中考三角函数应用题解题技巧

现在的你在做中考题能得多少分？我们来看一下二零二二年河南中考数学真题的第十九题。这是一道考察三角函数实际应用的一道题啊，我们一起来看。 他说如图，在 a 处测得顶端仰角三十四度这个位置，沿 a c 方向前进十五米，到达 b 处，那这就是十五 右侧的这啊，在水平线上，嗯，顶角仰角是四十五，就这是四十五度，然后这个身高是一点五， 嗯，问咱们 d c 整个 d c 的长啊？整个 d c 长。凡是做这种三角函数实际应用的问题，咱们同样的方法，是吧？都是做平行线，把这个延长过来啊， e f 延长到这边来，咱们给一个点 q， 那我们要 求的 d c 就拆成了两部分，底下 c q 长一点五，上面求 d q 就可以了。那三角函数中这一题我们要用到的是它的正切值，也就是说，我们知道啊，四十五度三角长值，它是个等腰直角三角形，也就 d q 和 b q 是相等的， 然后底下这一段又给了我们，所以我们只要知道 d q 和 d e 它的比例就可以了。那我们就写下过程啊， thanden 的三十四度，它等于对边比零边，对吧？ d q 比底下啊 q e， 我们把 q e 进行拆分，那 d q 它就等于这个加这个，对吧？这个加这个，那这段和这段呢？又是相等的， d q 就等于 q f， 所以底下这段等于 d q， 加上咱们这段 e f， 然后它就等于对应的咱们三角函数吧，零点六七，嗯，但如下数值，也就是 d q 比 d q 加十五，等于零点儿 六七。经过计算，咱们知道 dq 是等于，就是约等于啊，约等于三十点五，因为咱们最后啊，是不是要做做一个精确计算的吗？精确到一米，所以咱们这保留一位，再做一个加加法之后啊，再看结果， 那 dq 这个咱们要学的 dc， 那就等于三十点五，加一点五这段等于三十二。哎，所以这题答案就是三十二米 中考当中啊呃，很多省市都会考到三点函数的实际应用。咱们在这更多的是知道 tantent 靠塞和 sam 之间是什么样的关系，他们分别表示谁比谁之间的比例。

这样的题目呢，在我做的很多的中考试卷中啊，我发现他一定会有，基本上你去做卷子，你会发现都有，为什么呢？因为他涉及到一个重要的知识点，就是三角函数的应用， 注意是应用，因为三角函数要想去应用的话，嗯，在我做过的非常多的卷子中都是这样去考的，他会给你一个生活场景， 然后啊，羊角啊，浮角啊，然后多少多少度，然后告诉你一部分的距离，最后让你求一个，比如说求塔的高度呀，树的高度呀，山的高度呀， 那这道题呢，就好聚好在他，呃，用了一个龙门石窟，对吧？还是换汤不换药，所以这种题呢，注意这种题条件具体的。嗯，情景你不用去看，你只需要 看关键的地方。首先关键的地方从哪开始呢？这些基本都是交代啊，大家都在一条线上，对吧？关键地方就在于第一个 b， c 等于四，这个时候来跟他用这道题刚好也说一下什么是条件解题啊？ 条件解题， ok， 我们看 bc 是四，对吧？我知道这边是四号 来，接下来羊角是四十五度，从 a 看 b， 也就是这个大的角 红色，这个角是四十五度停四十五度，你想到什么，对吧？这里还是一个直角， 四十五度，直角想到等腰直角三角形，那你看到这个四十五度之后，你第一反应应该是 d， a， a 等于 db， 对吧？这就是开始了，条件解决，开始了，就是一些敏感条件，你要变化为你更多的信息和条件， ok， db 还有吗？还有吗？就是 ad 等于 db， 对吧？ ok 啊，可能还有一个就是 ab 呢，会等于根号二的 ad， 对吧？那初三同学应该都清楚啊，一比二比，一比一比根号二，对吧？是四十五度的，好，能想到这些， ok， 继续。羊角是三十七度， 三十七度是哪个角？就这个小角呢？是三十七点五度啊，三十七点五度，最后求逼地的高度，求逼地，哎，注意啊，求逼地，那给你三十七点五， 你能得到什么呢？并且把三十七点五的一些数据都给你了， 能得到什么呢？就三十七点五。在这你可以知道 cd， b， ad 就是 tending， 对吧？就是零点七七， 对吧？那 cd， b、 a、 c 呢？就是 sign， 对吧？是零点六一， ok， 然后 a、 d、 b、 a、 c 是什么？ 科？三也三十七度，三十七点五度，对吧？那就是零点七九， 是吧？这都是因你可以想到的呀，对吧？因为题目给了你这些数据， ok， 那么接下来就要去做了，这种题， 题目呢，一般你去设一个 x 就可以了，就基本解决了，因为这里的 cd 呢和 b、 c， 你看啊， b、 c 和 c、 d 加起来是不是等于 a、 d 啊？有只 b、 d 等于 a、 d， 对吧？在这写的 b、 d 等于 a、 d 等于什么呢？等于 b、 c 加 c、 d 等于什么呢？等于四加 c、 d， 对吧？也就是反过来说， cd 是等于什么？ cd 和 ad， 哎，你把这两个结合起来之后，是不是可以出方程了？ cd 加四等于 ad， 那 cd 是不是就是 ad 减四啊？那 ad 就是 ad， 对吧？所以 利用这个三十七点五，这里的贪劲特就是 a、 d 减四除以 a、 d 是不是等于零点七七？ 哎，这是不是一个方长 x 减四除以 x 等于零点七七，那是不是可以去求求 x 等于多少了？ x 算出来之后，题目问的是什么？ bd 的高度， bd 是不是就等于 ad 啊， 对吧？你 x 算出来其实就是 bd， 所以最后再答就行了，对吧？就这种题很简单， 就你只需要把图上题目告诉你的啊，注意做法来了。刚说的是思路，遇到这种题，你只要把图上给你的信息标出来就可以了， 然后根据他特定的度数，你能知道的信息，在草纸上把这些信息写出来，你总能找到一组东西可以让你去练方程的 好吧，你如果说 cd 是 x， 那 a d 就是什么 x 加四，对吧？那 x 除以 x 加四等于零点七七，是不是也可以求出 cd 的长度？ cd 求出来 cd 加四是不是得到 bd 的长度，对吧？就你，无论你射 cd 是 x 还是射 ad 是 x， 都是可以去列方程的。你哪怕设 ab 设 x， 那 ad 是不是就等于 x 除以根号二呀， 对吧？再回到去，呃， ad 如果是变成 s c 根号二的话，那又回到前面这个东西， 对吧？就是他只是一个符号而已。所以这种题你看到之后，无论你设哪个 x， 你只需要把他们之间的关系，像 x 加四， x 减四这种关系给他弄出来之后，再搭配 三角函数去列方程就做出来了这种。这个题目在中考中是完全送分的， ok？

