重庆中考垂线的做法

今天咱们介绍一下啊，过这个格点可以做他过格点的任意一条线的垂线，这个呢，是在哪学的呢？呃，前两天部分区 考完了十八题以后，我一看标答，看了一小会才发现它的原理，咱们讲一下，比如说我想过点 a 是 格点，现在这个 ab 是 任意一条过点 a 的 直线，那这样的话，我就可以过点 a 做这个 ab 的 垂线。 怎么做呢？我们可以找到这条线段和竖线的交点，比如叫点 c 做垂呢，要想做垂，我就是将来得实现在这个地方呢，找一个 c 撇，让 ac 撇等于 ac 就 行，当然也就是让 起个名啊，让 c 撇到这的这个小黑线段，等于 c 到这的这个小线段。其实只要这两条线段相等，这个 a c 撇跟 a c 就 垂直了。 那这个时候我们可以怎么办呢？我们可以连接点 c 和这个格点，这样连完以后啊，这俩明显是全等的， 所以我把这条线段呢转化到了这里，转化到这还没完呢，其实你是希望转化到这来，是吧？如果这块等于这块，那剩下两小段不也香吗？我们这个时候怎么把这条线段再给它旋转过来呢？我们得找一下这个对称轴， 在这个 e、 f、 f 其实就是这个小格的对角线，此时我们只需要连接这个顶点和这个交点延长过来 这个地方，这个交点和格线的交点就是点 c 撇了，因为这俩三角形是对称形，全等边长等于边长， 四十五度等于四十五度，还有一条公共的边，你也可以理解成，根据对称性就能够把这个点对称到这，成了 c 撇， 当然这个方法足以做出，以后你过点做过格点、直线的垂线，咱们就都可以解决了。 有了这个方法，你在做呃，部分区的这个十八题就非常简单了。当然了，这个方法可不是我发明的，这是我过来无意中看到了部分区的标答，我发现这个标答还能够推广，他不是只是用来解决这个问题。

上次我们说到了过一个格点做已知直线的垂线，我讲这个视频的时候，我们班里的同学教了我一个别的方法。咱们看啊，要是我想过点 a 做直线 l 的 垂线 啊，你的同学呢，用的是这个构造手拉手的思想，也能实现过任意格点做任意直线的垂线。我在这跟大伙分享一下我们班里的学霸，他自己想的说，本来点 a 所在的横线和直线会有一个焦点，比如叫点 b， 那我现在可以把 ab 旋转九十度 abb 撇，让它实现是一个等腰直角三角形。那用对称的方法其实很快，比如我把这条线当对称轴，我把一乘一小格当对称轴。找到对称轴以后呢，找一对对称点，比如我让这个点， 我这个是 c 撇，这个是点 c， 找到 c 和 c 撇，这两个一对对称点，那我连接 bc， 连接 bc 会和对称轴有一个交点，我再连接 c 撇和这个交点延长出去。 那此时呢，交点其实就是点 b 的 对称点，也就是 b 撇。好，现在我利用对称大法构造了 b a， b 撇是一个等腰值。我们看本来点 e 所在的竖线和这个直线 l 也有一个交点，叫点 d， 我当然得把点 d 再转九十度了，也构造一个 a、 b， d 撇是等腰直，那我同理依然找到对称轴，是吧？我们依然找到这边一成一小的对角线，是对称轴，那我这有个点 c 了，我再在这来个 c 两撇吧。连接点 d 和 c 两撇和对称轴会有一个交点， 我在连接点 c 和这个焦点往那边走，会产生一个焦点，是点 d 的 对称点 d 撇，所以此时我的 d a、 d 撇也是一个得二值，那我现在我的 d 撇 b 撇， 那我的 d 撇 b 撇其实就和这个直线 l 垂直，也就是我随便找一个格点，我能实现做出直线 l 的 垂线。这原理大伙应该能理解， b a b 撇 d a、 d 撇，这不是两个头顶着头的等腰直角三角形吗？相当于我构造的是手拉手模型，而 d 撇 b 撇和这个 d b 就是 两条拉手线。 一撇 b 撇和 d b 两条线段，它俩不仅长度相等，而且位置关系也等于圆等腰三角形，顶点也九十度。 所以呢，我们这样，你说你是不是也没过点 a？ 过点 a 就 更好办了。我找到 b 撇 d 撇这条直线了，点 a 还是个格点，如果再想过点 a 做 b 撇 d 撇的平行线，那就是咱们专门介绍过的内容了，过格点做已知直线的平行线，如果只需要取这个点 和点 a 一 联合，竖线又有一个交点，是吧？那么我们再找一个竖线上的点，连上倍长，是吧？此时这个点，比如叫点 t， 我 在连接 a t 做直线 a t， 那 么直线 a t 呢？就就跟这个平行，当然也和它垂直了。 你这个也能推广，如果来个任意的点 m 啊，无论是过点 m 画叉的平行线，还是蓝线的平行线，依然能实现过任意点做任意之线的平推线。 你这几期视频呢？你大伙如果看懂了，就会在网格里做垂啊，画的线比较多，但是也能够实现，包括我觉得我们班里学霸想的这种方法，其实画的线不是很多。

