有水平渐近线一定没有斜渐近线吗

大家好，我是裴老师，今天我们继续来研究函数的渐进线，这是最后一个斜渐进线，这个渐进线啊比之前的水平和牵直渐进线的难度要大一些，所以我们先画一个图像来理解一下。 当函数随着 x 的变化逐渐的接近一条直线的时候，这条直线既不是水平渐进线，平行于 x 轴，也不是牵直接近线，垂直于 x 轴的，它是一个倾斜的直线，所以说它的斜率一定是存在且不为零的。 那么我们该如何的求出来这条直线呢？很明显就是确定他的斜率 k 和他的截距 b， 那我们在这里还是用极限来定义他，当 x 趋于无穷的时候，这个函数与这个直线的距离应该是趋于零的， 这样我们就可以写出这个极限来。我们对这个极限稍加改造，处理一下对等式，两边同时除以 x， 处理完了之后呢，他就长这个样子，通过观察发现，当 x 去无穷的时候， x 分之 b 就是去于零的，那么这个等式又可以写作这个样子。 得到这个等式之后，我们就能看得出来了。反过来想，如果要求一个函数的斜接近线的话，只需要把这个函数与 x 呃做伤，然后求当 x 区无穷时的极限，求出来的极限值呢，就是他的斜率 k， 那怎么再去确定这个 b 呢？我们在这里做一个辅助的直线，黄色的这条直线呢，就是 y 等于 kx， 他和我们的斜接近线呢之间的距离，我们在这认为这段就是 b， 那怎么求助这段来呢？我们发现当 x 区域无穷的时候啊，这个函数他是逐渐的接近红色的这条线，那么就意味着他和黄色的这条线之间的距离呢？就是这里的拮据，那么我们就可以求 出这样的一个极限来，当 x 区无穷的时候，函数与 kx 的做差以后的极限是 b， 这样 k 和 b 确定了，他的鞋接近线也就确定了，你听懂了吗？

我们怎么把所有间线都找完呢？我把步骤总结一下，第一步，找 y 等于 fx， 他的所有渐进线的步骤。第一步，找 fx 的间断点，求左右极限。若至少有一个为无穷，则为垂直 线进线。为什么要找间断点？垂直线线的定是不是左右起线，至少有的是无穷，是不是就很类似于我们的无穷间断点的定义？ 垂直电线就找尖锐点就行，连续的点是不会有垂直电线的。第二，我们检验 limit x 区正无穷 fx 是否存在，若存在，则为水平间接线。对正无穷这一头，你先检验一下它的极限， 如果存在的就有一条水平线，线就不用再求了，如果不存在，则求 limiter x 区政务群 f x b x 的极限可以 蜜桃 x 趋向于正不穷， f x 减去 k x 的极限是 b， 得出 y 等于 k x 加 b 为斜间立线。 第三步，对 x 屈均于负无穷重复二的过程。如果你事先发现屈均正无穷和屈均负无穷极限没差别，那二和三可以合并。这是我们整体的思路。具体来看一看这个函数怎么求他的间隙的条数。第一步，间断点只有一个 x 等 比零。 limit x 区定于零的时候， f x 的极限，这个 x 分之一是区定于无穷的，后面这个 l 一加上 的 x 次方是趋近一个长数的，所以整个极限是无穷，说明 x 等于零，就是垂直渐进线。这是第一步。接下来我们来看 x 趋近负无穷这一头趋近负无穷。首先，大家观察一下 x 趋于负无穷的时候， f x 它的极限是否存在，当 x 区负重的时候啊，这个 x 分之一区定零的，然后呢？ e 的 x 次方是 e 的负重次方， e 的负重次方是趋定零的，后面是 l 一加零，那就是零。整个极限是存在并且等于的，说明则 y 等于零为水平 分界线。我们再来看 x 区域正无穷 limit， x 趋向于正无穷 fx， 它的极限。观察一下， x 分之一是趋近于零的。 line 一加上 e 的 x 次方，这个极限是无穷，因为这个 e 的 x 次方， 它是 e 的正无穷死方。现在 e 的正无穷方是无穷乱了，无穷呢？还是无穷？这几样不存在，没有水平键的钱，接下来我们来求斜键的钱。利密特， x 趋向于正无穷 f x 除以 x， 这个极限是这个 x 方分之一，它是趋近于零的。后面那个呢？你给我落一下。