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【中配】从零开始理解三维挂谷猜想(卡凯亚猜想) 王虹,陶哲轩 一个关于如何“旋转针头”的简单几何问题,竟然困扰了数学界 50 多年,并成为了现代调和分析的基石。2025 年初,两位数学家终于在三维空间证明了这个“世纪级”的猜想。 1. 问题的起源:挂谷集合 1917 年,日本数学家挂谷宗一提出:如果有一根无限薄的针,在平面内旋转 360 度,所扫过的最小面积是多少? 虽然圆形和内摆线是直观的答案,但数学家贝西科维奇证明,你可以构造出面积任意小、甚至为零的集合。这类集合被称为挂谷集合(Kakeya Sets)。 2. 从“面积”到“维度” 既然面积可以是零,数学家转向研究挂谷集合的“大小”——即分形维度(豪斯多夫维度或闵可夫斯基维度)。 挂谷猜想:在 n 维空间中,任何包含所有方向线段的集合,其维度必须等于 n。 虽然直觉上“包含所有方向”需要占据很多空间,但在高维空间中,无数条细长的线(管子)可以极其精妙地交织而不重叠,证明它们“避无可避”地填满了空间极其困难。 3. 跨学科的桥梁:调和分析 1970 年代,查尔斯·费弗曼发现挂谷猜想与**傅里叶变换(Fourier Transform)**有着惊人的联系。 猜想塔:挂谷猜想是调和分析中一系列顶尖问题的底层: 限制性猜想:关于曲面上的波动规律。 局部平滑猜想:关于波在空间中传播的微分方程。 如果挂谷猜想是错的,这整座数学大厦都会崩塌。如果它是对的,证明它的方法将成为攻克更高层难题的钥匙。 4. 2025 年的重大突破 数学家 王虹 和 Zahl 攻克了三维挂谷猜想: 从“粘性”到“颗粒感”:他们首先证明了“粘性”集合(方向接近的线位置也接近)的情况。随后利用数学家拉里·古思的理论,分析了反例中必须存在的“颗粒感”结构。 尺度归纳法:这就像玩“传声筒”游戏,通过精妙的计算控制了每一层传递中的信息损失,最终证明了在微观尺度上,这些管子无法被无限压缩。 5. 展望未来 三维空间的证明不仅是 20 年来调和分析领域最大的进展。现在,科学家利用新工具去攻克关于波传播和信号处理的更深层难题。 原视频标题:A Once-in-a-Century Proof: The Kakeya Conjecture 原作者:Quanta Magazine #青年创作者成长计划 #王虹 #陶哲轩 #韦东奕 #挂谷猜想
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