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概率分布 概率分布是概率论与统计学中的核心概念,用于描述随机变量在不同取值上的可能性分布规律。它不仅是理论研究的基石,更是实际应用中数据分析、风险评估、决策制定的重要工具 概率分布的本质是对随机现象数学化的描述。当一个事件的结果无法被唯一确定,但所有可能结果的概率可以被量化时,概率分布便提供了这种量化的框架。例如掷一枚公平的骰子,每个面朝上的概率均为1/6,这就是一个离散型均匀分布。概率分布通常通过两种形式呈现:概率质量函数用于离散型随机变量,直接给出每个具体值的概率;概率密度函数则用于连续型随机变量,通过积分计算区间概率。而累积分布函数作为统一描述工具,能同时适用于离散和连续情形,表示随机变量小于等于某值的概率,具有单调不减、右连续等核心性质。 离散型概率分布:从伯努利到泊松。离散型概率分布描述取值可数的随机变量,经典分布包括:伯努利分布,最简单的"是或否"模型,如一次硬币抛掷,成功概率为p,失败概率为1-p。其期望值E[X]=p,方差D[X]=p(1-p)。二项分布,n次独立伯努利试验的成功次数,参数为(n,p)。泊松分布,描述稀有事件在固定时间/空间内的发生次数,参数λ表示平均发生率。几何分布,首次成功所需的试验次数,具有"无记忆性"。 连续型概率分布,钟形曲线与长尾现象。当随机变量取值充满某个区间时,需用连续型分布描述。如正态分布、指数分布、伽马分布、贝塔分布等。特别值得注意的是幂律分布,虽然不如正态分布常见,但在描述城市规模、收入分配、网络链接数等社会现象时展现出惊人的拟合能力,揭示了"马太效应"的数学本质 概率分布的参数估计与检验。确定概率分布类型后,参数估计成为关键步骤:矩估计法,用样本矩匹配总体矩,简单直观但可能不够精确。极大似然估计,寻找使观测数据出现概率最大的参数值,具有优良的渐近性质。如正态分布的MLE给出的均值估计即为样本均值。贝叶斯估计,引入先验分布,将参数视为随机变量,适合小样本情形。 多维联合分布与相关性。实际问题中常需处理多个随机变量的联合分布:协方差与相关系数、多元正态分布、Copula函数。条件分布与边际分布的概念尤为重要,前者描述给定其他变量值时某变量的分布,后者则是联合分布对某个变量的"投影"。贝叶斯网络等图模型正是基于这些概念构建概率依赖关系。随着大数据时代来临,概率分布的应用不断拓展新领域:机器学习、强化学习、非参数统计、异常检测。
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