下面求导是一，上面求导是一加上一等 x 次方分之 e 的 x 次方确定一，所以斜率是一。我们再来算 b x 去正物从 f x 减去一乘 x， x 确定正物从 x 分之一加上 line， 一加一的 x 次方减 x x 分之一确定零的，是不？直接先把它算出来。加法当中几部分，如果有任何一部分极限存在的，可以直接把它算出来，先代成零。 我们算后面这个极限，如果你算不出来，怎么办呢？你看这道题，人家老头在问什么？他问的是渐渐的条数，那你说这个极限等于多少还重要吗？等于多少他都是三条。当然呢，这样选有个风险，如果这个钱不存在，那就是没有的。但是一般来说，题目不会这么说， 你知道他存在就行了。我们学数学系的呢，就有这个特点，那个东西如果求不出来，我能知道他存在，我也是安心的。就好比今天各位同学还没对象，但你要知道你的对象一定是 存在的，他在哪或者什么时候会出现，你可能还不知道，但没关系，只要是存在的，早晚会找到，不会给你出个不存在的，对不对？要取我这个极限了。你需要把后面这个 x 给我写成 lon e 的 x 次方，用两 l 来表示，这是 x 趋近于正无穷 lon e 的 x 次方分之一，加上 e 的 是不就趋近于零？ y 等于 x 为斜渐进线，选 d 选项，三条渐进线。

同学们好，今天我们来学习渐进线。所谓渐进线，就是与函数曲线无限接近的直线。比如在下面这幅图中，随着曲线向两侧延伸， 函数曲线在不断地向 x 轴靠拢，这样 x 轴或者说 y 等于零，就是此曲线的一条渐进线。不仅如此，如果曲线向中间靠拢， 那么它就不断地靠近 y 轴，这样 y 轴或者说 x 等于零，也是此曲线的 一条渐进线。又由于 v 等于零，这条直线是躺着的，所以它被称为水平渐进线。而 x 等于零这条直线是竖着的，因此它被称为千值渐进线。 也就是说，渐进线包含有水平渐进线与铅值渐进线。除了这两种，因为函数图像的不同， 还可能出现斜着的渐进线，这条斜着的渐进线就称为斜渐进线，他们三个就是渐进线的所有分类。 有了大致印象后，下面来学习他们的细节。前面说了渐进线是无限接近函数的直线，那这个无限接近用数学语言该如何表达呢？对喽，用极限。 首先用极限定义水平渐进线，若函数趋于副无穷或者趋于正无穷的极限为 l， 那么 y 等于 l， 就是函数 f x 的水平渐进线。这个定义比较简单， 唯一需要注意的是，这里用的或者它意味着只要满足其中一个条件就可以了，这样 就可能造成函数有多条水平渐进线的情况。比如下面这个函数， 显然他在 x 区于正无穷时的极限是上面这条直线，而趋于富无穷时的极限是下面这条直线。两者虽然不同，但都符合水平渐进线的定义。 具体的下面这条符合左边，上面这条符合右边，因此他们都是函数的水平渐进线。 这个例子中，由于政府无穷的极限不相同，因此水平渐进线出现了两条，而假如政府无穷相同，那么水平渐进线就只会有一条。 可以看到，在这个例子中， x 不管是趋于副无穷还是正无穷，极限都为零，因此这个函数的水平渐进线只有一条，就是 y 等于零。 水平渐进线介绍完了，下面介绍牵植渐进线。 先给出定义，如果函数在 x 零处的左边 或者右边极限为无穷，那么 x 等于 x， 零就是函数的牵直渐进线。 这里的或者表明只需要单测满足条件就可以了。比如下面这个函数， 可以看到，在零点，左侧函数的极限为无穷，而在右侧极限为零。在这种情况下，根据定义，外轴仍然是函数的牵直渐进线。 和水平渐进线一样，牵值渐进线也可能有两条，比如下面这个函数， 在这幅图中就存在左右两条渐进线。和水平渐进线不同的是，除了两条牵直渐进线，还可能有无数条。 比如我们熟悉的政旗函数，由于函数值趋于无穷的位置有无数个，因此它的牵值渐进线就有 无数条。牵直渐进线介绍完了，下面介绍斜渐进线， 还是先给出定义，可以看到这里与前面有所不同，要求的不再是 f x 的极限， 而是 f x 减 a， x 加 b 的极限。 f x 减 a， x 加 b 的极限为零，说明函数与直线 a x 加 b 的距离无限接近。 