南京教研室考前综合题获取方式

啊，刷到我又有好事了！南京市教研史的考前综合题我已经拿到了四十八道题，全部是按照高考命题模块编写的。那所有能出现在高考真题里面的板块全部都覆盖到了啊！有集合函数、导数、平面向量解析、几何、立体几何、三角函数、数列概率统计等等， 每个板块从选择题到大题全部给你配齐了，还富有完整的解析。那么通过这一周孩子们做完以后的感受啊，普遍认为这套题的选题质量很高，特别是解析几何和导数的几道大题， 出题的思路和近两年新高考一卷的风格特别接近。那现在距离高考已经没有几天了，完全可以把这一套卷子当成考前最后一轮的自测， 让孩子去练一练，查漏补缺，效果还是非常好的。那么现在手里没有这套卷子的，我发给你题目和完整的解析。

南京市教严实的考前综合提出来了，所有能出高考真题的板块都覆盖到了，一共四十八道题，有集合函数、导数、平面向量解析、几何、立体几何、三角函数、数列、概率统计、复 述技术原理。每一个板块从选择题到大题全部配齐，解析也给的很完整，不是只给答案。这两天我带学生陆续做完，反馈比较一致，这道题的选择题质量很高，尤其解析几何和导数的几道压轴题， 命题思路和近两年新高考一卷特别贴，不是偏题怪题，而是把常考板块重新组合。现在离高考没几天了，你可以把它当最后一轮自测，做完之后按解细查漏洞，效率会很高。集合函数、导数、平面向量，先扫基础式分点、概率统计和导数，再看自己有没有卡在大题入口，还没拿到这套的。回个考前综合题， 我把题目和完整解析发你，最后几天别乱刷，盯住这种综合卷补短板。那么讲到这里，很多家长和同学都在问我 为什么连续四年压中考真题，其中更是二五年新二卷考前几天的题卷压题压中原追去线、三角形面积，一道大题十几分。 考前六月四号的作品，这都是翻我作品可以看到的，还预测新一卷压轴单选 b 选项，并且在最后阶段还给大家准备了二百个高中数学斜修题分技巧，想要领取后台发送，年级加学科即可。

南京市教研组考前又又出十道题了，一共五十道题，高质量，含概面广、深入本源，考前必做！还没有题目的评论区领取！

安徽高三的啊，很多家长要这个南京的卷子，今天我给大家整理的是南京这个椒盐命题组的一个试卷吧，然后去做做啊，是因为是三大主科，一定要看一看，因为数学啊，这个我感觉这套数学 卷子出的很灵活啊，我感觉很接近那个高考的一个命题趋势。呃，全套啊，包括这个答案解析都有，抓紧让孩子去做一做。 还有就是啊，不要全刷，一定要捡那些不会的，刷会做的就怕掉啊。电子版自己下载打印，安徽初高中资料就找，离不开。

南京教研市二六版高考数学样卷正式公布，高度还原了二零二六年新高考一卷的命题结构， 贴合了综合能力与思维培养命题的新方向。样卷的质量非常高，主流的培训机构都在悄悄组织刷这套卷子， 还没有领到的家长可以在评论区回复数学样卷我会发一个高清的电子版，抓紧领回去的，打印给孩子做一下，提前适应今年新高考数学的节奏。

南京教研史的数学样卷啊，我们今天继续分享解答题， 我们来看解答题的第十八题，是一个解三角形的问题，实际上是一个证明题和转化构造的题目。 这样的题啊，考察了我们的数学素养，真的是考到了淋漓尽致的程度。 好，条件很简单，这第一个去教学的学科范围，当然这个是容易的 啊。第二个，嗯，证明扩散 a 减 c 等于扩散 c 减二分之扩散平方 c 加二倍扩散 c 减二。这种转化 是我们三角函数当中最高级的，这种转化当然你如果能用计划核差核测化机转化的话，可能来的快一点。第四是一种恒等变形的转化， 贪念的平方二分之一加贪念的平方 b 分 之一。对啊，贪念的平方 c 分 之一，这里面还不是贪念的平方 c 分 之一，而是贪念的平方 c 分 之三。这里面就让我们 很明显的用 c 或者贪念的 c 作为我们的目标，作为我们的目标，有了所以贪念的平方 c 以及贪念 c， 他的范围就很容易表现出来，这样就转化和构造好，我们来欣赏一下南京教育史给的答案， 这题证明当然容易了，由锐角三角形这样的条件构造出不等式，再由题目给的等式转化成 b 分 之二的范围。 把扩散 c 用 b 分 之 a 表达出来，就有了 b 分 之 a 加二分之 b 减二。根据对一个函数 在二分之一到一上递减，一到正无穷上递增，我们就会知道这个扩散 c， 它的范围就会在零到二分之一之间扩散 c 在锐角范围内是一个减函数，所以角 c 的 取值范围就是三分之 pi 到二分之 pi 的 k 区间。这题 是我们很容易转化的，但是呢，哎，很多学生意想不到 会用到基本不等式，或者是用到对勾函数，当然这里边基本不等式不好啊，对勾函数来解决问题，他首先要研究避风灾的区域范围。 好，这是第一题，第二题要把扩散 a 减 b 转化为扩散 c。 我 们根据题目给出的条件，我们很容易知道，三平方 a 加三平方 b 等于 这个四倍的三 a 三 c 减三平方 c， 而我们就会得到三平方 a 加三平方 b， 这个先把它转化过来，再用合成化剂 转化成一减扩散音 a 加 b， 扩散音加 b 就是 负的扩散 c， 那 就等于一加扩散音 c 乘扩散音 a 减 b， 这样我们的扩散音 a 减 b 就 会表达出来。当然，我们四倍的三音 a 三音 b 通过契合差也可以表示成扩散音 a 加 b 减 b， 而扩散音 a 加 b 又是负的扩散音 c， 这样我们就两个设置合并，然后整体就会得到扩散 a 减 b 等于了扩散 c 分 之，扩散 c 减二，分之扩散平方 c 加二倍的扩散 c 减二了。 好，这题用到了合唱话题或计划合唱。实际上呢，我们很多老师认为，也有的学生，聪明的学生就知道二 a 就是 a 加 b 加 a 减 b， 这个二 b 就 可以看成 a 加 b 减去括号 a 减 b 来得到。好， 我们再看看第三题。如果把贪心的 a 分 之一，贪心的 b 分 之一、贪心 c 分 之一，分别是为 x、 y、 z 的 话，那它们的和就会等于三，因 c 分 之二，这是为什么呢？那就说为什么会有贪心的 a 分 之一加贪心的 b 分 之一加贪心 c 分 之一，表现出这个四 s 分 之 a 平方加 b 平方加 c 平方呢？ 这个结论我们平时学习当中或者复习过程中有呢，我们看一下它的推导啊。我们讲四 s 乘以 a 加 b 加 x 加 y 加 z， 会等于 x 嘛？就是，呃，它三分之三 a 嘛，就是弹性的。一、等等， 陈开来，陈开来，我们第一个十字用的是二 b， c 算 a， 第二个十字是我们的二 a， c 算 b， 第三个十字用的是二， 这个 s， 二 a、 b 三 c 就是 对于这个四 s 啊，它有三个不同的用法，然后乘出来就是二 b， c 库三个 a 加二 a， c 库三个 b 加二 b， c 库三个 l， 再用余弦等于 就是等于 a 平方加 b 平方加 c 平方。所以我的 x 加 y 加 z 就是 四 s 分 之 a 平方加平方加 c 平方。 我们再把 c s 表示成二 a， b 分 之三 c， 它就表示成了三 c 分 之二。哦，我们三 c 分 之二，使我们的阻援设为 k， 这样我们还要把看见的 a、 看见的 b、 看见的 c 它们之间的成绩研究出来。因为我们要的是 x 平方加 y 平方加 z 的 加根号，根号 c z 不是 z， 根号是 z， 所以 要研究这关系。 我们又有一个高级结论，最高级结论当然也是我们知道的， tangent a 加 tangent b 加 tangent c 等于 tangent a 乘 tangent b 乘 tangent c， 就 由这个来的，所以它们两两的乘 y 加 x， 乘 z 加 y 乘 z 等于一的，这样 我们就会有啊，两两的乘 y 加 x 乘 z 加 y 乘 z 等于一。 我们如果设我们的目标为 s 一 p 的 话，就是 a 平方加 y 平方加三， z 平方的话，那 x 平方加 y 平方，总二乘 x， y 平方减二， x y 代入进去，我们就会有 s 一 撇等于 k 平方加二， z 平方减二。现在我们再来研究 z 平方。好， 我们就知道库三 c 啊是等于这个十字的，所以我们的 z 平方，我们 z 啊就会等于三 c 分 之三， c 二分之根号下开平方减一， 这样 c， z 平方就表达出来了，我们 s， e、 p 就是 我们的目标， s， e， p 就 表达为二分之 k 平方减半，根据 c 的 取的范围就达到了 s， e， p 的 范围是二到四的开区间。 整个这个期末好像用了我平时已经掌握的一些结论，其实在考试的时候你不一定能想起来用，或者即使想起来用了，不一定变化的是正确的。 这一期我们的目标转化为二分之三 k 平方减半，也就是三 c 这个范围，用三 c 范围来研究 scp 的 范围， 这是一个很好的压轴题。当然高考的时候不一定是出现这样的题目的啊，而且说解答题大题出现解三角形这样的题目也不一定有的啊，论出好题才可放在恰当的位置的。 本卷这个解三角形大体较难，放在次压轴题这个位置是较好的。 当然在提醒我们考生，解答题的题型的位置是由难度系数决定的，是否出现某种题型是由命题人的灵感来决定的，总之全面复习是王道，好。

