等差数列求和公式推导动画

你的朋友可能没有见过等差数列可视化，从第二项起，与前一项的差为固定值。这个例子的固定值是三， 第一个数是三加六加九。 梯形面积公式是否可以用梯形面积公式来计算这个图形的面积？得到前六项结果，进而计算所有相合 复制旋转正好拼成长方形面积等于长城宽， 长方形的长等于上底加下底长，方形的宽等于梯形的高。所以面积可以写成 两个，加起来是这么多，一个就需要除以二了。可以看出，与梯形面积公式相同，拼成图形的面积就是数列的前 n 项和梯形的上底就是数列的第一项， 下地就是最后一项，高就是象术 得到。等查数列球和公式代入公式的计算过程就交给屏幕前的你了。

数学从未如此简单，一加二加三加到安的求和公式可视化推倒画边长唯一的正方形 旋转合并得到一个边长维稳和 n 加一的长方形。

从一加二加三一直加到一百，这个等差数列该怎么求和呢？判公式吗？不是不行，但是这个公式是如何推档的呢？接下来我可以把这个式子倒着再写一遍，你看啊， 一百加九十九加九十八，再加加加加二加一，对吧？下面呢，我可以把其中一个式子看作是一个猪头。好，这是一个猪头哈，那么对应的下面是不是也是一个猪头啊？只是他们的啊， 顺序不一样啊，对吧？那我想求一求这两个猪头的和是多少，该怎么求啊？您看老师呢，把这些啊，对齐的哎，给他分做一组，这些所有对齐的都分做一组，一直到后面。好，您看这样每一组 组的得数分别是多少呢？哎，是不是都是一百零一啊？也就是一加一百号，然后这样的组有多少组呢？哎，一共是有一百组的，所以咱们乘以一百。好了，您现在求到的只是两 两个猪头的和，我要想求一个猪头的话，是不是还要再除以二呀？等于五零五零， 从一一直加到一百就等于五零五零，也就是我们等差数列的求和公式就可以用手下加末下的和乘以下数除以二就可以了。好，你学会了吗？关注我老师，解题更轻松！

等差数列公式其实一定不要背，教大家一张图，让孩子彻底理解等差数列。首先我们来看一个最简单的等差数列，其实等差数列就像一个爬山的过程一样，从第一列开始看，这就是一二三四 五，所以他其实代表的就是这共有多少个正方形。一加二、加三、加四、加五。嗯， ok， 那他怎么样才能去做呢？给大家再画一个就会更好看了。 原来这个图形是不是特别难求？嗯，一二三四五不是一个规则图形，那怎么办呢？我们把他的好兄弟请出来，倒着扣在一起，刚好组成了一个什么长方形。由长方形求出来面积之后，我们抄了两遍，最后除以二十就可以了。竖着这条线啊，这个是他的一，最初的那个一，一是什么？其实就是等答数列的手相，嗯，那这是啥？ 这就是他的等差数里的末项，对吧？所以首项加末项就组成了你刚所说的长，嗯，那这块是 就是它的宽，而宽是什么？一二三四五就代表五个数，就是它的象数，所以这就是咱们所所说的首象加末象乘以象数，但不要忘了除以二。所以把原来比较抽象的等差数例变成一个正常的长方形来做，是不是就更简单了呢？

还真是，看看封印题是什么。好嘞， 下面这些竖列是否是等叉？竖列？如果是弓叉是几？手相是几？末相是几？ 等差数列公差首相或相。这是什么意思？等差数列 这题考的是等差数列。这类题还有另外一个名字叫高斯求和。高斯求和？嗯，高斯是德国著名的数学家，享有数学王子之称。他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。这么厉害 啊！是的，以他名字高斯命名的成果就有一百一十个，高斯求和就是其中一个。这其中还有个小故事。在高斯十岁的时候，数学老师给他们班出了一道数学题，问将一到一百的所有整数加起来合适多少？ 全班同学都算错了，只有小高斯又快又准确的计算出了答案。啊。一到一百有一百个数，这得算到什么时候去啊。一到一百，一到一百， 一到一百都是连续的数字，那么首尾两个数字以一分组计算的话，他们的和都是一样的。一加一百等于一百零一，二加九十九等于一百零 一，三加九十八也等于一百零一。嗯，那么那如果分成两个数一组计算的话，就是一百除以二等于五十组，他们的合就是一百零一乘五十等于五千零五十。 对哦，可以分组计算。嗯，亮亮不错，你的解题思路其实就是等差数列的解题方法。

