单项式是什么

在遥远的沙漠中有一个神奇的国度，整世王国。今天又到了一年一度的人口普查时间，大家都排队到人口普查委员会登记自己的身份信息。首先进来的是五 a 四 b 的平方负六 xyz， 五 a 可以写成五乘 a， 四 b 的平方可以写成四乘 b 乘 b， 负六 xyz 可以写成负六乘 x， 乘 y， 乘 z。 那这些家伙有什么特点呢？我们发现他们都是由字母和数字组成，而且都是用乘号连接，在数学上我们把他们叫做单项式。那怎么记住单项式呢？我们可以把上面的这个式子理解为火车的一节车厢， 而这些车厢里的东西只能通过乘号来连接。然后又来了一个家伙，三 x 加四 y， 他是谁呢？他有两个单项式，三 x 和四 y， 这两个单项式用加号连接， 所以这个家伙不是单项式，在数学上我们把它叫做多项式。那怎么记住多项式呢？ 他们就像两节火车车厢用车钩连接起来了，变成一列可以开动的小火车了。同理，像三 x 减四 y 也是多项式了。 接着来了一个 m 分之四，他说他是单项式，但其实这个不是单项式，因为我们刚刚知道，单项式车厢内部需要用乘号来连接，也就是所有的字母和数字都必须相乘， m 分之四 却是四除以 m， 很明显就不是单项式，分母中含有字母的式子都不是单项式。这时候四分之 m 出现了，人口普查委员会的人看到他就立马说，这个式子是用除号连接的，所以他不是单项式。 no， no， no！ 四分之 m， 我们可以把它写成四分之一乘 m， 这样子是不是就清晰多了？一个字母除以一个数，等于乘以这个数的倒数，所以四分之 m 还是单项式，工作人员也要努力提高自己的知识水平才行呀。 接着进来了两个小家伙，二和 b 只有一个数或字母，他们也属于单项式。这一点要特别注意了，单独的一个数或一个字母也是单项式哦。最后大家见到了 一个新奇的家伙，派分之四。这个是不是单项式呢？乍一看，有个字母在分母里，它一定不是单项式。这样想就错了，派虽然长得像字母，但其实它是一个长数。四除以长数还是一个长数，所以派分之四属于单项式。 那如果派分之 x 呢？是单项式吗？简单，派分之 x 等于派分之一乘 x， 数字乘字母是单项式。 见过了这么多单项式之后，接下来我们就要学习的是单项式的系数和次数。单项式中的数字因数部分叫做单项式的系数。一个单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数。我们先来看看下面这个单项式，负四 a、 b 的平方数字因数部分为负四，所以负四 ab 的平方的系数是负四。可不要忽略了数字四前面的负号哦。次数是多少呢？我们先把负四 ab 的平方拆成一个字母，一个字母相乘的形式， 负四乘 a 乘 b 乘 b， 有三个字母相乘，所以可以直接数出来这个单项式的次数是三。那如果是负九 x 的四次方 y 的十一次方 c 呢？这要把它们拆开来可太费劲了。 这时候，我们用一个巧妙的方法，将 x 的四次方， y 的十一次方， c 右上角的数字都加起来，因为右上角的数字就代表了有几个这样的字母。相乘 x 右上角的数字是四， y 右上角的数字是十一， c 呢？右上角没有数字呀。其实 c 的指数是一，只不过我们把它省略了而已。那么最后加起来的结果是，四加十，一加一等于十六， 所以负九 x 的四次方外的十一次方， c 的次数是十六。学会了这个简单的方法，就不用再把单项式的所有字母都拆开来数了。 学了这么多，最后给大家留一个作业题，若 m 减五的叉乘 x 的 n 次方， y 的十一次方是关于 x， y 的十五次单项式，且系数为六，求 m n 的值。 总结一下，由数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式。值得注意的是， 派也是一个数，哦不是字母单项式中数字因数部分叫做单项式的系数。一个单项式中所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。怎么样，你学会了吗？

