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一分钟学会必考题比较大小 一分钟搞定初高三数学必考题——比较大小 核心公式/模板:比较大小=“定性+定量”双判断,优先用**特殊值、单调性、中间量,三招直接秒杀,无需复杂计算。 一、 三招通用解题模板(覆盖90%必考题) 1. 中间量搭桥法(最常用,10秒出答案) 核心逻辑:找一个“跳板数”(0、1、$\frac{1}{2}$、e、π 等),把两个无法直接比的数,分别和跳板数比。 例:比较 $0.8^{0.5}$ 和 $0.5^{0.8}$ - 步骤1:找中间量 1 $0.8^{0.5} < 0.8^0 = 1$;$0.5^{0.8} < 0.5^0 = 1$ - 步骤2:换中间量 **0.5** $0.8^{0.5} = \sqrt{0.8} ≈ 0.89 > 0.5$ $0.5^{0.8} < 0.5^{0.5} = \sqrt{0.5} ≈ 0.71 < 0.89$ - 结论:$0.8^{0.5} > 0.5^{0.8}$ 适用场景:指数、对数、幂函数混合比较。 2. 单调性秒杀法(直接套函数性质) 核心逻辑:把两个数放进同一个单调函数里,利用“增函数自变量大→值大,减函数反之”。 模板公式: - 若 $f(x)$ 单调递增,$x_1>x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ - 若 $f(x)$ 单调递减,$x_1>x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ 例:比较 $\log_2 3$ 和 $\log_2 5$ - 步骤:$y=\log_2 x$ 是增函数,$3<5 \Rightarrow \log_2 3 < \log_2 5$ 适用场景:同底数的指数/对数、同指数的幂函数。 3. 特殊值代入法(小题直接猜答案) **核心逻辑**:给题干里的变量赋一个符合条件的特殊值,代入后直接计算比较。 **例**:已知 $0 < a < b < 1$,比较 $a^b$ 和 $b^a$ - 步骤:令 $a=\frac{1}{4}$,$b=\frac{1}{2}$ $a^b = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$;$b^a = (\frac{1}{2})^{\#数学 #高中 #陪读妈妈 #必考题数学 #学习分享
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