2026数学山东立体几何答案

本卷贴合山东新高考命题风格，覆盖集合复数、向量数列、圆锥曲线解三角形统计、立体几何、函数导数等高频考点。选择题侧重基础运算与逻辑判断。第一题考察集合补集与并集运算。 第三题明确向量贡献与平行的充分不必要关系。第六题利用正弦定理划边为角求得角 a 为派写杠。三 选择题结合独立性检验空间几何与三角函数性质，考察综合分析能力。填空题涉及向量模长、双曲线、渐近线、结缘弦长竖列求和，注重计算技巧，解答题梯度清晰。四、 棱锥空间向量正垂直求二面角解三角形与椭圆，综合考察几何运算、函数导数围绕单调性切线与不等式证明压轴概率题结合分布列与地推竖列整体重基础强思维，适配山东高考难度，适合考前查漏补缺。规范答题步骤，需要答案解析评论区领取。

好，各位同学，我们今天分析一下二六年济南二模第十八题 最后一问，我把图画在这了， 看着这图，咱们能不能发现 o 点是 a b 的 中点， 说明 a p b 的 面积是 a p o 面积的二倍，同样这边也存在这个二倍关系，而根据 它的证明， m 点是 a o 的 中点，也是 p b p k 的 中点，知道 a p o q， 这是个平行四边形， 所以我们会发现所求的四边形的面积，那是四倍的 s， 三角形 p o q， 所以 我只要把三角形 p o q 的 面积表达出来就完了。 好，这个题目我们就重点去分析三角形 p o q 的 面积， 咱们看怎么去分析。 首先设直线 p q 的 方程为 y 等于 k 二 x 加 m， 且 p q a 三点坐标依次是它 由曲线方程，直线方程连理，这个过程我不去说到判别式，判别式，哎，一整理是这个东西 由 m 是 p k 的 终点，我们知道它是 o a 的 终点，也是 p k 的 终点，所以知道 x 三等于 x 一 加 x， y 三等于 y 加二， k 一 y 加二，比上 x 一 加 x 二，根据它们定值，知道是它 a 点在椭圆上带入椭圆方程，我这个两边同时除以 x 一 加 s 的 平方，得到下面的关系时，而它正好是等于这个带进来 得了这个东西。所以一简单的左边一通风，右边一对应的，该约的约，该笑的笑，发现一加二开二方等于四 m 方，所以判别式也就有了。 嗯，为什么找判别式？找它式解决问题是关键。三角形 p o q 的 面积， q k 的 面积，我发现 p 点坐标 x 一， y 一， q 点坐标 x 二 y 二，我又发现它，哎，与 y 轴交点 是零 m， 所以 我可以选择以它为底，以它为底，横向距离 x 二减 x 一 的绝对值是高。 这时候只需要把咱们的伟大定律的东西判带进来，化解得到这个结果，那这个结果，这个结果我们不好花，不是不好花，它非常好花，怎么能非常好花呢？ 我不知道咱们同学们学没学过这样的东西，这个结果咱们可以这样去操作。怎么去操作？ x 一 l 为方程， ax 方加 b， x 加 c 等于零的两根二次一元二次不等式， 这必然有 x 一 加 x 等于负的 a 分 之 b， x 乘 x 等于 a 分 之 c， 所以 我们发现 x 一 减 x 的 绝对值， 等根号下， x 一 加 x 二的平方减去四倍的 x 一 x， 如果把它们带进来，你会发现点东西，负的 a 分 之 b 的 平方减去 a 分 之四 c， 要想整理，那就是 a 的 绝对值根下对头。 所以在做这一个最后这个结果的时候，在这个结果的时候， 这虽然我这写了，但我没有往这里面带啊，我直接带着它，直接带着这个东西，所以我就写成了二分之一 m 的 绝对值乘以跟下递减，递减，递减是六 m 方， 这是二次项系数，二次项系数在这里啊，我把二分之一加 k 二方带进来，所以这个二和这个二分之一乘，它等于一加二 k 二的方根六 m 方， 一加二 k 的 方等于四 m 方。带进来，所以直接写四分之根六，这是它的计算过程， 这是我们的啊，这一个第，这是几题嘞？十八题的最后一问， 他的做法，希望他们能够学会这种处理方案。

好，各位同学，咱们今天接着分析济南二模二六年济南二模第十一题， 已知正四面体 a 一 a 二 a 三 a 四，它的棱长为五倍的根。我先把这个图做出来， 这个正四面体，我们看到正四面体的东西的时候，往往就想到要去把它放在一个正方体内做考虑， 现在咱们咱边走边看，棱长为五倍的根，红色的是五倍的哦，不，是五倍的根二，说明正方体的棱长，它是五。 a i 在 平面二法 i 内，并且二法一平行于二法四，那你说 a 一 点在二法一内， a 四点在二法四内，二法一和二法四两个平面是平行的，而 a 二 a 三这两个点是加在二法一、二法二这两个平行平面之间的两个点。 现在用 d i g 表示二法二和二法这两个平行平面之间的距离。 看一下你的分析全要 a 外接球表面积外接球，这个外接球和正方体的外接球它是同一个， 所以正方体的外接球那个直径是五倍的根三， 五倍的根三，那是二二的四拍二方平方，所以选项 a 正确，那就说选项 a， 它是一个送分的选项，必须得拿到 选项 b。 选项 b 在 alpha 一 和 alpha 四之间的距离，这个距离怎么分析啊？那我们，哎，你拿两个平面 平行的，其实啊，你应该能看得到，最简单的就是左右两个平面或者前后两个平面的距离为五的，也就是说 第一式它可以等于五，而五比三分之根下呃三分之十倍的根下三要小，所以这道选项 b 是 错误的。 c 和 d 两个选项 c 和 d 两个选项。这怎么分析啊？这怎么分析啊？ 选项 c 选项 c a 二、 a 三都在平面二分内， 二法一和二法二平行，这平面该是什么样的平面呢？ 这两个平行平面之间的距离还是二倍的二分之五倍的根弦二， 而 a 一 a 二或者 a 一 a 三，那就是三角形。 a 一 a 二 a 三，这是个等边三角形，边长为五倍的根二。 那么这样的两个平行平面之间的距离恰恰是 a 一 a 二长度的一半。 两个平行平面， 两个平行平面之间的距离 恰恰是 这个长度的一半。那么我从这一个往下引垂线， 哎，显然我们可以看到 这个 a 二，那 a 三在哪里啊？ a 三肯定，反正在下面的二法二这个面内， 它正好等于二分之一， a 一 a 二，所以这个角它不就直接六分之八了吗？想想 c 正确， 想想 d， 想想 d 怎么分析？ 想想 d 的 计算，你应该这样去考虑。 我在这画出四个平行平面来， 哎， 当中间该有虚线啊，在最上方 a 一 点，最下方 a 四点。 a 一、 a 四连线，你们琢磨琢磨他们和阿尔法二、 阿尔法三 这两个平方是不是和这个线段 a、 e、 a 四都有交点，交点我定为 b 二和 b 三。 现在咱们再仔细读选项 d 啊，二法一、二法二、二法三、二法四，依次排列成两两平行满足这个东西，那是不是在告诉你， a 一 b 二、 b 二、 b 三、 b 三、 b 四之间的比值分别，那叫二一二。也就说我们要把 a 一、 a 四之间的线段长短分成五段， 不是分成五段，是分分成三段、三段上下两段占两份，中间占一份二二一二吗？ 看到这里，咱们同学们就应该可以想到了我这个题目该怎么去处理。 我首先首先把下面的 a 一 a 四这一条分成三分 分三对 b 二和 b 三，也就是说 r 法一、 r 法二、 r 三、 r 法四这四个平行平面，它的走向我现在能确定了。怎么能确定？因为 a 二和 b 二同在 r 二面内， a 三、 b 三也在这个面内， 那么那么现在我们的向量 b 二、 a 二、 b 三、 a 三，它就是与平面 r 法、 r 法几都行了，因为它们是四个平行平面嘛，与平面 r 法一平行的两条线段 或者两个向量，这叫共面向量。所以选项 d 的 计算，那就建立空间直角坐标系， 楞长为五。我们分别写出 b 二、 a 二、 b 三、 a 三以及 a 一、 a 四这几个点的坐标。 利用利用 b 二、 a 二的向量和 b 三、 a 三的向量，利用这两个向量来确定平面二分一的法向量。 计算过程我不去写了，因为咱们啊，求平面法向量的方法大家都会，当求完平面的法向量以后， 我们就借助 借助 a 一 a 四的长度 以及平面的法向量之间来计算 这个 a 四 o 这个点也是两平行平面之间距离，那就能够验证出选项 d 是 正确的，这是它的方法。我只讲方法，不讲计算过程了啊。

好，我们来看下一个问题，如图四边形 a、 b、 c、 d 与 a b、 e、 f 呢，都是直角梯形，这里这两个字母我标反了，现在呢，我已经标注出来了，这个是 e 啊，这个是 f， 并且平面 a、 b、 c、 d 垂直于平面 a、 b、 e、 f。 当我们阅读一个题目的时候，读到这个位置，你就要发现这是一个非常非常关键的题目信息，你要敏锐的捕捉到这个题目呀，他在考我们面面垂直的性质，那么我们第一步一定要先找到这两个平面的交线， 现在这个交线呀，他就是 ab， 那 么哪条线垂直于 ab 就是 我们接下来要找的关键信息。 接下来他说 abcd 与 ef 是 互相平行的， cd 的 长度呢是一， ef 的 长度也是一， ab 是 二， ab 是 二， af 呢也是二。 b， a d 与 b a、 f 这两个角都是直角。好，读到这样的时候我们就发现了哦，这里边的 a、 f 以及 ad， 它们两个都垂直于交线 ab， 那 就说明 a、 f 垂直于下表面， ad 呢垂直于内表面。 第一问让我们去证明 bce 垂直于 af， 那 这就非常的简单了，因为 af 呀，它已经垂直于线表面了，它自然呢就垂直于啊 bc， 所以 第一问非常的容易。我们再来看第二问， 让我们去求平面 acf 与 bce 夹角的正弦值， 那么这是一个求二面角的问题，我们要先建立空间直角坐标系，那这个题解析就非常非常的简单， 直接，以 a 点为坐标原点，这个为 x 轴，这个为 y 轴，这个为 z 轴。那么我们把坐标写一写， a 点呢，自然就是零零零， c 点呢？ 二一零 f 点零零二， b 点零二零 e 点零一 二，这样的话呢，你只需要写 a， c， f 以及 b， c， e， 把法向量都给它写出来，然后呢，去求正弦值就可以了。注意啊，是要求正弦值这个题目呀，我们着重要讲的呢，是它的这个第三问， 这个第三问呢，勉强呀，也算是一个新的问法吧，就是说它把向量的这个考法更加具体化了。 第三问，他说如果空间当中存在着一个点 q， 并且呢，他满足 d q 向量等于喇么的倍的 d f 向量，再加上一个六倍的 b b 向量， 喇么的与六呢，都是属于 r 的， 并且呀， a q 它是垂直于平面 b c， e 的， 让我们去求这个 a q 的 长度。 由于第二问之中啊，我们已经建立了空间直角坐标系，那我要想求 a q 的 长度，有一个最简单的方案，就是我要是知道 q 点的坐标， 由于 a 点它是坐标原点，那么 a q 的 长度自然等于 x 方加 y 方加 c 方，再开根号就可以了。所以说，我们关键呀，是要把这个 q 点的坐标呢，它满足的合金， 它满足的核心条件就是 d q 向量等于喇么的 d f 加上 m 倍的 d b。 那 刚才我们写了 d 点的坐标呢，它是二零零，所以说这个 d q 向量 就等于 x 减二 y z， 而这个 d f 向量 等于负二零二，而 d b 向量呢，负二二零。那我们知道 d q 等于喇么的 d f 加上缪倍的 d b， 也就是 x 减二 y z， 它等于喇么的乘以一个 d f， 也就是负二喇么的，然后呢，再加上一个缪倍的 d b， 也就是负二缪 二缪零。于是乎呀，我们可以得到这样一个方程，就是 x 减二，它就等于负二栏的减二缪， y 呢，它就等于二缪，而 z 呢，就等于二栏的。 从现在我们得到的这个方程来看，我们是没有办法把这里边的阿拉伯和缪呢给它求出来的，因为啊，这里还有一个条件，就是 a q 向量垂直于平面 b， c、 e， 这就说明呢， a q 向量是平行于 b， c， e 的 反向量的，这个 a q 向量呢，它就是 x y， z， 而这个 b、 c， e 的 反向量，我们在第二问当中呢，是可以把它算出来的，它就是 一二一。于是乎呀，我们还可以得到这样一个方程，那就是 x 等于 y 比上一个二，然后呢，再等于 z， 那么我们去解这几个方程就会得到呢，喇么的是等于四分之一，而缪呢，是等于二分之一的。然后我们再把这里的喇么的和缪啊给它 带回去，我们就可以得到每一个点的坐标，这里的这个 z 呢，它就等于二分之一，而 y 呢，它就等于一，那 x 呢，它就等于 二分之一。有了这三个坐标，我们再求 a q， 那 就非常非常的容易了。那这个题目呀，其实呢，它的本质还是比较简单的。 再来看下一个问题，把一副三角板按照如图所示的方式呢进行拼接， 告诉我们， ab 的 长度呀，是二倍根号六 ac 的 长度呢，也是二倍根号六角 bc， 这个呢是九十度角， bcd 呢也是九十度， 这个角呢是三十度。然后呢，把这个三角形 abc 沿着这个 abc 的 这个位置，并且呢让这个二面角呀为直二面角， 也就是说这两个平面呢，现在处于互相垂直的状态，我们又一次得到了这个互相垂直这样一个信息，那既然还是互相垂直的，那么我们还是要搞定交线呀，就是 bc， 谁垂直于 bc， 这是非常非常重要的一个信息。 左边这个图当中呀，我们可以分析到就是这个三角形 bc， 它是一个等腰直角三角形， 既然他是等腰直角三角形，那么我们很容易想到，我可以找到他的这个中点，假设这个中点为 o， 那 反映到右边这个图上，他就是这样的这个点呢，就是 o， 很 明显这个 p o 呢，他就垂直于 bc， 那 p o 垂直于 bc， 他 自然就垂直于平面 b、 c、 d， 它垂直于平面 b、 c、 d 自然垂直于 b、 c、 d 之内的所有线。第一小问，让我们证明 p b 垂直于 p c、 d， 现在我们知道的是 c、 d 是 垂直于 b c 的， 而这个 c、 d 呢，还垂直于刚才我们找到的这个 p o。 把这两个信息放在一起， c、 d 呀，它就垂直于这个平面 pbc， 那 它垂直于平面 pbc， 它就一定垂直于 pb。 而由于这个三角形 pbc 啊，它是一个等腰直角三角形，所以这个 pb 呢，还垂直于 pc， 那 我们把这两个信息放在一起， pb 既垂直于 cd， 又垂直于 pc， 它自然呢就垂直于平面 pcd， 这是一个非常容易证明的问题。 第二问，让我们去求这个点 c 到平面 p b d 的 距离， 这个题目呢，我们还是可以用两种方法加以解决。第一种方法当然就是建立空间直角坐标系，这种计算方式还是比较简单的，我们以 o 点为坐标原点，然后呢， o、 b 作为 x 轴，然后啊 做 c、 d 的 这个平行线，这个东西作为 y 轴，那这个东西啊，作为 z 轴，然后把 c、 p、 b、 d， 它的坐标都给它写出来。