小学六下圆柱圆桌公式总结

同学们请注意我们的圆柱体表面积公式，需要火速升级，否则考试中遇到这种题你就麻烦大了。好，我们来看这个圆柱哎，底圆半径是三点二五，高呢是六点七五， 这两个数怎么那么怪啊，求这个圆柱体的表面积派取三点一四，我们来试试。圆柱体的表面积呢，分成三部分，上边的圆，下边的圆，还有这一圈侧面积。 侧面积呢，是个曲面哎，我们要化曲为直，把它展开，变成一个大大的长方形。这个长方形的长和宽呢，分别是圆柱体的高以及 底圆的周长。好，总结一下圆柱体的表面的公式，两个圆二倍的 pi r 方，再加上侧面积好，周长乘上高，底圆周长二 pi r， 再乘上高 h。 ok， 我 们就用这个原汁原味的公式先来算算看啊， 半径三点二五来代入二乘三点一四啊，乘上三点二五的平方，这个东西看着就头疼， 来继续二乘啊，三点一四乘三点二五乘六点七五。天呐，这个破算式，谁爱算谁算吧，哈哈，太复杂了， 哎，那这道题我们怎么简化一下呢？这就是刚才我说的圆柱体表面的公式，我们要升升级，怎么升级呢？同学们，大家请看这个公式两部分当中都有什么？哎，都有二 i r， 那 这样，我们来一个提取公因数，好把这个二 pi r 提出来，剩下什么呀？哎，前面剩一个 r， 后边剩一个 h， 加起来，大家请看这个式子把 r 和 h 加起来，就多了一个凑整的机会了，那解决这道题是不就非常轻松了？孩子们 好，来，二 pi r， 二乘三点一四乘三点二五再乘上，哈哈， r 加 h 等于十。嗯，这样的确可以大大的简化我们的计算过程了。我们可以呢，先把二三点二五和十乘在一起，等于六十五，最后一步去算这个六十五 乘三点一四。你可以选择列个数式，也可以选择拆开算。六十五个 pi 不 就是六十个三点一四，再加上五 个三点一四吗？哎，相信屏幕前的同学们，这两个算式你都背过吧？六派是十八点八四，那六十乘三点一四就是一百八十八点 四。好，五乘三点一四。嗯，十五点七。好，二者相加。答案出来了，二零四点一。哎，比这个算式还是要简单不少吧，学会了吗？我是大猫，在北京教数学。关注大猫水平越来越高，记得点赞关注哦！

我们都知道六下第三单元有关圆柱和圆锥里面的公式非常非常多，那今天王老师这期视频啊，就来讲一讲这些公式都有哪些公式。 首先我们来看圆柱体，我们知道圆柱是由上下两个相同的底面加中间一个弯曲的侧面， 那么它的侧面积沿高展开以后是一个长方形，有的时候还可能是一个正方形，所以它的侧面积其实是由底面圆的中长乘圆柱体的高，所以 s 侧 就等于 c h， 这个 c 呢，我们还可以换成圆周率乘直径，也就是派 d h， 那 还可以换成二排二，所以侧面积啊还等于二排二 h， 这是有关圆柱体的侧面积的三个公式。 那么圆柱体的表面积表面积我们分为，当这个圆柱体有上下两个底面加中间一个侧面的时候，它的表面积公式有两个 s 表等于二派二 乘括号里的 h 加二分之 d。 那有的时候给的我们是只有一个底面和一个侧面，这个圆柱体它没有盖，所以这个时候我们叫底侧公式， 只有一个底面加一个侧面，所以底侧表面积是二派二乘括号里的 h 加二分之二对应的推导公式王老师以前的视频中你能找到，那么接下来就是圆柱体的体积公式。 我们知道圆柱体的体积是把它利用转化的思想把它转化成原来我们学过的长方体，利用长方体的体积公式，进而推导出圆柱体的体积公式。所以圆柱体的体积啊，也等于其底面积层高，所以 v 柱 等于 s h， 我 可以把这个底面积换成圆的面积，也就是 pi 二的平方 h。 如果给的是 d 和 h， 我 还可以把这个 r 呢换成二分之 d 扩起来的平方 h。 如果给的是底面圆的周长和高，我们还可以把 这个 r 呢换成 c 除以 pi 除以二，扩起来平方乘 h。 那 么圆锥体， 我们知道圆锥啊，它是只有一个底面圆和上面展开以后是一个扇形，一般在小学阶段不研究它的表面积，但是我们重点是放在它的体积上，那圆锥体的体积为锥， 我们知道等底等高的圆锥的体积是圆柱体体积的三分之一，所以为锥啊，就等于三分之一的 v 柱，那 v 柱呢，又等于来它的体积等于 s h pi r pi h 所以 那么圆锥体的体积也就是三分之一的 s h。 底面积乘高等于三分之一的派，二的平方 h 等于三分之一的派，括号里的二分之 d 括起了平方 h 啊，等于三分之一的派，括号里的 c 除以派除以二，括起了平方 h。 那 对王老师所讲的这些公式，你记住了吗？关注王老师，让数学变得 so easy！

