用斜二测画法作出圆台的直观图

用十二色画法去画他的平面图形比较简单，如果画他的立体图形，比如说画这个长方体，对吧？ 啊？画出来的话他就相对而言比较复杂，但如果掌握好方法的话其实都不算难，我们去画他的空间几合体的时候，就包括他就涉及到了三维间隙，对吧？嗯，首先他呢就相当于是以这个呢取一个圆点吧， 我们把它标记为是 o 撇，然后呢在这里向右边这里的，我们把它叫做是 x 撇，对不对？ 嗯， x 撇走吗？还有一个呢是上面这个不叫 y 走，也不叫 y 撇走，他叫做 z 走，懂吗？嗯，然后 x 撇， o 撇 和 z 撇这个的度数呢？它是等于九十度的，对不对啊？还有一个呢，是 z 轴对不对？你可以稍微画的长一点，免得待会不够用啊，那 z 轴是多少的呢？ 这个是一撇吧，对不对？嗯，我们可以这样子记啊， 这个呢画的有点，这个度数有点太大了，对吧？我是目测的会有点不太准啊，你要知道。 好，那行，我们呢把它标记为是易撇这个角，这个度数呢，那个是撇， o 撇和易撇的度数呢？是一百三十五度，对不对？嗯，这是不是我们的第一步啊？我是总结一下嘛，第一步是间隙啊， 那第二步干嘛呢？ 第二步呢是做底面对不对？对，嗯，因为墙上是你铺，你要盖房子也是一样的吗？你要有根基啊， 对吧？你底面的话都不知道是什么东西，那怎么画呢？画不了对不对？你首先把这个底面先画出来，然后呢再什么高高楼啊，高楼叠起，哈哈，好，来看一下啥意思？底面，这个底面怎么做呢？ 我们首先要确定是哪些长度是不变的，对不对？在我们画这个空间几合体当中，他的 x 轴和日轴的长度是不变的，对不对啊？对，然 然后呢，他的什么是会改变他的 z？ 不是。哎，这里写错了，这里写重复了啊，这里应该是 y 撇吧，对不对啊？没问题吧，就这么想，没有啊，可能太晚了，对吧？有点困了。写到写到重复了啊，好，来看这里啊， 这个是不是三呢？嗯，宽是三，对吧？其实在这里当中就相当于是这里的话，我们要看他是以什么为中心， 对不对？嗯，你要看他是以什么为中心，以什么为中心的话，这个呢，你看你是怎么来去见就 ok 了，这个没有什么太大影响，懂吗？啊？嗯，就别说，我们就在这个 y 轴上，以他为中心去见，可以见不也是可以见的，懂吗？ 嗯嗯，你看一下什么意思啊？横过来就我们先确定这个点嘛，他的宽，对吧？就比如说这个呢，原来是三吧，嗯，就是 y 轴上嘛，是三嘛，对不对？ 那现在画的直观图的这个 y 撇到下面了，懂吗？啊？直观图的这个宽啊，会等于他原来这个宽的二分之一，那就二分之三吧， 嗯，对不对？所以说我们可以确定一下以哪个为一个单位长度呢？就比如说是，呃，以这么长为一个单位长度，好吧，这是二， 对吧？比如说这个是一，这个是二， 那么你这二分之三是一点五在这里吧，对不对？嗯啊，我把这一个点呢，把它标底面的话把它标记一下吧，就比如说是多少？ 嗯，因为它要是 abcd， 对不对？对，我可不可以把这个 a 撇 和这个 o 撇重合，可以不？嗯，这样子也可以的啊，你不要说不可，还是可以的啊，对不对？你看这个是 b 吧， b 撇，对不对？嗯，然后呢，你看一下我们在画的时候是不是应该说做什么？其实你在画的时候很简单，你把它这一段确定好了之后，后面都好画这个底面，对不对？嗯嗯，因为什么呢？因为它的长度和这个多少？ 和这个原来在平面直角坐标系当中他的长是一样，都是四厘米吧，对吧？那你把他标一下喽，你看一下这个是一吗？对不对？这是二，这是三，我这个是目测的啊，你可能有点不太准，对吧？ 嗯，来看，一二三四在这里。好，你看这是这么长，你用尺子把它量起来吗？也是这么长的来，对不对？ 能懂吗？嗯嗯，我是纯，纯粹是靠目测的。好，你看，你看，这样不是把他的底面给标出来了吗？ 对吧？好，其底面标出来之后，后面的那个好不好画？那第三步要做什么？第三步，我们总结第三 不错，垂心。那也不是说垂心就是么，做与多少与日轴平行的，多少 平行的线段啊。嗯，理解我的意思不？嗯，理解。对啊，就说说白了，你这个呢，刚才是做了底面，你后面是怎么样？是做高，相当于 把它给叠对，像盖房子一样嘛，把它给堆起来嘛，对不对？理解吗？ 懂我意思吧？懂，嗯，你看这个一轴应该是多少？ 这个一就是他的高吧？是啊，两厘米吧，这个会变吗？不变吧，不变。对，这个是不变的。那我们就好了啊，这个是一，对吧？啊，这个是二八。好，那定位定好了。这么长对吧我们目测一下哎这么长 这个目测有点难度哈哈。嗯 哎这个是啊。嗯看得出来吗如果是这样子的话 那我们这样子吧好吧。嗯喂听得见吗听得见。对其实这种这种是反作 做法有点不好搞对不对发现没有你看你这样子把它反做的话有点不习惯我一般都直接造土的这样子的话就搞了一点太官方了有点不适应了啊。 嗯好然后呢是不是把它给其他的都连起来了吧对不对。 嗯你看把这点了这其他线的话连起来那不就出来了吗是不是。嗯这感觉这么标准的吗都不像自己的眼睛原来这么会画图的吗对不对又是一个被为什么又是一个被数学耽误的美术老师对吧 哈哈哈 abcp 啊我我姐姐很很会画画啊他当时花了很多画画我当时拿张手抄报的时候我就用我姐画的 不是我发的每次把它挂上去的时候都有点虚心懂吗哈哈哈哈因为一挂就是一挂一个学期到下学期的时候还是在挂 嗯还是挂了新的又是我的我是一一挂都是挂好多副的啊因为我姐很会画吗我姐的是我姐的很高产的啊她一天可以画好几幅画啊啊 我怕他发霉吗我就拿去把他放到那个拿到学校去画那个黑板包去了啊因为我觉得我画的很丑啊所以我就不不用我的我一般是用我姐的作品啊哈哈哈哈哈哈对吧 啊如果真这么会画的话我就去做美术老师算了啊来看一下 abcd 啊你看标准吗？嗯，还 看的过去吗？啊？在这第三步嘛，对不对？你看做这个线之后呢？后面怎么办？后面的话说白了就是怎么样，就是他其余个边怎么样 变形圆起来，其余个边相连就 ok 了。嗯，对吧，没那么复杂。 嗯呃，再补充一点，就是其实我们在做图的时候，我们要，我们要这样子画吗？我们其实我们习惯上画长方体或正方体，是一般都这样子来，对吧？啊？怎么样？来一个方框对不对？ 嗯，就是把它给拼起来了。这是我们常规的操作方法吗？就是怎么样，然后这样子，对吧？哎，成了， 哈哈，对吧？一般是这样子做的。但是如果我们要刷的时候呢，你就要把它怎么样，就要精细化一点了，对不对？画的话不要画错，一定要把它的长宽高他们对，好来，可以吧？嗯嗯，好，那行。