呃，现在是四月份的尾巴，如果说问四月份哪一份试卷比较重要，那我想莫过于南京教研室出的这份二零二六年全国高考的一份样卷。 那这份样卷虽然不是交易所官方出的啊，也许是授权，那我们本着宁可信其有不可信其无的一个态度呢，来简单的剖析一下这份样卷能够提供给我们什么样的一个信息。 首先是单选择题部分，单选择题部分一贯的秉持了新高考的一个命题风格，涉问比较新颖，但实际难度呢，其实并不大啊，单选是没有太难的题目的啊。 那多选择题部分，相比较二五年的真题卷，我认为十一题的难度呢，是相对比较低的。这个倒选项 倒选项，你只要注意到这个立方体的体对角线和棱所乘角的余弦值恰好就是三分之根号三，所以不难转化啊。呃，看出这个选项是正确的， 那么同时这个选项呢，也一贯的秉持了新高考的命题风格，就是要重思维轻运算啊。这个倒选项几乎是零运算啊，只要你能看出来这个系数三分之二三是一个角的余弦值就可以啊。 填空题呢，也是中规中矩啊。总而言之，这套试卷，呃，它的一个客观小题部分呢，呃，它总体难度是与二五年真题相持平啊，可能还不止二五年的真题难度啊。 那么大体作为一份样卷，我认为它的最高，呃，最大的一个参考价值就在于大体的一个结构和这个，呃题型的排布啊， 有几个信息，呃，个人认为函数导数部分前移呢，这个事情几乎是板上钉钉的啊， 所以各位在备考复习的时候呢，不要再去练那些超难的，还有背景极浓的导数大体啊，导数大体，那么相关的题你可以关注一下深圳。嗯，三月份的一模 大题的十八题，这个导出题也是回归到最基础的分类讨论，第一问啊，第一问，那第二问是个零点问题，他的入手呢，是比较宽的，也就是有多种的做法啊，难度也不大啊。那么同时再次提醒， 对于这种中档难度的导出大题，大家在复习备考时候要引起足够的重视。如果你第一问分类讨论还写不清楚的啊，它这个属于伤害性不大，但是侮辱性极强啊，希望你重点关注啊。 那么实际题呢，它其实是改编于浙江卷啊，年份我忘了，前两问是比较基础的送分啊，很简单， 第三位的难度实际上是高于原题啊，因为原题那个背景是长在抛物线里边，这道题呢，是放在了双曲线啊。那么关键的一个 几所，你要把这个面积比转化一下，不然的话，这个预算量会比较的爆炸啊，同时也说明一件事情，如果你简单的评估一下预算量感觉会比较大的话，大概率是你的方法不对了啊， 所以临场时候我建议你冷静的宁可多花一分钟时间重新构思和组织一下你的思路啊。嗯，大概率你的方法是不对的啊，实际上高考题，嗯，应该是没有绝对难题啊，你预算大的话，估计是你方法不好啊，所以调整一下。 那么十七题的第三问呢，难度应该是高于二五年真题相同位置的这个难度啊，呃，临场要把它拿满分还是比较困难的。 十八题是一个解三角的小压轴，那个人认为这个题的第二问出的不是很美观啊，似乎是为了凑数，呃，设置三问 而出的一个第二问啊，我感觉把它出成两问是不是也是可以啊？那么第三问这个题略有一点竞赛一式的感觉， 呃，他非常考察。嗯，代数变形以及函数统一的思想。那么棘手呢，在于 t n t a 分 之一加上 t n t b 分 之一加上 t n t c 分 之一，它是很等于四倍的 s 分 之， a 方加 b 方加 c 方，但后面还需要呃比较复杂的代数变形和统一啊，最后获得这个呃取值范围。 十九题是一道呃数列和概率如何的问题，那么题目理解呢，就是数列当中的后一项， 他是等可能的，呃，是前一项加一或者减一，那其实他就是一个，嗯，二项分布啊。二项分布。我记得有一年浙江卷考过一个球啊，从上面掉下来，下面呢，设置了挡板， 他就是往左摆往右摆啊，是一样的一个问题。那么第二问的第二问绝对值 y， 他的一个数学期望，呃，后续会碰到一个组合横等变换以及一个求和啊。嗯，那么我相信 大部分同学坐到这呢，应该是时间比较困难了啊，那这是一个呃真正的压轴题，压轴题啊，那总体来说，这份样卷 它的解答题部分是比较难的啊，尤其是呃后面三道题，都是属于呃比较难的题目。 呃， ok， 我是 黄果果吧。这份样卷如果你没有的话，你可以后台啊，群里边艾特我一下啊，我是黄果果，关注我，为高考数学加油！

