中位线定理证明方法

待你完全理解中蔚县定理，基于这种思想方法，三则更为简洁。证明过程如下延长 d、 e 到点， f 是 e， f 等于 d， e 连接 f、 c、 d、 c、 a、 f 则有四边形 cataf 对角线相互平分，所以四边形 ctaf 为平行四边形，从而有 cf 平行且等于 ad， 于是 zf 平行且等于 b、 d 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据平行四边形 b、 d、 fc 的性质有 df 平行且等于 bc， 所以 d、 e 平行且等于 bc 的一半。三种方法均背长了中位线，再利用平行四边形的判定和性质，正得结论。 这片是三角形中位线定理。三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

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同学们好，我是张老师啊，今天一起来学习一下中卫线定理啊，我们并一起证明他什么叫中卫线定理，就是说在一个三角形中啊，他的两条边的中点的连线啊，就是叫中卫线， 然后这个中位线有什么？呃，定理，就是说他平行于第三边，平行于第三边，而且等于他的一半啊，就是他的一个定理，我们今天就要证明他，好，我们现在看这个三角形 abc， 第一是 ab 的终点，一是 ab 的终点，现在我们要证明低于平行率，低于平行率，必须啊，并且低于等于二分之一的必须啊，我们要证明这一个， 好，我们先过这个西点做一条平行线，平行于 ab 的，然后把第一延长这里交一个点，叫 f 交于 f 啊，首先啊，第一个，因为啊，这里平平衡，我们可以得到角， a 是等于这个 fc a 的，这是第一个。第二个啊， a 是等于 e c， 然后这个角也相当，所以说我们可以很容易第一个，很容易的得到三角形 a， d 是全等于三角形 c， e， f。 好，我们很容易证明这两个存档，所以说我们可以推出第一是等于 e， f 的，第一 等于 a， f， 这是第一个。还有 ad 啊，等于 ac， 这两个 ad 等于 c f 好了，因为 a， d 啊， d 是 a b 的重点是不是 a， d 是等于 b d 的啊，我们可以又退出 b， d 是等于这个 cf 好了，这两个相等之后啊，他们两个又平衡，我们就可以得到这个四边形 cb， d， f， 这是平衡四边形。 好了，得到他是平衡，平平行四边形，那就很简单了，就第二幅，我们再推出第二幅，是等于这个必须 平行四边形啊，对边是相同的，因为刚刚也说到了，第一是等于 f 的第三，一 f 两个相当，所以说这个第一啊就等于二分之一， 第二幅等于二分之一的笔写好。所以说啊，我们这里就证明了三角形的中位线的定理，他的中位线平行于第三边，而且等于他的一半。

小枝家在一个湖的东边，而湖的西边有一家甜品店，从小枝的房间可以看到甜品店。 周末，小智邀请小芬来他家写作业。写着写着，在数学题海中迷失方向的小芬突然变成了诗人，看着远处的甜品店说， 世界上最遥远的距离不是生与死，而是甜品明明就在眼前，却只能与之隔湖相望。听到如此感慨，小知想到了一道题， 小飞，你知道怎样测出我家和甜品店之间的距离吗？同学们，你们知道怎样测出来吗？方法也许不止一种，今天我们就来讲讲其中的一种。不过在 之前，我们要先利用平行四边形研究一下三角形的有关问题哦。我们知道，把一条线段分成两条相等的线段的点叫做中点。在三角形中，从某一边的中点连向对角的顶点的线段叫做中线。 那连接三角形两边终点的线段叫做什么呢？没错，连接三角形两边终点的线段叫做三角形的中位线。 如图，在三角形 abc 中， de 分别是 abac 的终点连接 de， 而 de 就是三角形 abc 的一条中位线。 