同学们好，今天我们接着预习六年级下册的第三单元，求圆柱的体积。在没有求它的体积之前，我们首先要知道圆柱的体积公式是什么？ v 等于 s h， s 代表的是它的底面积，也就是下方的圆的面积。圆的面积公式又可以写成 pi r 的 平方，所以它还等于 pi r 的 平方，乘以 h， h 就 相当于这个圆柱的高。 好，再看这道题目，圆柱的半径给我们了，是二，它的高是十，所以我就可以直接代公式了。 所以 v 等于 pi r 的 平方， h 就 等于三点一四。乘以 r 等于多少是二，所以乘以二的平方，再乘以高，高是十， 所以它就等于四十。乘以三点一四，也就等于一百二十五点六。单位是 厘米，所以说我们要写成立方厘米，因为它是体积单位，所以要带立方。所以像这样的圆柱的体积公式你要记清楚的情况下，下面的就比较好做了。假设给你一条直径的，我们也是先求出它的半 径。假设给你的是圆柱的底面周长，我们依然可以先求出半径，再求出它的面积。所以圆柱的体积你学会了吗？

今天我们来一起认识一下圆柱，圆柱是我们六年级下册一个非常重要的知识点， 我手里拿的就是一个圆柱。首先我们来看一下圆柱，它有几个面呢？一个、两个、三个，所以圆柱总共有三个面， 那它三个面都有什么名字呢？上面的这个面叫做底面，下面的这个面也叫做底面，那我们可以说这个是上底面，而下边的这个叫做下底面，所以它有两个底面， 而周围的这个面叫做侧面，它有一个侧面。 接下来我们再去观察一下底面的特征，这是一个什么图形呢？对，它是一个圆，我们再看一下下面的这个面，它也是一个圆，那它们两个大小又有什么关系呢？它们是两个大小一样的圆。 接下来我们再关注一下它的侧面，看一下这个侧面和我们之前所学的面完全不同。我们五年级也学习立体图形了， 但是我们当时所学的长方体、正方体其实都是由平面图形组成的，而这个圆柱的侧面，它不是一个平面了，它是一个曲面，看它是一个平滑的曲面， 这其实就是圆柱的特征。接下来我们再去看一下圆柱的高， 我们之前学过长方体与正方体，我们知道他们的高其实就是上面与下面之间的高度， 其实在圆柱中也是一样的，圆柱的高其实就是上底面与下底面之间的高度。那我们怎么找它的高度呢？一定是要垂直于底面的，你不能斜着。哎，这斜着不是它的高，一定是要垂直于底面的， 那它有多少条高呢？我们想一下，上面是个圆，我可以在圆上面找到无数个点，去向下底面做垂线，所以它有无数条高。 现在我们知道了圆柱它有三个面，还有无数条高，而且我们也知道了它所有面的名称与特征。接下来呢，我们就一起推一下圆柱的表面积。 我们之前学习长方体、正方体，我们都知道要求一个立体图形的表面积，其实就是求它所有面的面积。 同样的圆柱的表面积也是围成这个圆柱所有面的面积，它有三个面，所以求的其实就是这三个面的面积。 现在我们观察一下，它上面是一个圆，下面是一个圆，所以我们要求它的面积，其实就是求两个圆的面积，这个没有任何难度，对不对？ 接下来主要是要认识侧面积，侧面积是一个曲面，我们根本没有学过怎么去求曲面的面积，那该怎么办呢？接下来我们就要借助一个小纸条 看，这是一个小纸条，现在呢我把它围在这个圆柱的侧面啊，已经围好啦， 看他刚刚好围住圆柱的侧面，现在我们想一下，求这个圆柱的侧面，是不是就是求这个纸条的面积呢？ 那我们该怎么去求这个纸条的面积呢？现在我沿着这个圆柱的高，我把这个小纸条给他展开，现在观察一下，他是一个什么图形呢？ 对，它是一个长方形，现在我们想一下长方形的面积公式是什么呢？长方形的面积就等于长乘宽，那这里的长和圆柱又有什么关系呢？现在我们再把它， 现在我们再把它折回去，现在我们已经把它折回去了，我们现在来观察一下 这个长方形的长，它是不是就是这个圆的周长呢？而这个圆它其实是圆柱的底面，所以我们就可以说这个长，它其实就是这个圆柱的底面周长， 其实就是这个圆的周长呀。现在我们知道了，这个长方形的长，其实就是圆柱的底面周长，那这个长方形的宽呢？这是长方形的宽，我们把它围起来之后，发现它其实就是圆柱的 高，所以我们现在就得到了这个圆柱的侧面积公式。 圆柱的侧面积公式就是底面周长乘高，那底面周长其实就是圆的周长。那我们现在想一下圆的周长公式是什么呢？圆的周长公式是派 d 或者是二派 r， 而高呢就是用字母 h 来表示，所以我们可以说它是派 d h 乘号可以省略或者说是二派 r h。 现在我们就把这个圆柱的侧面积公式给推出来了，现在我们说表面积公式是什么呢？圆柱的表面积其实就是三个面的面积，它总共有 一个侧面与两个底面，所以我们就可以说圆柱的表面积就是侧面积，加上 底面积乘二，侧面积公式就是我们刚才所说的派 d h 或者是二派 r h。 底面积就是圆的面积啊，也就是派 r 的 平方， 然后再乘二，或者直接写成二派 r 的 平方都可以，这就是我们今天要学的内容，有圆柱各部分的名称，还有它的特征，然后就是它侧面积的推导与表面积公式，你学会了吗？

