德摩根公式及证明数电

速度再提十秒，德摩根公式你值得记忆，最近老师所带的高三班级练习里面老是遇到啊这种类型的题目，老师给大家总结了一下啊，像这种类型的话，就可以用德摩根公式去解的话，可以结成 大概十秒钟的时间。像这个我们形式的话，我们可以把它记记住，先补后并啊，那么这个我们把它记住啊，先交后补好，这个是先补后交，这个是先并后补好，也就是说这个公式如果前面这个地方是 并集，那么后面我们就要把这个地方改成交集，如果前面是交集，后面就要改并集好，所以非常的好记。像这个题目的话， c u a 并上 c u b 的话，那直接用我们的公式，就他是先补 后并，那么就等于先交后补啊，那么我们看交集，看交集的话，直接就是三四，把 u 里面去掉三四啊，那么就很简单，那就是一二五六七 八。好，那我们看第二个，这个时候是先补后交，那么就等于先并后补，我们看并起来的话，就是一二三四五六啊，那么去掉一二三四五六的话，那就只剩七和八。

这节课我们进行第六讲课的更是，以及德毛该公示这课的更是。实际上，如果说小学学过思维拓展的话，嗯，你应该听过仁慈原理啊。仁慈原理和这个是一个道理的 啊。学校小卖部进了两次货，第一次进的是圆珠笔，铅笔，橡皮这些东西。第二次进的是圆珠笔。哦，这圆珠笔。然后铅笔，火腿肠，方便面啊，这有个方便面哎，这两个相同的， 一共共四种。那么他一共进了几次货？人外进了几次货。那么我们先看一下这卡的公式，这卡的公式呢？就是这样，卡的公式等于卡的 abb， 就等于卡的 a 加上卡的币， 减去卡的 a 交币。这个怎么说呢，看一下无言图就比较有意思了。就比较容易了啊。 我们先看卡的 a， 卡的 a 是不是这这这整体的，然后卡的密的是这个呢，然后他减去一个 ab， 减去一个 abb， 就是这个样子。那么 a 交 b 啊， a 交 b。 那么咱看一下这个 打比方说吧，他 a 呢是是一二三四五六是六种对吧？ b 呢，一二三四一共是四种。 但是呢，在这里边有两个是一样的。圆珠笔，圆珠笔，方便方便对吧？也就在这有两个，在这有两个，他一共有六个的话，这里就变成了四个，这里是不是就变成了 两个。那么也就是说这边 a 一共有六个， b 一共有四个，他有两个是一样的。所以说我们说卡的 a 就等于四 w 加上减，加上四，要减去一个二，就等于八八种货 对吧？咱们看一看这些一二一二三四五六七啊，还有个汽水八。 那么看的 ab， b 呢？看着 a b b 呢？ a b b 十 a b b 是哪一块？这一块 这一块你看刚好是不是就是这个 a 的空白，加上 b 的空白，再加上中间的这一个，两个是一模一样的，所以说他俩可以相等啊。这个就是小学阶 适当的学过的绒尺原理啊， 绒翅原理啊，我们小学已经学过的。那么咱的小学还学过一种是三个的啊，咱们换下三个的啊，三个的好吃吧。这样的啊， 这样了，然后还有一个这样对不对？这比如说是个 abc， 那么这样的怎么写呢？和这个实际上是差不多的啊。人事原理其实写起来比较简单了啊，就是科的 a 并 b 并 c， 就等于卡着 a。 我就写个 ca 吧，咱不浪费时间了。 ca 加上 cb， 加上 cc， 再剪去，然后他们相交的啊，剪去这一个，剪去这一个，剪去这一个对不对？剪去 看的 cabb 减去 ca， 不是 a 交 a 交啊， a 交 ba 交 c， 减去 cb 的 b 交 c。 但是咱们还要看一下， 这个剪了一次，这个剪了一次，这个剪了一次，咱是不是多剪了中间这一块了，多剪了这一块，咱就干什么？应该给他加上这一块，再加上一个，看的 a 交币交税，咱是不是就给人多加了，多减了这一块，咱再给他加上这个就可以了。