斜率大于1与小于1区别

高中物理的数学知识斜率数学中依次函数是一条直线，解析式中的 k 是斜率， b 是结局。为了简单起见，我们令 b 等于零，只讨论斜率 k。 斜率表示直线的倾斜程度，斜率越大，倾斜程度越大，直线越陡峭。 比如图中直线 a 比直线 b 更陡峭，所以斜率也更大。另外，斜率有正负，图中两条直线的斜率均为正，斜率为负的直线走向是从左上到右下，如直线 c 和直线 d， 这里直线 c 比直线 d 更陡峭。 如果我们不考虑斜率符号，只比较绝对值，直线 c 斜率的绝对值大于 d。 所以无论方向如何，直线越陡峭，斜率绝对值越大，越平缓，斜率绝对值 值越小。在判断斜率符号时，直线从左下到右上，斜率为正，从左上到右下，斜率为负。曲线的倾斜程度需要根据不同位置处的切线判断。比如我们做出图中所示曲线不同位置处的切线， 大家可以看到切线越来越陡峭，所以斜率在变大。同样的，如果换一条曲线，我们做不同位置处的切线，也是不断变陡峭，只不过斜率为负，所以斜率的绝对值不断变大。 那么问题来了，请大家判断图中曲线斜率绝对值的变化情况，大家可按下暂停思考做答案，答案将在三秒倒计时结束后公布。 我们做出不同位置处的切线，切线先变平缓，后变陡峭， 所以斜率绝对值先变小后变大。在 x t 图中斜率对应速度，因此 x t 图像所示物体的速度也是先变小后变大。学习图像时，很多同学表示不好接受，实际上并不是物理的问题，需要和数学知识联系在一起。 以上就是本节课的内容，是不是很简单，如果你喜欢本课程，欢迎点赞关注，感谢大家支持我们下节课再见大家加油，拜拜抖音！

大家好，我是杨万老师，今天我们继续来讲解解题。几何中的直线的倾斜角和斜律，其实在初中的时候呢，不少同学就已经接触过了，如果说两条直线，这个 l 一和 l 二是互相垂直的，那么他们的斜律成绩肯定等于负一，这个有的地方中考让用，有的地方中考不让用这个你们如果作为初中生的话，一定要问一下老师啊， 然后高中生的话当然可以用了，那为什么他的斜率乘以等于负一呢？这节课我们来讲一下，先来讲第一点知识啊，第一点的话就是这个直线的倾斜角和斜率了，第二点我讲一下位置关系，这个第一点的话，什么叫直线的倾斜角呢？我们读一下， 当直线与 x 轴相交的时候，我们取 x 轴作为基准， x 轴一定记住是 x 轴的正方向与直线向上的方向，他之间所夹的角呢，被称为直线的倾斜角，然后当然这个角 有的时候用 r 和有的时候用 c， 他来表示，这个随便表示啊，不是说非得表示成这个 f 呢。然后特别的当这个直线与 x 轴平行或者重合的时候呢，我们规定此时直线的倾斜角那就是零度了，那么所以说这个倾斜角的取之方圆，其实我们画一个图你就知道 好，这个呢是平面，这叫做包系，在做包系里头，我先画一个 l 一吧，请大家表示一下这个 l 一的倾斜角，显然这个 l 一的倾斜角是 x 周正方向和这个 l 一向上的方向，他的夹角呢，就是这个 ct 一， 那我再画一个，那这个 l 二的夹角就是他的倾斜角是锐角还是钝角，显然他就是钝角了，因为他是 c 头二，为什么呢？一定是 x 轴正方向跟这条直线向上的方向，他的夹角，所以说倾斜角的取值范围他应该是多少啊？如果你写成实数的话，就是 领导派的左臂右开了，这个派其实就相当于一百八十度，那为什么他这个派右边他写的是开区线而不是 b 区线呢？原因很简单， 你想啊，如果说这个 ctr 变成了一百八十度，那么就相当于又相当于这条直线跟 x 轴重合，或者跟 x 轴平行，这个不就又变成零度了吗？ 所以一定是记住零度呢，他这个位置是个什么？是个臂间，一百八十度就拍这个位置呢，是个开区间，这个一定要记清楚了。然后来看第二点，高中对于斜律的定义是这样来定义的啊， 一条直线倾斜角的正切直。你如果说一条直线，他的倾斜角呢是 f， 那么此时斜律 k 就等于瘫着呢？ f 这个是一定要记上的啊，他也告诉你了啊，那现在我们有一类题型是考察什么呢？已知 k 的范围求这个倾斜角 f 的范围，或者已知这样一个 rf 倾斜角的范围来求 k 的范围，就这两种题型，但是你一定要搞清楚了啊，当这个我们学过，在高一的时候，已经学过这个三角函数正确函数的定义了。当这个 c 的，也就是说倾斜角这个 c 的是锐角的时候，此时这个 k 怎么样啊？ k 肯定是大于零的， 如果说这个 c 他是钝角呢？当这个 c 他是钝角的时候，此时 k 呢，就是小于零的了。那么我还是想说一下，你锐角的时候呢，这个是正数， 钝角的时候开始负数，那如果说这个 c 的正好是直角，也就是 c 的等于九十度，也就是说这条直线呢？怎么样？这条直线他就正好是垂直于 x 轴，那此时他的斜率存在吗？ 四十 k 是不存在的。所以其实你应该写几点呢？写三点，图中的话，给你表示出来这两种情况了。写了两点，你看第一个图的话就是锐角的 情况，第二个图的话，就是倾斜角是什么角啊？是钝角的情况了。其实你还应该补充一个图，倾斜角是九十度的时候呢，他这个斜率是不存在的。因为什么？因为他你这个摊没有九十度的写法，摊点九十度是不存在的啊。 那继续来看以下注意的几点吧。首先第一点是什么呢？当这条直线平行的时候，这个好说吗？已经有了啊。然后大于零的时候，小于零的时候是钝角，我已经说过了，咱们重点来看一下最后一点， 当这个直线于 x 轴垂直的时候呢，这个 f 等于九十度，倾斜角是九十度，就是说他这个斜率不存在。初中的时候学这个一次函数其实也讲过。 所以说啊，一条直线 l 的倾斜角啊， f 一定是存在的，倾斜角肯定存在，但是斜率不一定存在，为什么？因为摊着他九十度，他是没有意义的，你记住这一点 啊。然后下边这俩图的话，主要是结合什么？结合这个正切函数的定义，正切函数线你还记得吗？三角函数线。记得呀，这个三角函数他是通过什么来定义？通过单位元，现在我们通过单位元来回忆一下正切函数， 这个单位圆指的是圆心要在圆点的位置，而且他这个圆的半径还必须总一，这个才叫单位圆啊，标准位置的单位圆， 那么这个单元画出来以后的话，本来他这个正题函数是通过什么定义的？如果屁点的这个坐标是 xy， 屁点指的是这个中边啊，这个 f 的中边跟谁的焦点， f 的中边跟这个当圆的焦点， 然后他的这个正确的定义就是外表 x 定义出来的。但是，但是我们可以怎么样啊你？显然这个 p m o 和什么和 t a o 这两个三角形呢是相似的，所以我们还不如 直接换成 y 比 x 实际上就相当于这个 t a 的长度，比上欧 a o a 长度不就是一吗？所以说 t a 就相当于什么？就相当于这个阿尔夫的正确值，所以 t a 呢，就叫做三角函数线了。 原来是这么回事，然后你结合这个图来推一下这个阿尔夫倾斜角和 k 的关系就可以了。这个我就不多说了啊。 那接下来看最后一点这个公式的话，初中就已经知道了。斜律公式怎么算啊？好，算，等于 y 二减 y 一比上 x 二加 x 一。初中，咱们回忆一下初中是怎么推出这个公式来的，其实你初中就知道。好说呀，初中的话，一条直线上有两个点背，一个点是 a， 一个点是 b， 然后我可以先把这个点 a 带入这个解析式里头， y 一等于 k 倍的 x 一加上 b， y 二等于 k 倍的 x 二加上 b， 那此时这个一和二呢？那小小必备，一减二就变成了 y 一减 y 二等于什么？等于 k 倍的 x 一减 x 二。 所以说这个 k 不就等于 y 一减 y 二比上 x 减 x 吗？所以说你上边写的 y 二，下边就应该先写这个 x， 你上边写的这个 y 一，下边就应该先写 x 一，这个你记住就行了，可以吧。 那接下来我们练一道例题，看这道例题了啊，这个例题的话怎么说的？已知倾斜角分别是四十五呢？哎呀，那好说吗？显然他这个 k 一的话是等于摊震的，四十五度， 他是等于正一的。嗯，然后你这个 k 二，他的这个斜率呢，是等于摊着呢？一百三十五度，那一百三十五度的话，他是等于多少？等于负的？摊着的四等于负一啊，这个题选 b 就可以了啊，非常简单。我们看一下第二题， 这个第二题的话是这么说的，已知直线的倾斜角的范围是四十五度到一百三十五度啊，就四分之派到四分之三派，那么此就是这条直线他斜率的提示范，你看已知 r 和倾斜角的范围求 k 的范围，非常经典的一种考法。那他这个范围怎么求呢？ 其实非常好说，我们画一下这个图像啊，这个是 x 轴，这条直线我就画了啊，也就是说这个夹角呢，是在四十五度到多少度之间啊？四十五度到九十度，如果是四十五多到九十度的话，那么 k 的范围应该是多少？ 摊着呢？四分之盘，那不就是一吗？所以说里头肯定有一个一道正无穷，越接近九十度，他就越接近正无穷吗？但是还有别的吗？还有，那肯定还有啊，当你跟这条直线跟 x 轴垂直的时候呢，他的这个 k 是不存在的，但是稍微倾斜一下，就变成复无穷了。 负无穷到多少？这四分之三派不就是负一吗？所以说最终他这个取值范围，我们并到一块，就是负无穷到负一的左开右臂在并上，一到正无穷的左右开就结束了。接下来来看这个第三题。 第三题的话好说啊，如果你这个倾斜角是钝角的话， k 肯定是什么，你摊着的 c 的肯定是一个负数啊。所以呢，首先他这个 k 一呢，是摊正的钝角，钝角的摊正的值肯定是小于零的。好了，继续来看，那此时这个 l 和 l 三，他的倾斜角都是锐角啊， 那显然，当这个 c 特为锐角的时候，一定记住啊，锐角就是零到九十度之间，当 c 特为锐角的情况下呢，这个 k 是随着 k 等于他们的 c 了吧，既然等于他们的 c 的 k 变大了，然后 c 他也要变大，或者说 c 的变大， k 也要变大，所以， 所以说这个时候我们直接写就行了， k 一是负数，接下来是 k 三，接下来是 k 二就结束了，非常简单。看这个第四题。第四题的话，我们证明三点勾线也可以用什么方法？你可以这样啊，你可以用 ab 的斜律， 正好等于 b c 的斜率，然后求出这个 m 值不就行了。然后套公式啊，这个第四题，那这个 ab 的斜率我们怎么算？直接算就行了啊，这个的话是三加二， 我不多说了，你自己算啊。然后 b 四的斜率是 m 加二，然后二分之一减三，所以最后算出来，我们这个 m 是等于几呢？ m 等于二分之一，所以啊，这个跨字写二分之一就足够了。看第五题， 第五题怎么说啊，他说呀，经过两点的直线，他的倾斜角呢？是锐角，倾斜角是锐角。哎，你说如果倾斜角是锐角的话，此时这个滩呢？ f 的范围是什么呀？那肯定是零到哦，注意，零这个位置，他是开区键啊，也就相当于 k 的取值范围呢，他是零到正无穷，那就好说了。所以 ab 两点之间斜对公式，那不就相当于什么呀？相当于 m 减一， 再比上一减去二，他的取值范围，也就是说他是大于零的，那最终不就把 m 的范围求出来了吗？所以说 m 的范围是怎么样的呀？ m 的范围呢？他就是富无穷到正义之间，你自己算一下就行了。我们继续来看这个第六题。 第六题的话，倾斜角，注意，不是所有的倾斜角都是 r 和这道题很多那些造成了这样一个误解，就是说这个 f 我可以随便取， l 是倾斜角，不是的，这个 l 不是倾斜角，我们改变一下形式， y 等于一下向就行了啊。三 f 乘啊 x， 然后再加上几，再加上二，你后边这个二不用管，那这个是结局啊，其实这个括号里头他是个什么东西啊？那这个括号里头他不就是斜率吗？所以说斜率等于 三啊， f 这三啊 f 的法取值范围，那肯定是负一到正义之间。这个初一学三角函数，那这个高一学三角函数就学过了。 那么一定要记住，我们倾斜角不是用 f 来表示，我们换一个吧，用 c 的来表示，那不就相当于这个 c 他的取值范围他是在什么？他是在负一到正一之间吗？接下来你自己画一下这个 x 轴跟直线正一到负一不多说了啊， 所以说最终他这个倾斜角的取值范围应该是多少？零到四分之派，这个没问题吧？然后还要并上什么呀？还得并上这样一个四分之三派，再到派的左避右开，然后第六题呢？就结束了。

