八年级下册数学一次函数试卷江西专版

八下数学最难的二十二道必考压轴题，全部练会，稳进班级前三！八下数学依次函数综合题二十二道第一 题答案第三题答案 第四题完整版分享！

来，各位初二同学，一函数呢，是初二下半学期的一个难点，那我这里呢，整理了一函数的十个必考点，这些题目呢，很有可能就是你本次期末考试的原题。那第一个必考点就是函数的概念，第二个函数自变量的取值范围。 第三个一函数的定义，第四个一函数图像与系数的关系。第五个一函数的图像与坐标轴的焦点及面积问题。第六个一函数的平移。第七个一函数的增减性。第八个一函数的解析式。 第九个一函数的实际应用。第十个一函数的图像问题。那这些题目呢，全部都有详细的答案解析，有需要的家长在粉丝群回复一函数拿去练习。

八年级下册数学专项训练一次函数全书五十二页，聚焦八年级下册函数与一次函数核心重难点，梳理了十七个高频知识点、二十个必会提分点搭配五个强化专项练， 从函数基础、一次函数定义、性质、不等式与一次函数的关联，到实际问题与一次函数层层拆解考点配套，针对性常考题型搭配，精细讲解， 专项练习与综合练习梯度分明。课后附参考答案与解析，帮学生夯实基础，突破薄弱点，高效掌握一次函数知识。

八下数学最难的一次函数全部吃透逆袭班级前三八年级下册数学一次函数必考知识点一、一次函数的概念与图像二一次函数的斜率与截距三、两点确定斜率四一次函数的最值问题五一次函数的定点问题六，一次函数图像的平移七、一次函数图像的翻折八、一次函数交点问题 九一函数函数解析式求解问题十一数形结合求等式十二用分段函数图像研究最值的最值以上应用题吧。

八下数学最难的一次函数，七大题型全部吃透，逆袭班级前三依次函数最值问题类型一，线段和列一已知如图， 类型二，多条线段和类型三，线段叉 类型四，定朝类型五，胡不归 类型六，一定两动线段和完整版分享！

好，我们再来看依次函数概念的复习巩固。先看第一题，问我们下列函数当中，哪些是依次函数，哪些又是正比例函数？ 那这里你要知道，正比例函数是形容 y 等于 k， x 的 k 不 等于零，对不对？依次函数呢，是 y 等于 k， x 加 b 的 k 也不等于零，对吧？好，那么这个时候就看下面这几个式子当中， 他们 x 的 指数是否都是一，并且是否都满足胚不等于零就可以了，对吧？这里呢，正比例函数是特殊的一次函数，所以是正比例函数的话，他一定也是一次函数。我们先来判断第一个， 第一个是 y 等于负的零点二， x 对 不对？这里对应的是什么呢？这里对应的就是它的 k 是 等于负零点二的，它没有等于零吧，对不对？并且呢，它有没有这个 b 值啊？没有这个 b 值，所以它是正比例函数啊，所以我们就说是 正比例函数， 那同时呢，它也是一次函数，因为正比的函数就是特殊的一次函数，对吧？好，再看第二个，第二个我们要怎么样？先进行化简， 把它化简，负三去乘这个框就等于负三， x 减三，那么这里对应的呢，就是前面这个 y 等于 k， x 加 b 对 应的也是负三，这里对应的就是 k 等于负三，它这里的 b 也等于负三，是不是符合第一种形式啊？所以呢，它是不是正比例函数呢？它不是，它有 b 值，对不对？所以它不是 这个正比例函数，但是呢，它是什么？它是依次函数就 ok 了。再看第三个，第三个是 s 等于 pi r 平方，这个是面积，对不对？ 这里其实不容易看出来，因为你不知道哪个是 s 啊，但是呢，你分析一下你就知道了，这个半径呢，是会发生变化的啊，而这个派呢，是一个定值，所以呢，这个派就是 k 值，所以 k 就 等于派啊。而这里的 r 的 平方，它对应的是什么呢？如果我们把它写成 y 和 x 的 形式，你可以理解为 y 等于太 x 的 平方，这个 x 它是一次吗？它是不是一次，对不对？这里的自变量 r 为二次，这里写一下自变量 r 的 平方是二次的，它不是一次的，对不对？所以它就不是一次函数，那也不是正比例函数，所以我们就说 它这个不是正比例函数，怎么样也不是一次函数。再看这个，把它化简一下，可以把它写成二分之一 x， 好了，那这里呢，这个 k 就 对应的呢，是二分之一了，对不对？好，这个 k 对 应的就是二分之一，好，那么这个呢？没有尾巴，没有这个 b 值，所以它是正比例函数啊，所以它既是正比例函数，也是依次函数，所以它这里 是正比例函数，也是依次函数，就 ok 了。再看第二题， 用函数解析式表示下列问题当中的 y 与 x 的 关系。先看第一个，一个长方体的长为两厘米，宽为一点五厘米， 高为 x 厘米，它的体积是 y 立方厘米，那么这里就要让我们找到这个 y， 也就是体积和高的关系。那我们知道长方体的体积公式是什么？是长层宽层高，对不对？长方体的体积 等于长乘宽乘高，对吧？那么对应呢，这个体积 y 就 等于它的长二乘上的宽一点五，再乘上它的高 x， 对 吧？好，那么 y 就 等于三 x 就 算出来了啊，当然了，这个高必须要怎么样？大于零，这个 x 必须要大于零， 为什么呀？你如果高小于零或者是负数是负数，那肯定是不可能的，对不对？那如果说是零的话，那么会怎么样？他就没有长体积了，对不对？所以呢，他就不满足长方体这个要求，所以如果是长方体，他的高一定必须是正数，对吧？好， 再看第二个，某水箱里面有水，十升，以零点五升每分钟的速度往外开始放水， 放水的时间为 x 分 钟，问我们剩余水量 y 是 多少升，对吧？好，那么这里呢，它的关系也比较好找，就是水箱里面剩余的水量等于原有的水量减去放出去的水，对吧？好，我们这里写一下剩余 水量，它是等于原有水量 减去放出的水量。 好，这个剩余水量呢，就是 y， 原油水量呢？是十升，那这里写了原油水量十升，对吧？好，你零点五升每分钟，那么你放水的时间是 x 分 钟，那么每分钟零点五升，那么放出去的水就是零点五， x 同时写上它的自变量取值范围，那么十升水最多能放多少分钟呢？你就用十怎么样去除以零点五十，除以零点五，等于二十分钟，对吧？ 好，我们这里写一下，十升水需要多少时间呢？需要二十分钟，怎么样？可以放完， 那么放完就没有水了，对吧？那这个计算呢，就不用写了。所以呢，我们这里 x 的 取值范围必须要怎么样呢？必须控制在二十分钟以内，要小于等于二十，同时大于等于零就 ok 了，对吧？好，当然我们这里重新再写一下， 我们把它写成 y 等于负零点五 x 加上十 x 的 取值范围小于等于二十大于等于零。 好，再看第三题，若 y 与 x 成正比例关系，并且 x 等于二的时候， y 等于八， 写出 y 关于 x 的 函数解析式，并且求出 x 为和值的时候， y 会等于负四。好，你看这里是正比例关系，对不对？ 正比例关系的话，那么我们把这个 k 当做正比例系数，那么 y 比上 x 等于 k， 那 么我们就可以把它写成 y 等于 k， x 啊，这里再写一步，因为这个比号的计算就相当于是除号的计算，我们把除以 x 移过去，就变成了乘以 x， 对 不对？好，那么这个就是正比例函数的一般式吧，对吧？好，那我们把它写出来之后，把它带进去算就可以了。 因为当 x 等于二的时候， y 等于八，所以我们这个 y 等于 k， x 就 可以写成八等于 k 乘上二，那么八就等于二 k， 那 么 k 二 k 就 等于八， k 就 等于四，对不对？好， k 等于四，所以这个函数解析式就是 y 等于四 x， 好 了，这个算出来了，我们再把这个往里面带，对吧？好，当这个 y 等于负四的时候， 这个 y 等于四， x 就 可以写成负四等于四 x， 那 么四 x 等于负四， x 等于负四，除以四， x 就 等于负负一，所以呢，当 x 等于负一的时候， y 它就等于负四了，对吧？好，那这样的话呢，咱们就回答完了再看综合运用第四题。某银行一年期的存款利率为百分之一点五，即存入的本金为 x 元， 一年到期的时候，那这个本息和为 y 元。那么首先你要知道什么叫本息和。本息和呢？就是连同本金在内，加上利息一共多少钱，就叫本息和，知道吧。啊？而利息的计算呢， 它等于本金乘上年利率，再乘以七数，乘上年利率， 再乘上七数。 好，那么我们知道了这个之后再去写，你先把利息算明白啊，它的利息等于什么呢？本金设为 x， 年利率是零啊，百分之一点五，对不对？然后再乘期数，它这几年一年是不就可以了，对吧？所以呢， 这个本息和 y 就 等于本金，本金是 x， 加上利息，这个利息呢，等于本金，也就是 x 乘上什么呢？乘上年利率百分之一点五， 再乘上什么？再乘上期数。一。好，这个是 x 啊，不要把 x 和乘号弄混了，就把 x 写大一点 乘好，那么这个 y 就 等于 x， 加上零点零一五 x， 那 么 y 就 等于一点零一五 x， 好， 这个就是它的函数解析式。 然后呢，它自变量值的范围呢？必须大于零，对吧？你存的钱不可能等于零吧，对不对？那零元还叫存钱吗？是不是？或者是你是负数的话，那就不叫存钱了，那叫借钱了，对不对？ 再看第二个，他说存入多少钱？存入一万元的时候，一年到期之后，本息和是多少？我们这里就写，当 x 等于一万的时候， 那么这个 y 等于一点零一五 x， 咱们就可以把它写成一点零一五，乘上一万，那么这个 y 就 等于一万零一百五十啊，所以他的本息和是多少钱呢？ 本息和就是一万零一百五十元就可以了。 再看拓展探索第五题，学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包六十元，张华有零花钱四百八十元， 即他用零花钱捐献的书包个数为 x 个，剩余的钱为 y 元。那么第一个叫我们求 y 关于 x 的 函数解析式， 以及自变量 x 的 取值范围。好，那么这里呢，我们可以先把它的关系写出来，对不对？好，这个剩余的钱等于什么？剩余的钱等他已经有的钱减去买书包花的钱就可以了，对吧？好，我们先写一下 剩余的钱 等于什么？等于总共有的零花钱 减去买书包的钱。 买书包六十元，怎么样？一个，那么这里有 x 个，那就是减六十 x， 剩余的钱呢？是 y， 对 吧？总零花钱呢是四百八，减去买书包的钱减去六十 x。 所以 这个解析式咱们就可以写成 y 等于负六十 x 加上四百八。然后他教我们求自变量值范围，首先要大于等于零嘛，对不对啊？ 那还有什么呢？还有你看他这么多钱最多能买几个，我们算一下他最多 能买多少个呢？你就拿他的总共的钱去除以他的单价，你会发现最多能买八个， 最多就能买八个。所以这个解析式，他这个 x 呢，就是小于等于八的，对吧？不能超过八，所以 y 等于负六十 x 加上四十八啊，四百八会得到 x 取的范围是 x 大 于等于零， 小于等于八啊，第一位就搞定了，对吧？好，第二个，若他至少留下一百八十元购买课外书，那么他最多能捐献多少个书包呢？ 那这里的是，这里的意思呢，就是让剩下的钱一定要大于等于一百八，对不对？至少要留下嘛，对不对？所以剩下的钱余下的钱要 大于等于一百八，也就是 y 要大于等于一百八，而这个 y 呢，是等于负啊，这里是负六十， x 就是负六十， x 加上四百八要大于等于一百八，然后呢，咱们把这个移过去一百八减去四百八，就会等于负三百， 然后两边同时除以负一百六啊，除以负六十就要编号 大于等于就要变成小于等于，所以呢， x 就 小于等于几个呀？五个，所以它最多能捐献五个书包，所以我们这里写 它最多能捐献 五个书包就可以了。