好，这五边形的直观图呀，是比较复杂的，我们来看，先建立合适的平面直角坐标系， 我们选的是正无边形的中心为圆点，然后呢， e， 他的对称轴 a， f 为完轴，那 x 轴不用说了，肯定是过圆点，垂直于完轴的这一个直线为 x 轴建立平面之交坐标系。 然后我们来看一看有哪些点在坐标轴上。哦，我们看到了 a 点在那，所以呢，直接在在新的坐标系第二侧坐标系上， op a， p 等于二分之一的 o a， 得到了点 a 的对应点，然后呢，借助于 f， 就是截取 op f， p 等于二分 之一的 of 也得到了 f 的对应点。下面我们来找 cd 还是找 be 呢？那先处理 be 吧， be 这两个点他不在坐标轴上，然后经过他的线段也不平行， x 轴也不平行，歪轴，怎么办呢？ 我们上一个题目有经验，那就是过 b 和 e 向 x 轴做垂线啊，我们做了垂线，得到两个垂足及 a 七， 然后我们在对应的 x 撇轴上找到对应的线段， o 撇， g 撇等于 o g， o 撇， h 撇等于 o h， 然后定住了他们两个的位置，在过 gp 做外撇轴的平行线，过 acp 做外撇轴的平行线，在平行线的截取 b 撇， g 撇等于二分之一的笔记，一撇 a 系撇等于二分之一的 eh， 这样一来我们就得到了对应点， b 撇和一撇。 好，剩下 cd 和我们前面的是一样的，只需要过 fpa 点做 xpa 轴的平行线， 然后在这个平行线上截取 f p， c 等于 f c， f p d 等于 f d。 总之下册一句话，那就是平行于 x 轴的还平行于 x 撇轴长度不变，平行于外轴的，那就平行于外撇轴，长度减半。 如果既不在 s 轴上，也不在歪轴上的，通过做支架，支架就是向 s 轴或者向歪轴做垂线，找到他 对应的那个点，这样啊，就可以搭桥做出任意一个多边形的直观图，你学会了吗？下面我们来看一看有关的计算题。 我是哲树，一个有自己教育理念的公行者，让每一个有志于学习的同学都能得到最好的教育。关注我，一起走。

这个视频我来讲讲如何用斜二侧画法来画直观图。比如要画这个六边形的直观图，方法分四步，第一步，画坐标系，先在六边形上建个直角坐标系，然后 x 轴不变，外轴倾斜四十五度，分别写成 x 一撇轴和外一撇轴，这就是斜二侧画法的坐标系了。 画好了坐标器。第二步，画坐标轴上的点，规则是 x 轴上的长度不变， y 轴上的长度减半，简称横不变，竖减半。现在来看， x 轴上是 a 和 d 对应，画到 x 一撇轴上，根据横不变， a 对应之二是 a 一撇， d 对应之二是 d 一撇。 再看外轴上是 h 和 g， 根据数减半， oh 减一半，这是 h 一撇，显然这就是 g 一撇。搞定。接着第三步，画平行坐标折的线，规则是平行关系不改变，并且还是 横不变竖减半，看 ef， 平行 x 轴划过去还是平行 x 轴根据横不变，所以长度是一样的。再看 bc 也平行 x 轴划过去也不变，平行线就搞定了。最后就是连点，把这些点连起来，就得到正六边形的直观图了。 图画好了，咱来总结下写二侧画法。方法主要分着四步，从坐标器到坐标轴上的点，再到平行坐标轴的线，其中的规则一定要记好，横不变，竖解半，平行关系不改变。 刚才是给你平面图，让你画直观图，如果给你这个直观图，你能画出他的平面图吗？步骤跟刚才一样，第一步还是画坐标系，第二步还是画坐标折上的点，根据很不便，显然这是 a， 还有这二是 c， 这样坐标折的点就搞定了。接着第三步，画平行坐标折的线， 平行外轴对应 ab 就是平行外一撇轴的。要注意， abcbb 长度是减半以后的，所以 ab 的长度是他的两倍，这样 ab 就画好了，最后连接 bc， 就得到三角形的平面图了。 像这样给你直观图，要你画平面图，步骤是一样的，原来长度不变的还是不变，但是原来长度减半的就别忘了乘二 图，你已经绘画了。如果我进一步问你，这两个图形的面积有啥关系，你能找出来吗？比较一下这两个三角形，先看底，分别是 ac 和 a 一撇， c 一撇，显然是相等的。 再看高，这个是 b 撇，第一撇，这个是 ab， 有啥关系呢？想一想， a 撇 b 撇等于二分之一， ab， 这是四十五度角，那 b 一撇第一撇就等于这一段乘上二分之根号二，所以 b 一撇第一撇等于四分之根号二。 ab 底相等高是他的四分之根号二，那直观图的面积就等于平面图的四分之根号二。你可以记住这个结论，他不仅在三角形里成立，由于任意多边形都能分成三角形，所以也都成立 好了。回顾刚才的内容，关键掌握两点，首先是斜二侧画法的规则，横步变竖减半，平行关系不改变。其次，直观图面积等于平面图的乘四分之根号二。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速去刷题吧！

