三角函数变换

三角函数图像变换，一不小心你就会丢分。所以说咱们这节课把平移伸缩变换的本质给大家讲透，以后这种题咱一分不丢行不行？行，好，第一件事，我们先来说平移的问题。 哎呀，这个比较简单呀，初中都学过了，叫什么左加右减，哎，左加右减。好，咱通过考题说一下他怎么去应用的问题。例，看这里啊，我说 f x 等于 三二 x 加上三分之派，把它向哪移？ 向左移行不行？向左移三分之派个单位，请问得到什么？我给你两个选项，你自己选啊。 a 选项 f x 等于三左。啥？左加左加？那是不是给他加一个三分之派啊？就加这个吗？加一个三分之派，然后这个三分之派我是不是赵超这第一个选项 b 选项 f x 等于三左加。哎呀，给 x 加吧，加个三分之派，然后这个三分之派照抄 蓝色的啊，三分之派在这两个位置，请问选 a 还是选 b？ 选 b？ 亲爱的同学，怎么看呢？ 左加右减，从初中老师都给你讲了，左加右减移的是谁，移的是纯纯的 x， 就是 给 x 进行左加右减呢，而不是给整体加，明白了没有？所以只要把握住这个点，你就不会出错了， ok 啊，所以这个应该选的是 b， 有 问题吗？没有没有问题，好， q 音讲完，然后再来说第二个问题， 跟伸缩有关的问题。我举几个例子啊，来，我每次通过例子去看，写上例二吧， 你看 y 等于三 x 变到 y 等于二倍的三 x， 这两个图像之间发生什么改变？自己打 发生什么改变了？变高了。三 x 图怎么画？我先给你画一个草图啊，是不大概长这样子的。这个是派，这个是二，派该没问题吧？ 取同一个 x 的 时候，你得到的 y 值，我在你的基础之上成了个二。咱俩取同一个 x 的 时候，我的 y 值是你的几倍？二倍，二倍。取同一个 x 这些个点，二倍的情况下还是这些点吗？不变是不是？是的， 那其他的点取同一个 x， 我 的 y 值得变为原来的二倍。所以你说发生什么改变了？ 叫啥？长高了，长高了叫 y， 拉伸为原来的两倍，没问题吧？没问题，那同理啊，那如果变成 y 等于二分之一，三 x 呢？你告诉我图像发生什么改变？ 取同一个 x 的 时候，你看零这些点，他乘个二分之一是不还是零啊？是的，除了零这些点之外。哎呀呀呀，其他的取同一个 x 的 时候，我的 y 值是你的 二分之一。我图画的不是很好，很美观。这两个是对称的啊，画的有点扯，但是你们自己知道就可以了，没问题吧？没有好，所以说外面这个数字 影响的是 y 值的伸缩问题是不是？是的，这个叫 y 深为两倍，下一个叫 y， 怎么了？缩？缩。啥叫深？啥叫缩？ 就是 y 变为原来的几倍，这个倍数字大于一吗？大于一是不是变越来越长了？是的，零到一之间是不是就缩小了？对， 能理解，看这个数字大于一较深，零到一之间读什么缩？是不是叫 y 缩为原来的二分之一倍，没问题吧？没有。好嘞，这个事搞定，然后我再来一个，叫做力三， 咱别急啊，一个一个给他把它讲清楚。例三的话回答我， y 等于三， x 到 y 等于三。二 x 二跑哪了？刚才是不是在外面来？是的，现在跑到是不是 x 的 位置了。对，来看看图像发生啥改变了？我先把三 a 的 图像给你画出来啊，关于中心对称的啊，这个点是派，这个点是二派， 你如果不知道发生什么改变，你就用五点描图法把你俩画到同一个图像里面去比较一下嘛，对不对？对，但是我们还有一个技巧，就是描图多慢的呀，考试中你描图吗？算周期吗？你走一圈周期是二派。 那你走一圈周期 t 是 不等于二派？除以这个二啊，等于谁？等于派？是不是你在零到派之间内你就走了一圈了，姿势不变，大家姿势都是这样一拐 是不是？那你说人家都走一圈了，来咋走？就是领导派内我就要走一圈。高低是一样的吧？是的，高低是一样的， 长这样最高点大家都是一样的，最低点大家都是一样的，没问题吧？没有，然后你再看我再给他。哎呀呀呀，画的又高了又高了，哎，好，大概姿势知道就好了， ok 吗？所以你说图像发生什么改变了？ 把原来的图啪。原来走一圈是这么长，现在走一圈是不是给他压扁了？对，那图像是深了还是缩了？缩了是不是 x？ x 怎么了？ 缩为原来的缩为二分之一了，缩原来的二分之一背了是不是？是能跟上啊？来，开始再来搞下一个啊，比如说 y 等于三二分之一， x 呢？ 一样的嘛，算周期呗，悄悄旁边算一下你的周期 t 等于二派除以二分之一几个派？四个派，你走一圈用二派，我走一圈用了多少？四派？四派， 那咱走的一圈用的时间更长了吗？是不是好？哎呀，你看不错呀，四排，比如说在这二排，在这我给你换一下他头像，你看咱高低不变啊，咱们高高低都是一样的， 是不是这样子？我画的有道理没有道理啊，其实的是这根白色的吗？ 刚才是压压密了，是不现拉稀疏了，所以他叫什么？从这到这，自己打一下这个过程， x 身长为原来的身为原来的两倍。好，我们来总结一下，你可以看一下，如果给三 x 外面乘个数字，说明谁发生改变了 y， 哎，乘以谁， y 就 变为原来的几倍，是不是？是的，那这个呢？你看是不是 x 前面的系数影响的是 x 方向的伸缩呀？对，那他还是乘以谁变为原来几倍吗？ 乘个二反而小了，除个二反而变大变大了。所以我们给大家总结的口诀来注意，叫做横除 纵乘。什么意思？纵坐标乘以谁 就变为原来的几倍总乘，没问题吧？对，横除横坐标除以谁就变为原来几倍。你看横坐标是不是这个相当于 x 除个二分之一啊？除个二分之一倍， 对，对吧？这个呢，是不给 x 除了个二，这不二分之一吗？就 x 除以二的意思吗？是不是除以谁就变为原来的几倍，所以它叫做横除总乘，没问题吧？ 啊？接下来我们再给大家去讲第三类，就是平一和伸缩，给你整一块一类到底是先平一还是先伸缩的混合顺序问题，这个同学们经常出错，我们通过一个例子给大家讲明白好不好？好，你看啊，比如说我问你， y 等于三 x， 你 经过什么样的变化能给我把它变成 y 等于三 x 加二 x 加三分之派， 这个东西是不是跟什么有关？伸缩跟伸缩有关吗？对，这个东西是不是跟平移有关呀？