初中几何题重庆老君洞

众所周知啊，二次函数是中考数学的压轴题，常课也就是中考数学的分水岭，拿下它就相当于拿下高分差距。今天带你们用三个视频，九个方向解决这个难点，今天我们先来看， 需要电子版讲义，可以免费分享给大家。那我们今天讲啥呢？今天讲二次函数与几何的一个综合，因为这一部分呢，大概分为，比如说线段的一些处理角度和差的一些处理，那么这些还包括我们面积处理相关的， 那么我们是大概准备了九个九种题型，给大家一个一个去讲解。那么大概就是因为二次函数题目比较长嘛，所以我们一节课差不多一个小时的时间给处理大概三道题应该是够 的。所以呢，我们就是准备了九种题型，我们今天从最简单的开始就是线段的处理。好，那同学们现在想一下啊，我们只要是函数与几何去综合的，他一般都会有怎样的一个处理框架？函数与几何的综合， 那你就思考一下，那一般只要是给你几何，只要是给你几何图形，给你放到我们的平面直角坐标系里啊，去考核函数的综合，那一般几何他都会给你提供啥？ 是不都在提供一些线段之间的一些长度和关系，就比如说我给你来一个等腰直角三角形，我放到平面直角坐标系里，是不是就在告诉你，哎，这三条边有什么样的关系？有个一比一比根号二的关系。所以呢，咱们的所有几何图形放到我们的函数里面，一般都是给你提供线段关系的， 那你说我们的函数不是要和几何综合吗？那函数一般再给我啥？来想一下，函数是一般不给你什么角度呀？或者不给你什么线段呀？一般函数提供的就是函数上的各个点呗，不就函数上的点。所以呢，我们函数一般都是给你提供点的 啊，给你提供点的，那我们含己怎么综合呢？函数与几何怎么综合呢？就是点和线，你可以相互去玩，所以咱们一般老说什么含己综合题，一次函数与几何综合，反比例函数与几何综合，二次函数也与几何综合，到底是谁在综合呢？一般就是几何提供线段关系， 函数提供上面的点，你点线之间相互转化，这样就把我们的函数和几何综合在一起了。好，那这是一个大的框架。好，那我们在函数二次函数里面如果去处理几何的问题，你想一下，那几何最基本的元素不就是点线角吗？那点一般是由函数给出来的， 角的话，我们在平面直角坐标系里很难玩，所以一般最基础的几何元素就是从线段去入手 啊，就是从线段去入手，所以我们今天呢先去处理一下线段，就是在平面直角坐标系里，这个线段该如何去玩啊？所以今天先从线段入手，我们开启我们的含积综合。那首先第一步线段怎么处理？ 你要处理它，你得先去表示它吧，所以咱们首先要具备一个什么样的能力呢？就是首先第一个你要会表示线段 啊，你要会表示线段，那表示线段。同学们，你现在想一下，那我们平面直角坐标系里哪些线段是最好表示的呢？那我相信来，如果给你这样画一个平面直角坐标系，哎，你说是这样的横线，这样的竖线和这样的斜线，谁好表示？ 那肯定是横竖线最好表示嘛，所以呢，会表示有一类是直接可以表示的，最直接的那一类就是横竖线段啊，横竖线， 横竖线他是可以直接表示的，那就比如说我现在给你来一个横线啊，给你来一个横线，横线呢？我现在在告诉你他两端点的一个坐标，就比如说这个点是一个，比如二逗号三 啊，再比如说这个点就是一个 t 加二逗号三啊。横线是不是纵作比较相同，纵作比较相同？好，现在看两端点给你了。来，同志们表示一下，这个横线是不？横线就应该是 横坐标的一个右减左，是不是就横坐标的一个右减左？那我这个地方要表示这个横线是不就应该是 t 加二再减去这个二。 好，那小伙伴们你再想一件事啊，这个点我说他是一个动点，哎，我给他要求他是一个动点，这个 t 呢？我不清楚你的大小，不清楚你的正负。好，那你现在想这么一件事， t 加二减去二， 有没有一种可能性，我这个动点跑到这个点的左边去是不是也非常有可能？所以我为了让我的这个线段表示起来更加的严谨，你觉得我这个线段缺了个啥？不是不感觉，只要学过竖轴，你就应该有这种的想法，是不？感觉缺个绝对值， 哎，缺个绝对值，因为我也不知道你这个动点会不会动到我二逗号三的左边去，那如果动到那边去了，我是不是就要加绝对值？ 所以在不清楚 t 是 正是负的情况下，我最好要给你带上绝对值，这样比较严谨。好，那这是横线，那竖线是不是也一样？哎，竖线也一样，就比如说我这个点，比如说这个点，比如说一，一逗号 t 减三 啊，一逗号 t 减三，然后下面这个我来再想一个啊，再想一个的话，比如说一逗号二 t 加五，二 t 加五。 好，那现在看这两个横坐标相同，那就是竖线，那竖线要表示他怎么办？跟他类似嘛，他是横坐标的右减左，那我就是纵坐标的上减下，那就是 t 减三，再减去这个，二 t 加五。 哎，那我也不清楚你们俩谁大谁小，套格绝对值，套格绝对值。哎，这个东西呢，就是我们的横竖线段的表示，是不是很好理解？那还有一类，还有一类，比如说我现在给你遇到一个斜线， 啊，遇到一个斜线，斜线是不是相对来说不是那么好表示？但是我们学过一个东西叫两点间距离公式，所以我用两点间距离公式是不照样可以表示斜线。那如果说你遇到的是这样的，比如说一逗号三，这是一个 a， 逗号 a 加二。 哎，我发现这首先是个常数啊，两个横纵坐标都是常数，然后这个呢？横纵坐标都是关于 a 的 一个一次式，是不都是关于 a 的 一个一次式？ 那这样的话，我是用两点间距离公式。哎，那这样我根号下就最多出现一个二次，二次的方程，咱是不是还是会解的？ 哎，那这样的话，我就可以用两点间距离公式了，如果这是 a， 如果这是 b， 那 我就知道 ab 这个长度就可以表示出来了，就是一个根号下 a 减一的平方，加 a 加二再减三的平方来，现在看这里头是不是最高项就是 a 的 一个二次， 如果让它等于一个式子，你两边同时平方，那这样得到的一个方程 a 最高就是二次。而我们初中我是会解二次方程的， 所以我就可以用两点间距离公式去玩啊，可以用两点间距离公式，但一旦说这个地方就来个 a 的 平方角，那你说你还会不会轻而易举的就去给他列这个两点间距离公式？ 我就要思考一下有没有别的方式了。如果有别的更简单的方式，我就不想列两点间距离公式，因为一旦出现平方，这里头会出现啥呀？会出现四次。 四次的方程我目前是不会解的吧啊，哪怕说是有一些方程他出的比较特别，那个四次最后可以化成二次去做， 但是呢，在我平时预算里面，我是不是尽量不想出现四次啊？所以呢，注意一下，如果 点坐标都是关于 a， 关于一个参数的一次式，那我就可以大胆用，如果是二次，你就要留一个心眼了，万一他有别的更简单的方法呢？那我是不就不用这个方？ ok， 那 这个呢，是会表示，会表示就是直接表示的两种方法，横竖线和这种长竖，还有一次式这样的点坐标，我们可以用两点间距离公式表示斜线。好，那你说如果啊，如果 有一些他确实线段不好表示，不能这样直接表示的，那我该怎么办？那你是不是就好把那种不好表示的去给他转化， 把它转化成这样可以直接表示是不就可以了？好，那你说。有的小伙伴就说，老师，那啥叫会转化呀？啥叫会转化？我举一个例子，比如说我现在这有一条竖线，这有一条横线，然后这来勾一个直角三角形，然后我想要表示这个问号线。 来，那你想一下那问号线是个啥？问号线是个斜线，那斜线是不好表示，那斜线不好表示。那你瞅一下这边是有啥的？他有竖线，这个勾线是不好表示。那勾线好表示。我就想着能不能用你这个好表示的勾去表示我的这个问号线。 能不能用勾表示问号？是不是感觉就可以啊？那这里需要借助一个啥？他又在直角三角形里面， 然后你要借助它借助这个勾表示这个问号，是不是就可以借用三角函数了啊？就可以借用三角函数了。就比如说我知道这个阿尔法脚踏的一个三角函数，那现在我是不是就可以用这个勾表示我的问号了？哎，我发现这考三幺二法是不是等于勾 乘？考三幺二法就等于勾乘考三幺二法。哎，那这样子是不是我只要上减下表示出这个勾线， 那我的问号线乘一个三角函数就可以了，是不是更好表示啊？更好表示，不用大家再去列这个麻烦的两点间距离公式了。好，那这是一个情况啊，就是当我的想要表示的线和好表示的线在同一个三角形的时候， 哎，在同一三角形的时候，那不同三角形呢？想一个事，不同三角形，哎，不同三角形， 那不同三角形，我是不是就可以找一下线段与线段之间的关系？是不可以找一个关系？就比如说我现在给这么两个三角形啊，一个大一点，一个小一点，他俩相似，我说他俩相似，然后这是横线，这是横线。我现在想让大家去求这个 a 比 b， 我 让大家去求 a 比 b。 那 你就想一件事嘛，这 a 比 b 好 求不？不好求，都是斜线，光是表示 a 表示 b 就 已经很费劲了。 如果说这两个点再没有什么特别的，你要用两点间距离公式，你去表示 a 表示 b 就 已经很费劲了。那我能不能转化一下？是不是可以想办法转化？那 a 比 b 不好表示，那 c 比 d 呢？是不是更好表示一些横线，横线直接右减左右减左就可以表示出横线了。那我现在要求 a 比 b， 我 肯定转化成 c 比 d 嘛？ 是不肯定转化成 cbd。 哎，那这个呢，就是我们在不同三角形里面如何去转化？是不可以借助相似啊？可以借助相似。好，那这个就是线段处理的一些原则啊，原则就是能直接表示的横竖线，你直接表示。 然后呢，遇见比较简单的，依次适合长竖向的，你就去两点间距离公式，像这种不好表示的，想办法去转化。好，那这个是不都 ok 了？ ok 了，我们就去看一个题吧。 啊， ok 了，我们去看一个题，来尝试看这个题。这个题现在告诉我说，这有一条抛物线是完全已知的，与 x 轴交于 a， b 两个点，坐标也都给你了，给你了，然后说他现在呢，与我的 y 轴交一个点 c， 其实点 c 你 也可以写出来，但是我发现点 c 好 像对我做题没有任何帮助，我可以扔到哪啊？扔到哪， 然后现在告诉我说，点 d 是 一个具体的点，是个零。逗号三。然后现在告诉我说， p 是 线段 a o 上一点来， p 是 线段 a o 上一点。这句话在告诉你啥呀？ 这句话在告诉你啥？它在告诉我这个 p 的 位置的一个范围，是不是在告诉我，范围就是你 p 不 管怎么动，你都动不出这个线段 a o。 所以 这种话一定要在题目中注意一下，它是在告诉你范围，那告诉这个范围有啥用？ 因为如果涉及到了这个 p 的 坐标，是不是就不用再去分类讨论了，你就在这一块动啊，就不用分类讨论了，所以范围一定要注意一下。然后现在说过这个点 p 做了一条竖线，然后这个竖线呢？与抛物线交于 q， 与我的这条 a、 d 交于一个点 e。 好，那你现在来看一下我的这个 a d。 直线是能出来的，不明显能出来，我可以顺手求一下，这是零三，这是负四零。其实如果小伙伴们你现在对一次函数的求解比较熟悉的话，你都可以口算出结果了，你就可以先把直线求一下， 然后现在告诉我说，与直线交于 e， 与抛物线交于 q， 现在告诉我，现在呢，这个三角形，这个绿圈和绿圈要相等啊，绿圈和绿圈要相等。然后让我求啥呢？让我求出这个 q e f 这个三角形周长的一个最大值， 让我求这个最大值来看 f 在 哪呢？ f 是 a d 上的一个线啊，它在 a d 上，这个 e 也在 a d 上， q 在 抛物线上。求这个三角形周长最大值。来，同学们怎么入手呢？ 那首先它周长不就是三条线加起来吗？那我现在要去求你周长的最大值，我是不是应该先去把周长给他表示出来，然后再去看我怎么求你的最大值吧。所以第一件事咱得去表示，哎，表示这个 c 三角形 f e q， 哎，表示一下它，好，那怎么表示？它不就三条线相加吗？那我就加一下它等于 q e 加上 q f， 再加上 e f。 好，那你现在看啊，那这三条线来，同学们找一下谁是最好表示的？谁是最好表示的？它里面有两条斜线，一条竖线，然后这个竖线和这个小圈还相等，哪条线是最好表示的？ 来看一下哪条线最好表示。如果让你表示，我铁定是表示竖线吗？竖线好表示，直接射出你的点上减下是不就有竖线了？所以我发现，哎，这个东西很好表示。这个东西很好表示。那你表示了你的 q f 还用表示不？ 不需要了，说不需要表示了，因为我发现，哎，这 eq 和我的 f q 你 俩是相等的，哎，所以我发现表示一个竖线，这俩都完事了，这俩都完事了。好，那现在问题是 ef 不知道咋表示对不对？那先不管 ef， 咱先把这个 e q e 先给表示了。 q e 怎么表示？ 在竖线上？竖线是不是横坐标相同？那我要表示你，我是不可以设一下，哎，那我就设你们直接横坐标是 m， 那 纵坐标呢？直接带到它二次函数的解析式上，二次函数在这啊，我直接带进去得到点 q 的 坐标， 那我的 e 呢？横坐标是不是也是 m？ 那 它的纵坐标呢？带到我直线里面是不是就能得到 e？ 好， 那 q 有 了， e 有 了，来，竖线是多少？上减下嘛，你就上减下来，纵坐标做个叉就能得到这个 e q 了。 e q 出来了， f q 是 不也就出来了？好，那现在这两个波浪线咱都表示完了，就剩 e f 了，那 e f 咋整？那这个 e f 是 不就属于我刚才说过的，它不好直接表示，那我们怎么办？是不最好是找一下你这个 e f 和我这个 q e 你 俩之间的关系， 如果找到了关系，我是不是就可以用这个圈表示我的 e f？ 那 怎么找关系？来？想一下刚才我们已经给他总结的，是不是如果两个线一个好表示，一个不好表示他俩在一个三角形里，那我尽量用什么去解决？你 尽量用三角函数去表示你，对不对？好，那现在来看一下。那我三角函数是需要放进直角三角形玩的，目前你们没有直角三角形，那怎么办？我是不是可以去做垂直，想办法把你俩放进直角三角形里，那这个图形又是个啥呢？ 圈等于圈，等腰三角形来，在等腰三角形里，我想获得一个直角，把你们这两个线段放进同一个直角三角形里面来，怎么玩？ 还是个等腰，又想做直角怎么办？三线合一吗？是不我就做三线合一，哎，三线合一一做之后是不是有这个小叉线段？等于这个小叉线段， 然后我的圈和这个小叉是不是放进了一个三角形里面，我可以去找到你们相关的三角函数，就可以用圈表示叉了，表示出叉了之后乘个二，是不是就是借助三角函数？那我是不是可以找一下这个三角函数？ 如果阿尔法他的三角函数知道了，我用一个正弦是不是就可以表示圈叉的关系？好，那这个三角函数我不知道呀， 那怎么办？再去找一找嘛。这里面是不是有直角？有，对顶角，有一堆的角，你去倒倒角，看看有哪个角是跟阿尔法相等的，看看那个角能不能放进一个三条边都已知的直角三角形里，我就可以推出三角函数了。那此时此刻我是不该去倒角了？ 再导一下呗。来，这阿尔法，这有直角，这有直角，这也有直角。这么多直角，那我该干嘛？直角多是不是一定要注意互余？直角多，导互余， 那我就看一下嘛。阿尔法和这个角是互余，那我再设一下，设你的余角是贝塔，那这贝塔对顶角也是贝塔，这又是直角，那这个角也是阿尔法，哎，我发现我推出一个跟你相等的角，那你现在就瞅一下来，这个阿尔法它能不能放进一个三角函数已知的三角形里面，或者说它能不能放进一个三边都已知的三角形里面？ 找找呗。这个二法来看一下，我发现这底下是啥？这底下是四啊，这条边是四，这是知道的。那再看这个四，哎，旁边这个三，哎，这个三我也是知道的。那你这又是直角，哎，那这个蓝色三角形是不是三条边都知道，哎，那这就是五呗。好，那在下面这个三角形里来，同志们，发现啥了？ 在这个三角形里，现在发现啥了？它的三角函数已经完全知道了是不是已经完全知道了，哎，那你的正弦不就是三比五吗？哎，所以我就知道，哎，这个 sin 二法等于一个三比上五。 我写到这了，哈，这有点挤，写到这了，好，那知道正弦了，那现在来看叉和圈的比例是不就知道了？三比五，那我设一下呗，你是一个三 x， 那 你也是三 x， 那 这个圈是五 x， 那 你现在来看， ef 和我的圈的关系找到了没有？