不等式相加范围扩大原因

哈喽，今天讨论一个经典的易错以及头疼的问题。不等式同向相加，范围会扩大，那怎么办呢？本次课只讨论背后的原因，不涉及现行规划呀、可行语之类的分析。题目中的两个函数值不等式，其实对应的是这样两个不等式 问题要求的 f 负二的曲子范围也是求四 a 减二 b 的曲子范围。一起来看看有些同学是怎么做本题的。先给这两个不等式编号一和二。因为啊，不等式同号可以相加，所以一加二就得到二 a 的曲子范围三到六了。同理，可以得到负二 b 的曲子范围是负三到零， 命名为三和四。那么四 aj 二 b 就可以通过这种组合得到他的范围是三到十二 a。 答案出来了，过程很合理吧，看似也没啥问题啊。 但可惜的是啊，完蛋了。正确答案的范围是五到十。某种意义上来说啊，好像也没错，对吧？大于等于五，小于等于十的集合也在三到十二之间嘛。但高考里要求的取得范围必须是精确的，你不能 扩大，尤其在等号时啊，你必须得有取等的时候。而取等条件也正是刚才错误答案的罪魁祸首。那怎么做呢？找到独立变量。所谓独立变量，就是能独立取范围内的任意制的。这样才能保证取等吗？请在思考同时继续往下看。 另， m 得 a 减 b， n 得 a 加 b a 这个 mn 是条件，给的，是独立变量。因为啊， m 可以在一和二之间任意取之，而 n 呢，可以在二到四之间任意取之。 m 的取之不依赖 nn 的取之也不依赖 m， 那么不等于三，就变成了最大值的取值。取等条件就是 m 等于二， n 等于四。十取个大值而不等于四。最大值的取等条件呢？是 m 等于二， n 等于二，你把它们一组合， 你这个四 a 减二 b 的取等条件是 m 等于二， n 等于几啊？哎，你让 n 怎么办呢？到底是等于四还等于二啊？说明什么呀？说明 m 加 n 等于六，和 m 减 n 等于零啊。不能同时取到 m 加 n 和 m 减 n 绑在一起，它就不是独立的变量啊。我要取六，你居然不能自由的取到零，你独立个毛线。那怎么办呢？我们就要把四 a 减二 b 啊。你的解析是在改成 子含 mn 的。表达是这个步骤贼简单，就是区括号 不要把 m、 n 绑在一起了，因为 m、 n 本身就是独立的。这时啊， m 曲最小值一， n 也能取最小值二了， m 取最大值二了， n 也能取最大值四了， m、 n 互相不影响，就得到一个正确的取得范围， 对吧？好好体会下啊。当然，本题啊，也可以用现行规划和可行语来来求解。那这个以后再讲，拜拜。

今天给大家讲一道关于不等式的经典易错题，你来挑战一下，看能不能做对。好，我们看题，以至 a 加 b 的取值范围和 a 减 b 的取值范围，让求的是三 a 减 b 的取值范围，那该怎么求呢？ 同学一看啊，老师， a 加 b， a 减 b， 他的相加和相减能得出 a 和 b 的取值范围，然后再往这一带就能取出三 a 减 b 的取值范围了。同学们如果这么做的话，那就是一个典型的错误结果，因为在进行加加减减的时候，相当于把 a 和 b 的范围扩大了呀。 那我们得的结果是有问题的，那该怎么做呢？应该三 a 减 b， 用 a 加 b 和 a 减 b 来表示，有的同学也能看出结果，有的同学看不出来，那么就用代定西式法来做，那代定西式法应该是什么样呢？应该是三 a 减 b 应该等于 m 倍的 a 加 b， 再加上 n 倍的 a 减 b， 然后整理一下，这里边是 m 加 n 倍的 a， 再加上 m 减 n 倍的 b， 然后呢，这个要跟三等，这个要跟负一等，那就是 m 加 n 要等于三， m 减 n 要等于负一，我们觉得 m 等于一， n 呢 等于二，所以说三 a 减 b 相当于是 a 加 b， 再加上两倍的 a 减 b， 然后再把这个范围带进来就可以了。同学们，你做对了吗？