今天我们看一类中考必考的题型，无刻度尺尺作图，让你过 c 点做 ab 连线的垂线， 先连接 ab， 再以 ab 为斜边构造一个直角三角形，将这个直角三角形旋转九十度，顶点放到 c 点上， 因为斜边也随着三角形旋转了九十度，所以两条斜边垂直。到实际作图的时候，你就以 c 为顶点，构造一个直角三角形，与圆三角形全等就可以了，你明白了吗？垂线的学会了，我们来看看中垂线怎么做。 先连线，找出 a、 b 的 中点，在这里不难理解吧，找中垂线，我们必须要知道中垂线的一个重要特点，就是中垂线上的点到这条线段两边的距离相等。 a、 b 的 中点我们找出来了，现在只需要找到一个点，让它与 a 点和 b 点的距离相等就可以了。 看看 ab 附近的这几个格点，与 ab 的 距离好像都不相等，那这个点就不在格点上。这时候我们应该想到正方形的对角线交点到各个顶点的距离相等，那我们以 ab 为边构造一个正方形， 但是方格好像不够了，别着急，还有办法，正方形虽然画不出来，但是他的中心所在的方格我们可以目测出来。找到这个方格的中心，连接这个点和 a 点、 b 点，我们看看这个点到 b 点的距离， 横两隔半，竖一隔半。到 a 点的距离，横一隔半，竖两隔半，所以它俩相等，把这个点与中点连接起来，就是 a、 b 的 中垂线了，你学会了吗？

b、 c 等于 c、 d。 求角 d 等于多少度？已知三角形里有两条等长的边，还有三十度和四十五度两个角。很多同学拿到题就直接算角 b。 角 c、 a、 b 等于一百三十五度角 b、 a、 c 等于十五度 可角 b、 a、 d 和角 c、 a、 d。 未知，这条路根本走不通，别着急，我们慢慢想，看到三十度和角 c、 a、 d。 未知，这条路根本走不通，别着急，我们慢慢想。看到三十度和角 c、 a、 d。 未知，这条路根本走不通，别着急，我们慢慢想。看到三角三角形， 我们先试试过 a 点做 b、 d 的 垂线交 b、 d 于点一、这样三角形 a、 d、 e 和三角形 a、 c、 e 都是含特殊角的直角三角形。先看三角形 a、 b、 e 三十度角的直角三角形 三十度所对的直角边是斜边的一半，所以 a、 b 等于二 a、 e。 再看三角形 a、 c、 e 有 四十五度角，是等腰直角三角形，所以 a、 e 等于 c、 e。 可到这里，我们只得到了几条相等的线段和已知条件 b、 c 等于 c、 d 完全关联不起来， 说明这条路走不通。没关系，思路是对的，我们换个方向试试。既然从 a 点做垂线行不通， 那我们就从 b 点做 a、 b 的 垂线与 b、 d 交于点 e， 这样三角形 b、 d、 e 就是 直角三角形角 b 等于三十度，那角 b、 d、 e 就是 六十度 三十度所对的直角边 d、 e 就是 斜边 b、 d 的 一半。已知 bc 等于 cd， 所以 d、 e 等于 bc 等于 cd， 这不就和已知条件关联起来了吗？ 我们接着看角 b、 d、 e 是 六十度，且 d、 e 等于 c、 d。 我 们连接 c、 e 三角形 c、 d、 e 就是 等边三角形三条边都相等，三个角也都是六十度，那么角 a、 c、 e 就是 六十度减四十五度，等于十五度。这时候大家发现了吗？ 我们之前算出的角 c、 e 也是十五度，所以三角形 a、 c、 e 是 等腰。三角形 a、 e 等于 c， e 也就等于 d e。 现在三角形 a、 d、 e 也是等于三角形。角 a、 e、 d 是 直角，所以另外两个角都是四十五度。角 d 就是 四十五度加六十度等于一百零五度。搞定！换个方向，难题就开窍，关注我，学更多数学答题技巧！

