几何画板做平行四边形的翻折动画

你有没有想过，随便画一个歪歪扭扭的四边形，只要连一连，它的四个边中点竟然能变出一个规规矩矩的平行四边形？更神奇的是，这个新图形的面积刚好是原来的一半，周长居然等于原图两条对角线的总和！听起来像魔法 不？这是几何里超实用的中点四边形模型。咱们先从最经典的情况入手，假设有一个任意四边形 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g、 h 分别是四条边的中点，把这四个点顺次连起来，得到新四边形 e、 f、 g、 h， 你 猜它是什么形状？答案绝对颠覆你的想象，它一定是平行四边形！ 为什么这么神奇？咱们用三角形中位线定理一推就明白。连接原四边形的对角线 a、 c。 在 三角形 a、 d、 c 中， h、 g 是 中位线， 所以 h、 g 平行于 a、 c， 而且长度是 a、 c 的 二分之一。在三角形 a、 b、 c 中， e、 f 也是中位线，所以 e、 f 也平行于 a、 c， 长度同样是 a、 c 的 二分之一。这一来， e、 f 和 h、 g 就 既平行又相等了。根据平行四边形的判定定律，一组对边平行且相等的四边形就是平行四边形。 所以，只要是任意四边形的中点连线，得到的必然是平行四边形，这就是中点四边形的基础。结论更妙的是，如果原四边形有特殊性质，中点四边形还会升级。原图是矩形，中点四边形变成菱形。 原图是菱形，终点四边形秒变矩形。如果原图是正方形，那终点四边形还是正方形？甚至只要原图对角线垂直，终点四边形就是矩形，对角线相等，它就是菱形。给大家划个重点，以后读题时只要看到四边形四条边的终点这几个字，别犹豫， 直接锁定中点四边形模型。核心解析逻辑就是连接对角线，用三角形中位线定理，把四边形问题转化成三角形的平行数量关系分析一步到位，你以为这就结束了？ no！ 这个模型还有更硬核的隐藏结论，当我们连接圆四边形的两条对角线 a、 c 和 b、 d 时，惊喜直接拉满！ 一、平行关系， e、 f 平行于 ac， ac 又平行于 h、 g， 所以 e、 f 平行于 h、 g。 同理， e、 h 平行于 b、 d， b、 d 又平行于 f、 g。 二、数量关系， e、 f 等于 h、 g 都等于 a、 c 的 二分之一， e、 h 等于 f、 g 都等于 b、 d 的 二分之一。三、形状判定四边形 e、 f、 g、 h 是 平行四边形，四面积刚好是圆四边形， a、 b、 c、 d 面积的二分之一。 五、周长巧算，中点四边形的周长等于圆四边形，两条对角线的长度之合。这些结论就像几何体里的快捷键，记住了，直接套用，做题速度瞬间起飞！怎么样？原来中点四边形里藏着这么多开挂的知识点！ 以后再遇到这类题，别再抓耳挠腮了，先找中点，再连对角线，用中位线定礼仪推导，答案直接浮出水面。

初步认识平行四边形。猴哥，我这有个图形，他和你一样也会变化哦，快拿来让俺老孙看看。 哼，我当是什么图形的，不就是长方形吗？看好了，还真的变形了。嘿，有点意思，你们知道长方形变形前后什么变了，什么没变吗？ 四条边的长度没变，你怎么知道的？这四根木棒没变，所以边的长度也没变。我量量，长方形的这两条边 都是十厘米，新图形的这两条边也是十厘米，长方形的左边和右边都是二十厘米。 嗯，新图形也是这样，果然没变。没错，四条边的长度没变，新图形还是对边相等， 我发现角变了，在拉的过程中，左下面和右上面的角都变小了，变成了锐角， 同时左上角和右下角都变大了，变成了钝角。没错，长方形的四个直角发生了变化，一组对角变成了钝角，一组对角变成了锐角。像变形后这样的图形，我们叫它平行四边形， 你们在生活中见到过吗？啊，菜地的栅栏上就有平行四边形， 东海龙宫的地砖也是平行四边形的。俺老孙曾经穿越到过未来世界，看到衣架上、楼梯扶手上，还有学校的伸缩门上都有平行四边形。 你们真是见识广博啊，为你们点赞。既然认识了平行四边形，你们在点子图上画一画他吧。 哈，这个简单，先横着找到三个点连起来，再在下面错开位置，同样找三个点再相连，然后将左右两条边的点连接，就构成了一个平行四边形。 我的方法跟你不一样，我先找到一个点，在下面两格向左移动两格，找到另外一个点，然后上下分别从两点出发画三格，最后将右边的两点相连。 你们都非常有想法，不管你们画的办法是否一样，只要能保证你的图形对边相等就好了。视频前的小朋友们，你们认识平行四边形了吗？再见！

咱们做什么手工呀？你猜猜。我知道了，平行四边形，对边平行且相等，还能变形。 说得准，咱们就用它的变形能力做灯笼。把它的特性用在手工里，是不是很巧妙？太顶了，变形能力刚好让灯笼能开合。这纸箱看着好结实啊！ 这弯路组成的是一个大平行四边形，你想想它有啥用哦？难道是用来分散压力，增加承重？哈哈哈，没错，不同场景有不同妙用，知识要活学活用，更多科普知识可入群观看哦！