好，今天我们来讲解一下近期学生提问比较多的，最近发的一个南京教院式高考样卷的这个是解三角形，很多同学看了答案，尤其是这个第三问啊， 他根本觉得这个题很难想到，不知道他这个在处理什么，你看他这么复杂，而且它的 a 分 之一，它的 b 分 之一，它的 c 分 之 x 加 y， 它说直接出现这个东西，这个东西也是考了一个解三角形的一个重要二级结论，但是很多同学不知道， 所以这个题的参考答案给出的思路是一个非常差的啊，尤其是第三问，所以很多同学来提问啊，说这个题第三问到底应该怎么想？那今天我们来调解一下。 首先我们从第一问开始看啊，第一问比较简单，他让我求角 c 的 垂直范围，然后有这个条件嘛，那比较简单，那我就求余弦定律，可算以 c 等于 a 方加 b 方减 c 方除以二 ab， 然后将这个 c 方用这个四 ab 减 a 方减 b 方代入进去，得到这个东西，那这个东西就是 a 除以 b 加上 b 除以 a 减二， 对吧？那相当于这就是个对勾。这个其次是嘛？所以最后这个思路比较简单，那我因为 a、 b， c 是 锐角三角形，所以说我只要满足 a 方加 b 方大于 c 方， c 方加 b 方大于 a 方， a 方加 c 方大于 b 方，然后每个东西都这样带进去，然后把 c 方用这个东西四 a， b 减 a 方减 b 方带进去，我就可以算出来， a 除以 b 是 大于二分之一小于二的。 同时 a 除以 b 也不能等于一，因为如果等于一的话，就是一加一减二了，那就等于零了，那 cosine c 等于零的话， c 就 等于二分之派了，但是因为它告诉我是锐角三角形，所以它这个小细节 我们要注意一下，是不能等于一的。然后呢，得到这个范围之后，我来求这个东西相当于 t 加 t 分 之一吗？减二， t 属于二分之一的二，那这个范围非常简单， 属于，对吧？一的时候就一加一减二等于零嘛？最小是一，最小是零，然后最大就是二加二分之一减二，所以就是二分之一。所以 cos 是 零到二分之一之间的话， c 就是 三分之派到二分之派。 第一问呢，还是比较简单的，也是比较送分的。那么来看第二问第二问的这个题的方法也很多啊。那我来这里来讲一下我的做法，他让我证明 cosine a 减 b 跟这个东西的一个是这么一坨柿子，那这个怎么想啊？在原来这个柿子中，我要想，我的目标是不是要留 c 角的？我要留 c 角， 所以 c 是 我要，我要保留的，所以我是这么想，因为 a 方加 b 方加 c 方等于四 a b， 所以 我愚弦定力将这个东西代换掉。我并没有将这个 c 方代换掉，因为等会要证的东西是跟 c 角有关的，所以我没有将 c 方换掉，而我是将 a 方加 b 方，整体替换成 c 方加上二 a b， 可三 a c 加上 c 方等于四 a b， 对吧？好，那我们代入进去的话，我们将这个移过去就是二 a b 就是 移过去啊，把二 a b 提出来，是不就是二减去 cosine c 是 不等于二 c 方，对吧？然后呢，这里因为我要求角嘛，所以我都把这个角化边， 这个二二先约个调，然后就撒硬 a， 撒硬 b 乘乘以量二减 cos 等于 cos 方 c。 好， 然后这里面因为它都是要围绕 c 角来做的，然后又要出来 cos a 减 b， 所以 很自然的想到从这一步利用核差化机公式， 对吧？这一步也是考验各位三角函数的基本功，核差化机的话，在今年高考压轴题里它也是比较重要的， 所以这个东西大家也是务必要掌握。所以我们利用和差化积公式啊，减去可三 a， 减去可三 a 加 b 分 之二除以二，然后二减可三 c 等于三平方 c， 对 吧？然后呢，我们这里化简一下，两边同乘一个二， 两边同乘一个二，然后得到可三 a 减 b， 减去可三 a 加 b， 就 加上可三 a c 啊，然后等于两倍的三 e 方 c， 就是 一减可三 e c， 然后除以二减可三 e c， 对 吧？好，那我这个可三 a 减 b 就 表示出来了，就是两倍的一减可三 e 方 c， 二减可三减可三 e c， 那 我们只需要将这个通分进去就可以了， 通分一化减化成得到这个，然后我上下同时填个符号，就得到我要证的结论。整体上来说，第二问的思路也相对来说非常顺畅， 不是很难。那我们来看很多同学提问这个第三问，尤其这个答案里写的非常抽象，根本都让人无法理解，这个第三问的思路是什么呢？他让我求这个都取值范围，那取值范围多变量问题，我们的核心是一样的，就是核心，我们都是给他消变量， 核心都是一样的，就消变量，把它变量越来越少，变成单变量函数。啊，那这个怎么会怎么想呢啊？因为我们有的都是边的条件，而且就是其次的，我们有正弦定力，所以我们有撒硬方的关系， 那我们就将这个 tangent 怎么转化成三赢方？那我们因为知道萨方加扣方是等于一的，我们左右两边同除以三赢方， 三赢方 a 就 得到一，加上 tangent 方 a 分 之一等于三赢方 a 分 之一，所以我这个 tangent 方分之一我就可以可以用，我就可以用三赢方 a 分 之一减去一，加上三赢方 b 分 之一减去一来替换。所以我先考虑前两项，等会儿这个最后一项我等会儿再加。啊，我先看前两项怎么化解， 然后把这两个给它通分，就是三 a 乘以三 a b 括号的平方三 a 方加上三 a， b 方减二好，然后这边怎么来替换？因为我等会都是要围绕 c 角来做的，因为最后我还有个 tangent 方 c 分 之三，所以我再去找关系。原来是由 a 方加 b 方加 c 方等于四 ab， 对 吧？那我现在要有 a 方加 b 方， 三菱方 a 加三菱方 b 嘛，无非就要出来 a 方加 b 方，所以这里比较自然，我就将这个 c 方用余弦定律换掉， c 方就是 a 方加 b 方减二 a b 口三 a c 等于四 a b， 那 么我们两这里就是两倍的 a 方加 b 方等于四 a b 加二 a b 口三 a c， 那 我们两边通除二就得到左侧是 a 方加 b 方，右侧把 ab 提出来就是 二，加上 cosine c， 对 吧？那这样子的话，我们这里由正弦定律我们就可以得到 cosine 方 a 加 cosine 方 b， 等于 cosine a 乘以 cosine b 二加 cosine c。 所以 我们将这个 cosine 方 a cosine 方 b 啊，用这个东西带进去， 那么三一方 a， 三一方 b 给它约个掉，上面就是二加 cosine c， 下面就是三 a， cosine b 减二。好，这里怎么办？因为下面还不是跟 c 有 关的，那下面再次利用我们的和插画机公式，三 a 乘以三 a 就是 二分之 cosine a 减 b 减去 cosine a 加 b， 然后呢？哎，你看这里我们就可以借助第二个的铺垫了，第二个我不是正过了吗？ cosine a 减 b 是 关于 cosine c 的 函数，所以我可以先上下同乘二， 对吧？然后呢，把这个 cosine a 减 b 带进去第二个的结论，然后呢，减去 cosine a 减 b， cosine a 加 b， 就是 加上 cosine c 嘛。好了，那从始至终我的心就非常宽了，我已经把 tangent 方 a 加 tangent 方 b 转化成了关于 c 的 函数，所以我的目标已经非常明确了。 那接下来我只要化解我上下同乘以这个，那么上面是 cos 加二， cos 减二，就是 cos 一 方 c 减四，平方差，然后两倍，然后这里的话是 cos 一 方 c 加两倍的 cos 减二，然后这个 cos 一 c 乘以 cos 一 c 减二，这个一乘是 cos 一 方 c 减二， cos 一 c 减二， cos 一 c 约掉，然后这是两倍的 cos 一 方 c 减二，对吧？ 好，那我继续化解。首先这个二跟这个二，我可以提这个提出个二来，是不是 cosine 方 c 减一，这个二跟二约掉， cosine 方 c 减一，就是负的 cosine 方 c， 对 吧？就是负的 cosine 方 c， 然后上面是 cosine 方 c 减四减二，对吧？ 然后这里的话，我左上下添个符号，就是三一方 c 四减口，三一方 c 减二，然后呢，最后的我的目标相当于是急求这个东西加上 tangent 方 c 分 之三，因为我还有一个 tangent 方 c 分 之三，刚才没加，我算的就是 tangent 方 a 加 tangent 方 b， 然后把这个加上去， 这个加上去，然后再给它通分，这个就是什么三除以三平方 c 除以 cosine 方 c， 对 吧？那么乘上来就是三倍的 cosine 方 c 除以三平方 c 嘛，那 cosine 方 c 和三倍的 cosine 方 c 减去 cosine 方 c， 所以 就变成四加上两倍的 cosine 方 c 减二， 那接下来思路就非常顺畅了，我只要将这个四加上两倍的，是不是再把这个余弦画成正弦嘛？三一方 c 对 吧？除以三，一方 c 减二，那么这样子的话就是得到啊，三一方 c 分 之六，对吧？然后减去二，再减去二，就三一方 c 分 之六减去四， 然后呢，因为第一位我已经算过了， c 是 在六分之派到二分之派之间，所以我知道撒引 c 是 二分之派到三分之二分之，刚好三到一之间，那么我这个函数的范围就很快容易算了，我们只要带入两个端点即可 就得到了，最后最终答案就是二到四。所以整个题目呢，对我们考察三角函数的一个变形能力和正弦定律，余弦定律考察的是淋漓尽致，是一道非常不错的训练我们三角函数 功底的一个好题啊。但是很多同很多老师觉得这个卷子出的有点偏了，其实并没有啊，全全是基本功。当然如果你看答案的话，你当然觉得这个卷子没什么意义啊。其实这个南京教研室出的样卷，虽然到底是不是南京教研室出的有待考证，但是它里面的一到十八题 质量是相当的高的，每道题都体现了多想少算啊，多想少算，所以这份卷子还我是建议大家有空的话可以去练一练啊，是一道非常不错的高考前的一个训练。好本题我们就讲解到这里。