对，那你说他怎么变呢？先平移还是先伸缩的问题，先，哪个自己说？法医，先平移 后伸缩行不行？可以，那咱试一下，看一下怎么能变过去啊？先平移怎么移？ y 等于三 x 先平移，是不是先到现在出现三分之派啊？是的，可以吗？可以，你看 y 等于三 x 加三分之派出现它吗？ 这咋移的？左加右？对，是不是叫向左平移三分之派个单位，向左移三分之派个单位，然后人家前面得是二，多了一个二，立马跟谁有关了？ y 等于三，二 x 加三分之派， x 多了个二，说明 x 方向怎么了？深还是缩了？缩了。 给除以谁变为原来的几倍是吧？是的，变为原来几倍了。二分之一， x 变为原来的二分之一倍。具体来说，这个变为就是缩缩为二分之一倍吗？ 给 x 除了二分之一吗？除谁横除除以谁就变为原来的几倍吗？是不是？是啊，对，这个目标就达成了。当然，我们还有同学说，胡老师，我不想这么干。反二， 我想先伸缩行不行？后平移。 先伸缩，是不是先让 x 前面出现那个系数呀？对， y 等于三 x 怎么样？变成 y 等于三个二， x 先变成它怎么变？ 还是给 x 除了个二分之一吧。是的， x 变为原来几倍，二分之一倍就缩为原来的二分之一，没问题吧？没有，然后你得出现 三分之派，怎么由它变成三二 x 加三分之派呢？ 告诉我往哪移？左移三分之派个单位是吧？是的，第一题白听了啊。 不用不用告诉你平移永远移的是纯纯的 x 啊。看给 x 发生了什么改变。你看给这个 x 发生什么改变了？提出去变成一个六分，这个东西是不是跟他相等的？ 从这到这只给 x 加一个六分之派就变成他了。对，左加，所以应该是向左移六分之派个单位。 所以你没有发现先伸缩后平移和先平移后伸缩，他们缩的这个是一样的，但是平移的单位是不一样的。 所以大家以后你自己不管是从哪个路走，这两个单位不是一个单位。治疗强调的是移的是纯纯的 x， 没有问题吧？没有。好，我们做一道跟他有关的综合问题来。先看题，他说 f x 为函数，向左平移 六分之派，各单位得到的就你先得得到这个函数，然后这个函数与它的焦点个数有几个？那你是不是第一步先干嘛？本题回答胡老师，你得先找到 f x 是 谁吧？ f x 等于谁？自己说 他是不是应该等于靠三什么有，你向左左加右减是不？给 x 平移六分之派个单位，跟其他没有关系对不对？然后再加一个六分之派来整理一下，变成靠三二 x 加上 二分之派，加上一个二分之派。哎呀，还可以化解吧。诱导公式吗？是的，二分之你可别拷拷塞塞展开诱导公式是不是可以踢出去啊？名称要发生改变，外面不要忘了， 既变偶不变符号看象限是吧。后面还有个正负问题，正的还是负的？负的看的是原来角度对应的原三角函数的正负，这个到第二象限了吗？对应的 cos 是 负的？对，所以他是负的。完了，叫第一步解决了他的问题，然后才有了第二步。干嘛 画图画图。哎呀，三二 x 的 图像你会画吗？宝子们，看这里， 他取零的时候是不是也还是零啊？是啊，原没有符号的话是不长这样子。对，取零的时候还是零，姿势不变长这样 添了个符号说明什么？添过正的变负，说明图像是不是关于 x 轴对称一下，正的变负的，负的变正的图像长这个样子，这个点和这个点分别是谁走一圈吗？这叫一圈？ 他走一圈是谁？是不是立马去算一下周期？二派除以二等于派，你走了一圈用了派，说明这里是二分之派是吧？是的，最高点是谁？最高点是一，这应该都知道吧？最高点应该是一在这， 然后题让你求啥，与他的交点个数。哎，这个当 x 等于零的时候取谁 取负的？这不是，这最低点是一是吧？负一啊，负一，这是负的二分之一过这个点，然后嘞取一的数字，一在哪啊？一是在这，不是三点一四吗？对，除以二，一点几了是吧？一是不？大哥在这个位置。对， 是把他俩一连来，注意，我给你连啊，假如这样一连连过来啊，拉长几个焦点告诉我，一二三三个，一个，两个三个。 这人为因素可太大了吧。那有人说，胡老师，我手一抖嘚，我这样连这几个焦点两个跟他相亲了，一个几个两个。要说，哎呀，我就怕你，我不想这么干，我这么干一个。那有几个？ 一个吧，你看每个人的焦点不一样，核心在于什么？怎么判断？核心在于你看他最高点是不是一， 我只要超不过人家的最高点一，我就一直在人家底下，我就看你的图像一直有焦点吗？但是如果有一天我的白纸能到达一，那我肯定往上走，我肯定骑在你上面了，远远超过你了。你最高点才是一，我在这都达到一了，我永永远后面就超过你了吗？ 所以取决于什么？取决于这个东西什么时候到达一，他什么时候等于一的问题是不是？是的，早点到达一，早点骑到你头上去，晚一点的话，你在后面，未来会相交吗？是吧，来算一下吧，这多少？ 三 x 等于几？ x 等于三，三在哪里？派是三点，一四？是的，就比三大了一点点，所以三是不是应该在这嘞？对，三对应的白值是 一在这，所以你看人家，这不是他的那个最高点吗？多三点。所以这个图像会画了吗？会了，哎呀，要画准啊，这个这个这个，这三一条线我给他也画。来吧，一个两个，三个 啊，第三个在这描错了，三个，这个不算没问题吧？没有，这就叫做跟图像有关的平移伸缩及其综合问题。 当然这只是咱们三角函数经典的二十三大题型中的之一，你要拿下整个三角函数，咱剩余的二十二大题型必须去做深度训练，每一个从一级别要干到几几级别， 旧级别。所以说手边哎呀，还没有二十三大题型，你可以给胡老师留一下二十三大题型，抓紧时间拿走，打印下来，跟着胡老师课程匹配用起来，我相信三角函数这块的实力会大大增加的，好不好？好好下课。