我们来画这个形体，他的斜二侧图，那这个形体呢？再沿着外轴的方向看过去以后呢？也就是在微面上他是有圆弧的，所以我们把这个坐标圆点呢？ 呃，我就建立在这个位置，这里是欧点，欧与撇点，对不对？然后这个方向呢？是 x 走的方向，竖直往上是 z 走的方向，好，然后我们从前往后划，所以这个点呢是欧两撇，然后这个方向是 y 走的方向， 那这个接力出来以后，那现在我们就来绘制他的斜二侧图，那首先我们把轴车轴给绘制出来。好，我们从前面往后划，所以我把 左侧轴呢画在这些位置，好，这里，对吧？好，然后竖直往上，是，呃内轴的方向，然后呢我们再去把外轴的方向给找到， 外走的方向呢？我们就走这一条线作为水平参考， 好，坐下来，因为现在我是从前往后画，所以歪轴呢？我只画后面就可以了， 对吧？这个是外走的方向。好，这个有了以后，现在因为我们知道啊，在这个 xoz 坐标平面的话，它是反应实行的，既然反应实行，那所以我们直接把这个主示图抄到我这个走出图上，好，在这里对不对？ 这个是圆弧的半径，好，圆心在这里看到吧？在这对不对？好，现在我把它轻轻的把它给绘制出来，这个就有了，那这个有了以后，现在我们来找上面这个圆弧，它的圆心，那就是从坐标圆点量到这里， 对吧？这个是 z 轴方向，所以直接量那量过来以后，就在这里，对不对？就在这里，对吧？好，这里有了，我也可以把这个坐标系好，把它平移上去， 平移一个坐标吸上去，就是把 exo， 我把它移上去， 对吧？在这里这是 x 轴，然后我把 y 轴呢也移上去，嗯， y 轴， 那我们就不移了吧，我们就把这个 a 走移上去，好，移上去以后，现在我们这个圆他是反应实行，所以直接量在这里，那么在这，对吧？直接量他呢？应该是反应实行的。好，所以我把它绘制出来， 这个圆就有了，然后还有一个，这里有一个圆弧，这个圆弧的半径在这，好，我们把它量出来，然后在这个图上，好，就在这里 看到吧，就在这个位置，对不对？好，这里有了以后，那现在我们把下面这两个点给找到，这两个点呢？它是在 x 轴上，所以我们直接量在这量过来，对不对？好，然后到这里那 找到这个点，那找到以后，现在就直接过这个点，我们去推他的平，推这个圆弧，他的切线就可以了， 我们就这样大致的做一下就可以，好吧？然后这里 来这个就有了，那这个平面我们绘制出来以后，那现在我们就去找他的后表面，我把后面这个平面做出来，其实，呃，这个形体也就基本出来了。那现在我们来量一下他的宽度， 宽度呢，他这里给的是十一，那就说我往后应该是，呃，五点五毫米，对吧？因为他的走向变化率是零点五，所以这里五点五，对不对？好，走， 以后我把这个圆心移到这，好，然后这个呢？待会也要往后移五点五，对不对？那我现在还是把这个外轴呢，给他给找出来这个方向， 好，在这 好，就在这里。对，对，呃，我们现在呢把这个五点五毫米，我把它拧过来，就在这里，也就说我的圆心的位置呢，我就找到了，那找到以后，现在我们就去呃画后面这个平面，他的投影后面这个平面，那首先我们看一下这个圆弧 他能不能看到？好，这个是半径圆心呢？后面的圆心是在这里的，对不对？那你在画图的时候你看啊，你能看到的应该是这一部分， 这里是看得到的。好，这是这个图，那我们再看一下，哈，这里对吧？这里是看得到的，没问题。好，然后我们把这个圆，然后我们也把它量出来，这里有了， 好，然后以这个点为圆心，好，然后这里他也能看到一部分，对不对？好，最后呢我们把这个半径量出来， 在这里，好，然后以这个点为圆心，好，把它的外形给绘制出来，那这里你就发现我这在 呃建立坐标系的时候应该再往下一点，对吧？他已经跑到停上去了，这里呢我就先不管他了。呃，现在我们来推这个前后圆弧，他的切线，我们把找到。 呃，首先我们这里呢应该有一条胶线，好，把它画出来，这样立体感就出来了，在这里对不对？好，然后这边呢它有一个 切线，好，就在这里，然后这个这个地方就没有，因为这里呢它是相切的关系，相切是无限的。好，现在我们把这个点也是 往后移五点五毫米，五点五就是我刚才这个分硅梁的距离，看到吧？就这对不对？我把它也往后 以五点五毫米，好，这个就找到。那找到以后，现在我们就过这个点去推后面这个圆弧他的切线，当然我们可以去，为了保证是平行的，我们就去推这条 这条边的平行线，好，大概在这里，对不对？好，然后过它。 好，那你看这里不就绘制出来了吗？对吧？那现在这个形体呢？大致我们就绘制完成了，那现在我们就来加深。呃，加深的时候仍然是先加深圆弧，我先加深外面这个圆弧，这里 好，就在这儿气垫的位置，在这些位置，我们先看大致气垫的位置在这哈，呃，然后后面这个圆弧，这里还有一个， 这里是可见的。 好，顺便我把前方这个小圆弧给绘制出来， 对吧？然后前方这里呢切点是在这些位置，嗯，切点在这， 这个应该要画到这里，对吧？画到和他上去，然后这里有一个圆弧， 他应该是，哎， 然后这边呢还有一个这里呢要到 我们把这条线先画出来，否则这圆弧加深的就不一定到位。 好，在这里， 对吧？在这里，所以这个圆弧，对，画到这里， 好，这个圆弧我们就加深完成了。好，然后我们来把这些直线给加粗， 首先这里呢有一条工期线，对吧？好，这里好像没有加深的，很光滑， 然后这里呢有一条曲线，好，这里没有加深的太。好，然后这个位置有一条， 这里， 好，然后这里呢也是相切的一个关系， 然后这里 那这个形体它的斜侧图我们也就绘制出来了。

斜二侧画法在进入立体结合以后，我们往往会用一种斜二侧画法来画空间图形或者水平放置的平面图形的直观图。这种画法的规则我们通过一个水平放置的矩形来进行说明。 首先在这个原图中分别取 x 轴和 y 轴，他们两个互相垂直，原点是点 o。 画直观图的时候，我们保持 x 轴不变，把它记为 x 撇轴。 而外轴呢，倾斜四十五度，并且标记为外撇轴，圆点不变，于是就变成了一个所乘的角为四十五度的平面坐标系。然后在新的 这个坐标系中，平行关系保持不变。也就是说，原图中平行于 x 轴的，在新的图当中仍然平行于 x 撇轴。原图中平行于外轴的，那么在新图当中仍然平行于外撇轴。 比如说这条线段 a b 在原图中平行于 x 轴，那么跑到了直观图中， 就平行于 x 撇轴。 ad 这条线呢？原来平行外轴，那在新的图当中，他就平行于外撇轴，这是平行关系保持不变。 然后长度的规则是，原来平行于 x 轴的线段长度保持不变，所以说这个 a b 变到 a 撇 b 撇，这来了一 以后，他的长度仍然跟原来一样。但是原来平行于外轴的线段呢，到直观图当中，长度要变为原来的一半， 所以我们就取 ad 的一半。然后呢，让它平行于外片轴，画到这个直观图当中，于是这个 apd 片就变成了这样的一个线段。 同样的道理， d c 这条线段在原图中跟 x 轴平行，那么在新的直观图当中，也会跟 x 轴平行，并且以 d 撇为一个端点，它的长度与 d、 c 长度相等， 这样我们确定了它的四个顶点以后，再连接 b 片、 c 片，就得到了一个完整的直观图。 