不知道同学们有没有做到一张南京市椒盐市的样卷哈，当然我个人对这张试卷就是认为他前面的选择题和填空题出的比较符合高考趋势，也有一个样卷的样子。 不过他这个十七题他其实就已经出到了高考十八十九的强度了。然后这个十八十九吧，十八第三问他说的是真一天十九题，这两问我其实都没怎么看懂答案。 我个人认为这张试卷对于顶尖的学生可能有一定帮助，但是参考价值不大，对于大多数高三学生几乎没什么帮助，当然也可以说我水平太菜了。

二零二六年澳门之后呢，南京市数学教学史又推出了一份高考数学样卷， 呃，名义上讲样卷，实际上是一个模拟卷，也就是一个猜想卷。 好，我们来欣赏一下这一份猜想卷，我们大概要分七讲，其中的第一讲呢，我们还要分两次来分享，我们今天分享选择题的 单选题，选择题我们要分享一，其中单选题和多选题分开讲 这个前面的这个试卷的标题和呃说明都和高考一样的， 按照高考的要求进行去啊。说明， 第一题是一个契合的运算题，很简单，答案是 b。 第二题，负数的运算，答案是 d。 第三题，向量的运算，那么答案是 a。 第四题，分段函数，研究它的图形状态，求存在最小值的时候， c 应该在什么地方，最大值是多少， 我们看到答案是 a。 第五题是简单的一个几何体，长方形 也是简单的，嗯， c。 第六题，三角形的问题，那么 有边 a c 的 区域范围，但是 d。 第七题圆，这题开始增大难度，是动态的一个范围，但是第第八题 是一个三角函数的计算，最终的范围，我们看到应该是 d。 老师把详细的作文故事写到这里来了，希望你能理解一下这样的一个题目。在高考当中要读题了，他并不是很难的， 而是要依据这个点进行正确的转化，当然这里边一定要注意转化谁，范围如何，怎样转化啊？ 我们呢？选择题啊，就讲到这答案定哈，这是检验师给出的参考答案啊，和我们刚才分享的是一样的。 小结一下，从单选题看，他需要的知识点布满了我们高中课本的必修与选修， 但是用什么知识点解决什么问题，一定要厘清关系，解决时要灵活运用方法，我们只有掌握方法，用好方法才能正确解决。 当然每一个题都是考察我们能力的，我们只有通过提高能力才能学好我们数学题，尤其数学的难题好。

好，今天我们来讲解一下近期刚发的南京教研式高考样卷的这个圆锥曲线大体这份高考样卷呢，虽然网上说是不是南京教研式出的未经考证啊，但是它里面的题目质量呢，是相当的高，前一到十八题啊， 题目质量都是非常的高的，完全适合我们最最后高三冲刺的训练。那我们来讲解一下他这个第十七题啊，这个题的话，本质上是改编自我们的浙江卷二零一九年浙江卷的这么一道高考题啊。 第最后一问的处理思想是差不多的，当然这个题目的难度更大一点，他更难在一个预算思维上。 我们一起来看一下第一问，求这个的渐近线方程，那这个曲线给出来就非常简单，就是 y 等于正负根号三 x 啊，没什么难度。我们来看第二本啊，第二本他说已知点 a 是 二三， tan 的 角 b a c 等于二分之一。哎，你画图的时候，你注意一下这个二三是什么意思？ f 点的横坐标是不是也是二， 所以这条线是竖着的，如果这条线竖着的话，那这个难度就大大降低了，如果是斜着的话，我是不是还要用倒角公式？竖着的话就非常简单了嘛，他说他的角 b a c 等于二分之一，那我们就在这里利用一下勾，利用一下那个简单的就可以了嘛，对吧？因为这段是三嘛，然后这个是二分之一，所以这个是二分之三嘛， 对吧？那我就知道点 q 的 坐标了，点 q 就是 二分之七零点 q 知道了，点 a 知道了，我这个 a q 这条直线就是 a c 这条直线我就可以写出来了呀，这就可以写出来了。所以说 y 等于负二， x 加七，然后这个直线我与这个双曲线连立，对吧？与双曲线连立，得到 连立的一个方程，然后解出来两个根，一个是 x 等于二，就是 a 点嘛。一个是 x 等于二十六，就是 c 点，然后 x， c 等于二十六。知道了，我再带到这个方程里去，我们不难解得 c 的 外纵坐标是负四十五啊，所以一二问呢，是比较好的送分比较到位啊，也没有什么难度，我们主要来看下第三问， 他说什么呢？他说他说三角形 abc 的 重心 g 在 x 轴上， g， 三角形 a， f， g 和 c q 级的面积分别为 s 一、 s 二。问，我们 s 一 比 s 二的最小值， 那我们画出草图啊，它是这么一个东西， abc 的 一个重心 g 在 x 轴上，然后 ac 与 x 轴交于点 q， 对 吧？那这个问题呢？ 跟这个题是一模一样的，他这个面积转化的一个操作和思维也是一样的。如果你做过这道二零一九年浙江卷的话，那这个题的思路找找应该是非常简单，但是最后一步的预算还是有点难度的。我本来怎么想，怎么利用这个重心， 怎么利用这个重心啊？今年的面积问题也是高考的一个非常热门的考点，所以是面积问题，是务必要各位同学多练呢。那这个 s 一 这个面积， 因为是重型嘛，所以我我把这个面积跟这个面积进行比一下，就是 s 一 比上 s， 三角形 ab， 这个面积比就是 af 比上 ab， 对 吧？那 af 比上 ab 的 话，那我们叫做圆锥形，叫做画斜，为指斜 斜着的一个线之笔，我们就给它画成了这种重坐标之笔或者横坐标之笔，那我们这里肯定画成它是 y a， 然后这个是 y a 比上 y a 减 y b， 然后这个 s 二，我，我也是跟这个大色大跟这一块去比一比 s 二比上 s 二型 a g c， 它就是等于 c q 比上 c a， 那 么 c q 注意一下啊， c q 比上 c a， 我 也是歪嘴巴子，但是你要注意这个，因为 c 是 负的，所以我的长度是正的，所以应该是负 y c 除以 y a 减 y c， 然后因为 g 是 重心，所以为什么要往这两个地方去转？