这是三个的啊，这是三个的。卡的公式，我们小学实际上已经学过了， 这就不重点的讲了，记住这个公式就可以了啊。就减去重复的，减去重复的那一部分，你给人多减了就得给人家加上，多加了就得给人减去，就这么简单 啊。看这个，这是两个的啊，三个的自己记住行了，刚才截个屏，自己实际演练一下就很容易了啊。五十个人参加加益联盟比赛， 每人至少参加一个哦，这代表什么？五十个人啊，他是这样的是不是啊？那么哪个是五十？是不是这这整个的就是五十。这个是五十。也就是哪个是五十，这个是五十吧。 那么假象三十人。哦，这是三十人。那这是这是假。那么这里一个圆圈是不是都是假？这里边实际上还是有人的。那么一项二十五人，一项二十五人。也就是假象三十一项二十五，两项都参加的。两项。 之前他是不是要求这个，求这个，也就是说求这个 x， 但是个 x 吧。 x 的过程说是这个 x 等于什么呀，是不是他两个这盒减去他这不就是荣赤吗？ 啊，容春园里一模一样啊。一模一样的说出来应该多少五人。实际上咱设 x 也能设的出来，用小学的呃，知识也可以设的出来。这里设个 x 的话对不对？然后自己一做，很容易很容易做的出来啊。 这里边就是多少三十减 x， 这呢二十五减 x， 自己想想怎么做去吧。太简单了啊，咱们该公示啊。 那么一直全集当中， u 当中有 m 个元素，然后 cua 交 cub， 有 n 个元素，我们求 abb 有多少个， abb 有多少个。那么我们画一下图，我们先 画一个图，然后这是全街有有 m 个元素，那么 cua 啊， cua 在这， cua 是不是只外边这一圈，然后 交上 cub 哦， cub。 比如说是这样的，那么这里是一个 a， 这里是一个 b。 咱 cua 的时候是不是这这这些啊，也就是说除了这个这个圆圈之内的。然后 cub 呢？ cub 是这个圆圈之内的， 然后香蕉，那香蕉是指哪一部分？那肯定是指外边这一圈了吧，是指外边这一圈一共有多少个 n 个元素？求 abb 哦， abb 是不是刚刚好这个这里边的这个东西对不对？这里边这些东西，这些是也就说这两个圈为 起来的封闭图形里边的外边那些面积，就是指这个 n 个元素。那么 a b b 是不是刚刚好这里边了。也就说这个玩意和这个玩意是不是共同组成了这个全集优，所以说我们就得到了他的等于 m 减全。那么画一个图我们就可以看一下啊，这个就是德摩干公司啊， a 并 b 的补结就等于 a 的补结，交上 b 的补结。 这不是很容易，很容易就判断了。刚才咱判断了，那么这个呢，咱就不做了，不做介绍了也是一样啊，这一晃就能很容易得到 cubcua 胶笔就等于 cua 并上 cub 啊。这个实际上这故事很容易记啊，咱们看一下啊。 cu 它的这里边是一个病结，那么我们这里把它如果说拆开的话， cuacub 的拆开的话，立马这个符号方向发生了改变，就变成了交接。 这个呢，这里边是一个交集，那么我们把这个 a 和 b 拆开了之后，就变成了一个什么并集啊，这个集起来很容易啊。这个集起来很容易。我们做一下小结啊，做一下小结。卡的公式呢，两个的卡的公式就是卡的 a 并 b， 就等于卡的 a 加上卡的 b 减去卡的 a 交 b， 三个的呢，三个呢？就是卡的 abb， bc 就等于 card a 加上。这里边我就写吧 card b 加上 card c， 然后减去谁减去 carda 交 b， 减去 car 的 a 交 c。 继续啊，减去 car 的我就不不写的太那个了啊。 b 交 b 交 c， 因为咱们多减了 一个，多减去一个，大家就是给他加上这个卡的 a 叫 b 叫 c， 中间那个咱多讲了一次，再给人家加回去，那么他不就 ok 了吗？