大家好，今天我们来分享一道求斜率大小的选择体验。 那么根据题，我们知道 l 一、 l 二， l 三、 l 四分别对应的就是一次函数 y 等于 k 一 x， y 等于 k 二 x， y 等于 k 三， x 和 y 等于 k 四 x。 然后呢，让我们来比较这四个 斜立的直，那么这个时候呢，我们就知道这四条直线呢，都经过原点，所以说呢，它是正比的。函数 y 等于 k x， 然后根据 y 等于 k x 的性质，我们可以得到，当 k 大于零时， 经过一三项线， k 小于零时啊，图像 是经过二四项线的啊。那么根据这个呢，我们就能得到 l 三和 l 四，他们的鞋率是大于零的，也就是 k 三大于零， k 四大于零。同理呢，我们能得到 l 一和 l 二呢，因为它经过的是二四象限，所以 k 一小于零， k 二也小于零。那么当 k 三和 k 四都是正数的时候，他的学历如何比较呢？看他的亲切程度啊。当 当他们都是正数的时候，谁的清晰程度大，谁就大。那么这个呢，我们就能得说 k 四啊，清晰程度 小，也就是 k 四，他是小于 k 三的。 那么我们再来看 k 一和 k 二，因为他们都是负数，负数是决定之大的，那个反而小。也就是说呢，因为 k 二的倾听程度大，所以说呢，他反而小。也就是能得出 k 二小于 k 一， 因为他们是负数，他一定小于正数的。所以 k 二小于 k 一，小于 k 四，小于 k 三，他所对应的是 b。 所以呢，这道题的选项呢，就选 b 啊。求学历的问题呢，有很多，以后呢，我们会慢慢的和你们分享。

今天我们来讲一下原本应该交给数学老师来讲的斜率。斜率这一个东西的话，它是在高中数学当中才会正式的学到。可是高一的物理此时此刻已经要用到斜率了，在我们运动学图像当中是需要用到的。 然后有一些初中的数学老师可能会拓展一下斜率的相关概念，但也基本上是点到为止。呃，再加上中考不考，所以对于这一部分同学来讲的话，他基本上也不知道怎么把数学当中的斜率给应用到物理当中来。那今天我们就来简单讲一讲斜率的概念。 我们可以先来看到一个我们非常熟悉的依次函数的图像，那对于依次函数，初中的时候我们就知道他的解析是 y 等于 k x 加 b。 那有些初中老师可能会拓展一下，这个 k 就叫做斜率啊，基本上也就仅此而已了。那这个 k 究竟是怎么来的呢？我们会在这个图像上面认取两个点， 然后我们用这两个点的纵坐标之差 dot y 去除以它的横坐标之差 dot x， 我们就可以得到斜率了。所以斜率在计算的时候， k 是等于 dot y， 比上 dot x 是这么来的。 当然我们还可以跟三角函数来结合一下，如果说这一条直线与 x 轴方向的夹角为 say 角的话，那其实斜率也就是 say 角的正切值摊停 say。 这么一来的话，我们其实就可以得到斜率的几何意义了。他就表示的是这一条 直线的倾斜程度，也就是在初中数学当中，我们所讲的 k 越大，这个直线越陡峭。那在我们现在所画的这一条直线当中，根据初中数学的知识，我们知道此时 k 它是大于零的，那同时我们这个直线还可以是斜右向下的， 那这个时候我们在算斜率时也是一样的。在上面认取两个点，用这两个点的纵坐标之差得到 y， 去除以他的横坐标之差，得他 x 得到的也就是他的斜率。但是这个时候一定要注意，他的斜率就变成负的。 dout 这一个东西，它表示的是差值。在初中物理当中，我们在计算差值的时候，一般来讲会习惯于用大的减小的。但实际上我们真正在计算差值的时候， 在用末减出啊，也就是我们在讲速度变化量那一块所会涉及到的东西。那在数学当中，我们怎样去对应末减出呢？其实也很简单，你就是要保证这个 y 和 x 先后顺序是一致的。比方说这个点它的坐标是 x 一 y e 这一个点它的坐标是 x 二 y 二。那如果说这个 dot y 你要用 y 一减 y 二来表示的话，它所对应的 dot x 也必须用 x 一减 x 二来表示。 那此时我们再放到这个图像当中看一下。 y 一减 y 二， y 一在上， y 二在下，它是大于零的。 x 一减 x 二， x 一在左， x 二在右，它是小于零的。所以对于这样的一条直线而言， 他的斜率是一个负的。当然这两部分其实都还在初中的范围内啊，只不过我们简单的介绍一下斜率究竟是个什么东西。 那我们再来看一个可能初中数学老师不会讲的东西。如果说这一条直线变成水平了，那他的斜率变成了多少？ 我们其实还可以按照刚才的思路来，在这个直线上面认取两个点，那既然现在它是一条水平线， 所以这两个点的纵坐标是一样的，也就意味着 k 等于 dot y 比 dot x， 它的这个分子就变成了零，它其实变成了零，除以一个数算出来自然就是零了。说明一条水平线，它的斜率对应的是 零。那还有另外一个一条竖直线，他的斜率这个时候就会稍微麻烦一点点。我们还是可以按照刚才的思路来推导一下。在这一条直线上面认取两个点的话， k 等于 dot y 比上 dot x， 而这两个点他们的纵坐标是不一样的，所以这个时候得他外就不等于零了。具体等于多少咱也不用去管。在不同的问题当中，取的点不一样，他也不一样。但是有一个东西一定是确定的，那就是这两个点的横坐标之差。 因为这一条直线是竖直的，所以他们的横坐标相同，他们的横坐标之差， dota x 就变成了零。那 dota y 比零是什么东西呢？这个玩意儿现在对于很多同学来讲， 可能是觉得他是不存在的。当然你要说他不存在也没有问题。但是一般来讲，我们不会说他不存在，我们会说他是无穷大。 那为什么得到外比零会变成无穷大？可以简单的来解释一下。我们看几个简单的例子。比方说一除以一，他得到结果是一，一除以零点一，他所得到的结果是十一除以零点零一，他得到的结果是一百。这三个就足够了。 对于这三个例子，我们就可以看到，当分子不变的时候，分母越接近零，那我最终算出来的分数值会越大。 那你就想一想，如果我这个分母它变得更小一点点，它非常非常非常非常的接近于零，那我最终算出来的这个结果，它就应该非常非常非常非常的。 那这种非常非常非常大的数，我们就把它叫做无穷大。当然你要说他不存在也是没有问题的。那这个是直线的斜率。在高中，不管是数学还是物理以及化学当中，我们还会经常接触到曲线的斜率， 那对于一个曲线来讲，他的斜率如何去计算？其实也很简单。曲线我们就不会说这一整条曲线的斜率，我们针对的是曲线上的某一个点，我们所描述的是这一个点的斜率。 那这一个点的斜率也很简单，我们只需要找到这一个点他所对应的切线，那么这一个切线的斜率也就是这一个点的斜率了。而在高中阶段，切线和初中的切线也是有一点点 区别的。初中讲切线怎么讲的？比方说这有一个圆，然后这一条直线呢？是一条割线，它与这个圆有两个焦点。这一条直线呢，离得比较圆，它与这个圆没有焦点。 而在这个过程当中，一定存在一个特殊情况，直线与圆只有一个焦点，这个直线就叫做圆的切线。 也就意味着初中几何所讲的切线，他只有一个焦点。但是高中的切线，他可以有不止一个焦点。比方说这个样子的一条曲线，那么我们在计算这一个点切线的时候，那我们就过这一个点做一条直线， 那这个时候其实这条直线就是在这一个点上的切线了。但是很明显，这条直线与这个曲线还有一个交点呢。 那高中的切线和初中切线的区别就在于，高中的切线，他指的是在切点附近只有这一个焦点，找不到第二个焦点了。当然这个会留到后面数学老师来解释。今天我们就点到即止，因为在物理当中不会涉及到这么复杂的情况。 那接下来我们再来看到，在这样的一个曲线当中，他存在一个最高点，最高点我们把它叫做 a 点。那如果说现在某一个点在这个曲线上面运动，他从 o 运动到 a 的过程，以及从 a 运动到 b 的这一个过程， 他所对应的切线斜率是如何变化的。那想要判断切线斜率如何变化，其实很简单，我们随便找两个点，做出他的切 切线就可以了。那比方说这个地方已经有一条了，那我们再来找一条，那这两条切线往这一对比，我们立马就可以看出来。从 o 向 a 运动的过程当中，随着横坐标 x 的增大，它的切线变得越来越平缓。 切线越来越平缓，也就意味着他的斜率在变得越来越小。而比较麻烦的是从 a 到 b 的这个过程当中。 注意，这个时候我们讲的仅仅是在数学范围内的，不会涉及到物理。从 a 到 b 的过程当中，我们也是一样的，我们随便找两个点，做出他的切行来， 那此时我们会发现，随着横坐标的增大，这个支点在从 a 向 b 运动的过程当中，他所对应的这一条切线变得越来越 陡峭了。但是你一定要注意一下，它并不代表着斜率在逐渐的变大。 我们可以取几个值来方便理解一下。比方说这一条切线，它的斜率可以是负一，这一条切线，它的斜率可能是负十。这些都是初中数学的内容。 那这个时候我们就可以看出来了，虽然这个直线变得越来越陡峭了，但是他的斜率依旧在逐渐的变小。 所以，如果你初中数学老师讲过斜率概念的话，你去翻一翻你初中数学的笔记。那个时候数学老师应该是这么说的斜率的绝对值越大，意味着这一条直线越陡峭。而在这个地方，我们并没有去讨论斜率的绝对值，我们是要带上政府号来讨论的。 当然，这一点跟物理又有一点点的不一样。那斜律的数学概念讲完了，这个东西如何应用到物理当中来？我们就以现在所讲的 x t 图像和 v t 图像为例。 很多同学说老师，我记不住这个斜率代表的是什么东西，怎么办？没事，咱现在就把它给推一遍。你看，这是一个 x t 图像 斜律，刚才讲了，是在这个图像上认取两个点，用这两个点的纵坐标之差去除以横坐标之差。可这个时候它是一个物理的图像，跟数学不一样。