四边形的分类 我们知道三条边首尾依次相连组成的图形叫做三角形。那四条边首尾依次相连组成的图形叫什么呢？嗯，叫四角形。不对不对，叫四边形。 四边形中相对的两条边叫对边，每个四边形都有两组对边， 根据对边是否平行可以把四边形分成不同的类型啊。都有哪些类型呢？先看我们画的这个这组对边平行吗？嗯，不平行。这一组呢 也不平行像这样两组对边都不平行的四边形是一般四边形。哎。那不一般的是什么样的？看这个四边形他的两组对边有什么关系。 这组对边平行，这组对边也平行他的两组对边都平行。 像这样两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形。嘿嘿，又学到一个新图形，真开心。 哎还有没有其他的？还有一组对边平行一组对边不平行的，也就是只有一组对边平行的四边形叫做梯形。呜，梯形我记住了，那下面考考你。你来看看它们分别是什么图形吧。 一号图形两组对边分别平行，是平行四边形。 二号图形只有一组对边平行是梯形。三号图形两组对边分别平行，是平行四边形。四号图形两组对边分别平行是平行四边形。 五号图形两组对边都不平行是一般四边形。回答正确，你真棒。 不过我总觉得有些不对劲，我们以前学的三号图形是正方形，四号图形是长方形，现在他们怎么又变成平行四边形了？ 哈哈，别担心，这并不矛盾。长方形和正方形两组对边都分别平行，满足平行四边形的特征，所以他们都是平行四边形。和一般的平行四边形不一样的是，他们的四个角都是直角， 所以他们是特殊的平行四边形。哦，原来是这样啊，我明白了。 我们再看正方形和长方形。正方形除了和长方形一样，两组对边分别平行有四个直角，他的四条边还都相等，所以正方形是特殊的长方形， 正方形、长方形、平行四边形。它们的关系可真够复杂的，我们用图来表示一下就清晰明了，这是平行四边形。长方形和正方形是特殊的平行四边形，所以要在平行四边形里面， 正方形又是特殊的长方形，所以它在长方形里面就像这样。嗯，这样果然清楚多了，我明白了。哎，同学们，你们明白了吗？拜拜。

初步认识平行四边形。 猴哥，我这有个图形，它和你一样也会变化哦，快拿来让俺老孙看看。哼，我当是什么图形的，不就是长方形吗？看好了， 还真的变形了。嘿，有点意思，你们知道长方形变形前后什么变了，什么没变吗？ 四条边的长度没变，你怎么知道的？这四根木棒没变，所以边的长度也没变。我量量，长方形的这两条边 都是十厘米，新图形的这两条边也是十厘米，长方形的左边和右边都是二十厘米。 嗯，新图形也是这样，果然没变。没错，四条边的长度没变，新图形还是对边相等， 我发现角变了，在拉的过程中，左下面和右上面的角都变小了，变成了锐角， 同时左上角和右下角都变大了，变成了钝角。没错，长方形的四个直角发生了变化，一组对角变成了钝角，一组对角变成了锐角。像变形后这样的图形，我们叫它平行四边形， 你们在生活中见到过吗？啊，菜地的栅栏上就有平行四边形， 东海龙宫的地砖也是平行四边形的。俺老孙曾经穿越到过未来世界，看到衣架上、楼梯扶手上，还有学校的伸缩门上都有平行四边形。你们真是见识广博啊，为你们点赞。 既然认识了平行四边形，你们在点子图上画一画他吧。呵，这个简单，先横着找到三个点连起来， 再在下面错开位置，同样找三个点再相连，然后将左右两条边的点连接，就构成了一个平行四边形。 我的方法跟你不一样，我先找到一个点，在下面两格向左移动两格，找到另外一个点，然后上下分别从两点出发画三格，最后将右边的两点相连。 你们都非常有想法，不管你们画的办法是否一样，只要能保证你的图形对边相等就好了。视频前的小朋友们，你们认识平行四边形了吗？再见！

在计算三角形与平行四边形的面积时，为什么可以把它们看作是特殊的梯形呢？请看这个等高等底的多边形面积计算的数学实验。 这里的底指上底加下底的和下面。手把手带你先作图，再玩一玩。一、画一组平行线，用直线工具画一条直线，隐藏点 b， 再用点工具画一个自由点，选中自由点与直线画平行线。 二、设置上底的变量，计算下底，设置上底的变量 a， 最大值十二，增量零点一，其余默认 计算与测量下底为十二，减去 a。 三、画多边形，选重点。 a， 画指定半径的圆 半径为 a， 选中圆和直线构造焦点 两个焦点，删除一个， 画下底，选重点 c， 画指定半径的圆 半径为 m， 零， 选中圆和直线构造焦点 两个焦点，删除一个，依次选中 a、 e、 f、 c， 构造多边形， 隐藏两个 圆，选中多边形，计算与测量 周长与面积。单机文本工具鼠标在画板的空白处点击， 在窗口里拾取与输入变量 a， 加 m 零等于十二， 点击确定。

现在让我们先来认识一下七巧板里的图形，数一数，看看里面都有哪些图形，各有几块呢？一副七巧板包含三种图形，正方形、平行四边形和三角形。 这里分别有一个正方形，一个平行四边形和五个三角形，一共七个图形。特别的这五个三角形中各有一对大小相同的大三角形和小三角形，还有一块中等大小的三角形。 现在我们给这些基本图形分别标上号，然后开始我们的拼图之旅。 想象一下，如果我们用两块、三块、四块甚至更多的板子能不能拼出正方形呢？让我们一起动手试试吧。 首先我们从最简单的开始，也就是用两块板子拼正方形，看一号和二号这两块大小完全一样的三角形，可以完美的拼接在一起，形成一个大的正方形，是不是很神奇？ 那我们还能用其他两个三角形来拼吗？当然可以，三号和五号这两个三角形，他俩的大小也是一样的，所以也能拼成一个正方形。 同学们仔细看一下我们拼出的这两个正方形，他们有哪些相同点和不同点呢？ 很明显，相同点就是这两个正方形都是由两个大小相同的三角形拼成的， 而不同点呢，就是由两个大三角形拼成的正方形大，有两个小三角形拼成的正方形小。接下来。

