认识成正比例的量教学反思

大家好，今天讲人教版六年级数学下册四十三页文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系如下表，这个呢是数量，这个呢是总价 一米，总价是三点五元，两米总价是七元，三米是十点五元等等。来我们看第一问 表中有哪种量，我们可以看到有数量和总价两种。二、总价是怎样随着数量的变化而变化的？我们先看这个数量越来越多，就是数量在增加的时候，它的总价是也随着增加的。 当然我们可以反着来看，数量减少的时候，它的总价也会随着减少。我们看第三，相应的总价与数量的比分别是多少，比值是多少，他给了好几组。我们先看第一组，第一组呢，总价是三点五，数量是一，所以它的比呢就是三点五比一， 那么比值呢就是三点五除以一等于三点五。我们再来看第二组，就是七比上二，那么他的比值也是三点五，往后我们都发现他们的比值呢都是三点五。 所以呢，我们从上面可以看出来，总价与数量呢，他这两个量呢是有一定的关联的，总价随着数量的变化而变化的，而且呢总价与数量他的比值是一定的， 我们发现他们的比值呢都是三点五，那这个比值的三点五其实就是彩带的单价，也就是彩带一米就是三点五元。那么我们用等式来表示他们的关系就是总价比上数量等于单价。 那么像这样两种相关联的量，一总量变化，另外一种也随着变化， 那么这两种量中相对用的两个数的比值是一定，这个比如说总价和数量，他的比值就是单价，因为单价是固定的，那么这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 对于我们上面这个表来说，就是总价和数量就是是成正比例的量，总价和数量是正比例的关系，那么我们可以用字母来表示， 如果用字母 y 和 x 来表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值。注意这个比值是一定的，它是一个固定数，那么正比例关系，它的式子就是 y 比上 x 等于 k， k 呢是一定的。 那么上表中的数据呢？我们还可以用图来表示，一米对应的是三点五元，两米对应的是十点五元，四米对应的是十四元， 那么根据这个就可以画出来它的一个图，通过这个图像中我们发现了什么呢？我们可以发现这个图呢，它是从坐标零零出发的一条射线，除了这个点以外，这条线上所有点它们两个量，它的比值都是相等的，它的比值也就是单价。 那么把数对十三十五和数对十二、四十二所在的点描出来，数对十三十五，那么十在这里，三十五在这里，所以就这个点，数对十二和四十二，十二在这里，四十二在这里，我们描出来， 然后我们给他延长，延长以后我们可以发现呢，这两个点呢，与原图像是在同一条的射线上的，我们再来看。三不计算，根据图像判断，如果买九米的彩带总价是多少，我们找着数量是九米的时候，九在这，他对应的 总价就是这里，这里呢应该就是三十一点五，那么四十九元能买多少米彩蛋呢？我们找到四十九，在这里我们看它对应的是这个点，对应的是十四米，所以可以买十四米的彩蛋。 第四，小明买的彩蛋的米数是小丽的二倍，那花的钱是小丽的几倍，彩蛋是小丽的二倍， 我们发现这个彩带的长度越长，他的花的钱数也是越多，但是他的笔直是一定的，所以彩带是他的两倍，那么钱也是他的两倍。 我们生活中常见的正比例关系，第一个呢，比如说正方形的周长与边长，因为正方形的周长呢，等于四倍的边长，所以正方形的周长除以边长等于四，他们两个的比值固定的是四，所以他们俩成正比例关系。 还有一种呢，就是路程比上时间等于速度，因为速度是一定的，所以路程与时间也是成正比例关系。接下来是做一做，大家可以自己练习，这里是答案，大家可以自行核对。

是什么？我觉得黄老师会考虑路程量，选校的时。呃，选校的时间 好，也就是路程，速度和时间。那他们之间的数量关系是什么？速度等于路程，除以时间。除了关注这一个数量关系以外，刚刚有个同学提到了黄老师会比较关注和油价有关的， 那就是涉及到的数量关系是金钱。总价，总价，总价和单价数量。对了，那就是单价数量不占，单价等于 总价除以数量，单价等于总价除以数量。好，这是黄老师一次加油的一个视频，那请你仔细看一看这个视频，请问你看到了哪两个量的什么变化趋势？ 好？谁来回答一下？ 哪两个料的什么变化趋势？请你来油量和金龙。好，我们在上面看到了油量和金龙。那你还发现了什么？不变的量没有 三价。哎，很好，在我们的加油视频当中，有一个料始终是没有发生变化的。三价三价没有发生变化， 那变化趋势是什么呢？油量和金鹅它在变化。变化趋势是什么？好，杨明熙， 从低到高，从低到高。我没听太明白，谁能把这一个变化趋势说的让我能听得更明白更细致一些？ 油价上升还是谁上升？油量 谁在上升？金额金额在上升，金额上升是因为谁上升了？流量？对，好，请坐。那这里就是当我们的油量越来越上升的时候，金额就会越来越高。那所以这两个量是哪两个量呢？ 数量是什么数量？来两个量，总价数量和总价，也就是这个具体视力当中的油量和心和。 那这两个量是不是单独来发生变化的？不是不是，不是，是因为有， 我们要 x 变化，才会有肌肉力量的变化，所以我们在表示变化趋势的时候，我们要表述的更加的完整， 也就是随着一个量增加，另一个量也会增加。哎，那除了这样的变化趋势，那我们的实际生活当中还会有其他的变化趋势吗？ 想一想，这里是随着一个量的增加，另一个量增加，还有没有其他变化趋势？ 好，你来买文具，嗯，高速变化趋势，随着 市场，你买一支钢笔的话三块五，买两支钢笔的话就是七块，所以越来越高，那也是随着数量的数量，数量的增加，金额也增加。 好，相同的变化趋势，我们暂时先不讨论还有没有其他的变化趋势。 油墨和铅笔，嗯，但你刚用笔买了一支笔，嗯，你用过笔，假如那支笔也是铅笔， 你这个千米十厘米用多少厘米？他剩下的量就跟你比啊，那就是随着一个量的增加，另一个量反而在减少。哎，那我们刚刚发现了两种变化趋势，一个是随着一个量的增加，另一个量在增加。刚刚 各位同学提到了，随着一个量的增加，反而另一个量在减少，那还有没有其他的呢？那我们就从下面的几个具体情境当中，我们来找一找，发现一下。 请拿出你的学习单，读清楚我们的学习要求，先独立思考三分钟，然后小组合作四分钟，完成学习单的分类要求开始， 请自己把握时间。 老师， 你们在写变化趋势的时候，黄老师刚刚提醒大家了，要表示完整，那就是一个谁在增加，另一个量也在怎么样？ 但是其实这个就是一个亮晶晶，那么一个亮晶晶的小姐姐， 我发现难点都在第二上面，那我给大家一个小提示，这个 r 是 一个什么工具呀？收藏，谁的收藏工具？我的东西。好，那它应该属于哪一类呢？仔细想一想，继续 好吃。好， 你讲一下， 看这里树上的是边角，角角角有一个吗？有，对啊，那这个是什么？ a 是 什么？ a 是 什么？ 这是正方形，边长边长角， c 代表的是周长，等于边长乘四。好，再想一下 啊，现在这个时间大家可以讨论一下，有同学已经出来了，但有同学可能还没有想法，听听别人怎么说的。犀利， 我发现了，有好几个同学已经能够第一次， 嗯， 就是， 哎呀 啊，抓紧时间啊 啊， 经过讨论以后，有些女的同学， 有些同学已经分类越来越准确了啊。好，时间到来，我们先停下来， 先来看一下这个同学的 好，首先谁来具体的说一说，你觉得哪一个是最容易的，最容易去判断的？七和三是几和几？七和七四，三和七五。好，来，我们先来看一下三， 他的变化趋势是什么？一个一个三和，一个两两两两， 一个数量一二三四五六一个数量在这增加面积的长度在减少，也就是总长度。铅笔总长度一定的时候，你用的长度越来越 多，那剩余的长度就越来越少。好，和他一个量在增加，另一个量在减少，和他相同变换形式的七个三三和七七七七。听到你们的呼声说七，我们来看一下 这是什么东西？一定唯一在成都，唯一在成都，四十，什么东西不变？四十八，四十八是他们的什么结果？一，一个乘法三十里面的积不变的时候，一个因素 增加，一个因素减少，一个因素增加，另一个因素在减少。所以三和七是一类，他写的是随着一个量的增加，另一个量就在减少。正不正确？正确，还有没有和他同一类的？ 和这一个变化是是统一的，还有没有？没有？好，那么我看到了，他说一、二、四五是以内，那我们具体下来看一看。一， 先来这里说一说。好，你来觉得一个量在增加，另一个量也在增加，哪一个量在增加？数量在增加，总价也在增加。哎，数量在增加，总价也在增加。好，那我们来看看。二，二，谁想清楚了？ 因为我发现二是错误率最高的。好预备。二是正方形，二是正方形的周长公式，而那个周，而那个周长如果扩大两倍，那他的那个四 a 也会跟着扩大两倍，也就是谁增加会引起谁增加。正方形的周长必然会引起 他的边长的增加。好，周长增加，边长也会增加，那我们一般是说边长增加， 通常也会增加。好，刚刚对二有疑问的同学，现在还有问题没有？没有对，好，他只是和我们这个表格的表示方法是不一样，不一样，他的变化趋势其实是一样的。好，再来看四， 怎么来？说。好，小明的年龄增加，黄老师的年龄也会增加。哎，小明的年龄在增加，黄老师的年龄也在增加，增加的幅度是怎么样的？ 你增加一岁，那黄老师也会增加一岁。记住这个小秘密啊，如果我们需要讨论到他来，再来看。五， 这个是不是随着一个量增加，另一个量也在增加？没错，是的，是还是不是是看这个人。是的，增加。从六岁到十二岁，他表格上的身高也在增加，一百一十六厘米到一百四十二厘米。 一百四十二厘米。好，也就是在小明六到十二岁的过程当中，随着他的 年龄增加，他的身高也在增加，那所以一二四五都是随着一个量的增加，力量也在增加。六嘞， 没有，没有规律哎，这是一只股票的价格图，它随着时间的变化，它有上有下，所以它的变化趋势是不是固定的？不是。好，所以 you 这位同学把它分成了三面。同不同意？同意，半分钟的时间，你的学习单上有问题的同学可以修改一下。 好，做专区的同学，我们那里已经修改好了。那我们继续头脑风暴一下。刚刚我们是通过 变化趋势将七个情境图分成了三类，那我们拿出来了四个图，这四个图都是哪一个变化趋势里面的？ 一个量增加，另一个量增加，另一个量也在增加，他们都是随着一个量增加，另一个量也在增加的四幅图。那你能根据他们的变化规律再进行分类吗？ 先思考，开始思考。好的同学举手告诉我。 小智同学已经想好了。那没想好的王老师给你一个小提醒，我可以把它分成有规律和没规律。哎，对了，有规律和没有规律，没 有规律的一二四，一二四。那你就是说一二四是有规律， 然后剩下的五。好，那我们首先先来看啊，单独的没有规律的这一个五怎么说？ 好，请您的增加他的，他的身高是飘忽不定的，有时候 听明白意思吗？听明白，我们的身高的增长，他是有快有慢，而且就是六到十二岁的身高，估计， 那可能到了二十岁的时候，我的身高还会不会变化？不会，不会，他就会一个趋于一个稳定的一个状态了。好，所以他的变化就是没有规律，那意思就是说一二四都有规律喽，一的规律是什么？一个 好减零，一，这个数量再增加一这个价，这个价格也在也会增加三厘米。 听懂意思的同学举手。好，那就还有很多同学没听明白？好，他的电话规律开展 数量每增加几一，单价呢？单价呢？加三点五，三点五，也就是数量每多一的情况下，它的总价就会增加三点五，三点五元。 这个三点五元是什么东西？他的单架，那也就是在这一个变化的当中，什么东西？单架？单架，对了，他有一个面的量，也就是单架面。好， 那这个思路给大家开放了啊，今天来说说啊，他的变化呢？就是，嗯， 不管它变成五 a、 六 a， 哎，能不能把它变成五 a 或者六 a？ 不 能，你不能改变这一个，因为它只有四个。对，不能改变这一个。四，它不变的量，所以就等于三辆 a， 就是 a， 我 们刚刚说了，这是一个正方形的周长，对，他是正方形的周长， a 是 什么？边长？ a 是 他的边长， 一条边的边长，他在变化当中，周长和他有什么关系？他的变化。 听明白意思的同学举手。好，手放下，这个老师听明白多一些，也就是无论边长 怎么变，周长怎么样也会变。变周什么变啊？也会变，变怎么变 啊？我们特别喜欢那一个图表比较清晰，对不对？好，那我们就把它变成一个减一的怎么样？ 当我的周长是一的时候，周长是四四。怎么来的一个四？当我的周长是二的时候，变成二十二的时候，变成八四八四了吧？ 想明白没有？你就是边长，我无论怎么变，周长都是边长的四倍，四倍。来，再说一遍，怎么变的？ 无论边长多少，然后周长都是边长的，都是边长的四倍，那所以哪一个是没有发生变化？ 四四，这个四是什么东西？