在初三锐角三角函数这一章，专门有一类题就长这样的，这类题是考试，可以说是必考内容，它是用几何模型来解决一个实际问题啊，非常重要啊，在平时的考试，甚至中考都要考到，我们一定要会好，下面我们来看一下这道题。首先这题让我们求塔的高度， 然后只给了这个 a、 b 的长得一百，然后给了这是四十五度，这是三十度就求塔的高度，怎么求？做这样的题要找基本模型，基本模型是，这是不是有一个等腰直角三角形？ p q b， 这是不是一个等腰直角三角形来，还有一个三十、六十、 九十的这样的特殊三角形？那我们就要在这里面去想这些勾股数啊，或者是三边的比例关系了，我要求他，我就设他是 x， 我也设他是 x， 明白这意思吧？设这个是 x， 这个是 x， 直接出答案了，大家看，这个是不等于 x 加一百啊， 而这是 x 它们两个的笔直关系。锐角三角函数这有一个摊进的三十度等于什么呢？摊进三十度指的是三十度角所对的边比邻边 x 比 x 加一百，那就应该等于摊进的三十度是三分之杠二三，三分之杠二三，这必须要背下来的，这是考试的考点。 好了，那么是不是我们就可以求 x 的值了？交叉相乘相等是不是就可以了？这一交叉相乘三 x 就等于根号三， x 加一百倍根号三好了，等式两边再 一项，先移过去，三减根号三倍的 x 就等于一百倍根号三，再往下他仍然是难点，三减根号 二三，把它除过来一百倍根号三。答案写这个行吗？肯定不行的，这分母里含根号不是最简的，我要分母有理化，把它化成有理数，用平方叉三减根号三乘以三加根号三。这个分母有理化的方法我在前面是讲过的啊， 等一百倍根号三乘以三加根号三，然后呢？三的平方减根号三的平方三，平方九减去三，九减三等于六六分之一百倍根号三， 这再乘以个什么呢？三加根号三。好，下面最后把它整理就可以出答案了来，这个，这是三百三百倍根号三，再加上一百倍根号三，乘以根号三，三百再除以六。 ok， 这一约五十倍根号三，再加上五十，所以这就是最后答案。好了，这我再说一句，除了这个位置可以用这个方法，是吧？有人学过钩子经理的，他也知道，这不就一比根号三 比二的关系吗？所以我直接它和它的比是高，三比一啊，那也就是什么呢？ x 加一百 比上一个 x 就等于根号三，去求答案不就行了吗？也行，答案仍然是这个，都是一样的两种方法啊，用哪个都可以。好了，赶紧点赞收藏整理一下。

这道题三分钟之内做出来确实可以啊，来，我们来看一看啊。首先最核心的条件是这个条件，是吧？啊？我相信如果卡死，肯定也是卡死在这了。剩下告诉我们，必定是十二，要求这个四边形面积，要求这个四边形面积已经给了一个十二了。 我猜也要猜，我去，连连谁呀？对，我猜是不是要猜一下，已经有一条对角线了，我是不是猜也要猜着，我试着连一下这个，哎，我看一下 ac 能不能求我看一下加角，能不能知道这是不是？你看你有了公式，他就给你有了新的公式，就会给你提供一个新的思路， 对不对？好了，那再再往下，再往下，那现在肯定啥都求不了。最核心就是这个条件，你要能够用的起来， a d 加上根号二倍的 b， c 等于 a b， 这个条件怎么用？首先啊，就是假设我一开始我看这个还是没有什么想法，那么这道题有一个非常 好的突破口在哪里？看？好了，这是一个九十度，这是一个四十五度，任何时候，你看啊，这是一个菱角，已经菱，这两个角是相邻的角，定菱角，四边形， 定菱角。大家有有没有一个意识，但凡看到一个定菱角、三角形，我应该干什么？对，就要补了，因为这两个角都定了，我就需要把这个四边形给它补成一个三角形， 哎，我就把这个补上来，把这个补上来。你补完以后，这两个角是定角，那么这个角也必然是定角，你看这个角多少度？四十五度。所以看到定菱角四边形就一定要想到去补，非常非常常见的。还有什么？哎，比如说啊，比如说我看到一个定菱角四边形， 定零角四边形，这是六十度，这是九十度，他给你的不是一个六十九十的四边形，他给的是什么？菱角？零零零零， 相邻的角定相邻的角是定的，这样的四边形确定的菱角？对对，他给的是三六九九十、六十、 三十。所以但凡看到一个四边形，它的菱角相邻的角是定的，那我就把它延出来，就会得到一个，它其实本质上给的我们是一个 等腰直角。对于这三个字，看到这三个字要补啊，这是一个非常重要的，就是看到一个相邻的角是定的，那我就。那么你一旦补出去后，你再品一下，他说 ad 加上根号二倍的 bc 等于 abab， 不就等于 am 吗？ 那么 a d 加上 m d 是不是就等于 a？ m a d 加上根号二倍的 b， c 也等于 m。 想到啥了？对， m d 和 b c 比出来了，我们看这是 a， 他加根号二倍的他等于他，那么说明 m d 是不是就是根号二倍的他，这他是 a， 他就是根号二 a a d 加上根号二倍的 a 是不等于 a， m 就等于 a b， 哎，这就看出来了。好了，也就是说我们推到现在推得了，这是 a， 这是根号二 a， 这两个获得笔是一笔根号二。啥想法？兄弟们怎么想？有比例关系我就应该往什么上去想？对，有比例关系，我就应该往相似上去想了， 对不对？他和他的比是一笔根号二，那我是不是应该再找到有一笔根号二的比例关系？哎，如果再有一笔根号二的比例关系凑到一块，就会出现相似，还有没有？哎，你再观察一下。哎， 哎。对，我这个时候就两个 ac， 你会发现这个 a 是不是有个四十五度角，这个 a 根号二 a， 这是不是也有一个四十五度角？他和他的比是一比根号二，还有谁和谁的比是一比根号二， 对嘛？还有 a、 b 和 b m 的比，看这个货是 b， 那么这个货就是根号二 b， 这就是已经有了一个一笔根号了。哎，又看到了四十五度角，那我就看看四十五度角的另外一条边四十五度角的另外一条边， 想到什么？两边加角就是这么想来的，你看我再说一遍怎么想的？首先这出现一个一比杠二，那我想着要往相似里面去放了，然后往相似里面去放。相似不就是等角吗？来，这又有四十五度等角，那我就看等角的另外一条边吗？哎，他和他的比刚好又是跟二比， 看 a， 根号二倍，四十五度四十五度 b， 根号二 b， 那不就是两边加角？这个绿色三角形和这个紫色三角形两边加角是不是就相似了？ 好，有了这个相似，首先就把谁秒掉了。有了这个相似，首先就把谁秒掉了，对嘛？首先就把这个 ac 嘛，这个相似比，相似比，不就是一比根号二吗？相似比是一比根号二，那么这条对角线和这条对角线的比是不是就是一比根号二，那么他是十二倍根号二，他就是十二，他就是六倍根号二。 好了，那么现在我要算这个四边形，我要算这个四边形， a、 b、 c、 d 的面积就只缺谁了。对，只缺一个角吗？我就看看这个角是多少就行了吗？那我现在要开始倒角了，倒角应该怎么去想？哎，我现在看看这个角能不能倒出来。怎么去想？