今天让我们来推导圆柱体积的公式，那我们来看这就是一个圆柱，它是一个曲面图形， 它与我们之前学的长方体、正方体不同，正长方体、正方体是一个直面图形，可以直接根据长宽、高或者边长求出它们的体积。 但是这个圆柱呢？它的这一个面是曲面，不能直接求出来它的体积。 我们来想一下，在上一个学期圆的面积推导公式时，我们把圆平均分成若干份， 把它们拼成一个近似的长方形，再进行计算，分的分数越多， 这个长方形就越近似。那我们可以照着上个学期圆的面积推导公式的方法， 把这一个圆柱的底面平均分成若干份，再沿着这些线切开，也就变成了这样。我们再把它拼到一起， 把它拼到一起，就变成了一个近似的长方体。我们来看这个长方体，它的长这条边就等于这个圆柱底面周长的一半， 它的宽这一条边就相当于这个圆柱的底面半径。长方形长方体的这一条高就相当于圆柱的高。长方形的底面， 长方体的底面就相当于圆柱的底面。如果我们知道长方体的底面是 s， 知道它的高是 h， 那 我们就可以选写出一道计算公式， v 等于 s h。 那如果我们知道圆柱的底面半径是二，知道它的高是 h， 那 我们就可以写出 v 等于配二的平方 h。 我 们来看这个配二的平方，求的也就是这个底面的面积，配二也就是 这一个长派二的平方二，也就是派二乘以二，这个第二个二就是这个长方体的宽， 所以圆柱的体积计算公式有两种，第一个 v 等于 s h， 第二个 v 等于派二的平方 h。

本学期的时间比较长，而下学期的时间又比较短，所以好多学校都已经安排六下的学习内容了，请看六下第二章，圆柱和圆锥的学习。 在学习这一章的时候，首先我们要复习五年级下册圆的所有公式， 在同一个圆内，直径的长度是半径的耳背，所以产生两个公式， b 等于二，耳，耳等于 b 除以二。 再看圆一周的长度，又叫做圆的周长，圆的周长总是直径的派对，因此圆的周长就等于派的 c 又等于二。拍儿看，根据周长求直径 b 等于 c 除以 pi。 根据周长求半径 r 等于 c 除以 pi 除以二。 好，接着圆的面积，面积用字母 s 来表示，所以已知半径求面积 s 等于 pi 二方。 那如果知道了直径呢？ s 就 等于 pi 小 括号 d 除以二小括号的平方。 如果已知了圆的周长呢？依然是 s 等于 pi 先求半径 c 除以 pi 除以二小括号的平方。 这是圆的周长和面积。那么两个圆大小不等，放在一起又出现了一个环形，那么环形的面积 s 环就等于 pi 小括号大而方，减小而方。当然，在这里还会出现半圆的周长，圆周长的一半或者半圆的面积， 所以这里的公式在圆柱和圆锥的学习当中都会用到。好，准备好学新知！

别人的视频平平无奇，不炫视频带你学习，今天不炫来给大家分享的六下七中一口题型。 首先咱们读下题，一段长四米的圆柱形木料，距下十厘米长的一小段，表面积减少六十二点八平方厘米。原来圆柱形木料的体积是多少立方厘米？ 很多同学看到这道题就会蒙，今天我先来给大家讲解一下这道题。首先咱们来画关键词，第一个是四米，第二个是十厘米， 第三个是六十二点八平方厘米。我们画完关键词，我们发现我们单位不统一，我们四米要换成算成厘米。第一步，我们先换算成厘米，四米就等于四百厘米。 第二步，我们要搞懂表面积减少六十二点八是减少了哪里？我们先看图， 它这个，它这个圆柱长是四米，我们是减少，这里相当于我们减少后我们两个底面积是不变的，所以我们减少的是侧面积。那同学们我们侧面积公式是什么呢？第二步，侧面积是 p d h 拍 d h， 那 我们高有了吧，是十厘米拍有了吧，那我们就求个 d 就 好求了。呃，嗯，六用六十二点八 除以三点一四，再除以十， 再除以二，最后就等于一厘米一厘米，这这里的一厘米就是我们的半径。然后我们再求我们木料体积，我们体积公式是配 r 方 h。 第三步，先求体积 p f h， 呃，我们 pi 是 三点一四， r 是 一，呃， h 是 我们的四百，我们相乘一下，三点一四 乘以一的平方，再乘以四百，等于一二五六 一方厘米。然后最后我们目标体积是一二五六一方厘米。 同学们，你们听懂了吗？

六下数学最难的圆柱和圆锥就这七大题型，寒假练完稳进前三，可打印六下数学寒假预习圆柱与圆锥计算公式，圆柱，圆柱的底面积等于 s 圆，圆柱的侧面积等于底面周长乘高圆柱的表面积等于圆柱的侧面积加底面积乘二 圆锥公式拓展应用图七、问题圆柱形物体表面积问题圆柱的体积问题圆柱的体积问题圆柱、圆锥转化问题 圆柱和圆锥常考题型归类类型一，圆柱侧面积、表面积的实际应用类型二，圆柱、圆锥表面积增加或减少的实际问题类型三，圆柱、圆锥的等级变形问题类型四，有关长方形和圆柱的问题类型五，稍复杂的等级变形问题类型六，旋转体问题类型七，瓶子容积问题以上均有电子版。

大家好，今天我们来推导圆柱的体积公式，那么之前我们已经学过了圆的面积公式，而圆柱无非就是 圆拉高了高这么多的长度，我们由这个思路就知道，因为圆就知道圆柱的体积就是 底面积乘以高，这是底面积，就是这个圆的面积乘以高，所以就知道了 v 等于 s h， 那 s 就是 底面积，是圆的面积， s 等于 pi r 的 平方，就是圆的面积乘以 h， 所以 我们就知道了 v 等于 pi r 的 平方乘 h。 现在我们来做一道题，当底面积的半径等于三厘米，而高等于五厘米的时候，这个圆柱的体积是多少呢？