题目如图，在平面直角坐标系中呢，作折线， y 等于负的 x 减二的绝对值加一。 好，那我会看到这个叫什么折线？为什么呢？它不是我们常规的一次函数，因为它含绝对值，所以有绝对值，我们就要分类讨论，所以它其实是一段什么函数？答，分段函数 y 等于负的 x 减二的绝对值加一，我们要根据绝对值符号内的 数为正还是为负来进行分类讨论。如果我们的绝对值符号内是大于零的，那咱们是不是就直接去掉它就行了？所以我们要想分类讨论，是不是先让它等于零，即 x 等于二的时候，所以我们分类就分两种，一个是 x 大 于二十， 那我们的 y 就 等于负的 x 减二，直接可以去掉了，所以就是负的 x 减二，然后 括号加上一，整理一下，就是负， x 加二，然后再加一，所以就是负 x 加三喽。好，这是第一种情况，那么第二种情况就是 x 效于二的时候嘛？那咱们是不是学对值去掉，咱们是不是就是取它的相反数？ ok， 这前面是不是又有一个符号，所以你负负得正，所以就是直接是 x 减二，然后再加一喽。整理一下，是不是就是 x 减一？ 好，所以我们这两段对应的就分别是 x 减一，这个 y 等于 x 减一，这边是 y 等于负， x 加三喽，好，这是我们对应的两段。 好，接下来我们再来分析我们另外一条直线， y 等于 k， x 加二， k 且 k 大 于零， 那我们会看到这个函数又有什么特别呢？ y 等于 k， x 加二， k 我 们会看到这里 k 咱们是不是可以提出来之后就是 k 倍的 x 加二？也就是我们会看到其实这条直线呢？它是一个 过定点的直线，就是无论 k 为何值，它总过一个点，那就是什么呢？与 k 无关，让我们的 k 的 系数为零，是不是就是当 x 等于 负二的时候，我们是不是 y 等于零？所以那也就是过定点负二逗号里。 好，那所以我们说这两个图像它其实都是比较特殊的图像，一个是我们的一个分段的，对吧？叫分段函数，然后另外一个是过定点的一个直线。好，那所以我们来研究一下什么叫 过定点。哦，就是我们现在会看到此时我们这个叫 k x 加二 k， 只不过它们的 k 不 同，它其实就是一个直线数， 只要满足过这个定点，可以当成绕着这个点去旋转的问题。好，那么题目理解清楚之后，咱们来看一下我们要求的是什么？他说求这两个函数有且仅有一个焦点，那我们去求 k 的 取值范围是什么？ 好，那我们要想研究有且仅有一个焦点的时候，什么时候会取到这个焦点呢？咱们会看到 对于我们的这个折线来说，是不是现在有一个什么点？答，最高点，所以我们是不是在这个点是一个特殊情况，所以我们先把这个最高点先求出来。比如说我们这个地方标一个 a 点， 所以 a 点坐标我们现在是不是可以得到？其实就是 x 等于二的时候吗？ x 等于二，然后 y 是 不是就等于一， 所以 a 点坐标就是二，逗号一。 ok， 那 所以我们有且仅有一个焦点的时候，是不是这种情况？再一个，那就是我们这个直线还是过这个点 a 的， 然后刚好此时就是仅有一个焦点的时候？ 好，那我们此时是不是就把点 a 的 坐标带入到我们的 y 等于 k， x 加二 k 中，所以一等于二， k 加二 k， 所以 是不是就得到四 k 等于一，所以得到 k 等于四分之一， 所以这是不是第一种情况，符合条件的就是 k 等于四分之一的时候，是满足，尤其仅有一个焦点的。 好，接着我们来看第二种情况，在研究第二种情况的话，这条直线是不是就没有用了？我们研究什么呢？是不是研究我们 y 等于 k， x 加二， k 于这两段射线，然后相交，尤其仅有一个焦点的时候？ 好，那我们研究直线和射线的相交，是不是可以类比直线和直线的相交，直线和直线的相交，那咱们是不是可以去找到它的对立面？那就是平行喽？好， 对于平行来说，是不是就两直线解析式 k 相同，对应的直线就是平行？所以我们先去研究这段好， y 等于我们的 x 减一，这段射线 好，它的 k 是 多少呢？ k 是 不是等于一？所以我们是不是找到它对应的 k 等于一的直线？咱们画出来此时这两条线是不是就是平行的？ 好，那就是 x 加二。所以第二种情况，咱们研究以 k 等于一，就是 l 一， 咱们记做 好。还有一个呢，咱们还有一个条件，就是 k 大 于零，所以我们是不是找到 k 等于零， k 等于零是哪段啊？这段是不是又是 k 等于零的时候？好，那所以我们 l 二就是 k 等于零， 其次我们是不是现在来分析，分析什么呢？咱们还有一个分析的要点，就是我们的 k 等于无穷大的时候， 比如说我们这是 l 三就是 k 等于无穷大，正无穷。所以这三条直线是不是现在把我们分成了两部分，这一部分是不是就是 k 在 零和一之间的， 然后这一部分是不是就是 k 大 于一的？ ok， 那 我们看一下，在这两部分哪一部分是符合提议的？ 我们先说这部分，咱们随便去画一条，此时我们这是我们直线，这是那段射线，因为我们的射线的端点在这里，所以我们上房是不能去延长的，此时没有交点，所以不符合提议。 好，那么接下来我们研究这部分，在这一部分任意取一个点，此时我们下端是可以去延长的，是不是尤其仅有一个交点？ ok， 所以 我们是不是此时就是当 k 大 于一的时候，满足条件， 所以交题呢？咱们是不是直接就可以选出答案，咱们就选 b 选项喽。 好，那么接着我们其实还可以去分析第三种情况，其实就是哪种呢？又是属于 这段射线和我们这个直线相交的时候，那我们说了它会不会去相交呢？肯定是不会的，因为我们这个 k 线段是多少呢？它现在的 k 是 等于负一的时候，我们要求的是 k 大 于零，所以此时我们是不会有交点的。 好，那么我们同样也是可以去分析一下的，咱们是不是找到 k 等于零，然后以及等于负 e， 然后这段是不是 k 等于无穷大的时候，此时我们去研究这 两部分，它是不是都是什么 k 都是负的，所以不符合 t e。 哦，所以这道题咱们就选 b 选项。好，如果我们如果是 k 小 于零的话，咱们是不是再去进行分析就可以了。好，那所以这道题呢，咱们就选 b 选项，分两种情况，一个是指的我们这个直线和最高点相交，刚好这是有且仅有一个。另外一个就是我们的直线和左侧的这段射线相交，然后有且仅有一个交点的时候。 好，那所以这道题咱们就分两步。第一部分，根据题目中的条件，先来分析我们的函数图像， 两个图像都是特殊图像，一个叫分段函数图像，一个叫过定点的直线。 好，那接下来我们分析完了之后，第二部分，然后分析临界点，第一个就是我们的直线和最高点，然后相交，第二种情况就是我们的直线和射线相交。像我们在分析第二种情况的时候，是不是采用了一种什么方法呢？叫塑形结合法。 像这种类型题就是解决一四函数和不等式结合的话，咱们大多都会用到数形结合，就是代数和图像的综合分析问题。哦， 好嘞，那所以这道题咱们就讲完了，我们来总结一下。对于这道题，咱们有三个知识点，第一个我们叫直线过定点问题， 直线过定点就是说无论 k 为何值，直线总过一个定点，那比如说和 k 无关喽，所以像这种形式的，那咱们都是过定点的，过哪个定点呢？就是让我们 k 的 系数为零，就是 x 加 b 等于零， x 是 等于负 b 的。 ok， 那 此时 y 等于零，所以就过定点负 b， 逗号零。 好，这是我们第一个问题。第二个问题就是比如说我们求的那个 k 等于四分之一，怎么来的叫待定系数？设函数解析式，带入这个图像上的点的坐标，求解我们的参数值，然后再带回就可以得到这个函数解析式了。这是我们依次函数求解函数解析式非常重要的方法。 然后此外第三个知识点就是我们研究我们的两直线的位置关系的时候，就是平行或相交嘛，那如果两直线平行，对应的函数解析式的 k 是 相等的，如果不平行，那也就相交的时候，那就是 k 不 相同吧。好，所以这三个知识点同学们一定要记清楚喽！好，那道题你学会了吗？