自然直线 y 等于 a， x 加 b， 就是函数的斜键进线。来看个例子，可以看到，随着函数向正无穷方向延伸， 他在不断地靠近这条直线，这条直线就是函数的斜见进线。在这个例子中，斜见进线只有一条，如果我们将函数改一下，左边再增加一条这样的曲线， 那么斜见进线就会有两条。但不论函数如何改变，都不会出现无数条斜见进线的情况。至于原因吗？同学们可以自己琢磨一下。 三种渐进线的定义都介绍完了，下面我们通过一道例题来学习一下如何计算渐进线线。 下面 我们来计算一个函数的渐进线。对于渐进线，前面说了一共有三种，下面就来分别计算下。首先看第一个水平渐进线， 水平渐进线的定义是说，假如当 x 区近于正无穷或富无穷时，函数的极限为 l， 那么 y 等于 l 就是水平渐进线。根据这个定义，我们就是要计算函数的极限， 这是一个趋于无穷时的有理分式。由于分母的指数比分子小， 因此极限为无穷。极限为无穷意味着他不满足条， 这就说明函数没有水平渐进线。下面来看铅值渐进线。铅值渐进线的定义是说，当 x 在 x 零处的单侧极限为无穷时， x 等于 x， 零就是函数的牵直键进线。在本题中，我们就是要找到符合这个等式的 x 零。这里由于函数是一个分式， 那么只需要找到分母的极限为零，并且分子的极限不为零的点就可以了。 首先令分母等于零可以解出 x 等于负一，然后 后将它带回这个极限式，验证得到函数极限确实未无穷，这就说明 x 等于负一，是函数的牵直线进线。 最后来看斜键进线，斜键进线的定义是说，若当 x 趋于正无穷或富无穷时， f x 减去 a， x 加 b 的极限为零， 则函数的斜键进线就是 y 等于 a， x 加 b。 在本题中，我们就是要利用这个等式解除 a 和 b。 对于 b 很简单，利用极限运算法则，将 b 移到等式右边就得到这个式子。 而对于 a， 只需要将两边除以 x。 由于 x 区于无穷，因此等式右边极限为零化减可以得到 a 等于 f， x 除以 x 的极限。通过这两个式子，我们就可以来计算 a 和 b 了， 目标明确了，下面就来分别计算。首先算出 a， 将 f x 带入进去，写出来是这样的， 将括号中的式子化减，可以得到这个分式的极限为二分之一， 那么 a 就等于二分之一。再来计算 b， 将 f， x 和 a 都带入这个式子，然后通分化减可以得到 b 等于负二分之一，这说明 y 等于二分之一， x 减去二分之一是函数的斜键进线。 最后我们给出函数图像，可以看到这个函数确实有一条牵直渐进线以及一条斜渐进线， 没有水平渐进限。至此，我们就完成了这道例题。以上是本期视频的全部内容，欢迎一键三连！

我们来看一道水平渐进线和垂直渐进线的问题，那你求这个函数他的水平渐进线和垂直渐进线。我们先来看一下水平渐进线， 求水平间距线的时候，我们相当于是求他的极限，对吧？那么怎么去求呢？就是当 x 区域无穷大时，让你求 fx 他的极限值， 如果说他的极限值是一个长数的话，那么我们就说 fs 等于这个长数是一条水平间接线。那下面我们来看一下他的极限值， 他的极限值就是一加上三十六， x 除以 x 加三的平方。好看一下这个极限值是多少。那么我们先来看一下，把 x 等于无穷大，我们带到 这个式子当中，可以发现他属于无穷比无穷，那我们可以采用什么呀？抓大头的思想来解决 啊？下边他的最高次是二次，上边最高次是一次，所以这个结果呢就是零，所以最后结果是一加零为一， 那么这个极限等于一，所以我就说 f s 等于一是一条水平渐进线，好是一条水平 渐进线，这是第一个。那么我们再来看一下垂直渐进线，那么垂直渐进线它的中心思想是什么呢？就是当 x 趋向于间断点 的时候，如果说这个函数它的极限值趋于无穷大，那么我们就说 x 等于的这个间断点是一条垂直间接线， 那我们看一下对于这个函数而言，它的间断点是谁呢？是 x 等于负三，也就是说不成立的这个点是不是？我们来求一下它的极限， 当 x 区于负三的时候，我们求他的极限一加上三十六， x 除以 x 加三的平方。好，我们看这个结果。 那么把负三带到第二个式子当中，我会发现第二个式子它相当于是零分之一个长数，那么零分之一个长数它的极限值取决于多少啊？ 趋近于无穷大，零分之一个数啊，他就是一个无穷大，那么无穷大加上一个一，那最后结果还是无穷大。那所以我就说 x 等于负三是一条垂直渐进线。 垂直渐进线，好，这就是我们求解水平渐进线和垂直渐进线的一类问题。