关于圆柱体表面积的问题啊，他也是六下考试的重点，但是在我们的生活中，在我们考试当中，有的时候他不是让我们计算整个圆柱体的表面积， 你比如说有的时候考水桶、笔筒，求他们的表面积，我们这个水桶笔筒等，他只有一个底面加上一个侧面， 所以我们要推导出这样一个底册公式，就是只有一个底面和一个侧面的公式，这些公式在学校里你们永远都学不到，那今天王老师就教会你怎样推导圆柱体的底册公式，就是 s 底册。 哎，王老师，那还有底面积和侧面积公式来，同学们来观察。我们知道圆柱体底面是一个圆，那么这条中间的侧面展开之后，沿高剪开以后是一个长方形，这次长方形的是不是周长是 c 啊？ 那接下来我要把这个圆，我们利用转化的思想，把它转化成我们以前学过的近似的一个长方形。各位看看这里啊，我把它剪转化成一个近似的长方形，把它分 成若干个偶数等分。然后呢我把它转化成长方形，大家仔细看啊， 近似的长方形，这个是六上，我们就已经学过了。各位，那这个是不是派 r， 那 这个是不是就是 r， 因为转化前后它们的面积不变。那么接下来各位，我要把这个近似的长方形给他拦腰砍断。 为什么要拦腰砍断呢？因为我要把它把这个底面和中间的侧面给他放在一起。那为了更清晰的表达各位，我现在把这个圆给它擦掉，接下来同学们不要眨眼啊，仔细看啊， 我把它擦去以后来这个是不是拍耳？那么这拦腰斩断以后，上面是不是也是拍耳？把它俩怎么样给它接在一起？这是底面的周长拍耳加拍耳，是不是就是周长？所以啊把它分成两个， 这个是拍耳，这个呢也是拍耳，加起来是不是刚好是二拍耳？那么同学们来看，这一段是 这个宽是 r r， 那 么拦腰砍断中间分成一半，那上面这部分是不是二分之 r， 对 不对？所以这部分加上加上了这一部分，这个宽呢就是二分之 r 圆半径的一半。那现在我把这个底面这个圆和圆的这个长方形给它合二为一，那此时此刻那么这个底面积加中间这个长方形给它合二为一，那就是 这个长方形的长是不是 c 啊？也就是二派二乘宽，宽此时此刻变成了原来高，是不是加上这个二分之二， 所以就是 h 加二分之二，所以有了这个底色公式，只要告诉我们圆柱体底面圆的半径和圆柱体的高，我们就直接带入这个底色公式，从而求出它们的表面积，只有一个底面和一个侧面的表面积。 那对王老师所讲的，各位你学会了没有啊？关注王老师，让数学变得 very easy！

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有的同学会问说，王老师六年级数学下册哪一个单元最难？很多同学可能都会想到第三单元，圆柱与圆锥。那今天呢，王老师来说一说有关圆柱体它的侧面的面积的问题。 我们这道圆柱体，它有三部分组成，分别是上底面、下底面和中间的侧面。上下两个底面是完全相同的两个圆啊，就是圆的面积，中间的侧面呢，是一个曲面。 那么如果我们把这个圆柱体沿高给它剪开，展开以后，它是这样一个形状， 上下两个完全相同的圆，中间的一个侧面展开之后是一个长方形，那么同学们来观察，这个长方形的宽就是圆柱体他的高，这个没有任何问题啊，有疑问，那么 中间的这个长方形的长，同学们发现啊，我把它还原回去之后，是不是就是这个底面圆的周长，所以这一部分就是 底面周长？我们知道底面周长是圆圆的周长，那圆的周长我们用字母 c 来表示，所以这个圆柱体它的侧面的面积，这个公式就有了哈，也就是 s 侧 s 测应该等于什么呢？就等于底面周长是不是乘高啊？那底面周长，我们用大写的字母 c 来表示，那高呢？用 h 来表示，所以圆柱体侧面积，那就等于 c h， 那 又因为这个 c 啊，我们还可以把它换成是 我们这个圆的周长等于圆周率，是不是乘直径，所以我可以把根据这个 c 等于派地，我把它换成派地，然后乘 h。 那如果已知的是底面圆的半径啊，我们还可以把这个 d 换成二耳，也就是等于二排二，把 c 换成二排二，那它还等于二派二 h 啊。所以啊，那这个圆柱体它的侧面积就有这样的三个公式， s 等于 c， h 等于派 d h 以及二排二 h。 那对于王老师所讲的这期视频，有关圆柱体的侧面积的面积求解，你学会了没有？关注王老师，下一期我们会讲底面积加侧面积，叫底侧公式。你们在学校里没有学过，拜拜。

哈喽喽，欢迎来到范老师的小课堂，今天我们继续学习六下圆柱的应用，看对吧？圆柱的底面半径和高都扩大三倍，求侧面积扩大几倍和体积扩大几倍。是不是？这道题比较简单，我们只要把公式写出来， 测面积等于周长乘以高，这里周长有一个半径，再把这个公式替换，这时候我们会发现这里有半径和高，这时候就简单了，半径扩大三倍，这时候就是三 r， 这里高扩大三倍就是三 h， 那 乘起来就是三，三得九是九倍。 好看，体积，体积是等于底面积乘高，底面积是等于 pi r 的 平方乘以高，这时候也是一样的，半径扩大三倍，那就是三 r 的 平方乘以 高三 h， 这里是两个三 r 相乘，对不对？所以是等于九 r 的 平方再乘以三 h 三九二十七，所以是二十七倍，你用这个方法会越来越简单，相信聪明的你一定能把它拿下。