同学们好，今天我们来给大家讲关于证明四边形是特殊四边形以及与折叠相关的问题。我们来看到下面这道题， 它告诉我们在这个三角形 o、 a、 b 中角 o、 a、 b 是 等于九十度角， a、 o、 b 是 等于三十度， o， b 是 八， 以 o， b 为边，在三角形 o、 a、 b 外作等边，三角形 o、 b、 c， 那 他三条边都相等，那这个 o、 c 和 b、 c 也是吧， 那 d 是 o、 b 的 中点，连接 a、 d 并延长交 o、 c 于一。我们来看一下我们的问题，第一道题，他让我们证明这个四边形 a、 b、 c、 e 是 平行四边形。 那我们遇到这类证明四边形是特殊四边形的问题，我们就得先知道证明这个特殊四边形的 判定定力。那我们看一下我们这道题要证明的特殊四边形是平行四边形， 那我们证明平行四边形的判定定力有五种，第一个呢，就是证明出这个四边形的两组对边分别平行。 第二个呢，就是证明这个四边形两组对边分别相等。第三个是证明这个四边形一组对边平行且相等。第四个就是证明这个四边形的两组对边分别相等。 第五个呢，就是证明这个四边形对角线互相平分。那我们通过我们已知的条件来看一下第一题，我们通过题目中可以知道在这个三角形 o、 a、 b 中， d 是 o b 的 中点， 那我们通过这个条件就可以得出 o、 d 是 等于二分之一 o、 b 的。 那么有题目可以知道角 o、 a、 b 是 等于九十度的， 那通过直角三角形的斜边中线定理，也就是在直角三角形中，斜边的中线长度等于斜边长度的一半，我们可以得出这个 a、 d 是 等于二分之一 o、 b 的， 那我们通过这两个式子，我们就可以得到这个 a、 d 是 等于 o、 d 的， 那也就是这个三角形 o、 d、 a 是 一个等腰三角形， 那我们要已知这个角 a、 o、 b 是 三十度，我们通过等边对等角可以得到这个角 d、 o、 a 是 等于角 d， a、 o 是 等于三十度的。 那我们又通过题目可以知道这个角 o、 b、 c， 它是一个等边三角形，也就是它的各个角都是六十度，那我们可以得到这个角 e、 o、 a 就 等于角 c、 o、 b 加上角 d、 o、 a， 那 也就是六十度。加上三十度是等于九十度的，那我们再通过内角和为一百八十度，就可以得到这个角 a、 e、 o 是 等于一百八十度。减去九十度，再减去三十度是等于六十度的。 那我们由题目中这个角 o、 b、 c， 它是一个等边三角形， 我们可以得到这个角 b、 c、 o 就是 等于六十度，那这个角 b、 c、 o 是 等于角 a、 e、 o 的， 那我们通过同位角相等两直线平行可以得到这个 b、 c 就是 平行于 a 一 的， 那同理角 b、 a、 o 等于角 c、 o、 a 等于九十度， 那这个 c、 o 是 平行于 ab 的。 那我们证明出了这个四边形的两组对边分别平行，我们就可以得到我们的结论，四边形 a、 b、 c、 e， 它是一个平行四边形。 那我们来看一下我们的第二题。为了方便我们的计算，我们把它画出来， 那么我们求这类关于折叠的问题的时候，我们首先得知道它的性质，那我们知道折叠的性质就有对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴这三个性质， 那通过这三个性质，我们要求这个 o g 的 长，我们一般答题思路呢，就是找它的对应边，然后设未知数。第三个就是用勾股定律对应， 那我们第一步就是找到它的对应边，我们从题目中可以得到这个 c 与 a 是 重合的，我们通过它对应边相等，就可以得到这个 c g， 它是等于 a g 的。 那第二步设未知数，那我们求 o g， 我 们就设这个 o g 为 x， 那 我们这个 c g 就 等于八减去 x， 那 也就是这个 a g 的 值。 那我们知道这个 o a g， 它是三十度，且这个是一个直角三角形，我们就可以得到 o a 是 等于 o b 乘以 q 三也三十度，那就等于八乘以二根号三，也就是四根号三。 那我们第三步就是用我们的勾股定律，在我们这个三角形 o a g 中有我们的勾股定律，就可以得到 我们 o g 的 平方，加上 o a 的 平方等于 a g 的 平方，那就有 o g 的 平方 x 加上这个 a o 的 平方，四根号三的平方 就等于这个 a g 的 平方，八减 s 的 平方，那我们化简一下就得到了 x 是 等于一的， 那即这个 o g 是 等于一的，那我们就求出了 o g 的 长度。 那我们关于这道题，第一个就是讲了我们如何证明这个四边形是特殊四边形，我们一般第一步呢，就是先知道这个特殊四边形的判定定律，再通过相应的条件来求出我们 需要证明的条件。那第二个呢是关于折叠问题，我们首先我们得知道关于折叠的性质，那折叠的性质就有对应边向的，对应角向的折痕是对称轴。那我们再通过三步走， 第一步呢就是找到它的对应边，第二步呢就是设位之数，第三步我们就用勾股定力来求出它们对应关系，从而求出我们需要求的值。那我们这节课就分享到这里啦，我们下节课再见吧。

