x的二分之三次方用根号怎么表示

这道由竞赛题改编的高考压轴题还是有点意思的，题目是一对连乘，非常的麻烦。那我们从局部再到整体，先看一个简单的小例子， 构造一个函数 f x c 二 x 可以 进行两倍角公式展开，然后我们对 f x 进行展开，然后直接对 x 进行四次方，然后把 c 根的六次方进行拆分，然后使用四元基本不等式将系数提取出来，然后就得到了 f x 的 四次方，小于等于二分之根号三的六次方，所以 f x 就 小于等于二分之根号三的二分之三次方。当绝对值 tan 乘以根号三的时候，取等号 g 斐特就可以表示成这样。然后我们构建两个不等式，然后相乘，这样就可以得到我们想要的形式，最终就可以完美证明了。

各位，这是一道俄罗斯竞赛题啊，难度比较大啊，不要求大家会做，能听懂就可以了，能学到很多东西啊。我们来看一下，求 x 分 之根号 x 四次方加 x 平方加一减，根号加 x 四次方加一分之一最大值啊，求这么一大坨它的最大值。 遇到这样题怎么办？第一步，先化减啊。怎么化减？你看他减，他除上 x， 我 能不能写成他除上 x 减去 它除上 x， 我 分开对不对？看能变成什么啊？左边变成什么了？左边放到这个根号里边啊，把这个 x 放到根号里边，你看能变成什么？是不是变成上面不动啊？上面还是这啊？下面呢？ 是不是变成 x 平方了呀？对不对？这一步能不能看明白？然后减去根号下 x 四次方加一除上多少 x 平方，对不对？ x 放到根号里边，然后呢？ 左边变成什么了？他除上他是不是变成 x 平方了呀？他除上他是不是变成一了呀？一除上他是不是变成一除上 x 平方， 对不对？左边是这右边嘞，右边是不是啊？ x 平方加 x 平方分之一。哎，到了这一步，有的同学观察出来了啊，你看 他加他，他加他是不是一个整体啊？他俩是一个整体，我能不能用用 t 来代替啊啊？ t 加一减去根号 t 对 不对？我假设 t 就是 多少 x 平方加 x 分 平方之分之一，把它看成一个整体好。到了这一步怎么办？他求的是啥最大值？我们想一下啊， t 越大， 这一部分也是越来越大，但是他也越大一个啊，他大他也大，那什么时候最大？不知道呀，那怎么办？各位，如果遇到这种形式啊，你可以进行什么？分子有理化？什么叫分子有理化？上边啊， 上边乘上他加他，你看根号 t 加一加上根号 t， 下面呢？也乘上根号下 t 加一加根号 t， 这样的话，你会发现上面是平方差公式，它的平方减它的平方是不是刚好等于一啊？ 对不对？它的平方减它的平方是不是等于一？也就说上面是不是变成一了呀？这么一大坨就是一，下面呢？变成根号 t 加一加根号 t 了，到了这一步就好办了，你看看什么时候它最大？ 那肯定是分母越小他越大，分母什么时候最小？那 t 是 不是越来 t 最小的时候？各位， t 越来越小，整个越来越大？所以说只要把 t 的 最小值求出来就可以了。 当 t 最小的时候，这么一大坨有最大值，这一步能不能看明白？好，那 t 他 最小值是多少？ t 不 就是他吗？他最小值是多少？这个家伙啊，那不就是 a 平方加 b 平方大于等于二 ab 吗？对不对？ a 的 平方加 b 的 平方大于等于它俩相乘两倍，那它是不是大于等于多少？两倍的，它乘它， 它乘它是不是正好等于一啊？是不是它大于等于二？也就说它最小值就是二，它最小值是二。把二带进去， t 最小值是二，那不就是根号三加根号二分之一吗？ 这不就是他的最大值吗？啊，哥们，他是不是最大值？分母在进行有理化啊，分母有理化的话，变成多少了？他的平方减他平方是不是变成根号三减根号二了呀？最后答案是，不是啊，根号三减根号二。所以说会了文化也并不难啊各位。

三角公式不用死背，今天我们带来的是一道三角函数问题，我们先一起来读题。已知 f x 图像过零，根号三，说 f x 在 零到 pi 上尤其仅有两个零点为 omega 的 一个最值情况， 我们把这个点给它代入根号三等于二倍的 sine， 也就是 sine 等于二分之根号三。又因为 f 呢，题目中已经说了在九十到一百八之间，所以说 f 只能取一百二等于三分之二 pi。 此时 f x 的 解析式就变成了二倍的 sine， omega， x 加上一个三分之二派，我们让 t 等于 omega， x 加上一个三分之二派，此时 t 的 范围 x 是 在零到派， t 的 范围应该是在三分之二派到 omega 派加三分之二派， 我们这个图像就转换成了 f t 等于二倍的三 t 的 一个图像，我们去画一下它的整体的一个趋势， 这是派，这是二派，这是三派。三分之二派从这开始起步，他要想有两个零点，只能是派和二派，也就是我们需要控制 omega 派加三分之派，那加三分之二派，它得在二分之派和三派之间，并且三派是能取到的，因为三派取到，这是取不到的，根本上还是取不到。我们给它解一下， 三分之四派小于 omega， 派小于等于三分之七派。 omega 是 大于三分之四，小于等于三分之七的，所以他应该是没有最小值，有最大值，最大值是三分之七，应该选 c 选项。 好，今天的分享到此结束。

接下来我们来看这个解答题部分。第十五题，已知函数 f x 呀，它的解析式呢，是这样一个形式，那这个形式呢，我们先对它进行一个简单的化简，然后呢，再处理它的后续问题。 化简的时候呢，先把这个地方给它展开，就是 sin 偶密个 x 乘以一个 二分之，根号三，加上 cos omega x 乘以一个二分之一。那由于外面呢还有一个四，我们给它打开之后呀，就变成了 二倍的根号三 cos omega x。 后边啊，还有一个 cos omega x， 又给它成了一起 cos omega x， 再加上二倍的 cosine omega x 的 平方减一，由二倍角公式前面的这个部分呢，就变成了根号三 sin 二 omega x。 后面这个部分呢，就是 cos 二欧米克 x， 紧跟着使用辅助角公式，我们给他提出一个二，他就变成了二倍的三二欧米克 x 加上 六分之派。这样的话呢，我们就得到了这个 f x 的 化简结果。 