中考倒计时一个月冲刺数学一百零一加！今天我们来看一线三垂直模型 秒杀口诀，遇到等腰直就想一线三垂直，两岸向下垂，全等紧相随。我们来看题，题中 a、 b 等于 a， c 等于 c e 角 a、 c、 e 为九十度，此时我们发现其中 a、 c、 e 为隐藏的等腰直角三角形。使用口诀，遇到等腰直就像一线三垂直，两岸向下垂，全等紧相随， 向下做垂线， a、 p、 e、 q 可得三角形 a p、 c c q e 两三角形全等由三线合一得 p 为 bc， 中点则 b、 p、 pc 长度均为三，再由全等得 eq 等于 cp， 长度也为三。三角形 dce 的 面积为底乘高除以二，答案为九。 再来一遍，遇到等腰直就想一线三垂直，两端向下垂，全等紧相随，你学会了吗？

了解二零二五红桥一模十八题第一小问线段 a、 b 在 紫色三角形斜边上，两直角边分别为一和四，利用勾股定求得 a、 b 等于根号下十七第二小问，求线段相加最小值。利用将军印码模型作 b 点。关于 a、 c 的 对称点 b 撇 在圆上，这个对称点可以通过垂径定里去找。过 b 点做 a、 c 垂线，找 b 撇点连接 b 撇 d 交 a、 c 于 p 点， p 点就是要找的点，所以目标就是找这个 b 撇点。 想办法过 b 做 a、 c 垂线。虽然 a、 b 都是格点，但 c 点没有规律，直接做垂线很困难，可以考虑另一特殊点， 格线点 d 角 a、 b、 c 等于九十度，对应的 a、 c 是 圆的直径角 a、 b、 c 也是九十度。做垂线的方法可以考虑三角形高线的方法。 已经有一个现成的 c、 d 垂直于 a、 d 了，将 a、 d 延长到格线，交于 e 点，构造三角形。 a、 e、 c、 ac 是 直径又一个圆周角， a、 f、 c 也是九十度三角形。 a、 e、 c 的 两条高线 a、 f、 c、 d 已经画出 a、 f、 c、 d 交于点 g。 我 们知道三角形三条高交于 e 点， 直线 e、 g 一定垂直于 a、 c， 但目标是过 b 做 a、 c 垂线，我们再想办法过 b 点做 e、 g。 平行线。在之前我们讲过做平行有构造平行四边形法。延长 e、 g 交格线于 h、 h 所在的横格线与 b 点所在的横格线差四个格，连接 b、 h、 b、 h 的 中点。在 b、 h 与格线交点 i 上， e 点也是横格点， e、 i 相差三个横格，连接 e、 i 并延长三个横格交于 l 点， i 点为 e、 l 中点 h 与 e、 l 互相平分于 i 点，根据平行四边形判定定底， 确定四边形 e、 h、 l、 b 为平行四边形， e、 h 平行于 b l。 e、 h 是 垂直于 a、 c 的， 那么 b、 l 也垂直于 a c。 b、 l 与圆的交点就是 b 点。关于 a、 c 的 对称点， b 撇点连接 b 撇 d 与 a、 c 的 交点就是要求的 p 点。

