2023广东中考数学21题解题技巧

第二十一题，综合与实践主题，绿纸与漏斗素材如图一所示，一张直径为十厘米的圆形绿纸，直径为十厘米，所以半径为五厘米，周长的话等于二派 r 就 等于十派。 一只漏斗口直径为七厘米，母线与母线均为七厘米的圆锥形，过滤漏斗母线也是七厘米。 操作实践步骤一，取一张滤纸。步骤二，按如图二所示步骤折叠好，滤纸折叠了两下，所以这个等于九十度，这个的话是半径，半径是五厘米， 这一段圆弧的话就等于总圆周长的四分之一，因为这是九十度，四分之一，原来是十派，圆周长是十派，四分之一的话等于二点五派。 步骤三，将其中一层撑开，围成圆锥形。将其中的一层撑开，围成围，围成圆锥形。这里大家要注意，其中一层撑开的话，其实就是两段的这个圆弧维合成了圆锥的这个圆。 对两段的圆弧撑开，撑开的话，就是两段的圆弧为合成的这个圆，所以的话这个圆周长的话是等于两倍的。二点五派等于五派。 这个大家可以用纸折一下去感受一下，然后知道这里是五派的话，那就能知道它的直径。二派 r 的 话是等于五派，所以直径的话是等于五。 这一段直径等于五，这个圆直径等于五，这个母线的话也是等于五，因为是它折叠它撑开来的，所以这就是五。 然后看第步骤是将围成圆锥形的滤纸放入如图一所示的漏斗中，把这个放到这个漏斗里面去 实践探索滤纸是否能紧贴此漏斗内壁，滤纸跟这个漏斗内壁是否紧贴， 忽略漏斗管口处这句话，我用语文翻译一下，就是这个滤纸的测试图和这个漏斗的测试图是否相似，因为它们两个测试图都是两个三角形，问这两个三角形是否相似，然后我给大家看一下 漏斗的测试图，这是这是圆锥的测试图，要是这样两个相似， 它们才能够紧密贴，没有细缝。然后我再画一个不相似的，如果它们不能紧贴的话，就是不相似，这样一来的话， 这里就会有缝，所以是相似。滤纸是否能紧贴此漏斗内壁。这句话的意思就是用语文翻译一下滤纸的测试图和漏斗的测试图这两个三角形是否相似。 然后我们直接看了漏斗的测试图的话，是一个边长为七的等边三角形，母线母线直径，然后绿子的话，绿子的测试图的话也是一样， 这里是五厘米直径，母线是五厘米，五厘米都是等边三角形，所以这两个三角形相似的，所以第一问就 是能因为两个三角形相似看第二问。当绿纸紧贴漏斗内壁时，绿纸紧贴漏斗内壁，就是这就是这个了，就是绿纸的测试图就是一个等 边长为五的等边三角形了。求绿纸围成的圆锥体积，求这个圆锥的体积，圆锥的体积的话，它等于底面积。派 r 的 平方乘以高， 带乘以三分之一，三分之一，然后我们直接做 r 的 话，半径的话派 r 的 平方， r 的 话，我们这里已经知道了，是直径是五， r 的 话是二点五，派二点五的平方，带乘以高的话，这里我们要记住，因为它测试图是个等边三角形，等边三角形的话它有个特点， 边长比的话为一比一比一，比高的话，这条高的比的话为根号三分之二。所以我们直接看这个变成这个三条边的边长比为一比一， 一变成了五，所以对应的根号三分之二也要乘以个五就行了，所以它的高就是二分之，根号三乘以五，然后再乘以三分之一， 然后我们把这个整理一下，就等于二十四分之一百二十五根号三 i c m 的 立方这个题就做完了。

我们来看这一道题目，这道题呢，是去年的广东中考的选择压轴题，但是呢，呃，为了方便，我们就把它的选项去掉了啊，改成填空题。我们来看一下这道题目，他说在这个矩形 a、 b、 c、 d 里面， e、 f 呢，是 b、 c 边上的三等分点，就意味着这一段等于这一段等于这一段，对吧？ 连 d、 e、 a、 f 相交于这个点 g， 再把这个 c、 g 连起来，若 ab 等于八，这段长度是八， bc 等于十二。很明显，这里应该是 分成三段，应该每段都四，对吧？则天角 g， c、 f 的 值是多少？ g， c、 f 就这个角这个很小的角，我们来看一下它值是怎么样。这个题呢，其实有蛮多方法的，你可以啊，比方说像正这两个三角形全等，这个三角形 a、 b、 f 和这个三角形 d、 e、 c 全等之后，得到这两个角相等，然后在这个三角形里面做文章也很容易算的， 就是你求出这一点的长度，然后在这一段可以求出 t 整数 c、 f 的 值。 然后我们试一下，用不同的方法，就是间隙以这个 b 为圆点，这个 b， a 为 y 轴， b， c 为 x 轴，这样建一个 c x， 这四 x 就是 y， 那 我们就可以得到这个呃，直线 a、 f 的 解析式， 它应该是等于负 x 加八的，对吧？ 然后这个 d、 e 的 解析式呢，也挺好的， d 呢，它坐标应该是十二八，对吧？ e 的 坐标呢？四零。那我们一样可以得到它的解析式， y， d， e 应该是等于 负的 x， ok， 应该是等于 x 减四，对吧？ y 等于 x 减四， 然后这两个方程这两个直线一连律，就可以得到 g 的 坐标坐标应该是 啊，负 x 加八等于 x 减四就得到二， x 等于十二 x 就 应该等于六，所以它坐标应该是横坐标应该是六，重坐标呢？带进去就得到二。现在 g 的 坐标已经出来了，这个 算，再算添减角 gcf 是 比较容易了。这个横轴重坐标是二， 横轴这一段距离呢？我们算一下它是不是应该等于 啊？纵坐标是二，除以这一段，用 c 的 横坐标减去 g 的 横坐标就会得到这一段嘛，就是十二减六就得到六，就等于三分之一，所以说它的值就应该是三分之一，对吧？