然后这块呢，我们多多讲一种吧，可以可以推一下，多讲一种吧，就比方说我们看这个 find， 呃，从 find x 吧，然后想办法变成啥呢？变成一个 find 二 x 加三分之派吧，然后高兴一点，前面再给它乘二， 对不对？就想办法这个东西怎么变过来。这个要变的话分成两种形式，大家都能知道，从 side 本身常规图像，常规图像是以二派为周期的，这种二 x 它是以派为周期的，所以肯定有个压缩，压缩完了之后，这块 x 后面还加了一个什么东西，它肯定还有左右平移， 对吧？所以我们在完成这件事情的话，你是需要把原来的图像压缩平移还是平移压缩，两个步骤不一样的话，他们中间的过程和解析式长的是不一样的。那，那先来看第一种吧，第一种的话就是先压缩， 那先压缩的话就是应该变成一个 find 二 x， 这是不是就成变成了压为原来的二分之一， 对吧？横坐标这块压成原来的一半啊，这是先变成三二 x， 那 么这个式子长成三二 x 之后和这是不是还是不太一样的？ 那还是不太一样的话，就可以进行一个平移了，那平移，记住左加右减自变量是只针对 x 进行一个平移， 对不对？所以这一块的话，我们就要看成像把它提个二出来，所以它应该变成什么？二倍的 x 加六分之派，左加，所以它应该是向左平移了六分之派的单位 变成了三二 x 加六分之派。当然你用括号打开是不是就是二 x 加三分之派，对吧？然后最后再把把它变成它的话是刚刚咱们怎么说？是不是拉伸成原来的二倍？我就简写了，拉成二倍 对吧？因为高度给揪起来，所以动作不要变成原来的二倍，这就是先压缩再平移。那如果先平移呢？同样的道理啊，这块先平移的话，应该是变成一个塞 x 加三分之派，左加， 所以向左平移三分之派。为啥？待会你去压缩的时候，同样也是只针对 x 进行一个压缩，所以在下一步的话就应该变成一个塞二 x 加三分之派，只给 x 前面这个系数变成了二。 啊呀，这块就变成了一个压为二分之一，最后一样给它拉伸两倍， 对吧？就变成了一个二倍的三幺 x 加三分之二，就是这个平移变换的话，你要想明白，它左右平移和左右压缩的话，是只针对 x 这个自变量的， 就跟其他的没有关系啊。所以注意给这你看，先加六分之派的时候，这个二是不是不能动？是只针对 x， 这也一样，给他乘二的时候也是只针对的 x， 没有针对这个三分之派啊。这就是图像平移变化要注意的地方啊。当然面上这个题略微 简单一点，对吧？用诱导公式发现他就是一个正弦函数，然后变成二 x。 没啥说的，所以多多讲了一步哈。

来看眼这个，这个是一个图像平移的问题，对吧？就是图像平移的话分成了两种形式，也不叫两种形式，两不他其实先是一个压缩拉伸， 对吧？然后再进行一个平移就就完事了。所以这块的话我们可以怎么理解呢？现在是想要把这个东西是原始的，对不对？三倍的 c 二 x， 这个三影响的是什么？影响最大值和最小值，对吧？只是那个高度上下拉伸的问题，发现呢？这个要得到的这个东西也是三维系数的，所以没关系，他没有一个上下的一个拉伸， 主要是进行了一个左右平移。那左右平移的话，我们要记住一句话，叫做什么呀？叫做左加右减自变量， 就是我们左加右减是只针对 x 那 个量来进行的，所以这个式子号我们应该先改写一下，改写成什么呢？ y 等于三倍的 size 里边这个东西应该是不是一个二倍的 x 加上一个八分之派， 对吧？我要针对的是这个 x 进行一个左加右减，大家都知道了左加，然后加了八分之派的单位， 对吧？就这块平移呢？我们其实有两条路，第一种的话就是刚刚说了整个是不是可以理解为，哎，我应该这么着去写，哈，咱这么着去写，我现在从一个 sin x 想办法变成这个 sin 二 x 加四分之派，我就直接变它没有那个三那个系数那个事了，我到底怎么变呢？其实可以先第一步，第一步的话我是可以想办法给它变成个 sin x 加上四分之派， 就是把三 x 的 图像向左平移四分之派的单位，然后再去把那个横向给压缩成一半， 对吧？还有一种是什么呢？还有一种的话，我是直接先压缩，先变成三 x， 然后再转到它的时候就是向左平移了八分之的派， 对吧？这一块的话是向左平移了四分之一，所以先压缩再平移，还是说先平移再压缩？都注意是只针对这个 x 这个量进行的一个变化啊。所以这块平移的话，我们基本上掌握这一句话。这句话的话理论上应该 初初二初三时候那老用吧？左加右减，自变量上加下减长竖向，对不对？就一定要记住是针对于这个 x 进行的一个平移。

先来看第一个图像的平移伸缩的问题，对吧？就是一看底下，扫一眼底下选项就能知道他是想办法需要看看他是怎么着平移的，然后啊，他都没有平移的问题， 对吧？他应该是怎么着压缩的？这个压缩的话，面上一看这是个二，这是个原来是个单倍的，所以肯定应该是变成原来的二分之一，对吧？但变成原来的二分之一 是横坐标变还是纵坐标啊？这玩意只能横坐标变吧。那纵坐标的话是什么来着？你这块写一下这个 f x 的 话，一般情况下正弦型函数的 a 位的 side， 我 们一个 x 加 side 的 一个形式，对吧？ 这个这个大 a， 他 是控制了一个外轴的一个坐标的变化，对吧？这个举个例子，大 a 得二的话，他的纵坐标是不是变成了原来的二倍，对吧？这个 omega 是 什么？ omega 其实是不是控制了周期 t 是 等于二派比上绝对值 omega 的， 所以 omega 越大，他就是压缩 omega 小 一的时候他就是一个拉伸的情况。那像这个我其实基本上都不用诱导公式了，都能猜的出来。选 a 咱先选上，待会看看是不是对的啊。 就是一个 sine 二 x 是 由一个 cosine 图像怎么着平移变出来，那我们肯定是先把它变成也是一个正弦型的 再来看，那这块是不是就可以用到那个诱导公式？基变偶不变符号，看相线基偶是看的有多少个二分之派一个，所以它应该是个基数倍，所以它就变成负的 sine x， 那 么这个符号，这个符号走的是因为前面有符号， 那么这个诱导公式变完之后是正的还是负的呢？ cosine x 加二分之派，看这个整体，它在第二象限，第二象限 cosine 值应该是个负的，所以前面再加个符号是不是就变成个正的了？ 所以本身给的这个东西就是一个 cosine x。 问你 cosine x 怎么变成 cosine 二 x？ 那 不就是横坐标变成原来的二分之一吗？ 然后纵坐标不变啊，他就是一个选 a 的 啊。这种东西的话就是属于你要是平时做着玩的话，像我第一第一种做法直接看看就知道应该能选 a 的。 你要想正经做的话，肯定得先用诱导公式把它变了，变完之后看成翻译什么东西倒过来。