因为它重心的话，我们知道这个 a b g 这个面积和这个 a 及 c 这个面积是一样的，所以这两个面积一样，对吧？所以我 s 一 比 s 二，我只要左右两个除一除，这两个是不是都被除掉了？ 那就是 y a 除以 y a 减 y b 比上负 y c， y a 减 y c， 然后呢？负 y c y a 减 y b， 是 不得这么一个式子。好，那接下来这个式子开始就难点就开始了，这里目前是有几个变量，有三变量， y a y b y c， 那 怎么办？首先它的重心条件，重心在 x 轴上，所以我们有一个条件叫 y a 加 y b 加 y c 等于零，所以我先将 y c 用 y a y b 的 式子来表示掉，我把 y c 给它消掉，消掉之后我们化简得到这个式子。 那很多高手啊，哪怕来提问的一些学生就是卡在这一步，他下不去了啊，预算不下去了，这一步怎么办？如果你暴力打开来的话， 哎，也不好，他是两倍的 y a 方 y a y b， 那 这个单个变量的平方是不好搞的，然后这边是 y a 的 平方，减去 y b 的 平方是个平方差，那我们知道我们圆锥曲线连力的话，一般是用韦达定力的，我们不会去单的强硬的去解某一个点的坐标的，如果你用求根公式去想的话，那预算量会大大增加，所以这里面 要我们的一个预算思维就怎么样去配凑尾答啊，所以这个这这一步是比较难的，我们怎么想呢？就是我将这个 y a 可以 写成 y a 加 y b， y a 加 y b 减去 y b， 然后这个两倍的 y a 加 y b， 可以 写成 y a 加 y b 减加上 y a， 然后下面先不动它，那我先将上面的东西打开来，就是 y a 加 y b 的 平方，加上 y a 加 y b， y a 加 y b， 提出来是不是 y a 减 y b， 然后减去 y a y b， 然后除以 y a 加 y b 乘以 y a 减 y b。 好，这个一提出来之后啊，我们看这个跟这个约个调，就是 y a 加 y b， y a 减 y b， 然后这两个是一样的，加上一，减去 y a y b， y a 加 y b， y a 减 y b。 好， 你看这一步的操作就是非常关键，我将它全部配凑成了伟大的式子， y a 加 y b， y a 乘 y b， y a 减 y b， 全部都可以用伟大定律来表示的， 所以接下来我们只要连立就行了。我们令 a b a b， 你 说怎么射这个直线，那肯定是射，因为我要得到是 y 的 关系嘛，所以肯定反射直线 x 等于 m y 加二。那反射直线的过程中务必要注意它的引含条件啊，因为它这个是与 同一支要交于两个点的话，那么这个斜率呢，是不是一定要比渐近线的斜率要大？所以它的这个直线的斜率是 m 分 之一啊，然后因为 正负我现在不确定吧，那就加绝对值吗？ m 分 之一的绝对值，我要比这个根号三要大，所以我得到 m 方分之一是大于三的，所以三 m 方减一是小于零的。那这个隐藏范围也是我们在双曲线中经常做的啊，就是要跟同一只还是一只交于两点的话，我们经常跟渐近线的斜率去比较。好， 那接下来的话，我们只要带入连利即可，把 y a 加 y b 算出来， y a 乘以 y b 算出来，然后 y a 减 y b， 我 们也算出来，然后把它带到刚才这个式子里去啊，我们进行一通化简，一通化简我就全部带入了。然后呢，进行一通化简。然后呢？化简之后啊， 这一步化简呢，大家可以自行动笔操作一下，其实没什么难度，就是稍微预算一下，然后最后是划到这一步，划到这一步又有同学卡住了， 最后画画画，画到这一步，又有同学做不下去了。有些东西想对根号换元，对吧？你想对根号换元其实也没什么用，你把这个换根号换掉了的话，你看你这个 m 怎么换， m 又换不掉， 所以这个题目，哎，对于这个式子的求醉之怎么处理啊？也是很多同学会卡住这个式，怎么想啊？我给他拆一个出来， 把这个十三 m 方加一拆成十二 m 方，然后加上 m 方加一。然后呢，你看我这两个式子可以利用基本不等式，一用的话都消光了，因为 m 方加一乘的话，这个跟这个这个约光了，然后 m 方跟这个 m m 也约光了，基本不等式，你看一乘就出现定值了，所以这里面是一个拆解的一个配凑， 然后凑凑基本不等式啊。那这样子的话，我们一一划， m 方 m， m 方加一， m 方全部约掉，就是六十四分之十二，然后一开根号六十四分时候，就八分之二根号三， 然后就这个乘以这个相当于二分之根号三加一，所以最后我们就得到了它最小值，就是二分之根号三加一。那什么时候取等呢？就是这两个东西相等的时候嘛，这两个相等的时候分母一样的，那我就十二 m 方等于 m 方加一，当十一 m 方等于一的时候， m 方等于 十， m 方等于十一分之一，就是 m 等于十一分之根号十一的时候，它取到一个最小值，所以我们就求出了 s 一 比 s 二最小值就是二分之根号三加一。 所以这个题目呢，作为十七题来说，那难度是稍微大了一点，在新高考里面大概可以放到十八题的位置， 它其中蕴涵的思想，第一步的一个面积巧妙转化，利用重心，在我们的二零一九年质量卷里已经出现过了。那这个题独特的难点就是最后的一步的代数处理啊， 非常考验同学们的代数运算基本功，所以这个题是一道非常不错的圆锥曲线训练题啊。本题我们就讲解到这里。