在上一章中，我们学习了有理数的各种计算，在上个视频里，我们又知道了字母可以代替数字，那么你可能会问，既然字母都可以表示数了，那他们能否像数字一样，毫无违和感的参与到计算里呢？ 答案是肯定的。打个比方，李狗蛋买了 n 套书，每套 m 本，每本五元，那么他总共就花了五乘 m 乘 n， 也就是五 m n 元买书， 他的同学王小锤买了 a 元一根的铅笔三根， b 元一本的练习册两本，那总共就花了三 a 加二 b 元。这两个式子的特点是，他们都将数字和字母用运算符号连接起来， 表达特定的数量或关系。像这样的式子，名字就叫做整式，也是我们这张的大标题。这些包含数字 和字母的柿子样子千变万化。不过别看他们长得奇形怪状的，其实呢，都可以被分为两大类，一类是刚才五 m n 为代表的，叫做单向式。 另外一类是像三 a 加二 b 这样，他们叫做多项式。在这个视频里，我们就先来学单项式。 单向式呢，有个特点，我们看这几个式子，他们都是单向式，那共同点是，这些式子中的数或字母都是乘在一起的，或者说单向式可以是数或字母的鸡， 这是他的定义。那么就请你看一下，下边的这几个选项里，哪个是单项式呢？答案是 a。 这里边的单项式是二分之一 ah。 根据定义， 数或字母的基是单项式，因为二分之一 ah 中的数字和字母间只有乘法一种运算方式，满足单项式的定义。而另外两个选项都包含了加号或减号，他们呢，就不是单项式。 讲到这，就不得不提件很好玩的事，判断一个柿子是不是单向式啊，跟这个柿子的长短无关。 啥意思呢？你看这个狮子，一万两千三百四十五 abcd、 f、 g 够长了吧？但只要数字和字母是乘积关系，他就是单项式。因为单项式只跟数字或字母的连接方式有关，和长度无关。 哪怕你将一个式子从地球写到太阳上，只要他中间只有乘号，将数字与字母相连，那么他就是单向式。 但是一个很短的式子，哪怕短如 a 加一，因为他们不是成绩关系，所以呢，就今生今世与单项式无缘了。所以记住，单项式里绝对不能出现加号或减号。 说完了很长的单项式，我们再来看看很短的单项式。单项式是大丈夫能屈能伸，不仅可以很长，也可以很短，短到你都不信有多短呢？这么说吧，数字一就是一个单项式，字母 a 也是一个单项式。 因为单项式的定义里还有这么一条是这么说的，单独的数或单独的字母也是单项式。 所以呢，下边这一大堆的数或者字母，虽然长短不一，但是每个都是单项式。打个有趣的比方，单项式啊，就像一列火车， 不管有多少节车厢在铁路上跑，只要他们彼此之间相互连接在一起，就要把他们当做是一列火车，哪怕只有一个车头在跑，短的有点可怜，也要把它当做一列完整的火车。 单向式就是这样，只要是用乘号连接的，数字和字母，就是单向式。只不过呢，火车是用车钩将车厢连接在一起，而单向式是用乘号将数字和字母连接在一起，同时单独的数或单独的字母也是单向式，就是小火车了。 说到这，就再总结一下单项式的定义吧。在整式中，数或字母只用乘号连接的整式被称之为单项式， 单独的一个数或字母也是单项式，那知道了一个数的定义之后，可以根据这个定义对其他未知事物进行判定， 这种思想会贯彻于今后的数学学习中。在这我们就紧扣单项式的定义来进行一下推导，看看下面的式子是不是单项式。首先是真假单项式的第一组选手，我们看二分之 x 和 x 分之二，他俩其中有一个不是单项式，请问是哪个呢？ 正确答案是 dx 分之二，不是单项式。要选错了的话不要哭，这次不怪你，像 x 分之二这类的式子是个坑，他不是单项式，原因是他的字母在分母上， 像分母中含有字母的式子有个另外的名字叫分式，我们以后会学。