半角旋旋角。 看这两个三角形 abm 和 a d， e， a， b 等于 a， d 是 正方形的边角 b 和角 a， d， e 都是九十度， b， m 等于 d， e 是 我们构造的三组条件，正好是边角减边全等 全等之后对应边 a， m 等于 a， e 对 应角角 b， a， m 等于角 d， e。 这三个等式下面都要用，先记住 关键推导来了，正方形角 b， a， d 等于九十度，减去角 m， a， n 的 四十五度，得到角 b， a， m 加角 n， a， d 等于四十五度，再加上角 d， a， e 等于角 b a m， 所以 角 n a， e 也等于四十五度。 第二对全等三角形 a， m， n 和三角形 a， e， n， a， m 等于 a e， 角 m， a， n 等于角 e， a， n 都是四十五度， a， n 是 公共边边角减边全等 全等之后， m， n 等于 e n。 角 m， a 等于角 e n， a 角 n m a 也等于角 e。 三对对应，全都拿到了 e， n 等于 d， e 加 d n， 而 d， e 等于 b m， 所以 m， n 等于 b， m 加 d n。 第一个结论，整完 角平分线来了，角 b m， a 等于角 e 第一对全等，角 n m， a 也等于角 e， 第二对全等，所以这两个角相等， a， m 是 角 b m， n 的 平分线， 同样的角 m， n， a 等于角 e， n， a 第二对全等。而 e， d， n 三点共线角 e， n， a 就是 角 d n a。 所以 na 平分角 d， n m。 最后一个结论，三角形 m c， n 的 周长是 c， m 加 m， n 加 c n， 把 m n 换成 b， m 加 d n 就 变成 b c， a 加 cd， 正好是正方形周长的一半。正完， 三个结论全部证完。这就是大名鼎鼎的绊脚模型。考试里只要看到正方形里有个四十五度角，立刻想到它，见绊脚、旋拳脚盖绊脚，得绊脚！记住它哦！

初中的数学就一个诀窍，抓怼模型，孩子立马通透！推荐这套小明同学初中数学几何模型一套搞定！初中三年全部几何图形，全书配有清晰几何模型导图， 每道核心立体都用解析三步法，一步步教孩子找模型、配模型，用模型思路特别清晰， 学完模型直接做模型综合练，分基础练，家提升练，由浅入深，循序渐进做完对照答案，彻底掌握几何解析思路和方法。家里有初中生的赶紧给孩子安排上！

本视频耗时一年制作共计一百五十分钟，带你一口气学完七年级数学所有几何模型，先点赞收藏再慢慢看吧，还得慢。 好，来看模型一，线段双中点说已知 c 在 线段 a、 b 上 m、 n 分 别是 a、 c 和 b c 中点，则结论就是 m n 等于二分一的 ab。 怎么回事呢？咱们看下。因为 m 是 a c 中点，所以 m c 等于二分之一的 a， c， n 是 bc 重点，所以 n c 等于二分之一的 bc， 所以 说 mc 加上 n c 这两个合起来就等于二分之一的 ab 了。好，这是详细的一个证明的过程。好，咱们来看模型二，双角平分线模型好，若 o p 呢，是角 a o b 的 一条射线，然后 o m 平分角， 那个 b o p o n 呢？平分角 a o p 好， 所以结论就是角 m o n 等于二分之一的角 a o b 啊，这个呢，咱们可以看一下。因为两个红角相等，然后呢，两个直角相等，所以你会发现一个红角加一个子角，是不是刚好就等于二分之一的角 a o b 了？ 好，这是详细的证明过程。好，咱呢看模型三，主体模型说已知 a b 平行 e c， d， 则角 b o c 就 等于角 b 加上角 c， 这怎么回事呢？咱们说遇拐点做平行线好，咱们只要过 o 点做一个平行线，你会发现， 好这个角 b 是 不就等于这个角一，因为内侧角相等好，这个角二，是不又等于这个角 c？ 好， 所以你又发现两个直角了？和，是不刚好就等于两个红角了？和，而这是详细的证明过程。大家咱们看 模型四，铅笔通模型说已知 a b 平行于 c， d， 则角 b 加上角 b o、 c 加上角 c 等于三百六十度。这个也是咱们预拐点 o 直接做一个平行线啊，你会发现，那则这个角 b 加上角一是不一百八， 角 c 加上角二是不也是一百八？因为两只线平行，同邦的角互补，所以这三个角相加，刚好等于两个一百八就是三百六了啊，这是详细的证明过程。 好，咱们看模型五，锯齿模型说已知 a、 b 平行于 e、 f， 则角 b 加上角 d 等于角 c 加角 e a， 你 会发现，角 b 加角 d 是 不刚好是向左的角，角 c 加角 e 刚好是消运的，向右的角，所以说朝向左边那角的和就等于朝向右边角的和，这怎么做到呢？