大家好，我是罗老师。等差数列求和公式的推倒过程是什么？等差数列求和公式为， sn 等于二分之 n 倍，括号 a 一加 an 等于 n 倍， a 一加上二分之 n 倍，括号 n 减一乘 d， 其推倒过程为，因为 sn 等于 a 一加 a， 二加 a 三，一直加到 an， 所以 sn 等于 an 加 an 减一，加上 an 减二，一直加到 a 一， 所以二倍 sn 等于 a 一加 an， 加上括号 a， 二加 n 减一，加上括号 a 三加上 an 减二，一直加到 an 加上 a 一，等于 n 倍，括号 a， a 一加 an， 所以 sn 等于二分之 n 倍，括号 a 一加 an， 又因为 an 等于 a 一加上括号 n 减一乘 d， 所以 sn 又等于 n 倍 a 一加上二分之 n 倍，括号 n 减一乘 d。 好，我们来讲解下这道题本。擦数列的求和公式有两个，那一个是知道手相和通向的时候使用，一个是知道手相和公擦的时候使用， 那这两个公式是怎么得来的呢？我们就要知道等差数列的求和公式，也就是前 n 项的和，那么 sn 就等于 a 一加 a 二，一直加到 a n。 然后利用导序的思想，咱们就知道 sn 又等于 an 加上 an 减一，一直加到 a 一，那这两个式子相加，咱们就有二倍。 acn 等于 a 一加上 an， 加上括号 a 二加上 an 减一，一直加到 an 加上 a 一。 那因为等差数列有一个性质，也就是 m 加 n， 如果等于 p 加上 q， 那么 am 加上 an， 就等于 ap 加上 aq。 咱们发现一加 n 等于二，加上 n 减一，等于三，加上 n 减二，一 值等于 n 加上一，所以咱们就有 a 一加上 an 等于 a 二加上 an 减一啊，以此类推，因此 二倍 sn 也就等于 n 倍，括号 a 一加上 an， 那么 sn 就等于二分之 n 倍，括号 a 一加上 an。 那这个就是第一个公式的一个推倒过程。好，那第二个公式是怎么来的呢？其实就是把这里的通向 a n 给他替换呢。也就有 a 一加上 n 减一乘 d， 所以这里就有 sn 等于二分之 n 被括号 a 一加上 a 一加上 n， d 减 d 啊，那么这个地方化解之后就变成了 n 倍 a 一加上二分之 n 倍，括号 n 减一乘以 d。 那这个就是等差数列求和公式的一个推倒过程。有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。