总之呢，这次被坑了，以后要记住，像下边这类分母中还有字母的式子，他不是单向式。有请 真假单项式的第二组选手，二分之 x 减外和派分之二哪个不是单项式呢？ 正确答案， a， 二分之 x 减外不是单项式等等，这次人家 xy 不是老老实实呆在分子上，每往分母上捣乱呀，为啥不是单项式呢？ 亲，之前我说过单项式里绝对不能有加号或减号，那请问这是什么玩意啊？况且二分之 x 减外是可以拆成二分之 x， 减去二分之外都掰成这德行了，肯定不是单项式。 那再看这个派分之二。刚才不是说分母中有字母的不是单项式吗？我嘞个去，谁跟你说派是字母啊？人家派是数字，遵纪守法，好数字，只不过长得丑了点。派分之二和三分之二都一样是 数，那单独的数也是单项式？再看最后一组吧，九分之二 x 平方外负 a， p、 ig 这三个都是单项式吗？ 正确答案是他们都是单项式。哈哈，震惊了吧。你看吧，第一个，九分之二 x 平方外分母上没字母，里面也没有加减运算，实际上人家就是九分之二乘以 x 平方，在城外妥妥的数与字母的基，肯定是单项式， 然后这个负 a。 哎，有人说了，单项式里不是不能有减号吗？我嘞个去，谁跟你说他是减号啊？人家名叫负 a， 负的有木有？那个是负号，其实呢，负 a 就是负一乘 a， 妥妥的单项式。那最后这个是什么呀？有人说他 不是单项式。他是，他是动物，是猪。你才猪呢，人家是 p 乘 i 乘 g， 是字母的乘积，必须是单项式。严肃一点，咱这是数学课，不是英语课。

同学们，下面我们来看一下七年级的易错题型单向式的判定，我们来一起来看一下。第一个二分之 x 平方减一，他看起来像是一个单独的式子， 但它实际上可以分解为二分之 x 平方减去二分之一，所以说它是一个多项式。 我看第二负的二 ab 平方，他是一个标准的单项式。书上的定义是数与字母的基，他就是单项式，那么他是负二与 ab 平方的基，所以说他是一个标准的单项式。 书上定义的下面紧跟着一句话，单独的一个数或一个字母也是单向式。那所以说我们的零，他是单独的数字，他也是 单向式。 a 是一个单独的字母，他也是单向式。再看后面 x 分之二外，我们说他是一个分式，分式的定义是分母含有字母， 我们这里分母里面含有 x， 所以说他是一个分式，他不是单向式。我们看最后一个派分之二 x。 而有的同学说，哎，这个派是不是字母吗？ 我们初中所学的知识知道了，派他是一个长数项，他约等于三点一四，他是什么圆周率，所以说派对我们来说是一个数字， 所以说派分之二 x， 他也是一个单向式，所以说下面单向式总共是有四个。

尊敬的各位考官，大家好，我是初中数学组八号考生，我试讲题目是单项式，现在开始我的试讲上课。同学们好，请坐， 同学们在前面呢，我们在本章语言中以及利益中呢，都探究了用含有字母的式子表示数量关系的问题，那我们得到了哪些式子呢？好，同学们，翻开课本，我们来一起看一下。 首先第一个是啊，一百 t 啊，第二个式子是零点 八 p， 第三个是 m n， 第四个是 a 方 h， 第五个是负 n。 好，这是前面啊，我们所得到的这几个式子。好，咱们来观察一下，这些式子有什么共同特点呢？ 啊，你们发现这些式子，是啊，有的是数字和字母的成绩，有的是字母和字母的成绩。嗯，那这样的式子是什么呢？就是我们这节课要来共同探究的新的数学问题。单项式。 好，那么什么是单项式呢？咱们呀用更加规范的语言来归纳一下，对，就是含有是数字或字母的 g 这样的式字啊，咱们就叫做单项式。 好，大家看一下哈，我们大屏幕上呢，给大家出示了几个式子，大家来快速的辨认一下哪些是单项式呢？好，那这位同学来说啊，第一个式子 a 乘 b 啊，它是单项式。 嗯，第二个呢？哦，你说是一个单独的数字五，还有第三个是单独的数字 a 啊，你说这两个呢，都不是在尝试。嗯，好，那 这个我们来看一下啊，有其他同学有不同意见吗？