好，接下来我们一起来看思维进阶部分啊。说，把底面直径是八的圆柱切成若干等份， 底面直径啊，是八，好，关键信息出来了，直径为八的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。要拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来增加了八十， 只知道这个直径是八，表面积增加了八十，问原来圆柱的体积是多少？这样的题目啊，如果你不画图，你是根本做不出来的，务必务必务必要画图， 这样的题目啊，大家务必务必务必要把图形把它给画出来 啊。所以呢，你看这个图，你把它画出来之后，你发现就方便了很多，对不对？这个地方直径等于八， d 等于八，所以半径 r 就是 四，对吧？你看，如果把它切成若干等份，再拼成这样，一个什么呀？长方体上面下面的面积都没变， 前面后面的面积，哎，就是圆柱体的侧面积，上面下面就是底面圆的面积，前面后面就是这个圆柱体的侧面积。增加的面积是啥？增加的面积是这个侧面，这个长方形的面积，看到没有， 对不对？增加的左侧面和右侧面的面积都是这个长方形的面积，这个长方形是 r 乘 h 对 不对？半径 r 乘以它的高 h 啊。所以说呀，你要画图，搞清楚它增加的到底是什么，这个八十到底是什么？你搞清楚这个了，这个题就变得简单很多了，所以左边增加了一个 rh， 右边也增加了一个 rh， 所以 两倍的 rh 就是 八十。 所以这个地方呢， r h 就是 四十，又知道 r 等于四，所以 h 就是 十， 对吧？ r 在 这等于四吗？所以 h 就 等于十，所以这个圆柱的体积是不是马上就求出来了？所以对于这个题目来说，画图是最关键的一步，画图是它的灵魂， 是不是？好，那我们说圆柱体的体积在这是多少呢？就是 pi r 方 h 约等于三点一四，乘以它的二十四乘四，再乘四，再乘以它的高，是十，是不是，对吧？三点一四乘以十六 啊，这个四六二十四啊，近两点一四得四得八三六十八，再加上三幺四，这是四，这是二 啊，然后近一点，这是零五十点二四，对吧？啊，五十点二四啊，五十点二四，再乘十就是五百零二点四啊，答案是五百零二点四，代单位立方厘米啊。 所以大家看这个题目最关键的是什么步骤？画图画明白，它知道增加的是左右侧面的面积，增加二倍， r h 是 八十，所以 r h 是 四十，所以 h 等于十。定出来 h， 答案就有了。好，我们看下一题， 好，这个题啊，说猫像一个圆锥体的容器，当中倒入了两千克的香油，倒进去了，正好呢，装满容器， 正好把这个容器给装满了，两千克啊，这个容器是一个圆锥，这个小老鼠呢，趁猫不在，在容器的正中间，注意，正中间是个关键词，正中间咬了一个洞，然后呢，开始偷油。为什么正中间是一个关键词呢？ 正中间代表终点，代表一半，代表两倍，对不对啊？好，然后呢，小老鼠在正中间咬了一个洞，开始偷油，一直偷到油面与小洞平齐为止，如图啊，油面高度。现在到这 问小老鼠偷了多少颗香油，对吧？原来啊，它是把它怎么样？原来它是把这个给怎么样占满了的，把这个圆锥体的容器给占满了的。现在呢？小老鼠在这个正中间的这个位置，它是个中点， 正中间的这个位置，咬了一个洞，开始偷油，把这个油偷走了，剩下的油是这么多，对不对？剩下的油是这么多，对吧？好，那这个题咋办呢？你说就给了一个两千克，还有一个正中间，别的好像没有什么条件啊，没有其他的条件， 那怎么办呀？这种题啊，条件不足，大胆假设，不要害怕，越是条件给的少的题目，其实越是简单 啊，条件给的少的题目意味着其他的条件，我们不知道也没有关系，意味着其他的条件我都可以假设出来，假定出来都是可以的。好，我们说呀， 原来这个香油的这个这个容积啊，应该是这个圆锥体的容器倒满了整个圆锥， 后来呢，在这咬了一个洞，咬了一个洞之后呢？变成什么呀？下边这个小的圆锥了，对吧？那我怎么样表示这个大圆锥的体积和这个小圆锥的体积啊？我怎么表示啊？我们把 rh 都把它写出来，好不好？ 把这个地方 rh 给它写出来。不要，不要担心，不要害怕啊，不要担心，不要害怕，说明没有 r， 没有 h， 这个题我也是能做出来的，所以条件不足，大胆假设射术法。好，那我们表示一下啊，我们说 这个小圆锥它的半径，如果我们假设它是 r， 它的高，如果在这，我们假设它是 h， 对 吧？小圆锥半径 r 高， h， 那 这个大圆锥呢？注意啊，这个点是个中点啊， 为什么知道它是终点啊？题目当中说了，在正中间，正中间是个关键信息，所以啊，这个是 r 的 话，这个大的这个圆锥，它的半径应该是多少了？它的半径应该是二倍的 r， 大 圆锥它的半径应该是二倍的 r， 对 不对啊？应该是二倍，它的高呢？它的高就应该是二倍的 x， 对吧？所以这个半径为 r， 这个半径就是二倍二，这个高是 h， 这个高呢，就应该是 r 倍的 h， 对 不对？所以你说小圆锥和大圆锥它俩的体积有什么样的关系啊？这个小圆锥是三分之一 pi r 方 h， 对 不对？这个大圆锥是三分之一 pi， r 乘二 r 再乘二 h， 虽然它俩的体积的关系你可以搞定，你可以找出来的， 这就叫什么呀？射术法条件不足，大胆假设啊，射而不求，我虽然把它射出来了，但是我不需要求它，最后它会抵消掉的。来，我们来写一下啊，小圆锥 和大圆锥的体积，我们看一看，什么关系啊？小圆锥是三分之一 pi r r 再乘 h， 对 吧？三分之一 pi r 方 h 啊，大圆锥呢？是三分之一 pi， 你 看 pi 都抵消了，乘以半径二，再乘以半径二，再乘以高二 h。 好， 接下来我们开心消消乐了，大家看，三分之一 pi， 三分之一 pi 抵消了， 三分之一派和三分之一派抵消了， h 和 h 抵消了， r 和 r 抵消了， r 和 r 抵消了，最后就剩。上面都是一，下面是三个二，所以是一比八， 上面是一份，下面是八份，就是一比八，对不对？上面是一，下面是二乘二，乘二就是八，一比八的关系，所以小圆锥啊，占到大圆锥体积的八分之一， 对不对？