四条边，四条边，也就是中长和边长的 倍数学倍数。哎，倍数关系，也就是中长和边长的哎。你刚刚学到的 这是什么？ a 和 c 一个数，与商商也可以叫做可以。对了，是它的笔直不变。好， 这是单脚不变，这是周朝宇边上的笔直券，请问他是什么不变？你们刚刚说了他有肖子璇应该最记得，因为皇上只给了你一个小琴琴在前面。 好，姚丽熙比你快。就是小明的年龄增加与王老师，那我和小明的什么东西不变？年龄差不？非常好。听明白意思，同学举手。 好，放下，也就是黄老师始终比小明要大二二十岁，黄老师永远要比小明要大二十岁。好，那也就是说我们刚刚在研究了这么多以后，发现 有规律和没规律，我们是要看什么东西不变的量，看有没有不变的量，有没有不变的量。 八，那刚刚我们有规律的有一二四四，还能不能再分类呢？不确定。那我们尝试一下， 请你根据它们规律的不同，再进行细化的分类。 又给大家一个提示，刚刚说他是什么不变，等价等于什么？等 价等于总价等于总价等于总价。除以数量除以数量。 二是什么不变？二笔直，一条笔直，四不变，四不变。谁和谁的笔直？ 中中长和边长的笔直不变，边长的笔直不变。他是什么不变？年龄年差年龄差，那就是黄老师的年龄年龄意见，小学的年龄 等于二十。我已经提示不够多了，请问他的规律不同，为什么不变？不变？不变？ 他说笔直不变和哈哈哈变，那所以 谁和谁是一类？一和二和二类，那所以一和二是一类，剩下的四是一类，四是一类。 好，请坐，那我们经过分类了以后发现，哎，首先我们研究了变化趋势，刚刚我们拿出来的一二四五都是随着一个量的增加，力量也在增加，那变化规律里面我们会发现， 一和二都是一直变，四是差别。那我们分完了，这一和二就是我们今天要重点研究的一个内容。 像这样两个相关联的量，一个量变化，另一个量也跟着变化。而且无论这两个量怎么样变化，他们的 一直变变总是一定的，那我们就称为这两个量成正比。好，一起读一遍。像这样两个行， 像这样两个相连的，一个样，一个样变化，另一个样也随之变化。 但不管这两个量怎样变化，它们的比值总是一定的。我们就说这两个量成正比。好， 那像总价和数量的比值，周长和边长的比值还有没有更多？其他的比值 有没有？好，你一下子想，具体的例子可能想不出，那肯定是有，有的。那所以我们可以 统一的把它表述为 y 除以 s 等于 k， 其中 k 是 怎么样一定变， k 就是 那一个月亮，也就是它是一定的，一 定了。好，这就是我们今天要研究的正比例的比例。那请你现在来再来说一说，用自己的话说一说，为什么一和二他们相关的能量它是呈正比例关系的。谁来说一？ 好，那我随意点一个十二好吗？好，来，你来一具体数，一数它为什么成这比例，谁和谁我只要一增加，然后你交一等于是一比三等于 一比三等于你，就是数量在，然后谁和谁的比值不变， 数量和总价的数量和总价的比值不变，数量和总价的比值都是多少？ 一比三等于零五，然后呢？二比二，比 七，他都是三点五分之一。那我们按照数学习惯来说，我们会把它干嘛呀？反过来， 总价比数量等于单价。 好，请坐它符合正比例乘正比例的两个量的条件。第一个，它的变化趋势是随着数量的增加，总价也在增加。

如果我们用图像把正比例关系表示出来，会对它有更直观的感受。表格中的数据是一组乘正比例的量，现在一起来画画看吧。首先需要一张方格图，横轴表示时间，单位是分钟， 纵轴表示路程，单位是米。接下来把每组数据表示为一一点五。 最后找到这个竖对，画在方格图中对应的位置就可以了。下面你来找找表格中剩下的三组数据在方格图中的位置吧。 现在所有的数据都表示出来了，看上去它们在同一条直线上，试着把它们连接起来。果然如此， 其实随着数量增多，表格里的数据可以无限的写下去，那么这条线也可以无限延长。而且如果在这条线上随便找一个点，都能满足正比例关系， 比如这个点横轴是四点六，纵轴是六点九，算一下比值还是一点五。其实不只是这两个量，所有成正比例关系的两个量画成的图像都是一条直线。

复习好，那么我们下面的时候，下面是一个就是正比例的一个定义，什么叫正比例？简单点说就是 就是比值一定，或者叫做一个商一定，简单点说就是比值一定或者叫商一定，这叫正比例。好，那么我们这个比值一定和商一定，大家一定要记住他的一个定义，因为在我们刚开学的时候，学校里边的呃， 某些的检测里边会让你们来考这个定义的哈，所以这个一定要记住，就是两个相关联的量，一总量的变化，另一总量也随着它的一个变化。简单点说，同大同小，给大家一个小口诀哈，这叫同大同小，就是正比例哈，比值一定或者叫商一定成正比， 好，这是我们前面所说的哈，那么我们在复习阶段的时候，我们再往下看一个内容，你们看一下我现在你们所见到的，首先来复习正比例成正比例关系的，首先强调一点，我们所有的能够成正比例或者是反比例的一定要怎么样？ 乘除的关系，加减的关系是没有的，加减的关系是没有比例这种说法的哈。感谢大家点赞啊，大家可以关注我，因为我们只有四十五分钟的课程，而且每天都在进行，而且还有课后的一个复习，所以，呃，你们方便你们复习哈，也方便你们咨询我资料哈，咨询我东西哈。 好，那么现在呢？第一个哈，大家看一下现在，呃，长方形的长一定的话，它的宽和面积是成正比例吗？ 还是说成反比例，还是说不成比例？因为咱们一共就有三种情况，对吧？或者是成正比，或者是成反比，或者是不成比例。那么大家可以先看一下我们现在这三个，我们现在现在这个三个三种情况哈， 这个里面其实考察的是大家的一个公式，咱们所有的正比例、反比例以后，以及我们比的应用题或者比例应用题都是用我们公式。 那大家先看一下这个长方形的长一定它的宽和面积。那首先我们要复习的是面积，长方形的面积公式 s 长方形的面积等于什么呀？ 长乘宽对吧？等于长乘宽，既然它等于长乘宽了，我们说过哈，说如果成正比例的话，那么就是比值一定，或者叫做商一定。那如果这种情况下呢？我们看一下这个地方， 他说长一定，我们有一个小，给大家一个大招哈，我们在上课的时候重点练的是你们的思维，重点是来练你们的思维，所以呢，我们这个地方既然长一定嘛，我们把一定的这个东西拿出来好了，长等于什么呀？等于面积 除以宽，对吧？所以呢，它等于，那是 s 除以它这个宽， s 除以这个宽，那么它是不是乘比例的关系，乘正比例的关系。你看 长移定了，面积除以宽，我们不就是面积等于长，乘宽长等于面积除以宽吗？那既然长移定了，说明那是这里等于一定，对吧？ 我们那个长一定吗？这里就等于一定，既然等于一定了，那面积比宽等于一定了，是不是就已经说明他是成正比例，对不对？所以呢，咱们在心之讲授的部分，这个地方是很很 是高频考点的哈，高频考点的在开学测试中的时候，这个是肯定要考的哈，这个地方，这是我们的第一个哈，欢迎大家的光临哈，大家可以关注我，我们只有四十五分钟的课程，而且每天都在进行，是个系列课程， 是真实课堂。那个系列课程啊，来接上我们再看第二个啊，圆的周长和半径，问我们他是不是成正比例关系， 其实圆的周长和半径你就按数学题呢，最重要一点，你要照听照做哈，你要听话才好。那么圆的周长，首先我们说这里一定要怎么样，你得知道公式吧，那我看一下，下面搞个小统计哈。呃，公屏上的朋友们， 圆的周长公式我们就统计，如果你知道的，你帮我扣一，如果你不知道的，你帮我扣零哈，你会的，你帮我扣一，你不会，你帮我扣零，我统计一下。公屏上的我们的现场小朋友呢，我们是知道的，因为他是我的学生吗，都是在学习的， 那我看一下哈，看看大家哈，圆的周长和半径，它是不是应该是成正比例关系，你们知道圆的周长的公式的，你们可以给我打一下哈。 好呃，那我们看哈，那现在呢，我给大家一点点时间哈，大家新来的朋友可以关注一下哈，因为我们只有四十五分钟课，每天八点都在播，然后课后的时候你们可以去看回放哈， 圆的周长和半径的话呢？第一个，首先圆的周长公式，我们呢小升初复习的过程哈，现在就是为小升初复习做准备的。圆的周长是等于的是 c， 等于一个是二派 r 或者派 d， 那 么他说周长和半径的关系，那我们就是周长和半径，我们看一下他的比是不是一个定值。 接下来我们就看说二 pi r 如果除以一个半径，这就周长除以半径，对不对？当我们把这个 r 约掉的时候，我们这个结果等于二 pi。 当我们等于二 pi 的 时候，虽然这个 pi 它是一个无限不循环小数，但是 这个派是个长量，既然是个长量，我这里就等于一定，对吧？等于一定，我们正比例关系的时候，它的一个定义叫做商一定成正比，或者叫比值一定成正比，所以呢，我这个地方是成正比关系， 那大家思考一下，我用的是二派 r， 我 如果用派 d 呢？结果一样吗？来公屏走起哈，我如果用派 d， 结果一样，不一样。 pi d 呢？和半径的关系，那不就 pi 也是 d 哈， d 不是 还是等于二 r 吗？再除以一个 r， 这个约调还是等于二 pi， 所以 还是一样的。现在呢，这个地方是一个很简单的知识点，我现在呢给大家一个， 大家先思考一下下面这个问题哈，然后呢，我们来给大家做一个拔高的题，就是我们之前有说过的一道题哈，大家先看一下下面的它到底是成不成比例，成什么比例？ 大家知道的哈，帮我扣一，不知道的哈，帮我扣零哈，我看一下，我统计一下哈， 感谢大家的关注。呃，你们可以每天的时候我们就有这个开播提醒，然后我们还有课后的一个回放，如果你们需要的时候，可以在公屏，公屏给我刷一下，我看一看有多少人需要的。因为这个课后回放呢，并不是自动的哈，就还需要人工去处理的，好，现在呢，我们这个位置刚刚给大家时间了哈，就还需要人工去处理 的好，现在呢，我们这个位置刚刚给大家时间了哈，小朋友们已经给我答案了，一个人的年龄和他的身高 一个人年龄和身高，我问一下，大人和小朋友之间年龄大人比较大是吧？小朋友年龄比较小，大人也有个子矮的呀， 小朋友也有个子高的呀，所以呢，一个人的年龄和身高不成比例哈，因为没有人说他们有成熟的关系，对不对 啊，感谢大家，感谢大家哈，好了，所以呢，好，这就是我们前面所说的哈，我呢现在哈，把我们的一个一个标准答案给到大家哈，是我们刚才讲的这这些个呃，结果哈，大家可以做个截屏 啊，给你们时间做个截屏，然后下面就是进入到了我们刚才所说的那个拔高的过程， 我们整个一个讲课的过程呢，是波浪式的起伏哈，就是有高有低的，因为我们是一个讲练考系列，要照顾所有的小朋友，而且要适应考，测试啊，要适应测，要适应测试哈，好了，来下面看一道题，大家来看看这道题 哦，因为上面我把公司的 logo 遮住了哈，所以这个位置可能有一点点，那个什么哈，往外 串一点点。好嘞好嘞，大家现在先看一道这道题，这是我们的呃，关于笔的一个应用题哈，我们会，因为我们会考虑到小升初的这么一个硬性需求，所以我们在讲新课的时候，完全跟以前的讲新课方式是不一样的，跟你们学校也是不一样的， 现在给大家三十秒的时间单独来思考哈，然后我再来讲这个题，会效果好一点， 新来的朋友大家可以关注我一下哈，因为我们每天都在进行不一样的知识讲解哈，不是每天都是一样的， 咱们纯知识分享哈，所以是每天是正常的课程系列课哈。好了，现在呢，这道题给大家一个思考时间了，我现在不要求你们把答案做出来，我只是做个统计， 如果说你目前看完这个题之后了，你有点思路了，你帮我敲一，如果说我看完这个题啊，一点思路都没有，你帮我敲零，因为我们这个课堂上还有不是我们这个年级的小朋友，他们没有没有掌握这些知识哈，哎，你们看一下。 好，我先帮大家来分析一下这道题，然后给你们时间你们再来做一下哈。我先，我看到大家了，那个，呃，好好，欢迎大家，欢迎大家啊，零，好嘞， 我先分析一下，因为咱们这个课堂的组成员组成呃，除了我们现场的小朋友呃，公屏上组成比较比较比较多哈，各种各种成分都有哈，来，我说一下，我们对的对的，所以考虑到这一点了，我们先把这个地方说一下哈，就是说我们目前的时候是这样的 比呢，我先说一句哈，就大概不是我们这个年级的小朋友的所有的比，其实就是这样的，七比四的意思呢？就是四分之七的意思，翻过来就是四分之七的意思，也就是说甲乙两种价格之比是七分之四的话，你可以认为甲是乙的 四分之七，可以翻译成这句话哈，你们就懂了哈，甲是乙的四分之七，或者你可以，你可以翻译成甲呢，他自己呢是七份的价格哈，乙呢是四份的价格哈，这个呢，也是说给我们六年级基础稍微薄弱一点的小朋友来说的哈，这是我们前面的一个给你们的一个呃，一个 小题式，他说首先我们他说如果他们的价格呢，分别上涨了三十五元，首先我们这么设哈， 我们对于方程不是很熟的，也没有关系哈，你们就先先听一听，因为我们后面还有回放，而且我们还有专门的方程课来从零级出来讲方程啊，不着急， 就是甲乙的价格之比是七比四，我们就可以设甲呢，它的价格哈，甲的价格呢就是七 x 元，不要设 x 元，要设七 x 元。 