题目说呀，它在一个周期之内的图像呢，是如图所示的， a 是 最高点 b， c， d 呢是它与 x 轴的交点，并且这个三角形 abc， 它是一个等腰直角三角形。 我们观察我们得到的这个解析式，很明显，这个 f x 它的最大值为二，那就说明 a 点的纵坐标这个高度呢，它是二，那么 bc 的 长度就一定是四。于是乎，我们就知道了，半个周期就是四，那周期 t 是 等于八的，由最小正周期公式，周期 t 是 等于二欧米根分之 二派的，所以啊，这个 omega 就 等于八分之派。 所以呢，我们就得到了它的这个解析式，这个解析式的最终形式就是 f x 等于二倍的 sine 四分之派， x 加上 六分之派。第一问之中呀，还有这样一个小问题，说 f x 加 m， 它是偶函数的时候，让我们去求这个最小正实数 m， 那 f x 加 m 呀，它就等于二倍的 sine 四分之派， x 加上四分之派 m 再加上六分之派。 想要让这个函数变成一个偶函数，就要求后面的这个东西，也就是四分之派 m 再加上 六分之派，他必须要等于二分之派加上 k 派。所以呢，这个 m 呀，他就等于三分之四加上 四 k。 由于啊， m 要的是最小正实数，那么我们就需要这里的这个 k 呢等于零，所以啊，这个最小正实数就是三分之四。 接下来我们来看它的第二小问，让我们去求 ab 向量乘以 ad 向量的值。这个东西它的计算方法呀，是有很多的。首先我们来看这个坐标法，这个 a 点的坐标呀，它的纵坐标呢，是等于 二的，我们来确定他的横坐标，他的横坐标就是第一条对称轴，也就是四分之派乘以 x 加上六分之派，正好等于 二分之派的时候，那么我们就可以得到这个 x 呢，他等于三分之四，这样的话， a 点的坐标啊，就是三分之四二，同理，这个点 b 就是 四分之派 x 加上六分之派等于零的时候， 而这个点 d 呢，是四分之派 x 加上六分之派等于二派的时候。所以啊，这个点 b 的 坐标呢，就是负的三分之二零，而这个点 d 的 坐标呢，就是三分之二十二零。 这样的话呢， ab 和 ab 两个向量，我们就可以用坐标给它写出来， a、 b 向量呢，就是负二负二，而 a、 d 向量呢，就是六负二。所以啊，它们的数量积最后是等于负八的。这是第一种方法，第二种方法 我们可以采用投影法的方式完成。对于它的运算， a、 d 向量呢，是等于 ab 向量加上 b、 d 向量的，所以我们要求的这个数量积， ab 乘以 ab， 就 可以写成 ab 的 平方，加上 ab 乘以 b、 d。 呃， ab 的 平方非常简单，因为啊，这个位置是二，所以 ab 的 平方呢，就是二倍的根号二， 所以现在我们只需要算这个 ab 向量乘以一个 b、 d 向量即可。那么 ab 向量乘以 b、 d 向量呢，它是等于负的 b， a 向量乘以 b、 d 向量的。由投影的关系，也就是 b、 a 向量在 b、 d 向量上的投影，它这个投影的数量呢，是等于二的，而这个 b、 d 它本身的长度呢，是等于八的。所以啊，这里边的这个位置呢，就是负的 二，乘以一个八，也就是负十六。而外边这个 ab 的 平方呢，它是等于 正八的，那么负十六加上一个正八，最后也等于负八，这是方法二。这两种方法呢，相对而言是比较简单的。 接下来来看这个十六题，这个十六题啊，题干非常非常的长，我们一点点的看， 说近些，近些年呢，我国人工智能啊，发展迅猛，其中语言模型和多静态模型是两个重要的领域。某研究机构呢，发布了十四款标准化测试，由 数据呢得到如下的这个散点图，其中呢，这个星号是多模态，然后这个圆点呢，是语言模型。 我们来看他的第一小问，让我们用频率去估计概率，根据二零零五年他的这个分布情况，估计二零零六年 大模型是多肽模型的概率，那么我们只需要把二零零五年他所发布的这个大模型是多肽模型的概率给他求出即可。我们回到那个原始的散点图上， 这个原始的散点图呢，他有十四款模型，而这十四款之中呀，多肽模型有一二三四五六款，所以说他的概率呢就是十四分之六，也是也就是七分之三， 所以啊，第一问的答案呢就是七分之三。第二问，如果时间七为变量， y 呢为分数，让我们去根据这个多模态的这个模型数据呀， 去计算它的限性回归方程。题干的末尾呢，给我们提供了这个限性回归方程的公式，好，我们直接在这个位置完成对于它的运算。 这里的这个 b 呀，他上面呢是这样一个东西，我们来看旗杆之中呢，给我们提供了几个有效数据，这个东西啊，他正好是一百一十六，所以啊，上面的这个分子就是一百一十六， 而下面呢是 t i 减去 t 八括号外的平方。这里我们就一定要注意这里的七，他所表示的这个含义，他说呀， a 呢是一二三四五六， t 一 表示的是一月份， t 二呢表示的是二月份， 然后呢依次类推，我们回到原统计图表之中，我们可以发现，这里的七一呢，它是等于一的，七二呢，它是等于六的， 七三就是第三个有多模态这个模型的月份也就是七。而七四等于八，七五等于九七六呢，是等于十一的， 所以这个七八呢，它就等于七一一直加的七六，然后再除以一个六，是等于七的， 有了 t 八等于七，现在我们要计算的是 t i 减 t 八平方，然后再求和。那这个式子呀，它就等于 c 个吗？ i 等于一到六七， i 的 平方减去一个 n， n 是 六乘以一个 t 八的平方。 前面这个数据呢，是三百五十二，后面的这个数据啊，就是六乘以一个四十九， 也就是等于五十八的。这样的话呀，我们就得到了这个 b， 他的分母呢是五十八，所以说这个 b 最后等于二， 有了 b 等于二，我们去算 a， a 呢，是等于 y 八减去 b 乘以 x 八的 y 八。题干已经告诉我们等于五十三，所以这个 y 八呢，就等于五十三，减去 b， b 是 二乘以一个 t 八七，所以啊，这里的 a 呢，就等于三十九。 于是乎这个回归方程就是 y 等于二， t 加上 三十九。这一问，他最大的难点就是你在计算的时候，你没有搞清楚这个 t i 的 含义。很多人认为啊， t 一 就是一， t 二就是二， t 三就是三，那么这个题呢，就会算错。 下面呢，我们来看他的下一小问，他说呀，建立语言类模型的回归方程是 y 等于六点五论七，加上五十点三。