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杨付民2周前
水杯函数方程的数学结构分析与应用研究: y=int[0.5sgn(x^2-a)+0.5]*int[0.5sgn(b-x^2)+0.5]*x^2+a*{1-sgn[abs(y-a)]}*sgn[sgn(x^2-a)+1]+b*{1-sgn[abs(y-b)]}*sgn [sgn(b-x^2)+1]/int[0.5sgn(b-a)+0.5]/int[0.5sgn(a)+0.5]。 这个函数方程的图象是一个水杯的侧视图,它的两侧各是抛物线的一小段,杯㡳边和杯沿边分别是两条与抛物线上下端点连结的线段。它在 -√b< x < √b区间内是一个多值函数,所以称之为水杯函数方程也是非常合适的。它通过组合符号函数、绝对值函数和取整函数,像搭积木一样构建出了一个杯子的侧视图轮廓。下面我们来一步步解析这个有趣的函数方程。 为了更清晰地理解,我们可以首先将这个复杂的函数方程分解成几个关键部分。整个函数方程可以看作是由6个组件相乘相加而成的: y = [组件1] *[组件4]+ [组件2]*[组件5]+ [组件3] *[组件6] → 混合[组件4、5、6] 其中: 组件1: x² → 负责形成杯身的两侧抛物线。 组件2: a → 负责形成杯底边。 组件3:b → 负责形成杯沿边。 组件4: int[0.5sgn(x^2-a)+0.5]*int[0.5sgn(b-x^2)+0.5]→ 负责截取杯身的两侧中间的一段抛物线。 组件5 {1-sgn[abs(y-a)]}*sgn[sgn(x^2-a)+1]→ 负责截取杯底边。 组件6 {1-sgn[abs(y-b)]}*int [0.5sgn(b-x^2)+0.5]/int[0.5sgn(b-a)+0.5]/int[0.5sgn(a)+0.5]→负责截取杯上沿边。 然后,观察函数组件如何“塑造”水杯 这个函数的核心在于利用符号函数 sgn(x) 的特性来“开关”不同的图形部分。 sgn(x) 会根据输入值的正负返回1或者0。例如组件4: int[0.5sgn(x^2-a)+0.5]*int[0.5sgn(b-x^2)+0.5]中,x²-a和b-x^2都必须大于0,最后结果才能为1,否则组件4输出只能是0。而y=x²,于是可得a<y<b。由此截取了杯身所在的两侧抛物线段。 通过巧妙的组合,可
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