那一个三角形有多少条中位线呢？大家来连一连吧！通过实践，大家会发现一个三角形有三条 中位线。接下来请大家仔细观察三角形 abc 的中位线。第一，河边 bc 有什么不得了的猜想吗？华华老师有一个大胆的猜想呦，那就是 d 一平行于 bc， 第一等于二分之一 bc， 口说无凭，不如证明，那我们一起来证明一下吧！ 如图，第一分别是 abac 的终点球证，第一，平行于 bc， 且第一等于二分之一 bc。 大家看，我们可以延长第一到点 f 是 ef， 等于第一 连接 f， c、 d、 c、 a、 f 在四边形 a、 d、 c、 f 中，因为 a 一等于一 c 第一等于 e、 f， 也就是对角线互相平分， 所以四边形 a、 d、 c、 f 是平行四边形， c、 f 平行且等于 d、 a， 所以 c、 f 平行且等于 b、 d 及一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形 dbcf 是平行四边形。根据平行四边形的性质， df 平行且等于 bc。 用第一等于二分之一 df， 所以第一平行于 bc， 且第一等于二分之一 bc。 通过上述证明，我们可以得到三角形的中位线定理。三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。知道了三角形的中位线定理，那大家知道怎样测出小指甲和 和甜品店之间的距离了吗？没错，如图，我们可以用字母 ab 分别表示小之家和甜品店， 然后在 aby 选一点 c 连接 ac 与 bc， 然后找出 ac 与 bc 的终点，并连接两边的终点，然后度量出中位线的长度乘二，就可以知道小芝加和甜品店之间的距离是多少了。 同学们讲了这么多，你们还记得花花老师讲了什么吗？没错，讲了三角形中卫线的定义和三角形的。

同学们好，今天我们一起来学习三角形的中规线定理。从前有一位老年人，在他临终时，四个儿子围在床前，他对儿子们说，咱家只有一块形似三角形的地，你们哥四个拿去分了吧。 老大，你为人最正直公正，你主持把地分了吧！ 老人勉强说完这几句就去世了。四兄弟执行遗嘱时，前思后想，也想不到好的办法，于是老大就去村东头向刘辉先生求助。刘辉先生说， 取三角形三边的终点依次连接三个终点，得出的四个小三角形地皮就是你们想要的。 同学们想一想，此方法做出的四个小三角形大小、形状一定一样吗？这也是本节课我们将要探索的问题。三角形的中位线定 现请同学们拿出自己已经准备好的三角形纸板反复拼剪。试想怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分层的两部分能拼成一个平行四边形？ 那通过同学们的反复剪切，我们发现什么？ 对，只有原则三角形的中位线剪切的时候，那么我们所得的两部分才能拼成一个平行四边形。那现在请同学们来证明一下你们的猜想。 如图，因为三角形 a、 d 一全等于三角形 c、 f 一，所以 a、 d 等于 c、 f 角， a、 d 一等于角 f， 所以 b、 d 平行 c、 f， 又因为 a、 d 等于 b、 d 等量代换 b、 d 就等于 c、 f， 所以四边形 bc、 fd 是平行四边形。好，从而我们证明了我们的猜想是怎样正确的。那同学们根据以上的猜想，同学们再来想一想，三角形 abc 的中位线 d、 e 与 b、 c 有怎样的位置关系？又有怎样的数量关系？为什么？ 因为四边形 b、 c、 f、 d 是平行四边形，所以 d、 f 平行且等于 b、 c， 所以得到 b 一平行 b、 c。 又因为三角形 ade 全等于三角形 cfe， 所以我们得到 de 等于 ef， 所以 de 等于二。