倒角就是等于补外四个倒法吗？在 说一遍啊，你看，你看到任何一个东西，你要想到我处理这个问题，我会有哪些思路？看到别的关系，我要想相似，看到倒角，我要想到找一个角的等角，找一个角的余角，找外角，找补角，这个角应该找什么？等于不外，应该找什么？ 对，相似加外角，对，就是速度怎么来的？看这个角，他是不刚好是这个三角形的外角，所以这个角就等于阿尔法加贝塔，对不对？然后接下来呢？ 两个三角形相似，是不是给我们提供等角了？这个是叫阿尔法，因为紫色和绿色相似，这个角是阿尔法，这个角是不是也是阿尔法？所以他等于阿尔法加贝塔，就等于这个阿尔法加贝塔。这个阿尔法加贝塔多少度？四十五度，所以他四十五度，这就是导这个角的过程。首先看外角，为什么看外角？ 因为他刚好是这个三角形的外角嘛，就是这两个三角角的和嘛，而这个角刚好又等于这个角结束。好了，那最后就没有什么好说的。最后这个四边形面减 s 就等于二分之一，两条对角线乘积十二，乘以六倍根号二，再乘以三月四十五度， 对不对？好了，那么最后答案就是三十六。整个问题结束。那么题是听完了，这道题的综合性其实是非常强的，大家自己来回顾一下，你觉得这道题有哪些关键的点你需要过，你一定听完一道题，要有这种意识，就是回顾一下有哪些点 刚才把我卡住了。对，首先是延长，什么时候延长，你要知道什么时候延长三个字来打一下，打三个字什么时候延长。定菱角非常好，当一个四边形定菱角的时候，就是相邻的两个角，是确定的时候定菱角， 四边形，那么他玩的就不是四边形了，他玩的是三角形，这是这道题的第一个坎。第二就是有已知比例的时候，已知比例的时候想相似，相似怎么想的？你看他和他的比已经是一比根号了，又有等角，那你不往相似上去想，你还能往哪想， 对不对？那是不是就要往两边夹角上去想了？已知比例加等角，那简直不想相似都天理难容对不对？好了，这是第二步， 有了这个这个这个，有了这个相似，有了这个相似，利用相似比就把 ac 球了来，还有啥？对。第三步，倒角，倒角怎么倒？任何时候倒角等 于 b y， 你任何时候在一个几何图像里面倒角，就想这四个字，找一个角的等角，找一个角的余角，找一个角的补角，找 一个角的外角，就是这些倒法，那么在这里很明显这个三角形是有用的，我看他是等于这两个角的和，然后再来一个等角结束。好吧，来，还有没有什么要说的过？ c 锤自己也可以是个是个相似。接下来看一下就是这几个小伙伴说的这个方法啊，我们来玩一下锤自己，是吧？这么来， 这么来是吧？好，这么来，我看一下这是个怎么玩啊？这么来的话，这是 a， 这是 a， 这就是根号二 a， 然后 ad 加根号二 a， 啊，那这个就是这个是 b， 这个就是 b， 对吧？好，那这就有一个，哦，我知道了，非常好啊，这就有一个，看 a、 d、 m 和 m、 c、 b 这两个三角形构成了相似旋转，然后这个时候非常好，非常好，非常好，非常好。 就是现在呢，相当于绕着点 m 有一个 m a， d 和 m、 c、 b 构成相似旋转，刚好 d、 b 就是对应点，刚好 d、 b 是对应点，那么 c、 a 就是另外一条对应点， 非常好啊，然后接下来就是我就有了 m、 a， c 和 m、 d、 b 一定是相似旋转带来相似三角形 m， a、 c 相似于三角形 m、 d、 b， 然后相似比，刚好就是什么呢？刚好就是一比根号二，相似比就是一比根号二，所以它是十二， 呃，这条对角线是十二，那么这条对角线就是六倍杠二。好，再来，我要求这个角，这个角刚好是什么？对应顶点连线的夹角，他就等于被旋转三角形的顶角，这个角四十五度，就等于这个角，哎，非常好，整个用箱子旋转，把这个搞定，太棒了，这是谁啊？太棒了啊， 棒棒棒棒棒啊，非常棒。说明大家现在对相似旋转也玩的很转了啊，对，相似旋转也玩的很转了，非常好啊，这个，这个做法做的很棒，真的很棒，还可以用勾股，是吧？来，你说，你说咋做？咱们一起玩一玩。过 c 做 bc 的垂线，那还是一样过 c 做 bc 的垂线。 呃，然后呢？ a、 d 为 x， p， c 为万万万，根号二万 x x， 然后是 x 方加根号二万方，是一百四十四 棒，这个方法也很棒啊，看懂了来，什么意思？前面的跟刚才一样，然后呢？这个十二怎么用呢？这个十二怎么用？这个十二就等于十二的平方。三角形 d、 a、 b 里面十二个平方等于 x 方，再加上一个 x， 加根号二 y 的平方，对吧？然后我们要求的这个四边形的面积，四边形的面积我看一下是怎么算呀？四边形的面积啊，我知道了，图形的面积是个，这 分成三部分，这个面积 x 就等于二分之一 x 方，再加上一个二分之一根号二 x， 因为这四十五度，这四十五度，这九十度，二分之一根号二 x y， 然后再加上一个二分之一 y 方， 然后这两个之间应该是有关系的，我们来看一下啊，这是 x 方再加 x 方，再加二倍根号二 x y， 再加二 y 方，也就是说二 x 方再加二倍根号 二 x y， 再加二 y 方，是等于一百四十四的，对吧？然后这是二分之一，这是二分之一倍的 x 方，再加根号二 x y， 再加 y 方。所以 这个这里我们可以算出来， x 方再加根号二 x y， 再加 y 方，是等于七十二的，二分之一是等于三十六的。哎，这个方法非常好啊，纯怠速，非常好，非常好。这个是五九，这个小伙伴非常棒啊，非常棒， 知道吧？老师跟着你们也是学习了，非常棒啊。就是，呃，哥是非常喜欢这种互动的，就是其实我经常也容易陷入我的思维，我一进去我就出不来了。然后大家其实比如说刚才的相似旋转用的就很好。 还有这个，这个想法也非常棒啊，真的都非常棒啊，真的是一题多解，非常棒，哥跟你们学习了，好吧？来，谢谢大家。