立体图形被平面切开得到的结面是什么样子呢？我们先从正方体被切说起。 正方体相貌堂堂，方方正正，所以从某些角度切下去，可以得到特殊的结面。比如以平行于一个面的方式切下去，得到的结面为正方形。平行于任意一条棱切下去，得到的结面一定为长方形。 如果恰好切到了三个顶点，那么可以得到等边三角形的洁面。如果切入的方式随便一些的话，那么得到的洁面也会多种多样，三角形、四边形、五边形甚至六边形也可以得到。 其实从本质上来说，你切到了几个正方体的表面，那么得到洁面的边数就为多少，这又是为什么呢？因为两平面的交线肯定是直线， 如果你的平面与正方体的六个面都相交，那么一定得到六条线段，并且首尾相切，那么这个洁面自然就是六边形了，是不是有种豁然开朗的感觉呢？嘿嘿，下面来说说其他的立体图形吧。 棱柱被水平方向切得到的洁面与底面形状是一样的，都为多边形， 如果偏一些，得到的也是变了形。多边形竖直方向切得到为高度都相同的长方形，只不过有胖有瘦。 圆柱的情况跟棱柱差不多。水平被切得到圆形结面偏一点则为椭圆形。竖直被切得到的长方形中，过轴心为最胖那个。棱锥和圆锥被水平方向切开得到与底面形状一样的结面，只不过是缩小版的，并且越接近顶点，结面越小。 如果切面过顶点的话，得到的结面是都为三角形的。至于球体吗？本身很特别，从任何方向看都一样，它的结面也同样很特别。不管如何切，结面都是圆形，其中过球心的结面圆最大。 斜着切火腿肠得到的结面形状为下面哪个选项？ a。 四边形 b。 圆 c。 椭圆 d。 三角形首先我们要知道火腿肠的形状，这个大家应该都了解，火腿肠细长 可以看做圆柱的，如果大家切过火腿肠的话，那就更简单了，一般我们都是切成片刀，如果正着切下去，那么得到的结面应该是一个标准的圆形。如果斜着切下去呢？那么是变形后的圆， 也就是椭圆心。所以本题的答案为选项 c。 用平面去截一个几何体，如果截面是圆，则圆几何体可能是下面哪个选项？ a。 正方体求 b。 圆锥棱柱 c。 求长方体 b。 圆锥圆柱求。本题考察立体图形的结面，如果结面是圆的话，那么圆几何体可能是什么样子的呢？ 这当然要从结面的特点来入手了。结面是圆，圆的轮廓是曲线围成一周，那意味着圆几何体的形状必然有曲面围成一周的样子。我们来看看各选项， a 选项中的正方体没有曲面， b 选项中的棱柱也没有曲面， c 选项中的长方体也没有曲面，所以这几个几何体都不可能出现圆形结面。 排除掉了三个选项，那么 d 选项呢？圆锥和圆柱只需要水平方向切就会得到圆形结面，而球体不管怎么切，得到的都是圆形结面，所以本题的正确选项为 d。 用一个平面截正方体，其截面不可能是下面哪个图形？ a。 正三角形 b。 等腰三角形 c。 直角三角形 d。 正方形本题考察平面截正方体。 正方体是一个特殊的几何体，他的六个面都为正方形，所以能够得到特殊形状的结面。首先来看看选项 a， 正三角形， 也就是等边三角形，那么意味着平面与正方体三个面相交，并且交线长度相等，要满足这个条件并不难。平面找适当的方向切掉正方体的一个角就可以了，可以得到等边三角形。 继续来看看选项 b， 等腰三角形。这个选项就不用多思考了，刚才 a 选项所说的等边三角形就是特殊的等腰三角形， 所以等腰三角形也是有可能的。再来看看 c 选项，直角三角形。 刚才我们提到切掉正方体的一个角可以得到三角形，那么能否选合适的角度使得斜面为直角三角形呢？在这里要告诉大家，这是不可能的理由吗？以后我们学了更多知识就明白了。 不过这不影响对这道题的选择，因为 d 选项我们可以轻松搞定。 d 选项为正方形，那么我们只需要平行于一个面去截，就可以得到正方形截面了。 所以即使我们想不明白， c 选项因为可以确定 abd 都可能也可以得到，最终答案为选项 c， 简单几何体的三式图而对于简单的几何体，我们往往用三个平面图形来描述它，这就是三式图。这三个图形分别是从三个不同的方向观察几何体所看到的形状。 首先是从正面看得到的形状，叫做俯视图，其次是从左面看得到的形状叫做左式图。 最后是从上面看得到的形状，叫做俯视图。那为啥不从后面、右面、下面看呢？因为对于一个几何体，从前从后看是差不多的，只不过前后颠倒。从左从右看也差不多，左右颠倒， 从上从下看还是差不多，只不过上下颠倒。所以我们只需要从三个方向上观察几何体。 接下来分别介绍一下我们常接触的几种几何体的三式图。首先看正方体，我们很熟悉，六个面都为正方形， 所以不论是从正面看，还是从左面上面看，看到的都是正方体的其中一个面，也就是正方形，所以正方体的主视图、左视图都为正方形，注意，是三个相同的正方形哦。 接下来看长方体，这也是大家熟悉的几何体，从正面、左面和上面看得到的都是长方形，也就是说其三式图都为长方形。不过这三个长方形之间可有着不一般的关系。 