不完备性定理公式大全

歌德尔不完备定理一个激露了整个数学界的发现，诡异却又合理。说到歌德尔，绝对是数学界的一朵奇葩，但却是天才的奇葩，因为别的数学家都在立正数学有多完美，而歌德尔却偏偏证明了数学有多不完美。 叛逆的举动发生于一九三一年，哥德尔证明了算术系统的不完备性，这也就是大名鼎鼎的哥德尔不完备性定理，至今。这是数学领域最令人震惊的发现。这个理论表明，无论算术系统的形式规则是如何制定的，总会有一些算术公理无法通过规则来证明。 最简单的例子就是简单的皮压络，算术系统的关系式，也就是小学生都知道的二加二等于四。如此简单却又不正字明的东西，哥德尔非要说他不完备，而要效出这种不完备的唯一方法，似乎只能是重置规则，使其自相矛盾。但这似乎并不是一个完美的解决方案，说白了就是哥德尔指出 数学中的有些真实性无法被证明。此言一出，举世皆惊，尤其是数学界，简直掀起了惊涛骇浪，几乎所有数学家都被激怒了，因为数学家们都倾向于认为所有真实的事物都可以被证明。 阿杰认为所有重要的事物都应该能够被证明，因为只有通过清晰的规则，明确的严格证明才能带来确定性。可惜的是，即便所有数学家都反对戈德尔，但却没人能够证明他是错的。戈德尔不完备性定理也因此被认为是二十世纪最有意义的数学真理，闪耀于整个数学界。

数学一直以来都是人们探索自然规律和认知世界的工具之一，而歌德尔不完备定理则是数学领域中一项非常具有影响力的成果，他揭示了数学中的深刻本质，并引领着人们对于真理与现实的认知不断前进。 歌德尔不完备定理是二十世纪数学家歌德尔提出的一项定理，它的核心内容是关于公理系统的可完备性问题。在一定的公理系统下，如果存在一个命题，既不能被证明也不能被证明，那么这个公理系统就是不完备的。 歌德尔不完被定理的意义在于，他说明了数学的基础并不是完全确定的业绩，数学并不是绝对真理的体系。然而，歌德尔不完被定理并不仅仅是数学领域的一项成果， 他在哲学、计算机科学等领域都有着深刻的影响。在哲学方面，哥德尔不完备定理引领人们对于真理和认识论的讨论。在计算机科学方面，哥德尔不完备定理则对计算机科学的发展产生了深远的影响。 那么，哥德尔不完被定理是如何被证明的呢？哥德尔证明定理的方法非常复杂，他涉及到了刑事系统、 原数学、字纸和地规等多个概念和技术，在此不便详细介绍，感兴趣的读者可以深入学习哥德尔不完被定理的相关内容。最后，哥德尔不完被定理的出现揭示了数学的深刻本质， 并推动了数学、哲学、计算机科学等领域的研究。他告诉我们，现实并非是简单完美确定的，我们需要持续的探索、发现、理解，以更好的认知世界，开拓未来。

今天来给大家讲一个专业性比较强的问题，就是我们在数学分析里面都学过完备性这个概念，那这个完备性到底是什么意思呢？我们为什么说有理数级不是完备的，而实数级是完备的呢？ 首先我先从一个通俗的角度来解释一下哈，一个数级 a 是完备的，指的就是当你把 a 中每一个数都标在数轴上，那么它组成的这个图形是一个连贯的，没有缝隙的。 那从这个角度来理解有理数及闪然就不是完备的，因为你把所有的有理数给它标在数轴上，那它中间还是存在空隙的呀，每一个无理数其实就是一个空隙吧。 反过来实数级就是完备的呀，因为所有的实数就能够铺满整个数轴，也就是说实数组成的图形就是一条连续的直线，所以我们在这个角度上说实数是完备的，这个只是从通俗的角度来理解 完备性。那完备性正式的定义是什么呢？我再来提供两种角度。第一个角度是从序关系的角度，我们知道任意两个实数之间是可以比较大小的，所以实数级其实就构成了一个全序级。 那么对于一个给定的数据 a， 如果 a 的任意一个飞空的有上届的子籍，我们都可以在 a 中找到他的最小上届，则称这样的 a 是一个完备的。 好，接下来我们来论证一下，有理数集他就不是完备的，因为我们可以找到一个有理数的子集，一一点四一点四一一点四一四点点点点点，他其实就是由根号二的前有限位小数组成的这样一个集合， 这个集合中的每一个数都是有理数，所以他是一个有理数的子集，并且呢，他还是一个有上届的，因为显然一点五就是他的一个上届。