你知道三角形有哪些常用的定理吗？今天出个合集送给大家。两边之和大于第三边，首先我们绘制一个三角形，他们的边长分别是 abc， 我们想象一下，如果用力下压这个三角形，我们就会发现三角形被逐渐的压扁，直到被压成一条直线的时候， 已经不是三角形了，所以两边之和必须大于第三边，这样才能构成三角形。如果我们把 c 这条边拉长之后，就会发现 c 减 a 是两边的差大于第三边，这个时候更加不能构成三角形，所以两边之差小于第三边才能构成三角形。 内角和为什么是一百八十度？先绘制三角形，三个内角分别是角 a、 角 b、 角 c。 我们在两条边上取终点横线，并把等长的线段进行标记，然后我们沿着虚线进行折叠，左右 两边分别构成了两个等腰三角形。等腰三角形两个底角相等，所以角 a 加角 b 加角 c 等于一百八十度。当然你也可以将左右的两个等腰三角形做高，然后沿着高进行折叠，你就会得到一个矩形， 所以三角形的内角和是一百八十度。我们来看一下中位线定理，其实我们刚才求证内角和的时候已经可以论证了，黄色虚线就是三角形的中位线。折叠后，两个等腰三角形做高后，就会把底边进行满分，最后折叠后是矩形， 所以得到中卫线定理，中卫线平行底边，并且是底边的一半角。平分线定理，我们先做三角形 a、 b、 c， 然后做角 a 的平分线。我们做标记，角一与 b、 c 的交点为 d， 过 c 点做 a、 b 的平行线，延长 a、 d 后就会有一个交点。一、由于 a、 b 平行， c、 e 内错角相等，所以角 ac 也等于角一角 adb 与角 cd 是对顶角相的，我们标记为角。二，这样你就会发现三角形 add 与三角形 cd 相似， 所以 a、 b 比 c、 e 等于 b， d 比 d， c。 由于 c、 e 与 a、 c 相等，所以我们就得到了角平分线定理。 a、 b 比 a、 c 等于 b， d 比 d、 c。 这个表达式是对称的，比较容易记住。 勾股定理，我们先绘制一个直角三角形，两个锐角分别是角 a 和角 b， 他们的边长分别为 a、 b、 c， 我们将它复制一份，然后旋转九十度，再拼接，再重复两次。这个步骤我们发现中间的正方形是我们旋转得到的，所以一定是正方形。 我们再看外面的大正方形，由于角 a 加角 b 等于九十度，再加上一个直角就是一百八十度，所以 他们的直角边也在同一条直线上，所以外围的也是正方形。大正方形的面积边长是 a 加 b， 我们就可以求出大正方形的面积，也可以用四个直角三角形的面积加上小正方形的面积化减后，我们就会得到 a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方。 本次采用了经典的必达格拉斯正法，所以勾股定理也叫必达格拉斯定理。中线定理，我们先绘制三角形 a、 b、 c， 然后地位 b、 c 的终点连接 d 做高 a、 e， 这样你就会得到三个直角三角形。多次运用勾股定理代换，就会得到 a、 b 的平方加 a， c 的平方等于两倍的 b， d 平方加两倍的 a、 d 平方。正弦定理，先绘制三角形 a、 b、 c 边长分别是 a、 b、 c。 我们过了一点过高 h 杂音 b 等于 h， b、 c 撒硬 c 等于 h， b、 b 变形后就会得到 b、 b 撒硬 b 等于 c 比撒硬 c。 同理，我们再把其他两条高补上，就会得到正弦定理， a、 b 撒硬 a 等于 b， b 撒硬 b 等于 c， b 撒硬 c。 余弦定理， 我们还是先绘制三角形 a、 b、 c 三边边长分别是 a、 b、 c。 