江苏省宿迁市初二几何

好，各位同学，我们继续来看啊，好，来看一下第二题，来这道题啊，我们仔细看一下啊，这个题目啊，是不是有点眼熟啊，那这个题看到这个做了垂线之后， 然后又说 p e 加 p f， 那 这个题目是有点像我们这次的就是一个实验学校，就辅院学校的一道最后一题的压轴题啊，如果大家有点印象的话，那看下这道题啊，就是有一个点在矩形的一条边上，然后往两个腰上面做垂线的 来求这个的和的。你看这道题，就就包括这里的时间运用，以及这个第三个，全都是围绕这个知识点来的，就是这个垂线段之和，它涉及到一个整体法啊底相同，然后还要利用到等级，所以这个题目 经常会遇到啊，来，我们就说这个题目，有机会我们再把这个把这个题目给讲好，我们先来说一下第二题啊，总之有点类似啊，这两个题目它解决方法也是类似的来， 在正方形 a、 b、 c、 d 当中，这个 p 点是 c、 d 上任意点，我们从 p 点往下往这个 a、 c 上做一个垂线 p e， 然后再做 p f 垂直于 b、 d， 这个垂直分别为 e、 f。 好 了，这个正方形的面积是五十，告诉我们这个正方形面积是五十，则 p e 加 p f， 就是 这两条线段加起来等于什么，那 abcd 四个选项 好啊，嗯，我们首先根据这个正方形的面积，我们想啊，在我们还不知道这个思路之前，我们先别急，这根据正方形的面积，我们去 推一下，是不是能算出来他的什么对角线和边长啊？他的边长是多少呢？根据这个面积我们可以口算一下，边长应该是等于是不是五倍根号二，对不对啊？ 那五倍勾方二的话，那迅速就能反应过来啊，这个 o d 他 是不是就是五， o d 等于 o c 等于五？ 好了，也就是对角线的一半和边长我们都算出来了，但是他这里要求 p e 和 p f， 我 们可以怎么想？ 大家想这个 p e 是 什么？ p f 像什么？它都是垂直于 a c 和 b d 的， 那这个 p e 和 p f 我 们是不是可以看成三角形的高呢？那我们可以这样来思考这个问题，连接 o p 它垂线段吗？这个垂线段呢？和啊，垂线段， 哎，其实呢，我们可以把它看作是一个高三角形的高啊， p f 是 三角形 d， p o 的 高，那 p e 是 不是三角形 c， p o 的 高？那这两个三角形大家观察一下它们其实啊， 有相同的，有相等的底， o d 是 等于 o c 的， 哎， o d 等于 o c， 那 么它们的高之和我们可以合并一下。怎么合并来看啊？利用等级法，二分之一 o d 乘以 p f 加上二分之一 o c 乘以 p e， 看一下我写的这个等式，这个等式想干嘛？我是不是想把这两个三角形的面积给表达出来，表达出来之后它等于什么呢？ 哎，等于我们这个 ocd 的 面积对不对？而这个 ocd 的 面积是等于多少呢？是不是等于五十除以四啊？是等于正方形面积的四分之一，等于四分之五十。那我们再看这里的 pe 啊，这里的 p f 和 pe 能不能加在一起呢？ 那这里的二分之一 o d 如果等于二分之一 o c 的 话就可以了，那 o d 是 等于 o c 的， 那是不是刚好可以把这个二分之一 o d 把它提出来 o c 也也就等于 o d 了，那是不是就是 p e 加上 p f 框里面是不是这样？我们把这个提出来之后来等于四分之五十好了， o d 是 等于五的，这是等于五的，也就是二分之一乘以五，再乘以这个式等于四分之五十。我们直接用四分之五十除以二分之五乘以五分之二，对不对？ 那就是一百除以二十。答案应该是 b。 好， 这个题目就是这样，就是用什么 转化的时候，把它转化成什么，这个线段转化成高高的和高的话，因为底相同，再用等级法的思想去解决这个问题。

家里有书科八下的家长，不要错过这道双洞最小值问题，掌握我的三招，中等娃也可以秒杀！如果其中烤鸭轴题十分严重，娃又肯学， 可以把我整理的期末冲刺训练拿去训练，拿去练习六六六。那么这道题到底需要哪两招？第一招，通过平移法将两动转化成移动一定线段最小值。第二招，再根据平行加等要有角平分线判定动点轨迹。 第三招，点线距离垂直最短勾股求值结束，你和娃听懂了没？如果期中考压轴题十分严重，娃又肯学，可以把我整理的期末冲刺训练拿去训练，拿去练习六六六。最后，祝娃天天好运，苏科提优找大侠！

家里有江苏八年级的娃，不要错过这一道双洞的线段最小值的问题。这道题来自于我们的内部课堂 考试，一般会出现在我们填空的最后一道题，也就是拉分压轴题，建议晚上给家里的娃呢保存打印做一做。 那这道题在考场上我们百分之九十五的同学是下不了手的，为什么？因为这道题我们需要一个数学思想以及三大考点，掌握我这一个思想。三大考点，我们的中等娃也可以秒懂， 也可以一招秒杀。如果平时娃做压轴题没有思路，没有方法，娃呢又肯学，可以把我这一份期末冲刺训练拿去练习，形成思维，掌握方法。 那么这道题到底需要哪一个数跃思想以及三大考点呢？我们现在把核心条件问题呢看一下。在三角形 a b c 中， a b 等于 a， c 角， a 是 三十度，顶角是三十的等腰，等腰在三角形的辅助线，你想到了什么？ 请在评论区打出来。 b c 呢，是一个四以 p 的 话呢，分别为我们 ab 跟 a c 上的呢两个动点，且我们 c p 的 话是等于我们 a 一 的， 最终我们求的是 p e 的 最小值。显然这个 p e 这两个点怎么样是双动 双动的问题呢？我们要想办法把它转化成一动，一定，除非可以用代数的配方法，一般我们选择的是转化成一动，一定会比较简单。那么如何来转化？我们可以将 p e 沿着 p a 平移，也可以将 p e 呢沿着 p c 呢进行平移。所以我们的第一个思想是什么？应该是平移 等量代换时间，也就是把我们的 p 可以 平移到 c 一 撇处，这样的话，我们这个 p 一 就等于我们的 c 一 撇，我们 c 点的话，它是一个 定点啊，一撇呢，是一个动，那么这样的一个转化就把我们的两动转成了一动一定。 那接下来我们发现什么？我们发现这个 p c 跟我们这个 e 一 撇呢，是平行且相等，所以你应该发现这个四边形 e p c 撇，它是一个平四， 平四的话，说明 e 一 撇与 p c 相等，而 p c 与我们这个 a 怎么样又相等？ 此时一 a 一 撇是一个等腰，所以你要发现一 a 一 撇它是等腰， 以及一撇它是与我们这个 a c 呢，是平行的。等腰加平行。这个考点 你忘记了吗？想到什么？想到我们这个角等于这个角也等于这个角， 所以我们此时 a 一 撇就平分我们这个角 b a c 了呀。 哦，于是我们这个动点一撇的轨迹不就是射线 a 一 撇了吗？ 接下来我们点线距离垂直的时候有最小，所以这个垂足不就是我们此时的一撇了吗？好，我们把图怎么样画一下，不就是这样的一个情况， 所以我们点线距离垂直有最小，所以当我们 c 一 撇等于 c 一 两撇时，他是可以取到最小值的。 而我们 c 一 两撇的话是多少呢？显然我们 a 一 两撇的话是垂直平分 bc 的 呀， 所以 c 一 两撇就是我们二分之一的 bc。 答案怎么样？就是一个二就结束了。 好，最后我们总结一下啊，这道题。首先我们需要通过我们的转化思想将两动转成一动，一定。接下来是我们要对我们四边形 e、 p、 c 一 撇做一个平四的判定。这个考点一 考点二的话是什么？是平行右等腰有角平分线，这是我们的考点二，考点三点线距离垂直有最小值。好了，这道题我们就说到这里了， 你和孩子听懂了吗？如果娃平时在做压轴题，没有思路，没有方法，可以把我这一份期末冲刺训练拿去练习，形成思维，掌握方法。最后，祝娃天天好运，苏科提优找大侠！

