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【中配】什么是群论?—— 抽象代数的基石 (Ep. 1) 群论(Group Theory)在计算机科学、现代物理和高阶数学中有着核心地位。从解决“图同构问题”到理解宇宙的对称性,群论提供了一套统一的抽象规则。这期视频作为系列开篇,将带你从零开始理解这个强大的数学工具。 1. 为什么需要群论? 2. 群的定义:四大公理 一个集合及其上的二元运算(如加法、旋转等)要被称为“群”,必须满足: 封闭性 (Closure):集合中任意两个元素运算后的结果仍在该集合内。 结合律 (Associativity):运算顺序不影响结果,即 $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$。 单位元 (Neutral/Identity Element):存在一个特殊的元素(如 0 或旋转 0 度),与其他元素运算时保持对方不变。 逆元 (Inverse Element):每个元素都有对应的“反向操作”,两者运算后回到单位元。 3. 经典案例 整数群 $(\mathbb{Z}, +)$:加法满足上述所有规则。但整数在乘法下不是群,因为除了 1 之外的整数没有整数逆元(如 2 的乘法逆元是 1/2,不是整数)。 循环群 ($C_n$):像时钟拨数一样。在 $C_6$ 中,$3+3=0$。 二面体群 ($D_n$):描述正多边形的所有对称性。在 $D_6$(正六边形)中,旋转和翻转的顺序很重要,即 $a \circ b \neq b \circ a$。这被称为非交换群(Non-Abelian Group)。 4. 拉格朗日定理 (Lagrange's Theorem) 这是群论中第一个重大的定理: 表述:对于有限群 $G$ 及其子群 $H$,$H$ 的阶(元素个数)必须能整除 $G$ 的阶。 推论:如果一个群的阶是质数(如 5 或 7),那么它的结构是唯一的——它必须是循环群。这展示了简单的公理如何约束出极其确定的数学结构。 5. 陪集 (Coset):群的内部对称 陪集可以看作是子群在群内部的“平移副本”。拉格朗日定理的证明正是基于这样一个事实:陪集能将整个群整齐、等量地划分,没有任何重叠或遗漏。 原视频标题:What is Group Theory? — Group Theory Ep. 1 原作者:Nemean #青年创作者成长计划 #知识前沿派对 #戴上耳机 #学习 #科学
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#能对实际问题进行模型化处理,,运用理论进行解决 模型思维是指通过建立模型来理解和解决实际问题的思维方式。这种思维方式将复杂的问题和现象转化为简化、抽象的模型,以便于我们更好地理解和解决该问题。其目的是通过对模型的深入研究和分析,来理解和解决实际问题。在我们的日常工作和生活中,每天都会遇到各种各样复杂的问题和挑战。这些问题可能涉及到许多因素影响,难以直接解决。然而,通过使用模型思维,我们可以更好地理解并解决这些问题。 掌握建立模型思维的逻辑方法,具体包括以下五个步骤: 1、明确问题:首先需要明确问题的定义和范围,确定需要解决的核心问题,通过对问题的量化分析,明确问题的边界、目标、重点、约束条件、变量和参数等方面,可以进一步提高问题的精确性和预测性; 2、收集信息:收集与问题相关的信息,包括数据、文献、专家意见等,收集信息需要根据目标和范围选择合适的信息源和收集方法,制定合理的计划并注意信息的真实性和可靠性。同时对收集到的信息进行整理和分析,建立信息库以备后续查询和使用; 3、建立模型:根据收集的信息和问题的特点,选择合适的模型类型和方法,建立简化、抽象的模型,如数学模型、物理模型、概念模型等可以对问题进行多角度、多层次的分析和研究,从而发现新的规律和现象; 4、验证模型:对建立的模型进行验证和测试,可以采用随机拆分检验的方式,也可以采用交叉验证的方式,通过使用专门独立的验证数据集,确保模型的准确性和可靠性; 5、应用模型:将模型应用于实际问题和实际场景中,根据输入的数据和参数,通过模型的预测和决策,为实际决策提供支持和参考; 模型思维不仅是一种分析和解决问题的工具,也是一种创新思维的工具。通过建立模型,我们这种创新思维方式不仅有助于解决实际问题,还可以推动科学技术的进步和发展。例如,在商业领域,通过建立营销模型,企业可以更好地了解市场需求和消费者行为,从而制定更有效的营销策略;在科学研究中,通过建立实验模型,研究者可以模拟各种实验条件和情景,探索新的科学现象和规律。 #创作灵感#建模思维 #模型思维 #管理#模型思维的力量
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