这是一道中考题型，已知直线 y 等于 k， x 加 k 加一，经过两个点，那也就意味着这两个点可以带进去，分别带入就会得到两个式子，一个是 n 加三等于 km 加 k 加一， 一个是二， n 减一等于 km 加 k 再加 k 再加一，这两个式子可以连累。既然题目给了我们 k 的 取值范围， 问 n 的 情况，你看其中跟 m 有 关系吗？没关系，那我们就应该能够想到这两个方程连立以后，我们要把 m 值消掉。 怎么消呢？很简单，你看上面有个 km， 下面也有 km， 那 直接把两个方程相减就可以了。左边减左边，右边减右边，左边还剩下一个 n 减四，右边呢？ km 去掉，这两个 k 也去掉，这两个，一也去掉，只剩下一个 k。 既然零小于 k 小 于二，那也就意味着零小于 n 减四小于二，两边同时加四，四小于 n 小 于六。所以说本题正确答案是 c， n 可以 等于五。好，听懂同学给老师点个小爱心吧！

八年级下册一次喊诵专项特训，重点突破。首先以思维导图的形式，帮助学生梳理单元知识框架，搭建知识脉络。 翻过来就到了我们的知识点讲解环节，知识点划分详细，逐一解读，包括定义概念、核心考点提炼，助力学生吃透知识点。 接着就是我们的学练结合环节，给出考点指导，解析思路，分析解析过程，举一反三，巩固提升。 最后就是我们的专项练习，针对前面讲解的知识点，精选多种常见的典型例题，举一反三，强化提升。 本书五十二页，一本，纸张厚实，印刷清晰，正规出版出版，助力学生吃透一次函数相关知识点。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学一百二十四页啊，习题，二十三点二的一二三四五题啊。 第一小题，一列货车以九十千米每时的速度匀速前进，求它的行驶路程 s， 关于行驶时间 t 的 函数解析式，并画出函数图像。那么 这里边呢，你观察啊，它是路程与时间之间的管函数关系式，那么路程等于什么呀？速度乘以时间，而速度是九十，所以它是一个正比例函数啊。第一小题，那么函数关系式应该是 s 等于九十 t 啊，那取取值范围呢？你的 t 应该是大于零的啊，大于等于零，那么函数图像来，那个函数图像 如图，然后再画一个啊， 哎，不对，这是 s， 这是 t 啊，这是圆点，然后呢，他说了这个啊， t 是 大于等于零的，那你说当 t 等于零时，他应该在这，那么第二个咱取，再取一个点，是不是就能确定直线了？当 x 等于一十， y 得九十， 一十 y 得九十，它只能在第一项线里啊，它不可能为负值，所以这就是它的图像。这是第一小题，那么第二小题说函数 y 等于负五， x 的 图像经过了几项线，那么你看，它是一个正比例， k 呢，决定了它经过的象限和增减性。所以当 k 小 于零时，经过二四象限 啊，然后经过了零度几啊？零，当 x 等于零时， y 等于零，零度零与当 x 等于一时， y 得负五，那么 y 随 x 增大，而什么那个 k 小 于零时，增大而减小 啊。那么第三题是分别画出下列函数的图像，呃，这个图像咱们给他画到这里啊，因为两点就能确定一条直线嘛， 一条直线，所以咱们就不用那个在纸上了啊。小点画着， x 零，当 x 等于零时， y 等于四。 看看啊，取二点五个单位，这是一，然后一厘米代表四个格 在这，所以这条直线就是 y 等于四， x 啊，这是第一个，那么第二个 x， 嗯，这是四， x 也是咱们二点五个单位取一，然后。 哎呀妈呀，有点取巧了，好像当 x 等于零时， y 得零，当 x 等于一时， y 得五， x 等于一时， y 得五，这样的，这 当 x 等于零时， y 得一啊，取，取反了这边。这，所以两点确定一条直线， 这个就是 y 等于四， x 加一啊，这是第二个来第三个就搁这。哎呀妈呀，画不下了又。 y x 原点，当 x 等于零时， y 得一， 二点五个单位在这，当 y 等于零时。哎呀，我这个画错了，没有当 x 等于一时， y 得负三啊，对，吓死我了， 一是 y 的 负三负三是负的七点五，这 来两点确定一条直线，这就是 y 等于负四， x 加一，这是第三个，那么第四个画在这吧， y x 原点，当 x 等于零时， y 的 负一，负的二点五在这儿，然后当 x 等于正一时， y 的 负五， 正一是 y 的 负，负的二点五在这，然后两点确定一条直线，所以这个是 y 等于负四， x 减一，这是第四个啊，然后我们第四题， 第四题他说如图啊，求图中直线所对应的函数解析式，那这个呢，就应该是待定系数法 啊，他不就是让我们求函数解析式吗？从图像上来看呢，咱们知道他没过原点，那么应该是一个一次函数啊，然后经过了两个点，一个是 y 轴的零到六，一个是 x 轴的负三到零，那我们就将这两个点代入函数解析式，是不就可以来第四题解 设啊？这个一次函数解析式为， 这个 y 等于 k， x 加 b， 然后 k 不 等于零，然后我们可以说，因为图像 经过零逗六，还有一个负三逗零 啊，所以代入这个解式就是，呃， x 等于零时， b 等于六，然后 x 等于负三是负三加 b 等于零，解得 b 等于六， k 应该等于正二。所以呢，你的一次函数 解析式为， y 等于二， x 加六 啊，二 x 加六，那你看这个，当 x 等于零时， y 等于六时候就这样了，当 y 等于零时， x 等于负三，这个可以，是不是你可以检验一下啊？这是第四小题。那我们看第五 说一个一次函数的图像经过了负四度九和六到四，让我们求这个一次函数解一式，那你说这个一次函数解一式是不是也得用待定系数啊？那我们来求一下待定系数，哎呀妈，这个空好像有点小啊。 来解设，这个一次函数 解析式为， y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零啊， k 不 等于零，放大一点，然后呢，因为图像 经过负四逗九和六逗四，所以代入啊，负四， k 加九，呃，加 b 等于九， 然后六 k 加 b 等于四，然后解得 k 等于 b 等于啊，用一式减二式，二式减一式啊， 二是减一是，那就是十， k 等于负五，那 k 应该等于十 k 负二分之一，然后 b 呢？这是三，然后三负三，然后的七啊，所以 这个一次函数解析式为 啊， y 等于负二分之一， x 加七啊，这是第一问，第二问是要求我们画出这个函数图像来，咱们搁这个空里画一下啊。 x 零，那么当 x 等于零时， y 的 七 二七一十四，搁这两个小格，一小一个单位啊。然后当 y， 当 x 等于二十， x 等于二十， y 得六， x 等于二十，那就是四， 然后他得六二六一十二搁这啊，哎呦，我的妈呀，这有点画不下了，这也这样的， 这个，哎呀妈呀， x 啊。当 x 零时， y 得七，当 y 等于零时， x 等于正十四，这个焦点应该是十四，这应该是七啊， 所以这个就是函数图像。那么第三个是当 x， 当那个二，判断点二到五，是否在这函数图像上说明理由来。第三个，当 x 等于二十，你把这二带进去呗，是不是？那就是负二分之一乘以二，再加七，它等于 六啊，它等于六啊，不等于几五。所以你的二逗五不在 这个函数图像上 啊，不在这个函数图像上。

八、下期末必考的一函数的三大几何变换，分别是平移变换、对称变换和旋转变换。今天梁老师用一个视频教会你平移变换怎么做。来，咱们看题说将这个一函数的图像向右平移一个单位，再向上平移两个单位后， 所得的图像对应的解式是， y 等于 x 加三。那么求 k 等于多少， b 等于多少。 好了，各位，其实这类题目很好解决，你只要记住平移的口诀就行，就是左加右减自变量，上加下减常数项。那具体怎么做呢？我们来看，它说给这个图像向右平移一个单位， 那么向右怎么办？向右是不是要给这个自变量去减？那你看是不是给这个 k x 减一呢？ 不是。这里边的自变量是谁？这里边的自变量是 x， 所以 只给 x 减一，也就是 k 倍的 x 减一， 然后呢，它又向上平移两个单位，那向上平移上加给谁加？给常数项加，那这里边的常数项是谁？常数项是 b， 所以 给 b 加个二， 对吧？好，那我现在把它整理一下，就是 k， x 减 k 加 b 加二。好，那我把它写成这个样子，就是加 b 加二， 再减 k， 这是平移之后的解析式。那么他又说了平移后的解析式是谁？是 y 等于 x 加三。 好，他们俩都是平移后的形式，那么这两个是不是应该相等啊？相等的话，那么一次项和一次项相等，长竖项和长竖项相等，所以 k 等于多少？ k 等于一，对吧？那么 b 加二减 k 是 不是等于三？所以 b 是 多少？ b 是 二吗？ k 等于一， b 等二。那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话再把我整理的依次函数的必刷题拿去练习，轻松应对期末考。

八下数学一共有两大亚洲难点，一个是四边形这个章节，另外一个就是依次函数了，他的图像性质以及解析式需要我们记忆的东西还是非常多的，而且有非常多的技巧可以让我们去秒出答案。 那有关于一次函数这个章节呢，一共有十大题型，老师给大家分类都做了一个整理。那如果咱们的孩子遇到一次函数图像性质的题目，还辨析不清楚，答起来困难的话，一定啊，要落实掌握基础，可以把这套题目打印出来，逐个提醒，带孩子去练习。 下面呢，我们就来一起看看这道题啊，出的非常巧妙，说一次函数的图像与这个直线平行，这里蕴涵了一个非常关键的信息，也是我这个视频要着重讲解的地方。如果两条啊函数解析式函数的图像它是平移的，那他们的解析式有什么特点？ 对了，如果两直线平行，那么他们的斜率 k 一定是相等的，所以由这个平行的条件，我们就可以得到前面的 k 直接和这里的 k 相等，等于负一了。 所以原来的解析式它就变成 y， 等于负 x， 再加 b 了，它过点什么呢？它过点八二，所以我们就可以把八二代入到这个解析式当中去。求 b 的 值， 我们就有二，等于负八，再加 b 了，那 b 的 值求出来就等于十了，所以这里我们求出来解析式 y 就 等于什么呢？负 x 再加十。