后面我再给你们分析，为什么要这么去设哈，你的价格呢？我们设它为你的价格，我们设它为四 x 元，要这样去设， 这样的话就避免了过多的一个分数运算哈。然后呢，如果他们的价格分别上涨三十五元， 如果他们价格分别上涨三十五元的话，那我就先搞一下呀，你原来不是一个七 x 元吗？你上涨三十五，教大家一个思维训练的方法，就是你们一定要按照题的话来做，他们说什么你们做什么， 他们说分别上涨吗？那甲不就加三十五元吗？对不对？所以呢，我们要这样去给他标，那个是原价呀，这个是原价哈，原价，这个是原价哈，然后呢，我们这里有个现价哈，这个叫现价， 现价呢，甲呢是七 s 加上一个三十五，现价乙呢？现价乙呢是四 s 加上一个三十五。到目前为止我什么都没做，我只有按照这个话来进行写的字，我什么都没有做好， 接下来呢，它的价格之比就变为八比五了。那大家再来看一下，接下来价格之比变为八比五的话，不就是这个意思吗？原来呢，我跟大家说了一句，我说这个比呢，就是个冒号，就是个除号，对不对？ 七比四呢，你认为就是四分之七，如果不是六年级的小朋友，你就认为是四分之七。好了，那接下来这个价格之比变为八比五，那不就变为的是现在的价哈，现甲除以现以， 因为咱们不说把那个比号就当成个分数线吗？对吧？那我就变成的是，那变成的是四 s 加三十五，分之七 s 加上一个三十五等于 八，下边写五八比五。嗯，我们六年级的小朋友，你完全可以写成这个样子的，就是你写成分数的也可以，你写成冒号的也可以，我两种写法都写哈，所以照顾我们所有的人，七 s 加三十五，冒号 冒号四 s 加三十五，然后呢，我们等于八比五，你六年级的小朋友可以写这个，其他年级可以写这个，都可以。接下来我的解法是统一的， 我的解法呢，无论是我左边的还是我右边的，左边呢，我们用比例的基本性质，右边呢，我们用做一个超级简单的办法，你们一听就懂，来，你们看一下哈， 我现在呢，不是列成现在这个样子了吗？如果你列成现在这个分数这个样子的，那么你就用交叉相乘积相等， 红妈给你们都是个大招哈，都是口诀大招哈，拿来就好用的。交叉相乘积相等哈，你们可以自己截个屏，交叉相乘积相等，你们可以用这个，这个呢，是可以解好多的分数分数题哈，因为咱们 不同年级不同版本的哈，这个有在啊，都有哈，然后呢，我们现在就搞一个，那就简单了，七 x 加上一个三十五乘上，一个五 等于八乘上，四 s 等于八乘上。我们把上面这个题板稍微缩小一点，如果你们看不清楚的时候，你们跟我跟我说一下哈，我把这个题板拖到下面来，像这样的， 那么我这个位置就等于的是八乘四 x 加上三十五，就变成这样子了，我变成这个样子之后了，你们是不是可以解了呢？我稍微给你们一点点时间哈，你们来解一下 呃，其实我知道哈，在目前我们现场的小朋友，还有我们直播间的朋友们，应该呃这个年级的哈，呃，六年级的，或者比他稍微低一点的哈，可能对于这类方丈，你们不懂，我教给你们一句话，你们所有人都能懂了，这句话就叫做， 你不是见到括号了吗？对不对？你先去括号，肯定会吧，大家去括号用乘法分配率，谁都会，对不对？那你去完括号之后了，那比如说你得先算对不对？你看我给你们演示一下，你们就全懂了哈，比如说我去括号的，我七 s 乘五，我是不是三十五 x， 因为这个题呢，它里面涉及的知识点非常非常的多，所以我先带着你们哈，五七三十五，这是三十五 x 对 不对？ 加上三十五乘五，你们但凡见到这样的数字哈，你们可以直接把它扔到草稿纸上去计算，这是一种办法哈，这道题用叉不变更简单。对的，对的，对的，是的，叉不变更简单。 好，等一下的时候我们好好说哈，三十五 x 加上一个三十五乘五，等于八乘四 s 加上一个三十五乘八哈，一会我们来说哈，差不变哈。哎，厉害厉害，哈哈，那你看，我们这哈三十五 x 加上这个边，这个边其实你们不需要去计算， 因为，因为我们这边是三十二 x 哈，这边有个三十五 x， 其实你左右一边一对比的话，是不是左边跟右边在 x 上面差了一个三 x， 对 吧？所以呢，我们这个位置在 x 上面，我们差了一个三 x， 那 就是说明那是我 三个 x 等于什么？我的三个 x 是 不是等于？这是三十五乘五，这是三十五乘八，是不是说明我的三 x 就 等于三十五乘上一个三个三十五，对不对？ 所以呢，我这个 x 就 应该等于一个三十五，对不对？我把这两个 x 约掉，两个三约掉了，所以 x 等于三十五。这是我们前面用方程，用比例，用我们现在的知识来讲的哈，大家看一看，因为我们现在在讲比例哈，所以呢，我们在教你们怎么应用这个比例哈， 怎么样？大家对这个地方大家可以看一下。呃，这个题呢，有一点点，有一点点难，有一点点绕哈，但是我们这个题呢，我先给大家总结一下，这个题我为什么用了这么多个知识点， 我用这么多知识点呢？第一个哈，我呢是想让大家知道咱们的比例呢，怎么去做题哈，比和比例的应用题。第二一个让大家知道一下我们的复杂方程怎么解， 我们的复杂方程是怎么解的哈，这是第二一个，第三一个呢，就是有的小，因为我们的能力不太一样哈，所以呢，我们在做这种题的时候可能考虑到各种不同的能力。 好了，我们现在呢是先说到这了，下面来继续说我们的刚才的这个题哈，正比例和反比例的，因为咱们今天那个课题就是正比例和反比例的哈。好嘞，呃，那我们接下来继续往下说哈，正比例和反比例的话，那么第一个这个说好来找往下说哈， 来看这里，呃，现在的我们现在看这块，把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱，圆柱形容器的底面积和水的高度的变化情况如下 啊，在这里，现在呢有一个问题，我们看一下它说表中这个表格中这些个东西有没有什么变化的， 大家看看这个有没有什么，有没有什么想法？因为咱们今天的课题呢是正比例和反比例哈，大家是来听正比例和反比例的，所以我们今天要一定要以这个为基准哈，表中有哪哪种量？水的高度是怎么随着底面积大小变化而变化的？ 相对应的容器的底面积与水的高度的乘积分别是多少？问水的高度和底面积的变化有什么规律？简短点一句话就是我们看一下这个圆柱，从这个表格上来看，这个底面积和水的高度，它们之间有没有关系，有什么关系？ 我们看一下刚才前面的哈，我们说了哈，这叫圆柱形的容器，对吧？既然是圆柱形的容器呢， 那他说底面积还有他的高，我们要想到圆柱形的时候，想到圆柱形应该有几种啊？圆柱形有圆柱的体积，有圆柱的表面积，对吧？有这么几个哈，这叫表面积哈，当然了，还有他的底，这个是体积， 还有他的一个底面积，这个还有一个体积，这个圆柱的体积。 好，那既然这样的话呢，我们来看一下前面的呃，第现在这个哈，他说底面积和高和水的高度 十三十，如果让我们看他们一个关系哈，我们无非就是去看一下你的是不是有积的关系，你积一定不一定，要么你的一个商一定不一定。好，我们是看这两种的，那么我现在哦，稍等一下哈， 好，等我们后面的时候我们再进行一个拔高啊。先来心之讲述，那我们现在这个大家看一下，伤呢， 肯定不一定了呀，没有什么关系，但是我们知道这个积呢，三百，三百，三百，三百，这是三百，所以呢？哎，这个好像他问我们是底面积和高，所以呢？我们这个底面积和高，应该是底面积 乘高，底面积乘高，对吧？底面积乘高，它等于是体积哈，所以这个是底面积和高乘的是一个反比例， 他成的是一个反比例哈，这是属于积一定成反比，商一定成正比。我们再来往下看，以后呢，这个题重点是说的是什么呀？我们要说的是它是两个变量哈，你看这是我们刚才有说过的 呃，成反比的时候是一个量变大，一个量变小哈，来，我们接下来再往下看， 来，我们现在呢，这是一个关于反比例的它的一个小定义哈，下面我们来练几个题， 咱们所有的奥数题哈，所有的思维题，其实都在我们的一个，全部都在我们的。来，我们看一下这个题啊，都是在我们的基本概念之上的哈，看一下，这里能看清楚吗？大家， 大家能看清楚吗？好了，我们开始说这个题哈，我们现在开始说第一个呢，我们现在开始说第一个呢，呃，首先我们刚才在说哈是正比例还是反比例的时候，是用的是 如果商一定成正比，或者比值一定积一定成反比，所以我们从上面看说表中的谁和谁是相关联的量，路程和时间，路程和时间呢？第一个哈，七一 七一路程和时间，我们首先来看他们的商或者他们的积，七和一，他们的商是一路程除以时间。这个地方呢，我们用一个公式哈，就是速度等于路程除以时间。其实我们还是在福气公式，我们在正比例和反比例这个位置是重点，是在来福气公式的。 然后十四除以二，十四除以二，那这个位置应该是商是等于七，二十一除以三，他们的商是等于七，二十八除以四，他们商还是七，三十五除以五，他们商还是七。所以呢，我们表中的 路程和时间，第一个好，我们表中的路程，这个是路程，路程和时间， 路程和时间是相关联的量哈，路程是随着时间的变化而变化的，这是我们的一个正比例。现在我们在心之讲授哈，咱们现在是一个心之讲授，是正比例和反比例的一个心之讲授。 呃，我们接下来再往看，路程随着时间的变化而变，接下来看下面路程和时间两种量中相对应的两个数的比值。 相对呢，两个数的比值怎么样？既然是路程除以时间，是咱们曾经说的什么速度吗？比值是速度，所以这个比值是速度哈，那么这个比值实际上前面这个位置哈，我们要添的是路程和时间的比值，你可以添， 你可以添，是个定值，是吧？是个一定哈，这是前面说明的啊，时间我看一下啊， 路程与这个是时间比值相对应的哈，这个比值呢，实际上是一个定值哈， 定值或者呢，我们在这个位置也可以添，因为根据这道题来说，我们这个是值是七，这样子也是可以的哈，所以呢，这个位置我们就确定一下，那么既然给我数据了，我这里添七好了哈，这是关于正比例的先知， 下面，下面来说哈，因为什么一定啊？因为因为速度一定哈，因为这里的速度是一定的，所以呢，路程和时间成什么？成正比关系？ 正比例关系，这是我们的一个心之讲座哈，是我们正比和反比的，如果大家知道的呢，可以跟我讲一下，我们就，呃，有些地方呢，我们就可以略一点， 下面再来看下面这个题，判断题，我们所有的题里边正反比例这个地方重点讲的这个概念，正反比例哈，重点是在概念上面来看一下 怎么样，大家觉得这个题怎么样？ 好，我们现在开始说哈，我们在讲正反比例的时候，我们重点是复习一个式，它的一个概念。首先啊，第一个，每块砖的面积是一定的，那么砖铺成了总面积与砖的快数， 每块砖的面积是一定的。他说你如果铺成了一个总的一个面积和砖的快数。他问我们如果是正比例呢？你打勾，如果是， 如果不成正比呢？你打叉，那我们可以把它稍微改一下。如果你觉得他成反比的时候，如果他你觉得他成反比的时候，你可以在后面写个反字哈。 我们这个地方在如果是成反比的时候呢，反比例呢？我们就写一个反字哈，后面写个反字好了。首先看第一个题哈，上面说每块砖的面积， 我们的课程哈进行的改版，现在课程不是一个小时，现在课程是四十五分钟，跟学校上课是一样的。然后我们这个呢，会有一个录播，就是可以看回放。 呃，每颗砖的面积一定砖，这个总面积当然是一样了，因为你的总面积，你的总面积 和你的砖的块数，比如说我一块砖呢？是啊，两平方分米哈，那我十块砖呢，不就是十乘二吗？总面积是二十平方分米啊，所以第一个是成正比，第一个是正比， 那咱们来看第二个，说工作效率，一定工作总量与工作时间。成什么？工作效率一定工作总量和工作时间 工作总量与工作时间，我们当时就这样说的，我一小时写了一小时打字，打了一百个字哈，那么我两个小时我打就是两百个字，所以呢，我的工作总量除以我的工作时间，确实等于我的工作效率，所以这个呢，我还是正比， 接下来看下边这个出油率哈，出油率的公式是什么呀？你们知道吗？你们想一想出油率的公式是什么？ 当时我们在说哈，所有带绿字的哈，所有带绿字的都是指的是什么呀？带绿字出油率吗？那不就是等于你一共有多少的，多少千克的 那个菜籽哈，然后呢？然后你最后生成了多少的油，对不对？所以呢，其实我们是等于你的油比上你的总量。 好来看一下，我们其实是等于你的油，你的油除以你的总， 你到底拿了多少菜籽？那个菜籽哈，然后呢，你生成多少油？这个是他的出油率，那既然这么，这个叫乘上百分之百哈，这叫率哈，乘上一个百分之百就变成率了，那么他说榨出油的质量和油的总质量不就是这个吗？我写的这个公式， 所以呢，这个是对的哈，这是正，我们目前，其实我们目前都是在复习我们所有应用题里面那个公式。