好，我们一起来把这个核心条件跟问题来看一下。一个正方形 a， b， c， d 中啊，对角线 a， c， b， d 呢叫一点 o， a， d 呢是一个三哦，这就变长了。一， p 呢是根号。二，显然 p 点是怎么样一个定点吧。 好，绕 m 为 a p 上面一个动点啊，咱们怎么样来动动，看动起来对不对？连接 c m 绕着 c 呢，顺时针旋转九十度，得到我们这样一个 c n， 再连接这个 d n， 求 d n 的 最小值。 好的题目读到这里，你想到这个题是属于什么样的题型？里面有什么样的运动，请在评论区打出来。如果你 平时刮豆原理掌握了，还不错，如果你平时主从联动也学过，那么这道题不是可以秒杀吗？那么怎么来秒？太简单了， 因为 m 点的运动， n 点怎么样也在运动，那我们就可以把什么，把我们 d n 的 长度，把它 反旋转回来不就好了吗？如何反旋转？太简单了吧，只需要将 d n 绕着这个 c 这个点，跟我们题目中的顺时针怎么样反过来旋转，那就是将 d n 绕着我们这样的一个 c 逆时针转九十度，那我们可以得到什么？我们观察一下，这里面是要涉及到我们旋转的一个性质，我们将 d c 连起来，逆时针转九十， d 跑到 boy 了， 我们 n 绕着 c 逆时针转九十， a 怎么样跑到 m， 所以 我们 d n 就 转化成了我们的 b m， 接下来我们只需要把这个 b m 怎么样连一下，咱们给他标一个红色对不对？ 所以这个时候怎么样？你应该可以发现，我们的 d n 的 话，与我们这个 b m 怎么样是相等的，为什么？那么你可以给娃来思考一下，为什么这两个边是相等的？因为 三角形一和我们这个三角形二怎么样是全等的， 所以接下来我们只需要研究 b m 的 最小值就可以了。 b 点怎么样？它是一个定点，那 m 点是在我们 a p 上运动，那么点线距离啥时又最小？ 请你在评论区打出来，应该是垂直的时候有最小值，对不对？那如何来求这个 b m？ 刚刚我们怎么样是考点一？叫什么叫旋转法的运用？ 那么现在考点二是什么？我们如何来求？我们 b m 的 值 怎么求？我们发现 b m 垂直于 a p， b m 可以 看到这个高高和底边的乘积就是面积，面积想到什么？想到我们的等积法 对不对？所以我们这个 b m 乘以这个 a p 乘以个二分之一，就是我们三角形 abp 的 面积，那么这个面积还可以怎么表示？ 以 ab 为底边高，那这个高 ph， 于是我们把它怎么样做出来了，这就是 ph。 接下来我们分别来求一下就可以了。 ab 是 几呢？三， ph 呢？ ph 多少嘞？哦，这个 pd 是 根号二，这个角怎么样？是一个四十五度，显然延长之后我们有一比一比根号二，所以 ps 呢？一， e， d， s 呢？ e p， h 呢？二呀，好带进来，这就是一个二。那么你要求 b m 的 话，还需要把这个 a p 怎么样给它算一下，那 a p 怎么算？那太简单了呀， 我们过 p 点向我们 a d 怎么样做一个垂直 p t， 接下来在 atp 之中也是一，这个边是一， at 是 一个二，所以 ap 根股定离，那就是根号五， 所以最终我们 bm 的 长度那不就是六除以根号五，五分之六，根号五不就结束了吗？ 最后我们总结一下，对于这样的一个瓜豆或者主从联动的最值问题，我们怎么做？我们用的是反旋转法来做，也就是我们的考点音反旋转法 一招把 d n 转成 b m， 那 么就会变得非常简单，因为 b 点是一个定点， m 是 一个动点，它的轨迹就是 ap。 接下来点线垂直有最小值，最后求值，求值我们无非是 割股和等级，显然 b m a p 底层高，想到等级法，等级法，最后求值解决问题。 好，这道题我们就说到这里，如果我们娃遇到压轴题，没有思路，没有方法，可以暑期来参加我的预习方法课，需要了解详情的回复一个需要。最后祝娃天天好心情，苏科提优找大侠！

家里有江苏八年级的娃，不要错过这一道平行四边形的存在性问题。 有已知三点坐标，去求第四点的坐标。这道题一般会出现在我们考试的填空的倒数第二题，或者我们某一道解答题的某一小问。这道题来自于我们的内部课堂， 建议呢，给我们家里的娃保存打印，晚上试一试。那这道题我们绝大部分的同学是下的了手的，但是拿不到分， 为什么？因为这道题我们很多同学只会算一个答案，实际上是有三个答案的。那么掌握我今天的方法呢？我们中等生也可以秒懂，以后不会错。 如果娃平时遇到亚洲题，没有思路，没有方法呢？娃又肯学，可以加入我的题优方法课，需要了解详情的回复一个，需要我发给你。 那么这道题到底需要我的哪一招呢？就可以轻松搞定呢？我们现在把核心条件问题看一下，那么在平面直角坐标系中没有咱们怎么样自己画？考试肯定是要自己去画，画一个平面直角坐标系，当然不画也可以做 x 走 y 走，这是一个圆点， a 点的话是一个负二零，大概在这里负二零， b 的 话是零幺，零幺大概在这里。 c 点的话是一个零负四，零负四呢，大概在这里零负四。把这三个点怎么样？已知的点怎么样？我们先把它怎么样连起来。 那么这个第四个点 d 点到底在哪里？接下来我们用的是我的什么方法？叫三平行线法，也就是分别过 a、 b、 c 三点，向对边做平行，我们先把它做出来。 好，我们过 a 点呢？向对边 b、 c 怎么样？先做一条平行线，我们过这个 c 这个点呢？向对边 ab 怎么样？做一条平行线，过 b 点，向对边 a、 c 呢？也做一条平行线，做完之后你会感谢我的。为什么？ 因为三个焦点就出来了呀，假设这是我们的第一，那么第二呢？在这里对不对？第三呢？在这里一个也 逃不掉，图呢，我们就画完了，接下来怎么样？如何求出第一、第二、第三啊？这是快速的求出坐标呢，非常简单，我们先求个第一呗。怎么求 我们连接 d、 e、 c 交点呢？角的是一个 m 点，那 m 点是我们对角线的交点，也是我们对角线的中点。 那么终点你想到了什么样的公式？请在评论区打出来啊，知道的举手！应该是终点坐标公式。所以我们 m 点的横坐标就是我们 a 的 横坐标加上 b 的 横坐标除以一个二， 难道 m 点不是 c、 d 的 终点吗？所以也等于二分之 c 的 横坐标加上 d 一 的横坐标。哎，这是什么东西？这不就是我们的方程了吗？方程不就用来求值的吗？对不对？ 好，我们再进去嘛，对不对？负二加零啊，负二加零除以二， c 点横坐标零，零加 x d 的 的值除以二， 所以我们 x d 就是 负二。同理我们 y m 的 话就是 y a 加 y b 除以二，同理 就是 y c 加 y d 一， 怎么样？除以啊，照抄不要动脑筋带进去，那就是零加一除以啊，等于二分之负四加 y d 一， 所以我们 y d 一 的话就是一个五。 于是我们可以怎么样快速的算出来，我们第一的坐标就是负二五，第一个答案不就搞定了吗？ 那么第二第三怎么求，能不能快速的搞定呢？当然是能的，因为此时你发现了没有，这个 a 这个点就是我们第一第二的重点， 那么再来用一次钟点坐标公式，快速求出我们的 d 二的坐标，那么有 d 二和 d 三，你会发现什么？ c 点是 d 二 d 三的钟点坐标公式用一下，那么 d 三怎么样也可以快速的搞定， 那这道题我们不就搞定了吗？最后总结一下，遇到我们平式的存在性问题，你要学会画三平行线，找到我们的焦点，第一、第二、第三，这叫我们的注图的方法。 那么求的是什么方法？求的是运用的我们的终点坐标公式，一般会多用几次的。这道题我们就搞定了呀， 那么你和孩子听懂了吗？如果平时孩子的话，在压轴题方面缺少思路，缺少方法，可以加入我的方法提优课，需要了解详情回复一个需要。最后祝娃天天好运，苏科提优找大侠！