大家来看长方体的前面上边的这条棱，他在主式图中对应上面这条边， 也就是说主视图和俯视图的水平长度是相同的。而对于长方体，前面左边这条棱，在主视图中对应左面的边，在左视图中对应右面的边，也就是说主视图和左视图的数值长度是相同的。 最后来看长方体左侧上方这条棱，在左式图中对应上方的边，在俯视图中对应左面的边，也就是说左式图的水平长度和俯视图的数值长度是相同的。看， 这就是三式图之间的对应关系，简单来说就是符合比例大小关系，切记不能出现像这样比例失调的情况。 好了，下面来看圆柱体侧面虽然是带有弧度的面，但是从正面看的话，显然是长方形。从左面看也是长方形， 也就是其主视图和左视图为相同的长方形，而俯视图为上底面圆形。注意对应关系，圆的直径为刚才两个长方形的水平长度。顺便把圆锥拿来对比一下，主视图和左视图为相同的三角形 俯视图吗？除了看到下底面的圆之外，注意圆锥的尖顶也能看得到，所以圆中心要有一个点，表示的就是这个顶点。 再来看球体啊，这个就很简单了，无论怎么看，轮廓都是圆形，所以其三式图为三个相同的圆。 最后研究一下棱柱，我们以正三棱柱为例，也就是上下底面都为等边三角形的直三棱柱，若它的一个侧面朝向正前方，那么从正面看可以看到正三棱柱的一个侧面长方形。 此时要注意，虽然后面的侧棱是看不到的，但为了更好的描述几何体，我们通常把被遮挡住的棱也画出来，只不过是用虚线。 也就是说，在主示图的长方形正中，存在一条竖直的虚线，表示后方的棱。 从左面看棱柱看到的是左边的侧面，因为此侧面相对于视线为斜侧方向，所以左示图的长方形高度与棱柱相同，而宽度则比侧面实际的宽要小，相对于主示图要瘦弱一些。 从上面看得到的俯视图当然就是上底面动边三角形了。找一下这个三角形与刚才的主视图、左视图的对应关系，可知三角形的边长与主视图的水平宽度相同，三角形的底边高的长度与左视图的水平宽度相同。 哦，好繁杂的棱柱啊！简单几何体的三式图就这些了，大家一定要记住各基本几何体的特点，结合空间想象准确判断其三式图，并且要能够根据三式图判断圆几何体的形状， 多留意身边的各种立体图形找感觉吧。一个几何体从上面、正面、左面看到的图形完全相同，它可能是什么几何体？ 本题考察从不同方向看基本几何体，如果一个几何体从上面、正面、左面看到的图形完全相同，那么此几何体应该很规律，很有特点。观察一下常见基本几何体，发现正方体满足要求。 从三个方向看都是正方形，还有吗？别忘了最特殊的球体从任何方向看都是圆的，所以本题的答案为正方体或球体。 小鹏同学从正面观察如图所示的两个物体，看到的是下面哪个选项？ 有？本题配图可以看出，这是一个圆柱体和一个正方体并排放置，如果从正面看的话，两个几何体都能被看到，不存在遮挡问题。 圆柱从正面看为长方形，正方体从正面看为正方形，所以答案为左边长方形，右边正方形，那么正确选项为 c。 一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，从正面与左面看的样子如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有多少个？ 本题给了堆叠正方体正面和左面的样貌，下面我们按正方体个数最少来还原出这个几何体。首先，正面看到三个正方体， 但是不能判断出它们的具体位置，只能得到左边这列有两层，右边这列有一层，从左面可以看到四个正方体，并且是两层摆放， 那么意味着这两层必然对应着从正面看的左列，所以左列有四个正方体，右列最少就是看到的这一个，在前在后都无所谓，所以这个几何体最少有五个正方体。 从三个方向看物体的形状，不仅是人，各种物品如果选错了角度，识别起来也是很困难的。那么我们所学过的基本立体图形呢？不妨一起来分辨一下这两个谁是圆锥，这次谁又是圆柱呢？ 你能认出正方体吗？这次哪个是球体？有些头晕了吧。所以有时候要从多个角度观察，才能更好的认识立体图形。通常我们选择从正面、左面、上面三个方向来看物体， 以圆柱为例，从正面只能看到侧面的一部分，其形状表现为长方形。从左面看的话嘛，是同样的长方形， 从上面只能看到上底面，所以为圆形。其他立体图形的嘛，一起来看看吧。 一个未知的立体图形，如果从三个方向看的形状都确定了，那么判断起来也就很简单了。例如三个方向看都是正方形的几何体是什么呢？很简单对不对？ 是正方体。可是如果若干个正方体堆叠到一起呢？这是从三个方向看到的情况。 如何来思考正方体的堆叠情况呢？我们一般从上面的样子入手，因为正方体不可能悬空，所以从上面看的样子能够确定最下面一层的情况，然后再考虑另外两个方向。由正面样貌我们可知，只有最右边的一列有两层， 那么到底上层的正方体在什么位置呢？那要根据左面样貌来确定了。有左面样貌可以看出第一排只有一层，第二排有两层，所以上层的正方体在第二排，这样最终确定了整体的构造。 我们小时候搭积木都是从底层往高层搭，正方体的堆叠问题也是一样，从上面看的样貌其实就是最底层的形状。 一个几何体从上面、正面、左面看到的图形完全相同， 它可能是什么几何体？本题考察从不同方向看基本几何体。如果一个几何体从上面、正面、左面看到的图形完全相同，那么此几何体应该很规律，很有特点。 