二零二三年广东中考十九式统一数学卷倒数第二个大题我们来看，在举行 abcd 中，凡是看到这种条件开头的，一定要先想到 矩形的两个特有的性质，对角线相等，四个角都是九十度，不然他为什么要告诉你是矩形，而不告诉你是菱形或者正方形或者是平行四边形呢？说明告诉你菱形或者是正方形条件有多，或者是用不上， 对不对？告诉你脾气自闭型，说明这题做不出来，这题出题人就是这么设置的，定要用到那两个特有的性质中的一个或者两个。我们再看点 a 关于对角线 b、 d 的 对称点 a 撇。先挖掘这里啊，这个点关于它对折过去的，也就是这边和这边相等，并且这里是垂直的。来求证， 这边垂直，这边也就是正，他是九十度，好，正垂直。刚才说了这两个线段相等， 又因为对角线是相互平分的，这里也相等，那么也就是说一是他的终点， o 是他的终点，所以就是中位线喽，也就是一 o 平行等于二分之一的 a 点 c 啦。 既然这里垂直，那么这里不也是垂直吗？是不是中位线搞定四分？ 如图一 啊。这个圆是怎么来的？它是以 o 为圆心，以 o、 e 为半径所化的圆。这题的已知条件是什么呢？圆 o 与 c、 d 相切，相切必须连接圆心和切点， 所以这里一定要给我连上，也就是这里是垂直的，并且 矩形的对角线相等，所以这里存在一个三线合一的应用，他要你干嘛？证明 aap 和这里的关系是根号三倍的关系。在直角三角形中，两个直角边是根号三倍的关系，是什么特殊的直角三角形啊！有一个角是三十度的， 三十度所对的直角边等于斜边的一半，一比跟号三比二，所以也就是右正这个角是三十度，也就是正这个角是六十度就行了。刚好这里有个垂直三线合一，所以角一等于角二， 也就是角一加角二是一百二十度，就可以推出它是六十度，角一已经等于角二了，那要达到这里是六十度，也就是角一等于角二等于角三， 就正完了。那么角二和角三相等吗？你发现这里是半径，这里也是半径，这里和这里相等，这里垂直，所以这两个三角形全等，所以角二等于角三， 所以角一等于角二等于角三。一共是一百八，除以三就是六十，轻松搞定。第二问，圆 o 与 c a 撇相切，这里相接，先连一个切点， a d 等于一，求圆 o 的面积，又求圆 o 的面积，面积等于 pi r 的平方，是不是啊？所以我们一定要求出这个 r 来， 这是整个这道题的最后一问，所以你一定要把之前的结论用上，他是这种循序渐进的一个过程，知道吧？你一定不要忘了，这里是九十度，这里等于这里， 这里也是九十度，那么这里相贴，这里是半径，这里是半径。哎，这里垂直，这里垂直，这里垂直，所以它是一个正方形， 这里那就是啊喽，这里是啊。哎，这里等于这里，那么这里也是啊，对不对？你发现这个直角三角形是一个等腰直角三角形，所以这里就是根号二倍的啊，这个可不简单哦， 这个根号二二可是 a o 啊， a o 是什么？对角线的一半，也就是 d o 的长，那么 d 一我要不要表示出来呢？因为他告诉你这个是一，我最好是利用这 这里的一个直角三角形来求，是不是？那么这里是根号二倍的啊，那么第一就应该等于根号二倍的啊，减去我们的啊呀，那不就是出来了吗？因为购物定理，他的平方加他的平方等于他的平方啊，也就是 根号二减一倍的二的平方平方，再加上我们这里的平方，二的平方就等于一，那么解这个方程不就完事了吗？ 所以这里和这里提取公因式二的平方，就会得到根号二减一的平方，就是三减二倍根号二，再加上这里的一等于一，所以 二的平方就等于一，除以四减二倍根号二。好了，我们把它直接带进去，就可以知道它的面积了。接下来分母有理化 分子，分母同时乘以一个四加二倍根号二，所以分子就等于四加二倍根号二，分母是一个方差，所以是十六减去八等于八，那么答案就是 这里是可以直接代入的，求的就是二的平方，那么就是四分之二加根二。 把拍带上，轻松拿下，整道题做下来非常的流畅，非常的 ok， 拜拜。

好，来一起看下这道题。这道题考出个二次函数，它说 y 等于 x 方减 m， x 加 m 减一，这是不是个二次函数的一般式二次函数？一般式解析式是 y 等于 a， x 方加 b， x 加一，括号 a 不 为零。然后这题我们先得把这个二次函数的 a、 b、 c 表示出来， a 是 不是等于一， d 是 不是等于负 m， c 是 不是等于 m 减一？然后继续读题，他说 m 为常数，且 m 不 等于二，这是个限制条件，有陷阱。来看第一问。第一问让我们证该函数与 x 轴有两个公共点，也就是说想让我们证这个二次函数与 x 轴有两个交点，二次函数与 x 轴有几个交点取决于的塔，要判别式的塔大于零就是两个交点， 得它等于零就是一个焦点，得它小于零就是无焦点。来看题第一问，那我们数得算下，得它得它等于 b 方减四， a， c 就 等于 b 方是 m 方减去四乘以一乘以括号 m 减一，等于 m 方减去四， m 加四。 就说你发现我们根据这个式子并不能直接证明它这是大于零还是小于零，我们得继续化简。由音式分解，得 m 方减四， m 加四，是不是满足 a 加 b， a 减 b， 括号方等于 a 方减二， ab 加 b 方，这个完全平方差公式就等于 m 减二，括号平方对不对？ 这是一个二次函数， m 减二括号，我们可以理解为它是一个开口向上，顶点为 x， y 顶点为二度零的二次函数。 因为题目说了什么 m 不 等于二，那所以又因为 m 不 为二，所以 m 减二括号平方是不是大于零，我们看图像就能知道这是二等于零，因为 m 不 能取二，那所以我们的的它只能取大于零的部分，所以第一问证出来了。综上所述， 因为的它大于零，所以与 x 轴总有两个公点。