家里有江苏八年级的娃，不要错过这一道平行四边形叠加动线的最小值问题。这道题来自于我们的内部课堂，一般考试的话会出现在填空的最后一道题， 如果平时选择填空的压轴题，以及我们解答的最后三题没有思路，那么这道题呢，一定要给娃做一做。这道题难住了百分之九十五的同学，为什么呢？因为他有两个考点需要破解。第一个考点是什么？ 是告诉你 b 点坐标三 m 四 m 加 e， 你 如何来进行破解这个点坐标呢？ 以及对角线 b、 d 的 最小值，这个 b、 d 你 怎么去画出来呢？又怎么去转化呢？这是两个考点，也是两个难点，掌握我今天的破解方法呢，我们中等生也可以秒懂， 那么在以后考试遇到这种类型的问题，也可以一招秒杀。那到底是哪两个方法来破解这两个考点呢？我们来把条件问题再看一遍， 他说在一个平面直角坐标 c 中，显然我们的平面直角坐标 c 怎么样？得先画出来对不对？好， 那么已知平行四边形 a、 b、 c、 d 的 点， a 是 零负二，所以 a 点呢？大概在这里，零负二， b 点坐标怎么样？是三 m 四 m 加一，这个如何破解呢？我们先把 c 点坐标标一下， c 是 多少呢？六二，六二啊，大概 在这里，这是我们的 c 六二，对吧？好，接下来我们来看问题哦，求对角线 b、 d 的 对角子对吧？好，那第一个难点是 b 点坐标是三 m 四 m 加一，那这个点坐标有没有规律呢？ 当然是有的呀，那我们可以去猜一猜，这个 b 点的话，它的轨迹是什么？ 应该是一个直线，为什么我们只需要令三 m 等于一个 x， 四 m 加一等于 y， 年龄一四二四八 m， 怎么样消元消掉，那么 y 不 就是 三分之四 x 加一吗？哦，原来第一个考点，我们怎么样通过解析式法可以把 b 点的轨迹把它画出来， 所以我们这个轨迹就是直线。 y 等于三分之四 x 加一，我们 b 点呢，就在这个线上运动。于是我们怎么样随便举一点拨位，把 b、 c 连一下，把 b、 a 也连一下， ac 也连一下？因为那是平行四边形， a、 b、 c、 d， 所以 我们 d 点呢，一定是在 我们 a、 c 的 这个下方的，大概呢是在这里，这就是我们的这个地点。于是我们这个时候怎么样可以把这个 b、 d 怎么样把它拉起来？因为这是一个平行四边形，所以说我们这个 b、 d 怎么样是可以转化的。为什么？ 因为 b 点它是一个动点， d 怎么样也随着 b 在 运动，这是两动两动的问题，转化思想肯定少不掉了，对不对？把它转成两倍的。什么 b m， m 是 谁？ m 就是 我们对角线的焦点， 因为这个焦点也是终点，不是跟我们昨天讲的终点坐标公式有关联吗？ 而 m 点就是我们 a、 c 的 中点，中点坐标公式运用一下，不就是一个三零吗？哦，我们把 b、 d 转成两倍的 b m 的 话是 very good。 为什么？因为 m 是 一个定点， b 是 一个动点。 接下来我们只需要研究 mb 的 最小值是多少呢？ b 又在哪里呢？显然点线垂直 有最小值，所以我们 b m 的 话是大于等于 mb 撇的，当能取到 mb 撇的时候，我们就结束了呀。那最后一关就是 如何求 mb 撇的长度，那么这个求这个长度的方法呢？就比较多，我们这边讲几种。那法一的话是什么法一？法一啊，法一，你可以怎么样算出我们直线 mb 撇的解析式？然后令它与我们 y b b 撇的解义式相等，这个解义式呢，就是 y 等于三分之四 x 加一，对不对？求出我们 b 撇点的坐标，再求出我们怎么样 m b 撇的长度，这是法一，法一可能会麻烦一点。那法二是什么？假，这个，这个焦点是一个 s， 这个焦点怎么样是一个 t， 我 们 s 的 坐标显然是 零一 t 点坐标，我们把它怎么样，令 y 怎么样为零，算一下应该是负的四分之三零。所以法二我们可以用割股或者等积法，我们连接一个 s m， 你 会发现我们三角形 st m 的 面积，它既可以用二分之一 st 和高 m b 撇建立关系，它也可以用二分之一 t m 为底边 高是什么？高就是 s o 对 不对？ s o 对 吧？哦，从而怎么样轻松搞定？应该还是比较舒服的。那么最舒服的方法是什么？那得是我们初三的相似了呀。为什么？ 因为这个角所在的直角三角形的三边之比图是 三比四、比五，所以我们 t b p m， 在 这个直角三角形中，我们 b p m， 如果说是一个四 y 的 话，那么 t b 撇就是一个三 y， 那 么 t m 就是 一个五 y， 而我们 t m 的 话，就是一个四分之三，加上一个三，你就算一算，应该是四分之十五，是多少？是一个 y， 所以 y 怎么样就是四分之三，于是 m b 撇的话是四份几，四分之三乘以三结束，答案是几哦，别忘记还有乘以二， 答案就是一个六，这就是我们的法三永相似。好了，这道题你首先要掌握的是法一跟法二，法三呢，也看你的接受能力了。 最后我们总结一下，这道题是有两个考点是需要我们去突破的。第一个 b 点的坐标告诉你三 m 四 m 加 e 如何去把它转化为我们 b 点的轨迹。我们用的是解析式判例法 以及对角线 b d 的 最小值，这是一个两动，如何转成一动？一定。那么这两个考点呢？我们怎么样都是去转化了。接下来就求值，求值三种方法，随便你用哪一种，那这道题非常适合我们的中等娃以及尖子娃都是非常适合的。 好了，这道题我们就说到这里，如果平时遇到压轴题，没有思路，没有方法，完了又肯学，可以加入我的提优方法课，需要了解详情的回复一个，需要我发给你。最后祝娃天天好运，苏科提优找大侠！