今天这道题目对于高一的同学来说，看似简单，但其实过程当中非常容易犯迷糊，大家来看一下，已知 x e x 二是它的两个解，并且满足这个不等关系。问 b 比 c 的取值范围是什么？ 拿到这个不等式，大家应该很容易发现，这是一个典型的二次函数根的分布问题，所以简单画一个草图，开口向上的二次， 在一和二之间有个解，二和三之间也有一个解，所以它的图形大概就长这个样子。 那么根据二次函数根的分布知识，把一带入一减 b， 再加上 c 要大于等于零。把二带入四减二， b 再加上 c 要小于等于零。 把三带入九减三， b 再加上 c 要大于等于零。有了这三个不等式，通过他们去算 bbc 的取值范围。如果大家了解线性规划内容， 那么我们这三个不等式是可以通过作图的形式找到它对应的区域，然后再从这个区域里面找一个点和原点连线，把它看成斜率，就可以算 b 比 c 的取值范围。 但是对于刚刚学高一知识的同学来说，这个方法他们应该是想不到的。那么高一的同学看到了这些不等式，我们应该想如何对这个不等式做一些变形， 使得它能够变出 b 比 c 这个整体。所以来看第一个不等式和第二个不等式，这两个 柿子有 b 有 c， 还有一个长数，那么如果我想得到 b 比 c 的范围，咱们应该想办法把长数项给它削掉。那么要想削到长数项，我们可以对一是乘以四， 所以一是乘以四，就可以得到四减四， b 再加上四， c 大于等于零， 而对于二式来说，大家可以看啊，这两个方程如果做叉就可以把四消掉了， 那么如果不等式大家不会做差，我们可以利用不等式的性质叫做不等式，同项做合是可以的，也就是咱们把二式呀做一个变形，两边同时乘以负一，就变成了负四，加上二， b 再减 c 大 大于等于零。不等号的方向相同，就可以加了，所以两边相加就变成了负二 b 再加上三， c 大于等于零。整理一下， b 比 c 小于等于二分之三，所以通过这两个不等式，咱们就可以得到一个 b 比 c 的取值范围。接着来看，同比第三个不等式和第二个不等式也可以做一些变形，咱们把第二个不等式乘以九，第三个不等式乘以四，让它的长数项先相同， 二乘以九，就得到了三十六减十八， b 再加上九， c 小于等于零，三是乘以四，就变成了三十六，减去十二 b 再加上四， c 大于等于零， 还是同项不等式可以加和，咱们给这个式子，两边再同时乘以负一，负三十六，加上十二， b 减四， c 小于等于零，所以这两个不等式相加三十六就没了，变成了负六 b 再加上五， c 小于等于零。整理一下， b 比 c 大于等于六分之五，所以最终 b 比 c 的范围就是大于等于六分之五，小于等于二分之三，这就是他的取值范围。 所以对于高一的同学来说，看见了这样子的不等式组，大家一定要会根据他去想办法解决你要求的东西，利用不等式的性质对他做一些变形，大家学会了吗？

哇哦，这种题如果不搞定学不等式将会非常痛苦，给我一分钟讲清楚！如果不等式， x 小于 a 的解题中，任意 x 都可以使得 x 小于二成立。求参数 a 的范围。不等式的题还是建议结合数轴来看。首先画出确定的 x 小于二的解题， 再来看题， x 小于 a 中任意 x 都可以使得 x 小于二成立。换一句话说，就是 x 小于 a。 这个解题啊，应该包含在 x 小于二的解题中，那么这个 a 是不能比二大的。如果 a 比二还要大， x 小于 a 的解题长这个样子， x 在二到 a 这一段呢，是不符合题意的， 所以 a 应该在二的左侧。 x 小于的解题被包含在了 x 小于二的解题之中，于是初步确定 a 小于二。接下来最关键的问题就是， a 能不能等于二呢？这种 能不能取等的问题，我们可以用假设法通杀的。假设 a 可以取到二，那么原来的不等式它就变成了 x 小于二。 x 小于二中的 x 当然使得 x 小于二成立了，所以假设是成立的，那么这个等号就可以取了。 赶紧看个辨识题，改成 x 小于等于 a 中的 x 都能使得 x 小于等于二成立，那这个 a 肯定也是小于二的，能不能等于二呢？假设 a 可以等于二，原来的不等式他就变成了 x 小于等于二。 x 小于等于二中的 x 当然能够使得这个成立了，所以这个地方也可以取等。 再变一次， x 小于等于 a 中的 x 都能使得 x 小于二成立，那么这个 a 肯定还是要小于二，能取等吗？如果 a 等于二，那么原不等式，它就变成了 x 小于等于二， x 小于等于二的解题中有 有一个 x 等于二是无法使得 x 小于二成立的，所以这种假设不成立，那么 a 就不能取。等最后这道题留给你，答案写在评论区。