二次考研倒计时二十七天，如果压题间接线，那是不是很准呢？当然这就很无聊了，他大概率要考，可是我们今天不说压题，我们说的是如果斜间接线 k 不等于零时，不看 b 能不能确定他存在呢？ 那好，我们一起来看一下什么叫做渐进线。当 x 趋向于 x 零时，这个函数的极限为无穷单侧即可，他就是先知渐进线，那么当 x 趋向于正负无穷时， fx 的极限为 a， 那这个时候 y 等于 a， 就是水平渐进线最多两条。 那么当水平电电线不存在的时候，我们就可以看斜着电线，这个 k 呢，就是 f x 比上 x 的极限，然后 b， 我们用 f x 减去 x 的极限来算。好了，同学们，我们现在来看这么一道题， 这个题有坑哦，我们说 y 等于 e x 四米减一分之根号是 x， 方加 x 加二加上三 x， 他问的是这个界定线有几条。首先我们看的是千值界定线，我们知道 这么无定义点有一个就是零，那么当 x 趋向于零时，这一算呢？这个极限是几啊？是无穷， ok， 那么他就是千字节内线。那么咱们再看水平啊，当 x 趋向于正无穷方向的时候啊，我们一算，这个 y 的极限呢，等于零。 好的，那么这一侧的水平接近线也是存在的。那么毫无疑问，我们当 x 区圈于负重的一侧，水平，不存在，不存在，赶快求 k， 那么一算，这个 k 啊，等于一，具体过程大家可以截图去看。那么我们现在开始进攻这个 b， 这个 b 我们经化减，到最后发现呢？他稀释是三下， 那么我们经计算发现第一项和第二项很容易的就算出他是一个值，比如说第一项算的结果是负二分之一，那么第二项算的结果呢？是零，对吧？但是我们有一个非常明显的意向，就是三 x 到 x 趋向于无穷的时候啊，具体来说呢，就是趋向于富无穷的时候，大家知道这是震荡的好了，他一震荡， 那么就一定不存在 b 喽，也就是说斜间接线是不存在的，那么这道题呢，就只有一条铅直和一条水平共两条间接线，大家学会了吗？

期末重点求渐进线是期末考试的考点，也是重点。渐进线主要分为三种，第一种叫做垂直渐进线，也叫做牵直渐进线。他出现在哪里？他出现在无穷间段点处。 现在你来看一下这个图像，他的渐进线显然就是歪轴，因为他在这个极限过程中，是不断的靠近于他，他在这个极限过程中，也是不断的靠近于他，对吧？不断的靠近于歪轴，歪轴就是他的一个垂直渐进线。垂直渐进线 出现在哪里？出现在无穷间端点处。也就是如果雷美塔 x 区域 a， fx 的极限为无穷，或者在这个极限过程中，也就是在 x 从负方向去 a 的极限过程中， fx 趋于无穷，或者在 x 从正方向趋近于 a 的极限过程中， fx 为无穷。好了，那么 x 等于 a， 就是它的无穷间断点。 x 等于 a， 这条线也称为它的垂直接近线。 你比如说他的垂直接近线，就是 x 等于零水平接近线。 如果在这个极限过程中，也就是 x 区域正无穷时， fx 的极限趋于 a。 如果在这个极限过程中，也就是当 s 区于正无穷这个极限过程中， fx 的极限等于 a， 也就是在这个极限过程中， fx 区域 a 在这个极限过程中，也就是 x 趋于富穷的极限过程中， fx 的极限等于 b， 也就是在这个 极限过程中， fx 趋于 b， 则称 y 等于 a 为 fx 的水平间接线。 y 等于 b， 也为 fx 的一个水平间接线。常见的一个例子，比如说 ya 等于 x， 弹进的 x， 当 x 区域正无穷时，啊，弹进的 x 不断的靠近于 y， 等于二分之派，所以 y 等于二分之派，这条线是他的一个水平间接线。