下面第四个减数一定被减数和差， 这个正反比例之间是没有，正反比例之间是没有他的一个加减关系的，只有乘除关系，所以呢，正反比例之间只有乘除关系，所以加减一定不是了哈， 欢迎新来的朋友哈，我们这里是一个真实课堂的一个转播，是每天不一样的，是系列课程，不是不是每天一样的那种课程哈，所以大家可以关注我，这样呢，你们一个呢？是可以开播，有提醒，还有呢，你们课后有任何问题，你们可以去群里面发言哈，找我方便一点哈， 我是看群消息的哈。好嘞啊，来，我们看这里，下面这个，我们现在是带你们复习所有的公式哈，我们在讲正反比例的时候，是为你们后面那个比例应用题打基础的，是在复习公式的长方形的周长和长。 那你这里一定要知道了，长方形的周长公式是什么呀？公式，长方形的周长是等于 长加宽乘二，这叫周长，他说宽一定周长和长， 那你要，你要我们数学题要最重要的，我们要听话照做哈。那首先我周长呢是 a 加 b， 括号乘二，这是周长跟长去比，跟长去比的话，我要除以一个长，比如说我，呃，这个是宽， a 呢是一个宽， b 呢是一个长， a 是 一个宽， b 是 一个长，那我这样的话是除以这个长，大家看一下， 这二是那个长数，没关系了，但是我 a 加 b 和 b， 它能是 a 加 b 和 b， 它不可能是有，有这种关系啊，对不对？那你只有 a 和 b， 如果你面积一定的话呢？ 你面积要是一定的情况下，那可能如果他换成是面积，说面积一定，把这个位置我们要改成面积的话，如改成面积，那么我们会知道，哎，你面积一定的话呢，你那个宽一定面积和长一定是成正比，但是这里是不成 不成正比的哈，这个地方是来复习一下长方形的一个面积，还有周长的公式，所以这个是不是的哈，不成比例， 不成比例，它是不成比例的。下边一个三角形的高一定三角形的面积和底，这个地方哈，等一下我说一个，我说一个你们爱出的坑哈， 卖出的坑，三角形的高一定三角形的面积和底。首先你得先复习一下三角形的面积公式吧，三角形的面积公式等于，这个我想大家可能是都知道的哈，一定是都知道的，那么三角形的面积公式是等于的，是二分之一底乘高，对不对？ 既然等于二分之一底乘高了，他说呢？高是一定哦，我写高就写，不写 b 了哈，写 h 吧，既然他他是一定的，那我就要用面积嘛。面积是 s 除以，这个底等于二分之一的底乘高，除以底，你们看一下， 底乘高除以，这是面积是吧？当我把这个两个给约掉了，我是不是就剩二分之一 h 啊？那我是不是， 我现在是不是成正比例了，对不对？所以呢，我们目前来说，这个题它是成正比的，所以关系到这个面积的时候，大家好好想公式。那我现在出一个问题了，你们看一下。 三，你说三角形的面积和底，你高一定你成正比，那我圆呢？来，我出一道题，圆， 圆形的面积和半径，这是常考易错题哈，圆形的面积和半径成正比，和圆的半径 还是这一个圆哈，成正比。来，你们看我这句话，你们如果觉得我这句话对的，你们帮我扣一。你们如果觉得我这句话是错误的，你们帮我扣零。来，我们搞个统计一下哈， 你们如果觉得我这句话是对的，你们帮我扣一。你们觉得我这句话是错的，帮我扣零。对的，打一，错的打零。我看一下，我看小朋友们，你们都写一下，然后我也看一下。你们所有的人，你们现在整个的一个状态哈，就是这个东西到底是多少？怎么想的？高频易错点 这是高频易错点啊。好，小朋友们，题板都亮出来了， 大家没有关注的哈，你们关注我一下，因为我们今天是四，大概是在八点五十左右下课， 然后我们明天还是还是，但是我们明天内容跟这不一样，我们课后的时候还有课后的一个复习哈。 好了，圆形的面积和圆的半径成正比，刚才做了一下统计哈，大概是有大约百分之四十的小朋友认为是认为他是错的，百分之六十的小朋友认为他是对的，到底是对还是错？ 首先你第一点，我们说谁说对谁说错都都不行哈，你得把公式写出来，圆的面积公式是什么呀？圆的面积公式是等于派乘二方对不对？ 圆的半径圆的半径是等于二，然后呢，我们是说商一定成正比，或者是比值一定成正比，所以你是不是应该写成这样的呀，对吧？你也当然了，你说我可以写成这种呢？可以啊，没问题啊， 但是你写成这种的话哪种都行，就是我现在先用分数这种哈。呃，我就先用分数这种来给大家说一下，欢迎新来的朋友们哈，我们这节课呢，现在改版了，改成 四十五分钟，大概是在八点五十下课哈，然后今天这节课呢？呃，我们会有回放，你们需要回放我做个统计哈，因为上传回放它是需要技术的哈，这个平台目前还不能直接上传，还得需要一些个操作的哈。所以呢，我们现在来说这个哈，派 r 方除以 r， 我 们约一下哈， r r 约掉一个哈，剩一个，所以我这个比值是等于 pi r， 你 们认为我的 pi r 是 定值吗？如果你们认为我是定值的，那你帮我发一。你们认为我不是定值的，你们帮我发零，我是不是定值，你们认为我是定值吗？ 我肯定不是定值，因为既然是个圆嘛，我们这个里边派是个定值，但是 r 不是 定值。所以我们得出一个结论，这个题是高频易错题，就是你们在开学测试的时候，或者在检测的时候肯定会出错这种题。我等一下把这个地方帮你们总结一下， 这个地方圆的面积只能和半径平方成正比，和这个不成正比。这是这样说来，我把这句话说，你们自己做个截屏哈。圆的半径，圆的面积跟谁成正比啊？圆的面积圆形，圆的面积 与半径平方成正比，与半径平方成正比，一定不要出错哈，这种题是经常出错的，圆的面积与半径成正比，圆的周长， 圆的周长与半径，它才成正比呢哈，与半径成正比，你们可以做个截屏哈， 原来面面积跟平方成正比，我教给你们的意思就是让你们以后在做正反比例的时候，一定要找准是积一定还是商一定哈，啊，这个呢，是我们说的一个正比例哈，这是我们说的一个正比例，那我们说讲练考系列哈，我下面我再给大家出一个，你们看一下 来，看一下这道题哈，看你们感觉是怎么样的哈，这里 看一看， a 和 b 都是大于零的数， a 和 b 都是大于零的数，在 a 和 b 成正比的关系的括号里打对勾，你们稍微看一下哈， 怎么样了？你们做的怎么样了？我要开始说了哈。好，我们这个上边的第一个哈，他说五 a 等于 b， 当你想知道，你要看他问谁哈，咱们这种题交给一个大招哈， 关于正比列，我们教一个大招哈，在 a 和 b 成正比列的关系里打对勾， a 和 b 成正。你要写成啊， a 比 b 或者 b 比 a 哈，都行哈，只要这两个数字的 比值或者商，一定他就是正比关系。那么这样的话，第一个哈，我可以把它写成那个是 b 比 a 等于五。可以呀，把 a 除过去， b 比 a 等于五，不就是一个定值吗？只要这两个的结果是个定值就好了。比值是个定值好了，所以它是正比。第一个是正比，第二一个 a 加 b 加减法的关系，两个量如果是加减法的关系，它是没有正反比例关系的。我们所谓说的正反比例都指的是一个成本关系，乘除关系，所以它呢，不成比，它是不成比例哈， 下边一个，那就减法。那老师说了，哎呀，老师，你刚不是说加减法没有成比例关系吗？那我下边也不成比例了， 来，我也不成比例了。来，你们看一下第三个是不是？第三个是比例还不是比例？我也是减法，你不告诉我吗？啊，你加减法都不成比例 怎么样？你看小朋友们已经做好了哈。第三个是特殊情况的啊，第三个你看呀，这里是 a 减 b 啊，我 a 等于 b 呢，那我在 a 和 b 关系吗？那我 a 除以 b 是 不是等于一啊？ 那既然我等于一了，我是不是正比啊？所以呢，这个地方它是正比例哈，它教程正比，所以它是比例。所以呢，你是不是正比哈，你要变形一下哈，我们下一个。哎呀，老师，你写成这样，它不是正比例， 你看它是不是正比例，是不是正比例？我们需要关注的是 a 除以 b 或者是 b 除以 a 哈，我们需要关注是这两点，对不对？ 我们要关注的是 a 除以 b 或者是 b 除以 a 哈，那既然关注这两点了，那我就看了，我把第四个做个变形，你们都要做变形哈，第四个我可以变成 a 除以 b， 把 b 呢移下来，把七呢移过去， 或者呢？老师，你这样我看不懂，那你就 a 等于七 b， 如果你 a 等于七 b 的 话，你再变个形出来，不就是 a 除以 b 等于七吗？那这不又是商一定或者比之一定成正比，对不对？所以呢，这个位置又是成正比哈。 好了，今天我们这里的重点内容搞个总结哈，今天我们重点内容正反比例里边的正比例。 今天我们的重点内容是正反比例里边的正比例。然后我们今天前面的我们前面，今天我们的课程是分为三个部分，刚开始的一个部分，我们是来复习了一个比和比例的基本性质，还有我们的一个比例应用题的一个简单应用。第一个题呢，稍微有点难哈，可能后边来的朋友没有听到，没有关系哈， 你们可以呃翻一下回放哈。然后呢，第二个部分就是我们的一个正比例的一个呃，复习，就是各种心智讲授部分， 各种复习部分都在这里了哈，这是所有的公式。正反比例里的重点不在于你知道是正比例还是反比例，专在于你所有公式的一个复习。 好了，这就是我们今天那个所有的内容，我给大家带领大家快速的过一遍哈，我课间上的东西呢，可能还那个我给大家课间上也可快速过一遍哈。呃，我们今天这个课间上面哈，有一部分是正比例，有一部分是反比例，给大家快速过一遍。好，这是我们的课间上的。 好了，今天我们的内容呢就讲说到这么多，呃，然后大家自己做题的时候有什么任何问题，你们可以来来粉丝群里面找我哈。 啊，我在里边的时候我我会是看消息的，然后大家如果没有关注我的，你们可以关注我。然后我们今天六年级的讲述这个部分就就要结束了，我们明天还是八点哈，还是八点还是四十分钟，八点到八点四十。然后我们下午的时候是进行的是一个五年级的直播，下午四点是进行到五年级的直播， 我们晚上的时候，晚上的七点新加了一个小升初的一个奥数课，就是重点是拔高的哈，如果大家的能力呢？呃，有一些能力可以过来听一下。晚上的七点，这是新加的哈，昨天刚播的第一次，今天来播第二次的，每次课呢都是四十五分钟。好了， 非常感谢大家哈，谢谢大家今天的光临，祝大家新年快乐。好，拜拜。拜拜。 拜拜。

今天我们一起来学习理解正比例的意义，判断两个量是否成正比例。 观察情景图，从表中你能得到哪些数学信息呢？我们会发现这是啤酒生产情况记录表，上面一行指的是工作总量， 根据这些信息，你能提出什么问题来呢？工作总量和工作时间有什么关系呢？ 我们来看一看这个统计表，我们会发现当工作时间增加的时候，工作总量也在增加， 也就是说工作总量和工作时间是两种相关联的量，工作时间变化，工作总量也随着变化。 我们把工作总量和工作时间的变化情况可以用下面的图来表示， 横轴表示的是工作时间，纵轴表示的是工作总量。再把各个数据在统计图中用点表示出来，最后 用线连起来，我们发现根据工作总量和工作时间的关系，绘出的图像是一条直线。再观察一下下面的表格中的数据，你还能发现什么规律呢？ 我们计算一下工作效率，工作效率等于工作总量比工作时间的比值， 第一组的工作效率为十五，比一等于十五，第二组数据三十比二等于十五，第三组数据第四组后面的我们会发现这些比值全相等， 也就是说工作效率不变，变的是工作时间和工作总量。 来总结一下，通过刚才的分析，我们会发现工作时间和工作总量是一对相关联的量，工作时间变化，工作总量也在发生变化。 通过刚才的计算，我们还发现工作效率是不变的， 工作效率不变，也就是说工作总量与工作时间的比值一定， 我们就说工作总量和工作时间成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 如果我们用字母表示工作时间，用 x 表示工作总量，用 y 表示工作效率，用 k 表示，那么 正比例关系我们就可以用字母关系式表示。 y 比 x 等于 k， 在 这里 k 必须是一定的 正比例关系，怎样判断呢？首先我们一定要确定两种量是相关联的量。第二，两种相关联的量中相对应的两个数的比值，也就是商必须一定 两种量就成正比例的关系。一起来总结一下今天学习的内容。 今天我们学习了两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种相关联的量中相对应的两个数的比值，也就是商一定 这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系， 用字母表示就是 y、 b、 x 等于 k， k 是 一定的。好，今天的内容就讲到这里，谢谢观看，再见！