好，来看第二问。第二问说，若该函数图像与 x 轴交于 a、 b 两点， 若 m 角值大小于等于三，先翻一条线， m 小 于等于三， m 的 角值小于等于三，说明了什么？ m 大 于等于负，三小于等于三。让我们求线段 a、 b 的 长度取值范围，那我们是不是得把 a、 b 两点给设出来，再把 a、 b 长度给求出来？首先 我们来求第一个点， a 点，我们设为 x 一 勾零， b 点设为 x 二勾零。根据两点距离公式，两点距离公式是这样的， d 等于根号下 x 二减 x 一 括号，加上 y 二减 y 一 括号，对不对？代公式计算得 a b 的 长度是不是等于根号下 x 二减 x 一 括号，再加上零减零的平方就是零，对不对？就不用动了，然后继续化简。 这时候你要想这题考试 a、 b 的 取范围，那 a b 等于根号下 x 减 x 一 方，我们 x 二 x 一 的值并不知道，我们得考察伟大定律了。什么叫伟大定律？比如说一个一元二次方程， a x 方加 b， x 加 c 等于零， 它的差大于零，是说明有两根两根是 x 一 和 x 二。根据尾数的可得 x 一 加 x 二等于负， a 分 之 b， x 一 乘 x 二等于 a 分 之 c， 这是尾数的公式，我们把它放一边，所以我们继续话继续做。根据尾数的 x 一 加 x 二是不是方程两根对不对？是不等于负的？ a 分 之 b 就是 m 就 等于 m， x 一 乘 x 二是不等于 a 分 之 c 就 等于 m 减一，对不对？来，我们这句话讲， ab 是 不等于根号下 x 一 方加 x， 二方减去二， x 一 x 二，那 x 一 x 二值我们知道吗？知道，我们就差谁不知道 x 一 方加 x 二方，这个咋求？ 我们得根据根据这两个式子来求出来。首先给 x 一 加 x 二来个平方，等于 x 一 方加 x， 二方加二， x 一 x 二，又因为 x 一 加 x 等于 m， 所以 x 一 加 x 二，差的平方等于 m 方，就等于 x 一 方加 x， 二方加上。 因为 x e x 等于 m 减一，所以二， x e x 就 等于二， m 减二，所以解得 x 一 方加 x， 二方等于 m 方减二， m 再加二，把它带进去化简一下，等于根号下 m 方减二， m 加二，再减去一个 二， m 加二，再化解一下，得根号下 m 方减去四， m 加四，我们发现这又是一个一元二次方程，对不对？应该继续化解，等于根号下 m 减二，括号平方。 这题第二问跟第一问化简最后结果是不是一样？都是 m 减二化方，它的函数图像长这样子，顶点是二斗零，因为这是一元二次方程的，这是二次函数的顶点式，对不对？他让我们求 ab 的 取值范围，所以就让我们求这个 m 减二的取值范围，对不对？因为 m 是 不是大于等于负三，小于等于三的，对不对？那我们知道 ab 一定是大于零，为什么？因为它 m 不 能取到二，它最小值就零了，对不对？但它也取不到零，所以 m 大 于零，那最大值是多大呢？首先我们要想二次函数的性质，这个二次函数对称轴是不是 x 等于二对不对？ 然后 m 是 大于等于负三，小于等于三的。因为开口向上离对称轴越远，它的 y 值就越大，所以，所以当 m 等于三时， ab 取到最大值再进行计算根号下三。哦，不好意思 呃，因为它对称轴是二对不对？然后开口向上离对称轴，离对称轴越远，它的 y 值越大，说负三离对称轴二距离越远，距离是五对不对？所以当 m 等于负三时， a b 能取到最大值 max 等于根号下负三减二括号方等于根号二十五就等于五，所以 a b 的 取值范围就是零到五之间。

第二问，以点 o 为圆心， o， e 为半径作圆。第一小问如图二，圆 o 与 c d 相切， 大家一定要养成一个习惯，涉及到圆的问题，有相切的时候，一定要把圆心和切点相连接， 形成一个垂直的九十度，这是一个做题的基本习惯，大家一定要有。然后根据矩形的一个对称性，圆的一个对称性，所以这里的话他也是相切的，只要有相切的，一定要把切点和圆形连接起来。 然后我们接着看问题，求证 a， a 一 撇等于根号三， a 一 撇 c 这一句话用语文翻译下的话就是求证 a 一 撇， a 等于一比根号三。 这个时候的话，我们就得想起我们天天记的那个特殊三角形了，这三个三角形一定要记住，前面三个题已经用完了三次了，这又是一次， 涉及到一比根号三的话，一比根号三的话，那这个题目就瞬间变成了，我们只需要求出这个等于三十度就行了，这个题目就立马做给做完了，三十度，六十度，九十度，一比二比根号三，然后我们直接开始做， 证明这个是等于三十度， e， a， o 等于三十度。假设这一点是 w 焦点， 首先的话 o e， a 跟三角形 o w， a 两个三角形的话，根据半径相等， e， o 等于 e， o 等于 o w， 然后又共了一条 o a 边 h l 直角三角形的 h l 证明证明 这两个三角形是全等的，所以这两个角就相等了。然后这里的话还有一点，这个角是等于这个角的，因为第一， 因为 c， d， e 加 e， d， a 等于九十度， e， d， a 加 e， a， d 等于九十度，所以的话这个角等于这个角，因为它加它等于九十度，它加它也是九十度，所以这个角等于这个角。然后根据内错角相等，这个角 c、 d， e 等于这个角 o、 b、 a， 然后的话，因为矩形的话是对角线相等的，这条等于这条 o， a 等于 o b， 所以 等腰三角形 o， a， b 是 个等腰三角形 o， b， a 等于 o a、 b， 这两个角也相等，所以间接的证明呢，这个角跟这个角也相等，所以这三个角都相等，所以这个角等于三十度。六十度，九十度，所以 a 撇 c 比 a 撇 a 是 一比根号三，所以证完了具体的证法，大家再抄一遍答案。