哈喽，大家好，我是齐星老师，来看二零二二中考数学真题，天津市的一道题目。好说，如图呀，某座山 ab 的顶部有一个通讯塔， bc 点 a、 b、 c 在同一条直线上，从地面 p 处测得塔顶 c 的阳角为四十二度，测得塔底这个 b 的阳角为三十五度。好，根据图当中我们就可以看得很清楚， 那就告诉我们， b、 c 的长呢？是三十二米啊，它的高度是三十二米，求 a、 b 的高度是多少，取整数给了一些参考数据。那么对于这道问题，我们知道它是一个典型的锐角三角函数的问题，那我们要求的是 a b， 不妨可以直接去设 a， b 是 x， 那么这个 a、 c 的长实际上也可以表示出来，对于这道问题来讲，它是一个直角三角形啊，也就是说这个三角形 c a a p 和三角形，这个 b、 a、 p 都是直角三角形。那你会观察发现，他要给到这些角度，一个是角 c p a 四十二度，一个是角 b p a 三十五度，又给了摊镜他，那很明显啊，就是要我们去求一下摊镜的三十五度和摊镜的四十二度，然后呢 给他们合并在一起，就可以求出这个 x 的值了。那什么意思呢？我们来写一下，就是在二七三角形 c p a 当中， 我们会发现摊进它四十二，也就是角 c p a 四十二度啊，它就直接等于什么呀？摊进它，它就是对边比零边，对边是 a c， ok， 零边是 a p， 好，就得到了这样的一个结果。那么再来说 r t 三角形 b a p a 当中，那么摊件的三十五度，他就等于 a b 比上 a p， 那 a b 我们舍出来是 x， 那 a c 就知道应该是 x 加上三十二， 所以我们把它合并一下啊，都求出来 a p， 你看上面这个呢？求出 a p 就得到了这个 a c 比上摊径的四十二度好，代入一下就是 x 加三十二，比上多少呀？零点九。 好，同样的，这个 a p 还可以等于什么？写到这边来，还可以等于 a b 啊，比上这个摊径的三十五度，也就是零点七分之 x， 然后再合并起来，都是 a p 嘛，所以零点九分之 x 加上三十二，就等于零点七分之 x， 咱们用一个对角相乘，就得到了零点七块 x 加上三十二就等于零点九 x， ok， 零点七 x 加上 这个二十二点四，就等于零点九 x， 也就是零点二 x 等于二十二点四。除一除得到一百一十二，那么 x 等于一百一十二米，这个结果就已经出来了，对吧？结果取整数，所以它就是一百一十二米。 好，这道问题做完了，我们来总结一下。关于这道问题来讲的话呢，重点是去观察图形啊，找到他们线段之间有什么样的这个关系。那对于这道问题，你看他有摊件的，你就知道他是锐角三角函数。问 一般这种问题，我们肯定要找直角三角形，找到有两个直角三角形，那么并不知道 a p 等于多少，其他的边都不知道，只知道 b c， 怎么办呢？我们要求的是 a b 把 a b 舍出来之后，利用 a p 这个公共的边 看，在不同的三角形当中都求出来 ap， 然后建立一个等量关系，这样子的话就可以把 x 求出来了。好，以上就是第一百二十七题的全部内容，希望宝宝们都能学会，也欢迎大家关注学习。我是星星老师，下期再见！

各位同学大家好，锐角三角函数是初中数学较为重要的一个章节， 在南昌市近几年的中考题当中，这也是一个必考的知识点，那么首先进行我们的第一块啊，概念复习方式基础 好。首先我们来看一下，那么图中给了一个直角三角形 abc， 那么三条边分别标记为小 a、 小 b 和小 c， 那么在这个图形当中，我们可以定义角 a 的三个三角函数值啊，那么这里我就不一一叙述了，因为这个定义相信大家都应该非常的熟悉 啊，正弦对除以斜，余弦零除以斜，正切对除以零，那么针对这个概念定义，那么刘老师有话要说，锐角三角函数，它是指两条线段的笔直， 注意他是没有单位的啊，他的本质是指两条线段的笔直，那么大家在做题的过程当中，有的时候可以借助这个已知， 通过比例的射未知数的方式，可以把一些相关的线段用同一个未知数把它射出来，那么借助方程的思想来解题啊。二、锐角三角横竖的大小仅仅和角的大小有关，那么他与这个角所处的三角 形的形状大小均无关，那么这句话是什么意思呢？也就是说不要以为这个角必须是直角三角形当中的角才有三角函数的问题， 事实上所有的三角形他都具备三角函数的问题啊，也就是说只要他是一个角，只要他的大小是固定的，那么他的三角函数值就是一个定值 啊。三，当我们在运用三角函数解题的时候，构造直角三角形是非常关键的啊，就是说，虽然我们说 呃所有的三角形里的角都具备三角函数这个概念，但是我们在运用三角函数解题的时候，还是要把这个角放进直角三角形当中， 充满世界 好特殊角的三角形数值，那么这个表格相信大家也非常的熟悉， 那么这个表格的数据大家必须要把它熟练的理解性的把它记下来啊。那么怎么样把这个表格有效的记下来？这里有一个规律，比如说我们看一下三十度、四十五度、六十度的正弦值， 其实是有一个非常强的规律性的，二分之一可以理解为是二分之根号一，好依次过来二分之根号二，二分之根号三啊，那么余弦将上面一行的数据 颠倒一下，就变为了余弦直，那么由正弦和余弦的笔直可以得出这个角的正切，那所以第一 一行的数据去除以第二行的数据，可以得到第三行的数据，所以这个表格事实上大家只需要记住 第一行的数据就 ok 了啊。当然这个数据不光你们要去背啊，重点还是要理解性的去记忆它，它其实都是来自于一些特殊的直角三角形的一些三边的关系啊， 那么因此在这里我又有话要说啊，那么请大家记住下面这四个结论，一、 三十度或六十度的直角三角形，三边之比为一比根号三比二啊，比如说这个角是三十度，那么他所对的最短的边，如果是一则零边为根号 三，那么斜边就为二，对吧，那么一比跟号三比二，那么这也完全对应了三十度的三个 锐角三角函数值呢分别为二分之一，二分之根号三以及三分之根号三啊。第二点，四十五度的直角三角形三边支笔为一比一比根号二啊，这个应该也是很清楚的，两条直角边相等，斜边是直角边的根号二倍， 那么相信这两个结论大家应该都是非常熟练的啊，大家用起来也是比较多的，那么下面两个结论，那么希望学有余的同学也能够把它记住， 大家课后可以去正一下啊，他的证明也是非常简单的，也就是说一百二十度的等腰三角形三边支笔为一比一比根号三 啊，那么由此可以推广到六十度的菱形，他的边长短对角线 长对角线，支笔也为一比一比根号三啊，那么有兴趣同学课后可以去研究一下，那么这四个比例，希望大家能够嗯 记仇记牢。那么对于你们中考在做题的时候啊，对于这种填空选择题，你们可以通过这些比例很快的就能反映出你的一些思路出来啊，那么可以大大的节省大家做某些题目的一些时间。 好，第三块我们来复习一下解直角三角形，我们说锐角三角函数，它一个最大的运用就是解直角三角形。 我们首先谈一下三角形的问题，我们说三角形他是有六个基本要素，三条边，三个角，而对于直角三角形而言，他有一个要素是以值的，就是有一个角为直角。那么剩下的五个基本要素 啊，那么根据我们初二所学的全等的一个判定的原理，剩下这五个基本要素，我们已知两个要素，在大多数情况下是可以求出另外三个要素的，那么这里刘老师给了大家三种类型， 我们一一来过一下。类型一，如果已知两边五个要素中的两边，注意啊，这里的直角是已经是把它排除在外了，除掉直角以外，还 还有三条边，还有两个锐角，那么类型一，已知两边，那么已知两边的情况下又有两种情况。那么第一种情况，如果是已知两条直角边，那么我们怎么去求斜边还有这两个锐角 啊？那么通过这个解答，我们发现斜边由勾股定理很快就能得出来，对吧？