牵垂法在中考压轴题中应用十分广泛，今天我们就利用牵垂法来秒杀中考压轴题。求两个三角形差的最大值，我们会发现点 p 在 第一象限移动， 且 p、 d 垂直于 x 轴，让我们去求它们两个面积差的最大值。根据函数解析式，我们可求得点 b、 点 c 坐标，进而求得直线 bc。 解析式题目中又提到 p、 d 垂直于 x 轴，那么 p、 k、 d 三个点横坐标一样，我们不妨设他们的横坐标为 a， 接下来表示出他们的纵坐标。 要想去求两个三角形差的最大值，此时我们先表示三角形 b、 p、 c 的 面积，它等于二分之一，乘 p k 乘上四， 而 p k 就是 用点 p 的 纵轴标减点 k 的 纵轴标，代入之后得到这么一坨式子，将其化简之后可得负 a 方加负 a。 接下来表示三角形 b、 d、 k 的 面积等于二分之一，乘 b， d 乘 k d。 将 b、 d 和 k、 d 代入之后 尽情化解，可表示出三角形 b、 d、 k 的 面积。接下来将两个赞群面积相减，尽情化解，得到二次函数，将其配方得到顶点式。我们会发现，当 a 等于三分之八的时候，这个差取得最大值为三分八。搞定收工 so easy， 记得点赞关注哦！

我们来看题目 b、 c 等于九， ab 等于四， b、 d 平分角 a、 b、 c， a、 f 垂直于 b、 d， 求 e、 f 的 长。我们看到这种题，三角形中有一个角平分线，并且角平分线上还有一个垂线，像这种题，我们就直接延长角平分线上的垂线。在这道题中，我们就是延长 a、 f 交 bc 于点距，我们令这个角为角一，这个角为角二，有角平分线可知角一等于角二，然后 b、 f 是 一个公共边， 然后 af 等于 g， f、 b 都等于九十度，所以三角形 abf 全等于三角形 g、 b、 f。 由三角形全等可以得出， b 角等于 ab 等于四， 所以 c、 g 就 等于 b， c 减去 b， g 等于九，减四等于五。由于 ab 等于 b、 g， 我 们可以知道三角形 ab、 g 是 个等腰三角形，那么点 f 就是 a、 g 的 中点，减 e 也为 a、 c 的 中，所以 ef 就 为三角形 a、 g、 c 的 中位线， 所以 ef 就 等于二分之一的 g， c 等于二分之五，所以 ef 的 长就为二分之五。

同学们好，今天我们继续来讲胡不归模型的练习，我们来看一下题干。如图，在三角形 a、 b、 c 当中，角 b， a、 c 等于九十度， 角 b 等于六十度， ab 等于四，所以这三条边我们都可以知道 bc 呢？是不等于八，对吧？啊？然后 a、 c 的 长度等于四倍的根号三，先写在这儿，他说点的是 bc 的 最小值是多少， 但是如果考虑到昨天讲这个模型格式是对应上的，但这个 k 值是不是对应不上我们的 k 值？要努力去构造出二分之一、二分之根号三和二分之根号二的格式，这样话才能去构造这个特殊的这样三角形，三十度、六十度和四十五度，对吧？ 啊，所以我们需要把要求的这个数来变换一下，虽然让求的是二倍的 a， d 加 d， c， 我 把这个二提溜出来， a、 d 加二分之一 dc， 那 现在这个开值就是我们想要的，那我们需要把 dc 这条线段是不是放在一个直角三角形，并且得有三十度的直角三角形，对吧？而且我们要和这个 a、 d 扯上关系，所以我们往这个方向去做啊，先做一个三十度的角 角， bce 等于三十度， 然后从 d 点呢往这个 c、 e 上做一条垂线段 d、 f， 这样我们是不是就把二分之一 d， c 转化成了 d f， 对 吧？啊，那也也就是说 a、 d 加 d， f 的 是不是最小值，什么时候最短？是不是从 a 点往这个 c、 e 上做垂直就可以最短了？ 从 a 点往 c、 e 上做垂直，记在一条线上，然后又是垂线段，是吧？这个是我们要找的那个 f 点哈， 好，我们接着来写一下，我们要求的是 a d 加二分之一 d c 的 最小值，也就是 a d 加 d f 的 最小值，也就是二倍的 af， 是 吧？嗯，那 af 放哪个三角形？是不是放在三角形 afc 当中？这二是六十度，这二是三十度。 斜边呢？是四倍的根号三，所以 cf 是 二倍的根号三，二比一比根号三，是吧？所以 af 是 不等于六， 但是我们要求的是二倍的哈，所以是二六十二，那我们的最小值是不是等于十二？也就是说我们要努力往模型上的那个开值去靠拢哈。