说明今年中考马上就要开始了，如果在考试中遇到确实没有头绪的题，今天告诉你六个小技巧，或许能帮助孩子再多一些分数。先关注我，收藏起来，祝你家孩子中考考的都会崩的都对！ 一个小技巧就是求距离的题，可以直接用尺尺去量量出来那个距离啊。如果是求角度的题，用两角器去量，量出来的角度也基本上是对的。第二、 三角函数的题，可以假设其中的某一个角度是六十度，算出来的结果也基本上是对的。 第三个就是啊，如果选择题答案某一个题不会，那你看一下均衡分布，因为中考的数学中啊， a、 b、 c、 d 的 答案基本上是均衡分布出来的，哪一个选项相对少一些，就把哪一个选上去，概率啊会大大的提高。第四个， 遇到填空题，千万别空着啊，没有思路的可以蒙的零或者一的答案有可能会蒙对。第五个，遇到选择题，有些题目非常复杂的，往往答案比较简单，而遇到有些题目往往比较简单的，那他的答案反而比较复杂。 第六个，数学解他题，即使不会做，也要把已知的条件罗列出来尝试啊，写一些相关的公式定律， 可能会得到步骤分依据。函数的题，如果不会求解稀式，可以尝试大入已知点的坐标，能得到部分的分数。我是高明杰老师，关注我，祝你家孩子中考考的都会蒙的都对！

二零二六年广东中考压轴题预测，我们来看，给出三角形 a、 b、 c、 d、 e 都是线段， ab 上的两个点，不含端点，其中点 d 在 左，点 e 在 右。 我们 m 是 bc 上的一个点，我们过 m， e 做 ac 的 平行线， 这时候呢，与 c、 d 的 延长线交于点 f 连接 a， f 好 过点 e 连接 e， p 与 a、 c 交于点 n 连接 m n。 现在呢， d 是 ab 的 中点， d、 f 和 d p 相等。那么要你求证四边形 a、 f， m、 n 是 个平行四边形。 那么看到这种题呢，首先我们要观察几个条件，第一个给出了定式终点，第二个就是线段相等，你看 相邻的两个线段相等，对菱角相等，所以我们要想到八字形，那么这时候我们就需要连接 ap 和 b、 f， 比如说这手在三角形 a、 p、 d 和三角形 b、 f、 d 当中就出现了一个全等。第一个理由是 a、 d 和 b、 d 相等啊，因为 d 是 中点。第二个 d、 p 和 d、 f 相等。已知条件还有一个就是对角角 a、 d、 f 等于角 b、 d、 f， 所以 边角边。那么说明呢，三角形 a、 d、 p 和三角形 b、 f、 d 是 全等的，所以呢，全等。三角形的对应角相等，对应边缘相等，所以呢，角一和角二是相等的，由此呢得出角一、角二相等。好，继续我们来看啊， f、 m 和 a、 c 平行，我们说见平行想相似啊，我们来看这两条线段平行的时候，那么这手对应边是成比例的啊，那么 d、 f 与 c、 d 的 比就等于 d， e 和 a、 d 的 不一样，而我们的前面已经证明了全等，所以 d、 f 和 d p 相等，所以这时候它可以换成 d p 啊，这个还是 c、 d 等于 d e 比上 a d， 而 a、 d 和 b d 又相等，你看这时候它和大的比等于小的和这个大的比。又因为夹角相等啊，比如说，又因为角 p d e 等于角 c、 d、 b， 所以 可以证明 p d、 e 这个三角形和三角形 c、 d、 b 是 相似的，所以相似三角形 对应角是相等的，所以这个角和这个角也是相等的。我们记为角三和角四，所以角三与角四相等 好，那么角三和角四相等，这两直线肯定还平行。好，我们继续来看。那么在题当中，你看 这个角是三角形 a、 p、 n 的 一个内角，但是同时它也是 a、 p、 e 当中的一个外角，比如说，角 a、 p、 n 就 等于角一加角三， 而角 f b m 等于角二加角四，而我们已经证明角一角二相等，角三角四相等，所以这两个角也就是相等的。 好，那么相等的继续来看啊，这两条边也是相等的。于前条件下，我们已经证明三角形全等，所以这也是一个已知条。那么现在只有两个条件，还差一个条件，我们来看， 给出这两个三角形相似，可以知道这两条边是平行的，也就是说我们有角三角是相等，可以推导出 a、 e 和 b、 c 是 平行的，所以平行边两直线平行，对应角相等。所以呢，这时候我们可以推导出角，因为 e、 n 平行于 b、 c， 所以呢，角 a、 n、 p 就 等于角 a、 c、 b 好， 同时，那么这个角和这个角啊，别说这个角和这个角也是相等的。题中给出这两条边是平行的，比如说，题中又告诉你 角 a、 c、 b 又等于角 f、 m、 b， 那 么说明了角 a、 n， p 就 等于角 f、 m、 b。 好， 这时候在这两个三角形当中，这组角相等， 这两个角相等，边也相等，就说明了三角形 a、 p、 n 全等于三角形 f、 b、 m， 所以 全等三角形对边相等，也说 f， m 就 等于 a、 n。 而题中告诉你，这两条边所在的线段又是平行的，所以我们就可以证明这个四边形是平行四边。