那这个 c 点，它的坐标呢，我们可以到左边的这个图当中进行计算， 这里这个 bc 的 长度呢，它是四倍的根号三。所以说这个 c 点的坐标呢，就是负二倍根号三， 零零 d 点的坐标 c、 d 的 长度呢，它是等于四的，所以说呀，它就是负二倍根号三，四零 b 点的坐标二倍根号三，零零 p 点的坐标呢，那自然就是零零 二倍根号三。那接下来啊，就是找什么法，向量之类的，用点面距距离公式进行计算就可以了。 方法二，还是使用等体积转化法。我们先来算这个 p、 b、 c、 d 的 体积，那它的这个体积啊，可以用三分之一 s， 三角形 b、 c、 d， 然后再乘以一个 p o 进行计算。 同时呢，它的这个体积啊，也可以用三分之一 s， 三角形 p、 b、 d 乘以我们要求的那个距离 h， 这个 p、 b、 d， 它的面积还是非常容易求解的，因为这个 p b 的 长度呢，是 二倍根号六，这个 b、 d 的 长度呢八。而 p d 的 长度呢，也非常容易算。在这个三角形 p、 c、 d 当中，使用勾股定律就可以算出， p d 的 长度呢，是二倍，根号十。 那么我们写出来之后就发现，哎，这三个长度呀，它正好是符合勾股定律的，所以它这个长度呢，就可以写成二分之一 p b 乘以一个 p d， 于是乎呢，用等面积法，它等于它就可以把这个 h 给它求出来，这是第二种方法，也是比较简单的。接下来呢，我们来看它的这个第三问问， 在这个线段 p d 上是否存在着一个点 e， 使得呀，这两个二面角所成的这个余弦值为二十八分之，根号十四。如果存在的话，让我们去求这个 p e 比上 p d 的 值， 那这又是一个探索型的问题。其实这种问题它非常非常的简单，它唯一的难点就在于这个计算量稍微有那么一点点大上，我们直接设这个 pe 向量是等于喇么的倍的 pd 向量的，然后呢点 p 的 坐标，刚才我们已经写过了，是零零二倍根号三，这个点 d 的 坐标 负二 b 根号三四零。我们先假设这个 e 点呢，它是 x y 以及 z， 于是乎这个 p e 向量自然就是 x y， z 减去 二倍根号三，它等于喇么的倍的 p d 向量，也就是负二倍根号三四，负二倍根号三，那么 x 呢，就等于负二倍根号三，喇么的 y 呢就等于四喇么的，而这个 z 呢，就等于负二倍根号三，喇么的再加上一个二倍根号三。这样的话呢，我们就找到了这个一点的坐标， 接下来你只需要用这个一点的坐标去写它这个法向量，然后呢就可以完成。对于这个问题的运算还是很简单的，只要耐心细致的去算，很容易知道答案的。那本题的最后答案是栏目的等于七分之一，同学们可以自行计算一下。 接下来呢，我们来看一个以圆台为考察背景的一个问题，如图，圆台的上下底面圆，心分别为 o 一 和 o 四边形 abcd 为下底面圆，它的内接正方形，并且呢， ab 等于 o 一， o 二是等于二的， e 和 m 呢，是上底面 o 一 和 o 二上的两个点，这里有一个 m 点，这里有一个 e 点， f 呢是 bc 的 中点，并且满足条件， abe 垂直于平面 abcd。 那 这又是一个面面垂直的问题，我们一定要找到交线，那交线显然就是 ab 了。 从我们目前知道的条件，我们知道底面它是一个正方形，那就是说 ad 垂直于交线， bc 也垂直于交线，所以 ad 和 bc 它们分别垂直于平面 abg。 而这个题他又告诉我， e a 跟 e b 是 相等的， e a 和 e b 相等，就说明三角形 e a b 它是一个等腰三角形，那等腰三角形又出现了三线合一的问题，我肯定是先想法找到这个 a b 的 中点， 我找到这个 a b 的 中点，向下一连，假设这个中点为 h 吧，那这个 e h 自然呢，也垂直于 a b， 它就垂直于下表面。 第一问，让我们证明 a f 是 垂直于 d e 的 这一问呀，它的核心考法其实呢，就是三垂线定义 一条斜线，他想要垂直于平面内的一条线，就需要平面内的这条线垂直于他的投影线。 刚才啊，我们过 e 点向下表面做的这个 e h 就 已经找到了 e 点在下表面的投影。那接下来呢，我们把这个 d h 呀给他连接起来，现在呢，我们把这个底面图形呀给他画出来。 这种证明垂直的方式呢，我们称之为交叉垂直，他用的原理呢，也是非常非常的简单的，并且呀，非常非常多的次数出现于各种形式的考试题目之中， 那么我们把这个底面图形呀先给他画出来，这个点呢是 h 点，这个点呢是 f 点， 我们怎么去证明 a f 和 d h 是 互相垂直的呢？这个方案非常非常的简单，我们只需要去证明这个角的正切值与这个角的正切值是互为倒数的即可。 我们已经知道下表面是一个边长为二的正方形，那就说明这个边等于二， a h 这个长度呢是等于一的，所以说这个弹性的角 a d h， 它就等于对边比邻边，也就是一比二，而这个弹性的角 d a f， 我们这样给他连接一条辅助线，当然呢，你也可以去求这个角，因为他俩是相等的，那么他的正切值等于对边比上邻边，自然呢是等于二比一的，一个是一比二，一个是二比一， 他们两个互为倒数，所以说这个角与这个角是互余的，那么这个角就一定是九十度， 于是乎呀，这个垂直就非常非常的容易了。我们已经知道 e h 是 垂直于下表面 abcd 的， 那么 e h 就 一定垂直于 af， 而我们又知道 d h 也垂直于 a f， 那 就说明 a f 呢，它是垂直于平面 e h d 的， 那么它就一定垂直于 d e， 这样的话呢，我们就完成了对第一问的证明，第二问，第二问，让我们去求圆台的体积，那这个还是非常的简单的，因为呢，我们是有圆台的体公式的， 我们只需要把下表面的半径以及上表面的半径呢都给它求出来就可以了。那下表面的半径很简单 o a 啊，它就是等于根号二的，那上表面的这个半径呢？它其实呀，就等于这个 h o 这个长度，那 h o 这个长度是等于一的，所以说上表面的这个半径 r 一 等于一，那 r 二呢，是等于根号二的，我们直接带到体积公式里头， v 就 等于三分之一派 乘以一个 r 一 的平方，加上 r 二的平方，再加上 r 一， 乘以一个 r 二，然后呢乘以它的这个高 h， 也就是这个 e h， 而这个 e h 呢，它正好是等于 o o 一 的，也就是等于二往里边代入，就可以得到它的这个体积。 接下来我们来看这个第三问，如果直线 f m 与平面 a d e 所成的这个角的正弦值为十分之三倍的根号十，让我们求点面距。 嗯，这一问呢，其实它的融合程度还是非常非常的高的，它属于呢，就是把平面解析几何和立体几何呀，给它融合到一起进行的一个综合考察。 呃，很多同学在解决这个问题的时候呢，因为我前面证明的这个过程啊，引入了一个 e h 这样一条直线，很多同学就会思索，哎，我能不能在 h 这个点去建立空间直角坐标系呢？ 因为这里上表面的这个点 m 呀，他并没有一个固定的这个位置，如果我们用 h e 去当坐标轴 z 的 话，就不太容易引入这个 m 点的这个参数值。所以啊，我们在解决这个问题的时候呢，还是要按照我们一般性质的处理原态问题的基本思路，那就是拿着这个 o o e 去当这个 z 轴，而 x 轴和 y 轴的选择呢，方法呢有两种，一种方法呀，是这样，我把 a c 和 b d 这两条线给他连上，因为呀他们两个都是正方形的对角线自动呢，就是垂直的，我就可以以这个当 x 轴，以这个当 y 轴，这是一种间隙方案，还有一种间隙方案也是比较容易想到的，那就是我这样去选择 x 轴，这样呢去选择 y 轴，这两种方案都是可以的，但是呢，还是以这个 o o 一 当 z 轴啊，这种方法是比较容易的， 因为刚才我说了这个题目他最大的难点就是把平面解析几何和这个空间向量进行了一个融合性的考察，我们关键呢要搞定这个 m 点的这个坐标，那 m 点的这个坐标我怎么搞定他呢？现在呢，我们就观察这个上表面， 它是一个半径为一的单位圆，这个 m 点呀，它就是单位圆上的一个动点。那么由平面解析几何的知识知道单位圆吗？我们在引入它参数的时候，只需要让它的横坐标为 cosine， 纵坐标为 cosine 即可，由于它的高度呢是二，所以它的竖坐标呢就是等于二的。这里我们之所以没用 x y 二这样的这个坐标形式进行运算，是因为你用了这个形式之后呀，最后还是需要用 x 方加 y 方等于一这个圆的方程，然后呢去解方程，那都是解方程，三角方程，他肯定要比 普通的那种方程要容易解一些，所以呢，我们把这个 m 点的坐标呀这样进行设是相对而言比较容易的。那现在呢，我们有了这个 m 点的坐标，我们再把其他点的坐标给他写出来，此时这个 a 点的坐标呢就是一 负一零，这个 d 点的坐标呢是一一零，而这个 e 点的坐标呢是零负一二， f 点的坐标呢是负一零零。把这些点的坐标都给他写完了之后呀，然后我们去搞定这个 a、 b、 e 这个平面的法向量，我呢就不去进行具体的运算了，它的法向量算完了之后呢，是二零一。好，那现在呀，就是 f m 向量，我们也给它写出来， 等于 cosine 加一 cosine 二 f m 向量与这个法向量的这个夹角呢，正弦值算阿了法， 那当然就等于向量与向量之间夹角的这个余弦值了。横乘横，纵乘纵，竖乘竖。上面啊就是二 cosine 加上一个四，下面呢是模，一个是根号五， 另一个呢就是 cosine 加一它的平方，加上 cosine 的 平方，然后再加上一个四，这个位置整理完了之后呢，就是六，加上一个二 cosine 右边呢是十分之三倍的 记号十。我们去解这个三角方程，解完了之后呀，他就是四 cosine 它的平方加上一个七， cosine 减十一等于零。再去解这个方程呢， cosine 它不是等于一的，它就是等于负的四分之十一的，那这个数肯定是不合理，我们直接给他舍掉， 那 cos 它，它是等于一的，那 cos 它自然是等于零的，那这样的话，这个 m 点啊，它就变成了一个固定点一零二，那我再去算 m 点到 a、 b、 e 的 这个距离，直接使用点面距距离公式就能给它算出来，最后这个距离呢是五分之二倍的 点五。这个题啊，只要在间隙的时候选择 o 一 o 二当 z 轴都是比较容易进行计算的下一个问题，这个题目呢是一道高考原题， 之所以把这个题目选出来，是因为呀，这个题目他在第一问的证明过程之中 非常非常的曲折，需要我们抽丝剥茧，层层递进的去分析每一个条件，只有你把每一个条件都分析到位了之后呢，他的这个证明才是一个水到渠成的过程。这和我们前面做的有些题目啊， 就大伤径庭，因为有些个题目我们用眼睛一看，大体上就能够明白他的思路，但这个题不然，他需要我们认真的去分析，把每一个条件都要分析到位。 首先呢一点，他是圆锥的顶点，这个条件看似简单，但是呢他的作用非常非常的大，因为顶点他在里面的投影正好是里面圆的这个中心， 同时它也意味着 b o 这条直线呢，它是垂直于整个这个圆面的， o 是 底面圆心， a e 呢是直径，并且呀 a e 跟 ab 的 长度是相等的， 底面直径与母线的长度相等。这就说明如果我们从侧面去观察这个圆锥的话，我们会发现这个圆锥的这个结面呢，它本质啊是一个等边三角形， 这三个位置的长度呢，都是相等的，并且呢这个角呀是等于六十度的三角形， abc 呢是底面圆的内接正三角形，那么我们把这个底面图形给他画出来，这里呢有一个内接的正三角形 abc， p 呢是 d o 上一个点，并且呢有这样一个非常古怪的信息， p o 等于六分之根号六倍的 d o， 这个条件它很关键， 而且呢，我们一眼看过去，并不知道这个条件它到底是怎么用的。第一问，让我们去证明 p a 是 垂直于平面 p b c 的， 我要证明线面垂直，我一定要能够证明 p a 呢，是垂直于平面 p b c 之中的两条相交直线的。 然而我们从目前分析的这些条件来看啊，没有得到任何一条跟垂直有关的信息。所以啊，我们要对这些条件呢进行一个重新的梳理。 a e 啊，它是底面的这个直径， 那就意味着 a e 这条线与 bc 这条线呢，他一定是互相垂直的，这是由垂径定律的性质知道的，这个位置是一个直角。现在我们来分析 bc 啊，它垂直于 a e， 而 bc 呢，还垂直于 d o， 既垂直于 a e， 又垂直于 d o。 把这两个条件给它放到一起，我们就可以得到。 bc 呢，它是垂直于平面 ape 的， 那么 bc 自然就垂直于 ape 之内的所有线，它垂直于 ap。 这样的话呢，我们就得到了一个非常重要的垂直关系， ap 呢，他至少已经垂直于 pbc 中的一条线了，那么我们需要他再垂直另外一条线，那我另外这条垂线上哪去找呢？ 通常来讲，如果我们在做题的时候，这种几何性质的垂直呢，我们用完了，那接下来的垂直啊，通常来讲都是跟长度有关的。 这种垂直呢，我一般称之为勾股垂直，因为我要用长度去正垂直，那无外乎就是找直角三角形，那这个条件呢，它就会显得尤为的重要，这个 p o 等于六分之根号六 d o， 也就是说这个 d o 呢，它是等于根号六倍的 p o。 现在我们观察这个结面式图，这个 b o， 它的长度呢，是 p o 这个长度的根号六倍。现在呀，我们不妨假设 a o， 也就是底面的这个半径是等于一的，那反映到这个结面式图里边，就是这个 o a 这个长度呢，是等于一的，那 d a 这个长度呢，自然就等于二。 所以说这个 d o 这个长度呢，它就等于根号三。反映到这边来，那么 p o 这个长度呀，它就等于二分之根号二。 也就是说这个位置呢，它是二分之根号二。那么在三角形 p o a 之中， 使用勾股定律， p a 的 长度呢，就等于二分之六， 而 p c， p b， p a 这三条线啊，它的长度是相等的，为啥呢？因为这个点 p 啊，它是来自于这个轴上的这么一个点，那么你过点 p， 向着底面的这个圆去做三条线，那这三条线的长度肯定是相等的，所以说这个 pc 的 长度呢，它也等于 二分之根号六。我们再观察底面圆的这个矢图，这个位置是 o， 如果这个位置是一的话，那么我们去做这个垂线去，很显然这个位置是二分之根号三呀，那么就说明 a c 的 长度呢，它是根号三。 现在我们观察三角形 p a c 这里边 p c 的 长度二分之根号六。 p a 的 长度二分之根号六，而 a c 的 长度呢，是根号三的 这个的平方，加上这个的平方，正好等于这个的平方，也就是说 ap， 它是垂直于 p c 的 三角形。 