同志们，是什么关系？ 五分之六倍的你是五分之六倍的你。哎，所以我发现这个玩意他是五分之六倍的 q e， 那 你又是个 q e， 那 我现在是不是就是二倍的 q e 加五分之六倍的 q e， 五分之十六倍的 q e。 而 q e 我 是不是已经可以表示出来了？就是他们，就是他们 啊，那我现在来看啊，我要求啥？我要求这个 c 的 最大值。那你是不是只需要求出 q e 的 最大值？你只需要求出 q e 的 最大值 来，同志们，那你说 q e 最大值是啥？ q e 最值是不就是那个玩意最值？好，那我就求嘛，来， q e 的 最值，这玩意怎么求？最值配方法嘛？配方法我就不介绍怎么来的了啊，大家都知道了，那 q e 的 最值是不就是这个？三十二分之八十一？ 那三十二分之八十一搞定了之后来，那你说这个 c 的 最值是不是就出来了？其实就是一个五分之十六，再乘一个三十二分之八十一，那最后抽出来，十分之八十一搞定， 十分之八十一搞定，所以来吧，看一下我们这个题是怎么弄出来的，其实就是玩了个线段的处理，是不是没有别的东西？那首先第一步就是表示出来，表示出来，我发现，哎，这里面好表示的是他俩，不好表示的是 e f， 那 e f 我 干了个啥？ 是不是利用三角函数在同一个直角三角形里表示了一下，所以呢，这个第二步是转化，是转化，转化就是怎么得到的它，怎么得到它呢？就是用三角函数啊，利用三角函数，所以第一步表示，第二步转化，第三步就是求最值了 啊，最值，这个其实反而是最简单的，其实反而是最简单的纯计算，其实对于初三的小伙伴们都不成什么问题了，熟能生巧。好，那这个呢，就是第一题。好，那我们来看下一问了啊，下一问其实还更简单一点，我们来看一下，这一问，其实就是利用了一个三角函数，利用三角函数去转化我们的线段。好，那我们看下一问啊，下一问， 好，那下一问。现在告诉我说，已知这个 h 点，注意啊，这个二次函数还是刚才那个题，这是第二问，已知呢，这个函数 x 轴上有个一零，然后告诉我 n 呢？是直线上的点 a d 刚才已经求过了， a d 已经求过了，然后现在告诉我说这个阴影的三角形 a h n， 他 现在要是一个以 n h， 以这一条边为腰的一个等腰三角形，让我求出点 n 啊，让我求出点 n。 好， 那你现在想一件事啊，他说以这条边为腰， 那他把这个三角形说明白了没？他只说了这条边是腰，他又没说他和哪一条边是相等的。如果说这个圈和这个叉相等，是不是你也是等腰？ 如果这个圈和这个勾相等，是不是你也是等腰？所以看到这种纸带不清楚的时候，你就需要干啥了？是不必须得分类？你必须要分成两类，到底是圈叉相等还是圈勾相等？你得分类好，那分好类是不是单独做就行了？就比如说我先搞第一种， 哎，这个圈和这个叉它俩相等的时候，那它俩相等来怎么办？有没有一条线段是直接能出来的？ a 点知道， h 点知道，那这条边是个五，是直接知道的，哎，是直接知道的，那也就说这个圈他也是五呗。说他也是五，那你说这个线段是五，这个点已知这个点呢？在这个依次函数上 来，这属于我们刚才说的表示里的哪一种？如果忘了的话，我们往往回倒一下，这属于我们表示里的哪一种。 是不是就是这个斜线来？一个点是啥？一个点是常数，一个点是一个参数的一次式，所以他如果用我们的两点间距离公式表示出来，最高次也就是个二次了，那二次的方程我会解呀。 所以同志们，你说这个题怎么做？直接简单粗暴，直接，简单粗暴。用两点间距离公式把他和他之间的距离列出来，等于五方程就构建出来了。直接解方程就可以啊，直接解方程就可以，那我是不是就可以设点了？我就可以设点了吗？来，同志们，这个点怎么设？ 他在函数上利用函数设点吗？那我就设你的横坐标是 n， 纵坐标直接带进去，现在两个点都有了之后，两点间距离公式是不就可以直接列了？来，直接列 n h 是 不就等于根号下 n 减一的平方再加一个四分之三， n 加三的平方是不就是他？ 你再令他等于五，哎，令他等于五，直接解就可以。了解的过程我就不详细说了啊。这个 n 解出来五分之十二，那五分之十二知道了，来 n 点坐标直接往里带吗？把五分之十二带进去，我这个点坐标就有了， 所以这个方法就是简单粗暴，直接表示。那如果我现在给你换一个啊，给你换一个说，我说这个 n 点是在抛物线上一个点，让他构成等腰，那抛物线来看一下抛物线里面是不是会带平方， 那此时你就不要轻易的就去列两点间距离公式，因为你里头这个点如果带平方，你再给他平方，是会出现四次的，四次我就要考虑一下我会不会解了， 所以注意，如果是这种一次式的，你就大胆列，这个你绝对会解。如果是四次，你就要看一下有没有别的方法能做啊，他一般情况下都会让你找到一种更简单的方法去做 啊，因为他不会为难你，让你去算你不会算的东西。 ok， 好， 那这个就是简单粗暴，依次是直接带，那我们再看另一种情况，另一种情况是不是就是这两个，哎，这个圈等于这个勾 来这俩相等，这俩相等，那有小伙伴就说，老师，这也可以简单粗暴，我可以去列出这两个点的距离，再列出这两个点之间的距离，然后令他俩相等，得到一个方程。解方程啊，完全可以，完全可以，这个方法是绝对可行的，但是你来观察一下有没有更简单的方法。这个三角形目前有个啥？ 这个三角形目前底边是一个横线，同志们，底边是一个横线，而且底边长度还已知。这不就是五吗？这不就是五吗？ 好，那你现在看有没有更简单的方法。我是发现，哎，当这个等腰三角形底边是五的时候，我如果去做三线合一，做出来是个竖线，而我中间的这个点是由 a 和 h 直接用。什么？直接用终点坐标公式可以直接写出来的。负二分之三，逗号零嘛？ 是不直接列终点坐标公式直接能求出终点。那你说我的终点和我 n 有 什么关系啊？ 横坐标是相同的，那你说，此时此刻，我还需要去列出你的长度，列出你的长度，让他俩相等，去解方程不？不需要了，我发现我的 n 直接都可以写出来，哎，我的 n 不 就是等于一个负的二分之三吗？ 是不是直接就等于负的二分之三？那你把负的二分之三带进去，我的纵坐标就有了。所以这个题甚至连方程都不用解啊。连方程都不用解，直接往里一带，负的二分之三，八分之十五搞定。 来，那我们品一下，为什么会这么简单？是因为我观察出了他的三线合一是竖线，他的底边是一个横线 啊。所以做这种题啊，可以简单粗暴，像咱们上一文一样，简单粗暴，直接列。然后呢？遇到这种还是要仔细观察一下，虽然两种方法都能解出来，但是他会给你节省运算量啊。节省运算量，好，同志们，那这道题两个问都搞定了啊？两个问都搞定了，第一问我们用了一下转化， 第二问就利用了一下斜线。我们直接列出两点啊，直接用两点间距离公式去表示，所以基本上是把线段的所有的情况都已经练了一下了。好，那我们继续了啊，我们继续了。好，那个线段处理我们过了，线段处理过了，我们现在看直角的处理好。那直角怎么处理？那我现在还是得先有个平面直角坐标系吗？ 因为我们是函数几何综合，所以直角会放到坐标系里，比如说我现在这么一条线，这么一条线，他俩垂直啊，他俩垂直。好，那你说垂直可以怎么玩？如果我说这是个 a 点，这是个 b 点，交点是 b 啊，然后这个是 c 点， 你说垂直怎么玩？ a b c， 现在这里垂直可以怎么玩呢？首先第一个玩法就是斜率，如果两条线他俩垂直，是不是斜率相成为负一？所以我发现，哎，可以得出， k a b 乘 k b c， 他 等于负一。 首先这个公式有一个好处，就是很简单粗暴，有一些简单题直接可以出答案啊，这个是很好用的一个东西，但是不好处是啥呢？ 不好处呢？就是有的地区不让用，有的地区不让用，这是一个不好处。那你就只能在选择填空里用一下。大题呢，你只能去写成一个勾股定律，只能用勾股定律去写啊，用两点间距离公式表示出三个线段长度，然后呢，列出勾股定律去。 好，那这个呢，是一个局限性。还有啥局限性呢？就是他只能处理两个垂直，但是如果说这个是三，我说这两个线段是二比三， 那你说这个斜率相乘为负一，是不是就表示不出来我的这个二比三了？哎，就表示不出来了。那我就想别的方法呗。那我就想别的方法来。那同志们现在想一下，两个斜线之比是二比三，你会想到啥？你是不是就想着，那这两个斜的线我可以放进两个三角形里面，这样我就会得到两个二比三的一个相似了。 好，那你说想要得相似，中间又夹一个直角，那这是你们学过的什么相似？是不是三垂直的相似，有的地区也叫 k 字相似，有的地区也叫三垂直相似可以看你自己学的是啥。那我是不是就想着，我可以把这个直角给他放到一条横线上去玩相似， 去玩相似，做垂直，做垂直来。先来看我做垂直得到的这两个三角形什么关系？这俩三角形是不是就是相似的？哎，就是相似的。那有小伙伴说，老师我没有学过这个，没有总结过，可能我会，但是我没有总结过。那我们现在就来总结一下，如果遇见了一个平面直角坐标系里给你放一个垂直的，给你放个垂直，然后又有比例关系， 你就把它画斜为直啊，把这两个斜的二比三画成两个横竖线三角形的二比三， 这样就会得到两个相似的三角形。那具体怎么相似的？导弧于啊？导弧于阿尔法，贝塔弧于这俩角也弧于他是阿尔法，他俩又弧于，这是贝塔。两个三角形里所有的角都相等，所以一定是相似的，那现在是不是就得到了一个二比三的一个相似啦？那这个相似我一般玩啥呢？ 我肯定不会玩斜线，斜线不好玩，刚才我们是不是都知道横竖线好玩，那这条边和这条边的比例是不是就是二比三？哎？红比，红，二比三，然后呢？这条边比这条边是不是也是二比三啊？蓝比蓝，二比三。那现在就有什么好处？ 斜线的比例化成了横竖线的比例，而横竖线是非常好玩的，是非常好表示的。哎，所以我们现在就得出结论，哎，得出结论，如果遇到了带比例的垂直，那这个负一就体现不出来你俩这个比例了。那我就把你俩这个比例放进三角形里， 把比例放进三角形里，放进三角形里，搞一个三垂直的相似，搞一个三垂直的相似。 那三垂直的相似，是不是就把我的几何里面的这个垂直，还有我的二比三这个比例都用上了啊？又用上了一个垂直，又用上了比例， 这是不是就感觉啊，一箭双雕的事。所以回头我们如果遇到了含己综合，就哪怕有小伙伴说，老师我这次考的是一次函数与几何综合，也是这么处理方法，遇见垂直给他放进我们的三垂直里面，因为我想要玩横线和竖线啊，我想玩横线，竖线。 好，那有了这样的铺垫之后，我们来看一个题，现在告诉你说这有一个二次函数，然后与 x 轴的交点都告诉你了，现在呢，你说交点已知是不对称轴，也就顺手画了。画完之后呢，他说 d 呢，是 x 轴下方抛物线对称轴上一个点，那我就随手点一个，我就说这是 d， 这是 d。 然后呢，他又说 p 呢，是抛物线上的一个点，并且呢， b d p 啊，那我画一下 b d p， 假设这是 p， 他 说这里是个直角，并且呢，又告诉我说 b d 这条边比这条边是一个二，比上一， 因为这个 b d 是 二倍的它，那你就是这是二份，这是一份。来，同志们看，首先我是不是顺手点了个点 d， 顺手点了个点 p， 我画完这个图，你就应该想一下，只要是题里面没给你图，你是自己顺手画的，是一定要考虑啥的，只要题目中没有给你画具体的题，没有给你把它那个范围限死。是你自己画的图，你就要考虑一个啥了，你要考虑自己画完了没？我这个点的，首先他一定是在对称轴的副半轴啊下边， 但是我这个屁不一定非要在这个对称轴的右边吧，左边是不是也有可能？万一我的屁在这呢？哎，万一我屁在这呢，这也垂直，这是一份，这是两份，是不是也有可能？所以要分个类啊，我的屁点可能在右边，我的屁点也可能在左边。 好，那你在做题的时候就应该手上画上两幅图，然后一个一个去做了，先把框架打起来，你知道这个题肯定一左一右有两个，那你就可以一个一个去做了，先把框架打起来，你知道这俩的比例是一个一比二。 哎，那一比二的时候，我是不是就可以去玩这个垂直和比例了？来，又有垂直又有比例，怎么玩？做三垂直呗，而且这里面一个垂直，这个垂直是已经现成有的了。那我只需要做一个啥？ 只需要做一个垂直就行了。哎，把这个垂直做出来，这两个三角形是不是只有三垂直相似？哎，三垂直相似。好，那这个相似得到了之后来同志们观察一下，有没有哪个线段我是直接可以表示出来的， 因为我们做了三垂直的相似，其实就是为了玩横竖线段的比例吗？来，现在看看有没有哪个线段是直接出来的。 这是 x 等于一，这个 x 是 三，那他俩之间的距离是多少？直接就是二吗？这是不是直接就是二？那你是二，这两个三角形相似，是一比二的相似。那你的对应边是这条边，这条边是不就是一了？ 好，那现在看二和一标上了。现在问题是这一段和这一段不知道怎么表示。那不知道怎么表示怎么办？ 设呗，我就设呗。那我现在想要去表示这个线段，我缺啥呀？我缺点 d 的 坐标，那我把点 d 的 坐标设出来是不就可以了？点 d 在 x 一 上，那我就设你一一逗号 t。 好， 那你是一逗号 t， 这个线段是多少？千万不敢直接写了个 t 上去啊。你要注意啥？ 你要注意这里面的一个线段一定是正的，而他是在负半轴，他的 t 是 负的，所以前头是要加符号的。那有小伙伴就说，老师，我只要是含餐的点坐标，我那个符号就容易错。好，那你现在来想一下， 有什么方法可以避免你这个符号的错误？没有，我跟你说一个可以避免的，你所有的横竖线你都用上减下和右减做，那你这个上减下其实就是这个点 e， 点 e 是 不是一逗号零？那你用一逗号零和一逗号 t， 你 用上减下，是不是纵坐标上减下，零减 t， 负 t， 这样就绝对不会出现符号的错误了。所以只要遇见了一个线段，只要遇见了线段，你要表示它，但是你又不知道这里头的参数是正是负， 你就可以去上减下。当然，如果说这个题，这个题你都不知道这个 t 到底在不在负半轴上，它没有给你限制的话，你这里套上绝对值就可以啊。套绝对值，但是这个题明显都已经给你限死了，说我的 t 就 在这个负半轴上，哎，在负的这一边你就要注意了，这里是负 t 啊，为什么是负 t？ 因为是零减 t， 因为是零减 t， 所以 是负 t。 ok， 这样就可以避免这个正负啊。好，那现在来看啊，三垂直搞出来了，那这个负 t 已经有了，他俩一比二，那这段是不是就有了负的二分之 t？ 哎，负的二分之 t， 好， 那现在瞅一下，那这些线段长都有了，谁就有了？ 我们说平面这样坐标系里，我们只要是含几综合，其实就是函数提供点，然后几何关系提供线，那现在已经有了线了，那剩下是不是点线之间相互转化啊？点线之间相互转化，有了线了之后，哪个点其实就出来了？ 点屁就出来了吗？是不是直接点 d 向下平移一个单位向右平移负二分之 t， 那 我直接纵坐标给他减一横坐标，给他加上负的二分之 t， 是 不是就可以得到点 p 坐标了？ 所以我平移得到点 p 坐标，注意是怎么得来的啊？平移得来的，平移得来的。向右去平移就加上它，向下平移就减去它。得到点坐标。得到点坐标。我不是得解这个 t 吗？我得解这个 t 啊。 t 怎么解？ 再看一下还有什么东西没有用。点 p 在 哪啊？点 p 是 在这个二次函数上的往里带吗？ 他只要在这二次函数上，就说明他的横纵坐标满足这个关系。那我就给你代入，哎，我就给你代入，那代入是不是就可以得到方程了？代入得到方程解 t 是 不就完事了？哎，这个注意啊，解出来会有俩，解完之后你要看一下他有没有范围要求。 他说 d 是 在 x 轴下方，所以我的 t 是 啥呀？我的 t 一定是个负的，所以这个正的呢？舍掉他啊，舍掉他。所以最后的答案是一个二逗号负三。这是第一种情况。 ok， 我 们看第二种情况啊。第二种情况跟他一模一样。 一模一样，只不过此时此刻说 p 在 我们的这边啊， p 在 这边。