很多同学看到角平分线题，只会想着分角，却忘了他最关键的性质。角平分线的核心就是距离相等性质，如果点在角平分线上，向两边做垂线，垂线段长度一定相等。判定反过来，如果点在角内部到两边的距离相等，那他一定在角平分线上。 这是一对互逆的定律，是几何证明的高频工具。不管是证明线段相等求距离，还是证明角相等，看到角平线优先做垂线，就能直接得到一种相等的线段，为后续全等证明铺路。初中几何基础不牢，难题根本没法做。关注我，吃透所有几何基础考点。

针对我们这次百校联考三第三问的作图啊，我想说以下几点。第一点就是 做钟垂线，现在大多数同学都已经知道了，一般情况下都是做钟垂线，但是他不知道是做哪个线段的钟垂线。就比如说我们这里很多同学就直接做 ab 的 钟垂线，或者是做 ad 的 钟垂线。 但是这个题我们是要求做一个矩形，要求做一个矩形，那么你做的这个应该是过点 c， 过点 c 垂直于 ab 的 线。 所以回到我们这个题上面，我们就是过点 c， 以以 c 为圆心，以任意长为半径，做一个弧，与 ab 这个线有两个交点，然后再去做垂直平分线。同理， 过 a 做 c、 d 的 垂线方法是一样的。这是这道题的第一个方法，做出的 a、 e、 c、 f 一定是一个矩形，而且 ef 是 过这个圆心 o 的， 也就是也就是题里面要求的穿心线。第二个方法就是利用我们斜中半， 在这的话，我们要求 a、 o、 o， e、 o、 f 这三段是相等的，那么我们的方法就是以 o 为圆心，以 o、 a 为半径，做一个弧， 做一个圆，这样的话与 a、 b 相交于一个点，这个点就是点 e 与 c、 d 相交于一个点，这个点就是 f。 那 么构造出的 e、 a、 f 一定是一个直角，它相当于是一个斜中半的逆用。