p a c 呢，它是一个等腰直角三角形，所以说 p c 也是垂直于 pa 的， 那结合刚才我们得到的 bc 也垂直于 pa， 所以 说 pa 这条线它就垂直于平面 pbc， 那 有了这个第一问作为支撑，我们再来看它的第二问啊，就要容易的多，让我们去求这个二面角 bpc 一 的余弦值，那就是搞定这几个点的坐标就可以了。 所以说呢，我们只要选择合理的方式去建立这个空间直角坐标系就 ok 了。那么这个位置呀，那肯定是当仁不让的这个 z 轴了，那我 x 轴和 y 轴怎么去搞定它呢？哎，我们可以用这里的 o e 当这个 x 轴，然后呢过 o 点去做这个 b c 的 平行线，用这个线去当这个 y 轴就可以了。剩下的呢，我们就是写这个坐标，这个坐标还是比较容易写的，我们写一下这个点 b， 自然就是负二分之一， 二分之根号三零点 p 零零，二分之根号二 点 c 呢，他跟点 b 啊，是对称关系，负二分之一，负的二分之根号三零，这个点 e 呢是负一零零。把这四个点的坐标写出来，剩下所有的认为啊，都变得非常的简单了。 最后呢，我们再来看一个以三棱台为命题背景的立体几何问题，如图，在这个三棱台之中， ab 呢，是垂直于 bc 的 这个图呀，他看起来非常非常的别扭，因为呢，他这个直角呀，放在这个位置， 这个位置啊，从我们的这个视觉直觉之中呢，总是感觉他不是很垂直，所以说对于这种非常别扭的这种题啊，我们要注意提防这种阴险的角度， ab 等于二 a 撇， b 撇等于四，下面的棱长呢是四，这个棱长呢是二， bc 呢是四倍的根号二 m 和 n 分 别是 a、 c 和 bc 的 中点，并且呢， an 垂直于 b 撇 n。 第一问，让我们去证明 a 撇 m 平行于 ab 撇 n。 对于这种线面平行的证明呢，我们第一选择肯定是在平面之内寻找一条线，然后让这条线去跟 a 撇 m 平行。那么我们观察这个仕图最容易想到的线呢，其实就是这条线。 我们假设这个为 p， 这个为 q， 现在呢，我们只要能够证明 a 撇 m 是 平行于 p q 的 即可。 我们先观察这个点 p， 因为这个几何体啊，它是一个三棱台， 三棱台呢，就意味着 ab 一定是平行于 a 撇 b 撇的。并且乞丐之中明确告诉我们， ab 比上 a 撇 b 撇呢，是等于 二比一的，那这就说明这个 p 点它一定是一个三等分点，也就是说 ap 比上 p b 片一定是等于二比一的。 同时呀，由于 m 和 n 分 别是 a、 c 和 b c 的 中点，那就意味着 m n 平行且等于 ab 的 一半。 m n 它是一个中位线，那就意味着 ab 比上 m n 等于二比一。那么我们就能够知道 q 点呀，它也是一个三等分点，所以说这个 a q 比上这个 q n 也是等于 二比一的。于是乎，我们就可以知道这里的这个 p q 呀，它一定是平行于 b 撇 n 的。 又由于 m n 平行且等于 ab 的 一半，那就说明 m n 平行且等于 a 撇 b 撇。 那么这个四边形 m n b 撇 a 撇呢，它是一个平行四边形 p q 平行于 b 撇 n， 那 么 p q， 它就一定平行于 a 撇 m， 所以 说 a 撇 m 呢，就平行于平面内的一条线，那么这个平行呢，就正完了。 当然了，这个题目呢，我们还有第二种证明方案，就是我们可以通过构造面面平行来证明线面平行。怎么构造呢？我们找到这个 n c 的 终点，假设这个终点呢，是点 p， 再找到这个 b 片 c 片它的中点 q， 然后我们顺次连接，把这个 p q 给它连上，然后呢，再连接这个 a q。 现在呢，我们观察这两个平面 m p 啊，它是 a n 的 中位线，所以呢，它是平行于 a n 的， 而这个 p q 呢，它又平行于 b 片 n。 同时呀，由于这个 p q 与 mp 呢是相交状态， a n 与 b 撇 n 也是相交状态，那就说明一个平面之内的两条相交直线，平行于另一个平面之内的两条相交直线，那么这两个平面自然就是平行的，那两个平面都平行了，那 a 撇 m 作为一个平面指定的一条线，它自然呢就平行于另外一个平面，这是第二种正法。接下来呢，我们来看它的第二问，让我们证明 ab 撇 n 是 垂直于 a 撇 b m 的， 那既然是证明面面垂直，我就需要在一个平面之内呀，找一条线，让他去垂直于另外一个平面。显然呢，这里呀，有这个垂直信息 和这样的这个长度信息，他是可以辅助我们完成对于这种问题的证明的。但是呢，这个垂直信息我们看着呀， 他还是很直接的。如果在第一问的证明过程之中，我们连接了这个 p q 这条辅助线的话，那么我们就知道这里的 a n 是 垂直于 p q 的， 这是一个非常重要的垂直关系，但是只依靠这一个垂直关系，我们没有办法完成后续的证明。 对于这种问题，通过前面几个问题啊，我们已经形成了一个比较良好的解决他的这个思路，就是当我对某一个问题看的十分不清楚的时候，我们一定要把他的这个底面给他画成一个平面图形，仔细研究这个平面图形的特点。 他这个平面图形刚才我说了，他非常非常的别扭，他故意把这个直角放在这个位置，我们从直观视觉上是没有办法直接看出特定的垂直关系的。没关系，我们给他画成一个平面图形 abc， 这里的 m n 啊，它是中点，那么我们把这个 a n 这条线给它连上，这个呢是四 b n， 这条线呢，它是二倍的根号二， 然后呢，我们再把这个 b m 给它连上。现在我们研究一下这个角它的正切值，我们不妨记这个角为角一盘前的角一， 由于 m n， 它是中位线，所以这个位置是直角，它自然就等于 m n 比上 b n， 也就是二比上二 b 的 根号二，这个东西呢，等于一比根号二，我们就不去化简了。接下来呢，我们再来研究这个角， 也就是这个角 b n a 弹它角 b n a 这个正确值呀，它正好等于 ab 比上 b n， 也就是四比上二 b 的 根号二。算完了之后呢，我们发现它正好等于根号二， 那这就说明这两个角的正切值是互为倒数的，它们相乘等于一，那这两个角一定就是互余的。也就是说这里的 b m 和 a n 呀，在这个位置它是垂直的，那么 a n 同时还要垂直这个 bm， 我 们把这两个垂直信息给它放到一起，就很容易得到。 a n 是 垂直于平面 b p q 的， 而这个平面 b p q 呢，它恰好就是平面 b m a 撇，而 a n 这条线，它又恰好在平面 a b 撇 n 之中，所以说这两个平面呀，就是互相垂直的。 这一问其实还是非常非常的难想的。他要求呀，我们有良好的解析习惯，一旦我们研究某一个问题啊，觉得他走到了一个死胡同的时候呢，一定要把他这个底面画成平面图形，仔细去对他进行研究。接下来我们来看他的第三问， b 撇 b 等于 c 撇 c 等于根号六，让我们去求 a b 撇 n 与 abc 所夹角的正弦值。 那这个题目做到这的时候呀，你可以发现就是这个三龙台，它其实是一个非常非常奇怪的三龙台，那这个奇怪的三龙台，我们想要通过建立空间直角坐标系的方式去确定一些点的坐标值呀，这本身其实是非常非常的困难的。 这个题目呀，我们就不能从空间直角坐标系的这个角度再继续向下思考了。 在第二问之中，我们证明了一个非常非常关键的信息，就是这两个面互相垂直，而且呢这条辅助线是非常非常之重要的一个辅助线。那么 第三问，让我们去求这两个平面所夹角的余弦值，而这两个平面他们的交线恰好就是 a n 这条线。 从二面角的平面角的定义出发，如果我们能够在两个平面的交线上 找到一个点，过这个点，向着这个平面去做一条线，过这个点向这个平面去做一条线，这两条线都跟这条已知的线是垂直的，这个位置是直角，这个位置是直角，那么我们就找到了这个二面角的平面角。 而在第二问的证明过程之中，我们已经证明了这样一个事实，那就是 p、 q， 它是垂直于 a、 n 的， b、 q 呢，它也是垂直于 a、 n 的， p、 q， 它恰好在平面 a、 n、 b 撇之中， b q 恰好在下表面 abc 之中。所以说，我们要找的二面角的平面角，要么就是这个角 p、 q、 b， 要么呢就是它的补角。当然了，我们要先集中完成对于这个角的运算上来。 题干告诉我们，这个 c、 c 撇的长度呢，是根号六，那就说明啊，这个 b 撇 n 的 长度呢，也是根号六。这个前面我们已经分析过了，它是一个平行四边形， 而 a、 n 的 长度呢，是等于二倍的根号六的。于是乎，由勾股定律我们就可以得到，这个 a、 b 撇的长度呢，是等于根号三十的。 现在呢，我们分析左面的这个平面，也就是这个 a、 b、 b 撇 a 撇，我们把它单画出来， a、 b 的 长度是等于四的， b、 b 片的长度是等于根号六的， a 片 b 片的长， a 片 b 片，它的长度呀是等于二的。 而现在我们又知道了，这个 a、 b 片的长度是根号三十。那么我们就可以啊，用余弦定比，把这个角的余弦值给它算出来， 这个余弦值 cosine 角 a、 b、 b 撇就等于十六加六减三十，比上二乘以四，再乘以一个根号六，也就是负的六分之根号六。 于是乎我们就可以知道，当我们把这个位置给他连接起来的时候，这个角的余弦值呀，他一定是等于六分之根号六的。 我们假设 a 撇 b， 这个长度是 x， 那 么六分之根号六，就应该等于四加六减 x 的 平方比上一个二乘二，再乘以根号六。 通过这个方程，我们可以得到 a 撇 b， 他的长度就等于编号六。而在第一问之中，我们已经确定了，这个位置与这个位置的长度之比呢，他是二比一，于是乎我们可以得到 b p， 它的长度就等于三分之二倍的根号六。现在我们观察这个三角形 b p q， 在 这个三角形之中，我们已经搞定了这个 b p 的 长度， 这个 p q 的 长度也很容易知道，它是等于三分之二的一撇 n 的， 也就是三分之二倍的根号六， b p 呢？还是三分之二倍的根号六，那么我们只缺这个 b q 的 长度，而 b q 这条线呀，它是来自于底面的。我们再回到我们最开始画的这个底面图形之中， abc m n， 把这个位置给它连接起来，这个点呢，它就是 q 这里边呀， b q 的 长度除以这个 q m 的 长度呢，还是等于二比一的。而这个 b m 的 长度 很容易计算，因为 b n 的 长度呢，它是二 b 的 根号二，而这个位置呢，它是二。所以说这个 b m 的 长度呢，它是二 b 的 根号三， 于是乎这个 b q 的 长度就等于三分之四倍的根号三。那么我们要求的这个二面角的平面角，它的余弦值 cos 角 b q p， 它自然就等于 b q 的 平方，加上 p q 的 平方，减去 b p 的 平方比上二乘以 b q， 再乘以这个 p q， 把我们计算得到的所有的长度呀，都给它带入其中，这个值呢最后就等于二分之根号二， 那么我们要求他这个正弦值，因为余弦值啊，我们还需要去确定他到底是锐角或者是钝角，但正弦值就不需要了，他一定呢就等于二分之根号。

来，朋友们给大家录制一下高新区二模的一个几何压轴题， 其中我们着重讲解第三问一，二问就简单对一下答案。我们第一问的答案是， c、 f 等于二百的 d、 j 所形成的角度数呢？是六十度。第二问，大小是否发生变化？不变化， c、 f 仍然是等于二百的 d、 j 加角仍为六十度。 好，我们来进入到第三问，他说如图三，当矩形 a， b， c， d 子边 a 得等于 ab 时，这句话翻译过来什么意思呢？是一个正方形点，一为直线， c， d 上溢于 dc 上一点， 他竟然说直线，那你看一下这个位置是 e 是 位于线段，所以说我们可能会发现 e 是 在两个位置， e 在 线段 c 的 上或延长线上，以 a 为边，在 a， e 的 右侧做正方形 a， e， f， g， h 为正方形 a， e、 f、 c 的 对称中心 连接得 h， 若 a 得的值是等于四，得 e 的 值是等于二，求得 h 的 求长度。好，我们来看一下这个题， 这地方既然我们知道它是一个正方形的特性体，在什么位置呢？正方形的特性，只要一连对角线，他们就会出现什么等腰值。你比如说我连一条 bc 的是一个等腰值，我再连接 a、 c 的， 那也说这个题目当中出现了四个等腰值。而且我还知道这地方是一个垂直，这每个角度都是四十五度，只要正方形的独特性。 好，我们来看一下他让我进行求解一下。 d、 h， d、 h 长度很显然是不能直接求的，他肯定是要利用到三角形的相似那，而且这道题特殊点告诉我了一个，他是正方形连接这条线连接 ac h。 好， 那老师连这条线你发现什么东西？我发现两个三角形的 相似。老师，你为什么能这么快？反是因为我是从正方形的独特性的角度进入手。那老师，这地方为什么是相似？首先来就是 ac 比上 ad 等于对二， h 间作为这个正方形的对角线的一个交点。那我就可以知道一个问题，就是说 a， e 等于二。 好，它是等于一个 a， e 比上 a， 这两边乘比例。那老师这个夹角相等怎么进正？这是一个角一， 这是一个角二，这是一个角三。我知道角一加角二，是不是这个地方是一个四十五度角三加角二， 这个地方是不是仍然也是四十五度？这就我给大家说的正方形的独特性。所以说我就可以推出角一实际上是等于角三，而两边成比例且夹角相等，实际上我是可以证明两三角形的相，三角形 a 是 相似于三角形 a 的。 由相似。我发现一个问题，所谓的求 d h， 那 我就发现了什么 c， e 比上 d h 的 比值，它实际上是 a， c 比 a 的 比值是跟二， 因此我求得 h 的 长度，我只需要去把 c 的 长度搞定就 ok 了。但是我们来看一下 c 的 长度等什么东西呢？ 而 c 的 长度好像是等什么？是等一个 c 的 长度减得 e 的 长度， c 的 长度知道吗？知道， a 的 长度是四，它是什么图形？正方形 a 的 等于 c 的， 所以说它是等于一个 c， d 减 d 减得 e 就等一个四减二这样。所以 d h 它是不是等于一个二分之勾？两倍的 c 就 等于二分之根二乘以二等于。这种情况下，实际上我是在解的是什么？在线段 c 的 上，那我现在思考一个问题，除了在线段 c 的 上，它能不能在 c 的 延长线上？也能，那它的图应该长什么样？我们随便画一下，我现在用黑笔念过来，随便找一点，比如说这个地方是一个 e， 好，我们来进行画，首先是以 a、 e 为直角边做的什么？做的是一个正方形，我们画一个正方形，这点是一个 h， 好， 这么多，我发现一个问题，我去连接什么？连接 a c 和 h， 好， 那这种，那我们来看一下 能不能得到一个三角形呢？然也是可以的，我可以得到三角形 a， c， e 是 相似于三角形什么呢？ a 的， 为什么 我们也可以看？首先我发现第一个问题，就是 a c 比上 a 的 还是这样，它是等什么东西？它是等一个 a e， b， a， 这样，好，这个角度是四十五度，这个角度是一个角，一，对不对？我们再来这个角度也是四十五度，对不对啊？ 此时我会发现一个神奇的东西，角 c、 a、 e， 它是等于什么角的 a， 因为它们都是等于四十五度，加同样一个角， 两边乘比例，且加个相等。所以说我们可以推出两个什么三角形是相似于三角形 a 的 a， 那 相似完之后，还是仍然按照之前那 c 比上的 h， 他实际上是等一个 a， 比上什么东西啊？比上一个对不对？好，来看啊？那此时我知道 a c 比上一个 a 的 值，他实际上是等一个， 那这样的情况下，还仍然推出来一个问题的 h 实际上是等于什么？二，那 c 的， 我们知道 c 的 值是几啊？是四得一的值是几啊？二，所以说我会发现它是等于一个 c 的 加的 e， 所以是等一个 c， e 乘以一个二分之二。答案是，所以为 或好。那么来看一下这整篇题干里面它是有什么需要我们总结的点，或有需要我们进行获得启发的点吗？如果说它这个题目一旦告诉我们是一个正方形，我脑投了什么东西啊？投的是 对角线，因为正方形的独特性体现在哪？体现在他一连对角线，他就会出现什么指连着一个对角线，一个等腰指啪，一连角的就四个，然后再加上大的是不是就好几个？所以说这才是正方形的一个独特线，拜拜。