所以我们发现，本来一个矩形，用斜二侧画法画出直观图以后，变成了一个平行四边形，这样画也是为了突出立体感。所以如果要画一个图形的直观图，我们抓住这两点，平行关系不变。 原来平行于 x 轴与 y 轴的，现在还平行于 x 片轴与 y 片轴，只不过这个轴呢，它的夹角是四十五度， 原来平行 x 轴线段长度不变，平行外轴的线段长度变为原来的一半。那既然这样，我们发现对于一个平面图形，他画成直观图以后，他的底没有变，他的高应该在这条线段的基础上再 乘以三四十五度，这条线段是原来这个高的一半。所以假设原来的高度是一的话，现在这个长度是二分之一， 而这个长度呢，它是倾斜的，还不能代表现在这个图形的高，应该过地片向底边做垂线，而这个高呢，是四十五度所对的直角边，所以说他又是斜边的二分之根二倍， 二分之一再乘以二分之根二，就应该等于四分之根二。这样的话，它的底长度没有变，它的高变为了原来的四分之根二倍。于是像这样的平面图形，它的面积与直观图面积之间的关系 是 s， 原图乘以四分之根号二，等于 s 直管图。我们来看一个例子，这里给了一个直角三角形 o 撇、 a 撇、 b 撇， 说他是一个平面图形的直观图，也就是用斜二侧画法画完了以后的那个图，若 o 片、 b 片等于根号二，这是他的底边长。 问这个平面图形的面积，也就是原土的面积。我们刚才讲原土乘以四分之根号二，等于直观图的面积。 现在直观图是一个等腰直角三角形，那么它的底和高都是根号二，所以它的面积应该等于 二分之一，乘根号二，再乘根号二，也就是一，于是原图的面积乘以四分之根号二等于一，那么原图的面积就应该等于一， 再除以四分之根号二，等于二倍根二，所以选择 c 项。当然我们也可以通过把这个直观图进行还原，把它的外轴竖起来，保持 x 轴与外轴垂直， 然后利用我们刚才的规则去还原他的原图，再求面积，得到的结果是一样的。每天一个知识点，跟袁老师系统学习高中数学。

这节课我们一起来学习柱体的直观图。首先来看一下轮柱的直观图，我们以长方体的直观图为例，已知长方体的长宽高分别是三厘米、两厘米、一点五厘米。利用 写二次画法画出他的直观图。该怎么样的画呢？我们之前的课呢，学习了平面图形的直观图的画法，那么这节课我们一起来学习简单几合体的直观图的画法。在画几合体的直观图的时候呢，与平面图形的直观图相比，多了三个我们要注意的点。第一 一个呢，多画了一个与 s 轴外轴都垂直的 z 轴，也就是说 s 轴， y 轴， z 轴呢，他们三个是两两垂直的 s 轴，他的箭头呢，一般情况下会朝右侧。 那么这种呢，是是与他们俩都垂直的，这个是 x， 这是 y， 他这里呢，呈四十五度角，那么这里呢， 其实是九十度的角，这是 z 轴。第二步呢，是平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变。 平行于任何轴，不管是 x、 y、 z， 他们三条轴的平行线呢，依旧是与这个轴平行的长度不变，与 s 轴平行的线长度不变，与这轴平行的线的长度也不变。但是与外轴平行线呢，会变成原来的二分之一。在画直罐头的时候。 第三个，我们在画简单几何题的时候，一定要注意，看得见的我们用实线画，看不见的我们用虚线来画。接下来我们回到这个长方体的直观图的画法，他的画法呢，我们分为四步， 第一步，画轴，把 syz 轴画出来，画出来以后呢，我们再进行第二步。第二步呢，画底面，底面的话长宽高 分别为三厘米、两厘米、一点五厘米。那么长呢，我们是 x 轴，宽呢是 y 轴， z 呢是 高，那么 x 轴和 z 轴它的长度是不变的， y 呢会减半，那么它是二分之一，所以我们以 a 点和欧点做一个重合来画。 a 点和欧点重合以后呢，我们沿着 s 轴找一个点，这个点呢它的长度是三厘米， 同样我们沿着外轴呢找一个一厘米的，因为这里呢要减半，所以是找个一厘米的，这一点呢是 d 点，连接 ad 和 ab， 就是我们要找出的两条边。另外细点怎么画出来呢？细点画的话，我们沿着 b 点做外轴的平行线， 再沿着地点呢做 s 轴的平行线，然后会相交于点细，这个细点呢连接 bc 和 dc， 那么这个就是我们的底面就能画出来了。画出底面以后呢，我们画侧轮，画侧轮，首先看一下他的高是多少，高呢？是一点五，那么我们 在这轴上 a 沿着这轴找一点五的一个长度，好用尺子画一点五的一个长度， a， a 撇呢是等于一点五，再沿着 第一点呢，我们画这轴的一个平行线，再在他的平行线上面呢，找一点五的一个长度，得到第一撇，同样从第一点细点分别引最轴的一个平行线，那么找出长度是一点五的一个高度，分别得到第一撇， c 撇，侧能画好了，我们连接 a 撇， b 撇， c 撇， d 撇，再把它连回来以后呢，会得到我们这个长方体。画出来以后是这个样子的，一定要注意，看得见的我们用实线，看不见的用虚线， 这是有关人柱的直观图的画法，接下来我们看一下圆柱的直观图的画法，已知圆柱的底面半径为一厘米，侧面母线长三厘米，画出他的直观图该怎么样画呢？我们也分为四步，第一步呢，我们画轴，画 轴的话，这里呢我们先画出 s 轴和 z 轴，他们俩是垂直的。第二步呢，我们画下底面，因为是一个圆柱，我们在画简单几何体的直观图的时候，一定要有一个概念，圆柱的一个图形长什么样子，圆柱的图形又长什么样子，我们大脑里边会有这样的 概念，这就是圆柱的图形。好，我们画下底面，下底面他的底面半径为一，左边取半径为一的话，左边取一，右边取一，因为与 s 轴是平行的，所以他的半径呢是一，直径呢就是二了。好，这是 圆心，他的圆心呢与这边的欧点式做重合，这里是取一，这边也取一厘米，那么分别得到 a 点和 b 点，化成一个椭圆的一个情况 下，底面画好了以后呢，我们画上底面，上底面应该画在哪呢？因为他是一个圆柱，圆柱的话，他上边呢上底也有一个圆心，圆心他是该怎么样找？侧面母线长为三厘米，说明两个圆心的距离呢，就为三厘米，那么我们 在这里找一个点，这个点欧一撇到欧点的距离呢？