那你画一个图，画个图。此时此刻 p 在 我的这个对成轴的左边了，然后它俩线段一比二， 那一样吗？一样构造三垂直吗？那现在这个三垂直是不是已经这里有个垂直了？哎，那我是不是屁往这边做垂线就能得到？这两个三角形是一比二的相似啊？一比二的相似。好，再去看一下谁是能够直接算出来的？这段是不是还是可以现成球？那这是二，那你俩又是一比二的相似，那你是二对应的是不 来？这是一个一，短边是一。好，那现在看那长的直角边怎么表示？长的直角边怎么表示？来，那现在看一下，是不是仍然不知道这个线段长？那我是不是照样可以设点 d 坐标？因为 d 在 对称轴上，所以我就设 e 多少 t， 设完之后来看一下，换个颜色啊，不然给大家画的有点模糊了。这一段， 这一段是不是就是一个零减 t 负 t 啊？它是负 t， 那 这一段对的是谁？对的是这一段， 这一段。那你俩一比二，这段是不是负的二分之 t， 负的二分之 t， 找清楚对应关系啊？这个二对这个一，这个负 t 对 这个负的二分之 t 相似，一定要找清楚，找清楚之后来看。这个点 p 能表示了不是 不就可以了？点 d 向上平移一个单位，向左平移负的二分之 t， 是 不就可以得到点 p 坐标？那我点 p 坐标就直接加减得到了，得到了之后来怎么解 t 怎么解？ t 跟刚才一模一样啊，一模带入嘛，带到我的解析式里，那我就带。直接就是 t 加上一个一等于一个 x 方，就是一加二分之 t 的 平方，减二倍的一加二分之 t， 然后再减三，这是不是就是我的方程？哎。方程列出来直接解就可以了，直接解就可以了。这个解出来仍然是一正一负，注意要舍掉那个正的，因为我的要求是不是 d 是 在负的半轴上的啊？是在下面的，所以这个 t 一定是一个负数，所以最后舍掉正的，那最后答案就是它 就是他。好，那这个 ok， 我 们就下一个来。刚才已经知道线段如何处理了，直角如何处理了，那我们基于直角的处理，再看一下角的一个相关的计算啊，角的一个相关计算，那你说我们角相关计算怎么算呢？ 在咱们初中阶段，其实我们所有的角啊，除了像一个九十度、三十度、四十五度和一百三十五度，还有六十度这样的特殊角，除了特殊角，其他的所有角如果想要玩的话，你都必须要基于三角函数的。 像刚才说的特殊角，其实就是他的三角函数，我们知道我们直接背下来了，像三六九三角形等腰直角三角形，那个四十五度，他的三角函数我是背下来的，所以那个直接用，但是有一些角他就单独给你个三角函数，那你就必须要把它放进直角三角形里去玩啊，直角三角形玩，所以给你三角函数的角怎么玩呢？ 就是放进直角三角形玩，放进直角三角形玩。好，那这样说的话有点抽象，我们就放到具体题目里再去看啊。现在告诉这样一个题， 二次函数也是已知的，然后 a 点 b 点给你求出来了，现在告诉我说这个 y 的 负半轴上有一个零逗号负一，然后现在问啥呢？问抛物线上是否存在一个点 m， 使得 tangent m b q 是 个三分之一。 那首先第一件事，你得先随手把这个 m 给它点出来，是不得先随手把这个 m 给它点出来，哎，那我就随手点呗。我就假如说这个 m 在 这，然后呢？ m b q 是 不是就这个角，这个角啊？这个角它的一个摊正，它是一个三分之一，比如说这阿尔法吧， 是不就这种情况，哎，那你画完之后有没有感觉也没画完这个图，这个情况一定讨论的是不？就这种情况。哎，那你画完之后有没有感觉也没画完这个图？这个阿尔法， 那我要找到一个角，阿尔法他是一个三分之一，是不是可能蓝线上面也有一个阿尔法？是不是可能上下各一个？所以我就知道这是 m 一， 这是 m 二。我这个题首先画图的过程中就顺便把类分了 啊，画图的过程中顺便把类就分了。他一定有两种情况，蓝线下面一个阿尔法，他的一个正切三分之一，蓝线上面一个阿尔法，他的正切是三分之一。所以这个题拿到手第一步啊，分类画图， 这两个你也说不清楚谁先谁后，总之就是画着画着图，类就分出来了，是不？画着画着图，类就分出来了。好，那现在分完类是不是得一个一个求呗？啊？一个一个求。好，那我就一个一个求。先求第一种情况， 先求第一种情况。如果我的这个角阿尔法，他在我的这个蓝线下头啊下头，然后这有一个角，他的一个正切值是一个三分之一。好，那这个题怎么玩啊？ 这题怎么玩？首先啊，首先我们是不是想着我得把这个三分之一这个角度给它放进直角三角形。怎么放进直角三角形？ 做垂呗，是不是做垂？哎，所以一定会有小伙伴这么做啊，我就给他做垂，做一个垂直，那做一个垂直，我这记为 h 吧。那现在是不就能得到这两个比例？是一个一比三。哎，正切嘛，一比三 好，能得到一比三来，那这就是我熟悉的领域了，跟刚才那个题一模一样，带比例，又有直角，我就构造三垂直，我就这么构造三垂直，哎，构造三垂直，得到这两个三角形一比三的相似， 哎，那有了相似之后，我怎么办呢？哎，那我是不是可以去表示一些横竖线段？但问题是表示横竖线段来，这个点不知道，这个点也不知道，这个点也不知道，那我就只能设了。那我就比如说设这是 m， 逗号 n， 那 这些横竖线段是不都可以表示出来？ 那表示出来的话，我要解 m 和 n 两个未知数，我需要两个，两个方程。那怎么找方程呢？那 首先我是不是这两条的斜称为负一，那这是一个方程， 那我需要两个方程，还有啥方程没？哎，我发现这个横线加这个横线加起来是一个一到零到四，是个四，哎，那又能够建一个方程，所以两个方程解两个未知数， 绝对可行，绝对可行。但是好麻烦呀，同志们，刚才那个运算我试过了，你要想把它老老实实一点一点算出来，至少十分钟才能算出来。我真的去算了，我不信邪啊，我就算了， 一定能算，一定能把 m n 解出来，但是非常麻烦。那你说我有没有更简洁的方法来？刚才为什么难算？刚才难算是因为这个直角顶点的两个坐标我都不知道，我得设两个未知数， 如果这个连接点不知道的话，是不是导致横竖线都不知道啊？所以我设了两个未知数，导致我的所有横竖线都得用 m n 去表示，所以麻烦。那你现在想啊，那我做垂直有没有别的方法？ 我现在的目标是什么呢？我现在的目标是把这个角放进直角三角形里面，又不一定非要说是这样做垂直啊，不一定非要让这个做垂直， 能不能让这个 q 当那个直角顶点？是不是也可以我换一个做垂直的方法？比如说我让 q 当直角顶点，我这样做，我这样做完之后来照样是一个摊正切，一比三是不得到这个， 这个线段比，这个线段是个一比三。哎，那这样子表示出来，是不是感觉一下子就轻松多了？因为我发现这个连接点，这个直角顶点，他是不是跟我的两个三角形都有关系？你这样做完三垂直，你这样做完三垂直来。现在看这些线段都是直接可以写出来的， 因为他是已知点，所以这些线段可以直接写，这不就是一吗？这不就是四吗？那你一比三相似这两个线段是不是也可以直接写？那这就是三分之一呗，那这就是三分之四呗。哎，那我发现这不是简单多了吗？一个方程都不用减， 是不？一个方程都不用减来。所以呢，我们做三垂直需要注意啥？需要注意做垂直的方法，需要注意做垂直的方法。 刚才我们去过点 q 往这做垂一定可以做，但是非常麻烦，要设两个未知数，找两个方程求解的时候还有一堆的二次式，还有一堆的那个，那个叫什么平方向，非常难解。我解过了，我帮你试过了，非常难解。 好，那你说我能不能换一个方法？那我就换一个做垂直的方式，我去垂直已知点，所以我们做垂直怎么做呢？就是过已知点 去捶自己，或者你说让已知点做垂足，这样子垂完之后的这些横竖线段是可以直接写出来的，是不是就简单多了？来，同志们，品出这两种方法的差别了没？所以我们注意啊。看到这个东西我就想到了做垂， 那做垂需要注意做垂直的方法，注意做垂直的方法没问题了，那这不是好做多了吗？这线段都知道了，我点 n 是 不就清楚了？ 我点 n 就 清楚了，我点 n 坐标是不就能写出来了？直接就是三分之一负三分之七。写完之后来，我现在要求啥？我要求 m， m 是 不是这条直线与抛物线的交点？那我是不是先得把这条直线求出来？直线能求不？ 直线能求啊？点 n 是 已知的，点 b 是 已知的。两点确定条直线，你可以用待定系数法，你也可以，如果你学过点斜式，用点斜式，总之你是可以求出这条蓝线的，一条解析式的，可以求出来。求完了之后，那我现在要解这个 m 怎么办？ 连立马，哎，连立马，这个 m 是 抛物线与这条蓝线的一个焦点，所以我连立这两个东西，连立这两个东西就可以解出 m 的 坐标，哎，连立解坐标，所以最后解出来就是一个呃负的十一分之四，解完之后带进我的函数里面。 哦，他最后要求的是 m 的 横坐标，那都不用带了，直接 m 横坐标解出来完事。好，那我们来总结一下这个题。首先，拿到这个题，是不是想着做垂，因为我要用正切，我一定需要三角形，而且需要直角三角形，所以一定要做垂。 那做垂的话，我就试了一下，我发现如果这样做垂，如果这样做垂，我会发现，哎，中间这个连接点横竖坐标，横纵坐标都不知道，我必须要设两个未知数，非常麻烦，所以我就自垂 过一只点锤自己这样做出来之后，横竖线段直接已知。那直接已知不是轻松，轻轻松松吗？这横竖线段也可以直接推出来，推出来之后平移，从点 q 向下平移三分之四， 向右平移三分之一，所以纵坐标减去三分之四，横坐标加上一个三分之一，得到了点 n。 然后我现在要求的是焦点，那焦点怎么求？ 连立我的直线与抛物线。那这个直线呢？已知两个点，你可以求出来，那具体怎么求？你看你怎么快，你怎么求？有的小伙伴们就是那个用两个点去待定系数法，他做的很快，你就待定系数法， 如果你觉得不是很快的话，你可以用点斜式。那点斜式如果你不知道的话，你可以在我的主页搜一下，搜斜率两个字， 我是讲过点斜式怎么玩的，你可以去看一下啊，点斜式，点斜式可以加快大家的速度，所以求出他的一个直线，求出直线连理得到来。同志们，这个第一种情况 ok 了没？那么第二种情况其实跟他一毛一样啊，一模一样。那我们把第二种情况就顺便一说吧。 第二种情况是不是就是在蓝线上面有一个阿尔法啊？这个阿尔法现在正切三分之一来。那你现在来看啊，仍然是要把三分之一放进直角三角形，那我就做垂呗。那现在你们自己选一下怎么做？你自己选一下怎么做。首先可以这样做啊，这样做垂于 q， 这是第一种情况，也可以这么做， 垂于我的这个 mb 这条直线，这是第二种情况。来一和二，你自己选一下吧。是不是就用一啊？肯定用一嘛，因为我是不是要垂于自己，让自己这个已知点去当垂足，所以我用一的这个方法去构造好，那我就垂自己，垂自己之后构造一个三垂直， 那构造完三垂直，是不就知道这两个三角形是不一比三了？哎，因为这个比例是不就用上了一比三，那相似比也是一比三。再看哪些线段是已知的？这个线段是不就是他，那这就是一吗？这个线段呢？这是四，那这是四，那一和四，那这条边三分之一，这条边三分之四， 三分之一，三分之四，那已经知道了这个横线和这个竖线来 q 点也已知平移得 n 嘛？怎么平移呢？向左平移三分之一就给横坐标减三分之一，向上平移三分之四就给负一加上三分之四，就可以得到点 n， 点 n 得到了之后来跟刚才一样，我要求 m， m 是 直线与抛物线交点，抛物线我是已知的，那我就要求这条直线，直线怎么求？点 n 已知点 b 已知，你可以点斜式，你也可以去待定系数法求出这条直线。直线出来了之后来怎么玩？ 把它和它连立啊，连立就可以了。好，你就直接射来射这个 l b， n 是 y， 等于一个 k x 加 b 射，射完之后来因因为这个 l b n 过点 b 和点 n， 所以 代入得， 代入得，你就直接代，直接就是一个三分之一等于一个负三分之一的 k 加 b， 然后零等于一个四 k 加 b。 啊，你可以这么写，但是我不想解这样的方程，那怎么办呢？你就直接解得 解得 k 等于几， b 等于几。那这个怎么算呢？用点斜式在草稿纸上算， ok， 你 大题上写这个，然后你草稿纸上点斜式，得出结论，直接写到这啊，这个过程是完整的，他不会扣你分的。 所以我们可以把那个小小小的偷懒的小技巧放到草稿纸上，大题我们就老老实实这样写就可以了。给大家说一下，就是一个小的偷懒的方式啊。好，那这个题我们就 ok 了，来看一下 三种题型啊。三种题型，首先第一种线段处理，那线段处理就是能好表示的和好转化的，好转化和表示是不是都练到了？然后就是直角处理，怎么玩？够三垂直吗？ 是不够三垂直，那角的相关计算其实就是多了一步，在三垂直的基础上多了一步，多了一步。你说垂直需要自己做啊，自己做出那个垂直，那个垂直怎么做呢？ 过意指点，捶自己。所以今天的题目其实是一个递进的啊，最简单的就是表示线段，然后直角，然后在直角的基础上需要你自己勾直角。

每天猜一个数学技巧，今天猜，今天猜垂进定律，叫不一样的垂进定律啊。我将会从以下三个方面来讲解垂进定律。第一方面就是怎么样想到垂进定律，也就说题目中提到了哪些条件能够让你想到用垂进定律相关的一些结论 啊？这第一方面，第二个方面就是垂进定律常见有哪些结论，我们是需要自己先把它总结出来，你在遇到题的时候才能够第一是有思路的想到这个事情，第二个就能够快速的想到这个事情。好，然后第三方面，我将会通过一个例题来让你通通过这个例题呢， 去结合我们刚刚学的怎么样想到全景地理，以及怎么样去用这个全景地理的常见的一些结论来解这道题啊？这道是一道中考题啊。来，我们首先看怎么想到全景地理在题目中 说了哪些话能够让你想到群经理。第一个湖的终点啊，湖的终点，那提到终点我们是 miu， 可以 想到我们提到终点应该想到什么？有背景还是没背景，对不对？那有背景的话，我们是不是就有一个原作为背景？好，那群经理是不是就来了？好，这第一方面，第二方面他说什么？他说这两个弧相等， 他弧相等和终点本质上是一个意思，也是表示这两个弧相等，但是我想表达的是什么呢？你要能够反应过来 他的这样一种说法，能够就是在说什么，就是在说 c 是 终点，就在说 c 是 终点，那么这样子是不是就有 垂心引力了？好， ok。 第二个就是相邻的弦相等，他是个弧相等，对吧？然后呢，我对应的弦是不是也相等？他可以说 a 弦 a c 等于谁？弦 c b， 那 是不是也能够说明这弧相等，也能够说明这个 c 是 终点，那又是不是又回到了这个垂径定力，对不对？垂径定力好，所以说提到这里三个我们都要想到垂径定力。还有第四个就是垂直于弦的半径平分线，就你要知道，就是如果说我过原先的这个半径 垂直了这个弦，那这是垂直于你的定力啊，对不对？垂直于弦的半径，他只要把这个弦垂直了，他就平分，这个弦就是垂直于你是的定义啊，垂直于你的定义。好， ok， 这就是怎么样能够想到垂直，就只要他说这样垂直，然后呢？这个弦相等，这弧是弧的终点，然后呢说这两个弧相等都能够联想到要用垂心连接这个弦长就垂直且平分。 那垂直力理的常见结论有哪些呢？第一个铁三角，就是他只要是垂直力理，通过这些这几个条件能够连接圆形，以后他只要能够证明他是垂直的 啊，他是垂直的，这个半径垂直于这个弦，那么他就平分，这个弦就垂直你的定力中，然后呢，他就能够得到一个三角形，这样的一个三角形叫铁三角，他为什么叫铁三角？而且是个直角三角形，他为什么叫铁三角？那我想问随便画一个三角形他都是铁三角吗？我们没有这么去说吧，我们最多说他是直角三角，那为什么我这里叫他铁三角呢？ 为什么是铁呢？对吧？是老铁的意思嘛？是关系很好的意思，对不对？所以说它到底怎么个关系？好法？那如果这条边我设它是 x 啊，这里边我设的是，那这条边是不是应该是半径减 x 啊？对吧？就半径减 x， 半径减 x， 然后呢？ o b 是 不是就是半径啊？ o b 就是 半径，你看在这个直角上行中看，这是这个直角上行中， 这个直角边和这个半径是有这样的一个关系，所以说他两个关系是很好的，所以说我们叫他什么铁三角，不是说所有的直角三角他都叫铁三角，因为这个直角边和这个斜边是有关系 的，是有关系的，所以我们叫他铁三角。这个是常见的在纯筋定律里面考的这个勾股定律啊，勾股定律，然后呢就是两这斜边平方等于它的平方和啊，这是在直角三里面讲的，我就不过多的讲啊。好，第二个结论就叫有很多的， 有很多的什么等腰三角形？有很多的等腰三角形，你看哪些是等腰三角形？这是一个垂直定力喽，垂直定力，然后刚刚说的这是铁三角，那如果把这个延长延长之后，你想哪些是等腰三角形？好，我延长以后这条线是他的垂直平面线，那我连接这个是不是他这两条腰就相等， 而且这是三线合一，对不对？所以他就是什么等腰三角形？好，我如果把这个连接起来，你看他这个也是等腰三角形，那对于这个等腰三角形来讲，你看我这里 延长出去，他跟这是半径，哦，这是半径，所以说这个这个是不是也是等腰三角形？然后呢？这个和这个这两边是不是也相等？这个也是等腰三角形， 然后我把这样延长出来，打到这个点，然后这样子连起来，这个是不是也是他的等腰三角形？所以说他会有很多的什么等腰三角形？有很多的等腰三角形。你记住这个事情 有很多的等腰三角形，然后呢你遇到的时候你去想有到底有哪些，然后具体根据每一个题看怎么用就可以了。好，这是第二个有很多的等腰三角形，然后呢你遇到的有很多的直角三角形， 有很多的正方形，你看这里让一样的哈，一样的，我把这个只要它是垂直定力以后啊，只要它是垂直定力以后，然后我把它这样子延长，延长之后呢？你看这是不是就直径啊？直径所对的圆周角是不是九十度？说这个这样按它就是一个正方形，然后呢这个是不是也是个这样正方形，然后呢？这旁边是不是有四个？ 四四个都是小小的直角线吗？对不对？好，然后就是你看这个是不是也是和这个是一样的吗？对称性的吗？对不对？对称性的。然后他是不是直径所处的圆周角是九十度，他是不是也是直角线？所以说也有很多的什么直角线，也有很多的直角线。好，那有除了这两个以外 啊，以及这三个以外还有什么呢？还有些比较特别的啊，比较特别的就是中位线，就是垂进地泥，你也要想到有中位线， 为什么有个特别，不是说所有的垂进力他都有中位中位线啊？一会我先把这个讲完，我就跟你讲，为什么不是所有的垂进力他都能用到中位线。好，那这，那这是这样子的，这是一条直径，过直定的过直径的另外一端引出了一条弦长， 斜长，随便，随便，这样子也可以啊，随便啊，这随便引出的一条线长，然后呢？他这样子是不是就有垂进力了？垂，垂线的半截是不是平行，这垂进力就出来了？垂进力一出来以后，因为他是直径喽，直径所对的圆角角是不是九十度？那你就说这两条线怎么样平行？那我想问，我们在终点里面是不是有个圆？自带的一个终点， 对吧？自带的终点，那么他自带终点以后，这样垂，这样平行，是不是终点加平行线也能够到什么中位线？所以说你看到没，中位线就出来了。 好，所以说当垂，当垂进地里的时候，他有那个垂着这个弦刚好过他直径的另外一端的时候，他就会存在垂进地里。那为什么不是所有的垂进垂进地里，他都有什么中位线呢？ 你想啊，假如是这样子垂线，然后这是一条直径，如果这这条直径和这个弦如果说没有公共同的，不是这样子的，他只要不是这样子的，这样子，两个有什么中位线吗？是没有中位线。所以说当他是这样子的时候，你就特别考虑一下这个事情啊，特别考虑一下这个事情。好，这是中位线。 这三个拇指形相似，这个也经常用的，因为在圆里面，圆里面会有很多角相等，为什么？因为它有同弧所对的圆周角相等，对吧？等等，弧所对的圆周角它也相等。那么很多角相等，就意味着你看我这三角形相似是怎么正的？就是两个角相等，它是不是就可以相似了？所以说只要它是垂直于你以后， 假设垂直于你以后，那这个弧是不是也相等了？那这个弧相等是不是对的？所有的圆周角都相等，你看啊，这两个弧相等，那么这个弧所对的圆周角是不是这个角？然后这个弧所对的圆周角是不是这个角？那这两个角是不是就相等？ 然后呢？我把这四个点我随便是这样子的哈，就是他先有了这个垂直力，你先有了这个垂直力，然后呢？我随便找一个点，这样子把四个点这样连起来，连起来以后呢？这不是就等弧了吗？对不对？等？弧所在的圆周角啊，这这个和这个角是不是相等？那我把这四个点连起来之后，你看这是不是就形成了一个三角形？这一个三角形 有小，里面有个小的三角形，然后这两个角还相等，有个公共角，是不是这两个是三角形？就什么相似，而且拇指形相似，他是有重合的边的，是有拇指形相似，那拇指形相似，我们有什么结论 啊？又重合的这条边的平方是不等于这边乘以这边，这就是，嗯，相似一比你就知道了啊，啊，好， ok， 是 拇指形相似，那拇指形，实际上除了这个三角形的拇指形相似，是不？还有这里啊？ 啊，你看啊，就是这个三角形，是不是拇指拇指形也相似啊？你看，因为这个角是不是等于这个角啊？这同同同弧嘛，对吧？这个角锁对了弧，是不是这个弧，然后呢？这个角锁对了弧，是不是这个弧？然后那 他这个三角形的这个角和这个角是不是就相等？然后这个是公共的角，所以说这两个三角形是不是也相似啊？那这个先这个的平方是不是也等于这个乘以？这个 好，我觉得这是相似，你只要一比，你就知道是有这样的结论的哈？这样的结论，这拇指形相似，那还有其他的拇指形相似没有？那你把这个垂直的这个半径给他延长出来，延长出来以后这是不是就直径了， 对吧？这是直径，然后呢？因为垂直里头他是不是就有垂直啊？你看到没？就垂直里面又含了一个垂直，那这不是两个直角吗？然后还有个公共角，那这个角和这个上弦是不是也相似啊？对不对？这叫反 a 模型，这叫反 a 模型，对不对啊？ ok， 这个声音也像，所以说他只要有前进力以后，随便找了一个点，他实际上是有三个拇指形相似啊？三个拇指形相似，所以说这是有三个拇指形相似。 这个是我觉得是比较重要的啊，因为他只要存在进，他存存进力，他就有这个事情。为什么？那为什么不是所有的这种两条相交线他都有那个拇指形相似呢？就没有的？因为他，他只要是随便的两条线相交，那么他就不存在有很多 那个角相等。为什么？因为垂直于你，他两个弧相等才导致了什么？才导致了这个角是不是等于这个角？那如果说这两个弧都不相等，那是不是两个角就不相等？那这两个角如果不相等，这，这还有存在拇指形相似吗？是不是就不存在？所以说当他是垂直于你的时候，他是有很多什么？ 很多五指形相似，至少目前来讲他有三个啊，目前来讲他有三个。好，这是一个比较重要的一个结论啊。常用的结论。还有最后一个是什么？是弦把半径平分，垂直平分。那我们通常垂径影是怎么说的？是 半径把弦垂直平分，就垂直于弦的半径平分。弦呢？那是这么说的。但是现在有一种情况是，什么是这个弦把半径给垂直平分了？那因为他垂直，因为本来就垂直，那是不是相当于这两个线段？什么相互垂直平分啊？相互垂直，那就有什么样的一个结论呢？好，他既然相互垂直平分，是不是就是你看是不是就菱形了 啊？这是菱形。还有一个很重要的一个特点是什么呢？你看这里，嗯，看这里，他就是三十度，为什么他是三十度？来给大家证明一下，这个是他把它垂直平分，那这条是不是就是二分之半径，二分之二，所以他就是什么二分之二， 然后这个是不是也是二分之二？好，我就不写了啊。然后呢，这个直角三角形里面，这个是不是就半径？ 这是半径，那我想问这是二分之二，这是二，是不是只有三十度？角所对的边等于斜边的什么一半？ 那也就说这个不就三，这不就三十度吗？这三十度，这不就六十度吗？这六十度，然后这两边相等，是不是？这个是等什么？等边三角形，那这还是一个什么？这是六十度啊？这六十度，这是一百二十度，这样，这个等边，这是一个等边三角形，还是个菱形，然后这里还有一个 三十度和六十度的特殊直角，这也是很特殊的，他这也是很特殊的。好，我们把这些全部总结在一起，你把这个垂直力你学透啊，学透，把这些东西给他记住， 这样子你在遇到垂直力的时候，你脑袋里面不就不简简单单的想到一个铁三角啊，就简简单单，有些可能连铁三角都想不到。所以我们不单单只有铁三角，我们还有什么？有很多的等腰三角形，有很多的直角三角形，还有什么特殊的？三个就是 垂进他，当他那条弦是有过直径的另外一端的时候，就有什么中位线，还有什么三个，什么拇指形相似，三个拇指形相似，然后还有什么？当他弦把半径垂直平分的时候啊？自己下去深刻的去理解这个，最好是自己去画一个收尾导图 啊。垂进定律，首先是怎么想到，怎样想到这个事情，然后这个事情，然后想到以后又能得到哪些常见结论？有六个常见结论啊，一二三四五六，是吧？有六个常见结论， 大家把它记住。好，我们来看最后一个板块，就是怎么样应用啊，怎么样应用，怎么样应用这样一个不一样的垂进定律，来解析，来解析。好，我们来看例题，如图所示， abcd 在 圆上啊，在圆上的四个点，他说 a b 等于谁？ a c， 这不是相邻的两个弦长，怎么样相等，相邻两个弦长相等，是不是意味着它对应的弧是不是也相等？那它对应的弧相等的话，是不是这个点就是中点？好，这些所有这三个条件是不是我都应该想到什么？ 垂心距离，是不是就我应该自主性的把它干嘛连一下再说？不管它有没有用，我先连起来啊，连起来，万一它有用的时候，我是不是这里是垂直啊， 对吧？这里就垂直好， ok， 然后它是不是还平分？垂直于弦的半径是不是平分弦，所以它就平分它好？这只是一个啊，只是一个边读题边思考的一个过程啊。好 看 a、 d 下一句。他说 a、 d 与 b、 c 相交于这个啊，相交于点 e 啊，相交于点 e， 相交于点 e 以后啊，有什么呢啊？相对于点 e 以后有什么呢？他说在连接什么？连接 b、 d 啊？在连接 b、 d 连接了连接以后。他说第一个写出。写出什么？写出与 a、 b、 c 相等的角，找到 a、 b、 c、 a、 b、 c 这个相等的角， a、 b、 c 相等的角来。同弧，对吧？ 要看看这个角度，你不要只看这个角哦，你要看这个角所对的弧怎么圈它所对的弧，你这样反过来看，那弧 a、 c 不 就容易找到了吗？ 那同弧所对的其他圆角是不是也相等？这个角是不是有点大？还有很多角跟它相等喽，因为这个弧和这个弧也是相等的喽，所以说这两个弧所对的圆周角是不是都相等？那这个弧所对圆周角是不是还有这个？还有这个，是不是它俩就怎么样都相等啊？都相等好， 所以说有很多跟那个角的相等啊，一二是不是都跟他相等啊？一二都跟他相等好，还有这个角，还有第三个角是也相等，是相对他是不是就角平分线，是不是给你九位，这样是不是角平分线，这两个角都相等？哦，不多说啊，不多说。第一个是不是很简单？很简单？好，这个求 ab 的 长， 他既然让你求 ab 的 长，那 ab 的 长是不是就让你求 ac 的 长？这两个长是一样的，对不对？所以说我就可以求两个，谁哪个都可以。那我想一下，回到一个题目，回到一个题目中，你要求这个的长度，你是不是得根据他题目中告诉你的一些长度来求啊？他说什么？他说 a 一 等于什么？ a 一 等于 啊，等于二，然后呢？这个 e、 d 等于啥？四就是等于二就等于四。那我想告诉你什么呢？就是他告诉你这种共线线段的长度，或者说他直接不告诉你长度，或者他告诉你他等于他这个 e、 d 等于他两倍它， 那这是就是他是 a， 他 就是二 a， 他 直接不告诉你具体程度，他告诉你一个比例关系啊，然后这种题他就是告诉你具体的长度，那他是不是也是一比二的关系啊？ 好，这种应该往怎么样去思考？往怎么样去思考？就是共线段，在一个题中共线段，他告诉你那两个小线段的长度，你应该怎么样去考虑这个事情？百分之八九十要用什么？用相似， 为什么？假设啊？假设这两段长度都告诉你了，那我找一个平行线，这样子，这样构成一个三角形相似，这两个三角形相似的话，那这个是一比二，那这个是不是也是一比二？ 那这条小边就比上这个长边是不是也是一比二？所以这就有这样的一个比例关系。好，那我既然在又想到相似，然后呢？这两条线作为突破口，他告诉你这个 两个啊，就怎么样想到相似。我现在跟你讲的是，这肯定是要你下来，自己要先总结一次，你遇到一次你就知道了，他只要告诉你一个线段，两个程度，你是不是要考虑往相似上面去想，往相似上面去想，那你看，又有垂直定力，又有相，又要想到相似，那么是不是母子型相似？就是，如果你提前总结好这个事情， 通过这个表格，你已经总结好喽，对吧？曾经你的一些结论，那有六大结论，六大结论，第一个铁三角，第二有很多等腰三角形，有很多，什么直角三角形，然后呢？还有什么中位线？拇指形相似。好， 你把你脑袋一过到这里的时候，你看又想到相似，这里有拇指形相似，所以我们是不是得尝试用一下拇指形相似的一些 评论。好， ok， 那 是怎么证明不成相等？是因为他有两个弧相等，是因为他有两个弧相等，他有两个弧相等之后就会导致了什么？很多角相等。对于相似来讲，我只需要证明两个角相等，我只需要证明两个角相等，他就能够构造相似。那你看啊， 对这个三角形来讲啊，这个角是不是这个弧对这个弧，然后呢？这个弧是不还对了，这个角是不还对了？这个角这两个弧又相等，是不是这两个角又相等？所以说这两个三角形是不是就是拇指形相似？你看，我刚刚也说过了，那这个三角形既然作为拇指形相似的话， 那作为拇指形相似，他既然作为拇指相似，那是不是就是怎么相似的？我把它写一下你就知道了啊？三角形什么呢啊？三角形，三角形 a、 b、 e 先写 a、 b、 e， 小 的先写小的 a、 b， e 相似于谁呢？有些同学在找找这个相似的时候呢，容易把对应的 点给他写错，我教你一个方法啊。首先，那你跟他写相似的时候，你就想把三角形写好，那你就看 a 和谁对应， 那你就想角 a 等于谁吗？在这个小三角形里面，角 a 和这个小大三角形里面角 a 是 不是一回事？所以说我这里就是 a 和 a 对 应，那我们 a 和 a 对 应，对应写好写好之后呢？我那我就看下一个点，那 b 和谁对应？ b 和谁？那你就看这个角 b 等于这个大三角形的谁，这角 b 等于大三角形的哪个是不是这个？所以说角 b 就 应该和谁角 d 对 应，所以说 b 就 和谁 d 对 应。我这里去写 d， 这样就一点都不会错，一点都不错。然后呢？下一个 e 和谁对应？那我想问，这个 e 拉了，剩下的不就是这个吗？对吧？ e 和 b 对 应呢？把它翻过来嘛，你把这上弦这样翻一下，然后再拉大，不就可以了嘛。所以说 e 和什么，那个 b， e 就 和什么 b 对 应。好，你就和 b 对 应。 那你现在要知道你要用哪些，因为它有很多对应边呢？然后这个边比上这个边，比上这个边比上这个边，对不对？但是有哪些你要用哪些？你要搞清楚，你现在知道哪些边？ 要从已知条件去说，别乱用，别乱用。因为什么呢？你看啊，首先你现在是不是知道 a 一 好，这里 a 一， 所以说明我要用下 a 一， 那我要用 a 一 的话，我就写一下喽。那 a 一 a 一 比上谁 a 一， 我想问这里 a 一 是不是一三的位置？那你就要去找这个的一三的位置，那就比上谁 a b 好， 就比上 a b， 而且 a b 刚好是不是也是我们既要求的边，所以说也有用啊？好，那我现在还知道那个谁，是不是还知道 e d 啊？还知道 e d， e d， 但是我这里没有。我这个上行里面有有 e d 吗？说没有，但是我想问这个 e d 告诉你了，这个 a a d 是 不是就告诉你了？谁上次告诉你了 a d 对 不对？ a d 就 等于零加 a d 就 等于六，所以说我看下，这里用 a d， 那 这里用六，我能在这里写 a d 吗？不行，我，因为什么？我这个是不是先写的这个上行？所以说我要先写什么？