后台有个粉丝啊，问毕老师这样一个题，说，老师，二一年广东的中考选择压轴题，能不能给我讲一下？哎，我点开头像一看啊，他给毕老师上百个视频都点过赞，那可以说是一个亲同学了。那这道题老毕肯定要讲一下，作为广州十年之内最难的中考选择压轴题， 那跟毕老师长期学的毕家军亲同学是不是也能用到？所以这道题咱们提升一下标准，毕老师按班课的标准给大家把这道题彻底讲透。但是咱要说在前面啊，既然是班课的标准，那就比短视频要稍微长一点， 所以本期内容非常干货，因为老弟会给大家讲透三个层次，四种方法。哎，有人老有人要说，老师，一个题我做对了不就行了吗？我学那么多个层次干嘛？ 哦，那你可能还没入门。真正会学数学的人，首先一个题一定要研究它的本质， 如果本质你学通了，这种题甚至可以口算，这就是一会毕老师要给你们讲的法一了。那紧接着有同学，老师我不需要口算，那毕竟是十年之内最难的选择压轴题啊，我只要有方法能做对就行啊。 ok， 你 想实现这一点，你要先学会一个本事， 那就是如何把握一个题的突破口，你找到了突破口，这类问题 你就能解决了。那么毕老师会在提眼这个层次，给大家再讲两种方法，其中一种就是中考的标准答案了，看看你能不能想得到啊。紧接着第三个方法，那有人说，老师我水平可能稍微差一点啊，正常情况下，我选择填空押注题就没得过分， 除非你教我一个瞎蒙的方法，哎，大家，这就是我们的第四个层面，毕老师不会教你什么三长一短， 毕老师不会教你三短一长选一长，哎，这种纯瞎蒙的方法，但是蒙的方法里面有没有科学的呢？这就是毕老师今天要给大家分享的第四个方法，明明一个题我根本都没太看懂，但是我却要拿到满分，那这样科学的分析方法又是什么呢？ 那么以上三个层次呢？其实也就是我们毕家军在寒春最后一轮中考冲刺的时候，毕老师要带大家实现的，咱们的第一讲就要帮大家攻克掉所有选择压轴题。好，废话不多说，一起来欺负一下。这道题说 以 o 为坐标，原点 a b 为抛物线上的两个动点， o a 和 o b 分 别垂直，那么 o 就是 我抛物线的顶点喽。 这个不难看出哈， o a 跟 o b 还垂直，那么紧接着连接这样的 a b， 然后呢，我过 o 往它还做一个垂线，垂足是点 c， 问我呀， c 点到外头距离的最大值是几？嗯，也就是这一段什么时候最长 是这个道理吧。首先第一个层次啊，如果你想探索这个问题的本质，那我做一个高中数学老师，我负责任的告诉大家，这道题超纲了。原因是这道题考的本质知识其实是我们高中圆锥曲线中的极点极限问题， 而且作为一个高中的知识点，就这个也不是你们高中常规教材中会出现的，只不过他却是高考压轴题中必会的一个点，所以需要大家额外拓展。 那么极点极限这个知识点，如果你能知道的话，你会发现一个什么道理呢？只要过顶点，这个书互相垂直，无论你怎么动，动来动去啊，你会发现他刚好过一个定点，而且 就咱这个题的条件而言，这个定点一定会长在外轴上。那如果你跟李老师学过高中呢，你就不难口算，这个点坐标根据 二次项系数得一啊，它的坐标应该是零一，那么这个是零一，固定不变，这是 o 点，固定不变。那我这个边长是不是就不变呐？啊，这个边长不变，你还想要在这要一个垂直，所以边对角得九十度，所有的这样点， c 长在哪？ 是不是就长在以 o d 为圆心的这个圆上啊？哦，既然我长在这个圆上，那么我到外轴距离最大的时候，嘿， 这个边长不就等于半径吗？啊，直径得一，你说半径得几？二分之一直接口算，毕老师讲清楚了没有？ 看这个怎么样啊，他是高中的一个方法，所以大家能会吗？哎，这就是老师说的本质上超纲的原因。好，那接下来讲两个所有人都应该会的方法。首先做一个函数背景的题， 其实他的题眼一定是有两个方向的。哎，这就是咱们初中最核心的两个板块了，一个就是他的代数解法， 代数方法呢，往往特别好想，但计算量有点大。还有一个呢，就是几何方法了，需要我们想到那个巧妙的辅助线，一旦你想到了，计算量会比较小，就比如说咱这道题啊，哎，中考标准答案是这么讲的，他说呀， 你看啊， o a， 它永远垂直于 o b 啊，这个角得九十度，所以如果我竖着做一下的话，所以如果我竖着做两条辅助线的话，那这叫一线三垂直，你可知道？ 那一旦这个你知道的话，各位，左右两个红色三角形相似，对吗？哦，那我只要知道他们的边长就好了，是不是？所以大家来看啊，我设这个 a 点坐标是 a， a 方，哎，你不是 y 的 x 方吗？我设你横坐标是 a， 纵坐标自然 a 方了，那 b 点坐标，横坐标是 b， 那 你纵坐标就是 b 方， 那么紧接着这段边长就是负 a， 这段边长就是正 d， 这个边长就是 a 方，这个边长就是 b 方。根据三角形相似啊，你不难得出说左乘右等于左乘右，那也就是 a 方， b 方等于负 a b， 把它移向过去，因式分解，注意啊，不要两边同时约啊。啊，那就是 a b 倍的 ab 加一等于零。好，那接下来因为我做的垂直啊，垂足是这个点 o 啊，所以你们两个横纵坐标都不可能得零，对吧？既然不得零， ab 就 不能是零， a b 不 能是零， a b 加一就是零，所以呢啊， a b 就 等于负一，这我就接出来。那接下来，那接下来这个中考标准答案，这个方法就有点牵强了，牵强在哪呢？他说呢，这个垂直你先别管，虽然他给你了，你也别管 啊，但是我 ab 会跟外头有个焦点吧。啊，中考是这个标准答案是怎么看出来的？他也不说，反正我就要这个焦点啊，要这个焦点干嘛呢？哎， 你这都横着竖着做垂线，这不挺好的吗？这会就会有一个 a 字形，对吧？哎，所以我设他的点坐标是零 m 啊，那这个时候由于他的点坐标是零 m 啊，那这个时候由于这一段比上它， 咱们列一下啊，那就是 b 方减 a 方，对吧？