这里是三厘米，这个三厘米我们找出来以后呢，把上底面的一个 椭圆也给画出来，这里长是一厘米，这里长也是一厘米，与下边的椭圆是一致的，这边得到 a 撇和 b 撇， 接下来我们连接 a 撇， a、 b 撇、 b， 把它们连接起来，最后得到这样的一个图形，这就是我们画出的一个圆柱的直观图。 最后我们来做下小结。这节课呢，我们学习了柱体的一个画法，圆柱以及圆柱的画法。在画几合体的直观图的时候呢，与平面图形相比，他的一个直观图画法多注意三点。第一点都画了一个与 x 轴、外轴都垂直 的 z 轴。第二点呢，是平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变， z 轴的平行性和长度不变， s 轴的平行性和长度不变。 y 轴呢，平行性不变，长度变为原来的二分之一。 第三个，看得见的用实线，看不见的用虚线。我们分别学习了长方体的直观图画法。第一步呢，我们先画轴， s、 y、 z 轴。第二步呢，我们画底面，把下底面画出来，一定要注意，与 x 轴平行的是 直线呢，与原来的长度是一样的，与这轴平行的呢，长度也是与原来一样，但是与外轴平行呢，一定要变为原来的二分之一。画侧轮，侧轮的话，我们把这个点他的长度找出来。最后呢，成图，成图一定要注意，看得见的用实线，看不见的用虚线。 另外呢，我们学习了圆柱的直观图的画法。第一步，画轴，我们先画 s 轴和 z 轴，画完了以后呢，我们画下底面，把下底面的圆心呢，与 s 外的一个焦点是重合的，然后呢，半径呢，依旧不变。下底面画好了，我们画侧轮的一个长度，侧轮的长度与两个圆形的长度是一致的，而且长度不变，因为是与这种是 平行的。接下来我们把底面画出来，上底面画出来以后呢，这里一定要注意多了，一个 x 一撇轴，上下底面画完以后，我们连接 a 撇 a， b 撇 b， 就能得到我们要画的这个图。好，这节课我们就讲到这。

我们来看这个题目，是告诉了直观图是正方形求原图的周长，我们需要把正方形还原成原来的图形。 我们知道直观图是把坐标系改为加角，是四十五度得到的。要想还原回去，那么先要找到这个 直观图的坐标系，可以根据图形的特征来选择合适的，和原来一样，让尽可能多的点在坐标轴上。我们观察到正方形，他的对焦线平分了内角，所以呢，这个角就是四十五度，建立如图所示的这个心二侧坐标系。 这样一来的话，坐标轴上就有三个点了。根据之二至关图及二次画法的原则，我们回复过来，画出 原图的平面纸叫坐标细移。平行于 x、 p 二轴的，在 x 轴上长度不变，截取 a、 b 等于 a 撇 b、 p 平行于歪撇轴的仍然平行于歪轴，长度是原来的二倍，那所以 a、 c 要等于二倍的根号二。 然后我们得到了三个顶点的对应点， a、 b、 c 需要得到点地，那需要得到点地，只能依托于平行于 x 轴或者平行于外轴，也就是平行于 x 撇轴外撇轴的线段。 那我们就选择 d 撇 c 撇，它平行于 x 撇轴，那么我们就过 c 做 x 轴的平行线。在平行线上截取 c， d 等于 c 撇 d 撇，因为它平行 爱喝的粥呀，长度不变，所以说呢，接取 cd 好得到点 d。 于是呢，我们连接 ad 就得到了正方形的原图。 那原图呢，是个什么形状？我们一观察，发现原来是一个平行四边形呀。要想调到的周长，我们缺少，缺少了哪条边呢？缺少了 bc， 找到 bc 所在的三角形 b、 a、 c， 因为它是直角压那，所以勾固定离可以得到斜边笔写等于三，所以原图的周长就等于八， 你看明白了吗？原来直观图要想回复成原图，要找到家教是四十五度的那一个条件，这样就能顺利的回复过来。于同学说，如果遇见了不好回复的情况下该怎么办呢？我们再来举一个例子来说明，没有 四十五度的时候该怎么办？ 我是哲树，一个有自己教育理念的公行者，让每一个有志于学习的同学都能得到最好的教育。关注我，一起走！

嗯，好了啊，我们讲一下斜二侧画法，还有三十图啊。先初步的讲一下三十图，因为斜二侧画法咱也讲不了多少，他的知识比较少， 首先咱就不看别的了啊，又是我直接来，咱先讲一下什么叫做斜二侧画法，他也叫做直观图，也就是说你看以前我们说画一个什么呀？我说你给我画一长方体啊，你是不是这么画的， 对不对？画一长方体，你是把它哎划到这里边， 哎呦，这样子对不对？画的一个长问题，当然歪了啊。 所谓说明一下，你应该是这么画的，看不见的，咱是用虚线看得见的，用实线，对吧？啊，是这个样子，然后你自己把它标上，说什么 abcd， 然后 a 撇一撇， c 片地片，对不对啊？让你画长方体，就这么画，人为什么这么画呢？哎，因为我们小时候就这么画，所以习惯了，对不对？它其实就是说把它画成一个直观图，你一眼看上去，哦，它就是一个长方体或者正方体，对不对？你立体的， 所以它不再是平面的，所以咱这个斜二侧画法就是说把它画成一个直观图，直观图就叫做立体图形啊，就直接能看，哎，它是一个立体的， 那如果说你一开始你说我看着这个立体图形啊，就特别别扭，那教你一个方法是先去找底面，你找到谁是底面，哎，然后再去找谁是另外一个底面，慢慢的去形成一个，哎，看待这个 立体图形的一个自己的一个方式吧，对不对？把它只要你能看出他是立体的，咱后边就好办了。那什么叫做斜二侧呢？斜二侧就这么斜着画，但是你看来咱得好好讲啊，你看咱以前说 要你画一个坐标系，你是不是画的直角坐标系，这叫什么呀？平面直角坐标系 x 轴，外轴和圆点，对不对？还有正方向，他这里表示的是九十度，对吧？哎，这是一个平面呢，那我现在如果让你画成一个直观 图呢？他就得这样， x 轴还是 x 轴，还是横着的，他没有任何变化，但是那个外轴发生了一个， 哎，他的方向，哎，其实本质上没有发生变化，但是画出来得发生一点点变化。那若画成这样子，那 怎么个画法呢？远点还是在这里，这个角，这个角啊？如果你拿两角器去量，他现在是要画成四十五度的，就说他现在要画成四十五度，但是他表示的是多少度啊？ 