全方和不等式，不等式中的科技与狠活。如果你会用小难题，可以秒光光。比如这道题，他可以看成一的平方，他可以看成二的平方，我一个全方和不等式，这俩相加一带入最小值，一不小心就出来了。 所以说记住了全方和不等式，所有分子都比分母高一次，那记住了这个不等式，你的结法就比你同学帅一次。 再比如这道题，他看成根号二的平方，他看成一的平方，我一个全方盒不等式，就会发现，啊，解不出来。为啥解不出来？因为你没有送 他，要和他结合，很明显手头上不太宽敞，差个二。那咱就给他送个二嘛。你说分母都送了，分子能不送吗？不能， 这东西送到位了，全方盒能不出来吗？啊？不能，他看成二的平方，他看成一的平方，我一个全方盒不等式。这答案不就扑面而来了吗？

像这种不等式难题，三个主要步骤教你搞定它。关于 x 的不等式，最小整数减为二，求 a 的取值范围。 要找到最小整数减，我们就要先来减这个不等式。关于 x 的不等式，那么 x 就是未知数， 此时除未知数以外的字母就叫做参数，我们把它当成常数来解。不等式就可以有分母，先取分母。不等式，两边同时乘以三，那么就得到二 x 加二，小于三， x 加三 a， 接下来移项，把含未知数的项移到不等号左侧，所以是二 x 减三， x 小于三， a 减二，然后合并同类项，就是负 x 小于三， a 减 二。接下来系数化为一，不等式，两边同时除以负一，那么除以一个负数不等号方向需要发生改变，所以这里就是 x 大于二减三 a。 得到不等式的剪辑之后，我们来进行第一个主要步骤，画竖轴，我们把不等式的剪辑表示在竖轴上。 第二个关键步骤就是定范围。定谁的范围呢？定这个二减三 a 的范围根据什么？根据他的最小整数减为二，也就是大于二减三 a 的第一个整数就得是二， 所以二减三 a 就要在二的左侧，但是他还不能无限制的向左，因为我们要确保二在 在这个范围内，一又不在这个范围内，如果一在范围内，那他的最小整数减就不再是二，所以我们就得到了二减三 a。 在一到二之间， 我们再来进行第三个主要步骤，就是定端点。定谁的端点呢？定这个二减三 a 的端点，看这个二减三 a 能不能等于一，能不能等于二。 当二减三 a 等于一的时候，那么不等式的解题就得这样画，那此时不等式的解题就是 x 大于一， 它的最小整数减的确是二，所以二减三 a 可以等于一。当二减三 a 等于二的时候，那么 x 大于二减三 a 就得这样画。 此时不等式的解题就是 x 大于二，它的最小整数减是三，不是二，与题意不符，所以二减三 a 不能等于二， 这一步是最容易出错的一步。我们要注意，这里的二减三 a 等于一和等于二的时候，并不一定 x 能够等于一和二，那么有第三步我们可以得到，在一，这里可以取到等号， 然后我们再来求解这个不等式就可以得到，最终结果是 a 大于零，小于等于三分之一。点赞收藏这个视频，学会这个方法，你也能够轻松解决不等式当中的整数解问题。

对于这类型的题目呢，一个口诀就可以搞定。那我们知道，在求不等式组的解题时，有一个口诀叫做同大取大，同小取小，什么意思呢？就是在不等式组当中，当未知数同时大于几个数，那我们取大于大的那个数作为解题。 在不等式组当中，未知数同时小于几个数，那我们就取小于小的那个数作为解集。 所以对于这道题来说， x 同时大于两个数，那我们就取大与大的数作为解题。既然它的解题是 x 大于三 m 加一， 说明这两个式子相比之下，三 m 加一更大，那我们就能得到三 m 加一大于二 m 减二，那这里能不能取到等号呢？ 我们需要来验证一下。当这两个式子相等的时候，那么二 m 减二就可以换成三 m 加一， 此时这两个解集是一样的，所以他最终的解集还是这个，那么这里就可以去等号。接下来我们再来解这个不等式，就可以解得 m 大于等于负三， 那这里就填 m 大于等于负三。好，这个方法你学会了吗？学会了，把这道题的答案写在评论区。