这个也要记得住啊，这个比较容易。这就是容器啊，容器的容排斥的吃。 溶池原理这是小学学的，小学扩展里边的啊，思维扩展里边，然后这里怎么跟 cu 里边是一个病的，那么把它拆开就变成香蕉，里边是个香蕉的。然后干什么？把它拆开就变成刚好符合相反，刚好符合相反啊。这个很容易记得住。 这个呢。应用嗯，怎么说呢，看固定题型吧，不会出大题，不会出大题，一般出小题。 第一个融资原理里边最多有一个你们的做单材质卷啊，或者提升考试的，会有一个应用题之类的东西，实际上没有什么特别。嗯，能讲的东西啊。这节课就结束，再见。

他从未接受过正规教育，却仅凭直觉就能写下无数公式和定律。他一生只活了三十三岁，却留下了近四千个公式。他说，这些公式本来就存在，都是他从梦里抄来的，自己也不懂如何证明。 但在他去世后，科学家们花了整整一百年才陆续证明他所有的公式都是正确的。 甚至他生命最后一年写下的公式，直到近年才被理解，那是一个关于黑洞的公式。而一百年前，人类连黑洞这个词都还没发明。他就是拉玛努金，一个用直觉、权势、科学之美的天纵奇才。 一九一三年前，大学教授哈代收到一封从印度寄来的信。作为数学界权威，他常收到各种来信，起初并没在意， 但当他仔细阅读这十一页写满一百二十条公式的信件时，整个人呆住了。哈代根本不知道这些公式是如何推导出来的，却凭直觉认定他们都是正确的。 他立刻回信，极力邀请这位名叫拉玛努金的年轻人来剑桥。收到邀请的拉玛努金却一脸茫然，他不明白哈代为何如此激动，更不懂为什么要证明公事。他说出了那句经典名言， 把苹果放在面前，难道还要证明他是苹果吗？虽然困惑，拉玛努金还是去了剑桥，然而哈代很快发现，这个能写出复杂公式的天才，竟然连一元一次方程都不会姐！当被问及公式来源时，拉玛努金的回答震惊了所有人。 晚上做梦时会看到一堵无边红墙，有只手在上面写下公式，我只是把它们抄下来。哈代起初认为他在胡说八道，但在长达五年的合作中，拉玛努金一次次通过睡觉解决难题，让哈代开始怀疑人生。 在拉玛努金的帮助下，哈代解决了困扰数学界数百年的整数分差问题，这时他才真正相信，这个年轻人确实拥有超乎常人的天赋。 然而，天妒英才拉玛努金三十二岁时患上肺结核，不得不入驻疗养院。有一天，哈代乘出租车前去探望，随口提到出租车排号一千七百二十九， 这个数字好像没什么特别，拉玛努金听后说，让我先睡一下。不久他醒来告诉哈代， 一千七百二十九可以用两种不同方式表示为两个立方数之合，是具有这个性质的最小数字。这类数字后来被称为低式数。至今人类只找到六组，其中四组是靠超级计算机算出来的。 几天后，病重的拉玛努金因思想心切返回印度，很快去世，年仅三十三岁。临终前，他又做了一个梦，写下最后一个神秘公式，魔函数。当时全世界没人能看懂，包括最顶尖的科学家。 直到二零一二年，科学家才发现这个公式可以用来描述黑洞行为，而拉玛努金提出它时，人类还不知道黑洞的存在。 他最后的公式就像是从宇宙图书馆直接取出来放在人类面前。所以后世有人说，或许是老天发现他在泄露天机，才急忙把他收了回去。