你再来看，当 x 区域负穷这个极限过程中， y 等于 r 弹进的 x， 他是不断的靠近于哪条线的，不断的靠近于 y 等于负的二分之派的， 所以 y 等于负的二分之派也是他的一个水平经济线。斜经济线，你比如说 fx 等于 x 加 加上 s 分之一，他是对号的这种啊，对号的这种，而且他是积函数，关于原点中心对称的。 当 x 区域正无穷时，看好他不断的靠近于这条线，当 x 趋于富无穷时，你看好他不断的靠近于也是这一条线， 这条线就称为他的斜间近线，也就是 fx 的斜间近线。如何来求斜间近线呢？好了，我们设这个斜间近线为 y 等于 a， x 加上 b， 如果雷美塔 x 区域无穷， x 分之 fx， 这个极限如果存在的话，就把它设成 a， 再算一个极限，如果这个极限存在的话，也就是 x 区域无穷时， fx 减去 ax， 如果这个极限存在的话，算出来的结果就把它上成 b 好了。斜渐进线存在，必须满足这个极限存在，必须满足这个极限存在，也就是这两个极限同时存在的时候，你才能求出斜渐进线。 水平渐进线与斜渐进线总共最多有两条常规的办法。求斜渐进线的话，你需要怎么呢？你需要算一下这个极限，再算一下这个极限，他俩同时存在的时候，斜渐进线才存在。 但是关于斜间接线这个做法还是稍微麻烦一点，所以咱们下一个视频介绍一个相当简便的求斜间接线的方法。如果一道题让你求间接线，你需要先 先找牵直渐进线，再找水平渐进线与斜渐进线。对于水平渐进线求这个极限的时候，咱们默认 x 区域无穷。 有的题目要求什么？有的题目要求 x 区域正无穷与 x 趋于富无穷分别讨论，你比如说 y 等于 r 弹进的 x， 当 x 区正无穷时，阿卡金的 x 区于二分之派。当 s 区于富穷时，阿卡金的 x 趋于负的二分之派， 对吧？有的题目要求什么？要求正无穷和富无穷分开讨论的啊，但是有的题目不用有极个别的题目不用，你比如说 y 等于啊，可弹进他 x 的绝对值啊。这个讨论 水平电竞线的话你就可以。怎么能？你就可以直接求雷美塔 x 区域无球，然后阿克 弹进他 x 了，等于二分之派，你就不用分正负了，因为不管去正无穷还是去富无穷也好，他的极限都是二分之派啊。 有的题目要分开讨论，有的题目那就不用了啊，斜近视线也是。对于这个 x 区域无穷，有的题目要求分开讨论，有的题目怎么用？

求水平渐进线的题就是妥妥的送分题。方法很简单，就是求当 x 趋向又无穷的时候，二 x 减一除以 x 减一的极限， 如果极限值是 a， 则 y 等于 a， 就是水平接近线。本题中当 x 趋向于无穷时，二 x 减一除以 x 减一的极限 直接利用抓大头。分子和分母的最高次密都是一次密，所以等于最高次密。前面写出的比值二比一是二，所以水平渐进线就是 y 等于二。

求水平渐进线的题其实就是妥妥的送分题。方法很简单，就是求当 x 趋向于无穷的时候， y 等于三 x 除以 x 的极限， 如果最后的极限值是 a， 则 y 等于 a， 就是水平线进线。本题中，当 x 趋向于无穷的时候，分母的极限值是无穷大， 而分子三 x， 它是一个在正负一之间的一个有界变量，所以整个函数的即兴值是零。因此，本题的水平渐进线方程是 y 等于零。

下面我们来看这道题，那么这个题呢，是二零一七年数学二的一道考题，他说这个曲线的斜接近线的方程， 当然按照常规的方法，大家知道应该是算两个极限，那么一个呢，就是 x 趋向于无穷的时候，外除以 x， 那么这个算出来等于 a， 再算另外一个极限，就是 x 趋向无穷的时候，外减 ax， 这个呢，算数等于 b， 他就有 y 等于 ax 加 b。 但是呢，我们在前面讲啊，就这种求斜接顶线，那么可以直接看，如果这个 y 能够写成一个谁啊？线线函数 ax 加 b， 再加上一个谁啊？再 加上一个二法 x， 而这个二法 x 呢，在 x 趋向无穷的时候，注意是 x 趋向于无穷，因为你是求斜见，你这个等于零的话，那他就是你要求的斜见底线。 