这个上行里面的 那 ad 和谁对应呢？是不是和 a 一 对应？ ad 和什么 ab 对 应，你看这里是不是又有 ab， 所以 说你看就有 ab 又等于什么呢？ ab， 我 现在讲的是为什么能想到到底是哪边比哪边，等于哪边比哪边，你是通过已知条件去出发的？好，那这里 ab 就 知道了，对应谁，是不是对应上 ad， 那 就比上什么 ad 好，你们有没有发现一个问题，就是我在写这个对应比例关系的时候，我基本上是没有看图的，我只要前期的时候我把这个对应关系写对，那么我在写比例关系的时候，我只需要找位置，我只需要知道首先我要用哪个，用哪条线段的笔，那你看我这样直接找位置写，你都不用看图， 那这不就出来了吗？出来之后呢？你就想啊，我现在已知了，把它换成数字了啊，所以我就把它写成二。 二比上 ab 是 不是等于我要求的 ab， ab 肯定不知道。然后 a d， a d 等于几啊？ a d 是 不是等于二加四啊？是不是等于六，所以它就等于六啊？六，所以说我交叉相乘以后，我把它交叉相乘以后，那是不是就是 ab 的 平方等于什么？ a b 的 平方等于什么？十二。那 a b 开根号是不是就是刚好十二？刚好十二。我把它猜一下，四可以猜成不对，那个十二可以猜成谁？三乘以四，那四可以开出来，那就是二倍，刚好三，所以说 a b 就 等于什么？二倍刚好三 来， a b 就 等于二倍，刚好三。所以说我再回顾一下，我怎么样能够想到一些正确的方法， 对吧？我怎么样想到这个正确的方法来解这样的一个题，怎么样有个思路，对吧？所以说你想要具备解这个题的能力，首先要具备，这样，你要先把它总结出来， 对吧？先把这些东西总结出来，总结出来装在你脑子里面，用的时候才能想的起来啊，用的时候才想的起来，这是第一个方法，这是第一个大前提嘛？大前提，然后呢？第二个再加上一些额外的技巧，就是你知道， 你知道这个是吗？这个共线的两个小线段，他怎么样？他相，那他的已知啊，他的已知就是他的长度是已知的。那你就应该想到 可能会用到什么大概率，我不是百分之百吧，是大概率要用到什么相似，你只要能够勾到三三角形相似，比如这样啊，二四这样，这个比上这个是不是等于这个比上这个就这个意思说联想这个，然后结合你 记得曾经你常想常到的，常想到的六个结论，曾经你的常想到的六个结论，对吧？其中有一个拇指形是相似，而且有什么三个拇指形相似，三个拇指形相似，对吧？好， 我们来再来看啊，再来看，所以说这第二问就解决了，解决了，好，我们再来看。他说 ab 所对的什么圆心角？为 ab 角的弧 a b 弧 a b 所对的圆心角是圆心角，是不是这个？如果我要把它连起来，就是这个角，这个角等于多少呢？一百二十八， 但他告诉你这个角等于一百二十八，但他告诉你这个哪一个角等于一百二十八，结果他又告诉你六十四度， 那这个和这个是不是应该有关系啊？要不然的话，你只用这个直接告诉你六十度。然后这如果说，我想说我想表达的是，如果说这里面没有一个六十四，如果他没有一个六十四度，那你这个有意义吗？ 是没有意义，所以说这里面的图它一定有一个角，是什么？六十四度，然后六十四度和这个一百二十八是不是有什么关系？你觉得它有什么关系？是不是两倍关系？所以说你看下这个圆，这个圆是不是圆形角，那我它有两倍，它是二分之一，是不是就刚好是圆周角？是什么？二分之一，所以说它是不是就是相当于告诉你这个角是多少度？六十四度， 对吧？这个角就是在图题目中这角是六十四度，然后 他让你求啊，他让你求什么？求半径？那求半径的话，你看我这条线连起来是不是肯定要有用啊？有，这里哪？我想问如果没有这个辅助线，这里哪？哪里有半径？就没有半径，没有任何一个点跟什么圆形连起来，所以说我这连起来是很有必要的，这个连起来就是为了解决第三 位啊，解决第三位，那你想这，那他我现在已经知道了什么？这 abab 等于三，我就把它擦掉了啊，擦掉。 然后我们把这个 a b 等于二倍根号三写上去啊，写上去， 接着看啊，接着看。我现在 a b 已经知道了，那是不是 a c 就 知道了？那我知道这一条边、两条边、三条边和四条边，以及这边啊，这边知道，然后让我们求什么？求半径？我要求半径。首先来讲，我要求半径，我，我肯定得 得把这个半径怎么样放在一个直角中才有意义吧？才怎么样去求了？那你看啊，半径，我如果去这么想，我怎么这么想？我说我这个半径的这个其中一个部分已经在这个折痕中， 已经在这个折痕，那这个折痕呢？他也就知道了，这条边，这条边也不知道，然后这个这个 bc 他 也不知道，然后他就告诉你这个角的 六十四度，那这个角点六十四度。来，在圆中告诉你这个角点六十度。你别也不要只看，你看这角所处的弧，看他这个弧有没有对，其他的圆周角也是六十四度，是不是现在还没有其他圆周角？来，我应该怎么做呢？我该怎么做？我刚是不是之前学过就是 垂进定律，他又想到什么？很多的等腰三角形和很多的什么直角三角形，我刚好，我刚好，现在是不是需要直角三角形？因为我要求半径的 说，我现在就要，我要求半径，我是不就得把这个半径放在一个直线圆中？那半径放在直线上最好放的是什么？就是直径呢？直径所度的圆锥是多少度？是不是九十度？等下我这样我把直径求出来，那不就行了吗？你看刚好我还知道这边是不知道我如果求助这边，那是不是就是 勾股定就出来了，甚至我知道一些角度关系是不是也可以求好，而且他是用探听的。好，一会我再说一个探听的事情。好，那我就把它延长出来，我就把这个这个半径放在一个什么指向圆中。你就记住在你求，求一个线段的长度，不管是求哪个线段的长度，你首先要有这种思维，就是求线段的长度， 求一个线段的 a 的 长度。那你就有两个思路，第一个勾股定律，第二个什么相似。在初中阶段就想这两个思路就可以了 啊。我首先想的是把它一个放在一个什么正弦中，那半径怎么样才能放在正弦中？就是把它怎么样，就是要么你就把这个拆，把这两段分别求出来， 然后呢？或者就直接把它放大，放大以后就拆么？就实际上就缩小了，然后反应出另外的时候，就是把它放大到这个正弦中，把它放到一个正弦中，中间中， ok， 我 连起来，好，这时候就正弦了， 对吧？这就这样，嗯，好，这样就出来了，那然后刚好这个直角边是不是也知道？好，我现在去通过这个去解， 就是我现在这个是还没有用啊，这就六十六十多，那探听的，探听的是哪边比哪边探听的？对于探听三角函数来讲，三角函数是不是也也只有在直角上才有意义？那我最先想到的是可能就是这是直角，让我这样子过，做个垂线 下来，对吧？这样如果垂线下来，然后这不就是一个餐厅的吗？但是这两边我都不知道啊。你，你，你知道他是二比一有什么用？基本没有用。所以说，那你看我这个角我还能不能放在其他其他其他的这样一种，就是我要去找这个六十四度相等的角， 就是在几何里面。如果说知道一个，不管是他再告诉你这个三元尔法还是餐厅 abc 嘛，就是 abc， 然后餐厅的 abc 或者扩散 a、 b、 c， 你 都不要只去看这个 a、 b、 c， 因为这个 a、 b、 c 大 概率是没用的， 你要去看与它相等的角，并且与它相等的 a、 b、 c， 这这三个角啊，这三个角要在直角中才有意义。所以说你知道这个角以后，更多的是要去找与它相等的角，并且这个角要在直角中，这是思路， 这是另外一个小技巧啊。这后面我也会总结，就是在题目中告诉你一个 sin theta， 然后 cosine theta， 勘听的 theta， 你 不要只看这个 theta， 你 要去找三 theta 相等的角，与它等，与它没它与它相等的角，因为与它相等的可能有很多个角，你要重点看哪些角呢？ 重点看什么？重点看这些角哪个在什么？在直角上匀中，因为这个摊定的只有放在直角上匀中才有意义，所以你通过等把这个角给它等量代换以后，它就能自然就跑到直线匀中。 ok， 你 看我们这个弧是不是对着一个弧？然后我研究出来以后，你看这个弧，这个角是不是也是多少度？ 也是六十四度，所以这个角它也是六十度，所以说我就能够找到什么呢？与它相等的角是什么？六十四度来与它相等角是六十四度。好，六十四度以后，他是不是知道它定的它定的是哪边？在哪边？在这个时候以后是不是对边比上什么？零边？那对边比上零边等于多少？ 是不等于二？那这个是多少？就是相当于是 a a， 嗯？什么 a d 比上什么？这假设我写个写个 f 吧，那写个 f 比上 f d 等于什么？是不是等于二啊？他说他念的他是不是等于二？他念这边比这边点二，然后呢？这个 a d 等于几啊？ a d 等于是不是等于六啊？二加四嘛？啊？ a d 等于六，那六除以多少？等于二，是不是等于除以三？所以说这一条边就是三，那这条边等于三，这条边等于啥？六勾五定是不是可以求出这边 对不对？固定是不是可以求出来？那就是什么六的平方加三的平方，再开根号六六多少？三十六，三多少？九，是不是四十五啊？是五九四十五，然后再开根号的话，这九就是开，开出来，那就等于啥？三倍根号是吗？五，所以说他的 的那个直径就等于什么直径？ a f 就 等于什么三倍根号五，三倍根号五，然后再它求半径呢？半径是不是得再除个二啊？ a f， 对 吧？ a f， 然后再最后半径再除个二，半径就等于什么二分之三倍根号。 好，这么就搞定了啊，过程中大家自己下去写啊，自己下去写，关键是怎么想的？我一直在强调怎么想， 对吧？这个题怎么想？那第二个题我是不是要脑袋里面装装着纯金的泥？然后你如果要需要用到相似，是不是就能够想到什么拇指形相似，那这个怎么想到呢？首先关键点破题点实际上还在这里，还在这里。 就是首先第一个他让你求半径，那求半径来讲，我首先把这半径看能不能拆，拆成两个部分看能不能解啊？如果我如果说我能解出这两边，把它加起来是不是也能求 啊？如果说有些题像有些题啊，他就告诉你这个什么 a c 等于多少，然后呢？这垂直就这里边不就知道了吗？然后通过这个什么，然后他告诉你这是二，然后这铁三角是不就能够求半径了？ 是这种好， ok， 如果说这种思路想不到，那我就应该把它放大，放到一个直线函数，而且刚好这里还有个什么探听的六十度，探听的六十四度，那探听的他也要放在 z 才有意义。所以说我还有一种技巧，还有一个技巧就是要把这个六十四度找他的等量关系， 找他哪些角和他相等，然后我找这些相等的角刚好在直角中，然后我刚好就可以用这个探径的，甚至都不用自己去构造直角，直接就可以通过等量关系把它转化到直角里面啊，把它转化到直角三角形里面 就可以解决问题啊，就可以解决问题。回顾这题来讲，好，我们看这个题应该怎么样去总结，既然这个题如果说你没有做对， 或者说你听懂我的讲的，你应该怎么样去总总结，就要学会自己去学习。那我做遇到一个很好的题，我怎样通过这个题来总结出我哪些不会的？第一个圆里面我经常说两句话，就是你已知一个圆心角或者圆周角，你不要只看这个角， 就像这个一样，我知道这个圆心角，我知道这两个角，我不要只看这两个角，我要看这个两个角数，我要，我要看这个角数。为什么 要看这个角度的什么弧？为什么是手中的弧不是弦呢？因为你记住圆里面他肯定有弧，但不一定有弦。你看啊，这个，比如说我把这个去掉，那这个我告诉你这个角度数，你看这个弦有用吗？你得看什么？看弧？怎么看到的弧啊？你把这个角给他，顺着，顺着这条线看这个角，顺着线看来这弧不就找到了吗？ 不要看他所对的弧。为什么要看他所对的弧呢？因为这个同弧或等弧所对圆周角怎么样相等，而且圆心角还等于他的什么两倍好，所以说就是这这第一句话就是 圆里面不管知道圆心角还是圆周角，不要只看这个角，要看这个角所对的什么弧。记住这句话啊，记住这句话以后你读做圆的题的时候告诉你，这个圆周角等于三十度，是不是圆心角等于多少度？六十度，就这个意思。 好，第二句话就提到直径，我们要想到什么九十度，就像这个一样，我把它延长出来，是不就直径啊？直径是不是就九十度就出来了啊？九十度。所以说啊，第二句话是提到直径，要想到什么九十度。 好，这两句话是经常会用的，这是最基础的两句话了，这是最基础的两句话。好，我们再来看第二个，需要总结的是什么呢？第二个呢？如何想到垂直点？你刚说了对吧？告诉你一个圆的弧圆圆，这个什么弦，长相等，对吧？ 朋友？还有什么？还有什么？这就是什么垂进定力，对不对？直接告诉你，他垂垂，他就是垂进，你就出来了吗？这是最最简单的了，对不对？好， ok， 就 如何想到垂进定力。那垂进定力有哪些常见结论？然后我们不看表格怎么样去梳理结论，是不是六大结论？ 哪六大？第一个什么铁三角，是不是就是那垂边和他的直角边？都是跟半径有关系的，对吧？铁三角。那第二个是什么？ 很多的什么？有很多对不对？很多等腰三角形和很多什么直角三角形。 ok， 剩下三个字不就很特殊的三个很特殊的。第一个什么中位线？如果说，如果说他那条弦跟他的什么 直径零有个公点，是不是垂直，他就存在公，存在什么中位线，那还有什么？还有什么拇指形相似？有，而且有几个，是不是三个拇指形相似啊？三个拇指形相似，还有什么？当他的什么 弦把半径给它垂直平分的时候，是不是就有什么？这是一个什么菱形，对吧？这是啥？三十度，你看这样的一个六大常见结论，你是不是就总结出来了 啊？转一下你就可以记住了，好， ok， 这是一个怎么样去思考啊？啊，不对啊，这个啊，不好意思啊，这个就是怎么样去思考，全景地理，就是一，如何想到。第二， 他的常见结论有哪些好，我们第三个就是我用我把这个题所用到的技巧全部总结在这个这个里面的啊，贡献线段的比例和与长度如何去思考？就是他告诉你一个贡献线段，这是二，这是四，或者这是三，这是六，无所谓了，随便 他只要告诉你这个线段的长度或者他的比例，比如他是二，他说他是他的两倍，就这里他说他的长度等于他的两倍，是不是他就 a， 他 就二 a， 对 吧？就这意思，他告诉你他的有比例关系，而且有具体的长度关系。那你怎么样去思考？多半都用什么？用相似， 要从相似的方向去思考好不好？用相似的方向去思考啊，去构造，通过这两边去构造。第一个去构造这样的平行相似吗？对不对？然后呢？或者拇指形相似 啊，去去想怎么样存在相似啊？怎么样才能够存在相似？好，然后呢？第三个，已知一个角的三角函数值，你看就像这个一样，知道这个角的三角函数值怎么样去思考， 知道这个角的三角函数值。你不要只去看什么，不要只去看这个角，你要与找这个角什么相等的角，这个角和它相等，角是角一和它相等，然后角二和它相等，然后又等于角三， 然后还等于什么？角四，你就看这角一角二角三角四，哪个角在质量很匀中，然后那就可以用了，直接用它，你的好吧，多半要这么考啊，多半这么考。然后其实还有一个， 就刚刚做题上还有一个什么求一条边，就你求一条边，不管是求半径还是求什么，只要是求边的长度，十度和什么相相似，和什么 勾股定律，把它放在相射或者三角形中，或者勾股定律，才可以去求一个边的什么长度，这是常见的思路是吧？常见的思路 好，自己下去总结，然后自己下去好生的做一道这个题，你，你真正的吃透一道题，比你去做很多题都有用。而且你通过这个题总结出来的一些方法技巧，你是不是可以用在下一个题中？比如说下一个题，你看他又告诉你这男的瞬间的长度，你是不是有思路了？像以前拿到这个可能就没有太大的，但你现在就有思路了， 对啊，好，然后呢？他就说你随便告诉你一个判定角角等于三分之一，对啊，这三分之一又怎么考虑？那你是不是你看我老师讲过，是不是先找与他相等的角，角一啊？角二是不是跟他看，是不是跟他相等，是不是角三跟他相等，然后你看这三个角哪个角在什么直角圆中， 是吧？然后去找，然后直接就可以用了，他念的对边比邻边就可以用，甚至告诉你善意是不是一个道理的，是一个道理的。好，有了这些之后，你是不是就下一次做题，你是不是就没有？那么就是你做一个题在成长， 嗯，做一个题是在成长的，你总结这些就是你成长的过程。这个真的很重要啊，有些人刷了很多题，他的成绩照样没有很大的提升，是因为他只刷题，他不去总结，他对一个题他不去做过多的总结。那你总结，你不总结，那就没有经验，实际上相当于盲目的刷题。刷题，那那刷题的意义就不大了， 刷点意义就不大。好，感谢大家，今天是我们，呃在对的方向上坚持长期主义的第八天啊，第八天，然后也感谢很多，呃， 啊，原始股东的喜欢啊，小女士的喜欢，然后我看到这个，呃，有，有关注吗？大家，啊，有关注，所以说，嗯，我觉得一切都是来之不易的啊，一切都是来之不易的。大家，呃，也，大家的关注对，我也是也是比较重要的，也是比较重要的。然后呢，我也会在这个 呃对的方向上继续坚持长期主义啊，我相信大家都会越来越好，越来越好。好，今天就讲到这里，今天就讲到这里。