好，咱们听一下，看一下，呃，二零二六年聊城二模的第十一题，这个选择题的压轴题， 这个题目楞长为二的正四面体。当我们看到正四面体的时候，我们就去想正四面体的相关东西 点，撇是三角形 b、 c、 d 的 中心 m 点在平面 a， b、 c 内运动，平面内运动点 n 是 棱上的移动点。下来说法正确的是，那么我们在这儿 先来简单的回复一下，回顾一下，嗯，正四面体的相关重要的几个结论。 有这样几个 正四面体的重要结论，将棱长为 a 的 正四面体转化为边长为二分之根二 a 的 正方体的问题， 那我们再分析正四面体的高就变成了正方体，哎，这个体对角线的三分之二， 所以咱们知道这个正方体现在是二分之根二 a， 它指的是正方体的棱长，而这一个是 a。 现在，现在我们再看正四面体的体积啊，表面积，外接球半径、内切球半径， 相对论之间的距离以及正四面体的中心角高分成了三比一，相对论，互相垂直这八个重要的结论，希望咱们团队能把它解熟， 用上这八个重要的结论。头脑中你如果存在这些的话，咱们的选项，本题是除了选项 d， 其他很简单，咱们看这几个选项，选项 a， 选项 b 说 m n 平行于平面 m， n 平行于平面 b， c、 d。 就 看咱们下面画的这个图，画这个图 m n 平行于平面 b c、 d。 并且 a n 比 n d， a n 等于二 n 点是三等分点， 那这数的 m n 如果要和平面 b、 c、 d 平行的话，那 m 点的运动轨迹只能是这的 b e 啊 c e 为什么？唯一性定律，过点 n 与平面 b、 c、 d 垂平行的平面，尤其只要一个，这个平行平面就是现在画出的 b、 e、 c、 e、 n， 所以它与平面 a、 b、 c 的 交线 b、 e、 c、 e 就是 m 点的运动轨迹。 而这时候 am 大 小，我们知道 a、 b、 e、 c、 e 这是一个小小的正三角形， 而它在正三角形 a、 b、 c 内，显然这个距离最小值就是三分之二正三角形 a、 b、 c 的 高线。所以选项 a， 正确选项 a 正确。 选项 b， 选项 ab a n 比 n d 等于一，说明 n 点是 ad 的 中点 m n 垂直 ad。 那我们知道微型定律，过点 n 与 a、 d 垂直的平面，尤其只有一个，那根据我们的正四面体的呃，这些相关，我们知道我连接 b、 n 连接 c、 n， 那 我就知道 过点 n 与 a、 d 垂直的平面，这唯一平面就是 b、 c、 n。 换句话说， m 点现在是在 b、 c 啊这条线上运动， 以 m 的 运动轨迹找 m n 的 最小值， m n 的 最小值不就是 b、 c 的 中点 m、 o 与 a、 d 的 中点 n 之间连线了吗？这就叫啥？相对楞， 相对棱之间的距离二分之根二 a 本题中的棱长 a 是 二，所以 这个距离根正确，最要根二也正确。那选样 c 呢？选样 c 更简单， m 点是在平面 a、 b、 c 内， m 点在平面 a、 b、 c 内， d 点到平面 a、 b、 c 的 距离就是正四面体的高，而正四面体的高。三分之根六 a a 等于二三分之二倍的根六， 那我们知道三分之二倍的根六和根二的大小关系，三分之二倍的根六，他是比根二要大的， 它比根儿要大的。换句话说，换句话说，以点地为球心，以根儿为半径的球，它和平面 a、 b、 c 连公共点都不存在， 就是因为根儿小于正四面体的高。那你就别管 m 点 a、 m 和 p、 c 垂直，这这一条你都不需要，因为 m 点，它本身就在 a、 b、 c 内。 以 d 点为球心，以根儿为半径的球，连平行 a、 b、 c 的 哎， 都碰不到。平 a、 b、 c， 它怎么可能会有平 a、 b、 c 的 内的点，使得 dm 取最小值，这样呢？这不可能的，所以选项 c 是 错误。本题重点难点是选项 d， 选项 d， 我 们怎么去做分析？哎，我们学过和最小 啊，小何最小学过什么？学过将军隐马学过对称一样道理。这就找对对称这个题目 选项 d 的 处理方案。我们可以有这样一些一种像这似的，我画的这个图， 画的图， p 点放在底面 a、 b、 c、 d 内 p 点的中心嘛。我关于平面 a、 b、 c 的 对称点 p 二， 关于 a、 d 的 对称点 p 一， 连接 p 一 p 二，这是个最根本的，我把平面 a、 d、 e 画出来，向右边图中 这我建立了一个平面直角坐标系，我把这个 e 点坐标、 d 点坐标、 a 点坐标搞出来，然后利用对称 找出 p 点坐标和 p 点坐标，然后 p 一 片的距离。这也能做的出来，不过太麻烦，运量太大。一个选项 一个选项就这二分，我们算多长时间不打恰当。当然，呃，也有说啊，老师，我能不能算出呃这来，来个 愚蠢定谬啊。可以，他的运转量仍然很大。好，我们，我们今天我给你们分析一个另外一个方法。 怎么另外的方法？我仍然是画图看这儿，那个下面蓝色的，我给他勾造了一个相同的相同的正四面体， 那么 f 点就是 d 点的对称点。关于屏幕 a、 b、 c 的 对称点，我连接 fe， 我 连接 fe， 连接 f， e， e 点是 b、 c 的 中点 p 点。关于平面 a、 b、 c 的 对称点， p 一， 在这出来了，那么关于 a、 d 的 对称点 p 二，怎么去找？我先先仍然是构造这么一个， 然后往这来撇出来了。哎，换句话说，我们这些东西啊，都是在平面 a、 d、 e 内来画的。所以我把平面 a、 d， e 从平面移出来，画着右边这个图， 当右边这个图。呃，左边对应的 f 点，我这改成 d 撇点啊， 那这是怎么画的？蓝色的 e， a、 d， 现在我的 e， a、 e、 d 回来，这是个菱形，这是个菱形。 这时候我们发现 e 点的关于 a、 d 的 对称点一， p 点关于它的对称点 p 二都有了。 找 a、 d 的 中 a、 d 的 中点是不是点 a 啊？现在还不知道，我再去找 字儿的对称 p 的 对称点， p 点对称点 p 一。 嗯，那说计算呢？我先把图画完，再搞计算，现在的目标是 p 一。 p 二的大小， 我们知道 a、 o 是 o， e 的 二倍，所以我把 e 点向右延长到 e 二， 这时候的 a、 d， e 二， d 撇，这也是个菱形，变成为二。 这时我发现一个问题，发现什么问题？ p、 e 点作为 d 撇， e 的 三等分点， 这个 a， e 的 三等分点 o， p， e， p， e， o 和 a、 d 撇平行，当然也会和 d、 e 二平行， o 点是三等分点，这也三等分点在这个菱形内，这平行且相等，所以我会发现 p 二以及 a、 d 的 中点以及 m 点三点共线， 这三点贡献，那么 p e 点和 m 点这两个是不是这四个点贡献呢？这需要证明， 因为刚才说这三个点共线，这是没问题的了，要 p 一 点和这三个点要再共线的话，这个题目就很好做了，我们看它是不是共线啊。哎，什么呢？这是三等分点， e 点是 m 一 二的中点， 这三等分点，我这儿延长后交叉是它的终点。哟吼，这也是 m f 二的 m f 一 的三等分点。呃，三等分点， 这时候你会发现它是与它平行的， 它是与它平行的。而在 a d， e 二 d 撇这个菱形中， m 点是 a e 二的中点，这个点也是它的中点，这儿 和字平行好了，那么他也就该和字平行，他和他平行，这时候就说明这四个点贡献了呗。哎，好，这题目好，算了这四个点贡献了。现在我们发现 p 一 p 二 是平行于 a， d 一 当然也是平行于 d 一 二 很容易的发现它们的长度到终点，这是一，这也是一。 m f 一， 这是一，而 mp 一， 这是占三分之二，所以答案 答案那是二加三分之二，三分之八，这是我们的第十一题的它的分析 好，希望他们能明白。

好，同学们，我们来看看这一套栏山卷，八年级刚刚今天刚刚考完的八年级的栏山卷， 这套试卷呢，难度说实话，表面看上去呢，比较基础，但是实际上比较的有难度的，还是比较有难度的， 要求我们对于课本，尤其是课本上的定力啊，二级定力这这一块要掌握的非常好， 对平行四边形的各个判定性质，包括面具公式都是要掌握的非常好，甚至还要求我们把那个课本的例题 啊，都是要非常熟悉的，那所以呢，有的同学呢，那如果说只注重于难题，没有注重这些细节，没有注重这些基础的话，那肯定是不是很好的，所以呢，这套试卷我觉得得高分是很不容易的啊， 那么我们来看看，为什么这道题要紧扣课本呢？我们来看看第一题，第一个，第一个的话选 dog 是 吧？对减二次根式要求里边不能有分数也不能有啊，开得进的对吧？这八里边有四，第二个呢 是二三四肯定不行的，第三个呢，这个比较有迷惑性，我觉得第三个可能会有一个扣分项，第三个呢，就考我们的什么呢？就是平行四边形和等腰梯形一组平一组对边，平行一组对边相等， 对吧？那 c 选项人 b， a， d， 本来它们俩平行就能得到这个，所以 c 选项是错误的，那我们来看 b 选项和 d 选项， o a 如果等于 o c 的 话， o a 如果等于 o c 的 话，就是这个是中点的话，那我们这个是中点的话，我们可以证明，通过三角形全等可以证出来， a d 和 bc 既平行又相等，唯独这个 d 选项， d 选项又是等腰体形，你看看了， a o 等于 d o， a o 等于 d o 的 话，只能说明上面这个是等腰三角形，那么这个等腰梯形完美符合，对吧？所以这个第三题选选 y 第四题，人家问的是斜边，也就最长边，所以呢是选 c 的 第五题，十二边形，十二边形三百六十除以十二等于三十，是吧？每一个外角的度数三十，那内角的度数就是十一百五十。第六题，那五分之根号五 考的是化简，是吧？选 boy 第七题呢？第七题，我们以前做过这个题，在平时的练习当中就做过这个题，我们要把 s 三写成 s 一 加 s 二，再加上 s 二等于五十加 s 一， 那么 s 一 s 一 没有了，所以 s 二等于多少呢？等于二十五， 而这个三角形当，而这个三角形和 s 二呢，是同底等高，是吧？多了一个二分之一，所以它应该是二分之二十五。选 c 第七题， 第八题，一看，这个题啊，考的就是学中半啊，菱形加上学中半，菱形对角线互相垂直，且且 o h 是 他的学中半，所以他如果告诉我们 d h o 等于二十度，那这个就是二十度，那这个也是二十度，是吧？那这个就是七十，这个是七十，所以 b a d 等于四十度。选 boy 第九题考的是勾股定力，那这个呢？这个比较简单，直接就送了，这个是哎， 这个是十五，对吧？每小时十六的话，这个半小时八，那这个十七，八十五，十七考的是那那几组什么五十二十三啊啊七，二十四，二十五呀，八十五十七啊九，四十四十一啊，这些非非常规性的这些这些这些搭配 好了，那么所以这个题选倒等用半个小时吗？第十题，这个是有难度的，但是有难度，我们说过了，像这种题目当中，你可以量啊， 你可以量啊，所以这个题呢，上第一个 e h 等于 ab， e h 等于 ab， 不 会怎么办？你就量啊，第一个可以量的出来的。第二个 a b h 等于 e e h， e c 也可以量啊，第三个 他第三个不好量，对不对？那我们还是正儿八经讲吧。好了，第一个我们来看第一个，第一个呢， e h 这个里边考的是学中班，你看这里边有个垂直 c e 呢，是垂直的，那么 e h h 又是中点，所以 e h e h 等于二分之一， bc 等于 b h 也等于 ab， 斜中半，第一个是正确的。第二个呢，那就考的同角的与角相等啊，那我们来看了，既然是斜中半的话， 那么角一就等于角二是吧？那它的与角，它的与角是 h e c， 所以 它俩第二个是相等的。 第三个表面看上去啊，第三个我们来看看哦，这俩这俩呢，是一个等腰三角形， 这一个呢，已经有一个角相等了，那我们现在就求这个角相等，或者说呢，在这里边 ab 呢，又等于这个，那实际上呢？而我们知道这个是四十五度，难点就来了，我们如果他全等的话，这个角是否等于四十五度， 那我们找一个和它四十五度的角，我们试一试不就行了吗？你用尺子，你用两角去量一量它是不是四十五不就可以了吗？但实际上它不是。为什么只有连接 d h 的 时候，这个蓝色的角才是四十五度，这个 c h e c h e 可不等于四十五度，那么所以它们俩是不全的， 所以 c 是 错误的。我们再来看最难的，这里边比较难的 d 啊， d 的 话，我们刚才在第二个当中，我们得到了这一个角，等于这个角，等于这个角， 对不对？那我们知道了这个角，这个角，这个角三吧，角三等于谁呢？角三等于四十五度加阿尔法，是不是角三等于四十五度加阿尔法，而哪一个呢？这一个角，这个角也是 四十五度加阿尔法，对不对？也就是角三等于角四等于这个 b， 角 b o， b， a 等于角 o， a， b 等于角三嘛，它们都等于四十五度加上角 f 啊，或者四十五度加上角 g a 什么 h， 所以呢，这个也是阿尔法， 既然是阿尔法的话，那么 a c a c 就 等于 c c f， 那 也等于 b d。 因为矩形的对角线相等，所以第四个是正确的。第十题选 c， 你 看这个选择题的话，我觉得第十题是一个扣分点，是吧？第三题的话，粗心的话可能也会出现一个，所以呢，现在来说的话，你扣了三分或者扣六分了，基础知识掌握不牢靠。