家里有江苏八年级的娃，不要错过这一道正方形中叠加全等叠加求值的好题。这道题来自于我们的内部课堂，那考试这种题一般会出现在填空的最后一题，或者是我们 解答题某一道题的最后疑问。这道题如果平时没有正方形中全等模型的积累， 应该也是不太容易下手了，可以给娃做一做。那今天我给你分享一招，我们中等娃也可以秒懂，也可以一招秒杀。 如果平时遇到压轴题，没有方法，没有思路，娃呢也肯学，可以呢，加入我的方法课，需要了解详情回复一个需要。那么这道题到底需要哪一招呢？我们一起来把。核心的点 a 的 长度呢是一个二， b f 的 话呢是一个四， b m 的 话呢是一个一。将正方形沿着 e f 做一个折叠叠 m 的 对应点呢，与 c d 边上的点 n 怎么样重合？求 c n 的 一个长度。那么我们发现这个 b m 怎么样？它是一个一，要求的是 c n， 那我们可以怎么样？我们可以过 m 点怎么样？像我们这样的一个 c n 怎么样做一个垂直用一个 cs， 所以 cs 怎么样就是一， 于是我们 c n 的 长度就是一加 s n， 接下来我们只要怎么样把 s n 怎么样把它求一下就可以了。那么 s n 怎么来？求各位， 我们发现 m n 的 话，是关于 e f 怎么样对称的，这个时候用到我们轴对称的性质，也就是说 我们对应点的连线一定是被我们这样的一个对称轴垂直平分的。那么在正方形中，你看到 m n 与我们 e f 是 互相垂直的，你想到了什么呢？ 请在评论区打出来。你应该想到我们近几天经常讲到的一个全等模型，那就是十字架全等模型，于是我们只要过这个一这个点做一个数值 交 bc 与一个 k， 所以 我们不难发现，三角形以 k， f 与我们三角形 m， s， n 怎么样？一定是全等的，这不就是我们天天在讲的 十字架全等模型了吗？对不对？于是我们这个 a 怎么样就等于 b， k 就是 一个二嘞， 我们 k f 四减二就是一个二，那么 k f 显然与我们这个 a s 怎么样是相等的，于是我们 c， n 就是 一加二就是一个三。 所以这道题目到底是哪一招？最后总结一下，那就是我们正方形中有十字架全等，全等就有等线段，就好进行求值了。好，这道题我们今天呢就说到这里，你和孩子都听懂了吗？ 如果孩子平时呢在做压轴题，没有思路，没有方法，娃呢，有肯学可以加入我的提优方法课，需要了解详情呢？回复一个需要祝娃天天好运，苏科提优找大侠！

家里有江苏八年级的娃，不要错过这一道塑形结合的压轴题，这道题是来自于我们泰州省会八下七中考的最后一道压轴题。这道题如果孩子掌握的话，可以提高 分析问题、解决问题的能力，也能提高计算的能力。晚上给家里的娃呢保存打印一下。这道题在考场的时候，我们好多娃呢是非常头痛的，为什么？因为这道题怎么样？既有几何的分析， 又有代数的求值。那么这道题我们需要掌握我们的三步， 这道题按照我的三步法来做的话，你也可以轻松搞定中等娃，也可以秒懂，也可以一招秒杀。 如果平时遇到压轴题，没有思路，没有方法呢？娃又肯学，可以加入我的提优方法课，需要了解详情的回复一个需要。那么这道题到底如何来破解呢？ 我们先把核心条件问题来看一下。好，接下来我们怎么样看一下这个问题。设 a b 的 话呢？是一个小 mb， q 的 话是一个小 n， 那 么 q， b 是 一个小 n， 那 是否存在强数 a， 使得无论 m h 和值？ 那么这样的一个式子呢？横成立，那存在的话怎么样？求一下 a 的 值？那这道题首先怎么样？我们要去寻找等量关系，这一个方程是不够的。那第二个问题在哪里？我们过 p 相对腰做一个垂直，显然 这就是一个 m h q 呢？ a 减，所以第一步的话，我们应该是在 p h q 里面用割股定律寻找第二个方程，那就是 a 平方，减去 a 减， a 的 平方等于 m 的 平方，这就是割股定律的运用， 也是我们的考点。考点意思是什么？角平分线加平行线有等腰，接下来我们把它化简一下。变成什么？变成我们的 r a n 减 a 方，等于我们 m 的 方。所以第一步是干嘛减方程？第二步是削圆，这边有 m 方，我们削圆，那就是 r a n 减 a 方，等于 a 减二分之一的 a， 然后一项把它变成我们需要的形式， r a n 减去 a 方，减去 n， 加上二分之一的 a， 等于一个零，这是我们第二股消元一项变成一般的形式。 那第三步是什么？第三步，我们对我们等号左边这个代数式进行隐式分解，显然他是有四项，四项优先。想到分组分解法，所以一三 组成一组，二四组成一组。提取一个 n， 那 就是二 a 减一加二分之一， a 减 a 方，提取一个二分之一的 a， 就是 一减二， a 等于 零。哦，二 a 减一，一减二， a 继续提取公因式，于是二 a 减一 乘以括号， a 减二分之一的 a 等于零，那么这个式子要横乘以，而且 m a 怎么样，无论取何值，这个是怎么样都要横乘以，所以我们 a 只能是等于二分之一，为什么？ 因为 a 是 二分之一，这个式就是零，所以 a 无论取何值，与前面零相乘，总是等于零的，那么是指呢？横乘以， 那么他很成立，那么二是一是，也就是很成立的。好，最后我们做一个总结，这道题我们考了什么呢？首先考到了一个思想，叫塑形结合的思想，以及两个考点。考点一 角平分线加平行线，有等腰。考点二，等腰三角形底对腰做垂有勾股，勾股就是等量关系，等量关系就是方程，方程连立方程组就能进消元，消元之后怎么办？我们就要进行因式分解。因式分解什么方法呢？分组分解法。 好，这道题我们就说到这里，如果平时娃在遇到压轴题的时候没有方法，没有思路，可以加入我的提优方法课，需要了解详情的回复一个需要祝娃天天好运，苏科提优找大侠。