观察一下常见基本几何体，发现正方体满足要求，从三个方向看都是正方形，还有吗？别忘了最特殊的球体从任何方向看都是圆的，所以本题的答案为正方体或球体。 一个几何体从上面、正面、左面看到的图形完全相同，它可能是什么几何体？本题考察从不同方向看基本几何体，如果一个几何体从上面、正面、左面看到的图形完全相同， 那么此几何体应该很规律，很有特点。观察一下常见基本几何体，发现正方体满足要求。从三个方向看都是正方形， 还有吗？别忘了最特殊的球体从任何方向看都是圆的，所以本题的答案为正方体或球体。 如图，是用五个棱长为一厘米的小立方块搭成的几何体，请画出从正面、左面、上面看得到的图形。认真观察这个几何体，从正面看，发现有三列两行小正方形构成， 每列小正方形的个数从左往右依次为二、一、一。每行小正方形的个数从下往上依次为三、一，所以从正面看得到的图形为。 从左面看，由两列两行小正方形组成，每列小正方形的个数从左往右依次为二，一。每行小正方形的个数从下往上依次为二，一。如图， 从上面看，有三列两行小正方形组成，每列小正方形的个数为一、二、一，每行小正方形的个数分别为一、三，所以从上面看得到的平面图形为。 如图所示，是从上面看由小立方块儿搭成的几何体得到的图形。 小正方形内的数字表示该位置小立方块的个数。请画出这个几何体从正面和左面看到的图形。本题考察从不同方向看正方体的堆叠。题中所给图形为从上面看到的情况 数字表示该位置的正方体个数。我们先画出从正面看的图形。根据已知图，我们知道从正面看能够看到三竖列， 那么每个竖列的个数为多少呢？还是根据已知图最左边这列因为标有数字，一只有一层，所以正面看也只能看到一层。中间这列最高的为三层， 所以正面可以看到三层，也就是数值三块，所以正面看到是四层，也就是数值四块。 好了，这样正面看到的模样就确定了。从左面看到的样子也可以用类似的方法。从左面可以看到两竖列，右边一列对应的是前排， 前排最高位置为二层，所以右边为两块。左边一列对应的是后排，后排最高位置为四层，所以左边为四块。 最终从左面看到的样子也确定了。对于这种正方体堆叠问题，大家要学会找各方向仕途之间的关系，找到联系之后，按层按排来思考解答。 我们用小正方体来搭建一个几何体，使它从正面看和从左面看得到的形状如图所示。一、搭这样的一个几何体需要多少个小正方体？ 二、试着画出几种从上面看到的形状，并在相应的形状图中标出各个小正方形所在位置的小正方体个数。 好了，咱先看第一问，由从正面看到的形状图可以看出，几何体从左到右共三列，第一列最多两层，第二列最多三层，第三列最多一层。 再由从左面看到的形状图可以看出，几何体从左到右共两排，第一排最多三层， 第二排最多两层。看来这样的几何体不为一。那最多需要多少个小正方体，最少又需要多少个呢？能确定这两个数值，才能得到需要小正方体的所有可能个数。 先来考虑最多需要多少个，咱可以将从上面看到的形状图做出来分析，发现，当这六个位置上都有小正方体， 并且每个位置上考虑最多能放的数量时，得到的即为最多需要小正方体的个数可以得到为十一个。 那最少需要多少个呢？在保证从正面看和从左面看得到的形状图成立的前提下， 可以将这幅图中的左上角和右上角及下中间位置的正方体去掉，得到如图所示的形状图，看来最少要六个正方体， 这样第一问就解决了。要搭这样的一个几何体，需要六个、七个、八个、九个、十个、十一个小正方体均可。 要解决第二问，咱可以根据第一问的分析，画出所有可能情况，如下图， 注意对应位置放置正方题的个数，用数字标出。 认识了立体图形之后，我们再回头看看之前学过的平面图形，它们之间有什么关系呢？那可要从头说起了，哪是头呢？ 从点开始，点没有。长度和体积是几何大家族中最基础的元素，就像我们身体中的细胞一样，因为他连长度都没有， 所以我们说他是零维的。不过这个小东西一旦跑动起来，他所经过的轨迹就是一条线了，这个过程称为点动成线。 生活中可以解释点动成线的例子有很多，比如用笔写出字迹，飞机划过蓝天，流星飞过夜空等等。现在所得到的线因为具有了长度，我们称为一维的。如果线也运动起来了呢？ 再来个高难度动作看，我们得到了平面图形，也就是说线动成面， 面的级别自然更高了，是二维的。如果面不甘寂寞也动起来了呢？看看工作中的电风扇，旋转中的硬币，注射其吸水，是不是三维的立体图形呼之欲出了呢？所以呀，面动成体， 绕一条轴旋转是面动成体的好办法之一。如果让各种常见的平面图形旋转起来，那么会得到很多有意思的立体图形。以后我们有时间再说吧，今天就到这里，生活中的立体图形。 在我们日常生活中，立体图形无处不在，不管是看得见摸得到的，还是看得见摸不到的，只要是具体现实的物品，都可以看成是立体图形，就连一张纸也不例外，只不过薄点而已。 形状是一个物品最重要的识别属性，对于大部分物品，不需要任何其他信息，仅凭外形就能够确定其身份了。很多形状的复杂几何体都可以看成是一些基本立体图形的组合。这些基本立体图形可以分为三类， 第一类叫做柱体，可在其分为圆柱和棱柱两类。