这个视频主要讲一下等差数的求和公式是怎么推倒的，比如说是我们要算一下，一加二，加三，加四加五，就是求这个数列的和，那应该怎么来求？那就是我们先把它顺着写一遍，然后再倒着写一遍。 好，接下来画上下来对比，来看一下每一组都合适多少？ 每一组的和是不是都是六，那都是六的话，那你要求他的和，我们来看一下，那你可以用一组的和是六， 那六的话再乘个组数，一二三四五，是不是有五组，但是的话你就相当于求一二三四五五四三二一，也就是这样的数列，两个这样数列的和，然后你再除以二，不就 可以算出来了吗？五六三十，也就是十五。所以这个的话，其实就是为什么我上个视频就要讲配对求和啊？好，那我们来总结一下公式，那你看每一组的和，你看，你顺着写一遍，倒着写一遍，你顺着写一遍，这个一是不是就是手相？ 五的话，是不是就末项，那就是首项加末项，他就是每一组的和，每一组的和再乘个组数五，那这个组数五对应到等差数列里面，他就是什么？是不是就是项数？ 然后呢？这就相当于你怎么样顺着一遍倒着一遍，把这个等差数列的和求两遍，你再除以二就可以了，所以我们就 推倒出来了，等差数列的求和公式。好，接下来我们来看一下例题啊。五加九加十三，一十加到一百五十七， 直接用公式五加一百五十七的和求出来每一组的和，然后再乘个组数，也就是乘个项数，首项加末项的和乘个项数，那这个项数到底是多少？你再除以二，那项数到底应该是多少呢？啊？前面是视频的话有讲过， 那项数的话，项数公式是什么？是不是就是默相减手相的差，也就是最后一个数减去第一个数，求出来总的差，总的差，然后再除以什么呀？公差算出来就是间隔数，再加一就是什么呀？像数 啊？那我们算一下是多少啊？一百五十二，除以四加一就等于一百五十二，除以四三四，一十二，三十二，三十八加一那就是三十九，所以他的像数就是三十九， 接下来的话是不是就会算了？算下来就是一个一百六十二乘个三十九，再除以二，接下来就自己来算，好吧。好，那等差数列求和公式我们知道了，其实的话，后面碰到等差数列求和的话，我们都可以算了啊。

同学们大家好，今天我们要学习的是等差数列，我们来看一下两个案例哦。 篮球健将姚明比赛中进入 nba 一周的罚球分数是六千六千五百七千。奥运举重比赛，他们举重的重量是从五十五千克、六十千克、六十五千克依次递增的。 那么大家是否还记得狩猎的概念呢？同学们都很棒。那现在大家观察一下，下列狩猎都有什么特点呢？罚球分数是六千六千五百七千。举重的重量 量是从五十五千克、六十千克、六十五千克。规律是从第二项开始，后面一项减去前面一项，都等于一个相同的数。这就是我们本堂课要学的等差数列。 一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与他前一项的差等于一个长数，这个数列就叫做等差数列。这个长数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。 在这里呢，我们需要注意的是第一点，从二项起满足条件。第二点，公差一定是后项减去前项所得。第三点，后项与前项只差，必须为同一个常数。 通过概念我们可以得出 a n 加 e 减 a n 等于 d。 接下来我们一起来判断一下吧。第一个我们可以看出是公差为负一的等差数列。第二个 我们可以看出是公差为 0 01 的等差数列。第三个我们可以看出公差为零的等差数列。第四个和第五个不满足等差数列的条件，所以不是等差数列。 同学们通过上述的几道练习题，我们发现了公差可以是正数，也可以是负数，还可以是零。所以以后大家在做题的时候一定要注意。好啦，同学们，现在我 我们来总结一下我们今天学习的内容吧。什么是等差？数列公差是什么？ 看来同学们学习的都很棒，那今天的课程就到此结束啦！今天的作业是书本上的练习题，同学们，下节课再见！