该地区呢，在二零二六年的四月发布了一款 得分为六十八分的大模型，现在呀，定义了一个统计量，就是这个 q 呢，是等于残差比上预测值的绝对值， 这个 q 值越小，就说明啊，模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多肽模型。让我们去说明理由， 那这是一个评价类的题目，它其实就是让我们去评价刚才我们得到的回归模型，以及这个回归模型， 让他们分别去计算这个 q 的 值，哪一个 q 的 值他越小，哪一个的模型发生的可能性就越大。 首先我们先来用刚才我们得到的这个回归方程，就是 y 等于二七，加上三十九这个模型来算他的 q 值。 想要计算它的 q 值呀，我们必须先搞清楚第一件事情，就是二零二六年的四月所对应的 t 究竟是多少，其实这件事情还是非常容易确定的， 我们来观察啊，第一个 t 呢，它是等于一，也就是跟月份是吻合的。第二个 t 啊，它等于六，它其实就是六月份。 第三个 t 呢，他就是七，依次类推，我们就知道了，二零二六年四月份这个时候呢， t 是 等于十六的， 那么我们将这个 t 等于十六啊，给他带入到这个回归方程里面，可以算出这个积分呢，就是七十一分。 而题干明确告诉我们，二六年四月份他发布的这个大模型呢，是六十八分，所以此时的残差呀，就等于六十八，减去七十一，也就是负三， 而这个 q 呢，它就等于残差的绝对值，也就是三比上这个预测值七十一，这是我们使用这个限行回归模型算出来的这个 q。 那 接下来呢，我们使用 y 等于六点五论七，加上 五十点三，用这个模型去算，那么此时七等于十六，我们给它带入其中， 也就是六点五乘以一个小于十六，十六呢，它是二的四次方，然后再加上 五十点三，那么它就等于四乘以六点五，再乘以小于二，加上五十点三。 题目中已经告诉我们 lo 二呢，约等于零点七，我们把这里面的 lo 二给它带入其中，我们就可以算出，这个时候的 q 呢，它是等于一百三十七分之一的。那很明显呀，一百三十七分之一， 它是要小于七十一分之三的。所以呢，我们使用第二个回归模型建立的这个拟合效果呀，它是更好的。 再来看这个十七题，如图所示的这个三棱锥之中，三角形 m a b 与三角形 m c， b 啊，都是等边三角形，并且呢， m b 是 等于二的，那就说明啊， 这个线段，这个线段，这个线段，这个线段以及这个线段呀，它的长度都等于二。第一小问让我们证明 a c 跟 mb 是 互相垂直的。这一问还是非常的简单的，我们找到 mb 的 中点，假设这个中点呢，是 h， 连接 a h 以及 c h， 那 由于左右两岸都是等边三角形，所以啊， a h 它是垂直于 b m 的， c h 呢，也垂直于 b m， 并且呢， a h 与 c h 相交，它的交点是 h， 所以我们就可以得到 bm。 这条线呢，它是垂直于平面 a h c 的， 而 a c 它包含于这个平面 a h c 之中，所以这里的 mb， 它一定是垂直于 a c 的。 这就是第一小问。接下来我们来看第二小问，如果这个点 m 呀，它到平面的距离等于一， 让我们去求 m a c 与 m a b 夹角的余弦值。那由于第二问呀，它要求 二面角的余弦值。我们的最优解肯定是要建立空间直角坐标系，而我们现在拥有的这个条件间隙实际上是一件非常非常困难的事情，他并没有相互垂直的三条直线， 所以呢，我们就需要充分的去考虑 m 到平面 abc 的 距离等于一这样一个特点。那什么是 m 到 abc 的 距离呢？ 我们首先呀找到 a c 的 中点，我们假设 a c 的 中点，这个点呢是 o 点，然后呢，我们连接 b o， 并且呀把 b o 进行延长， 那么我们就可以知道 m 点到平面 abc 的 距离，也就是说 m 它在下表面 abc 之中的这个垂足就一定要落在 b o 这条线上。 所以啊，我们先过 m 点向着下表面去做垂线，假设这个垂足为 h， 然后我们再连接这个 m o， 现在我们知道的条件就是 m h 啊，这个线段它的长度呢是正好等于一的， 又由于 b m 这个线呢，它的长度为二，所以我们可以确定这里的角 m b h 正好是等于三十度的，这个角呀，它等于三十度。 如果我们想要去确定点的坐标的话，我们就一定要想办法知道这个 b o 的 长度， 只要知道了 b o 的 长度，你就一定可以得到 o a 的 长度以及 o c 的 长度。 现在呢，我们去观察三角形 a m c 以及三角形 a b c， 由于啊， a m 它是等于 a b 的， m c 呢是等于 b c 的， 而 a c 呢，作为公共边， 那就说明啊，这两个三角形是全等三角形。既然是全等三角形，我们就可以知道 b o 的 长度与 o m 的 长度是相等的， 那就意味着这个角 b m o 也是等于 三十度的，那么角 o m h 也等于三十度， 这样的话我们就可以确定 o h 的 长度呢，它就是三分之根号三，那么 o b 的 长度与 o m 的 长度是相等的，都等于三分之二， b 的 根号三。 由勾股定律呢，我们可以计算， c o 的 长度呢，就等于三分之二倍的根号六。接下来呢，我们只需要建立空间直角坐标系即可， 我们以 h 点作为坐标原点，建立空间直角坐标系，这里呢， h o 所在的直线呢，我们作为 x 轴，然后呢，我们过 h 呀，做这个 o c 的 平行线，这个位置做 y 轴，而 h z 呢，我们就作为 z 轴。 接下来呢，我们写出各个点的坐标， m 点的坐标最简单零零一，而 b 点的坐标呢，就是三分之二倍的根号三零零， a 点的坐标呢，是三分之根号三负的三分之二倍的根号六零。那 c 点与 a 呢，它有对称关系，所以它是 三分之根号三正的三分之二倍的根号六零。这样的话，我们就有了四个点的坐标，在有了这四个点的坐标之后呢，我们只需要写出他们的法向量，然后再正常的去计算他的夹角，就可以 完整的将这个题目做出。那么这个计算过程比较长，我就不在这里进行书写了。最后呢，这个 cosine 是 等于三分之根号六的，还是比较容易计算的。 接下来呢，我们来看这里的第十八题。 