第十一题，一二根号五，一减根号五，这个没毛病，这一个呢，有意义， 有意义，指示分母要求有两个，第一个分母，第二个被开方数，二次根式的被开方数，所以呢，是 x 大 于八，不要加等号了，也不要自作聪明，写上 x 不 等于零啊， x 不 等于零之类的连式分子，和它没关系啊，不要自作聪明。 第十三题，这个题呢，考的是二次根式，开出来以后带绝对值，那么这个开出来，因为我们这个是 m 减六，加上 m 减九的绝对值，六减 m 都可以，那 m 大 于六，所以这个出来是哎， m 减六，这个出来就是九减 m， 所以呢，答案是三。 第十四题，第十四题，那一般情况下，你可能会认为 a 在 这里做，然后呢？在这里，在这里，在这里画，求这两个三角形，但是我们不知道点 c 啊，咱们不知道点 c 的 坐标是在哪里， 对不对？我们也不知道，你怎么知道这个是四十五度呢？所以这个不是这样算的，而是将军一马，这个题考的是将军一马，对不对？连接了以后 a 撇对称点，因为入射角等于反射角，这个是 a 撇， 对不对？那这个是我们一给他连接三四五，所以他的路线长就是五。第十五题，考的是中点四边形，我们知道了矩形的中点四边形一定是一个菱形，因为 e g， 因为 e g 一定垂直于 a f 的， 对不对？所以呢，在这里边，那各自一半的话，考的是五十二十三，那零点五，一点二，一点三，一点三，乘以四是五点二。 第十六题，第十六题，这个这个比较综合，首先考的是将军印码啊，考的是将军印码，那么点 m 在 这上面，所以呢，我们要连接 啊，这个 m 在 这里边做一个对称，点 m n， 但是又又瞧的是他们的最小值，那什么时候最小呢？垂直的时候最小，所以呢，这这种情况最小 m 最小，又考的是等面积， 他说了周长是 m， 那 么他的边长边长呢？就是四分之 m， 乘以这个高等于面积 n， 所以 h 等于来个四 m 分 之四 n， 所以呢，不要怀疑，自己做出来就做出来了， 没有单位，并且呢，没有单位，所以这个题又是一个扣分点，所以呢，哈，现在扣分第十七题， 这十七题，哎呀，讲吧，四倍的根号三减去根号三，加上三倍的根号三，等于六倍的根号三，这个没毛病，这个直接除也行，化简完除也行。直接除的话，那你就根号十六加上根号八等于四加两倍的根号二， 这个呢，提取公因式 x 减二，当然你硬算也行。等于根号三加一，乘以根号三减一，是二，这个呢？ 啊，一点四一四，我们约等于一点四一四吗？咱都知道，所以呢， a 就 等于三加根号二减四，等于根号二减一， b 呢，等于三减根号二，三减根号二的话还是一点几。那再减一就是二减根号二， 所以呢， a 加 b， 所以 a 加 b 等于多少呢？等于根号二减一，加上 二减根号二等于一，所以呢， a 加 b 的 平方根为正负一啊，平方根有两个正负一。这，这好像七年级的题。 第十九题考的是什么呢？中位线 df 等于 f b， e 又是中点，所以呢？ ef 中位线 ef 平行等于什么？二分之一 ad， 是 吧，又，因为 ad 又等于 cf， 所以呢， ad 平行等于 cf， 所以 平行四边形，这个没问题。 第二问，第二问，这个题跟闹着玩一样，这题白送的啊，一，他说又是三，对吧？一三，而且呢，这个中位线，所以 d a 等于二， cf 等于二，对吧？二三，根号十三。 第二十题，那为什么回归课本？第二十题是课本上的，课本上列出举例子的话，举例子一个是必达格拉斯的这个图案， 一个是赵爽玄图，是吧？一个是赵爽玄图，赵爽玄图应该是长这样的。 还有一个是这个加菲尔德总统，这个总统的总统的政法呢，就是利用了等腰梯形啊，就是利用了梯，不是等腰梯形，是梯形。梯形的面积公式是什么呢？上底加下底，上底加下底是 a 加 b， 高呢，也是 a 加 b， 上底加下底乘以高除以二 等于这个，这个是由什么呢？这个等腰直角三角形二分之一 c 方加上两个 ab， 也是两个。这个阴影部分两个二分之一 ab， 等号两边同时乘以 ab， 同时乘以二分之一啊，同时乘以二， a 加 b， 括起来平方，也就是 a 方加 b 方加二， ab 等于 c 方加二 ab， 所以 a 方加 b 方等于 c 方。这个就是考你的正法啊。 第二问，第二问的话呢，考的是勾股定律的逆定律啊。勾股定律和逆定律，那么我们来看的话，那这一个是， 这个是二，这个是四，由固固定逆定律的话，两倍的根号，呃，由固定理的话，两倍根号五，这个是四，这个是六，那由逆定律的话，这个的平方是二十，他的平方是十六，加起来刚好是三十六，所以这个是垂直的， 所以这个的面积呢？这个尖形，这个，这个，这个啊，回旋标的形状，像高端导航的一样的。这个形状呀，它的面积呢？是整个的。呃， 二分之一四乘以五，整个大三角形减去底下这个小三角形啊，减去四四乘以二倍的根号五，所以呢，答案是四分之根，四倍的根号五减四。 有单位吗？有单位，所以呢，我们要给他一个括号，厘米的平方，平方厘米啊。 第二十一题，二十一题呢，只归作图，这个只归作图，做的是什么呢？做的是角平分线，考的是菱形的判定当中，我们知道菱形的性质里边有一条是对角线，对角线平平分一组对角， 但是到了判定里边，他就没有了，那没有了怎么办呢？没有了，这个我们上课时候说过了，他实际上用的是平行加平分的三等角，在这里边，既然是角平分线的话，那么角一就等于角二， 是吧？那么既然由平行角一又等于角三，也就是角一等于角二等于角三嘛，所以什么呢？ ab 等于 b e， 那 又因为 ab 和 af 相等啊，所以呢， b e 平行等于 af， 所以呢，平行四边形，那这俩又相等，又有邻边，所以菱形 一组零面相等，对不对？那第二问，第二问考的是菱形的面积公式，两种，两种表示方法。第一种呢，他说我们来看了整个的平行圆形的面积三十六 ab， 也就是这个底啊，底 比上它，因为它们的高是一样的，所以呢，因为 ab 等于三分之二 bc， 所以呢， s 菱形就等于三分之二 s 平行四边形。平行四边形等于多少呢？等于二十四，那 b f 又等于六，所以我们可以得到了二分之一乘以六，乘以 a e 嘛，等于二十四， a e 等于八，那所以呢， a o 等于三， b o 等于四，再由勾股定律可以证得这个是五，是吧？到目前为止还是送的。 第二十二题，二十二题，第一，第一个平行加平分三等角，你看，又折叠了，昨天晚上我们讲课的时候呢，我们压了压了一个折叠，但是没想到出的这么简单，对不对？我们来看的话，这一个 角一等于角，角一等于角二等于角三，是吧？那所以呢？ egf e e egf， 哦，是这个角啊，这个角呢？那就是六十六的同旁，六十六乘以二的同旁的角啊，一百三十二，应该是四十八，对不对？四十八度。 那么第二个探求 e f g 的 形状，我们在第一个已经写出来了，是吧？因为折叠由折叠角一等于角二，因为它是个矩形，所以呢？ dc 啊，平行于 ab， 所以 角一等于角三，所以角二等于角三， 对不对？不要了，这种题的解析，解析细节就是先写形状，再写理由，先写等腰三角形，对吧？再写理由。 第三问，第三问呢？这个，呃，我记得在什么时候呢？我们讲过一个，就是如果在里边画一个菱形啊，折叠的时候，我记得确实是讲过了这种，这种，我们做过这种题， 就是折叠了像这种矩形的一折叠的这个图案，当时那个题是这个图案一定是一个菱形，然后呢，让我们判断这个菱形的面积最大值 什么时候最大呢？就是这个菱形的，也就是这个折叠了以后，这个 b 撇啊， b 撇刚好与点 d 重合， 这个 b 撇刚好与点 d 重合啊，所以呢，这个是 f c 撇， b 来个括号表示重合，是吧？第三问， 那么为什么呢？我们可以这样理解，我们可以这样理解，这是一个等，这是一个等腰三角形，我们根据等腰三角形的话，那肯定是尖越细，也就说这个角越小，这个角越小， 或者说呢，这个角越大，它的底角越大，那么这个三，这个这个等腰三角形越尖，对不对？越尖的话，它边长越长，因为我们在这里边的话，折叠过来的话，这个是 x， 这个是 x， 这个是九减 x， 这个是三，对不对？ 那这种情况下， x 越长， x 这个底越长，它的高是不是就越长啊？它的它的它的它的长度就越长，所以在这里边呢，我们就可以看到了啊，因为这两个三角形，是是是，是这两个三角形相等的，我们高是一样的，所以呢是吧， 只需要这个 df， 或者说呢，这个这个点是 e 是 吧？或者 b， e 最长，那么在这里边解得三四五 啊，三四五 a， e 等于四 e， b 等于五的时候最大啊，那么这个面积的最大值你自己算，那这个就是五，这个就是三，是吧？这个也是五，因为它是一个菱形。好了，那么或者说呢，你就这样吧， 那么第二十三题，二十三题这种题呢，属于一道经典老题了，同步上或者说自主上应该都有。我们昨天晚上的话，还复习了一下，昨天晚上这个题是这样的，你看第前两位是一模一样的。 第三问呢，他这个点 e 跑到了 b 的 左侧，我们昨天晚上做的是点 e 呢，跑到了 b 的 右侧，对不对？那都是一样的。这个题呢，他考的不是三垂直，因为这个题长得乍一看着去的话，很像三垂直，难免有同学 做了这个三垂直，但是这个题不是这样的，而是截长补短。第一问，第一问的话，那肯定是 s a s 呀，是吧？那第一问的话，那那那在这里连接取中点 m， 那 取中点 m， 这个角一百三十五，这个角一百三十五，然后呢，同角的与角相等，角一等于角二，是吧？ am 等 am 等于 ec， 所以呢，这个是 a s a， 那 么易判定 a m e 全等于对应边的，一定要写好 e c f， 对 吧？那第二问，同样的第二问呢，我们怎么写呢？我们在我们在 a b 上取一点， 和刚才一样， m 使结 m 使 a m 等于 ec， a m 等于 ec。 啊，这样吧，所以呢，这个 b e 就 等于 b m， 同样的这个是一百三十五度，同样的这个是一百三十五度，同样的角一等于角二。这种类比题，第一问会做，第二问就会做，第三问就更不在话下了，对不对？那第二问就出来了，送了 啊。这个题十三分的话，能不能看最后一题，这五分怎么来的？我们来看去的话，这个点 e 跑出去了，跑出去了，点点 e， 我 们做的是 c e 等于 am， 那 么点 e 跑出去了，那么这个 am 呢？这个 c e 好 长的， 那么只有两种情况，要么 am 往上跑， am 往上跑的话，我们连接的是使什么呢？使 b e m 是 一个等幺三也行，但是如果你这样的话肯定不行，那么我们只能往哪跑呢？让他往下跑，把它擦了，这个呢，只能往下跑， 我们可以延长延长 ab 至 m 是 bm 等于 b e， 或者呢，你也可以写 am 等于 c e 都可以，那么仍然的 bm 仍然是四十五度，这个角是四十五度，那么根据这个对顶角角平分线吗？四十五度，四十五度 对不对？那么在这里边的话，四十五，四十五，那还有一个角呢？哎，同角的与角相等，这个 角一和角二都有一个共同的与角，角三，对不对？那当然了，还有 am 等于 am 等于 ec， 仍然是 a s a 全等，那全等了以后呢？他说了啊，说了以后呢？求 ef 的 长度， ab 等于三， c f 等于根号二， cf 等于根号二，那么 e m 就 等于根号二，由勾股定律，并且四十五度设，这个是 x， 这个是 x， 我 们轻易求得。 bm 等于一， b e 也等于一，而 ab 等于根号三。啊，是根号三吗？ 啊？根是三，对不对？啊？三一三，根号十，所以这个答案就是根号十。那我们总结的话，实际上呢，你们一讲了以后呢， 也比较简单，对不对？但是确实啊，确实是，是吧，那当然了，图二我们还要看了，这里边还漏了一个，我还漏了一个，也就是这里边了，也就是这一个，在延长线上的时候也不变啊，变不变，他没让我们， 没让我们成立之后成立，对不对？那所以呢，肯定是成立的，为什么呢？因为这个题是这样的，你看跑这来了，对不对？ 那所以呢，那这个题呢？那可能是啊，延长 c e， 跑到这里边， c e 那， 哎，在这里往上延长， 是吧？变成这样了，这个是 m， 所以 这个题呢，实际上它中间它应该给我们一副，应该给我们一副备用图的啊， 你看，你看，这套试卷是不是特别紧靠课本？不管是不管是不管，是各种定律的运用， 包括画图，我们昨天晚上，嗯，我还想着是折叠，找了几个折叠的，是吧？找了几个折叠的，结果也没有考的折叠，是吧？这种黄金的，还有一些这种画图的，这次结果没考，这种画图的这种格点画图没考。那 好了，教师，这总来说呢，你对对答案，以后你看自己得多少分啊？好了。

欢迎来到高考百日百科，十分钟掌握立体几何平行问题，看完本期视频，套路直接拿捏！我已加入抖音精选应援联盟，欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟，对准我的高考百日百克。 立体几何中的解答题中，第一问往往会出现让我们去证明平行的问题，但是平行问题呢，它是一个非常套路化的题目，我们离不开这三种模型，我们来看一下 这三种模型我们分别是怎么样去证明他的。首先看到第一种，线线平行，那么最简单呢，就是在我们的平面几何中出现了一些特殊的图形， 比如我们的平行四边形，如果出现了平行四边形呢，我们就会有对边分别平行对不对？这里不就出现了线线平行吗？当然还有第二种，我们三角形中的 中位线，或者说是等位线，考的也是比较多的，如果这里是一比二，那么这边呢，也是一比二，我们就可以说他们两个是平行的。好，这是我们从平面几何的角度出发，那么在立体几何的角度上呢，如果有一条直线，它是平行于一个平面，我们可以去过这条直线，怎么样 做一个平面与我们另外那个平行的平面相交，那么此时呢，我们就知道这条直线呢，他与我们的这个交线也会是平行的关系。前面两种他是通过我们平面几何中线跟线的位置关系从而确定的。那么第三种情况呢， 他是通过立体几何中的，首先有一个线面平行，然后我们就做一个面与另外一个面相交，那么这条线呢，一定会与他的交线平行， 我们看到第二个线面平行。线面平行呢，它其实也是从两个角度出发。第一个角度，首先我们能找到的话，线线平行，我们就可以去挣到什么呀？线面平行什么意思？ 如果有一个平面好，我们在平面内呢，能找到一条直线，与我们平面外所在的一条直线是平行的，我们就可以说这条直线与我们这个面平行，那么这两条直线怎么找呢？就是通过我们的地动情况对不对？你这里又通过了线线平行来证明线面平行。 还有第二种情况，我通过面面平行，从而呢推到线面平行。如果有两个平面，他已经告诉了我们这两个平面什么关系，他是平行的关系， 那我们在其中一个平面内任意做一条直线，他一定会平行我们的另外一个平面，这里就是我们的线面平行的两种方法。再看到第三个面面平行。面面平行的本质也很简单，我们在两个平面分别去找到两组 怎么样相交的直线，然后呢，他们是相互平行的好比如我们这里 画四条直线，上面呢，它是 a、 b， 下面是 c、 d。 