一、二、三、四 这节课的内容是阅兵前的选拔偶数项和基数项等差数列的求和技巧。 上节课我们学习了末项公式和项数公式，有了这两个法宝，就能锁定任意一项的大小和位置。 经过了一个月的训练，树联们迎来了一次全军区的阅兵仪式。 一到一百，这对数列也接到了通知。通知中要求他们挑选八名 连续的和为一百的数字士兵参加军区的阅兵。这个问题貌似有些棘手，因为一下子要确定八个数从哪里入手呢？让超级课堂帮他们来出谋划策吧。 还是从等差数列数字的排列规律去思考问题。之前我们求和的时候，用到了首尾数字相加的方法， 这是因为首项加末项，第二项加倒数，第二项，第三项加倒数第三项。以此类推，他们的核都是相等的。 这个规律同样适用于我们要挑选出来的八个连续 序数构成的等差数列。我们先假设出这八个连续的数字， 按照刚才的和相等的规律进行配对，发现能组成四对，他们的和都相等。 要保证整体和为一百，则每对数必须是二十五。 有没有两个连续的数和为二十五呢？ 很明显就是十二和十三啊。 如果你看不出来，可以用求平均数的方法。二十五除以二，得到十二点五，他左右两边的整数就是十二和十三啦。 现在我们就知道求这种题目的方法了，关键就是首尾依次配对。如果项数是偶数，比如八， 就能刚好配成整数段， 再用总和处以对数， 就是首尾固定和。用平均数就能马上求出中间的一对分别是哪两个连续的数。 最后按等差规律扩展出整个数列，这八个数就能被挑选出来啦。 不过这只是象数为偶数的情况。如果象数是基数呢？基数跟偶数不同，因为配对后会多出来一个数。 比如对这七个公差为三的数进行配对， 最后落单的肯定是中间数。我们可以算一算，每对数的固定的和是三十四，刚好是十七的两倍， 而这绝对不是偶然。根据第一节课我们逆序求和的方法就知道，首尾固定和一定是中间数的两倍， 所以每段数都可以看成是两个时期。整体的和也就等于十七乘以七。 这就是基数项的规律。和等于项数乘以中间数。 其实这两个规律啊，都不用死记，你只需要意识到等差数列首尾配对的这种技巧，再算一算就 ok 了。 利用这节课的两大发现，我们来做两道题目。请问把一千九百八十八表示成二十八个连续偶数之和，其中最大的偶数是多少？ 二十八说明项数是偶数， 可以完全配成十四对数， 每对数的和为一千九百八十八， 除以十四等于一百四十二。 哪两个连续偶数加起来是一百四十二呢？求平均数吧，除以二得到七十一、 七十一。左右两边的偶数分别是七十和七十二。 接下来顺藤摸瓜，写出前面十三个偶数 和，后面是三个偶数， 所以最大的偶数就是九十八。 再来试一下基数项的题目吧。把一千九百九十一写成连续十一个基数的和，那么最小的基数是多少？最大的基数又是多少？ 根据基数项的和的规律求出中间数。一千九百九十亿，除以十亿等于一百八十亿。 项数是十一，中间数就是第六个数，写出左边五个积数和右边五个积数。 所以最小的基数是一百七十一，最大的基数是一百九十一。 回到数字军团，一到一百，这对数列挑选出来的八名队员分别是九十、十一、十二、十三、十四、十五、十六。 他们的和刚好是一百，符合阅兵式的通知要求。经过一个月的训练，他们已经茁壮成长为优秀的数字士兵了。在数字军团阅兵时，我们将一睹他们飒爽的英姿。 超级课堂，超级收获，超级学员们，下次可见。

来看这道题目，一加四加七，加十加十三加上省略号，加上九十七，加上一百，这是一个等差数列求和。我们可以把这个等差数列先正过来写一遍，然后再把它倒过来写一遍，然后把它们加起来。 第一个数和最后一个数加一加一百等于一百零一，第二个数和倒数第二个数加四加九十七也等于一百零一，第三个数和倒数第三个数加加起来也等于一百零一。这样你会发现每一组两个数加起来都等于一百零一， 那么一共有多少个一百零一呢？这个等差数列有多少项，那么加起来就有多少个一百零一。所以我们接下来要算这个等差数列的项数， 等差数列的项数等于括号，末项减首项，括号除以公差，然后再加一，也就是用括号一百减一，括号除以三，然后再加一，算出来等于三十四项。 如果你对这个求像素的公式不太明白，你可以看我上一个视频。接下来我们就来看一看这个等差数列的和怎么算， 每一组算出来都等于一百零一。这个一百零一怎么算呢？我们可以用第一个数加上最后一个数，因为第一个数和最后一个数是最好找的。 然后这个等差数列有三十四项，那么加起来就有三十四个一百零一，我们就用一百零一乘三十四，因为一百零一乘三十四等于把这个和串了两遍，所以这个等差数列的和我们还要再除以二， 最后算出来等于一千七百一十七。我们来总结一下等差数列的求和公式是什么呢？等差数列的和等于括号，首项加末项， 这里的一就是首项，一百就是末项，然后乘项数除以二，这个三十四就是项数。这道题目你会了吗？