f x 等于 a， x 加上 b， x 方加上二分之一 cosine x， f x 导呀，是它的导函数，并且告诉我们它的导函数呢，是关于派零对称的第一问，让我们去求 a 比 b 的 值，那么我们先对它进行求导， f x 的 导数就等于 a 加上二 b x 减去二分之一 sin x， 那 这里其实我们是可以不用对称性的定义就能够知道这里 a 比 b 的 值，观察可知呀，后边这个负的二分之一 sin x 这个东西，它一定是关于派零对称的一个图像， 所以说 a 加上二 b x 这条直线，他也要关于派零对称，那么他就一定要经过派零这个点，所以 a 加上二 b 乘以一个派一定要等于零，那么 a 比 b 就 等于负二派 这一问呢，它在处理起来呀，我们只需要抓住对称这个基本含义就可以把它做出来了，不需要经过复杂的计算。 第二问， f x 的 导数小于等于这个东西是横成列的，让我们去求 b 的 值，并且呢去探求这个导函数呀，它零点的个数， 那 f x 的 导函数，它的形式是这个样子的，而且呢，我们知道 a 比 b 是 等于 负二派的，所以呢，我们就可以把这里的 a 呀给它换掉，也就是负二派乘以一个 b 加上二 b， x 减二分之一，散 x 小于等于负的派分之一， x 加二分之三是横乘立的。我们进行简单的一项，就是负二派， b 加上二 b， x 减二分之一，散 x 加上 派分之一， x 减二分之三小于等于零横乘以。这里边我们先解决求 b 的 值这一小问，那我怎么才能把这个 b 的 值给它求出来呢？我们先简单的观察一下 这里呢，这一个部分与这一个部分呀，他是非常容易确定他的最大和最小值的，因为三角函数呀，他的最大值是正一，而最小值呢是负一，所以说这两个部分 他的最小值就是负二，而最大值呢，是负一，这一点是非常明确的。 而带有变量 x 的 还有这个部分以及这个部分，由于这里的这个 b 的 值是未知的，所以啊，这两个部分它的值取多少就很难进行确定。 除非这里的二 b 加上派分之一是等于零的，否则只要他不等于零，随着 x 值他发生变化，我们是没有办法保证他横正或者是横负的，因为这是一个直线模型， 所以说二 b 加上派分之一就一定等于零，那么 b 呢，就一定等于负的二派分之一，而由于 a 呢， 是等于负，二派乘以一个 b 的， 所以说 a 就 等于一。这一个题的这一小问设置的还是非常非常的有意思的。 现在呢，我们已经确定了 a 与 b 的 值。接下来呢，我们讨论它一阶导函数零点的个数，它的一阶导函数等于 一，减去派分之 x， 再减二分之一三 x， 我 们不妨呢将其看作 g x， 那 现在我要讨论它零点的个数呀，我们对它进行一个简单的求导， 它的导函数呢，就等于负的派分之一减去二分之一 cosine x， 那 这个函数呀，它的零点是比较难求的，所以呢，我们对它进行一个二阶导， 它的二阶导函数呢，就等于二分之一 sin x。 对于这个二阶导函数，有一个问题，我们很容易确定，就是在零到派这个区间，他一定是大于零的，那就说明啊，上面的这个函数，他在零到派这个区间是单调递增的。 下面呢，我们简单考虑一些字它端点值的情况，当 x 等于零的时候，这个记导零是等于负，派分之一减去二分之一小于零， 而这个记导派呢，它等于二分之一减去派分之一是大于零的。 那就说明在零到派这个区间，一阶导函数呢，它是存在一个零点的。当然呢，我们需要进一步精确的去限制这个零点的范围。我们不妨求记导 二分之派这个数呢，它是等于负的，派分之一也是小于零的。这样的话呢，我们就确定了它这个零点所在的这个范围啊，是在二分之派到 派这个区间。这就说明啊， g 到 x， 在 二分之 pi 到 x， 零是小于零的，而在 x 零到 pi 呢，是大于零的。于是乎，这个 g x 呀，它在 二分之 pi 到 x 零呢，是单调递减的，而在 x 零到 pi 呢，是单调递增的。那么我们想要确定零点的个数，我们就确定 g x 它端点的曲值。 我们来确定既二分之派，这个既二分之派呀，恰好是等于零的， 而既派呢，也是等于零的。那么他的图像呀，就展现出如下的特点， 在零到二分之派这个位置呢，他是单调递减的，到达二分之派的时候，恰好等于零，而在派这个位置仍然等于零。 而在二分之派到派之间呢，他存在着一个 x 零，让他在二分之派到 x 零继续单调递减，而过了 x 零之后就单调递增，所以说，他的图像会展现出这样一个趋势， 那么我们就能够确定，在零到派这个区间呢，有二分之派这个零点， 而派本身呢，又是一个零点。结合题干之中导函数的图像，关于派零中心对称，我们就知道了，二分之三派 也一定是他的零点，这样的话呢，我们就确定了他在某一个范围之内呢，一共是有三个零点的，那是不是意味着这个函数在 r 上一共就只有三个零点呢？ 接下来呢，我们来考虑富无穷到零这一个区间， 我们观察 g x 这个解析式，这里边一减二分之一 上 x 这个部分呀，利用三角函数的界限性，他一定是大于零的，而如果 x 是 从负无穷到零，那么负的派分之 x 也一定大于零， 两个大于零的数相加，也一定是一个正数，那就意味着在富无穷到零这个区间呢，不可能再存在其他的零点， 再结合对称性，那么在二分之三派之后啊，他也一定不可能存在其他的零点，所以说这个导函数的零点个数呀，就只有三个。 接下来呢，我们来看这个题目的最后一小问，如果 fm 是 等于 fn 的， 并且呢 m 小 于二分之 pi 小 于 n， 让我们去证明 m 加 n 大 于 pi， 而小于等于二 pi， 当你看到这个条件的时候呀，哎，你就会感觉非常非常的熟悉，这就是我们平时所做的即值点偏移问题的一个非常重要的表现。 下面呢，我们写出这个 f x 的 表达式， f x 的 表达式呀，我们把 a 跟 b 带进去，就是 x 减 x 的 平方比上一个二 pi 加上二分之一 cosine x。 由题干我们知道，它的导函数呢，是关于 pi 零中心对称的，那就意味着它原函数的图像一定是关于 x 等于 pi 轴对称的。这个问题啊，我们可以验证一下这个二分之一 cos x 本身。关于 x 等于派轴对称，这是显然成立的，而他前面这个部分呀，其实就是一个简单的二次函数， a 呢，是等于负的 二派分之一的，而 b 呢，是等于一的。