但是啊，我们却无法 在有理数集中找到一个他的最小上届，因为他真正的最小上届是根号二啊。但是根号二呢，又不是有理数。这样一来，我就论证了，有理数级其实就不是完备的。那实数级一定是完备的，因为实数级的任何非空有上届的子级，一定存在一个实数作为他的最小上届， 这个其实就是我们学过的确切原理，所以实数级是完备的。刚才是第一个角度，接下来我从第二个角度来解释一下。首先我们要理解一个概念，叫做柯西数列， 那什么叫科西数列呢？如果你学过数学分析就比较好理解，就是给你一串数列 a n， 如果对于任意的 apc 龙大于零，都存在某个大 n 大于零，使得当任意的小 m 和小 n 大于大 n 的时候， 都有 a n 减 a m 的绝对值小于 excel， 那这样的数列就称为叫做科系数列。好，有了科系数列这个概念之后， 那我们就以他为基础来定一下数级的完备性。对于一个给定的数级 a， 如果任意一串由 a 中的元素所组成的科期数列，他都收敛于 a 中的某一个点，那么这样的 a 就称为是具有完备性的 方道里。按照这个定义，我们也可以论证出来，尤里数集不是晚辈的。还是举刚才那个例子啊，一一点四，一点四，一一点四一四等等等等， 这个其实就是一个由有理数所组成的科技序列呀，但他不收敛于有理数中的任何一个点，因为他真正收敛的点是根号二啊。由极限的唯一性得知，他只能收敛于根号二，收敛不也要其他的数啊。而根号二呢，又不是一个有理数，所以他不可能收敛于有理数中的任何一个点。 那这样一来，游历数级就不是完备的了。但是十数级一定是完备的。为什么呀？因为我们有科西收练准则保证的呀。科西收练准则说的什么呀？任 一串科学系列都收敛于某个时数，那这个意思不就是时数级是完备性的意思吗？那我刚才讲的是数的完备性。那这个完备性呢？还可以向抽象的空间中推广。 比如我们在范函分析里边会学到，完备的复范线性空间就是一个巴拿特空间，完备的内机空间就是一个希尔伯特空间。所以如果你能理解了实数的完备性，那么再去理解范函分析里边这些抽象的空间的概念就比较容易了。

来，今天咱们要讲两块内容，第一块，三角形面积公式的推论。第二块，角平分线性质定理。听起来好像特别的频繁，但是它的用处是非常大的，能帮助我们解决一大类问题。 首先我们先来看一看在我们整个初中阶段，三角形的面积除了二分之一的底层高以外，我们还能如何来表示呢？首先呢，我们先画出一个三角形，这个三角形是随机的 三角形 abc， 我们现在经过点 a 向 bc 引一条垂线，咱们叫做 ad， 那么我们知道三角形的面积必然是二分之一的底层高，这个你们都会，咱们先把它写出来， s 等于二分之一的 bc 乘以 ad， 那么此时大家要观察的是 ad 这段线段，他记在 abd 这个直角三角形中，同时也在 acd 这个直角三角形中。所以呀，我们能不能把 ad 进行一个代换呢？ ad 既然在直角三角形中了，他就可以用角 b 的正弦直 ab 的乘积来进行表示，也就是说 ab 等于 ab 乘上赛印缴币。同 同样的道理，在三角形 acd 中也能进行代换，他就应该变成了 ac 乘以赛引 c 叫 c。 得到这两个式子以后，大家来观察，那么他表明了一件什么事情？我们三角形的面积公式 可以统一的写成二分之一的临边的乘积乘以加角的正先值，这个事我们知道了以后， 回到咱们第二个问题中，我现在要说明的是，在三角形 abc 中啊，有一条线 ad， 这条线 ad 是 b ac 的角平分线。那么 知道了缴兵分线以后，我们能得到什么样子的结论呢？大家来注意观察三角形 b、 ad 和三角形 adc 这两个三角形的面积的比是和谁直接相关的？三、 三角形 abd 的面积比上三角形 acd 的面积，大家会发现 abd 和 acd 是共高的，那么他们的笔就是底的笔，也 也就是说等于 bd 等除以 cd。 得到了这个式子以后，我们再来看 abd 的面积，由我们刚才说的面积公式的推论，他又可以写成，注意，二分 之一的林边的乘积在乘上加角的正弦值，二分之一的 ab 乘 led， 再乘以三 塞印角一。同样的道理，我们 cd 所对应的面积，三角形 acd 的面积二分之一的 ac 乘以 ad， 再乘以赛印角二。