如果我们能推到 a， 它是平行 c， 并且 b 它是平行 d， 我 们就知道我们这两个面，阿尔法跟北塔它一定是平行的。这里我们在做题的时候记得要多说一句，这 两条直线怎么样？它是相交的，这两条直线呢，它也是相交，如果这个是点 a， 这个是点 b， 我 们就要写上直线 a 交 c 等于 a， 还有一个呢？直线 c 啊，直线 a 交 b， 下面是直线 c 交 d 等于 b， 那 么这四个我们才可以推到，而法与北岛平行，所以呢，我们面面平行的本质上还是怎么样？通过线线平行去正到我们的面面平行，下面我们来看到一个具体的例题值，三楞柱 a b c a b c， 我 们的 a a 一 啊，它是等于我们的 ab 等于 ac 等于二的， 并且告诉我们 ab 跟 ac 是 垂直的点， d 呢是这里的中点， e 跟 f 分 别是这两条线的中点， 它让我们去证明 e f 平行平面 abc 好， 这条红色的线跟我们这个平面是平行的，这里有两个点是什么呀？是中点对不对？我们之前讲的过，看到中点一定要想到中位线，那么我们中位线怎么去做呢？ 这个 f 点它是 c d 的 终点，那我们的 e 它是什么的终点呢？我们得把它连起来，这样吧，它是某一条线的终点，但是这条线呢，我们是不存在的，我们需要去做出来，对不对？所以我们现在去连接 d e， 然后去反向延长，它去做什么呀？ e 点为我们的假设，这个是 g 点好了， e 点为我们的 d， g 的 中点的时候，那此时我们连接 c g 就 会出现什么呀？我们三角形的中位线，所以此时呢， e f， 它平行就等于一半的 c g 好， 那它跟这个平面有什么关系啊？我们来看一下这条线跟这个底面，我们把它拿到 平面上来看，换到平面上，我们把点标好，这个是点 d， 这个呢是点 e， 我 们去连接 d 并延长，使得 e 啊，它为 d g 的 中点，所以我们这里得到了什么呀？ d e 它是不是等于 g e 的？ 并且我们这里有一个对顶角，然后这两条边呢是相等，如果把这里跟他这里连起来，这里是我们的点 a， 对 吧？我们把点 g 跟点 a 连起来，你会发现 它刚好怎么样就是共线的，此时呢，我们这两个三角形，它是全等的吧，这是我们初中的几何知识。然后我们再回到这个立体图形中，我们把它连好之后，它就是这样一个图形，对不对？并且呢这个 c g 啊，它记在这个平面里面，还在我们的平面 c g b， 也就是我们的 a b c 这个平面上吧，我们是现在知道的 e f， 它是平行 c g 的 c g 呢？它又是属于我们的平面 a b c， 我 们不就得到了我们要正的条件吗？要正的问题， e f 呢？ 它不就平行了我们这个平面 a b c 吗？这是第一种方法，我们直接去怎么样找到中位线，看到终点找中位线， 那我们再来看到第二个方法，是我个人比较喜欢用的一个方法。题目，既然让我证明 e f 是 平行 abc 的， 那换句话来说，我在 abc 上面怎么样？一定能找到一条线，是跟我们的 e f 平行的，对不对？我把 e f 直接往我的 abc 这个平面去投影过来，他们来看到 e 点呢，投影过来直接变成了点 a 跟这个平面的第一次接触，那我们的 f 点，你注意 f 点是在这个立体几何的中间，对不对？它不在这个表面上吧，所以我们的 f 点投影过来，它一定不会在我们的人 b c 上面，那么它在哪里啊？我们大概的去画一下。好， 我们假设它投影过来， f 点投到这里，它为 f 一 撇，那么此时呢，我们的 a f 一 撇一定会跟我们的 e f 平行，那么既然平行的话，它是投影过来的嘛，而且也会相等，对吧？我们在连接我们的 f f 一 撇， 而且我们知道这个四边形呐，它照理来说就是一个平行四边形，所以呢，我们需要去证明有这样一条直线，并且我知道 f 一 撇它不在这条棱上，那我们呢就去连 c f 一 撇，然后呢去交我们的 ab， 好， 我们随便交一个点，交于 m 点好了，那么 f 一 撇呢，它就在 c m 这条线上。我们再来看到我们需要什么东西，这里的 e f 是 我们需要去证明与 a f 一 撇平行才能证明到这个东西吧， 所以我们这里得到的条件一定不可能是 e f 平行 a f 一 撇，那么换句话来说，我们需要知道的是什么呢？ ff 一 撇，它一定是平行，我们的 a e 的， 那 f f 一 撇跟 a e 我 们怎么样去对应呢？我们就来看到 f 点，它是什么呀？是不是我们 cd 的 中点？如果我在这条线上，假设这个 m 点，它是 ab 的 中点，好，此时我去连接我们的 md， 我 们来看到 md 怎么样？ 它现在跟它构成了一个三角形吧， f 呢是 cd 的 中点，如果 f 一 撇，它是 c m 的 中点，那它这里 不就又出现了一个中位线吗？此时呢，我们就能得到 f f 一 撇，它一定是平行，并且等于二分之一倍的 md， 对 吧？然后我们这里 e 点呢，它是 a a 一 撇的中点呢？所以 a e 它也是等于一半的 a a 一 撇，然后 a a 一 撇，它又等于 md， 所以 我们能得到 f f 一 撇，它是平行这个，然后再平行这个，所以呢，最后能得到我们就是 f f 一 撇，它一定是平行，并且等于我们的 a e， 所以 四边形 f f 一 撇 a e， 它就是什么呀？平行四边形，从而呢，我们能得到 e f， 它是平行，我们的 a f 一 撇的，最后就挣出来了我们的 e f 平行 平面 abc。 好， 那么我们这条线怎么去做呀？我们直接就可以取 ab 的 终点，然后呢连接我们的 c m 跟 md， 并且再取我们 c m 的 终点，此时我们这个四边形不就 构造出来了吗？有的时候你看答案，去看辅助线，他为什么要这样连你根本就不知道，我们这里是逆推过去告诉同学们的思路，怎么样才可以想象的到。那么这种方法呢？我个人比较喜欢直接把它投过来， 它这个平面上一定有一条直线是会要与它平行的，那么还有没有别的方法呢？肯定是有的，包括我们的间隙也是可以去做的吧，这里我就不再去讲别的方法了。以上就是我们今天关于立地几何中平行的全部题型。好，我们主要是要掌握这两种方法， 下几个呢？我们将来讲一下垂直怎么去证明。关注我，我是杨洋，我们下期视频再见！

接下来讲解一下我们的高考每日题的第五十七题。今天这道题目是我们的粉丝投稿来的 这道题目是啊，我们的四川乐山的二模的一道题目，这道题是跟二零二零年新高考专题非常类似，这道题目它主要都考察的是我们的交线隐藏的一个立体几何。那我们来看一下这道题目的题干。 题中给了一个 pc 是 跟底面垂直，底面是一个等腰梯形， ab 是 跟 cd 是 平行的角， abc 是 一个六十度， c， b， c、 d 还有我们的 cp 都是一。那我们先来看一下它的第一问条件。第一位让求的是 p a、 d 这个面跟我们的 p c、 d 这个面，它的两个交线啊是 m， 然后让求的是 m 和 ab 平行。那我把 p a、 b 和我们的 p c、 d 这两个面都画出来， 这是 p a、 b， 这是 p c、 d。 我 们要证明的是啊，这两个的交线，这两个交线跟 ab 平行。那这个第一问题是我们跟整体完全类似啊，它是考的是我们的线面平行的性质。 平面平行的性质怎样证呢？你现在是不是要证明的是 m， m 是 这个平面 p a、 b 和 p c， p d， c 的 交线，但这个交线并没有画出来，那我们其实并不用画它，你要知道这两个平面是相交于 m， m 就 模拟着画在这，这就是 m。 然后你先怎样证明这个 m 跟 ab 平行呢？那其实只要证明一下我们的 ab 是 不是跟我们的 pdc 是 不是平行的，因为 ab 是 平行于 cd， 然后我们的 ab 就 平行于 pdc， 那 你的 m 又是我们的平面 pab 和 pdc 的 交线，那我们直接通过线面平行的性质定律就直接得到了我们的线，就平行他们的交线了，对吧？过程我们给大家写一下。 好，这就是我们的第一问所得到的过程，主要是先强调一下线面平行，然后再通过线面平行的性质里直接得到我们要的线线平行。 第二问要证明的是平面 p a d 和平面 p b c 他 俩相交于嗯啊，在这个嗯也没有画出来，就相当只是这样两个蓝色的平面在相交，现在只有一个交点出现了，对吧？那个交线没有画出来，而这个题也没有办法向第一问，通过平行于转换的 这道题怎么做？他第二问上，你求的是这个 n， 也就是那个交线和 ab 的 余弦值，其实相当也是也不难，因为你要确定交线的话，你只要确定这两个平面 两个交点就行。因为两点两点确定一条直线吗？我们很简单，因为这个 ab， ad 和 cb 啊，因为它是梯形，里面是梯形吗？它一定会有一个交点的，那我直接把 ad 和 cb 进行反向延长，延长以后是不是这块会交交一个点 e， 这个 e 点 e 点肯定是在他俩的交线上面的，而 p 点也是在他们的交线上面的，所以我们把 pe 连 pe 就是 那个交线，而你题干中要求的 n， 那 就 n 就是 pe 了，对吧？所以这道题实际上就让你求的是 pe 与 ab 的 交线的一个余弦值，对吧？这两交线余弦值，那我们直接就间隙，很简单啊，因为这道题目的话，我们现在是先间隙，隙在哪呢？题中给你的 pc 是 跟底面 abc 垂直了，所以 pc 肯定是 z 轴， 那我们的 x 轴、 y 轴在哪呢？呃，这个角和这个角是六十度的情况下，三角形 a， b， e 就是 等边三角形，那很容易得到我们的 d， e， d， c 也是个等边三角形，这块是一的话，说明 e， c 也是一， 那 c， e 本来也是一，说明 c 点就是我们的 b， e 的 中点，那通过三线合一的话，那肯定知道这个 a、 e， b 啊，就是一个九十度，从而你就知道了我们的 a、 e， b 就是 我们的 y 轴， x 轴， bc 是 y 轴。好了，把这个空间直角坐标系一键，那我们题干中要求的东西也就很简单了，咱就能很快就能把 pe 点坐标还有我们的 a 点坐标和 b 点坐标标出来就可以了。接下来我们标一下这个 a 点坐标， a 点坐标是根三零零， b 点坐标是零一零， e 点坐标这段长度也是一，所以 e 点坐标是零 负一零， p 点坐标是我们的零零一。然后接下来就把 p 和 ab 的 坐标都给它算出来。 p 向量坐标用我们的一点减去 a 的 p 点，它应该是我们的零负一负一 ab 向量坐标， b 减， a 是 我们的负根三一零。然后接下来就是我们的这个。我要求的是 pe 和 ab 的 加角的余弦值嘛，那就相当于是把这两个加角设成一个 c 叉角，然后 cosine， c 叉就等于这两个加角的 cosine 值， 也就是它两的数量积， pe 向量的数量积乘以 ab 向量，再除以它两的模， 然后我们把它竖竖数值带进来，横乘横，纵乘纵竖，也就是上面是个负一，下面应该第一个是根二，第二个是二，最后答案整理化简是四分之根二， 相当于就是我们的这两个加角的余弦值就是四分之根二，题目就结束了，它相对来说还是比较基础，比较简单的， 主要的难点就在于这两个隐形的线段啊，隐形交线并没有画出来，所以需要大家分析。第一位是通过平行线面平行性质分析出来。第二个就是通过我们的延长交点啊，做出我们的两个点，然后从而就能得到我们的这个交线， 徒儿就能把这道题解出来。好吧，这道题我们就说到这里，需要了解更多的高考数学知识，以及我们的高考一轮的复习内容，我们可以关注石头哥，后期我们会陆续更新高考每日题，以及我们的二七届的高考新一轮。好，那今天我们就说到这里，拜拜。

一个视频给你讲透立体几何洁面问题，很多同学看到三个点连个三角形就以为是洁面了，那是纯纯的丢分。真正的洁面边长必须长在几何体的表面上，教材不会教你怎么补全洁面，今天马老师只教你两招，延长线法和平行线法， 只要掌握这两大底层逻辑，再复杂的洁面问题你都能一眼看穿一笔画。对，建议先点赞收藏，这可能是你考前能救命的洁面全攻略，看黑板！ 今天我们用两种方法来去解决立体几何当中的结面问题。一个结面的话，他通常都会给到我们三个点，这里 c、 e、 f 三个点确实可以确定一个平面，但是这个三个点所形成的三角形他不是结面呢？为啥？因为结面 他所有的边都应该在这个几何体的表面上，所以向右边这个图形 c、 e、 h、 e、 f、 j、 c e 连起来，你看看它所有的边都在这个正方体的表面上，所以这才是真正的结面。那从左边的三个点到右边的五个点，它是多了两个， 这两个点怎么找？也就是我们今天重点去解决的延长线法跟平行线法，它就是为了让你找到这些隐藏的点。 好，它的具体是怎么回事呢？我们先来看延长线，同一个平面上有两个点，这个平面它必须是一个几何体的表面啊， 就像 e、 f 在 前面这个平面上。好，那它就可以延长，延长之后它就可以与其他的面去交于一个点。 那这个点在哪呢？我们注意就是两个线有交点嘛，所以看右边这个图，我们 e、 f 去延长，延长的话，他就会跟 b、 e、 c 交于一个点 i 点，那这时候这个 i 点在哪？在右边的平面上， c、 e 是 不是也在右边这个平面上？好，这两个一连，你就会找到一个新的点， g 点，那这个 g 点它是不是在下表面上， f 点也在下表面上，哎，那我们这样的话就能找到一个新的边， 那同样的这个 fe 就 可以延长，延长到一个 g 点，那这个 g 点它其实应该是跟 b 一、 a 一 的交点嘛？那这时候这个 g 点在上表面上， c 一 也在上表面上，这两个一连，你就找到了这个点是 h 点，那这个 h 是 不是在左边的表面上？ e 也是在左边的表面上？这俩一连你看看又找到这个结面的边，所以我们这样的话结面它就完成了。 那平行线法是咋回事？我们也一起来看一下。首先我们要去找什么与直线所在面平行的平面，然后再去过点去找直线的平行线，也就是说 e、 f， 哎，他在前面这个面上，前面这个面跟谁是平行的呢？跟后面这个 a、 b、 c， e， d， e 这个面是平行的。 然后呢我们就可以过 c、 e 去做 e、 f 的 平行线，你找到了新的线，你就会有新的点。好，那你现在 e、 f， 我们就会过 c 一 去做这样的一条线，那这样的一条线它在后面的表面上，它就会跟左边的表面交于哪呢？去左边的表面上有 a、 d、 e 交于这个 l 点， l 点现在就在左边的表面上，然后 e 点也在左边的表面上，然后这两个点啊一连就会交于这个 h 点啊，这边图形是错了啊，不是交于这个地点，是应该连到这个 e 点上啊，那你看看，如果说这条线 它是不是也可以与下面这个面交于一点，交于哪呢？