年龄在不断增长，身高呢，也在增长，也随着在增加，我们就说 身高随着年龄的变化而变化。是啊，这一组变量还是有关联的。 到果汁我们已经很熟悉了，这儿有没有变量呢？ 仔细观察表格中的数据，你有什么发现？先说给你的同桌听一听， 有什么发现？ 弄好了，好了，你来。 高度随着体积的变化而变化。嗯，这是女生的发现，是不是这样呢？我们一起来看，高度在不断变化，增加体积呢？ 眼泪多少？如果高度减少，体积也减少，高度和体积就是这样横向变化的。再仔细观察这儿的数据，你又有什么想说的？ 高度比心，你来， 没关系，高度增加了几倍，体积就增加了几 倍，也就是高度增加了几厘米，两厘米体积就随着增加立方厘米，是这样吗？是后面的快速来检验一下。 果然如此，表格除了可以这样看，还可以竖着看来瞧瞧呢，又有什么想说的？你来， 呃，它们的比值都是十五，都是十五，你能来算一算吗？ 呃，三十除以二等于十五，六十除以四等于十五， 九十除以六等于十五，一百二十除以八等于十五， 一百五十除以十等于十五。你说的真好，男生说比值都等于十五，占的十五表示什么意思呀？你来。 是啊，你们的这个发现很有价值，每组中体积与高度的比值都是十五。同学们，通过刚才的研究，我们一共有两个发现。首先，我们发现 体积总是随着高度的变化而变化，它们就是这样横向变化的。变化中，我们还有一个很有价值的发现了，什么是不变的 比值？是啊，体积与高度的比值，十五是不变的。今天这节课我们就一起来研究变量之间的数量关系。 现在把它们看成五个直条，照这样的规律变化，如果高度是一厘米，体积就是十五厘米，算的真快。高度零点五厘米， 零点五厘米，一点五厘米， 二十二点五立方厘米。像这样的直条还有吗？ 有，说得完吗？说不完。是啊，有很多说也说不完，看它们都长出来了，像什么呀？ 楼梯。哦，是的，一层一层楼梯，说的很形象，现在高度的间隔是零点五，就长这样，如果间隔变成零点一呢？会怎么样？ 你来。哎，那来看看，这儿的阶梯就越来越 有，其实你们的意思就是越来越窄了，对不对？那阶梯的个数就会越来越多，再小一点，零点零一， 阶梯就会自己说更窄，个数更多，再小点，零点零零一， 更窄更多。哦，是的，还要窄，还要多。想象一下，如果间隔无限细分下去会怎么样呢？有感觉了吗？ 你来。嗯，你的意思就是这儿的线 越来越平滑了，是吗？你们同意吗？同意，我们一起来想象，无限细分下去，这儿的阶梯就会越来越 窄哦，越来越窄，最后就会消失了点，就连成线了。我们一起来看稻果汁的整个动态过程， 可你们想的怎么样？妙，表扬，你们越来越会想象了。你看，体积总是随着高度的变化而变化，它们就是这样，同向变化的 变化中，我们还有一个很有价值的发现呢。什么是不变的？高与体积的比？是的，体积和高度的比值是不变的， 我们就说体积与高度是成正比量，正比的量，他们的关系就是成正比量关系。今天这节课就一起来认识正比， 回顾一下刚才的过程，我们是怎样研究正比关系的？首先，然后，最后你会说了吗？ 你来。首先我们先研究它们两个的比值，它们的比值是不变的，体积总是随着高度的变化而变化，之后得出了结论，体积与高度是成正比的量， 成正比关系，女生概括的很好，我们一起来看。首先我们要先找到一组 变量变量，然后通过算一算，发现它们的比值是变的，最后我们就能得到结论了，体积与高度是成正比的量，它们的关系就是成正比关系， 加油，我们也很熟悉了，这会不会成正比关系的量呢？ 一开始说的身高和年龄呢？你们能像这样也来研究一下吗？能吗？能，完成作业纸 写好的同学可以掌声和你们的学歌交流一下。 好，我们一起来看。这是一位同学的作业，他认为金额和油量是 身高和年龄呢，不成正比，你们也是这么想的吗？是的，来说说看。 你来对女生， 金额随着油量的变化而变化，因为他第一个金额是七十七点六，然后除以油量就等于他单价是七点七六，然后后面用一百五十五点二除以二十也等，也等于七点七六， 后面两百三十二点八除以三十等于七点七六，三百一十点四除以四十也等于七点七六，他们的 比值都是一样的，所以金额和油量成正比例关系。你说的真好，女生已经找到了判断的关键，要在变量中找到比值不变。第二呢，你会说了吗？你来， 身高随着年龄的变化而变化，五十比一等于五十 九十七比三约等于三十二点三，你发现比值不相等，所以它们就不成正比关系。是啊，看来不是所有的变量都成正比关系。 这是两辆汽车的行驶情况，哪一辆汽车行驶的路程和时间成正比关系呢？先看一看， 有答案了吗？大声说，哪一辆卡车？你车呢？为什么你车的路程和时间不成正比关系呢？你来， 因为以车它的比值不一样。呃，它，它时间和路程的比值不一样。快速看一看，是这样吗？是啊，刚才你们说打车的路程和时间成正比关系，也来说说看呢？ 你来，因为一百没关系？嗯， 是的，笔直找到了不变量，还要找到变量，会补充了吗？你来， 路程随着时间的变化而变化，时间越长路程越长。是的，刚才女生还说到他们的比值是相等，所以路程和时间就成正比关系。这样的时间还能继续变吗？ 可以，五小时五百千米，六小时六百千米七小时 七百。铅笔说的完吗？说不完。那想象一下表示路程和时间的图像会是怎么样的呢？用你们的手势比划一下。 哦，接收到信号了，是不是这样呢？ 可你们想的要越来越有感觉了。现在速度是一百就长这样，如果变化速度会长什么样呢？想不想来看？想好满足你们。 现在速度想变成多少？随便说，随便说。你说三百。好的，来看看 瞧。它就长这样。现在速度慢一点可以变成多少？你说三十五，好的来看， 你看它成这样了。现在我们再大胆一点，如果不是汽车速度开快一点，你住手，直接喊 啊，一千 out！ 在 看之前先想象一下会是怎么样的，用你们的手势比划一下，哇，是这样吗？看他来了 怎么样？果然和你们想的是的，只要速度一定，路程和时间就成肉体关系。 同学们，刚才我们一起研究了三个正比故事，看一看怎样的两个量会成正比关系呢？ 你来，高个男生笔直相同， 满足了吗？满足，还有没有要补充的？你来，随着第一个量的变化而变化。你的意思就是首先要找到一组 变量，是啊，满足了吗？满足，这这两个量就成正比关系。刚才你们都说要先找到两个变量 变化的量，我们以前学习过的可以用什么来表示？ x 字母，你看 y 总是随着 x 的 变化变化。现在这三个正比故事就需要用三个关系式来表达， 那你们能不能用一个关系式来表示所有的正比故事呢？此时又该如何表示呢？先想一想，完成作业纸， 一起来看两份不同的作业，你们更赞同谁的？ are 都是这么认为，说说看你们的理由，你来， 不是所有的正比关系得它的比值都是七点七六，而 n 可以 概括任何一个数哦。我在女生的发言中听到了一个词， 概括是的字母就具有概括性，所以一般我们数学上就用 k 来表示，因为它是不变量，所以会在后面加上六。 你们知道吗？这儿的 k 啊，其实是俄语中不变量这个单词的首字母。同学们，现在 y 总是随着 x 的 变化而变化，同时又满足 y 比 x 等于 k 六，我们就说 y 和 x 同正比关系。 现在这个式子就能表示所有的正比故事了。除了黑板上的这三个，你还能说出一些正比故事吗？我先来举个例子， 在购物的故事中，如果数量一定，总价和单价就成正比关系。如果单价一定呢？ 总价你们会说了吗？会，你的同桌听一听， 你想到了什么？嗯，很好，那你说说看，谁一定谁和谁？你想到了什么？那应该是谁一定 坐好了，来分享一下。 你来。 嗯，刚才我也分享了这个故事，还有其他的吗？你来，如果工作效率一定的话，工作总量比工作时间就等于工作效率， 那工作总量和工作时间就成正比关系。是的，原来工作的故事中也藏着正比关系呢，还有吗？你来，如果时间一定的话，路程和速度就成正比关系， 同意吗？同意，原来路程问题中也藏着正比关系呢。那像这样的故事还有吗？有， 同学们，原来我们用这些数量关系讲述的是数与数之间的故事，今天呢，我们可以用这个关系式讲述变量之间的正比故事。 现在你们越来越厉害了。带着这样的感觉，我们一起来判断下面每组中的两个量是否成正比关系。先看一看， 看好了吗？来，我们手势判断，第一个 接收到了，第二个，好呢？哎，都是一组变量，怎么一个不成一个成呢？说说看。 你来，你伸，对对，就是你直不同哦，既具体说一说， 吃掉的和还剩的比与它不成正比关系。第一组是一比九，二比八。是的， 吃掉的比上还剩的笔直不一定，所以他们就不成正比关系，你们已经掌握了判断的关键。第二个呢？ 你来。嗯，三根就是三比一，第二个是笔直是三比一，第二个也是三比一，对吗？嗯， 第二个也是三比一，第三个也是三比一，他们的比值都一样。是的，所以比。呃，他们成正比例关系。是的，我们都要在变量中找到比值 笔直不变的关系。这两道题都会判断了，这两道呢，完成作业纸 可以把你的理由写在空白处， 写好的同学可以相互交流一下。 差不多了，一起来看。这是一位同学的作业，他认为正方形的周长和边长是 面积会变长呢，你们也是这么想的吗？是啊，来说说看。你来， 八比二的比值是四，呃，十二比三的比值也是四，十六比四的比值还是四，它们的比值相同，所以就成正比关系。你抓住了判断的关键，真好。最后一个女生， 第二个我认为是不成正比关系的，因为第一个四比二的比值是二，九比三的比值是三，二十五比五的比值是五，他们的比值并不相等，所以这道题面积和边长不成正比关系。你的思路很清晰， 看来原来学习的正方形的周长和边长是成正比关系，这也是我们原来学习过的内容。先看一看， 现在带着正比的眼光再来看。你能找到成正比关系的量吗？第一个 找到了吗？好，男生对 时间和产品数量的。呃，产品数量和时间的比值是十八 五。十四比三等于十八，一百零八比六等于十八一百六，十二比九等于十八，二百一十六比十二等于十八，他们的比值相等，所以成正比关系。 你说的真好，牢牢抓住了比值是一定的，所以它们就成正比关系。原来说的，照这样计算，就是利用正比关系来解决问题的。这儿呢？找到了吗？ 你来。币的枚数比高度，十，十比一点九。呃，一点九比十等于零点一九。你想用硬币的高度，币的高度比硬币的枚数，嗯， 第二个是十九比一百等于零点一九。第三个是一千九比 等于零点一九。第四个是十九万比一百万等于零点一九。最后一个是一千九百万比一亿等于零点一九。 硬币的高度和硬币的枚数成正比。是的，他们的比值，每枚硬币的高度也是一定的，所以也成正比关系。原来以一枚一元硬币的高度，我们也可以利用正比关系来进行推理。 同学们，字母表示数的时候，我们就玩过这样一个游戏，这是一个神奇的信箱，仔细看， 输出的数和输入的数是不是成正比关系呢？ 子弹说说看，没关系好，你来试试， 笔直啊，所以它们就成。说得很好，现在输入的数还可以继续变吗？可以，如果输入一，输出 二点五，怎么算的？一起说吧。一乘二点五等于二点五，如果输入三，输出 七点五，哦，还是乘二点五？你看，每输入一个数，通过这个神奇的信箱，我们都可以对应输出一个数，但是它们之间的关系是 重力关系。那现在你能用一个式子来表示它们之间的关系吗？ 你来 y 比 x 乘等于二点五，可以，还有不同的形式吗？你来。对 x 分 之 y 等于二点五，就是 y 比 x 等于二点五。还可以。你来 x 乘二点五等于 y。 是 的， y 等于二点五 x。 哎，果汁问题中的数据能不能输入这个神奇的信箱？可以，想不想看？想看。它们来了。 找到这把钥匙了吗？找到了，你来。

这两道题很经典，看看你会不会做，我们一起读下题下列式子当中， x 和 y 成正比例关系的式。要想做对这类题，首先你必须知道什么叫正比例关系， 那我们先来看一下它的定义。它说呀，两个相关联的量，一个变化，另一个量呢，也跟着变化， 那若他们的比值一定，则这两个量就成正比例关系。那在这个定义里边，你感觉哪一部分是重点呀？是不是应该是比值一定呀？ 只要这两个量的比值一定，那他就属于正比例关系。那我们一起来看一下 a 选项， a 选项是 x 加三等于 y， 那如果我们在等号的两边同时减 x 的 话，他就变成三等于 y 减 x， 那 我们来看一下是不是 y 减 x 等于三，他们的差是定值啊？ 正比例关系是比值一定，所以 a 我 们给它排除掉了。我们再来看一下 b， 同样在两边同时减 x 的 话，它就是负四等于外减 x 还是差一定，所以 b 也不对。那我们再来看 c， 我 们在 c 的 两段呀，同时乘以 y， 是 不是就变成 x 乘以 y 等于十二了， 那它是积式定值，所以 c 也不对。那最后呢，我们来看一下 d， 我 把它写成分数的形式，它就等于 x 等于 y 比上七， 我们来看一下这个七是不是相当于除数， x 相当于商，那我们把 x 和七调换位置的话，这个式子是不是还成立？所以呢，我们可以写成七，就等于 y 除以 x。 那 我们来看一下 y 除以 x 等于七，是不是比值一定呀？ 所以 d 这个选项他就是正比例关系。那接着我们再来看一下第二题， 他说 a 和 b 成正比例关系，那通过这句话我们是不是就能得到？如果我们让 a 除以 b 的 话，他就等于一个定值啊，定值就是固定值的意思。 那我们来看一下，他说啊，当 a 等于一点五时， b 等于三，那我们来看一下，那我们就让一点五，是不是除以三， 他就等于零点五，那我们是不是就知道这个定值就是零点五啊？ 那我们再来看，他说当 a 是 零点五时， b 等于几？那我们直接代那 a 是 零点五， b 不知道，我们就写上一个 b， 那 等于多少？ 因为 a 和 b 是 正比例关系，比值一定，所以这个地方他还等于零点五， 那零点五除以 b 等于零点五，那 b 肯定就是一了。那这道题你学会了吗？