圆柱形的物体随处可见，比如我们喝水用的水杯，上厕所用的卷纸、盖房子的原木、著名的比赛斜塔、孙大圣金箍棒，就连李小龙的双截棍也是圆柱形的。 简单来说，圆柱体上下底面为圆形，侧面为弧形，围成一周。而棱柱却不同，其上下底面为多边形，侧面则是由平面拼接而成。例如老式的铅笔为细长的直六棱柱，美国著名的五角大楼为扁平的直五棱柱。 需要注意的是，我们最熟悉的长方体和正方体也都是棱柱，并且很特殊，因为不管如何摆放，都可以看成四棱柱。 哦对了，一个棱柱有几条侧棱，就叫做几棱柱。侧棱的条数和上下底面的边数是相同的，相对于直棱柱还有斜棱柱，不过在初中暂时不用考虑。圆柱和棱柱的相同点在于他们的上下两个底面都是相同且平行的图形。 继续来看看。第二类叫做锥体，锥字本身就是尖锐的意思，所以我们把圆柱的一个底面缩小成为一个点，就可以得到圆锥形。把棱柱的一个底面缩小成一个点，就可以得到棱锥形。冰淇淋底托为圆锥，陀螺为圆锥。很多新式建筑的屋顶为圆锥， 而现实中最有名轮锥，那肯定要数金字塔了。最后一类，立体图形为球体，这就不用过多解释了吧，足球、篮球、乒乓球、网球、台球、羽毛球哦等等。羽毛球好像不是球体，不过可以看成是球与圆锥的结合体。 虽然自古我们就晓得太阳和月亮是圆球状的，但直到一五二二年，葡萄牙航海家麦哲伦历时三年绕地球航行一周回到西班牙，才第一次证明了原来我们生活的大地是个球体。 认识了立体图形之后，我们再回头看看之前学过的平面图形，它们之间有什么关系呢？那可要从头说起了，哪是头呢？ 从点开始，点没有长度和体积是几何大家族中最基础的元素，就像我们身体中的细胞一样，因为他连长度都没有， 所以我们说他是零维的。不过这个小东西一旦跑动起来，他所经过的轨迹就是一条线了，这个过程称为点动成线。 生活中可以解释点动成线的例子有很多，比如用笔写出字迹，飞机划过蓝天，流星飞过夜空等等。现在所得到的线，因为具有了长度，我们称为一维的。如果线也运动起来了呢？ 再来个高难度动作看，我们得到了平面图形，也就是说线动成面， 面的级别自然更高了，是二维的。如果面不甘寂寞也动起来了呢？看看工作中的电风扇，旋转中的硬币注射器吸水，是不是三维的立体图形呼之欲出了呢？所以啊，面动成体， 绕一条轴旋转是面动成体的好办法之一，如果让各种常见的平面图形旋转起来，那么会得到很多有意思的立体图形。以后我们有时间再说吧，今天就。

之前你已经学过了如何计算长方形的面积，它就等于长乘宽。现在如果把这个图形变一变，就得到了一个这样的四边形， 它的两条对边方向一样，咱管这叫平行。像这样两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 那平行四边形的面积该咋求呢？要想计算平行四边形的面积，你得先知道个东西。高， 高这个词咱生活中都用过，比如猪小白，想要测量一下自己的身高，那就得量这段距离，从这开始，量可不行，得从头顶开始，要是斜着，量也不对，咱们得垂直。跟哪里垂直呢？对了，得跟地面垂直， 这样咱就得到了画高的准则，从头顶开始垂直地面，简称头垂地。 依据这个准则，咱量出了猪小白的身高是五十厘米。猪小白的高你会量了，那平行四边形呢？其实也一样，把平行四边形的一条边当做地面，管它叫做底，从头顶开始垂直地面，这就是平行四边形的高了。 注意，平行四边形的脑袋，顶是平的，所以从哪里开始量高都可以。有时候咱选了斜着的边当做地面，这时候的高该咋画呢？ 这简单，把它转过来不就行了？从头顶开始垂直地面，再把它转回去，这就画好了。还有时候，你会遇到这样的平行四边形，他的高该咋画呢？ 头垂地，哎呀，接不着啊，咋办？你把地面延长一下不就得了，这下就能接到了，这就是他的高。怎么样，绘画高了吧？ 有了高和底，咱就可以计算平行四边形的面积了。沿着高把平行四边形剪开，挪到另一边去，他就变成了啥？对了，长方形，他的面积就是长乘宽， 换成平行四边形里的叫法就是底乘高，所以平行四边形的面积就等于底乘高。 比如这个平行四边形的底是二十五，高是十，那它的面积就是二十五乘十，即二百五。好了，这个视频我就给你讲了如何计算平行四边形的面积，它就等于底乘高。 注意画高的时候一定要头垂地。现在问题来了，这有个平行四边形，它的底是二十二，高是十，那它的面积是多少呢？

另外一个我们在讲的时候，圆柱侧面展开得到的一定是一个长方形吗？不一定，还有可能是什么型？正方，正方形。那这个时候咱们再拿一张正方形，那我这有一个正方形的纸，对不对？我也是给他沿着这个一卷，此时这也是一个圆柱，对不对？这个圆柱我依然两底之间的距离是高，上下两个是底面 沿着高展开以后得到的是一个什么形状？正方形。那此时当侧面展开得到的是一个正方形的时候，那此时这个正方形的这条边相当于圆柱的什么？底面周长这条边相当于什么？也就是当侧面展开得到的是一个正方形的时候，底面周长 和高是怎么样的？一定要记住，这是我们考试的时候一定会考的题。如果侧面展开得到的是一个正方形，此时圆柱的底面周长和高 高是相等的。 ok， 有 没有问题？那此时我们刚刚讲了圆柱侧面来的可以得到的是长方形，第一种情况对不对？那第二种情况得到什么形？还有没有其他形？有没有四边形？非常好？能不能得到的是一个平行四边形？是可以的。这个时候这是一个圆柱， 我这么着剪，我这么斜着，一开口是不是得到也是一个？我必须折一下，是不是平行四边形？我这么卷出来以后是不是也是一个圆柱，对不对？也就是这个圆柱侧面还可以得到长方形，正方形得到平行四边形，对不对？