它的纵坐标是位于 x， 所以它的纵坐标之差就应该是 dota x， 它的横坐标是时间 t， 所以它的横坐标之差就应该是 thirty。 根据我们刚才所讲的斜率等于纵坐标之差，去除 图以横坐标之差， dot x 比 dott t， 得到的就是速度 v。 那如果说这个斜率是负的怎么办？没事，因为速度是一个使量，使量是有大小有方向的。而在使量计算当中，正负号就是用来代表方向的。 所以斜率它的大小其实就代表了速度的大小。而斜率它的正负所代表的就应该是速度的方向。 那这个是 x t 图像。类似的。在 v t 图像当中，它的斜率代表什么？我们在 v t 图像上认取两个点，这两个点它的纵坐标志差就应该是 dota v， 它的横坐标之差就应该是 dota t。 所以它的斜率 k 就等于 dot v 比上 dot t 得到的就是加速度 a。 同样的，因为加速度是一个使量，所以加速度的大小是通过斜率的大小来体现的。加速度的方向是通过斜率的正负来体现的。 那以前还有同学问过我一个问题，老师，在 x t 图像当中，斜率代表的是速度，是不是因为他的纵轴 x 除以横轴 t 得到的是速度？类似的，在 v t 图像当中，他的斜率代表的是加速度。是不是因为他的纵轴 v 除以横轴 t 得到的是加速度呢？ 其实并不是这样的。你能问出这个问题，说明前面我们讲斜率那一部分，你还是没有听懂。斜率它等于什么？等于 doorta y 比上 doorta x， 它应该是纵 坐标之差除以横坐标之差，而不是单纯的纵坐标除以横坐标。我们可以举一个我们已经学过的返利。 在初中电学当中，我们学过小灯泡的 iu 图像，我们知道随着电流逐渐增大，灯泡的电阻会变得越来越大。那比方说，我们现在想要来判断一下这一个点它的斜率 是什么样的，那很简单，根据我们刚才所说的做这一个点的切线就可以了。那难道这一条切线的斜率代表着灯泡在这一个状态下的电阻吗？ 如果你觉得是这样的话，你可以去翻一翻你初中的笔记，到时候你就知道了他并不一样。那这个就是我们今天所讲的内容。如果大家喜欢我的视频的话，欢迎点个赞，投个币，收个藏。谢谢大家，我们下期再见。

有没有想过用一个知识点贯穿高中函数，拿来吧你。现在岳云鹏和彭于晏站在了 x 手上，在他们头顶确定两个点，用一条直线把这两个点连在一起。 我们能看到这条直线就像是一个斜坡向上的斜坡。我们想要描述这个斜坡陡还是平缓，用一个量来描述他。这个量我们称之为斜律。现在用这两个点在竖直方向上的高度差，除以他们在水平方向上的距离，得到了一个数量，就是我们刚才说的斜律。 我们来验证一下这个水率好不好用。我们移动一下彭于晏，当彭于晏越来越接近岳云鹏的时候，他们的高度差是没有变化的，但是因为他们的水平距离变小了， 这个时候斜率就变大了。我们也可以看到这根直线他变陡了。相反，当彭于晏远离岳云鹏，我们又会看到高 度差依然不变，他们的水平距离越来越远，而我们看到斜率就越来越小，我们也能够看到直线变平缓了。所以用这个量来去衡量这个斜坡是抖还是平缓是非常合适的。 而且我们还知道如果斜律大于零就是上坡，斜律小于零就是下坡。来看看有什么用。在一条曲线上，我们找到两个比较相近的点，把他们所确定的直线的斜律求出来，如果这两个点非常接近的话，那 这两个点所确定的直线就非常接近这个点附近的切线。我们把这条直线就近视的看成是曲线的切线。通过求出斜率，我们可以看到一些什么规律呢？ 如果这切线是上坡状，我们就知道这个曲线在这点的趋势是往上走，换一个名字叫单调递增。关注 如果这个切线是下坡，那么这个曲线在这里是单调递减。综合上面所有的内容，如果切线斜律大于零，那么函数单调递增。如果切线斜律小于零，那么函数单调递减。 如果每次都要练一个斜律公式才能确定他是单调递增还是递减，就有点太麻烦了。是不是能找出一些规律，让我们更快知道他 斜律是大雨淋还是小雨淋呢？于是，伟大而聪明的数学家们，他们就对多种常见函数都进行了一番探究，发现了一些规律。他们把这些规律的使用过程称之为求导，而所求出来的新函数称为导函数。 所有的求导过程其实原理就是我们前面讲的求血率的过程。所以求导就是求血率。求出血率。确定这 首付就能确定元函数的单调性。理解函数依然需要通过基础的四则运算。如果你的运算不过关，学习高中知识点会遇到诸多困境。这里有三套，给高中生的计算能力知识题。点赞留言后私信我就可以获得。

今天这节课想跟大家提的一个形式，在去做题时，有的题目里会涉及到对于一条直线在晃动的过程当中，直线斜率的范围分析。而很多同学在处理这一块时，可能会犯一些常识性的错误。 我们先回忆一下斜律的一些计算公式。我们在去算一条直线的斜律时，有两种不同的计算途径，一个是通过捕捉这条直线上的两个点的坐标，一个是通过捕捉这条直线的倾斜角。 如果你已经知道这条直线上的两个点的坐标，什么 x 一 y 一 x 二 y 二。想去算这条直线的斜率很简单，纵坐标相减除，横坐标相减就好。 而如果你已经知道了这条直线的倾斜角不是条直线是这样的，倾斜角是这个部分的话，那么他的斜率的计算有另外一个公式，是直接去算这个倾斜角的正确值。所以给一条定 的直线，要我们去算这条直线的斜率等于几，对我们来说一般都不难。而有的题目，他不是一条定的直线，这条直线会在一定的区域内晃来晃去，而他会问我什么，他会问我这条直线在晃来晃去的时候，他的那个斜率的范围是什么。 而很多同学在这里都容易出错，就比如说假设现在我随便画一个东西，假设这是一条线，然后这是另外一条线， 这条线的斜律假设我算一算，发现是等于二的，然后这条线的斜律我算一算，假设发现他是等于负三的，然后我现在呢有一条动止线，这条动止线就一直是这样画， 就是在这两条斜率是二跟负三的斜率之间摆来摆去，他就会问我照直线，从这个斜率是二的地方摆摆摆，摆到这条斜率是负三的地方的时候，我的斜率的范围是什么啊？很多同学可能会不假思索的就看嗯，你从二 二百到负三来，肯定是从小变到大呀。所以斜律的范围大于等于负三，小于等于二。有的时候有的题可能刚刚好就对了，就他算一下他的那个晃动范围的边界斜律， 然后就从小写到大就对。但有的题他答案就又会错。所以到底一条直线在晃来晃去的时候，他的那个斜律的变化到底是什么样的？我们有两种方式去理解他。一个是通过斜律跟倾斜角之间的这个正确函数关系。 一条直线的倾斜角是大于等于零，小于一百八十度的。而我们之前学过正确函数的图像，所以我们可以直接选择把 k 跟阿法之间的图像关系画出来。 当阿尔法是二分之派时，血率不存在，而零到二分之派时，血率会是一个正数，而且会随着倾斜角的变大，一路从零增大到正无穷。当你的倾斜 角是大于二分之派，小于派的一个钝角时，斜律是负数，但是他依然会随着你的倾斜角增大而增大，只不过这回他会从负无穷一路增大到零。 这就是我们的一条直线的斜率随着倾斜角的改变而产生的变化。那也就意味着一条直线在摆动的时候，到他的斜率是怎么变的。很简单，躺着的时候，平平的时候就是零。 稍微把你的倾斜角转起来，一点点，倾斜角变成一个稍微大一点的锐角了，斜率就会从零开始慢慢增大，增大成一，增大成二，增大成一百，增大成一千，增大成以外，一直到最后竖起来的时候，相当于是增大到了正无穷。 而如果你继续往你的钝角方向倾斜，注意他的斜率会马上锯减，变成负无穷，然后变成负一千变成负一百变成负 十，变成负一，最后又躺平变成零。这就是一条直线他在摆动的过程当中，他的斜率的变化。 我的记忆的方式就是你就记住这边是零，这边是正无愁，这边是复无愁，这边是零就够。意思是什么？意思是如果你从零开始，慢慢的竖起来，你的斜率就相当是在从零慢慢慢慢的往正无穷变。 你竖直的时候，写率达到正无穷，你稍微再歪一丢丢，你马上就会变成负无穷大的写率了。然后你继续歪，你就会变成一个从负无穷往零增大的过程，变成负一百，负十、负一，最后回到零。 这就是一条直线的斜律随着这条直线的晃动而产生的改变。我们结合具体的例题来说明一下，到底考试的时候他会怎么去考这个知识点容易出的错又在哪。比如说看下利益的题，他说有一条动 直线，他永远都是过一个固定的点批负一二的，而且这条动直线要保证跟一个以 ab 为端点的线段保持相交。我们先把图大概的画一下，批的坐标是负一二，大概在一个这样的位置， a 的坐标是负二，负三大概在这， b 的坐标是三，零大概的位置在这。他的意思就是 ab 是一个线段，你的点 p 过点 p 的这条直线必须要保证跟你的线段 ab 保持相交关系的话，那就说明我这条直线也不能太乱晃。我必须是在 p a 跟 pb 之间这样晃动吧。 我是从 pa 慢慢慢慢转到 pb， 在 pa 跟 pb 之间来回打转，这个部分才能够保证我的这条直线始终跟线段 ab 相交吗？好吧，他就问你，那这时候你这条动直线的斜坠的范围是什么？我既然是夹在 pa 跟 pb 之间转来转去的，我想知道我的斜率范围。我当然应该先把我的这两条 pa 跟 pb 边界情况的斜率算算看。 所以我可以选择先去算一下 p a 的斜率。不难算，纵坐标相减除，横坐标相减二减负三，再除负一减负二。很容易可以算出来我们的斜率是等于负五的，就是这个人的斜率是负五。 pb 的斜率是多少？一样的吗？纵坐标相减除，横坐标相减二减零，然后再去除一个负一减三。我们好运可以算出来这条直线的斜率是等于负的二分之一的。 啊。不好意思，这应该是正午，所以 p a 的斜率是正午， pb 的斜率是负二分之一。而绝对不要犯的错误是连图都不看就直接写斜率的范围。是从小到大直接就写斜率的范围是大于等于负二分之一，小于等于五。因为如果说连图都不看，有， 有的时候可能碰巧运气好，答案是对的，但很多时候可能就会出错。所以一定要去分析一下你这条直线的晃动情况，你想看你是要从哪晃到哪啊？你现在是从 pa 慢慢的晃到 pb 对吧？你观察一下你的斜率的变化，你 pa 的时候斜率是五吧， 然后呢？你怎么变的？你是不是在把这条直线慢慢的变直，所以这个过程就是在从正五变成正无穷。然后你停下来了吗？没有，你不是直了就停了。你还会把你的倾斜角慢慢的从直变成一个钝角，那你就会掉到负无穷去了。 然后你这个钝角会越来越大，越来越大，那你就会从复无穷慢慢的往零接近。而你最后停在哪？你最后停在了 pb 的斜率身上，你停在了负二分之一，也就是你的整个晃动过程是什么？你从正五变到了正无穷，然后又从复无穷慢慢的增大，增大到 到了负二分之一，这才是你的直线从 p a 慢慢的转到 pb 的过程当中。斜率的变化。现在他应该是从五增大到了正无穷，然后又再从负无穷继续增大，增大到负二分之一，这才是这条直线的斜率范围的正确的答案。分析。 所以在去处理这种有关直线的斜率取值范围时，一定要结合图形去分析。你明明一开始的斜率是五， 然后你的倾斜角明明在变大，而且会变大到九十度，那你的斜率就会从五增大，然后一路增大到正无穷。