是应该跟 a、 b 的 延长线交于一点，是 k 点，那这时候这个 k 点就在下表面上， f 点也在下表面上，这两个一连，我们就会找到这个这一点， 然后呢，我们把这样隐藏的两个点给找出来了，把它们连起来就形成了这样的五边形。 所以延长宪法跟相交宪法我们组合起来去应用的话，解决这种洁面的问题会事半功倍啊，所有的这种问题都会迎刃而解，我们通过两个例题把它来实践一下。 我们来看例一，这样的一个正方体当中点 e， 它是 a a e 的 中点，那么过 d e b e， 它的结面图形是什么样的一个形状？所以呢，这两种方式都行，我们可以都来去试一下。 b e 现在在前面的表面上，所以我们可以给他延长啊。延长的话，要想清楚他是跟谁有交点呢？他在前面这个面上，他必须也跟前面这个面上的线有交点，那这个线就是 b e a e 交于一个点 f 吧。好， f 现在就在上表面上，那第一也在上表面上，所以我们就可以连接 f 第一， 但是没有找到一个新的点，对不对？那我们就可以继续延长啊，不是说只延长一次就行的，那就是 f 第一继续延长，它在这个平面上继续往右延长的话，跟谁有交点呢？就会跟 b 一 c 一 是有交点的啊，交到了这个位置是 g 点吧， 那你看点 g 在 右边的表面上，然后我们连接 g、 b， 哎，我们在这 c、 c 一 上就找到了一个点，是 h 点好， h 点跟 d、 e 点都在后边的这个表面上，我们连接起来就行了。 那这样的话，我们现在就形成了一个封闭的 d、 e、 h、 b、 e 这样的四边形， 那这个四边形就是一个完整的结面了，那这个 h 点在哪呢？我们就要通过它的一个比例关系嘛，对不对？好，你看一下，在这样的图形当中， a 一 e 和 b 一 b 是 不是相似比，是啊，一比二的关系，对吧？所以 a 一 呢，就应该是 f、 b 一 的中点，这边是一个一比一的关系。好，那这边我们延长出去之后，这个大的三角形， 那 a 一 是终点， d d 一 a 一 和 c 一 b 一 是平行的， a 是 终点，那 d 就是 终点呢？那这边也是一个一比二的关系，那 c 一 就应该是 b 一 跟 g 的 中点，那么这儿也是一份，这儿也是一份。那相应的，这个小的三角形跟这个大的三角形呢，就是一个一比二的关系，所以 h 点，也就是 c e h 跟 b e、 b 这两条线应该也是一比二的关系，所以 h 啊，它就是一个 中点，所以这个四边形这四个边它的关系就有了呀。 d e 就等于 e， b 就 等于 b， h 就 等于 h d 一 他们的长度，我们可以假设一下，边长是二啊，棱长是二一二，那就是根号五，棱长都是根号五，那首先它就是一个菱形，然后我们再去判断一下这个 d、 e、 e 和 e、 b 它是否是垂直呢？ 那我们就可以去算长度，这边是根号五，这边是根号五。我们假设棱长是二的话，对角线它就是一个二倍根号三， 所以这三边并不呈现勾股定律的情况，所以说它不是直角，所以就只能是菱形。选择 d 选项。好，这是延长取焦点这样的一个想法。那如果我们做平行线是怎么做？我们一起来看一下。 为啥这个也可以去做平行线呢？因为它确实有一个平面上的线，现在是 e、 b， 对 不对？好，那 e、 b 在 前面这个平面，前面这个平面跟哪个面是平行的？那就跟 c、 d、 d、 e、 c、 e 后面这个面是平行的，所以呢，我们就在后面去找一个相同的线呗， 取一个 d、 d、 e 的 终点 f 连接 c、 f， 那 但是 c、 f 呢？跟这个面呢？它并没有交点，所以说它不是一个啊， c、 f 它就不在 d、 e、 b 这个平面上，所以我们就给它平移一下，把 c、 c、 e 的 终点 h 点给它找到，那我们就可以连接 d、 e、 h， a、 h 是 终点，那 b、 h 一 连，哎，这样的四边形跟刚才的是不是一样的？那最后我们算出来，他应该也是一菱形呗，这个是没啥问题的啊。我们再来看例二， 在找到结面的基础上，我们可能会算它的周长，也可能让我们去算它的面积，但是前提都是要把这个结面给补全。我们一起来看这个问题。正方体的棱长是二， e、 f 分别是 a、 b、 b、 c 的 中点过 d、 e、 f 的 平面截，该正方体所得的截面多边形即为欧米伽。求这个欧米伽的周长是多少啊？所以说这个问题你看看他做平行的话，就跟刚才一样，就是出去了，出去了就是 e、 f 在 下面这个 a、 b、 c、 d 上过 d e 去做它的平行线，那这个平行线是不是就出去了？就跟我们刚才讲的平行线法去求交线是一样的，那所以说这个线在哪呢？ 这条线跟谁有交点呢？在上表面上是不是会跟 b e， c， e 的 延长线有交点？ n 点， 你有 m， m 点在哪？在右边的这个表面上， f 是 不是也在右边？我们就可以连接 m f， 然后 n 点呢？它在前面，这个表面上 e 点也在前面，所以这俩一连接，哎，我们就把这个 交点给找到了，交点找到了之后，我们只要连一下就行了，这边是 p 点，这边是 q 点吧？ d e p 一 连， d e q 一 连，哎，这个图形就是 d e p， e f q 这个五边形， 这个就是做平行的方式，那我们也可以延长取交点哈，我们把这个结面两种方式都给讲完之后，最后再去算它的周长。 好，那我们延长是什么呢？在一个平面上有一条线， e， f 现在是不是它在底面 a， b， c， d 上？好，那你 e、 f 就 可以延长了呀？ e f 延长之后到这边， 那它就有一个点 m 吧，然后 e、 ef 反向延长，它就会跟 a、 d 有 个交点，是一个 n 点，你 m 点现在在后边， d， e 也在后面，这俩一连 是不是就是一个点？屁啊？然后 n 点在左边， d， e 也在左边这个面上，这俩一连就能找到这个 q 点， 然后呢，我们把这都连起来，就把这个五边形给他找到了，是不是五边形找到了，那接下来就是计算周长嘛，但是这个点 p 跟这个点 q 在 哪？我们是不是又得想一想了，所以通过这样的延长呢， 我们就会跟刚才一样有这种相似的比例哈，你看啊，这个三角形 e b、 f， 那 你 f 是 终点呢？你延长过去之后 来和这个 fcm 这两三角形是不是全等的？那 cm 就 应该跟 e b 是 一样的，是一比一的关系，所以说 e b 是 一， cm 就是 一啊，你 cm 是 一。好了，那你现在跟这个 m d 一 一连， 那现在有这样的大三角形， d e d m 和 p c m 这俩三角形相似，比是不是就是一比上三呢？一比上三， 所以 p 点它其实就是靠近 c 的 一个三等分点，整个长度是二，那么 p c 就是 三分之二， 然后 pc 一 就是三分之四。同理啊，这边 q 点它也是一个三等分点， q a 就是 三分之二， q a 一 就是三分之四。 所以说我们去延长取焦点也好，或者是平行也好，它都会有这种相似三角形，通过这种相似三角形来去确定比例关系，从而能去确定新的点的位置，这个是一个在后续计算当中很关键的一个问题。 好，有了这些长度之后，它不都是一个直角三角形去求解边长吗？现在第一 p 它等于第一 q 啊，它就等于根号下四，加上九分之十六，那就是九分之三十六，九分之五十二，那就是三分之二倍，根号十三。然后 q e 还有 p f 他 俩也相等啊，那就是根号下三分之二的平方九分之四，再加上 f c， f c 长度是一嘛，加上一，那就是三分之，根号十三，这俩相加呢，就是 根号十三，但是记住有两对，所以乘以二二倍，根号十三，那最后 e、 f 的 长度一比一，比根号二就行了，那就剩下了 c 选项，对不对？

好了，同学们，我们来看看今天刚刚考完的七年级的蓝山卷。蓝山卷 这套试卷呢，难度来说的话还是也是中等，稍微偏点上的难度的话，我们不能说非常简单，但这道题确实是对一些同学来说是是有难度的， 而且呢，这道题的特点是什么呢？注重课本上的知识了，回归了课本，我们需要深入的挖掘一下课本。还有一个好消息呢，是这里边没有那些找规律找规律的，在象限里边各种找规律的，转来转去的那种循环节的 坏消息呢，这里边的坑还是比较多的，那我们来看看吧，前边一加一，后边是否造飞机好不好？那第一个呢，选 c， 这个不用说，这根号六呢，算数平方根，第三个左上是吧？左左上，第二象限 下一个呢，只能内错角啊，在负二和负三之间，在二和三之间呢，只有根号七，对吧，所以选 d。 第六题，第六题的话呢，角一等于五十，然后呢，这两个平分呢？六十五，六十五，这个是五十，所以 b o， d 是一百一十五度选 a， 这样选正确的 a。 立方根啊，和他的符号应该是一样的，这个呢，符号应该是一样的，因为里边是负二十七，对不对？所以呢，这个题选 c 最后一个，那应该还有个负一啊。 第八题呢，有两种做法，一种是见坐标系，这个比较复杂。另外一种做法呢，比较简单，做法我们用平移，我们找个比较离他比较近的，我觉得这个 b 离他比较近， b 是负三零，我们看看他经过了哪些平移达到了 c 呢？一二三四五，右五下三对不对？ 加五减三，所以呢？选 boy。 第九题，这个题我们做过了，我们用的是面积的相等的一加二是 这个整个梯形，三加二也是整个梯形，所以阴影部分就等于第三部分。那第三部分这个梯形呢？我们看看下底是二十四，上底本来是二十四的 wc 呢？是，是 啊，是六，所以呢，是十八加上这个八，上底加下底四十二乘以高除以二乘以四幺六八。第十题，第十题，咱上课之前就说了，这个题是可以量的，拿出量角器来量啊，是吧？你要觉得对，他就对你量一量，实际上是可以量的出来的。我们看条件， b c 平分 a c d 啊， b c 是平分 a g d， 那所以这个角等于这个角，没毛病。然后呢， c f 平分 a， c g， 这个角等于这个角，哎，这不是 零补角的角平线吗？零补角的角平线互相垂直，所以呢，第一个，我们看看这里边哪些结论吧。哎，这个是垂直的。第二个条件，继续看条件，他又说了什么呢？ bac 等于四十度， bac 等于四十度， 那么，哎，这个也是四十度，对不对？那么这个就是二十，这个是二十，那既然平行的话，这个也是二十，对不对？然后他又说了，角一等于角二，我们知道了，这个是二十了以后呢，那么他们都是七十呢，他也是七十，他也是七十。七十的话，底下这个呢？三角形的角和四十，那这个呢？三十， 所以每个都出来了，答案是一二三四，选择题没有什么难度，第四题完全可以量的出来。第九题，你要是忘了，那忘了就忘了吧，那我还有什么办法呢，是吧？第十一题，紧扣课本，是课本上的非常基础的一个一个 知识，对吧？考察的就是三线八教，我们把这个呢，我们当时说了要找到把它描出来，我们来看看，描完了以后呢，我们发现 这个角和这个角他们的公共边，他的公共边是 d e 也是被 d e 所结，那所以呢，这个应该就是 a b 和 a c 被谁所结呢？被 d e 所结得到的内错角。 当然我觉得也可以写，你写 a d 啊，写个 a e 啊，或者写个 e c 啊，我觉得都可以啊，这个因为这直线嘛，只要两点就行。第十二个，两个不同的平方，根相加等于零，相加等于零，我们发现 m 等于零呢， 所以呢，两个数都是五，那这个数呢？二十五，没毛病。第十三题，平行于外轴的直线上的点， x 坐标相等，那这个等于五， a 等于四，所以呢，坐标是五，逗号十，你看都送。 第十四题，第十四题，我们知道正方体的正方，长方体铁块是长方体，长方体的面积是底乘以宽，底乘以什么？长乘宽乘以乘以高，对不对？或者底面积乘以高，底面积是 x， 是一个正方体 啊， x 平方高呢，是四，溢出来多少呢？六十八，所以 x 平方等于十七， x 等于根号十七，当然首付 啊，是负根号十七呢，在四和五之间，所以 n 的值是四，这次就不要加单位了，谁要加单位就画蛇添足，自作聪明了啊。 第十五题，这种三角板的摆放问题，每年也都会有，这个，我们舍角二是阿尔法，那这个就是九十减阿尔法，那这个就是一百八十度减去九十减阿尔法，所以呢？应该是九十加阿尔法， 所以第一个很明显是不对的，第二个是正确，第三个，这不是猪蹄吗？对不对？第三个正确，第四个不对，所以答案是二三，你看选择填空中了 计算题，计算题谁要是做错了，给他出上一百个，这个呢？一约一，约负二分之一， 加上二减三，再加四，六减三点五等于二点五或者二分之五， 对吧？那这个呢？ x 减二的平方等于九， x 减二等于正负三，所以 x 减二等于三的时候， x 等于 x 减二等于负三的时候， x 二等于负一，写上个一，那下面一个呢？我们把它看成整体， x 加一的三立方等于九， x 加一的立方 等于二十七， x 加一等于三， x 等于二，你看计算题，谁要做错了啊，当场给他出一百个，第十八个 a， o， b 是三十四， 那这个又是垂直，那所以这一个应该总的是一百二十四，一百二十四，再除以二的话，六十二，六十二，所以这个是二十八，你可以用九十减这个六十二，也可以用六十二减去三十四，所以答案是二十八，这个没毛病。 第十九题，两个平方根相加等于零啊，我们可以解的， a 好像还等于零吗？对吧？ a 等于零， a 等于零的话，那么这里边 p 就等于几呢？ p 等于四， 那在这里边我们可以写啊，有由题呀，是吧？由题， x 减一等于零啊， y 减五等于零啊， z 减 a 等于零啊， 对不对？所以 x 等于一， y 等于五啊， z 呢？等于零，因为 a 等于零嘛，所以呢，它的平方，所以呢？ x 加 y 加 z 等于六，那也就是它的算数平方根，不用加正负，等于根号六就可以了，千万不要加正负，因为它带了个算数 啊。第二十题，第二十题，这个呢，是一个这个题啊，我觉得里边有一个是可以扣的，我们来看看。第一个平行了以后， a， e f 等于 e f d 啊，应该是两直线平行，内错角 相等。第二个呢，又因为这个是已知，下一个呢？那等待呢？我们找一找吧， a e f 等于，那这俩相等，那就是叫 g h d 是吧？我们看 e p， d 和 g h d 是同位角的关系，所以呢，同位角相等，两直线平行，两直线平行了以后呢， e f n， e， f n 是这一个啊，加上谁呢？加上这边的，也就是叫 f n g 等于八十度， 那么又因为这个是空着了，空着了，并且是已知，我们找找，已知里边都用上了，这个用上了，那这个还没用上，所以呢， mg 平行于 fn 是这两条横着平行，这两条横着平行了以后呢？所以啊，两只线平行，同旁内角，同旁内角互补啊， 互补。那最后一个千万不要写等量代换，它的陷阱就在这一个，这个应该是同角的补角相等，为什么呢？ e f n 加角 g 啊， e f f g n 加角 g 是一百八十度， f g n 加上 e f n 也是一百八十度，由这两个得到的啊，由这两个得到的，所以呢，这个是有个小陷阱题 扣吧。