过 a 点做高位置，我们设 b， d 为 x， 那么 d、 c 的长度就是 a 减 x 左右两边各位直角三角形，所以三角形 a、 b、 c 的高可以根据两边的直角三角形运用勾股定理表达， 所以就可以得到这个方程我们很轻松就可以计算出 x 的表达式，而 x 的另外一种表达方式就是 cosin b 乘以 c， 然后我们就会得到余弦定理，同理，我们还可以得到另外两个余弦公式。余弦定理也是容易记住的。塞瓦定理， 我们先绘制三角形 abc 或为三角形内的任一点，三个顶点连接右点并延长后，与对变的焦点分别是 d， yeah， 由此可得 a 一比一， b 乘以 bd 比， dc 乘以 cfbe 等于一。这个就是赛瓦定理。通过面积比例代换可以证明赛瓦定理。赛瓦定理的书写就是逆时针顺序，这样比较好记忆。关注我，提升思维。

同学们好，今天我们一起来学习三角形的中规线定理。从前有一位老年人，在他临终时，四个儿子围在床前，他对儿子们说， 咱家只有一块行四三角形的地，你们哥四个拿去分了吧。老大，你为人最政治公正，你主持把地分了吧！ 老人勉强说完这几句就去世了。四兄弟执行遗嘱时，前思后想，也想不到好的办法，于是老大就去村东头向刘辉先生求助。刘辉先生说， 取三角形三边的终点依次连接三个终点，得出的四个小三角形地皮就是你们想要的。 同学们想一想，此方法做出的四个小三角形大小形状一定一样吗？这也是本节课我们将要探索的问题。三角形的中位线定 现请同学们拿出自己已经准备好的三角形纸板，反复拼浅试想怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形。 那通过同学们的反复剪切，我们发现什么？ 对，只有原则三角形的中位线剪切的时候，那么我们所得的两部分才能拼成一个平行四边形。那现在请同学们来证明一下你们的猜想。 如图，因为三角形 ad 一全等于三角形 cf 一，所以 ad 等于 cf 角， ad 一等于假 f， 所以 bd 平行 cf， 又因为 ad 等于 bd 等量代换 bd 就等于 cf， 所以四边形 bcfd 是平行四边形。好，昨晚我们证明了我们的猜想是这样正确的。那同学们根据以上的猜想，同学们再来想一想，三角形 abc 的中位线 第一与 bc 有怎样的位置关系，又有怎样的数量关系？为什么？ 因为四边形 bcfd 是平行四边形，所以 df 平行且等于 bc， 所以得到第一平行 bc。 又因为三角形 a、 d 一全等于三角形 c f 一，所以我们得到第一等于一 f， 所以第一等于二分之一 df 等量代换，第一等于二分之一 bc， 从而我们得到了 第一平行 bc， 并且等于 bc 的一半。这就是我们的三角形中微线的定理。三角形的中微线平行于第三 边，并且等于第三边的一半。结合语言，因为第一是三角形 abc 的中文线，所以第一等于二分之一 bc， 第一平行 bc。 老头们我们学习了三角形的中位线立体，接下来我们来看一下立体。 例一，如图，在三角形 abc 中，以之 ab 等于八角 c 顶九十度，角一点三十度，第一是中位线，折第一的长， 那因为角 a 等于三十度，角 c 九十度。我们知道直角三角形中三十度所对边等于斜边的一半，因此 bc 等于二分之一， ab 也就等于四。又由于第一是 中位线，所以第一等于二分之一， bc 也就等于二，因此这个题我们选 d。 那我们再来看一个例题。 如图，在四边形 abcd 中，已知 ab 等于 cd， mnp 分别是 adbcbd 的终点，叫 abd 等于二十度，叫 bbc 等于七十度，则叫 nmp 的度数为， 那因为 mnp 分别是 adbcbd 的终点，所以我们可以得到 pm 是三角形 abd 的中位线， pn 是三角形 bcd 的中位线，所以 pm m 平行且等于二分之一 abpn 平行且等于二分之一 cd。 