已知中，我们知道了 ad 是角平分线，说明角一和角二一定相等。既然相等三角一、三角二被约掉，二分之 b， 二分之一以及 a、 d 和 a、 d 都被约掉了，那么我们得到的最终结果是， b、 d 比上 c、 d 等于 a， b 比上 a dc。 也就是说，大家观察啊，这一段和这一段的比，恰好应该等于这一侧的边和这一侧边的 笔。也就是说，如果你现在考试中遇到了一道选择或者填空题，告诉你了 a、 d 的角平分线， b、 d 是一份， a、 c、 d 是两份，那么 a、 b 和 a、 c 的比是谁呢？就是一比二， 我们可以秒出答案，直接就能够解决问题了。对于今天说的两个内容，第一，三角形面积公式的推论，第二，三角形角平分线性质定理，这两件事大家务必要学会下课。

这是被夜思定理的公式，这个公式可以预测将来谁会用被夜思定理，谁就能活成那个男人的样子。 我只想 这个公式看起来相当头疼，我们换个方式就不头疼了。 你对未来的预测等于内心的信念成以新知识的修正。微笑的女神对你有多爱？首先，你必须有个内心的信念，你要相信女神对你有百分之一百的爱，但考虑到人神的身份悬殊， 你要把这个信念降到百分之五十。接下来，我们需要更多的新知识。首先，我们调查了女神的闺蜜，并得到女神是一个高冷的人，平时不苟言笑， 上网查找，得到一条令你满意的新知识。女生的微笑通常只会送给让自己留下美好印象的男人。用这个新知识进行计算，得出女神爱你的几率将增加一点五倍。带入被夜思公示后，女神将有百分之七十五的可能性是爱你的 你。善良的哥们听说此事后，马上告诉你，女神最近开了一个新账户，为了涨粉，一改高冷为亲民，到处求关注，所以他可能对每个人都报以热情的微笑。 上网查找，你得到一个令人沮丧的新知识。女人对你微笑，不代表喜欢你。用这个新知识进行计算，得出女神爱你的几率仅有零点一倍。带入被夜思公示后，女神爱 你的几率变得仅有百分之五吗？在巨大的打击之下，你决定亲自向女神求证，可女神告诉你，他从来没有申请任何账号，自己关注的只有学业和前途。于是你对朋友的谣言非常气愤， 上网查询一番，获得了新的知识。当你感受到了自己特别看重的亲密关系，遭受外来的竞争而引发的危险，你就会产生嫉妒。经过计算得出 你朋友对你的爱意可能是两倍。将其带入公示，得出哥们爱你的几率为百分之一百。 现在我们来做个练习，国民女神古艾琳对你微笑了，他爱你的几率是多少呢？

这道二零一九年初二的不定积分考题，最关键就要求 abcd， 那么一般来讲呢，我们都是通分在比较系数，但那样做就比较慢。那我们给大家介绍一个方法叫留数法。 我们怎么求 a 呢？我们套用这个流数地的公式，令 fx 乘以 x 减一的平方，再求导带入 x， c 一立刻求出 a 等于负二。 怎么求 b 呢？我们用 f x 乘以 x 减一的平方，再带 x， c 一得出 b 等于三， a、 b 都有了， c， d 不能用，流出 d 里。那这个时候呢，我们就用复制法，我们令 x c 零和 x n 二得出关于 c d 的方程，从而解除 c d 二， d 等于一。这个时候呢，不定积分就可以立刻做出来了。

大家好，今天我们来讲一下不定几分钟的分部积分法，实际上这就是一个定理，这个定理是怎么说的呢？假设这个 u 和微都是关于 x 的连续函数，并且他的导数都是连续的，那么就会有这样一个结论， 简单来说的话就是 u 乘 d v， 注意外头有一个不定积分这样一个符号啊，他就是等于这个 u v， 然后再减去这个 v d u 的，就这样来写，关键是他怎么去证明，其实还是比较好证的啊。大家知道微分的话，两个函数乘积 微和微，我就简单写了啊，优成微，那么微分的话，他实际上肯定是等于这样的，相片左边或者相片右边中间加起来就行了吧。接下来左两边取什么？取这样一个积分运算，左边的话就这样一个结果，这个积分和微分实际上是互为利运算的话，其实这样 个部分的整体，他最后算出来就是优成威，那优边的话其实就好说了，威帝优这样一个不定积分，再加上优帝威这样一个不定积分，这不就得出来了吗？因为左边就是谁啊，左边神将就是优威。