占到八分之一说明怎么样？下面就只剩下八分之一了，对不对？所以两千克的油被偷走了，一减八分之一，对不对？原来是单位一吗？对不对？ 对不对？最后只剩下一个八分之一，说明被偷走了八分之七，对不对？就是两千克的八分之七， 对不对？就是两百五十，再乘七，结果是一千七百五十代单位克。最后的答该答题，答题啊，小老鼠共透的一千七百五十克的油。这题的关键就在于你找到小圆锥和大圆锥之间的关系， 不知道他的半径，也不知道他的高，对吧？不知道没关系，不影响你做题条件不足，大胆假设啊，这个呢，在数学当中其实是一种设而不求的数学思想啊，在小学呢，我们把它定义为叫设数法。好，我们看下一题。 一个小球啊，倒有掉进了成油水的圆柱形的玻璃缸内，从里面量，玻璃缸的里面半径是十 r 是 十，小球由五分之四的体积进入到水中， 若把小球取出来，缸内的水下降了两厘米，问这个小球的体积是多少？哎，我们说什么呀？物体入水问题啊，我们说下降的两厘米水的体积就是小球五分之四的体积， 对吧？你把小球拿出来，水面下降了两厘米，下降的这个两厘米水的体积就是小球五分之四的体积 啊。或者你把小球放进去，水面又上升了两厘米，上升的两厘米水的体积就是小球五分之四的体积，对不对？这个结论大家要记住啊，我们说，哎，你把小球五分之，你把小球拿出来，小球五分之四进到这个水里面，你把小球拿出来，哎， 水面下降了两厘米，下降的两厘米水的体积就是小球五分之四的体积，对不对？我们说这个小球五分之四的体积 就等于怎么样？哎，两厘米，对不对？下降的两厘米水的体积。 好，这啊，这句话我把它写出来，这句话是这道题的灵魂。小球五分之四的体积拿出来，水面下降了两厘米，说明下降了两厘米水的体积就是小球五分之四的体积。最后问小球的体积， 那如果我求出下降了两厘米水的体积，我是不是知道了小球五分之四的体积，知道了小球五分之四的体积，是不是就知道了小球的体积？所以我重点是求这个下降了两厘米水的体积。 他应该是 pi r 方程 h 约等于三点一四，乘以这个 r 是 十，对不对？它的半径是十乘以十，再乘十，再乘以二，对不对？所以这个结果得到的是六百二十八， 对吧？六百二十八代单位立方分米，所以小球的五分之四是六百二十八，对不对？哎，小球的五分之四是六百二十八，所以小球的体积是六百二十八，除以 五分之四，就是小球乘五分之四等于六百二十八，对吧？小球乘五分之四六百二十八，所以小球六百二十八除以五分之四，就是六百二十八，乘一个四分之五 五，对不对？哎，那么乘以四分之五，我们可以算一下，六百二十八除以四啊，除以四，一四得四二十二，四五二十八，四七，二十八，一百五十七再乘五， 一百五十七再乘五，他就是七百五十，加三十五就是七百八十五，答案就是七百八十五代单位立方厘米，是吧？ 这是这个题的关键，这是物体入水问题的一个重要结论，如果我把这个球放进去，水面上升了两厘米，说明怎么样？这个球的体积就是，哎，两厘米水的体积，如果把这个球完整的捞出来 啊，水面下降了两厘米，所以下降了两厘米，水的体积就是球的体积，对吧？这是物体入水问题里面的一个关键结论啊。来，我们看下一题。一个圆柱啊，如果切成两个小圆柱，如图一， 它的表面积将增加一百点四八平方厘米。别慌，先别慌，先别慌。往下读， 这么一切表面积增加一百点四八，增加了多少？先分析清楚啊！这样的题目，他把图形给我们画出来了，如果没给我画图也是可以的，你需要自己画图，那么这么一切的话，刀口的上面增加了一个 圆，下面又增加了一个圆，所以我们得到的应该是二倍的派二方等于一百点四八， 对吧？是二倍的 pi 二方等于一百二十八，所以得到的其实是 pi 二方就等于五十点二四，对吧？啊？ pi 二方是五十点二四，对吧？没错，所以得到 r 方我们就定出来了， 对吧？ r 方是五十点二四，除以一个三点一四啊，除完之后这个应该是多少？ 除以三点一四，这应该是啊，这个，这个，这个，这个十六，对吧？啊？四六，二十四嘛，这应该十六啊，所以 r 方在这就是十六，所以我们知道这个 r 在 这就是四。 哇，生活太美好，得到半径 r 了，你看看是不是？哎？两个圆的面积二倍， pi r 方一百点四八， pi r 方定出来， r 方定出来， r 就 定出来，对吧？ 好，继续啊。如果，如果沿着底面的直径啊，把它切成两两个半圆柱，沿着直径啊，这个是直径 d， 看到没有？沿着这个直径把它切成两个半圆柱，那么表面积将增加两百四十平方厘米。这个两百四十是啥呀？是不是两倍的 d h， 对吧？刀口切过的，左面增加了一个 d h， 右面又增加了一个 d h， 所以 两倍的 d h 在 这是两百四十，对不对？所以一倍的 d h 在 这其实就是一百二， 对不对？这个 r 是 四，我们知道直径 d 就是 八，没错，这个直径 d 就是 八，这个 h 在 这我们算出来就是十五啊，对吧？一百二十除以八，这个 h 在 这就是十五啊，高也定出来了，所以 r 也有，高也有。求。圆柱体的体积是不是已经呼之欲出了，对吧？ 啊，是不是在这已经呼之欲出了？所以 pi r 方 h 就 约等于三点一四乘以二十四，乘四，再乘四，再乘以它的高是十五，那就是三点一四乘以两百四十， 对吧？三点一四乘以两百四十三点一四乘二十四，我们算一下啊，乘以四得到十二点五六，乘以二得到六二八，对不对？这个就是六，这个就是三，这个就是五，这个就是七 七五，七十五点三六，七百五十三点六，对吧？哎，结果就是七百五十三点六，代单位立方厘米。 所以做这个题最关键是什么呀？画图，把图画明白，对吧？把图画明白，图画明白之后，这个地方增加的是两个圆的面积，定出来 r 和 d， 这个地方呢，增加的是两倍的 d， h 的 面积，哎，然后把 h 定出来。所以题目分析清楚之后，答案就已经呼之欲出了。画图，认真审题，搞清楚题目的意思，想想隐含条件是什么，能推导出什么？ 好，下一题求下面图形的体积这个图形的体积，哇，这个图形我不知道它是个啥呀， 对吧？