根据两直线平行，同为角相等，因此得到角 mpd 等于角 abd 等于二十度。加 npd 加上角 bdc 等于一百八十度，从而得到角 dpn 等于一百一十度，所以叫 mpn 等于一百三十度。 那又因为 ab 等于 cd， 所以 pm 等于 pn， 因此三角形 pmn 就是一个等幺三角形，所以从而我们得到了加 nmp 就等于二十五度， 也就是选 d。 那同学们来回顾一下我们这节课主要讲的什么的。我们主要讲的三角形的中卫线定理， 他主要是用来证明平行问题，以及证明一条线段是另一条线段的两倍或者是二分之一倍。好，接下来是课后作业。好，谢谢大家。再见。

故事是这样的，所有三角星人在出场时，都会被打上一条神奇的裤腰带， 这腰带的位置很讲究，他所在的地方是三角形的中卫线。中卫线之所以叫中卫线，是因为他是三角形两边终点的连线，比如三角军这个中卫线裤腰带就是这边的终点和这边终点的连线。 接下来问题来了，对于任意一个三角形，他有几条中微线呢？答案是三条。 比如三角形 a、 b、 c。 如果取 a、 b 边和 a c 边的终点，就可以画出中卫线 e、 f。 如果取 a、 b 边和 b c 边的终点，就能得到中卫线 e、 g， 同样的还能得到第三条中卫线 g、 f。 所以，一个三角形有三条中卫线，这点要牢记哦！

同学们好，这节课呢，为大家分享一个三角形中位线定理的逆定理。 我们看一下这个图，在三角形 abc 中， d 是 ac 的 ab 的终点，且 d e 平行于 bc， 求证 e 为 ac 的终点 啊。三角形中卫线定理呢，实际上呢，是给出了意是 ac 的重点，重点，那么结论是第一平行于 bc。 那么这个呢，逆定理刚好是反的，给出第一平行于 bc， 那么结论呢是 e 是 ac 的终点。那么这个定理呢，我们在考试的时候呢，是不可以直接用的，因为我们教材当中呢，是没有这个定理的说明的。所以呢，我们想用这个定理呢， 必须要证明。那么在这里呢，我给出了三种证明的方法。我们看一下第一种，延长 e， d 到 f， 使 df 等于 d e。 然后呢，再连接 bf 看一下， df 等于第一。 那么辅助线做完以后呢，我们知道 df 是等于 d e 了，那么 d 呢，又是 ab 的终点，所以呢， db 等于 da。 然后呢，加角呢，是一个公共角边，角边，这个三角形 dbf 就全等于三角形 dae 全等。以后呢，很明显就能得到 bf 是等于 ae 的。 题目呢，是要证明 a e 是等于 ec 的，那只要证明 bf 等于 ec 就可以了。 现在呢，我们可以看 bcef， 如果他是一个平行四边形，那这一题呢，我们就做完了。 那我们看看是不是。首先呢，题目当中给了 d e 平行于 bc， 自然呢， fe 呢，也平行于 bc， 现在有一组对面平行了，而 bf 和 ec 呢，是不是平行关系呢？ 根据前面我们所证的全等角 f 和角 aed， 他们两个是对应角，所以呢，这两个角呢，是相等的。而对于这个 bf 和这个 ac 来讲，他们呢是一对 内错角。那内错角相当于两直线平行。所以呢， bf 就平行于 ac， 那进而呢，也平行于 ec。 两组对边分别平行呢，这样呢，这个 b 四边形 bcef， 就是一个平行四边形。 那是平行四边形以后呢， bf 就等于 ce 了。平行四边形的对边相等。 bf 呢，既等于 ae， 又等于 ce， 自然呢， ae 就等于 ce。 那么这个题呢，我们就证完了。这是我们证明的第一种方法。我们再看第二种方法。 第二种方法呢，实际上是这样的，就是我们在这个 bc 这个线段上去一个终点，就是 f， 然后 连接 df。 连接 df 以后呢，我们可以看出这个 d 四边形 decf， 它应该是一个平行四边形。看看我们能不能正了。 