我是一名高考考生，此刻正坐在高考考场，眼前这道三角函数已经盯了半天没有思路，此时我想到了阿数对于一名三角函数的转化。这里补充两个公式， sin 二幺发加二分之派等于口塞二幺发。口塞二幺发加二分之派等于负的塞二幺发。对于第一个公式，由塞变成口塞引，我们不需要改变符号。而对于第二个由口塞引变成塞引，我们需要在前面加一个符号。 所以对于异名三角函数的转化，我们优先选择塞隐阿尔法等于口塞隐阿尔法，也就是优先塞隐，其次口塞隐。 那么按照刚才的回忆， c 一 y 等于口塞 x， c 二 y 等于塞隐二 x 加三分之二 pi 我 明显就要变的是塞隐，所以我将其变成塞隐二 x。 后面先凑一个二分之派， 那么前面应该是加上一个六分之派。 sine r 发加二分之派等于 cosine r 发，所以应该等于 cosine r x 加六分之派。 那我不就变成将 y 等于 cosine x 变成 y 等于 cosine r x 加六分之派了？这样就简单多了。 a 选项，把 c 一 上各点的横坐标伸长为原来的二倍，那我们一个应该变为原来的二分之一，现在变为二倍，不对。 b 选项，把 c 一 上各点的横坐标伸长为原来的二倍。哼，和刚才同一个错误，还想难倒我。 c 选项，把 c 一 的横坐标缩短为原来的二倍，嗯，没问题。接着再把其向右平移六分之派， 那向右平应该在欧米茄之后平移，也就是 cosine 二倍的 x 左加右减减六分之派变成了 cosine 二 x 减去三分之派。 嗯，明减不对。 d 选项把 c 上各点的横坐标缩等为原来的二分之一，而我们的依旧变为二倍，横坐标不变。再把曲线向左平移，十二分之派就变成了 cosine 二倍的 x， 左加加十二分之派 等于口塞耶二 x 加上六分之派没问题。这样就对了，又可以美美扣分了，嘿嘿。

我们今天来继续学习三角函数的变换，这是三角函数的最后一个知识点，我们之前有这个东西， 这是不是由导公式啊？假如说两个角相加，其中一个呢，是二分之差的整数倍，那么我们就可以用通过由导公式来求出它的换点结果。 可是如果一个函数，一个三角函数，它是两个角，都不是二分之派的整数倍呢？比如说我们 sin 三分之派加上四分之派，我们是不是就束手无策了？ 那这时候怎么办呢？我们有一组公式叫三角恒等变换啊。首先啊，我先给大家过一遍， sin 阿尔法加尾的塞头加口塞，如果这是减，那这是就是减 口塞，这是加，这就是减口口减塞塞，如果这是减，这就是加口口加塞塞， 弹力呢，也是一样的，我就不赘述了。然后二倍角塞也阿尔法，就是两个阿尔法呗，我们就可以把这看成阿尔法，那么阿尔法阿尔法，这也是阿尔法。塞口加塞口，那就是二塞口， 二塞口它还有个变形，就是塞加口塞，你想想把它打开是不是我们之前学过的完全平方公式，塞方加口方得一， 一加上二倍的它乘它，那二塞口自然就是塞二二方。所以在这也有一个非常常见的应用， 继续口塞阿尔法，看这，我们把这个贝塔看成阿尔法，这个贝塔也看成阿尔法，那他就是口乘口，就是口方减，因为这是加加阿尔法加阿尔法嘛，所以这就是减塞方， 对吧？所以这就是口方减塞方，那根据我们之前说的，塞方加口方得一，我们可以把塞方变成一减口方， 口方减去括号，一减口方打开就是二口方减一，那这就是一减二三方，我们是把口再变成了一减三方， 口方变成一减三方，然后一减三方，再减三方，就是一减二三方。最后一个咱们也不说了， 这是前两组，我们再来说后两组。首先啊，降逆公式，也叫半角公式，它是怎么来的？ 还记得这五式吗？上一组二口方减一，如果我把这个一挪到右边来，再把二处过来，那它就变成了口方，等于二分之一加口三二 x。 那 sine 呢？ sine 方是怎么来的呢？也是由二倍角来的，它是不是一点二 cos 方，所以我把 cos 方放在一边，把别的东西都挪到等号的另一边去，它就变成了这个样子， 所以他们两个是由二倍角推来的。那老师给大家解释解释什么叫降蜜或者叫半角。首先我们来看这个蜜，这是不是平方二次蜜，这是不是一次蜜？所以由这到这的过程，这个蜜就降了，所以才叫降蜜。 那降蜜的过程一定会涉及到生角，所以说大家记住，降蜜 降密一定会涉及到生角， 你不能又降密又降角，或者是既生密又生角，那就不平衡了。所以我们来看这它也叫半角公式，因为这个阿尔法是它的一半，那它的变形大家也应该熟悉，比如说某道题 这个，那这个作为一倍的角，那它的二倍是不是就是 r 法，那就是一减 cosine， r 法再除以二，就是这个道理。然后我们来再来看最后一组 辅助角公式，这个很重要， a 倍的 cosine x 加 b 倍的 cosine x， 其中 a 必须得要大于零，它就等于根号下 a 方加 b 方 cosine x 加 f， 其中这个 f 就叫辅助角，是我们人为构造出来的一个角，它起到一个辅助的作用。那这个 f 怎么确定呢？我们通过 int 它来确定， int 的 f 等于 b b a， 我 们来举道例题试一试，二分之一 sin x 加上二分之根号三 cos 等于这里边 a 就 到二分之一， b 就 到二分之二三。往这里边一带，发现是根号下二分之一的平方，加上 二分之二三的平方就是一 sine x 加 f， 其中这个 f 等多少呢？我们套这个公式，函数函数的 f 等于二分之二三，比上二分之一发现是根号三，那么 f 就 等于， 所以我就把这两个分着的式子捏到了一起，整合到了一起。好这些东西啊，它主要是考察我们的一个化简好。同学们，我们来看这道题， 这是二零二零年的江苏省的高考题，我们来把它逐步拆解。首先右平方很像这个公式对不对？这就是降逆公式的一个特点。 然后我们再往下看阿尔法，此时他没有什么特征，我们再往后看塞耳阿尔法，那么这是一倍的，这是不是二倍的？是不是符合我们降密升角的一个原理？ 