顶级数学家能有多恐怖？就说海王星吧，他一点踪迹都没录。但奥本勒维耶就像开了挂板，把他推算出来。只因他在研究天王星时，越算越觉得不对劲，咱们这颗星球的轨道一点都不按牛顿力学的剧本走。然后一个大胆的念头就在他心底冒了出来， 是不是在天王星轨道外面，还藏着一颗没被人发现的行星，它的引力把天王星给带偏了。由于那时候的望远镜不给力，勒维耶根本不能通过观测证明自己的猜想。既然看不见，那勒维耶就干脆不用观测数据，纯粹靠手里的数学公式，硬生生去推算这颗隐形行星的轨道 大概会在天上的哪个位置算出来之后，他写了封信，把预测数据告诉了柏林天文台。就在一八四六年九月二十三日那天晚上，德国天文学家加勒把望远镜对准了勒维耶指出的那片天区， 结果真的找到了一颗全新的行星，位置和预测只差了不到一度。这颗星就是海王星，海王星表示开没开挂自己清楚。类似的事情数学王子高斯也干过。一八零一年，意大利天文学家皮亚奇发现了一颗叫谷神星的小行星，这消息当时轰动了整个科学界。 可没过多久，皮亚奇生病了，中断了观测，刚好股神星运行到太阳背面，在强光里彻底消失了。当时的天文学家们都慌了，就这样把一颗行星给弄丢了，天上星星那么多，上哪去找他呀？ 一时间，股神星的位置成为了世界难题，无数天之骄子加入其中，但都以失败告终。就在大家快要绝望的时候，年仅二十四岁的高斯站了出来。他没用望远镜，只是一味的埋头计算这颗行星的运行轨道，定是靠数学方法算出了股神星应该在的位置。 当天文学家们把望远镜转向高斯指出的那片夜空时，所有人都惊呆了。股神星真的就在那里，一分不差。当然，最离谱的还当属祖冲。 当全世界还在拿绳子绕筒，拿尺子比划圆的时候，他已经在公元五世纪凭一把尺子算筹，再没有阿拉伯数字，没有零， 没有小数点的混沌中，把圆周率定死在三点一四一五九二六到三点一四一五九二七之间，靠的就是一个割圆数。把圆从六边形一路割到两万四千五百七十六边形，每一步开方，经纬步阵都精确无比，全是手动算出来的，七位全准 是估算，是硬算。更离谱的是，他推导出密率三百五十五比一百一十三，这一分数值精确到小数点后，六位领先欧洲一千多年。直到十六世纪，西方数学家才跟上他的脚步。也正因如此，旷世成就，圆周率才会别称为祖。

每天一节高数课，期末考试不挂科，欢迎大家又一次来到磊哥的高数网课。今天我们来看一下导数和差积伤的这个公式的证明和推导。 好了，先看第一个，呃，若函数 mew x 和 v x， 再点 x 零可导，那则函数 fx 等于 mux 加减 vx 在 x 零处也可导切 f x 零的导数等于 mew x 零的导数加减 vx 零导数。我们来正一下这个，来正一下这个公式， 正一下这个公式。正的话都是用定义去正的。好了，先把 fx 零的导数给他写出来啊，我们用定义写出来，呃，就是我们说的那个 f x 零加达尔塔 x 减去 fx 零，然后再除以达尔塔 x， 这就是导数的定义，我们用它来正一下 啊。那这里的话，我们知道这个 fx fx 等于他，那 fx 零的话，就是 m x 零加 vx 零加减 yx 零，那 fx 零加加这个灯的 x， 那肯定就是这个 mew x 零加 der tex 加减 v x 零加 der tex。 所以你看到第一步 meal x 零加 der tex 加减 v x 零加 der tex 再减去 miu x 零加键 v x 零啊，就减去了一个这个 f x 零。好了，那我们把它拆开就可以了啊，就是这个，呃， miu x 零加这个 dartax 啊，减去这个 mux， 那它俩放一组，然后除以 dart x 加减 v x 零加德尔塔 x 键这个 v x 零，他俩放一座啊，这样的话我们就很容易发现了， 这个的话，他就是 v s 零的导数，这个的话就是妙， s 零的导数就很容易挣出来了。好了，我们再看第二个， 第二个的话就是乘法的导数，我们初中经常说，呃，一个六 x 乘以 yx 的导数，就是前倒后不倒，加上前不倒后倒，那就是 这个 f x 的导数应该等于优导微加上优微导，优导微加上优微导，我们把它来正一下。还是用定义来做啊？