那 接下来改一下顺序不就行了？改一下顺序的话，就是单独把画圈这一部分这样一个，由 dv 移到等号一边，另外的话都移到等号另外一边，那就是有微再减去谁啊？微 du 这样一个积分嘛，这不就正完了吗？是不是跟原来这样一个定理，长得一模一样，就是长得一模一样。 那有了这样一个好处是什么呢？就是当你在积分的时候啊，你可以观察前半部分和后半部分，这个 u 和 v 究竟哪个更容易积分一些？你就来一个 dc， 要么 du， 要么 dv， 其实都可以，为什么？因为你也知道画圈这两部分是可以互相调换顺序， 究竟是先 dv 还是先 du？ 这个具体情况具体分析，咱们先来看第一道，第一道的话，你说先 d 谁啊？好说嘛，因为你这个口三啊， x， 他实际上是谁的导航书啊？ 因为三片完了之后就是扣三，所以说我后边就是画圈的这样一个整体，还不如直接写成什么，直接写成这样的 d 三好。写成这样一个形式以后，根据刚才这个分布积分法， 这是一个函数，这也是一个函数，它等于 v 乘以，那不就是 x 乘三 x， 然后中间是减号啊，然后再来一个三 x dx 来三 x， 他的原函数是什么？首先我们把这样一个负号呢移到里头去，现在应该清楚了吧，谁啊？负三 x 的原函数就是扣三片，就等于他呀，所以就很简 简单了，他等于 x， 三 x， 再加上谁，再加上口三 x， 最后别忘了加上这个常数 c 啊，为什么？因为人家是不定积分。来看第二题吧，其实第一题会了立二也非常简单。都一样 来哪一部分啊？有人说老师这一部分，呃，求导求集还是比较容易的。这一部分不好说吧，那换一下顺序呗。那就换成 love on x 乘 x。 我画圈部分现在好说了吧，这个画圈部分我们给他整理到一块，实际上他就是谁呢？他就是二分之 x 方这样一个导航数嘛，对吧？这样一个微分写成这个符号以后，这就是 u， 这就是微完了。 l n x， 首先写成二分之 x 方乘 l n x 中间是减号，然后再来什么？再来 l 分之 x 方 d 老按 x， 你说老按 x， 这样一个微分是多少啊？我们根据微分公式，它实际上就是 x 分之一，再来一个 d x 嘛，整理一下，那实际上就是二分之 x， 多简单呢？二分之 x 方 l x 再减减多少？这个好说了吧，密函数的积分公式，积分表还记得吧？ 四分之二 x 平方，然后再加上什么？注意啊，再加上常数 c， 这就结束了啊。这是第二题，第一题会了，第二题就会了， 但是往往很多题目他不是这么简单的。我们来看一个稍微难一点点的，这个立三的话，确实有难度。分子分母都有这个口子案，关键是这个分子的话，他实际上还是这样一个复合函数的形式，内层是一个口子案，外层是一个捞。嗯，那他怎么办？嗯，你也别着急， 有人说换元不用换元的啊，你说这个口算方，他实际上是谁啊？他不就是正歌吗？ s e c。 哦，那 s e c 他的原函数，我们观察到这个摊正的片之后呢？他实际上就是 s e c 的平方。那这道题实际我们应该这么来写， 我们形成这样一个形式啊，这个 loven 口算多少？口算 x， 我们单独的呢？把它写出来， 然后口算方分之一。注意啊，口算方分之一，你给他写成什么形式？写上 s e c 平方，写成三个平方的形式。你画圈部分呢，就是谁的微分啊？实际上就是他人的微分，所以我们再改一下，你马上就会了， 不就是劳恩口三 x 再长谁的威风贪着他 x 的威风？所以说 记分表和微分表是不是都得熟练掌握才行啊？接下来再往下写就容易了，这个画圈部分就是 u， 这个画圈部分就是微呗。第一步是什么？ u 乘 v 瞬间就是摊成的 x 乘捞 n 扣三 x。 这一步其实没啥可说的，我们关键是往后坐， 往后坐的话中间是减号吧。根据复合函数的求导法则，实际上这个也好说，首先外层求导是他，然后内层求导的话是负的三，对吧？负的三我们来一个负得正就行了啊，因为最外头有一个负号，就变成了这样一个形式。变成这个形式以后的话，大家继续来看啊， 你说这个贪政的是什么？这个贪政他不也是多少？他不也是三 x 再乘谁再除这个口算？那么再改一下写法，那改成这个写法以后有什么用呢？