当然是九十度了，因为咱的 x 轴跟外轴始终都是垂直的，对不对？所以你看回到这你就好理解了，我如果拿 a 作为远点的话，那 ab 是不就是 x 轴，对不对？ 然后 a、 d 呢？哎，我们进去，那这个就是外轴，对不对？就好理解一点，这样是不是比较好看一点，看着舒服一点，对吧？它 b、 a、 d 这个角表示的肯定是九十度，但是你真的要拿两角细菌量的话，它就是四十五度，所以我们这里有一个要求啊，就是 x 轴外轴那个九十度要变成四十五度，对不对？哎。第二个就是平行于 x 轴的线，咱的长度都不变，哎，平行于外轴的线长度变成原来的一半，从上面到下面啊，咱指的是他的他， 我写一下吧，咱还是写一下好一点，对不对？光说记不住。第一个就是 x， y 轴 化成四十五度，但是表示的是九十度，因为 x 轴外轴一定要垂直。第二个，平行于外轴 的线段，咱说线段吧，好听一点，长度 变为原来的长度的 一半，哎，长度变成原来的一半就好了啊，就两点，别的 没有涉及到，没说的咱就不要去动他，对不对？不要管啊。那好，我们来举个例子。这个啊，必须得举例啊，给你画个图 哦，先在这里画，你看，假如我以前是这样一个图形， x 轴外轴，然后这里有一个， 哎呦，长方形 a， b， c， d， 好比他的长是四，他的长是六，对不对？我现在要你画出他的直观图，那怎么画呢？首先你就得画一个 x 轴外轴，但是这里应该画成多少度了？ 四十五度了对不对？换成四十五度方向，哎，那我 a 点本身在远点，我还是把它作为远点，那下一步应该是画 b 点，对不对？ ab 的长本来是六，那我现在画出来是不还是六啊？啊？然后下一个点找谁呢？我们找 d 点，因为 ad 是不是在 y 轴上，对吧？ ad 在 y 轴在外轴，那就斜着 y， 那我现在取长度应该取几？ 应该取的是二，对不对？我取长度只能取二，因为咱说了，平行于外周的线段变成原来的一半， 然后我再怎么去找 c 呢？你不要通过 b 点往上做，那是不行的，找 c 对不对？你应该通过地点 平行于 x 轴过来，因为 dc 本来是平行于 ab， 也就平行于 x 轴的，那你画完以后，他还是平行于 x 轴，而且他的长度还是几啊？还是六，对不对？所以你画过来取六个长度，那就是 c， 然后呢？ 把 bc 连起来，这是六，那这是二，对不对？这就是他的一个直观图，也就相当于你把他把你的那个纸给他躺下来放着，看出来就应该是这个样子， 明白了吗？哎，大概就这个意思啊。那好，我们来两个经典的题啊，非常经典的题目， 加一眼。哎呦，就这样吧啊。首先第一个我先画一个，就是我给你一个三角形，但是我们还是把它画到作为戏里面 x 轴外轴啊，咱画一个等边三角形， a， b， c， 他的边长，咱都取四吧， 简单一点对不对？好，算一点啊。然后我让你画出他的直观图来，而且我让你求直观图的一个体积。呃，面积，面积，没有体积，那画直观图的话，一定是四十五度方向，对吧？哎呦，画的有点大了，就这样吧。 那首先第一个 a 点还是在 a 点对不对？ b 一点还是在 b 点，因为 ab 的长它是平行于 x 轴，是不变的，那 ab 是四。那现在问题就是谁去找 c 点的一个位置对不对？那 c 点在哪呢？ 通过 ac 来找吗？不行，这个六十度，咱没有设计到六十度变成多少度对不对？只有九十度变成四十五度， x 轴外轴，这个九十度，对吧？然后那你说我要找 c 点，我怎么去找？ 怎么找都不好找。那过 c 错一个高， 我能不能做出一个点，好比这是地点，哎，那我在 ab 上，这个地点还是在中间，对不对？那地点的位置没有发生变化。那 dc 有多远呢？求一下呗。这是二 一比，二比高三，那这个就是二比跟三，对吧？那 d c 本来平行于外轴，他的长是二比跟三，那你现在是不是还是得要平行于外轴啊？啊？你本来平行于外轴，你现在不能蹭一下往上走对不对？也得平行于外轴， 那走多远呢？那你就不能走二位跟三了，你得走多少根号三，对不对啊？因为咱说平行 外轴要变成原来的一半，那你这样上去就找到了 c 点，所以 abc 都找到了，把它连起来 就完成。哎，这个有点歪，自己画一下，那这个样子， abc 连起来以后，这个就是他的一个直观图，大概的对不对？自己拿尺子在草稿上画一下会比较好一点。这特别经典啊，这个题可经典了。 对对对对，哎，得了这第一个啊，本来想画一个重点符号啊，结果他那边识别不了啊，就这样。那你说我现在让你求面积，那咱先把上面这个面积求上面这个 s 是多少？ 二分之一乘以底是四，高是二倍根号三，那就等于四倍根号三，没错吧？下面这个我让你去表，那个， 他的一个面积呢？那 s 等于二分之一乘以底还是四？没有发生变化，他的高发生了变化。那完蛋了，现在要你求高，你说我怎么求这个？

好，这道题目要求斜二侧画法，画长方体，那我们先画长方体的这个底面好，画一条长为三厘米的线段好，也就长方体的长 好。接下来你可以用四十五度的直角三角尺，也可以用两脚气去画这个四十五度啊，斜二侧画法好，那么对中对边，然后找刻度四十五度点一点。 好。因为斜二侧画法要求啊，我们实际宽，我们应该画为四厘米的一半，也就是两厘米。 好，画好两厘米到那个点，你可以擦掉它。 好，接下来我们要把这个底面给补补齐，那么用平移线段，平移线段需要用到两把指角三角尺啊，像这样操作，然后一把三角尺固定不动， 另外这把三角尺沿着不动的这把啊往上推，推到那个点的位置，然后画好平行线，那么去两尺三厘米 好，然后把这一个也补齐，这样我们的底面就画好了啊，长方体的底面画好了，接下来画 四条高，用直角三角尺的九十度做垂直垂线段， 高为五厘米，那我们画五厘米， 五厘米画好。同样的方法，把其余四条膏也都画好。 好，接下来把这四个顶点连起来。 好，不要忘记有三条人，我们是看不见的，看不见的人我们应该用虚线表示， 所以你可以把它擦掉啊，画上虚线。当然如果你能够在事先判断好时，这三条人是看不见的，你也可以在画的时候就直接用虚线啊， 沿着刚刚铅笔的痕迹啊，画好虚线 好，标上字母底面 a、 b、 c、 d。 好，上面 e、 f、 g、 h， 并且写好结论。所以长方体 a、 b、 c、 d， 杠， e、 f、 g、 h 是所要化的长方体 好，那么整个斜二侧画法画长方体的过程就结束了啊。这里还要补充一点，他这里最后长宽高三厘米，四厘米、五厘米也要标上啊。