咱们还是 遇拐点 c 和 d 做平行线，做完之后，哎，你会发现内错角相等，这个角 b、 c、 n， 哎，是不是就等于这个角 b。 同样的哎，这个角 n、 c、 d， 那 是不是就等于哎，这个角可以发现。然后呢，这个角 p、 d、 e 是 不就等于这个红角？ 好，所以你会发现两个红角，这个角和，这个角和是不刚好就等于咱们这个子角了和，而这是详细的证明过程。还在。咱们看模型六，八字模型说 a、 c 和 b、 d 相交于点 o， 那 则角 a 加角 b 等于角 c 加角 d， 这个怎么回事呢？咱们看一下， 因为角 a 加角 b 加上角一等于一百八好，角 c 加上角 d 加上角二是一百八， 这个角二和角一刚好对顶角相等，那所以说两个红角角 a 和角 b 的 和，就等于两个直角角 c 和角 d 的 和，然后我就整完了，对吧？然后再看说它的变形类型是拓展的，模型说 b、 p、 d、 p 分 别是角 a、 p、 c 和角 a、 d、 c 的 角平行线，也就是说这两个角相等， 还有就是这两个角像的，那么这个角屁啊，就等于二分之一的角 a 加角 c， 这个怎么推出来的呢？好，咱们看一下，这是用到了两个八字模型，第一个八字模型是这个八字模型， 这个八字模型你会，你能看出来？哎，我这个角 a 加上这个角是不就等于角屁加上这个角后，第二个八字模型呢，你是用到了啊，这个八字模型 好，你会发现这个角 c 和这个角是不就等于这个角屁加上这个角两个八字模型，然后呢，把你无关的角全部消掉啊，最后就推出来了角屁等于二分之一的角 a 加角 c。 啊，这个自己推一下， 好，进来看。模型七，废标模型说已知四边形 a、 b、 c、 d， 然后呢，则角 b、 d、 c 等于角 a 加角 b 加角 c。 好， 这个怎么推出来呢？咱们这个一共有四个模型，咱们用这个模型讲一讲，您发现一个三角形了，这个三角形的外角是被等于两个不相邻的两个内角和 好，一个扇形的这个外角是等于这两个不相邻的哪个两个内角和，所以我这两个直角的和是不刚好等于四个红角的和，四个红角和刚好就是角 b 加上这个角 b、 a、 c 再加上角 c， 所以 我就正完了。 好，接下来咱们再看模型八 a 字模型说如图，则角 d、 b、 c 加上角 e、 c、 b 就 等于一百八加角 a， 这个怎么得到呢？咱们说好，一个扇形的外角等于不相邻两个内角和 好，这个角 d、 b、 c 是 不等于角 a 加上角 b c a 好， 这个角 b、 c、 e。 是 不等于角 a 加上角 a、 b、 c 好， 你会发现角，这个角 a、 b、 c 加角 a c、 b 再加一个角 a 是 不是一百八？这时两个角 a 就 多出个角 a， 所以 说刚好就是一百八加上个角 a 了。 好，那如果说我把 d、 e 封上，就形成了这个图形，这个图形所读到结论是一样的，也是这两个角的和就等于一百八十度，加上这个角 a。 好， 咱们看一下， 比如，哎，这个图形好，咱们看一下。那这个角 a 加上角 b f、 c 好， 就等于角 d b、 f 加上角 f、 c、 e， 这个怎么正呢？好，咱们来看下边这个图形， 你会发现还是不相邻的一个扇形，一个外角是不等于不相邻的两个内角的和 一个赛信的这个外角是不等于两个不相邻的内角和，所以我就证完了两个子角是不刚好就等于这个角加上这个角。好，这是详细的证明过程。 来，咱们来看模型时，双角平行线模型好，第一个叫内内模型，也就是当两个角平面都是内角平行的时候，它相交于点 d， 那 么点 d， 这个角 d 就 等于九十度加二分之一角 a， 怎么推呢？其实我发现这个角 d 呀，加角二，加角四是不是一百八十度？ 好，接下来这个角 a 加上角一，角二，再加角三，角四是不是也是一百八十度？ 然后呢，角一等于角二，可以写成角 a， 加上二倍角二，角三等于角四，可以写成二倍角四等于一百八，再加上刚刚推的角 d， 加角二加角四等于一百八，这两个式子把角二角四消掉，怎么消呢？让二式乘以二和一式作差，然后整理完之后就把角二角四消掉了， 也就是能得到角 a， 角 d 的 关系，我就证完了。好，再来看第二个内外模型，也就一个角是内角平行，一个角是外角平行，所它所相交点 d， 那 么这个角 d 就 等于角 a 的 一半，哎，就是这个结论，咱们看这个怎么证呢？