好，前面我们研究了正比例函数的图像与性质，现在咱们来研究一下依次函数的图像与性质。因为正比例函数是特殊的依次函数，所以我们先研究特殊的，再研究这个一般的， 比如说这个例题二里面，它就给了两个函数，其中一个函数 y 等于负三 x， 它对应的是 y 等于 k x 的， 那么秦如这样的函数，我们把它叫做正比例函数，所以它是正比例函数。而这个呢，它对应的是一般式的依次函数，就是 y 等于 k x 加 b， 看到没有，他们这个加一就对应加 b， 所以呢，它是一个依次函数， 并且你会发现它们的 k 值都等于负三。好了，我们现在就是要比较这个正比例函数和依次函数的图像有什么区别。 那么既然要画图像，那你就描点吧，描点你就要画表格。哎，这里给我们画好了，它这里 x 取了五个值，我们分别带入这两个函数里面，把它给算出来就可以了。好，先算第一个， 把负一带到负三 x 里面，变成负三乘负一，负三乘负一等于三，所以这里写三。第二个是负三乘负零点五乘负零点五的话呢，它就会等于一点五， 零乘负三等于零，零点五乘负三，它就等于负一点五。再看下面这个，下面这个是在这个基础之上加上一个一。好，那么我们刚才已经算了负三 x 了，现在只需要加一就可以了，那你就拿三加一， 它就变成了四一点五，加一等于负零点五， 然后负三加一会等于负二，那么这样的话呢，我们就可以得到 y 等于负三， x 会过五个点，哪五个呢？这五个点，我们把这五个点分别写出来，负一三，负零点五、一点五、 零零零点五、负一点五，以及一负三。 第二个函数会过这五个点会过这五个点，我们也直接把它写出来， y 等于负三， x 加上一，它会过，负一四，负零点五，二点五， 零一零负零点五，一负二，他会这过这五个点。呐，这五个点呢，其实你把它全部画全，全部写在这里，你就可以标上去了，我得复制一下， 这个负一点四 在上面，负一四在上面，然后负零点五，二点五在这里，零一在这 零点五，负零点五在这个位置，然后一负二在这个位置。呐，把这五个点都描上去，连起来就是它的函数图像。 再看这个， 负一三在这个位置，负零点五，一点五在这个位置，零零就是圆点在这个位置，零点五，负零，负一点五在这里， 然后一负三在这里。啊，稍微有点啰嗦啊，但是呢，秒点就是这个，就是这样的， 一定要细心。描完之后，那我们就要观察他的图像特征了，对不对？好，他这里探究呢，也帮我们引导了，他说比较上面两个函数图像的相同点和不同点，填写你观察的结果。 那么这两个函数的图像形，图像的形状都是什么？哎，连起来是不是都是一条直线呢？对不对？所以形状都是直线， 并且倾斜程度。什么叫倾斜程度？比如说我们的一个坡度，对吧？你看这个坡陡不陡？那你就看它的夹角，它和水平，地面的夹角越小，它这个坡是不是就越缓啊？ 越缓，那如果这个坡度和地面的夹角越大啊，这个角越大，那么说明这个坡是不是越陡啊，对不对？好，所以它的倾斜程度你可以比较什么呢？你就可以把它当做是这条直线 与 x 轴 x 正半轴的夹角。那你看这条直线和 x 轴正半轴的夹角，一个在这里，另外一条 它的夹角在这里，你会发现这两个夹角是不是一模一样大，所以它的倾斜程度就是一样的。所以我们这里写它这个倾斜程度，你可以看什么作为参考呢？可以看这个直线 与 x 轴正半轴的夹角， x 轴正半轴的夹角， 并准确地说应该是 x 轴上方的直线， x 轴上方的直线 与 x 轴正半轴的夹角，那 x 轴上方的这条直线和 x 轴的夹角看到了吗？那就这个意思，那么这个夹角相等，那我们就说它的倾斜程度是相同的。 这个呢，到了高中啊，咱们会进一步学习。函数 y 等于负三 x， 它这个图像会经过原点，函数 y 等于负三 x 加一，它的图像与 y 轴交于哪个点？你看一下， 与 y 轴的交点是这个是零一，对不对？好，所以它的交点就是零一， 那你发现没有，它这里是不是加了一，那就是零一啊？所以呢，它这个焦点对应的 y 等于 k， x 加 b 啊，当 x 等于零的时候， y 一定会等于 b， 所以 它会横过零 b 这个点啊，过零 b 这个点，也就是说与 y 轴的焦点就是零 b， 知道吧？啊？这是一般式里面的， 即它可以看作由直线 y 等于负三 x 向上平移了一个单位而得到的。你看这条线 整体是不是相当于把这条线向上平移了一个单位，你看它每个地方是不是都是向上平移一个单位？看到没有，它的纵坐标三变成四，一点五变成二点五，零变成一，负一点五变成负零点五， 负三变成负二，所有的重坐标全部加了一，那么这个点所有点是不是就向上平移一个单位？而直线是由无数个点组成的，所以它整体就相当于是向上平移了一个单位，一个单位长度得到的。 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图像有上述关系的道理吗？哎，这个就是比较了，那怎么比较呢？你会发现， 当这个横坐标相同的时候，他的重坐标是不是始终比他大一啊？对不对？我们就可以通过这个看出这条直线就是由这条蓝色的线整体向上平移一个单位得到的啊。 我在这里也写了一下，自变量取值相同的时候，那就这个 x 的 取值相同，也就是横坐标相同的点，这个 y 等于负三， x 加一的函数值总比 y 等于负三 x 的 大一，也就是它的重坐标始终比它大一啊。这里多写了一个总字，把它擦掉， 差一，所以我们就可以把它理解为 y 等于 x 的 图像， y 等于负三， x 的 图像。向上拼一个单位长度就可以得到 y 等于负三， x 加一的图像就可以了。咱们把这段话 写在刚才的那个地方就可以了，我这里剪切过去就放在这个位置， 就在这个位置就可以了。好，最后他说联系上面的结果，考虑依次函数 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零的图像是一个什么样的形状？什么形状？哎，一条直线对不对？什么形状呢？咱们就说一条直线， 它与直线 y 等于 k x 有 什么样的关系啊？上下平移嘛，对不对？好，这里下面就有总结，它是比较一次函数 y 等于 k， x 加 b 与正比例函数 y 等于 k x 的 解析式。我们可以得出 一次函数 y 等于 k x 加 b 的 图像是由直线 y 等于 k x 平移 b 个绝对值的单位长度可以得到的。如果 b 是 大于零的，那么就向上平移， 那就加嘛，对不对？如果 b 小 于零就向下平移，那就在 k x 后面呢，去减嘛，对不对？好，所以依次函数 y 等于 k x 加 b， k 不 等于零的图像也是一条直线，我们称它为直线 y 等于 k x 加 b。 这里同时你也要 补充一点，那你看我们前面画的图像，这个 k 值是不是都等于负？三 k 值相等的时候，也就意味着这两条直线怎么样是可以通过平移得到的。那么既然是可以通过平移得到的，那么这两条直线就平行，这个是一个隐藏的 条件，知道吧？所以以后题目里面出现了谁谁谁哪两个一次函数，它是平行的，你就可以直接说它们的 k 值是相等的，明白吗？好，我在这里写一下依次函数中 非相等的情况下 图像，也就是直线可以通过平移得到，直线可以相互平移，可以平移得到， 那么因为是平移得到的，所以这些线是平行的啊，因为平移，所以呢，可以得到 线与线，直线与直线之间 是平行的， 所以我们可以得到，比如说，例如 y 一 等于 k 一， y 一 等于 k 一， x 加 b， 然后 y 二等于，这个是 b 一 啊， y 二等于 k 二， x 加 b 二，当 k 一 等于 k 二时，那么直线 y 一 就会平行，直线 y 二，当然你也可以反过来当，这里接着后面写， 当 y 一 平行 y 二的时候，我们也可以得到 k 一 等于 k 二啊，这个是可以相互转换利用的好吧？ 好， b t 三。这里叫我们画出这两个函数的图像，这两个函数都是依次函数，对吧？第一个是 y 等于二， x 减一，第二个是 y 等于负零点五， x 加一。 好，那么由于一次函数的图像都是直线，而两点就可以确定一条直线，所以我们只需要描两个点就可以了。 这个例题里面给出来的 x 取值，一个是零，一个是一，我们分别把零和一带入到第一个函数和第二个函数里面去算就可以了啊，你把零带进去，二乘零减一， 对吧？就等于零减一，等于负一，第二个把一带进去，那么就是二乘一减一，二乘一减一，就是二减一，它会等于一啊，所以 y 等于二， x 减一， 就会经过这两个点，第一个点是零负一，第二个点就是一一啊，那么这个例题里面已经把这两个点描进去了啊，一个零负一在这里，一个一一在这里，把这两个点连起来， 就是 y 等于二， x 减一。再看第二个函数，把零带进去，负零点五， x 来加上一，那么它就会等于什么？它就会等于零加一，对吧？等于一，所以它就会过零一这个点， 然后呢，把一带到里面去，那就是负零点五，乘上一，再加一，那就负零点五，加一就会等于零点五，所以这个点它就是一零点五。好了， 我们就把这两个点挂在直角坐标系里面，零一在这一零点五，在这连起来，这条直线就是 y 等于负零点五 x 加一，对吧？当然它也有其他画法，我们可以通过正比例的平移去画 它，这里就是这样说的，它说先画直线， y 等于二 x， 好， 我们现在按照它的思路，我们再画一次， y 等于二 x， 那么同样呢，让它的横坐标分别等于零和一啊。 x 等于零的时候，那么 y 就 等于二乘零等于零，所以它会过的点就是零零，然后等于一的时候， x 等于一的时候， 那么 y 就 等于二乘一等于二，所以它就会过一二这个点。好了，那么现在呢，我们把零零标出来，零零在这里，对吧？然后一二一二，假如说这个是二 一二在这里我们连起来， 好，那么这条直线呢？就是 y 等于二 x， 那 然后呢，它在平移，怎么平移呢？向下平移一个单位，是不是就和这条直线重合了，对不对？好，所以它就这么来的。那么我们画这条直线的话，就先画 y 等于负零点五 x， y 等于负零点五 x， 我 们这里 x 等于零的时候， y 就 等于负零点五，乘上零等于零，所以也会过零零。然后第二个点就是 x 等于一的时候， y 就 等于负零点五，乘上一等于负零点五， 所以它会过一负零点五一负零点五在这里。 然后还有一个是零零在这里，我们把这两条直线连一下，把这两个点连一下，那么这条直线就是 y 等于 负零点五 x， 那 你看，把这条直线向上，整体向上平移一个单位，就会得到 y 等于负零点五， x 加上一，这条直线看到了吗？好，所以它也可以这么去画。好吧，好，这个是例题三， 再看探求，这里叫我们画出函数。 y 等于 x 加一， y 等于负， x 加一， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一的图像，观察这些直线， 总结他们从左向右上升或者是下降的规律，我们先把图像画出来吧。好吧，好，先画 y 等于 x 加一，那么我们画的话，首先要瞄点，那么先求出 x 等于零的时候，这个 y 会等于几？ y 就 等于零加一等于一，所以会过零一，这个点，对吧？好， x 等于一的时候呢， 那么 y 就 会等于一加一等于二，所以会过一二这个点。好，这是这两个点，然后再画这个 y 等于负， x 加一，那这个时候 x 等于零的时候， y 就 等于负零加一，所以也会过等于一， 也会过零一，那 x 等于一的时候，这个 y 就 会等于什么？ y 就 会等于负一加一等于零，所以它会过一零这个点。好， 我们再把它们两条直线画在直角坐标系当中， x y 一 二 负一负二，这里是零二一负二，负一。好，现在就瞄点了，一个是零一， 一个是一二，在这里能把它连起来，这条直线呢？ 这条直线就是 y 等于 x 加一，好，再来画这个零一和一，零在这里。那我画一下这条直线， 就是 y 等于负 x 加一，好了，画出来了。啊，那你观察一下，你看一个 k 等于一，一个 k 等于负一， 这种情况下 k 是 等于一的，而这种情况下 k 是 等于负一的，知道吧？ k 等于一是一个正数， 它就大于零，所以我们可以得到的是，这个是 k 是 大于零的，而这个呢是负数， k 是 小于零的，哎，你会发现 k 大 于零的时候斜向上，对吧？所以是从左向右，它是上升的， 而如果 k 小 于零的话，它就是下降了，从左到右，它这个直线是下降的方向，知道吧？好，这就是总结这个规律。好，我们再来看这个图像， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一一样的， 咱们先把它算出来， y 等于二， x 加一， x 等于零的时候，这个 y 就 等于二乘零加上一就会等于一， x 等于一的时候， y 就 等于二乘一，再加一，它就等于三啊，所以我们发现这里过零一和一三这个两个点。然后再看 y 等于负二， x 加上一，它，当 x 等于零的时候， y 就 等于负二乘零加上一，它就等于一，所以过的也是零一， x 等于一的时候呢， y 就 等于负二乘上一再加一，负二加一等于负一，所以它会过一负一这两个点，那一负一这个点和这个点，再把它画在直角坐标系当中。 x y 这里是零啊， 一二三一二三三二一 负三，负二，负一，负三，负二，负一。好了，那么现在呢，我们来瞄点，这个是零一零一在这里，然后一三一三在这里 连接一下这条直线，就是 y 等于二， x 加一，再看另外一个是，也是零一 x 一 负一，在这个位置，再连接 这条直线是 y 等于负二， x 加上一，发现没有， 上面这个 k 是 等于负二的，这 k 是 小于零的， 所以 k 大 于零，它是从左到右斜向上上升去画的，然后从然后 k 小 于零的话，从左到右，它是不是下降的方向去画的，对不对？好，所以呢，它们的规律我们就找到了， 书上下面就有总结啊，咱们就不直接总结了，直接看就可以了。他说观察前面的一次函数图像，可以发现这个规律，当 k 大 于零的时候，对吧？直线 y 等于 k， x 加 b， 它从左向右是上升的，所以我们画的时候呢， 就这个画法就得斜向上画 好。然后呢，当这个 k 小 于零的时候，这个直线 y 等于 k， x 就 从左向右下降，那么我们画的时候呢，就斜 向下画。 所以一般的一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 和 b 都是常数， k 不 等于零，就具有下的下面的这个性质。当 k 大 于零的时候， y 随 x 增大而增大，对应的是斜向上滑。到了高中呢，这个叫什么呢？这个叫单调递增 啊，然后 k 小 于零的时候， y 随 x 增大而减小。到了高中，我们会说单调递减， 大家提前知道一下就可以了。好吧，啊，初中我们不会用这两句的，只不过如果你的老师是以前教过高中的，他可能会习惯性的去说单调递增或单调递减，你要知道什么意思？ 大家看练习第一个，直线 y 等于二， x 减三，与 x 轴的交点坐标是多少？首先你要知道在 x 轴上对不对， x 轴上的点，它们的重坐标是不是都等于零呢？对不对？好，重坐标 为零，也就是什么？即 y 等于零，所以我们要算它与 x 轴的交点坐标，我们就写，当 y 等于零的时候， 这个 y 等于二， x 减三，就会变成零等于二， x 减三，所以啊，就变成三等于二 x， 那 么二 x 就 等于三，除以二， x 就 等于二分之三，所以它会过二分之三零这个点， 这个点的坐标就是二分之三零，就是这么了。然后与 y 轴的交点，坐标呢？与 y 轴的交点，它的横坐标为零， 也就是什么呢？也就是 x 等于零，那我们就写，当 x 等于零的时候，这个 y 等于二， x 减三，就会变成 y 等于二乘零减三，就是 y 等于零减三， y 就 等于负三。所以我们可以得到的是什么呢？ 它这个点就是零负三，所以它在与它在 y 轴上的点就是零负三，也就是与 y 轴的交点就 ok 了啊。然后经过哪几个象限呢？那你看一下，你都已经求出来了。 与 x 轴的交点以及与 y 轴的交点，与 x 轴的交点，假如说这个是二，这个是一，那中间这个点就是二分之三零，对吧？然后与 y 轴的交点是零负三， 交换一下位置啊，不然不好画。这个点的坐标是二分之三零，然后你找到零负三，那么这里假如说这个就是负三，这个是负二，这个是负一，那这个点在这里就是零负三， 你把这两个点一连，对吧？好了，那么你就可以通过图像直接看出，怎么啊？他过哪几个象限？第一象限、第二象限，第三象限和第四象限，他是过一三四象限的，对不对？所以他会过第一、 第三以及第四象限。 然后从图像上咱们可以看得出来，它是从左到右斜向上画的，对不对？那这个叫什么法？这个叫什么？这个叫 y 随 x 增大而增大，你也可以直接判断它的 k 是 等于二的， k 大 于零，所以我们可以得到 y 随 x 增大而增大。 再看第二题，分别在同一个平面直角坐标系当中画出一和二当中各函数的图像，就是这个， 这里有三个，这里也有三个。把这三个函数图像挂在同一个直角坐标系当中，并且指出每个小题当中三个函数的图像有什么关系。好，那么由于这个比较多，我就直接去写点了。好吧，好，先看第一个， 第一个是 y 等于 x 减一，那么你让 x 等于零的时候，那么 y 就 等于负一，所以第一个是零负一，如果是等于一的话呢，那么他这个 y 就 会等于一减一等于零，所以是一零。 好，第二个是 y 等于 x， 那 这个比较简单，第一个是零零，对吧？第二个呢，就是一一 好，然后 y 等于 x 加一的话，那么等于零的时候就等于零一，等于一的时候，那就是一二，那你直接带进去算就可以了。然后我们再把它画在直角坐标系当中，放大来画， 因为这里最多是二啊，所以我的横中坐标就画的不超过二，就写到二这里就行了。这里是一，这里是二，这里是二，这里是一，这里是零，这里是负二，这里是负一， 这里是负二，这里是负一。然后把点描上去，零负一，一零零，负一一零，在这里画一下， 这条直线，就是 y 等于 x 减一。好，再看第二个是零零和一一零零在这里，一一在这里画一下 这条直线，就是 y 等于 x， 还有零一和一二零一在这，一二在这， 这里，应该是画高了一点，大概就长这样啊，这个点要粗一点。好，那么这条直线的话呢， 稍微有一点点倾斜啊，实际上这三条线呢，它都是平行的，这是 y 等于 x 加一。好，这三条直线我们就画好了，对吧？它们的图像有什么关系呢？这三条直线互相平行，对吧？好，所以我们就说它们的图像， 再看第二个，第二个，这里是 y 等于负二分之一， x 减一，我们这里也是把它的点先直接算出来，好吧，好， y 等于负二分之一， x 减一，那你如果让 x 等于零的话， y 就 等于负一， 如果让它等于一的话，那就是负二分之一乘上一再减一，那就等于负二分之三，所以这里是一负二分之三。 好，两个点够了，然后 y 等于负， x 减一，那么这里的话呢，如果等于零，他也是负一，如果等于一的话，如果等于一，那就是负一减一，那就等于 负二，然后 y 等于负二， x 减一等于零，那么是负一等于一的时候，那就是负二乘上一再减一，那就等于负三，所以是一负三。好，我们再把这三个函数也挂在同一个直角坐标系当中。 x， y， 好， 这里是一， 这里是零，然后下面呢，就是最多到负三负三，负二， 负一。好，因为他们都经过什么，都经过零负一这个点，那么就把零负一先标起来，然后一负二分之三，一负二分，这里是一负二分之三，大概在这个位置。 好，在，这里好，画一下 这条直线，就是 y 等于负二分之一， x 减一，然后再画第二个，这里是一负二 这个点连接一下， 这条直线就是 y 等于负， x 减一，然后最后还一个就是一负三，一负三，在这个位置， 这条直线就是 y 等于负二， x 减一。 我们把这个都写在一起吧，都放到这里面。好了，你看这三条直线，他是不是都经过什么？都经过零负一这个点，对不对？好，他们都经过零负一这个点，这第一问，第二问啊，分开打，他们的图像 都经过零负一这个点，并且呢，他们都经过二三四象限，对不对啊？都经过 第二、第三和第四象限， 然后呢，最后一个就是它们都是怎么样从左到右斜向下划的，所以我们都说，并且因为它们的 k 都是负数嘛，对不对？所以我们就说，并且 y 随 x 增大而减小， y 随 x 的 增大 而减小。好，那么这个题目咱们就回答完了， 再看第三题。已知一次函数 y 等于四， x 加七，当 x 大 于二的时候，利用函数的性质，将我们求出函数值 y 的 取值范围， 那么你要知道这个是一次函数，它有两种情况，一次函数里面 k 大 于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，而对应的 y 等于 k， x 加 b 当中这个 k 是 等于四的，所以它的 k 是 大于零的，对不对？ 所以我们就说 y 随 x 的 增大而增大。 好， y 随 x 增大而增大，所以这个 x 大 于二的时候，那么你把这个二带进去， y 就 会大于它，是二的时候，知道吗？好，这个 x 等于二的时候， 这个 y 就 会等于四乘二加七会等于十五啊，所以这个 x 大 于二的时候，这个 y 就 会大于十五。那你利用性质就这么去做的。那如果你做到这里感觉不太理解，那么我可以直接把这个图画给你看， 你通过图形去理解，可能会更好一点。那因为它这个点，那我们这里画两个点出来，第一个是 x 等于零的时候，这里我是另外一种做法了啊， x 等于零的时候，它的 y 是 等于七的，所以它会过零七这个点，然后 x 等于一的时候， 它的 y 会等于四加七等于十一。好，那这里我简单画一下，这里是零，好吧，这里呢是一。好，这里我就画十一吧。好，这里就是七。 ok， 大 概就画成这样，那么它就过这两个点， 过这两个点，那么他说当 x 等于二的时候，你把二带进去算，它确实是会等于十五的，对不对？ x 等于二的时候， 它的 y 就 会等于十五，所以你在画二的时候，它就会等于十五， 这个点就是二十五。你看它的 x 大 于二的时候，是不是向右往右边走，对不对？那这个图像是不是在这个方向，在这个线上的所有的点，它的 y 坐标是不是都比十五大？看到没有啊？那我这里用黑色的笔，那么大于二的时候，就在这个位置，就是这条直线。 好，那么这个 x 呢？要大于二，就在这部分，那么它的 y 呢？对应就在十五的上面，十五的上面，所以从图像上看， x 大 于二的时候， 它的 y 就 会大于十五。那你直接从图像上去看，再来一遍，哎，这是它的图像， x 大 于二的图像对不对？它对应的 x 轴 横坐标都是大于二的，那么再看这上面所有的点，你对应到在 y 轴上去，它所有点的重坐标是不是都比十五大？所以 x 大 于二的时候， y 大 于十五。当然你如果对性质足够了解，那么你这个图是不用画的，知道吧？