我们发现三方和口三方之间有 有一个等量关系啊，一减口散方，改一下这个分子的形式，改成这个结果应该就清楚了吧。为什么？因为画圈这个部分他可以改成口散方分之一，再减去一啊， 为什么改成这种形式？你看口三方分之一刚刚说过，他实际上就是正哥，平方减去正哥是谁的导航书啊？正哥他是贪正的导航书，所以说接下来我就不想起写了啊，你运算一下就行，他就等于贪正的 x 乘捞 n q 三 x 前头抄一遍， 加上什么？加上看着他 x， 但中间这是个减号啊，有个减去一嘛，减一的话，你说减去这个一 dx 得多少？那不就是 x 吗？最后加上这个长数 c， 因为是不定积分，然后这个题呢，就减完了，这个还是有难度的，下去你再自己做一遍这个立四 的话，他是这么说啊，原函数和反函数，他说呢，这个 fx 是单调，连续，单调，连续，为什么要单调啊？原因很简单，你这个函数什么样的函数他才有反函数？他不仅要求 x 对外是唯一的，还要求这个外对 x 也是唯一的，只有 x 和 y 都是一一对应的关系的时候，才能够有法案数，他其实就这样一个前提啊，有法案数。然后呢，又告诉你了， 他的不定积分是这个大 fx 加上 c， 也就是什么，以这条件里头他的形式，他的形式，还有这个大 f 都是告诉你的，现在让你求他反函数的不定积分， 这个反函数不定积分怎么办呢？别着急，其实就跟夫妇得正一样，我来一个圆函数的计算，然后这个里头的话，再来一个反函 的计算，负负得正吗？再反两次，就跟硬币一样，你反一下，再反一下，又变成原来那一面了。所以说他就是这样一个结果，这个清楚吧，一定得知道这样一个等式，那接下来咱们就好办了。所以他让你求的这样一个不定积分，反函数的不定积分啊，我们把谁 这一部分他不就有吗？这一部分不就是微吗？首先根据分母基本法，他就是等于这样一个结果， 别忘了这个 x 等于什么，你 x 我们换成谁啊？我们把等号右边这样一个整体呢，给 换到 x 这个位置。接下来我再写清楚一点，你应该就知道他是什么含义了，写呗，那变成这个样子又有什么用呢？你不要忘了已知条件里头人家还有这样一个元函数大 fx 吧。实际上大 fx 片之后不就是这样一个结果呀，当你 得出这个公式来之后，我们还不如把这样一部分直接换成什么大 f 片呢。改成这个结果以后，你发现这是微分吧，然后这是积分吧，然后这个方块里头长的又一模一样，你为啥不把这个方块里头这两个圈看成 t 呢？那现在就非常简单了，我们直接写 x， 这样乘这样一个反函数，再减去大 f f 负一，就这样写，最后再加上长数 c 就结束了。现在你应该知道反函数如何去积分了吧。实际上这道题的结论，你可以把它当成公式来直接用的啊。分享课堂知识，感受数学之美！我是杨帆老师，下集和再见！

可是希尔伯特命苦，他一九三零年发表了这个著名演讲。之后呢？情义年一九三一年的时候，一个名不见经传的小人物叫哥德尔，发表了一篇学术论文，标题叫不完备性定理的证明。哥德尔说你想建立一套完备的数学形式体系， 无一遗漏的描述世界，这个体系还没找到呢。哥德尔也做了一项工作，说我已经用数学证明了，人类不可能建立一套完备的数学体系来无一遗漏的描述世界，这叫不完备性。 这个世界数学天生存在不完美形。这个希尔伯特惨了，我刚要建立体系第二年，就说我已经证明了这个体系不能见了，这事黄了。所以跨世的哥德尔的伟大的贡献，就是在数学领域告诉我们，人类不可能对世界做出普遍性 的理解。但是哥德尔没有引起大家的注意，尤其他的论文，几乎没有人能看得懂，只有数学家还能看得懂。哥德尔也没有什么名， 但是在二零零四年的时候，把哥德尔把人骨骼里面一打，哥德尔跟霍金窜在一起了，出来的全是哥德尔跟霍金。我说查哥德尔怎么这么多霍金呢？刚才把这个网页打开一看，才发现物理界也出大事了。 霍金先生二零零二年就在北京，想告诉大家就是歌多尔先生的不完备性数学定理，在物理学当中同样使用。 老师回忆当年现场听霍金的讲座，说这位生产之间的先生坐着轮椅就上来了。他也就上面这块还有点感觉，下面却没感觉了。只听到嗓子，眼里嗯嗯嗯拿助手点点头，就开始用 ppt 讲他讲的。跟他说的是一回事吗？也不知道，反正就听他嗯嗯嗯助手一顿讲。