比上这一段，那就是 m 减 a 方，它就等于 这段边长，比上它没问题吧？那这段边长呢？横坐标做差 b 减 a， 比上这段边长呢？啊，那就是负 a。 哎，这回大家交叉相乘一下，是不是就是 m 减 a 方啊？这块就应该是 啊， b 减 a 分 之 b 方减 a 方，再乘以负 a 啊，好的， 那我这个 b 方减 a 方，是不是平方差公式哦，它是 b 加 a 和 b 减 a， 所以 b 减 a 约掉这还剩一个 b 加 a， 那 就意味着我把括号展开，它就是负 a b 再减 a 方吧。 你左边减了 a 方，右边还减了 a 方，是不是就抵消了？所以 m 就 等于谁啊？就等于负 a b， 而 a b 呢，又等于负一，我也求出来了，所以负 a b 就 得正一 哦， m 得正一，你看几点极限，那个结论是不是就出来了啊？说你这个是个固定点，那既然你这固定永远都得一啊，你所对的角得九十度，那么所有这个点在哪啊？是不是以一为直径的这个圆上啊？ 啊，最后在这个圆上，什么时候到外头最远了？那就是得半径的时候，就是咱们的最大值了，对吗？啊，所以最大值依然得二十米。只不过 大家这个方法即使给你标准答案，你能看得懂，下一次你做题的时候，你能做的出吗？根本做不出来，所以这种思路其实意义并不大，而且这道题来说，他也有点麻烦。那接下来 毕老师教大家一个想法，通过这个想法的学习，你能够实现学一道会一类，以后这种题难住别人的时候，你依然能轻松把它拿下，那就是函数中的代数算法。那么说这道题代数算法的核心是什么呢？其实在这样一个字 叫做射，这就是高中老师和初中老师的不同了，初中老师我们见着一条直线，我们只有一种射法，叫什么？叫 y 等于 k， x 加 b， 对 吗？ 哎，那么因为这个 b 一 会我要用到啊，所以我给他换成 m 了，这个其实无所谓对不对？哎，但是大家来想一想啊，如果我设的是这条直线是他，那接下来的麻烦是什么？ 我是不是要用到 a 点坐标和 b 点坐标啊？因为它才能决定这个垂直，对吧？那这个 a b 点坐标就得解出来，那 a b 两点怎么解呢？它是不是直线跟抛物线的交点啊？ 作为焦点，那就是带到直线里成立，带到抛物线里也成立，所以我要让他跟这个货连立，连立完以后 ab 点坐标就出来了。那大家不妨来试一下啊，他们俩一连立得到的一元二次方程 是这个，那么这个一元二次方程求根，你只能用公式，并且表示出来的东西又有由利数部分，又有根号，还含有 k 和 m 两个字母，大家是不是太恶心了， 所以大多同学没有往下继续进行，其实就是卡死在这的，毕老师说的对吧？那既然有没有什么巧妙的方法能解决这个问题呢？哎，有，并且这个方法是高中里必会的方法 哦，那就是既然点坐标不好算，我能不能先设点坐标啊？哎，这个就是毕老师要给大家升级的东西了，叫点坐标设法，大家看啊， 说我这个 a 点长在抛物线上了啊，我设 a 点的横坐标是 a 可以 吗？往里带纵坐标就是 a 方。哎，刚刚咱们几何法这个东西不也用来了吗？这，所以它是一个常见的方法啊。说 b 点坐标呢，横坐标是 b， 往里带纵坐标就是 b 方。 那么接下来其实 ab 两个点，我虽然设的是坐标，但是我知道这两个点确定了什么， 确定了一条直线，也就是这两个点他都在外，等于 k， x 加 m 上，所以做一个直线，这个 k 和 m 是 非常重要的，那我就得能用这两个坐标给表示出来，哎，比如说，我们先表示一下 k 啊， k 是 什么呢？但凡基础好一点的人都知道，他就是两个点纵坐标的差，哎，其实也就是这一段， 对吧，比上两个点横坐标的差也就这一半啊，有的老师讲的比较多的告诉你，他会等于倾斜角的正切，对吧？好，那这回我们用一下吧。哦，纵坐标做差，我用 b 方减 a 方可以吧？ 横坐标做差，我用 b 减 a， ok， 咱们一化减，那不就是 b 加 a 吗？ k 咱们就表示出来了。 那么说 m 这个东西怎么表示呢？显然啊，哦，我这个 ab 两点同时往里带解二元一次方组，最后能解出来 m， 但是大家你要知道，这种计算量太大，并不好算。哎，那这个时候怎么办？ 老师刚教大家什么招，我是不是设点呐？好，我继续设点啊， m 表示什么意思？是不是就是它与外轴的交点？哦，也就是说，当横坐标得零的时候，我纵坐标不就得 m 吗？那么你纵坐标得 m 了？不假呀，那你设完了点坐标又该怎么用呢？很简单， 我这个点跟这个点跟这个点是不是共线呐？哦，共线的意思就是说，你这条直线是不是过点 a 啊，并且斜率得这个 k， 那 你这条直线呢？也过点 a 啊，斜率也得 k 啊？ 哦，我过同一个点，倾斜的方向就是一样的叉 s 不 就共线了吗？所以我只需列什么斜率相等。 好，那我这个 a 跟 m 构成的这个线的斜率是多少呢？显然，这个纵坐标的差比上它横坐标的差，也就是 m 减 a 方比上零减 a， 哎，就是它，所以这个跟上边还相等，那就等于这个玩意 马上你就能够算出来零，咱不要负 a 乘过来，是不是就是 m 减 a 方等于负 a， b 再减 a 方啊？哦，刚刚咱几何想要的结论，巧妙复制线出来的结论，是不是直接算就算出来了？只需斜率相等，只需设点坐标，斜率相等，这就是这道题的第一步。 那接下来我想请问大家哦，想求 m 的 值，那就得求 a 乘 b 的 值，对吗？我还有哪个条件没用上？ 是不是这个时候我就会发现我这块还有个垂直没用上呢？哎，那这个时候根据垂直，你想到一线三等角是不是也是一个方法呀？那当然，这个几何方法，如果我们想不到呢？