你的倾斜角变到九十度了，你还不满足，你还要从倾斜角变成一个钝角，那些斜率就会调到复无穷。 你这个倾斜角是钝角的，直线会倾斜角越来越大，那你就会从腹无穷一直增大，增大到最后的负二分之一，停下。这就是我们对于这条直线斜率变化的分析。 类似的，我们再看一下第二个例子。第二个例子其实跟第一个例子是几乎是差不多的。唯一有的一点点变化是第一个例子里是不是直接告诉我们这条直线是过哪个点在转的？ 而利奥里他没有告诉我这条直线过哪个点在转，他只是跟刚才一样，也要保持跟哪个线段相交。但是我们可以自己去分析这条直线绕着哪个点转吧。 绕直线的方程是 x 加上 m 倍的 y 加一等于零。那么不管 m 是几，其实只要你的 y 取的是负一， x 是不是一定就是等于零的？ x 是零， y 是负一。检验一下他是不是可以做到不管 m 是几，始终在 l 上。所以我如果把这个点记为 p 零负一的话，其实这道题跟上一题几乎就没有什么区别了。也是一条动直线，这条动直线也是在绕着一个点转，绕着哪个点，绕着一个叫 做零负一的点在转。转的过程当中要保持什么？保持始终跟线段 ab 相交。 a 的坐标是负一一， b 的坐标是二二。 这其实我这条直线也是夹在 p、 a 跟 pb 之间来回打转。我想分析 m 的范围，自然也就是先从分析这条转来转去的直线斜率的范围入手。 pb 的斜率是多少？不妨先算一下纵坐标相减除横坐标相减，斜率是等于二分之三的。 c、 a 的斜率是多少？同样的，纵坐标相减除，横坐标相减，很容易可以算出来我们的斜率是等于负二， 所以我一开始的斜率是二分之三，我要慢慢的转到一条直线的斜率是负二。而且我转动的过程是从一个锐角的倾斜角，慢慢的把我的倾斜角变大，直至我的倾斜角是一个九十度的状态。 这个过程就是从二分之三增大到正无穷的过程。而继续你还要往前走，那你就马上掉到了负无穷，并且从负无穷继续增大，增大到负二。 可以说明这条直线的斜锐的范围应该是什么？应该是从二分之三一路增大到正无穷的状态，在并上负无穷一路增到负二的状态。 当然这是斜锐的范围，还不是最终的答案。 m 的范围。 m 跟斜锐的关系是什么呀？这条直线是 m， y 等于负 x 减 m， 也就是 y 等于负的 m 分之一的 x 减一，所以他的斜率其实就是负的 m 分之一。 所以我们斜对的范围得到了，也就意味着负的 m 分之一现在就是一个大于等于二分之三的数，或者是一个小于等于负二的数。那我们自然可以算出 m 的范围吧。 m 分之一就是小于等于负的二分之三的，或者 m 分之一就是大于等于二的。如果 m 分之一是要比二大，那么说明 m 本身应该就是比二分之一小，但是是个正数。 类似的，如果 m 分之一比负的二分之三小，也就是比负的三分之二的倒数要小，那么 m 本身应该就会比负的三分之二要大，但是当然比零小，那整个 m 的范围我们自然就可以分析得到了。 c 通过利二和利一的这两个例子，希望同学们可以了解通过这节课想跟大家规避的一个小陷阱。在处理一条直线转动的过程当中，直线斜率范围的分析必须是严格遵循我们对于一条直线的斜率跟倾斜角之间的变化关系去看的。 直线的斜率跟倾斜角的关系是什么？你的倾斜角是锐角的时候，从锐角慢慢增大到一个九十度的状态时，斜率就会从零慢慢的增大到正无。 而如果你还要继续往前走，你的斜倾斜角只要是钝角，哪怕比九十度就大那么一丢丢，你的斜率也会瞬间爆减到复无球。但是如果你的倾斜角继续从一个钝角增大，他的斜率也是在变大，只不过是从复无球慢慢慢慢变大回零而已。 这就是一条直线的斜率随着他的倾斜角的变大或变小而产生的改变。 ok， 这节课的分享就到这里，谢谢大家！

今天我们继续来讲解解题几何里头的直线方程，讲直线方程的七种形式，我用九种方法弄死他。 九种主要是前六种啊，最后一种的话是竞赛里头的，然后竞赛里头那种形式因为时间原因我会放到下一讲去讲。 然后讲哪几种呢？其实就是这七种吗？前五种的话是有教程上有的，你是要掌握的，当然前五种需要每一个都掌握那么彻底。其实也不是有三个是必须要掌握的，一个是点结式，一个是斜结式，还有一个是一般式。至于这个二和四的话，你能掌握就掌握，掌握不了其实也没有关系。 至于这个倒结式的话，他是在哪用的比较多，在那个解题几何跟谁啊？跟这个椭圆抛物线双曲线结合的时候，考的会非常多。那么最后这个法线式的话，因为实际原因我们下期再讲。那好，咱们来讲一下这前六种吧。这个第一种的话是什么呀？ 是点斜式，就是说已知直线上的一个点，记住啊，这个点屁的坐标呢？是已知的，然后斜律也告诉你了， 那点知道了，倾斜程度也知道了，其实 k 就代表倾斜程度嘛，那这条直线肯定是确定的呀，这个时候我们直接写 y 减去 y 零，等于 k 倍的 x 减 x 零就行了。举一个非常简单的例子吧，比如说已知一条直线过的是一个和二， 然后他的斜率呢？是等于根号三的，这种情况下我们直接写他的这个结式啊，点斜式 y 减二，等于根号三倍的 x 减一，然后你整理一下，那还是有几点需要注意的，你看啊， 点斜是点斜，是这个点代表什么呀？代表直线过某一个确定的定点，然后斜呢？就是斜律的意思啊，然后定点知道了，斜律知道了，直线就确定了。有几点需要注意？ 首先你要用点斜式的话，首先得让这个斜率存在吧。什么时候斜率不存在啊？因为这个斜率它是等于 x 一减 x 二分之， y 一减 y 二的， 你当你这个分母等于零的时候就不存在。也就是说如果说一条直线他怎么样他垂直于 x 轴，比如说一个点是一多号三，另外一个点是一多号五，你还能靠这个公式吗？不能了，因为分母为零了，所以说当一条直线垂直于 x 轴的时候，是不能用点斜式，因为斜律都不存在了啊，这个你是要知道的。 那还有那几点呢？第一点，当直线前这个说过了，然后当直线的倾斜角是零度的时候，那这个时候就外等于等于零度的时候，这个是肯定可以的啊，倾斜角可以为零度吗？可以，比如说我画一条直线， 这条直线的话，我就写一个吧，是 y 等于一这条直线，这条直线的话，他是怎么样的？他当 你这个外等于一，可以看成长数函数，也可以看成这个直线方程。比如说我们随便带一个点，零多少一啊，一个是零多少一，一个是斜律等于零， 就是 y 减一等于零倍的 x 减去零，对吧？那最终不还是算出来 y 等于一，所以说点斜式呢？其实对于这样的斜率等于零的情况也是通用的啊。 那第三种情况的话，我想说的是什么呢？当这个直线的倾斜角不是九十度的时候，你直接带？对啊，你只要斜律存在吗？不管斜律是零还是不是零，直接带这样的点斜式方程就行了，这个方程特别重要。那来看第二种吧，第二种的话是斜斜式。斜斜式的话在什么？在初中阶段我们好像见过这样的一种形式吧， 在初中我们把这样的形式叫做什么？叫做依次函数。但是要注意了啊，这个斜节是方长，和 依次函数他有非常大的一个区别，在依次函数里头，他这个斜率 k 是不能等于零的，但是在方程表示直线的时候， k 是可以等于零的， 当这个直线里头 k 等于零的时候， y 等于 b 呢，是一条水平的，也就是平均 s 轴的直线。那依次函数的话， k 不能是零。为什么？因为对于函数来说，如果说 k 等于零了，此时 y 等于 b， 应该叫做什么？叫做一个常数函数。我就不写完了，你知道他的意思就行。要作为区分， 那还是有几点需要注意。那首先斜节是斜节时，斜指的是什么？哎呦，他这个斜指的是斜律 结呢？这个结咱们要好好说一下。其实他这个结指的是结句的意思，大家千万不要觉得啊，这个结句结句他就是距离，距离就是正数，他不能是负数，不是，他这个不管横结句还是纵结句，都代表实数，可正可负可为零。 看一下横截就代表某一条直线跟 x 轴交点的那个横坐标，可正可负可为零。其实后边你还应该补全了，也有可能不存在， 确实有可能不存在，我一会举一个例子啊啊，然后比如说举这样一个例子，横接就不存在的时候， y 等于一看这条线， y 等于这条线，这条线 l 他跟 x 轴有交点吗？没有交点，没有交点不就是没有横接句的意思吗？ 所以说咱们应该补全了，可正可负可为零，也有可能不存在，那包括下边也是啊，这个重结局也是可正可负可为零，比如说 x 等于二，这条竖直的线，他就是没有重结局的。那什么叫重结局？什么叫横结局呢？记住 重结句，横结句他只是一个数字而已，千万不要把它理解成距离。我随便画一条直线啊，他跟 单字轴的交点呢？是来一个负四吧，跟 y 的交点来一个五，显然这条直线 l， 他的横截句是几，横截句是负四，纵截句是正五，懂了吧？所以要带上正符号。那接下来有几点你需要注意的啊？ 啊，不特别说明的情况下，咱们说这个结句，默认就是种结句，这个 b 了，零的号 b 不就是这个总结句吗？啊，所以他叫斜结式，斜就是斜律，结就是结句。 第一点需要注意的是什么呢？不是说所有的直线在外轴上都有结局的，这肯定是这样啊，当这条直线结局不存在的时候，比如说 x 等于二。刚才举过这样的例子了，不多说了。那第二条啊，直线的斜距是方程 kx 加 b， 他确实是外观与 x 的函数， 当 k 等于零的时候，就变成了常数函数了， k 不等于零的时候才叫一次函数。刚刚是提过的，继续来。第三点需要注意 是什么呢？直线的斜结式方程实际上是点斜式方程的特殊情况，为什么？其实呀，它相当于什么点斜式？咱们是外减外零等于 k 倍的 x 减 x 零吧，这 k 是斜律， 实际上啊，你这个 x 零 y 零，如果告诉你这个定点是在 y 轴上零的号 b 的话，咱们直接写，你看啊，已知斜率是什么？已知斜率是 k， 然后已知这个定点是零的号 b， 我们直接套用什么？套用上边这样一个点斜式就变成了 y 减 b 等于 k 倍的 x 减零。 整理一下，不还是 kx 加 b 吗？所以说，其实到了高中阶段，这个斜斜式我不说你也是知道的，带两个点就能求，我们重点是要掌握这样的点斜式，点斜式特别特别重要，也非常好用啊。来看第三种形式，这第三种形式的话 是倒斜式，这的话暂时用的不多，到哪呢？学完这个椭圆双曲线这些以后，连累的时候，计算的时候用的比较多一些。其实你可以对比一下 这个 kx 加 b 是什么？是斜结式吧，这个倒斜横结式是什么意思啊？倒斜就指的是这个 m 和 k 是互，为什么是互为倒数的？ m 乘 k 是等于一的，或者说 m 等于 k 分之一， 然后这个 n 和 b， n 和 b 没有什么联系啊，咱们可以改变一下形式吗？当这个 k 不等于零的时候，我们写成了，哦，这个是 k， x 等于 y 减 b， 再整理一下， x 等于 k 分之一，再减去 k 分之 b。 那我知道了，原来这个 m 就是跟这样一个 k 分之一是相等的吧，所以说 m 和 k 不就是互为倒数的意思啊，原来是这么个意思，那实际上你类比 一下，类比一下 y 等于 kx 加 b 里头，他这个 b 指的是零多少 b？ b 是什么？是重结句。那此时这个 n 什么 n 的话，不就是说零 n 多少零一定是在这个直线上吗？所以说这个 n 代表什么？代表横截句， 理解了吧？所以什么时候用这个倒斜式呢？我还是重点强调一下，当某一条直线过 x 轴上的 一个定点的时候，我们一般来说，假设成这样的倒斜横斜式，或者说简称倒斜式是比较容易的啊，会减少计算量。那有几点需要注意， 第一点的话，就是你求直线方程的时候，需要先判断这个 m 是否存在，什么时候存在，什么时候不存在。好说啊，当什么时候这个 m 是不存在的，当这条直线垂直于外轴的时候，他就 不存在。类比一下吗？ x 轴变成了外轴，外轴变成了 x 轴，你跟 y 等于 kx 加 b 类比一下，其实都可以推出来。第三种，你要听懂了就听懂了，听不懂无所谓，真的无所谓的啊，主要是要理解。什么？理解我一开始说的点斜式、斜斜式还有一般式。那有几点需要注意？我还说一下， 并非所有的直线在 x 轴上都有横截句。对啊，确实这样的，比如说 y 等于二，他就没有横截句。所以说啊，跟 y 轴垂直的时候呢，这个 m 是不存在的，就不能写上倒斜式了。 那继续来看第二点。第二点是什么呢？就是倒斜式方程主要是在跟圆锥曲线，圆锥曲线主要是分椭圆双曲线，还有抛物线。咱马上就会讲的到，当直线挂 x 轴上定点的时候，这样这个时候来使用会减少计算量来看第四种，第四种的话说重要也重要，说 不重要也不重要。什么叫两点？是啊，就是说已知 a 点， b 点，你看啊，已知 a 点和 b 点呢？ 在这条直线 l 上，你两个点都知道了，直线的结式肯定有了吧。那么他是怎么推出来的呢？哎，很好推，实际上他相当于斜率的。什么 y 二减 y 一，比上 x 二减 x， 这是斜率吧。 然后咱们再随便找一个点，你求的不就是点 p x 多号， y 的轨迹就是那条直线，你要求的直线题，是吗？ y 减 y 一比上 x 减 x 一，这样整理之后的话，我们就化成这样的结果了，对吧？好，原来是跟这个斜率有关的。那么写到这之后的话，有同学要说了，老师 你看这种形式呢？记起来很复杂，记起来很复杂，我要怎么记呢？其实杨老师记的时候一般都是这么来记这样的两点式方程的， y 减 y 一， y 一减 y 二，然后这个 x 减 x 一， x 一减 x， 我一般是这样来记的啊，反正你看你怎么样记得方便吧。 那然后有几点需要注意的，非常重要的一点就是两个分母肯定不能等于零，比如说 y 一等于 y 二的时候，就代表这条直线是垂直于 y 轴的时候了，对不对？所以说这条直线呢，也就是说两点是不能表示垂直于 y 轴，那 x 一等于 x 二的话，比如说 e 多号三和 e 多号五， 所以说 ig 也不能等于 x 二，也就是说两点是他的限制太多了啊，限制太多，虽然他一步就能写出来哪哪个地方限制多呢？就是他既不能表示跟外轴垂直的直线，也不能表示跟 x 轴垂直的直线，他的形式就限制死了。因为分母不能等于零吗？那我们怎样改善呢？一会我告诉你。 第一点你需要注意的就是，当直线没有斜立或者斜立为零，那么就是说垂直与 x 轴，或者直线垂直外轴的时候，那就不能写成这样的两点式吗？对吧？英文字母就是零了。 那第二条，第二条的话，如果避免这一点，好说，你乘吗？你写成乘法关系的话，你现在告诉我这两个画圈的部分，你要写成分式的形式，他作为分母，这两个画圈的部分肯定不能是零吧？ 但是你一旦改成这种整式，就横着写，改成这种整式的形式，这两个画圈部分能是零吗？他就可以是零了，他就既可以表示跟 s 轴垂的直线，也可以表示跟外轴垂直的直线了，就避免了这样一条，不信我们用这个形式带一下啊， 你看一一多少三，负二多少三，我们用这样的两点式试一下，用这样一个横着写的啊，横着写的这种方程，那带吧， x 二减 x 一，那就三减去一再长， 这个是外减外一，那就外减三，然后你自己带一下就行了。你把这个 a 点呢看成 x 外一啊， x 二，最后肯定算出来这样一个式子，但是你觉得两点是用这种方法来计算方便。其实不用的 两点是你两个点 a 都知道了，我为什么不根据 ab 的坐标先算出这个斜律来，对吧？斜律就知道了，斜律知道了，我 a 点坐标，比如说 x e， y e 也是知道的，我为什么不用什么第一种形式点斜式呢？点知道了斜，律知道了，为什么不用点斜式， 所以还不如直接上 y 减 y， 一等于 k 的 x 减 x， 这样来的方便呢，对不对？所以两点是你就是了解了解就行了，能掌握了最好，掌握不了无所谓。你说杨老师在高中时候掌握了吗？我当然是掌握了的啊，来第三种形式。第三种形式 的话，虽然说啊，就是我画横线的这种横着写整式的形式，是通过这样一个分式形式的方程给推出来的，但是他俩有有着本质的区别， 前者可以表示平面里头所有直线，但是后者的话是只能表示什么，只能表示不跟不跟坐标轴垂直的直线，这个是有要做区分的，你要知道这一点，那第五点的话，作为结局是他确实好用。某些特殊的情况下，这个 a 和 b， 其实这个还是挺好推的啊。比如说一条直线， 他的横叠句呢，是 a， 这个 a 就是负数了啊，这个你要你能看出来，然后重叠句呢，是 b， 这个 b 的话在这道题里头就是正数了，当 a 和 b 不是零的时候，就可以写成这样的结句式的形式。 嗯，然后怎么写呢？咱们可以试一下啊，斜律的话，这个很好算啊。同学们，你们告诉我这个题他的斜律是多少？ 负的？ a 分之 b， x 加 b， 对吧？那你整理一下，很容易就整理成这样的， a 分之 x 加上 b 分之外等于一的形式，这个太简单了，然后这个斜斜式不就出来了吗？对吧？ 嗯，然后我想说的是，你既然分母里边有这个 a 和 b 了，那你说当这个结局等于零的时候，能够写成这样的结局是吗？不能，所以说 a 的话， b 都不能是零。 a 和 b 啊， 那有几点需要注意，就是说，首先呢，两个结局不能是零，你如果说这条直线相当于这个正比条，如果过远点的话，零分，这 x 哪有意义呢？那就不能这样写了，对不对啊？然后这是第一条，第二条的话就是 用结句式，这样的方程呢，是做图确实非常容易，因为我一看我就知道这条直线跟 x 轴、外轴是交于哪两个点，然后连接这两个点就行了。第三点的话你要注意啊，结句相当结句，结句 a 是有， 有可能为正，有可能为负，然后 b 的话也是有可能为正，有可能为负。所以说结句相等的话，我们应该写成是 a 等于 b 的意思，如果结对值相等的话，需要怎么样？那就是 a 的绝对是，等于 b 的绝对是。这俩是一回事吗？这个圈一口圈不是一回事啊， 圈二的话包含 a 等于 b 和 a 互为相反数两种情况，这个一定要作为区分了。这个呢，算是第五种结句式了， 第六种一般是，这个当然特别重要了，这个是高中的形式啊，一般来说横线上或者说大体里头最终让你求这样的这些方程都是要让你化成一般式的。那一般是我们看一下，有三个系数， ax 方加 b 加 c， abc 都是三个常数啊， 那你说这个 a 方加 b 方等，我先不说这个不等于零，你说 a 方加 b 方两个数字的平方等于零代表什么含义？他其实 完全等于，你看第一部分是个非负数吧，第二部分也是个非负数吧，两个非数加起来等于零，那不就意味着 a 和 b 都等于零的意思吗？ 所以说什么呀？所以说你现在应该清楚了吧。那如果说他这个表示的 ab 都等于零，那写不等于，那实际上这句话他就等驾于什么？等驾于 a， 何必这两个数字呢？ 不可以同时为零，一定不能同时为零。如果说同时为零的话，会出现什么后果啊？你要 ab 同时为零的话，就出现这样的后果了，零倍的 x 加零倍的 y， 再加 c 等于零，那就 c 等于零，跟 x y 还有什么关系？还能表示直线吗？他就不能表示直线了。所以说 ab 这两个系数绝对不能同时为零。那么好了，继续来看啊，一般是呢，他有一个非常非常大的好处。一般是首先第一个 最大好处啊，我先写这个优点吧。首先的优点就是可以表示平面里头的所有直线。不管这个直线啊，他跟 x 轴垂直垂直，跟外轴垂直垂直都可以表示。你比如说第一种情况，第一种情况的话，咱这么来写，当你这个 a 等于零的时候， b 不等于不能同时为零啊，那这种情况下就写成了外等于负的必分之 c， 这个显然是什么呀？是垂直于外轴的吧。 然后继续来看，当 a 不等于零，但是 b 等于零的时候，此时就变成了 y 等于负的 a 分之 c， 这条线显然是垂坠 s 轴的直线，你看动动表示第三种呢？ 第三种如果说 a 不等于零， b 也不等于零，这种情况下的话，那我们就可以化成负的 b 分之 ax， 负的 b 分之 c， 这个不就相当于 y 等于 kx 加 b 这样的依次函数的形式吗？对不对？所以说一般是 他最大的优点就是可以表示平面里头的所有直线。另外一个优点的话，我之后会讲到，其实我们在算这个点到直线距离的时候，你看如果说点 p 是 x 零 y 零， 然后这个直线 l 的结局是呢？是 aix 加 b， y 加 c 等于零，那此时我们直接来点 p 到直线有一个距离，这个距离的话是将就是垂线段 m 这个 pm 的值，他的话直接套一个公式，这个公式大体也可以直接用的， a 方加 b 方分支 ax 零加 b 外零加 c。 所以说他有两个最大的好处，这个一般是第一个好处就是我这个一般是 可以用来表示平面里头所有直线。第二个好处就是在计算两条平行线之间距离或者点到直线距离的时候呢，肯定是要用一般式的。大家记住这样的好处， 接下来我给大家写一下就行了。你看第一条都说了，刚说过，第二条的话也说过了，第三条的话就是说他的作用呢？主要是用来求什么？主要用来求这样的直线距离和平线这样的距离。那讲完了这几种形式以后，我们总是要练一道题的，看练一下这道题啊， 这个题的话，他说这个倾斜角，上一个说过了，倾斜角是什么呀？倾斜角指的是这条直线跟谁的夹角，跟 x 轴正方形的夹角啊，这个直线向上的部分，那就是这一部分。哦，原来这个 c 他就是倾斜角， 那这个斜率和倾斜角之间的关系是这样，一个 k 等于他那个 c 的，他这道题一看呢，等于负杠号三，所以我们马上算出来，这个 c 的是一百二十度， 但是他说的是倾斜角，是直线的斜，这个倾斜角的四分之一，他的倾斜角呢？是一百二十度，那四分之一不就是说是三十度啊，我知道了吗？ 所以说他现在已知的就是什么，已知告诉你的是他这样一个倾斜角，而不是等于一百二十度。四分之一等于三十度的，那他等于三十度的话，斜率不就相当于告诉你了，等于摊着呢，三十度， 然后他这个三十度的话，那不就是三分之刚好三啊，好，斜率知道了点，知道了，所以圈一，我们直接用点斜式外减负一 等于 k 的 x 减去 x 减去这个根号三把。