哦，你说课本中规定了说单独的一个数或字母呢，也是单项式。嗯，很好，这位同学很细心啊，那么同学们，我们来看一下啊，就是在我们这 这个题目中，五这个单独的一个数字和 a 这个单独字母也是属于哎，也是单项式，嗯，大家要记清楚。那么看一下第四个，大家就说一说。哎，第四个式子是 a 加 b， 大家觉得他是单项式吗？ 哎，不是，因为它是什么呀？ a 加 b 一个加法算式，而我们单项式是数或字母的积啊，所以说呢，我们在单项式中是没有加减法运算的，只是什么啊？乘法数字或字母的乘法运算啊，当然包括乘方。 好了，那么我们认清楚了单项式之后呢，我们再来看一下啊，那么单项式中的数字因数啊，就叫做这个单项式的系数。 好，那么来看一下那一百 t， 它的数字因数是一百，所以说这个单项式的系数就是一百。而下面的啊，这四个单项式的系数分别是多少呢？哎，找同学来快速说一说。来。第二排这位女生 啊，你说零点八， p 的系数是零点八，嗯，很好，那么 mn 呢？哦，你说他没有哦，你说是一啊，这个地方呢，老师给大家说一下哈， mn 的系数是一，因为我们在书写单行式的时候，如果说他的系数是一的话，我们会省略不写。 嗯，但是我们要知道，它的系数是一，那 a 放 h 呢？ a 和 m n 一样，它的系数也是一。好，那复恩呢啊，有同学说是一，有同学说 是负一，同意，哪一种比较多啊？很好啊，那么负恩的系数应该是负一啊，负一，大家不要忘记这个负号啊，不要忘记负号，那同样呢，我们再去书写这个单行式的时候，如果说他的系数是负一的话， 我们会把一省略，但是这个符号要保留好，要记清楚。嗯，好，那么除了单项式的系数以外啊，那么什么是单项式的次数呢？咱们来看课本，看一下我们的定义是什么。 好，对，很好啊，是在一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 好，那同学们，我们知道了什，什么是带上式的次数之后来看一百 t， 它的次数是啊，一，为什么呀？因为这个一百 t 中的字母是 t， 而且它的指数是一，所以它的次数是啊，一，好，那么同样的零点八 p， 它的 次数也是一。好，再看一下 m n a 方 h 负 n， 它的次数分，这三个单项式的次数分别是多少呢？来考考大家 啊，给大家两分钟时间思考。嗯，来靠窗户的这位女生，你来说一下吧。哦，你说 m n 的次数应该是一啊。哦，有同学有不同意见，应该是二。好，我们来 来看一下哈。首先我们根据单项式的次数的定义是所有的字母的指数的和，所以说这个 m n 这个单项式中有有什么啊？两个字母 m 的指数是一， n 的指数也是一，那所以说它的指数的和应该是二啊，所以说 m n 的指数应该是二。好，同样的 a 方 h 的指数次数是什么？ 哎，他的次数应该是三啊，因为 a 的指数是二， h 的指数是一，所以说这个 a 方 h 这个次数应该是三。嗯，负，恩呢，啊，他的次数就是一啦。很好，那么我们来总结一下啊，总结一下刚才我们去找出这几个单项式的次数的方法和步骤是怎样的， 好朋友们可以在小组之内讨论交流一下啊。来，二组代表你有什么想说的啊？你说是分为三步，嗯，来继续说一说 啊。第一步，首先是我们要找出一个单项式中具体有几个字母都要找出来，然后呢，第二步，是啊，把每个字母的指数都数出来。第三步，把所有的指数相加的和，就是这个单项式的次数，同学们同意吗？ 很好哈，总结的非常的规范啊，非常的准确，所以说我们运用更加恰当的方法来去解决问题，会更加的简便和准确。好，那么如果说一个单独的数字，比方说这个五，那么他的 次数有多少呀？哎，我们规定他的次数为零啊，所以说对于一个单独的非零的数，我们规定他的次数为零。好，那么我们来看一下哈，这个大屏幕上呢，有三个题目，我们来检验一下同学的掌握情况，来快速的 解决一下。好，来，我们请我们的课代表你来回答一下吧。