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向量垂直引爆三角最值!条件翻译+辅助角公式,三步求巅峰! 【江苏淮安高三调研精讲】一道融合向量与三角的巅峰题目,如何将垂直条件“翻译”为三角等式,进而求出复杂表达式的最大值? 题目:在△ABC中,(AC向量 - BC向量) ⊥ (AC向量 + 3BC向量),求 cosC + 4sinAcosB 的最大值。 条件抽象,目标复杂。今天带你完成“条件翻译→化简统一→求最值”的标准三步走,直击满分! 🚀 核心思路引导 第一步:如何“翻译”向量垂直条件? 看到向量垂直,你首先想到什么?点积为零! 将 (AC - BC) · (AC + 3BC) = 0 展开。这里有一个关键技巧:将向量全部转化为以A、B、C为顶点的边向量(如 AB、BC、CA)。展开后,你能利用三角形中 AB + BC + CA = 0 进行化简,得到一个关于边长的简洁等式吗? 第二步:如何化简目标表达式? 目标是 cosC + 4sinAcosB,包含不同角的三角函数。我们常用的策略是统一角度。利用 A+B+C=π,可以把 cosB 或 sinA 转化为关于A和C的表达式吗?或者,有没有可能利用第一步得到的边长关系,结合余弦定理和正弦定理,将整个表达式转化为关于某个角(比如角C)的单一三角函数? 第三步:如何求出最大值? 经过艰苦化简,表达式最终会呈现为 M sin(ωX + φ) + N 的形式。这时,辅助角公式与三角函数的有界性就是我们的终极武器。最大值将一目了然。 想知道那个关键的边长等式是什么吗?化简过程中,是统一成角C还是角A更方便?最终的最大值是A(√2)、B(√3)、C(2√3)还是D(2√7)? 点击视频,我将为你完整演绎这场从向量语言到三角语言,再到最值求解的精彩推理,带你掌握破解复杂综合题的通用策略! 跟住博主,打通知识板块,提升综合战力! 关注我,获取更多: ✨ 高考数学向量与三角综合题精讲 ✨ 多知识点融合解题策略 ✨ 数学思想方法深度剖析 #高考数学 #平面向量 #解三角形 #三角函数最值 #综合题
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向量投影模的最值,如何避开复杂转化? 【名校联盟诊断测试精讲】当向量投影遇上动点最值,如何用通法思维锁定答案? 题目条件丰富:CA·CB=1,E、D为三等分点,F为AD与BE交点,求 CF在CA上投影向量的模 的最小值。 图形复杂,向量交错。今天教你抓住“可建系”或“选基底”的核心判断,实现有条理地破题! 🚀 核心思路引导 第一步:如何简化问题?——优先建系 由于给出 CA·CB=1 这个定量条件,且涉及投影到固定向量 CA 上,建立以C为原点的平面直角坐标系是直观且高效的思路。 如何设定坐标能使计算最简便?通常令 CA 与x轴重合。 第二步:如何表示所有关键点与向量? 设 CA=3(为方便计算),则 A(3,0)。由 CA·CB=1 可设 B(m, n),你能得到 m 与 n 的第一个关系吗? 再利用 BC=3DC 和 AC=3AE,可以轻松表示出 D、E 的坐标。 第三步:如何求交点F与目标投影? 利用 A、D 和 B、E 的坐标,求出直线AD与BE的方程,联立解出交点 F 的坐标。 CF在CA上的投影向量的模,本质上就是 F点横坐标的绝对值。问题转化为:在 B(m,n) 满足约束条件的情况下,求F点横坐标的取值范围。 第四步:如何求最值? 将F的横坐标表示为 m, n 的表达式,结合 m, n 的约束条件(来自 CA·CB=1 和 B 是动点),利用基本不等式或二次函数方法求出其绝对值的最小值。 猜猜看,最终的表达式是关于m还是n的函数?用哪种不等式或代数方法能最快求出最值?答案是A(2/7)、B(1/2)、C(4/7)还是D(6/7)? 点击视频,我将用清晰的板书,带你一步步完成从建系到求最值的完整过程,掌握此类向量综合题的通用解法! 跟住博主,系统化解决几何向量难题! 关注我,获取更多: ✨ 高考数学向量与几何综合题精讲 ✨ 解题思路的系统构建 ✨ 考场策略与时间分配 #高考数学 #平面向量 #投影向量 #最值问题 #建系法
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