这道题啊，那最后我们整理一下啊， y 加一等于三分之，根号三， x 减去根号三，那再整理一下吧， 最后变成了这样的三， y 加上三等于根号三倍的 x 减去三，那再整理一下，就变成了根号三， x 减三 y， 然后再减六，等于零了。 那现在我们来看一下这个答案呢，那这个答案写的是负二，我们写的负六，他应该就错了啊，他答案错了，我们就写这个负六就行了。 来看一下这个第二问啊，第二问的话，他说在外轴上的结局，那我们直接写不就完了吗？斜率知道了，是三分之刚好三，然后在外轴上这个重叠就是负五，直接写这个斜叠式就行了，所以第二种形式呢，也出来了，你画成这样的一般式的情况，注意啊，第一个应该是减六才对的，你可以再算一遍。 那第二个题的话，我们有两种思路来算，第一种思路的话，就是说他说了在两个坐标轴上，他的结局相等，结局相等的话，我们先来算一下啊， 来，你看了啊，那洁具箱呢？我不就可以直接写成 a x 分之加 b y， 那因为 a 等于 b， 我就直接写成 a 分之 x 加 a 分之外洁具，是吗？然后再带什么带入点 a， 点 a 坐标带进去，那带 的话就变成了 a 分之二加上 a 分之三，好， a 分之二加上 a 分之一等于一，那做就算出来，这个小 a 也就是拮据呢，横截就纵截距他都是等于三的，所以说此时我们就算出来，什么呀，三分之什么，三分之 x 加上 这样的三分之外是等于一的，也就是 x 加外减三等于零。好了，这个直线解释就求完。但是写到这之后，很多同学说，老师，我求完你，什么叫你求完了？ 洁具不是零的时候，你才可以用洁具，是吧？所以第二种情况呢，万一他的洁具、横洁具，纵洁具都等于零呢？ 也就是说他过坐标原点了呀，过坐标原点的话，再加上这样的，哎呀所，所以我就知道了，你过这样的坐标原点的话，我们应该假设 y 等于 kx， 这个就是正比的函数了，对吧？然后再带入这样的点 a 坐标，那最后算出来 k 是等于二分之一，所以第二种情况是 y 等于二分之一 x， 我们写成这样的，一般的形式吧，一般形式就是 x 减二， y 等于零了，这两个一个都不能少。这第一种思路我们结合了一下，结局是因为他本来说的就是结局相等，所以首先考虑到结局是，然后看答案对不对，答案确实是对的，就是长这个样子。 然后我们来看一下第二种思路，我一开始说的这六种形式里头，或者说这七种形式里头最重要的是哪种啊？对于高中生来说，包括初中生，最重要的实际上应该是这样的，点斜式。那我们用点斜式的形式啊，点斜式是 y 减 y 零，等于 k 倍的 x 减 x 零。 那这道题的话我们应该怎么办啊？那这道题的话，你想首先斜率肯定存在吧，为什么？因为你斜率如果说不存在的话，你 a 点是二十多号一，那这条 时间就变成了 x 等于二，斜率不存在的时候，他就没有什么了，他就没有这样的总结，就何谈的几率相等呢？对不对？所以说斜率肯定存在，你大概分析一下就行， 那你带入这个点， a 就变成了 y 减一，等于 k 倍的 x 减二，是这样吧，那 洁具相等，洁具，洁具，我可以先求一下纵洁具，再求一下横洁具啊，这个呢？是什么洁具啊？这个呢？一个是横洁具，一个是纵洁具。那你既然说两个洁具相等的话，那么就是负二 k 加一等于负 k 分之一加上二吗？那 最终的话也会算出来 k 的两个值的，其中一个 k 呢？他就是等于负一，另外一个 k 你算完以后就是等于二分之一，还是负荷提议的。所以我希望你掌握的主要是哪种形式呢？一个是点斜式，这个相当重要了。斜接式的话，在初中结合这个一次函数你可能就比较熟悉 啊。一般是也是特别重要的，尤其是在后边后半部分，学这个距离还有圆的方程的时候，肯定要用的到。至于这个道结横结式的话，你掌握不了也没有关系，包括这个两点，是结句式的话，那你要想掌握，那肯定是掌握了最好，要掌握不了的话，首先掌握这三种形式， 至于最后这样的法线式方程，我们下节课再讲。行吧，分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下节课再见！

函数当中的避讳技巧之一次函数的斜律公式都什么年代了，你还在用传统的方法来求一次函数的解析式吗？那首先来回顾一下我们常规的做法是什么样的？给了你两个点， a 和 b 啊，让你求 ab 两点所在直线的解析式，你会怎么求？那肯定是利用带逆系数法 射这条直线的解析式为 y 等于 k， s 加 b， 那当然了， k 肯定是不等于零的。接下来呢，把 a 点和 b 点啊带入到我们刚才设的解析式当中， 就可以得到一个二元一次方程组。那首先是 y 一等于 k， x 一加 b， 第二个呢，是 y 二等于 k， x 二加 b。 很明显啊，未知数是 k 和 b， 那你要想求解出 k 和 b 的值的话，可以使用加减消元法。因此我们用一式减去个二式啊，就可以把 b 消掉，那就可以得到 y 一减去 y 二等于 k 倍的括号， x 一减 x 二啊，简单的合并一下，那接下来是不是就可以用含 x 一 x 二 y 一 y 二的式子来把 k 表示出来了呀？那 k 就等于 x 一减去 x 二分之 y 一减 y 二这个东西啊，就是我们依次函数当中的学历公式， 你会发现， x 一 x 二 y 一 y 二正好就是题目当中给了我们 a b 点的坐标，那这个公式的分母呢，就是 a b 两点横坐标的差，分子呢，就是 a b 两点纵坐标的差。那当然了，你也可以把它写成 x 二减 x 一分之 y 二减 y。 哎，这个也是可以的，那你要注意，这个公式也只能用在填空和选择题当中啊，因为它是我们推导出来的，但是它也确实可以大大提升你的解题效率， 比如说题目当中给了我两个点坐标，一个是零逗三，一个是二逗二，让我们求这两个点所在直线的解析式，我可以五秒钟就口算出来，那运用呢？就是我 我们的斜率公式啊。那首先我们知道这条直线的解析式肯定是 y 等于 k， x 加 b， 并且它的 b 肯定等于三，因为它过零到三这个点，那接下来只要求出 k 就可以了呀。那 k 的话就是运用我们的斜率公式，分母就是 x 一减去 x 二，那就是零减二，分母呢就是 y 一减 y 二，那就是三减二。接下来利用我们灵活的小拇指口算一下啊，得到应该等于负的二分之一，所以 k 有了 b， 有了这条直线的解析式就是 y 等于负二分之一， x 加三， 是不是非常的快啊？这只是一次函数学历公式的一个非常非常简单的应用，那他真正强大的地方我在下一个视频会告诉你。

一分钟学会一个依次函数，避讳小技巧，给出一个依次函数和其中两个点的坐标，让我们求这个依次函数的解析式。常规做法我们肯定要用到待定系数法，设这条直线的解析式为， y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不等于零。 然后分别将 ab 两个点的坐标带入进去，能得到两个等式，我们用一式减去，二式可以把 b 消掉，得到 y 一减去 y 二等于 k 倍的 x 一减 x 二， 整理一下，那 k 就等于 x 一减 x 二分之， y 一减 y 二。至此，这个公式就是我们依次函数中的斜律公式。而等式右边这些数，就是题目中给出我们的两点横纵坐标。就譬如这道题，直线交坐标轴于这两个点，让我们求 函数解析式，我们直接带入斜律公式， k 等于分母是两个，横，坐标之差就是负五减零，分子是两点，纵坐标之差就是零减三。轻松求出 k 等于五分之三， 解析式就是 y 等于五分之三， x 加 b， 再将这个点的坐标带进去，求出 b 等于三，答案不就出来了吗？同学们，你学会了吗？

那我们开始二点一直线的倾斜角与斜率的学习。那这一部分我们要先介绍两个概念，那就是倾斜角和斜率。他们会与哪些要素挂钩。 好点，咱们已经很熟悉了，它呀，是构成直线的基本元素。平面直角。坐标系中这个坐标来表示点。然后项链也可以啊，用坐标来表示。 好，那在这里啊，我们来看一下，比如说一条直线，这条直线啊，能找到哪些要素来决定它。首先呢，两点确定一条直线。那还有一种方法 啊，第一种方法，我们认为两点确定一条执行。第二种方法是一个点和一个方向来确定一条。执行。 好。我们先看第一种是两个点是直线上的点，那 ab 下量就是直线的方向下亮。 那所以呢，其实可以从一推得二。两点确定一条直线呢，可以归结为一个点和一个方向来确定一下直线。 那这是一个逻辑问题。好的，平民比较多的戏啊。经过一点，比如说咱们右图的这个点，在 x 轴上有 p 点，我可以做无数条直线，那这个组成的是一个家族 直线竖。那这里面啊，他们的重要区别啊，就是哎，这条线他的倾斜角不同。 好，我们来看一下怎么样规定的倾斜角。你看啊，他画出来的这条线和 x 轴，他的一个夹角， 这个即为阿尔法。那每一条线呢，都有个阿尔法，那阿尔法一二三，还有阿尔法品，那这些不同的阿尔法呢，就定出来了不同的支线。 所以当直线 l 和 x 轴相交，那以 x 轴为基准，那 x 轴正向和直线向上的这个方向之间所乘的角。那注意啊，有一个 直线 l 向上的方向。那所以啊，要区分。那比如说这个 l 一，那是阿尔法一，而不是 这段不是这段画出来的。那这个的话就是倾斜角，这个阿尔法一啊，就是直线 led 的倾斜角。 好把倾斜角的定义搞明白啊。那倾斜角他是可以啊，通过一个体还有倾斜角来确定整直线。 好再来看那倾斜角啊，他有锐角，有钝角，他也可以是零 啊，他还可以是直角。但是啊，因为咱们说了，那这个直线是两个方向，一个向上，一个向下。那所 所以就导致啊，这个三百六十度的这个倾斜角呢，只能取到零和一百八。而且啊，不能等你一百八啊，等于一百八呢，我就按零来算了啊。这个是要注意的。倾斜角的取值范围。 好，那这是重点啊。倾斜角的定义，倾斜角的取置范围。那这样，那平面直角做边系中，那每一条直线呢，都有一个确定的倾斜角啊，这就是可以确定 好，进一步研究刻画直线倾斜程度方法。那咱们还是先找两个点和有两个点的坐标，那其中呢， x 一和 x 二不相等，那由他两个 确定一个直线。那这个直线呢，由这两个点位于确定。所以可以判定一点就是倾斜角啊，一定跟这两个坐标有内在的联系啊。咱们就是要找这个公式是什么 啊，这个等式到底什么？所以我们先举一些例子啊，比如说给在坐标系中 l 清洗脚是阿尔法，那我们已知这个 l 呢，是经过这两个点，能问你这个坐标有什么关系？ 那这里有三道题，我们分别啊，来解一下。那第一个来对照一下第一个题，对照下面第一个图。 那这个呀，你们画出来两个点，其中有个是圆点，所以另一个点是屁点啊，他们连起来，连起来以后呢，向上 方向就是 opnop 的这个方向，不是 po， 所以 op 的这个方向和 x 轴加角 f 标准。 好，那我们在这可以看到这个屁点啊，他是有坐标的。那这个坐标你就可以啊，做这个垂线啊，在 x 之后做一个垂线，然后再歪之后做一个垂线。 