哦，你说，第一个问题中，每包书有十二册 n 包书就是啊，十二 n 啊，它的指数，它的系数是十二次数，是啊， 这个多少呀？是一，嗯，很好，那第二个问题呢？啊，第二个问题是啊，什么呀？啊？一台电视机的原价是 b 元，现在呢，要按原价的九折出售，那么现价现在的售价应该是零点九 b， 嗯，很好，它的这个零点九 b， 这个带上式的系数是零点九，次数，是啊，一，嗯，好， 那么第三个问题来继续说一说啊，说长方形的长是零点九米啊，长这个宽呢，是 b 米，它的面积啊，面积是长乘宽零点九啊，零点九乘 b， 零点九 b 平方米。好，那么大家看一下哈，这个零点九 b， 它的系数也是零点九，次数是一。 好，大家看一下，在第二个和第三个问题中，我们都得出来了，同样的一个啊，什么呀？单项是零点九 b， 他们表示的含义相同吗？哎，是不相同的，所以呢，我们发现再用字母来表示数 之后呢，我们发现同一个单项式可以表示啊不同的含义的。嗯，好。那么这节课呢，我们共同学习了什么是单项式，学习到单项式的系数和次数，请同学们呢能够要灵活的去掌握好。那么从 同学们呐来看一下大屏幕上的三道题目前两道是必做题，第三道呢是选做题。好，这节课呢，我们就上到这里，下课，同学们再见，我的试讲到此结束，各位考官辛苦啦，谢谢！

概念掌握不好，那这道题可以逼疯百分之九十五的人，我们一块来看一下，让指出下列单项式的系数与次数，那我们首先就要知道什么叫做单项式的系数，那单项式的系数呢？就是单项式当中的数字因数。 我们再来看单项式的次数，那单项式的次数呢？就是这个单项式当中所有字母指数的和。 清楚这两个概念，那下面的题才可以做对。来看第一个，我们首先来看它的系数， 那系数呢？我们就找数字因数，在这道题当中，我们还需要注意这个派呢，属于常数，所以他也是数字因数，所以他的系数就是二零二三派的平方。 我们再来找它的次数，也就是所有字母指数的和，那这里的字母呢？有 x 和 y， x 的指数是三， y 的指数是四，所以它的次数就是三。加四等于七，那这里我们就填七。 再来看第二个，首先我们来找他的系数，那系数呢？就是数字音数，我们发现三的二零二三次方，这个整体就是数字音数，所以他的系数就是三的二零二三次方。 再来看他的次数，那次数呢，就是所有字母指数的和。在这个单项式当中，我们没有看到字母，所以字母的指数就是零，那这里的次数就是零。好概念题你会做了吗？关注我，每天分享经典好题。

初一上，我们在学单项式的时候，有两个难点，第一个难点是系数怎么找，第二个难点是次数怎么找。那么今天呢，小李老师教你一个小技巧，如果在做单项式的问题里边求系数，伸出你的小手，把字母给他捂上，那么就得系数 看。比如说在这道题里边，谁是字母只有 a， 那么你就在这个地方伸个小手，把还有 a 的这部分给他抹掉，剩了多少？剩了一个负的 七分之三派，那么这个东西就叫做他的系数。好，那你再看。那么如果按照这个方法，你的第二个里边伸出小手，把还有 m 的这一部分给他捂住的话，那么剩了一个二的三次方，这就是 他的细数。那如果你把 x 给五掉，有同学说了，剩了个负的怎么办？不行啊，你得加一个，加一个负一，因为一乘以任何数还得本身。如果就个负号，后面来个负一，那我们在这个过程里边一定要记住了，原题中写二的三次方， 这还写二的三次方，注意书写格式的一致性。那么怎么去找次数呢？非常简单，把系数给他捂住，字母脑门上有多少就写多少。 比如说你把系数捂住，剩了个 a 的三次方，所以次数在这里边就得三。你把二的三次方捂住， m 的脑门上是个五，所以在这写个五，你把负号捂住， x 一次方，所以次数就得一。那么如果人家给 一个二的三次方，乘以 m 的五次方，乘以 n 的六次方怎么办？把系数捂住，字母脑门上的数加起来求和，就是他的次数，这个大家看明白了吗？