八年级数学今天我们来看一下这道八下依次函数求解析式的题目， 以前呢，我们从来都没有讲过求这个函数解析式的题目，今天我们就来看这两道经典的题目。首先第一题，在矩形 abcd 中，他给出了 这个点， a 的 坐标为负三到二，点 c 的 坐标为负二到零，它要求的是直线 b、 d 的 解析式为多少？ 首先呢，他问的是 b、 d 的 解析式，现在我们只知道 a、 c 的 点的位置，所以呢，我们就要根据 a、 c 求出 b、 d 这两点的位置。首先我们看 a 这个点是负三勾二，那它的横坐标呢？也就是负三， 那这样子 b 它没有在 y 轴上有对应的点，在 y 轴上对应的点为零，所以呢， b 的 坐标就是负三角零， d 点是同样的原理，先看它在 x 轴上的坐标是多少，也就是 c 的， 它和 c 是 对应的，所以它的 x 横坐标也是二。然后呢，再看它的纵坐标， 它这个地方呢，我们看一下它这个地方也是二，因为它和 a、 b 是 一样高的， d 就 等于二。逗二，现在我们已经知道了 b、 d 两个坐标，我们把它带入这个 y 等于 k， x 加 b 这个式子里，算出来就可以了。我们算出来最后的结果呢，就是等于多少，就等于 k 等于二五分之二，然后呢， b 就 等于五分之六，这么算出来，它这个解析是 y 就 等于五分之二， x 加上五分之六。 这一步代入很简单，同学们可以回去再算一下。然后呢，现在我们来看第二题，将四十五度角三角形放在坐标系中，如图， a、 b、 c。 然后呢，点 a 的 坐标是多少？负三到零点 b 的 坐标呢？是零到二，它这次求的是 bc 的 解析式为多少？你看它已经给出了 b 的 解析式，那我们就 已经给出了 b 的 坐标，那我们就只要求 c 就 可以了。然后呢，它因为它是个四十五度角的三角形，这两个角是四十五度。然后呢， a， c 就 等于 ab， 因为等角对等边， 我们看一下，他已经知道了 a 等于负三到零， b 等于零到二，那我们怎么求他这个 c 点的坐标是多少呢？ c 点的坐标我们首先看一下，我们先往下，从 c 点往下做一条垂线，这一点我们命名为 d， 让我们来观察一下，通过这条垂线呢，我们可以得到什么？ 就是得到一个新的三角形，我就写一下新的三角形就是 c， d， a 和 a， b、 o， 它是全等， 为什么全等呢？首先两个直角，这上面这个角也是相等的， 然后这个 d， a 和 bo 也是相等。得到这个两三角形相等之后，我们就可以知道 b， bo 和 d， a 是 不是值，是不是一样？ bo 的 值我们从图里就可以知道， bo 的 值就等于二，所以 d， a 也等于二，那 d 的 坐标呢，那就是负五到零。再看这个点， c 点， 我们看一下它这个刚才说了这两个点相等， a、 o 等于三，所以呢， c、 d 也等于三。现在我们已经知道 c、 e 的 横坐标是负五， 它的 y 轴上的坐标是三，所以呢， c 的 坐标就是负负三。求出来 c 的 坐标，那就是代入。呃，将这个 b， c 代入，这个 y 等于 k， x 加 b， 这个式子中带有这个式子，我们最后算出的结果呢，就是 b 等于二， k 等于负五分之一，没问题吧？然后呢，这个解析式 的是多少呢？ bc 的 解析式，它就是 y 等于负的五分之一， x 加上二。那么第二题我们也解决了，这两道题其实性质都是一样的，就是他给你两个点， 然后呢，让你求另两个点的一个解析式为多少？很多同学可能给出 ac， 就 直接把 ac 先带入这个式子，你直接算了，那这样是不对的，因为带入 ac 算出来的话，就是 ac 的 解析式，而不是它的 b、 d 的 解析式。 这道题也是一样，但这道题还还加了一个这个全等三角形进去，它这个难度变大了一点。 那这两题就讲解结束了，同学们可以整理一下笔记，谢谢大家。