前两节我们已经学习了比例的定义和结比例的方法，那第三节呢，我们再来看一下正比例。来看另一文具店有一种彩带销售的数量和总价的关系，如下表， 当数量是一的时候，总价是三点五，数量是二的时候，总价是七，那依次往后类推给到我们三个问题，第一个问题，表中有哪两个量？这个很好回答，第一呢就是数量，第二个就是总价。总价是怎样随着数量的变化而变化的呢？从这里我们就可以看到， 数量越来越多的时候，总价呢也越来越高，所以他们的变化是数量增加，总价也随着增加， 那相应的总价和数量的比分别是多少呢？我们可以尝试来求一下，我们把所有的总价比数量的比值都给他求出来。总价是三点五的时候，数量是一，他们两个的比值就是三点五，总价是七，数量是二，七比二， 他们的比值也是三点五。依次往后我们计算出来总价去比上数量，我们发现总价和数量的比值都是三点五， 所以他们的关系我们就找出来了，总价比上数量就等于三点五，那么这个三点五啊，其实就是这个彩带的单价。一总量变化，比如数量增加，那么另一总量也随着变化，总价呢也随着增加。如果这两种量中啊，相对应的两个数的比值是一定的， 那么这两种量我们就叫做成正比例关系的量，那他们的关系就叫做正比例关系。 果，我们用字母 y 和 x 来表示这两种相关联的量，那么用 k 来表示它们之间的比值，这个比值呢是一定的。那么正比例关系啊，我们就可以用下面的式子来表示，也就是 y 比上 x 等于 k， 刚才这里是具体的数量关系，到这里啊，用字母表示啊，我们就建立了数学模型，这就体现了数学的模型思想。从正比例关系这个定义中，我们就可以发现，具有正比例关系的两个量啊，他们的比值是一定的。放到这个式子中啊，就是这个 k 是 一定的。 我们来看一下判断两种量是否成正比例关系的方法。如果汽车行驶的速度是一定的，那路程和时间是否成正比例关系。根据正比例关系的定义，首先我们来确定一下 这两种量是否一总量变化，另一总量也随着变化，也就是先确定一下他们是不是两种相关联的量。速度既然一定了，那么时间越长，行驶的路程就是越远的，所以路程和时间一定是相关联的量。 那再来看一下相对应的这两个数，它们的比值是否一定。根据路程除以时间等于速度，这里速度是一定的，也就是这个 v 啊，是一个定量， 那么 s 和 t 啊，它们的比值也就是一定的了，所以啊，它们两个是成正比例关系的。第二，一个人的身高和他的年龄，我们先来看一下他们是不是相关联的量。 一般情况下，随着年龄的增长，人的身高啊是会增高的，所以他们是相关联的量。人长到一定年龄之后，身高啊就不再增长了，所以人的身高和他的年龄的比值啊，并不是确定的， 所以他们不是成正比例关系的量。第三，宽一定长方形的周长和长。我们知道长方形的周长啊，等于长和宽的和去乘二。首先确定啊，他们是两个相关联的量， 但是我们看一下他们的比值是不是确定的呢？周长比上长就等于长和宽的和的两倍去比上长。我们这里啊，给他拆开就等于两个长加两个宽比上长， 两个长比上长啊，就等于二再去加上两个宽比长。所以这个式子化解下来就是二加上两倍的宽比上长。很明显这个值不是一个定量。所以呢，长方形的周长和长啊，并不成正比例关系。

同学们好，今天我们接着一起六年级下册的第四单元正比例关系来看这个题目。 妈妈散步走的时间和路程如下表所示，那么第一行是时间，每分钟一二三、四五等等，那路程是按米为单位，是五十、一百、一百、五十、二百。还有后面的 来观察一下他每一组一组是对应起来的。题目上问我们了表中有谁和谁这两组相关联的量， 既然是量，那肯定有时间和路程好，里面有时间和路程这两个相关联的量。再来看一下谁是随着谁的变化而变化的。 也就说妈妈走的时间越长，他走的路程就越多，所以路程是随着时间的变化而变化， 随着时间越多，路程也就越长。再来看，因为路程和时间的比值都是多少来路程和时间的比值。第一组 五十比一，它的比值是五十，一百比二，比值五十，一百，五十比三，比值五十，二百比四，也就是比值还是五十等等，所以它的比值都是多少？ 都是五十米每分，也就相当于是什么它的速度，路程除以时间就是速度对不对？所以速度是固定的，那么它们的比值总是怎么样？ 相等的数，比值总是相等的，所以这是相等。所以这个时候我们就可以说路程和时间这两个量是成正比例关系， 所以这个地方是正比例关系的好。什么是正比例关系？一个量随着另外一个量的变化而变化，如果他是减少，那么另外一个量也随着他的减少而减少。 那么我们再看里面的两个空，那五五分钟的时候，它对应的路程应该是多少？它的速度是五十，也就比值是五十，谁除以五等于五十，也就是二百五十。如果路程是三百的情况下，速度是五十，那么谁这个地方应该填几分钟？ 六分钟，然后我们就把空填出来了，所以这样的关系就称为正比例的关系，路程和时间。那么我们再来看字母表达式乘正比例关系的字母表达式应该写成什么呢？就是 y 比 x 等于 k， k 是 什么 比值？所以比值一定的时候，那么这两个量就成为正比例关系好了，正比例你学会了吗？

拍摄的是汤老师的上班日常，请同学们用数学的眼光去找一找视频中的小亮点， 上班呢？打卡成功！ 先来说一说视频中有哪些量在不断的发生变化。好，你来说。 老师上班的路程一直在变化，总共是走了一千五百米， 你观察的很仔细，还有吗？好，你来说。老师上班之前喝的那个牛奶的量在发生变化， 很好，观察的非常仔细。牛奶的量在数学中我们就会说是牛奶的体积。还有吗？ 好，你来说。康老师每做一件事情的时候，是时间在发生变化， 同意他的说法吗？同意好不好？像这样不断变化的量，在数学中我们就都把它们称为变量，那你能描述这些变量之间的联系吗？ 好，你来试一试，比如说汤老师上班的路程和时间，时间过得越长，他行的路程就越多。 说的真好，请坐，还有吗？好，你再来说一说汤老师喝的那杯牛奶，汤老师喝的越多，牛奶的量就会牛奶体积就会变得越来越少， 听清楚他说的了吗？我喝的牛奶越多，我杯子里面牛奶的体积就会越来越少。很好， 那像这样一总量变化，另一总量也随着变化，我们就说这两种量是相关联的量。 简单来说就是如果你发生变化，那么我也跟着你一起发生变化，那么你和我就是一组 相关相关联的量。像刚刚同学们找到的路程变，时间也变，所以我们就说 路上的时间变的相关联的量。说的真好，像那位女生找的我喝的牛奶的量和杯子里面剩下的牛奶的量，他们 很好，那汤老师想请问一下，牛奶的体积和我骑车的速度是一组相关联的量吗？不是，为什么呢？谁来说一说？ 好，你来说一说，因为他们两个没有互相影响。说的真好，掌声送给他。 这是刚刚视频中出现的数据，请你口算每个时间段的速度，你发现了什么？ 口算的结果可以直接用分数表示。 谁来说一说？ 好，高卓，你来试一试， 等于速度，那就是三分之五百，然后第二组的话就是六分之一千把，他们约分也是三分之五百。第三组就是九分之一千五把他们约分完之后也是三分之五百。 路程除以时间，根据除法与比的关系，我们也可以说路程怎么样，路程对路程之间的一致， 那么它们之间的比值就表示速度。 而且刚刚高卓也说了，每一个时间段速度都等于相当于五百， 都等于三分之五百。在生活中我们就会说，汤老师骑车的时候是在匀速行驶，但是在数学中，速度都是三分之五百，速度不变，我们就称它为速度。一定。 汤老师，这里还有一个情境，请同学们观察一下上面这个表格。谁来说一说表中有哪两种变量？ 好，你来说。我发现表中的变量是，呃，彩带的，米彩带的数量越来越多，总价就越也就越来越多。 很好，你不仅准确的找到了变量，还找到了它们的变化规律。那第二小问，这两个变量它们相关联吗？为什么？ 好，你来说，哦，它们是相关联的，因为数量增加了，它们的总价也在增加。 说的真好，也就是说数量变，总价也跟着变。第三小问，老师，想请一位同学来帮我读一读题目，并且把你觉得需要注意的地方重点读出来，谁来试一试？ 好，你来。四人为一组，每人取两组数据，不重复算一算总价与数量的比值分别是多少，再和小组内的同学说一说，你发现了什么？ 听清楚要求了吗？好，下面请同学们开始， 哈哈 哈哈， i let's go！ 完成了的小组请用你们的坐姿告诉老师。 好的，基本上都完成了。那哪一个小组上来说一说你们组的这个过程。 好，高卓，那请你带上你们其他几位同学的学习单放到上面先给大家展示，并且先说一说每一位同学是怎么计算的，最后再说你们组的发现好吗？ 哦，就是，首先这旁边已经标了有那个总价和单价，呃， 然后这然后这里就是用总价除以数量就会等于单价，然后单价就会等于，然后单价就是三天，我们是一定的。 然后呢，我们第二组，呃，也是用它的总价除以它的数量也会等于它的那个单价除以三加五，呃，比值也还是一定的。 这是第二个同学，这里他也是用，他也是用了它的那个总价除以它的数量 呃，这里也是用它的总价乘以它的数量也是单价的，也还是它的单价。 这个同学他还是一样的，他也是用那个总价乘以数量等于单价，一直也还是一定的 哦，这是最后一张哦，这个是这个就是单价去乘以三点五就会等于它的总价，然后再反过来，也就是总价除以单价等于数啊，等于它的那个， 呃，除除以数量等于他们的单价，他们的单价也是一定的。第二组的话也是他们的单价乘以他们的数量等于他们的总价，总价除以数量也等于单价，已知还是一定的。 掌声送给他。 刚刚最后一位同学学习，单上面还进行了验算，把数量和单价相乘，看是不是等于总价， 对不对？嗯，好，我们梳理一下刚刚这一位小组，他们算出来的总价与数量的比值都是一定三点五， 而且他们组用了一个非常专业的词，这节课新学的是一定一定。 这个三点五表示什么？我再请一个后面的同学们说一说，看你爸爸听清楚了没有？好，你来说 这里的三点五表示他的单价同意吗？同意，很好， 所以在这里我们就说他们的笔直单价是一定的。那请同学们对比一下刚刚我们研究的两个表格， 和你小组内的同学讨论一下他们有什么相同的地方，给大家一分钟的时间 啊。 好，讨论完的小组坐姿告诉老师谁来说一说你们小组的发现。 好，这位女生，第一组的数据，他们的速度，一个是他们的比值是一定的，就是三分之五百。 第二组的数据，他们的单价依旧是他们的比值是一定的，也就是三点五，同意吗？同意，很好，也就是说这两个数量关系，他们的比值都是一定的， 还有别的发现吗？好，你来说，我还发现他们都是相关联的量，说的具体一点。呃，我还发现这两组数据都是相关联的，谁和谁相关联？嗯嗯 嗯，首先他的路程，路程和谁时间，然后总价和数量， 你们发现了吗？哎，这个两个表格中，他们研究的这两个量都是相关点的一组量，在数学中我们就把这样的关系称为正比例关系。 所以在这里我们就说路程和时间是成 正比例关系，路程和时间是一组乘正比例的量，同样的，下面我们可以怎么说？ 价和数量是乘正比例的量，他们俩是一组成正比例的量。很好，但是我们这样说还不够严谨，下面请同学们拿出教材，看看书上面是怎么定义正比例的。 看到下面部分，像这样，我们一起起读一遍，像这样预备起像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 好，下面再请大家自己默读一遍，这一次边读边圈出你认为在这段概念中比较重要的关键词，想一想你是怎么理解它的？ no， no， no， no， 谁来说一说？跟大家分享一下你圈了哪些词？你是怎么理解的？好，你来说。 圈的正比例关系，我理解为就是两个互相有关系的数，有什么样的关系呢？ 好，谁来帮他补充一下什么样的关系，他们就是正比例关系呢？好，你来。是是他们两个同时，呃， 就是这一种变化，另一种一定会变化，那也就是说这两个量他们必须要是相关联。还有呢？谁再来谈谈你贴的关键词？ 好，你来说一声，我签了两个字，一个是呈正比例的量，还有一个是正比例的因子， 他这里两种量叫做成正比的量，所以这里只是一个量，他们的关系叫做正比关系，所以一个是量，一个是关系。