每天一道易错题，今天我们看的是八年级下册期中备考试卷上面选择题的第八题， 我们先来看一下题目，菱形 a、 b、 c、 d 边长呢是八点， p 呢，是对角线 a、 c 上的一个动点，并且呢， a、 d、 c 等于一百二十度，问你 pa 加 pb 加上 pd， 它的最小值是多少？ 这位同学在写的时候呢，这一题留空了啊，就是没有思路， 那这个题的话，首先你得清楚他考察的是什么内容，对吧？这个内容呢，在学校里面一般不太讲这个实际考察的呢是飞马点的问题，就是在一个三角形里面呢，三角形那一个点到三点距离的最小值是多少 啊？你看这里面呢，如果说我们把这个 b、 d 给它先连起来的话，如果把 b、 d 连起来，那么 p 点呢？实际上面就是在三角形 a、 b、 d 内啊，它到 a、 b、 d 三个点距离的最小值。如何解决分码点的问题呢？就是要通过旋转， 因为这三个我们一般说求几段线段的最小值呢，要不就是用三点关系啊，三边关系，呃，还有呢，就是把它移这个端点呢，移到共端点啊，或者是首尾相连。实际上面飞马点这个问题呢，就是要把它 这个几条线段变成首尾相连，怎么相连呢啊，把这里面的这个三角形 a、 p、 b 呢，给它顺时针旋转六十度。那 a、 p 旋转完了以后呢，它就在大概在这个位置 p 一 撇。那 a、 b 呢，旋转完了以后，大概在这个位置 b 一 撇。 旋转六十度啊，就是角 p a p 一 撇就是六十度，角 b、 a、 b 一 撇呢，也是六十度，对吧？啊， 那三角形呢？三角形 a p p 一 撇呢，它就是一个正三角形，对吧？同时呢，这个 a、 b、 b 一 撇呢，也是一个正三角形，对吧？那我们来看一下我们求的 p a 加 p b 加上 p d 呢，它就可以转化 pa 等于谁啊？就是在这个三角形 a p p 一 撇呢，它是一个等边三角形，那我这 pa 的 话，其实就等于 p p 一 撇，对吧？ p p 一 撇， p b， p b 的 话，是不是就是 p 一 撇 b 一 撇啊？对不对啊？这里面旋转完了以后呢，三角形 a、 p b 啊，全等于三角形 a p 一 撇 b 一 撇，所以这个 p b 就 等于 p 一 撇 b 一 撇，对不对？好，那我们就把 p b 呢，转化为 p 一 撇， b 一 撇，加上 p d， 好，那你再观察一下我们要求的这个有什么特点啊？就转化为 p d， 就是 这个 p d 加上 p p 一 撇，再加上 屁一撇 b 一 撇，对不对？那就是我图中蓝色的画的这一个啊，要求整个最小值，就转化为求他的最小值了，对不对？好，那怎么求他的最小值呢？ 我们刚刚看了这个，这里角 a、 d、 c 呢，是一百二十度啊，角 a d c 一 百二十，那角 d a、 b 是不是就是六十度？我们刚刚按顺时针方向呢？绕点 a 按顺时针方向转的是六十度，所以呢，这里的这个角 b a、 b 撇 是不是六十度，对吧？哎，我们刚刚写过了啊，六十度，那六十度加六十度呢？ 这个角 d a、 b 一 撇，是不是就一百二十度，对吧？一百二十度，因为它这个边长呢，是八，所以呢，这个 a p a、 b 撇是不是就等于 a b 等于八，对吧？好，那两点之间的话，其实这里面的 b 点啊， b 点跟 d 点啊， b 撇点 跟 d 撇， d 撇肯定是一个定点，那 b 撇是不是也是一个定点啊？对不对？那这个问题就转化为两个定点之间的距离什么时候最短？两两个定点之间是不是线段最最短啊？ 啊？把这个 b 一 撇 d 连起来就是他们的最短，那怎么求他的最短？怎么求他的这个最小？这个是 a， 这个是 d， 一 撇这个是一百二十度。好，那这个是八，我们是不是得做个垂线 假设叫 o 啊？那这是三十度，对吧？那八 a o 就是 四 d o 呢？四倍根号三，同样的 bo 的 话也是四倍根号三，那整个的 b b 一 撇 d 是 不是就八倍根号三？这八倍根号三的话就是 pa 加 pb 加上 pd 的 最小值，所以这一题选择 b 啊。这一题呢，核心的话就是你要学会旋转。

每天一道易错题，今天我们来看八年级下册的一道关于分式的选择题，题目给了四个单数式。 问，分式有几个？这位同学选的是 b 两个啊，从这四个来说呢，这个 x 分 之二和 x 分 之 x 加二，这两个肯定没有问题。第三个呢，第三个要注意它这个不是分式， pi 的 话是一个数，它不是一个字母 啊。这位同学肯定是看这个 a， a 分 之 a 平方呢，他认为是一个整式，因为化解完了以后呢，他是，他就是 a， a 是 一个整式，对吧？但实际上面呢，这里是不对的，需要特别特别注意。 那我们来看一下，下面呢，给的是这个书上的原话， 就是这个 a b 呢，它表示两个整式，并且呢， a 当中呢？呃， b 中呢，还有这个字母，那么我们就说呢，这个 b 分 之 a 叫做分式，然后 a 是 这个分子， b 是 分母，同时呢，这个 b 还不能等于零，对吧？ b 还不能等于零。呃，其实这里面呢， 看这个定义的话，这个解这个问题呢，还是可能会会有一些这个想不明白的地方。这里面需要注意的就是 我们所说的这个分式呢，一定是他原来的式子是什么样的，而不是说他化解以后，对吧？你比如说这个 x 加二，其实跟这个一样的 x 加二分之 x 加二括号的平方啊，他是不是分式呢啊？他是的，他化简以后他就不是了， 化简以后他是 x 分 之二啊。这里一定就是要注意的是，原来他是什么样子，你只看他原来的，不用看他化简以后是什么样的。如果他原来 这个原来的这个式子里面的分母含有字母的话，那他就是分式，对吧？不要把它化简，化简以后的话，这个就错了啊。然后呢再多说两句，分式的话， 在中考里面分式这边常常会出现，比如说这个，我在这里面给了两个题，第一个呢是这个化简求值，还有分式的这个化简求值，这个是二零二五年 宿迁式中考题第二十题，然后呢这个十四题是二零二四年徐州的， 徐州的这个中考题，他是这个是以填空题的形式出现的，如果是填空题呢，这个就是三分。然后呢这个在二十题里面呢？ 呃，这就是八分左右，还有可能考察的呢，就是这个分式方程，其实就像十四题，这一个十四题，这个他也可以放在这个中考试卷的第二十题，二十一题左右 去考察啊，基本上面呢，考到这个这一部分内容呢，都是属于送分的题目啊。需要强调的一点呢，就是解分式方程的时候一定要检验 检验，我们在初一的时候学这个一元一次方程的时候，这个解完就可以了，对吧？ 啊？如果说你想检验你的这个解是不是对的，那可以把这个所得到的 x 的 值带到里面去检验一下左右两边等不等啊？这个就是你自我检验， 你解的对不对，对吧？但是呢，这个分式方程他的检验呢，一定要在这个你解完解以后必须要写检验的。检验什么呢？比如说这个 x 你 解出来等于零， 假设这个 x 零解出来等于零，你要检验一下 x 等于零的时候，这 x 加上一和二 x， 它得不等于零，对吧？如果它等于零的话，它就不对了，因为 这个 x 加一和二 x， 它是在这个分母上面，分母是不能为零的，你看这在这个分式的定义这里面，它专门的强调这个分母它不能为零啊，就有一个检验在里面啊，一定要抓住这一点 啊，考到中考的话，考到这一题呢，这个对于中等级片上同学来说呢，基本是等于送分的啊，如果是这个平时复习的比较好的，比较到位的，基本不会出现什么太大的问题，但是 如果说你平时在这一部分训练的不够的啊，一定要这个多多注意啊，把书上这些原题啊， 这个立体啊，给它吃透，一定一定注意解出来，一定解出来以后一定要去检验，好吧啊，这就是今天的分享。