好，各位同学，大家好，我是数学张老师。这节课呢，张老师给大家推出一个新的知识点，叫做等差数列，等比数列的通项公式与前向和公式的推倒。 为什么要讲这部分内容呢？因为张老师在线下教学的时候，发现好多同学对于等差等比数列的通向与前向和公式的实际特别困难，或者说 对他的记忆特别混乱。那么之所以这样，是因为我们不知道等差和等比数列的通向与前向和公式到底是从何而来，怎么推倒出来的？那么这节课呢，主要是带着大家把这两个公式推倒一下。首先我们看一下等差数列的通向公式。 等差数列，首先我们在理解他的概念的时候，或者说我们回忆一下他的概念，什么叫等差数列？ 所谓的等差数列是指从第二项起，从第二项起，每一项与他的前一项做差都是一个相同的常数。那么按照这个意思， a 二减 a 一就应该等于公叉， d， a 三减 a 二就应该等于公叉， d a 四减 a 三也等于公叉， d a 五减 a 四 也等于工差地，等等等等，一直到 a n 减去 a n 减一等于工差地。 ok， 好，那接下来我们需要做一个什么样的工作呢？我们首先必须要 弄明白这个方程，张老师写出多少个？多少个？ 首先我们看一下写出多少个方程，从一二三四一直到 n 减一个，所以我们写出 n 减一个方程，左右两边写出 n 减一个方程。那好，接下来我们看一下我们需要做一个什么样的工作呢？我们需要把这一些方程左右两边 累加，左边管左边加起来，右边管右边加起来，那么左边我们把这一群方程加起来，你会发现有这么样的一个规律， 这两个方程一加把负 a 二，把 a 二向消了，这两方程一加把 a 三向消了，把 a 四向消了，把 a 五向消了，等等，一直到这一项把 a n 减一向消了。也就是说左边我们只剩下两项， a n 减 a a 这两项右边呢，无非就是 n 减一个 d 相加就是 n 减一倍的空差 d， 所以我们把 a 一移过去， a n 就等于 a 一加上 n 减 n 减一倍的 d， ok， 这就是等差数列的通项公式。 等差数列的通项公式， ok， 所以我们记住等差数列的通项公式是 a n 等于 a， n 等于 a 一加上 n 减一倍的公叉 d 等差的通向公式， ok， 那我们再看一下等差的前 n 项和， 这是同校。 第二个我们再看一下他的前横向和 等差的钱下河。 好，那么按照前向和的定义，首先 sn 应该等于 a 一加上 a 二加 a 三 加 a 四，等等等等等等，一直加到多少了 a n， ok， 那我们把这个前向和看作第一个方程，把这个方程注意了倒序 道序写出来。 什么叫道序写出来？我们看一下第一个方程是 a a 二 a 三一一直到嗯，就是一二三四，一直到嗯。那么第二个方程写的时候，我们把 a n 到 a n 减一，加 a， n 减二，加 a n 减三， 一直道序写到 a n a 一啊，也就是我们把它顺序翻着重新写了一遍，他照样仍然等于 s n。 那接下来我们需要干啥呢？