那么勾股定理应该也是大家都非常熟悉的内容，那么角 a 角 b 怎么求？那么根据原始数据， a 和 b 啊，我们通过角 a 的正切直可以求出角 a 的直啊，当然这个角 b 你也可以通过角 b 的正切直，那如果是角 b 的正切直，那就应该是 对边 b， 除以 a， 所以这两种方式都可以去求出角位和角 b， 当然求出了一个角 a， 你也可以借助两锐角互余求出另外一个角， 这是我们已知两边的第一种情形，那么已知两边的第二种情形，如果是已知一斜边和一直角边，那我们怎么去求剩下的三个元素？ 这个指甲边如何求？小 a 小 b 如何求啊？那么同样的，剩下的这个指甲边依然可以借助勾股定律啊，这个没有问题。 那么这个时候我们求角 a， 可以考虑用角 a 的另外两个三角函数中的其中一个，也就是说小 a 和角 a 是相对的关系， 对吧？那我们可以用角 a 的三硬指，通过参考数据，我们能够把角 a 求出来啊。那么同理，角 b 有两种方式，当你求出角 a 以后，可以用两锐角互余求出角 b， 当然您也可以用角 b 的余弦指， 他也是 a 除以 c 啊，那么这个过程也能够把脚 b 求出来，所以这是我们已知两边形的解指甲三角形的类型 啊。那么在这里我还有一个温馨小贴士告诉大家，嗯，在刚才的这个解指甲三角形的过程当中啊，我们发现，如果有斜边，我们是考虑要用正弦或者是余弦，如果没有斜边，那我们得考虑用 正切啊。如果数据比较简单，我们考虑用勾股定理，如果数据比较繁琐，我们可以考虑用三角函数啊。所以这四句小贴士，希望大家能够深刻领会到他是什么意思。 好，我们来弹一下类型二，类型二是已知一边一角，同样他也有两种情况，第一种情况是已知 一直角边和一个锐角，那我们的目的就得要求出斜边和另外一条直角边，当然还有另外一个锐角， 那么这个锐角特别好求，因为你已经告诉了我们角 a 是多少，根据两角互余啊，角 b 能够解决，那么这两个问号应该怎么来求呢？大家看一下 小 a， 对了，角 a， 角 a 已知，小 a 已知，要求斜边，我们考虑用正弦啊，也就是说三应 a 等于 a 除以 c， 那么这样的话，求分母的位置 啊，我们应该是结果是表示为 c 就等于 a 去除以三应赔啊。那么同理，如果我们要求另外一条直角边，我们应该是用角 a 的正切，可以表示为 a 除以 b， 对吧？那么这个 b 也是落在分母的位置，那么我们求这个 b 的话，也可以表示为 b 是 a 除以分钟的 a 啊，那么这两个边就很快能够解出来了。好，那么一边一角的另外一种情形是已知 一斜边和一个锐角，那我们怎么去求另外两条直角边还有这个角 b？ 那么同样的这个角 b 可以借助两锐巧互于求得啊。那么我们要求角 a 的对边，我们考虑用角 a 的正弦 三应 a 等于 a 除以 c， 那现在我们是要求分子的位置，结果分子表示为 c 乘三应 a 啊，那么求角 a 的零直角边，我们可以用角 a 的余弦括三应 a 等于 b 除以 c。 同样的，我们要求分子 b 的位置，那么我们也可以转化为 b 等于 c 乘以口算也啊。那么，呃，这块这个板面 一边一角的这个剪直角三角形呢？嗯，应该说也不是特别的难，但是在这里有一点要提醒大家，一定要分清楚，什么时候用成，什么时候用除。 所以我的温馨小贴士就是，如果你是求分子的，应该体现为做乘法，如果你是求分母，应该体现为做除法啊，这是我们的类型二、好类型三，已知两锐角。 注意，我们刚才经历了已知两边，已知一边一角，现在我们谈一下已知两锐角，那其实已知两锐角的情况是非常简单的， 两个锐角相等的，所有的直角三角形只能推出相似的结论，对吧？所以两 锐角相等，或者说给出你两锐角的这样的直角三角形，他应该不是唯一的，因此这样的直角三角形是不可解的啊，所以解直角三角形，我貌似给大家三种类型， 但其实可解的只有两种类型，即为两边和一边 一角啊，那么这个两角是不能够实现的，所以第三板块我们将解直角三角形做一个拓展延伸，我们来探讨一下解三角形有哪些基本的类型。 好类型一，已知三角那么这个已知三角跟前面刚刚谈到的直角三角形当中的已知两角 类似，我们说已知三角对应相等的所有三角形，只可以正相似，也就是说这样的三角形依然是不为一的，那么既然他不为一，那么他就不可减 啊。好类型二，已知两脚一边，两脚一边有两种情形，第一种情形是两角及夹边，这有点类似于全等当中的 a s a 公里， 对吧？啊，那么当我们给出了这么三个条件以后，我们怎么样把这个三角形快速的解出来？我们解这个三角形就是要求角 a， 求 ab， 求 ac 啊，那么根据前面所复习到的锐角 三角函数，我们在用它来进行解题的时候，还是必须把它放进直角三角形当中来解决问题， 所以我们过 a 点做 a d 垂直 bc， 以不拆开，以直角为原则啊。那么这两个直角三角形呢， 都只有一个条件是一致的，而除掉直角之外，都只有一个角是一致的，没有其他的线索。所以这里我们要借助方程的思想，我们设 cd 为 x， 那么根据六十度的直角三角形的三边关系， ad 为根号三 x， ac 为二 x， 那么再放进四十五度的直角三角形，三边关系为一比一比根号二，那么 bd 也为根号三 x， ab 为根号六 x， 那么从图中可以发现， 整个 bc 等于四，那么我们可构造方程，根号三 x 加 x 等于四。那么解出了这个 x 以后，三角形当中的所有线段均可解， 当然这个角 a 也是很好求的，用三角形的内角和定理就能搞定，对吧？好，两角一边的第二种情形是两角及对边形，那么这个有点类似于像全等当中的角角边弓里啊。同样的，我们也可以过 a 点做 a 的垂直于 bc 啊。那么跟上面不同的是，这个三角形是完全可解的，因为他已织了一斜边，已织了一角，那么很快的解出了另外两条边长为二和二，根号三，那么将二根号三放进四十五度的直角三角形当中，又可以 解出另外两条边长， bd 为霸根号三， ab 为霸根号六，那么这样的话，这个三角形就已完全可解。 好类型三，已知一角两边，那么现在我黑板上给了大家的是两边及夹角形，那么这是类似于全本当中的 s a， s 型， 对吧？那么根据前面的思路，我们依然可以过 a 点做 a， d 垂直 bc， 那么首先解这个四十五度的直角三角形 啊，两条直角边均为四，根据线段和差 cd 均为二，那么再根据勾股定理， ac 均为二，根号五。那么这道题目的边长我们是已经求出来了，那么这两个角度怎么求呢？我们 考虑求脚 c， 那么脚 c 可以放进的是一个三条边都已知的一个直角三角形当中，大家可以用脚 c 的 正弦、余弦或者是正切，都可以把角 c 求出来，求出了角 c， 在借助三角形的内角和定理，那么角 a 就自然也可求 啊。