那你发现啊，那在 x 周做的有垂线。还有 这一段，这三个边啊。比如说我们把它定头定为 m 吧，那 omoppm， 那这三个不就是一个直角弹行吗？所以就有了咱们的三角函数。 而且你有坐标吗？这个很好求的啊，就是 pm 的长度，然后就处以 om 的长度。 好，然后就是一比上根号三。那其实也就是这里面啊， y 减 x， 但这里有个前提，就是它是 o p， 也就是说另一个是零 零斗零，所以才会有这个简单的柿子啊。第二个，如果这个直线经过呢？是上面啊。第二题 p p 二 啊，这个坐标什么关系呢？这一次啊，不是欧典啊， p 一 p 二。那咱们知道这个 p 二 p 一和 p 一 p 二。首先得先定一下正方向。那你画出来啊，这两 两个点你就知道啊， p 二指向 p 一，这个方向是向上的啊，这个方向才和 xo 加了一个角，这个角才有意义啊，倾斜角 啊。所以啊，直接写就好了。我们通过图可以去求啊， p 二 p 一的这个坐标表示，而不是 pp 二了。 好，然后再就是因为这个坐标表示你会发现一个什么问题，他其实可以等价于，或者是平移到过欧点。 那咱们前面已经强调过很多次了啊，项链具有平移不变性，那他两个的坐标表示其实等价于这个点是 p 点坐标， 然后 ok， 是零零等价于。这样的 op 啊，这个 大家应该很熟练了啊，所以后面这点的坐标亲亲脚就有了对吧。就还是照着上面的男的 又来一遍好，那这两个解决了这两个问题啊，我们就发现啊，第三个问题是普遍意义上的 x 一万一， x 二万二的时候啊，因为 x 一不等于 x 二，所以 我们会发现啊， p 一 p 二呢，他的当方向向上就有 x 二减 x 一， y 二减万一， 然后平移呢，就意味着这个 p 点啊，就等于你剪完之后的这个点做标 啊。参照上面的两个简单的题目啊，我们这里是普遍议程。所以呢，他的倾斜角也是啊，潘进去 啊，等于这个 y 二减 y 一除以 x 二减 x 一啊，这个是非常重要的。好，但是我们是分类讨论啊啊，因为 如果说 pp 二和方向不直向上，那就是反之正向上吗？因为 l 他是两个方向啊。如这个图啊， p 一 p 二，下面这两个我 p 一片啊，我不指向上，那 p 二 p 一总是吧。那所以啊，无非就是把坐标的运算那改成了 那万一减个二比上 x 一减 x 二。那你会发现啊，那这是分式的基本的性质啊，这相当于两边同乘以负一， 所以这两个是相等的呀， y 一减 y 二比 x 一减 x 二和 y 二减 y 一比上 x 二减 x 一是相等的，都等于弹进去 f 啊。所以呢，咱们这个狮子就可以写成这样了 啊。这次此我们把坐标表示和倾斜角的正切结合起来。好，结合起来呢，我们就要学习 新的概念。嗯。首先他会问你 s 轴平行或者重合的时候是否成立。那我们会发现啊，平行或者重合的一条线画一下， 比如说这样的一条线啊，跟 x 轴平行，那或者就在 x 轴上。那他有个什么特点呢？就是 y， y 二等于 y 一， 但是 x 并不相等啊， x 二，它不等于 x 一。所以我们也就不用担心这个柿子里面的分母为零啊，没有这一条。所以啊，这个柿子肯定成裂啊。有意义吗？ 那具有普遍性，所以可以的。但是 p 片如果说和歪轴平行或者重合呢，那就不行了。那这个是 x 二等于 x 一啊，这个是零分，不是零， 那这个就没法啊。那这个就是相当于我们就不用去求看见他阿尔法多少啊，我们直接阿尔法，他就是 和 x 轴，他是垂直的吗？啊，九十度。好。所以咱们说到这种普遍上意义上的等式，也就是说不考虑阿尔法是九十度的情况啊，那都有他见到阿尔法呢，等于 纵坐标之差，减横坐标之差。这就是指的斜率。那斜率啊，一般用小 k 来表示。所以其实 k 呢，就是弹你的耳法。那倾斜角九十度。说了啊，这个没有旋律的。那因为这个我们直接说他是垂直倾斜角九十度就好了 啊。就不再提鞋率大小了，因为他分母为零，没有意义，没法算。然后提前角三十度呢，那这个斜率好办啊，就是 tangent 三十度，那就三分之二三，这就等于 k。 好。 为了加深理解，我们直接看例题啊。例一。那这个例一呢，就是指的给了三个点的坐标。嗯，然后根据咱们上面 公式来求直线 ab 的旋律，然后 bc 的旋律，还有 ca 的旋律，然后同时要来判断这个倾斜角是锐角还是段角。 好，那直接减啊，就是外二减外一啊，动作不要相减做分子，然后横坐标相减做分母。所以呢，我们直接带入公式， kab 等于 b 的这个中锁标减 a 的，在这好分母呢，互四减三。好解得是七分之一是个正数。 好，然后第二个啊，同样的道理啊，我们可以解读第二个呢，是个负的，那负二分之一啊。第三个，第三个 ca， 所以是 ajcaajc， 所以是二减负一，然后三减零， 这也是正的啊。由他两个是正的呀。我们可以知道这个倾斜角呢，是锐角， 那今天就因为这个也是跟咱们这个正切函数有关系啊。然后所以说 k 为证是锐角， 小于九十度，那 k 为负呢，就是大于九十度是钝角啊。这个题目啊，非常的典型啊，就是很简单的一个题目。 但是啊，表周了前面的这个公式。这个公式好，那我们就把倾斜角和斜率啊做了充分的了解。那接下来是思考一下。第一个啊，已知两点， 用公式来计算 ab 斜率，那我们就按上面的公式来代入。那这个 kab 他呢？这是他减他啊。 b 二减 a 二，然后 b 一减 a。 好，他说跟这个 ab 两点顺序是否有关。那如果是 ba 的话，那如果是 ba 的话，其实是他 发两个啊，反过来。但是啊，我们在这里就是分式的分子，分母的部分，同时乘以复一， 什么就他呀， 对吧，所以说他就是 kba 啊。这个邪略跟这个顺序无关啊，是一样的啊。第二问， 你直线要是平行于外轴，咱们直线输过了啊，或者是与外轴重合，那最终你得到的是 这个歪轴上的 点，或者是与 y 轴平行，那他的这个 x， 他是零，所以分母为零无异。 好，所以这是两个思考啊。进行了一个拓展。嗯，接下来我们来看下面的这段。就直线 pp 二上的这个方向下亮和平行下亮啊，都是方向下亮， 那这个直线啊，方向向上的坐标，那是不是可以写为他呀？啊，就直接踢一点啊，片一点对吧。他们的坐标相请 直线一片，和 xo 不垂直。也就是为了呀，这个 x 一不等于 x 二，那 x 这一减 x 二呢，就不等于零啊。在这种前提下，我们才有了这个。 那他作为一个 lam 的他乘以他呢，就是方向项链。那肯定的，这是竖乘吗？好，那他的坐标呢？啊，给他解一下坐标啊。进去 你看他的 x 坐标，变成了单位坐标一，然后这就是 y 的坐标，那 y 的坐标，这不就是 k 吗？好， k 是斜率。那因此呢，这个斜率 k 它的一个方向的向量的坐标是它。 好，然后 k 等你。 ybx。 这句话很关键。 所以看在这里啊，就变成了一个歪左标啊，重左标。 那我们得到这个柿子啊，非常的重要啊。这个体现了一个什么问题呢？就是说这个开，它是斜率，那在这里啊，就变成了一个一逗 k。 那这个呀，它表征的是一个方向销量。 那通过他，我们说如果反过来，已知这个 l 的斜率是 k， 那他的方向向的坐标，那我任意给他一个坐标， 那 x 斗 y。 好，那因为你还可以有一个方向向量呢，是一斗 k。 那你看这两个做标准的转化呢，那就是 x 除以 x 啊， y 除以 x 啊，就得到它了。那所以呢， k 就等于 y b x。 好，这是来理解一下，也算是一种解体的方法啊。以之直线的方向下向坐标，那就可以求 kk， 等你看比他。

从这节课开始，我们进入解析几何的学习。本章的学习内容是直线和圆的方程。本节课我们要学习的内容是请歇脚以斜立。 在之前的学习中，我们常常通过直观感知、操作、确认、思辨、论证、度量、计算等方法来研究几何图形的形状、大小和位置关系。这种方法我们通常称为综合法。 从本章开始，我们利用一种新的方法来研究几何图形的性质及坐标法。坐标法是解析解读中最基本的方法。所谓坐标法，是通过坐标系将几何的基本元素点 和代数的基本对象数、有些数对或数组对应起来，从而建立起曲线的方程，并通过曲线方程来研究曲线的几何性质。 正如这幅图所展示的，解析几何是将几何问题转化为代数问题，并通过代数方法来得到代数问题的解，进而利用代数问题的解来解释几何问题，从而得到几何问题的解。 解析几何呢，是由十七世纪法国数学家迪卡尔和费马创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进入到变量数学的时期， 为维基分的创建奠定了基础。本章的前半部分，我们将在平面直角坐标系下探索确定直线位置的几何要素，在此基础上建立直线的方程， 并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、焦点坐标以及点到直线的距离等问题。 具体来看，我们知道点是几何的基本对象，直线是由点所组成的， 在平面直角坐标系中，点由坐标来表示。那么直线如何来表示呢？为 弄清楚这个问题，我们需要确定一条直线位置的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线 l， 如何利用坐标系来确定他的位置呢？ 我们知道两点确定一条直线，但通过一个点却有无数条直线，这些直线不同，体现在他们的方向不同。 我们也知道，我们知道直线上的两点， p 一 p 二，也就知道了项量 p 一 p 二， 而项量 pep 二，我们称之为直线的方向项量。这样 两点确定一条直线，在方向向亮这层意义下，它可以归结为一点和一方向确定一条直线。那么我们自然要问，如何表示直线的方向呢？ 实际上，在平面直角坐标系中，我们规定一条水平直线的方向向右是比较合理的。 而对于这三种情况，我们规定直线的方向是向上的方向。 我们观察这幅图，图中这些直线不一样，体现在他们的方向 不一样。我们通过这幅图可以看到直线的方向不一样，也就是他们与 x 轴所沉的角不一样。 因此，我们可以利用这样的脚来表示直线的方向，也就是刻画了直线的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准， x 轴正向以直线 l 向上的方向之间所乘的角。阿尔法叫做直线 l 的倾斜角。 我们看如下的三种情形，其中第一条直线的倾斜角是一个锐角， 第二条直线的倾斜角是直角，而第三条直线的倾斜角是钝角。 那么我们自然要问，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少呢？直线的倾斜角的起直范围又是什么呢？ 事实上，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我们规定他的倾斜角为零度。 仪式呢？