第二十一题，加五减三，那就是右五下三，你自己写向右平移五单位，这个作图平移呢，也自己画就好了啊。那么求他的面积各部分补齐 五二十五，对吧？五二十五减去这第一部分二五一十，第二部分三四十二减六，第三部分一五得五二点五，所以呢，答案应该等于十一点五吧，是吧？这个也不难，那来到了 本套试卷的难点比较难的地方，这个不同于我们平时做的，这个我们平时也做过，实际上，但是前几位还可以的。 一一一一，那么这个的面积是二，这个面积是根号二，那这个根号二的是这个边长是哪一条线呢？后边这个大正方形的边长，实际上就是他的角，就是他的，他的对角线，对不对？这四个挪到了这里，这个挪到了他，这个给了他，这个给了他， 对不对？所以这个三角形的小三角形的斜边到了这里边，反而是外头的这个边长，对不对？所以边长的根号二。所以我们说了正方形对角线的边长，对角线与边长之比是根号二比一。在这里问的是之笔，所以你就写根号二比一，不要写笔直了，笔直是根号二， 是吧？要笔直的话，我们就写根号二。那第二个在右边这幅图里， a 一的面积是 a 二面积的二倍， a 二的面积是 a 二的啊， a 二的面 是 a 四的面积的四倍。那你要这样写就错了，这是惯性思维这个题啊，出题的人太刁钻了，太坏了，这个人 啊，为什么呢？因为前边问的是面积，后边是周长，周长的几倍，我们知道周长他是两倍，面积要平方，是吧？面积他是要平方的 啊，这个里边不是四倍，那我们假如说这个是一，这个是二，那么他的边长，那么他的周长就是六，对不对？那这个是二，这个是四，他周长呢？是十二，所以呢，问的是周长是二倍，我觉得这个肯定是一个大扣分点， 是吧？陷入了惯性思维，玩起了文字游戏，这个实际上没什么意思。这个题啊，第三个，第三个的话折叠，我们折叠的话，因为折叠啊，游体 题，由题呢， a f， 我们写 a f 等于一的话，那么 a f， 假如说 a f 等于 a， 那么 a b 的话，就等于根号二 a 这边由题来的，由前面由一的由一来的， 然后 ab 呢，又折了以后， ab 翻上去变成了 ac， 所以 ac 呀，由折叠折叠， a c 等于 a， b 等于根号二 a， 所以它的比呢？是根号二比一还是根号二比一啊？ 那么第二第四题，第四题的话，这个就有意思了啊，他说了参考数据呢，他说 a 零的纸的长和宽是多少？ a 零的纸， a 零在哪啊？ a 零在前边， a 零的纸的面积是一，一张纸的面积是一，并且呢，啊，是可以算， 所以呢，我们舍这个的宽是 x， 那长呢？是根号二 x， 那就是根号二 x 平方等于一。注意啊，这里边这个一呢，它的单位是 平方米，你要换成把它换成毫米的平方毫米的话，那就一百万了都可以啊，那么 x 平方等于根号二分之一，约等于多少呢？根号二分之一约等于零点七零七一， 所以 x 等于根号零点七零七一，约等于多少呢？零点八四零九啊，舍负 舍负对不对？加上一个米，它的单位是米对不对？所以呢，宽是零点八四零九毫米， 对吧？好，米约等于他，并且保留吗？也就是八百四十一毫米对不对？长是多少呢？根号二乘以零点八四零九。 根号二乘以八四八百四十点九。哎，在这里是多少呢？约等于，因为也要进三位，是吧？约等于一百一一八九毫米，哎，对了，持整数吗？对不对？根号二乘以零点八四零九。 好了，那我们再来看了，当然，这个题还有其他的做法，你要把它画成毫米，画成毫米也可以啊，我们来看二十三题。二十三题，第一问，不用写过程，直接做。那这个角和这一个角之间的关系，那底下这个角一和这个角二是相当 等的呀，所以他们之间是互与，当然你也可以写，加起来等于九十度都可以。第二问呢，拐点问题，做平行啊，过点 b 做 b， d， e 做 b e 平行。所以呢，这里边这个角一等于角二，而角二加角三是九十度， 上面呢，又平行，角四加角三，你看角二加角三等于九十度，角四加角三等于九十度，对不对？所以同角的与角相等，角，角四等于角二，也，所以呢，角四等于角一，对不对，也就是 abc 等于 bdp。 那来到最后一问，最后一问，像这种题的最后一问呢，如果你实在看不出来，或者你觉得很难，你心里已经慌了，那你就回去检查。但是呢，像这个题呢，我们 仔细分析的话，一点也不不用慌，我们直接做平行就好了，是吧？直接做平行，那么这里边条件，条件仍然告诉我们了， ad 和 bd 是平行垂直的， 既然是垂直，然后呢，又告诉我们了， be 这条线呢，平分了，那所以我们知道这个角是四十五度，弄的细一点， 这个角是四十五度，那这个角也是四十五度，对不对？然后呢，条件里边还告诉我们了， b d p 等于两倍的 b e n， 那么 b n 是阿尔法，那这个角呢？就是两倍的阿尔法，根据同旁内角互补这个角呢，是吧？这个角内错角，这个也是阿尔法，所以底下这个是多少呢？阿尔法减四十五，同旁内角。二、阿尔法加上阿尔法减四十五，等于一百八十度，对吧？ 三阿尔法等于二二五，阿尔法等于七十五度，阿尔法等于七十五度的话，那好了呀，这个是七十五度，那底下这个三角形内角和十五度，所以这个是三十度， 没毛病，对不对？没有毛病，所以三十度。我们来总结一下这套试卷的话，这套试卷难度呢，在中等稍微偏点上，比较考察你的心态，为什么呢？因为这个第二十二题最后那两个确实是容易 搞坏心态的，容易让人看着就害怕，对不对？约等于前边一加一，后边造飞机，是吧？前面都很简单，给我们信心的觉得非常开心，做到最后越做越不是事， 是吧？所以呢，这套我们以后呢，还是要抓住基础，搞深挖课本的基础知识，那些小的定义啊，小的例题啊，在课本上立题，咱们还是要深挖的啊。好了。

立体几何共面问题今年会成为考点吗？洁面去解体形成的焦点问题。反一，利用肌底向量共面可以解，反而采用间隙把三维转化为二维解方程组。

家人们，本次小视频我重点跟大家分享二零二六自治区三模解答题十七题。那么这是一道关于理题几何的经典的大题。本次小视频我们不仅把这道题做对，更要把背后的逻辑给大家讲透。好，我们先审一下题， 如图， a、 b、 c、 d 是 边长为二的正方形，以 m 为圆心的半圆面 m a、 b、 c、 d、 e 是 半圆弧 a、 b 弧上的动点。 第一个小问题呢，是证明平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c、 e。 那 么怎么正这个平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c、 e 呢？好，那么它的核心的思路是，先证明先面垂直，从而推倒面面垂直。 那么我们第一个步骤呢，锁定这个目标直线，在其中一个平面 i、 d、 e 或者平面 b、 c、 e 内寻找一条看起来与另一个平面关系最密切的直线。 第二个呢，是正明线面垂直啊。第三个呢，推到这个面面垂直。那么在本题的立体几何图形当中，哪条直线最有可能成为连接两个平面，实现线面垂直的关键？先生呢？好，那么我们一步一步把这道题做一下。 好，因为这个已知平面 a、 b、 e 它是垂直于平面 a、 b、 c、 d 交于 a、 b、 a、 b、 c、 d 呢，它是正方形，那么正方形的两边邻边是互相垂直的，所以 b、 c 垂直于 a、 b， 所以 b、 c 垂直于平面 a、 b、 e。 那 么 b、 c 和 a、 e 它是互相垂直的。 好，那么因为 a、 b 是 直径，那么角 a、 e、 b 它是什么？圆周角？那圆周角是啊，直径所对的圆周角是直角，这是在初中的时候学过。所以啊， a、 e 和 b、 e 它是互相垂直的，那么 a、 e 垂直平面 b、 c、 e， 那 么平面 a、 d、 e 呢？它是包含 a、 e 啊，那么平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c。 那 么第一个小问题，我们做出来的这个积分已经拿到手了，你学会了吗？ 好，我们再看一下第二小问啊，那么第二小问说，若平面 b、 c、 e 和平面 c、 d、 e 所成的锐二面角的余弦值是十一分之，根号三十三，求自冷锥 e、 a、 b、 c、 d 的 体积 好，那么这道题的核心思路是体积，那它是等于三分之一底面积乘高，它的底面是什么来着？是的，十二个正方形边长，你还记得吗？十二，所以底面的面积是等于四。 那么第二个步骤，我们要求高，那么也就是体积计算的关键就是转化为求结点 e 到平面 a、 b、 c、 d 的一个垂直的距离，那么我们要去寻找它的这个突破口，也就是利用题目给出的平面 b、 c 一 与平面 c、 d 一 所成的锐二面角的这个余弦，指这一个几何条件建立方程。求解。 好，那么第一个步骤我们要干嘛呢？啊？肯定要进行，那么这是一个万能的钥匙。好，那么我们沿 a、 b 的 方向画一个 x 九好，那么平行于 a、 d， 以 m 为圆心，画这个 y 九 好，那么垂直于平面 a、 b、 c、 d 的 这个方向上，我们画这个 z 九 好，那么我们把这些点表示出来，那么因为这个 m 是 圆点，所以它的坐标是零都零都零 好，那么 a 点呢？它是在这个圆点的左方，是在 x 轴上啊，整个 a、 b 的 长度是二啊，边长是二嘛， m 是 中点，所以 a 点的这个坐标是负一都零都零啊，那么 b 点是一都二都零， d 点呢？是负一二都零， 那么 e 点它是个动点，所以它是 cosine theta 零， cosine theta， 好， 那么在这的这个 theta 呢？是在零到 pi 中间。 好，那么我们把这些向量给它表示一下。第一个平面 bce 的 这个法向量啊，那么这个 c b 向量呢？它是零负二到零， 从这个末点减去它的初点嘛， b 的 坐标减去 c 的 坐标，能得到 c b 向量，那么 c e 向量是 pythagore theta 减一到负二到萨因 c theta， 那 么它的这个 n 二向量啊，也就是等于负二倍的萨因 c theta 负零，负这个二倍的一点 cosine theta， 同理，那么我们可以写出这个平面 cd 一 的发向量 dc 向量是二到零到零，第一向量是 cosine theta 加一啊，负负二负 sine theta， 那 么我们能得到 cd 一 的这个发向量，那么它是零负二 sine theta 负四。 好，那么利用这个二面角的公式来列方程，那么二面角的公式是锐二面角的余弦值等于两个发向量的夹角的余弦值的绝对值。那么库萨尼塞，它等于 n 二乘 n 三， 它的膜比上 n 二的膜乘 n 三的膜，也就是十一分子根号三。那么我们单独把这个 n 二向量乘 n 三向量是什么？ 那它是等于负八倍的这个 e 减 cosine theta， 那 么 n 二向量乘 n 三向量的这个模是多少？八倍的 e 减 cosine theta n 二的模， n 三的模分别是多少？把它们算出来，算完之后代入化简，那能得到这个 cosine theta 是 等于三分之一， 而 cosine theta 算出来，那现在要求高啊，那么高 h 呢？它是既点是一到平面 a， b， c 的 垂直的距离，等同于一点在 z 的 一个坐标值。所以刚才我们得到这个 cosine theta 吗？那能得到这个 sine theta？ 好，那么能得到这个 h 是 一减三分之一的平方，也就是三分之二倍的根号二，那么代入到刚才的这个体积公式，那么我们得到它的这个体积是九分之这个八倍的根号二， 那么第二小问我们就把它算出来了。好，那家人们啊，那这道题呢，核心就是先间隙法向量，再加一个二面角，掌握了这个套路呢，立体几何直接拿捏。 那么第一个问题呢，我们用了几何方法证明了线面垂直。第二问呢，啊，从线面垂直推导出了这个面面垂直。 第二问呢，用空间向量算二面角，然后双管齐下呢？再也不怕这个立体几何。觉得有用的家人们点个关注，下次带你刷更多的立体几何的经典的题，那么咱们一起重高分儿！

零二正朝阳高三一模第十四题，立体几何小题 已知菱形 a、 b、 c、 d 的 边长为一角， a、 b、 c 等于三分之二。 将 a、 c、 d 沿着 a、 c 折叠，得到三棱锥 d 一 撇 a、 b、 c。 当平面 a、 b、 a、 c、 d 一 撇垂直于平面 a、 b、 c、 时， b、 d 的 长度是多少？实际上这个是一个什么样的图形呢？就是一个，呃，对称型图形， 这样两个正三角形， 我们把它折叠起来，那么这就是 d、 a、 b、 c、 d 把它折起来，那么折是这样的， 因为这个这两个图形垂直的，我们说这样垂直呢？呃，等边三角形高，我们知道。呃，这是什么呢？这个是二分之一，这个是二分之根三，这个是一， 这样哈，这个垂直，也就是说这个是二分之根三，这个是二分之根三，那么这是一个等腰直角三角形，这根二倍根二倍呢？那就应该再乘以根二，就是二分之根六。 哎，这个小问比较简单，往后面一个，当平面 a、 b、 d 一 撇与平面 b、 c 一 撇垂直的时候，求三棱锥 d 一 撇 a、 b、 c、 d 的 体积。我们首先把这个图给画出来，画出来之后，我们看哪个垂直了。对，这个角是垂直的， 正弦垂直，求这个三棱锥的体积，我们现在再换一下。怎么换一下呢？呃，把 b、 c、 d 一 撇当底，呃，把 a 作为顶， 其实 d、 b、 c、 d 一 撇，我们这样看，因为这两个垂直垂直呢，正好是什么呢？ a、 e 是 高。呃， b、 c、 d 一 撇是底，而 b、 c、 d 一 撇呢？呃，这个还比较好算， 我们看，因为这个垂直而两边是对称的，中间是，刚才我们一算了。呃，啊，中间就是一 整体，这一块就是一，那么这个是一，我们说等腰直角，那么这个都是二分之根二， 这两块都是二分之根二。就是说 e、 c 是 二分之根二。 那么我们再看 b、 d 一 撇是多少，因为这个是一，这个是一。呃，根据对称性呢？呃，这肯定在中间， e 是 在 b、 d 一 撇的中间，这样的话呢，呃，就是 b、 e 这个是一，这个二分之根二，那么这一小部分也是二分之根二，这也是二分之根二，这样的话呢，就是 b、 d 就 等于根号二， b、 d 就 等于根号二。 哎，这样底面就是底，是底面的三角形的底是根二，高是二分之根二。哎， 三棱锥的高也是二分之根二。这样的话，我们就用公式。呃，体积等于三分之一底，面积乘高， 那么三分之一底，面积二分之一，乘二分之根二，乘根二，高也是二分之根二，这样就是十二分之根二。呃，这个特别说明一下哈，这个是一个，呃， 一抹题，一抹题，一个参考答案，呃，他是八分之一。呃，老师在前面发了一个，也是八分之一。后面仔细看了一下，呃，这个应该是错误的，现在这个结论应该是对的，十二分之二根二。