好，另外一种情形，两边及对角形，那么这个情形请大家一定要注意，两边及对角形有点类似于边边角的模型，但是我们知道在全等当中是没有边边角这个原理的，但是这种减三角形来讲， 如果他是配了图的话，我们还是可以解出来的啊，如果他不配图，那你们可能就要考虑两种情况，那么这个大家可以在 课后呃自己去探讨一下，那么就这个图形而言，我们依然可以做 ad 垂直 bc， 那么这两个三角形来讲啊，他们的条件都只满足一个，无法直接去解。那么借助借助这个呃方程的思想，首先在四十五度的直角三角形当中，我们把两条直角边全都可设为 x， 根据线段和差 cd 为六 六减 x， 那么在这个三角形当中，我们用勾股定理来列方程啊，那么这个方程解出来，那么这个三角形的所有的元素都可减， 这是我们的类型三，好类型四，已知三边，那么已知三边就类似于我们全等当中的边边边工， 对吧？啊，那么已知三边，我们如何去求三个角啊？方法一，方法一样，我们仍然是过 a 点做 a， d 垂直 bc， 同样的这两个三角形都不可解，目前那我们应该考虑用方程的思想，我们可以设 bd 为 xcd 为六减 x， 根据公共的这条直角边，我们可以构造一个方程 啊，那么这条黄色的直角边，在左边的直角三角形当中，他可表示为五的平方减 x 平方在右边可表示为四的平方减六减 x 的平方。那 这个方程列出来以后，那么同样的，那么这些线段就全部都可以求出来。好，那么现在我们谈一下，那怎样 求脚呢啊？那么你们看一下，当 x 球出来以后，脚低可以借助脚低的扣三一直 啊，因为科三应角 b 是等于 x 除以五的，对吧？同理，科三应角 c 是等于六减 x 除以四的，所以这两个值我们都可以把角 b、 角 c 求出来。那么然后再利用三角形的内角和定理，我们就能够把角 a 也求出来 啊，这是我们的类型四。那么到这里为止，解三角形的四个类型我们跟大家全部都阐述完了，那么这里特别强调两点，第一点， 已知三角这样的三角形不可减。第二点，已知两边及对角形的三角形。 在解这类三小时的时候一定要配图，如果不配图，需要考虑两种情况啊。好，那么下面进行我们这节课的第四大块，聚焦真题， 明确复习方向。那么这里我们把一八年和一九年这两年的中考的锐转三角函数这个考点题 来跟大家进行一个阐述啊。首先大家看下这个屏幕，上面给的是一八年南昌市数学中考第十九题的第一问， 图中是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活跃门组成啊，注意 oc 和 ob 是活跃门，这两个活跃门的宽度是不变的。然后 b 点是固定的 啊，那么 c 点可在这个轨道 ab 上进行左右的运动，在运动过程当中 oc 与 ob 的长度不会发生改变。 那么第一问，当他运动到脚 abc 为五十度的时候，请你求这个时候 ac 的长是多少？ 那么通过这个图形上的数据，我们可以简单的来分析一下思路，我们要求此时的 ac 可以考虑用线段的和差来实现，用整个轨道一百二的数据减去 bc 的长度，即为我们要 球的 ac 的长度。 所以现在我们这道题目的关键应该是要求 bc 的长 啊。呃，那么我们现在将这个图形 进行一个简化，大家看一下，这就是我们的活跃门活动到使得这个角为五十度的一个情况啊。那么在这个图形当中，我们怎么去求 bc 的长度？ 这就是我们前面刚刚复习到的解三角形当中的两边及夹角及对角形式，当然这是一个等腰三角形，当你知道了一个第一角，这两个角均可求，对吧？那么这个 三角形是完全可解的。按照我们之前的方法，我们可以过窝点做窝地垂直 bc， 那么这个三角形我们很快就能够把它解出来，通过五十度的扩散引值，他可以等于 b d 除以 b o， 那么 b d 是六十倍的扣三以五十度。根据抖腰三角形三线合一的性质，那么 cd 也为六十倍的扣三以五十度。 那么所以再根据我们前面所分析的思路，那么这个时候 ac 就为一百二，减去两倍的六十，扩散于五十， 那么带入数据自己把结果计算下就 ok 了啊，这是我们的第一问。好，下面我们来看一下第二问，当 c 点从 a 点向右移动，六 是厘米式球，窝点在此过程中运动的路径长啊！好，那么大家看一下，刘老师画了三个图形， 这三个图形应该来说还是非常形象的，可以告诉大家 c 点是如何运动的，然后这个 o 点又是如何跟随着 c 点的运动而运动？第一个图形当中， c 点和 a 点重合，我们会发现 oc 和 ob 均为六十， 那么 oc 加 ob 恰巧等于一百二，所以当 c 点和 a 点重合的时候，这个时候的 o 点应该就恰巧为 a b 的中点好，当 c 点向右边运动的时候，对吧？那么我们可以发现 o 点就往上翘起来了一些， 但此时这两个红色线段依然为六十，那么当 c 点向右边移动六十厘米的时候，这个时候也就说明 c 点运动到了 a b 的中点处，那么 o 点到了这个位置，我们会发现这个三角形就是一个什么三角形呢？等边三角形 对不对？那么窝点从这个位置到这个位置到这个位置，那么大家看他是一个怎样的运动路径？ 那么抓住题目的一个非常重要的椅子， b 点是固定的，而波点在运动的过程当中，他和 b 点的距离始终都保持为 六十厘米，这让我们联想到与定点的距离等于定长的所有点的运动轨迹 应该是圆，对吧？所以我们可以发现，窝点从这个位置到这个位置，他的运动路径应该是一段圆弧，而这个圆弧所在的圆的圆心就是 b 点，他所对应的半径是六十， 他所对应的圆心角是六十度，那么根据弧长公式，我们就能够把这个路径舱把它算出来啊，答案是二十排。 那么这是我们一八年的这个考点啊，呃，个人感觉也不是特别的难啊。嗯，好， 我们来继续往下看一下一九年的南昌市的数学中考第二十题。首先我们来看第一问啊，看一下题目的大题，干图一是一个十 植物投影，那么图案是他的示意图， ab 为一个固定支架固定的啊， ao 垂直于水平桌面， b 点为旋转点， bc 可转动。注意了， bc 可转动， 当 bc 绕着 b 点顺时针方向旋转的时候啊，这个方向顺时针方向旋转啊，探头 cd 始终垂直于桌面， 就是这个 cd 始终垂直于桌面，只有 bc 会绕着 b 点向下旋转。那么测量出了四个数据，我在图中都有所表示，六点八，三十三十五八，那么这四个数据在后面的题目当中都是不 会发生改变的啊，这个意思一定要明白。那么第一问，当 dc 与桌面平行的时候，此时角 abc 为七十度， 那么第一扣，请你求角 b a o。 