这个用的是一个四方形的外角，等于不相邻的两个内角合，你会发现这个角四是不等于角 d 加角二 a， 哎，第二个你会发现这个角三加角四是不等于角 a 加上角一角二， 对吧？然后呢，角一是不等于角二，可以写成 a 二倍的角二，角三是不等于角四，可以写成二倍的角四，所以就形成了这个式子。那接下来角地加角二等于角四，把角二角四交掉，怎么消呢？让二式乘以个二，然后跟一式作差，然后整理完之后就只剩下角 a 和角 d 了，我就挣完了。 好，接下来看下一个外外模型， a， 外外模型就是两个外角平行线相交于减 d， 那 么这个角 d 就 等于九十度减二分之一，角 a 跟刚刚那个恰角相反，而这个怎么正呢？好，看一下，这个也是，你又翻角二加角三加角 d， 是 不是一百八十度？ 好，接下来还有就是有一个，你会发现我这个角加上这个角是不等于角 a 加上一百八，好，也就是这个式的了， 您翻页，然后角一是不等于角二，角三是不等于角四，所以可以写成二倍的角二加角三，也就是这个三式。好，再加上刚刚咱们说的角二加角三较角 d 等于一百八，把这两个式子折长度的角二角三消掉。怎么消呢？你只需要让四式乘以二，乘以二之后，然后呢？跟三式作差，整理一下我就出来结果了。

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好，同学们，我们今天来学习正方形常见十大模型的模型。一、十字架模型，我们来看十字架模型呢，就是在正方形里面， 正方形里面，然后这里有两条线，它是垂直的，那么我们就可以正出对应的三角形是全等，于是就可以得到线段相等， 那么如果这条线是垂直，但是这条线没有和边挨在一起，那么我们就可以把这条线 f g 可以 进行平移一下，让它和边挨在一起，那么就转换成为和第一个图形一样的，可以正直角三角形全等。 啊，那这种形式，你看这两条边，他都没有和正方形的边挨在一起，所以但是他也是垂直的，那我们就可以做直角三角形构造，直角三角形也是可以全等，那么全等之后也可以得出我们的结论。 好，现在我们来看第一个题，第一个题给了正方形，给了 c、 e 和 d f 相等，然后问这个 a e 和 b f 能否相等？那因为是正方形，这两段相等的情况下，那么长一点的线段也是可以相等， 所以呢，如果要证 a 一 和 b、 f 相等，那么我们就证 a 一 所在直角三角形和 b、 f 所在直角三角形全等就可以了。好，那我们看啊，我们要证这个以及 这个是全等的。找条件，我们刚刚已经有了个短边相等，正方形长边相等，而且还各自有九十度，所以它就是可以全等的了。 a、 b， f， d， e， a 啊，全等之后就有对应的边相等，第一问就结束了。好，第二问，第二问给了边长为四， c e 是 一，那这个就是三，因为全等，这个也是三。 好，那么怎么求 a h 呢？这个我们刚刚只得出了这两个线段是相等，两个线段相等，但是它没有让我们正这两个线段垂直，那这两个线段是否垂直呢？那这时候我们就要自己思考这个模型，正方形的十字加模型，那么垂直和相等都是存在的， 我们可以通过垂直推出相等，也可以通过相等推垂直，所以这个时候我们就要用我们的熟悉度，因为它是可以，我们是可以证明垂直的，通过角度，角一，角二， 角三啊，这里角一加角二可以是九十度，因为全等，所以呢角二和角三是相等，那么角一加角三就也是九十度，那于是我们就推出来了垂直，这个垂直就很重要， a h 垂直 b f， 那 这样垂直就求这个斜边上的高，那我们就可以做了这个三角形直角，三角形三四，这个边就是五，那我们就可以通过等面积法 来求三角形的面积，底层高除二是它的面积，换一个底层高也是可以的，五乘 a h 除以二也可以，所以 a h 就是 五分之十二就 完了。那么这个模型呢，它是在中考的填空选择里面经常会出现啊，会让我们求边长啊，求线段长度，那只要是认出了这个正方形十字加模型，那不用复杂的推导，我们直接套剪就可以很快的做出来了。好，大家点赞收藏，多看几遍。

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这旗下开始啊，数学拉开距离的就是几何题，家长一定要给孩子准备这本学而思的初中几何模型，他会否了初中三年所有的几何模型？结论，像如今模型，你就记住 ab 平于 c， d， 点 o 是 平行线间的内凹拐点，得到角 b， o， c 等于角 b 加角 c。 遇到八字模型啊， 就附 a， c 与 b、 d 相交于点 o 连接 a、 b、 c、 d 找到角 a 加角 b 等于角 c 加角 d。 考试啊，遇到相似模型，直接套用模型结论做题啊，又快又准！每个模型啊，不仅有公式附记，还教给你辅助线怎么画 未来模型我们证明也讲得清清楚楚。重点是啊，还精选了典型例题进行剖析，不会的啊，可以看视频讲解，学完再去复后面的真题练习，学练结合，初一到初三啊，都能用，赶快给孩子学起来吧！

