袁岚峰1周前
当你用电的时候,你就用到了量子力学 | 袁岚峰 向大家推荐一家著名的科普杂志,它叫做《科学世界》,由中国科学院科学出版社主办,制作十分精美,在学术界声誉卓著。他们邀我开了一个专栏,从2025年1月开始。下面,我就来介绍一下我在《科学世界》2025年6月刊的文章,标题是《当你用电的时候,你就用到了量子力学》。 前面几期,我们介绍了量子力学(quantum mechanics)的三个重要应用。第一个是哲学层面的,原子为什么能稳定存在(因为原子中电子可以取的能量是量子化的,即一个个能级,这些能级中有个最小值)。第二个是实用层面的,为什么决定一束光能否从金属中打出电子的是它的频率,而不是强度(因为光是由一个个光子组成的,光子的能量正比于频率)。第三个是大多数人很难想到的,世界上为什么会存在固体(因为电子服从泡利不相容原理,即两个电子不能处于同样的状态)。这次,我们再来介绍一个量子力学的重要应用,它就是我们日常用得最多的现象之一:电。 大家都知道,有些物质能导电,例如铜和铝,也有些物质不导电,例如木头和塑料。但你假如进一步问个为什么,为什么有些物质是导体(conductor),有些物质是绝缘体(insulator),你立刻就会发现这是个非常深奥的问题。让我们回想一下,中小学教材是如何解释导电性的? 那里的解释是所谓自由电子理论:有些物质能导电是因为其中的电子是自由的,而另一些物质不导电是因为其中的电子不是自由的。听起来好像很有道理,但请仔细想想,这真的解释了任何事情吗?其实并没有,它只是循环论证而已,因为它没有预测能力。 如果你追根究底地问:为什么铜和铝中的电子就是自由的,木头和塑料中的电子就是不自由的?你会发现这个自由电子理论完全讲不出道理。其实它只是把导体中的电子称为自由的,把绝缘体中的电子称为不自由的。如果你更进一步,给它一个新材料,让它预测这种材料导电还是不导电,这个理论就更是完全抓瞎了。由此可见,这个理论其实只是一种同义反复(tautology),或者音译兼意译为“套套逻辑”! 那我们现在能不能预测导电性呢?有了量子力学以后,确实可以预测了。#知识前沿派对 #量子力学 #导电性 #自由电子理论 #能带理论
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【中配】第一章:为什么是线性代数? | 量子力学数学基础 1. 物理量的“空间化” 在经典力学中,我们习惯用确定的数值(如位置 $x$、速度 $v$)来描述物体。但在量子力学中,一切都发生了变化: 状态即向量:粒子的状态不再是一个点,而是一个存在于抽象数学空间(希尔伯特空间)中的向量。 叠加原理的数学本质:量子叠加(如薛定谔的猫)本质上就是向量的线性组合。如果你能理解两个位移向量相加得到新向量,你就能从数学上理解量子叠加。 2. 测量与算符 (Operators) 为什么我们观察微观粒子时,它们会发生“坍缩”? 物理过程 = 矩阵运算:在量子力学中,对系统的每一个观测动作(如测量能量、动量)都对应一个线性算符,而在特定的基底下,算符就是矩阵。 本征值与本征态:当你测量一个量子系统时,你得到的测量结果只能是该算符的本征值。这解释了为什么能量是“量子化”(一份一份)的——因为矩阵的本征值是离散的。 3. 为什么不用微积分作为起点? 虽然薛定谔方程是一个偏微分方程,但其核心结构依然是线性的: 算符的线性性:量子力学的基本方程满足 $H(\psi_1 + \psi_2) = H\psi_1 + H\psi_2$。这种线性特性意味着线性代数中的所有工具(基底变换、投影、内积)都可以直接套用。 概率的几何解释:波函数的概率幅通过内积(点积的复数推广)来计算。两个状态向量越“接近”(夹角越小),它们相互转化的概率就越大。 4. 语言的统一性 线性代数不仅提供了计算工具,更提供了一套通用的语言: 狄拉克符号 (Bra-Ket Notation):这种 $\langle \phi | \psi \rangle$ 的写法,本质上是向量与线性泛函的对偶关系。它让极其复杂的量子态计算变得像普通代数一样简洁。 跨越维度的能力:线性代数可以轻松处理无限维空间,这正是描述连续变量(如粒子的位置)所必需的。 总结 线性代数之于量子力学,正如几何学之于广义相对论。它不仅是描述规律的工具,更是规律本身。理解了向量的旋转、伸缩和投影,你就已经掌握了量子力学最核心的逻辑支柱。 原视频标题:Why linear algebra? | Maths of Quantum Mechanics 原作者:Quantum Sense #青年创作者成长计划
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