每天一道易错题，今天我们学习八年级下册，其中备考的一道填空题的压轴题， 给了一个菱形， a、 b、 c、 d 分 别以这个 c、 d 为圆心呢，大于二分之一， c、 d 的 长为半径作弧，两弧分别交于 e 和 f 连接 ef。 同时呢，这个 e、 f 呢，恰好经过点 a 与 c、 d 呢，交于点 m， 把 b、 m 再连起来，给了四个结论，问你哪一个是对的？首先呢，第一句话，这个以 c、 d 为圆心呐，这句话 第一个要清楚呢，这句话表示的意思呢？它实际上面这个是做了 c、 d 的 中垂线， c、 d 的 中垂线。既然是中垂线的话，我们就能得到 a m 是 垂直于 c、 d 的， 同时呢，这个 c m 等于 d m， 对 吧？那如果把 a、 c 呢连起来，那 a、 c 呢，也等于 ad， ac 等于 ad。 第二个呢，这是一个菱形 菱形有什么特点呢？是不是四个边相等呢？也就是 ad 等于 cd， ad 等于 cd， 那 cd 又等于什么呢？是不是等于两倍的 dm 对 吧？所以 ad 呢， 跟 dm 的 关系呢？就是二比一的关系，两倍好。第三个问题呢， 我们看到直角三角形的斜边是一条直角边的两倍呢，天然的会想到这个直角边所对的这个锐角，也就是 标一下角，一角一是等于三十度的。呃，这里要说一下，如果是在解答题里面遇到直角三角形斜边呢，等于一条直角边的两倍，那这一条 直角边所对的这个角是三十度，这个不能直接用，需要证明一下，因为我们书上只有三十度，在直角三角形里面呢，三十度角所对的直角边等于斜边的一半，但是倒过来的这个逆的理呢，书上是没有的啊，所以这里要注意一下。 好，那这个就是三十度，三十度角 d 呢，就是六十度。好，下面我们来看。呃，几个选项。第一个呢，角 abc 等于六十度，这个对的，因为这个角 abc 呢，是 等于角 d 的， 等于六十度，所以这个第一个是对的。看第二题，第二题说 a b 等于二， b m 呢，等于这个根号七， 我们把这个标一下， a b 等于二，求 b m 求 b m 的 话，我们需要把这个 b m 放到直角三角形里面， 就是这个直角三角形 a b m 里面啊，这个角 b a m 等于九十度，对吧？好，那我只要把 a m 求出来就行了，对不对？那下面我们就要看这个，因为 ab 是 二， 那谁还等于二，是不是 a d 也是二， a d 也是二，那 dm 呢？ dm 就 等于一，那 dm 等于一的话， am 是 不是就是根号三？好， am 就是 根号三，下面看 bm， 它就等于二的平方，加上根号三的平方，结果呢，就是根号七，所以呢，这个第二题也是对的，看第三个，第三个的话，我们把这个 第三个呢说 bc 等于根号三倍 c m， b c 等于根号三倍 c m， 我 们看这对不对？这 b c 跟 c m 呢，在这是一个钝钝角三角形，这样显然是没办法处理的，我们把这个 b c 给它 转化一下， b c 等于 ad， 那 ad 等于根号三倍 c m 呢？我们把它转化为 dm， 因为 dm 等于 dm， 是 吧？ 这里面 c m 等于 dm， 在 这里面进行转化。呃，那 a d 跟 dm 什么关系？是不是它不是二倍的关系啊？不是根号三倍关系，它是二倍关系，是吧？所以这个第三个它不对，应该是这里应该是二才对， 是吧？好看。第四个说这个三角形 a、 d、 m 呢，等于三角形 a、 b、 m 的 一半，我们来看对不对啊？这个如果说你能直接看出来也行，不能看出来，那也就是这个三角形 a、 d、 m 啊， 比上三角形 a、 b、 m 是 不是等于二分之一，对不对？是吧？我们来看看到底是不是二分之一啊？ a、 d、 m 是 二分之一乘以 am 乘以 dm， a、 b、 m 呢，二分之一乘以 am 和 ab 啊，二分之一跟二分之一约了， am 跟 am 约了，那就剩 dm 比上 ab 了，那 dm 比上 ab 是 不是二分之一是二分之一，是吧？所以呢，这个第四题呢，它是也对的，所以这一题的话，应该选一二 四三个答案。呃，这个题呢，这位同学他没有写啊，这位同学平时一百五十分能考一百二啊，很多同学呢，在 这个百分之八十得分率的同学呢，基本上面都会出现在选择题啊，填空题的压轴题啊，都不会去写。而当然选择题他可能会随便选一个答案，不去深入的思考，对题目呢，进行这个抽丝剥茧，在最后一题， 最后一题或者是两题呢，这个大体啊，这个得分率也是比较低的，平时作业呢，也能看出来很多题，很多同学，这个， 呃，平时写作业的时候大题都不写啊，这个是需要特别注意的啊，你只要对这种深入的稍微难一些的题目进行深入的研究呢，在这个 正是考试的时候呢，才能这个取得高分啊，都要注意了。好，今天的分享就到这里。