所以你看这题，我们按照这个观点看的话，哎，那大家看这呢外，就等于你说这个 x 乘进去，这不就是一个依次项吗？ 然后呢，后面还加一个谁啊？那么后面这个地方是加上一个 s 阿可的赛影的 a 四分之二， 那这个时候呢，我们注意这一项极限等于谁？阿克赛赢 x 分之二，等价与 x 分之二，所以这一项的极限是二，如果这一项 极限是零的话，那这个前面这个外带 x 就是斜减一些，但是呢，这个极限等于二不等于零，那怎么办？你看我们说能写成 ax 加 b， 加上一个无穷小， 那他写进去就找到了，实际上呢，你看现在我们是不是可以给这个方加一个二，然后呢，给这个方面呢？借一个二， 我说题已经做完了，你看这不就是 ax 加 b， 刚才他去向二减一个二，这后面这不是就取向零了吗？这不就是 ax 加 b 加上一个无穷小量，所以立马就知道斜接念线就是 y 等于 x 加二， 所以大家注意这个方法对，我们求这个斜界经线带来了方便，所以以后我们做这种斜界经线，可以按照这个他比过去那个算两个极限，那个要来的更快捷。好，这是我们要看的这道。

用泰勒展开式求斜渐进线的方法是谁还不知道，我们来看这道二零二三年数二考的求斜渐进线的题目，那么这个题很多同学拿到以后呢，就是求斜率，求拮据，当然可以了，但是计算量比较大。其实我们可以用泰勒展开式来求他的斜渐进线，方便又快速，那么这个曲线给的是这个式子，他的斜渐进线是啥？我们通过课上的学习知道，要想求他的斜渐进线， 其实的话呢，只要把您给的这个函数写成什么呀？ a s 加 b， 再加上一个无穷小的模式，这时候这一部分就是您这个曲线的，什么呀，斜接你线呀， 要写这个样子，咱们往往可以把这个 s 提出来说明，这里边呢是一个 a 加上一个必备的 x 分之一，再加上胸小，也就是说前边有一个 x 的时候， 这里边只需要写成 a 加上必备的 x 分之一的模式啊。当然前提求斜键一线， x 是取向不住大的，所以我们可以用这种方法来求斜键一线，速度会更快，尤其是做选择题。哎，前面这不已经有 x 了吗？是不是这个就要把啪啪的 展开就行了？但是它泰勒展开，我们背的展开是是 line 一加 x， x 减去一个二分之 x 平方，加上什么什么？那您这是一个 e 啊，所以这个题这个浪子里面应该先起一个 e 才能去泰勒展开啊。这个函数 f x 是不是 x， 这个位置是一个 line， 把 e 提出来 是一加上亿倍的 x 减一分之一。那写到这以后，同学根据对数的性质，根数相乘，是对数相加呀，这个位置是浪一啊，加上一个 line， 这是一个一，加上亿倍的 x 减一分之一，浪一是个一啊，这个位置是一了， 那一加上。同学，那现在这个不就可以泰勒展开了吗？展开是用的就是这个展开式呀， x 减去二分之二平方，所以这个位置是一个 e 倍的 x 减一分之一。如果你再往下写的话，是减去一个二分之 e 倍的 x 减一的平方分之一。但是已经没有用了呀，已经出现这 x 分之一个模式了呀，前面已经有 x 了，我们说前边一旦有 x， 里边只需要写成 a 加上 b 倍的 x 分之一个模式就行了，倒数了，所以后面这一项不需要写了，这就是他的高机油胸小，那么写到这以后给他乘开，这不叫 x 加上一个 e 倍的 x 减一分之 x 吗？ 好，后边加上一个无穷小量啊，迷形这个样子，以后求斜渐进线。 x 是趋向什么呀？无穷大的，我们说无穷大，抓大头，划掉这个一，说明这个式子就写成什么了。 x 加上一个一分之一了呀， x 趋向无穷大，那么这俩 x 和 x 这不消掉了吗？这个一就划掉了，说明这个极限是一个一分之一啊。 那再加上后边这个无穷小，说明整个这个函数当 x 趋向无穷的时候，他可以写成这不叫 ax 加 b 再加无穷小量吗？这一部分就是他斜界宁线，所以斜界宁线就是 y 等于 x 加上一个一分之一啦。答案选的是谁呀？ b 呀， 那么这道题就做完了，当然你去求斜率，去求拮据去做也是可以的，用他的展开去做也是 ok 的。好吧，同学，这个题我们就说到这里。