那二次函数它的对称中方程就是负的 二 a 分 之 b。 显然呢，这个数呀，它正好等于 pi， 所以 说这个 f x 它的图像呀，是关于 x 等于 pi 轴对称的。那么我们来分析一下它图像的特点。 刚才呢，我们已经确定了，它一阶导函数呀，在负无穷到二分之 pi 这个位置呢， 是大于零的。所以元函数在负无穷到二分之派这个位置呀，是单调递增的。而在二分之派到派这个位置呢，是单调递减的。有对称性的知识，我们知道 二分之派右边呢，还有一个对称的位置，那就是二分之三派，然后呢，接着再继续单调递减，中间这个位置呀，就是 x 等于派， 他的图像呢，就表现出了如下的特征，如果 f m 想要等于 f n， 我 们就需要画这样一条横线， 由于啊，明确告诉我们 m 是 小于二分之派的，所以呢，这个位置就是 m， 而 n 呢，可以是这个数，可以是这个数，也可以是 这个数。那么由对称性的知识我们知道，当 n 最大的时候呀，他恰好出现在这个位置，也就是说，当 n 最大的时候， m 加 n 正好是 等于二派的。所以说 m 加 n 小 于等于二派，他的右边呢，是不需要你进行过于复杂的证明的，只需要通过对称性的知识一说就可以了。那么我们只要证明 m 加 n 大 于派这一边，这个奇就能给它完成。 又由于这个二分之派呀，就是它的极值点，其实这个东西啊，就等同于让你去证明 x 一 加上 x 二是大于二倍的 x 零就是一个非常典型的极值点偏移问题。 而关于这种问题的证明啊，我们直接去构造一个函数，大 f x 等于 f x 减去 f 派减 x， 这里的这个 x 呢，它是属于二分之派到派的。 我们构造这样一个函数，对它求导大 f x 的 导数，就等于小 f x 的 导数减去小 f 派减 x 的 导数，把这个东西和这个东西啊 带到一阶导函数里边，利用复合函数他的这个导数特点呢，你可以得到他这个东西，他其实就是一减三 x 这个东西是大于零的，也就是说呀，这个大 f x 呢，他在二分之派到派这个位置呀，是单独递增的， 并且呢，这个大 f 二分之派，他正好是等于零的， 那就说明大 f x 它在二分之派到派这个位置呀，是一定大于零的。而这个大 f x， 它是 f x 减去 f， 派减 x， 这个东西大于零，那就证明 f x 是 大于 f 派减 x 的。 我们把 m 和 n 给他带到里边去，就是 f m 大 于 f， 派减去一个 n， 而且我们知道这个派减 n， 它是小于二分之派的，所以啊， m 一定是大于 派减 n 的， 那么 m 加 n 就 一定大于派，这样的话呢，我们就完成了对于这个问题的证明。我认为啊，整个这张卷子最为出彩的其实就是这个题的这一问， 他把极值点偏移问题呢，与三角函数呀进行了一个巧妙的结合，并且呢搭配上了对称性。 然后呢进行了一个非常有趣的考察，这个题目我们想要解决好它，一定要立足于函数图像本身的这个特点，从函数图像进行出发去研究它就要容易的多。 接下来呢，我们来看这个第十九题，这个题目呢，是基于椭圆的光学性质出发的一个题，他说啊，椭圆的光学性质有如下的特点， 从一个焦点出发的光线经过椭圆反射之后呢，反射光线呀，要经过椭圆的另一个焦点， 已知椭圆 e， 它的左顶点是负二零点， p 一 呢，它是在椭圆 e 上的，并且呢在 x 轴的上方， 从 e 的 左焦点负一零。那么读到这的时候呢，我们就会发现呀， a 是 等于二的，而 c 呢是等于一的，所以啊，它的方程就是 x 的 平方比四加上 y 方比三等于一，我们就解决了它的第一问。 继续来读这个题目，从左焦点发出的这个光线 f 一 p 一 经过 e 反射之后，它这个反射之后的这个光线呢，一定要经过椭圆的右焦点。我们做出一个图呀，进行一个简单的示意， 这是 f 一， 我们找一个在 x 轴上方的点 p， 从 f 一 出发的这个光线经过点 p 的 反射呢，他一定要经过他另外一个焦点 f 二， 在经过 e 的 反射之后呢，他又与椭圆呢交于 q 一 这样一个点， 按照如下的方式进行构造， p n 和 q n 就是 光线 p n， q n 经过这个 e 的 反射之后呢，交它于 p n 加一， 而下一条光线再反射之后呢，又交于 q n 加一，什么意思呢？就是现在这个光线是 p e q 一， 经过 q 一 的反射之后呀，他要经过这个左焦点到达下一个位置，这个位置呢，他其实就是 p 二，而到 p 二之后呀，再反射经过右焦点到达这个位置呢，他就是 q 二， 依次类推，就是沿着这样的规律呢，持续进行反射。接下来呢，我们来看这个题目的第二问， 很多同学都反映这个题目的第二问非常非常的难，他特别特别的难想完全搞不清楚他到底是怎么一回事。那么我们详细的来介绍一下这个第二问啊，其实他有一个非常非常简洁的思路去思索， 很容易定向的去找到解决这个问题的方向。这个第二问啊，他说假设 a p n 的 斜率为 k n， 让我们去证明这个 k n 呢，它是一个等比数列，并且去求出去公比。 我们先做出一个简图，还是从刚才的这个反射的这个角度出发， 这是 f 一， 我们假设这个位置是一个 p n， 它从 f 一 出发到达 p n 之后呢， 反射要经过 f 二反射之后呢，它到达的呢，就是 q n， 再通过 q n 啊，反射到这个位置呢，它就是 p n 加一，左端点呢，它是 a。 这个题目呀，就是让我们去证明这里的 a p n 还有 a p n 加一这两个东西的斜率呢，是一个等比竖列，让我们去求出它的公比，也就是 k a p n 加一，比上 k apn 这个东西啊，它等于一个常数 q， 它让我们证明的其实就是这样一个东西。那我们怎样才能找到这个问题它的证明方向呢？ 我们把这里的 a q n 啊给它连接起来，我们观察 pn q n 这条直线，你会发现呢，这条直线它是经过右焦点 f 二的，换而言之呢，就是它经过了一个定点， 而 p n q n 这条直线啊，它有一个非常非常重要的特点，就是它们拥有一个共同的起点， 从 a 点出发的两条直线，这两条直线呢，连接起来经过一个定点，这恰好呢就符合非常有名的手电筒模型。 