我们道序写完以后，需要把第一个方程和第二个方程加起来啊，加起来，那左边就是二倍的 s n 啊，二倍的 s， 那右边实际上就可以写成 a 加 a n， a 二加 a n 减一， a 三加 a， n 减二， a 四加 a n 减三，一直到 a n 加 a 一。那因为我们知道等差数点有这么一个性质啊。有这么一个性质？啥性质了？ a m 加 等于 a p 加 a q， 当然他的前提，若下角标 m 加 n 等于 p 加 q 的话，则 a m 加 a n 等于 a p 加 a q。 所以接下来我们思考一下这个问题。 a 加 a n， 一加 n 就等于二加 n 减一，就等于三加 n 减二，也就下角标相等，相加和相等， 所以 a 一加 a n 就等于 a， 二加 a n 减一，就等于 a， 三加 a n 减二，就等于 a 四加 a n 减三，那么他们都相等，我都可以把它写成 a 一加 a m。 那么有多少个 a 加 a n 相加呢？总共有 n 个，因为我们写出 n 个式子来，所以他等于 n 倍的 a 加 a n， ok， 那么把二除过去， s n 就等于 二分之恩贝的恩贝的 a 加 a n， ok， 好，这就是等差数列的第一个形象和公式。 第一个形象和公式，那么这个公式我们可以去类比的记忆。类比类比谁去记忆呢？类比 梯形的面积公式。梯形的面积公式是上底加下底，上加下乘以高除以二， 这是题型的面积公式。而等差数列是首项加尾项乘以项数除以二，我们类比去记忆，当然它严格意义上是不是本质不是一样的。 ok， 那接下来我们看一下第二个等差数列有第二个前向和公式，那第二个前向和公式实际上是在第一个的基础上进行拓展。 sn 等于二分之 n 倍的 a 一加 a n， 那么我们又知道 a n 等于啥了？ a， n 是不等于 a 加 n 减一倍的公差地，所以我们可以把 a n 换成 a 加上 n 减一倍的同差距就是 a 加 n， d 减 d， 整理就是二分之二倍的 n， a 一 加上二分之恩方， 被 n 方 d 解去 n d， ok， 这是个 a 一，那约掉以后就是 n， a 一加上二分之 n 倍的 n 减一，再乘以公差低， ok， 好，这就是我们要讲的等差数列的形象和公式的两个公式。 所以我们知道等差数列的前向和公式他是怎么推倒出来的。实际上总的方法， 总的方法、 通向公式。用啥方法？通向公式是用累加法、 皆恩效和 s n 是用倒序 道序相加法 啊，道具相加法推倒出来的。所以你首先把他俩推倒所用的方法记住。那接下来我们总结一下。 总结一下等差数里的通项公式， a n 等于 a 一加上 n 减一倍的公差地， 他的形象和 s 有两个，首项加末项乘以项数除以二， 然后把这里面的嗯 换乘 a 通向公式，就可以得到第二个公式， n a 一加上二分之 n 倍的 n 减一，乘以公差低， ok， 这就是等差数列的通向公式和前向和的推倒，听懂了吗？