直线的倾斜角阿尔法，它的取值范围为，阿尔法大于等于零度，小于一百八十度。这里阿尔法如果取一百八十度， 那么他表示的情形和阿尔法等于零度表示的情形是一致的，所以我们在这里一百八十度就没有重复取了。 这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角， 直线的方向相同，那么他们的倾斜程度就相同，倾斜角相等，而直线的方向不同，他的倾斜程度也就不同，倾斜角也就不相等。 下面我们继续探讨刻画直线倾斜程度的方式。 直线 l 的倾斜角阿尔法与 p 一 s 一 y 一、 p 二 x 二 y 二有什么内在联系呢？ 这是一个一般性的问题。对于一个一般性的问题，我们常常从特殊的情形来研究它。于是我们探讨这样的两个问题，在平面直角坐标系中，设直线 l 的倾斜角为阿尔法 一，已知直线 l 二经过点 o 零零 p 跟三一，阿尔法与点 op 的坐标有什么关系呢？二、类似的，如果直线 l 二经过点 p 一负一一 p 二跟二零，阿尔法与点 p p 二的坐标又有什么关系呢？ 我们首先看第一个问题。我们知道我们学过的项链， 他即竖于行于一身，因此呢，我们采用向量的方法来进行研究。 我们观察，在平面直角坐标系中，点 p 的坐标为跟三一，从而向两 op， 他的坐标也为跟三一，直线 op 的倾斜角为阿尔法。 由于我们知道阿尔法的横坐标和纵坐标，因此采用脚阿尔法正切直来刻画是比较简洁的。 所以呢，由正前函数的定义，我们可以得到贪进的阿尔法等于一比跟三，等于三分之跟三。这是第一个小问。对于第二个问题，我们 观察在平面直角坐标系中，项链 p 二、 p 一，它的起点不是原点，因此，我们可以考虑将项量 p 二、 p 一平移到项链 op 的位置， 从而我们可以得到项亮 p 二 p 一的坐标为负一减跟二一，这样项量 op 的坐标也是负一减跟二一。 由于项链 op 的起点在原点，因此点屁的坐标也就知道了负一减跟二一。 我们在观察，其中直线 op 他的倾斜角和直线 p 二、 p 一的倾斜角他是一样， 都为阿尔法。因此呢，由正迁函数的定义，我们仍然可以得到贪进的阿尔法等于一。比上负一减跟二，等于一减跟二。 那么有了这两个特殊的情形，我们就可以探讨一般的情况。对于这个问题，我们还需要思考点 p 一和 p 二它的相对位置，因为这会涉及到项链的变化。 我们不妨做出这样的一副示意图，在平面直角坐标系中， 我们将项链 p 一片的位置平移到 op 的位置，从而得到当项链 p 一片方向向上的时候， pep 二的坐标等于 s 二减 x 一， y 二减 y 一，也就是项链 op 的坐标也是这个， 从而点 p 的坐标为 x 二减 x 一， y 二减 y 一。进一步，直线 op 的倾斜角和直线 pep 二的倾斜角是一致的，都是阿尔法。 因此呢，有正确函数的定义，可以得到，贪进的阿尔法等于外二减外一比 x 二减 x 一。 另外，我们也可以发现，当直线 pep 二的倾斜角阿尔法为钝角的时候，也可以得到这个结论。另外，如果我们交换 pep 二的位置， 也就是当向两 p 二 p 一方向向上时，又应该如何思考呢？ 其实，我们发现，当向量 prp 一的方向向上时，可以得到摊进的阿尔法，它等于 y 一减 y 二，比 x 一减 x 二。 我们也可以给他化解为外二减外一比 x 二减 x 一。这样两种情况就统一到一起了。 我们观察这个式子，他出现了正确指和分式。对于这两个式子，我们要注意什么问题呢？ 显然，对于分式，我们要注意到 x 一不等于 x 二， 而当 x 一等于 x 二的时候，我们观察这幅图可以发现，直线 l 他的倾斜角为九十度， 此时这个正确指以及这个分式，他都没有意义。这一点呢，请同学们在学习中啊，要注意去体会。 接下来，我们继续探讨，当直线 p 一、 p 二与 x 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 事实上，当直线 p 一、 p 二与 x 轴平行或重合时，我们观察这幅图可以得到， x 一不等于 x 二， y 一等于 y 二。请斜角阿尔法 等于零度，那么他们符合弹性的阿尔法等于外二减外一比 x 二减 x 一这个关系。 因此呢，我们就可以得到这一个结论，直线 l 的倾斜角阿尔法与直线 l 上的两点， p 一、 x 一、 y 一、 p 二、 x 二、 y 二。其中 x 一不等于 x 二，它的坐标有如下的关系， 贪减的阿尔法等于外二减，外一比 x 二减 x 一。 在这个式子当中，我们发现阿尔法的正确指，他也可以刻画直线 l 的倾斜程度。相 教育阿尔法参见的阿尔法，它是一个竖直，因此呢，更有利于我们用代数方法来研究几何问题。 所以，我们把这一条直线的倾斜角阿尔法，它的正切直叫做这条直线的斜立。斜立，我们常用小写字母 k 来表示， 这样我们就可以得到斜立和直线倾斜角的关系。 k 等于探亲的阿尔法。 在日常生活中，我们常用坡度来表示倾斜面的倾斜程度。 坡度是这样定义的，他等于牵直高度比上水平宽度，也就是角二 发的正确直。那么从这层意义来讲，当直线的倾斜角为锐角的时候，直线的斜率与坡度是类似的。 我们看，斜立和倾斜角的关系是 k 等于摊间的阿尔法，它是一个函数关系。对于函数，我们常常利用函数的图像来研究它的性质。 因此，我们画出正确函数他的图像。但同学们要注意到，直线的倾斜角，他的范围是大于得以零度小于一百八十度。因此呢，我们只选取在这一区间上的部分来进行 研究。我们可以得到这样的一幅图，通过这幅图，我们不难获得阿尔法等于零度的时候，直线的协力。 k 等于零，反过来也成立。 而阿尔法大于零度小于九十度的时候， k 大于零，反过来也成立。 而阿尔法等于九十度的时候，同学们要注意，直线的斜率不存在。反过来，若直线的斜率不存在，我们可以得到直线的倾斜角为九十度。 最后，阿尔法大于九十度小于一百八十度的时候，斜对 k 小于零。反过来，由 k 小于零也可以得到阿尔法，他是大于九十度，小于一百八十度。 进一步，我们还问，当直线的倾斜角由零度逐渐增大到一百八十度的时候，其斜立是如何变化的呢？为什么 我们呢？还是从函数的图像来研究。通过这个函数的图像，我们不难得到， 当请斜角阿尔法满足阿尔法大于等于零度小于九十度的时候，如果阿尔法逐渐增大，那么他的斜率也在逐渐增大，由零逐渐趋向于正如穷。 而当起斜角阿尔法等于九十度的时候，我们从图中可以看到，直线的斜率不存在。 而当倾斜角阿尔法满足阿尔法大于九十度小于一百八十度且逐渐增大的时候，斜率 k 再逐渐增大，并且由腹无穷逐渐增大，趋向于零。 这样，由正前函数的单调性倾斜角不同的直线，它的斜率也就不同。因此呢，我们就可以用斜率来表示倾斜角不等于九十度的直线相对于 x 轴的倾斜程度， 进而可以表示直线的方向。 这样呢，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜立就分别从 从行和竖两个角度来刻画了直线的倾斜程度，也就是刻画了直线的方向。并且呢，由探店的阿尔法等于 y 二减 y 一比 x 二减 x 一以及 斜率 k 等于摊建的阿尔法。我们可以知道，直线的斜率 k 等于外二减外一比 x 二减 x 一。也就是由直线上任意两点的坐标，我们可以导出直线的斜率。 我们知道，由直线上的两点可以确定直线的方向向亮。直线的方向向亮也是刻画直线倾斜程度的一个量，那么 他们必然与直线的斜立 k 有某种内在联系。我们问，直线的方向向亮与斜立 k 有什么关系呢？ 事实上，我们知道项链 p 一、 p 二的坐标为 x 二减 x 一， y 二减 y 一。 如果 p e、 p 二是直线的方向向亮，那么以 p e、 p 二贡献的非零项链都可以是直线的方向向亮。 因此，当 x 一不等于 x 二时，直线 p p 二与 x 轴不垂直，我们可以取其一个方向向量为 x 二减 x 一分之一，再乘以 p p 二。项量 沉进去之后，我们发现项链的横坐标是一，而纵坐标是外二减外一比 x 二减 x 一，这就是直线的斜对 k， 也就是我们可以取直线的一个方向向量为一 k。 反过来，如果直线 l， 他的斜率为 k， 直线的一个方向项链的坐标为 xy， 那么一 k 这个方向项链和 xy 这个方向项链，它是贡献的。 所以我们可以计算得到， k 等于 y 比 x， 这就是方向向亮 与斜立 k 的关系。而当 x 一等于 x 二的时候，直线 p 一、 p 二与 x 轴是垂直的，因此我们可以取一个方向向量为零一。 那么这样呢？我们就知道直线上的两点，直线的倾斜角、直线的斜率以及直线的方向向两都可以用来刻画直线的倾斜程度，也就是刻画了直线的方向， 他们之间的关系可以由这一幅图来给出。其中倾斜角阿尔法以直线上两点的坐标的关系是他建的阿尔法 等于 y 二减 y 一比 x 二减 x 一。斜率与倾斜角的关系是 k 等于探进的阿尔法。而斜率以直线上两点坐标的关系是 k 等于 y 二减 y 一比 x 二减 x 一。 另外，方向向亮与斜对 k 的关系是方向向亮，我们可以取为一 k。 反过来，如果我们知道直线的方向向呢为 xy， 那么当 x 不等于零的时候，我们可以计算得到直线的斜立 k 等于 y 比 x。 下面我们看一道例题，如图，已知 a 三二 b 负四一 c 零负一。求直线 abbcca 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。 那么这道题目呢，是给出三个点的坐标，从而计算直线的斜率，并判断直线的倾斜角的类型。 我们可以利用直线上两点的坐标，通过公式来计算直线的斜率， 并且利用 k 等于贪钱的阿尔法来根据邪律判断倾斜角阿尔法他的类型。 那么沿着这个思路，我们看一下直线 ab 的斜率，他为 为一减二，比上负四减三，化减为七分之一。直线 bc 的吸力为负一减一，比上零减负四等于负二分之一。 而直线 ca 的斜率为负一减二，比上零减三等于一。因为呢， ab 的斜率 ca 的斜率他大于零， 所以由这个可以知道，直线 ab 以 ca， 他的倾斜角均为锐角， 而 bc 的斜率小于零，所以我们可以知道直线 bc 的倾斜角为钝角。 下面我 我们小结一下这节课的主要内容。这节课我们在平面直角坐标系下探索了确定直线位置的几何要素，即两点确定一条直线，以及一点一个方向确定一条直线， 并从行和竖的角度，利用倾斜角和斜率来刻画了直线的倾斜程度，也就是表示了直线的方向。 进一步也探索了倾斜角和斜率以直线上两点坐标的关系，也探讨了直线的方向、向量与斜率的关系。 在这个过程当中呢，我们体会到了数行结合的数学思想，以及将几何问题转换为 为代数问题的化规转化思想。这是本节课的课后作业，请同学们课下认真思考。