很简单，哈哈， 这条是直线，它的斜率是 k 一。 这条是直线，它的斜率是 k 二。那么互相垂直的两条直线，斜率什么？互为负倒数，也就是 k 一 乘以 k 二是等于负一的，在选择题里面直接用没有任何问题吧？好，那接下来 k 一 是谁啊？ 哦，纵坐标做差比上横坐标做差，对吗？那我这个坐标整个都是零零啊啊，所以 k 一 其实就是 b 一 方比上 b 没问题吧？同样道理， k 二是谁啊？纵坐标坐标比上横坐标坐标，我这个坐标又是零零，所以纵坐标 a 方减零，横坐标 a 减零，那就是它，它俩乘积得负一，那不就是 b 约调 a 约调 ab 得负一吗？ ab 一 旦得负一， m 就 等于正一， m 的 正一，它就是固定点，你只要是固定点啊，那你定边对定角，你所有这点就长在圆上，对吗？所以咱们的最小值二分之一就解出来了。当然说到这啊， 上了高中以后，关于互相垂直，我们还有更快的方法，那就叫做向量。那个时候你只要学过坐标的乘法，他俩一乘，这个结论瞬间就出来了。所以说到这三种方法，毕老师想清楚了吗？那稍微给大家总结一下。第二种方法啊， 说的比较细，原因很简单，希望大家听得更通透一些。但是这种方法其实很容易。第一个，你只要会设点坐标，而不是单纯的只会设直线。 设完点坐标，我们要表示什么？那就是斜率。斜率在一个直线的问题中是相当重要的，所以我列一个斜率相等 m 的 负 a， b 就 出来了。 那么未来互相垂直，斜率还是互为负倒数啊。你同样用点坐标把斜率表示出来，第二个条件也就出来了。所以两个条件一用这道题就了解了。如果练习的比较多，在考场上，这种思路你答题不会超过一分钟，比你那个标准答案的几何法要好太多了。 那接下来解决大家最头疼的问题，有的时候，老师你别跟我说这一堆，我没有一个能想到的，咱底子薄，跟他们比不起。 毕老师也给你们一个中考基础压轴题的方法，而且它还是科学的。这个方法啊，你只要会两步就行了。第一步，你会精准作图吗？哎，也就是说，我这道题虽然给了这垂直，但是 o a 在 哪，我不确定啊， 是吧？哦，那我就是假设 o a 在 这，然后我再做一个精准的垂，然后这块找到点 b， 你 能实现吗？哎，这个时候我又出了一个 a b， 对 吗？不仅如此，我又做一个垂直，又出了一个点 c， 没问题吧？ 哦，你要是会这一招，那毕老师接下来的要求来了，你多做几个，你会发现，我只要来一次精准作图，就会有一个点 c， 来一次就会有一个点 c， 对 吗？那么当你哒哒哒哒哒 哒哒，你找了足够多的点 c 的 时候，第二步就自动完成了，那就是总结规律。规律是什么？通过精准作图，我们发现啊，哎，这些点长在 同一个圆上，不仅如此，这个圆的直径恰恰就是这么长。那这么长是怎么来的呢？那就要看点 c。 如果在这， o c 想跟 a b 垂直， a b 是 不是就得横着长？ a b 想横着长，左右对称，那我这边 o a 和 o b 还是垂直的，那就意味着这个三角形怎么样啊？是不是等腰直角三角形啊？作为一个等腰直角三角形，显然我这个点的坐标横纵坐标相等 啊，原本抛物线就是 y 等于 x 方，你这个点呢？横纵坐标还相等， 嘿，他俩一连立 x 方得 x， 那 x 不 就等于一吗？对吗？哦，也就这个点，坐标一，也就是这段线段长，其实就是一。当然啊，如果有同学不会算的话，你总得会量吧，刻度尺量一下，你也能给他量出来，恰好 一个单位。所以，既然我们已经发现了所有的点 c 都长在圆上，并且直径还是一个单位，那你说最远是多少啊？二分之一个单位吗？所以这个题就做完了。 那有人说，老师你这题不是纯瞎蒙吗？你要这么教孩子，不是把它毁了吗？大家，我要说一下这个方法的科学性和必要吗？我们初中学的自然科学主要有两个学科，一个叫物理，一个叫数学。物理中的那些公式都是哪来的？各位家长，各位亲同学， 是不是都是前边的科学家做了大量的实验总结出来的规律啊？那我这里边的每一次精准作图， 其实是不是就相当于做了一个实验？我先做一个实验，然后找到这个规律，因为你本质规律是什么，就算你能解出来，你没学过，你也不知道，对吗？但是我可以通过实验的方法给它探究出来啊。我探究出来，哎，这道题的本质规律就是它永远长在一个圆上， 这不挺科学的吗？不仅如此，大家初中数学我们学函数的时候怎么学的？函数图像的画法是一开始你就知道这个东西长成抛物线这个形状吗？ 不是的，而是数学书上教我们一种方法叫什么呀？叫描点法。画图像，那就是列表描点连线列表描点在干嘛？是不是就在一个一个的找特殊值？是不是就相当于一次一次的实验， 然后一次一次的精准测量，你才把这些精准的点描上了？最后你会发现哦，这些点用平滑曲线一连，它是个抛物线，最后才总结出来的规律。 所以本身精准作图就是一个探索本质规律的过程。有了这个过程，我又知道结果，那我自然能够做通所有这个题。讲到这给大家稍微说一下， 我相信你们一定做过这种题吧，做一个三角形，沿着一条线洞，最后跟几何形面积重叠的部分，图像是什么样， 对吧？让我们画图像，那个题到底选什么？各位，凡是这种图像怎么办？精准读，然后描点法，是不是这类题没有解决不了的？这就是科学探讨问题方法的厉害。画家说，前边讲的再通透，也是钓上来的那个鱼， 这个家伙才是真正钓鱼的方法。那么到此毕老师多说一句，刚刚咱只是把选择压住题三个层次都给大家讲了， 如果中考中选择填空解答的每一个题型，再到各种函数压轴题，代数压轴题，几何压轴题， 创新类压轴题，毕老师都给你讲到这个层次呢。那么这样的一轮复习方案是不是能让你有巨大的收获呀？所以距离中考还有不到三个月的时间，只要你努力，一切都来得及。