这个 d e 呢，是平行于 bct， 平行于 fc。 而这个 d 和 f 呢，是分别是 ab 和 bc 的终点。根据三角形中卫线定理， df 就平行于 ac， 且等于二分之一 ac。 那也就是说，我们写一下， df 平行于 ac， 那么 df 呢，也等于二分之一 ac。 那自然这个 df f 呢，就平行于 ec 了。前面我们知道，这个 de 呢，是平行于 fc 的。所以呢，这个四边形 decf， 就是一个平行四边形。得到他是平行四边形以后， df 自然呢，就等于 ec。 前面我们又知道， df 呢，是等于二分之一 ac 的，也就是说，二分之一 ac 等于 ec， 二分之一 ac 等于 ec。 所以啊，现在二分之一 ac 等于 ec， 自然这个 ae 就等于 ec 了。 哎，那么这个 这个题呢，我们就同样用这个办法，照样能把它挣出来。那么还有一种办法呢，就比较简单了。我们呢就在这个 ac 上去一个终点 f， 就是取，直接取一个终点 f， 只要能证明这个 e 和 f 是同一个点就可以了。取完 ac 的终点 f， 我们就知道 df 是什么，是平行于 bc 的。 而前面我们知道就是已知 d e 也是平行于 bc 的。 根据我们有一个定理叫过直线外一点，一切只有一条直线与已知直线平行。所以呢，这个第一 和 df 相当于是同一条直线。那么既然是同一条直线，自然这个 e 和 f 他们都是 ac 上的点，也都是 d e 上的点。那这个 e 和 f 呢？就是同一个点。既然是同一个点，自然 a e 就等于 c e。 哎，也可以整出来。

大家好，我们在选重要的三角形，从位线定理的时候，我们要需要把上面这个三角形旋转，那我们看 你需要他旋转的这个位置，从而来进行正义 啊，恢复原状。那这个动画该怎么制作？ 接下来教大家。首先大家打开 几何画板，构造 一个三角形，这里双击 构造好过后，嗯，选择他的这两边构造中点，接下来，嗯，把这些顶点这 标上顶点字母，这些顶点字母标上，这样中位线第一就构造出来了。 构造好以后，把这三个点选中，构造三角形内部 颜色，你随意颜色，比如构造粉刺，我们把下面这个部分 构造四边形的内部，你给它颜色换一下颜色， 我们上面要旋转，请大家注意，你先这个 c， 他要走的路径是圆弧，我们就 按顺序圆心点 b 点 c， 选中这里构造圆上的弧。 构造好这个壶过后选中这个壶，因为现在已经是相当于选中的直接构造无上的点，就是他构造了这样一个点，你给他加上一个字母， 好，接下来你们看，嗯，把这个 叫 c、 e、 f 这个旋转角 在这个位置变换，这里看标记角度，现在不是标记项链标记角度，它是个旋转角， 接下来双击一表明我们以他为旋转中心，再选中 d 和 c， 同样在变换，这里现在就是给他旋转， 就得到这三个点把意，你选中构造线段，就把构造 出来一个三角形， 你看一下这三角形眼睛啊， 安全一样。好，接下来我们把这个三个顶点选中，构造三角形内部颜色， 噶跟原来保持一样。 接下来我们开始做动画， 首先我要让他这样前进， 我就选中 f 和 b， 在这里编辑朝左类按钮移动，怎么移动到路径已经指明了， 我把这个表情啊改成旋转， 把它放活动到顺手的位置旋转， 刚才速度就是保持这个速度就可以了，风速， 这是旋转，那我们要他返回去了，我们选中 fc， 同样点击操作类按钮，这里移动。 好，我们回去，我们要他跑快点，你速度可以快速，可以高速，如果高速的话，你就基本上看不到他的跑动，我们我加一个快速速度给他加快， 不让他慢悠悠。这里标签给他写成复位， 他就恢复到严重了。 接下来我们把不需要的隐藏掉这个这个字母，把它隐藏掉，你选选中这个圆弧显示这里来隐藏掉， 这个动画就制作完成，你给他加上标题， 几乎画板教程， 三角形 中卫县定理。 好，这下面会改字体字号 这项我们就要讲到这里，那么动手操作试一下。