先给你三秒钟思考，你是不是想直接用这个公式秒了？恭喜你，你已经超过了全国百分之九十九的学生。其他同学不要灰心，我今天用几秒钟的时间让你记住这个公式。一的平方表示一个小正方体，二的平方就四个， 以此类推。继续拼凑旋转合并 复制三分，原式就变三倍。接下来做什么？没错，继续旋转， 旋转拼凑合并上面区的部分。怎么办呢？没错，再复制一份不就好了，这样原式就变成 六倍。继续旋转合并大功告成。我们成功构成了低为半成分加一，高为二加一的大长方体。大长方体体积的六分之一就是原式的值。 是不是很简单？ 下课！

胆差数列是小学阶段需要掌握的非常重要的知识点之一，首先要记牢和掌握胆差数列的基本公式，和等于首相加末相乘以相数除以二。首相等于末相减，项数减一乘以空叉，末相等于首相加项数减一乘以空叉。 像素等于木像减手相除以公叉加一。那么这些公式是怎么来的呢？今天我给大家做一个推导的讲解。这是一个等差数列，那我们除这个数列的和，按照前面的公式 和等于相，首相加木相乘以相数除以二。手相是一，木相是，嗯，那就一加，嗯，乘以相数的，嗯，相除以二。 那么这个公式怎么来的呢？今天我们利用一个道序相加法来推导一下。道序什么意思呢？就是从后面往前数，再给他加一列，那嗯，加零减一，加零减一直加到嗯，一，这是两个相同的数列，那么我们把 这个标注为等式一，这个标注为等式二。当我们把这两个相加等于 n 加一，那么这两个相加呢？ n 减一加二也等于 n 加一， 同样这里零减二加三也等于零加一，那一直加加到后面，那么同样的道理，后面这里也是零加一，这里相加也是零加一，同样的这里也是零加，那么总共有几个零加一呢？一到零，是不是零跟零加一啊？也就可以得出一十加二十等于零个零一加一，那么相乘， 那我们现在要求的是什么？我们只求其中一列，那，所以可以推走出，但他说的和的公式就是把这个和除以二，就等于其中一列，也就是 m 加一乘以 m 除以二，你学会了吗？

ok， 来看一看我们今天的常考题，从一加二加三，吉吉吉吉吉利吉利吉利，标题加到一百。 ok， 怎么来加了？好的， 首先我们先来观察一下，一二三四五六七八九十到一百，他全是连续的，所以我们再找一个从后到前的，再来写一个，从一百加九十九加加加到一，这 两个完全一模一样。好，我们上加下，上加下，上加下，我们发现他们的和都一样，所以就是 和都是这些。 ok， 他们总共有多少个数呢？一二三四五到一百，总共一百个数，但因为我们是算， 算的是这两个的和，所以人家问其中一个的和，再除以一个二就行。因此总结一下公式，首项加尾项乘以项数除以二，就是等差数列的公式。 ok， 关注我，让数学变得 so easy！

数行结合数列求和。我考你个问题，一加二等于几？三，一加二加三呢？六，那一加二加三加四加五一直加到一百，你能快速的告诉我等于几吗？不知道了，那我用你爱玩的积木一秒钟就能算出来，想学吗？ 白色的是一，这个是二，粉色的是三，这是四、五六七八九十。我用十个积木来举例，我现在再拿一个一模一样的，只要这样一拼， 他变成什么了？长方形，对，变成了一个长方形，这些积木的和呢？就是这个长方形的面积。长是什么呢？长是第一项加上最后一项宽呢？ 宽是它的项数，所以长方形的面积就是第一项一加上最后一项十等于十一，宽呢是它的项数是十，十一乘以十。别忘了我们加了两次，所以还要除以二。 现在你会求从一加二加三一直加到一百了吗？知道了，用的就是一百加一等于一百零一，然后呢，再乘以一百除以二等于 五千零五十，一加二加三加四，一直加到一百，这是一个等差数列的求和。我们用第一项加上最后一项乘以它的项数，别忘了还要除以二等差数列求和问题，你学会了吗？

高斯求和的故事，那是在很久很久以前，有人出了这样一道题，从一加到一百，连纸都写不下这么长的算式好吗？就在大家算的大脑短路之时，有个学霸很快就算出了正确答案， 没错，就是高斯。普通人这么算，一加二得三，三加三得六，六加六下，哎，加到几了？而小高斯有他异于常人的计算方法，一串算式还嫌不够，又来串一模一样的， 只不过掉了个个两串。这么一对上下为一组，每组的两数之和都是一百零一，一百组就是一百个一百零一两串数列，这么一和口 算都能秒杀。再想求原来那串数列的和，用两串的和除以二就完事了，答案就是五千零五十。为了更清楚，咱可以把算式画出来，从一到一百逐渐增大，用阶梯表示，就是这样的， 再把两个阶梯倒扣在一起，第一个数和最后一个数，第二个数和倒数，第二个数， 第三个数和倒数，第三个数上下两数配对得到的和都是同一个数。既然这样，就用手相加末相来代替每一组。 毕竟作为数列之首和数列的小尾巴还是很好找到的。乘向数再除以二，就是其中一串数列的和了。 不光是从一加到一百，等差数列求和都可以这样去算，其实就是首项加末项的和，乘项数再除以二。