家里有江苏八年级的娃，不要错过这一道正方形叠加翻折的压轴题。这道题来自于我们泰州二附八下七中考的最后一道压轴题，建议晚上给家里的娃保存打印。 那么这道题的第一问的话，对于我们中等娃来说应该是问题不大，但是第二第三问的话，恐怕百分之九十以上的同学是不太容易下手的。为什么呢？因为这道题包含四大考点， 如果你能够掌握我的四大考点，那么这道题我们中等娃就可以秒懂秒杀了。 如果平时在做压轴题呢，没有思路，没有方法，娃呢又肯学？可以，首先呢，来加入我的预习方法课，需要了解的话回复一个需要。那么这道题到底需要哪四大考点呢？我们现在把核心条件问题看一下， 有一个正方形，然后的话，将正方形沿着 m 这样做了一个折叠啊， d 的 对应点， d 撇呢，恰好落在 b、 c 上啊， a 的 对应点是一个 a 撇， a 撇 d 撇与我们 ab 呢，交于一个一点。 好。第一问呢，他说第一撇点是线段 b c 的 中点的时候，求的是 c、 n 的 一个长度啊，怎么做呢？非常简单啊，我们可以设这个边怎么样为一个 a， 那 这个边怎么样？就是一个 a， 这是一个三，这是一个六减 a。 接下来我们怎么样用一个勾股定力？在 a、 d 撇 c 中用勾股定力，很快， c n 怎么样搞定？那么 m n 怎么来求呢？ m n 的 话，最快的求法应该是要想到我们的什么十字架全等， 也就是连接 d、 d 撇，再过我们的 m 点呢，画一个横平 哦，垂直于我们 c、 d 呢，有一个 h 点，如你所见啊， m、 h、 n 呢？与我们三角形 d、 c、 d 撇呢？是全等的， 所以 m、 a 怎么样就是我们的 d、 d 撇啊。 d、 d 撇怎么算？太简单了， d 撇 c 是 三吗？ c、 d 是 六吗？一比二比根号五吗？多少三根号 啊？所以这个第一问的话，怎么样？一个字非常的好拿分，但是你得掌握我们的十字架全等模型以及我们的勾股定律的运用。好。第二问呢，我们探求的是 a、 e、 d 撇和 d 撇 c 之间的数量关系，并用等式表示。那看到这样的题目怎么样有三条线段的数量关系，有没有想到什么？一般会有两种情况，一， 两个短边的和等于长边。二，两个短边的平方和等于长边的平方。那么这道题我们怎么做呢？ 我们优先怎么样截长补短呀？我们 e、 d 也是一个长边嘛，对不对？我们可以怎么样？哎，先过地点向他怎么样做一个怎么样垂直哦，就一个怎么样 h。 接下来如何来说明我们 a 加上 d 撇 c 就 等于我们这样的一个 e、 d 撇呢？哦，这是一个垂直，这怎么样也是一个垂直，这又是一个垂直哦，我们如果把 e、 d 把它怎么样连一下？ 把这个 d、 d 撇怎么样把它连一下哦，怎么样？我们只要证明怎么样一和二怎么样全等的话，我们第二问不就搞定了吗？ 那么一和二全等，三和四全等的核心条件是什么呢？那就是我们这个 d、 h 要与我们这个 d、 a 以及这个 d、 c 怎么样相等， 所以只要有这个条件出现的话，我们一和二、三和四一定全等，全等之后的话呢，我们一 d 撇的话，一定可以转化为 a 一 加上 d 撇 c， 那么 d h 到底等不等于我们这个 a、 d 呢？又怎么来挖掘呢？啊？非常简单啊，根据我们翻折的对称性，我们只需要将我们这个 d 撇点与这个点怎么样连接并延长？ 假设与我们 a、 d 的 话，交友的是一个 h 撇，那么我们这个 d 撇、 h 撇应该是与我们这个 d、 h 呢是相等的。但是我们怎么样需要做一个证明， 因为我们 m n 的 话是垂直平分的地撇，所以这个角跟这个角是相等的，这个角与这个角呢，也是相等的， 那么这个角跟这个角也是相等的。 d、 d 撇是公共边，所以你应该会推出我们的 d、 d 撇、 h 撇与我们三角形 d 撇、 d、 h 撇呢，是全等的呀，于是我们这个 d 撇、 h 撇就等于我们的 d、 h 撇的话，就垂直于我们的 d、 a， 因为这是一个九十，所以这个角怎么样也是九十 呀。哦，所以此时我们 d 撇、 h 撇的话，不就是我们 c、 d 吗？不就是六吗？ 所以我们 d、 h 就是 一个六六。从而怎么样，我们可以推出一是全等于二的，我们三怎么样全等于我们四 的。好，一旦全整之后，我们就能推出我们一 d 撇是等于 e h， e h 就 等于 e a 加上 h d 撇 h d 撇就是 d 撇 c 啊，我们第二位不就搞定了？所以第二位这个考点是什么？是我们轴对称性，就是轴对称的性子。 而刚刚第一位我们用到了哪两个考点啊？用到了我们的十字架全等和勾股定力啊，我们不就结束了吗？讲到现在不就是三个考点吗？ 好，第三问我们怎么来处理呢啊？在一的条件之下，如图所示，连接 a， a 撇好，咱们怎么样连一下再把这个第一呢？怎么样连一下 啊？求什么求，我们 a、 d， e、 a 撇的一个周长，对吧？好的，那么在一的条件之下，我们就算一下 d、 n 怎么样啊？是一个四分之十五， c， n 的 话是一个四分之九，这是一个三，这也是一个三啊，相似不能用啊，因为我们这初二嘛，对不对？ 好，那这个边是一个六，对吧？所以我们把这样的一个怎么样？四边形的周长，我们怎么样先把它表示出来呀？哦， a， d 是 一个六呀， d 呢？不知道哎， e， a 撇呢？也不知道， a， a 撇呢？依然不知道。接下来我们怎么样分别把这三个边把它怎么样算一下不就搞定了吗？这个时候不要忘记啊，我们第二问中的结论是非常关键的呀，我们可以设 怎么样啊？ a 一 怎么样？是一个 x， 那 a 一 的话怎么样？是一个？是一个 x 的 话，那么 e、 d 撇呢？ x 加三， e b 呢？六减 x， 接下来怎么样？在我们一 b、 d 撇之中，用一个勾股定律， 那么我们可以算出来， x 呢，就是一个二，所以此时我们这个 e、 d 撇呢，就是一个五五三， e、 b 呢？四， x 呢，是一个二，对吧？ a 撇一呢？六减五一， 所以 a 撇一呢，是一个一，怎么怎么样就算出来了呀？ x 是 一个二， a d 是 一个六，所以 d 呢？一比三比根号十，所以我们 d 的 话是二，根号十。 到此的话，我们这个周长是多少呢？是七加二，根号十加 a， a 撇就结束了， 最后呢还差一个这个 a 撇，对吧？好， a 撇怎么能算呢？各位不要忘记， 我们在第一文中算出了 m a， 并且我们是怎么样利用了这样的一个十字架的，一个怎么样全等模型啊？这个边就是一个三，因为它是与我们 d 撇 c 怎么样是相等的， 那么 d s 呢，就是一个四分之三，所以 am 呢，就是一个四分之三， apm 呢，也是一个四分之三， 我们 m 一 呢就是四分之五。接下来我们应该在 a a 撇一中，在这样的一个小的一个怎么样三角形中，我们应该是要去解这个三角形， 我们可以把它分离出来，对不对啊？一对吧，这是一个 m， 这多少啊？四分之三，这多少啊？四分之三，这个是一个一，这是一个四分之五，这是一个九十度。接下来我们考点四闪亮登场， 我们要求值的话，一般是离不开我们的直角三角形，也离不开我们的割股定律和等积法， 所以到此时我们观察一下，一十分之三，十分之三，十分之九十五。如何求 a 撇 a 呢？非常简单啊，我们可以过 a 撇做一个垂直， 把 a 撇 h 算出来，把 h m 算出来，最后勾股定律算出 a， a 撇的长度不就搞定了吗？ 那么接下来这个 a 比 h 怎么来算呢？我们用一个怎么样等级法，一乘四分之三，除以一个四分之五，那就是一个五分之三，接下来做不定，你把 h m 算出来， h m 多少呢？二十分之九，那么 h a 呢，就是五分之六， 好，一比二比刚好五，所以 a 比 a 呢，应该是五， 五分之三根号五，所以答案是七加二根号十加五分之三根号五。 这道题我们就讲完了呀！最后我们总结一下，考点一，就是我们正方形中的十字架全等形。考点二就是我们勾股钉里翻折必有个股钉 啊。考点三，截长补短，证明三线短的数量关系。考点四，利用三线的数量关系，射远表示用勾股定你。最后解三角形 a p e a， 从而解决 问题。难度是有点难的，如果遇到亚洲题，没有思路，没有方法，娃呢，又肯学， 可以暑期参加我的预习加方法课。需要了解的回复一个，需要我把资料发给你看一下，祝娃天天好运，苏柯提优找大侠。

家里有江苏八年级的娃，不要错过这一道胡不归的线段和最小值的问题。这是一道拉分题，一般会出现在我们考试的填空题的最后一题，建议晚上给家里的娃保存打印，一定要练一下这道题，百分之九十五的娃是无法下手的， 为什么呢？因为这道题包含一个数学思想，以及两大核心考点，掌握我这一个思想。两大核心考点，我们中等娃也可以秒懂，也可以一招秒杀。如果平时做题没有思路，没有方法，娃又肯学， 那么听懂这道题肯定还是不够的。可以把我这一份包含五十个考点加一百零八道好题的训练拿去练习，形成思维，掌握方法。那么这道题到底需要哪一个数学思想，以及哪两个核心的考点？我们先把核心条件问题 来看一下，有一个矩形， a、 b、 c， d， a b 的 长度是一个四对角线，交一点 o 角， a、 o， b 是 一个六十度，所以 a、 o、 b、 o、 c、 d 的 话就是在边三角形。 不仅如此，我们这个角应该就是一个三十。那么三十度你想到了什么呢？请在评论区打出来。是不是要想到三十度所对的直角边是斜边的一半？好，我们继续看。 弱点， p 是 b c 边上的一个动点，连接 d p 结束。求什么？求 d p 加上二分之一 b p 的 最小值。 那显然看到这种带系数的二分之一，二分之根号二的这种问题怎么办呢？肯定是要化系数为一，也就是我们可以怎么样构造二分之一的 b p， 也就是我们需要的第一个思想，叫什么？叫转化思想。 那如何对我们二分之一的 b p 进行等量代换？我们可以过这个 p， 这个点向 b d 做一条垂线，为什么？因为你做出来，比如说我们做了一个怎么样 ph 与它垂直，那么我们 ph 的 话，不就是我们二分之一的 b p 吗？此时我们 d p 加上二分之一的 b p， 就 转成了 d p 加上 p h， 这是什么题型？这又是我们的 将军印马，所以对于系数进行转化，对于提前进行转化，显然需要我们的数学的转化思想。那么接下来我们就要研究 d p 加 p h 最小的值图怎么画，以及如何来求呢？那么太简单了，接下来就是一个将军印马的题图，谁不会画呢？ 我们可以过地点做 c p 的 对称点，再连接地撇 h， 那么当我们底撇 p h 三点共线的时候， 那不就是我们的最小值了吗？所以 p 在 哪里在哪里的时候，共线显然是在这里的时候，所以 h 点应该在这个位置。最后我们就是怎么样要来求 d 撇 h 的 值？考点二就是怎么样求值，求值，老规矩，肯定是要找等量关系，是等级法还是勾股定，还是你要间隙法来做，实际上都可以。当然我们这边怎么样，只要抓住这个角 是一个六十度，那么这个角就是一个三十度，这是几啊四，几啊四， 那么 d h 就是 一个四，此时 h u 是 重合的 d 撇 h， 我 们抓住我们三十度所在的直角，三角形的三边是一比根号三比二。 当然你说我老师我要怎么样个固定来算一下，当然也是怎么样没有问题，可能会慢一点，用我们这个公式怎么样？四根号三怎么样搞定？结束 好了，这道题我们就说到这里，最后我们总结一下，那么这道题看上去他是一个胡不归的最小值问题。那么首先我们怎么样要做一个垂直？对我们二分之一的 b p 做一个等量代换， 从而把胡不归的锥子转成将军硬马的锥子。那接下来我们怎么样做一个图图做完之后就涉及到我们的考点要求值，显然用的是割股定律。 好，这道题我们就说到这里，你和孩子听懂了吗？听懂可以把我整理的五十个考点和一百零八道好题拿去打印巩固，祝我天天好运！