这个密带平方的肯定要降下来，降下来的过程当中他就升上来了，所以这是不是两全其美？所以啊，我们把它往这个里面一套， 此时它就替换到它的位置，就等于二分之一减 cosine 二倍的， 然后把这二乘进来，二分之二加二。 我们看，刚才咱们也说了，带二分之派的我们都需要用诱导公式，那我们再来复习一下诱导公式。首先二分之派肯定是基数呗，基变，首先这就变成了三 符号呢。二分之派在一二象限的分界处减加上一个阿尔法，那他就跑到了第二象限。第二象限对于口才来讲是负的， 所以这道填个负号，可是这是不是一减去负的，它就变成了一加二分之一？加赛尔等于三分之二， 对吧？把这二乘过来三分之四，再把一减过去三分之一，所以这道题答案就是三分之一，这就是一道高考真题。好了，我们讲到这啊， 三角后的名画就大概给大家过了一遍，我们下个视频给大家讲一道高考真题的大题，看看三角函数的大题到底怎么出，怎么做。更多干货技巧关注小南老师。

导公式那么多，谁记得住？对了，一个口诀就够了，一遍五遍符号看香烟，今天教你三十秒搞定所有诱导公式。 什么是诱导公式？诱导公式就是把任意教的三角函数转化为对角三角函数，其次要把任意教它改写成改成二分之百加阿尔法。 在数学形式运用教一变偶不变符号按相线，怎么理解应用呢？一偶指着凯变与不变指着函数名，符号 就是最后转化成锐角三角函数前的那个符号看象限，这个计算是圆角圆函数。等符号一变，百位基数 z 写成二分之一加阿尔法就会变成 o c 二法。 p c 改成二分之二加 r。 一 排位基础就是正弦变余弦，余弦减正弦就行了。 偶不变排为偶数。 c 改成二分之二加 r 还是 c 啊？ p c 改成二分之二加 r， 函数名正不变，原来是正选还是正选，余选还是余选。符号看相线就是前面这些符号，就是有圆角圆函数符号，符号看相线就是圆角圆函数的 看题。首先把这个角改成二乘二分之加阿尔法，这个形式就是满足于第一步，把任意角来写成这个形式， 然后按这个二分之牌的倍数二偶数，说明他不变，直接都是写着 c。 阿尔法前面这个符号 就是原来这个交所在相线的正确符号，这个交就是牌加阿尔法，这个交 是第三相线。你要想定这个交所在的相线的时候，这个地方的阿尔法 一定要视为锐角，不管他有多大，也就是在向符号看象限，这里面圆角圆弧处的符号来定的时候，要特别注意，阿尔法视为锐角，这样一来的话，他是第三象限角， 政权是负的，所以等个负的组成一个三倍的二分之二加阿尔法，二分之二的倍数是个三基数，基数都要变，那变都变成 c。 阿尔法 这前面这个符号是这个角所在，象限二分之三加阿尔法，阿尔法是为锐角， 那就是第四象限与选是正的。记住这个口诀，搞定所有诱导公式。括号中选择题直接秒杀一变偶不变符号看象限评论区打出来，让我看看有多少人学会了 下次秒杀，下次讲政权型三角函数单调区间怎么秒杀？

高一的同学应该发现了，三角函数从弧度至开始入门以后，基本处处是重难点。每当你觉得三角函数应该学完了的时候，总会再冒出一个新知识。 最近这段时间让大家比较头疼的应该就是三角函数恒等变换了，又是很多长得乱七八糟的复杂公式，你们如果翻教辅书的话，有的书会总结出一大堆，而且什么平方二倍关系混在一起，还有正负号的问题，背起来很麻烦。 今天你听我的，把这个难点消化掉。我们最核心的公式就三个，就是正余弦和正切的合叉公式，背它们三没什么好办法，死记硬背吧。 但是几年前有个学生告诉我说， cosine 的 公式展开以后就是 c c s s 的 形式，可以继承抠抠搜搜 sean 展开以后可以继承死抠抠死 这三个公式，背的时候注意正负号。二、背角公式可以不背，但是你用的多了，想忘也忘不了了。考试的时候把原来各个公式的贝塔全都换成阿尔法线推倒就行。 这里要注意， cosine 二阿尔法展开以后，还能利用同角的正余弦平方和为一继续进行替换，这一步非常重要， 后面学的升降密攻是离不开它。二倍角。这里同学们还要注意一个事情，我总结一下叫做正弦二倍可凑完全方，余弦二倍可出平方差。 就是说 sine 二 r 法加一，其实就是正弦平方加余弦平方加二倍 sine r 法， cosine r 法，那就能直接配成 sine r 法加 cosine r 的 完全平方。 而 cosine r alpha 的 常规展开本身就是平方差公式，从二倍角公式这里可以引出生降密公式，千万别直接背，我教这么多年，高中我都不会背，就直接把 cosine r alpha 所有的展开式都摆着，你要啥推啥。 这里你就记一句口诀，叫做生密半角。降密背角，也就是指数的二和倍数的二，是首横的，只能出现一个。 其实 sine 阿尔法等于二倍 sine 阿尔法， cosine 阿尔法这个公式也可以看作是生米半角，做 题的时候大部分情况优先满足，把式子中的三角函数次数拉平，再考虑角度倍数关系。以上就是三角恒等变换的公式我们应该怎么记，希望能对同学们有所帮助。

三角函数图像变换问题啊，本身并不难，但是如果一个函数经历过多次变换之后，这个题就有些难了。我们来看这样一个例子，说一个正弦函数左移三分之派， 横坐标呢，又压缩为二分之一倍，然后又又移四分之派，横坐标呢，又扩大为三倍。那你像这种函数图像经历过多次变换的问题，我们该怎么来做呢？今天啊，大鹏老师用一个视频把这类多次变换问题的通法教给你， 保证你学会之后，这个问题直接就可以秒。好吧，我们来看这个题怎么来做啊？首先拿了这个题之后呢，我们先把每一步变换对应的实际操作我们先写上，比如说第一个左移三分派，左加右减嘛，对不对？那就是加三分派。 第二个横坐标压缩为二分之一倍。我们知道啊，横坐标的伸缩变换是成倒数关系的，所以压缩为二分之一倍，其实就是乘二嘛，横坐标扩大为三倍就是乘三分之一嘛， 这没问题吧？把每一步变换对应的实际操作先写出来，然后记住，虽然是多次变换，但是我们的核心就一句话，就是对 x 的 变换，我们是满足后动先算的。那什么叫做后动先算呢？ 