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STEM2月前
第十一讲 在Ax=b的条件下最小化∥𝑥∥ 主要讲述了数值线性代数中的几个核心内容,重点围绕Gram-Schmidt正交化过程及其改进方法展开。首先,回顾了Ax=b线性方程组的多种求解情形,特别提到了当矩阵A过大时的挑战。然后详细解释了不同范数(L1、L2、L∞)下的最小化问题,通过二维图形直观展示了它们的几何意义和解的差异,强调了范数选择对稀疏解的影响。 接着,深入介绍了Gram-Schmidt正交化算法的基本原理及步骤,包括如何将一组非正交的列向量转化为正交单位向量组Q,以及如何通过矩阵R描述原始矩阵A与Q的关系,即A=QR分解。讲者详细推导了计算R矩阵元素的方法,指出R的元素实际上是Q列向量与A列向量的内积。 随后,讲述了标准Gram-Schmidt算法存在的数值稳定性问题,提出了改进版的带列交换(pivoting)的Gram-Schmidt方法,即在每一步选择剩余列中“最大”的向量进行正交化,以避免数值误差积累和基向量线性相关性过强的问题。这种方法虽然看似增加了计算量,但实际上效率并未降低,因为这些计算本质上是必须的。 后半部分引入了Krylov子空间方法及其正交化技术,介绍了Arnoldi和Lanczos算法,它们基于Gram-Schmidt思想用于大规模稀疏矩阵的特征值和线性方程求解。强调正交基的重要性,指出正交基简化了投影和系数计算过程,从而提高了数值计算的稳定性和效率。 最后,推荐了数值线性代数领域的经典教材,如Trefethen-Bau和Golub-VanLoan的《数值线性代数圣经》,并总结了本节内容属于数值线性代数的基础且经典部分,为后续处理更大规模矩阵问题奠定了理论基础。
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