它是个圆柱吗？好像也不是，从这截断这边是个圆柱，那截断之后这是个圆柱，这是个啥呀？是个圆锥？ 也不是啊，到底他是个啥呢？完全不了解，完全不清楚啊，让我们求他的体积怎么办呀？哎，我们想想，我们可以把它变成什么？把它变成一个我们常见图形的体积，我们不就可以把它求出来了吗？我们看看，他是其实是一个长圆柱，沿着中间咔 给割了一刀，对不对？那我就找一个跟他一模一样的，把他拼成一个长圆柱不就可以了吗？大家想是不是？我不需要知道这个图形的体积怎么求，我也没学过，但是呢，我找一个跟他一模一样的， 找一个跟他一模一样的， 找一个跟他一模一样的啊，然后把他拼起来， 找一个跟他一模一样的啊，这个是十二，这个是八，这个也是六， 好拼起来是不是变成一个大圆柱啊？所以原来这个图形它的体积只是个大圆柱体积的一半，对不对？哎，这个大圆柱的体积到底是几啊？我们可以算一算啊，这个大圆柱的体积就是 派二方 h 再来除以二，对不对？他应该是约等于这个是三点一四，乘以他的直径 d 是 六，他的半径二应该在这是三，对不对？应该是乘三，再乘三，乘两个三，再乘他的高，他的高可是十二加八啊，在这 可十二加八，找一个跟他一模一样的一拼吗？对吧？十二加八在这，我们再给他除以二啊，因为你算的是俩，再除以二就可以了，所以这二十除以二，结果是十啊，所以他就是三点一四乘以，哎，三三得九，后边是十，对不对？三点一四乘以九， 三点一四乘一个九四九三十六进三点九，加三是十二进一点三九二十七，二十八，二十八点二六，对吧？二十八点二六再乘十是二百八十二点六，代单位立方厘米。 所以你碰到这样的题，你想想啊，怎么样能够通过化规的数学思想把它变成我们熟悉的， 对吧？把不熟悉的变成熟悉的，把不会做的变成会做的，把我们怎么样没学过的变成我们会学过的啊，这就是画规的数学思想。所以这个图形我们没学过，但是我们找一个跟他一模一样的，两个一模一样的一拼， 不就变成一个规则圆柱吗？算出规则圆柱的体积再来除以二，就得到一个这样的图形的体积。好做这样的题目啊，准确画图 啊，然后把关键信息，关键数据标在图形当中啊，通过你准确的画图，找到对应的他的半径和他的高，最终代公式，很快就可以得到结果，是吧？老胡，数学正确的方法比你的努力还要重要，我们下个视频见。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册圆柱与圆锥的例例，圆柱的容积。首先我们来回忆一下，上一节课我们学习了圆柱的体积， 圆柱的体积公式是怎么推导的？我们把圆柱等分成若干份，拼成了一个近似的长方体，我们在转化的过程当中，我们发现长方体的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积， 长方体的高等于圆柱的高。因为长方体的体积等于底面积乘高，所以推导出了圆柱的体积也等于底面积乘高。用字母表示 v 等于 s h， 或者是 v 等于 pi r 的 平方 h。 那 今天这节课我们学习的是圆柱的容积， 那大家首先回忆一下什么叫容积，还记得吗？对，容器所能容纳物体的体积叫做容积，也就是说它里边能有多大的空间，就叫做它的容积。 我们在五年级已经学习过长方体、正方体的容积，它和体积的计算方法完全一样，所以容积的计算方法与体积的计算方法相同，但是它所用的数据要从容器的里面来测量。 大家还记得我们常用的容积单位有哪些吗？所有的体积单位都可以用做容积单位，比如立方米、立方分米、立方厘米，但是当里边装液体的时候，我们还要用到容积单位，谁呢？升与毫升， 那么这些容积单位之间的净率是一个非常易错的点，我们来一起梳理一下。一平方米等于一千立方分米，一立方分米等于一千立方厘米， 相邻两个体积单位间的净率是一千立方分米呀。当时装液体的时候，它还有另外一个名称，就是升立方厘米，也就是我们所说的毫升。因为立方分米和立方厘米的净率是一千，所以升与毫升的净率 也是一千。不管是做填空题还是解决问题，这些单位的换算特别容易出错，孩子们，请你按下暂停键来记一记吧。 那好，知道了容积的计算方法和体积的计算方法一样，还知道了容积单位之间的戒律。那么今天我们学习的例六就非常简单了，来看例六 下面的杯子能不能装下两袋这样的牛奶，数据是从杯子里面测量得到的。首先我们来看告诉了杯子的内直径是八厘米，还告诉了一袋牛奶的容积是二百四十毫升。 那要解决这个问题，其实也就是计算什么呢？对这个杯子的容积，杯子它是一个圆柱体，那么我们该怎么样求出圆柱的容积呢？容积和体积的计算方法一样，那我们是不是要求出来这个杯子的底面积 乘高，那告诉的是直径，所以杯子底面积三点一四乘直径除以二的平方等于三点一四乘四的平方，最后结果等于五十点二四平方厘米。知道了杯子的底面积，再用底面积乘高等于它的容积。注意这里得到的是五百零二点四立方厘米， 问能不能装下两袋这样的牛奶，我们要给他换算成毫升，因为一立方厘米还有一个名字就是毫升，所以五百零二点四立方厘米就等于五百零二点四毫升。 接着我们求出来两袋牛奶的体积是二百四十乘二，等于四百八十毫升。然后把杯子的容积和两袋牛奶的体积进行比较，五百零二点四大于四百八十。答，杯子能装下两袋这样的牛奶。 通过这道题我们发现，求圆柱的容积是不是和它体积的计算方法一样，只要注意单位的换算。来，孩子们，我们规范总结一下，圆柱容积的计算方法与体积的计算方法相同，只是所用的数据要从容器的里面来测量， 用到的体积公式是一样的， v 等于 s h 或者 v 等于 pi r 的 平方 h。 第二点也是我们计算时最容易出错的一点，要注意单位是否统一。 掌握了方法以后来看这道练习题，我们教材二十五页做一做的。第一题，小明和妈妈出去游玩，带了一个圆柱形保温杯，从里面量底面直径是八厘米，高是十五厘米。 如果两人游玩期间要喝一升水，但这壶水够喝吗？这道题他和例题同一类型，那我就交给你了。王老师把这道题的答案放在评论区，如果你能做对，给自己点个赞吧！