大家好啊，我是毕燕玄鹤，今天来给大家讲一下南京教研式样卷的第十八题，解三角形的一个压轴题。哎，这道题目很奇怪啊，他居然把一个解三角形的题目放在了第十八题这个次压轴的位置， 并且这道题确确实实的难住了很多很多的同学。那接下来我们来看看这道题目啊。我们来看第一小问，让你求角 c 的 取值范围。我们直接对角 c 使用余弦定理，它就应该等于二 a， b 分 之 a 方加 b 方减 c 方，单独的 c 方在这题目的条件呢？单独的 c 方也在这， 所以我们可以把 c 方消掉，带入进去，就应该是这个式子。化简之后呢，就能得到 a 分 之 b 加 b 分 之 a 减去二，因此我们接下来只需要去求 a 分 之 b 的 范围，那 a 分 之 b 的 范围怎么去求呢？哎，你再看一下题目，还有一个条件我们还没用呢，锐角三角形。 哎，这道题很多人第一小问写不出来，就是因为他锐角三角形这个条件啊，没有好好的用起来锐角三角形就说明了他的三个边的平方是有一定关系的。 直角三角形，我们是 a 方加 b 方等于 c 方，对不对？那锐角三角形呢，就应该是 a 方加 b 方是大于 c 方， a 方加 c 方大于 b 方， b 方加 c 方大于 a 方，有这样的三组关系。 这三组关系我们现在要求的是 a 分 之 b 的 范围，所以再把这个 c 方给消掉，还是用这个式子，那消掉之后呢，就能得到三组关于 a 和 b 的 什么呀？其次式， 对吧？哎，当然其不其次无所谓了，你直接化简一下就能得到这三组式子。这三组式子还有一些要注意的地方，尤其是这个东西， 这个东西说明啥呀？我们都知道 a 方加 b 方，它应该是大于等于二 ab 的 啊，根据我们的基本不等式， ab 又都是正数，对不对？但现在它不能取等了，它这边是严格大于，这就说明我们基本不等式不能取等号，也就是 a 不 能等于 b， 所以 第一个条件啊，也是有用的。 那第二个条件，第三个条件呢？很简单，就是 a 分 之 b 的 范围，所以三个方程解得 a 分 之 b 是 大于二分之一小于二的，并且 a 分 之 b 不 等于一，这个东西啊，也是很容易漏掉的。那最后我们 cosine c， 它应该就等于刚刚写的是这个式子 一个对勾函数，然后范围有了，我们带入进去，就应该是零到二分之一的范围。题目要求的是角 c 的 范围啊，注意，所以角 c 呢，应该就是三分之派到二分之派。 接下来我们来看第二个小问，他让你证明 cosine a 减 b 等于这样一个复杂的式子，这个式子里面啊，全都是 cosine c， 所以 我们肯定主要要针对左边的式子进行一些处理。 我来给大家讲两种思路啊。这道题我们现在有的条件其实就只有这个东西，要证明这个恒等式其实和锐角三角形几乎是没有关系的。那我们先把这个等式写下来，哎，就这个式子，然后题目呢，右边有大量的全都是这个 cosine c， 所以我们对 cos 啊，用一个余弦定理得到 cos 等于这个式子。结合这两个式子，你看看哪些部分消掉比较好啊？我们可以把这边的 a 方加 b 方整体消掉， 二式代入到一式，也就得到了这个式子，哎， a 方加 b 方就整体等于二 a， b cos 加 c 方，哎，然后再加一个 c 方等于四 ab， 这个式子化简一下，就变成 c 方等于 ab 乘以二减去 cos 三 ac， 哎，你会发现左边是 c 方，右边呢是 a b 两边使用一个正弦定理就得到 sine 平方 c 是 等于 sine a 乘以 sine b， 再乘以二减 cosine c 的。 其实写到这儿啊，你大概能感觉到自己的方向是对的的，因为这边出现了一个二减 cosine c， 对 不对？ 并且这个 sin a 乘以 sin b， 你 想到的什么呀？应该想到一个奇化和差 cosine a 减 b， 其实就是由 cosine a 乘以 cosine b 得到的。根据奇化和差公式，我们 cosine a 乘以 cosine b， 应该就等于这个式子 cosine a 加 b 减去 cosine a 减 b， 哎，前面再乘一个负二分之一，然后在三角形里面，我们 a 加 b， 它又能变成负的 cosine c， 那只剩下我们 cosine a 减 b 了，就是题目上的这个东西，所以这道题就写出来了，能理解吧。哎，我们来化解一下。 首先这个 cosine x cosine b 先单独放到一边，然后这个 cosine 平方 c 呢？把它写成 cosine c 的 形式就是一减去 cosine 平方 c， 然后把这个二减 cosine c 移到左边去，就得到这个式子。是等于 cosine a 乘以 cosine b 的。 根据奇化和差公式，哎，它就应该等于这个式子， 然后这个式子 cosine a 加 b 就 应该等于负的 cosine c 化解一下，这个式子整体就应该等于二分之 cosine c， 再加上 cosine a 减 b， 把我们的这个二乘到左边去，就得到了 cosine c 加上 cosine a 减 b， 是 等于这个式子的。哎，那这道题已经证出来了吧，我们把 cosine c 移到右边，然后通分一下，就能证明出这个式子。 我们再来看第二种思路，我们题目是 cosine a 减 b 等于这个式子，右边其实不用去管的，因为它已经写成一个关于 cosine c 的 最减的形式了。那关键就是要处理左边左边这个东西呢？根据对称性，我们能不能给他补上一个 cosine a 加 b 啊？ 负的 cosine a 加 b， 而这个东西呢，就是 cosine c， 所以 我们左右两边同时加上 cosine c， 右边化简之后还是一个关于 cosine c 的 式子，不用管来化简一下，就这个东西，左边这个东西 cosine c 就 等于负的 cosine a 加 b， 这两个东西拆分一下，就得到两倍的 cosine a 乘以 cosine b， 而右边的分子上这个 cosine 平方 c 减一，就是负的 cosine 平方 c。 a， 三点平方 c 三 a 乘以三点 b。 可以 使用一个正弦定理，正弦定得到 ab 是 等于 c 方比上这个式子的。对于 cosine c， 我 们再用一个余弦定理，然后整体式子化解一下，就正好是我们题目中的这个式子。 所以这就是第二小问。难点就是如何去处理 cosine a 减 b， 这个平时处理的应该比较少哎，所以第一次遇到可能比较陌生。 我们再来看第三小问，第三小问让你去求这个式子的取值范围，其实思路非常简单，肯定是去消圆在三角形里面，那怎么消圆呢？肯定是把这边的 a 和 b 全都消成 c， 因为我们第二小问已经给的提示了， 这个 cosine a 减 b 就 能化成一个关于 cosine c 的 一个形式，所以你肯定是去把 a 和 b 化成 c， 那 如何去化简呢？首先这个 tan 的 平方和 cosine 平方，所以先化简一下 tenn 的 平方 c， 它分之一呢，它应该等于三亿平方分之扣三亿平方，也就等于三亿平方分之一减三亿平方，哎，就应该等于三亿平方分之一减去一个一， 哎，所以我们把这边的 tenn 的 全都化简成三亿平方分之一，再减去一个一，也就得到了这个式子。 这个式子还是一样的，我们后面有关 c 的 部分全都不动，仔细看这个式子，散影平方 a 加散影平方 b， 哎，根据我们题目的这个条件，我们是不是能对它进行一些化简啊？这个式子用一个正弦定理就得到，散影平方 a 加散影平方 b 是 等于 四倍的三 a 乘以三 a b， 再减去这个三平方 c 的， 所以带入进去它就应该这个东西就应该等于四倍的三 a 乘以三 a b 减去三平方 c， 三平方 c 也不需要去动了，主要就是这个三 a 乘以三 a b， 然后你的分母也是 sin a 和 sin b， 还再来一个平方，所以我们就去思考能不能用 sin c 或者 cosine c 去代替这个 sin a 乘以 sin b 呢？显然是可以的吧，我们第二小问已经证明出来了，刚刚第二小问 写到这的时候，哎，三 a 乘以三 a b 就 等于这个式子呀，二减 cosine c 分 之一减 cosine 平方 c。 所以 这就可以把三 a 乘以三 a b， 用这个式子带入进去就已经可以去计算了。但是如果你就直接带入到这个式子里面去计算的话，计算量还是非常大的， 哎，你去思考一下，它就应该等于什么呀？这个数字就应该等于四倍的，一减 cosine 平方 c 比上，二减 cosine c， 再减去一个 sine 平方 c 比上， 一减 cosine 平方 c 比上二减 cosine c。 括号的平方通分以下应该是能约掉一些东西的，但是整体算起来还是非常的复杂，对不对？那你再做一步思考啊，你看 a 方加 b 方加 c 方是等于四 a b 的， 这是题目。然后余弦定理， c 方是等于 a 方加 b 方减二 a、 b 乘以 cosine c 的， 我们把这边的 c 方给约掉，就得到了 a 方加 b 方是等于 a， b 乘以二加 cosine c 的， 对不对？哎，这个式子不就是 向量 a 方加上向量 b 方等于向量 a 乘以向量 b， 再乘以二加 cosine c 吗？我们把这个东西带到这个分子里面，不就能和分母约掉一个向量 a 乘以向量 b 吗？ 是不是？那这样计算就好算多了。我们来算一下，根据这个式子变成正弦定的形式带入进去，原式就应该等于这个东西，然后再根据我们三 a 乘以三 a b， 算出来是等于这个东西的，带进去就应该化成一个关于 cosine c 的 式子， 通分一下就得到这个式子，哎，这是一个假分式，把这个假分式变成真分式，就是三元平方 c 分 之六减去四，根据第一小问， c 的 范围是三分之派到二分之派，所以三元 c 是 二分之二到三到一，因此带进去范围就是二到四。那这道题就写出来了。 哎，其实写这道题又让我感觉回到了那个二二年新高考一卷的那个三角函数解答题。第二题啊，就很有这种感觉， 只不过这道题目在平常我们写的这种解三角形恒等变换的基础上，他又加了一个奇化和差的思想在里面，那整个题目就复杂很多了。 然后这道题目还有个细节，就是锐角三角形，大家一定不要忘了有这样的一个式子，同样的钝角三角形也会有，对于他的那个钝角 a 方加 b 方，他应该就小于 c 方。 锐角三角形这边有三个式子，但是钝角三角形它应该是一个式子，是比如 a 方加 b 方是小于 c 方，但是其他的两个角它是锐角的，所以就是 b 方加 c 方是大于 a 方，然后 a 方加 c 方也是大于这个 b 方的。 钝角三角形就是这样的一个关系了，锐角三角，因为它三个角全是锐角，所以三个关系是完全一样的。好，那这道题就讲到这，希望大家能够学到东西，感谢大家的收看。