初联搞定几何模型，压轴题做得又快又准，如图所示，三角形 a、 b、 c 为等腰，三角形 a、 b 和 a、 c 长度为八， p 为 b c 上一点连接 ap， 已知 bp 为四， pc 为七，求 ap 的 长度，试着自己思考下，五秒钟后公布答案 时间到。这道题可以用等腰叉积模型，如果三角形等腰底边上有一 p 点，就有 a p 的 方，等于腰长度的方，减去 p 点两侧线段长度的的乘积。下面是推导过程， 做 a 点到底边的高，将焦点记为点 d， 这样在 d 两侧就有了两个直角三角形。通过勾股定律可以分别得到两个等式，将等式合并， 要换下选项位置，将右侧用平方差公式转换。括号中的两对长度就是 b p 和 c p。 因为是等腰，所以 a b 和 a c 相同，这样就推导出了刚才的等式。把题目的数值代入，可得 a p 长度为六，你学会了吗？

hello， 同学们来看这道题，这道题直接给我了我们一个二次函数， 还给我们建立了直角坐标系，但是这些都不重要，它不影响我们任何的做题，因为这是一道互不规模型的题目，我们从解析几何的角度去分析它， 解析几何最重要的一个点是什么，就是他问我们什么，我们就去求什么，从题目出发去解析，所以我们直接看题目，让我们求二分之一 pb 加 pd 的 最小值，那么我们就把它表示出来就好了，对不对？ 二分之一 pb， 那 pb 是 多少呢？这里题目中的点 b 的 坐标是零负根号三，那么点 b 的 坐标是零负根号三， o b 的 长度就等于根号三，那么我们的 p b 就是 o b 加 o p， 那 么 o p 究竟是多长呢？ o p 是 一个动点，我们不知道它具体有多长，那既然我们不知道它具体有多长，我们就直接把它设为一个未知数就行了，是不是很有道理？ 不知道它有多长，它在动，那我们直接把它设为一个未知数就行了。我们不用具体去管它到底有多少，我们就设它为未知数，你就不知道，去吧。我们接下来进行我们的下一步，不管这个点 p 了， 因为我们已经把 p b 的 长度处理完了，很显然 p b 的 长度就是我们设的 x， 再加上根号三。 接下来我们做题还是那句话，从来不卡思路，没有那么多花里胡哨的，问我们什么，我们就去解决什么，现在已经解决了 p b， 下一步很显然就解决 p d 了。那么既然这是一个平面直角坐标系，我们如何去表示 p d 的 长度呢？ 可以用两点间的距离公式，也就是我们的勾股定律。两点间的距离公式本质就是勾股定律。那么用两点的距离公式知道了点 p， 还要知道点 d 的 坐标，才可以 用距离公式表示 p d 的 长度。那么点 d 的 坐标是什么呢？点 d 在 这个二次函数的对称轴上， a、 c 是 二次函数与 x 的 两个交点，那么点 d 不 就是 a、 c 的 中点吗？对不对？对称轴，对称轴嘛，它肯定是在最中间的， 那么我们把 a、 c 的 坐标，两个坐标横坐标一加再除以二，就是点 d 的 横坐标了，它的纵坐标就是零，因为它在 x 坐标轴上。好了，现在点 d 的 坐标我们知道了，点 p 的 坐标我们也知道了， 那我们现在就直接用两点间的距离公式把这个 p d 的 长度给表示出来。好的，那接下来 p b 我 们也知道了， p d 我 们也知道了，那我们直接把题目让我们求的二分之一 p b 加 p d 表示出来就可以了。 题做到现在，我们仅仅只干了一件理所应当的事情，那就是他问我们什么，我们就去表示什么。好了， 现在把这个式子写出来了，我们就只用处理这个式子，这道题目相当于已经完结了，我们已经把这道题做完了，现在剩下的就是处理这个式子，我们怎么处理呢？为了简洁美观，我们现在 把二分之一 pb 加 pd 的 值，用 t 字母 t 来表示。从现在开始，我往后做的所有计算中的字母 t 都代表二分之一 pb 加 pd 的 值， 为的就是简洁、美观、优雅。那么我们现在来看这个柿子，很显然这柿子里面有这么大一个根号，那为了我们方便计算，我们需要进行去根号， 大家可以理解吧？因为带着根号我们没有办法进行计算，所以我们下一步理所当然的顺水推舟的我们把根号给去掉 处理代数式我们去根号的手段是什么？那就是给这个式子两边都开平方，这样子根号就会被去掉了，因为一个根号开平方，那么他就等于原本根号里面的那个式子，对不对？ 但是要注意了，在开根号之前，我们要确保这个代根号的项是一个单项式，也就是这个根号单独成为一项。 在这个式子里，我们就是要把这个二分之一倍的 x 加根号三移到等式的右边去，从等式的左边给他移到右边去，这样子这个带大根号的式子他就是一个单向式了，等会我们再对他进行平方，他的根号就能直接被开掉了。 那从左边移到右边之后，我们会发现右边的这个柿子好像又有点长了，是吗？那我们等会开平方怎么处理？它？没有什么好处理，它的开平方我们就正常开，给它完全平方公式开开就行了， 其实计算量一点都不大，在这个前期视频我看到有人说觉得计算量太大了，怎么怎么样， 其实我觉得这些都是一个初中生正常的计算能力可以足够去做完这些计算的 熟练运用完全平方公式是我们的基础，你看这边我们给式子开完平方，结果又有一个完全平方公式让我们开，但我觉得这其实都是很正常的事情，无非是开两次平方，换糖不换药， 对不对？同学，你会开一次，难道再让你开一次你就不会了吗？那我们继续去整理这个式子，顺水推舟的一步一步的把这个式子给整理好。 这样子，这道题我们其实已经一只脚踏入了算出答案的大门了，所以同学们一定要稳住心态，慢慢计算， 不要去畏惧，你觉得你可以，你就一定可以的，全部都化为多项式之后还是那句话，我们为了简洁，为了好看，为了美观，为了优雅一点，我们把这个式子里所有的多项式统一移到左边去。 当然，如果你是右撇子，你就移到左边，是左撇子，你可以把它都移到右边去。反正最后我们的式子就是 另一边只剩下一个零，东西全都在左边。移过来之后，我们就可以清晰地去看到这样一个式子了。那么我们下一步就是把这个式子 配凑成关于 x 的 一元二次方程。也就是这样，让我们的未知数 t 跟这些常数项全部都成为 x 一 元二次方程里的参数 a、 b、 c。 那我们为什么要无厘头的去做这一步配凑？我明明好好的多项，是你非要给他配成一个一元二次方程，还是一个关于 x 的 一元二次方程？目的是什么呢？同学们可以自己思考一下。其实这并不是一个无厘头的行为，因为我们的目的 很明显，我们开头设了 t 等于二分之一 p b 加 p d， 那 么我们要求 t 的 最小值，首先得求它的取值范围吧，因为它取值得有一个确定的范围，它才有一个最小的值吧， 如果它的取值没有范围，我怎么知道它取到哪里是最小的呢？所以为了求 t 的 取值范围，我们把它配凑成一个关于 x 的 一元二次方程。由于 这个方程是我们推出来的，所以这个方程一定是有解的， x 一定有解，那么这就代表着它的的它一定大于等于零。 到这里同学们有没有大彻大悟呢？由于他的德塔有一个取值范围，然后我们又把有关于 t 的 式子配凑成了这个一元二次方程的系数，所以我们就可以用德塔大于等于零去 推出它的系数 b 平方减四 a c 大 于等于零，也就是这个有关于 t 的 式子大于等于零。 现在知道为什么我们一开始要配凑关于 x 的 一元二次方程了吧？为什么要把代替的式子都作为这个方程的系数呢？就是为了利用德塔这个判别式的取值范围，从而去关联到我们这个未知数 t 的 取值范围。 接下来我们就用完全平方公式进行化简，那么这个完全平方公式确实很重要，我们要熟练的掌握，其实也是一个很简单的东西，我们多练就可以了，这种题目考的也不难，所以我们不要从一开始就畏惧它。 化简到最简之后是一个一元二次的不等式，那么我们继续解这个不等式，解出一个 t 的 取值范围。 t 大 于等于四分之三倍根号三，那么就说明 t 的 最小值就只能取到四分之三倍根号三了，这就是我们求取值范围的意义，也就是我们二分之一 p b 加 p d 的 最小值是四分之三，倍根号三。

老师，初中几何那么多模型，然后那么多涉问，那么多压轴题，遇到哪种类型，怎么想？能不能给学生点一下呀？不然他学砸了。嗯，比如说看到啥想啥，你给大家说一下呗。嗯， 你这个意思指的就是我们对这个学习要产生条件反射呗。嗯，一定要有条件反射的主动的这个想法。嗯， 比如说我们看到终点，你想啥？中卫线，中卫线很好，你能直接想到中卫线，这已经很高级了。比如孩子，我只能想到，哦，他是这个线段的终点，他就把这个线段平分了两个相同的线段， 这个维度太低了呀。嗯，我们看到终点，我们要从好几个方向想，嗯，一就是刚才说的这个，第二个呢，就是看如果是等腰三角形底边上的中点，嗯，三线合一。嗯，第三个就是如果是直角三角形斜边的中点，斜中半， 是不是？嗯，那如果是你刚才说的，我们这一个图形中好几个边的中点都有了，能不能有中位线？可以啊等等。这就是看到什么想什么。比如说我们看到 在一个题目中有两个点是动的，两个点都是动的，嗯，而且这两个点动的过程中要保证两条线段的长度还相等。嗯， 看到什么像什么，这就叫做逆等线。那我们看到了逆等线，一定要想逆等线，当时老师是怎么讲的？嗯，一般情况下，我们就是看到逆等线， 把这两条逆等线重合在一块，嗯，然后构造一个全等三角形出来，嗯，然后呢，就是让这两条线段可以共顶点， 然后划成一侧，最后划折为值，求极值。一般情况下，我们的逆等线的问题是 线段和最小逆等线，其实他的转化还是为了共顶点划折为值。是的呀，对，只是方式是全等全等而已。嗯，是， 还有什么呢？还有就是隐形员学生不是很了解哪种情况下有隐形员？隐形员的这个情况也比较多。那常考的我们有看到一个 定角在那呢，不管怎么变动，这个点，不管怎么动，他这个角度都是相等的。嗯，而且他这个弦还是等相等的，相等的，也就是说这个线段还不变，这个定角对的，这个线段还不变。那这一定就是定弦，定弦一行圆。嗯， 或者是我们看到了有一条线段，它同时对了两个角，而且这两个角还相等，那么这一定是隐形圆，它叫做定弦，两个相等的圆周角同弧所对，圆周角相等。嗯，对， 或者是我们的定角定高，这个比较少，但是它也是隐形圆哦。嗯，一定要看到什么想什么。

同学们，发现了没，最近这个间隙法在互联网上那真的是热火朝天，那有的同学就会问到，老师，这个间隙法我要掌握哪些知识点好？没问题，今天我们来通过这个视频来告诉你啊，你要想彻底的运用间隙法，你需要知道哪些公式好？第一个 题目，这是一个正方形，然后告诉我们，这里为二，这里也为二。好，他干嘛呢？他让我们求 m n 的 长度，那我们知道，对于这种题，我们肯定就是一个间隙对不对？我们已经做了很多了，这就是一个间隙，我们是这是坐标原点，假如这里是零零， 那我可以知道 e 点的坐标对不对？ e 点的坐标零啊， c 点的坐标六，零间系法的第一步肯定就是找坐标对不对？然后呢， f 点的坐标，这是多少？ f 点的坐标，朋友们啊，六，没问题吧？好，那 n 点的坐标， m 点的坐标，我们要利用什么终点坐标公式？待会老师会讲，我们先把这个题啊思路给大家理一理好不好？那这道题它的终点坐标是多少呢？老师直接写三一， 他的呢？他的重点坐标是多少？哦，一三好，然后通过两点之间的距离公式，我就可以把它算出来了，对不对？好，那因此我们来复习一下，如果在一个暴力间隙法中，我们要想利用 这个方法来解决这个题，那我们需要掌握哪些公式呢？这是第一个公式。第一个公式是什么？两点之间距离公式，两点之间的距 离公式好，我们随便找到两个点，我们设 a 点的是 x 一 y 一 它的坐标， b 点的坐标是 x 二 y 二，如果要求 ab 两点之间距离，那我们 ab 两点之间的距离等于啥呢？根号下， x 一 减 x 二的平方，加上 y 一 减去 y 二的平方。 那你说老师我能不能 x 二减 x 一， y 二减 y 一？ 可以的，但是你记得一在前，一在后都没问题，但是你要保证统一，你的一在前，我的一就在前。你的一在后，我的一就在后。好，这是第一个公式，两点之间的距离公式。第二个公式叫做钟点公式，钟点公式也是我们经常用到的 钟点公式。那随便找两个点， x 一 y 一 x 二 y 二。好，那假如这也是好，我们都不用写， 我们直接用，还是用这两个点可不要。那他们 a b 的 终点公式是什么呢？就是二分之 x 一 加 x r， 动上二分之 y 一 加上 y r， 当然它的坐标我们可以加个括号，这是终点公式，也是我们需要牢记的。那第三个 也就是依次函数的依次函数的关系式。依次函数的关系式，为什么呢？因为这个我们会经常用到的。 虽然说这道题没有用到，但是我们以后，哎，如果这个焦点我不知道怎么求，但是我知道它是两条直线。假如说这道题我变了，我让你求这个是 q， 我 让你求 n q 的 距离， 那你说老师这怎么求呀？哎，没问题呀，我可以把 q 点的坐标给它求出来。那 q 点是什么坐标呢？是两个一次函数的焦点呀，我们只要连立两个函数给它解出来就行了。那因此我一定会用的到什么一次函数的关系式的求法。 依次函数关系式的求法最基础的是两点之间的代入，代入两点，哎，这个朋友们都会算，但是我跟你说，大家都会的，他考试反而不怎么考，或者说他的计算量很大，我们可以利用什么呢？斜率式来算，我们可以利用斜率式。 什么是斜率式？ y 等于 k， x 加 b， 这样的话，只要我能够求出这个斜率，然后找到一个点，我就可以求出 b 值，整个函数关系就求出来，这是我们经常用到。为什么呢？因为我们在九年级学三角函数的时候，学一个贪婪，它也是关于一个 k 的 求法好， 因此 k 是 比较重要的，所以第引入第三个公式，也就是我们的 k 的 求法。那 k 等于什么呢？ k 等于 好，我们再找两点 a， b， k 就 等于啥呢？ y 一 减去 y 二比上 x 一 减去 x， 横比 y 二减 y 一， x 二减 x 一 也可以。所以说基本上你要学了这三个公式。呃， 我们可以解决百分之九十九的用接替法来做的题。当然有没有其他的公式呢？有，比如说点到直线的距离公式，两条平行线之间的距离公式，这里也有，但是他用的毕竟很少，我们可以通过其他的方法给他解出来，不需要去专门再学一个公式。那这三个公式就是我们必须要掌握的公式。