所谓的手电筒模型就是指在圆锥曲线的内部触发的两条直线，当这两条直线的斜率之和之积之差之商等等是一个常数的时候，那么 这条直线呢，它就一定经过一个定点。而本题最大的难点就是，我们不知道这里的 apn 它的斜率和 a q n 它的斜率，它们之间到底是用和还是差还是积还是商的方式进行连接的，就是我们不知道 哪种运算导致了这一个常数的产生。但是你仔细看这个问题啊，这个问题人家让你证明他是等比数列，刚才我们说了，他让你证明的是 k a p n 以及 k a p n 加一的比值关系，那想要证明比值关系的话，那就证明 a p n 与 a q n 它斜率之间一定是要用乘积进行连接的，那这个 a p n 加一与 a q n 加一，他们的斜率也一定是用乘积进行表达的，如果不是乘积的话，你这个部分和这个部分是没有办法约掉的。所以说这个问题我们就来证明一个事情就可以了，那就是 k a p n 乘以一个 k a q n， 它是一个常数， 并且这个常数可以导致一条直线经过左焦点，而另一条直线经过右焦点，我们就证明这一件事情。 那怎么证明呢？我们首先设这条直线，就是 p n q n， 这条直线的方程为， x 等于 t， y 加上 m。 然后呢，我们让它与三 x 的 平方加四， y 方减十二等于零进行连力， 连力的结果呢就是三七方加四， y 方加上六七 m， y 加上三 m 方减十二等于零。 这里呢，我们把它的维达定律直接写出， y 一 加 y 二等于负六七 m 比上三梯方加四。 y 一 乘以 y 二等于三 m 方减十二比上三梯方加四。 x 一 加上 x 二等于八 m 比上 三梯方加四。 x 一 乘以 x 二等于四 m 方减十二梯方比上一个三梯方加四。 那接下来呢，我们只需要写出 ap 以及 a q， 它的斜率表达式就是， y 一 比上 x 一 加二加二，那他自然就等于 y 一 y 二比上 x 一， x 二加二倍的 x 一 加 x 二再加上四。把我们刚才写的微大定律都给他带入其中。上面呢，就是三 m 方减十二，而下面呢就是四 m 方减十二， t 方 加上十六 m， 再加上十二梯方加上十六。整理上面给他提出一个三，就是三倍的 m 的 平方减去一个四， 下面呢就是四倍的 m 加二，括号外的平方。那上面呀，给他拆成三倍的 m 加二，乘以 m 减二。下面呢是四倍的 m 加二的平方约掉一个 m 加二，就是三倍的 m 减二，比上一个四倍的 m 加二。 那有了这样一个表达式，怎样完成后续的运算呢？如果这条直线它经过了右交点，那就证明呀， x 等于七， y 加 m 代入一零的时候，是恰好成立的，也就是 一等于 m 的 话，上面的这个表达式呢，就变成了， 三乘以一个一减二，比上一个四乘以一加二，也就是负的四分之一。 那如果他经过左焦点，那就是把负一零给他带入其中，而把负一零带入其中，就是三乘以负一减二，比上一个四乘以负一加二，此时呢，他是等于负的四分之九的。 那由于啊，他先经过右焦点，后经过左焦点，于是乎负的四分之九除以一个负的四分之一就等于九，所以说他的公比就等于九。 我们使用这个手电筒模型，可以啊，在最短的时间确定我们解决这个问题的核心方向。接下来呢，我们来看这个题目的第三问，让我们去证明 p 一 q 二横过定点，并且求出这个定点的坐标。 我们假设呀，这个直线的方程呢，是 x 等于 t y 加上 m， 那在第二问的证明过程之中，我们知道这里的这个 k a p 一 乘以一个 k a q 二，它呢是等于三 m 减二，比上四 m 加二的，而这个 k a p 二乘以 k a q 二呢，它是等于负的四分之一的。而我们又知道这个 k a p 二是等于九倍的 k a p 一 的。那么我们用下面这个方程去除以上面的这个方程，就可以得到 三倍的 m 减二，比上一个四倍的 m 加二呢，它是等于负的 三十六分之一的。我们去解这个 m 呀， m， 它就等于七分之十三，也就是说这个 m 呢，它是一个定值， 所以说这个直线他必定经过的点就是七分之十三零，这一问呢？其实我们就是用了第二问的这个证明结果，把这个第二问的证明结果当成一个结论，用到第三问之中就给他做出来了。

x 到二分之一次方是什么意思呢？ 我们应该如何计算呢？ x 的二分之一四方表示的是根号 x， 也就是说 x 的二分之一四方指的是一个数拆根号，但是这个数必须得是非负数。 清楚了他的意义以后，接下来我们来进行习体练习， 比如说四的二分之一，八的二分之一，九的二分之一，十的二分之一，十一的二分之一，十二的二分之一，我们怎么计算呢？四的二分之一 其实就是表示四的算数平方根，他其实就是二，八的二分之一就是八的算数平方根，我们进行 开方，就是二倍的根号，二，九的二分之一就是九，开根号 也就是三。然后这个十的二分之一呢就是根号十，这已经成最简二次根号了，直接保留就行。十一的二分之一就是根号十一，十二的二分之一呢就是根号十二，也就是根号 四乘以三，也就是根号四乘以根号三， 就是二倍的根号三。嗯，那么我们来看一下这几道习题的答案，展示 清楚了这个以后，大家可能关心这个根号 x 的图像啊，到底长什么样，对吧？因为竖型结合 是学数学最基本的方法，那我们来看一下描点法去画他的图像。首先零对应的 根号 x 是零，一对应的是一，四对应的是二，九对应的是三，十，六对应的是四，因为我方便去画图，我描的都是整数点，对吧？当然你也可以一二三四五六都可以理解了，十几亿就行。 那么接下来我们把点描上去，这个就是他的图像， 通过图像我们也可以看着，这时候 x 必须得是非负数，他才能有算数平方根而零，其实他不存在什么算数平方根，他开根号就是零。 接下来我要说的就是这三大注意事项，大家一定要注意了，只有 x 是非负数的时候，这个表达是才有意义。根号 x 啊，它表示的是 x 开二次方。很多学生常常将根号外面的数字认为是一， 需要注意的是，这里省略的是二，并不是一，也就是说根号 x 和 x 开二次方是等价的。那么接下来我给大家一个模板，对于形如啊， x 的 n 分之 m 的形式，我们就可以表示成 x 的 m 次方开 n 次方， 比如说 x 的三分之一，他就是 x 开三次方，也就是说这是一，这是三，对吧。很多时候分母分子记技巧也很简单，母亲在外面，根号的外面 分子对应的孩子在这个根号里面的次方， x 的五分之二，他也是 x 的二次方开五次方，然后这个 x 的四分之三就是 x 的三次方，开四次方，大家一定要注意啊。呃，需要注意的是啊， 只有非负数才能开偶数次方，因为一个数的偶数次方一定是非负数。