就是最后运动的，他的计算优先级是最高的。再说一遍啊，最后运动的计算优先级是最高的，那谁是最后运动的？这个是最后运动的，所以乘三分之一，他的优先级是最高的。那因此我们先要怎么样？我们先要让 x 乘三分之一， 那倒数第二个动的是谁啊？是用于四分派单位，所以呢，他的 x 乘完三分之一，就得马上减去四分派， ok， 然后是谁呀？倒数第三个动作是谁？是横坐标压缩为二分之一倍，所以第三个算的优先级，排第三的就应该乘二，所以注意，此时这个乘二就没有说什么，只针对 x 的 变化的，不用考虑那个了。好吧，他就是第三个优先级，所以此时在这个整体外面乘以二， 对吧？那我们说最先动的是谁啊？最先动的最后算，最先动的是左移三分派，所以呢，我们加三派是最后算的，那就应该是在整体最后加一个三分派，化简完，这函数变成了三 a， 三分之二倍的 x 减去六分之派，我们来验证一下啊，比如说我们来看 正弦还是 y 点三 x， 我 们都知道他过圆点零零，那么你想，如果说正常来说啊，我们如果左移三分派，那这个点应该到哪个点了？负的三分之派多少零，那横坐标再压缩为二分之一倍呢？就是负的六分之派多少零，我们再右移四分派，单位呢？ 就在加四分派吗？那就变成十二分之派多少零？横坐标最后扩大三倍呢，就变成了四分派多少零。那我们来看一下，此时这个点到底落不落在这个这个解析式上，它是满足的，对不对？所以我们验证是成功的，这个方法是没有问题的。好，我们再来看另外一个例子，我们拿这样一个函数举例， 我们说 y 等于 cos 二 x 减三分之派，横坐标呢？扩大二倍，然后又右移四分派给单位， 那这个问题该怎么做呢？说他们，老师，你看这个题啊，我经历过两次变换，但是我前面这个函数它就不是一个孤零零的余弦函数或者正弦函数了，那我该怎么办呢？我们该怎么来理解这件事？它是这样的，首先我们可以理解为横坐标扩大二倍就乘以二分之一吗？用一四零差就是减四零差吗？这都没有问题。 那么这个部分我们可以把它看成啥？可以把它看成是经历过某些运算之后得来的这个部分啊，前面已经经历过一些运算了，所以此时你会发现他的变换依然是在最后变的，所以他计算的优先级就应该是最高的， 所以 x 应该优先先去怎么样？先减这个四轮胎， ok， 然后其次呢，再乘这个二分之一， 然后整体我们最后再乘这个二，后面再减去三分派，这是没有问题的。 ok， 所以 我们怎么来理解这个事？你可以把它理解为它是由一个 y 等于 cos x 经历过某些变换得来的，只不过这些变换都是在这两个变换前面 进行的，所以这两个的预算优先级要比这些优先级要高，能能理解吗？哎，是这个意思。好，我们来看一道题啊，通过一道题我给大家讲明白来，他说这样一个函数向右平移八分之二，然后呢？横坐标缩短到原来的二分之一倍，则解析式是啥 啊？给我变换前的，让我算变换后的对不对？好，最后变的是谁？是横坐标缩短为原来的二分之一倍，所以我得先乘二。 ok， 那 么你像这个运算，这个运算，这个运算，这些都排在最外边，他的优先级都是最低的啊，因为他是由某一个正弦数经历过一些变换得到这个函数的，但是这些变换都是在这俩变换之前，所以运运算优先级是最低的。 ok， 好， 那我们应该先怎么样先让这个 x 乘以二，因为这是最后变的。然后呢，我们在整体在二 x 上再减去一个八分之八就可以了，就这么简单化简完这个函数就是 y 等于二倍的三十四 x， 所以 这个题直接就选 c 选项， 明白了吗？所以拿到一个三角函数图像多次变换时，你就记住了一句话就可以了，就是对于 x 满足后动先算 最后运动的优先级，计算的优先级是最高的就可以了啊，不用再去记什么只对 x 本身计算了，那个经常会弄混。好吧，我是让数学思路变得更加清晰的大鹏老师，关注我，带你数学上大分。

好了，今天我给大家讲讲三角函数图像变换。很多同学呢，拿到这种题目，三角函数图像变换不是太清楚 啊，一问呢，都说啊，基本还是懂的，但其实呢，还有那么一点不懂， 那哪里不懂呢？主要是平移变换的问题，很多同学呢，搞不清楚，到底这个有系数 x， 前面有系数的时候， 有些时候会提系数，有些时候不提系数，什么时候提系数，什么时候不提系数，就很多同学搞不清楚的问题就在这里。 好，那我们看一下这道题目里面，由这一个变到这一个，哪里不同？说不同的是减了一个三分之八，那大家都知道，左加右减，上加下减，大家都知道，关键是这里有西数呢，现在是不是已经有西数二了，所以你要把这个西数 给他提起出来，所以这里呢，就顺眼啊，括号 x。 好，虽然减呢是往右边，所以减掉。 好，那减了多少呢？是三分之牌呢？还是六分之派？所以这里呢，应该是提了，既然已经提起了系数啊，提起竖切，所以这里是不是应该反过来是六分之派？应该是这样的，然后我们把它用乘法分配的乘过，乘到里面，是不是等于这一个东西了啊？其实是这样的一个道理啊， 啊，所以呢，向右平移六分之派个单位，所以是 d 选项啊，左加右减啊，左加右减是针对 x， 上加下减是针对后面的 y。 好，这么一个意思啊，那比如说，我在这里改一下，如果是改成一个 y 等于 c x， 那如果 是这一个变到这一个，那你看这个时候还提不提他现在有没有系数系数？五一一是不是 x 的系数？那这个时候就直接往右拼一三分之派，那就显 b 选项，是这么一个意思啊，啊，现在你听懂了吗？其实就是这么一个啊，有系数就提出系数，没有系数你就不要提系数， 当然一也是系数，但是一这个系数不写出来啊，只要除了一以外其他的系数的。你见到 x 前面只要有数字啊，那你就给他提起出来啊，没有 x 前面没有数字啊，通俗的就这么说，没数字呢，你就不用提他，就这么简单的问题。 好，那第二题啊，第二题呢，考察了一个伸缩变换，那我们看到是这一个扩声音， x 这个横坐标缩短为一半，一半是不是二分之一？ 注意，这个横坐标伸缩变换的话，变换的是倒数，哪个倒数？ x 前面的数字的倒数， x 前面系数的倒数，那这个系数是一是不是？