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第十一讲 Ax=b 的最小范数解 主题:Krylov子空间迭代法 Arnoldi-Lanczos算法 Gram-Schmidt正交化 主要讲述了数值线性代数中的几个核心内容,重点围绕Gram-Schmidt正交化过程及其改进方法展开。首先,回顾了Ax=b线性方程组的多种求解情形,特别提到了当矩阵A过大时的挑战。然后详细解释了不同范数(L1、L2、L∞)下的最小化问题,通过二维图形直观展示了它们的几何意义和解的差异,强调了范数选择对稀疏解的影响。 接着,深入介绍了Gram-Schmidt正交化算法的基本原理及步骤,包括如何将一组非正交的列向量转化为正交单位向量组Q,以及如何通过矩阵R描述原始矩阵A与Q的关系,即A=QR分解。教授详细推导了计算R矩阵元素的方法,指出R的元素实际上是Q列向量与A列向量的内积。 随后,讲述了标准Gram-Schmidt算法存在的数值稳定性问题,提出了改进版的带列交换(pivoting)的Gram-Schmidt方法,即在每一步选择剩余列中“最大”的向量进行正交化,以避免数值误差积累和基向量线性相关性过强的问题。这种方法虽然看似增加了计算量,但实际上效率并未降低,因为这些计算本质上是必须的。 后半部分引入了Krylov子空间方法及其正交化技术,介绍了Arnoldi和Lanczos算法,它们基于Gram-Schmidt思想用于大规模稀疏矩阵的特征值和线性方程求解。强调正交基的重要性,指出正交基简化了投影和系数计算过程,从而提高了数值计算的稳定性和效率。 最后,推荐了数值线性代数领域的经典教材,如Trefethen-Bau和Golub-VanLoan的《数值线性代数圣经》,并总结了本节内容属于数值线性代数的基础且经典部分,为后续处理更大规模矩阵问题奠定了理论基础。 #深度学习 #机器学习 #神经网络 #人工智能 #线性代数
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一杯有故事的酒|复刻百年绅士俱乐部的私藏秘方 🍸 喝酒前,先读我! ✨ 未满18岁,不许喝哦! 🚗 开车不喝酒,安全放第一! 🤰 准妈妈和宝妈们,为了宝宝请先忍忍啦 💡 小酌怡情,贪杯伤身! ———————————— 🎥 本视频创意源自: 👨‍🍳 大神博主:[Jean-Félix Desfosses] 🎬 纯属分享,版权归原作者所有 ———————————— 食谱中文翻译 三叶草俱乐部 源自1900年代费城的同名绅士俱乐部,经由鸡尾酒历史学家大卫·旺德里奇与调酒师朱莉·赖纳考据复原,绝非简单的覆盆子酸酒。 配方: ① 45毫升 (1.5 盎司) 干金酒 ② 15毫升 (0.5 盎司) 干威末酒 ③ 15毫升 (0.5 盎司) 鲜榨柠檬汁 ④ 15毫升 (0.5 盎司) 覆盆子糖浆 ⑤ 1份 蛋清 调制步骤: ① 将所有材料依次倒入摇壶。 ② 无水干摇 数秒,以构建绵密泡沫结构。 ③ 加入冰块,再摇10-15秒,达到完美融合与降温。 ④ 精细过滤 至冰镇的碟形香槟杯。 ⑤ 在杯口拧柠柠檬皮,赋予其明亮香气。 ⑥ 以三颗覆盆子串签作装饰。 技术要点: 干威末酒 是经典配方的灵魂,构筑了区别于现代版本的复杂草本层次。 分步摇晃 是蛋清类鸡尾酒的关键,确保泡沫细腻、稳定且持久。 柠檬皮油脂的“盖章”能极大地提升整体香气的明亮度。 #创意调酒 #一分钟教你调酒 #分子鸡尾酒 #家庭调酒 #落日酒单
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