大家好，今天我们来学习一次函数与线段交点的问题，做这类题型呢，他的核心思路是通过竖形结合去找临界点，具体分为以下五步。第一步，通过一次函数的 解析，是我们可以确定这个函数图像的一个运动的规律，看他是否过一个定点，或者是一组斜率为定值的平行线，画出图像，找到这个临界点看。第三步， 想像这条直线绕着我们前面所找的那个横过的那个定点旋转，或者作为平行线组平移的话，观察这条直线与线段交点的一个变化过程。 第四步，找到这条直线恰好经过线段两个端点的一个情况，将两个端点的坐标分别带入直线的解析式，解出对应的参数值。第五步，根据题目的要求，有无焦点确定范围，拿一道例题来 具体的看一下，已知一次函数 y 等于 x 减二， k 加三， k 为常数，且 k 不 等零，已知 c 负一，零 d 零五。若干函数的图像与线段 c、 d 没有公共点，这里要注意了，是没有公共点，求 k 的 取值范围。 好，根据上面我们所说的数形结合找零界点，我现在已经把这个图大概的画在了图中。好，大家可以看一下 我们这个函数解析是 y 等于 k， x 减二， k 加三。可以通过分离参数法 y 等于 k 倍的括号， x 减二 加三减 y 等于零，从而令系数为零。 x 减二等于零，三减 y 也等于零，所以可以得到 x 等于二， y 等于三，也就是这个 y 等于 x 减二， k 加三，横过定点 二三，那横过定点二三。我们再来看一下 c、 d 这条线段 是负一、零和零五组成的，这条线段二三过横过定点二三，我们可以看一下，如果现在我随意画一条这样的图像， 好，图中可以看到他这时候是与我们的 c、 d 没有交点的。那随着我们这根直线按照 越来越往我们的 c 点靠近，也就相当于进行一个顺时针的一个旋转，会有一个临界的情况，是这个点和我们 c 点的一个连线， 从而这时候会跟它有一个交点，就是我们的 c 点。那此时呢？当直线 过 c 时，我们可以把 c 的 负一零的坐标带入 y 等于 x 减二， k 加三可以得到 负 k 减二， k 加三等于零，从而负三 k 等于负三， k 就 此时等于一。那我们看一下 k 等于一的时候，正好是这条直线经过 c 点， 那我们可以发现刚开始画的第一条和第二条这两条直线，他是跟我们线段没有交点的，而且这两条直线从图片上可以看出，他的斜率是要比我们经过 c 点的这条直线三要 大的，因为很抖嘛，抖的话斜率就会很大，所以我们是 k 大 于一的情况，它是没有这个交点的。那我们接下来再来看。 好，接下来再来看当我这条直线继续旋转，通过顺时针方向旋转，一直旋转到我们跟 d 有 连线的时候，也就是这一条直线的时候，他跟这条线段也是有一个交点的，是 d， 当直线 过 d 时，我们同时把 d 的 坐标带进去，就是零 负二， k 加三等于五，所以减下来 k 是 等于负一。那我们再来看一下老师现在继续进行我们的一个顺时针的旋转，像现在图片中画出这条， 它是比我们的一线段的斜率要怎么样？要怎么样？ 当这个斜率比我们负一要小的时候，也是没有公共点的，所以我们就是在负一到一的时候他有公共点，而在什么时候没有公共点呢？ k 大于一或者 k 小 于负一十，此时他是没有公共点的。好，今天的视频就录到这里，下期视频我们再见。