那原来他的一半一半是二分之一，二分之一他的倒数是多少？就是二， 注意这个问题啊，所以就变为 y 等于 question 啊， x 啊，就这么这个东西啊，变成它的倒数就行了。如果假如说是个变为扩大为两倍，那就应该是二分之一啊，是一半二分之一。就是啊，就这么简单。 好，然后向左再平移。哎，现在我们看到是不是已经有系数二了，所以这个时候呢，要把平移变换过程中，我们要把系数给他提起出来，就 crossing 二提起出来， x 加四分之 pa， 所以向左呢，就是加，向右呢，是减啊 啊，这个意思啊，然后呢，我们再把这里给他，用乘法分配率给他乘开，就是二 x 加二分之派就得到这么一个东西啊，那这个东西是不是即便公式二分之派加一个角，所以是不是即便， 那即变公式呢？是不是括声音要变为声音二 x， 那注意现在二分之派加重一个角，是不是在第二胸线，第二胸线的扩声音是负的 啊？我们即变偶变符号，看胸线要看变之前的，因为变之前是括声音，所以扩声音之前第二胸线是负的，所以这里前面加一个符号，所以就是得到负声音 r x， 所以是不是写 d 选项啊，就这么一个意思啊。 好，在下一道题，比如说这个向左平移四分之排的单位，哎，那我们看一下这道考到平移变换，我们说抓住的是什么？是不是看 x 前面有没有吸收， 现在是不是没有系数啊？系数为一，所以就不用提出来这个意思啊，所以就写为 saying x 加六分之派，原来的不改动，它向左，所以呢？再加上四分之派，如果向右呢？再减，就这么一个意思啊，所以呢，它是这样的。 好， no， 再下一步啊， 好，再下一步就得到啊。 c e x 加这一同一下方是不是就有十二分之 五派？哎，那我们在这里呢，横坐标扩大为两倍，刚才讲过了，横坐标指的是不是 x 系数变为倒数倍就可以啊？那两倍他的倒数就是二分之一，那就是二分之 x 加十二分之五拍，那就不是就出来了，多简单的是不 b 选项啊，就这样就搞定他了。 好，再下一种题型，好还是一个道理啊，生成为两倍，你看两倍呢？刚才讲了，是不是横坐标伸缩变换，是不是这个系数为一啊，它的倒数，倒数呢，就变为 same 啊，两倍呢，是不是它的导数就是二分之一啊？ x 啊，减三分之派就变成这个鬼样子啊？好，然后呢？再向左平移三分之派个单位啊，我们知道是不是这个什呢？是不是有系数二分之一，就要把这个系数二分之一给他，怎么样？ 给这个系数二分之一给他，提起出来就括号 x 加三分之派，注意是这个样子 的，我们是左加右减，针对的是 x 啊，所以这里是 x 加，是这么一个东西啊，提起出来了，后面是不是减个三分之 pa， 不改动它的 大小？不管他，我们就照搬着这里加一个中括号就可以了，因为注意原来只有一个 x， 现在是不是平移了？ xx 平移以后加一个小括号在这里，原来的其他的东西不要改动他的大小，就这么一个意思，能听得懂吗？好，那下一步 这里呢，再把它用乘法分配率给它乘开，就是二分之一 x 二，好，再加六分之 派，减三分之派好，就得到这么一个东西。好，然后再进一步就剩这一个东西，那六分之派减掉三分之派，那通一下分是不是减了一个 的六分之拍？它就是这么一个道理啊，是不是我们就算出来了？ 好，那我们看一下，是不是选项就是 c 选项啊，就这么简单的一个道理，其实呢，不用纠结，那我们现在总结一下方法，是不是 听了那么四道题，应该对这个东西应该有个掌握了，只要抓住两点，哪两点？一个就是看伸缩变换，他的倒数呗，两倍就是二分之一，如果是二分之一倍，就是啊，就这么一个意思啊，倒数听得懂吗？ 如果平移变混的时候看 x 前面，如果像这种没有系数的，就直接平移就行了啊。如果有系数啊，系数三，系数，二分之一就是这道题，有系数就把系数提取出来，就像这种的提个二分之一提取出来 别的东西你不要管它，再把它盛开。那那就可以了啊，做这种题目就这样。 好，那还有一种类型呢？是哪一种类型啊？比如说 send 变成 call， send in， call， send 变为 send in， 这个也可以进行一个平移变换，还有伸缩变换这种变换呢，很多同学啊，都不会啊。好，我在下一个视频再给大家讲解。

这三角函数图像变换怎么总出问题来？全班同学看黑板啊！同学们，针对这个三角函数图像的变换呢？很多人都有问题啊，尤其是伸缩平移这块。 那么你要想学懂它，你就知道这个 a， 欧米伽 f 还有 b 对 图像有什么样的影响。来，第一个，咱们先看什么呢？先看这个欧米伽啊，第一个是欧米伽， 说 y 等于 sin x 变到 y 等于 sin 二 x， 这个图像有什么改变？你看这个偶名由一变成二了啊，成二了，来，咱们看一看啊， 花它一个周期，它的周期是二派。 好，同学们，看这图，那么它的周期是二派，它的周期多少？ t 等于什么？是不二派？比上欧米克，欧米是二啊，等于派啊，所以说，哎，这个三二周期是派，那么对于他来讲，他要在零到派内完成一个周期，就完成一个波峰一个波谷，所以说，哎，这是派啊，零到派之间就完成， 就这样。嗯，它的一个周期完事了。那对于对比它来讲的话，什么都没改变，只不过像弹簧一样，是不是挨被压缩了？ 所以欧米伽它有什么作用？它对图像的影响就是伸缩的作用啊，如果你把它变成二分之一会怎么样？是不是？哎， 也就是 sine x 变到 sine 二分之一 x 来画它组成它的周期 t 的 什么是不二 pi？ 比上欧米伽是不得四 pi 有 在零到四 pi 内完成一个周期，零到四 pi 内啊，就给他写个四 pi， 完成一个周期，也是一个波峰一个波谷啊。 好，这个黄色的图像就是它图像，你看我乘以二分之一，它相对于肾癌的图像怎么样了？ 哎，拉伸了，横向拉伸了啊，其他没改变。所以同学们，这个欧米伽啊，欧米伽它对整个图像的影响就是横向伸缩的作用。千万记住啊，它的变化你乘二反而变原来二分之一， 你乘以二分之一，反而变原来的二倍横向。所以说，如果你将原来的图像你乘一个偶米格，那么那么你的横向就会变原来的偶米格。