三角形 abc 中 ab 等于 ac 啊，这是一个等腰三角形哈，然后啊，其他的都是一些点告诉我们角 bc 等于角 bc 好。 看一下三角形 d a、 b 和三角形 d e、 c 吧，这两个三角形中是不是有一组对顶角相等？然后刚才题目中告诉了我们一组角相等，所以说利用三角形内角和一百八十度，我们可以知道的是角 a b e 等于角 a c e 是 不是其实就是八字模型 好？然后我们来看第一小问说，如图一，当角 b a、 c 等于六十度时啊，这是一个六十度啊，所以说角 b e、 c 也是六十度。那刚才的这一组角相等啊，我们标个点来表示一下 好，要证 a e 加上 c e 等于 b e， 那 其实之前我们在梳理辅助线的时候是不是有说过，当遇到这种三条线段之间的和差关系的时候，我们是不是考虑的就是截长补短 好，这三条线段中最长的是 b e 对 吧？ b e 是 其他两条的和。那么看一下后面小丽的尝试啊，是在 b e 上截取 b h 等于 c e 好， 就是图二这个样子， b h 等于 c e 的 话，那我们在图二中把条件标一下， a b 等于 a c 好， 而且我们知道两个六十度角好，角 a b e 和角 a c e 标一下好，它做的图是 b h 等于 c e 好。 然后说，通过证明三角形 a b h 与 a c e 全等，可以推出 a h 等于 c e 好。 其实根据我们标的图就很明显了啊，蓝色的边等于蓝色的边， 点这个角等于点这个角，红色的边等于红色的边 s a s 对 吧？所以说，只要你把题目标清楚了，把条件标清楚，那么啊，在做题的过程中就会顺畅很多。好，那么可以推出了， a h 等于 a e 好， a e 等于 a e。 然后说再正三角形 h a e 为等边三角形。好，那肯定需要用到刚才的全等了，是吗？刚才的全等三角形 a b h 全等于 三角形 a c e 的 话，那我们可以推出角 b a h 等于角 c a e。 而原先角 b a c， 它是一个六十度，而且它是角 b a h 加上角 c a h 的 好， b a h 的 话，我们是不是可以换成角 c a e？ 那 么看图，角 c a e 加上角 c a h 的 话，是不是就是角 e a h 好，角 e a h 等于六十度，对吧？角 e a h 是 六十度的话，而且前面正出了 a h 等于 a e， 所以 说有一个角是六十度的等腰三角形，它是一个等边三角形，正出来了，对吧？好，从而可以得到 a e 加 c e 等于 b e 这一结论。我们看最后结论是怎么来的啊？最长边是 b e b e 呢？是不是等于 b h 加上 e h 好， b h 等于谁等于 c e e h 呢？它等于 a e， 对 吧？所以说，我们就从图上的 b e 出发，好，把 b e 表示成两个线段合， 再去看这两个线段与我们题目所要找的这两个线段有什么样的关系啊？第一问，这个证明过程自己去补充一下。然后接下来第二小问 说，如图三，当角 b a c 等于九十度时，一中的结论是否成立？若成立，要证明，若不成立，请直接写出结论。那么我们来看一下 现在呢，这个角 b a c 它不是六十度了，它是一个九十度了， b a c 是 九十度， b e c 也是九十度，那么我们还是按照它刚才的这个截长补短的思路，我们去尝试一下，对吧？我们在 b e 上还是截取一个和 c e 一 样长的线段啊。我们截截一个 b f， 把 a f 去连一下。 好，此时的 b f 和 c e 是 相等的好，其他的条件是不是仍然角 a b e 和角 a c e 两个角相等， 然后 ab 和 ac 两个线段相等好，所以仍然是两个蓝色的边相等，两个点角相等，两个红色的边相等，所以可以推出三角形 a b f 全等于三角形 a c e。 判定定理是 s a s， 那 么证明完全等之后，我们可以推出一个是角角 b a f 等于角 c a e， 另一个是边 a f 等于 a e。 好 推， b a f 和 c a e 有 什么样关系呢？我们直接在图中标个角一角二吧，这样好描述一些。角一等于角二。好，我们这里标了一个垂直，还记得吧， 角一加角三是九十度，角一等于角二，是不是角二加角三就是九十度啊？所以我们可以推出角 e a f 是九十度好，再结合 a f 等于 a e， 所以 此时的三角形 e f 它是一个等腰直角三角形。 既然是等腰直角三角形的话， e f 肯定它就不和 a e 相等了呀，是吧？那么我们此时还是从 b e 最长边出发看 b e 从图中来看是等于 b f 加上 e f， 那 b f 我 们是由 c e 截了个 c e 的 长度，对吧？ e f 是 等腰直角三角形 a e f 的 斜边，所以 e f 等于根号二倍的 a e， 所以 和一中的结论一样吧，不一样，对吧？什么区别呢？ a e 前面多了一个根二好，所以说根二 a e 加上 c e 等于 b e 好， 接下来看最后一小问，最后一小问呢，说的是在二的条件下好，二，什么条件啊？就是这个九十度呗，对吧？而且二这个结论，那我们就可以用了啊， 说在二的条件下，在 b e 上截取 b f 等于 c e 好， 和我们刚才做辅助线是一样的，连接 c f 点 j， 在 e f 上连接 a j 好， 且角 e a j 是 七十五度， 七十五度标一下，然后角 b a j 等于角 a c f 或好，我们用 x 来表示一下吧， b a j 和角 a c f 啊，都是 x， 然后 c f 的 长是四倍，根号三，需要我们去求 a j 的 长啊。这个题还是挺复杂的啊，那么最开始啊，我们的条件还是标上 角 a b e 和角 a c e 相等，然后 ab 等于 ac 好，所以等腰直角三角形，是吧？然后截的是 b f 等于 c e 好， 既然截了 b f 等于 c e 的 话，那么我们就把 a f 给它连一下，对吧？是不是就和刚才我们这个图是一模一样的了？那么三角形 a f 是 一个等腰直角三角形，对吧？等腰直的话，四十五度标上 好，然后我们来看一下，那这个题该怎么样去考虑呢？最终要求的是线段 a j 的 长，但 a j 的 话，目前来看它和 c f 没有什么关系，并且 a j 它也不在什么 特殊三角形中，对吧？那么我们就得从现有的条件再去好好的分析一下了啊。现有的条件 a j 在 三角形 a e 这种， 那角 a e j 是 一个四十五度，那我们过 a 点往 e j 做一个垂线，好垂足呢，给他标一个 h 点吧。所以说角 e a h 也是一个四十五度， 对吧？然后途中我们刚才标上了角 e、 a、 j， 它是一个三十度，哎，出现三十度，出现特殊角了，是不是三十度？ 所以下面的这个就是六十度，好，那这个六十度，它恰好是三角形 a、 b g 的 外角啊，所以说，角 a、 b e 加上角 b a g 是等于六十度。与 a b e 相等的角，我们 a、 b e 是 不是用点去表示的？图中还有一个点是角 a c e 好， 它也是一个点。角 b a j 好， 我们最开始用 x 来表示的，对吧？图中标了两个 x， 嗯，一个是角 b a j， 一个是角 a c f， 那角 a c e 加上角 a、 c f， 正好就是图中的角 e、 c、 f 等于六十度，是吧？并且呢，角 b、 e、 c 是 一个九十啊， 所以说啊，现在来看，这个三角形 ecf 的 话，它是一个三六九，是吧？三十六十九十斜边， c f 是 四倍，根号三，所以 ec 的 话是个二倍，根号三， 然后 e f， 那 就是根号三倍的 e c e f 就 等于六好， e f 它是等腰直角，三角形 e f 的 斜边，所以 e h、 f h、 a h 是 不是都等于二分之？ e f 等于三好， a h 是 三来，最后放在三角形 a、 e、 h 中，哦， a j h 中 好，放在三角形 a、 g、 h 中。我们知道 a h 等于三好，那是不是根据 e b 跟三比二？那 g h 的 话，是不是等于 a h 除以根三 就等于根号三，然后 a g， 它是等于两倍的 g h， 所以就等于二倍根号三好， a j 的 长就求出来了整体的过程啊，我们再来梳理一下。好，首先呢啊，在二的条件下，所以说我们一开始和二的思路是相同的， 把 a、 f 连一下，对吧？ a、 f 连一下，所以三角形 f a、 e 是 一个等腰直角三角形。好，那么就推出了，这里有一个四十五度， 对吧？推出四十五度之后，好，我们过 a 点做了一个斜边 e、 f 的 垂线 a h， a、 h 的 话，所以说角 e、 a、 h 的 话，也是一个四十五度，那题目中还给了我们一个七十五度，所以七十五度减四十五度，得到了角 h a、 g 是 等于三十度， 有三十有九十，所以说所要求的这个 a、 j， 我 们就把它放到了一个三六九特殊三角形中了，对吧？然后再来看角 a、 j、 h 是 六十，它是图中的一个点加上一个 x， 而角 e、 c、 f 正好也是一个点加上一个 x， 所以 这个角度也是六十度，对不对？正好这里也是一个九十度啊， 角 b、 e、 c 是 九十度，所以说三角形 ec f 是 特殊三角形，我们可以求出 ec 是 二倍根号三， 然后 ec 就是 等于二倍根号三，乘根号三等于六。那最后呢，我们就可以根据 a、 h 的 长度是三，放在三角形 a、 j、 h 中去求出 a g 的 长。

那八下数学啊，正方形当中经典例题，那上次我们讲这个图形，讲的内容是上下这两三角形的面积相等，就是 a， d， e 和 c， d， g 这两三角形面积相等， 那今天我们讲这里也是这个图形，那么 dm 垂直袭极它的反向延长线 n 呢？就一定是 a e 的 终点，求证 a n 和 e n 相等， 那么这个图形不管做什么样的变化啊，任意变化，那么这个 n 始终是中点，那么我们放在位这个位置呢，咱们进行证明一下。 那由于 m n 呢？ m d n 共线，那线的正方形呢？嗯，自带九十度直角， 所以在这个线上现在有两个直角，我们就会想到一线上垂直，所以我们辅助线可以马上会想到 从尾向这个直线画垂线，那我们把它反向延长，然后画垂直，这样呢，由于一线三垂直， 这这两个三角形全等，这个和这个全等 全等呢？那我们可以得到这个 a l 和这个 dm 相等， 同样在这个线右面这个位置，我们同样做垂直，再来个字母 啊，有 m 了，重复了，换一个，换一个字母， 那也就是说同样道理能得到，嗯，这个三角形呢，那和这个也是全等，也是一些三垂之得的 全等呢，能得到 e h 也和 dm 相等，这样呢，上面这个 a l 和 e h 就 相等了， 我们就把这个要正的这 a n 和 e n 放在全等的三角形中，那么很明显这两个三角形又一次全等，又一次全等， 所以这种人得到了 a n 和 e n 相等，那么这两个结论呢，都是这个两个正方形当中比较有代表性的题型 啊，大家一定要记住，考试的遇到的时候不要丢分。

如果刮到原理，在考试中出现，不能十秒秒杀就太可惜了，今天带你一次通刮豆原理，刮豆原理，种瓜得瓜，种豆得豆，主动连从轨迹相同。如果在考试中遇到了一个点屁在某个图形上运动，点屁，在线段 ab 上运动， 点屁还绕着另外一个定点 h 旋转，点屁还绕着定点 h 旋转。一定的角度 扩大或缩小一定的倍数，扩大根号二倍，得到点 q， 那 么 p 点的运动轨迹也是 a b， 求 q 点的运动轨迹及 q 点的运动轨迹的长。正题叫做刮斗。原理，三步就解出来。第一步， 确定主动点和从动点，这种题非常简单。第二步，根据主动点的初识和中指位置复刻其主从动点的变化，稍微有一点难。第三步，根据比例求解从动点的轨迹长，非常容易，所以三步就可以解出来这种题啊，四大类考题，老师一道一道给大家讲。第一大类是 简单的线段问题， p 点在线段 a、 b 上运动， p 点与线段外一点点 c 相连，取其中点，得到点 q， 求 q 点的运动轨迹及 q 点的长。怎么求啊？按照步骤，第一步，找到主从动点两个点， 简单。第二步，确定主动点的初始和中指位置。主动点的初始位置再点 a， 中指位置再点 b， 复刻起主从动点的变化，那么主动点的出式位置与点 c 相连，取其一半。中指位置与点 c 相连，取其一半。 所以这条线就是从动点的变化轨迹了，那么它的长就应该是中位线，所以一下子就是二分之 a b 的 一半，对不对？再来一个模型，这个模型啊，更难一点点，它叫做带旋转的刮斗。原理 p 点还在 a、 b 上运动， 与直线外一点点 c 相连，旋转六十度得到点 q， 求 q 点的运动轨迹，怎么求啊？第一步，找到它初时位置与 c 点相连， 旋转六十度来到了点 e， 找到其中指位置与点 c 相连，旋转六十度来到了点 f， 所以 e、 f 的 连线就是从零点的运动轨迹了，那么其长呢？如果你能准确的识别出来这是一个 等边三角形，这是一个等边三角形，那么你就能识别出来手拉手模型，所以左手牵左手，右手牵右手，那么就应该得到全等的两个三角形。既 然这两个三角形全等，那么 e、 f 的 长就是 a、 b 的 长了，一下子就解出来了。当然咱们还有一个解选择和填充的大招，模型怎么解啊？如果你发现主动点 是旋转六十度得到的，构成了一个等边，那么他们的比例关系就应该是一比一，对不对？如果说旋转了四十五度，再来个根号二呢？那应该是一个等腰尺，应该是一比根号二的关系。所以写这种题特别简单，如果是一比一，那么主动点的运动轨迹就是从动点的运动轨迹的长一下就求出来了。 模型三，再难一点点它是什么？它是结合了圆的考题，一个定点 a， 一个定点 o， p 点，这个动点绕点 o 旋转，形成了一个圆， 这个 p 点呢，还与点 a 相连，取其一半得到点 q， 求点 q 的 运动轨迹及其长。怎么做啊？三步，按照步骤做就能拿到裁剪点。第一步，找到主动点和从动点，主动点在这里，从动点在这里。 第二步，连接两个定点， a 点和 o 点，复刻起主从的变化。主从的变化什么样子啊？主从的变化是找一半啊，所以找到一半，找到一半的话，那么你连 这个也是一半，这个也是一半，所以这条线段就应该是中位线了，所以这个线段长应该等于大线段长的一半二分之二。一个动点到一个定点的距离始终是一个定值的话，那么就形成一个圆。所以这种题它的从动点的轨迹就是一个圆，那么 它的轨迹长呢？是不是就是二分之二的周长了？所以讲到这道题的时候，你就能明白老师开头说那句话，瓜豆原理，种瓜得瓜，种豆得豆，主动连从轨迹相同什么意思啊？就是说主动点形成一个圆，那么从动点就形成一个圆， 那么主动点的运动轨迹的长如果和从动点的运动轨迹的长是有一个数量关系的话，那么主动点的运动轨迹的长就和从动点运动轨迹的长还有一个数量关系，可以秒杀掉。最后来一个最难的模型就是又有圆又有旋转，但是好不好做啊？三步就做出来了。第一步， 找到主从动点，这道题是 a 点和 o 点是定点，点 p 绕着 o 点运动形成一个圆点， p 呢，还与 a 点相连接， 让它旋转六十度得到点 q， 求点 q 的 运动轨迹及其轨迹长好不好解？好解。第一步，找到主从动点，找到主动点，找到从动点。第二步，连接两个定点， a 点和 o 点，复刻起主从的变化， a 点和 o 点的连线旋转六十度来到了 e 点 之后，如果聪明的你能发现它是一个这儿等边，这儿等边的手拉手模型，那么你把它左手牵左手，右手牵右手，是不是可以得到两个全等？所以 e q 就 等于了 p o， 那么这个线段长就等于这个线段长。那么从动点到定点的距离始终等于定长。是不是形成一个圆，那么其运动轨迹的长就应该是比例关系。它们的比例关系是什么样子啊？是不是 一比一的关系？那么从动点的轨迹长就应该等于轴动点的轨迹长，一下子又解出来了。所以聪明的你一定能解这种题。那两道题我们秒杀一下。在矩形 a、 b、 c、 d 中，已知 a、 d 是 一， a， b 是 根号三倍的 a、 d， 所以 a、 b 出来了， e 点是动点，见到动点再也不害怕了。 e 点是 a、 b 成了动点，以 d、 e 为边做等边三角形，使得 e 从 a 运动到 b， 求 f 的 轨迹挂到圆里。三步解题法，要想老老实实做，老师陪你一把。第一步， 找到主动点的出式位置 a、 a 形成一个等边三角形，找到中指位置 b、 b 再复刻一遍，形成一个等边三角形。如果你能识别出来这里是 两个等边三角形的话，还共顶点了，你就能识别出来。手打手魔性，左手牵左手，右手牵右手，两个三角形全等全等了之后，对应的边和对应的边就相等，所以 f 一 f 二从等点的运动轨迹长就应该是 ab 的 长，刚好三，对不对？所以这叫做老老实实做题，想用大招呢，也可以直接秒啊！他说从动点主动点形成一个等边三角形， 那么比例关系就是一比一。所以主动点的运动轨迹是根号三，那么从中点的轨迹长就是根号三。二 b 选项秒掉了，非常非常容易，我们再来用大招直接秒一道，不老实做题了。 ab 是 圆 o 的 直径，它等于四， c 是 半圆， ab 的 中点 p 是 圆弧上的一个动点，连接 p c 并延长 b p b q 垂直 a c 于点 q， 点 p， 从点 a 运动到点 c， 那么 q 的 运动轨迹是什么样子？他的长是什么样子？能不能秒到？能秒到啊，你看，找到主动点，找到从动点，他们形成了一个三角形，这个三角形这有一个垂直，这有一个半弧，半弧所对的圆周角都是四十五度的，所以这是一个 等腰值，等腰值的比例关系是一比根号二，所以主动点从动点的比例关系就是一比根号二。 所以这道题把主动点的运动轨迹，这是四分之一的圆弧，就是 pi， 那 么从动点就应该是他的根号二分之一，那么就是二分之根号二倍的 pi 一下就秒掉了，对不对？我将刮到圆里的思维技术模型放在屏幕上，供大家参考。二零二六中考，我们稳扎稳打下一期圆的章节，再见！