二零二六年高考南京校园史的数学样卷，我们今天讲分享一的第二部分，多选题， 九到十一题是多选题啊，每一小题六分，共十八分， 选的全对的得六分，部分选对的得二分，有选错的就是零分。 第一题也就是第九题，第九题是一个统计的一个数量关系啊，数量关系这样的一个呃，多项题。 那么这题很简单啊，我们一看，但是 a、 d 第十题是函数的图像，函数的图像实际上当然还有函数的单调性，就是函数它图像的特征。 那么这一题考察的很好，自己去思考一下。答案是 b、 c、 d 第十一题，这一题，哎，立体几何是将几个动态的一个图，空间图形的转化， 那么这题要求我们具有空间的意识，空间的想象能力，转化的能力以及表达的能力。但是 a、 c、 d 啊，纵观多选题啊，我们看到 我们的都选题，他的字典是遍布在我们高中课本的任意一个方面的，出现在哎，什么地方 随时可以问题，当然重点字是重点考啊， 我们看单元题，多选题或者是填空题、解答题，都是从易到难的贯穿理学的数学内容， 重点知识重点考，反复考，变化考考方法，考能力，测素养。

好，今天给大家讲解的是南京教研四在五月份给大家出了一张样卷，这张试卷的十七题的圆锥曲线题，这道题的位置虽然是十七题，但是它的难度却不低于十八题。 这道题改编自二零一九年的浙江卷的抛物线的大题，把原题的抛物线改成了双曲线，所以它的难度是只增不降啊。 这道题它本质上是一个披着圆锥曲线外移的向量题，所以这道题它最本质的做法是通过用向量的方法去解决它。但是呢，这道题我们也可以通过用解解解的方法解决，所以这道题我会用两种方法给大家进行讲解。 首先给大家讲解的是用向量法，因为向量法其实本质上就是抓住 f、 g、 q 这三点共线， 三点共线之后，他们的系数，我们的 a、 f 和 ab 的 比值，以及 a、 q 和 ac 比值的关系，那我们就来做了。首先设向量 ab， 它是等于 number 两边的 af， 向量 ac 它是等于 m 五倍的 a、 q， 那 么首先利用到它的重心，所以 ag 它是等于三分之一的 ab 加上三分之一的 ac， 再把 ab 转化成 af， 就是 三分之一 number 的 af 加上三分之一 m 五倍的 a， q， 再利用它们呢？用 afg、 q 三点共线， 所以它的系数和等于一，所以 number 加 mu 是 等于三的。实际上我们还能得到一个东西，就是 f， g 和 g， q 的 比值就等于它们系数。反过来，等我们的 mu 比上 number， 得到这两个比值之后，再来就做这道题。求三角形 a、 f、 g 和三角形 c、 q， g 的 面积之比有两个角度，第一个角度呢，我们选择窄体三角形的 a q g 这个载体，三角形 a f g 和角形 a q g 的 比值比较好表达，三角形 a q g 和三角形 c g q 面积也比较好表达。第二个呢，选择的载体是三角形 g a b 和 g a c， 因为它的重心这两行的面积是相等的，所以说我们可以选择 afg 比上 abg， 然后 acg 比上三角形 cg q 啊，都可以，两种方法都行啊。几何我们用圆锥形的方法，用方法二，那么在这里用向量的方法，就用方法一来去做， 也就是我们呢，首先 s 一 就是三角形 a f g 比上三角形 a g q， 这两三角形的面积之比，就等于 f g 比上我们的 mu， 比上三角形的 c q g， 我 们的 s r 啊，就是我们的 s r， 它两个面积比呢，就等于 a q 比上 c q， 在 这里友友们设的是 a a c 等于缪倍的 a q， 把 a q 写成一倍， a c 写成缪倍，那么 c q 呢，就是缪减一，所以 a q 和 c g 的 比值就是一比上缪减一，那么因此 s 一 比上 s 二，就等于两者相乘啊，就等于缪 比上 number 乘以缪减一了，再利用它们 number 和缪合为三，做个消元就可以了，有什么呢？三减缪乘以一个缪减一缪了，然后我们做个简单的化简就可以了。 首先底下呢，就是我们的负缪方加四缪减三，我们就分子分母 减，基本操作除以 m 就 等于四减去 m 加上 m 分 之三，我们看一看，求的是最小值， 最小的，我们求分母的最大值，也是分母的最大值，就是 m 加 m 上最小的正好，基本都是刚好四的，所以符号是正确方向是对上去的 两倍根号三了，于是等于四分之四加两倍根号三，等于一加二分之根号三，就这样子的。首先我们可以通过用向量的方法解决了这道题， 那么接下来给大家介绍一下用圆锥曲线的方法就解决这道题。好，我们用圆锥曲线的方法来做这道题。这道题我们首先吧把该点设的点肯定要设下， a 点坐标 x 一 y 一， b 点坐标 x 二 y 啊，这两个点肯定要先表达一下 直线 a b， 就 没有必要这么着急就设了，因为这道题感觉上它就不够对称，那么不够对称的你就强行设直线用，我在这里是没有什么用的，所以这道题先把我们所要求东西表达出来 在这里啊，首先啊，我们把三个点坐标都测出来再说，嗯，在这里因为要求了 q 点，它是在 f 点的右侧啊， q 点在 f 点右侧，而 a 点在 x 的 上方，所以 b、 c 两个点都在 x 的 下方， 并且 b、 c 两个点都在 x 的 下方，那么 a 点的纵坐标显然加上 b 点的纵坐标大于零，所以这条直线的斜率还得大于 f 的 横坐标。 好，先捋清楚它这个点的关系再去做。先把面积给表达出来，那么 s 一 和 s 二的面积之比我们表达出来， 就用我们上面说的第二种方式，用三角形 a b g 和三角形 a c g 这个载体去做，就等于 s 一 比上三角形 a b g 乘以三角形 a c g 比上 s 二好， s 一 比上三角形 abg 就 等于 af 比上 ab， 后面一个呢，它就等于 ac 比上 cq。 好 了，接下来等用我们的坐标去表达了 af 呢？就等于 y e y a f 比 ab 等于重作标志差的比等于 y 一 比上 y 一 减 y 二， 同样的 a c 比上 c q 也得重做标志差的比 y 一 减 y 三比上负 y 三。 在这里我们把该把条件就上去了。 abc 三个点，重心在 y 轴上，所以 y 一 加 y 二加 y 三等于零，我们选择把 y 三给消掉，那么负 y 三等于 y 一 加 y 二带进去，那这个是变成了 y 一 的平方，减 y 二的平方， 那这一块变成了二， y 一 加 y 二，就变成两倍 y 一 的平方，加上 y 一 乘 y 二。在这里所要求的是显然它不对称，它不对称，你要强行， 如果说你强行设直线，我来定，你去，算是比较麻烦的，所以在这里就不设直线了，通过设点去做，我们通过用 a 点的坐标表示出 b 点坐标，从而达到一个消圆的效果。在这里我们把 y 给消掉。好，我们来去做。 那么怎么做呢？首先设出直线 a f 直线 f 方程，就是 x 等于横坐标之差，比上纵坐标之差 y 再加个二，再把它和双曲线进行连立， 读到就是 x 一 减二，比上 y e 的 y 加个二，它的平方减去三分之外方等于一。好了，这是我们的常规的展开化简了。等于 x 一 减二，比上 y e 的 平方减一个三分之一倍的 y 方，加去四倍的 x 一 减二，变成 y 一 的 y 加三等于零。接下来我们可以用两根之和，两根之极都行，我选择用两根之极做，简单一点，那么 y 一 乘 y 二等于三，比上 x 一 减二， 比 y 一 的平方减一个三分之一，分子分母同时乘以 y 一 的方，那么底下变成了 x 一 的平方减三分之 y 一 加四 等于 x 一。 y 一 在双曲线中，我们框的这部分等于一所得到，就等于三 y 一 的平方比上五减去四 x 一， 从而也能得到 y 二呢，等于三 y 一 比上五减四 x 一 了。 那么接下来我们就可以把面积带入进去了，它的面积的表达式就等于分母是 y 一 的平方减 y 二的平方啊，把它带进去， 而分子是两倍 y 一 的平方加上 y 一 乘 y 二，就等于三， y 一 方比上五减十个十一。好了，先约分，我们 y 一 的平方是可以憋掉的。 那么在分子分母同时乘以五减四， x 一 的平方变成了两倍的五减四 x 一， 它的平方加上三倍的五减四 x 一， 底下呢？五减四 x 一 它的平方， 然后再减九。在这里刚刚已经明确过了， a f 这道的斜率为正，所以 x 一 必定会大于二， 我们这里肯定得换元，但是如果你换五减四， x 一 换成 t 的 话，那这个是负数，我们换成四 x 一 减五，由 x 一 大于二，那么 t 大 于三，带进去就变成了 t 方减九，二 t 方减三。 t 就是 我们常规的二次分式的计算的带路。首先分离常数变成二加上 二， t 方减十八，我们再加上十八，十八减三， t 把三提起来，六减 t 比上 t 方减九。好了，为了看起来舒服，变成减号的 t 减六， 比上 t 方减九，这个时候就比较常规的把 t 减六除下去了。两种情况，第二种情况，如果 t 等于六的时候，原式它等于二啊，我们再做 t 不 等于六的时候， 那么原式代入去二减去三倍的，上面 t 减六，下面就无非是常规的把它 t 变成 t 减六加六，它的平方减九，于是等于二减去三倍的 t 减六，一除底下就是 t 减六 加上常数加上三十六，减九，二十七，二十七除以 t 减六，再加上一十二。好了，我们看看，在这里要注意， t 是 有正有负的，但有正负没有关系啊，我们要求这个原式的最小值，那我们尽量要减去一个 啊，尽量减去一个正数，减去正数，它就会比二小，那么所以我尽量看看它分母这地方我们要直取，直取正， 我来先算分母的范围，由于 t 的 范围是负三啊， t 的 范围是三啊， t 减六的范围， t 减六的范围是负三到零，并上零到正无穷，所以 t 减六加上 t 减六分之二十七。先看负数这边它对准轴是正负啊，它的极值点是正负三倍根号三，所以说它在负无穷到负一十二这一段呢 啊，右边这一段是有极小数点的两倍根号三就是我们的六倍根号三到正无穷。好了，当然呢，这里应该是 b 曲线， 那么在这个时候加上一十二，左边是负的不管，所以肯定看的是这一段的，所以说它的范围就是分母是大 a 等于一个符号，倒一下就变成小 a 等于，再减就大 a 等于 ok， 带进去刚好是我们的最小值。大 a 等于二，减去三倍的 就是十二加上六倍根号三了。于是再来的化简就等于啊，二减去四加两倍根号三分之一， 等于二减去四分之四，减两倍根号三好了，也等于一加二分之根号三，就这样子的就把这道题给解决了。这道题通过用几何法去解决的话啊，通过用这种圆锥圆锥曲线这种方法去解决这道题 有两个非常重要的思想，第一个思想是面积的如何表达这几个这道题直观重要的解决的点。 第二个点在于处理这个式子的时候，我们选择用 y 一 去表示 y 二，这也是我们圆锥曲线中一个非常常见的用一个点去表示另外一个点，然后再带入去计算啊，这些都算是我们圆锥曲线的一些基本方法 啊。这道题整体上而言难度肯定是不小的啊，但是是一道非常值得去做的题，把这道题给好好的去做做，去弄明白，也能对我们解析几何有非常大的帮助。