这是咱们陕西中考数学分值占比最大，然后含金量最高的核心板块，也是拉开分数差距的关键，真正的重难点压轴考点全集中在函数和几何。今天这期视频我们接着上期视频来讲几何。我们先来看直线与角的知识点。第一 两点确定一条直线两点之间的线段最短。第二对顶角相等，同角或者等角的与角相等， 补角也相等。第三就是这个平行线的判定与性质，如果两直线平行，那么同位角相等，内角相等，同旁内角互补好。第四就是垂线段最短好。第二小节叫做三角形， 这里就考两个内容，一是角度定力，二是这个勾股定力。角度定力就是三角形的内角和是一百八十度一个角的外角，等于不相邻的两个内角之和。 那么勾股定律也很简单，叫做在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方好，那么他的逆定力也同样成立。一般用来判定这个三角形是不是直角三角形好，那要特别注意几个特殊的直角三角形。第一就是含三十度角的直角三角形， 那么在这里有一个定律叫做三十度角所对的边是斜边的一半，还有就是这个直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，这个也非常的爱考 好。再到这个含四十五度角的直角三角形，它叫做等腰直角三角形，三边的比例为一比一，比根号二，那么 三角形就绕不开它的面积计算公式吗？面积计算公式有两个，一是底乘高除以二，这是咱们用的最多的。第二个是两边乘两边加角的正弦值的一半。好，那么还有咱们全等三角形的判定 定定都有啥呢？总共有五条，第一个 s， s， s， a， s， a， s， a s， 还有 h l， h， l 是 咱们直角三角形专用的判定定例。好，再到这个相似三角形，如何去判断两个三角形相似呢？判定定例为 a a a s， a s， 还有 s s s， 那 么性质有啥呢？如果两个三角形相似，则对应边一定成比例，并且它的面积比等于相似比的平方，那么还有平行于三角形一边的直线 截其他两边所得的三角形与圆三角形一定是相似关系，这就是我们常说的 a 字模型。那么等腰三角形一定要记住等边对等角，并且还有一个非常重要的性质叫做三线合一。 ok， 等边三角形的三边都相等，三个角均为六十度。 再到我们学的这个四边形，我们初中阶段所学的四边形，矩形，菱形，还有普通的四边形。 那么对于平行四边形来说，它的定义很简单，叫做两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。那么它有哪些性质呢？第一，对边平行且相等。第二，对角相等，菱角互。 第三，对角线互相平分。第四，它是中心对称图形，也就是绕着这个对角线的焦点旋转一百八十度之后它会重合，还要记住过对角线的焦点旋转一百八十度之后它会重合，还要记住过对角线的焦点旋转，一定会平分四边形的面积。好， 我们再说平行四边形的判定定律总共有五条。第一，如果两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。 那么第二两组对边分别相等，可以得到平行四边形。第三，一组对边平行且相等，也能得到平行四边形。最后一个对角线互相平分也能得到，它是平行四边形。好，那 平行四边形的面积计算公式是什么呢？叫做底乘高，一定要记住，再到这个矩形矩形，它的定义叫做有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，那么它的性质总共有四条，第一，就是四个角都是九十度。第二，对角线相等且互 相平分。第三，就是它的对称性，它既是中心对称图形，又是轴对称图形，总共有两条对称轴，那么很重要的就是如何去判断一个四边形的矩形呢？好，总共有三条判定定律。第一个，有一个角是直角的平行四边形，它就是矩形。第二，对角线相等的平行四边形，它也是矩形。 第三，三个角都是直角的四边形，它是矩形。好，那么面积公式很简单，叫做长乘宽。哦。那么再到特殊的平行四边形菱形，要知道它的定义叫做有一组邻边相等的平行四边形，叫做菱形。 好，它的性质，第一，四边全部相等。第二，对角线互相垂直且平分，且这个每条对角线都平分，一组对角好。第四，它既是中心对称图形，又是轴对称图形。 那么我们要学会如何去判断四边形是不是菱形？好，判断题里有三条，第一，如果有一组菱边相等的平行四边形，那么这个四边形它就是菱形。第 二，对角线互相垂直的平行四边形也是菱形。第三、四条边都相等的四边形为菱形好。面积计算公式有两个，第一个通用的叫做底乘高好，第二个叫做菱形的专属计算公式好，对角线相乘除以二就可以了啊。好。再到圆这个板块， 第一要知道弧长公式以及扇形的面积计算公式，那么弧长 l 等于一百八十分之 n 派 r， 扇形的面积 s 等于三百六十分之 n， pi r 的 平方也等于二分之一的弧长成半径好。还有比较重要的叫做垂径定力，内容是垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧，它的逆定力在圆的计算与证明中也非常的重要。 那么还有这个圆心角与圆周角，记住同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的二倍，那么直径所对的圆周角为九十度。还有内接四边形的对角和是一百八十度，这个也非常的实用啊。还有咱们的切线长定律， 并内容是从圆外一点以圆的两条切线，切线的长度是相等的，还有圆心与切点的连线是垂直于切线的，那么最后一个叫做解直角三角函数 一一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，还有与弦叫做零比斜，还有正切叫做对比零。 重点要记，三十度角、四十五度角、六十度角的正弦与弦正切值好。陕西卷在三角函数的应用上经常出这个大题啊，大家一定要重视起来。