今天我们来学习一次函数横过定点问题这类问题他的核心思路主要采用的是参数分离法，那如何进行参数分离呢？第一步，把函数表达式中所有含有参数的项合并在一起，把参数提出来， 整理成类似于 a 乘以参数加 b 等于零的形式。也就是像我们上学期所学到的一元一次方程 a x 加 b 等于零 的一种形式。也就是说，当这个系数无论取何值时，我们的方程有无数组解的一个形式。第二步呢，我们用系数等于零， 如果让等式对于任何参数值都要成立的话，我们必须要让参数的系数和常数项都等于零，这就转化成了一个关于 x， y 的 一个方程组，解出这个方程组得到的 x， y 就是 那个定点坐标。好，具体我们来看一下 例题已知 y 关于 x 的 一次函数， y 等于 k 减二，括号， x 加二， k 加一，无论 k 为何值时，图像横过一定点，求出这个定点的坐标。好，根据我们的核心思路，参数分离法， 我们先进行一个简单的化简，把所有含有参数 k 的 项合并在一起， y 等于减， y 等于 k， x 减二， x 加二， k 加一，然后合并一下就是 k， 把含有 k 的 项全部合并起来， k 括号， x 加二，括号，不含有 k 的 项都放到一起，就是减二， x 加一，把 y 移到右边去，减 y 等于零。那现在再来看， 那画完这样一个形式之后呢？为了让这个式子横成立， 不论 k 取何值都成立的话，我们只要保证 k 前面的系数 x 加二和后面这个常数负二， x 加一，减 y 等于零就可以了，也就是列出一个关于 x y 的 一个方程组，所以 x 加二等于零，二负二， x 加一减 y 等于零，从而解出这个方程组。接下来是 x 等于负二， y 等于五，也就是这个定点坐标就是负二五。好，这就是我们今天所要讲的横过定点的问题，今天的视频就录到这里，下期视频我们再见。