二零二六年南京郊野史高考数学样卷已经推出，我们前面分享了单选题、多选题，这将我们来分享填空题 十二到十四题型。填空题每小题五分，共十五分。第十二题考察二象，是对立。 第十三题考察三角函数，它的图像与性质。 第十四题考察以抛物线图像为框架的一个三角形的问题。 实际上它是一个综合性的，是解析几何的三角形的一个综合啊。 我们看第十二题，它的答案应该是负。十八、十三题，它的答案 是 octa， 当然还可以取其他的啊，只要中边不变啊，符合条件都可以取，我们取 octa 最为恰当的一个。 那么第十四题，当然这题要转化，要计算直线 l 的 斜率为等号。好，我们教学时给的答案也是这样的。 清空题是围绕课本知识展开命题， 无论多么新颖，它都会转化到课本知识体系当中去。晴空题就是需要精简的，单的一个简单题。好，再见。

二零二六年高考前啊，南京教师推出了一份很好的 数学样卷，我们来分享一下。前面我们分享了单选题、多选题和填空题，今天我们来分享解答题的第一题， 第十五题，一个六题，九题。它是一个直三人柱和一个正三人追 组合而成的一个组合题。在这个组合题里面，解决两个问题，一个正面面垂直，第二个求二面角的余弦值。 这题虽然很新颖，但是解题过程很明显，也很简单。第一个呢，面面垂直，就是正一个面中的一条线，垂直于另一个面中的两条相交直线。 第二个就是常规的建立坐标系，使得点有坐标向量有坐标，从而求面的法向量。解决问题 啊。给题的证明很简单，要提建立坐标系之前，不过一定要说明两两垂直才可以建立坐标系的。 解析之后，使得点有坐标，那么定的向量有坐标就可以求平面的法向量。 说一个平面的法向量，用这个法向量和平面中不共现的两个向量的数量级都为零，从而求得它的法向量。 同理可以求出另一个法向量，根据我们条件从而得到结论。 解答题也是由已到难排布的例题结合，我们往往有两小题，一个是证明或者计算，另一个要建立空间直角坐标器，用向量法来解决问题。 我们看到这份样卷当中，由于立体几何体啊比较简单，所以就放到了解答题的的受题，也是送分， 我们往往称为叫送分题。当我们应知应会的掌握之后，我们这样的题是很容易解决的，也就是很容易得到满分的啊，再见！

南京教研室这一份二零二六高考样卷，是我见过的最接近真题的一套模拟题。他难的方式跟真题一样，不是靠偏怪刁钻来为难你，而是在基础框架里埋坑。每道题你都觉得眼熟，但一动笔就发现没那么简单，非常考验专注度和基本功。 如果你没有时间从头到尾的做完，我挑几道好题出来，你一定要做一做。第八题，结构销元转化成二次函数 b 区间最值关键就一个词，范围。 你要是动笔前没有想清楚取值范围，盲目的放开计算，结果就南辕北辙，想通了三五分钟搞定，没想通在公式里面磨二十分钟还不一定对，这就是典型的方向比计算重要。 第十一题，一个正方体里的动态几何，把轨迹识别、结面、交线长度、空间距离最直，全都揉到一起。最后一个选项更狠，夹角横定，直接搞出一个空间圆锥面。你得把线段长度跟坐标轴夹角的余弦值建立联系，做一个放松才能转化成坐标差的问题， 空间问题进一步降到平面，干净利落。第十四题，抛物线交点前正面连力去算交点，再求中垂线和准线的交点， 袋鼠推导，又长又容易出错。但你要是练过交半径角参公式坐标计算，直接转化成角度和线段的处理，整个过程就简单多了。同一道题方法不同，耗时天壤之别。 第十八题，解三角形，表面温和，第二问要正，一个看着挺复杂的等式死磕边的关系会很痛苦，但通过正弦定理 加和插画机转成唇角关系，你会发现结论很简洁，最后整体换元变成带入函数求直域。思路一转，你会发现豁然开朗。 第十九题，概率大题。这道题很体验南京郊区的出题规律，没有深造概念，故作高深。从他熟悉的数列地推切入到随机游走模型，落脚点是组合数求和与放缩。最后一问，求绝对值的期望把概率分布跟组合数和等式无缝拼接到一起。 遇到这种题，卡住了，不要慌，利用对称性拆解的值，配合组合数的降解吸收，一步一步来，大部分分数都可以拿得到。这套卷子我做了完整的解析，每一道题的思路、拆解方法、对比、易错点全部都整理好了，你拿到手好好的去练一练。

南京椒盐市命制二零二九年新高考一卷数学样卷出炉，这套模拟样卷的质量向高考看齐，可以用来巩固知识，备考练习使用，值得好好的去练一练。 写作单元题，前四题纯送分。向第五题对追题的体积公式进行新的考察。问法本质是体积公式的计算。第七题以少过的面积为创新设问，考察了圆心距，重思维、轻计算，贴近高考考察方式。第八题看起来有难度，但实际考察了二百九公式，关键在于有没有想清楚取值范围。 多选的第九题。第十题平稳，不偏不怪考察的函数对差异。第十一题全卷最难多选以动态图形的设问拉开区分度，考察动态轨迹几何最直洁面交线融合 填空题。第十三题问法新，但本质是三角函数单调区间的运用。第十四题难度延续往年高考填空压轴难度不大的风格，通过发现抛线物与等边三角形的关系，从而解决设问重图形，轻计算。解答题十五题图看起来复杂，实则不难考察空间建立。第十六题，运用导数解决不等式，难度中等。 十七题本质考察了双曲线的几何性质与定义。第三问要求转化为代数式，难度与往年十七题类似。十八题考察的三角恒等变换的能力，本质上是考察对三角恒等变换的转化，巧妙地体现了综合素养能力。第二问证明恒等式 看到正弦平方和立刻用降倍公式，看到上 a 乘上一 b， 立刻用计划和差，最终把设置全部换成 c 和 a 杠 b。 第十九题全卷最高难度不要硬算，以新定义的方式将梳理与概率融合在一起，考察了学生的综合分析能力与转化化会的数学知识研究，巧妙的体现了今年双亚洲风格。 总体而言，作为一份对标二零二六年新高考一卷的标杆样卷，本分试卷难度设置不搞偏怪。这道卷四题和答案都整理好了，有需要的家长可以评论区留言。