那么这道题让我们联想到我们初一学完平行线那个章节以后的一个拐点问题， 过拐点 a 做 a f 平行 pc， 那么其中这个角是七十度的内错角，下面这个角是九十度的内错角，对吧，因为这三条都是互相平行的，那么很快求出这个答案，是一百六十度。 好。第二个，求投影探头的端点地到桌面过一的距离。好，我们把这个距离先做 出来。那么这个德居怎么求呢？啊？我们发现德居可以包含在线段 c 距当中， 用 c 距减去八就能求出我们的问号线段，那么这个 c 距我们是不是也要可以做一个处理，尽量朝这边的椅子靠拢，所以我们会想到延长 a 交 b c 于 h 点， 那么其实图中的 c 去是会等于 oh 的对不对？那么 oh 又可以表示为哪两段的和呢？一个是下半部分的六点八，还有一个就是我们的 ah， 那么这个 a h 可以放进三角形 a， 呃， a b h 当中，那么这个直角三角形 我们可以看下他的椅子斜边是直到的，还有一个锐角是直到的，这是满足了解直角三角形的一边一角问题， 那么这条直角边完全可解，可以借助七十度的正弦质来求啊，因为这条直角边是作为一个分子的位置啊，你们三应七十度等于 a 去除以 b a， 那我们要求 a h 对不对？那么 b a 目前是三十啊，求分子的位置我们可以考虑用什么法，用乘法，也就是三十倍的三亿七十度， 那么再加上下半部分的六点八，所以我们可以求出整个 oh 其实是三十五，那么这样的话我们也就相当于求出了 c 距也为三十五啊，那么我们的得距就很快能够解出来，三十五减八等于二十七， 好，这是我们第一问好，我们接着往下看第二问，将第一问当中的 bc 向下旋转啊，注意，那么当投影探头的端点地 到桌面的距离为六厘米的时候，求这个时候 abc 这个角度的大小就旋转到地点与 a 一的距离是六。 那么这个时候请你求一下图中的问号角是多少度？那么大家现在想一下 dc 是从哪个位置往下旋转的呢？我们把 d 逼问他的原始位置，我们把它画出来。 bc 是从 bm 的位置往下旋转的，那根据第一问的一个条件，我们知道这个大角应该是七十度， 所以现在我们如果要求图中的问号讲，我们可以考虑借助角度的和差来实现， 那也就是说七十度与角一的差就是我们的问号角，那么角一怎么求呢？那么自然我们会想到延长得 c 交 bm 于 i 点，那么把角一放进直角三角形 b ic 当中来解决问题， 对不对？那么在这个三角形 bsc 当中，斜边是三十五，那这两条直角边知道其中一条 就能够把角一的角度扯出来，那回想刚才第一问，我们其实求了整个这个距离是三十五， 对不对啊？三十五，所以我们根据这个三十五减去六，减去八，我们可以求出 ic 为二十一， 这样的话角一的对边和斜边全部都知道了，那么通过角一的三应值，我们可以把角一的度数求出来，那么从而就求出了我们的答案，角 abc 会等于七十度，减，角一 等于三十三点二度啊。现在我们给大家几点这个做题的思路啊，做题的建议，呃，首先这种类型的问题，他的题目背景呢，是比较相互的，所以 审倾提议是非常重要的啊，注意审倾提议尤其重要。呃，如果大家在看题的时候，一遍看不懂可以看多遍， 必要的时候可以用笔圈出你认为比较重要的椅子和一些条件，尤其是关注题目当中的一些变量与不变量。第二个解题类型要熟悉，构造直角可前行。基本的解题类型 无非就是解直角三角形，或者是将解斜三角形的问题转化为解直角三角形，所以构造直角是关键。第三个，计算数据其实它并不复杂啊，那么大家就是要注意一下，什么时候用成，什么时候用 用除，什么时候用弦，什么时候用切。那么在平常的基础复习当中，这个一定要熟练。那么第四个考点综合要小心，比如说一八年的中考题，他不仅考了锐的三角函数，还考到了圆的一些相关知识点， 像湖长公式，所以大家的知识点的全面必须要全面，你们在复习的时候一定要注意均衡。好，那今天我们这节课呃，进行一个课后小节。 锐角三角函数呢？呃，主要从两个概念上面来跟大家进行了一个阐述，强调一下利用三角函数的定义大 大家要学会熟练进行边角之间的转换啊。记住我们的小贴士，有斜用弦，无斜用切竖，剪用钩，竖，反用含，求分子 做乘法，求分母做除法。第二个，利用特殊角的三角函数值，请大家一定要熟悉特殊型啊，这里不光是三角特殊型，包括那个菱形特殊型的边边关系， 特别要了解这三个比例值的一个运用啊，三十度的，四十五度的，这是一百二十度和六十度。菱形的 好应用，主要是剪直角三角形的基本类型啊，已知两边形，已知一边一角形。还有一个应用是剪三角形，斜主要是斜三角形的基本类型啊， 那么他主要是有三边形、两边一角形以及一边两角形啊，那么所有的锐角三角函数有一个统一的一个做伏击的方 是我们就是要去构造直角，构造直角是关键啊，看清楚，那么这是我们今天各这节课的一个小节内容啊。 好，那么课后请大家完成两项作业。第一个啊，刘老师给大家找了一个网上的一个链接，大家有兴趣的话可以去欣赏一下数学大师星辰的分演中关于锐角三角函数的一个趣味介绍和生活中的应用。第二个，完成课后小练习， 两道选择，两道填空，还有一道解答题。

好，初三的同学，我们前面呢看的是日角三角函数的基础题啊，后面呢，我们看他的大题， 他大地部分呢，其实我觉得这个部分是在中考中占七分吧，他不是多难的啊，只要你把这个辅助线做对，然后把这个直球队就搞定了，轻松搞定啊。这道题，其实我们单看题之后呢，读下 这个北偏东六十五度，他已经给你标了吗？啊，标了你就不用太看，什么 a 到 b 是一百米，然后 c 呢，在是个就这个角度是四十五度啊，四十五度， b 这块角度四十五度。 好，现在题目让我们求的是 a， ac 之间的距离，是吧， ac 之间的距离，那么呃，他告诉你了很多三营考三营摊证等的值，无所谓啊，现在呢， 先干先干嘛？先要做辅助线，我要求这个 ac 呢，我需要把它构造成一个直角三角形中啊，这里面有四十五度，四十五度过 c 做垂线， 好教于 a b 与点 d 啊，那么现在呢，我们要求 a c 出来，那么你看你看，只知道一个一百，其他的不知道，不知道怎么办呢？我是不是得射出来四十五度，肯定是德阳这样才行，射 c， d 为 x， b， d 也为 x， 那么在这里呢， 完了之后我们可以用他告诉你了，非常非常多的值啊，好，这个六十五度，那么这个就是一个多少度，二十五度是吧？好，所以你在这里啊，你用一个弹枕头二十五度就把它求出来了。在是不是在 rt 三角形 c a 中来，我们用摊枕头二十五度，等于 cd 比上 ad 就等于 x， b 一百加是一百吗？ 对着呢， x 等于零点四六六三，是吧？那么这样的话我是不是可以求出来 x， 那我能求出来 x 之后呢？我呢？呃，就可以求出来咱自己的这个 斜边，我再用一个那个三印纸，是不是把这个求出来了？或者说你用勾股定理啊，这个数数据给的有点确实，精确到一米，是吧？那精确到一米，这个老师，嗯，带着你们算算啊。好，那就是 x 等于 四十六点六三，加上一个零点四六六三 x， 哎，零点四六六三六六三， 那就算一下，那就是一个零点五四六六三，看看啊，五三三七对不对？ 七千六对准了五三三七， x 等于四十六点六三，是不是？那这样的话我们把 x 给他算出来， x 算出来之后呢？你再算这个 斜边 ac 啊，斜边 ac 就可以算出来。这个题呢，他的计算量稍稍的有点大啊，所以老师给你讲的是这个方法啊，方法如何去做就行了啊，然后大家自己计算啊，今天就先讲。