晚安玛卡巴卡。来，今天讲一下这个定义域啊，定义你就找东西就行了，找根号啊，找这个一个数的零次方，找这带零次方的，然后找 l、 o、 g、 l、 g、 l、 n， 找这仨玩意，然后最后一个找这个 分母啊，分母上面爱是啥是啥，上面不管，就找这个分母，你就找这些东西，行，找完以后就给他限定范围。那我现在比如说 y 等于三 x 这个函数，它的定义域你找吧，在这里边有根号没？没有零次方，没有 log， log 这个 log， n 这三个玩意也没有，然后分母它也没有，所以它的定义就是 r， 就是 从富无穷到穷无穷，它都能取着，它没有限定条件。 好吧，那我们换一下啊，你看分式，找分母，找零次方，找真数，找偶次根式，找偶次根式，就找这些东西，所有东西都在这了。那么给大家写一下，首先找分母这一个数分之啥，对吧？上面这个爱是啥是啥？上面不管它上面不管它下边怎么办呢？分母它叫不等于零， 你看为啥？因为你初中咱们就学过，比如说 y， 比如说零分之一，这个零是不就没意义？所以它分母这就不能等于零，所以底下这就不能等于零。第二个叫找零次方， y 等于一个数的零次方， 一个数的零次方，那么这个数里边这个数它也不等于零。哎，我们应该学过，比如说这个一的零次方可以，负一的零次方也可以，它取正的也行，取负的也行，唯独它这个里边不能是零的零次方这个玩意不行， 这是第二个。第三个叫对数的真数大于零，这个里面啊，除了最基础的以 a 为底啊，这个对数，它还可以有 l、 g， 它还可以有稍微擦一点， 它还可以有 l、 n， 那 所有的这些框框里面的这个东西，它都得大于零，大于零大于零。 然后第四个叫找偶次根式，比如说 y 等于根号下方框，那么你这个方框里的东西，它是得大于等于零的，因为我们知道可以是根号二，可以根号五， 可以根号零，但是你根号负五这个玩意根号负五，这个就没意义，在咱们现在所学的这个状态下没意义。然后最后一个叫偶次根是做分母了，就是 y 等于根号做分母了。上面还是啊，上面不管你分子爱是啥是啥不管，那偶次根根号做分母了，它又得大于等于零，它又得不等于零，所以它是大于零。 所有的这些限制条件我都给你了啊，这里分母不等于零，然后零次方不等于零，然后所有的这个真数大于零，根号底下的大于等于零，还有做分母了大于零。 所以这些给你之后，你把只要但凡式子中有的，你就列出来啊，你就列出来。这个限制条件都列出来之后，最后叫求交集，所有的限制条件列出来之后，求交集就可以了，就这么简单。我们来看两道题， 来看看这个。第二题看 long， 这咱刚说了， long 后边跟着这个方框框一减 x 他 得大于零，对吧？然后这里做分母了，做分母这个玩意，做分母应该是不等于零，所以我把这个条条框框列出来之后，我只要去求这两个的交集就行了。第一个求出来是 x 小 于一，这个求出来是 x 不 等于负一， 所以应该是小于一。往回画，然后把这个负一给它一扣，就这两段呢，无穷到负一，负一到一，所以选 b。 再往后看十一题，函数定律看有分母了，分母应该是不等于零，他有根号了，根号里头应该是大于等于零，所以我列式子应该第一个式子是 x 不 等于零，第二个式子是一减 x， 他 得大于等于零，这个不用解了。然后这个解一下，是 x 小 于等于一。 来画个图，小于等于一，并且他不等于零，不就把零给扣了吗？就是这一节和这一节唯独没有零了，那应该就是富。无穷到零并零到一，一能取得，所以一，这里是 b 曲线，这是最终的解。然后我们来再看二十一题， 来看二一题，一样的啊，来求函数它的定域。首先来看，我说了，上面不管不用看了，底下这是不是又有根号又分母，所以它这里边这一坨东西应该是大于零，那 x 直接大于六，完事了，定域你可以写成六到正，无穷可以写成区间的形式就完了。 然后接下来我们看三道题啊，这个第二题，第五题和第六题，它们分别是二四年、二五年和二六年的河北单州。原题我们来看一下二四年的，看 log 见到这玩意后边跟着这个方框，它应该是大于零， x 减三大于零， x 大 于三。选 a 来看，二五年这个根号底下的这个方框应该是大于等于零，所以五减 x 大 于等于零，这是第一个限制条件。第二个他又有一个分母呢，这个分母应该是不等于零。好了，我现在两个限制条件，我去求交集就好了。 第一个是解出来 x 小 于等于五，第二个解出来 x 不 等于二，也就是小于等于五，把二给扣了，选二 b 是吧？这个是扣的负二，扣错了。然后再看二六年的这个真题，他就不是给你看，之前二四年二五年考的都是我直接让你求他的定义，求他定义就是我只算一个就行了，二六年他考，这样考，说下列函数定义域是领导正无穷的事，也就是你得把 abcd 都算出来，他的定义域你得算四个 啊，就比较尖了，它直接考你四个定律。你先来看 a 选项，根号里头的得大于等于零， x 大 于等于零，它应该是零到正无穷，对吧？零能取着，这里的是小括号，取不着，所以 a 错了。看 b 选项 log 后边跟的这个玩意，这个方块啊，得大于零， x 大 于零，哎，这不就 x 大 于零吗？所以二 b 可以 选。那看看 c 和 d 哪错了，它是分母，分母不等于零不等于零，有负的，有正的，它应该是负穷到零，并零到正无穷 啊，两个。然后看第四 d 选项， y 等于三 x 三 x。 这里头咱们看看，也没根号，也没零次方，对吧？也没有绕的那些玩意，然后也没有分母，四个条件都没有，所以他直接全体实数都能取到。那这道题选二 b 没问题吧？学会了吗？