这节课我们一起来学习写二册画法。首先我们来了解一下什么是立体图形的直观图。直观图是观察者站在某一点观察一个空间结合体或者图形，比如说这些图形是观察者站在某一点观察一个空间结合体得到的图形。 那么立体图形的直观图该怎么样画呢？我们要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图，那么水平放置的平面图，我们需要学会一种画法是斜二层画法， 利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，这边正方形是原图，那么利用斜二侧画法得到的图形呢？它的直观图会是一个平行四边形，那么这个画法是怎样得来一个平行四边形的呢？接下 下来我们一起来学习斜二侧画法的一个步骤。原图它是一个正方形，而直观图呢，变成了一个平行四边形。怎么样利用斜二侧画法得到这个平行四边形？我们分为几步，现在看。第一步，先建立坐标系。 原图中 s 轴和外轴是垂直的，但是呢，直观图中 s 一撇和外一撇他们是成了四十五度的角。 坐标系建立好了以后呢，我们再进行第二步，坐标轴上的点，我们把它找出来。先来看很坐标，很坐标，也就是说 s 轴上的长度它是不变的，很不变， s 轴上的长度不变。开始的时候 a 点在远点，那么 ab 的长度假设是四横坐标，它的长度不变，所以 a 撇 b 撇，它的长度也是四是不变的。 a 撇呢， 也在原点 b 点的位置，根据 ab 的长度四来确定他的位置，我们也能确定外轴上的长度是减半的。重要减半。 假设 ad 刚才也是讲了，因为是正方形，所以它的长度为四，那么外轴上的长度减半，这边就变成了二。这是第二步，坐表轴上的点，把它标出来。 第三步，平行坐标轴的线平行关系怎么样理解呢？只要平行于 坐标轴的线呢？最后经过写二次画法得到的直观图依旧是与坐标轴平行的。比如说原图中的 ab 和 cd 与 x 轴平行，那么直观图中 apb 一撇， cpd 一撇，这两条线也是与 x 轴平行。那么原图中的 ad、 b 和 bc 这两条线与外轴平行，那么直观图中的 a 撇第一撇， b 一撇， c 撇，这两条线与外轴也是平行的。 那么再进行第三步，连点，我们把所有的点连接起来，然后就组成了我们的直观图，这是有关利用写二字画法画直观图的方法。接下来我们做一个练习题。 已知在平面直角坐标系中，一个平面图形上的一条线段 ab 的实际长度呢，是等于四，若 ab 它是与 s 轴平行，那么现在画出直观图以后呢？线段 a 撇 b 撇 ab， 它是原图。那么直观图的线段呢？用 a 撇 b 撇来标志它的长度是等于多少？我们这里有讲， s 手上的长度是 不变，横不变，因为与 s 轴是平行的，所以它的长度不变。所以 a 撇 b 撇呢？它的长度呢，也是四厘米。 但是呢，如果与外轴平行， ab 与外轴平行，画出直观图以后呢？对内线段 app 呢？他的长度呢，是减半的，外轴上的长度是减半，所以他的长度是等于两厘米。 接下来我们做一下 miss t， 判断下列说法是否正确。相等的角在直观图中仍然相等。刚才我们讲了正方形的直观图， 正方形的四个角都是直角，但是呢，这个角和这个角不相等，这个角等于四十五度，而这个角呢，等于一百三十五度，所以第一个是错误的。第二个，长度相等的线段，在直观图中长度仍然相等。长度相等的线段呢， 刚才这个正方形四条边都相等，但是呢，这边只有对边相等。所以长度相等的线段呢，在直观图中不一定相等，也是错误的。 他的很与 x 轴平行的线段，与原图中的线段是相等的，但是呢，与外轴平行的线段呢，是原来的一半。 第三个，若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍然平行，这个是没有问题的。我们在讲第三步的时候有讲到 第四个，若两条线段垂直，在直观图中对应的线段也互相垂直。不一定，这边呢，四条线段都是，这里都是两两垂直的，但是在这边呢，都不垂直，所以第四个也是错误。最后我们来做下小结，这些课呢，我们就学习了斜二侧画法， 有四步。第一步，我们先画坐标系，坐标系，注意，原图中 x 轴和外轴它是垂直的，但是呢，在直观图中， s 一撇和外一撇呢，他们俩是乘四十五度角。第二呢，坐标轴上的点， x 轴上的长度不变，横不变，外轴上的长度呢，是减半， x 轴上的长度是与原来长度是一样的，但外轴上呢，是减半。平行关系。 开始与坐标系平行的那些线呢？最后还是会与坐标系平行，开始这些线段是平行的，那么最后直观途中还是会平行的。好，我们确定了一二三以后呢？最后我们把剩下的点那些线全部连接起来即可。好，这节课我们就讲到这。

同学你好，我们来看这道题，如图，正方形 o a b c 啊，它的边长是一厘米， 那么他是水平放置的平面图形的纸款图啊，这这题目当中给的是一个纸款图，问原图形他的周长啊是多少？那么好，我们首先来看一下这道题设计到的知识点， 那么这道题应该是考察直观图这个概念，那么我们需要知道从原图形到直观图发生了哪些变化，然后呢，我们再给他 啊，利用这些变化逆着来，再给他还原回啊原来的图形，就可以求出原来图形的周长了。所以从原图 到直观图， 那么他的变化，首先 x 应该是不变的，我们应该知道，也就是横轴不变，那么歪轴呢？