梯形的中位线是什么？他又有哪些性质呢？梯形的中位线是梯形两腰中点的连线，而且中位线是平行于两底，且等于两底和的一半。那我们如何来证明这个结论呢？我们来看这个问题。 在梯形 abcd 中， e、 f 分别是 adbc 的终点，也就是 ef 是这个梯形的中微线，要求我们证明 ef 平行于 ab 和 cd， 并且 ef 等于二分之一 ab 加 cd 的和。我们首先啊，来做出辅助线连接 af， 并延长交 dc 的延长线与点 g， 这样就形成了两个三角形， abf 和 gc f。 我们来观察一下这两个三角形，因为 f 是 bc 的终点，所以 b f 等于 fc， 就因为 ab 平行于 cd， 所以这两个角啊，他是内错角关系，两直线平行，内错角相等，所以角 b 就等于角 fcg。 又因为这里有对对顶角 a f b 等于 g f c， 所以啊，这两个三角形就符合角边角的关系，那么他们两个是全等的，那既然他两个全等，我们就可以得到对应边是相等的， 那 a f 就等于 g f， 所以啊， f 是 ag 这条边的终点，而且 ab 是等于 cg 的。我们再来看这个三角形 a、 d， g。 在这个三角形当中，因为 e、 f 分别是 a d 和 a g 的终点，所以啊，我们可以得出结论， e、 f 是三角形 a、 d， g 的中微线。 那由三角形中微线定理啊，我们可以得到 ef 平行于 cd， 并且 ef 等于底边 dg 的一半，也就是 ef 等于二分之一 dg。 那其实从这两个结论是里面，我们就可以推出 ef 平行于 ab， 平行于 cd。 为什么呢？是因为 ef 平行于 cd， 而 cd 呢，又平行于 ab， 所以他们三个是相互平行的。因为 ef 等于二分之 一 dg， 而且这个 ab 啊，还等于 cg， 我们把 dg 替换成 cd， 加上 ab b， 我们就可以得到结论， ef 等于二分之一 ab 加 cd 的和，这样我们就完成了梯形中位线定理的证明。

三分钟教你学会中考必考题型类型，二十一、中卫线的性质今天我们看一道中考必考题，已知三角形 abc 的周长为十六点。第一， e、 f 分别是三角形 abc 三条边的终点，则三角形 def 的周长为多少。我们知道三角形的周长应该等于三条边的长度之和，所以三角形 def 的周长就应该等于 b， e 加上 e， f 加上 fd。 接下来我们就需要根据前面的已知条件去求到这三条边的长度之和。题目当中说到三角形 abc 的周长为十六，所以我们就可以得到 ab 加上 bc 加上 c， a 等于十六。题目当中说到 d 是 ab 的终点， e 是 bc 的终点，所以我们就可以知道 de 是三角形 abc 的中位线。中 位线具备一个非常重要的性质，就是中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，所以 d、 e 就应该平行于 a、 c， 长度等于 a、 c 的一半。 同样的道理， e 是 bc 的终点， f 是 ac 的终点，那么 ef 也应该是三角形 abc 的中微线。根据中微线的性质，我们就可以得到 ef 平行于 ab， 长度等于 ab 的一半， d 是 ab 的终点， f 是 ac 的终点，那么我们就可以知道 df 应该是三角形 abc 的中微线。根据中位线的性质，我们就可以知道 df 应该平行于 bc， 长度等于 bc 的一半。在这里我们就知道了 de 与 ac 之间的关系， ef 与 ab 之间的关系， df 与 bc 之间的关系。所以我们要求的三角形 d、 f 的周长就应该等于 d， e 就应该等于二分之一倍， a、 c、 e、 f 就应该等于二分之一， a、 b、 f、 d 就应该等于二分之一， b、 c 这三项都有二分之一，那我们就可以把 二分之一提取出来，括号里面就应该是 a、 c 加 a， b 加 b， c， 我们已经知道 a、 c 加 a， b 加 b， c 就应该是三角形。 a、 b、 c 的周长等于十六，所以 d、 e、 f 的周长就应该等于十六的一半，等于八，大家学会了吗？