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夏夏开始数学，拉开距离的就是几何题，因为初中数学再难，也就这四十二个模型，让孩子把它吃透了，考试也就不怕了。就用一本的几何模型，像飞镖模型、手拉手模型、四点共圆模型、费马点模型等等，每个模型的结论是什么，证明过程怎么写， 怎么套用到真题里，全都整理的清清楚楚，让孩子把它吃透。遇到选择填空题，就能直接套用结论，写出答案，看不懂也没关系，扫码还有视频讲解，学完再做对应练习，有学有练才能更快掌握。配套的还有一本函数和应用题，让孩子把它们都吃透，初中三年的数学都不用愁。

好，同学们，我们今天学习正方形常见十大模型，第三个模型，同行张等角。好，那么关于这个后面的资料我们老师都已经给大家准备好了，大家评论区扣出六六六就可以领取了。 好，我们来看这个类型的，这个题的模型是形容正方形啊，一是外面一个点给出 b、 e、 d 九十度，那第一个要求正 e、 c 平分这个九十度啊，我们要怎么做？那平分这个九十度，也就是要证明是四十五度， 你要证明他是四十五度，那就要证明四十五度就出现在等腰直角三角形，那么呢我们这个做法就是做垂直和这边延长线相交 a 区。好，那么这里我们就要想证明他是四十五度， 想证明是四十五度，那就是要证明 e、 c、 h 是 等腰直角啊，那么也是我们想正边相等，那于是我们就可以想着看能不能够边锁在三角形全等啊。第一步我们想正三角形全等。 好，我们找一下条件，这个全等有一个是正方形的边相等，正方形边相等，那么都有九十度的情况下，角一和角三是相等，那还缺少一个条件，那么题末单独给的这个条件也要用，是吧？也要用，那么由此的话我们就可以得到这个对角是互补的 啊，这个也就跟上一个模型对角互补有关，它都是联系的。好，那我们说这个对角互补，那他就一定会和他的角相等角相等，那于是角边角就全懂了。 第一个是 e、 d、 c 会全等 h b c 啊，全等之后我们就有 e c 等于 h c， 所以 e c h 为等腰直角，那么就有九十度了 啊，就有四十五度啊，就证明了第一位好，第二位啊，等腰直角之后，第二位 b e 加上 e d， b 一 加 e d， 那 这里有全等的话， e d 就 直接变成了 b h， 再加 e d， 也就是 e h， 它是等腰直角，所以自然就是根号二倍啊，左边相加呢，就是 e h， 它就等于根号二的 e c， 这是第二问好，第三问， 第三问看数据，给了一 d 是 一，给了 a 一 是二倍，根号二求 b 一 的长， b 一 好，那么相当于它给的是一个这样子的图形里面，在这个里面，所以我们要做也是跟它有，跟它，跟题目给的数据要有关，那么这里我们就通过 做一个垂直，和 a 一 垂直， 做一个和 a 一 垂直啊，那么我如果可以的话，那么数据就可以过来全等之后，那这里我们要证哪一个全等呢？那就是 a e d 跟这个有关，全等 a f b 这两个能不能全等啊？那么这两个全等我们也要找一下条件， 条件有哪些？首先正方形的边长是有的，边长有，然后因为垂直，所以这两个锐角是相等，标角二和角四， 那么还有哪个角是相等的，或说边有没有了，我们再看一下啊。第三个的其他的边啊，这两个边，这是我们需要的，肯定没有相等啊，这两个边我们也是不知道，那就找角啊， 那钝角有没有可能相等？有没有思路啊？那另外一个角有没有思路能相等呢？哎，我们看着另外一个角，我们就会发现它存在一个八字形啊，因为这里有垂直，八字形里面有垂直，那这个角就是相等的，所以这里有 这个角呢？角五和这个角角六就相等了。那这里我们就可以证 a e d 全等 af， 所以 那么 a e 就 等于 af 了。那这里就是我们想要的 a e f 为等腰直角， 又一个等腰直角三角形了。好，那等腰直角之后，我们的数据就好算了啊，那 e f 五就等于根号二倍的 a e 也就等于四， b f 等于 e d 就是 一，那结果 b e 就是 相加了 啊，就是结果就是五。好，那么也就是说在这个同旁加等角里面，我们最重要的结论是什么？两个全等啊，一个是这一边和这一边的全等，然后得出一个等腰直角三角形，另外就是它对应在左边做垂直，也可以有个全等，然后也可以得出一个等腰直角三角形。好，收藏，点赞，关注，考试前多看几遍。