广东准中考的考生请注意，二次函数作为中考必考的考点，这道题不用计算也能在十秒钟轻松判断大小，关键是把这一个知识点掌握好。我们来看一下这道题，这是一个二次函数的图像题，它有三个点， 分别是零、 y 一 二、 y 二，然后是三 y 三。我们要比较的是 y 一、 y 二、 y 三的大小。二次函数它的图像是一个抛物线，它不比一次函数，我们不能直接通过 x 来判断。我们要先确定的是这个二次函数，它的对称轴是 x 等于一。接着我们大致把这个图像画出来，由前面给到的参数可以知道，它是一个对称轴为一，且开口向上， 因为它前面的 a 是 等于一， a 值大于零，所以它是开口向上的。具体它的 h 值是不知道，大致的图像大概是长这个样子。我们来比较一下 y 一、 y 二、 y 三的大小。对称轴 x 等于一，那么这里的 零和这里一定是二。因为它是一个对称的图形，所以 a 点和 b 点它是一个对称点，所以 y 一 应该是等于 y 二的，而 y 三是距离对称轴更远的一个点， 所以它的 y 三应该是更高的，所以 y 三一定是大于 y 一 和 y 二，且 y 一 等于 y 二，所以正确答案选 a。 最后这里再给大家提几个易错点，基础比较薄热，考生可能看到这个图像题的时候，会想着把三个点都带进去进行一一计算，但是也求解不出结果。这个是因为没有应用数形结合的模式去解这道题， 想要轻松又快又好的解答二次函数题，利用数形结合的方式是最为便捷的，不用花时间进行复杂的计算， 十秒钟即可获得答案。您的孩子不落相是哪一块呢？也欢迎在评论区留言，我这边将出系列的模拟考题进行讲解。关注我，我是陶老师。

广州错的家长注意了，孩子最近需要几何的最值，是不是一听到将军引马问题就很头疼呢？其实呢，最值问题考的不是某一个知识点，而是一种数学思想，叫做转化思想。初中几何最值，归根结底，本质上就两个公里， 第一个就是两点之间线段最短，第二个呢，就是点到直线的垂线段最短。你听过的将军引马，其实背后呢，都是转化成这两条。 所以做最值问题的关键不是实际模型，而是找到题目中隐藏的转换路径，找到那两个点，或者找到那条垂线段，其实问题就解决了一大半了。模型要不要学呢？要，因为模型能够帮助孩子去提供思路， 但是如果说只会套模型是没有用的，一定要去学会拆解模型，看到它背后用的是哪种转换思想， 怎么练呢？找一组最直的问题，让孩子先判断题型再说。他用的是两点之间还是垂线段最短，在做题当中呢，就会慢慢磨练出题感，练多了，这样就能够快速的找到解题的路径了。最直问题不难，难的是还没有找到那把转化的钥匙。

初二的同学很快就要期末考试了，我们广州很多学校其实已经在讲我们初三的内容了，基本上每年初二升初三都是这样一个学习节奏，所以学校基本上不会系统性的去给我们复习。初二升初三的这个期末考试 基本上老师都是在以赶初三的课程为主，那么对于我们想冲一百三十分以上的同学，我们该怎么样去高效的去复习呢？实际上我们广州初二下的期末考试基本上都是以勾股定律，平行四边形，还有一次函数为主去考察，我们 这里我要给大家提一个醒，我们初二上的全等三角形也会大量的出现在我们期末考试卷里面，这就是为什么全等三角形虽然是初二上学的，但是他对我们整个初二都是非常重要的， 这一点大家需要去注意一下。对于想冲一百三十分以上的同学来讲，你们的重点就应该放在选择和填空题的一次性正确率上，那这里选择填空题里面最容易卡壳的就是在我们一次函数，利用 k 的 正负 来比较 y 一 y 二的大小，这里面的增减性大家容易弄反导致丢分。还有就是一次函数共存图像判断 k 和 b 的 题目，这类题目每年基本上都会出现，考点非常的频繁， 再就是我们以四边形为轴体加三线，构造特殊三角形，这类题目非常考验大家的一个迁移能力，剩下的就是比较简单，但是大家平时在做的时候，在考试的时候经常会错的一些题目， 这个我们大家就去把几份历年的真题给它练熟，把里面的易错点还有陷阱自己总结出来，基本上在真正的考试里面基本就没有太大问题了。然后就是我们的大题，大题方面十七到二十二题，大家最好可以多去练一练，这些题目就是我们每年考点固定， 但是又没有什么难度的题目，大家在考试里面尽量保证不要去出错。我们需要去注意的就是我们二十二题每年都会出以一次函数二元，一次方程不等式为主的应用题， 那么我们还不熟的同学，对于应用题还不熟练的同学，我们这个月就可以花时间去做二十道这种类型的题目，然后做完 总结归类一下方法，我不信你们还会再错这种简单的送分题。最后就是我们的二三二四二五压轴题，这两年基本上都是以一道一次函数还有一道几何证明题为主流， 我们想要从一百三十分以上的同学，你们多去看看四边形的折叠问题，这三年的试卷基本上都是以翻折权的最值重点分类讨论为主要方向，属于是我们的几何大杂烩。烩方面其实也加入了我们四边形的内容， 也属于是函数加几何的一个大杂烩，同学们可以多去看看将军营马结合函数求动点坐标， 以及利用矩形菱形勾股权等求参数 k b 的 这种类型的题目。初二这个学期的期末考试其实非常考验大家的一个几何功底，同时我们的函数也是第一次以难题的形式和大家见面， 所以我们一定要利用好这次的一个复习机会去把我们的几何给巩固和复习好，同时我们函数的方面不懂的，一定要利用好这一个月的时间去把我们图像变化函数性质给他弄懂， 这其实是为我们初三的，而函数在铺垫，同时几何也是在为我们原相似三角函数的内容在打好地基。