同学们大家好，今天呢我们来讲四边形综综合来复习一下，这个在开始复习之前呢，给大家做一个预告啊，五月十号我们就开始拆解万维的黑白卷了， 到时候我们这个二轮复习也就讲完了，我们来拆解黑白卷，黑白卷拆解完了之后，我们拆解定心卷， 到时候会不定时的开个直播，然后每天都会更新这两套或者说四套卷子的内容，大家可以先点点关注，然后点个收藏，我的合集也已经建好了，后面会陆陆续续发出来。好，我们开始进入今天的讲解。四边形， 首先呢我们看一下平行四边形，平行四边形它的性质就是对边平行且相等， 对角相等，对角线互相平分，这是它的性质。还有就是它的判定， 两组对边平行，或者两组对边相等，或者一组对边平行且相等，它都叫做平行四边形。对角线互相平分也可以直接判定特殊的平行四边形呢就由我们的矩形， 矩形呢又由平行四边形加直角来判定，判定完它是平行四边形，证明它其中一个角为九十度， 那么它就是一个矩形了。在矩形的基础上，你再证明它邻边相等，那它就是一个正方形了。 好，我们来做题。第一题三角形 a， b， c 点， d 点 e 分 别是中点标出来 d， e 中点，所以它就是这个 d， e， 它就是个中位线。 d， f 又垂直于 bc， 这里它已经标出来了，这里是垂直，这里也是垂直，垂足为 f。 还有一个条件是 d g 等于 f c， d g 等于 f c。 第一问让我们求证 d， f， c， g 是 矩形，这多好正呀！ d， e 是 中位线，所以 d、 e 平行于 bc。 也就是说我们的 d、 c 平行于 f、 c， 它俩又相等， d， g 又等于 f c， 然后还有一个角呢？ d， f、 c 等于九十度。在平行四边形的基础上，有一个角等于九十度，所以它就是个矩形，简单吧，这就是最基础的定义了，定义法了。来第二问。 角 b 等于四十五度，这里是四十五度，那这顺手也写上了是四十五度，有没有用再说。先写上去， df 等于三， df 等于三，那这也是三喽？ d， g 等于五， d g 等于五，那 f、 c 也等于五喽。 f、 c 等于五，那 bc 不 就出来了吗？ bc 等于 b， f 加上 f， c 等于个二， 它等于个八， d， e 等于二分之一倍的 bc 等于四啊，这里等于四呀，来换个别的颜色，那这是几？这里就是一啦，这是一 g， c 等于几？ g， c 等于 d， f 等于三，所以我们的 e、 c 就 等于根号十啦。那我们的 a、 c 不 就等于二倍的 a， e 吗？就等于二倍的根号十，简单吗？这种就是最基础的题啊，一分都不能丢，一分都不能丢 来这一题。这题本来是打算给大家做练习题的，现在先就简单的说两句吧。 正方形 a， b， c， d， e， f 在 a b， c， d 上， b， e 等于 d， f， b， e 在 这， d， f 在 这，它俩相等，然后让我们证 a， e， c， f 哪是 a e a e， c， f 是 平行四边形。首先 a、 e 平行于 c， f， 这个知道吧？正方形里面，那我们再接下来去证它俩相等不就行了吗？ a， b 等于 c， d， b， e 等于 d f， 所以呢， a、 b 减去 b， e 就 等于 c， d 减去个 c， d， f， 所以 a， e 等于 f c， 所以 它就是平行四边形啦。第一问，简单吧， 来。第二问， bc 等于十二，这是十二。 be 等于五，这里是五，这里是五，那这是多少？这是七，这也是七。让我们求 e、 f 的 长，你求 e、 f 的 长，肯定是要做垂线的吧，你随便做嘛，做一条垂线。 假如说这里是个 g， f， g 等于多少？ f， g 等于 f， c 减去 g， c， 也就是 f， c 减去 e， b 等于个二， 这是七，这是五，这就是二，这是二，这是十二。这 e、 f， 这多简单？我的妈呀，这题简直就是把分送到你手上的十二的平方加上二的平方，最终结果等于一个根号一百四十八，根号一百四十八等于多少？自己去算啊，我就不写了， 一定要把你已知条件都给它标出来。好，今天就结束了，大家不要忘了点关注后面来听黑白卷和定心卷哦，拜拜喽！

身后这个是那个重庆这边的知名道观老军宫，现在是下午四点，下了一点小雨，开始今天的老军宫行程，看一下这个是他们的那个地图，从这里零关店开始进去，我们会走到西门出来，进来的那个第一个地方是有一个 喝茶的地方，现在细雨细下着，这里是进来的一个类似于山顶的地方，往前方眺望，非常浓烈的重庆景色，雾蒙蒙的山城的感觉， 感受一下这里就到了我最喜欢的环节爬山，不过现在天气很迷你，看不了什么景色。这里爬了一段不进的那个山之后就到那个慈海店，就在身后，下面是那个有求必应的财神殿，很多都在那里起风， 这边是在那个点长灯祈福结束了，到观年的时间了，这里就是那个在三秦山往下眺望的一幕，视野非常的开阔，乌蒙蒙非常浓厚的山水，这次老巨峰行程结束，下次再见。

这道题我不会，但我又想把分数拿下来，有没有办法？有，今天咱们的初中数学流氓解法来到了几何和圆的混合专题，辅助圆 亮带你揭开引圆的面纱，只取手机，拿下分数。那么这个就是我们今年最新的中考模拟题。那么给出一个矩形，它的对角线的交于 o 点，好过 o 点做 o e 垂直， b d 垂直。哎，也如我们知道这个角是直角。好，现在连接 b， 把 b 连接起来，我告诉你，角 a、 b 这个角等于二十度。 好，现在让我们求什么呢？求角 a、 o、 e， 也就是这个角的度数。那这个用普通方法怎么做呢？没有任何思路，但是我们知道矩形这个角也是直角。大家注意啊， 如果一个四边形，它的对角互补，你是九十度，我是九十度，我们相加一百八十度，那么整个四边形的四个顶点，也就 a、 b、 o、 e， 它一定在同一个圆上。我就过 a 点， b 点， o 点、 e 点，我就画个圆。每次到这里都会有同学说，亮亮，那这个圆心怎么找？你找圆心干嘛呢？ 答案直接出来了，这一段弧，我所对的圆周角是二十度。那这一段弧所对的这个圆周角呢？它不也是二十度吗？而这个角就是我们题目中我们的 a、 o、 e， 所以 这个题呢，我们选 c， 搞定。这个题也是我们去年中考的一个模拟真题，同样的，我们又给出一个大大大大的长方形， 好，现在我告诉你， a、 b 是 三， bc 是 五啊，就这个边是三，这个边是五，对吧？好，你这个 e 点呢？在对角线上面，但是 我们永远怎么样呢？构造一个九十度直角 e 点在这啊，咔嚓呢， f 点在这里，好，现在呢？让我们求 e、 f 比上 b 啊，就是求这条垂线段比上这个垂线段。嗯，这个题怎么处理呢？一样的，你发现矩形，它这个内角是直角，在 e、 b、 c、 f 整个大大大大的四边形中，哎，我的对角互补了 两个九十度相加一百八嘛，所以我们知道 b、 c、 f、 e， 它一定在同一个圆上，所以我们直接构造一个，嘿嘿， 回，对吧？哎，哎，差不多哎，这个圆还蛮标准的啊，嘿嘿，好，那画一个圆有什么好处呢？注意听清楚啊。你让我求 e、 f 比上 b， 对 吧？如果我把 b、 f 连接起来，你会发现啊，为什么会想到连接 b、 f 呢？你想想，一个直角， 我去，求两条直角边之笔，那不就在一个直角三角形中去求它的三角函数吗？哎，说白了，怎么样就是你会发现这个锐角，对吧？ 就求这个锐角所在直角三角形，用它的较长直角边比上较短直角边，对吧。而我们知道这一段弧它所对的圆周角是它， 而这一段弧所对的圆周角呢？是不？它，哦，也是这两个角相等。我们刚才说，求什么，你这个边比这个边，不就是我所在直角三角形较长直角边比斜边吗？那我只要求和它相等的这个角 所在的直角三角形 a、 b、 c， 对 吧？我用我较长直角边比上斜边，五比三，所以这个题 选 b 搞定。是不是觉得辅助员超级好用？其实我们辅助员的构造我们之前跟大家讲过五种，如果你想学习更多辅助员的方法，可以一步这条视频来进行学习观看。那么练习题目呢？拿去练习吧！下一期想听什么？打在弹幕里，亮亮火速更新，跟着亮亮无脑学习。

家有初中生的注意了，几何题总丢分，这个被缠中性模型三分钟吃透，同类题直接秒解！被缠中性的已知条件只有一个，那就是 a、 d 是 b、 c 边上的中性。 结论有两个，分别是三角形 a、 c、 d 与三角形 e、 b、 d 全等。结论二， a、 c 平行于 b、 e。 证明方法，第一问用 s、 a、 s 的 判定定例来证，第二问用平行性的判定定例来证。我们一起分别证一证。第一问， 首先引成 a、 d， 使 a、 d 等于 d、 e， 然后再临结 b、 e。 因为 a、 d 是 bc 边上的中线， 所以根据中线的性质，我们可以得到 b、 d 等于 c、 d。 接着在三角形 a、 c、 d 和三角形 e、 b、 d 中 把三个条件摆齐。条件一， b、 d 等于 c、 d。 刚刚正了的条件二，就是我们做的辅助线 a、 d 等于 d 一。 条件三，我们一起在图中找一找，就是对顶角相等角 b、 d。 一 等于角 c、 d、 a。 所以三角形 a、 c、 d 全等于三角形 e、 b、 d。 是 根据 s、 a、 s 的 判定定律来证的。接着我们看第二问， 第二问，要我们证明 a、 c 平行于 b、 e。 由一得三角形 a、 c、 d 全等于三角形 e、 b、 d。 所以 角一和角二此时是对角相等，角一和角二又是内错角，内错角相等，两直线平行，所以 a、 c 平行于 b。 不管是填空选择还是正面题，遇到这个备馋中性模型直接套结论，不用再一步一步推，节省时间还不丢分。关注我，下期分享更多的初中几何秒杀模型，记得点赞关注哦！

我们继续逆等线模型，逆等线题型的重要程度周老师就不再强调了，逆等线是几何构造当中的重点， 重点最值又是中考压轴题当中的压轴题，也就是说这类题型一旦出现，它绝对是学生们当中的一个试金石的存在。也就是说，如果你的孩子已经开始主动研究这类题型的话，那作为家长，你可以高枕无忧了。 好，我们今天来看这道题，我们说什么是逆等线？逆等线是不在同一条直线上的两条相等的线段，我们管这类题型叫做逆等线模型，那么逆等线的解决方法有几种呢？首先， 逆等线是几何构造，当中的那几何构造就是平移对称加旋转。那么第一个方法，我们就是用几何构造去将相等的两条线段让他们的动点重合，从而让他们形成共线的趋势， 这是第一种方法。第二种方法就是以两条相等的线段为基础，构造全等三角形， 使我们要求的两条线段的端点重合，让他们形成共线的趋势。然后用线段相加最小值的本质原理，也就是说两点之间线段最短，或者点到直线的距离垂线段最短，这个方法去求出我们要求的最小值。 周老师讲明白没？来，那我们先来，那我们看今天这道题，在三角形 a、 b、 c 中角 a、 b、 c 等于六十度，角， a、 b、 c 等于六十度， b、 c 等于八， ac 等于十。然后对 f 分 别是 ab 和 ac 上的动点，且 a、 d 等于 c， e， 求 c、 d 加 b e 的 最小值。逆等线我们常用的两种解决方法，一个是几何变换，一个是全等 几何变换，我们最常用的就是平移，来我们看看，我们先试一下将 a、 d 平移到这个位置，让 d 点和 e 点重合，我们看看能不能解决。当 a、 d 平移到 e 点呢 位置的时候，你会发现什么？你会发现 c 的 长度让我们给改变了呀，对不？所以说 这道题用平移不是特别合适。第二种方法是什么？以两条相等的线段为基础，我们构造全等三角形，使两条我们要求的目标线段形成共线的趋势，然后去求他们的最小值。来，我们看， 我们以这两条相等的线段为基础，构造全等三角形，那我们怎么做？看，我只要过 c 点做 c g 平行于 ab， 那 么 角 a c g 是 不是就等于角 a 了？来，一个边一个角，一个边一个角，我们是不是还差一个边？我只要让这个边等于 a， c 是 不是就可以了？来，我们做，我们过 c 点做 c g 平行于 ab， 并且使 c g 等于 a c 连接 c g， 那 么此时三角形 a c、 e 和三角形 a c 对， 是不是就全等了？来看边角边， 边角边是不是就全等了？那么此时 g、 e 是 不是就等于 c 对 了？ 那么这个时候 b 点和 e 点我们是不是就重合了？并且两条线段是不是形成了共线的趋势？ 两条线段相加的最小值你看，因为 c 点是定点，那么点 g 和点 c 是 不是就是对应点？既然是对应点，点 c 是 定点，那点 g 一定是定点， b 点是定点，那我们求 c， 让我们求 g e 加 b e 的 最小值。 聪明的你一定会了吧，两点之间什么线段最短？那此时只要我连接 bg， 那 么 bg 就是 我们要求的两条线段相加的最小值，没问题吧？那么此时 bg 我 们怎么求呢？来，我们看还有哪个条件我们没用上， 六十度我们没用上，刚才刚开始我们还做了一个平行，那我们一定要把平行加上这个特殊的六十度角 给匀。好啊，两条直线平行，内错角是不是相等？内错角相等，那这个时候只要我过 b 点做， b h 垂直于 c g， 那 么 b g 是 不是就在直角三角形 b h g 里边了？那么 b g 怎么求呢？那看， 九十度，六十度，三十度、三十度所对的直角边等于斜边的一半，斜边等于八呢？这个等于四，那 b h 是 不等于四倍根号三？ 一比二比根号三没问题吧？啊，那么 b h 等于四倍根号三了， c g 还等于什么？ c g 等于 a， c 等于十，那么 g h 等于十四， d h 等于四倍 根号三，那么 b g 我 是不是就能求出来了？等于十四的平方，加上四四十六，四十八。 好，周老师讲明白没有？其实逆等线我们常用的就是这两种方法，如果你能熟练掌握的话，逆等线这个问题对你来说就轻而易举的就能够解决 好。今天这节课就上到这，如果你有几何动点坠直问题或者几何压轴题的问题，可以评论区留言或者私信给周老师，我们大家一起商讨解决。这节课就上到这，更多精彩内容，我们下个视频见。