哈喽，欢迎来到范老师的小课堂，今天我们继续学习圆柱形圆锥的应用。看黑板这道题，这道题是让我们求水面上升多少厘米，说白了就是水上升的高度对不对？水为什么会上升呢？是因为圆 锥放入里面了，那圆锥放入里面的话，那我们首先要求出水上升的体积。 水上升的体积是因为圆锥的体积，所以我们通过圆锥公式求出水的体积， 所以是等于三乘以三，乘以三点一，四乘以十，记住要乘以三分之一。最后求出它的体积是等于九十四点二立方厘米， 那水上升的高度就会等于水的体积除以底面积。水的体积已经求出来了，是九十四点二 除以底面积。记住，这个底面积不是圆锥的底面积，是我们水形状的底面积。水的形状是圆柱，所以是圆柱的底面积，就是五乘以五乘以三点一，四， 底面积写出来，求出它的高等于一点二厘米。这道题的关键就是要注意，水上升的高度是由锥体引起的。

哈喽喽，欢迎来到范老师的小课堂。今天我们继续学习六下圆柱的应用。看腻板这道题。这道题很长，一定要抓住关键信息，圆柱拼成一个长方形， 重点的考点是圆柱体积公式的推导，其中有一个信息就是它增加的面积是左右两个面，对不对，理解不了的话，我们画一个简图， 变成一个长方体， 那它增加的面就是左右，这两个面是半径乘高，我们只要找出半径，这道题就解决了。那半径给了周长，直接求十二点五六 除以二除以三点一四等于两厘米。半径求出来了，我们就直接求出它增加的面，增加的面是由两个左右各一个，所以先写个二乘以半径，再乘以高， 最后等于二十平方厘米。这道题不难，相信聪明的你一定能把它拿下。