很好，他还找到了他们之间的区别。还有呢， 好，你再来分享一下。我选出来的是两棵树的比值，一定，如果这两棵树的比值不一定的话，这两种量就不能叫做成正比例的量，同样，他们的关系也不能叫做正比例关系。 你补充的真好，好结合刚刚同学们说的，大家都找的非常准确。那现在老师想问大家，如果两个量他想要满足成正比例关系，需要什么条件呢？ 好，你来说，首先他们得是相关人的量， 其次，一种量变化，另一种量也要随着变化。之后呢，他们俩的关系一定要是秉持，一定要是一定的 很好，掌声送给他。 也就是说，两个量想要满足成正比例关系，首先他们必须得是相关系，其次他们还得满足理直理意。很好， 那既然同学们已经知道了什么是正比例关系，并且也知道了两个量想要满足正比例关系所需要的条件。下面请同学们完成学习单的第二大题，我会判断， 啊啊 啊啊， 好，完成了的同学用坐姿告诉老师， 第一小题，谁来说一说你的判断。 好，你来说， 为什么呢？因为正方形的边长增加，它的周长也会跟着增加，也就是说它们俩，嗯，有关联，对，是一直相关联的。然后呢？ 没有了，是吗？那他们两相关联就一定成正比例吗？好，你在摇头，你来说，并且呢，还需要，呃，比值，一定，他这个人的比值是四， 很好，非常细心的男孩子，我们根据正方形的周长和边长之间的数量关系，正方形的周长等于什么？ 边长乘四，那么周长比边长就等于四，那这个比值始终都是一定的，一定的符合我们的要求。好，第二题谁来试一试？ 好，你来说，我认为第二题也是对的，为什么呢？因为他这里说正方形的面积和边长是正比例关系，这个是对的，因为它的边长根据面积等于边长，边长，所以边长就等于面积， 所以当呃，边长增加的时候，他的面积也是会增加的，同意吗？同意，首先他非常值得肯定的一点就是他找到了他们之间的数量关系。但是老师刚刚看到有一个默默的摇头，谁能来说一说你的见解 好，还是你啊？我认为这也是错的。首先，呃，我是这么想的，先设了一个数字啊，面积等于边长的平方，呃，也就是边长乘边长。呃，首先我设边长为一，那么它的 呃面积设为一，就是一乘一，呃，然而，如果它的边长是二，呃，那么面积是二乘二就等于四，这里的比值它是二，而前面设一的比值设为一的，所以说它的比值不一定。 谁听懂了，谁能再来说一说？好，你再来说一说。 就是正方形的面积与边长，它们之间的比值是不一定的，因为，呃，面积和边长和面积等于边长和边长都有，边长是在变化，所以它们的比值是不一定的。 很好，掌声送给这两位同学。 第一位女生说出了他的数量关系时，我们可以稍微变形，把它写成面积和边长的比的形式，那么他们的比等于什么？ 面积除以边长等于什么？等于边长？也就是说他的比值是边长，但是边长是在怎么样？ 哎，他在变化，他不一定，所以他不符合我们的哪一个要求？已知一定是的，所以他们成正比例吗？不符合。好，第三题谁来试一试？ 没人举手，那我就点喽，你来说一说你的答案。 好，没关系，请坐。老师看到他的答案是对的，他判断他是对的。那谁来说一说理由？ 好，你来说。因为每天睡前阅读，他说的个数是一定的，所以 要看书的总页数除以他的天数就等于他们每天阅读的页数，而他们，他们的笔直都是一定的。 说的真好，他找准了总页数和看书的天数之间的数量关系，并且他们的笔直是一定的符合我们今天学的正比例的要求。 我们的生活中有这么多成正比例关系的量，在数学中，我们通常都讲究简洁美，那如果我用字母 y 和 x 来表示这两个相关点的量，用 k 来表示它们的笔直， 那正比例关系可以用怎样的式子来表示呢？ 所有人一起告诉我， x 等于 a， x 分 之 y， 我 们也可以说是 y 除以 s， y 除以 s， 也可以是 y 等于 x 等于 k。 然后通过我们刚刚的研究，我们知道这个 k 它是一定的，一定的。 好，请大家齐声把这个式子读一遍。 y 比预备起 y 比 x 等于 k， k 是 一定的，一定的。 好，那康老师想做一个课堂小调查，大家对今天自己的表现满意吗？满意的同学请举左手。 那比较满意的同学请举右手， 都很不错。好，我们班上的总人数一定。请问满意的人数和比较满意的人数成正比例吗？不成。那为什么呢？谁来说出理由？ 好，你来说。他说我们班总人数一定，他说我们班总人数一定满。满意的人数和比较满意的人数是不能成为任意的，因为我们班上的人数是一定的。不， 所以把人数和比较满意的他是他，也就是固定的，哪怕是人数不是一定他再加一点，那么的话，嗯，也有可能几家是满意的，或者是比较满意的。不可能两个都是加， 加也会加也不会是。呃，同时加一样的，谁能说的再清楚一点？好，你来。简单来说就是这个总人数，呃，他不是一个变量，这是我们的人数，他是不会变的。满意 和比较满意的人是不会变的。哦，我们刚刚做的调查就是，人数是固定的，对吗？对， 还有不同的理由吗？好，你来说。我觉得如果满意的增加了，那么比较满意的他就会减少，所以我觉得他们不能成正比， 那也就是说他们两个比值怎么样？不一定的，对不对？他会变很好。 我们刚刚已经学习了什么是正比例关系，其实正比例的图像也很有意思，还是刚刚的这个表格表中的数据，我们也可以在图中把它表示出来。 之前我们学过用数对来表示位置，如果我们把每一组数据看作一个数对，你能在途中找到这几组数据的位置吗？请你完成学习单的第三大题，我会画 好完成了的同学，同样的还是用坐姿告诉我。我们来看看这几位同学的作品， 他的点都找对了吗？对，完成的非常漂亮，而且还标出了数对掌声送给他。 好，我们再来看看这一位同学 他的作品，他把这八个点怎么样连起来了，也就是说他猜想正比例的图像会是一条这样的直线，直线，斜线对吧？好，我们再看看这一位同学的 怎么样？这两幅有什么不一样的地方？ 他连到了零零这个点对吗？好，但是这两位同学他们都会认为正比例的图像是这样的斜线是不是？那我们先来验证一下，看看他们的猜想对不对？ 书上面呢，是给了我们八组数据，数据还不够多，所以我们画出来的都是点，对吗？那么我们让数据再多一些，看看会是怎么样的呢？ 发现了什么？现在已经变成斜线了吗？还没有吧，但是点怎么样？ 越来越多，并且还越来越密。哎，我喜欢这位同学的回答，但是他图像还是点，那么我们让数据再多一点点，看看 怎么样啊？哎，点越来越多，然后这些点就聚成了一条线，线就聚成了一条这样的斜线，就证明刚刚那两位同学的猜想是正确的。好，那他们两个 疑问就停留在了这个零零这一点到底连还是不连呢？那么我们就请同学来说一说。

哈喽，大家好，我是香香老师，今天我们来预习四单元正比例文具店有一种彩蛋销售的数量与总价的关系，如下表，数量为一米的时候，它的总价是三点五元，两米是 七元，三米是十点五元，四米是十四元，你发现了没有？是不是数量越多，我的价钱越多？这不是秘密，真正的秘密就藏在厨房里。现在我们来做一件事情， 就用总价除以数量，当数量一米的时候，总价是三点五，就是三点五除以一等于三点五元。 数量为两米的时候，总价是七元，就是七除以二也等于三点五元，十点五除以三也等于三点五元。我们就这样子一直除下去，直到除到最后一个数字，二十八除以八也等于三点五元。 发现了什么没有？他的结果都是三点五元，从来没有变过。那这个不变的三点五是什么呢？其实就是这个彩带的单价，我们的单价就是等于总价除以数量，所以说他不会变。像这样两种相关联的量， 一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量相对应的两个数的比值一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系也叫做成正比例关系。 那么多文字到底是什么意思呢？其实我们就抓住一个词叫做笔直，他其实就隐藏着两种意思，第一种意思就是笔就是一种什么关系，除法关系就说明他必须是除法。第二个笔直一定他是不会变化的，也就说明他的商是不变。 只要抓住这两个点，我们就能判断了这两种量相关联的量，我们可以用 x 和 y 来表示， 那就是 y 除以 x， 也就可以写成的是 x 分 之 y， 它的商不变，就说明它的比值不变，等于 k， 这个 k 一定注意，它是一个数字，它一定是不变的，那么我们就读作的是 y 与 x 乘正比例。 我们来看例题，判断下面题中两种量是否成正比例。第一，圆的周长与直径。我们说了，判断这两种量是否成正比例就抓住两个点，第一是除法关系，第二，商不变，那么周长与直径我们做除法就是圆的周长除以直径， 我们用字母表示等于多少，周长等于半径，那反过来，周长除以直径是不等于派。 而这个 pi， 它是一个什么？具体的值是一个无限不循环小数，就说明它是固定的，是不变的，对不对？就说明，第一，它满足，是除法关系。第二，这个值，它们的商是 pi， 是 固定的，不变的，所以说它们成正比例关系。第二， 已看的页数与剩下的页数。我们知道已看的页数与剩下的页数，它们两者的关系其实就是已看的页数， 已看的页数加上剩下的页数就等于总页数，总页数肯定是不变的， 对吧？但是呢，他要满足我们。第二，满足是除法，而已看的页数和剩下的页数，它们是什么关系？是个和的关系， 而和的关系满不满足是除法关系，不满足，只要有一个条件不满足啊，那他们就不能成正比例关系。今天的正比例你学会了吗？评论区有练习题，请把答案打在评论区，关注我，二十一天系统预习！

老师上班之前喝的那个牛奶的量在发生变化，很好，观察的非常仔细。牛奶的量在数学中我们就会说是牛奶的体积。还有吗？ 好，你来说。潘老师每做一件事情的时候，是时间在发生变化， 同意他的说法吗？同意，很好，像这样不断变化的量，在数学中我们就都把它们称为变量。那你能描述这些变量之间的联系吗？ 好，你来试一试。比如说汤老师上班的路程，他的路程和时间，时间过得越长，他行的路程就越多。说得真好，请坐。还有吗？好，你再来说一说 汤老师喝的那杯牛奶，每汤老师喝的越多，牛奶的量就会牛奶体积就会变得越来越少。 听清楚他说的了吗？我喝的牛奶越多，我杯子里面牛奶的体积就会越来越少。少。很好， 那像这样一总量变化，另一总量也随着变化，我们就说这两种量是相关联的量。 简单来说就是如果你发生变化，那么我也跟着你一起发生变化，那么你和我就是一 组相关联的量。像刚刚同学们找到的路程变，时间也变，所以我们就说 路上的时间让你的想法也没有量。说的真好，像那位女生找的我喝的牛奶的量和杯子里面剩下的牛奶的量，他们 很好。那汤老师想请问一下，牛奶的体积和我骑车的速度是一组相关联的量吗？是为什么呢？谁来说一说？ 好，你来说一说，因为他们两个没有互相影响。说的真好，掌声送给他。 这是刚刚视频中出现的数据，请你口算每个时间段的速度，你发现了什么？ 口算的结果可以直接用分数表示。 谁来说一说？ 好，高卓，你来试一试。 时间就是等于速度，那就是三分之五百，然后第二组的话就是六分之一千把，他们约分也是三分之五百。第三组就是九分之一千五，把他们约分完之后也是三分之五百。 路程除以时间，根据除法与比的关系，我们也可以说路程怎么样？路程对时间等于速度， 那么它们之间的比值就表示速度，速度。 而且刚刚高卓也说了，每一个时间段速度都等于三百，分之五百， 都等于三分之五百。在生活中，我们就会说，汤老师骑车的时候是在匀速行驶，但是在数学中，速度都是三分之五百，速度不变，我们就称它为速度。一定。 唐老师，这里还有一个情境，请同学们观察一下上面这个表格。谁来说一说，表中有哪两种变量？ 好，你来说。 我发现表中的变量是，呃，彩带的米彩带的数量越来越多，总价就越也就越来越多。 很好，你不仅准确地找到了变量，还找到了它们的变化规律。那第二小问，这两个变量它们相关联吗？为什么？ 好，你来说，哦，它们是相关联的，因为数量增加了，它们的总价也在增加。 说的真好，也就是说数量变，总价也跟着变。第三小问，老师，想请一位同学来帮我读一读题目，并且把你觉得需要注意的地方重点读出来，先来试一试。 好，你来。四人为一组，每人取两组数据，不重复算一算总价与数量的比值分别是多少，再和小组内的同学说一说，你发现了什么？ 听清楚要求了吗？好，下面请同学们开始 啊， let's go 哈哈 啊， 完成了的小组请用你的坐姿告诉老师。 好的，基本上都完成了。那哪一个小组上来说一说你们组的这个过程 啊？高卓，那请你带上你们其他几位同学的学习单放在上面先给大家展示，并且边说一说每一位同学是怎么计算的，最后再说你们组的发现好吗？ 哦，就是首先这旁边已经标了有那个总价和单价呃， 然后这然后这里就是用总价乘以数量就会等于单价，然后单价就会等于然后单价就是三点五，它是一定的。 