今天我们来学习平行四边形的一半模型，我们先看这是一个平行四边形 a、 b、 c、 d。 我 在线段 a、 d 上找到了一个洞点， m 连接 m、 b、 c， 得到了一个阴影三角形，那么这个阴影三角形的面积等于整个平行四边形面积的一半。 那么现在这个洞点呢，不仅可以在 a、 d 这根线段上，它也可以在 a、 d 这根线段外，但是结论并不会改变，这就是平行四边形一半模型的第一种情况。那接下来我们再看第二种情况。 在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，我在线段 a、 d 和线段 b、 c 上找到了任意点，将这些点相连，我要构造连续的三角形，那么这些三角形面积相加之后，我们会得到一个大的阴影三角形，那么这个大的阴影三角形，它仍然等于整个平行四边形面积的一半，它与第一种情况是相同的。 我们最后再来看另外两种，我们先看左侧，左侧是在平行四边形当中呢，有一个动点 e， 我 现在需要过这个动点做一条辅助线， 这根线平行于 a、 d， 也平行于 b、 c， 会将大的平行四边形分开，变成两个小的平行四边形，上下两个部分。我们先看上半部分，上半部分的这个阴影一啊，它与第一种情况是相同的，它相当于一号阴影面积，占上方小平行四边形面积的一半。 那么同理，下方的这个二号阴影面积呢，就占下半部分这个小平行四边形面积的一半，那么合起来之后，就会占整个大平行四边形面积的一半了。那么同理可证，我们右侧的这张图，这个 e 的 动点虽然在平行四边形的外侧，可是我们也可以构造出来这样的一根平行线出来 过一点平行线构造出之后呢，这根平行线既平行于 a、 d， 也平行于 b、 c， 它的证明方法与左侧的这张图是一致的。以上呢，就是我们平行四边形一半模型的几种情况。

八下数学啊，一共有两大亚洲难点，一个是平行四边形，另外一个就是一次函数了。 那有关于平行四边形，这里面咱们有关于性质和判定还是非常多的，所以对于我们下一学期的同学来说也是个挑战。今天老师一个视频带大家把平行四边形对应的定义和性质做一个系统的梳理。那有关平行四边形这里的性质判定， 历年考过的真题必刷三十题，我已经给大家总结出来了，如果对应性质判定你还不太熟练，证明题写不清楚，过程家长们一定要帮孩子打印出来，咱们分题型进行练习，举一反三的思维和几何证明过程，这个假期必须要培养出来了啊，下面来看啊！ 平行四边形是啥？小学你就学过，叫做两组对边，分别平行的四边形。那平行四边形有哪些基本的构成要素呢？首先啊，我们相邻的这两条边叫做邻边，有几对邻边啊？一对两对，三对四对，所以有四对， 接下来相对的这个边叫对边，对边，共有两对，接下来还是一样找邻角，相邻的角就是邻角哎，这是一组 两组，三组、四组，所以邻角有四组，对角有两组，它和它，它和它相对，这个都比较好理解，主要呢，大家要注意第三个对角线，对角线它共有两条， a、 c 和 b、 d。 我为什么要辨识基本元素？因为一会我再说平行四边形的性质的时候，要以这些基本元素为由头，咱们来一起复习平行四边形的性质。 收完边，收完角，收完对角线，我们就从这三个维度去记对应他的性质，不要死记硬背啊，记住三个维度，再往下细分。什么样的四边啊？四边形，边角对角线分别具有什么样的性质呢？来看第一个，对边平行， 而且对边是相等的，这是从边的角度上来说。第二个，角对角相等，邻角互补。这就是我们为什么刚才要研究什么是对角，什么是邻角，对角对应角 b 等于角 d， 角 a 等于角 c， 邻角对应它俩之合一百八十度，这个很好说，利用平行线的性质，咱们就可以证明出来了。 最后一个，也是最容易被忽略的对角线，叫做对角线互相平分。哎，那我们什么意思呢？两条对角线相交于这个 o 点，对应这两段小红的相等，这两段小蓝的相等，我们可以利用全等三角形来进行证明。 那这个呢，就是有关于平行四边形的性质了，一共五点三个维度，你现在记住了吗？ 那有关于四边形这里的几何证明，又是我们中考的一个大考点，那有关于这一块的证明以及基础的计算，大家一定要在这个假期就落实掌握。下面咱们来一起看一下这道题啊。如图， 平行四边形 a、 b、 c、 d 当中 a、 d、 c 的 平分线啊，角平分线交 b、 c 于 e， 告诉你 a、 d 等于八， b、 e 等于二，问你 ab 等于多少？那我们知道啊，这个为八，这个为二，整个这条线段的长度是可以求出来的，八减二，也就是六。 想让问你 ab 的 长度为多少，我们可以求出 ab， 是 不是也可以求出 cd？ 因为平行四边形对边相等 c、 d 怎么求呢？由于平行四边形有一个性质叫做角分，平等腰成有角平分线，有平行线必然出等腰，所以这个小的三角形是一个等腰三角形。 e、 c 的 长度为六，那 c、 d 的 长度就为六了。那记住这个模型，我们很多选填题都可以秒杀出答案了。