第一步我们还是去写这个， fx 零加德尔塔 x， 减去 fx 零，再除以德尔塔 x。 好，那我们来看一下啊，这里的话是 f x 零加 deretex， f x 零加 deretex 就是这部分啊，这部分的话是 fx 零。呃，把它一剪，剪完了。 这块用乘法做的时候，他这有一个小技巧，你看一下我下一步写的这个，我们是给他减去了一个 monex 零，微 x 零加德尔太斯，再加 monex 零，微 x 零加德尔太斯，就减去了这个整体，再加了这个整体，这样的话就可以正出来了。 好了，我们拼凑了一下，一减一加这个等式是成立的，剩下的照抄，照抄完了以后我们来给他合一下，合并一下这个同类项，就是第一项，就这一项和这一项啊，把他俩放一组， 呃，然后把他俩放一组。先看把前面这放一组，放一组了以后你看他俩都有个供应社，就是 vx 零加德莱斯， vx 零加德莱斯 来提出来，那里头就变成了 mewx 零加的减去 mx 零，同理，这边他俩的供应是是 mx 零，那这个，呃分子的话就会变成 vx 零加 代尔台词减去 vx 零。呃，那这样的话，你当代尔特 x 趋近于零的时候啊，那这个就会变成 vx 零。呃，那 这个的话就没有 x 零照抄了，那这这块的话，他不就是没有这个导数的定义吗？没有 x 零的导数，那同理啊，这个的话就是 vx 零导数的定义啊，直接一写，这个公式就推出来了。好了，我们再来看最后一个，就是除法的导数 啊，除法的导数的话，他推起来比较麻烦一些啊，但是，呃，也是可以去推导的，大家在这的话 了解一下就可以了。呃，刚才那个乘法的话，我们还可以推广成有限个函数的承接啊，你比如说我们写了三项啊，他可以这样去写啊，大家了解一下就可以了。好了，再看第四个，也就除法的导数。除法导数，我们知道是分母的平方 啊，初中已经背过了分母的平方，优导微减去优微导。好了，我们来证明一下这个。这个的话，我们的本质就是把乘法变成了啊，把这个除法变成了乘法，我们换个元，呃，设个新函数。另， jx 等于这个 vx 分之一，那这个 fx 我们就可以写成乘法的形式了。那现在的话，我们只需要去正 jx， 再点 x 零处可导就可以了。那要正 jx x 零处可导，还是用定义去做 啊，用它减它除以 d x， 那么来看，这 x 等于 v x 分之一，那它就会等于它减去它照抄，然后从这到这啊，这是一个关键的一步，我们给它去通分，给它去通分后，你会发现分母 啊，分母的话，这个时候有三项，有 der tex， 有这个 v v x 零加 delete x， 还有 v x 零，这是它 整体的分母，那分子就变成了 v x 零减去 v x 零加 dear x， 你通完分以后，这个的分子就会变成 v x 零减去 v x 零加点 x， 但是我们给他提个符号出来，就又变成了 v x 零加等 s 减去 y， 想要把它拆开写啊，这样拆开写了以后啊，都帮帮助我后面好看一些，那这个时候我们来看一下啊，这 x 零的导数啊，这样一写，写完以后， 那我们发现啊，后头的这个东西，后头的这个东西，你来看一下这个东西，我们当德尔塔 x 曲径零的时候，当德尔塔 x 曲径零的时候，后头这个东西的分母就变成了 vx 零的平方，所以这有一个 vx 零的平方，那前头这个东西，前头这个东西不就是 vx 零的导数吗？符号照抄了，也就是说 jx 零导数就算到这个位置了，那算 到这个位置以后，剩下的你就往前带就可以了，就是 x 零的 fx 零的导数啊， fx 在这个位置， 那 x 零的导数，那我们说优导，用乘法去做优导，微加上有微导，然后把你刚才算出来这个型导数给他回弹啊，去化解，然后就这个就可以正出来了。好了，今天就分享到这里。