接下来我们复习在实际问题中的两种基本类型，锐角三角函数的实际应用呢，实质是根据问题情境提取已知信息，构建基本的几何图形来解直角三角形的问题。 我们来看第一种基本类型，底部能到达，所以底部能到达呢，是指这里的 cd 长，我们可以通过测量得出。我们的方法呢，是握臂呢，向 ac 做垂线， 那么我们可以通过测量得出这里的倾斜角 r 法的度数。因为呢，四边形 b、 d， c、 e 呢为矩形，所以这里 c、 e 的长呢和 b、 d 长相等， c、 d 长和 b 长相等。那么在这个直角三角形 a、 e、 b 中已知 b 已知阿尔法，那么通过解直角三角形可以得出 ae 的长，那他的基本图形呢，就是这里已知阿尔法 bdcd 求 ac 长的问题。那么我们的解法如下，因为在二 t 三角形 aeb 中参见的阿尔法就等于 aebbe， 那又因为 因为 b 和 c d 相等，所以判定的阿法等于 a e， b c d， 所以 a e 就等于 c d 乘碳箭头 r 法，又因为 c e 和 b d 相等，所以这里 a c 的乘呢，就等于 a e 加 c， e 等于 c d 乘碳箭的阿尔法加 b d 的乘。 第二种基本类型，底部不能到达，所谓底部不能到达呢，是指这里呢到山的底部之间的距离，我们无法直接测量得出。我们的方法呢，就是通过移动位置测出这里的两个阳角阿尔法和维塔的度数，再测出我们移动的距离，通过构造直角三角形来解决山的高度。 他的基本图如图，已知阿尔法北塔 ab 的长，求 cd 长的问题，我们的方法呢，就是过 c 呢，将 ab 的延长线左垂线垂足呢，就为 d。 在 r 七三角形 cd a 中，我们结合角 r 法以及 cd 呢，将 ad 的长表示出来。那么在 r 七三角形 cdb 中，我们结合角北塔以及 cd 的长，我们将 bg 表示出来。又因为呢，这里 ag 呢减 bg 呢，就等于 ab 长，即可利用等式解除 cd 的长。那么方法如下，因为在 r 七三角形 agc 中看见的阿尔法就等于 cd b a g， 所以 ag 呢，就等于 cd 除以看见的阿法。 又因为在 lg 三角形 cdb 中看见的北塔等于 cg 比 bg， 所以 bd 长呢，就等于 cd 除以看见它北塔又因为 ag 减 bd 了，等于 ab， 所以这里 ab 的长呢，就等于 cd 比看见的 r 减 cg 比看见的北塔，即可得出 cg 的长。 第四题母是以狐胆狐心的。有一棵百年古树，当地人称他为相思柳，不乘船，不易到达，即这里的底部呢，不易到达。每年初春时节，人们喜欢在巨贤亭观湖赏柳，小红和小军很想知道这里巨贤亭与相思柳之间的大致距离，于是有一天，他们俩带着刺青气和皮尺来测量这个距离。测量方案 如图。首先，小军站在巨弦形的 a 处，用测心器测得相思柳顶端 m 点的阳角为二十三度， 此时测得小军的眼睛距地面的高度 ab 等于一点七米。然后小军在 a 处蹲下，用测芯器测得相思里的顶端 m 点的阳角为二十四度，这时测得小军的眼睛距地面的高度 ac 等于一米。请你利用以上所测得的数据计算据弦请与相思里之间的距离 a n 的长，结果精确到一米。 这个旗呢，旗杆比较长，就需要同学们有一定的信息提取能力。根据旗杆的表述，我们画出这里的几何图形。这里的维他们就是小军战力时侧得的洋酒。这里的阿尔法呢，就是小军蹲下时侧得的洋酒。这里就需要我们呢 做辅助线来构造直角三角形来解决问题。这里我们呢过 b 做 b， d 垂直， m 垂左于 d。 过 c 做 c， e 垂直， m 垂左于 e。 因此呢，我们一直这里的四边形 dna b 以及四边形 enac， 他呢都是巨型。其这里的 an 呢，就等于 ce， 等于 db。 这里我们不妨呢是 a n a， x 解 c， e 呢， d， b 呢，都等于 x。 我们来观察这两个直角三角形 m， e， c 和直角三角形 m d， b。 那么他有 一组边呢，是相等的啊，另一条边呢，他互相牵套。那么这里的 m e 呢，再减 m d 呢，他就等于 d e， 而 d， e 呢，又等于 bc， 就等于零点七。所以在直角三角形 m， d， b 中，我们结合这个二十三度的角以及 d b 的长，将 m d 呢，用含 x 的式子表示出来。 再结合在三角形 m， e， c 中，利用二十四度的这个角和 c 一的长，将 m， e 呢还 x 的式子表示出来。那么再利用这样一个等式， m e 进 m g 呢，就等于零点七来解除 x 的值。接下来我们规范此题的 答题过程。我们先叙述辅助线的做法，接着我们设 a， n 等于 x 米， 因为这里的四边形 enac 以及我们的四边形 dnab 呢，他都为巨型。 所以这里的 a， n 呢，他就等于 c， 等于 d， b 都等于 x， 这里的 b， c 呢，他就等于 d， e 等于我们这里计算出来的零点七米。因为呢，在 r 七三角形 m， g， b 中， 他认他二十三度呢，他就等于我们这里 mg 呢，再比上他的银边 gb， 所以 mg 的长呢，他就等于 db 乘以 看着他二十三度，即等于 x 倍的看着他二十三度。又因为在二七三角形 m， e， c 中， 那么这里的摊着呢，二十四度呢，他就等于 m e 比上 c e， 所以此时呢，我们的 m e 呢，他就等于 c e 乘以摊着的二十四度。 g 就等于 x 倍的摊着的二十四度。 又因为我们这里的 d e 呢，他就等于 m e。 再进 m d 的乘就等于呢零点七。 所以呢，这里的 x 倍的看着他二十四度，再减 x 倍的看着他二十三度，他就等于零点七。通过我们对这个式子的一个整理呢，得出 x 呢，等于零点七，再除以 看着呢，二十四度。再见，看着呢，二十三度。通过呢，结合给出的参考数据呢，我们计算得到 x 约为二十三米。然后呢，我们做到聚闲情侣相思柳之间的距离 a n 得长约为二十三米。