好，再来看依次函数，前面我们学了函数，现在我们学的具体一点，学依次函数，那么依次函数当中最关键的一个词就是均匀变化， 其中一个量随另外一个量均匀变化的现象在现实世界当中大量存在，那我们将学习刻画一个变量随着另一个变量均匀变化这类现象的函数，我们管它叫依次数，那具体看到问题，咱们先学它的概念， 咱们先看它的总结，再来看这个问题，你可能会更好理解一点，那它这里是这样说的，一般的形如 y 等于 k， x 加 b， k 和 b 是 常数， k 不 等于零，这样的函数呢？ 咱们叫做依次函数啊，其中 x 是 自变量，特别的，当这个 b 等于零的时候，那么 y 等于 k， x 加 b 就 变成了 y 等于 k， x， 那形容 y 等于 k x， k 是 常数， k 不 等零的函数，这种叫做正比例函数，而其中 k 叫做比例系数。哎，为什么这个叫正比例函数呢？我们如果反着推会怎么样？好，我在前面把这个笔记写一下啊。我们先来看正比例函数， 正比例函数是 y 等于 k， x 的 k 不 等于零， 它是怎么来的呢？哎，我们知道正比例是商一定，那这个六年级就学过了，对不对？正比例是商一定，反比例是 g 一定。不过反比例函数呢？我们要到九年级才学，正比例是商一定， 也可以理解为是比值一定。我们现在拿两个常数，比如说拿两个变量 y 比 x， 它的比值对吧？就是比例系数 k 等于比例系数 k， 你 看他后面说了， c 叫做比例系数，对吧？好，所以我们就把这个比例系数当做 k， 那 么这个比号的计算是不是就相当于是除号的计算？所以我们就是 y 除以 x 就 等于 k， 对 不对？你除以 x 移过去，那是不是就变成了 y 等于 k 乘以 x？ 好 了，那么这个就是正比例函数的一般式，那它就写出来了，看到了没有啊？所以这就是为什么正比例函数是这样写的，而正比例函数 如果加上一个 b 值，就变成了一次函数，那 一次函数它的一般式是 y 等于 k， x 加 b 不 等于零，而且 k 值和 b 值都为常数， 举个例子大家就知道了，那这个 b 值你可以理解为是什么呢？你可以理解为是一个固定的附加的值啊，比如说你去商店啊，去超市买苹果，对不对？哎，五元一斤， 五元一斤，对吧？然后呢，你要拿一个袋子，现在塑料袋不是要收费的吗？对不对？比如说一个袋子零点五元， 对吧？好，那么你买的苹果，比如说你买 x 金，你买 x 金，对吧？好，你这里买了 x 金，那么你要付多少钱呢？需，我们这里写一共 需要 y 元，好吧，那么这个关系式应该怎么写呢？那么你看一下费用怎么算啊？五元一斤，买 x 斤就是五 x， 对 吧？再加一个袋子零点五元，那么就加上零点五 o 不 ok， 那 么所以它这里的解析式就是 y 等于零点五 x， 啊，不对， y 等于五 x 加上零点五，那这个零点五就是附加的一个固定的值啊，就是你买苹果，对吧？啊？你不可能说啊，用手捧着出去吧，对不对？所以你要拿个袋子，对吧？所以这个零点五你就可以理解为是一个附加的袋子， 而你把这个去掉，他就是一个正比例函数，看到没有？为什么正比例呢？你看，你买一斤就是五块，买两斤就十块，买三斤是十五，买四斤就是二十，你看一个增大，另外一个是不是也是跟着增大，对不对？这个不就正比例吗？ 按照比例增长，那不就正比例关系吗？是不是？然后再加一个零点五元的袋子，那就变成了一次函数。所以你记住，正比例函数是特殊的一次函数，那正比例函数也是一次函数啊，正比例函数也是一次函数，知道吧？啊？正比例 函数是特殊的 一次函数， 好，这个要记住啊。 再来看到书上的问题，某登山队大本营所在地的气温为五摄氏度， 海拔每升高一千米，气温就下降六摄氏度。登山队大由大本营向上登高 x 千米的时候，它们所在位置的气温为 y 摄氏度，那么用函数解析是 y 表示 y 与 x 的 关系，并且求出当登山队向上登高两千米的时候，他们所在位置的气温，对吧？那目前为止已经是 五摄氏度了，对不对？他每上升一千米就下降六摄氏度，那么所以他就有原本的气温怎么样？减掉他会下降的气温 对不对？你上升一千米，下降六度，上升两千米就下降十二度，上升三千米就下降十八度，对不对啊？就去减。所以 y 随 x 的 变化规律是向上， 从大本营向上，每当海拔增加 x 千米的时候，这个气温就会从五摄氏度减少六乘 x 摄氏度。因此 y 关于 x 的 函数解析式 就是拿原本的五摄氏度减去下降的温度六 x 就 可以了。他说向上登高两千米的时候，那么就是 x 等于二的时候，你再把 x 等于二怎么样带进去算？把这个这个 x 换成二，就可以算出 这个向上登高两千米的时候，他们所在位置的气温是负七摄氏度就 ok 了啊。那么呢，我们一般呢会把它写成什么形式呢？会把它写成依次函数的一般式，要把它写成一般式。所以这就是为什么要把带 x 的 写在前面，你看 它对应的就是什么呢？就是 y 等于 k， x 加 b， 你 从这个式子里面对应上可以看到 k 是 等于负六的，这里的 k 就是 等于负六的啊，这个 b 就 等于五的， b 就是 等于五的。依次函数当中 k 和 b 确定了，那么它的函数解析式也就确定了，知道吗？ 再来看思考下列问题当中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式，这些函数解析式有哪些共同特征？先看第一个， 铁的密度为七点九克每立方厘米，铁块的质量 m 随它的体积 v 的 变化而变化啊，这里铁块质量单位是克，体积单位是立方厘米。我们先把它们三者之间的关系写出来啊， 你要知道密度等于什么密度，它是等于质量除以体积的， 它是等于质量除以体积的，然后这个密度呢，是七点九克每立方厘米，对不对？然后质量呢是 m， 体积呢是 v， 你 两边同时乘上 v 啊，这里是七点九啊， 两边同时乘上 v， 你 这个式子就变成了七点九 v 等于质量 m， 所以 m 就 等于七点九 v 啊，那么这样的话，我们就把它的函数解析式算出来了，它是不是函数解析式呢？ 是不是函数呢？是的，主要是这句话我们写的太多了，对吧？对于这个 v 的 每一个确定的值，对吧？ m 都有唯一的值与之对应吗？是不是这句话我们写太多了啊？我们再写一遍， 对于这个 v， 每一个确定的值，它这个 m 都有唯一确定的值与之对应，所以四函数啊，所以四函数，这就是函数的判定标准，对不对？我们是可以直接通过它的关系式判断出来的，对吧？好，那再看第二个， 每个练习本的厚度为零点五厘米，一些练习本落在一起的总厚度为 h， 单位是厘米，随练习本的个数 n 的 变化而变化，对不对？好， 那么这个的话我们可以直接写出来，对吧？一本练习本零点五厘米，那两本呢？就是一厘米，四本呢？就两厘米，对不对？你乘过去就可以了，所以我们可以直接通过它这个式子就可以 判断出来了，那么这个厚度 h， 它就会等于零点五厘米，乘上它的练习本的数量 n 就 可以了，对吧？好，那么还是那句话，哪句话呢？还是这句话啊？ 因为我们要判断它是不是函数，知道吗？我们就说写上面 对一个，对于这里的，对于 n 的 每一个确定的值，对吧？这个高度，这个厚度 h 都有唯一对应的值与值对应，所以呢，咱们就写十函数。 再看第三个，一种计算成年人标准体重 m 的 方法是以厘米为单位量出身高 h 再减去常数一点，这个啊，标准体重啊， 再减去常数一百零五，所得的叉是 m， 所得的叉是 m 的 值， m 随 h 的 变化而变化，对不对？好，我们可以直接把它关系式给它写出来，对不对？它都直接说了，是不是？这个 m 就 等于什么？ 就等于 h 减去零点五，这个很好，就可以写出来了。这个 m 就等于 h 减去零一点一百零五，还是这句话，你可以通过这个式子可以判断出来，对不对。对于每一个这个 h， 对 于 h， 每一个确定的值，这个 m 都有唯一确定的值，与之对应。所以第三个也是函数， 那也是函数啊。然后最后一个，把一个长十厘米，宽五厘米的矩形 的长减少 x 厘米宽不变，矩形的面积 y 随 x 的 变化而变化，对不对？那么它减少了，是不是？那么一个什么东西？一个长方形啊，一个矩形，对吧？ 啊？他本来呢，长是十的，宽呢？宽是五的，然后他的长减少了 x 厘米，假如说这个是 x 厘米， 那么他的长就从原来的十变成了十减 x 吧，对不对？那么矩形的面积 y 现在变成什么？就变成了十减 x 乘上五吧，对不对？长方形面积都等于长乘宽吗？所以 y 就 等于长 乘上宽，所以 y 就 等于五十。减去五 x， 我 们再把它写成一次函数的形式，就是负五 x 加五十，那这里没有叫我们求 x 的 取之范围，我们先不写，好吧，然后呢？那这个是不是函数呢？也是啊，你把这句话再写过来， 这就什么？对于 x， 每一个确定的值，这个面积 y 都有唯一确定的值，与之对应，你把一个 x 带进去，算出来的 y 一定有一个结果，知道吧？所以它也是函数，因为它这里叫我们判断是不是函数， 所以我们这里每一个都要写一次啊，都要写一次，好，所以它是函数，那解析式也写出来了，对不对？好，下面就研究一下这些函数解析式有哪些共同的特征。就是前面我们最开始讲过的啊。好，那 他这里就把我刚才写的这些啊，全部都写过来了，这个，这个，这个，还有这个，那这四个就全部写过来了，看到了没有啊？上面这些常数的解析式都是常数 k 与自变量的 g， 再加上与常数 b 和的形式，那么就是 y 等于 k， x 加 b， 对 吧？你可能说，哎，这两个不是啊，这样没有 b 值啊。这两个其实你就相当于是加了个零，这里的 b 就 等于零 啊，这里的 b 就 等于零，知道吗？叫做依次函数。注意，为什么叫依次函数呢？因为它这里的什么，它这里 x 的 指数是依次。 对于这个依次函数呢，我再详细讲一下。首先这里的依次函数它必须是整式。依次函数的解析是， 它是整数，它必须是整数，并且还要满足两个条件。什么条件呢？首先就是这个 x 的 指数必须是一，满足的第一个条件就是自变量 x， 自变量 x 的 次数 也就是它的指数 为一。当然了啊，这个一可以省略不写一呢，这里的一可以省略不写，哎，挡住了一，省略 不写好，这是第一个要求。第二个要求是什么呢？第二个要满足的要求就是自变量的系数不为零，自变量 x 的 系数 为零，实际上就是什么呢？就这个前面的 k 不 能等于零啊， k 不 能等于零，所以呢，这个呢，就是它这里都已经写了，对吧？ k 是 不等于零的，对不对？然后 x 就是 表示 x 的 一次方啊， 这个 y 等于 k， x 呢，就是它的一般式啊。然后我们判断是不是一次函数的时候呢？要怎么样呢？要先化简，再进行判断。判断 一次函数的时候 需要怎么样呢？需要先化碱，化碱成这个样子再去判断，需先化碱 再判断 啊。后面就是我们前面讲的，当这个 b 等于零的时候，对吧？这个 y 等于 k， x 加 b 就 可以写成 y 等于 k x， 而这种的呢，就叫正比例函数啊。当然了， k 肯定也不能等于零，那这里再强调一下，因为我们前面也说了，对不对 啊？正比例函数是特殊的依次函数，也就是说，你可以理解为所有的正比例函数都是依次函数。我们写一下，所有的正比例函数 都是依次函数， 但是呢，并非所有的，但并非 所有的一次函数 都是正比例函数。 只有什么时候可以呢？仅 b 等于零的时候 是正比例函数。你现在看这个呢，还是有点，这个怎么说呢，有点吃力的啊，等后面你用多了，你自然而然就熟悉了，就不会觉得那么陌生，那么吃力了。 再看立体，一个弹簧不挂物体的时候，它的长为十二厘米，在弹簧的弹性限度内， 每挂一千克的物体，这个弹簧就会伸长两厘米啊。第一个教我们求弹簧的长度 y， 关于所挂物体质量 x 的 函数解析式第二个，当挂了五千克物体的时候，他的弹簧的长度是多少？如果你考试的时候遇到这种题目 啊，你第一问，如果实在不会写，你可以直接算第二问，对吧？挂一千克伸长两厘米，那挂五千克不就伸长十厘米吗？对不对？已经有十二厘米了， 再伸长十厘米，那不就是二十二厘米吗？对不对？哪怕你不会写第一问，你第二问也是可以做出来的，知道吧？好，当然了，我们这里先求第一问，好吧，你看他本来就有十二厘米，对不对？每挂一千克就伸长这个两厘米，现在挂的物体质量是 x 千克， 那么就是 x， 就是 x 乘二，就是会伸长二 x 厘米，那么就在这个十二的基础之上去加上这个二 x， 那 么就等于这个弹簧的长度 y。 所以呢，书上就这么写的啊，书上它就这么写的。你看， 挂一千克的物体伸长两厘米，那挂 x 物体的时候，他就伸长二 x 厘米，因此 y 关于 x 的 函数解析式就是 y 等于十二，加上二 x 就 ok 了，对吧？你再把这个五千克怎么样？带入这个 解析式里面，把它换掉，把这个 x 换成五，那么 y 就 等于二乘五，加上十二就等于二十二厘米。直接答就行了啊。 这种写出来的就是正比例函数，你看，它这里就写的是 y 等于 k， x 加 b， 对 吧？ k 对 应的就是二， b 对 应的就是十二，如果这里是减十二的话，那么这个 b 对 应的就是负十二就可以了。好吧， 再来看练习第一个下列函数当中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数呢？哎，我们分开作答。好吧， 首先你要知道，一次函数，它的一般式是， y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，对吧？正比例函数呢，是 y 等于 k， x， k 不 等于零，对不对？好，其实直接看的话，你就可以看出一三是正比例了，对吧？但是我们还是要有评判标准的，对不对？好，首先它的这个次数等于一， x 的 次数为一。 不管怎么样，无论是一次函数还是正比例函数， x 的 次数为一。并且呢，这个解析式必须是整式，不能是分式。 好，再去判断它是正比例还是一次函数，知道吧？好，那么先看这个，这个 k 是 不是等于八呀？ 这 k 是 等于啊，负八， k 等于负八，对不对？然后 x 的 指数这里是依次吧，是不是？所以呢，它就是正比例函数，它也是依次函数，而且这两个条件都满足，对不对？所以我们就写是依次函数， 然后呢，也是正比例函数。 好，那么接下来我就复制一下了啊。 好，再看第二个，第二个，它是不是整式啊？它不是整式吧，对不对？它不是整式。 如果你非得化简，那我们就把这个负五提到最前面，然后 x 分 之一。注意，我们这里单独写一下， x 分 之一，它是等于 x 的 负一次方的，就上学期咱们是学过的，对不对？所以负五乘上 x 的 负一次方， 它的次数是一吗？是不是负一啊？对不对？所以它既不是 有点小斜角，把它往前挪一点， 它这个既 不是一次函数，也不是 正比例函数啊。再看第三个，第三个呢，它这里的 r 是 一次的，对不对？ r 是 一次的，这个二派呢，就是等于它不等于零， 这个 k 是 等于二 pi 的，是个固定的值，那 r 是 依次的，所以呢，它是正比例函数，因为它没有尾巴嘛，它没有加上一个常数，对不对？所以它是依次函数，也是正比例函数。 再看第四个，第四个是 x 的 二次方，它是整数，但是这里是 x 的 二次方， 但是 x 的 二次方，它不是一次方，它并不等于 x 的 一次方，对不对？所以呢，它不是一次函数，也不是正比例函数。 都不是，那它是什么函数呢？它是我们九年级要学到的二次函数，这里提前写一下，它是一个二次函数。 好，最后一个，咱们要先把它化简出来，先化简二， x 减八，对不对？这里对应的就是 k 是 等于二的，那这个 b 就是 等于负八的，所以它是一次函数，但不是正比例函数。是一次函数，但不是正比例函数就 ok 了，就判断完了。 再看第二题。用函数解析式表示下列问题当中 y 与 x 的 关系。那叫我们写函数解析式。先看第一个， 某人一年内的平均收入为 x 元，他这一年十二个月的总数为 y 元，对吧？那么这个关系呢？是什么呢？我们可以把它关系写出来。首先，他的总额度等于他的平均月收入，乘上十二个月，对不对？好，他的总额度 等于月平均收入， 乘上它的月数，一年呢，它是有十二个月的，所以它的总数入 y 就 等于 x， 对 吧？乘上十二，那么 y 就 等于十二 x 就 可以。它是一个什么函数啊？是一个正比例函数，对吧？ 好，再看第二个，某水池有水二十立方米，现在打开进水管开始进水，进水的速度是每小时三立方米，然后 x 小 时之后水池里面就有 y 毫米的水。 好，那么我们这里可以理解为它的总水量等于原来的水量加上净水量，对不对？等于原油水量加上净水量， 那么它的进水速度呢？是一个小时三立方米，那一小时就进三立方米， 那么 x 小 时它就进三 h 立方米，对吧？好，总水量现在是 y， 原油水量是二十，加上净水量，不对，是三 x 啊，不是三 h， 写错了， 三 x。 好， 那么就加上三 x， 所以 y 就 等于三 x 加二十，我们要把它写成一般式的形式，就是 y 等于 k， x 加 b 的 形式。把这个写前面知道吧？好，就可以了。