本视频耗时两秒，共计三百一十秒，带你一口气学完九十九种数学符号，全程助眠！无脑学习，废话少说，我们速速开始！第一个加号数学中最基础的运算符号。减号表示两数相乘。 除号表示两数相除。等号表示两边不相等。约等号表示近似相等。 小于号表示左边小于右边，大于号表示左边大于右边。第十个， 小于等于号表示不超过，大于等于号表示不低于。百分号表示百分之几，千分号 表示千分之几。无穷大，没有尽头的概念。根号表示平方根。立方根号表示三次方根。四次方根号表示四次方根。求和符号累加所有项求积符号累成所有项积分。符号 微积分的核心，二重积分对两个变量积分，三重积分对三个变量积分偏微分符号。多元函数的导数梯度算子指向函数增长最快的方向。圆周率 约等于三点一四一五九大写。 delta 表示变化量。 theta 常用来表示角度。 alpha， 希腊字母表的第一个 bet 常用于统计学。伽玛物理学中常见的符号。 five 黄金比例的象征。 omega， 希腊字母的最后一个。 所以逻辑推理的结论，因为逻辑推理的前提，垂直符号两线成直角，平行符号两线永不相交角的符号。几何学基础 度角度的单位分角度的细分单位。秒角度的更细分单位。正负号表示两种可能，负正号与正负号相反差成向量的外积运算 点成向量的内积运算属于元素，在集合中。不属于元素，不在集合中。真子集 被完全包含且不相等。真包含完全包含另一个集合子集被包含或相等。超集包含或相等并集合并两个集合交集。两个集合的公共部分空集 不含任何元素。全称量词，对所有元素成立存在量词，至少有一个不存在。没有这样的元素逻辑。非 取反操作逻辑与同时成立逻辑或至少一个成立蕴涵如果，则等价互相推出映射 从一个元素到另一个趋向极限的方向。左箭头负值操作，上箭头递增趋势，下箭头递减趋势。复合运算函数的嵌套张量机多线性代数运算值和空间的合并。 环路积分沿闭合曲线积分极限无限趋近的值。对数指数的逆运算， 自然对数以一为底。正弦函数，三角函数之一。余弦函数，三角函数之一。正切函数， 正弦除以余弦。余切函数，余弦除以正弦。正割函数，余弦的倒数。余割函数，正弦的倒数。 第八十个行列式矩阵的标量值维度，空间的自由度和映射到零的集合约话。普朗克常数，量子理学基础手写 t l。 常用于数论。实部复数的实数部分。虚部 复数的虚数部分。阿列夫无穷基数的符号。威尔斯特拉斯 p 函数 f， 古英语字母，用于微分几何补集集合之外的元素。三角形符号，几何学基础，正方形符号也表示正币菱形符号。星号，常用于标注建标伴随算子的符号。双建标 二阶标注梅花组合。数学中偶尔出现黑桃概率论的趣味符号。红星重点标记符号。

各位，一道俄罗斯竞赛题啊，敢不敢挑战一下，我们看看到底有多难啊。说根号 x 的 x 次方等于二分之根号二开四次方啊，求 x 等于多少？有同学看的这蒙了呀，不要慌啊，你注意分析一下根号 x 代表什么意思？ 根号 x 就是 x 的 二分之一次方，这个道理能不能明白？二分之一次方就是开根号的意思，那么这个括起来在 x 次方， 那不就是二分之一的 x 次方，那就是二分之一乘上 x 对 不对？逆一算基本定律，也就说左边其实就是 x 的 二分之 x 次方，这个道理能不能明白？好，等于多少呢？右边右边怎么分析？ 这个根号二不就是二的二分之一次方吗？对不对？根号二就是二的二分之一次方，除上二，那就是二的一次方，他俩相除的话，就是二的多少次方。指数是不是相减啊？就是二分之一减一，那就是负的二分之一次方， 也就说二分之根号二其实就是二的负二分之一次方，这个道理能不明白？嗯啊，他出让他再开四次方，开四次方就是四分之一次方，这个道理能不能明白？ 开四次方就是四分之一次方，开平方，他就是二分之一次方，好，那等于多少呢？二的多少次方？负的二分之一的四分之一次方，他俩是不是相乘啊？ m 一 算基本定，他俩一相乘，变成负的八分之一次方，对不对？ 这个道理能不能明白？ m 一 算基本定的哈，他等于二的负的八分之一次方， 那到了这一步有啥用呢？各位，有用啊，你看着这个字方里边有个二分之一，我左右啊，把这个二给它消掉。怎么把这个二消掉？各位，左右进行平方， 这边这边一平方，他的指数是不是相乘啊？那左边变成多少 x 的 x 次方了呀？二乘上他不就把二消掉了吗？对不对？那右边呢？右边变成二的负负多少次方？他 这是一个整体啊，二乘上他不是负的四分之一次方吗？对不对？也就说 x 的 x 次方等于二的负四分之一次方。那好，到了下一步怎么办？ 各位，我以前啊，我之前讲过一个啊，同构法，就说 x 的 x 次方如果等于 a 的 a 次方，但它结构相同， x 就 等于 a， 对 不对？那这个结构不相同啊，那怎么办？就得对它进行处理啊，怎么处理？各位注意了啊， 这个符号代表什么意思？符号代表的是导数关系，就说他是这个是等于多少呢？等于二的四分之一次方的导数。 这个道理那么远，我也可以理解。为什么二的负一次方，二的负一次方再乘上四分之一次方，这一步能不能看明白？负的四分之一次方就是负一的次方，再进行四分之一次方，二的负一次方不就是二分之一吗？各位， 是不二分之一啊，这一步必须搞明白啊，这个符号就是他的导数，也就是说 x 的 x 次方，现在化简成二分之一的四分之一次方。好，那下一步怎么办？ 这结构还不相同啊？一个二分之一，一个四分之一，那怎么办？拆，怎么给他拆？你看怎么拆啊？注意这个诀窍啊， 这个四分之一我可以拆成什么？你看啊，二分之一不动啊，四分之一我可以拆成什么？二乘上八分之一，这是不是四分之一啊？但拆成这个有什么用呢？ 啊？好像也没啥用，二乘八分之一也可以给他拆成三乘多少十二分之一， 那又有什么用呢啊？这个拆成这个带进去好像也不行。那再给他拆呢？我给他拆成四乘十六分之一， 就是二分之一的四乘十六分之一，你看四乘十六分之一不还是四分之一吗？哎，拆成这个就可以了，你看为什么？二分之一的四四次方等于多少？各位，二分之一的四次方就是十六分之一啊， 是不是十六分之一，二分之一的四次方就十六分之一，所以它就等于十六分之一的 r 十六分之一次方。也就是说 x 的 x 次方就等于十六的十六分之一的十六分之一次方。那 x 是 不是等于 r 十六分之一啊？ 不相信，俺给他带过去试一下。所以会的方法很简单啊。最后给大家推荐一套书啊，这套书呢叫初中数学压轴题，里面有几何的有函数的啊，都是中考常见的题型啊，难度都比较大，但是会的方法也很简单。所以说平常练难题啊，一定要多练啊各位。