今天给八年级学生演示一下初二最后四十天要努力到什么程度，期末才能考到六百九十分以上，没有计划的直接抄。假如你从五月十一开始努力，跟着学姐这样学，带你冲进年级前三。一抓语文，背必考的四十篇古诗文和四大名著重要问答题，考试反反复复就考这些。二 抓数学，数学想要考高分，必须狠抓几何题，模型分值占一半，吃透十四种辅助线做法，再来攻克压轴题，数学成绩轻松逆袭。三抓英语背完型，填空记忆口诀 一定要背，背下语法不丢分。四抓物理，吃透电学九十四个必考点和历学四十道简答题，逆袭班级前三。以上均有电子版留幺幺幺可分享！

今天呢，给大家分享一道反比函数 k 的 几和 e 的 相关题型。反比函数 k 的 几和 e 呢？是反比函数这一这一张的一个重难点内容，也是中考试卷当中的一个高频考点。 那什么是反比函数 k 的 几和 e 啊？反比函数 k 的 几和 e 呢？就是在反比函数图像上任取一点啊，比如这里边一个反比函数， 它的解析式呢，是 y 等于 x 和 k， 嗯，它在第一项下的图像是如图所示。然后呢，我们在这个反比函数图像上任取一点 p， p 点坐标呢， x 零对 y 零，然后呢过 p 点分别做 x 轴的两条垂线段，垂足呢，分别是 m 和 n， 那 这两条垂线段和两条坐标轴所围成的这个矩形的面积就等于 k 的 绝对值， 那相应的三角形的面积呢，就等于二分之一个 k 的 绝对值。这是反比还是 k 的 几个 e？ 下面呢，我们来看怎么用这个反比还是 k 的 几个 e 来解决问题。 这道题呢，是二零二四年江苏宿迁的一道中考题，中考真题啊，是选择题的第八题。嗯， 题目呢，点 a 呢，是在这个反比函数 y 一 等于 x 的 k 上， x 大 零，就图像在第一项线，然后连接 aob， 延长它的延长线呢，交另外一个反比函数图像 y 二等于四 x 的 k 与点 b， 然后呢点 c 呢，是 x 轴上的一点，然后呢， i o 呢，等于 i c， 而且呢是 i o 等于 i c 连接 b c 三角形 a， b， c 的 面积是六，让我们求开的值是多少 啊？面积是不是和反对反比还是函数来说？这几道面积的问题一般都和 k 的 几何意义是有关系，那我们这道题的思路呢，既然给出三角形 abc 的 面积等于六，而三角形 abc 呢， 它是不是等于 s 三角形 aoc 加 s 三角形 boc， 也就是六呢？等于 s 三角形 a o c， 而三角形 a、 o、 c 的 面积等于多少？根据反比还是 k 的 几和 e， 我 们过 a 点做 x 的 垂线段，垂足呢？是 m， 这个三角形的面积呢，是不是就等于二分之一个 k 的 绝对值， 而 o i 等于 i c， 那 三角形 o i m 和三角形 i c m 这两个面积是不相等，所以 s 三角形 a、 o， c 的 面积呢，就等于二倍的二分之一 k 的 绝对值。 那如果我们把三角形 b、 o、 c 的 面积也用 k 表示出来，这样我们是不是就能得到关于 k 的 一个等式，从而把 k 求出来？ 那这就是我们的大概思路。那下来的问题就是，我们需要用 k 把三角形 b、 o、 c 的 面积给它表示出来，而三角形 b、 o、 c， 它和 k 的 绝对值是没有任何意义的啊，是没有任何关联的， 那这个时候怎么办啊？我们可以用这样的方法去解决问题啊，也就是三角形 b、 o、 c 和三角形 i o c， 这这两个三角形它是同底，我们把 o c 看成两个三角形的底，那这两个三角形是同底 同底的话，如果我们找出两个三角形的高之间的比例关系，那对应的这两个三角形面积之间的关系是不就知道了？ 而三角形 a、 o、 c 的 面积等于 k， 我 们找出三角形 a、 o、 c 和三角形 b、 o、 c 之间的面积关系，三角形 b、 o、 c 的 面积是不是就可以用 k 表示出来？这样我们的问题是不是就解决了 啊？也就是我们过 a 点做 x 轴， x 的 垂线垂足呢是 m， 过 b 点呢？做 x 轴的垂线垂足是 n， 这样我们会得到两个直角三角形， 那这两个直角三角形的面积比呢？ s 三角形 a、 o、 m 比上一个 s 三角形 b、 o、 n， 这两个三角形的面积比是不就等于二分之一个 k 的 绝对值？再比上一个二分之一个 四分之 k 的，是不就等于四比一？ 那我们发现这两个三角形的面积比是四比一，而这两个三角形明显它是相似三角形面积比是四比一，那对应的它们的相似比，也就是 i m 比上一个 b n 一定是二比一， 而 i m 和 b n 分 别是三角形 a、 o、 c 和三角形 b、 o、 c 的 o、 c 边的高线 有两条高线是二比一，而且这两个三角形是同底，所以 s 三角形 a、 o、 c 比上一个 s 三角形 b、 o、 c， 这两个三角形的面积比是不也等于二比一啊？ 而三角形 a、 o、 c 的 面积是 k， 所以 s 三角形 b、 o、 c 的 面积，它是不就等于二分之一个 k， 这样的话，也就是 k 加二分之一个 k 就 等于六，我们就记得 k 一定是等于四， 这个呢就是。

初二数学的分水岭到底难住了多少在假努力的同学？几何证明、依次函数、全等三角形，这些新增的硬骨头是不是让你做题做到崩溃？考试一看就会，一做就废？别着急，我熬了整整三个通宵，把初二数学稳拿高分的底层逻辑 拍干净了。十五个必考高频模型，三张超详细思维导图，专门对付辅助线，不会添函数图像看不懂，动点问题永远漏解。从听懂到满分， 你只差这十五个核心武器不用题海战术，不搞花里胡哨，每张思维导图都配了一看就能懂的母题，便是让你真正湿透一个模型，掌握一类题型，别再让分水岭成为你的滑铁，如今晚就开始照着导图走一遍，下次提三十分的就是你了！