你要的中线长，地理证明来了，包你学会 a、 d 是三角形的中线，所以 a、 b 下量加上 a、 c 下量就等于两 两倍 a、 d 下量。又因为 a、 b 下量减， a、 c 下量等于 c、 b 下量两次分别做平方，刚好两次相加数量及消掉。所以两倍 a、 b 方加上两倍 a、 c 方，就等于四倍 a、 d 方加上 c、 b 的平方， 而 cb 就是 dc 的两倍，所以可以改写成四倍立方加上四倍 dc 方，两边同时除以二，搞定小平分线大招，你想知道吗？

好，立体几何中三角形中位线法来正平行的问题。对一些基础骚弱的学生不知道这个辅助线怎么来做，那我们今天就通过一个会计的方法来帮助学生找到辅助线。怎么来做辅助线来解决这个类型的题目， 我们来看一下这个题目。第一问他这个题，他叫我们正的是 b、 e、 c 平行于平面 a、 b、 d， 那我们就把 b、 e、 c 这两个短点把它写出来。好，那我们第二步再从题目上来找有没有什么是 b、 g 什么的终点，或有没有什么是 c 什么的终点，但是一定要记住 b、 c 这两个点只能做端点。好，他不做终点。好，我们从题目中来看一下，从 b 一点出来好，题目中没有一个点是 b 一什么的终点，那我们从再从 c 点来找看一下，题目中说了点低为 点滴为 ac 的终点。好， d 是 ac 的终点。那么第二点我们再兼顾一下点滴在不在，我们要将这个平面 ajp 地方在的，所以他就成立了，好好洗出来。点滴是 ca 的终点， 同样把 d 写在终点的位置，然后这几条这几个点之间两两把它连起来，我们来连一下，看一下， b、 c 题目中已经连起来了。好，那我们的 c、 d 和 da 都连起来了，那么另一条呢？ a、 b 题目中没有连，很明显我们这个辅助线，那么就连的就是 a b 机， a b 机，那么只要把 a、 b 机的终点找出来，那和低点连起来，他就是一个形象的一个三角形，三角形的中微线，那么就平行。第三遍，那么就解决了。好，我们来看一下，来做一下辅助线连接 ab 机， 那么 abg 的终点到底是哪一个点呢？我们再看一下，题目中告诉我们 十三能做 abcaebce， 那我们就得得到侧面 abcae 这个四边形，他是一个矩形，矩形就有对角线互相平翻，所以 abc 的终点，那么就是和 aeb 的焦点，那我们就令 abc 加 aeb 以点 o， 那么终点找出来了，再把它和低点连起来， 那么三角形的中位线，那我们就把它解决了。好，我们来写一下过程证明。首先先把辅助线连连起来好连接 a b。 一教 a b 雨点 o 在连接哪个连接 好？那你看一下。因为值三轮柱， 所以我得到四边形 a， b， b， e， a， e 为句型好句型我们就可以得到对角线混向平方啦，所以我就可以得到点 o 为点， o 为 a， b， e 的终点 好。又因为点滴为 a、 c 的终点，所以我就可以得到 a， o， d 为三角形 a， b， g， c 的中线， 那么所以我就可以到 od 就平行哪个了。 bgc 好，又因为 od 它是包含在平面，包含在平面的一个平面中， agbd 中的起 bgc 不包含在平面 aebd 中的，那么所有就可以到我们的 bc， 那么就平行于平面， 平面哪个好？ agbd 好？这样的这个问题我们就把它解决了好。