减半，横不变，歪减半， 那么歪轴减半也是原来，比如说两厘米，那么到直观图当中呢，就变成了一厘米，歪减半 啊，直角二分之派，这个角度变为了四分之派， 所以就利用这三点变化，我们可以还原，那么 x 不变，还原后期还不变， y 减半，那么还原规矩呢，就应该是啊， y 应该是变成了啊，两倍啊，原来这个四分之派应该变为了二分之派， 那么我们就根据这个三个点变化了，给他还原，别直观原来的图形，我们来具体的看一下 啊，我在这里画吧，横轴不变，那么欧点在这里，低点在这里，原来是一厘米，这还是一厘米， 那么这个啊， o b， 我们看 o b 应该是这里，等下只要三角形，这一比一 一，这应该是根号二， ob 的长度是在直管图当中是根号，那么在原图当中就应该是啊原来的两倍， 所以这里的还原维口区，我们比如说是啊 b， 那么应该是原来是根号，这里应该是二倍根号，那么这样呢，我们也完成了这个角度，从啊四分之派到这里的二分之派 oa 叫 aob a o b 从四分之派变到二分之派啊，然后呢，我们接下来就可以给他还原为图形，那么这里应该是连接 ab， 我们可以连接 ab 啊，那么这里的 bc 仍然是平行于横轴的，平行于横轴的啊，都不变，长度也不变，那么十一点，在这里仍然是原来是一厘米，虽然还是一厘一厘米，再连接 oc， 哎，这个图形，这个平行四边形，就应该是啊这个正方形还原回来的样子，那么这个周长，这应该是多少？这比较容易求了。利用购物定理，这是一，这是二百根号的平方，应该是八 八的平方加上一的平方应该是九，再开个号应该是三，所以呢，这个 ab 长度应该是三，那么对应的这个 oc 也应该是三，所以这里周长就是三加三六，再加二，应该是 八厘米。 我们来总结一下这道题主要考察的知识点就是从直管图还原为原图， 那么就是横轴长度不变，那么歪轴呢？还原回去的时候，应该是啊夸大为原来的两倍啊， 原来是这个直腕图当中的四分之派角，要还原为二分之派角，那么好，这道题就讲到这里，再见。

大家好，今天呢，我们讲一个高一同学发来的关于用斜二侧画法来画图并求面积的这样的一种典型题。 这里边的话，大家要注意，我们用斜二侧这个方法去画的时候呢，要掌握这样一个口诀，叫做横不变竖减半，就是水平的线段保持长度不变，竖直的线段呢，给他减一半啊。那么我们来看一下这个题目， 那现在呢，我们在水平放置的这个边长为二的正方形啊，正三角形啊，用这个画法呢，画它的直观图， 那现在这个图，这叫平面图，对吧？那么画成直观图的话，大家首先要做的一个事，那就是把它的坐标系要调整一下，那么水平的 x 轴不变啊， y 轴呢，也是重轴，要倾斜四十五度，所以这块就变成了四十五度，就不再是垂直的了，这是用斜二侧啊间隙。 那么接下来我们看横不变，那其中呢，你看 bc 就是水平的，对吧？他要不变，那么我们就直接给他平移过来就行啊，平移过来之后呢，这个 b 和 c， 他仍然是在这个圆点的两侧对称的位置啊，一定这个对位置要对应好。 接下来看竖减半，竖减半也就是在竖直方向，你看啊，这个 a o， 这是比方说假如说它的长度是四，那么要减半的话，那就是二，对不对？所以呢，咱们在这个 y 撇这个轴上呢，找那个二的这个位置啊，比如说，哎，这就是那个二的位置，对不 对啊？ oa 撇这是二，然后哎给他找到位置就可以了，挂在上面，所以这样的话呢，你再去啊一连接啊，整个这个图形，这就是他的写二字画法的直观图，能不能理解了？所以啊，大家也要注意，就是他的一个口诀叫横不变，竖减半， 对吧？那么接下来我们要看一下，你图形画出来之后，那么面积怎么求？面积的话也很简单，大家来看一下啊，你看这个边长是二，那么这个 oa 呢？或者是这个 bo， 这就是一，对吧？ oa 呢？那就是有多少一二刚好三 是不是？那么接下来我们看它的这个面积，也就是这个直观图的面积，你看底边 b 撇 c 撇，这个仍仍然是二，对吧？这长度不变，它的 高呢？就是这个时候呢，你要求这个 a 撇 b 撇 c 撇的面积，要把它看成平面图来求，能不能理解啊？你不能就是给他看成平面图来来算啊，所以呢，我们就直接过 a 撇做 b 撇 c 的这个垂线啊，这就是那高，比方说这是 m， 对吧？所以这个新的面积 s 撇就等于二分之一乘上 b 撇 c 撇，再乘上一个 a 撇 m， 对不对？而这里边 b 撇 c 撇呢？是二，那么 a 撇 m 呢？这个时候咱们要算一下，你看这个 o 撇 a， 这个长度是多少？是根号三， 对吧？你看你刚才这不是这，这不是根号，是二分之根号三，嗯，因为你整个 o a 是根号三，那么 o 撇 a 撇呢？这就是二分之根号三，因为它是竖减半， 对不对？竖减半，然后这边你看这是一个四十五度，对吧？我们又可以求得 a 撇 m 啊，那么根据等腰直角三角形，用勾五厘米算也行，或者直接去口算就可以，是不是叫二分之根号三，再除上一个根号二， 对不对？这就是 a 撇 m 的长啊，这样的话呢，我们就能算上来了啊，除以根号二是多少呢？就是这么写吧，咱们先不用啊，这个化减了，就先先写成这样就可以了， 对不对啊？你给他乘上一个就是二倍根号二分之根号三，最后啊，就等于他再去化减就可以了，等于是四分之根号六，对不对啊？这就是他最终的这个面积啊？那你说这是这个，我们正常的 啊，去算是算成这样的，那么有没有一个这个，这个，这叫什么呢？嗯，统一的结论啊，你比方说像这个啊，正三角形，在他的平面图当中，这个面积是多少呢？叫比方说他的边长，这个时候就不是二了啊，边长就是 a， 那就是 a， 那么它的面积就是四分之根号三， a 方，对不对？那么到这边之后，那么这个新的面积 s 撇，这个时候呢，我们也能够得到一个啊，快速的结论， 那么这个结论是什么？大家能不能猜一猜，对吧？你猜一下，也就是他俩的面积，对吧？他俩的面积有什么关系呢？就差在哪？就差在这个四十五度这块，对不对？所以你化简之后呢？哎，应该等于的是啊， 四分之根号二倍的，哎，这样的一个比较平面图的面积就是 s 啊，是有这样一个关系，能不能理解了？所以这样的话呢，你看啊，你给他带进去之后，你算一下你比方这是，这是二，对吧？原来的面积是多少？四分之根号三乘上二的平方，对不对？等于根号三，你看看他和他是不是四分之根号二倍的这个关系， 对吧？你用 a 代替之后，就得到它的一个最终的统一的结论啊，这就是咱们用斜二侧画法去求它的面积的这样的一种，这个结论大家能理解了吗？