分之一倍啊，倒数，嗯，好，这就是偶米格。来，咱们看一下 a， 这个 a 有 什么作用？ y 等于 sine x 变到 y 等于二倍的 sine x， 其实这个 a 叫什么？叫振幅啊，是吧？它的影响就上下伸缩，这个很好理解啊很好理解， 你看它图像，哎，这是一个周期的啊，一个周期的，我乘以二呢，它的幅度正负嘛，是吧？上下边原来的二倍，所以它图像是这样的啊， 什么都没变周期啊，什么都没变，只不过就是我的上下幅度改变了。那你乘几就几倍呗。啊，你原来最高点是一，现在乘以二了，最高点就是二呗。 这个 a 很好理解啊，好上下伸缩啊。前两个这叫 omega a 都伸缩作用，一个是横向伸缩，一个纵向伸缩。来，咱们再看看第三个，第三个就是 f 啊， f 这个 f 有 什么影响啊？说 y 等于 sine x， 我 变成 sine x 加上三分之 pi， 我们初中都学过平移，对吧？左左加右减，上加下减，对吧？好，那你看现在把 x 变为原变，为什么变成 s 加上三分之派了？所以在 x 这个基础上，你加上三分之派怎么移动？嗯， 你加三派怎么移动， 对吧？所以说你这个图像如果是这样的， 那么加三分派，向左平行三分之派啊，向左平行三分之派， 这块负三分之派啊，以此类推都可以写出来啊。好，这个就是那左右平移，那么第四个，对于第四个同学们这个 b， 他这个更好理解了啊，哎，在整个函数值最后面加上一个 b， 也就 y 上进行加减嘛，所以说他影响到什么？是 y 值，是上下，哎，上下平移，所以说他是上下平移啊，平移 啊，咱们知道了这四个参量对这个函数的影响啊，图像的影响，那么放到一起， 很多同学不会了啊，先伸缩再平移还是先平移再伸缩啊？蒙了，咱们看一看啊，实际上这个只先伸缩再平移和先平移再伸缩只是针对谁呢？欧米哥和斐他们两个不一样啊，那后面那个啊， b 啊，前面的 a 啊，其实什么时候都可以来，以它为例啊， 说 sin x 变到 sin 二 x 加三分之派，那么咱们说啊，先平移再伸缩，怎么变？你看啊，说 sin x， 那 先平移，怎么能出现三分之派呀，怎么能出现三分派？那向左平移三分之派嘛，是吧？加三分之派，所以左三分之派 就变什么，变成 sin x 加上三分之派了，那它到它就差什么？差个二呗， 我在二 x 加上三分之二，我乘二，我怎么乘二？他说他为什么要乘二，乘二是因为什么？图像怎么变了，不就是怎么样纵坐标没变，横坐标怎么样？变圆了？二分之一啊，你乘二变为二分之一，所以说横向， 哎，横向变为原来二分之一倍啊。很多同学可能会犹豫什么呢？那老师你乘二的时候用你把后面那个三分派也乘上啊？不用，它俩是两个量。你三分之派，这个啊，这是斐，它影响的是横向平移，不是伸缩，所以只在 x 前面改变啊。 好，那我先伸缩，再平移到它。那我还是什么？直接写你伸缩直接乘二嘛，是吧？有二就乘二，直接变成三二 s， 对 吧？这是什么？横向一样的横向变为原来二分之一倍， 你乘二变二分之一倒过来啊。那么二三二 x 到三二 x 加三分之 pi， 这咋来的？从它到它怎么多三分之 pi 怎么来的 啊？向左平行三分派啊。那如果向左平行三分派就错了。刚刚那同学啊，你就这错了，你看我向左平行三分派，那意味着我把 x 换成 x 加三分派，你把 x 换成 x 加三分派。你乘二，那不就是二 s 加上三分之二派了吗？ 知道吗？所以这系数不为你得提出来代二倍的 x 加上六分之派， 你看乘以是不是它，也就是你把这个啊，这个 x 换成什么？换成 x 加上六分之拍了。你把人这个 x 换成 x 加六分之拍了，所以叫什么向左平移六分之拍？ 左啊，六分之拍，这就对了啊。好，来，现在呢，知道怎么操作了。来，用两个题来练习一下。第一个 说 f i 等于三二 x 向右平移六分之 pi 的 单位所得的图像的横坐标变为原来的三倍，得到 g x， 求 g 四分之 pi。 那 你不得得到先得到 g x 吗？对不对？所以 先给它怎么变？向右平移啊？向右平移 si si 二 x， 你 向右平移六分之派，你把 x 换成什么？ x 减六，什么向右平移，左加右减嘛， 然后得到了什么？得到了 si 二 x 减三分之派。 那你什么横坐标变为原来三倍什么意思？那你变为三倍，你不能乘三，你反而要乘三分之一，所以将原来这个我们一个乘三分之一就变成三三分之二 x 后面不用乘啊， 后面不管伸缩的啊，这个就是什么？就是 g x 了。这个时候你只需要把四分之派一带就可以了啊。这是第一道来看第二道。这道题看怎么做 啊？我简写的啊，就是说我想要它变到它，我怎么变， 呵，完蛋了是吧。哎，在变成口在首先这个平移伸缩前提是你这个名称得一样，你不一样变不了啊，或者你有一些问题， 我得把名字得把它变成一样。那怎么能变成一样的呢？那就诱导公式呗，是吧。来，先把这个 sin 变成 cosine。 那 怎么办呢？我可以这么写啊，根号二倍的 sin x 加上四分之派，同学们，诱导公式 谁能改变名称？是不是那个 five 啊？后面那个 five 啊，那个 five 是 二分之派的基数倍不就变了吗？我怎么样？我得加上二分之派，但是你加上二分之派呢？你还得减去二分之派。所以说我减二分之派，我加上二分之派， 把它当成整体，这不就是 sine 二分之 pi 加上 r 法的形式吗？它是不是就等于变变名称变成 cosine 变成 cosine r 法是吧？哎，它是一倍要变名称，哎。 二分之 pi 加加上一个 r 角是第二项线，所以 sine 是 正的，所以变成 cosine， 它四分之 pi 减去二分之 pi 是 负四分之 pi。 哎，这一回啊，你把它变到它会不会了？向左平移四分之派，把 s 就 换成 s 加四分派了，向左平移四分之派 就把它负四分派弄没了。啊，好了啊，这个呢，就是这个三角函数图像变换啊，其实 你要把它理解透了真的不难啊，尤其就是很多人哪会哪里会出错呢？就这，当你吸收不唯一的时候，你进行平移的时候一定要把它提出来，要不然必错。