然后呢，我们第二组，呃，也是用它的总价乘以它的数量也会等于它的那个单价值三点五哦，比值也还是一定的。 这是第二个同学这里他也是用，他也是用了他的那个总价除以他的数量 呃，这里也是用他的总价除以他的数量也是三点五，还是他的单价。 这个同学他还是一样的，他也是用那个总价乘以数量等于单价也乘以一定的。 哦，这是最后一张哦，这个是这个就是单价去乘以三点五就会等于他的总价，然后再反过来也就是总价除以单价等于数量等于他的那个。 呃，除除以数量等于他们的单价，他们的单价也是一定的。第二组的话也是他们的单价乘以他们的数量等于他们的总价，总价除以数量也等于单价。已知还是一定的。掌声送给他。 刚刚最后一位同学学习单上面还进行了电算，把数量和单价相乘，看是不是等于总价， 对不对？好，我们梳理一下刚刚这一位小组，他们算出来的总价与数量的比值都是一定的三点五， 而且他们组用了一个非常专业的词，这节课新学的是一定一定。 这个三点五表示什么？我再请一个后面的同学们说一说，看你刚刚听清楚了没有？好，你来说 这里的三点五表示他的单价，同意吗？同意，很好， 所以在这里我们就说他们的笔直单价是一定的。那请同学们对比一下刚刚我们研究的两个表格，和你小组内的同学讨论一下他们有什么相同的地方，给大家一分钟的时间。 好，讨论完的小组坐姿，告诉老师谁来说一说你们小组的发现。 好，这位女生，第一组的数据，他们的速度也就是他们的比值是一定的，就是三分之五百。第二组的数据，他们的单价依旧是他们的比值是一定的，也就是三点五， 同意吗？同意，很好，也就是说这两个数量关系，他们的比值都是一定的， 还有别的发现吗？ 啊，你来说，我还发现他们都是相关联的量，说的具体一点。呃，我还发现这两组数据都是相关联的，谁和谁相关联？嗯 嗯，首先他的路程，路程和谁时间，然后总价和数量， 你们发现了吗？哎，这个两个表格中，他们研究的这两个量都是相关点的一种量，在数学中我们就把这样的关系称为正比例关系， 所以在这里我们就说路程和时间是成正比例关系，路程和时间是一组成正比例的量。同样的，下面我们可以怎么说？ 重量是成正比例的量，他们两是一组成正比例的量。很好，但是我们这样说还不够严谨，下面请同学们拿出教材，看看书上面是怎么定义正比例的。 看到下面部分，像这样，我们一起去读一遍，像这样预备起像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 好，下面再请大家自己默读一遍，这一次边读边圈出你认为在这段概念中比较重要的关键词，想一想，你是怎么理解它的？ i love you love you， 谁来说一说？跟大家分享一下你圈了哪些词？你是怎么理解的？好，你来说 中的正比例关系，我理解为就是两个互相有关系的数， 什么样的关系呢？好，谁来帮他补充一下。什么样的关系他们就是正比例关系呢？好，你来。是，是他们两个同时，呃， 就是这一种变化，另一种变化，那也就是说这两个量它们必须要是相关联。还有呢？谁再来谈谈你这个关键词？好，你来说一说。 我圈了两个词，一个是成正比例的量，还有一个是正比例关系，他这里两种量叫做成正比例的量，所以这里是一个量关系，叫做正比例关系，所以一个是量，一个是关系。 很好，他还找到了他们之间的区别。还有吗？ 好，你再来分享一下。我选出来的是两棵树的比值。一定，如果这两棵树的比值不一定的话，这两种量就不能叫做成正比例的量，同样他们的关系也不能叫做正比例关系。 你补充的真好，好结合刚刚同事们说的，大家都找的非常准确。那现在老师想问大家，如果两个量他想要满足成正比例关系，需要什么条件呢？ 好，你来说，首先他们得是相关的量，其次，一种量变化，另一种量也要随着变化。之后呢？他们两个官司一定要是底局一定要是一定的，是 吧？很好，掌声送给他。 也就是说，两个量想要满足成正比例关系，首先他们必须得是正关系，其次他们还得满足理智。很好， 那既然同学们已经知道了什么是正比例关系，并且也知道了两个量想要满足正比例关系所需要的条件，下面请同学们完成学习单的第二大题，我会判断。 hahaha ah， 好，完成了的同学用坐姿告诉老师， 第一小题谁来说一说你的判断。 好，你来说， 为什么呢？因为对方是忠诚的家，他的忠诚也就是忠诚家，也就是说他们俩，嗯，有关联。对，是以血缘关系的呀。然后呢？ 没有了是吗？那他们两相对应就一定成正比例吗？好，你再摇头，你来说。并且他们还需要，呃，比值。一定，他现在的比值是四。 好，好，非常细心的男孩子，我们根据正方形的周长和边长之间的数量关系，正方形的周长等于什么？边长成四，那么周长比边长就 等于四，那这个比值始终都是一定的，一定的符合我们的要求。好，第二题谁来试一试？ 好，你来说，我认为第二题也是对的，为什么呢？因为它这里说这双数的面积和边长是这比，这个是对的，因为它的边长根据面积等于边长，边长就等于面积， 所以当呃，编程增加的时候，它的面积也是会增加的，同意吗？同意。首先他非常觉得肯定的一点就是他找到了他们之间的数量关系。但是老师刚刚看到有我们在默默的摇头，谁能来说一说你的见解 好还是你啊？我认为这也是错的。首先，呃，我是这么想，先设了一个数字啊，面积等于编程的平方， 呃，也就是边长乘边长。呃，首先，我设边长为一，那么它的呃面积也是为一，就是一乘一。呃，然而，如果它边长是二，呃，那么面积是二乘二就等于四，这里的比值它是二，而前面设一的比值设为一的，所以说它的比值不一定。 谁听懂了，谁能再来说一说。 好，你再来说一说。就是正方形的面积与边长，它们之间的比值是不一定的，因为，呃， 面积和边长和面积等于边长和边长，而又有边强似的变化，所以它们的比值也是不一样的。很好，掌声送给这两位同学。 第一位女生说出了他的数量关系时，我们可以稍微变形，把它写成面积和边长的比的形式，那么他们的比等于什么？ 面积除以边长等于什么？等于边长，也就是说他的比值是边长，但是边长是在怎么样？ 哎，他在变化，他不一定，所以他不符合我们的哪一个要求？已知一定是的，所以他们成正比例吗？不符合。好。第三题，谁来试一试？ 没人举手，那我就点喽，你来说一说你的答案 好，没关系，请坐。老师看到他的答案是对的，他判断他是对的。那谁来说一说理由？ 好，你来说。因为每天睡前阅读，他说的个数是一定的，所以 要看书的总页数除以他的天数就等于他们每天阅读的页数，而他们的笔直都是一定的。 说的真好，他找准了总页数和看书的天数之间的数量关系，并且他们的笔直是一定的，符合我们今天学的正比例的要求。 我们的生活中有这么多成正比例关系的量，在数学中，我们通常都讲究简洁美，那如果我用字母 y 和 x 来表示这两个相关点的量，用 k 来表示它们的笔直， 那正比例关系可以用怎样的式子来表示呢？ 所有人一起告诉我， x 等于 a， x 分 之 y， 我 们也可以说是 y 除以 s， y 除以 x， 也可以是 y 除以 x 等于 k。 然后通过我们刚刚的研究，我们知道这个 k 它是一定的，一定的。 好，请大家齐声把这个式子读一遍。 y 比预备起 y 比 x 等于 k， k 是 一定的，一定的。 好，那康老师想做一个课堂小调查，大家对今天自己的表现满意吗？满意的同学请举左手。 那比较满意的同学请举右手。 ok， 不 错，好，我们班上的总人数一定。请问满意的人数和比较满意的人数成正比例吗？不成。那为什么呢？谁来说出理由？ 好，你来说。他说我们班总人数一定，他说我们班总人数一定。把满意的人数和比较满意的人数是不能成为任意的，因为我们班上的人数是一定的。不， 所以把人数和比较满意的他是，呃，他也就是固定的，哪怕是人数不是一定他再加一点，那么的话，嗯，也有可能只加是满意的，或者是比较满意的，不可能两个同时加， 加也不加也不会是，呃，同时加一样的，谁能说呢？再清楚一点。好，你来。简单来说就是这个总人数，呃，他不是一个变量，这是我们的人数，他是不会变的。满意和比较满意的人是不会变的。 满意的人数和比较满意的人数不会变吗？ 哦，我们刚刚做的调查就是人数是固定的，对吗？还有不同的理由吗？好，你来说。我觉得如果满意的增加了，那么比较满意的他就会减少，所以说我觉得他们不能成正比， 那也就是说他们两个比值怎么样？不一定，不一定的，对不对？他会变很好。 我们刚刚已经学习了什么是正比例关系，其实正比例的图像也很有意思，还是刚刚的这个表格表中的数据，我们也可以在图中把它表示出来。 之前我们学过用竖对来表示位置。如果我们把每一组数据看作一个数对，你能在途中找到这几组数据的位置吗？请你完成学习单的第三大题，我会画 好完成了的同学，同样的还是用坐姿告诉我。我们来看看这几位同学的作品， 他的脸都找对了吗？完成的非常漂亮，而且还标出了竖队掌声。

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来学习正比例。上课之前，我们先来看一个式子，速度等于路程除以时间，其中路程和时间之间有关系。 在数学中，我们把路程和时间这样有关系的两种量叫做相关联的量。 我们之前还学过总价除以数量等于单价，这个式子中，我们可以说总价和数量是相关联的量。 还有工作总量除以工作时间等于工作效率这个式子中，我们可以说工作总量和工作时间是相关联的量。 还有一本书看来的页数加剩下的页数等于总页数，这个式子中一本书看来的页数和剩下的页数是相关联的量。 好啦，了解完什么事相关联的量之后，我们来看书上的利益。题目中说，文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系如下表，我们根据这个表格来回答一下几个问题。 来看第一个问题，表中有哪两种量？表中有两行，第一行表示的是数量，第二行表示的是总价，所以表中的量是数量和总价。 再来看第二问，总价是怎样随着数量的变化而变化的？我们来看表格，数量是一的时候，总价是三点五。数量是二的时候，总价变成了七。 数量是三的时候，总价变成了十点五。所以当数量慢慢增多的时候，总价也在随着相应的增加， 也就是说数量越多，总价越高。再来看第三问，相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？我们先来看相应的总价与数量的比， 当总价是三点五元时，数量是一米，所以第一组总价与数量的比是三点五比一，也就是 一分之三点五，以此类推。第二组是二分之七，第三组是三分之十点五，第四组是四分之十四，第五组是五分之十七点五， 第六组是六分之二十一，第七组是七分之二十四点五，第八组是八分之二十八。 再来求比值，因为总价除以数量就求出来它们的比值，求出来比值都是三点五。求比值的时候是让总价除以数量，而总价除以数量求出来的是单价， 所以比值三点五实际上就是彩带的单价，用式子表示，就是总价除以数量等于单价。 像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 那到底怎样判断两种量是否成正比例关系？那到底怎样判断两种相关联的量的比值是一定的， 所以我们要判断是否是正比例关系，我们要先求出来它们的比值，如果比值一定，它们就成正比例关系。如果比值不一样，它们就不成正比例关系。 我们来看简单的记法，如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，这里的比值是一定的。正比例关系可以用下面的式子来表示， 也就是 x 分 之 y 等于 k， 这里的 k 是 具体的值。好啦，了解完什么是正比例关系之后，我们来看一道题。这道题说下表示小林家去年上半年每月用电量情况来看，第一问 分别写出个月电费与用电量的比，比较比值的大小来看，第一个月电费是六十元，用电量的 用电量是一百二十千瓦时，所以他们的比是六十，比一百二十。 第二个月的比是六十五，比一百三十。第三个月的比是五十五，比一百一十。第四个月的比是六十，比一百二十。第五个月的比是六十五，比一百三十。 第六个月是七十五，比一百五十，他们求出来的比都是零点五，所以他们的比值是相等的。再来看第二问， 说明这个比值表示的意义，因为我们求比值的时候是电费除以用电量，而电费除以用电量求出的是用电单价，所以这个比值表示的就是用电单价。 再来看第三问，电费与相应的用电量成正比例关系吗？为什么 在第一问中我们已经求出来电费和比，在第一问中，我们已经求出来电费和用电量，它们的比值是一定的，所以它们成正比例关系。好了，今天的知识我们就学到这里，小朋友们，你们学会了吗？